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PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE SÃO PAULO
PUC/SP
Osmar Antonio de Lima
Distribuição Normal:
Uma introdução voltada ao Ensino Médio por
simulações via planilha eletrônica
e exercícios interativos
MESTRADO PROFISSIONAL EM ENSINO DE MATEMÁTICA
São Paulo
2009
1
PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE SÃO PAULO
PUC/SP
Osmar Antonio de Lima
Distribuição Normal:
Uma introdução voltada ao Ensino Médio por
simulações via planilha eletrônica
e exercícios interativos
Dissertação apresentada à Banca Examinadora da Pontifícia
Universidade Católica de São Paulo, como exigência parcial
para obtenção do título de MESTRE PROFISSIONAL EM
ENSINO DE MATEMÁTICA, sob a orientação da Professora
Doutora CILEDA DE QUEIROZ E SILVA COUTINHO
São Paulo
2009
2
Banca Examinadora
________________________________________________
________________________________________________
________________________________________________
3
Autorizo, exclusivamente para fins acadêmicos e científicos, a reprodução total ou parcial desta
dissertação por processos de fotocopiadoras ou eletrônicos.
Assinatura: _______________________________________ Local e Data: ______________
4
Dedico este trabalho a
minha amada esposa
LUCIANALUCIANALUCIANALUCIANA,,,,
e minha filha
JÚLIA.JÚLIA.JÚLIA.JÚLIA.
Vocês são únicas em minha vida!
5
AAAAgradecimentosgradecimentosgradecimentosgradecimentos
A DeusDeusDeusDeus,,,, pela dádiva da vida.
À minha orientadora Professora Doutora Cileda de Queiroz e Silva Professora Doutora Cileda de Queiroz e Silva Professora Doutora Cileda de Queiroz e Silva Professora Doutora Cileda de Queiroz e Silva CoutinhoCoutinhoCoutinhoCoutinho,,,, pela competência e dedicação que me orientou, fazendo com que esta pesquisa se concretizasse.
À Professora Doutora Luzia Aparecida PalaroDoutora Luzia Aparecida PalaroDoutora Luzia Aparecida PalaroDoutora Luzia Aparecida Palaro, pela dedicação e contribuição extraordinária dada a minha pesquisa.
À Professora Doutora Sandra Maria Pinto MaginaDoutora Sandra Maria Pinto MaginaDoutora Sandra Maria Pinto MaginaDoutora Sandra Maria Pinto Magina, , , , com tamanha competência contribuiu para o enriquecimento desta pesquisa.
A meus pais, PauloPauloPauloPaulo e OrtênciaOrtênciaOrtênciaOrtência e meus irmãos, pelas orações e paciência em tempos difíceis.
A meus sogros, WilsonWilsonWilsonWilson e SirleiaSirleiaSirleiaSirleia, pelos conselhos, confiança e apoio. A meus amigos Clécio, Clécio, Clécio, Clécio, Paulo, Márcia Paulo, Márcia Paulo, Márcia Paulo, Márcia e Rogério Rogério Rogério Rogério, pelas horas de estudo e trabalho realizados juntos.
À Diretora da E. E. Dr. Mário Toledo de Moraes, Diretora da E. E. Dr. Mário Toledo de Moraes, Diretora da E. E. Dr. Mário Toledo de Moraes, Diretora da E. E. Dr. Mário Toledo de Moraes, ProfessoraProfessoraProfessoraProfessora Maria Maria Maria Maria IsabelIsabelIsabelIsabel, pela confiança e apoio durante meus estudos.
À Secretaria da Educação de São PauloSecretaria da Educação de São PauloSecretaria da Educação de São PauloSecretaria da Educação de São Paulo pelo incentivo e suporte fornecido na forma de bolsa de estudos.
Um agradecimento especial ao Professor Doutor Saddo Ag Professor Doutor Saddo Ag Professor Doutor Saddo Ag Professor Doutor Saddo Ag AlmouloudAlmouloudAlmouloudAlmouloud, pois sem sua preciosa orientação, colaboração e dedicação, eu não teria chegado ao final deste trabalho. A essa pessoa maravilhosa, meu muitíssimo obrigado. Que Deus o abençoe, hoje e sempre!
As “pedras do meu caminhopedras do meu caminhopedras do meu caminhopedras do meu caminho”, que se constituíram o alicerce de minha formação.
O Autor
6
RRRResumoesumoesumoesumo
O objetivo deste estudo foi introduzir o conteúdo da Distribuição Normal para alunos
do Ensino Médio, sendo proposta uma abordagem, buscando a interação de dois
ambientes, sala de aula e laboratório de informática. O estudo foi realizado com 11
alunos egressos do ensino médio, tendo em vista apresentar a Distribuição Normal
pela simulação de dados, utilizando uma planilha eletrônica (Excel). O referencial
teórico apoiou-se na Teoria Antropológica do Didático – TAD para alcançar o
objetivo pretendido pelo pesquisador: facilitar a compreensão dos conceitos
estocásticos envolvendo a Distribuição Normal pelos alunos, por meio de simulação
de experimentos, utilizando a planilha eletrônica (Excel) e, também, exercícios
interativos. Com essa proposta, percebeu-se que os alunos do Ensino Médio
passaram a reconhecer as características e a representação gráfica de uma
Distribuição Normal, e a partir das análises realizadas em sala de aula, verificou-se
que foi possível relacionar os conteúdos da estatística descritiva com os de
probabilidade e, dessa forma, os alunos passaram a ter uma noção da relação entre
estatística e probabilidade. Em síntese, o uso da planilha eletrônica (Excel), com os
exercícios interativos possibilitaram encaminhar os alunos a identificação dos
conceitos envolvendo a Distribuição Normal, facilitando sua interação com o objeto
de estudo. Assim, os alunos perceberam a idéia da relação existente entre a
estatística e a probabilidade, que neste trabalho, foi denominado como estocástica.
Palavras-Chave: Distribuição Normal. Formação de conceitos. Informática na
Educação Estatística. Exercícios Interativos. Ensino Médio.
7
AAAAbstractbstractbstractbstract
The purpose of this study was introducing the content of Normal Distribution to high
school students, being an approach proposed, aiming at the interaction of two
environments, classroom and computer lab. The study was held with 11 high school
students, bearing in mind the presentation of Normal Distribution by data simulation,
using an electronic worksheet (Excel). The theoretical referential was based on the
Anthropological Theory of the Didactics – ATD to accomplish the intended purpose
by the researcher: ease the comprehension of the stochastic concepts involving
Normal Distribution by the students, by means of experiment simulations, using the
electronic worksheet (Excel) and, also, interactive exercises. With this proposal, it
was realized that the High School students began to recognize the characteristics
and the graphical representation of a Normal Distribution, and from the analyses held
in the classroom, it was verified that it was possible to relate the descriptive statistical
contents with the probability ones and, this way, the students began to bear a sense
of the relation between statistics and probability. Summarizing everything, the use of
the electronic worksheet (Excel) with the interactive exercises enabled to guide the
students towards the identification of concepts involving Normal Distribution, easing
its interaction with the study object. Therefore, the students realized the idea of the
existing relation between statistics and probability, which in this essay, was named as
stochastic.
Keywords: Normal Distribution, Concept building, Computer Sciences in Statistics
Education, Interactive Exercises, High School.
8
SSSSumárioumárioumárioumário
INTRODUÇÃO ........................................................................................................ 15
JUSTIFICATIVA .................................................................................................. 15
QUESTÃO DE PESQUISA.................................................................................. 17
UMA PREMISSA.................................................................................................. 19
PROCEDIMENTOS METEDOLÓGICOS............................................................. 19
REFERENCIAL TEÓRICO .................................................................................. 21
ORGANIZAÇÃO DO TRABALHO........................................................................ 23
CAPÍTULO I ............................................................................................................ 24
1 REVISÃO DE LITERATURA ........................................................................ 24
1.1 A INFORMÁTICA NA EDUCAÇÃO ESTATÍSTICA ...................................... 24
1.2 O COMPUTADOR E O ENSINO DA ESTATÍSTICA .................................... 26
1.3 PESQUISAS QUE ENVOLVEM O ENSINO-APRENDIZAGEM DA
DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL ...........................................................................
29
1.4 PESQUISAS QUE ENVOLVEM O ENSINO-APRENDIZAGEM DA
DISTRIBUIÇÃO NORMAL ............................................................................
30
1.5 ASPECTOS DO DISCURSO OFICIAL ......................................................... 35
1.5.1 Parâmetros Curriculares Nacionais do Ensino Médio .......................... 35
1.6 OBJETOS MATEMÁTICOS .......................................................................... 38
1.6.1 Espaço amostral ................................................................................... 38
1.6.2 Eventos ................................................................................................ 39
1.6.3 Probabilidade ....................................................................................... 41
1.6.4 Variável aleatória .................................................................................. 42
1.6.5 Função de Probabilidade (variável discreta) ........................................ 42
1.6.6 Função Densidade de Probabilidade (variável contínua) .................... 44
1.6.7 Modelo de Distribuição de Probabilidade (Binomial e Normal) ............ 44
1.7 CONSIDERAÇÕES A RESPEITO DESTE CAPÍTULO ................................ 46
CAPÍTULO II ........................................................................................................... 48
2 FASE EXPERIMENTAL................................................................................... 48
2.1 MATERIAIS E PROCEDIMENTOS ............................................................... 48
2.2 ETAPAS DA FASE EXPERIMENTAL ........................................................... 50
9
2.3 ANÁLISE DAS ATIVIDADES ...................................................................... 53
2.3.1 Análise a “Priori” – Atividade em sala de aula ...................................... 54
2.3.2 Análise a “Posteriori” – Atividade em sala de aula ............................... 62
2.3.3 Considerações sobre a atividade em sala de aula ............................... 63
2.3.4 Análise a “Priori” – Atividade realizada em uma planilha eletrônica .... 64
2.3.5 Análise a “Posteriori” – Atividade realizada em uma planilha
eletrônica........................................................................................................
70
2.3.6 Considerações sobre a atividade realizada em uma planilha
eletrônica........................................................................................................
71
2.3.7 Análise a “Priori” – Atividade realizada em papel quadriculado ........... 72
2.3.8 Análise a “Posteriori” – Atividade realizada em papel quadriculado .... 74
2.3.9. Considerações sobre a atividade em papel quadriculado .................. 76
2.3.10 Análise a “Priori” – Atividade realizada com exercícios
interativos ......................................................................................................
76
2.3.11 Análise a “Posteriori” – Atividade realizada com exercícios
interativos ......................................................................................................
84
2.3.12 Considerações sobre a atividade realizada com exercícios
interativos ..........................................................................................
91
2.3.13 Análise a “Priori” – Questionário Diagnóstico ..................................... 92
2.3.14 Respostas Observadas – Questionário Diagnóstico .......................... 98
2.3.15 Análise a “Posteriori” das respostas observadas do Questionário
Diagnóstico ....................................................................................................
103
CONCLUSAO................................................................................................. 105
FUTUROS TRABALHOS ...................................................................................... 107
REFERÊNCIAS ...................................................................................................... 108
ANEXO...................................................................................................................... 110
10
LLLLista de ista de ista de ista de TTTTabelasabelasabelasabelas
TABELA 1: Medidas do palmo direito de 40 alunos (em cm) .................................. 54
TABELA 2: Medidas do palmo direito de 40 alunos (cm) ........................................ 55
TABELA 3: Medidas dos palmos de alunos (cm) ..................................................... 58
TABELA 4: Intervalo dos palmos (cm) ..................................................................... 67
TABELA 5: Análise dos resultados da atividade com exercícios interativos ........... 91
TABELA 6: Respostas observadas no Questionário Diagnóstico............................ 102
11
LLLLista de ista de ista de ista de QQQQuadrosuadrosuadrosuadros
QUADRO 1: Comparativo entre: COHEN E CHECHILLE (1997); SOUZA (2002);
TAUBER (2001) e VIALI (2001)................................................................................
