exercicio - calculo 3

ACADÊMICO: FÁBIO GEAN CARDOSO RÊGOMATRÍCULA: 201221450026

LISTA DE CÁLCULO III – PROFESSOR JOÃO FERREIRA

1. Seja W o sólido limitado pelo cilindro z=x ²+ y ² e pelos planos x=0,x=3,y=0 e y=1.

a. Parametrizar a função z (x , y ) .

Solução: 1° Podemos parametrizar em coordenadas cartesianas a função z (x , y ) .Serão usados ue v como parâmetros:

r (u ,v )={ x=uy=v

z=z ( x , y )→r (u , v )={ x=u

y=vz=u ²+v ²

, para (u , v )∈D

2º Usando as coordenadas cilíndricas, neste caso serão usados re θ como parâmetros. Podemos parametrizar da seguinte forma:

r (r , θ )={x=rcos(θ)y=rsen(θ)z=r2

, para θ∈ [0,2 π ]

b. Escrever a função vetorial parametrizada de cada superfície que forma o solido (superfície lateral, si e ss).

Como o paraboloide varia de raio: 0≤ r≤√ z:

A função vetorial do sólido lateralmente é:

l (u ,v )={x e1+ ye2+(u2+v2)e3 }

Temos que a função vetorial da superfície inferior, é:

i (u , v )=(x e1+ ye2+0e3)

A da superfície superior é:

s (u ,v )=¿

c. Com o auxilio de um software plotar o sólido formado pelo cilindro e os dois planos.

d. Calcular a área de cada superfície.

Solução: para calcular área da superfície definida por z=x ²+ y ². A parametrização e dada:

r⃗ (u , v )={ x=uy=v

z=u ²+v ² , para (u , v )∈D

Temos∂ r⃗∂u

=(1,0 ,2u ) e ∂r⃗∂ v

=(0,1 ,2v )

Como o vector normal é dado por:

N⃗=∂ r⃗∂u X

∂ r⃗∂v=det [

e⃗1 e⃗2 e⃗3∂ r1∂u

∂r2∂u

∂r3∂u

∂r1∂v

∂ r2∂ v

∂r3∂v

]=det [ e⃗1 e⃗2 e⃗31 0 2u0 1 2v ]

¿ e⃗3−(2v e⃗2+2u e⃗1 )= e⃗3−2v e⃗2−2u e⃗1=(−2u ,−2v ,1)

A área da superfície e:

A=∫S

dS=∬S

‖N⃗‖dudv=∬S

‖(−2u ,−2v ,1)‖dudv

¿∬S

√(−2u )2+(−2v)2+1 ²dudv=∫0

1

√4 u2+4 v2+1 dudv .usando coordenadas polares

temos: (x=rcos (θ )e y=rsen (θ ) com1≤r ≤0e2π ≤θ≤0).substituindo essas coordenadas.

A=∬S

√4u2+4 v2+1dudv

¿∫0

2π [∫01

√4u2+4 v2+1 rdr ]=∫0

2 π [∫01

√4 (rcosθ )2+4 (rsenθ )2+1 rdr ]dθ¿∫0

2π [∫01

√4 r2 (cos2θ+se n2θ )+1rdr ]dθ¿∫0

2π [∫01

√4 r2+1rdr ]dθ=∫02π 18∙ 23¿¿

¿ 112∫0

2π

4 (12−02 )+1¿¿32 dθ= 1

12(5√5³−1 )∫

0

2π

dθ

¿ 112

(5√5−1 ) [θ ]02π=

(5√5−1 ) ∙2π12

=π6

(5√5−1 ) .

e. Calcular a área total do sólido.f. Determinar o volume do sólido.

V=∬R

(x2+ y2 )dxdy=¿∫0

1 [∫03

(x2+ y2)dx ]dy=∫01

[ x33 +x y2]0

3

dy=¿¿

V=∫0

1 [( 333 +3 y2)−( 033 +0 y2)]dy=¿¿

V=∫0

1

( 273 +3 y ²)dy=∫0

1

(9+3 y ² )dy=¿

V=[9 y+3 y33 ]0

1

=9.1+3 .(1)3

3 =9+1=10

g. Determinar o centroide.

