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CLCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALTICA Luiz Francisco da Cruz Departamento de Matemtica Unesp/Bauru
CAPTULO 3
DEPENDNCIA LINEAR
1 Combinao Linear
Definio: Seja { }n21 v,...,v,vrrr
um conjunto com n vetores. Dizemos que um vetor
ur combinao linear desses n vetores, se existirem escalares n21 a,...,a,a
tais que nn2211 va...vavaurrrr
+++= , ou seja, =
=n
1iiivaurr
.
Exemplo (1): Considere os vetores )5,10,4(u =r
, )2,1,1(v1 =r
, )3,0,2(v2 =r
e
)3,2,1(v3 =r
.
a) Escrever, se possvel, o vetor ur como combinao linear dos vetores 1v
r, 2vr
e
3vr
.
b) Escrever, se possvel, o vetor ur como combinao linear dos vetores 2v
r e 3v
r.
Soluo:
a) Para que ur seja combinao linear dos vetores { }321 v,v,v
rrr, devem existir
escalares ,, tais que 321 vvvurrrr++= . Ento:
=++
=+
=+
++=
5332102
42)3,2,1()3,0,2()2,1,1()5,10,4( . Resolvendo o sistema
linear vamos obter: 4e1,2 === . Portanto: 321 v4vv2urrrr
+= .
b) Para que ur seja combinao linear dos vetores 2v
r e 3v
r, devem existir escalares
nem tais que 32 vnvmurrr
+= . Ento:
=+
=
=
+=
5n3m310n2
4nm2)3,2,1(n)3,0,2(m)5,10,4( . Da segunda equao obtemos
5n = . Substituindo nas outras duas obtemos 21m = e
310m = . O que uma
contradio. Logo o sistema linear impossvel e no admite soluo real. Portanto,
no existem escalares nem tais que 32 vnvmurrr
+= , ou seja, no possvel
escrever o vetor ur como combinao linear dos vetores 2v
r e 3v
r.
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2 Vetores LI e LD
Definio: Dizemos que os vetores n21 v,...,v,vrrr
so linearmente independentes
(vetores LI) se a expresso 0va...vava nn2211rrrr
=+++ se verifica somente se os
escalares n21 a,...,a,a forem todos nulos, ou seja, 0a...aa n21 ==== .
Definio: Dizemos que os vetores n21 v,...,v,vrrr
so linearmente dependentes
(vetores LD) se a expresso 0va...vava nn2211rrrr
=+++ se verifica somente se os
escalares n21 a,...,a,a forem no todos nulos, ou seja, pelo menos um dos
escalares deve ser diferente de zero.
Exemplo (2): Verificar a dependncia linear dos vetores abaixo:
a) )2,1,1(v1 =r
, )3,2,1(ve)3,0,2(v 32 ==rr
b) )2,1,1(v1 =r
, )5,2,8(ve)3,0,2(v 32 ==rr
Soluo:
a) Para verificar a dependncia linear entre esses vetores, devemos escrever a
expresso 0vcvbva 321rrrr
=++ e determinar os escalares. Ento:
=++
=+
=+
=++
0c3b3a20c2a
0cb2a)0,0,0()3,2,1(c)3,0,2(b)2,1,1(a . Resolvendo o sistema
linear homogneo vamos obter: 0ce0b,0a === , ou seja, os escalares todos
nulos. Portanto os vetores so LI.
b) Analogamente ao item (a), escrevemos a expresso 0vcvbva 321rrrr
=++ . Ento:
=++
=+
=++
=++
0c5b3a20c2a
0c8b2a)0,0,0()5,2,8(c)3,0,2(b)2,1,1(a . Resolvendo o sistema
linear homogneo vamos obter a soluo geral: == c,c3bec2a .
evidente que para c=0 segue que a=0 e b=0, mas no a nica soluo, ou seja,
existem infinitas solues onde os escalares no so todos nulos. Portanto os
vetores so LD.
Teorema (1): Os vetores n21 v,...,v,vrrr
so Linearmente Dependentes (LD) se, e
somente se um deles combinao linear dos demais.
OBS: este um teorema de condio necessria e suficiente; o termo "se, e
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somente se" significa que o teorema tem duas implicaes:
(1) "se um conjunto de vetores LD, ento um deles combinao linear dos
demais vetores", e (2) "se, em um conjunto de vetores, um deles combinao
linear dos demais, ento esses vetores so LD".
