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ACADÊMICO: FÁBIO GEAN CARDOSO RÊGOMATRÍCULA: 201221450026
LISTA DE CÁLCULO III – PROFESSOR JOÃO FERREIRA
1. Seja W o sólido limitado pelo cilindro z=x ²+ y ² e pelos planos x=0,x=3,y=0 e y=1.
a. Parametrizar a função z (x , y ) .
Solução: 1° Podemos parametrizar em coordenadas cartesianas a função z (x , y ) .Serão usados ue v como parâmetros:
r (u ,v )={ x=uy=v
z=z ( x , y )→r (u , v )={ x=u
y=vz=u ²+v ²
, para (u , v )∈D
2º Usando as coordenadas cilíndricas, neste caso serão usados re θ como parâmetros. Podemos parametrizar da seguinte forma:
r (r , θ )={x=rcos(θ)y=rsen(θ)z=r2
, para θ∈ [0,2 π ]
b. Escrever a função vetorial parametrizada de cada superfície que forma o solido (superfície lateral, si e ss).
Como o paraboloide varia de raio: 0≤ r≤√ z:
A função vetorial do sólido lateralmente é:
l (u ,v )={x e1+ ye2+(u2+v2)e3 }
Temos que a função vetorial da superfície inferior, é:
i (u , v )=(x e1+ ye2+0e3)
A da superfície superior é:
s (u ,v )=¿
c. Com o auxilio de um software plotar o sólido formado pelo cilindro e os dois planos.
d. Calcular a área de cada superfície.
Solução: para calcular área da superfície definida por z=x ²+ y ². A parametrização e dada:
r⃗ (u , v )={ x=uy=v
z=u ²+v ² , para (u , v )∈D
Temos∂ r⃗∂u
=(1,0 ,2u ) e ∂r⃗∂ v
=(0,1 ,2v )
Como o vector normal é dado por:
N⃗=∂ r⃗∂u X
∂ r⃗∂v=det [
e⃗1 e⃗2 e⃗3∂ r1∂u
∂r2∂u
∂r3∂u
∂r1∂v
∂ r2∂ v
∂r3∂v
]=det [ e⃗1 e⃗2 e⃗31 0 2u0 1 2v ]
¿ e⃗3−(2v e⃗2+2u e⃗1 )= e⃗3−2v e⃗2−2u e⃗1=(−2u ,−2v ,1)
A área da superfície e:
A=∫S
dS=∬S
‖N⃗‖dudv=∬S
‖(−2u ,−2v ,1)‖dudv
¿∬S
√(−2u )2+(−2v)2+1 ²dudv=∫0
1
√4 u2+4 v2+1 dudv .usando coordenadas polares
temos: (x=rcos (θ )e y=rsen (θ ) com1≤r ≤0e2π ≤θ≤0).substituindo essas coordenadas.
A=∬S
√4u2+4 v2+1dudv
¿∫0
2π [∫01
√4u2+4 v2+1 rdr ]=∫0
2 π [∫01
√4 (rcosθ )2+4 (rsenθ )2+1 rdr ]dθ¿∫0
2π [∫01
√4 r2 (cos2θ+se n2θ )+1rdr ]dθ¿∫0
2π [∫01
√4 r2+1rdr ]dθ=∫02π 18∙ 23¿¿
¿ 112∫0
2π
4 (12−02 )+1¿¿32 dθ= 1
12(5√5³−1 )∫
0
2π
dθ
¿ 112
(5√5−1 ) [θ ]02π=
(5√5−1 ) ∙2π12
=π6
(5√5−1 ) .
e. Calcular a área total do sólido.f. Determinar o volume do sólido.
V=∬R
(x2+ y2 )dxdy=¿∫0
1 [∫03
(x2+ y2)dx ]dy=∫01
[ x33 +x y2]0
3
dy=¿¿
V=∫0
1 [( 333 +3 y2)−( 033 +0 y2)]dy=¿¿
V=∫0
1
( 273 +3 y ²)dy=∫0
1
(9+3 y ² )dy=¿
V=[9 y+3 y33 ]0
1
=9.1+3 .(1)3
3 =9+1=10
g. Determinar o centroide.
