Download - Cap. 11 - Critério de Nyquist
1/Cap.11
Cap.11 – Critério de Nyquist
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. Isa
bel R
ibei
ro, A
ntón
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asco
al
CONTROLO1º semestre – 2011/2012
Mestrado Integrado em Engenharia Electrotécnica e de Computadores (LEEC)
Departamento de Engenharia Electrotécnica e de Computadores (DEEC)
Transparências de apoio às aulas teóricas
Critério de Nyquist
Maria Isabel RibeiroAntónio Pascoal
Todos os direitos reservadosEstas notas não podem ser usadas para fins distintos daqueles para que foram
elaboradas (leccionação no Instituto Superior Técnico) sem autorização dos autores
2/Cap.11
Cap.11 – Critério de Nyquist
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Sumário
• Introdução ao Critério de Nyquist
• Teorema de Cauchy
• Desenho do diagrama de Nyquist
• Diagrama de Nyquist e estabilidade
• Margem de Fase e Margem de Ganho
• Diagrama de Nyquist de sistemas com atraso
Referências
• G. Franklin, J.david Powell, Abbas Naeini,
“Feedback Control of Dynamic Systems”, Prentice
Hall, 6th Edition (Sections 6.2 – 6.6)
3/Cap.11
Cap.11 – Critério de Nyquist
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Introdução
• O que é o Critério de NyquistCritério de Nyquist ?– Estudo da estabilidade (absoluta e relativa) de
um sistema de controlo em cadeia fechada por análise da f.t.c.a.
• Que tipo de análise ?– Da resposta em frequência da f.t.c.a.
Resposta em frequência da f.t.c.a.
Estabilidade do sistema em cadeia fechada
Localização dos pólos da f.t.c.f. relativa/ eixo imaginário
Critério de Nyquist
Localização dos pólos da f.t.c.a.
Localização dos pólos da f.t.c.f.
Root-Locus
Resposta transitória
Erro em regime estacionário
Analogia com Root-Locus
4/Cap.11
Cap.11 – Critério de Nyquist
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Introdução
• O que é o Critério de NyquistCritério de Nyquist ?– Estudo da estabilidade (absoluta e relativa) de
um sistema de controlo em cadeia fechada por análise da f.t.c.a.
• Método gráfico
• Calcula a estabilidade do sistema em cadeia fechada sem avaliar explicitamente os pólos da f.t.c.f.
• Dá indicações sobre estabilidade relativa
¤ Margem de ganho
¤ Margem de fase
• Parte do conhecimento da f.t.c.a.
• Usa resultados da teoria das funções complexas (Teorema de Cauchy) para estudar a existência de zeros de 1+KG(s)H(s) no semi-plano complexo direito ou sobre o eixo imaginário.
5/Cap.11
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Nomenclatura
)s(KGc )s(G
)s(H
+
_
)s(R )s(C
sistema de controlo em cadeia fechada
K )s(G
)s(H
+
_
)s(R )s(C
rcompensado do ciatransferên de função)s(Gc
situação que irá ser tratadapor redefinição de G(s) é sempre possível passar de um diagrama para outro
f.t.cadeia aberta (f.t.c.a.) = )s(H)s(KG
f.t.cadeia fechada (f.t.c.f.) = )s(H)s(KG1)s(KG
f.t.cadeia acção = )s(KG
f.t.cadeia retroacção = )s(H
Nomenclatura
equação característica 0)s(H)s(KG1
6/Cap.11
Cap.11 – Critério de Nyquist
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Teorema de Cauchy
plano s plano F(s)
F(s)1s
2s
3s
)s(F 1
)s(F 2
)s(F 3
Contorno A Contorno B
vv
• F(s) - função racional, analítica numa dada região do plano s, excepto num número finito de pontos.
• A é um contorno qualquer definido no plano s, tal que F(s) é analítica sobre o contorno.
• O contorno B é a imagem do contorno A por meio de F(s).
