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Derrotas

1177Navegação astronômica e derrotas

Conhecendo-se os diversos rumos e distâncias navegadas, além das coordenadasgeográficas do ponto de partida, procede-se da seguinte maneira:

a. Constrói-se um quadro como o da figura 33.18;

b. com a Tábua do Ponto (ou pelo cálculo), para cada rumo e distância navegados,preenchem-se os valores das diferenças de Latitude e do apartamento, com a correspon-dente designação: se N ou S ; se E ou W;

c. somam-se as colunas e determinam-se os valores finais de Dj e ap;

d. aplica-se o Dj encontrado à Latitude de partida, encontrando-se a Latitude doponto de chegada. Calcula-se, então, a Latitude média;

e. com a Latitude média e o valor final do apartamento, determina-se, pela Tábuado Ponto, ou pelo cálculo, a diferença de Longitude; e

f. aplica-se a diferença de Longitude à Longitude de partida, determinando-se, as-sim, a Longitude do ponto de chegada.

EXEMPLO:

Com os rumos e distâncias navegados mostrados na figura 33.17 e sabendo-se queas coordenadas do ponto de partida são Latitude 29º 37,3' S , Longitude 044º 13,0' W,determinar as coordenadas do ponto de chegada.

SOLUÇÃO:

a. Os rumos e distâncias navegados são, respectivamente:

PERNADA RUMO DISTÂNCIA NAVEGADA

1 021º 61,0'

2 120º 80,0'

3 140º 41,0'

4 230º 48,0'

Figura 33.18 – Quadro para Resolução da Derrota Estimada Composta

Dj ApRumo d

N S E W

Dj = ap =

Derrotas

Navegação astronômica e derrotas1178

b. Entra-se na Tábua do Ponto e constrói-se o seguinte quadro:

Dj = 45,4' S ap = 80,8' E

jA = 29º 37,3' S lA = 044º 13,0' W

Dj = 45,4' S Dl = 01º 33,3' E

jB = 30º 22,7' S lB = 042º 39,7' W

2jm = 60º

jm = 30º, ap = 80,8' E Þ Dl = 93,3' E = 01º 33,3' E

33.5 DERROTA DE MERCATOR. PROCESSO DAS LATITUDES CRESCIDAS

Como vimos, as fórmulas usadas para solução dos problemas de derrotasloxodrômicas e para preparação da Tábua do Ponto nada mais são do que as equaçõesque relacionam os elementos de um triângulo retângulo plano. Seu emprego não resultaem erros apreciáveis até distâncias da ordem de 600 milhas. Entretanto, para longasdistâncias, ou quando a diferença de Latitude entre os pontos de partida e de destino émuito grande, principalmente em altas Latitudes, a curvatura da Terra e a sua formageométrica (elipsóide de revolução) devem ser consideradas.

Quando foi estudada a Projeção de Mercator (Volume I, Capítulo 2), verificou-seque a mesma é uma projeção cilíndrica equatorial conforme; isto é, os pontos da superfí-cie da Terra são projetados sobre um cilindro, tangente à superfície terrestre no Equador.Para que a projeção seja conforme (isto é, represente os ângulos sem deformação) eortomorfa (mantenha a forma das pequenas figuras), a representação dos paralelos édeformada (de modo a compensar a abertura dos meridianos), dando origem às Latitudescrescidas (figura 33.19).

Assim, a escala de Latitude e de distância em qualquer ponto de uma Carta deMercator é proporcional à secante da Latitude do ponto, aumentando à medida que seafasta do Equador, até que, nos pólos, a escala torna-se infinita (por esta razão, é impos-sível representar os pólos em um carta de Mercator).

Dj apRumo dN S E W

021º 61' 56,9' 21,9'120º 80' 40,0' 69,3'140º 41' 31,4' 26,4'230º 48' 30,9' 36,8'

56,9' N 102,3' S 117,6' E 36,8' W 56,9' N 36,8' W 45,4' S 80,8' E

Derrotas


Na figura 33.20, verifica-se que a distância entre paralelos que têm a mesma dife-rença de Latitudes aumenta à medida que se afasta do Equador.

Figura 33.19 – Latitudes Crescidas

Figura 33.20 – Latitudes Crescidas na Projeção de Mercator

d 45º

D

C30º

15º

BO

b1'

A1'

EQUADOR

45ºd

DDj

30º

15º

0º

Dj

DjB b

A

Dj É CONSTANTE (Dj = 15º)

O ESPAÇAMENTO ENTRE PARALELOS É VARIÁVEL

Derrotas


A Latitude crescida correspondente a uma determinada Latitude é o comprimentodo arco de meridiano entre o Equador e a transformada do paralelo desta Latitude naProjeção de Mercator, medido em minutos de Longitude.

Um minuto de Longitude (ou minuto de círculo máximo na Projeção) é denominadode parte meridional. Assim, a Latitude crescida correspondente a uma determinadaLatitude é o número de partes meridionais compreendidas entre o Equador e a transfor-mada do paralelo desta Latitude.

Na figura 33.19, por exemplo, a Latitude crescida do paralelo de 45º é o compri-mento do arco de meridiano Ad entre o Equador e a reta que representa o paralelo de 45ºna Projeção de Mercator, medido em minutos de Longitude, ou partes meridionais.

A Latitude crescida correspondente a qualquer paralelo de Latitude é fornecidapela Tábua V – Latitudes Crescidas, da publicação DN6-1,Tábuas para Navegação Esti-mada, editada pela DHN, e também reproduzida no final do Volume III deste Manual.

As Latitudes crescidas foram calculadas para o Elipsóide Internacional de Referên-cia (ver o Capítulo 1, Volume I) pelo emprego da fórmula:

Onde e representa a excentricidade do Elipsóide Internacional de Referência(e = 0,0819919)

EXEMPLOS:

1. Qual a Latitude crescida correspondente a 30º 35'?

SOLUÇÃO:

a. A Tábua V – Latitudes Crescidas nos fornece:

Lat = 30º 30' Þ Lat cr = 1911,4

5' Þ 5,7

Lat = 30º 35' Þ Lat cr = 1917,1 minutos de Longitude

b. Assim, 30º 35' = 1835' correspondem, na Carta de Mercator, a uma extensão de1917,1', medida na escala das Longitudes.

2. Qual a diferença de Latitudes Crescidas (Djc) entre 18º 20' S e 19º 19' S?

SOLUÇÃO:

Lat = 18º 20'S Þ Lat cr = 1112,0

Lat = 19º 19'S Þ Lat cr = 1173,9

Dj = 59'S Þ D Lat cr (Djc) = 61,9 minutos de Longitude

Então, para derrotas loxodrômicas longas, ou quando as diferenças de Latitude sãograndes, principalmente nas altas Latitudes, para um resultado mais preciso deve-seusar o processo das Latitudes crescidas, denominado Derrota de Mercator.

Para o cálculo da Derrota de Mercator, tal como no caso da derrota loxodrômicajá estudada, dois tipos de problemas podem se apresentar:

Lat cr =10800

x 0,43429 tg 45 +

2–

10800 1

3 e sen + ...4 3

pj

p j jlg sen

m

æèç

öø÷

+æèç

öø÷e2

Derrotas


1º. Conhecem-se as coordenadas do ponto de partida (jA , lA) e do ponto de destino(jB , lB) e deseja-se determinar o Rumo e a distância a ser navegada.

Neste caso, as fórmulas a serem usadas são:

R = arc tg Dl Djc

dist = Dj . sec R (em milhas náuticas)

EXEMPLO:

Calcular o Rumo e a distância a ser navegada na derrota de Mercator entre oponto A (Latitude 16º 00,0' S , Longitude 005º 55,0' W) e o ponto B (Latitude 40º 28,0'N ,Longitude 074º 00,0' W).