34
QUADRO 2: Classificação de um espaço Amostral ................................................ 39
QUADRO 3: Operações com Eventos...................................................................... 40
QUADRO 4: Enfoques de Probabilidade ................................................................. 41
QUADRO 5: Atividades desenvolvidas nos encontros............................................. 49
QUADRO 6: Simulação dos gráficos em planilha eletrônica ................................... 68
12
LLLLista de ista de ista de ista de IIIIlustraçõeslustraçõeslustraçõeslustrações
Ilustração 1: Exercício no ConStats ......................................................................... 33
Ilustração 2: Exercício no ConStats – Distribuição Normal – Pesos de
recém-nascidos ...................................................................................
33
Ilustração 3: Representação gráfica da Distribuição Normal ................................... 46
Ilustração 4: Simulação de uma curva normal no Excel .......................................... 65
Ilustração 5: Curva normal ....................................................................................... 73
Ilustração 6: Esboço da curva normal correto .......................................................... 75
Ilustração 7: Esboço da curva normal incorreto ....................................................... 75
13
LLLLista de ista de ista de ista de GGGGráficosráficosráficosráficos
GRÁFICO 1: Medida dos Palmos dos Alunos (cm) ................................................. 55
GRÁFICO 2: Representação da Média .................................................................... 57
GRÁFICO 3: Representação do Intervalo [ ]σµσµ +;- .......................................... 60
GRÁFICO 4: Representação do Intervalo [ ]σµσµ 22 +− ; ...................................... 61
GRÁFICO 5: Representação do Intervalo [ ]σµσµ 33 +− ; ...................................... 61
GRÁFICO 6: Horário de Pico ................................................................................... 77
GRÁFICO 7: Interpretação do Intervalo [ ]σµσµ +− ; .............................................. 80
GRÁFICO 8: Interpretação do Intervalo [ ]σµσµ 22 +− ; ......................................... 81
GRÁFICO 9: Interpretação do Intervalo [ ]µσµ ;− ................................................... 82
GRÁFICO 10: Interpretação do Intervalo [ ]σµσµ −− ;3 ......................................... 83
GRÁFICO 11: Interpretação do Intervalo [ ]µσµ ;2− ............................................... 84
GRÁFICO 12: Respostas observadas do Questionário Diagnóstico........................ 101
14
De minha paixão pela educação, Estou semeando as sementes
de minha alta esperança. Não busco discípulos para
comunicar-lhes saberes, busco discípulos para neles plantar minhas esperanças.
Rubem Alves
15
IIIIntroduçãontroduçãontroduçãontrodução1111
A identificação com os conteúdos de estatística e probabilidade na disciplina
de Tópicos de Matemática Discreta, componente curricular do Programa de
Mestrado Profissional em Ensino da Matemática, motivou a escolha do tema desta
pesquisa que busca a integração das novas tecnologias aos métodos utilizados em
sala de aula no que diz respeito ao ensino de estatística e probabilidade para alunos
do Ensino Médio (EM).
A ideia de sugerir o estudo da Distribuição Normal no EM, usando uma
planilha eletrônica como ferramenta para simulações ocorreu durante a
apresentação de um seminário sobre o tema na referida disciplina. Na apresentação,
um dos recursos utilizados para ilustrar a Distribuição Normal foi uma planilha
eletrônica do Excel, por meio de simulações de distribuição que poderiam ser
representadas e explicadas por esse modelo em sua representação gráfica. Nas
atividades propostas, foram necessários os cálculos da média e do desvio-padrão de
uma determinada variável contínua, então, percebemos que tal abordagem no EM
poderia ser útil aos alunos na percepção de regularidades e variações tão
importantes para construção e desenvolvimento do raciocínio estocástico.
Assim, com o objetivo de introduzir as primeiras noções para o estudo da
Distribuição Normal com alunos do EM, propusemos uma abordagem, que busca a
interação de dois ambientes, sala de aula e laboratório de informática.
JUSTIFICATIVA
Nas últimas décadas, o ensino da Estatística tem sido alvo de diversas
investigações, como as de: Cohen e Chechile, 1997; Tauber, 2001; Viali, 2001;
Souza, 2002, entre outros. Na reflexão abrangente sobre o ensino da Estatística e
1 Esta dissertação está conforme as regras do Acordo Ortográfico.
16
da Matemática, podemos atentar para o fato de que a educação atravessa uma fase
de mudanças históricas que requer novos métodos de ensino que conciliem as
necessidades e os interesses reais verificados em sala de aula.
Em todas as etapas da História da Humanidade, os avanços que foram
responsáveis pela alteração nos processos nos mais diversos campos da atividade
humana, trouxeram sempre consigo mudanças nas atitudes socioculturais dos povos.
Na área da Educação, a introdução das tecnologias da comunicação é um desses
marcos e tem sido objeto de vários estudos.
A informática passa a ser inserida no contexto educacional como um
elemento a mais para contribuir na construção do conhecimento, objetivando a
promoção da autonomia humana. Nesse sentido, podemos afirmar que o
computador deve ser usado na sala de aula, como um instrumento potencializador
do desenvolvimento humano.
Neste contexto, procuramos fundamentar nossa pesquisa em trabalhos que
visaram à inserção das novas tecnologias no ensino da análise exploratória dos
dados, no ensino da distribuição de probabilidade, assim como nas orientações
inseridas nos Parâmetros Curriculares Nacionais (BRASIL, 1998).
No presente estudo, destacamos alguns estudos que sugeriram o uso dessas
novas tecnologias, abordando os erros e acertos dos alunos que foram identificados
pelos pesquisadores, bem como as dificuldades verificadas pelos alunos e aquelas
para implementar as novas tecnologias.
A partir desses estudos, pudemos delimitar o tema de nossa pesquisa,
estabelecendo os objetivos e a hipótese de forma clara.
Esta pesquisa tem como objetivo:
• Introduzir os primeiros conceitos relativos à Distribuição Normal no EM
ainda de forma intuitiva, utilizando como recurso didático uma planilha
eletrônica (Excel). A planilha permite a realização de simulações
experimentais cuja variável aleatória associada pode ser representada e
explicada por esse modelo.
17
• O reconhecimento, por parte dos alunos, da representação de uma
Distribuição Normal, como uma curva em forma de sino, assintótica ao
eixo horizontal;
• a compreensão dos alunos sobre o conceito de simetria da curva normal
em relação aos valores médios;
• o entendimento dos alunos sobre a leitura do gráfico, de modo que fique
claro que a área abaixo da curva refere-se à probabilidade de ocorrer um
determinado evento; e
• o entendimento dos alunos de que dentro do intervalo de ];[ σµσµ 33 +−
está a quase totalidade dos dados.
A hipótese é que o uso da planilha eletrônica (Excel) na abordagem da
Distribuição Normal de Probabilidade permite o dinamismo no tratamento dos dados,
mantendo o foco na análise e modelagem, facilitando para que os alunos
compreendam esse conteúdo.
QUESTÃO DE PESQUISA
Conforme Veloso (1998), para concretizar um ensino mais inovador,
precisamos de novos ambientes de aprendizagem a partir dos quais os alunos
constroem novos conhecimentos. Para tal, ferramentas poderosas devem ser
oferecidas aos alunos que lhes possibilitem uma exploração completa do problema a
ser resolvido e que potencializem avanços, como por exemplo, as novas tecnologias
da comunicação.
Os ambientes computacionais permitem usar o computador como uma
ferramenta para descrever uma solução, refletir sobre a resposta e analisar os erros
percebidos e os resultados obtidos. Segundo Papert (1985), é possível construir
computadores de tal forma que aprender a comunicar-se com eles seja um processo,
tão natural como aprender a falar a língua materna. Para ele, o computador “fala
matemática”, e o domínio dessa linguagem torna-se a fonte do poder.
18
Assim, cabe ao professor definir objetivos, apontar e realizar experiências de
aprendizagem diversificadas e estimulantes, promover a discussão e reflexão em
sala de aula, fazer com que os alunos comportem-se de acordo com as normas
sociais valorizadas na comunidade e estabeleçam uma atmosfera de aprendizagem.
Segundo Ponte e Serrazina:
Com a continuação do trabalho, com um conhecimento mais profundo dos seus alunos, e com a diversificação de tarefas e de situações, com a permanente reflexão sobre a sua prática, é que o professor pode levar os alunos a atingir a maior parte dos objetivos curriculares. (PONTE E SERRAZINA, 2000, p. 15)
De acordo com Cohen e Chechille (1997); Tauber (2001); Souza (2002) entre
outros, o ensino das distribuições de probabilidade não tem sido eficiente nem tem
proporcionado resultados satisfatórios no ensino da Estatística e da Matemática ao
final do EM. Outras pesquisas na área mostram que isto vale para todos os
conteúdos da estatística.
Desse modo, surge a necessidade de responder a uma população escolar
cada vez mais diversificada e proporcionar a todos, e a cada um dos alunos um
ensino de estatística diferenciado que contribua para que sejam cidadãos
conscientes, críticos e responsáveis, capazes de enfrentar os desafios de uma
sociedade cada vez mais tecnológica.
A tomada de consciência da necessidade de uma atividade mais centrada no
aluno não é novidade. Tem sido marcada no domínio da reflexão sobre educação,
pelas contribuições de vários investigadores que têm demonstrado que não existem
generalizações como “aluno razoável“, que os alunos têm ritmos individualizados de
aprendizagem e que o conhecimento não é uma coisa que se adquire por
transmissão, mas algo que se constrói em interação com o mundo e os outros.
Nesse sentido, Tauber (2001) considera como ponto de partida para o ensino
da estatística a coleta de dados reais, feita pelos próprios alunos, e o emprego de
um software para a organização desses dados. Os resultados desse procedimento
devem ser discutidos e analisados com os alunos, facilitando o processo de ensino-
aprendizagem.
19
Para Souza (2002), os conceitos básicos que envolvem as distribuições de
probabilidade devem ser trabalhados no EM, para que desde já esses alunos
tenham condições de realizar algumas previsões diante de um conjunto de dados.
Desse modo, tendo conhecimento dos resultados de pesquisas, como os
realizados por essas autoras cujos resultados atribui às novas tecnologias um papel
importante no processo de ensino-aprendizagem, é pretensão desta pesquisa fazer
emergir e valorizar as potencialidades do uso da planilha eletrônica (Excel) para
introduzir a ideia da Distribuição Normal de Probabilidade aos alunos do EM.
Entendemos aqui como “ideia” a concepção espontânea, a intuição do sujeito a
respeito de uma determinada noção matemática e/ ou estatística.
Tendo em vista os argumentos supracitados, a questão que orienta este
estudo é: “quais as contribuições de uma sequência didática baseada em
resoluções de problemas e com a utilização de uma planilha eletrônica como
ferramenta na construção da ideia de Distribuição Normal a partir de uma
atividade de análise exploratória de dados?”.
UMA PREMISSA
Pautados na literatura pesquisada e apresentada no capítulo I deste estudo,
podemos inferir que é necessário construir uma sequência didática para a
aprendizagem da Distribuição Normal que considere os seguintes aspectos:
• O conhecimento, por parte dos alunos, dos parâmetros média e desvio-
padrão, como elementos necessários para caracterizar uma Distribuição
Normal;
• o reconhecimento, por parte dos alunos, dos tipos de variáveis:
quantitativa discreta e contínua;
PROCEDIMENTOS METODOLÓGICOS
Em primeiro lugar, realizamos um breve estudo de certos conceitos da
Didática da Matemática e da Estatística e, também, de algumas pesquisas sobre o
processo de ensino-aprendizagem de Probabilidade, estas por serem de cunho
20
exploratório possibilitaram a execução da primeira das duas partes em que o estudo
foi dividido.