)....ps)(ps()...zs)(zs()s(F
21
21
descrito num determinado
sentido
descrito no mesmo sentido ou em sentido
contrário ao contorno A
7/Cap.11
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Teorema de Cauchy: exemplos
clockwise
clockwise
counterclockwise
clockwise
counterclockwise
counterclockwise
1 zero
1 zero
1 pólo
1 pólo
1 pólo e 1 zero
no exterior do contorno A
no exterior do contorno A
no interior do contorno A
no interior do contorno A
no interior do contorno A
Contorno B não contém a origem
Contorno B não contém a origem
Contorno B contém a origem
Contorno B contém a origem
Contorno B não contém a origem
8/Cap.11
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Teorema de Cauchy: enunciado
• Contorno A descrito no sentido dos ponteiros do relógio.
• P = número de pólos de F(s) no interior do contorno A
• Z = número de zeros de F(s) no interior do contorno A
• N = número de voltas, no sentido dos ponteiros do relógio, que o contorno B dá em torno da origem.
PZN
9/Cap.11
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Teorema de Cauchy: interpretação
)ps)(ps)(ps()zs)(zs()s(F
321
21
plano splano F(s)
F(s))s(F 1
Contorno A Contorno B
v
vx
x
oo x
s
Quando s dá uma volta completa sobre o contorno A, no sentido dos ponteiros do relógio
• o argumento dos vectores associados aos pólos e zeros no exterior de A têm uma variação líquida de 0º
• o argumento dos vectores associados aos zeros no interior de A têm uma variação de 360º.
• o argumento dos vectores associados aos pólos no interior de A têm uma variação de 360º.
1z 2z1p
2p
3p
)psarg()psarg()psarg( )zsarg()zsarg()s(F arg
321
21
O argF(s) tem uma variação de (1-2)*360º voltas em torno da origem no sentido dos ponteiros do relógio
s a percorrer o contorno A
10/Cap.11
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Teorema de Cauchy: interpretação
)ps)...(ps)(ps()zs)...(zs)(zs()s(F
n21
m21
Quando s dá uma volta completa sobre o contorno A, no sentido dos ponteiros do relógio
O argF(s) tem uma variação de (Z-P)*360º em torno da
origem no sentido dos ponteiros do relógio
Z = zeros de F(s) no interior do contorno A
P = pólos de F(s) no interior do contorno A
PZN
N = nº de voltas de F(s) em torno da origem, no sentido dos ponteiros do relógio
11/Cap.11
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Critério de Nyquist
• Como aplicar o Teorema de Cauchy no estudo da estabilidade da f.t.c.f. ?
avaliar da existência de pólos da f.t.c.f. no s.p.c.d.
avaliar da existência de raízes de 1+KG(s)H(s)=0 no s.p.c.d.
)s(H)s(KG1)s(KG
avaliar da existência de zeros de 1+KG(s)H(s) no s.p.c.d.
v v
v
plano s
)s(H)s(KG1)s(F
plano F(s)
P N
inspecçãoinspecção
N = Z - PZ = P + NTeorema de Cauchy
estabilidade em c.f.
j
j
raio contorno de Nyquist
nº de voltas em torno da origem(contadas como positivas no sentido dos ponteiros do relógio)
12/Cap.11
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Critério de Nyquist
• Contorno de Nyquist – abarca todo o s.p.c.d.)s(H)s(KG1)s(F
N = Z - P
nº de voltas de 1+KG(s)H(s)
em torno da origem
nº de pólos de 1+KG(s)H(s) no interior do
contorno de Nyquist
nº de zeros de 1+KG(s)H(s) no interior do
contorno de Nyquist
nº de pólos de Y(s)/R(s) (f.t.c.f.)
no interior do contorno de Nyquist
=
v v
v
)s(H)s(KG
P N
inspecçãoinspecção
j
j
raio contorno de Nyquist
diagrama de Nyquist
-1
nº de voltas em torno de -1
Z = N + P
nº de voltas de KG(s)H(s)
em torno de -1
=
nº de pólos de KG(s)H(s)
no interior do contorno de Nyquist
=
13/Cap.11
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Critério de Nyquist: enunciado
• Estabilidade em cadeia fechada– Z=0– - N = P
Enunciado do critério de Nyquist
Um sistema causal com f.t.c.a. KG(s)H(s) é
estável em cadeia fechada sse,
quando o afixo de s percorre o contorno de
Nyquist num determinado sentido,
o número de voltas que o afixo de KG(s)H(s)
percorre em torno do ponto –1 em sentido
contrário é igual ao número de pólos da
KG(s)H(s) no interior do contorno de Nyquist.
