Distribuicao Normal

Profa Dra Alcione Miranda dos Santos

Universidade Federal do MaranhaoPrograma de Pos-Graduacao em Saude Coletiva

email:alcione.miranda@gmail.com

Abril, 2011

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Sumario

Introducao

Distribuicao Normal

Distribuicao Normal Padrao

Calculos de probabilidades

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Introducao

I Muitas variaveis estudadas na area biomedica apresentam dis-tribuicao simetrica (os valores centrais sao mais frequentes e osvalores extremos mais raros).

I Na pratica, se o coeficiente de assimetria de Pearson esta situ-ado no intervalo (-0,5;0,5), considera-se a distribuicao aproxi-madamente simetrica.

I Uma distribuicao simetrica tıpica e a distribuicao normal.

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Introducao

I Por que e importante que as variaveis possam ser descritas poruma distribuicao normal?

Motivo e simples: Se as variaveis respeitam uma distribuicaonormal, pode-se aplicar a grande maioria dos testes e metodosestatısticos conhecidos.

Xtem-se maior facilidade!

I Variaveis que nao tem distribuicao normal podem ser submeti-das a transformacoes (raiz quadrada, logaritmo).

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Distribuicao Normal

Exemplo: Observamos medidas do torax (em polegadas) desoldados escoceses.

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Propriedades de Distribuicao Normal

I A distribuicao e simetrica: Media = mediana = moda.

I Os parametros µ (media) e σ2 (variancia) definem completa-mente uma curva normal.

Notacao: X ∼ N(µ, σ2)

I Na distribuicao normal com media µ e desvio padrao σ:

X 68% das observacoes estao a menos de ±σ da media µ.X 95% das observacoes estao a menos de ±2σ de µ.X 99,5% das observacoes estao a menos de ±3σ de µ.

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Propriedades de Distribuicao Normal

I Exemplo: Considere que o nıvel de glicose em pessoas sadiastenha distribuicao normal, com media igual a 90 mg e desvio-padrao 5 mg. Entao, pode-se concluir que:

X Aproximadamente 2/3 (≈ 68%) da populacao de indivıduos sa-dios possuem nıvel de glicose entre (µ− σ) = 90-5 = 85 mg e(µ+ σ) = 90+5 = 95 mg.

X Grande parte das pessoas sadias (≈ 95%) nıvel de glicose entre(µ− 2σ) = 90-2(5) = 80 e (µ+ 2σ) = 90+2(5) = 100 mg.

X Praticamente todos (≈ 99, 7%) os indivıduos da populacao temvalores entre (µ− 3σ) = 75 e (µ+ 3σ) = 105 mg.

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Propriedades de Distribuicao Normal

I A distribuicao Normal depende dos parametros µ e σ2.

Figura: Curvas Normais com mesma variancia, mas mediasdiferentes (µ2 > µ1).

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Propriedades de Distribuicao Normal

I Influencia de σ na curva Normal.

Figura: Curvas Normais com mesma media, mas varianciasdiferentes (σ2

2 > σ21).

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Distribuicao Normal Padrao

I Caso especial da distribuicao Normal: media=0 e variancia=1

XNotacao: Z ∼ N(0, 1).

I Para transformar uma variavel X ∼ N(µ, σ2) para uma variavelnormal padrao (padronizacao ou normalizacao), basta fazer ocalculo:

Z =X − µ

σ

I Propriedade dessa distribuicao: Podemos calcular probabili-dades usando a tabela da distribuicao normal padronizada.

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Padronizacao: exemploI Seja X ∼ N(5, 100). Vamos padronizar o valor 6,2.

Z =X − µ

σ=

6, 2 − 5

10= 0, 12

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Calculos de probabilidades

I Para variaveis aleatorias com distribuicao normal, as probabili-dades sao representadas pelas areas sob a curva normal.

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Calculos de probabilidades

I Area total sob a curva e igual a 1.

I A area em vermelho e igual a probabilidade da variavel X sermaior do que 1.

I A area em azul e igual a Prob(−1 < X < 0).

I Areas sao obtidas em tabelas ou calculadas em computador.

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Calculos de probabilidadesI Calculo da area entre dois numeros: Seja X ∼ N(5, 100), va-

mos calcular P(2, 9 ≤ X ≤ 7, 1).

I Primeiramente, temos que padronizar 2, 9 e 7, 1. Assim,

Z =2, 9 − 5

10= −0, 21 e Z =

7, 1 − 5

10= 0, 21

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Como usar a tabela da normal padrao?

I As propriedades que seguem podem ser deduzidas da simetriada densidade em relacao a media 0, e sao uteis na obtencao deoutras areas nao tabuladas.

(i) P(Z > z) = 1 − P(Z < z)

(ii) P(Z < −z) = P(Z > z)

(iii) P(Z > −z) = P(Z < z)

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Como usar a tabela da normal padrao?

I Vamos determinar a P(Z < −1, 25).

I Temos que:

P(Z < −1, 25) = P(Z > 1, 25)

I Para determinar a probabilidade de z ser superior a um valordado, subtraia de 0,5 a area que voce encontrar na tabela.

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Como usar a tabela da normal padrao?

I Portanto,

P(Z < −1, 25) = P(Z > 1, 25) = 0, 5 − P(0 < Z < 1, 25)

I Percorra a coluna z , a esquerda, ate z = 1, 2, depois siga natransversal ate a coluna sob o numero 0,05. O valor da celula,0,3944, corresponde a area entre 0 e 1,25.

I Assim,

P(Z < −1, 25) = P(Z > 1, 25) = 0, 5 − P(0 < Z < 1, 25)

= 0, 5 − 0, 3944 = 0, 1056

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Exemplo

I Suponha QI ∼ N(100, 225)

I Qual a probabilidade que uma pessoa escolhida aleatoriamentetenha o QI superior a 135?

Z =135 − 100

15= 2, 33

Logo, P(Z > 2.33) = 0, 01 (tabela normal padrao)

I Qual a probabilidade que uma pessoa escolhida aleatoriamentetenha o QI inferior a 90?

Z =90 − 100

15= −0, 67

Assim, P(Z < −0, 67) = P(Z > 0, 67) = 0, 2514. Lembre-seda simetria

I Probabilidades que uma pessoa escolhida aleatoriamente tenhao QI entre dois valores tambem podem ser determinadas.

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