Dai, o calculo da massa será dado pela integral.
m=∫0
1
∫0
r ²
∫0
2π
rdθ dzdr
Integrando na variável z temos;
m=∫0
1
∫0
r2
r θ|02 πdzdr
Substituindo o limite de integração temos;
m=∫0
1
∫0
r ²
r ∙ [2 π−0 ]dzd r
Fazendo as contas temos;
m=2 π∫0
1
∫0
r ²
rdzd r
Integrando na variável r temos;
m=2 π∫0
1
r ∙ z|0r ²dr
m=2 π∫0
1
r ∙ [ r ²−0 ]dr=2π∫0
1
r ³dr=2π [ r44 ]0
1
=2π [ 14−04 ]=2 π4 =
π2
Logo a massa é: π2
Momento em relação ao plano yz (M yz)
M yz=∬w
δ (x , y , z) ∙ xdv , sendo δ ( x , y , z )=k
M yz=∬ x ∙kdv ;dv=r dr dθ x=rcosθ0≤θ≤2 π, 0≤ r≤1 ,0≤ z ≤r ²
Obs.: como a densidade δ (x , y , z) e constante ela pode ser cancelada.
M yz=∫0
1
∫0
2π
∫0
r ²
x ∙ rdzdθdr=¿∫0
1
∫0
2π
∫0
r ²
rcosθ∙ rdzdθdr ¿
Integrando na variável z temos;
M yz=∫0
1
∫0
2π
r ² cos θ ∙ z|0r ²dθdr
Substituindo o limite de integração temos;
M yz=∫0
1
∫0
2π
r ² cosθ ∙ (r ²−0 ) dθd r
Fazendo as contas temos;
M yz=∫0
1
∫0
2π
r ² ∙r ² cosθdθd r=∫0
1
∫0
2 π
r 4 cosθdθdr
Integrando na variável θ temos;
M yz=∫0
1
r4 cos θ|02πdr=∫
0
1
r4 sen θ|02π
Substituindo o limite de integração temos;
M yz=∫0
1
r4 senθ|02π dr=∫
0
1
r4 ∙ [sen (2 π )−sen(0)]dr
M yz=∫0
1
r4 ∙ [0 ]dr
Integrando na variável rtemos
M yz=∫0
1
r4 ∙ [0 ]dr=[0 ] ∙ 15∙ [r5 ]0
1=0
Logo temosqueM yz=0
Momento em relação ao plano xz (M xz )
M xz=∭w
δ (x , y , z) ∙ ydv ;δ ( x , y , z )=k .(constante)
M xz=∬k ∙ y dv ;dv=r dr dθ y=rsenθ0≤θ≤2π , 0≤r≤1 ,0≤ z ≤r ²
Obs.: como a densidade δ (x , y , z) e constante ela pode ser cancelada.
Dai, o calculo do momento de massa será dado pela integral.
M xz=∫0
1
∫0
2π
∫0
r ²
y ∙rdzdθdr=∫0
1
∫0
2 π
∫0
r ²
rsenθ ∙rdzdθd r
Integrando na variável z temos;
M xz=∫0
1
∫0
2π
rsen∙ r ∙ z|0r ²dθdr
Substituindo o limite de integração temos;
M xz=∫0
1
∫0
2π
r ∙ rsen(θ) ∙ (r ²−0 )dθd r
Fazendo as contas temos;
M xz=∫0
1
∫0
2π
¿¿¿
Integrando na variável θ temos;
M xz=∫0
1
r 4 ∙ (−cosθ )|02πdr=¿
Substituindo o limite de integração temos;
∫0
1
r 4 ∙ (−cos (2π )+cos (0))dr
M xz=∫0
1
r 4∙ (−1+1 )dr=∫0
1
r 4 ∙ (0 )dr
Integrando na variável r temos;
M xz=∫0
1
r 4 ∙ (0 )dr=[ 15 ] ∙ [0 ] ∙ r5|01=0
Logo temosqueM xz=0
Momento em relação ao plano xy (M xy )
M xy=∭w
δ ( x , y , z )∙ ydv ;δ ( x , y , z )=k .(constante )
M xy=∬k ∙ z dv ;dv=r dr dzdθ0≤θ≤2π , 0≤r≤1 ,0≤ z ≤r ²
Obs.: como a densidade δ (x , y , z) e constante ela pode ser cancelada.
Dai, o calculo do momento de massa será dado pela integral.