A primeira parte é composta pelo estudo teórico do tema:
• Revisão bibliográfica;
• Estudo e síntese das competências e habilidades sobre probabilidade
contida nos Parâmetros Curriculares Nacionais do EM.
A segunda parte constitui-se da pesquisa realizada com 11 alunos voluntários
egressos do EM que denominamos “Fase Experimental”.
Para a realização da segunda parte do trabalho, uma sequência didática foi
elaborada para introduzir a ideia da Distribuição Normal pelas simulações,
contextualizações e resolução de problemas.
A amostra selecionada compôs-se de 11 alunos oriundos de escolas da rede
pública de ensino que já haviam concluído o terceiro ano do EM e tomaram
conhecimento da pesquisa durante a realização de um curso pré-vestibular. Os
detalhes sobre o método empregado são descritos no capítulo II, item 2.1 (Materiais
e Procedimentos).
Em seguida, elaboramos uma sequência piloto para conhecer como os alunos
participantes da pesquisa agiriam durante a realização das atividades propostas,
bem como as dificuldades que poderiam surgir, tanto pelos problemas de linguagem
como de organização ou resolução. Esta sequência é apresentada no Capítulo II,
item 2.2 (Etapas da Fase Experimental).
A aplicação da sequência piloto e a análise dos resultados permitiram a
elaboração de uma proposta didática final, que foi aplicada aos alunos voluntários na
realização do presente estudo. A produção dos alunos foi acompanhada pelo
pesquisador e os dados foram coletados e analisados em comparação com os
achados na revisão de literatura (capítulo I), com os argumentos da análise da
sequência didática (capítulo II) e fundamentados a partir do referencial teórico.
21
REFERENCIAL TEÓRICO
Almouloud (2007) aborda a Didática da Matemática e seus fundamentos,
tendo como foco a ênfase na compreensão de fenômenos que interferem no
processo de ensino e aprendizagem dos conceitos matemáticos.
Segundo o autor:
A didática da matemática é vista como uma ciência que tem por objeto investigar fatores que influenciam o ensino e a aprendizagem da matemática e o estudo de condições que favorecem a sua aquisição pelos alunos. (ALMOULOUD, 2007, p. 17)
Almouloud (2007) dedica o capítulo VII da obra supracitada à abordagem da
Teoria Antropológica do Didático (Chevallard, 1999), que estuda as condições das
possibilidades e o funcionamento dos sistemas didáticos, compreendidos como
relações sujeito-instituição-saber.
A Teoria Antropológica do Didático permite a interpretação da transposição
didática baseada no desenvolvimento de uma tripla ruptura epistemológica
provocada pela teoria das situações, em que o saber matemático situa-se no centro
de toda problematização didática.
Para a didática da Matemática, sob o enfoque da Antropologia do Didático,
tudo é objeto, fazendo a distinção dos tipos de objetos particulares: as instituições,
os indivíduos e as posições que estes ocupam nas instituições, tomando-os como
sujeitos.
A Teoria Antropológica do Didático possibilita a modelagem de práticas
sociais, em geral, e, em particular, a atividade matemática fundamentada em três
postulados:
• Toda prática institucional pode ser analisada, sob diferentes pontos de
vista e de distintas maneiras, em um sistema de tarefas relativamente bem
delineadas;
• O cumprimento de toda tarefa decorre do desenvolvimento de uma técnica;
e
• A ecologia das tarefas e técnicas são as condições e necessidades que
permitem a produção e a utilização destas nas instituições, ou seja, as
22
condições e restrições que permitem sua produção e seu uso nas
instituições, supondo que, para existir uma instituição, a técnica deve ser
compreensível, legível e justificada. O discurso descritivo sobre a tarefa e
a técnica é denominado discurso teórico-tecnológico.
O significado da palavra “tarefa” engloba atividades gerais como fechar uma
porta, entre outras. Em nosso caso, calcular a média e o desvio-padrão de um
conjunto de valores, bem como analisar os dados obtidos é um tipo de tarefa. Na
prática institucional, a delimitação de tarefas depende do ponto de vista em que essa
prática se desenvolve.
A palavra técnica terá uma dimensão maior que a usual, ou seja, será usada
como uma “maneira de fazer” particular e não sendo um procedimento estruturado e
metódico, ou algoritmo, caso particular de uma técnica.
Uma técnica pode ser apropriada para a resolução de determinadas tarefas,
mas não para todas, o que lhe confere a chamada “capacidade intelectual da
técnica”.
A partir das noções de tarefa e técnica, cria-se um bloco técnico-prático
associado a um saber-fazer, no qual a vida das instituições é feita das escolhas de
tarefas e técnicas, e uma pessoa pode realizar várias tarefas em instituições
distintas, a que ela está sujeita, concomitante ou sucessivamente, mostrando sua
relação pessoal com os objetos com os quais mantêm contato.
No campo da tecnologia, estão os conceitos e as noções que permitem
controlar e compreender a atividade humana. A teoria trata da especulação abstrata
da tecnologia; e, no plano teórico, estão as definições, os teoremas, as
demonstrações que servem para dar sustentação às técnicas e produzir tecnologias.
Dessa forma, cria-se um bloco teórico-tecnológico associado ao saber.
Portanto, podemos entender a Noção de Praxeologia como um conjunto de
Técnicas, de Tecnologia e de Teorias organizadas para uma determinada tarefa.
No que se refere à natureza dos objetos matemáticos, estes podem se
apresentar de duas formas: ostensivos e não ostensivos:
23
� Objetos ostensivos: se referem a todo objeto que, tendo uma natureza sensível e certa materialidade, tem, para o sujeito, uma realidade perceptível. Pode-se dizer, dessa forma, que os ostensivos são os objetos manipuláveis na realização da atividade matemática.
� Objetos não-ostensivos: são todos os objetos que, como as ideias, as instituições ou os conceitos, existem institucionalmente sem que, no entanto, sejam vistos, ditos, escutados, percebidos ou mostrados por conta própria. Assim, esses objetos somente podem ser evocados ou invocados pela manipulação adequada de certos objetos ostensivos que lhes são associados, tais como uma palavra, uma frase, um gráfico, uma escrita, um gesto ou todo um discurso. (ALMOULOUD, 2007, p. 119)
Conforme refere Almouloud (2007), na Teoria Antropológica do Didático, o
cumprimento de toda tarefa compreende necessariamente a manipulação de objetos
ostensivos regulados pelos não ostensivos, tornando os objetos ostensivos parte
perceptível da atividade.
Neste trabalho, usaremos mais especificamente a Organização Praxeológica
composta pelo bloco Tarefa/Técnica/Tecnologia/Teoria na elaboração das atividades
da sequência didática.
ORGANIZAÇÃO DO TRABALHO
A presente pesquisa está organizada em dois capítulos:
O Capítulo I traz a revisão de literatura a respeito do ensino da Estatística e
da Matemática para o EM e da contribuição das novas tecnologias nesse processo;
também, são apresentados os objetos Matemáticos.
O Capítulo II apresenta a Fase Experimental deste estudo, possibilitando uma
compreensão de toda a pesquisa realizada com 11 alunos voluntários egressos do
EM. Traz também a análise da sequência didática aplicada, tendo em vista a
interpretação do pesquisador em relação à participação e compreensão dos alunos
nas atividades realizadas no estudo.
Ao final, apresentamos a conclusão de nossa pesquisa, bem como as
sugestões para novos trabalhos.
24
CCCCapítuloapítuloapítuloapítulo IIII
REVISÃO DE LITERATURA
Este capítulo tem como objetivo apresentar uma revisão de literatura sobre o
tema que busca evidenciar a relevância do projeto, a delimitação do tema e a
formulação da questão. Além disso, serve para a constituição do quadro teórico com
a teoria didática por nós escolhida, conforme descrita anteriormente.
1.1 A INFORMÁTICA NA EDUCAÇÃO ESTATÍSTICA
A educação estatística é uma área na qual o uso de novas tecnologias tem
tido um grande impacto. Sua utilização permite que o processo de ensino-
aprendizagem seja centrado na análise dos resultados e não nos algoritmos para
sua determinação.
A mudança de filosofia sobre a estatística, tanto na estatística elementar como nos métodos de análises mais complexos, deu lugar ao que se conhece hoje como análise exploratória de dados, onde é mais importante o trabalho com projetos e representação gráfica. (TUKEI, 1977 apud TAUBER, 2001, p. 15)·
Atualmente o ensino da análise exploratória dos dados é recomendado o que
implica o uso de computadores e, consequentemente, o conhecimento, pelo menos,
de um software para que se obtenha êxito nesse tipo de trabalho.
Tauber (2001) sugere que o ensino de estatística pode ser iniciado a partir do
encontro dos alunos com dados reais, no qual será possível ao aluno coletar ele
mesmo os dados, organizá-los em gráficos e tabelas para, finalmente, fazer uma
análise exploratória deles, manipulados com o auxílio de um software estatístico.
Destaca, também, que o computador é um grande aliado didático, pois reforça a
25
motivação e permite aos alunos a exploração de conceitos estatísticos e
probabilísticos. A facilidade de simular os experimentos permite uma interatividade
na observação e exploração dos processos estocásticos 2 . Esta interatividade
promove aos novos “objetos” um caráter menos abstrato e proporciona uma
experiência que não é fácil conseguir no cotidiano dos alunos.
O caráter didático do uso dos computadores foi tema de uma mesa-redonda
sobre os impactos das novas tecnologias no ensino de estatística, organizada pelo
IASE (International Association for Statistical Education), realizada em Granada, em
1996, na qual se destacaram as seguintes conclusões:
� São consideradas novas tecnologias: os computadores, as calculadoras gráficas e a Internet, pois é previsível que contribuam com uma revolução dos métodos de ensino.
� Existe uma série de mitos sobre o papel do computador na aprendizagem. É certo que a compreensão de alguns conceitos pode ser facilitada com ajuda da simulação, porém também os computadores introduzem novos objetos de aprendizagem e existe o perigo de que em vez de ensinar estatística, a atenção seja desviada para o ensino do respectivo software, devido à sofisticação do mesmo e ao tempo requerido para sua aprendizagem.
� Ainda que os programas estatísticos como a planilha eletrônica do Excel3, o Minitab4, StatGraphics5, ConStats6 entre outros, com os que se podem realizar análise de dados tenham atualmente um grande desenvolvimento, os programas didáticos são escassos e deficientes. A característica desejável para um software estatístico de uso geral não coincide com as que seriam necessárias do ponto de vista educativo, pois são destinados ao público profissional já com bagagem, não levam em conta o desenvolvimento e a dificuldade dos alunos.
� A disponibilidade de novas tecnologias pode ser um novo fator que contribui para aumentar a diferença entre os países, classes sociais ou centros educativos. É importante obter uma difusão real desses meios entre uma comunidade o mais ampla possível. (GARFIELD Y BURRIL, 1997 apud TAUBER, 2001, p. 15-16)7
Para Tauber (2001), além dessas conclusões, podemos acrescentar outra
relativa aos professores, pois, atualmente, muitos países investem em equipamentos
2 Processos estocásticos: Neste estudo usamos o termo “Processo Estocástico”, como a integração entre os conceitos de Estatística Descritiva e Probabilidade. 3 Disponível no Microsoft Office. 4 Disponível em <http://www.minitabbrasil.com.br/minitab/demo.asp>, acesso em 25/01/2009. 5 Disponível em <http://www.statgraphics.com/downloads.htm>, acesso em 25/01/2009. 6 Disponível em <http://constats.atech.tufts.edu/>, acesso em 25/01/2009. 7 Tradução nossa
26
de informática em suas instituições e universidades. Entretanto, o pressuposto
destinado à capacitação dos professores no uso dos computadores e dos diversos
programas é muito menor, o que produz uma situação contraditória, pois possuem
os materiais necessários, mas não sabem como utilizá-los ou não conhecem em
quais situações podem aplicá-los.
