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Distribuicao NormalExemplosExercıcios

Distribuicao Normal

Lucas Santana da Cunhaemail: [email protected]

http://www.uel.br/pessoal/lscunha/

25 de junho de 2018Londrina

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IntroducaoFuncao densidade de probabilidadeNormal Reduzida

Introducao

Dentre todas as distribuicoes de probabilidades, sejam discre-tas ou contınuas, a mais estudada e utilizada e a distribuicaonormal.

As principais razoes que fazem a distribuicao normal o modelomais importante na estatıstica sao:

Muitas variaveis biometricas tendem a ter distribuicao Normal

A distribuicao das medias amostrais de uma variavel qualquertendem a ter distribuicao Normal, mesmo que a variavel em sinao tenha distribuicao Normal;

Muitos testes e modelos estatısticos tem como pressuposicao a”normalidade dos dados”, isto e, que os dados possuem distri-buicao Normal.

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Funcao densidade de probabilidade

Definicao

A funcao densidade de probabilidade de uma variavel aleatoriacontınua Y , seguindo uma distribuicao normal, e dada por:

f (y) =1

σ√

2πe−

12( y−µ

σ )2

, −∞ < y <∞,

em que:

µ ∈ R, e a posicao central da distribuicao (media);

σ > 0, e a dispersao da distribuicao (desvio padrao).

Notacao: Y ∼ N(µ;σ).

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Caracterısticas

As principais caracterısticas dessa funcao sao:

A funcao gera um grafico em forma de “sino”, sendo unimodale simetrica;

A media (µ) controla a localizacao do centro da distribuicao (eo ponto de simetria) e o desvio padrao (σ) controla a dispersaoda curva ao redor da media;

O ponto de maximo de f (y) e o ponto Y = µ;

Nao possui limite inferior ou superior;

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O desvio padrao define “unidades padroes”na distribuicao apartir da media:

Figura 1: Areas sob a curva normal.

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Calculo da probabilidade

Para se calcular a probabilidade da variavel aleatoria Y assumirvalores entre a e b “basta”calcular a area compreendida entreestes intervalos

P[a ≤ Y ≤ b] =

∫ b

a

1

σ√

2πe−

12( y−µ

σ )2

dy

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O calculo direto de probabilidades envolvendo a distribuicaonormal exige recursos do calculo avancado e, mesmo assim,dada a forma da funcao densidade, nao e um processo muitoelementar.

Uma alternativa seria tabelar valores aproximados, permitindo-nos obter diretamente o valor da probabilidade desejada.

Note-se, entretanto, que a funcao densidade da normal dependede dois parametros, µ e σ, de modo que se as probabilidadesfossem tabeladas para todas as possıveis combinacoes terıamosinfinitas tabelas.

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Normal Padrao

Devido as dificuldades de calculo e em se construir tabelasda funcao dependendo de dois parametros, recorre-se a umamudanca de variavel, transformando a variavel aleatoria Y navariavel aleatoria Z .

Essa nova variavel chama-se variavel normal reduzida ou nor-mal padrao.

Denomina-se distribuicao normal padrao, a distribuicao normalde media zero e variancia 1.

As probabilidades associadas a distribuicao normal reduzida saofacilmente obtidas em tabelas.

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Padronizacao

Obtem-se uma escala de distribuicao denominada escala reduzida,escala Z ou escore Z , que mede o afastamento das variaveis emrelacao a media em numero de desvios-padrao. Assim,

Z =Y − µσ

Logo, tem-se que a f.d.p da normal padrao e

f (z) =1√2π

e−12z2 , −∞ < z <∞,

Notacao: Z ∼ N(0; 1).

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Tabela

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Exemplos

Exemplo 1

Seja Z ∼ N(0; 1). Usando a tabela da distribuicao normal padrao,calcular:

a) P(0 < Z < 1, 57);

b) P(0 < Z < 1, 08);

c) P(−1, 89 < Z < 0);

d) P(−0, 58 < Z < 0);

e) P(1, 25 < Z < 2, 23);

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Exemplo 2

Seja Y ∼ N(4; 1). Determine:

a) P(Y ≤ 4);

b) P(4 < Y < 5);

c) P(2 < Y < 5);

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Exemplo 3

Sabendo-se Z ∼ N(0; 1), obter z tal que:

a) P(0 < Z < z) = 0, 475;

b) P(−z < Z < 0) = 0, 49492;c) P(−z < Z < z) = 0, 97;

d) P(Z < z) = 0, 30234;

e) P(Z > z) = 0, 07493;

f) P(Z < z) = 0, 5.

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Exercıcios

Exercıcio 1

Seja Z ∼ N(0; 1). Usando a tabela da distribuicao normal padrao,calcular:

a) P(−1, 23 < Z < 1, 05);

b) P(−0, 85 < Z < 1, 92);

c) P(−2, 22 < Z < −1, 35);

d) P(−1, 93 < Z < −0, 80);

e) P(0, 52 < Z < 1, 23);

f) P(Z > −1, 27).

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Exercıcio 2

Seja Y ∼ N(5; 2). Determine:

a) P(5 < Y < 7);

b) P(Y ≤ 1);

c) P(0 ≤ Y ≤ 2);

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Exercıcio 3

Sabendo-se Z ∼ N(0; 1), obter z tal que:

a) P(0 < Z < z) = 0, 43699;

b) P(−z < Z < 0) = 0, 35314;

c) P(−z < Z < z) = 0, 95;

d) P(Z < z) = 0, 82121;

e) P(Z > z) = 0, 95254;

f) P(Z < z) = 0, 36693;

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