14/Cap.11
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Diagrama de Nyquist
• Como esboçar o diagrama de Nyquist ?
v v
v
j
j
raio
contorno de Nyquist
v
)s(H)s(KG
O contorno de Nyquist deve ser tal que:• Abarque todo o s.p.c.d.• A função KG(s)H(s) tem que ser analítica sobre o contorno
[,0[w ,jws
)jw(H)jw(KG• função resposta em frequência da
f.t.c.a. com representação polar• pode obter-se por análise do
diagrama de Bode e sua representação na forma polar
]0,]w ,jws )jw(H)jw(KG[,0[w ,jws )jw(H)jw(KG
par função |)jw(H)jw(KG|
ímpar função ))jw(H)jw(KGarg(
Simétrico, relativamente ao eixo real, da componente do diagrama de Nyquist que é imagem do eixo imaginário positivo
15/Cap.11
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Diagrama de Nyquist
• Como esboçar o diagrama de Nyquist ?
v v
v
j
j
raio
contorno de Nyquist
v
)s(H)s(KG
O contorno de Nyquist deve ser tal que:• Abarque todo o s.p.c.d.• A função KG(s)H(s) tem que ser analítica sobre o contorno
r ]2 ,2[
res j ?)s(H)s(KG
)ps)...(ps)(ps()zs)...(zs)(zs(K)s(H)s(KG
n21
m21
0KG(s)H(s) mn A imagem da semi-circunferência de raio infinito é a origem
finito alorvKG(s)H(s) mn
16/Cap.11
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Diagrama de Nyquist: Exemplo 1
K asa
+
_
)s(R )s(C
asKa.a.c.t.f
v v
v
j
j
contorno de Nyquist
x
0a
a
P=0
A f.t.c.a. não tem pólos no interior do contorno de Nyquist
K>0
KdB
K
v
v
-1
N=0
Z=N+P=0
0are
Kalim jr
O sistema em c.f. é estável para qualquer valor de K>0
-1
17/Cap.11
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Diagrama de Nyquist: Exemplo 1
K asa
+
_
)s(R )s(C
asKa.a.c.t.f
v v
v
j
j
contorno de Nyquist
x
0a
a
P=0
A f.t.c.a. não tem pólos no interior do contorno de Nyquist
K<0
Se K>-1 N=0 Z=0 sistema em c.f. estável
Se K<-1 N=1 Z=P+N=1 sistema em c.f. instável
0are
Kalim jr
v
-1K
v
18/Cap.11
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Diagrama de Nyquist: Exemplo 2
x xx
)cs)(bs)(as(K)s(H)s(KG
0c ,0b ,0a
0w ,jws
w
0jeabcK)s(H)s(KG
0|)s(H)s(KG|
23))s(H)s(KGarg(
r ,res j0)s(H)s(KG
0w
ww
0wabcK
vw
zoom
19/Cap.11
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Diagrama de Nyquist: Exemplo 2
)3)(2)(1()()(
sssKsHsKG
K=10;num1=[0 0 0 K];den1=[1 6 11 6];sys1=tf(num1,den1);nyquist(sys1)
Código Matlab
20/Cap.11
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Diagrama de Nyquist: Exemplo 2
x xx
)cs)(bs)(as(K)s(H)s(KG
0c ,0b ,0a
0w
0wabcK1
P=0
abcK2
12 KK
-1
N=0Z=P+N=0Para K=K1
sistema em c.f. é estável
N=2Z=P+N=2Para K=K2 o sistema em c.f. tem dois pólos no s.p.c.d. É instável
ww
-1
21/Cap.11
Cap.11 – Critério de Nyquist
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Diagrama de Nyquist: Exemplo 2
x xx
)cs)(bs)(as(K)s(H)s(KG
0c ,0b ,0a
P=0
-1
• Qual o valor de K para o qual este ponto se torna igual a –1?