Assim, a demonstrao do teorema contm duas partes: uma para demonstrar a
condio necessria (1) e a outra para demonstrar a condio suficiente (2).
Demonstrao:
(1) Hiptese: os vetores Vv,...,v,v n 21 so LD
Tese: um deles combinao linear dos demais vetores.
Se, por hiptese, os vetores nv,...,v,v 21 so LD, ento, existem escalares
n,...,, 21 , no todos nulos, tais que: 02211 =+++ nnv...vv .
Supondo, por exemplo, que 01 , pode-se escrever:
nn v...vvv
++
+
=
13
1
32
1
21
;
chamando:
1
22
= ;
1
33
= ; ... ;
1
nn = , vem:
nnvvvv +++= L33221 ,
e, portanto, o vetor 1v combinao linear dos demais vetores.
Observe-se que, assim como se sups que 01 e se mostrou que 1v
combinao linear dos demais vetores, pode-se supor que qualquer um dos
escalares ( )nii 1 diferente de zero e concluir-se que iv combinao linear
dos demais vetores.
(2) Hiptese: um dos vetores combinao linear dos demais vetores.
Tese: os vetores Vv,...,v,v n 21 so LD
Por hiptese, um dos vetores combinao linear dos demais; pode-se supor, por
exemplo, que esse seja o vetor 1v . Isso significa que existem escalares
n,...,, 32 tais que:
nnvvvv +++= L33221 ;
pode-se escrever, equivalentemente:
( ) 01 33221 =++++ nnvvvv L .
Sendo o escalar que multiplica o vetor 1v no nulo, j que igual a -1, conclui-se
que os vetores nv,...,v,v 21 so LD.
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claro que, fazendo-se a suposio de que qualquer vetor ( )niv i 1 seja
combinao linear dos outros vetores, concluir-se-, de maneira anloga, que os
vetores nv,...,v,v 21 so LD.
Exemplo (3): Como vimos no exemplo (2) os vetores )2,1,1(v1 =r
, )3,0,2(v2 =r
e
)5,2,8(v3 =r
so LD. Logo, pelo Teorema (1), um deles combinao linear dos
demais. De fato. Suponhamos que 213 vnvmvrrr
+= . Ento:
)03,2(n)2,1,1(m)5,2,8( +=
+=
=
+=
n3m25m2
n2m8. Da segunda equao vem que 2m = .
Substituindo 2m = nas outras duas equaes vem que 3n = . Logo, existem os
escalares 2m = e 3n = tais que 213 v3v2vrrr
+= . Portanto, 3vr
combinao linear
dos vetores 1vr
e 2vr
.
Teorema (2): Considere n21 v,...,v,vrrr
, vetores LD, ento k desses vetores sero
LD, para k n.
Demonstrao:
Hiptese: os vetores Vv,...,v,v n 21 so LD
Tese: os vetores kv,...,v,v 21 so LD, para todo nk
Por hiptese, os vetores nv,...,v,v 21 so LD; ento, existem escalares
n,...,, 21 , no todos nulos, tais que:
02211 =+++ nnv...vv .
A esse conjunto de n vetores, acrescentem-se mais ( )nknk vetores, isto ,
considere-se, agora, o conjunto:
{ }knnn v,,v,v,v,...,v,v L2121 ++ .
Escrevendo-se a equao:
022112211 =+++++++ ++++ kknnnnnn vvvv...vv L ,
conclui-se, a partir dela, que os vetores knnn v,,v,v,v,...,v,v L2121 ++ so LD,
pois, mesmo que os escalares knn ,...,, 21 ++ sejam todos nulos, entre os
escalares n,...,, 21 h pelo menos um deles que no nulo, j que os vetores
nv,...,v,v 21 so LD. Logo, o conjunto de vetores { }knnn v,,v,v,v,...,v,v L2121 ++
LD.
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Observaes:
1) Por esse teorema, conclui-se que, se um conjunto de vetores LD, aumentando-
se o nmero de vetores deste conjunto, o novo conjunto ser LD.
2) Observe-se que o teorema apenas de condio necessria, ou seja, a recproca
no verdadeira. Isso significa que, se um conjunto de n vetores nv,...,v,v 21
LD, isso no implica que o conjunto de vetores mv,...,v,v 21 LD, para nm .