Dai, o calculo da massa será dado pela integral.

m=∫0

1

∫0

r ²

∫0

2π

rdθ dzdr

Integrando na variável z temos;

m=∫0

1

∫0

r2

r θ|02 πdzdr

Substituindo o limite de integração temos;

m=∫0

1

∫0

r ²

r ∙ [2 π−0 ]dzd r

Fazendo as contas temos;

m=2 π∫0

1

∫0

r ²

rdzd r

Integrando na variável r temos;

m=2 π∫0

1

r ∙ z|0r ²dr

m=2 π∫0

1

r ∙ [ r ²−0 ]dr=2π∫0

1

r ³dr=2π [ r44 ]0

1

=2π [ 14−04 ]=2 π4 =

π2

Logo a massa é: π2

Momento em relação ao plano yz (M yz)

M yz=∬w

δ (x , y , z) ∙ xdv , sendo δ ( x , y , z )=k

M yz=∬ x ∙kdv ;dv=r dr dθ x=rcosθ0≤θ≤2 π, 0≤ r≤1 ,0≤ z ≤r ²

Obs.: como a densidade δ (x , y , z) e constante ela pode ser cancelada.

M yz=∫0

1

∫0

2π

∫0

r ²

x ∙ rdzdθdr=¿∫0

1

∫0

2π

∫0

r ²

rcosθ∙ rdzdθdr ¿


M yz=∫0

1

∫0

2π

r ² cos θ ∙ z|0r ²dθdr


M yz=∫0

1

∫0

2π

r ² cosθ ∙ (r ²−0 ) dθd r


M yz=∫0

1

∫0

2π

r ² ∙r ² cosθdθd r=∫0

1

∫0

2 π

r 4 cosθdθdr

Integrando na variável θ temos;

M yz=∫0

1

r4 cos θ|02πdr=∫

0

1

r4 sen θ|02π


M yz=∫0

1

r4 senθ|02π dr=∫

0

1

r4 ∙ [sen (2 π )−sen(0)]dr

M yz=∫0

1

r4 ∙ [0 ]dr

Integrando na variável rtemos

M yz=∫0

1

r4 ∙ [0 ]dr=[0 ] ∙ 15∙ [r5 ]0

1=0

Logo temosqueM yz=0

Momento em relação ao plano xz (M xz )

M xz=∭w

δ (x , y , z) ∙ ydv ;δ ( x , y , z )=k .(constante)

M xz=∬k ∙ y dv ;dv=r dr dθ y=rsenθ0≤θ≤2π , 0≤r≤1 ,0≤ z ≤r ²


Dai, o calculo do momento de massa será dado pela integral.

M xz=∫0

1

∫0

2π

∫0

r ²

y ∙rdzdθdr=∫0

1

∫0

2 π

∫0

r ²

rsenθ ∙rdzdθd r


M xz=∫0

1

∫0

2π

rsen∙ r ∙ z|0r ²dθdr


M xz=∫0

1

∫0

2π

r ∙ rsen(θ) ∙ (r ²−0 )dθd r


M xz=∫0

1

∫0

2π

¿¿¿


M xz=∫0

1

r 4 ∙ (−cosθ )|02πdr=¿


∫0

1

r 4 ∙ (−cos (2π )+cos (0))dr

M xz=∫0

1

r 4∙ (−1+1 )dr=∫0

1

r 4 ∙ (0 )dr


M xz=∫0

1

r 4 ∙ (0 )dr=[ 15 ] ∙ [0 ] ∙ r5|01=0

Logo temosqueM xz=0

Momento em relação ao plano xy (M xy )

M xy=∭w

δ ( x , y , z )∙ ydv ;δ ( x , y , z )=k .(constante )

M xy=∬k ∙ z dv ;dv=r dr dzdθ0≤θ≤2π , 0≤r≤1 ,0≤ z ≤r ²


Dai, o calculo do momento de massa será dado pela integral.