• Que ponto é este ?• É o ponto com fase de –180º
• Desempenha um papel fundamental no estudo da estabilidade
22/Cap.11
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Diagrama de Nyquist: Exemplo 3
K 1s1
+
_
)s(R )s(CK>0
x1
P=1
K=3
N=-1
Z=P+N=0 Sistema em cadeia fechada estável para este valor de K
-1
23/Cap.11
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Critério de Nyquist:Exemplo 4
K 2)1s(s1
+
_
)s(R )s(C
K>0
2)1s(sK)s(H)s(KG
O contorno de Nyquist deve ser tal que:• Abarque todo o s.p.c.d.• A função KG(s)H(s) tem que ser
analítica sobre o contorno
raio0
semi-circunferênciaContorno de Nyquist – duas hipóteses
x0
A
B
C
xx0
rx
A
B
C0w
0w
<<
<<
P=0 P=1
sistema tipo 1
xx
0w
0w
r
24/Cap.11
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Critério de Nyquist: Exemplo 4
x0
r
A
B
C0w
0w
<<
x0
r
A
B
C0w
0w
<<
diagrama de Nyquist não desenhados à escala
contorno de Nyquist contorno de Nyquist
v v
2)1s(sK)s(H)s(KG
xx xx
25/Cap.11
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Critério de Nyquist: Exemplo 4
x0
r
A
B
C0w
0w
<<
x0
r
A
B
C0w
0w
<<
contorno de Nyquist contorno de Nyquist
2)1s(sK)s(H)s(KG
xx xx
0
2 0, ,
2
2 , ,
2
A B C
j
j2jjeseK
eK
)1e(eK)s(H)s(KG j
semi-circunferência de raio infinitesimal
Uma semi-circunferência de raio a tender para infinito
argumento -
contorno de Nyquist contorno de Nyquist
diagrama de Nyquist diagrama de Nyquist
A B C
2- 0, ,
2
2
,2
- ,
26/Cap.11
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Critério de Nyquist: Exemplo 4
K 2)1s(s1
+
_
)s(R )s(C
sistema tipo 1
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
K=1
K=3
diagramas de Nyquist desenhados à escala
2)1s(sK)s(H)s(KG
27/Cap.11
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Critério de Nyquist: Exemplo 4 análise de estabilidade
v v
2)1s(sK)s(H)s(KG
ponto de intersecção com o eixo real ?
2)1jw(jwK)jw(H)jw(KG
º180))jw(H)jw(KGarg(
º180)1jwarg()jwarg()Karg())jw(H)jw(KGarg( 2
º180)w(arctg2º90 º45)w(arctg s/rad1)º45(tgw
2|K|)jw(H)jw(KG
1w
28/Cap.11
Cap.11 – Critério de Nyquist
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Critério de Nyquist: Exemplo 4análise de estabilidade
diagrama de Nyquist não desenhados à escala
v v
2)1s(sK)s(H)s(KG
x
<<
xx x<
<xx
-K/2 -K/2
P=0 P=1
2K1 N=0 N=-1Z=P+N=0 Z=P+N=1-1=0
sistema estável
12K
N=2 Z=P+N=2 N=1 Z=P+N=1+1=2sistema instável
29/Cap.11
Cap.11 – Critério de Nyquist
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Critério de Nyquist: Exemplo 5
x
<<
x x
P=0qual é a imagem desta semi-circunferência ?
A
BC
je0
j2
2jj eK)e(H)e(KG
duas semi-circunferências com raio a tender para infinito
Dois pólos excluídos pela semi-circunferência de raio a tender para zero
0 - 22
0 2
-
C B A
Só esta análise não chega para desambiguar
Qual é o correcto?
)1s(sK)s(H)s(KG 2
30/Cap.11
Cap.11 – Critério de Nyquist
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Critério de Nyquist: Exemplo 5
)1s(sK)s(H)s(KG 2
x
<<
x x
P=0
qual é a imagem desta semi-circunferência ?
AB
C je
0
j2
2jj eK)e(H)e(KG
0 2
- 22
0 4
- 2
-
C B D A
D
<
v
v
N=2
Z=P+N=2-1
O sistema em cadeia fechada é instável para qualquer valor de K
Confirme com o Root-Locus
A’
D’
B’C’
A’ = imagem de A
31/Cap.11
Cap.11 – Critério de Nyquist
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Real Axis
Imag
inar
y A
xis
Nyquist Diagrams
-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5From: U(1)
To: Y
(1)
Critério de Nyquist: Exemplo 6
K1)1s(
)2s)(1s(2 +
_
)s(R )s(C
-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
Real Axis
Imag
Axi
s
P=0N=?
