DISTRIBUIÇÃO DE LATICÍNIOS COM RESTRIÇÕES DE RECARGA VIAPROGRAMAÇÃO MATEMÁTICA

Rayra BrandãoPrograma de Pós-Graduação em Engenharia de Produção

Universidade Federal de São Carlos

Vitória PurezaDepartamento de Engenharia de Produção

Universidade Federal de São Carlos

RESUMOO foco desta pesquisa é uma pequena empresa de laticínios do Estado do Pará, que em função da perecibilidade deseus produtos, requer que a frota responsável pela distribuição realize paradas periódicas para recarga da bateriaque mantém o baú dos veículos refrigerados. Com vistas a um roteamento mais eficiente, foi desenvolvido ummodelo linear inteiro misto com restrições de janela de tempo, multi-períodos e paradas periódicas. Experimentoscomputacionais com o modelo demonstraram que o mesmo descreve adequadamente o sistema de distribuição daempresa, sendo as soluções obtidas melhores que as praticadas atualmente.

ABSTRACTThis work focuses in a small dairy firm from the state of Pará. Given the perishability of the products, the fleetassigned to deliver them is required to periodically stop in specific gas stations to recharge the battery that maintainthe trunk’s vehicles refrigerated. Aiming at a better routing, a linear mixed integer model with capacity constraints,multi-period, time windows and periodic stops was developed. Computational experiments with the model revealedthat the proposed model describes appropriately the company’s distribution system. In addition, the solutionsobtained are better than those currently practiced.

1. INTRODUÇÃOSegundo a Associação Brasileira das Indústrias da Alimentação (2013), o setor de bebidas ealimentos equivale a 9% do Produto Interno Bruto (PIB) brasileiro, representando, portanto,uma parcela significativa da economia nacional. O faturamento das indústrias alimentícias so-mou R$316, 5 bilhões em 2011, colocando o segmento como segundo maior em valor bruto deprodução na indústria nacional de transformação.

O mercado de laticínios atual é notadamente competitivo, com muitas empresas se fazendo pre-sente, sejam elas multinacionais, nacionais ou cooperativas, cabendo às primeiras, tais comoNestlé, Parmalat, Danone e Fleischmann Royal, a maior parcela na disputa pela preferência dosconsumidores. É importante observar que cada uma destas empresas possui altos investimentosem tecnologia, marketing, produção, entre outras etapas da cadeia produtiva e da distribuição(RIBEIRO, 1999). Dessa forma, tem-se que em um mercado com tais características, empresasque o servem precisam tratar com cuidado de todas as etapas da cadeia produtiva e da distribui-ção para alcançarem patamares de competitividade satisfatórios.

Apesar de problemas de roteamento de veículos serem habitualmente enfrentados por qualquerempresa com atividades de distribuição de bens e serviços, na região norte do Brasil, eles con-quistam ainda maior importância devido à grande extensão territorial da região e dos Estadosque a compõe, e das grandes distâncias que, por conseguinte, possam existir entre clientes servi-

dos pela mesma fábrica. Além disso, é fácil perceber que se operações de entrega de alimentosnão for bem planejada e executada, poderá afetar a qualidade do atendimento da demanda. Umpequeno atraso pode significar a perda da qualidade do produto ou até mesmo a perda total docarregamento. Sob esse aspecto, o estudo apropriado da roteirização da entrega de produtos naindústria de laticínios se torna ainda mais relevante, visto que o leite, base de produtos laticínios,é extremamente perecível (RIBEIRO, 1999).

Alinhada a esta tendência, o alvo desta trabalho é a logística de distribuição de uma pequenaempresa de laticínios do Estado do Pará que produz e distribui sorvetes e picolés a pontosde venda distribuídos em uma área geográfica relativamente extensa. Além disso, devido àperecibilidade dos produtos, requer-se paradas periódicas dos caminhões para recarga da bateriado equipamento que mantém a temperatura do baú de armazenagem. Cada recarga envolvevárias horas e só pode ser realizada em postos de gasolina específicos e em número bastantelimitado.

Com vistas a descrever o sistema de distribuição da empresa e sugerir soluções de roteamentomais eficiente da frota, é proposto neste artigo um modelo linear inteiro misto com restrições dejanela de tempo, multi-períodos e paradas periódicas. Experimentos computacionais com o mo-delo demonstraram que o mesmo descreve adequadamente, sendo as soluções obtidas melhoresque as praticadas atualmente.