1.2 O COMPUTADOR E O ENSINO DA ESTATÍSTICA
Hochsztain et al. (1999) iniciam seu artigo defendendo a ideia de que o uso
dos computadores deve estar sempre presente em todas as tarefas que os
professores de estatística fizerem e acrescentam que “se algo pode ser feito por um
computador, não deve ser feito à mão”. Afirmam que, embora o uso dos
computadores seja considerado um desafio, devemos superá-lo.
O objetivo dos autores foi verificar a influência dos computadores nos
processos de ensino-aprendizagem de estatística e basearam-se em seminários e
em sua experiência acadêmica na Universidad de la Republica – Uruguay. No
referido artigo, os autores relatam os impactos iniciais quando se usa o computador
como ferramenta nas aulas de estatística, observando que, nas primeiras aulas,
utilizavam-no apenas como função de entrada e saída de dados, e os alunos
aprendiam somente usar o software, mas não davam ênfase aos conceitos
estatísticos. Mesmo dessa maneira, a atitude ainda contribuiu para o avanço do que
os autores chamam de “longa caminhada”.
Hochsztain et al. (1999) ressaltam a importância das simulações feitas via-
computador, mas afirmam que isso não é tudo, pois devemos estar atentos para não
as separar das aplicações e conceitos estatísticos. Ao utilizarem-se desses recursos
em detrimento dos cálculos complexos, os autores recomendam trabalhar com uma
boa interpretação dos resultados. Sugerem ainda algumas mudanças que
consideram indispensáveis para que os computadores possam ser de fato
incorporados ao ensino da estatística, e essas mudanças estão diretamente
relacionadas aos professores.
Quanto à metodologia, os autores idealizam um curso de estatística a partir
de uma divisão em três partes, sendo uma parte teórica, abordando os conceitos
27
estatísticos; a segunda parte, como resolução dos exercícios em ambiente de papel
e lápis; e, em seguida, na terceira parte, a aplicação do que foi estudado em
ambiente com lápis e papel em um ambiente informatizado, com um software
previamente escolhido. Os autores citados sugerem que as atividades sejam
realizadas 50% em ambiente com lápis e papel e os outros 50%, em ambiente
informatizado, devendo-se observar o tipo de software a ser utilizado.
Hochsztain et al. (1999, p.5) observam que:
a) No caso de se optar por uma planilha eletrônica, o trabalho dar-se-á de forma rápida, porém se faz necessária uma abordagem sobre os procedimentos da planilha de como efetuar os cálculos, por exemplo: a organização dos dados, o cálculo do ponto médio e da mediana, a cópia dos dados para outra célula, etc.
b) Na opção por um software estatístico, o trabalho será da maneira não procedimental, ou seja, não há necessidade de mostrar os procedimentos, pois o próprio software fará as simulações pretendidas.8
Na finalização do artigo, os autores concluem que a incorporação do uso de
computadores nos cursos de estatística, ao contrário do que se pensa tem
consequência imediata no incremento que se produz nos conteúdos teóricos; que as
simulações permitem aos alunos o desenvolvimento de habilidades como observar,
explorar, desenvolver noções e intuições, etc.
Entretanto, não podemos deixar de lado as atividades em ambiente de lápis e
papel, que os autores denominam “atividades tradicionais”; pois o emprego dos
computadores pode mudar as relações existentes entre professor-aluno, visto que
permite ao estudante ser cognitivamente ativo em estatística; que as planilhas
eletrônicas funcionam em qualquer computador e que as habilidades de manuseio
das planilhas são quase intuitivas.
Em um artigo mais recente, publicado por Viali (2001) sobre o uso de
planilhas e simulação para modernizar o ensino de Probabilidade e Estatística para
os cursos de Engenharia, o autor afirma que:
O ensino de disciplinas que envolvem raciocínio abstrato como as da área Matemática (Probabilidade, Cálculo, Álgebra Linear, etc.) e as que envolvem e exigem modelagem, isto é, aplicações de modelos teóricos, como as da área de Matemática Aplicada, representadas pela Estatística, é feito, apesar
8 Tradução nossa.
28
do desenvolvimento acelerado dos meios eletrônicos, especialmente dos computadores, quase que exclusivamente através de aulas expositivas. O esforço é inteiramente exercido pelo professor cabendo ao aluno pouca ou nenhuma participação. (...) Muito do que o professor pretende transmitir não é aproveitado por não despertar o interesse do envolvido, pela quantidade de informações acima do que ele pode assimilar, pelo pouco tempo de reflexão sobre os conhecimentos sendo transmitidos, pelo pequeno número de exemplos e, muitas vezes, com pouca qualificação do próprio professor. O aluno não dispõe de exercícios em quantidade suficiente, bem como não pode fazer experimentações por si próprio de forma a ver como ‘a coisa funciona’. O ensino destas disciplinas é prejudicado pela ausência de pré-requisitos mínimos para a absorção dos novos conhecimentos sendo transmitidos (VIALI, 2001, p. 291).
Tendo em vista o panorama do ensino das disciplinas da área de Matemática,
o autor propõe um ensino que elimine ou reduza ao mínimo possível o trabalho
braçal do aluno. Além de excluir por completo a tarefa de completar quadros de
conteúdos que são considerados meros exercícios de cópia. Segundo o autor, “o
conhecimento deve ser proposto e discutido, avaliado, analisado e, sempre que
possível, reproduzido como se estivesse sendo novamente descoberto”.
O referido autor apresenta as planilhas eletrônicas (Excel) como um recurso
instrucional em laboratórios de Estatística.
Além dos recursos típicos elas oferecem um grande número de funções estatísticas e probabilísticas, se bem que bastante limitados. A principal vantagem na planilha é a sua grande base instalada e seu preço relativamente barato. É possível programá-la e, desta forma, realizar tarefas não previstas inicialmente. Além disso, o paradigma da planilha é conhecido pela maioria dos alunos, diminuindo, desta forma, o tempo gasto na aprendizagem da mecânica de uma nova ferramenta de software. (VIALI, 2001, p. 292)
Quanto à simulação, esta é uma ferramenta essencial para o ensino da
Estatística, pelas seguintes razões:
a) Envolve menos riscos que a realidade. Se um aluno fizer alguma coisa errada durante a simulação ele simplesmente recomeça. Erros, que em sistemas reais seriam fatais, numa simulação podem no máximo causar uma pequena frustração. O erro se transforma em experiência e tenderá a ser repetido cada vez menos.
b) Os custos de treinamento são reduzidos. Um erro de pilotagem em um avião real custaria uma bela soma de dinheiro sem falar nos custos de vidas perdidas.
29
c) Ela é normalmente mais conveniente do que o treinamento real, pois possibilita geralmente o treinamento de mais estudantes ao mesmo tempo. Ao trabalhar em um micro num laboratório não se estará sujeito a condições de tempo, se é dia ou noite, se o equipamento real está danificado ou em manutenção.
d) A simulação minimiza os efeitos do tempo. Alguns fenômenos levam um tempo muito longo para acontecerem, numa simulação computacional isto pode ser comprimido de modo que todo o fenômeno possa ser observado várias vezes em um período muito curto de tempo.
e) As experiências em simulação podem ser repetidas. Os estudantes podem repetir uma experiência tantas vezes quanto o necessário para entendê-las e enfrentá-las com habilidade. (MERRIL, 1996, apud VIALI, 2001, p. 292-293)
A simulação facilita a compreensão dos alunos sobre um determinado evento,
pois, em muitos casos, a dificuldade deve-se ao fato de existir apenas uma visão
estática da representação de sistemas naturais ou artificiais. Segundo Viali (2001),
com um livro essa é a única maneira possível, mas com o uso de computadores os
modelos podem e devem ser dinâmicos.
Em síntese, o uso de planilhas eletrônicas, tais como o Excel dispensa a
realização de numerosos cálculos necessários, mas, irrelevantes para a
aprendizagem da Estatística, podendo assim facilitar a compreensão do aluno, além
disso, a simulação facilita o processo de aprendizagem, em razão do dinamismo no
tratamento dos dados, mantendo o foco na análise e na modelagem, facilitando a
compreensão desse conteúdo por parte dos alunos.
1.3 PESQUISAS QUE ENVOLVEM O ENSINO-APRENDIZAGEM DA
DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL
Tendo em vista as dificuldades conhecidas no processo de ensino-
aprendizagem na Distribuição Binomial de Probabilidade, Souza (2002) desenvolveu
um estudo cujo objetivo foi estudar os aspectos do ensino-aprendizagem desta
distribuição no qual elaborou uma sequência didática que favoreceu sua apreensão.
A autora apoiou-se no panorama de pesquisas já realizadas a respeito do
ensino-aprendizagem da distribuição binomial e em alguns constructos da Didática
da Matemática, entre os quais a dialética ferramenta-objeto, conforme Douady (1983,
30
apud SOUZA, 2002), e o uso de mais de um registro de representação, de acordo
com Duval (1993, apud SOUZA, 2002).
A sequência didática foi realizada por alunos que cursam Administração de
Empresas, para o qual a Matemática e a Estatística são ferramentas. O
desenvolvimento do trabalho evidenciou, além de algumas dificuldades enfrentadas
pelos alunos, questões que não puderam ser tratadas no estudo em questão. Para
Souza (2002), estas questões indicam temas para futuras pesquisas sobre ensino-
aprendizagem de Probabilidade.
Dentre as conclusões da pesquisa realizada pela autora, destaca-se a
constatação de que o uso da distribuição binomial de probabilidades pelos alunos
deu-se mais pela força de um contrato didático9 do que pela efetiva apreensão do
conteúdo.
1.4 PESQUISAS QUE ENVOLVEM O ENSINO-APRENDIZAGEM DA
DISTRIBUIÇÃO NORMAL
Este tópico inicia-se com a apresentação da pesquisa desenvolvida por
Tauber (2001) em seu doutorado, completando o que já apresentamos desse
trabalho no item 1.1.
Em sua pesquisa, Tauber (2001) usa um software denominado
STATGRAPHICS e aborda o tema “Distribuição Normal”. Optou por esse software
por estar instalado nos computadores da sala de informática onde aplicaria a
sequência didática de sua pesquisa. Como o STATGRAPHICS, existem outros
softwares disponíveis no mercado, porém a decisão do uso do software deve estar
relacionada com as condições de planejamento das atividades, por esse motivo a
referida autora fez tal opção.
A pesquisa foi realizada, entre 1998 a 2001, nas universidades de Sevilha e
Granada. Era um curso sobre a Distribuição Normal, a partir de uma análise
exploratória de dados com alunos universitários e propunha o uso de computadores
na construção da curva normal. 9 Contrato Didático: Relação estabelecida entre aluno-professor, implícita, na maior parte, no que diz respeito ao
conhecimento matemático pretendido, determinando quais são as responsabilidades de cada uma das partes. (BROUSSEAU,1983 apud SOUZA, 2002).
31
Os objetivos do estudo foram elaborar uma sequência didática sobre a
Distribuição Normal, incorporando o computador como ferramenta didática;
descrever os elementos de significados efetivamente observados na sequência
didática; descrever os significados aplicados pelos alunos participantes das
atividades planejadas e avaliar seu conhecimento no final da sequência didática
(avaliação das características no processo de aprendizagem e no significado
pessoal efetivamente construído pelos alunos participantes). Para isso, apoiou-se
em um modelo que apresenta três dimensões: teoria dos significados institucionais e
pessoais dos objetos matemáticos (GODINO Y BATANERO, 1994;1998 apud
TAUBER, 2001), teoria das funções semióticas (GODINO, 1998 apud TAUBER,
2001) e teoria das trajetórias didáticas (GODINO, 1999 apud TAUBER, 2001)
Uma das conclusões da autora é a de que o objeto de estudo é muito
complexo, e os alunos apresentaram dificuldades em vários conceitos básicos que
deveriam ter sido ensinados na escola secundária.