Diagrama de Nyquist tal como obido pelo Matlab
• Chegou a Z=1?
• Veja pelo Root-Locus que não pode ser e conclua sobre o diagrama de Nyquist
• Trace o diagrama de Bode da f.t.c.a.
32/Cap.11
Cap.11 – Critério de Nyquist
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Real Axis
Imag
inar
y A
xis
Nyquist Diagrams
-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5From: U(1)
To: Y
(1)
Critério de Nyquist: Exemplo 6
K1)1s(
)2s)(1s(2 +
_
)s(R )s(C
P=0
N=?
Diagrama de Nyquist tal como obido pelo Matlab
Frequency (rad/sec)
Pha
se (d
eg);
Mag
nitu
de (d
B)
Bode Diagrams
0
1
2
3
4From: U(1)
10-1 100 101-360
-270
-180
-90
0
To: Y
(1)
K=1
K=1P = 0N = 2Z = 2
>
<
Use o critério de Routh-Hurwitz para mostrar que o sistema é instável para K>2/3
33/Cap.11
Cap.11 – Critério de Nyquist
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Critério de NyquistMargem de Ganho e Margem de Fase
K )4s)(2s)(1s(16
+
_
)s(R )s(C
Real Axis
Imag
inar
y A
xis
Nyquist Diagrams
-1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5From: U(1)
To: Y
(1)
K=1
P=0, N=0, Z=0 Para K=1 o sistema em cadeia fechada é estável
Pergunta:De quanto é possível aumentar o ganho K sem que o sistema se torne instável ?
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
Real Axis
Imag
Axi
s
Roo
t-loc
us
Pergunta:O sistema torna-se instável com o aumento do ganho ?
RespostaSim – ver Root-Locus ou Diagrama de Nyquist
K=1
34/Cap.11
Cap.11 – Critério de Nyquist
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Critério de NyquistMargem de Ganho e Margem de Fase
K )4s)(2s)(1s(16
+
_
)s(R )s(C
Real Axis
Imag
inar
y A
xis
Nyquist Diagrams
-10 -5 0 5 10 15 20 25 30-25
-20
-15
-10
-5
0
5
10
15
20
25From: U(1)
To: Y
(1)
K=15
Real Axis
Imag
inar
y A
xis
Nyquist Diagrams
-1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5From: U(1)
To: Y
(1)
K=1 P=0, N=0, Z=0c.f. estável
P=0, N=2, Z=2c.f. instável
K=1
K=15
35/Cap.11
Cap.11 – Critério de Nyquist
M
. Isa
bel R
ibei
ro, A
ntón
io P
asco
al10-2
10-1
100
101
102
-80
-60
-40
-20
0
20
10-2
10-1
100
101
102
-270
-225
-180
-135
-90
-45
0
K=1
Real Axis
Imag
inar
y A
xis
Nyquist Diagrams
-1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5From: U(1)
To: Y
(1)
K=1
Critério de NyquistMargem de Ganho e Margem de Fase
Pergunta:De quanto é possível aumentar o ganho K sem que o sistema se torne instável ?
qual é o ganho quando a frequência=180º ?
qual é a fase do ponto em que o ganho é unitário ?
-15dB
0.177
O ganho pode aumentar de
até que o sistema em c.f. se torne instável
63.5177.01
36/Cap.11
Cap.11 – Critério de Nyquist
M
. Isa
bel R
ibei
ro, A
ntón
io P
asco
al
Critério de NyquistMargem de Ganho e Margem de Fase
Pergunta:De quanto é possível aumentar o ganho K sem que o sistema se torne instável ?