2. A LOGÍSTICA DE DISTRIBUIÇÃO DA EMPRESAA empresa de laticínios, foco do estudo de caso, está localizada no município de Marabá noestado do Pará. Atuante desde 2006 no setor alimentício na região do sudeste paraense até osudoeste do Maranhão, comercializa sorvetes e picolés dos mais diversos sabores regionais. Omercado da empresa consiste de pontos de vendas a varejo de variados portes, ou seja, incluidesde bares e lanchonetes até supermercados e hipermercados.

Atualmente, os pedidos de todos os clientes são contabilizados e confirmados uma semana an-tes da entrega, por meio da visita do vendedor da empresa a cada um dos estabelecimentos aosquais ela atende. A divisão do mercado da empresa define duas rotas praticadas e denominadasrotas de Paragominas e de Tucuruí (Figura 1). As rotas de Paragominas e Tucuruí possuemcaracterísticas similares, uma vez que tanto o volume de produtos por cliente quanto a quan-tidade de clientes é menor, e estes se encontram mais dispersos geograficamente. Na rota deParagominas, os 23 clientes estão espalhados pelas cidades de Ulianópolis, Rondon do Pará,Dom Eliseu e Paragominas, porém em maior concentração nesta última. Na rota de Tucuruí, aempresa possui 17 clientes situados nas cidades de Nova Ipixuna, Jacundá, Goianésia do Paráe Tucuruí, agrupados principalmente nesta última. Ainda, como a empresa precisa atender aum número de clientes relativamente grande em relação a seu porte e distribuídos em uma áreageográfica larga, fez-se necessária a criação de um horizonte de planejamento semanal.

Em relação as rotas atuais executadas pela empresa, a proprietária só dispõe de informaçõesrelativas à ordem das cidades visitadas em cada rota, não possuindo conhecimento sobre osequenciamento dos clientes. Os motoristas afirmam que a cada semana atendem os clientes emuma ordem diferente, devido a condições de trânsito, janela de tempo e tempo de serviço. Narota de Paragominas, as cidades são visitadas na seguinte ordem: Rondon do Pará, Dom Eliseu,

Figura 1: Rota de Tucuruí (em azul), rota de Paragominas (em vermelho), depósito da empresa(em amarelo) e posto de gasolina com tomada trifásica (posto de recarga) (em verde).

Ulianópolis e Paragominas. Na rota de Tucuruí, o sequenciamento é Nova Ipixuna, Jacundá,Goianésia do Pará e Tucuruí. Em relação a janelas de tempo dos clientes, todos aceitam entregasapenas em horário comercial, ou seja, entre 7:00 e 19:00 hs.

Apesar de possuir uma frota de três caminhões, atualmente a empresa disponibiliza um para asrotas de Tucuruí e Paragominas, as quais são alternadas semanalmente. A frota é consideradahomogênea em relação à capacidade de carga e funcionalidades. Entretanto, mesmo na rotacom maior volume de clientes e pedidos, a utilização da capacidade de cada caminhão nãochega a 50%. Com a finalidade de manter a integridade física dos produtos, os caminhões sãodotados por um revestimento interno de placas eutéticas de refrigeração, cujo funcionamentorequer uma fonte de tensão elétrica trifásica.

A primeira refrigeração ocorre dentro do depósito no final de semana que precede a viagem, etermina na segunda-feira pela manhã, antes da saída do caminhão do depósito. Cada caminhão écapaz de circular por até 36 horas; após esse período, o motorista só tem disponíveis até 12 horasdo período noturno para os processos de refrigeração subsequentes e, portanto, o caminhão temautonomia de circulação entre 12 e 15 horas. O processo de refrigeração é feito no própriodepósito da empresa ou em postos de gasolina dotados de uma tomada de energia trifásica.

Para cada caminhão, a empresa destina dois funcionários, um motorista e um ajudante, e otempo de serviço em cada cliente é de cerca 30 minutos. A jornada de trabalho dos funcionáriosconsiste dos dias corridos entre a partida dos caminhões na às 9:00 hs das segundas-feiras e seuretorno à empresa. A duração média das rotas é de três a quatro dias, podendo atingir até seisdias, ou seja, com retorno ao depósito no sábado.