Tauber (2001) analisou uma dezena de livros didáticos destinados ao ensino
superior, visando aos conteúdos de estatística, precisamente de Distribuição Normal
e verificou que os elementos extensivos ou os campos de problemas incluídos
nestes livros são muito relevantes do ponto de vista teórico ou prático.
Do ponto de vista teórico, alguns dos teoremas mais importantes do cálculo
de probabilidades (teorema central do limite) e alguns dos resultados mais úteis da
inferência (obtenção de distribuições exatas e assintóticas na amostra) foram obtidos
precisamente ao buscar resolver os referidos campos de problemas.
Do ponto de vista prático, porque na análise de dados com fins inferenciais
apresentam-se todos os campos de problemas identificados, tanto no ajuste dos
modelos aos dados como na aproximação de modelos para variáveis discretas e na
obtenção de distribuições exatas e aproximadas, estimativa e contraste. Neste último
aspecto, Tauber (2001) acredita que esses campos de problemas justificam o
interesse do estudo da Distribuição Normal para os alunos, porque constituem
situações problemáticas que, com frequência, os alunos encontrarão em seu futuro
ambiente de trabalho.
32
Em seguida, passamos para o estudo desenvolvido por Cohen e Chechille
(1997) sobre a Distribuição Normal, valendo-se de novas tecnologias de ensino que
dão ênfase à experimentação e à interpretação das simulações por meio do
ambiente ConStats10, buscando soluções às seguintes questões:
a) O que os alunos observam quando examinam uma simulação de uma
distribuição de probabilidade?
b) As simulações ajudam efetivamente os estudantes a adquirirem uma
compreensão conceitual da Distribuição Normal?
c) Os exercícios interativos para conceitos relacionados com distribuições de
amostragem podem ser bem utilizados por meio das simulações?
d) Finalmente, boas práticas de avaliação podem ajudar a identificar quando
as simulações são eficazes e ineficazes?
Conforme Cohen e Chechille (1997), na década de 1990, vários estudos
foram realizados com os objetivos curriculares para os cursos iniciais de estatística e
probabilidade. Estes estudos convergem para mostrar os problemas na estrutura da
educação estatística, dando origem a novos objetivos instrucionais e métodos de
ensino. A partir dessas pesquisas, algumas mudanças foram sugeridas, por exemplo,
trabalhar mais com dados reais e utilizar as tecnologias interativas para fazer a
análise dos dados com mais eficiência e, dessa forma, proporcionar auxílio para
ensinar conceitos mais complexos, priorizando o trabalho com os conceitos ao invés
do trabalho com algoritmo.
Ainda segundo os autores, o uso de um software apropriado para o ensino
das distribuições de probabilidade auxilia os alunos a compreender as diferenças
entre as distribuições de dados e de probabilidade se os exercícios forem
elaborados, para que os alunos familiarizem-se com as propriedades das
distribuições de probabilidade, no caso a Distribuição Normal.
Se os alunos puderem modificar os parâmetros e se a curva for feita na
mesma tela, os autores afirmam que isso poderá ajudá-los a compreender a relação
entre os parâmetros da Distribuição Normal e a forma da curva.
10 Disponível em <http://constats.atech.tufts.edu/>, acesso em 20/fev/2009.
33
As ilustrações 1 e 2 mostram exercícios elaborados no ambiente ConStats,
utilizados como exposição aos alunos. É importante observar que estas figuras
foram elaboradas por Cohen e Chechille (1997).
Fonte: Cohen e Chechille (1997, p. 3)
Ilustração 1: Exercício no ConStats
Fonte: Cohen e Chechille (1997, p. 6.)
Ilustração 2: Exercício no ConStats – Distribuição Normal – Peso de recém-nascidos
34
Segundo os autores o ambiente ConStats facilita a compreensão dos
conteúdos por meio de simulações. Embora os cálculos sejam importantes, as
simulações realizadas no ambiente têm como objetivo familiarizar o aluno com o
objeto de estudo, estimulando para que simule várias situações, modificando os
parâmetros da Distribuição Normal de probabilidade.
Traçando um paralelo, conforme Quadro 1, Cohen e Chechille (1997); Tauber
(2001); Viali (2001) e Souza (2002), observamos que:
QUADRO 1: Comparativo entre: COHEN E CHECHILLE (1997); TAUBER (2001); VIALI (2001) e SOUZA (2002)
COHEN E CHECHILLE (1997)
VIALI (2001) TAUBER (2001) SOUZA (2002)
Utiliza de “exercícios interativos” para o ensino da distribuição normal.
Propõe a redução ao mínimo possível do trabalho do aluno.
Defende que o estudo de estatística deve ser iniciado com base na coleta de dados reais e na análise exploratória dos dados.
Defende o ensino das distribuições de probabilidade no ensino médio.
Defende o ensino da distribuição normal por meio de simulações em ambiente específico (CONSTATS).
Acredita que a simulação por meio de planilhas eletrônicas facilita a compreensão dos alunos, promovendo uma dinâmica muito melhor na resolução dos exercícios,
Acredita que o software é um importante aliado ao ensino da estatística, por meio da experimentação e da simulação, pois a interatividade dá aos novos objetos um caráter menos abstrato.
Não menciona o estudo da Distribuição Binomial por meio de software, porém elaborou uma sequência de ensino para os alunos de sua pesquisa.
Com relação aos pontos mencionados no Quadro 1, apontamos algumas
semelhanças dos trabalhos pesquisados com nosso estudo:
• Buscamos sempre trabalhar os exercícios “a partir da coleta de dados
reais”, visando a melhor apreensão dos conteúdos por parte dos alunos,
conforme aponta Tauber (2001), pois as pesquisas mostram que trabalhar
com dados fictícios dificulta o aprendizado;
• Conforme aponta Souza (2002) no que diz respeito ao ensino das
distribuições de probabilidade, elaboramos uma sequência didática voltada
para o ensino médio;
• por meio desta sequência didática, procuramos relacionar os ambientes de
sala de aula com o ambiente informatizado por meio das simulações via
35
planilha eletrônica, conforme mostram Cohen e Chechille (1997);
Hochsztain et al. (1999); Viali (2001) e Tauber (2001) no intuito de diminuir
a dificuldade apresentada pelos alunos, evitando cálculos complexos que
desestimulem os alunos no estudo da estatística;
• em nossa sequência didática, usamos os exercícios interativos a fim de
diminuir o nível de complexidade associado à Distribuição Normal,
conforme referem em seu artigo Cohen e Chechille (1997). Os autores
citados evidenciam a dificuldade encontrada pelos alunos para interpretar
o conceito de curva assintótica, pois a curva normal não toca o eixo das
abscissas. Para elucidar esse conceito, utilizamos o esboço da curva em
um papel quadriculado.
1.5 ASPECTOS DO DISCURSO OFICIAL
O objetivo deste tópico é descrever o que os Parâmetros Curriculares
Nacionais para o Ensino Médio - PCNEM (BRASIL, 1998), discorrem sobre o tema
deste estudo.
1.5.1 Parâmetros Curriculares Nacionais do Ensino Médio
Os PCNEM (BRASIL, 1998) ressaltam a importância que a educação seja
direcionada para o desenvolvimento das capacidades de resolver problemas, de
comunicação, de tomar decisões, de fazer inferências, criar, aperfeiçoar
conhecimentos e valores e trabalhar cooperativamente.
Visam à adequação para o desenvolvimento e promoção dos alunos,
oferecedo-lhes condições para o ingresso em um ambiente em constante mutação
no qual poderão contribuir com as mudanças, conforme sua capacidade profissional.
Os PCNEM (BRASIL, 1998) chamam a atenção para o impacto da tecnologia
na vida de cada indivíduo que exige competências que vão além do operar as
máquinas. O ensino da Matemática deve ter uma nova postura sob um olhar para
favorecer o desenvolvimento de habilidades e procedimentos com os quais o aluno
36
se reconheça e oriente-se no mundo do conhecimento em constante transformação.
Assim, as finalidades do ensino de Matemática no nível médio indicam como
objetivos levar o aluno a:
a) compreender os conceitos, procedimentos e estratégias matemáticas que permitam a ele desenvolver estudos posteriores e adquirir uma formação científica geral;
b) aplicar seus conhecimentos matemáticos a situações diversas, utilizando-os na interpretação da ciência, na atividade tecnológica e nas atividades cotidianas;
c) analisar e valorizar informações provenientes de diferentes fontes, utilizando ferramentas matemáticas para formar uma opinião própria que lhe permita expressar-se criticamente sobre problemas da Matemática, das outras áreas do conhecimento e da atualidade;
d) desenvolver as capacidades de raciocínio e resolução de problemas, de comunicação, bem como o espírito crítico e criativo;
e) utilizar com confiança procedimentos de resolução de problemas para desenvolver a compreensão dos conceitos matemáticos;
f) expressar-se oral, escrita e graficamente em situações matemáticas e valorizar a precisão da linguagem e as demonstrações em Matemática;
g) estabelecer conexões entre diferentes temas matemáticos e entre esses temas e o conhecimento de outras áreas do currículo;
h) reconhecer representações equivalentes de um mesmo conceito, relacionando procedimentos associados às diferentes representações;
i) promover a realização pessoal mediante o sentimento de segurança em relação às suas capacidades matemáticas, o desenvolvimento de atitudes de autonomia e cooperação. (BRASIL, 1998, p. 42)
Com relação à estatística e probabilidade, os PCNEM (1998) destacam:
As habilidades de descrever e analisar um grande número de dados, realizar inferências e fazer predições com base numa amostra de população, aplicar as ideias de probabilidade e combinatória a fenômenos naturais e do cotidiano são aplicações da Matemática em questões do mundo real que tiveram um crescimento muito grande e se tornaram bastante complexas. Técnicas e raciocínios estatísticos e probabilísticos são, sem dúvida, instrumentos tanto das Ciências da Natureza quanto das Ciências Humanas. Isto mostra como será importante uma cuidadosa abordagem dos conteúdos de contagem, estatística e probabilidade no Ensino Médio, ampliando a interface entre o aprendizado da Matemática e das demais ciências e áreas. Os conceitos matemáticos que dizem respeito a conjuntos finitos de dados ganham também papel de destaque para as Ciências Humanas e para o cidadão comum, que se vê imerso numa enorme quantidade de informações de natureza estatística ou probabilística. No tratamento desses temas, a mídia, as calculadoras e os computadores adquirem importância natural como recursos que permitem a abordagem de
37
problemas com dados reais e requerem habilidades de seleção e análise de informações (BRASIL, 1998, p. 43 e 44).
Em geral, as competências e habilidades a serem desenvolvidas em
Matemática no EM, segundo os PCNEM (BRASIL, 1998), quanto à representação e
comunicação relacionadas à estatística e probabilidade são as seguintes: ler e
interpretar textos de Matemática; ler, interpretar e utilizar representações
matemáticas (tabelas, gráficos, expressões, etc.); transcrever mensagens
matemáticas da linguagem corrente para a linguagem simbólica (equações, gráficos,
diagramas, fórmulas, tabelas, etc.) e vice-versa; exprimir-se com correção e clareza,
tanto na língua materna como na linguagem matemática, usando a terminologia
correta; produzir textos matemáticos adequados; utilizar adequadamente os recursos
tecnológicos como instrumentos de produção e comunicação.