-1
Real Axis
Imag
inar
y A
xis
Nyquist Diagrams
-4 -2 0 2 4 6 8 10 12
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
From: U(1)
To: Y
(1) K=1
K=5.63
10-2
10-1
100
101
102
-80
-60
-40
-20
0
20
40
10-2
10-1
100
101
102
-270
-225
-180
-135
-90
-45
0
K=5.63
K=1
)jw(H)jw(KG
37/Cap.11
Cap.11 – Critério de Nyquist
M
. Isa
bel R
ibei
ro, A
ntón
io P
asco
al
Margem de Ganho e Margem de Fase
• Até aqui o diagrama de Nyquist foi
usado para avaliar a estabilidade
absoluta
• Diagrama de Nyquist permite também
avaliar estabilidade relativaoproximidade do sistema relativamente à
situação de instabilidadeoquão próximos do eixo imaginário estão os
pólos do sistema em cadeia fechadaoProximidade do diagrama de Nyquist do
ponto -1
38/Cap.11
Cap.11 – Critério de Nyquist
M
. Isa
bel R
ibei
ro, A
ntón
io P
asco
al
Margem de Ganho e Margem de Fase
• Margem de ganho – (MG) - é a variação, expressa em dB, do ganho da f.t.c.a., para a fase de –180º, para que o sistema em cadeia fechada se torne instável
• Margem de fase – (M) – é a variação de fase do sistema em cadeia aberta, para ganho unitário, necessária para que o sistema em cadeia fechada se torne instável.
O uso da Margem de Ganho e da Margem de Fase para o estudo da estabilidade relativa só é válido para P=0, i.e., para sistemas em cadeia aberta estáveis.
MG1
39/Cap.11
Cap.11 – Critério de Nyquist
M
. Isa
bel R
ibei
ro, A
ntón
io P
asco
al
Margem de Ganho e Margem de Fase
• Margem de Ganho – é o inverso do módulo da f.t.c.a., KG(s)H(s), para a frequência w para a qual a f.t.c.a. introduz uma rotação de 180º
• Margem de Fase – é a diferença entre a fase de G(jw)H(jw) e –180º quando |KG(jw)H(jw)|=1
ww
)jw(H)jw(KG1MG
º180M
1)()(
)()(arg
jwHjwKG
jwHjwKG
• Determinação das margens de estabilidade• Diagrama de Nyquist
• Diagrama de Bode
40/Cap.11
Cap.11 – Critério de Nyquist
M
. Isa
bel R
ibei
ro, A
ntón
io P
asco
al10-2
10-1
100
101
102
-80
-60
-40
-20
0
20
10-2
10-1
100
101
102
-270
-225
-180
-135
-90
-45
0
K=1
Margem de Ganho e Margem de Fase
K )4s)(2s)(1s(16
+
_
)s(R )s(C
MGdB
M
Real Axis
Imag
inar
y A
xis
Nyquist Diagrams
-1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5From: U(1)
To: Y
(1)
K=1
41/Cap.11
Cap.11 – Critério de Nyquist
M
. Isa
bel R
ibei
ro, A
ntón
io P
asco
al
Margem de Ganho e Margem de Fase
Valores convenientes para uma boa estabilidade relativa
30º<FM<60º
MG>6dB
42/Cap.11
Cap.11 – Critério de Nyquist
M
. Isa
bel R
ibei
ro, A
ntón
io P
asco
al
Margem de Ganho e Margem de Fase
)2s)(1s(sK2)s(H)s(KG
Real Axis
Imag
inar
y A
xis
Nyquist Diagrams
-1 -0.9 -0.8 -0.7 -0.6 -0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0-0.25
-0.2
-0.15
-0.1
-0.05
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25From: U(1)
To: Y
(1)
P=0
1/MG
<
1/MGCondições de estabilidade:• Se MG>1 – sistema em c.f. estável• Se MG<1 – sistema em c.f. instável• Se MG=1 – sistema em c.f.
marginalmente estável
• Se M>0º – sistema em c.f. estável• Se M<0º – sistema em c.f. instável• Se M=0º – sistema em c.f.
marginalmente estável
43/Cap.11
Cap.11 – Critério de Nyquist
M
. Isa
bel R
ibei
ro, A
ntón
io P
asco
al
Margem de Ganho e Margem de Fase
Exemplo– Sistema com retroacção unitária.– Qual é o valor de K para o qual a margem de
fase é de 45º?
