do desassossego de einstein até à criptografia quântica yasser omar (yasser.omar at iseg.utl.pt)...

Do desassossego de Einsteinaté à Criptografia Quântica

Yasser Omar(yasser.omar at iseg.utl.pt)

Dpt.º de Matemática, ISEG

I. Criptografia

Adão quer enviar mensagem secreta a Blimunda

O Problema

O Problema

O Modelo

Eva (Eavesdropper)

A BEMISSOR RECEPTORCANAL

Canal: público ou privado?

Adão quer enviar mensagem secreta a Blimunda

A quer enviar uma mensagem secreta a B:

O Problema

A quer enviar uma mensagem secreta a B:“Como vão as coisas a leste do paraíso?”

O Problema


Soluções históricas


Soluções históricas (1)

Esparta, 400 a.C.:o skytale




Início da criptografia!




Eva (Eavesdropper)

A B

Início da criptografia!

Skytale = chave



Cifra de substituição



Cifra de substituição (ou de César):




A D




A DB E




A DB EC F

...




A DB EC F

...

Como vão as coisas a leste do paraíso?




A DB EC F

...

Como vdo ds coisds d leste do pdrdíso?




A DB EC F

...

fomo vdo ds foisds d leste do pdrdíso?




A DB EC F

...

frpr ydr dv frlvdv d ohvwh gr sdudlvr?




A DB EC F

...


Pode ser atacado/decifrado: criptoanálise!

Ataques históricos

Análise de frequência das letras:

Ataques históricos


Ataques históricos

Morse, teclados, ...


Ataques históricos




Ataques históricos


frpr yar av frlvav a ohvwh gr saualvr?


Ataques históricos

Quanto maior a mensagem, melhor funciona!

como vao as coisas a leste do paraiso?


Ataques históricos

Descoberto por Al Khindi, no séc. IX, em Bagdade.


Ataques históricos


Como tornear esta análise?


Ataques históricos


As cifras não são perfeitas (máquinas Enigma, etc.)


Continuamos com o problema



Existe alguma cifra à prova de criptoanálise?




Sim: a cifra de Vernam (1917),




Sim: a cifra de Vernam (1917), melhorada por Mauborgne (1918).




Shannon provou que esta cifra é segura dadas certas condições

(1945, mas só revelado mais tarde).

Sim: a cifra de Vernam (1917), melhorada por Mauborgne (1918).

Cifra de Vernam: uma óptima solução!



01000 01111 10111...Mensagem codifica em bits: M =



01000 01111 10111...11010 01101 10100...

Mensagem codifica em bits: M =Chave aleatória: K =



01000 01111 10111...11010 01101 10100...10010 00010 00011...


Mens. cifrada: S = M+K [mod2] =



01000 01111 10111...11010 01101 10100...10010 00010 00011...



A envia S a B através de um canal público.



01000 01111 10111...11010 01101 10100...10010 00010 00011...




10010 00010 00011...Mensagem Cifrada: S =



01000 01111 10111...11010 01101 10100...10010 00010 00011...




10010 00010 00011...11010 01101 10100...

Mensagem Cifrada: S =A mesma chave (aleatória): K =



01000 01111 10111...11010 01101 10100...10010 00010 00011...




10010 00010 00011...11010 01101 10100...01000 01111 10111...


Calculando S+K [mod2] =



01000 01111 10111...11010 01101 10100...10010 00010 00011...




10010 00010 00011...11010 01101 10100...01000 01111 10111...



B recupera a mensagem original!



01000 01111 10111...11010 01101 10100...10010 00010 00011...




10010 00010 00011...11010 01101 10100...01000 01111 10111...



Seguro se chave secreta, aleatória e usada uma só vez.

Cifra de Vernam: uma óptima solução?



Secreta: problema de esconder a chave;



Secreta: problema de esconder a chave;(A chave tem que ter o tamanho da mensagem!)