De acordo com a proprietária, a principal dificuldade do processo de distribuição se deve àescassez de postos de gasolina com tomada elétrica trifásica na região, aqui como postos derecarga. Ela explica que dentre todas as cidades do mercado, apenas duas possuem postosde recarga, especificamente, Paragominas e Parauapebas. Devido a essa escassez, o caminhãoprecisa efetuar viagens de ida e volta entre as cidades com demandas de clientes e as cidadesque possuem os postos somente para a recarga da bateria do moto-compressor.

Durante o estudo de caso, a proprietária da empresa objetivo informou que o objetivo primário

da empresa é atender a todos os clientes, além de ser desejável efetuar as rotas no menor tempopossível.

3. TRABALHOS CORRELATOSDentre os problemas de roteamento com características similares ao da empresa, destaca-se oProblema de Roteamento de Veículos Ecológico (Green Vehicle Routing Problem - G-VRP),no qual busca-se incluir os desafios adicionais associados à operação de uma frota de veícu-los movidos à combustíveis alternativos, tais como biodiesel, eletricidade, etanol e hidrogênio.Introduzido em Erdogan e Miller-Hooks (2012), o foco dos autores foi o de desenvolver ummodelo de programação matemática que prescrevesse o reabastecimento da frota de empresasem um ambiente com infraestrutura limitada, visando eliminar o risco dos veículos ficarem semcombustível ao mesmo tempo que mantém um baixo custo das rotas. Os autores propõem mo-delo de programação linear inteiro misto e dois métodos aproximados de resolução, o primeirocorrespondente a uma adaptação da heurística de economias de Clarke e Wright (1964), en-quanto o segundo é um algoritmo Clustering Density-Based (DBCA), projetado para priorizarprimeiro um cluster e depois a rota. Taha, Fors e Shoukry (2014) simplificaram o modelo ma-temático do G-VRP de forma a demonstrar a aplicabilidade de métodos exatos. Entretanto, aresolução exata com esse modelo se mostra eficiente apenas para instancias pequenas com até10 clientes e 3 postos de recarga.

Seguindo a linha ecológica do G-VRP, Schneider, Stenger e Goeke (2014) introduzem o Pro-blema de Roteamento de Veículos Elétricos com Janelas de Tempo (Electric Vehicle RoutingProblem with Time Windows - E-VRPTW), o qual, além do foco nesse tipo de combustível eda inclusão de restrições práticas como capacidade dos veículos e janelas de tempo, prescreveque o tempo de recarga da bateria em qualquer um dos postos de recarga disponíveis é variá-vel. Especificamente, a diferença entre o nível de carga atual e a capacidade Q da bateria éreposta a uma taxa considerada constante. Os autores propõem um modelo de programaçãomatemática e uma meta-heurística híbrida que combina busca em Vizinhança Variável (Varia-ble Neighborhood Search - VNS) e um algoritmo de Busca Tabu para a fase de intensificaçãoda VNS.

Mais recentemente, Schneider, Stenger e Hof (2014) propuseram o Problema de Roteamentode Veículos com Paradas Intermediárias (Vehicle Routing Problem with Intermediate Stops -VRPIS). O problema considera a possibilidade de visitas a instalações intermediárias com vistasa manter os veículos operacionais, seja para reabastecimento de carga de produtos ou parareabastecimento do combustível. Assim como no E-VRPTW, o tempo gasto em uma instalaçãoé função do nível da carga e/ou do combustível na chegada à instalação e o objetivo é o deminimizar os custos totais. Os autores também apresentam um algoritmo heurístico de BuscalLocal com Vizinhança Variável Adaptativa (Adaptive Variable Neighborhood Search – AVNS)para resolução do problema.

Outros trabalhos incluem Fontana (2013), que desenvolveu uma estrutura de otimização, a qualinclui um modelo de consumo de energia da bateria de um veículo elétrico (baseado em con-ceitos da engenharia e da física) e algoritmos para resolvê-lo. Barco et al. (2013) analisamo problema de veículos elétricos no contexto de transporte público. Os autores modelam oproblema ponderando o serviço de transporte e a programação de recarga da bateria.