M xy=∫0

1

∫0

r ²

∫0

2π

z ∙ rdθdzdr


M xy=∫0

1

∫0

r ²

z ∙ r ∙ θ|02 πdzdr


M xy=∫0

1

∫0

r ²

z ∙ r ∙ (2π−0 )dzd r


M xy=2π∫0

1

∫0

r ²

z ∙ r dzdr


M xy=2π∫0

1

r ∙ 12

[ z ² ]|0r ²dr=¿


2π∫0

1 12∙ r ∙ [ (r ² )2−0² ]dr

M xy=2π∫0

1 12∙r ∙ r4dr=2π ∙ 1

2∫01

r 4 ∙ rdr=π∫0

1

r5dr


M xy=π∫0

1

r5 ∙ dr=π ∙[16 ] ∙ r6|01= π6 ∙ [16−06 ]=π6

Logo temosqueM xy=π6

Momento em relação ao plano xy (M xy )


O centro de massa:x=M yz

m= 0π2

=0 ∙ 2π=0

y=M xz

M= 0π2

=0∙ 2π=0

z=M xy

M=

π6π2

=π6∙ 2π=2 π6 π

=13

Então o centro de massa e: C= (0 ,0,13 )

h. Calcule o fluxo sobre as superfícies, utilizando o teorema de Stokes.

Vamos calcular o fluxo do campo de vetoresF ( x , y , z )=( x , y , z ) sobre a nossa superfície. Usando a parametrização da equação z=x ²+ y ² .

r ( x , y )=(x , y , x2+ y2)

Temos que o vetor normal de N ( x , y )= ∂ r⃗∂ xX ∂ r⃗∂ y

=[ e⃗1 e⃗2 e⃗31 0 2 x0 1 2 y ]=(−2x ,−2 y ,1)

Logo o fluxo de F através de S, é:

∫S

F .ndS=∫∫D

F ( r (x , y ) ) .N ( x , y )dxdy=¿

∫∫D

(x , y , x2+ y2 ) . (−2 x ,−2 y ,1 )dxdy=¿

∫∫D

(−2x2−2 y2+ x2+ y2 )dxdy=¿¿

∫∫D

(−x2− y2) dxdy=¿−∫∫D

(x2+ y2 )dxdy=¿¿¿

−∫0

2π

(r2 )dxdy=¿−2 π r2¿

Logo:

∫S

F .ndS=−2π r2

i. Determine o fluxo do campo vetorial sobre o sólido, utilizando o teorema de Divergência.

Seja W o sólido limitado pelo cilindro z=x ²+ y ² e pelos planos x=0,x=3,y=0, y=1, e o campo vetorial F⃗ (x , y , z )=x i⃗+ y j⃗+z k⃗ .

Vamos utilizar o teorema da divergência para determinar o fluxo de F⃗ através da normal exterior da superfície S que delimita W .

Neste caso ¿ F⃗ (x , y , z )=1+1+1=3. Assim:

∬S

F⃗ . n⃗ dS=¿∫∫∫W

¿ F⃗ dxdydz ¿

∬S

F⃗ . n⃗ dS=¿∫∫∫W

3dxdydz=3.vol (W )=3.10=30¿

Poderíamos ter calculado desta forma:

∫∫∫W

¿ F⃗ dxdydz=∫0

1

∫0

3

∫0

x ²+ y ²

3dzdxdy=¿∫0

1

∫0

3

3.(¿¿¿¿x ²+ y ²)dxdy=¿¿¿¿¿¿

∫0

1

∫0

3

3 x2+3 y2dxdy=¿∫0

1

[3 x33 +3 xy2]0

3

dy=∫0

1 3 (3 )3

3 +3.3 y2dy=¿¿¿

∫0

1

27+9 y2dy=[27 y+ 9 y33 ]0

1

=27.1+9(1)3

3 =27+3=30

2. Calcule ∬s

rot ¿¿, onde S= {( x , y , z ) ϵ R3; x=−1+ y2+z2 , x ≤0} e o campo

vetorial F ( x , y , z )=(xz , zex ,− y ) .