M xy=∫0
1
∫0
r ²
∫0
2π
z ∙ rdθdzdr
Integrando na variável θ temos;
M xy=∫0
1
∫0
r ²
z ∙ r ∙ θ|02 πdzdr
Substituindo o limite de integração temos;
M xy=∫0
1
∫0
r ²
z ∙ r ∙ (2π−0 )dzd r
Fazendo as contas temos;
M xy=2π∫0
1
∫0
r ²
z ∙ r dzdr
Integrando na variável z temos;
M xy=2π∫0
1
r ∙ 12
[ z ² ]|0r ²dr=¿
Substituindo o limite de integração temos;
2π∫0
1 12∙ r ∙ [ (r ² )2−0² ]dr
M xy=2π∫0
1 12∙r ∙ r4dr=2π ∙ 1
2∫01
r 4 ∙ rdr=π∫0
1
r5dr
Integrando na variável r temos;
M xy=π∫0
1
r5 ∙ dr=π ∙[16 ] ∙ r6|01= π6 ∙ [16−06 ]=π6
Logo temosqueM xy=π6
Momento em relação ao plano xy (M xy )
Obs.: como a densidade δ (x , y , z) e constante ela pode ser cancelada.
O centro de massa:x=M yz
m= 0π2
=0 ∙ 2π=0
y=M xz
M= 0π2
=0∙ 2π=0
z=M xy
M=
π6π2
=π6∙ 2π=2 π6 π
=13
Então o centro de massa e: C= (0 ,0,13 )
h. Calcule o fluxo sobre as superfícies, utilizando o teorema de Stokes.
Vamos calcular o fluxo do campo de vetoresF ( x , y , z )=( x , y , z ) sobre a nossa superfície. Usando a parametrização da equação z=x ²+ y ² .
r ( x , y )=(x , y , x2+ y2)
Temos que o vetor normal de N ( x , y )= ∂ r⃗∂ xX ∂ r⃗∂ y
=[ e⃗1 e⃗2 e⃗31 0 2 x0 1 2 y ]=(−2x ,−2 y ,1)
Logo o fluxo de F através de S, é:
∫S
F .ndS=∫∫D
F ( r (x , y ) ) .N ( x , y )dxdy=¿
∫∫D
(x , y , x2+ y2 ) . (−2 x ,−2 y ,1 )dxdy=¿
∫∫D
(−2x2−2 y2+ x2+ y2 )dxdy=¿¿
∫∫D
(−x2− y2) dxdy=¿−∫∫D
(x2+ y2 )dxdy=¿¿¿
−∫0
2π
(r2 )dxdy=¿−2 π r2¿
Logo:
∫S
F .ndS=−2π r2
i. Determine o fluxo do campo vetorial sobre o sólido, utilizando o teorema de Divergência.
Seja W o sólido limitado pelo cilindro z=x ²+ y ² e pelos planos x=0,x=3,y=0, y=1, e o campo vetorial F⃗ (x , y , z )=x i⃗+ y j⃗+z k⃗ .
Vamos utilizar o teorema da divergência para determinar o fluxo de F⃗ através da normal exterior da superfície S que delimita W .
Neste caso ¿ F⃗ (x , y , z )=1+1+1=3. Assim:
∬S
F⃗ . n⃗ dS=¿∫∫∫W
¿ F⃗ dxdydz ¿
∬S
F⃗ . n⃗ dS=¿∫∫∫W
3dxdydz=3.vol (W )=3.10=30¿
Poderíamos ter calculado desta forma:
∫∫∫W
¿ F⃗ dxdydz=∫0
1
∫0
3
∫0
x ²+ y ²
3dzdxdy=¿∫0
1
∫0
3
3.(¿¿¿¿x ²+ y ²)dxdy=¿¿¿¿¿¿
∫0
1
∫0
3
3 x2+3 y2dxdy=¿∫0
1
[3 x33 +3 xy2]0
3
dy=∫0
1 3 (3 )3
3 +3.3 y2dy=¿¿¿
∫0
1
27+9 y2dy=[27 y+ 9 y33 ]0
1
=27.1+9(1)3
3 =27+3=30
2. Calcule ∬s
rot ¿¿, onde S= {( x , y , z ) ϵ R3; x=−1+ y2+z2 , x ≤0} e o campo
vetorial F ( x , y , z )=(xz , zex ,− y ) .