10-1 100 101 102-60
-40
-20
0
20
40
|G(jw
)|dB
w(rad/s)
10-1 100 101 102-225
-180
-135
-90
arg(
G(jw
)) (g
raus
)
w(rad/s)
• Desenhe o diagrama de Nyquist• Calcule o valor da margem de ganho para
esse valor de K• Identifique o sistema em cadeia aberta
44/Cap.11
Cap.11 – Critério de Nyquist
M
. Isa
bel R
ibei
ro, A
ntón
io P
asco
al
1w
2w
3w
Margem de Ganho e Margem de Fase
• Nem sempre a estabilidade de um sistema em cadeia fechada é sinónimo de MG>1 e M>0º– É preciso tomar atenção ao diagrama de Nyquist e
avaliar a estabilidade com base no envolvimento do ponto –1+j0.
• Caso1 – Para sistemas de 1ª e 2ª ordem, em que não existe cruzamento do diagrama de Nyquist com o semi-eixo real negativo, a MG é sempre infinita.
• Caso 2 – Para sistemas de ordem superior pode haver mais do que um ponto de cruzamento do diagrama de Nyquist com o semi-eixo real negativo.
• Caso 3 – Sistemas em c.a. de fase não mínima
Há 3 valores de frequência para os quais a fase da f.t.c.a. é de
180º
45/Cap.11
Cap.11 – Critério de Nyquist
M
. Isa
bel R
ibei
ro, A
ntón
io P
asco
al
Margem de Ganho e Coeficiente de Amortecimento
• Para sistema de 2ª ordem, sem zeros, que valor deve ter a margem de fase (especificação no domínio da frequência) para que o sistema em cadeia fechada apresente uma certa sobreelevação (especificação no domínio do tempo) na resposta ao escalão?
)w2s(sw
n
2n
+
_
)s(R )s(C
G(s)
2nn
2
2n
wsw2sw
)s(R)s(C
f.t.cadeia fechada
Margem de fase 1)jw(G
142ww 42n1
n
11 w2
warctgº90)jw(G arg
2
142arctgº90)jw(Gargº180
42
1M
46/Cap.11
Cap.11 – Critério de Nyquist
M
. Isa
bel R
ibei
ro, A
ntón
io P
asco
al
Margem de Ganho e Coeficiente de Amortecimento
Retirado deG.Franklin, J. Powell, A. NaeiniFeedback Control of Dynamic Systems
47/Cap.11
Cap.11 – Critério de Nyquist
M
. Isa
bel R
ibei
ro, A
ntón
io P
asco
al
Sistemas com um atraso
• Em qualquer dos casos surge um atraso– Condução do carro – atraso = tempo de reacção
do condutor– Produção fibra óptica – atraso de transporte – a
acção de controlo e a operação de medida efectuam-se em pontos diferentes da fibra óptica
• Atraso traduzido por
d
produção de fibra ópticaAjuste do diâmetro do
orifício da fieira
se
De que modo um atraso na cadeia de acção afecta a estabilidade (absoluta ou relativa) na cadeia fechada ?
Retirado deE. Morgado
Controlo – Texto de apoio
48/Cap.11
Cap.11 – Critério de Nyquist
M
. Isa
bel R
ibei
ro, A
ntón
io P
asco
al
Sistemas com um atraso: Exemplo
)s(Ge s+
_
)s(R )s(C
)10s)(1s(sK5)s(G
)s(Ge)s(G s
)jw(Ge)jw(G jw função resposta em frequência
)jw(G)jw(G O atraso não modifica a amplitude da função resposta em frequência
))jw(Garg(w))jw(Garg( O atraso introduz na fase uma componente que varia linearmente com w
A margem de fase diminui
A margem ganho diminui
49/Cap.11
Cap.11 – Critério de Nyquist
M
. Isa
bel R
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io P
asco
al
Sistemas com um atraso: Exemplo
)s(Ge s+
_
)s(R )s(C
)10s)(1s(sK5)s(G
K=1, =1
• Para o mesmo valor de K, a margem de ganho é menor para o sistema com atraso
• O sistema com atraso apresenta uma menor estabilidade relativa, para o mesmo valor de K
50/Cap.11
Cap.11 – Critério de Nyquist
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asco
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Sistemas com um atraso: Exemplo
)s(Ge s+
_
)s(R )s(C
)10s)(1s(sK5)s(G
K=1=1
K=1=0