SOLUÇÃO:

a. A Tábua de Latitudes Crescidas nos fornece:

jA = 16º 00,0' S Þ Lat cr(A) = 966,4jB = 40º 28,0' N Þ Lat cr(B) = 2.644,4Dj = 56º 28,0' N Þ Djc = 3.610,8Dj = 3.388,0' N

NOTA:

Quando os dois pontos estão em lados opostos do Equador, a diferença de Latitudescrescidas (Djc) é obtida pela soma das Lat cr correspondentes.

b. lA = 005º 55,0' WlB = 074º 00,0' WDl = 068º 05,0' W = 4.085,0' W

c. R = arc tg 4085,0

= 48,5º NW = 311,5º 3610,8

dist = Dj . sec R = 5.115,7 milhas náuticas.

NOTA:

Se fôssemos calcular o Rumo e a distância com as fórmulas da derrota loxodrômicaestudadas anteriormente, teríamos:

R = 49,7º NW = 310,3º

dist = 5.236,1 milhas náuticas.

Como se vê, as fórmulas aproximadas (que, simplesmente, resolvem um triânguloretângulo plano) levaram a um grande erro em distância no cálculo do arco de loxodromia(neste caso, um erro de 120,4 milhas).

2º. No segundo caso, conhecem-se as coordenadas do ponto de partida (jA , lA), oRumo (R) e a distância navegada (dist), e deseja-se determinar as coordenadas do pontode chegada (jB , lB).

Derrotas


Neste caso, na derrota de Mercator o cálculo da Latitude do ponto de chegada éidêntico ao da derrota loxodrômica estudada, isto é:

Dj = dist . cos R e jB = jA + Dj

O cálculo da Longitude do ponto de chegada, entretanto, não emprega o aparta-mento. Lembremos que a Latitude crescida é a distância medida sobre o meridiano, doEquador até o paralelo considerado, em minutos de Longitude. Na figura 33.21, A é oponto de partida e B o ponto de chegada. O rumo do arco de loxodromia é R. A Latitudecrescida do ponto A é jc(A) e a do ponto B é jc(B) . A diferença de Latitudes crescidas,então, será: Djc = jc(A) – jc(B) .

No triângulo retângulo formado (ver a figura 33.21) os catetos são a diferença deLatitudes crescidas (Djc) e a diferença de Longitude (Dl) ambos medidos na mesma uni-dade (minutos de Longitude). Assim, tem-se:

NOTA:

Pode-se resolver esta fórmula entrando na Tábua do Ponto com o Rumo e com Djcna coluna de Dj (d Lat), encontrando-se Dl na coluna do apartamento (ap).

EXEMPLO:

Um navio parte da posição Latitude 50º 00,0' N, Longitude 017º 00,0' W, no RumoVerdadeiro 260º, navegando uma distância de 1.200 milhas. Determinar as coordenadasdo ponto de chegada, pela derrota de Mercator.

tg R = Dl e Dl = Djc . tg R

Djc

Figura 33.21 – Processo das Latitudes Crescidas

DlB

Dj

c

A

Dl

jc(

A)

jc(

B)

EQUADOR

R

Derrotas


SOLUÇÃO:

a. Dj = dist . cos R = 208,4' S = 03º 28,4' S

jA = 50º 00,0' N

Dj = 03º 28,4' S

jB = 46º 31,6' N

b. A Tábua de Latitudes crescidas (Tábua V) nos fornece os seguintes valores:

jA = 50º 00,0' N Þ Lat cr(A) = 3.456,7

jB = 46º 31,6' N Þ Lat cr(B) = 3.144,4

Djc = 312,3

c. Dl = Djc . tg R = 1.771,1' W = 29º 31,1' W

lA = 017º 00,0' W

Dl = 29º 31,1' W

lB = 046º 31,1' N

d. As coordenadas do ponto de chegada são, então:

Latitude 46º 31,6' N , Longitude 046º 31,1' W.

NOTA:

Se fôssemos resolver este problema pelas fórmulas aproximadas da derrota loxo-drômica teríamos:

a. Dj = dist. cos R = 208,4' S = 03º 28,4' S

jA = 50º 00,0' N

Dj = 03º 28,4' S

jB = 46º 31,6' N

b. ap = dist . sen R = 1.181,8' W

jm = 48º 15,8' N

Dl = ap . sec jm = 1.775,3' W = 29º 35,3' W

lA = 017º 00,0' W

Dl = 29º 35,3' W

lB = 046º 35,3' W

c. Assim, na distância de 1.200 milhas e na Latitude de 50º N, o emprego dasfórmulas aproximadas da derrota loxodrômica resultou em um erro de 4,2' na Longitudedo ponto de chegada.

33.6 DERROTA ORTODRÔMICA

a. NAVEGAÇÃO ORTODRÔMICANavegação ortodrômica é aquela em que o navio percorre o arco de círculo máxi-

mo que passa pelos pontos de partida e de chegada. Como vimos, a menor distância entre

Derrotas


dois pontos na superfície da esfera terrestre é o arco de círculo máximo que os une. Então,se navegamos em círculo máximo estaremos percorrendo a menor distância entre os pon-tos de partida e de destino.

Para manter-se sobre a ortodromia, entretanto, o navegante deveria variar o rumocontinuamente, para navegar sobre o arco do círculo máximo, pois a ortodromia faz comos sucessivos meridianos ângulos diferentes. Como isto não é prático, divide-se o arco decírculo máximo que une o ponto de partida ao de chegada em um determinado número desegmentos, ligando-se os pontos divisores por loxodromias, o que, na carta de Mercator,seria representado tal como mostrado na figura 33.22.

Nesta figura, a curva cheia é aortodromia (arco de círculo máximo) queune os pontos de partida (A) e de destino(B), que foi dividida em três segmentosde loxodromia: AC, CD e DB. Na execu-ção da derrota ortodrômica, navega-sepor essas loxodromias. Obviamente, quan-to maior for o número de arcos deloxodromia, maior aproximação haveráentre a distância navegada e a distânciaortodrômica.

Há dois métodos para solução dos problemas de navegação ortodrômica: o méto-do analítico, que envolve o cálculo dos elementos da derrota ortodrômica, utilizandofórmulas da trigonometria esférica, e o método gráfico, que consiste no traçado da derro-ta ortodrômica em Cartas Gnomônicas e o seu transporte para Cartas Náuticas naProjeção de Mercator.

b. CÁLCULO DA DERROTA ORTODRÔMICAQuando se calcula a derrota ortodrômica, considera-se um triângulo esférico

formado na superfície da Terra (ver a figura 33.23), cujos vértices são:

– o ponto de partida (A)

– o ponto de destino (B)

– o pólo elevado do ponto de parti-da (Pn)

Todos os lados deste triângulo sãoarcos de círculo máximo (ortodromias):

– o lado AB é a ortodromia entre oponto de partida e de destino;

– o lado PnA é um arco do meridianodo ponto A (ponto de partida);

– o lado PnB é um arco do meridianodo ponto B (ponto de destino).

Figura 33.22 – Derrota Ortodrômica

Figura 33.23 – O Triângulo da Navegação Ortodrômica

Pn

Ps

Dl

B

jBRi

A jAl A

l B

EQUADOR

MER. GREENW

ICH

DIST.O

RTODRÔMICA

Derrotas


O ângulo no pólo elevado é a diferença de Longitude entre os pontos A e B, comopode ser verificado na figura 33.23. O ângulo no vértice A é o Rumo inicial (Ri) da derro-ta ortodrômica.

O triângulo esférico mostrado na figura 33.23 é denominado triângulo da nave-gação ortodrômica, sendo semelhante ao triângulo de posição da Navegação Astro-nômica, estudado em capítulos anteriores. Comparando-se os dois triângulos podem serestabelecidas as seguintes analogias:

As relações entre o triângulo de posição e o triângulo da navegação ortodrômicasão mostradas na figura 33.24.

Figura 33.24 – Relações entre o Triângulo de Posição e o Triângulo da NavegaçãoOrtodrômica

PÓLOP

90º ± d

90º –

j

A

ASTRO

t

zZ

Z

ZÊNITE

(a) (b)

PARTIDA

A

Dist.