Assim, quando se sabe que um conjunto de vetores LD, se forem retirados desse
conjunto um ou mais vetores, no se pode afirmar que o novo conjunto LD.
Teorema (3): Considere n21 v,...,v,vrrr
vetores LI, ento k desses vetores sero LI,
para k n.
Demonstrao:
Hiptese: os vetores Vv,...,v,v n 21 so LI
Tese: os vetores kv,...,v,v 21 so LI, para todo nk
Por hiptese, os vetores nv,...,v,v 21 so LI; ento, a equao
02211 =+++ nnv...vv
verdadeira somente se 021 ==== n... .
Tomando-se um ndice nk , considere-se o conjunto
{ } { }nk v,...,v,vv,...,v,v 2121 .
Da equao:
02211 =+++ kkv...vv ,
segue-se que 021 ==== k... , pois os vetores nv,...,v,v 21 so LI e os
vetores kv,...,v,v 21 esto entre eles. Portanto, conclui-se que os vetores
kv,...,v,v 21 so LI, o que demonstra o teorema.
OBS:
1) Por esse teorema, conclui-se que, se um conjunto de vetores LI, diminuindo-se
o nmero de vetores deste conjunto, o novo conjunto tambm ser LI.
2) O teorema apenas de condio necessria, isto , a recproca no
verdadeira. Isso significa que, se um conjunto de n vetores nv,...,v,v 21 LI, isso
no implica que o conjunto de vetores mv,...,v,v 21 LI, para nm . Assim,
quando se sabe que um conjunto de vetores LI, se forem acrescentados a esse
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conjunto um ou mais vetores, no se pode afirmar que o novo conjunto LI.
Conseqncias:
(a) As afirmaes abaixo so vlidas para vetores no 2.
1) O vetor nulo { }0r LD. 2) O { }vr , com 0v
rr , LI.
3) Dois vetores { }21 v,vrr
, com 0ve0v 21rrrr
, so LD se os vetores forem paralelos
(so mltiplos escalares). Caso contrrio so LI (no paralelos, no so
mltiplos).
4) Trs ou mais vetores { },...v,v,v 321rrr
so sempre LD.
(b) As afirmaes abaixo so vlidas para vetores no 3.
1) O vetor nulo { }0r LD. 2) O { }vr , com 0v
rr , LI.
3) Dois vetores { }21 v,vrr
, com 0ve0v 21rrrr
, so LD se os vetores forem paralelos
(so mltipos escalares). Caso contrrio so LI (no paralelos, no so
mltiplos).
4) Trs vetores { }321 v,v,vrrr
so sempre LD se forem coplanares. Caso contrrio
so LI (no coplanares).
5) Quatro ou mais vetores { },...v,v,v,v 4321vrrr
so sempre LD.
3 Base
Definio: Seja { }n21 v,...,v,vBrrr
= um conjunto de vetores de um espao qualquer
(2 ou 3). Dizemos que B uma base desse espao se:
a) B um conjunto LI.
b) B gera o espao.
OBS: Dizer que um conjunto { }n21 v,...,v,vBrrr
= gera o espao significa que qualquer
vetor ur, desse espao, se escreve como combinao linear dos vetores de B, ou
seja, existem escalares n21 a,...,a,a tais que nn2211 va...vavaurrrr
+++= .
Exemplo (4): Mostre que os conjuntos abaixo so bases dos respectivos espaos.
a) B = {(1,2), (-3,4)} base do 2.
b) B = {(1,1,1), (1,1,0), (1,0,0)} base do 3.
Soluo:
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a) Sejam )4,3(ve)2,1(v 21 ==rr
. Vamos mostrar que B um conjunto LI. Como
no existe uma proporcionalidade entre as coordenadas dos vetores eles no so
mltiplos, logo no so paralelos. Portanto so LI. Seja )y,x(u =r
um vetor qualquer
do 2. Vamos mostrar que ur se escreve como combinao linear dos vetores de B.