Quanto à investigação e compreensão, esperamos que os alunos
desenvolvam habilidades e competências para identificar o problema (compreender
enunciados, formular questões, etc.); procurar, selecionar e interpretar informações
relativas ao problema; formular hipóteses e prever resultados; selecionar estratégias
de resolução de problemas; interpretar e criticar resultados em uma situação
concreta; distinguir e utilizar raciocínios dedutivos e indutivos; fazer e validar
conjecturas, experimentando, recorrendo a modelos, esboços, fatos conhecidos,
relações e propriedades; discutir ideias e produzir argumentos convincentes.
Quanto à contextualização sociocultural, esperamos que os alunos
desenvolvam habilidades e competências relativas à capacidade de utilizar a
Matemática na interpretação e intervenção no real; aplicar conhecimentos e métodos
matemáticos em situações reais, em especial, em outras áreas do conhecimento;
relacionar etapas da história da Matemática com a evolução da humanidade; utilizar
adequadamente calculadoras e computadores, reconhecendo suas limitações e
potencialidades.
38
1.6 OBJETOS MATEMÁTICOS
Este item tem como objetivo apresentar as definições dos objetos
matemáticos utilizados na construção da sequência didática, empregada em nossa
pesquisa.
1.6.1 Espaço amostral
Na natureza, há dois tipos de fenômenos: determinísticos e aleatórios. Nos
determinísticos, os resultados são sempre os mesmos, qualquer que seja o número
de ocorrências verificadas (MORETTIN, 1999). Nos aleatórios, os resultados não
são previsíveis, mesmo que haja um grande número de repetições do mesmo
fenômeno. Para Morettin (1999), os experimentos aleatórios podem ser
considerados como fenômenos produzidos pelo homem ou não. Em tais
experimentos, mesmo que as condições iniciais sejam sempre as mesmas, os
resultados finais de cada tentativa do experimento poderão ser diferentes e não
previsíveis. O espaço amostral é o conjunto de todos os resultados possíveis de um
experimento aleatório.
Segundo Viali:
Ao descrever um espaço amostral de um experimento, deve-se ficar atento para o que se está observando ou mensurando. Deve-se falar em “um” espaço amostral associado a um experimento e não de “o” espaço amostral. Deve-se observar ainda que nem sempre os elementos de um espaço amostral são números. (VIALI, 2009, p. 12)
Um espaço amostral pode ser classificado em finito e infinito, como está
representado nos dados do Quadro 2.
39
QUADRO 2: Classificação de um Espaço Amostral
INFINITO FINITO
S1 = {1, 2, 3, 4, 5, 6} S2 = {0, 1, 2, 3, 4} S3 = {cccc, ccck, cckc, ckcc, kccc, cckk, kkcc, ckck, kckc, kcck, ckkc, ckkk, kckk, kkck, kkkc, kkkk} S4 = {3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 , 10} S7 = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12} S8 = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6) (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6) (3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6) (4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6) (5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6) (6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)}
ENUMERÁVEL
S6 = {1, 2, 3, 4, 5, ...}
NÃO ENUMERÁVEL
{ }05 ≥∈= t/RtS
Fonte: adaptação do texto de Viali (2009).
1.6.2 Eventos
Qualquer subconjunto de um espaço amostral é denominado evento, assim
os eventos especiais são:
S é o evento certo.
{a} é o evento elementar (todo subconjunto unitário do espaço amostral).
∅ é o evento impossível.
É possível realizar operações entre eventos do mesmo modo que são
realizadas entre conjuntos. Por ocorrência de um evento, entende-se:
Seja E um experimento com um espaço amostral associado S. Seja A um evento de S. É dito que o evento A ocorre se realizada a experiência, isto é, se executado E, o resultado for um elemento de A. (VIALI, 2009, p. 12)
Sejam A e B dois eventos de um mesmo espaço amostral S. As operações
possíveis entre A e B são ilustradas nos dados do Quadro 3.
40
QUADRO 3: Operações com Eventos
1. A união B, anotado por A U B: o evento A ocorre e/ou o evento B ocorre.
2. A interseção B, anotado por A∩B ou AB: o evento A ocorre e o evento B ocorre.
3. A menos B ou A diferença B, anota-se A – B: o evento A ocorre e o evento B não ocorre.
4. O complementar de A, anotado por A , AC ou ainda A’: o evento A não ocorre
OU A
Fonte: Adaptado de Viali, (2009, p. 13-14)
Os eventos podem ser mutuamente excludentes. Segundo Viali (2009), dois
eventos A e B são denominados mutuamente excludentes se eles não puderem
ocorrer juntos, ou seja, se A∩B = ∅.
As operações citadas resultam em novos eventos, dos quais se pode querer
determinar a probabilidade e, assim, determinar a função de probabilidade
associada a esses eventos.
O fato de nosso interesse estar voltado à distribuição normal, vale dizer que
se considerarmos as variáveis aleatórias11 associadas aos eventos A e B, podemos
realizar com essas variáveis as mesmas operações feitas com A e B. O resultado
dessas operações é também uma variável aleatória.
11 Definição de variável aleatória no item 1.6.4.
41
1.6.3 Probabilidade
Probabilidade é a função P que atribui valores numéricos aos eventos do
espaço amostral (MAGALHÃES E LIMA, 2004). Segundo Viali (2009), existem três
enfoques para definir probabilidade: o enfoque clássico, o frequencial e o axiomático
(Quadro 4).
QUADRO 4: Enfoques de Probabilidade
CLÁSSICO FREQUENCIAL AXIOMÁTICO
Seja E um experimento aleatório e S um espaço amostral associado, formado por “n” resultados igualmente prováveis. Seja SA ⊆ um evento com “m” elementos. A probabilidade de A, anotada por P(A), lê-se pe de A, é definida como sendo:
P(A) = m / n
Isto é, a probabilidade do evento A é a razão entre o número “m” de casos favoráveis e o número “n” de casos possíveis.
Definição é apresentada no 2º Princípio da axiomatização proposta por Laplace. (COUTINHO, 1994)
Seja E um experimento e A um evento de um espaço amostral associado S. Suponhamos que E é repetido “n” vezes e seja frA a frequência relativa do evento. Então, a probabilidade de A é definida como sendo o limite de frA quando “n” tende ao infinito. Ou seja:
∞→
=n
Afrlim)A(P
Deve-se notar que a frequência relativa do evento A é uma aproximação da probabilidade de A.
As duas se igualam apenas no limite. Em geral, para um valor de n razoavelmente grande, a frA é uma boa aproximação de P(A).
Seja E um experimento aleatório com um espaço amostral associado S. A cada evento SA ⊆ associa-se um número real, representado por P(A) e denominado “probabilidade de A”, que satisfaz as seguintes condições:
(i) 0 ≤ P(A) ≤ 1;
(ii) P(S) = 1;
(iii) P(AUB) = P(A) + P(B) se A e B forem eventos mutuamente excludentes;
(iv) Se A1, A2, ..., An, ..., forem, dois a dois, eventos mutuamente excludentes, então:
)A(PA)U(P i
n
ii
n
i 11 ==∑=
Crítica a esta definição:
A definição não pode ser aplicada quando o espaço amostral é infinito.
Crítica a esta definição:
Esta definição, embora útil, na prática apresenta dificuldades matemáticas, pois o limite pode não existir.
Sem críticas
Fonte: Adaptação do texto de Viali (2009).
O enfoque axiomático organiza o campo das Probabilidades tal como a
Geometria, ou seja, as propriedades sempre podem ser demonstradas a partir dos
axiomas ou de propriedades anteriormente demonstradas.
42
1.6.4 Variável aleatória
As definições propostas por Morettin (1999) e Viali (2009) foram adotadas,
mas também são encontradas nos diversos livros didáticos para o ensino de
probabilidade.
Seja E um experimento com um espaço amostral associado S. Uma função X
que associe a cada elemento de S (s∈S) um número real x = X(s) é denominada
variável aleatória.
)s(Xxs
S:X
=→
ℜ→
A imagem da variável aleatória X é chamada conjunto de valores de X e
anotada por X(s), da seguinte forma:
}x)s(X/Rx{)S(X =∈=
Uma variável aleatória X é dita discreta se seu conjunto de valores X(S) é
finito ou, então, infinito contável ou enumerável.
1.6.5 Função de Probabilidade (variável discreta)
Seja X uma variável aleatória discreta (VAD), isto é, com X(S) finito ou infinito
enumerável, definida em um espaço amostral S. A cada resultado xi de X(S)
associa-se um número f(xi) = P(X = xi) denominado probabilidade de xi e tal que
satisfaça as seguintes condições:
1
0
=∑
≥
)x(f)ii(
"i"todopara,)x(f)i(
i
i
43
A função “f”, assim definida é denominada de função de probabilidade de X.
A coleção dos pares (xi, f(xi)) para i = 1, 2, 3, ... é chamada de distribuição de
probabilidade da VAD X.
Expectância, esperança, média ou valor esperado de uma variável
aleatória discreta
Coutinho e Novaes (2008) interpretam a média como sendo o ponto de
equilíbrio dos desvios dos valores de uma distribuição no qual encontrar a média é
verificar o valor que equilibra os dados como se fosse o fiel de uma balança e
também que a média equivale ao centro de massa de um conjunto de dados. Como
todos os valores desta distribuição são considerados, mesmo que discrepantes, a
média é altamente influenciada pelos extremos e, por isso, a análise de seu valor de
maneira isolada, compromete o significado e, então, outras medidas que mostram a
variabilidade dos dados são necessárias para torná-la confiável.
A média, expectância, valor esperado ou esperança matemática da variável
aleatória X é representada por µ ou E(X) e calculada por:
)x(f.x...)x(f.x...)x(f.x)x(f.x)X(E iinn ∑=++++==µ 2211
A variância de uma variável aleatória discreta
Seja X uma variável aleatória discreta com média µ = E(X). Então, a variância
de X, anotada por σ2 ou V(X) é definida por:
22222
211
2 )x).(x(f..)x).(x(f...)x).(x(f)x).(x(f)X(V iinn µ−∑=+µ−++µ−+µ−==σ
Pode-se demonstrar que a expressão da variância pode ser transformada na
seguinte expressão:
22222222 µ−=−=µ−∑=µ−∑==σ )X(E)]X(E[)X(Ex).x(f)x).(x(f)X(V iiii
44
O desvio-padrão
O desvio-padrão é um número que mostra a média dos desvios em relação à
media, assim, ele representa a variabilidade média da distribuição.
O desvio-padrão da variável X, anotado por σ, é a raiz quadrada da variância.
1.6.6 Função Densidade de Probabilidade (variável contínua)
Seja E um experimento e S um espaço amostral associado. Se X é uma
variável aleatória definida em S, tal que X(S) seja infinito não enumerável, isto é, X(S)
seja um intervalo de números reais, então, X é dita uma variável aleatória contínua.
Definição
Seja X uma variável aleatória contínua (VAC). A função f(x) que associa a
cada x ∈ X(S) um número real que satisfaz às seguintes condições:
∫ =
∈≥
)S(Xdx)x(f)b(
e)S(Xxtodopara,)x(f)a(
1
0
é denominada função densidade de probabilidade (fdp) da variável aleatória X.
Neste caso, f(x) representa apenas a densidade no ponto x; ao contrário da
variável aleatória discreta, f(x) aqui não é a probabilidade da variável assumir o valor
x. Esta só poderá ser definida em um intervalo (a área abaixo da curva de f(x)),
representada por ∫ dx)x(f , vale zero para todo ponto fixo: ∫ =a
adx)x(f 0 . Para definir a
probabilidade, tem-se ∫=<<b
adx).x(f)bxa(P
1.6.7 Modelo de Distribuição de Probabilidade (Binomial e Normal)
Existem algumas distribuições especiais de probabilidade contínua e de
probabilidade discreta que, por sua frequência de uso, vale a pena estudar mais
detalhadamente. Entre elas, vale destacar as distribuições binomial e normal. Em
45
termos de complexidade cognitiva, elas são equivalentes e podem ser usadas como
introdução ao estudo de outras distribuições.