Ri

B

DESTINO

90º –

jA

Dl 90º ± jB

P

PÓLO

VÉRTICESTriângulo de Posição Triângulo da Navegação Ortodrômica

PÓLO ELEVADO PÓLO ELEVADOPOSIÇÃO DO OBSERVADOR PONTO DE PARTIDA

PONTO SUBASTRAL PONTO DE DESTINO

LADOSTriângulo de Posição Triângulo da Navegação Ortodrômica

COLATITUDE (90º – j) COLATITUDE DO PONTO DE PARTIDA(90º – jA)

DISTÂNCIA POLAR (90º ± d) (90º ± jB)DISTÂNCIA ZENITAL (z) DISTÂNCIA ORTODRÔMICA (AB)

ÂNGULOSTriângulo de Posição Triângulo da Navegação Ortodrômica

ÂNGULO HORÁRIO LOCAL (t) DIFERENÇA DE LONGITUDE (Dl)ÂNGULO NO ZÊNITE (Z) RUMO INICIAL (Ri)ÂNGULO PARALÁTICO –

Derrotas


No cálculo de uma derrota ortodrômica conhecem-se as coordenadas do ponto departida (jA , lA) e as coordenadas do ponto de destino (jB , lB). Assim, o triângulo esféricoda navegação ortodrômica pode ser resolvido, pois conhecem-se 2 lados (90º – jA e 90º ± jB)e o ângulo formado entre eles (Dl = lA – lB). O referido triângulo pode ser resolvido pelasseguintes fórmulas da trigonometria esférica, já mencionadas em capítulos anteriores:

cos Dist = sen jA . sen jB + cos jA . cos jB . cos Dl

cos Ri =

sen jB – cos Dist . sen jA

sen Dist . cos jA

NOTAS:

1. Nas fórmulas acima Latitudes Sul devem receber um sinal negativo ( – ).

2. O Rumo inicial computado será dado do Norte para Leste ou Oeste, conforme D lseja Leste ou Oeste.

Existem calculadoras eletrônicas de navegação programadas para resolver proble-mas de navegação ortodrômica (cálculo da distância ortodrômica e do Rumo inicial). Al-ternativamente, pode ser preparado um programa especial, baseado nas fórmulas acima,para uma calculadora eletrônica programável.

EXEMPLO:

Calcular a derrota ortodrômica (Rumo inicial e distância ortodrômica) de SanFrancisco, EUA (Latitude 37º 49,0' N , Longitude 122º 25,0' W) a Gladstone, Austrália(Latitude 23º 51,0' S , Longitude 151º 15,0' E).

SOLUÇÃO:

a. lA = 122º 25,0' W

lB = 151º 15,0' E

Dl = 86º 20,0' W

b. Utilizando as fórmulas da trigonometria esférica que resolvem a derrotaortodrômica (lembrando de entrar com a Latitude do ponto de chegada com sinal negati-vo, por estar no Hemisfério Sul), determinam-se:

Dist. ortodrômica: 6.098,2 milhas náuticas

Ri = 111,3º NW = 248,7º @ 248,5º

Entretanto, o cálculo dos elementos da derrota ortodrômica (Ri e distânciaortodrômica) também pode ser feito pelas Tábuas para Navegação Astronômica, que, comovimos, nada mais são do que um conjunto de soluções pré-computadas do triângulo deposição, para todas as combinações possíveis de Latitude, Declinação e Ângulo Horário.

Vamos estudar a solução dos problemas de derrota ortodrômica pelas TábuasPub.229, “Sight Reduction Tables for Marine Navigation”. Recordando as analogias entre o

Derrotas


triângulo de posição da Navegação Astronômica e o triângulo da navegaçãoortodrômica, verifica-se que os elementos de entrada na Pub.229 serão:

Latitude do ponto de partida (jA), como Latitude;

Latitude do ponto de destino (jB), como Declinação;

Diferença de Longitude (Dl), como AHL.

Para emprego das Pub.229 na solução de problemas de navegação ortodrômica, devemser observadas as seguintes regras:

1ª. Comparam-se as Latitudes do ponto de partida (jA) e do ponto de destino (jB)para verificar se entramos nas páginas de Latitude e Declinação de mesmo nome (“Lati-tude same name as Declination”), ou nas páginas de Latitude e Declinação de nomescontrários (“Latitude contrary name to Declination”).

2ª.Vimos que, no triângulo da navegação ortodrômica, a distância ortodrômica(Dist) corresponde à distância zenital (z = 90º – a) no triângulo de posição. Portanto,a distância ortodrômica será igual a 90º – Hc (altura calculada fornecida pela Tábua),quando a linha C/S (“CONTRARY/SAME”) não é cruzada. Quando a linha C/S é cruzada,tem-se: Dist = 90º + Hc.

3ª. O valor do Rumo inicial (Ri) será o ângulo no Zênite (Z) fornecido pela Pub.229,devidamente transformado em Azimute Verdadeiro (A) pelas fórmulas apropriadas:

· Latitude do ponto de partida (jA) Norte:

Dl : E Þ Ri = A = Z

Dl : W Þ Ri = A = 360º – Z

· Latitude do ponto de partida (jA) Sul:

Dl : E Þ Ri = A = 180º – Z

Dl : W Þ Ri = A = 180º + Z

4ª. Se a linha C/S for cruzada pela derrota ortodrômica, Z = 180º – tab Z, ou seja,o valor do ângulo no Zênite será o suplemento do valor tabulado de Z (fornecido pela Pub.229).

5ª. Para uso da Pub.229 na solução de problemas de derrota ortodrômica ado-tam-se uma posição nas proximidades do ponto de partida e outra nas proximidades doponto de destino, de modo que se tenham:

· Latitude do ponto de partida (jA) em graus inteiros;

· Diferença de Longitude (Dl = lA – lB) em graus inteiros.

Estas posições serão, respectivamente, o início e o fim da derrota ortodrômica.As distâncias remanescentes podem ser medidas diretamente em Cartas de Mercator.

EXEMPLOS:

1. Calcular, pela Pub.229, a distância ortodrômica e o Rumo inicial da derrotaortodrômica entre Fremantle, Austrália (Latitude 32º 00,0' S, Longitude 116º 00,0' E) eDurban, África do Sul (Latitude 30º 00,0' S, Longitude 031º 00,0' E).

·

·

·

Derrotas


SOLUÇÃO:

a. lA = 116º 00,0' E

lB = 031º 00,0' E

Dl = 85º 00,0' W

b. Entra-se, então, na Pub.229 Volume 3 – Latitudes 30º–45º, inclusive, com:

· Latitude (jA) = 32º S

· Declinação (jB) = 30º S

· AHL (Dl) = 85º (W)

Obtendo:

· altura calculada: Hc = 19º 12,4'

· ângulo no Zênite: Z = 66º SW

c. Então:

· Dist = 90º – Hc = 70º 47,6' = 4.247,6 milhas

· Ri = 180º + Z = 246º

2. Calcular, pela Pub.229, a derrota ortodrômica de San Francisco, EUA (Latitude37º 49,0' N , Longitude 122º 25,0' W) para Gladstone, Austrália (Latitude 23º 51,0' S, Longi-tude 151º 15,0' E).

SOLUÇÃO:

a. Como vimos, para uso da Pub.229 na solução de problemas de derrotasortodrômicas, adotam-se posições nas proximidades do ponto de partida e do ponto dedestino, de modo que se tenham valores em graus inteiros, tanto da Latitude do ponto departida (jA), como da diferença de Longitude (Dl). Neste caso, então, faremos:

· início da ortodrômica: Latitude 37º N, Longitude 123º W.

· fim da ortodrômica: Latitude 23º S, Longitude 152º E.