Secreta: problema de esconder a chave;Aleatória: não é bem, mas pronto...




Usada uma só vez: problema de distribuição de chave.





S = M+K [mod2]S’ = M’+K [mod2]






Eva pode então fazer:

S+S’ [mod2] = M+K+M’+K [mod2] = M+M’+K+K [mod2]







S+S’ [mod2] = M+K+M’+K [mod2] = M+M’+0 [mod2]







S+S’ [mod2] = M+K+M’+K [mod2] = M+M’ [mod2]

Eva pode agora fazer uma análise de frequência a S+S’=M+M’.





(E a chave tem que ter o tamanho da mensagem!)






Verificadas estas condições, Shannon provou que esta cifra é completamente segura (1945).






Um novo problema: distribuição de chave!







Distribuída por agentes, mala diplomática, ...


Usada por Che Guevara e Fidel Castro para comunicar







Distribuída por agentes, mala diplomática, ...

Criptografia de chave (semi-)pública:computacionalmente segura... classicamente

II. Física Quântica

Objectos macroscópicos(células, maçãs, planetas):

Objectos microscópicos(moléculas, átomos, fotões):

FÍSICA CLÁSSICA FÍSICA QUÂNTICA

Bonecos de Santo Aleixo, Évora Carbon Monoxide Man,Zeppenfeld & Eigler, IBM

Zurique

0.000 0001 mmEinstein: Física Relativistac = 300 000 km/s

Física QuânticaUma teoria fundamental que descreve o comportamento das moléculas, dos átomos e das partículas que os constituem.

No entanto, é uma teoria estranha, estocástica, baseada em dois princípios que de outra forma seriam difíceis de aceitar:

• Princípio da Sobreposição

• Princípio da Observação

Teoria poderosa, que nos permite explicar a tabela periódica dos elementos, a formação de estrelas, etc., assim como

controlar a matéria à escala atómica, essencial para o desenvolvimento da química artificial, da micro-electrónica,

do laser, das centrais nucleares, da ressonância magnética, etc.

Para onde aponta o nariz do gato?Observação do spin da partícula segundo


Obtemos sempre o mesmo resultado!


2

1


Obtemos sempre o mesmo resultado?

2

1


2

1


Não, o resultado é aleatório, imprevisível!

2

1


2

1

O resultado é aleatório, imprevisível.

2

1


2

1

Um verdadeiro gerador de bits aleatórios!



Não, o resultado também é aleatório, imprevisível!


O resultado também é aleatório, imprevisível.

E se tivermos dois gatos?

Sobreposição em duas partículas (spin-½)

1

2 A B A B

1

2 A B A B


1

2 A B A B

A B

A B

Se A observar o estado será projectado para:

A pode agora adivinhar a observação de B !

CORRELAÇÕES QUÂNTICAS (perfeitas)


A B

Note-se que isto é verdade qualquer que seja a direcção segunda a qual se escolha medir o spin, pois o estado

singleto é invariante por mudanças de base:

Este estado contém uma infinidade de correlações clássicas !

BABABABA

2

1

2

1

zyxn ˆ,ˆ,ˆ.

onde é t.q.


A B

Note-se que isto é verdade qualquer que seja a direcção segunda a qual se escolha medir o spin, pois o estado

singleto é invariante por mudanças de base:

Este estado contém uma infinidade de correlações clássicas !

BABABABA

2

1

2

1

zyxn ˆ,ˆ,ˆ.

onde é t.q.

Einstein, Podolsky & Rosen, 1935(Problema EPR à la Bohm)

Entanglement...... ou entrelaçamento

Diz-se que um sistema composto está entrelaçadoquando o conjunto das descrições das suascomponentes é insuficiente para descrever

o sistema total.

1

2 A B A B A B

1 1

2 2A A B B

O paper do desassossego, 1935

“If, without in any way disturbing a system, we canpredict with certainty (i.e., with probability equal to unity)

the value of a physical quantity, then there exists an element of physical reality corresponding to

the physical quantity.”

