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Distribuições Distribuições BidimensionaisBidimensionaisDistribuições Distribuições

BidimensionaisBidimensionaisMACSMACS

Distribuições BidimensionaisDistribuições Bidimensionais(Ano 1)(Ano 1)

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Regressão e Correlação

A análise de correlação é o instrumento estatístico que permite estudar relações quantitativas. – A correlação exprime a forma /a força de ligação das

variáveis. – Num extremo podemos ter relações funcionais perfeitas e

no outro extremo ter a ausência de correlação.

Ao fazer uma análise de regressão, estudam-se as relações existentes entre fenómenos, quando são feitas observações de duas ou mais variáveis, através das suas distribuições.

Quando se observam somente duas variáveis, a distribuição diz-se bidimensional.

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• Relação entre preço e produção de batatas: em média, quanto maior a produção, menor o preço e vice-versa.

• Relação entre idade do marido e da esposa: em média, quanto maior a idade da esposa, maior a idade do marido.

• Relação entre número de horas de estudo e notas dos alunos de uma turma na disciplina, de matemática: em média, quanto maior o número de horas de estudo, maior o valor

da nota obtida.

Exemplos

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A correlação pode ser:

• Correlação Simples entre duas variáveis• Correlação Múltipla entre mais do que duas variáveis

• Correlação Positiva as duas variáveis variam no mesmo sentido

• Correlação Negativa a relação entre as duas variáveis é inversa

• Correlação Linear os pontos ajustam-se a uma linha recta• Correlação não linear os pontos ajustam-se a uma linha

com outra forma (por exemplo, regressão quadrática, os pontos ajustam-se a uma parábola)

Correlação

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Considere-se o conjunto de observações de duas variáveis X e Y:

Considere a relação entre salário e tempo de serviço, de dez operários:

, ; 1, 2, ,i ix y i n

N.º de anos 6 5 6 4 6 6 5 6 7 5

Salário 700 750 750 850 850 880 800 790 750 760

Exemplo

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Construamos o diagrama de dispersão - representação gráfica de duas variáveis, em que cada par de dados (xi, yi), é representado por um ponto de coordenados (xi , yi), num sistema de eixos coordenados.Utilizando o exemplo anterior, temos:

650

700

750

800

850

900

3,5 4 4,5 5 5,5 6 6,5 7 7,5

Diagrama de dispersão

Podemos usar a folha de cálculo Excel ou a máquina de calcular gráfica, para fazer estas representações.

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Pela análise do diagrama de dispersão, pode-se concluir, empiricamente, se o grau de correlação linear entre as variáveis é forte ou fraco, conforme o modo como se situam os pontos em redor de uma recta. Esta recta, empiricamente, constrói-se de modo que os pontos de ajustem o melhor possível a ela.

A correlação é tanto maior quanto mais os pontos se concentrem, com pequenos desvios, em relação a essa recta.

650

700

750

800

850

900

3,5 4 4,5 5 5,5 6 6,5 7 7,5650

700

750

800

850

900

3,5 4 4,5 5 5,5 6 6,5 7 7,5

Diagrama de dispersão (cont.)

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ExemplosNão existe correlaçãoCorrelação positiva

forteCorrelação negativa forte

Correlação positiva fraca

Correlação negativa fraca

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ExercícioEstude a relação entre os quilómetros que um carro apresenta e a sua valorização ao longo dos anos de uso.Considere a seguinte tabela:

CarrosQuilómetros

(milhares)

Preço (milhares de euros)

1 20 302 30 283 200 14 45 195 50 156 150 87 100 108 130 99 40 20

10 80 1411 180 712 90 13

0

5

10

15

20

25

30

35

0 50 100 150 200 250

Milhares de Km

Pre

ço e

m m

ilhar

es d

e eu

ros

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Coeficiente de correlação (linear)

O coeficiente de correlação permite-nos quantificar a existência ou não de correlação linear.Para se quantificar esta correlação, Pearson, propôs o seguinte cálculo:

1

2 2

1 1

( )( )

( ) ( )

n

i ii

n n

i ii i

x x y yr

x x y y

Podemos utilizar a máquina de calcular gráfica ou a folha de cálculo Excel para calcular este coeficiente.

Prova-se que: 1 r 1

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Pode-se utilizar a seguinte escala, para avaliar a intensidade da correlação:

Coeficiente de correlação

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Existindo correlação linear, os pontos podem ser ajustados através de uma recta, obtendo-se uma expressão do tipo y = a x + b.Iremos determinar esta recta recorrendo à máquina de calcular gráfica e à folha de cálculo Excel.

Recta de regressão

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Folha de cálculo Excel

No documento “Texto de apoio n.º 2 – Regressão e correlação com

o Excel “ (no mesmo local deste documento), indica-se como construir um gráfico de dispersão e calcular a recta de regressão, bem como o coeficiente de Pearson em dados bivariado, utilizando a folha de cálculo Excel.

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Exercícios1. Um professor decidiu averiguar, junto dos seus alunos, qual a

relação entre o número de faltas às aulas da sua disciplina e o número de horas semanais de estudo. Elaborou o seguinte quadro:

1.1 Represente, num sistema de eixos, o conjunto de pontos (x,y), correspondente a: (número de faltas, nº de horas semanais de estudo)

1.2 Indique os tipos de correlação e interprete os dados (resultados).

1.3 Determine a recta de regressão e indique o coeficiente de correlação

Alunos 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Número de faltas

10 0

2

3

6

12

8

1

1

7

5

10

Nº de horas semanais de estudo

4

10

9

10

3

1

7

6

5

2

6

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Exercícios2. Os coeficientes de correlação correspondentes a cada uma

das distribuições representadas são: -0,01; -0,86 e 0,89. Observe-as cuidadosamente e faça corresponder a cada uma delas o seu coeficiente de correlação:

A B C