· Latitude (jA) = 37º N


· AHL (Dl) = 85º (W)

Obtendo:

· altura calculada: Hc = 09º 51,0'

· ângulo no Zênite: tab Z = 68,5º

c. Como a linha C/S foi cruzada, faz-se:

· Dist = 90º + Hc = 90º + 09º 51,0'= 5.991,0 milhas

· Z = 180º – tab Z = 111,5º NW

· Ri = 248,5º

d. A distância total a ser navegada, seria:

· Loxodromia de San Francisco até o início da ortodrômica: 56,4'

· Derrota ortodrômica: 5.991,0'

· Loxodromia do final da ortodrômica até Gladstone: 65,8'

Distância total: 6.113,2'

Derrotas


e. Comparando com a distância ortodrômica direta de San Francisco para Gladstone,calculada pela trigonometria esférica (Dist = 6.098,2 milhas), verifica-se que a solução pelaPub.229 resultou em um valor um pouco maior, mas ainda bem menor que a distâncialoxodrômica San Francisco – Gladstone, que é de 6.146,5 milhas (calculada pelas fórmulas daderrota de Mercator; se fosse calculada pelas fórmulas aproximadas, a distância seria de6.334,5 milhas).

Entretanto, cabem aqui algumas considerações sobre o que é o Rumo inicial (Ri) deuma derrota ortodrômica. O Rumo inicial é o ângulo formado entre a projeção do meridianodo ponto de partida e a projeção da ortodromia, sobre o plano do horizonte do ponto de parti-da. Como a ortodromia forma ângulos diferentes com os sucessivos meridianos, se o naviogovernar no Rumo inicial e mantê-lo inalterado, jamais se alcançará o ponto de destino. ORi é um rumo teórico a ser assumido no ponto de partida da derrota ortodrômica e queteria que ser continuamente ajustado, para que se navegue sobre o arco de círculo máximo.

Assim, conforme vimos, na prática a derrota ortodrômica é dividida em uma sériede arcos de loxodromia. Então, é necessário determinar as coordenadas de vários pontossobre o arco de círculo máximo, para usá-los como limites dos segmentos de loxodromia. Emgeral, determinam-se pontos sobre o arco de círculo máximo espaçados de cerca de 600 mi-lhas, pois até esta distância a ortodromia e a loxodromia praticamente coincidem.

Suponhamos, por exemplo, que desejamos calcular as coordenadas dos pontos C, D, E,F e G, espaçados de 600 milhas, ao longo da derrota ortodrômica (arco de círculo máximo)AB, mostrada na figura 33.25.

Figura 33.25 – Pontos ao Longo do Arco de Círculo Máximo

P

A CD

E

F

G

B

Ri

Derrotas


A Pub.229 pode ser usada para cálculo das coordenadas dos pontos da derrotaortodrômica, desde que se entre com os seguintes elementos:

· Latitude do ponto de partida (jA), como Latitude;

· Ri (aproximado ao grau inteiro mais próximo), como AHL;

· 90º – distância do ponto de partida ao ponto de interesse sobre a derrotaortodrômica, como Declinação; e

· use-se sempre a página de mesmo nome (“same name”).

A tábua nos fornecerá Hc e Z; então:

· A Latitude do ponto cujas coordenadas queremos determinar será iguala Hc; e

· a diferença de Longitude do ponto de partida até o ponto que queremosdeterminar será igual a Z. Assim, pode-se obter a Longitude do referido ponto.

EXEMPLO:

Calcular o Rumo inicial e a distância ortodrômica de Lisboa (ponto de partida:Latitude 38º N, Longitude 009º W) para as Ilhas Falkland/Malvinas (ponto de destino:Latitude 52º S, Longitude 057º W), e determinar as coordenadas de pontos espaçados de600 milhas ao longo da derrota ortodrômica entre os dois locais.

SOLUÇÃO:

a. lA = 009º W

lB = 057º W

Dl = 48º W


· Latitude (jA) = 38º N


· AHL (Dl) = 48º (W)

nomes contrários

Obtendo:

· Hc = 9º 14,2'

· tab Z = 27,6º

c. Como a linha C/S foi cruzada, tem-se:

· Dist = 90º + Hc = 99º 14,2' = 5.954,2 milhas

· Ri = 180º – tab Z = 152,4º NW

· Ri = 207,6º @ 207,5º

d. Para cálculo das coordenadas dos pontos ao longo da derrota ortodrômica, entra-se na Pub.229 com:

· Latitude (jA) = 38º

· AHL (Ri) = 152º NW (arredondado ao grau inteiro) página “same name”

· Declinação = 90º – Distância do ponto

e. Vamos obter, assim:

}

}

Derrotas


Assim, os pontos calculados ao longo do arco de círculo máximo (C, D, E, F, G, H, I,J e L) são plotados em uma Carta de Mercator, na qual a derrota ortodrômica é percorri-da por uma série de arcos de loxodromia, representados por linhas retas que conectam ospontos determinados.

O rumo de cada pernada é, então, medido diretamente na Carta de Mercator. Adistância de cada pernada (exceto a última) será de 600 milhas.

NOTAS:

1. Na Pub.229, quando a linha C/S (“CONTRARY/SAME”) é cruzada, a Latitudemuda de nome e a diferença de Longitude torna-se igual a 180º – Z.

2. Como uma página da Pub.229 cobre Declinações de 0º a 90º, deve-se continuarna página ao lado quando a distância excede 90º (5.400 milhas). Neste caso, entra-se napágina ao lado com o excesso sobre 90º como Declinação, continuando com a mesma Lati-tude (jA). A diferença de Longitude será 180º – Z; a Latitude do ponto que queremosdeterminar será igual a Hc.

O cálculo das coordenadas de pontos ao longo da derrota ortodrômica tambémpode ser feito pela trigonometria esférica. Neste caso, é recomendável tomar pontos comLongitudes exatas (em graus inteiros), espaçados de aproximadamente 600 milhas náuti-cas, ou seja, pontos defasados em Longitude de 10º em 10º, ou de 15º em 15º, conforme asLatitudes em que se vai navegar. Com a Longitude fixada, a Latitude do ponto pode serdeterminada pela fórmula:

tgj = tgb . sen (l – a)Onde:

j = Latitude do ponto do arco de círculo máximo;l = Longitude fixada para o ponto do arco de círculo máximo; ea e b = Constantes do arco de círculo máximo (cujo significado e determinação se-

rão abordados no item 33.7).

Existem calculadoras eletrônicas de navegação programadas para efetuar o cálcu-lo das coordenadas de pontos ao longo da derrota ortodrômica.

Em resumo, o cálculo da derrota ortodrômica pode ser feito pelas fórmulas datrigonometria esférica apresentadas, ou pelas Tábuas para Navegação Astronômica. Nocaso explicado, de uso das Pub.229 para cálculo da derrota ortodrômica, verifica-seque essas tábuas foram especialmente preparadas para serem empregadas com uma po-sição assumida, sendo, por isso, necessário arredondar para o grau inteiro mais próximoa Latitude do ponto de início da ortodrômica e a diferença de Longitude entre o ponto de

PONTO DISTÂNCIA(MILHAS) 90º – DISTÂNCIA LATITUDE Dl LONGITUDE

CDEFGHIJL

6001.2001.8002.4003.0003.6004.2004.8005.400

80º70º60º50º40º30º20º10º00º

29º 02,7' N19º 54,7' N10º 40,7' N01º 23,9' N07º 53,3' S17º 08,5' S26º 18,7' S35º 19,8' S44º 05,3' S

5,4º W9,8º W

13,8º W17,6º W21,3º W25,2º W29,5º W34,5º W40,8º W

014º 24,0' W018º 48,0' W022º 48,0' W026º 36,0' W030º 18,0' W034º 12,0' W038º 30,0' W043º 30,0' W049º 48,0' W

Derrotas


partida e o de destino. Contudo, na navegação ortodrômica perde-se precisão quando searredondam a Latitude de partida, a Latitude de destino ou a diferença de Longitude.Portanto, o cálculo mais correto é o da determinação do Rumo inicial e da distânciaortodrômica pelas fórmulas trigonométricas, usando a trigonometria esférica, também,para calcular as coordenadas de pontos ao longo do arco de círculo máximo.

c. SOLUÇÃO DA DERROTA ORTODRÔMICA PELO MÉTODOGRÁFICO

O método gráfico consiste no traçado da derrota ortodrômica em uma CartaGnomônica e a sua transferência, por pontos, para Cartas de Mercator, onde será, real-mente, conduzida a navegação.