Vamos calcular o ∬s

rot ¿¿ desta maneira:

∬s

rot ¿¿

Temos também que:

∫S

F⃗ ∙ d⃗r=∫S

F⃗(r ( t ))∙ r ,(t)¿dt

Logo: r ( t )=(0 ,cos (θ ) , sen (θ )), r , (t )=(0 ,−sen (θ ) ,cos (θ ))

Temos também, F⃗ ¿, com 0≤θ≤2π

∫SF⃗ ∙ d⃗r=∫

SF⃗(r ( t ))∙ r ,(t)¿dt=∫

0

2π

(0 , sen (θ ) ,−cos (θ ) ) ∙(0 ,−sen (θ ) ,¿cos (θ))dθ ¿

∫0

2π

¿¿

¿−[θ ]02π=−[2π−0 ]=−2 π

3. Seja V o sólido limitado pelo plano x+ y+z=1 e os planos coordenados e ∂V=S orientada pelo normal exterior determine o fluxo do campo,F ( x , y , z )=( x+ y+z−1 , yx , x+ y+ z ), através de S na direção de n.

Temos que o fluxo pode ser calculado pela integral:

∬s

F ∙n∙ds=∭w

¿

Utilizando o teorema de Gauss (divergente).

∭w

¿=∭w

( ∂(x+ y+z−1)x )+( ∂( yx)y )+¿

∭w

¿=∭w

(1¿+x+1)=∭w

(2¿+x )¿¿

Logo:

∬s

F ∙n∙ds=¿∭w

(2+ x)dzdydz=¿¿

∫0

1

∫0

1− z

(2 z+x ∙ z )01− x− y dydx=∫

0

1

∫0

1− x

2 [1−x− y−0 ]+x [1−x− y−0 ]dydx

∫0

1

∫0

1− x

(2−2x−2 y+x−x2− y ∙ x¿)dydx¿

∫0

1

∫0

1− x

(2− x−2 y−x2− yx)dydx=∫0

1

(2 y−xy−2 12 y2

−x2 y−12y ² x )

0

1−x

dx

∫0

1

2 [1−x ]−x [1− x ]− [1−x ]2−x2 [1−x ]−12x [1−x ] ² dx=∫

0

1

¿¿

¿∫0

1

(2−3 x+ x2−x2+2 x−1−x2+x3−12 x3+x2−12 x)dx

¿∫0

1

(2−1−3 x+2x−12 x+2 x2−2x2+x3− 12 x ³)dx

¿∫0

1

(1−32 x+ 12 x ³)dx=[x−34 x2+ 18 x4]01

=[1−0 ]−34

[12−02 ]+ 18

[14−04 ]

¿ [1−34 + 18 ]=8−6+18

=38

4. Teorema de Gauss.∬s

F ∙ n⃗∙ dS=∬s

¿ ( f )dV

a. Calcule ∬s

F ∙ n⃗∙ dS, onde F ( x , y , z )=(4 x ,−2 y ² , z ² ) e S é a superfície limitada

por x ²+ y ²=4, tal que 0≤ z≤3.

Temos o solido W={( x , y , z )ϵ R3/ x ²+ y ²≤4 ,0≤ z ≤3 } e limitado por um cilindro. Temos a segintes integrais;

∬s

F ∙n∙ds=∭w

¿ ( f )dV

Utilizamos o teorema de Gauss (divergente):

∭w

¿ ( f )dV=∭w

( ∂(4 x )x )+( ∂(−2 y ²)y )+( ∂(z2)z )∭w

¿ ( f )dV=(4−4 y+2 z)

Logo:

∬s

F ∙n∙ds=¿∭w

(4−4 y+2 z )dzdydz=¿¿

Transformando em coordenadas cilíndricas, obtemos ¿(F )(r ,θ , z )=¿.

Temos:

0≤r≤2,0≤ z≤3e0≤θ≤2π . Então temos:

∬s

F ∙n∙ds=¿∭w

(4−4 y+2 z )dzdydz=¿¿

∫0

2π

∫0

3

∫0

2

(4−4 rsen(θ)+2 z)rdrdzdθ=¿¿

∫0

2π

∫0

3

∫0

2

r (4−4 rsen (θ )+2 z )drdzdθ=∫0

2 π

∫0

3 12r ² [4−4 ∙ rsen (θ )+2 ∙ z ]

