distribui˘c~ao de probabilidade discreta · distribui˘c~ao multinomial aplica˘c~oes uma f abrica...

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Distribuicao Multinomial

Instituto de Fısica da Universidade de Sao Paulo

Distribuicao de Probabilidade DiscretaDistribuicao Multinomial

(Trevo)

01-02 de abril de 2014

P. R. Pascholati

P. R. Pascholati Distribuicao de Probabilidade Discreta

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Trevo – Parque da Previdencia - Sao Paulo


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Sumario

1 Prologo

2 Prova

3 Distribuicao Multinomial


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PrologoEsta apresentacao e parte das distribuicoes de probabilidade deinteresse em Fısica: Distribuicao Binomial, Distribuicao de Poissone Distribuicao de Gauss (Gauβ). Enfatizando o que ja foiadiantado na apresentacao de distribuicao binomial:

a distribuicao binomial e geralmente aplicada a experimentosonde ha um numero pequeno de possıveis eventos;

a distribuicao de Poisson e apropriada para descreverexperimentos cujos eventos sao contagens onde os dadosrepresentam um certo numero de eventos observados porunidade de intervalo; e

A distribuicao de Gauss ou normal descreve as observacoesaleatorias de uma vasta gama de experimentos.

Trevo – Classificacao cientıfica ou taxinomia (sistema de Karl von Linnee ouCarolus Linnaeus)

Reino: Plantae, Divisao: Magnoliophyta, Classe: Liliopsida, Ordem: Fabales,

Famılia: Fabaceae, Genero: Triofolium.


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Sumario

1 Prologo

2 Prova



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Solucao da Prova

1 (0,9) Quantos algarismos significativos tem os numeros dositens que seguem? Justifique as respostas.230,7800,056 70443,650

2 (1,2) Faca o arredondamento dos numeros dos itens queseguem? Justifique as respostas. para quatro algarismossignificativos:131,500,320 45

3 para seis algarismos signficativos:3,846 453 0051 274,7500


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Considere uma amostra de 10 votantes tomados ao acaso de umapopulacao onde 40 % dos votantes sufragam o candidato A.Pergunta-se:

(0,5) Qual a probabilidade de apenas dois votantes sufragaresse candidato?

(1,0) Qual e a probabilidade de que 50% dos votantessufragem o outro cadidato?


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Um grupo de tres de alunos fez 90 lancamentos de tres dados comquatro lados anotando os valores obtidos. A tabela 1 apresenta asoma dos resultados obtidos para cada trio de dados lancado.

Tabela : Somas dos resultados obtidos para 90 lancamentos de tresdados com quatro lados.

3 5 6 7 7 7 8 9 113 5 6 7 7 8 8 10 113 5 6 7 7 8 8 10 114 5 6 7 7 8 8 10 114 5 6 7 7 8 8 10 114 5 6 7 7 8 9 10 115 5 6 7 7 8 9 10 115 6 6 7 7 8 9 10 125 6 7 7 7 8 9 10 12P. R. Pascholati Distribuicao de Probabilidade Discreta

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a) (0,5) Confeccione uma tabela para conter as respostas finaisdos itens b), c) e e).

b) (0,8) Quais sao os eventos possıveis de ocorrer nessaexperiencia? Justifique.

c) (0,8) Obtenha a ocorrencia para cada um dos eventospossıveis.

d) (1,0) Construa o histograma dos resultados apresentados naTabela 1.

e) (0,4) Obtenha, tambem, a ocorrencia relativa correspondente.


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Na Figura 1 sao apresentados graficamente os resultados de Nmedicoes do tempo de 10 oscilacoes de um pendulo simples.Estime:

a) (0,3) o numero de medicoes N;

b) (1,0) a media dessa distribuicao;

c) (1,0) o desvio padrao da mesma; e

d) (0,6) o desvio padrao da media.


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Figura : Resultados de N medicoes do intervalo de tempo de 10oscilacoes de um pendulo simples.


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Sumario

1 Prologo

2 Prova



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Distribuicao MultinomialExpressao

A distribuicao binomial pode ser generalizada considerandoreparticao do espaco amostral em H eventos Y1,Y2, . . . ,YH ,mutuamente exclusivos e com probabilidade p1, p2, . . . , pH , tal queos pi , i = 1,H satisfacam a condicao de normalizacao(∑H

1 )pi = 1). Entao em N tentativas, a probabilidade de que oevento Y1 ocorra n1 vezes, Y2 ocorra n2 vezes, . . . e YH ocorranH vezes e obtida por:

PN;p1,p2,...pH (n1, n2, . . . , nH) =N!

n1!n2! . . . nH !(p1)n1(p2)n2 . . . (pH)nH

(1)Para H for igual a 2 a equacao 1 se torna a distribuicao binomial.