A projeção Plana Gnomônica ou, como é normalmente denominada, a ProjeçãoGnomônica, foi estudada com detalhes no Volume I deste Manual (Capítulo 2). Vimos queesta projeção apresenta todos os tipos de deformações, mas tem a propriedade única de repre-sentar todos os círculos máximos por linhas retas. Então, é empregada em CartografiaNáutica, principalmente na construção de cartas para planejamento de derrotas ortodrômicas.

Nas Cartas Gnomônicas (figura 33.26), os meridianos, que são círculos máximos,são representados por linhas retas convergindo para o pólo mais próximo do ponto detangência. Os paralelos, exceto o Equador (que é um círculo máximo), aparecem comolinhas curvas. Nessas cartas, o arco de círculo máximo que passa por dois pontos quais-quer A e B é representado pela linha reta que os une, como mostrado na figura 33.26.

Assim, desde que se disponha da Carta Gnomônica apropriada, o traçado precisoda derrota ortodrômica é obtido pela simples ligação do ponto de partida e do ponto dedestino por uma linha reta. Na figura 33.27, que apresenta um trecho reduzido da Carta“Great Circle Sailing Chart of the North Atlantic Ocean”, na Projeção Gnomônica, sedesejarmos a derrota ortodrômica do Cabo Orange para o Arquipélago dos Açores bas-ta traçar na carta uma linha reta conectando os dois pontos, conforme mostrado.

As Cartas Gnomômicas, também denominadas Cartas para Navegação Ortodrômica(ou Cartas de Círculo Máximo), apresentam características bem diferentes das Cartas de

Figura 33.26 – Carta Gnomônica

A

PONTO DETANGÊNCIA

B

Derrotas


Figura 33.27 – Carta para Navegação Ortodrômica

Redução de um trecho da Carta No. 17 do NIMA (EUA)

Mercator e, como visto, são utilizadas apenas para obtenção dos dados da derrotaortodrômica para o seu traçado em Cartas de Mercator, onde será conduzida a navegação.

Cabe, aqui, chamar a atenção para alguns detalhes das Cartas Gnomônicas:

Derrotas


– Coordenadas Geográficas

Como na Projeção Gnomônica os meridianos e paralelos não são representados porretas paralelas e perpendiculares entre si, a plotagem de pontos por coordenadas, ou aleitura das coordenadas geográficas de pontos plotados na carta, deve ser feita em relaçãoà menor quadrícula em que se encontra a posição.

No trecho de Carta Gnomônica mostrado na figura 33.28, deseja-se plotar o pontode coordenadas Latitude 03º 43,0' N , Longitude 072º 46,0' W. Procede-se, então, da se-guinte maneira:

1. Determina-se a quadrícula em que se encontra a posição; neste caso, a quadrícu-la definida pelos paralelos de 03º N e 04º N, e pelos meridianos de 072º W e 073º W.

2. Marcam-se os minutos de Latitude (43,0') em ambos os meridianos laterais daquadrícula, determinando, na figura 33.28, os pontos a e a'; unindo os referidos pontos,define-se o arco de paralelo da Latitude do ponto que queremos plotar.

3. Procede-se da mesma maneira para determinar o meridiano da Longitude doponto: nos paralelos laterais da quadrícula marcam-se os minutos de Longitude (46,0'),definindo os pontos b e b'. O segmento bb' é o arco de meridiano da Longitude pedida.

4. O ponto estará na interseção dos segmentos aa' e bb'.

A figura 33.29 ilustra a plotagem, na Carta Gnomônica, do ponto de coordenadasLatitude 02º 50,0' S, Longitude 021º 30,0' E, usando o procedimento acima descrito.

Figura 33.28 – Plotagem de Posição na Carta Gnomônica

5º

b

aa'

b'

0º

70º

Derrotas


Para determinar as coordenadas de um ponto plotado na Carta Gnomônica proce-de-se de maneira semelhante. Seja a figura 33.30, que representa um trecho de uma Car-ta Gnomônica, onde está plotado o ponto P, do qual desejamos conhecer as coordenadasgeográficas:

Figura 33.29 – Plotagem do Ponto j 02º 50' S, l 021º 30' E na Carta Gnomônica

Figura 33.30 – Leitura das Coordenadas de Ponto Plotado na Carta Gnomônica

20º E

A

0º

5º S

30º E

45º N

Pab

Derrotas


1. Inicialmente, verificam-se os valores dos paralelos e meridianos que limitam a me-nor quadrícula onde está localizada a posição; neste caso 47º N e 48º N, e 031º E e 032º E,respectivamente.

2. Em seguida, traçam-se, na quadrícula onde está situado o ponto, o arco de meri-diano e o arco de paralelo da posição.

3. Então, por interpolação, determinam-se as unidades de minutos da Latitude eda Longitude da posição, neste caso 32' de Latitude e 30' de Longitude.

4. Assim, as coordenadas do ponto P serão Latitude 47º 32' N e Longitude 031º 30' E.

Na figura 33.31, desejam-se as coordenadas da ponta Norte da Ilha Clarence. Usandoo procedimento acima descrito, são obtidos os seguintes valores: Latitude 61º 00' S, Lon-gitude 054º 00' W.

Nas Cartas Gnomônicas não se deve plotar, retirar ou transportar pontos por mar-cação e distância de outros pontos ou de pontos de terra.

Em virtude do pouco uso das Cartas Gnomônicas, o que dificulta a familiarizaçãodo navegante com este tipo de projeção, as instruções para determinação do rumo e dis-tância entre dois pontos constam da própria carta.

– Medição de Distâncias

A escala de distâncias nas Cartas Gnomônicas é função do afastamento entre o seg-mento de reta cujo comprimento se deseja conhecer e o ponto de tangência da carta; assim, amedição de distâncias nestas cartas vai exigir a utilização de métodos gráficos.

Figura 33.31 – Determinação de Coordenadas na Carta Gnomônica

Derrotas


As figuras 33.32 e 33.33 mostram os dois métodos normalmente usados na mediçãode distâncias nas Cartas Gnomônicas. As explicações para o emprego de cada um deles jávêm impressas nas Cartas.

Na MEDIDA DE DISTÂNCIA POR DIFERENÇA DE LATITUDES (figura 33.32),para se determinar a distância do segmento de círculo máximo AB, trace, partindo doponto de tangência (centro da projeção), na Latitude 30º S e Longitude 020º W, a

Figura 33.32 – Medida de Distância por Diferença de Latitudes

Figura 33.33 – Medida de Distância por Diferença de Longitudes

75º

30º

a c

B'

C'

Derrotas


perpendicular C à derrota AB. Tomando o ponto de tangência como centro e com umaabertura igual à distância entre o ponto de tangência e C, trace o arco CF, que corta o“Arco para medição de distâncias por diferença de Latitudes”, já impresso na carta, noponto F. Sobre o meridiano de F, marque, para o Norte e para o Sul, as distâncias FA'=CA e FB'= BC, respectivamente. A diferença de Latitude entre os pontos A'e B', expres-sa em minutos, será a distância ortodrômica entre A e B, expressa em milhas náuticas.

Se não houver espaço para traçar os segmentos da derrota, a partir de F, para oNorte e para o Sul, eles devem ser medidos separadamente, traçando cada segmentopara o Norte ou para o Sul, como couber, e somando-se os resultados para se obter adistância total. No caso da perpendicular à derrota a partir do ponto de tangência (PC)cair sobre o prolongamento de AB, a distância ortodrômica será dada pela diferença deLatitudes entre C'A'= CA e C'B'= CB, tomadas no mesmo sentido.