Vamos calcular o ∬s
rot ¿¿ desta maneira:
∬s
rot ¿¿
Temos também que:
∫S
F⃗ ∙ d⃗r=∫S
F⃗(r ( t ))∙ r ,(t)¿dt
Logo: r ( t )=(0 ,cos (θ ) , sen (θ )), r , (t )=(0 ,−sen (θ ) ,cos (θ ))
Temos também, F⃗ ¿, com 0≤θ≤2π
∫SF⃗ ∙ d⃗r=∫
SF⃗(r ( t ))∙ r ,(t)¿dt=∫
0
2π
(0 , sen (θ ) ,−cos (θ ) ) ∙(0 ,−sen (θ ) ,¿cos (θ))dθ ¿
∫0
2π
¿¿
¿−[θ ]02π=−[2π−0 ]=−2 π
3. Seja V o sólido limitado pelo plano x+ y+z=1 e os planos coordenados e ∂V=S orientada pelo normal exterior determine o fluxo do campo,F ( x , y , z )=( x+ y+z−1 , yx , x+ y+ z ), através de S na direção de n.
Temos que o fluxo pode ser calculado pela integral:
∬s
F ∙n∙ds=∭w
¿
Utilizando o teorema de Gauss (divergente).
∭w
¿=∭w
( ∂(x+ y+z−1)x )+( ∂( yx)y )+¿
∭w
¿=∭w
(1¿+x+1)=∭w
(2¿+x )¿¿
Logo:
∬s
F ∙n∙ds=¿∭w
(2+ x)dzdydz=¿¿
∫0
1
∫0
1− z
(2 z+x ∙ z )01− x− y dydx=∫
0
1
∫0
1− x
2 [1−x− y−0 ]+x [1−x− y−0 ]dydx
∫0
1
∫0
1− x
(2−2x−2 y+x−x2− y ∙ x¿)dydx¿
∫0
1
∫0
1− x
(2− x−2 y−x2− yx)dydx=∫0
1
(2 y−xy−2 12 y2
−x2 y−12y ² x )
0
1−x
dx
∫0
1
2 [1−x ]−x [1− x ]− [1−x ]2−x2 [1−x ]−12x [1−x ] ² dx=∫
0
1
¿¿
¿∫0
1
(2−3 x+ x2−x2+2 x−1−x2+x3−12 x3+x2−12 x)dx
¿∫0
1
(2−1−3 x+2x−12 x+2 x2−2x2+x3− 12 x ³)dx
¿∫0
1
(1−32 x+ 12 x ³)dx=[x−34 x2+ 18 x4]01
=[1−0 ]−34
[12−02 ]+ 18
[14−04 ]
¿ [1−34 + 18 ]=8−6+18
=38
4. Teorema de Gauss.∬s
F ∙ n⃗∙ dS=∬s
¿ ( f )dV
a. Calcule ∬s
F ∙ n⃗∙ dS, onde F ( x , y , z )=(4 x ,−2 y ² , z ² ) e S é a superfície limitada
por x ²+ y ²=4, tal que 0≤ z≤3.
Temos o solido W={( x , y , z )ϵ R3/ x ²+ y ²≤4 ,0≤ z ≤3 } e limitado por um cilindro. Temos a segintes integrais;
∬s
F ∙n∙ds=∭w
¿ ( f )dV
Utilizamos o teorema de Gauss (divergente):
∭w
¿ ( f )dV=∭w
( ∂(4 x )x )+( ∂(−2 y ²)y )+( ∂(z2)z )∭w
¿ ( f )dV=(4−4 y+2 z)
Logo:
∬s
F ∙n∙ds=¿∭w
(4−4 y+2 z )dzdydz=¿¿
Transformando em coordenadas cilíndricas, obtemos ¿(F )(r ,θ , z )=¿.