Análises e surveys sobre problemas de roteamento de veículos elétricos podem também serencontradas em Afroditi et al. (2014), Pelletier, Jabali e Laporte (2014) e Lin et al. (2014).Outros métodos de solução para os modelos conhecidos podem ser consultados em Felipe et al.(2014) e Bruglieri et al. (2015), nos quais se utilizam heurísticas do tipo VNS.

4. DEFINIÇÃO DO MODELO E FORMULAÇÃOO problema foi formulado com base nas formulações de Bard, Kontoravdis e Yu (2002) e Cor-deau et al. (2002), ambas endereçadas ao problema de roteamento de veículos com janelas detempo. A modelagem proposta incorpora planejamento multi-período, restrições de janelas detempo em clientes, e algumas características do E-VRPTW. Cabe ressaltar, que além da consi-deração de múltiplos períodos, uma característica que diferencia o problema das variantes queconsideram recarga de bateria, citadas na Seção 3, é o modo de consumo desse recurso. En-quanto aquelas variantes utilizam a bateria somente durante o deslocamento dos veículos, seuuso no problema aqui tratado é função da existência ou não de carga no veículo, independentedo deslocamento estar ocorrendo.

Seja um horizonte de planejamento finito dividido em até pT períodos, cada qual com duraçãomáxima de TMax, de maneira que tem-se o conjunto P = {p1, ..., pT}. No contexto da aplicaçãotratada, os períodos consistem de dias. Considera-se I = {v1, v2, ..., vn} o conjunto de n nósclientes e F = {vn+1, vn+2, ..., vn+s} o conjunto de s nós postos de recarga.

Uma frota homogênea de m veículos com capacidade C está disponível no depósito v0, emp1, para atividades de entrega dos produtos. Todos os veículos utilizados partem do depósitocom suas baterias carregadas, e a prática da empresa prescreve que a bateria de cada veículoem operação inicie sua primeira recarga próximo do fim do horário comercial do segundo diaenquanto as demais recargas são realizadas próximo do fim do horário comercial de cada diasubsequente.

Todas as recargas tem igual duração. Assim sendo, após o último cliente do dia ter sido aten-dido, o veículo se dirige e permanece em um posto para recarga da bateria, ou caso a recarga nãoseja necessária (primeiro dia), em um local de pernoite do motorista. Como o local do pernoitenão é previamente conhecido, admite-se que o motorista escolha pernoitar em um local próximoao último cliente atendido. Para representar essa situação, define-se um conjunto I ′ de nós doprimeiro pernoite, correspondente a uma cópia do conjunto I , ou seja, I ′ = {v′1, v′2, ..., v′n}.

Seja V o conjunto resultante da união do nó depósito de origem v0, do conjunto dos nós clientesI , dos nós de recarga F e do conjunto de nós do primeiro pernoite I ′. Assim, V = {v0} ∪I ∪F ∪ I ′ =

{v0, v1, v2, ..., vn, vn+1, vn+2, ..., vn+s, v

′n+s+1, v

′n+s+2, ..., v

′n+s+n

}. Admite-se que

todos os nós de recarga têm capacidade ilimitada.

A rede de fluxo, definida como um grafo completo direcionado G = (V,A), é formada porum conjunto de arcos A = {(i, j)|i, j ∈ V ; i 6= j}. A cada arco (i, j) é associado um tempo deviagem tij . Cada nó i ∈ I possui uma demanda positiva di. Ainda, cada nó i ∈ V está associadoa um tempo de serviço si; para todo i ∈ I , esse tempo de serviço é o mesmo, enquanto que parai ∈ F ∪ I ′ corresponde a duração do pernoite.

As janelas de tempo de cada i ∈ V são definidas por [eip, lip]. Os nós possuem uma janela detempo específica associada a cada período p do horizonte de planejamento. Note que o pernoiteem i ∈ I ′ só ocorre no 1o período, enquanto que no 2o período em diante os pernoites ocorremem i ∈ F . Para os nós i ∈ v0 ∪ I ′ ∪ F , a demanda é nula.