Na MEDIDA DE DISTÂNCIA POR DIFERENÇA DE LONGITUDES (figura 33.33),para determinar a distância entre os pontos A e B, trace, a partir do ponto de tangência,uma perpendicular até a linha que une os pontos A e B (ou até o seu prolongamento),definindo o ponto C. Com o centro no ponto de tangência, rebata, com o auxílio docompasso, o ponto C na direção Sul, sobre o meridiano do ponto de tangência (020º W),determinando o ponto C'.

Anote a Latitude do ponto C' (no caso da figura, 63º). Marque esta Latitude (63º)sobre as pequenas escalas nas margens direita e esquerda da carta, conforme mostradona figura. Ligue estes pontos por uma linha reta. Esta linha é denominada Linha deMedida. Transfira o segmento AB para a Linha de Medida, de modo que o ponto crecaia sobre o meridiano de 020º W (meridiano do ponto de tangência), ou seja, demodo que ca = CA e bc = BC. O número de minutos de Longitude entre as duas extremi-dades (a e b) da derrota rebatida sobre a Linha de Medida será a distânciaortodrômica entre A e B, expressa em milhas náuticas.

De forma análoga, a distância em milhas náuticas entre dois pontos quaisquer daderrota é dada pelo número de minutos de Longitude entre estes pontos, quando repre-sentados sobre a Linha de Medida.

No caso da perpendicular PC cair sobre o prolongamento de AB, a distância serádada pela diferença de Longitudes entre C'A'= CA e C'B'= CB, medidas ambas no mesmosentido. Pode ocorrer que, quando rebatida sobre o meridiano central, a perpendicularPC ultrapasse os limites da carta. Se tal acontecer, adota-se o seguinte procedimento:

Alteram-se ambas as Longitudes (de partida e de chegada), de um mesmo númerode graus (10º, 20º, o valor é imaterial), no mesmo sentido, aproximando-se do ponto detangência. Mantêm-se as Latitudes. Plotam-se esses novos pontos, que chamaremos de Xe Y. Mede-se a distância entre X e Y: essa distância é igual à distância entre os pontosoriginais.

EXEMPLO:

Na carta NIMA 17, sendo o ponto de partida A (j = 40º 30' N, l = 074º W) e o ponto dechegada B (j = 17º 20' N, l = 066º 10' W) e o ponto de tangência em 30º N e 30º W, a perpen-dicular quando rebatida sobre o meridiano de 30º W cairá fora da carta. Alteraram-se asLongitudes em 10º E, aproximando-se de P, obtendo-se os pontos X (j = 40º 30' N, l =064º W) e Y (j = 17º 20' N, l = 056º 10' W). A distância entre A e B será igual à distânciaentre X e Y.

Derrotas


– Obtenção de Rumos nas Cartas Gnomônicas

Como nas Cartas Gnômicas as loxodromias, ou linhas de rumo, são representadascomo linhas curvas, os rumos obtidos nestas cartas serão sempre rumos instantâneos, talcomo o Rumo inicial da derrota ortodrômica, anteriormente conceituado. A obtenção derumos é feita com o auxílio do diagrama mostrado na figura 33.34, de acordo com asinstruções ilustradas abaixo.

Na figura 33.35, para determinar o Rumo inicial entre os pontos A e B, traceuma linha reta unindo os dois pontos na Carta Gnomônica. Anote a Latitude de um pontoD, situado sobre a derrota ortodrômica, que esteja afastado de 20º em Longitude, comrelação ao ponto de partida A. Marque a Latitude do ponto D na linha vertical central doDiagrama dos Rumos da Navegação Ortodrômica (figura 33.34), definindo o ponto D'.

No mesmo diagrama, marque a Latitude do ponto de partida (A), na linha a Leste,quando se navega para Oeste, como neste exemplo (se estivéssemos navegando para Les-te, o ponto de partida seria marcado na curva a Oeste). Por meio de uma régua de para-lelas, transporte a linha que une esses pontos (A'D') para o centro da rosa e leia o rumo:288,5º verdadeiros, neste caso. Este procedimento fornece o Rumo inicial, no ponto departida da derrota ortodrômica.

– Transporte da Derrota Ortodrômica

Uma vez traçada a derrota ortodrômica na Carta Gnomônica e medido o seucomprimento, por um dos dois métodos estudados (por diferença de Latitudes ou diferen-ça de Longitudes), os passos seguintes serão no sentido de transportar a derrota para asCartas de Mercator, onde será conduzida a navegação.

Figura 33.34 – Diagrama dos Rumos da Navegação Ortodrômica

D'

A'

Derrotas


Primeiramente, deve-se determinar o ponto de maior Latitude que o navio alcança-rá. Este ponto é denominado “Vértice da Derrota Ortodrômica” e é importante, pois irádefinir a necessidade, ou não, de se adotar uma derrota mista, como será visto adiante.

A derrota ortodrômica, então, deverá ser dividida em seções, e cada seção teráseus pontos extremos transportados para a Carta de Mercator, por suas coordenadas geo-gráficas. A navegação em cada segmento será feita segundo a loxodromia que interliga osseus extremos.

As seções em que se divide a derrota ortodrômica devem ter, pelo menos, 600 mi-lhas de extensão, pois, para distâncias menores que este valor, os comprimentos daortodromia e da loxodromia praticamente coincidem. Além disso, cumpre acrescentar que:

– É recomendável que um dos pontos selecionados da derrota ortodrômica seja oseu Vértice; e

– como vimos, todos os pontos são transportados da Carta Gnomônica para a Cartade Mercator por suas coordenadas geográficas; então, na prática, tomam-se pontos comLatitudes ou Longitudes exatas, para facilitar o transporte. O mais comum é utilizarpontos de Longitude exata, defasados de 10º em 10º, de 15º em 15º, ou de 20º em 20º,conforme a Latitude em que se vai navegar.

Deve-se ter sempre em mente que, na Projeção de Mercator, a concavidade daortodromia estará sempre voltada para o Equador e, conseqüentemente, quando os pon-tos inicial e final da derrota ortodrômica estiverem em Hemisférios diferentes, terãoque ser determinados dois arcos de círculo máximo.

Figura 33.35 – Obtenção de Rumos na Carta Gnomônica

W

Derrotas


Assim, por exemplo, na Carta de Mercator mostrada na figura 33.36, o arco de círculomáximo que une os pontos P e C terá a concavidade voltada para o Equador. Quando adiferença de Latitude entre P e C é pequena e a diferença de Longitude é grande, principal-mente em Latitudes elevadas, como nesta figura, verifica-se que é considerável a diferençaentre a loxodromia e a ortodromia (constata-se isso comparando, na figura 33.36, a loxodromiae a ortodromia entre os pontos P e C). Entretanto, se os dois pontos situam-se em ladosopostos e aproximadamente simétricos com relação ao Equador, como os pontos A e B dafigura, a loxodromia e a ortodromia quase que coincidem. A figura 33.36 mostra, ainda, doiscírculos máximos quaisquer que se cruzam na interseção do Equador com o meridiano deGreenwich.