Ento
+=
=+==
b4a2yb3ax
)4,3(b)2,1(a)y,x(ur
. Resolvendo o sistema temos:
+=
+=
yex,
10yx2
b
10y3x4
a. Isso mostra que o sistema possvel e determinado. Logo
existem os escalares bea tais que )4,3(b)2,1(a)y,x(u +==r
, ou seja, o vetor
)y,x(u =r
se escreve como combinao linear dos vetores 21 vevrr
, mostrando que
B gera o 2. Portanto, B base do 2.
b) Utilizando a condio de coplanaridade entre trs vetores temos:
01001011111
= , ou seja, os vetores no so coplanares. Portanto, so LI.
Mostrando que B gera o 3. Seja )z,y,x(v =r
um vetor qualquer do 3. Ento:
=
+=
++=
++=
azbay
cbax)0,0,1(c)0,1,1(b)1,1,1(a)z,y,x( . Resolvendo temos a soluo
=
=
=
zey,x,yxczyb
za. Logo, existem escalares ceb,a tais que
)0,0,1(c)0,1,1(b)1,1,1(a)z,y,x( ++= , ou seja, o vetor )z,y,x(v =r
se escreve como
combinao linear dos vetores de B, mostrando que B gera o 3. Portanto, B base
do 3.
Conseqncias
1) O 2 e o 3 possuem infinitas bases.
2) Qualquer base do 2 tem a mesma quantidade de vetores.
3) Qualquer base do 3 tem a mesma quantidade de vetores.
4) Das infinitas bases do 2, uma considerada a mais simples, chamada de Base
Cannica do 2. Ela constituda pelos vetores { }j,i rr , onde )0,1(i =r e )0,1(j =r . 5) Das infinitas bases do 3, uma tambm considerada a mais simples, chamada
de Base Cannica do 3. Ela constituda pelos vetores { }k,j,i rrr , onde )1,0,0(ke)0,1,0(j),0,0,1(i ===
rrr
.
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2) No 2, qualquer conjunto com dois vetores LI constitui uma base.
3) No 3, qualquer conjunto com trs vetores LI constitui uma base.
Exerccios Propostos
1) Verificar a dependncia linear dos vetores:
a)
=
=
23
,43
,81
ve6,3,21
urr
b) )2,1,3(ce)0,6,4(b),2,2,1(a ===rrr
c) )2,1,0(ce)1,3,2(b),1,2,1(a ===rrr
Resp: a) LD b) LD c)LI
2) Escrever o vetor )3,5,3(w =r
como combinao linear dos vetores
)1,3,2(b),1,2,1(a ==rr
e )2,1,0(c =r
Resp: c3b2awrrrr
++=
3) Verificar quais dos conjuntos abaixo uma base do 3.
a) )2,2,3(ce)1,3,2(b),2,0,1(a ===rrr
b) )2,6,1(we)1,3,2(v),0,0,1(u ===rrr
Resp: a) base b) no base
4) Determine m para que os vetores )4,3,1(we)0,m,3(v),2,m,2(u ===rrr
formem
uma base do 3. Resp: m -3
5) Determine os valores de m para que os vetores )8,m,2(u =r
, )3,1,4m(v +=r
e
)31,m4,7(w =r
sejam LD. Resp: m=-3 ou m=2
6) Prove: " }vu,vu{rrrr
+ so LI }v,u{rr
so LI".
7) Dados dois vetores }v,u{rr
LI, mostre que: "se wr
combinao linear de }v,u{rr
,
ento essa combinao linear nica".
COMENTRIOS IMPORTANTES
1) Cuidado com as definies de combinao linear e de vetores LI e LD. Elas so
muito parecidas e pode causar confuso.
2) Na prtica, discutir se um conjunto de vetores LI ou LD, quando usamos a
definio, sempre vamos resolver um sistema linear homogneo. Como os sistemas
homogneos so sempre possveis, esta discusso se resume em: se o sistema for
SPD (admite somente a soluo trivial, todos os escalares so nulos), ento os
vetores so LI; se o sistema for SPI (alm da soluo trivial admite outras
infinitas), ento os vetores so LD.
2) Como o prprio nome diz: vetores linearmente dependentes (LD) significa que
existe uma dependncia entre eles, ou seja, eles se relacionam de alguma forma.
Esta dependncia uma combinao linear que, geometricamente, significa que ou
dois vetores so paralelos ou trs vetores so coplanares. Caso os vetores sejam
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linearmente independentes (LI), isso quer dizer que no existe relao nenhuma
entre eles, ou seja, no so paralelos, no so coplanares.