0

2

dzdθ

¿∫0

2π

∫0

3

[ 12 [2²−0² ] [ 4−4 (2−0 ) ] sen (θ )+2 z ]dzdθ

∫0

2π

∫0

3

[ 12 ∙4 [4−8∙ sen (θ ) ]+2 z]dzdo=∫0

2 π

2 [4 z−8 z ∙ sen(θ)+2 ∙ 12 z ²]03

dθ

2∫0

2π

[4 (3−0 )−8 [3−0 ]sen (θ )+ [3²−0² ] ]dθ

2∫0

2π

[12−24 ∙ sen (θ )+9 ] dθ=24∫0

2π

dθ−48∫0

2π

sen (θ )dθ+¿18∫0

2π

dθ ¿

[24 [θ ]02π−48 [−cos (θ ) ]0

2π+16 [θ ]0

2π ]¿24 [2π−0 ]−48 [−cos (2π )+cos (0 )+18 [2π−0 ] ]

¿48 π−48 [−1+1 ]+36 π=48 π+36π=84 π

b. Calcule ∬s

F ∙ n⃗∙ dS, onde F ( x , y , z )=( yz ² , xz ² , x ²+ y ² ) e S é a superfície limitada

por z=x ²+ y ², tal que 0≤ z≤1.

Temos que:

∬s

F ∙n∙ds=∭w

¿

Não podemos utilizar diretamente o teorema de Gauss, porque S não limita o solido. Para aplicar o teorema de Gauss e preciso tampa o paraboloide, para isso teremos um disco de raio 1.

Logo W o solido com normal (0 ,0,1) tal que ∂W=S S1, então pelo teorema de Gauss temos;

∭w

¿ (F )dxdydz=∬s

F ∙dS+∬S1

F ∙d S1

¿∭S

( ∂( y z2)x )+(∂(xz ²)y )+( ∂ (x2+ y2)z )∭w

¿=∭w

(0+0¿+0)=0¿

Note que o ¿ (F )=0, logo,∬s

F ∙dS=−∬S1

F ∙d S1, ou seja,

∬S1

F ∙d S1=−∫0

2π

∫0

1

(x2+ y2 )dxdy

Temos que: dxdy=rdrdθ, logo;

−∫0

2π

∫0

1

(x2+ y2 )rdrdθ

Como x ²+ y ²=r ²,podemos substiruir na integral.

−∫0

2π

∫0

1

(r2 ) rdrdθ=−∫0

2π

∫0

1

(r3 )drdθ=−∫0

2π

[ 14 r4]01

dθ

¿−14∫02π

[14−04 ] dθ=−14 ∫

0

2 π

dθ=−14

[2π−0 ]=−π2

Então:

∬S

F ∙dS=π2

5. Considere o cilindro C={( x , y , z )∈ R3 ;x2+ y2=2 ,0<z<2 }. Utilizando o teorema de Stokes. Calcule o fluxo do campo de vetoresF ( x , y , z )=( x , y ,−2 z ) através de C no sentido da normal exterior.

Pela definição, uma parametrização de C é, por exemplo, g :¿0,2π ¿X¿0,2¿ dada por:

g (θ , z )=(√2cosθ ,√2 senθ , z ),

Uma vez que em coordenadas cilíndricas a equação C que define se escreve r2=2

E também que:∂g∂θ

=(−√2 senθ ,√2cosθ ,0)e ∂g∂ z=(0,0,1)

Temos:

∂g∂θ x ∂g∂ z = [ e1 e2 e3

−√2 senθ √2cosθ 00 0 1 ]= (√2cosθ ,√2 senθ ,0¿

Aponta para fora de C, concluímos que g induz a orientação correspondente à normal exterior unitária, e que, portanto o fluxo de F para fora de C pode ser calculado a partir de:

∫CF .nd V 2=∫

0

2

∫0

2π

(√2cosθ ,√2 senθ ,0 ) .(√2cosθ ,√2 senθ ,−2 z )dθdz

¿∫0

2

∫0

2π

(2cos2θ+2 sen2)dθdz=2∫0

2

∫0

2π

(cos2θ+sen2)dθdz=2∫0

2

∫0

2π

dθdz

¿2∫0

2

[θ ]02 πdz=2∫

0

2

2π dz=2.2π [ z ]02=2.2π .2=8π

exercicio - calculo 3

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