Figura 33.36 – Círculos Máximos na Carta de Mercator

Figura 33.36a – Transporte da Derrota Ortodrômica

CARTA DE MERCATORmeridiano de 180º W

60º N

ortodromia

loxodromia Greenwich

B

equador

A

60º S

círculos máximos que secruzam em j = 0º; l = 0º

meridiano de 180º E

GNOMÔNICA

PP

PD

PP

PD

MERCATOR

40º

35º

30º

40º

30º

50º

45º

40º

40º

30º

70º 60º 50º 40º 30º 20º 10º

80º 70º 60º 50º 40º 30º 20º 10º

PC

Derrotas


– Traçado Aproximado da Derrota Ortodrômica

Quando não se dispõe de Carta Gnomônica, o traçado da derrota ortodrômica podeser feito diretamente, de forma aproximada, em uma Carta de Mercator, de acordo com oseguinte procedimento:

1. Plotar, na Carta de Mercator, o ponto de partida e o ponto final da derrotaortodrômica; estes pontos, como vimos, são escolhidos em função das características dacosta e do acesso aos portos, ou locais, a partir dos quais se vai amarar ou aterrar, res-pectivamente;

2. em seguida, traçar a derrota loxodrômica entre eles, ou seja, uni-los por umalinha reta;

3. na Projeção de Mercator a ortodromia é representada, aproximadamente, comoum arco de círculo com a concavidade voltada para o Equador; assim, é necessário loca-lizar o centro deste círculo;

4. para isso, traçar a mediatriz da loxodromia que une o ponto inicial e final daderrota ortodrômica; o centro do arco de círculo máximo está situado no cruzamentodesta mediatriz com um paralelo obtido na Tábua XXVIII da publicação DN 6-1, “Tábu-as para Navegação Estimada” (reproduzida na figura 33.37), usando como argumento deentrada a Latitude média entre os pontos inicial e final da ortodromia;

Figura 33.37 – Traçado Aproximado da Derrota Ortodrômica

LatitudeMédia

°

Lat. do centrodo arco (nome

contrário ao dalat. média)

Latitudemédia

°

Lat. do centrodo arco (nome

contrário ao dalat. média)

Latitudemédia

°

Lat. do centrodo arco

(mesmo nomeda lat. média)

° ¢ ° ¢ ° ¢15 87 40 41 18 57 2 3716 86 41 38 55 58 4 0017 85 42 36 31 59 6 3818 83 30 43 34 05 60 9 1519 82 30 44 31 38 61 11 5420 81 13

21 79 50 45 29 10 62 14 3222 78 16 46 26 42 63 17 1123 76 38 47 24 12 64 19 5024 74 59 48 21 42 65 22 3025 73 13 49 19 11 66 25 09

26 71 26 50 16 39 67 27 5027 69 32 51 14 06 68 30 3028 67 38 52 11 33 69 33 1129 65 38 53 8 59 70 35 5230 63 37 54 6 24 71 38 53

31 61 31 55 3 49 72 41 1432 59 25 56 1 13 73 43 5633 57 15 74 46 3734 55 05 75 49 1935 52 56 76 52 01

36 50 36 77 54 4137 48 16 78 57 2138 46 00 79 55 0639 43 39 80 62 51

Derrotas


5. com o centro do arco de círculo máximo, traçar a derrota ortodrômica, comauxílio de um compasso, ou cintel, na Carta de Mercator; e

6. quando os pontos extremos da ortodromia estiverem em Hemisférios diferentes,terão que ser determinados dois centros: o primeiro estará sobre a mediatriz da loxodromiado ponto de partida ao Equador; o segundo centro estará sobre a mediatriz do segmentoloxodrômico do Equador ao ponto final.

A figura 33.38 apresenta a derrota ortodrômica entre as Ilhas Orcadas do Sul e aIlha Bouvet. Para localizar o centro do arco de círculo máximo, traçou-se a perpendicular ameio da linha que une os pontos de partida e de destino, na direção do Equador. Entrando naTábua XXVIII com a Latitude média entre os referidos pontos (jm = 57º 30' S), verificou-seque o centro da derrota está situado na interseção da mediatriz traçada com o paralelo de03º 18,5' S (ver a figura 33.37). Então, com auxílio do compasso, traçou-se a derrotaortodrômica, com a concavidade voltada para o Equador.

Figura 33.38 – Derrota Ortodrômica entre as Ilhas Orcadas Autrais e Bouvet

Derrotas


O traçado aproximado da derrota ortodrômica só é possível quando se dispõe deCarta de Mercator de escala compatível.

33.7 DERROTA MISTA

a. PRÁTICA DA NAVEGAÇÃO ORTODRÔMICAConforme vimos, as derrotas ortodrômicas proporcionam maior economia de distância

nas altas Latitudes, quando existe pouca defasagem entre as Latitudes de partida e de desti-no e grande diferença de Longitude entre esses pontos.

Nesta situação, antes de decidir por uma derrota ortodrômica, o navegante de-verá determinar as coordenadas do Vértice da derrota (Latitude mais elevada em quenavegará), para verificar se, ao tentar maior economia, não levará o navio a regiões ondereine mau tempo, haja presença de gelo, cerração, ventos fortes ou correntes contrárias,que venham a colocar o navio em perigo, ou tirar todo o proveito teórico encontrado.

Assim, após obter a Latitude mais elevada da derrota ortodrômica (Vértice), onavegante deverá consultar Roteiros, Cartas-Piloto e outras publicações de auxílio à na-vegação para decidir se é prudente adotar uma derrota ortodrômica ou uma derrotamista, o que dependerá das condições de tempo e mar previstas, do estado do navio e suaresistência ao mau tempo, da presença de gelo no mar, da “endurance” da tripulação, etc.Uma publicação muito útil para consulta é a “Ocean Passages of the World”, editada peloAlmirantado Britânico.

b. DETERMINAÇÃO DO VÉRTICE DA DERROTA ORTODRÔMICAO Vértice da derrota ortodrômica pode ser determinado diretamente na Carta

Gnomônica, pela simples verificação da Latitude mais elevada alcançada pelo arco decírculo máximo que une os pontos de partida e de destino. Também pode ser determinadopelo cálculo, usando as constantes do círculo máximo (a e b), dadas pelas seguintes fórmu-las da trigonometria esférica:

tg ( lB + lA – a) = tg lB – lA . sen (jB + jA )

sen (jB – jA )

tg b =tg j

sen (l – a)

Sendo (ver a figura 33.39):

a: Longitude do ponto em que o arco de círculo máximo corta o Equador

b: Ângulo agudo que o arco de círculo máximo faz com o Equador (inclinação do arco de CM)

jA: Latitude do ponto de partida

lA: Longitude do ponto de partida

jB: Latitude do ponto de destino

lB: Longitude do ponto de destino

j , l: Coordenadas de um ponto qualquer do círculo máximo

2 2

Derrotas


NOTA:

Nessas fórmulas, Latitudes norte e Longitudes leste são positivas; Latitudes sul eLongitudes oeste são negativas.

Determinadas as constantes a e b do círculo máximo, as coordenadas do Vérticesão dadas por:

· b positivo:

– Vértice Norte: |j|=|b|

l = a + 90º

– Vértice Sul: |j|=|b|

l = a – 90º

· b negativo:

– Vértice Norte: |j|=|b|

l = a – 90º

– Vértice Sul: |j|=|b|

l = a + 90º

Figura 33.39 – Derrota Ortodrômica. Pontos Notáveis do Arco de CM. Sua Interpreta-ção na Esfera

Pn

Ps

Derrotas


EXEMPLO:

Calcular as coordenadas do Vértice da derrota ortodrômica das proximidades dePunta Arenas, CHI (Latitude 53º 10,0' S , Longitude 070º 54,0' W), até Sydney, AUS(Latitude 33º 52,0' S , Longitude 151º 13,0' E).

SOLUÇÃO:

a. Cálculo do Rumo inicial e da distância ortodrômica:

Ri = 214,0º ; d = 5.135,8 milhas

b. Cálculo das coordenadas de um ponto qualquer do círculo máximo (por exemplo,um ponto situado a 600 milhas do ponto de partida):

Lat 60º 59,3' S, Long 082º 27,0' W

c. Cálculo das constantes do círculo máximo:

a = – 42º 34,8' (W)

b = + 70º 26,3'

d. Determinação das coordenadas do Vértice (b positivo; Vértice sul):

Lat =|b|= 70º 26,3' S

Long = a – 90º = 132º 34,8' (W)

As coordenadas do Vértice também podem ser determinadas pelas fórmulas:

cos jv = sen Ri . sen ccotg Dl = cos c . tg Ri

Onde:

jv = Latitude do Vértice;

Ri = Rumo inicial da derrota ortodrômica;

Dl = Diferença de Longitude entre o ponto de partida e o Vértice (Dl é designadopelo Ri); e

c = Colatitude do ponto de partida.