Notação:I: conjunto de nós clientesI ′: conjunto de nós do primeiro pernoiteP : conjunto de períodos do horizonte de planejamentoF : conjunto de nós de recargaV : conjunto de nós clientes, nós de recarga , nós do primeiro pernoite e depósito, portantoV = {v0} ∪ F ∪ I ∪ I ′i, j, h: índice de nós clientes e nós de recargap: índice de períodos do horizonte de planejamentov0: índice do depósitodi: demanda do nó isi: tempo de serviço no nó itij: tempo de viagem entre os nós i ejeip: instante mais cedo para início do serviço no nó i no período plip: instante mais tarde para início do serviço no nó i no período pTmax: duração da jornada de trabalho em cada períodom: número de veículos disponíveisC: capacidade de carga de cada veículoS: número suficientemente pequenoxijp: igual a 1 se o arco (i, j) é percorrido no período p, 0 caso contráriocip: carga a bordo do veículo após visitar i no período pτip: instante de início de serviço em i no período pO problema é formulado como um modelo de programação inteira mista, conforme descrito aseguir.

Max F =∑i∈Vi 6=j

∑j∈Ij 6=i

∑p∈P

xijp − S

∑i∈Vi 6=j

∑j∈Vj 6=i

∑p∈P

tijxijp

(1)

s.a∑i∈Vi 6=j

∑p∈P

xijp ≤ 1,∀j ∈ I (2)

∑j∈Vj 6=i

∑p∈P

xijp ≤ 1,∀i ∈ I (3)

(4)

∑i∈Vi 6=h

xihp =∑j∈Vj 6=h

xhjp,∀h ∈ I; p ∈ P (5)

∑i∈Vi 6=h

xihp =∑j∈Vj 6=h

xhjp+1,∀h ∈ F ∪ I ′; p ∈ P, p 6= pT (6)

∑i∈Vi 6=v0

∑p∈P

xiv0p =∑j∈Vj 6=v0

xv0jp1 (7)

∑i∈Vi 6=v0

∑p∈P

xiv0p ≤ m (8)

∑j∈Vj 6=v0

xv0jp1 ≤ m (9)

cv0p1 = C (10)cjp ≤ cip − djxijp + C(1− xijp),∀i ∈ v0 ∪ I, i 6= j; j ∈ V \ v0; p ∈ P (11)cjp ≥ cip − djxijp − C(1− xijp),∀i ∈ v0 ∪ I, i 6= j; j ∈ V \ v0; p ∈ P (12)cjp+1 ≤ cip − djxijp+1 + C(1− xijp+1),∀j ∈ V \ v0; i ∈ I ′ ∪ F, i 6= j; p ∈ P, p 6= pT (13)cjp+1 ≥ cip − djxijp+1 − C(1− xijp+1),∀j ∈ V \ v0; i ∈ I ′ ∪ F, i 6= j; p ∈ P, p 6= pT (14)

cjp ≤ C∑i∈Vi 6=j

xijp, ∀j ∈ V \ v0; p ∈ P (15)

τjp ≥ ejp∑i∈V

xijp,∀j ∈ I; p ∈ P (16)

τjp ≤ ljp∑i∈V

xijp, ∀j ∈ I; p ∈ P (17)

τjp ≥ ejp,∀j ∈ v0 ∪ I ′ ∪ F ; p ∈ P (18)τjp ≤ ljp,∀j ∈ v0 ∪ I ′ ∪ F ; p ∈ P (19)

τjp ≥ τip + sixijp + tijxijp − Tmax(1− xijp),∀i ∈ v0 ∪ I, i 6= j; j ∈ V ; p ∈ P (20)τjp+1 ≥ τip + sixijp+1 + tijxijp+1 − Tmax(1− xijp+1),∀i ∈ I ′ ∪ F, i 6= j; j ∈ V ; p ∈ P, p 6= pT

(21)

τip ≤ Tmax,∀i ∈ v0; p ∈ P. (22)xijp ∈ {0, 1} , ∀i, j ∈ V, i 6= j, p ∈ P (23)cip ≥ 0,∀i ∈ V, p ∈ P (24)eip ≤ τip ≤ lip,∀i ∈ V, p ∈ P (25)