Distribuição Binomial
Consideremos n tentativas independentes de um mesmo experimento
aleatório. Cada tentativa admite apenas dois resultados: fracasso com probabilidade
q e sucesso com probabilidade p, sendo p + q = 1. As probabilidades de fracasso e
sucesso são as mesmas para cada tentativa.
Seja X: número de sucesso em n repetições do experimento. Determinaremos
a função probabilidade da variável X, isto é, P(X = k), onde k é o número de
sucessos observados nas n repetições.
Um resultado particular (RP): 4342143421knk
F...FFFS...SSS−
. Logo,
( ) ( ) knk
knk
qpq...q.q.p...p.pF...SFFF...SSSPPRP −
−
===4342143421
. Considerando todas as n-
uplas com k sucessos, temos: ( ) knk qpk
nkXP −
==
A variável X tem distribuição binomial, com parâmetros n e p, e a indicamos
pela notação: X: B (n, p).
Distribuição Normal
Um dos principais modelos de distribuição contínua é a distribuição normal,
sua importância para a Estatística (prática) reside no fato de que muitas variáveis
encontradas na natureza distribuem-se, conforme o modelo normal.
Uma variável aleatória contínua X tem uma Distribuição Normal (ou
Gaussiana), se sua função densidade de probabilidade for do tipo:
∞≤≤∞−πσ
= σµ−− xpara,e)x(f /)X( 22 2
2
1
46
Ilustração 3: Representação gráfica da Distribuição Normal.
Fonte: Viali, 2009.
Usualmente, a forma de se calcular probabilidade de uma variável aleatória
de uma Distribuição Normal ocorre por meio da tabela normal padrão ou planilhas
eletrônicas. Isto se justifica pela complexidade do cálculo pelo uso da integral de f(x),
lembrando que ∫=<<b
adx).x(f)bxa(P . Assim, se X: N(µ, σ²), então, primeiro é
necessário padronizar X, isto é, determinar a variável normal reduzida Z, tal que
σ
µ−=
)x(Z , ou seja, Z: N(0 , 1).
1.7 CONSIDERAÇÕES A RESPEITO DESTE CAPÍTULO
Nos trabalhos relacionados com os temas do ensino da Distribuição Normal
associada às novas tecnologias, observamos uma ampla defesa do uso dos
computadores, em busca da facilitação da compreensão dos conceitos envolvidos.
Apenas as simulações não caracterizam o aprendizado; todos os artigos
pesquisados mostram que devemos utilizar o computador, como uma ferramenta de
auxílio às aulas e, por isso, não podemos deixar de lado os conceitos estatísticos
envolvidos / mobilizados nessas simulações.
Na estatística, a informática apresenta-se como uma grande aliada no que
tange ao ensino de conceitos estatísticos que possuem cálculos complexos, pois
47
oferece uma série de planilhas eletrônicas; o que precisa ser feito, em alguns casos,
é adaptá-los às condições de ensino.
Existem poucos artigos publicados referentes ao tema de nosso trabalho que
nos levam a crer que o tema “informática no ensino das distribuições de
probabilidade” seja pouco discutido.
Observamos que devemos tomar muito cuidado na hora de trocar o ambiente
lápis e papel para o informatizado, a fim de não ser uma aula na qual os alunos em
vez de adquirirem os conceitos de estatística, apreendam só como utilizar um
determinado software ou planilha de dados. Acrescentamos a avaliação aos
cuidados necessários na hora de elaborar essa mudança, pois, nesse aspecto,
percebemos uma preocupação ainda maior dos pesquisadores, já que não
encontramos um método conciso de avaliação entre conteúdo estatístico vs software.
Assim é importante criar várias maneiras de avaliação que se complementem que
ofereçam oportunidades de avaliar os conteúdos, se eles realmente foram
assimilados pelos alunos.
Em nenhum dos artigos e trabalhos pesquisados, notamos as dificuldades
dos alunos com relação à tecnologia, muito pelo contrário, os alunos passam a ter
um relacionamento melhor com a disciplina. No entanto, as dificuldades
apresentadas foram todas relacionadas aos conceitos estatísticos/probabilísticos e
com os cálculos complexos, bem como as análises gráficas das distribuições de
probabilidade.
Pudemos verificar que os PCNEM (BRASIL, 1998) apontam para a ideia do
uso da informática no ensino de estatística. Destacamos, por exemplo, a importância
dos alunos poderem visualizar o comportamento dos modelos probabilísticos pelas
simulações; assim, devemos utilizar as novas tecnologias para ensinar análise
exploratória dos dados sempre que possível.
Parcialmente, concluímos que se faz necessário o uso de novos recursos
pedagógicos no ensino dessas distribuições de probabilidade, como as novas
tecnologias, pois devemos levar em conta a complexidade algébrica e a pouca
complexidade conceitual .
48
CCCCapítulo apítulo apítulo apítulo IIIIIIII
FASE EXPERIMENTAL
O objetivo deste capítulo é apresentar os procedimentos empregados para a
realização da pesquisa, bem como as análises das atividades com seus respectivos
resultados, aqui apresentamos nossas considerações sobre esses resultados.
2.1 MATERIAIS E PROCEDIMENTOS
O estudo foi realizado com 11 alunos que já haviam cursado o terceiro ano do
EM. A faixa etária variou entre 19 e 35 anos de idade. Todos pertenciam a um curso
preparatório para vestibular, que foi realizado na Casa Paroquial de Vila Rosina,
município de Caieiras, em São Paulo. Estes alunos nunca tinham estudado
conteúdos estatísticos em sua vida escolar.
Ao serem convidados, aceitaram participar do estudo para auxiliar o
pesquisador – professor de Estatística – no desenvolvimento da fase experimental
de nossa pesquisa.
Para efetivar sua participação na pesquisa, cada aluno assinou um termo de
autorização. (Anexo A)
Foram realizados 11 encontros, sendo os dez primeiros de 1h40 e o último de
4 horas.
Os encontros aconteceram nas segundas-feiras e quartas-feiras à noite, das
19h10 às 20h50, nos meses de setembro e outubro de 2008, nos seguintes dias:
1º/9; 3/9; 8/9; 10/9; 15/9; 17/9; 22/9; 24/9; 29/9 e 1º/10. O último encontro foi
49
realizado no dia 6/10, durou um período de 4 horas, quando foi aplicada a sequência
didática completa.
Os primeiros dez encontros foram usados para uma síntese dos conteúdos
com os alunos, pois desconheciam totalmente os temas relacionados com as
medidas centrais (conheciam apenas os gráficos de colunas, linhas e setores, porém
desconheciam os métodos para elaborar os referidos gráficos). Dessa forma, foram
abordadas as noções necessárias para o desenvolvimento deste estudo conforme
Quadro 5.
Quadro 5. Atividades desenvolvidas nos encontros
Data Tópicos Discutidos Atividades
01/09 Tipos de Variáveis Coleta de dados dos funcionários da casa paroquial.
03/09 Tipos de Variáveis Classificação das Variáveis coletadas em qualitativas e quantitativas.
08/09 Tabela de Distribuição de Frequência
Organização dos dados coletados em tabelas de frequências.
10/09 Tabela de Distribuição de Freqüência
Construção de gráficos a partir dos dados obtidos e contidos nas tabelas.
15/09 Média Aritmética Cálculo da média dos dados coletados e comparação com a planilha eletrônica.
17/09 Média de dados agrupados e construção de histograma.
Cálculo da média dos dados coletados organizados por meio de intervalos.
Construção de histograma em planilha eletrônica.
22/09 Desvio Médio Cálculo do desvio médio dos dados coletados.
24/09 Desvio-Padrão Cálculo do desvio-padrão dos dados coletados e comparação com a planilha eletrônica.
29/09 e 01/10
Planilha Eletrônica Utilização da planilha eletrônica para comparação e análise dos resultados obtidos anteriormente.
06/10 Sequência Didática Aplicação das Atividades1, 2, 3, 4 e 5 descritas no Item 2.2.
A fim de facilitar o trabalho, os alunos foram organizados em duplas e triplas
não fixas, o que proporcionou uma interação de todo o grupo. Dessa forma,
favorecemos a explicitação dos conhecimentos mobilizados. Durante as aulas, os
recursos didáticos usados foram os dados reais coletados pelos alunos da pesquisa.
50
Para a aplicação da sequência didática, além dos material básico como: lápis,
borracha e papel, disponibilizamos uma folha de papel quadriculado para que os
alunos realizassem a atividade 3 (esboço de uma curva normal) e um computador
disposto na mesa do professor, ao qual os alunos tiveram livre acesso para poder
fazer suas simulações no programa Excel, por meio de um arquivo criado pelo
professor (disponível como anexo neste trabalho em forma de CD-ROM).
O uso do computador teve como objetivo a resolução da atividade 2 que
buscava levar o aluno a identificar os intervalos de normalidade ( ];[ σµσµ +− ,
];[ σµσµ 22 +− e ];[ σµσµ 33 +− ), por meio das simulações via planilha eletrônica.
Após os dez primeiros encontros, de familiarização com os conteúdos
estatísticos, aplicamos nossa sequência didática na qual propusemos cinco etapas:
1. Coleta e análise exploratória dos dados;
2. simulações de uma Distribuição Normal em uma planilha eletrônica;
3. esboço de uma curva de Distribuição Normal em papel quadriculado;
4. resolução de exercícios; e
5. questionário avaliativo.
As etapas supracitadas foram realizadas no último encontro, no período de 4
horas e estão descritas em detalhes no item a seguir.
2.2 ETAPAS DA FASE EXPERIMENTAL
Etapa 1: Coleta de dados e análise exploratória
O objetivo da etapa foi mostrar aos alunos como deveriam ser realizadas a
coleta e a análise dos dados, bem como a elaboração de uma planilha a partir dos
dados coletados (construção de um banco de dados).
Para a coleta de dados e análise exploratória, foi empregada uma tabela com
dados relativos à medida de 40 palmos que variavam de 15 cm (mínimo) a 21,5 cm
51
(máximo). Estes dados foram apresentados em uma tabela elaborada pelo
pesquisador (professor) para a realização do estudo.
Após os cálculos descritivos 12 dos dados da tabela, preparamos um
questionário específico para a atividade, que visou a encaminhar os alunos para
uma pré-interpretação dos intervalos de normalidade, levando-os a uma reflexão da
concentração dos dados em torno da média a partir dos parâmetros média e desvio-
padrão, elementos necessários para a apreensão da Distribuição Normal.
Além dessa medida, durante os dez primeiros encontros, os alunos coletaram
dados reais (medida de altura, palmo e envergadura) deles, do professor e de
pessoas que trabalham na casa paroquial num total de 25 pessoas, portanto, já
tiveram contato com a coleta dos dados reais. Com o auxílio do pesquisador
(professor), os alunos construíram a distribuição de frequência, calculando também
as frequências relativas, o valor da média e do desvio-padrão.
Etapa 2: Simulações de uma Distribuição Normal
O objetivo desta etapa foi mostrar aos alunos como devem ser realizadas as
simulações e sua aplicação. Desse modo, foi possível que os alunos conhecessem a
respeito das simulações na planilha eletrônica, com os valores da média e desvio-
padrão calculados na etapa 1. Nessa fase (etapa 2), os alunos passaram a realizar
simulações por meio de um arquivo elaborado pelo pesquisador (professor).
Etapa 3: Atividade em papel quadriculado
O objetivo da etapa foi estudar com os alunos egressos do EM como elaborar
gráficos.
Nesse momento da pesquisa, solicitamos que esboçassem o gráfico de uma
Distribuição Normal de probabilidades, apenas de posse dos parâmetros média e
desvio-padrão. A etapa foi realizada em papel quadriculado. Propusemos que
fizessem o esboço da representação de uma Distribuição Normal, cujos parâmetros
eram média igual a 2 e desvio-padrão igual a 1. 12 Estatística Descritiva é, em geral, utilizada na etapa inicial da análise quando tomamos contato com os dados pela primeira vez.