No exemplo anterior, teríamos:

jv = 70º 24,8' S

Dl = 61º 38,2' W

lv = 132º 32,2' W

Valores praticamente iguais aos obtidos pelo outro método.

Mais fácil que o cálculo, entretanto, é determinar o Vértice pela Carta Gnomônica,verificando a Latitude máxima alcançada pela ortodromia que une os pontos de partida ede destino (representada por uma linha reta nesta projeção).

Para isso basta verificar, traçada a derrota na carta gnomônica, se a mesmatangencia algum paralelo, em vez de cortá-los todos. Se não houver tangência, e sim cortede todos os paralelos, a Latitude máxima será a do ponto de partida ou a do ponto de

Derrotas


chegada. Mas, havendo tangência, isso indica que uma Latitude superior às de partida ede chegada, no trecho da derrota, é alcançada pelo círculo máximo. Esse ponto de tangênciaserá o Vértice. A carta não indicará um ponto com tanta precisão quanto os cálculos, massua informação será suficiente para a prática da navegação. Quando se alcança o Vértice,o rumo é 090º ou 270º.

c. DERROTA MISTA (OU DERROTA COMPOSTA)Conforme visto, a derrota ortodrômica, embora proporcione economia na distân-

cia navegada, principalmente em altas Latitudes, pode levar o navio a regiões de mautempo constante, ventos fortes e presença de gelo no mar.

A ortodromia de Punta Arenas a Sydney proporciona uma redução de distância de 915,5milhas, mas conduz o navio até a Latitude de 70º 26,3' S, bem além do círculo polar antártico.Estas são regiões perigosas, situadas no cinturão de baixas pressões que circunda a Antártica,com mau tempo constante, ventos e mares bravios, além de gelo no mar.

Quando não se deseja ultrapassar uma determinada Latitude, recorre-se à derro-ta mista, que consiste em navegar em ortodromia até a Latitude estabelecida como limi-te; percorrer o paralelo limite em navegação loxodrômica; e, posteriormente, voltar a na-vegar em ortodromia. Suponhamos, por exemplo, a derrota da Tasmânia ao Cabo Horn eque não desejamos ultrapassar a Latitude de 60º S.

A derrota mista tem solução gráfica e analítica. A solução gráfica é feita na CartaGnomônica (ver a figura 33.39a), traçando, pelos pontos inicial e final, tangentes ao para-lelo limite. Os pontos de tangência marcarão os extremos dos arcos de círculo máximo edelimitarão a loxodromia a ser percorrida, no paralelo limite.

No transporte da derrota mista para a Carta de Mercator, os arcos de ortodromia,inicial e final, serão subdivididos em seções, conforme já explicado. O arco de loxodromia, noparalelo limite, não será subdividido, pois aparecerá como uma linha reta na Projeção deMercator.

A figura 33.39 (a) mostra uma Carta Gnomônica Polar, cujo ponto de tangência (cen-tro da projeção) é o Pólo Sul. Nela estão traçadas 3 derrotas entre a Tasmânia e o Cabo Horn:a derrota ortodrômica (representada por uma linha reta), a derrota loxodrômica (re-presentada por uma curva) e a derrota mista tendo como paralelo limite a Latitude de 60ºS. Para comparação, as mesmas derrotas são mostradas em uma Carta de Mercator, nafigura 33.39 (b).

O paralelo limite marca sempre uma área de perigo, na qual não se quer penetrar.Na figura 33.40, por exemplo, não se deseja ultrapassar o paralelo representado. Assim,não se pode percorrer a derrota ortodrômica entre A e B, cujo Vértice (V) estaria emuma Latitude maior que a do paralelo limite. Então, adota-se uma derrota mista, nave-gando em círculo máximo de A para C; de C para D navega-se em loxodromia (sobre oparalelo limite); e de D para B volta-se a navegar em ortodromia.

O método analítico de solução da derrota mista consiste em determinar as Longi-tudes dos pontos C e D (figura 33.40), cujas Latitudes correspondem ao paralelo limite.Determinadas as coordenadas desses dois pontos, está resolvido o problema: executa-se anavegação ortodrômica de A para C; navega-se sobre o paralelo limite, em loxodromia, norumo 090º (ou 270º), até o ponto D; e volta-se a navegar em ortodromia, no trecho DB, atéo destino. O processo de cálculo é o seguinte:

Derrotas


Figura 33.39a – Loxodromia, Ortodromia e Derrota Mista

MERCATOR

(b)

(a)

GNOMÔNICA

Derrotas


1. Determina-se a Longitude de C pelas fórmulas:

cos DlC = tg jA . cotg jL

lC = lA + DlC

Onde:

jA = Latitude do ponto de partida (A)

lA = Longitude do ponto de partida (A)

jL = Latitude do paralelo limite da derrota mista

DlC = Caminho em Longitude A para C

lC =Longitude do ponto de início do arco de loxodromia (C), sobre o paralelo limite.

2. Determina-se a Longitude de D pelas fórmulas:

cos DlD = tg jB . cotg jL

lD = lB + DlD

Onde:

jB = Latitude do ponto de chegada (B)

lB = Longitude do ponto de chegada (B)

Figura 33.40 – Derrota Mista

Pn

D B

E E

Ps

A C

Derrotas


jL = Latitude do paralelo limite da derrota mista

DlD = Caminho em Longitude B para D (tem o sentido do caminho em Longitudede B para A)

lD = Longitude do ponto final do arco de loxodromia sobre o paralelo limite.

EXEMPLO:

Determinar as coordenadas dos pontos sobre o paralelo limite de 60º S, em umaderrota mista entre Punta Arenas (Latitude 53º 10' S , Longitude 070º 54' W) e Wellington(Latitude 44º 17' S, Longitude 174º 53' E).

SOLUÇÃO:

a. Cálculo das coordenadas do ponto C:

jL = jC = 60º S

cos DlC = tg jA . cotg jL

DlC = 39º 34,3' W

lC = 110º 28,3' W

b. Coordenadas do ponto C: Latitude 60º S, Longitude 110º 28,3' W

c. Cálculo das coordenadas do ponto D:

jL = jD = 60º S

cos DlD = tg jB . cotg jL

DlD = 55º 43,8' E

lD = 129º 23,8' W

d. Coordenadas do ponto D: Latitude 60º S, Longitude 129º 23,2' W.

A menor distância total entre Punta Arenas e Wellington corresponde à derrotaortodrômica d = 4.049,6 milhas. Esta derrota, entretanto, levaria o navio a Latitudesmuito elevadas (Vértice em 64º 55,7' S). A derrota loxodrômica (derrota de Mercator)entre os dois locais tem o comprimento de 4.548,9 milhas, o que significa um acréscimoem distância de 499,3 milhas. A derrota mista calculada, considerando a Latitude de60º S como paralelo limite, tem uma extensão de 4.090,9 milhas, sendo, assim, bastantevantajosa (apenas 41,3 milhas maior que a ortodrômica direta).

A figura 33.41 (a) mostra as derrotas ortodrômica, loxodrômica e mista (com paralelolimite na Latitude de 60º S) entre Rio Grande (Latitude 32º 10' S, Longitude 052º 00' W) e aIlha Heard (Latitude 53º 00' S, Longitude 075º 00' W) em uma carta na Projeção GnomônicaPolar. A figura 33.41 (b) mostra as mesmas derrotas transportadas para uma carta naProjeção de Mercator, na qual a ortodromia e a derrota mista foram divididas em seçõesloxodrômicas.

Derrotas


Figura 33.41

8

Derrotas


dj rumo d dj = ap - tucannus | home · pode-se resolver esta fórmula entrando na tábua do ponto...

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