“Every element of the physical reality must have a counterpart in the physical theory.”

Será a Mecânica Quântica uma teoria completa?Início de um longo debate com Bohr e outros...

Einstein, Podolsky & Rosen, 1935

1. Há variáveis escondidas que determinamo resultado da observação (realismo);

2. A observação de uma partícula não podeinfluenciar os resultados de qualquer observação

efectuada na outra partícula (localidade).

As previsões deste modelo estão em contradição comas da Mecânica Quântica: uma ou ambas as

hipóteses não é/são válida(s) (se a MQ estiver completa!)

O teorema do sossego (1964)

Em 1964, John Bellpropõe estudar o problema

considerando duas hipóteses:

“In a theory in which parameters are added to Quantum Mechanics to determine the results of individual measurements, without changing the statistical

predictions, there must be a mechanism whereby the setting of one measuring device can influence the reading of another instrument, however remote.”

Desde então, outra provas apareceram,• com probabilidades: Clauser, Horne, Shimony & Holt (1969);

• deterministas: Greenberger, Horne & Zeilinger (1989), Hardy (1993)...

Teorema de Bell, 1964

Resultados de Bell implicam violação do realismo local:não há variáveis escondidas locais!

Resultados experimentais

• Freedman & Clauser, 1972

• Aspect et al, 1982

• Zeilinger et al, 1998 (encerra falha localidade)

• Gisin et al, 1998 (para além de 10 km)

• Wineland et al, 2001 (encerra falha detecção)

Mas há sempre partidários das teorias da conspiração!

Todas as experiências até à data confirmam a violação do realismo local e a validade da Mecânica Quântica:

Fonte de fotões entangled, 1982

Genebra, 1998

Viena, 2003

Também em 1935, Schrödinger identificou o entanglement como:

“the characteristic trait of Quantum Mechanics, the one that enforces its entire departure from

classical lines of thought”.

Entanglement quântico, 1935

Os estados entrelaçados oferecem correlaçõessem equivalente clássico: um recurso novo

(e interessante) para o processamento de informação!

III. Criptografia Quântica

Ekert, Oxford, 1991

EPR, 1935: “If, without in any way disturbing a system,we can predict with certainty [...] the value of a physical quantity,

then there exists an element of physical reality correspondingto the physical quantity.”

Ekert, 1991: “This is the definition of perfect eavesdropping!”

Criptografia baseada em EPR/Bell, 1991O teorema de Bell e a violação do realismo local implicam que é

possível detectar escutas (Eva) em comunicações quânticas.

Distribui-se pares tipo EPR a A e B

1

2 A B A B

1

2 A B A B

Distribui-se pares tipo EPR a A e B

A B

Para cada partícula, A e B escolhemse observam segundo V ou H.

1

2 A B A B

A e B observam segundo a mesma base

A B

A e B escolhem fazer a observação segundo V.

A B


CORRELAÇÕES QUÂNTICAS (perfeitas)

1

2 A B A B

A e B observam segundo bases diferentes

A B

A escolhe observação segundo V e B segundo H.

A B


Não há qualquer correlação entre as observações!

Adão Blimunda

Base Bit Base Bit+1 [2]