Temos:
0≤r≤2,0≤ z≤3e0≤θ≤2π . Então temos:
∬s
F ∙n∙ds=¿∭w
(4−4 y+2 z )dzdydz=¿¿
∫0
2π
∫0
3
∫0
2
(4−4 rsen(θ)+2 z)rdrdzdθ=¿¿
∫0
2π
∫0
3
∫0
2
r (4−4 rsen (θ )+2 z )drdzdθ=∫0
2 π
∫0
3 12r ² [4−4 ∙ rsen (θ )+2 ∙ z ]
0
2
dzdθ
¿∫0
2π
∫0
3
[ 12 [2²−0² ] [ 4−4 (2−0 ) ] sen (θ )+2 z ]dzdθ
∫0
2π
∫0
3
[ 12 ∙4 [4−8∙ sen (θ ) ]+2 z]dzdo=∫0
2 π
2 [4 z−8 z ∙ sen(θ)+2 ∙ 12 z ²]03
dθ
2∫0
2π
[4 (3−0 )−8 [3−0 ]sen (θ )+ [3²−0² ] ]dθ
2∫0
2π
[12−24 ∙ sen (θ )+9 ] dθ=24∫0
2π
dθ−48∫0
2π
sen (θ )dθ+¿18∫0
2π
dθ ¿
[24 [θ ]02π−48 [−cos (θ ) ]0
2π+16 [θ ]0
2π ]¿24 [2π−0 ]−48 [−cos (2π )+cos (0 )+18 [2π−0 ] ]
¿48 π−48 [−1+1 ]+36 π=48 π+36π=84 π
b. Calcule ∬s
F ∙ n⃗∙ dS, onde F ( x , y , z )=( yz ² , xz ² , x ²+ y ² ) e S é a superfície limitada
por z=x ²+ y ², tal que 0≤ z≤1.
Temos que:
∬s
F ∙n∙ds=∭w
¿
Não podemos utilizar diretamente o teorema de Gauss, porque S não limita o solido. Para aplicar o teorema de Gauss e preciso tampa o paraboloide, para isso teremos um disco de raio 1.
Logo W o solido com normal (0 ,0,1) tal que ∂W=S S1, então pelo teorema de Gauss temos;
∭w
¿ (F )dxdydz=∬s
F ∙dS+∬S1
F ∙d S1
¿∭S
( ∂( y z2)x )+(∂(xz ²)y )+( ∂ (x2+ y2)z )∭w
¿=∭w
(0+0¿+0)=0¿
Note que o ¿ (F )=0, logo,∬s
F ∙dS=−∬S1
F ∙d S1, ou seja,
∬S1
F ∙d S1=−∫0
2π
∫0
1
(x2+ y2 )dxdy
Temos que: dxdy=rdrdθ, logo;
−∫0
2π
∫0
1
(x2+ y2 )rdrdθ
Como x ²+ y ²=r ²,podemos substiruir na integral.
−∫0
2π
∫0
1
(r2 ) rdrdθ=−∫0
2π
∫0
1
(r3 )drdθ=−∫0
2π
[ 14 r4]01
dθ
¿−14∫02π
[14−04 ] dθ=−14 ∫
0
2 π
dθ=−14
[2π−0 ]=−π2
Então:
∬S
F ∙dS=π2
5. Considere o cilindro C={( x , y , z )∈ R3 ;x2+ y2=2 ,0<z<2 }. Utilizando o teorema de Stokes. Calcule o fluxo do campo de vetoresF ( x , y , z )=( x , y ,−2 z ) através de C no sentido da normal exterior.
Pela definição, uma parametrização de C é, por exemplo, g :¿0,2π ¿X¿0,2¿ dada por:
g (θ , z )=(√2cosθ ,√2 senθ , z ),
Uma vez que em coordenadas cilíndricas a equação C que define se escreve r2=2
E também que:∂g∂θ
=(−√2 senθ ,√2cosθ ,0)e ∂g∂ z=(0,0,1)
Temos:
∂g∂θ x ∂g∂ z = [ e1 e2 e3
−√2 senθ √2cosθ 00 0 1 ]= (√2cosθ ,√2 senθ ,0¿
Aponta para fora de C, concluímos que g induz a orientação correspondente à normal exterior unitária, e que, portanto o fluxo de F para fora de C pode ser calculado a partir de:
∫CF .nd V 2=∫
0
2
∫0
2π
(√2cosθ ,√2 senθ ,0 ) .(√2cosθ ,√2 senθ ,−2 z )dθdz
¿∫0
2
∫0
2π
(2cos2θ+2 sen2)dθdz=2∫0
2
∫0
2π
(cos2θ+sen2)dθdz=2∫0
2
∫0
2π
dθdz
¿2∫0
2
[θ ]02 πdz=2∫
0
2
2π dz=2.2π [ z ]02=2.2π .2=8π