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Distribuicao MultinomialAplicacoes

Qual a probabilidade de ao se lancar um dado de seis lados novevezes, se encontrar 3 lados 1, 2 lados 6, e os demais lados uma vez.

Solucao:Inicialmente e preciso identificar os eventos do espaco amostra.Evento 1 e encontrar tres lados 1 para cima, evento 2 e encontrardois lados seis e evento 3 encontrar os demais lados uma vez.

O numero de lancamentos, N, e 9 e a probabilidade de acontecerde um lado especıfico de um dado para cima e pi = 1

6 . Assim aprobabilidade de acontecer o evento 1 e p1 = 1

6 , o evento 2 ep2 = 1

6 e o evento 3 qualquer lado e p3 = 46 , esta e a diferenca

entre 1 e a soma da duas outras probabilidades.

PN; 16, 1

6, 4

6(3, 2, 4) =

9!

3!4!2!

(1

6

)3(1

6

)2(4

6

)4

(2)


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Qual a probabilidade de ao se lancar um dado de seis lados novevezes, se encontrar 3 lados 1, 2 lados 6, e os demais lados uma vez.

PN; 16, 1

6, 4

6(3, 2, 4) =

9!

3!4!2!

(1

6

)3(1

6

)2(4

6

)4

(3)

=9 · 8 · 7 · 6 · 5 · 4!

3 · 2 · 1 · 4! · 2 · 1

(1

6

)5(4

6

)4

= 3 · 2 · 7 · 6 · 5

(1

6

)5(4

6

)4

(4)

= 7 · 5

(1

6

)3(4

6

)4

=35 · 256

67=

8960

279 936= 0, 0320 (5)


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Uma fabrica de lampadas coloridas produz 50% de lampadasverdes, 20% de lampadas azuis e 30% de lampadas amarelas.

Qual e a probabilidade de em 6 lampadas 2 sejam verdes, 3azuis e 1 amarela.

Qual e a probabilidade de em 8 lampadas 4 sejam verdes, 2azuis e 2 amarelas.

Solucao:Inicialmente e preciso identificar os eventos do espaco amostral:evento 1 e encontrar duas lampadas de cor verde, evento 2 eencontrar tres lampadas de cor azul e evento 3 encontrar umalampada de cor amarela.As probabilidades sao p1 = 1/2 para lampdas de cor verde,p2 = 1/5 para lampadas de cor azul e p3 = 3/10 para lampadas decor amarela.


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Qual e a probabilidade de em 6 lampadas 2 sejam verdes, 3azuis e 1 amarela.

Continuacao da solucao:O numero de tentativas, N, e 6.

P6; 12, 1

5, 3

10(2, 3, 1) =

6!

2!3!1!

(1

2

)2(1

5

)3( 3

10

)1

(6)

=6 · 5 · 4 · 3!

2 · 3! · 1

(1

2

)2(1

5

)3( 3

10

)1

=3

1

(1

5

)2( 3

10

)1

(7)

=3 · 3

25 · 10=

9

250=

9 · 4

250 · 4=

36

1000= 0, 036 (8)


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Solucao:O numero de tentativas, N, e 8.

P8; 12, 1

5, 3

10(4, 2, 2) =

8!

4!2!2!

(1

2

)4(1

5

)2( 3

10

)2

(9)

=8 · 7 · 6 · 5 · 4!

4! · 2 · 2

(1

2

)4(1

5

)2( 3

10

)2

(10)

=7 · 3

1

(1

2

)2(1

5

)1( 3

10

)2

=7 · 3 · 9

4 · 5 · 100(11)

=189

2000=

189 · 5

2000 · 5=

945

1000= 0, 945 (12)


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Solucao:O numero de tentativas, N, e 10.

P10; 12, 1

5, 3

10(5, 2, 3) =

10!

5!2!3!

(1

2

)5(1

5

)2( 3

10

)3

(13)

=10 · 9 · 8 · 7 · 6 · 5!

5! · 2 · 3 · 2

(1

2

)5(1

5

)2( 3

10

)3

(14)

=9 · 7

1

(1

2

)2(1

5

)1( 3

10

)3

=9 · 7 · 27

4 · 5 · 1000(15)


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Continuacao da solucao:

P10; 12, 1

5, 3

10(5, 2, 3) =

9 · 7 · 27

4 · 5 · 1000(16)

=1701

20000=

1701 · 5

20000 · 5=

8505

100000= 0, 08505 (17)


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