A função objetivo definida por (1) visa maximizar a quantidade de clientes atendidos, ao mesmotempo que busca reduzir o tempo de rota. (2) e (3) são restrições de fluxo. As restrições (5)asseguram que a quantidade de arcos que chegam ao nó cliente h deve ser igual a quantidadede arcos que saem de h. As equações (6) prescrevem a mudança do período após a visita aum nó de recarga ou a um nó de primeiro pernoite. Essa restrição determina que o mesmoveículo que visita um nó de recarga ou um nó de primeiro pernoite h no período p, parta de h

no período p + 1 para outro nó j. As equações (7) asseguram que a quantidade de arcos quesaem do depósito em p1 sejam iguais a quantidade que chega ao depósito em qualquer períodop. As restrições (8) e (9) limitam a quantidade de arcos que saem e entram no depósito ao valormáximo de m, ou seja, restringem a quantidade de veículos utilizados ao tamanho da frota. Aequação (10) impõem que a carga c0p1 no depósito no início do primeiro período seja igual acapacidade de cada veículo. Como optou-se por não utilizar um índice para referenciar cadaveículo, os veículos passam a ser representados por cada rota criada. E como todas as rotas seoriginam no depósito, essa restrição prescreve que a carga inicial em qualquer rota (veículo)seja C. As restrições (11) e (12) controlam o nível de carga para visitas sucessivas entre nós emum mesmo período. As restrições (13) e (14) controlam o nível de carga após a visita a um nóde recarga ou nó do primeiro pernoite, o que ocasiona a mudança do período p para o períodop+1. As restrições (15) especificam que para qualquer período, o nível da carga em qualquer nóé menor ou igual à capacidade do veículo. As restrições (16) e (17) limitam o início do serviçoou visita em cada nó cliente para caso exista um arco chegando nele. E as restrições (18) e (19)limitam o instante de início de serviço para o depósito final, nó de recarga ou nó de primeiropernoite. As restrições (20) controlam para um dado período, o instante de início de serviço (ouvisita) ao nó j ∈ V . Já as desigualdades (21) controlam a programação da rota quando ocorreuma mudança de período. (22) estabelecem que a duração da rota deve ser menor ou igual ajornada de trabalho. Por fim as restrições (23), (24) e (25) definem o domínio das variáveis dedecisão.

5. EXPERIMENTOS COMPUTACIONAISA implementação e resolução do modelo fizeram uso da linguagem de modelagem GAMS como solver CPLEX 12.5.0.0. O algoritmo branch&cut do CPLEX foi executado com todos osparâmetros padrão, exceto pelas opções fpheur = 2, heurfreq = 100, lbheur = 1 e threads =4. Os experimentos foram realizados em um computador Dell, modelo Optiplex 9010, comprocessador Intel i7 com 3,4 GHz, 16 GB de memória RAM e sistema operacional Windows 7Professional de 64 bits.

Os experimentos possuem dois objetivos: verificar se o modelo descreve satisfatoriamente alogística de distribuição da empresa, e analisar se com o modelo é possível obter soluçõesmelhores que as praticadas. Para tal, fez-se uso de duas instâncias reais da empresa e de umaterceira instância gerada a partir das duas primeiras. Conforme a Seção 2, atualmente a empresadivide parte de sua distribuição em duas regiões (Tucuruí e Paragominas). A terceira instânciaé a junção das duas regiões com a utilização de 1 ou 2 veículos.

As instâncias foram delineadas a partir da coleta de informações de entregas da empresa.Nasinstâncias tratadas, a jornada de trabalho Tmax é de 132 horas e o tempo médio de serviçonos clientes é de 30 minutos. O instante inicial de partida do depósito é igual a 0 e o retornodeve ocorrer até o instante 132. Todos os clientes possuem a mesma janela de tempo em cadaperíodo, ou seja, entre 7 : 00 e 19 : 00 hs., menos o tempo de serviço do cliente i. De forma aotimizar o tempo de rota, para o depósito, nós de recarga e nó de primeiro pernoite a janela detempo é sempre entre 7 : 00 e 19 : 00 hs do período corrente, e o tempo de serviço é de 12 horaspara estes dois últimos. Mesmo com essa janela de tempo, o veículo sempre chega à um postode recarga, depósito e do nó de primeiro pernoite em um horário próximo às 19 : 00 hs do diacorrente.

Como a capacidade C dos caminhões não é uma restrição relevante para as instâncias reaisatuais da empresa, ela foi fixada em um valor arbitrário de 100 para todos os veículos no modelomatemático. A demanda de cada cliente foi fixada em 1. E por fim, todas as instâncias reaisforam executadas por até 10.800 segundos (3 horas).