V 1 V 1

H 0 H 0

V 0 H 0

H 1 V 0

V 1 V 0

H 0 H 1

H 1 H 1

V 0 H 1

H 0 V 0

H 0 V 1

V 0 V 0

Protocolo E91

Adão Blimunda Comunicação clássica

Base Bit Base Bit+1 [2] Mesma base A B

V 1 V 1 Sim 1 1

H 0 H 0 Sim 0 0

V 0 H 0 Não

H 1 V 0 Não

V 1 V 0 Sim 1 0

H 0 H 1 Sim 0 1

H 1 H 1 Sim 1 1

V 0 H 1 Não

H 0 V 0 Não

H 0 V 1 Não

V 0 V 0 Sim 0 0

Protocolo E91


Base Bit Base Bit+1 [2] Mesma base A B Teste

V 1 V 1 Sim 1 1 Não

H 0 H 0 Sim 0 0 Sim

V 0 H 0 Não

H 1 V 0 Não

V 1 V 0 Sim 1 0 Sim

H 0 H 1 Sim 0 1 Não

H 1 H 1 Sim 1 1 Não

V 0 H 1 Não

H 0 V 0 Não

H 0 V 1 Não

V 0 V 0 Sim 0 0 Não

Protocolo E91


Base Bit Base Bit+1 [2] Mesma base A B Teste Chave

V 1 V 1 Sim 1 1 Não 1

H 0 H 0 Sim 0 0 Sim

V 0 H 0 Não

H 1 V 0 Não

V 1 V 0 Sim 1 0 Sim

H 0 H 1 Sim 0 1 Não 0/1

H 1 H 1 Sim 1 1 Não 1

V 0 H 1 Não

H 0 V 0 Não

H 0 V 1 Não

V 0 V 0 Sim 0 0 Não 0

Protocolo E91


Base Bit Base Bit+1 [2] Mesma base A B Teste Chave

V 1 V 1 Sim 1 1 Não 1

H 0 H 0 Sim 0 0 Sim

V 0 H 0 Não

H 1 V 0 Não

V 1 V 0 Sim 1 0 Sim

H 0 H 1 Sim 0 1 Não 0/1

H 1 H 1 Sim 1 1 Não 1

V 0 H 1 Não

H 0 V 0 Não

H 0 V 1 Não

V 0 V 0 Sim 0 0 Não 0

Protocolo E91

Obtém-se assim uma chave aleatória e segura!



Secreta: problema de esconder a chave;Aleatório: não é bem, mas pronto...



Eva (Eavesdropper)

A BEMISSOR RECEPTORCANAL

Distribuição de chave quântica

As correlações quânticas permitem gerar e distribuir de forma segura uma chave puramente aleatória,

com o comprimento que quisermos.

A Mecânica Quântica resolve resolve assim o problema da distribuição de chave para aplicar a cifra

de Vernam: criptografia completamente segura!

• 1970, Wiesner: dinheiro quântico

• 1984, Bennett & Brassard (BB84): 4 estados

• 1991, Ekert (E91): pares EPR

Criptografia quântica

A distribuição de chave quântica funciona...

Transacção bancária “quântica”, 2004


A distribuição de chave quântica funciona...... e já está à venda!


A distribuição de chave quântica funciona...... e já está à venda!

Limitações e desafios:

• Até 150 km em fibra óptica comercial• Autenticação: B é mesmo B?

• Funciona entre A e B, mas e redes?• Open-air / wireless

• Eficiência dos detectores, etc.• A criptografia é apenas um de muitos

problemas de segurança

ConclusõesA Física Quântica oferece-nos os novas formas de codificar e transmitir, mais seguras e eficientes...

mas também mais frágeis e difíceis de implementar.

Na realidade, a Física Quântica oferece-nos umnovo tipo de informação: a informação quântica!

A Física fundamental, e o desassossego deEinstein em particular, estão na base de

tecnologia de ponta que poderá vir atransformar a nossa Sociedade da Informação

ConclusõesA Física Quântica oferece-nos os novas formas de codificar e transmitir, mais seguras e eficientes...

mas também mais frágeis e difíceis de implementar.

Na realidade, a Física Quântica oferece-nos umnovo tipo de informação: a informação quântica!

A Física fundamental, e o desassossego deEinstein em particular, estão na base de

tecnologia de ponta que poderá vir atransformar a nossa Sociedade da Informação

Há ainda muito por compreender e construir!

do desassossego de einstein até à criptografia quântica yasser omar (yasser.omar at iseg.utl.pt)...

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