5.1. Região de TucuruíA primeira instância tratada refere-se à região de Tucuruí. Nesta região, a empresa conta com17 clientes distribuídos em 4 cidades do sudeste paraense. Acompanhando a prática da empresa,disponibilizou-se 1 veículo para as entregas.

A solução obtida com o modelo é representada na Figura 2 (a). As setas vermelhas indicam osarcos percorridos no 1o dia (período 1) enquanto as setas azuis distinguem os arcos percorridosno 2o dia (no período 2). Visando manter a figura sucinta, optou-se por representar apenas osinstantes de início de serviço τip dos primeiros e últimos nós clientes de cada cidade visitada,com exceção da visita ao nó de pernoite. De forma similar, como os clientes de uma mesmacidade estão localizados muito próximos entre si, preferiu-se sinalizar apenas as distâncias entreas cidades. A posição dos clientes dentro das cidades não reflete a realidade, uma vez quebuscou-se apenas organizar a quantidade de nós clientes em cada cidade da região.

A rota gerada com o modelo contempla 2 períodos, 17 clientes, distância total percorrida de537, 5 quilômetros e duração de 29, 82 horas corridas. Analisando a Figura 2, constata-se queo veículo permanece a primeira noite na cidade de Tucuruí em um local de pernoite próximoao cliente c4. Nota-se também que não foram necessárias visitas ao posto de recarga durante arota.

A solução obtida mostra uma melhora substancial em tempo de rota, quando comparada à pro-gramação atual da empresa. No momento da coleta de dados, a empresa atendia a região deTucuruí entre 2 a 3 dias, ou seja, cerca de 60 horas. A solução obtida com o modelo terminou arota em 29, 82 horas, o que representa uma redução de cerca de 50% em tempo de rota.

Em entrevista junto à empresa, tanto validou-se a factibilidade da rota, como constatou-se que osequenciamento das cidades da solução com o modelo é igual ao da empresa, o que demonstraque o maior diferencial do método de programação matemática e a programação da empresaestá no sequenciamento de clientes em cada cidade.

5.2. Região de ParagominasA região de Paragominas define a segunda instância considerada. Há 23 clientes distribuídospor 4 municípios do sudeste paraense. Novamente, disponibilizou-se 1 veículo para as entregas.

A solução obtida com o modelo é apresentada na Figura 2 (b). Assim como anteriormente, assetas vermelhas indicam os arcos percorridos no 1o dia (período 1) e as setas azuis representamos arcos percorridos no 2o dia (período 2). Além destes arcos, as setas verdes representam osarcos percorridos no 3o dia (período 3).

A rota gerada com o modelo abrange 3 períodos, 23 clientes, distância total percorrida de1.161, 5 quilômetros e duração de 55, 20 horas corridas. Examinando a Figura 2 (b), constata-se

que o veículo permanece a primeira noite na cidade de Paragominas, em um local de pernoitepróximo ao cliente c12. Nesta região, foi necessária uma visita ao posto de recarga durante arota, no final do 2o período, iniciada no instante 35, 80, ou seja, aproximadamente às 18 : 48 hsdo segundo dia. Constata-se que ocorreu um grande desvio de rota para se efetuar a recarga dabateria. O caminhão segue para visitar o cliente c23, na cidade de Itinga do Maranhão, e depoisretorna para a cidade de Paragominas, em direção ao posto de recarga de bateria. Esse desviofoi necessário uma vez que, após visitar o cliente c23, o veículo não teria tempo suficiente paravisitar o cliente mais próximo, c22, e retornar ao depósito ou se dirigir ao posto de recarga antesdo instante 36, ou seja, às 19 : 00 hs do 3o dia.

Confirma-se que a solução com o modelo apresentou uma considerável melhoria em tempo totalde rota quando comparada à solução da empresa. No momento da coleta de dados, a empresaatendia a região de Paragominas entre 3 a 4 dias, ou seja em cerca de 84 horas. A solução domodelo terminou a rota em 55, 20 horas, o que representa uma redução de 34, 2% no tempo derota. Novamente, esta rota foi avaliada como válida pela empresa.

Figura 2: Soluções obtidas com o modelo: (a) região de Tucuruí à esquerda; (b) região deParagominas à direita; e (c) regiões de Paragominas e Tucuruí com 2 veículos abaixo

5.3. Região de Paragominas e Tucuruí

A última instância real testada foi gerada a partir da junção dos dados das instâncias de Tucuruíe Paragominas, totalizando 40 clientes distribuídos por 8 municípios do sudeste paraense. Oobjetivo de se analisar esta instância é verificar se existe uma alternativa melhor à atual divisãodo mercado da empresa.

A solução obtida com o modelo é representada na Figura 2 (c). Assim como anteriormente,essa nova figura possui algumas diferenças em relação às anteriores. Para o primeiro veículo, assetas vermelhas indicam os arcos percorridos no 1o dia (período 1), as setas azuis representamos arcos percorridos no 2o dia (período 2) e as setas amarelas representam os arcos percorridosno 3o dia (período 3). Para o segundo veículo, as setas roxas indicam os arcos percorridos no 1o

dia (período 1) e as setas verdes representam os arcos percorridos no 2o dia (período 2).

As rotas geradas com o modelo possuem 3 períodos, 40 clientes, distância total percorrida de1.415, 69 quilômetros e duração de 55 horas corridas no primeiro veículo e 30, 02 no segundoveículo. Observando a Figura 2 (c), verifica-se o primeiro veículo permanece a primeira noitena cidade de Ulianópolis em um local de pernoite próximo ao cliente c2. Ainda, nota-se queo segundo veículo permanece a primeira noite na cidade de Tucuruí em um local de pernoitepróximo ao cliente c27. Constata-se que, para o primeiro veículo foi necessária uma paradano posto de recarga no final do 2o período, enquanto que, para o segundo veículo, isso não foinecessário

5.3.1 Soluções com Mercados Agregados vs Solução da EmpresaExaminando a Figura 2 (c) verifica-se que a solução corrente reproduziu fielmente a divisãode mercado da empresa. Além disso, confirma-se que a solução apresentou uma melhoria naduração da rota para ambas as regiões. A duração da rota de Paragominas era de, em média, 84horas, enquanto que a atual solução propõe uma rota de 55 horas, o que representa uma reduçãode aproximadamente 34, 5% ou 29 horas. Já a duração da rota de Tucuruí era de, em média,60 horas, enquanto que a atual solução propõe uma rota de 30, 02 horas, o que representa umaredução de aproximadamente 50% ou 30 horas.

Desta forma, conclui-se que esta solução foi superior, quando comparada com a solução atualda empresa. Mesmo mantendo a divisão de mercado da empresa, os tempos de rota obtidosforam consideravelmente menores, representando uma redução de 34, 5% para a região de Pa-ragominas e 50% para a região de Tucuruí.

6. CONCLUSÕES E PRÓXIMOS PASSOS DA PESQUISACom vistas a descrever a logística de distribuição de uma empresa distribuidora de laticínios,foi proposto um modelo linear inteiro misto com restrições de janela de tempo, multi-períodose paradas periódicas. O modelo matemático tem como objetivo principal atender ao máximode clientes, porém busca também minimizar o tempo de rota. O modelo prescreve paradasintermediárias em postos de recarga de bateria, em múltiplos períodos de um horizonte de pla-nejamento, além de considerar janelas de tempo para início do serviço aos clientes.

Experimentos computacionais com três instâncias reais, evidenciaram que o modelo matemá-tico descreve de forma adequada a distribuição da empresa, e ainda melhora as rotas atualmentepraticadas. Em particular, para a instância que contempla a região de Tucuruí, o tempo de rota

foi reduzido em 50%, enquanto que para a instância que abrange a região de Paragominas,a redução foi da ordem de 34,2%. Para a terceira instância, a junção das regiões Tucuruí eParagominas, confirmou-se que a atual divisão de mercado da empresa é a adequada para asparticularidades de seu sistema de distribuição.

Os próximos passos dessa pesquisa consistem na realização de testes com instâncias com ummaior número de clientes, veículos e postos de recarga, de forma a se inferir o potencial deutilização do modelo em diferentes cenários.

AgradecimentosGostaríamos de agradecer a Fundação de Amparo à Pesquisa do Estado de São Paulo (Fapesp) (Processo no14/10330-0) pela bolsa de mestrado concedida à primeira autora.

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Rayra Brandão (rayralima@gmail.com)Vitória Pureza (vpureza@dep.ufscar.br)Departamento de Engenharia de Produção, Universidade Federal de São CarlosRodovia Washington Luís, Km 235, s/n - São Carlos, SP, Brasil