52
O intuito da realização desse esboço foi verificar se os alunos fariam a ligação
com a atividade anterior, pois ao realizarem as simulações na planilha eletrônica foi
possível a visualização da representação gráfica de uma distribuição normal com
sua característica em forma de sino e, então, buscamos verificar se os alunos
conseguiriam, de posse apenas dos parâmetros média e desvio-padrão, interpretar e
desenhar uma curva normal, segundo as visualizações possibilitadas pela planilha
eletrônica.
Etapa 4: Resolução de exercícios
A etapa teve como objetivo mostrar aos alunos como analisar um gráfico de
uma Distribuição Normal no contexto de uma situação que acontece diariamente em
nossa cidade (São Paulo). Nessa etapa da pesquisa os alunos passaram a analisar
um gráfico de uma Distribuição Normal que representava o horário de pico no
trânsito da cidade. O tema escolhido deve-se ao fato de ser bem atual para todos
que precisam se deslocar em um grande centro. Trata-se da interpretação do gráfico
que consistiu na análise do conjunto de dados, modelados por uma Distribuição
Normal do seguinte modo:
• A situação tem por objetivo propiciar aos alunos uma reflexão sobre o
horário de pico no trânsito da cidade de São Paulo, abordando o
congestionamento no trânsito, com ponto de máximo em torno das 18
horas, ou seja, a média do horário é de 18h).
• Como os alunos que participaram de nossa sequência já tinham alguma
experiência de vida (todos eram maiores de idade e já trabalharam no
centro de São Paulo), a vivência pessoal pôde orientá-los na resolução do
problema proposto na compreensão do contexto.
A análise teve como objetivos levar os alunos a reflexão sobre o tema e, em
seguida, propor questões para que se iniciasse a apreensão do conceito da
Distribuição Normal por meio das observações dos intervalos de normalidade, sua
53
representação gráfica, a simulação em uma planilha eletrônica e a resolução dos
exercícios interativos.
Etapa 5: Questionário avaliativo
O objetivo desta etapa foi conhecer a opinião dos alunos sobre a sequência
didática e avaliar seu desempenho em situações que envolvessem os conceitos
estudados. A última etapa da sequência didática, ocorreu por meio de um
questionário adaptado da tese de doutorado intitulada “La construcción del
significado de la distribución normal a partir de actividades de análisis de datos”13,
defendida por Liliana M. Tauber, em 2001, na Universidad de Sevilla, tendo como
orientadora a Prof.ª Dr.ª Camem Batanero, que apresentamos no item 1.4.
O questionário foi atrelado às atividades anteriores, no qual buscamos aferir
os conceitos da Distribuição Normal de Probabilidades que os alunos pesquisados
construíram durante a realização das atividades propostas. Com isso, comparamos
as atividades propostas com as questões respondidas, estando cada questão
relacionada a um determinado conceito.
Todos os alunos participantes de nossa sequência puderam respondê-lo.
2.3 ANÁLISE DAS ATIVIDADES
Nossa sequência didática foi esboçada conforme a Teoria Antropológica do
Didático e a Organização Praxeológica de Chevallard (1999) na qual buscamos
definir as tarefas, as técnicas e o discurso teórico-tecnológico que imaginamos
empregar nos exercícios propostos. Em seguida, realizamos uma análise dos
exercícios após a resolução por parte dos alunos, a que denominamos “análise a
posteriori” das atividades.
A sequência didática dividiu-se em cinco fases, distribuídas no período de 4
horas, no último encontro, conforme descritas a seguir:
• Atividade em sala de aula;
13 Disponível em <http://www.ugr.es/~batanero/publicaciones%20index.htm> Acesso em 25/01/2009.
54
• atividade em laboratório de informática;
• atividade em papel quadriculado;
• atividade com exercícios interativos; e
• questionário conceitual diagnóstico.
2.3.1 Análise a “Priori” – Atividade em sala de aula
Conforme descrito na etapa 1, item 2.2 deste capítulo, por meio dos dados
propostos pelo professor na Tabela 1, os alunos iniciaram as atividades da
sequência didática. Assim, deveriam construir a tabela de distribuição de frequências,
para em seguida, construir o histograma e verificar a simetria no gráfico, calcular a
média e o desvio-padrão dos dados, bem como interpretar os intervalos de
normalidade.
ATIVIDADE 1 – A tabela abaixo representa as medidas do palmos de 40
alunos de uma sala de 8ª série do E.F. de uma determinada escola, em ordem
crescente14:
TABELA 1: Medidas do palmo direito de 40 alunos (em cm)
15,0 15,8 16,0 16,5 16,6 16,7 17,0 17,2 17,5 17,6 17,7 17,7 17,8 17,8 18,0 18,0 18,0 18,4 18,4 18,5 18,5 18,5 18,6 18,9 18,9 18,9 19,0 19,0 19,2 19,5 19,8 19,9 19,9 20,0 20,5 20,5 20,5 21,0 21,1 21,5
a) A partir dos dados da tabela, construa um histograma (use como amplitude
das classes a medida de 1cm);
b) O gráfico construído apresenta algum tipo de simetria? Justifique;
c) Determine a média das medidas dos palmos;
d) Localize a média encontrada no histograma que foi construído. Imagine
uma reta perpendicular ao eixo Ox, passando pela média. O que se pode
afirmar sobre a forma do histograma em relação a essa reta?
e) Determine o desvio-padrão dos palmos; e
14 O número de alunos dessa sala de aula refere-se à sua população total.
55
f) Calcule e hachure no histograma os intervalos: ];[ σ+µσ−µ ,
];[ σµσµ 22 +− e ];[ σµσµ 33 +− .
Análise Teórica (praxeológica) da atividade em sala de aula
TAREFA 1A: Construir o histograma que representa um conjunto de dados
não organizados em uma distribuição de frequências.
TÉCNICA 1A: O primeiro passo é construir a distribuição de frequência,
conforme Tabela 2, para esses dados. Existem mais duas técnicas: a organização
de um Box-plot ou um diagrama de ramo-e-folha para depois fazer o histograma.
TABELA 2: Medidas do palmo direito de 40 alunos (cm)
Palmo (cm) Nº de pessoas Fr 15,0 |---------- 16,0 2 0,050 16,0 |---------- 17,0 4 0,100 17,0 |---------- 18,0 8 0,200 18,0 |---------- 19,0 12 0,300 19,0 |---------- 20,0 7 0,175 20,0 |---------- 21,0 4 0,100 21,0 |---------- 22,0 3 0,075
Total 40 1,000
A partir da tabela obtida, construir o histograma.
0
2
4
6
8
10
12
14
15,5 16,5 17,5 18,5 19,5 20,5 21,5
Medida (cm)
No. A
lunos
GRÁFICO 1: Medida dos palmos dos alunos (cm)
56
DISCURSO TEÓRICO-TECNOLÓGICO 1A: Para realizar a atividade, o aluno
precisa saber construir uma tabela de distribuição de frequências, suas
representações, intervalos reais, e o histograma.
TAREFA 1B: Analisar o histograma quanto à simetria em relação à reta
perpendicular ao eixo Ox, e que passa pela média da distribuição.
TÉCNICA 1B: Calcular a média. Localizar seu valor no gráfico. Traçar uma
reta perpendicular ao eixo Ox passando por esse ponto. Analisar/comparar as duas
partes do gráfico, determinadas por essa reta, para identificar a existência ou não de
simetria.
TÉCNICA 1B2: Estimar a localização da média no histograma.
DISCURSO TEÓRICO-TECNOLÓGICO 1B: Para realizar a tarefa, é preciso
conhecer o conceito de simetria.
Obs. Na questão, percebemos que a pergunta estava incompleta. No decorrer
da aplicação da sequência didática, o professor fez uma intervenção dizendo que a
simetria deveria ser em relação à reta que passa pelo ponto da média dos dados.
TAREFA 1C: Calcular a média de um conjunto de valores organizados em
uma distribuição de frequência.
TÉCNICA 1C: Para calcular a média dos valores, é preciso utilizar o algoritmo.
Dado o algoritmo n
f.xn
iii∑
==µ 1 , partimos para o desenvolvimento dos cálculos.
57
cm
N
fxn
iii
518
40
74234712842
35214520751912518851745162515
1
,
.,.,.,.,.,.,.,
.∑
=
=
++++++
++++++=
= =
µ
µ
µ
µ
DISCURSO TEÓRICO-TECNOLÓGICO 1C: Para realizar a tarefa, é preciso
saber calcular a média de um conjunto de dados agrupados.
TAREFA 1D: Localizar a média no histograma, dando início à interpretação do
histograma que representa uma distribuição de frequências que estima uma
distribuição de probabilidade.
TÉCNICA 1D: Traçar uma reta no ponto em que está localizada a média.
Quanto às afirmações, uma resposta esperada é a de que o histograma apresenta
simetria aproximada em relação ao eixo (reta perpendicular que passa pela média)
0
2
4
6
8
10
12
14
15,5 16,5 17,5 18,5 19,5 20,5 21,5
Medida (cm)
No. A
lunos
GRÁFICO 2: Representação da média
eixo de simetria em relação à média
58
DISCURSO TEÓRICO-TECNOLÓGICO 1D: Para realizar a tarefa, são
necessários os conceitos construídos e mobilizados anteriormente, bem como a
identificação do valor referente à média no eixo que representa os tamanhos dos
palmos. Na sequência, deve ser feita uma análise do histograma, que levará a uma
reflexão sobre as medidas dos palmos que estão representados, antes da média e
depois da média, dando a impressão (correta) de que a reta perpendicular ao eixo
que passa pela média, “se encaixa” como um eixo de simetria.
Obs. O gráfico não apresenta o eixo horizontal como Ox. Durante a aplicação
da sequência didática, o professor fez uma intervenção e apontou o eixo Ox que se
pedia na questão.
TAREFA 1E: Calcular o desvio-padrão dos dados apresentados na tabela dos
palmos dos alunos.
TÉCNICA 1E.1: Para o cálculo do desvio-padrão, o aluno poderá fazê-lo de
formas diferentes, porém com o intuito de minimizar os erros de arredondamento
pelo fato de não usar o valor encontrado para a média, iremos utilizar a seguinte
expressão proposta por Coutinho e Novaes (2008, p. 62):
−=
∑∑ =
= N
fxfx
N
n
iiin
iii
2
1
1
22 1.
.σ
Para facilitar os cálculos, também empregamos a tabela proposta por
Coutinho e Novaes (2008, p. 62):
TABELA 3: Medidas dos palmos de alunos (cm)
Palmo (cm) xi Fi xi.fi xi².fi 15,0 |---------- 16,0 15,5 2,0 31,0 480,50 16,0 |---------- 17,0 16,5 4,0 66,0 1.089,00 17,0 |---------- 18,0 17,5 8,0 140,0 2.450,00 18,0 |---------- 19,0 18,5 12,0 222,0 4.107,00 19,0 |---------- 20,0 19,5 7,0 136,5 2.661,75 20,0 |---------- 21,0 20,5 4,0 82,0 1.681,00 21,0 |---------- 22,0 21,5 3,0 64,5 1.386,75
Total 40,0 742,0 13.856,00
59
Substituindo, temos:
( )
[ ]
cm51
29752
29752
99140
1
10137648561340
1
40
74285613
40
1
2
2
2
22
,
,
,
,.
,..
.
≅
=
=
=
−=
−=
σ
σ
σ
σ
σ
σ
TÉCNICA 1E.2 – Os alunos também poderão calcular o desvio-padrão por
meio da expressão ( )
N
f.xn
iii∑
=
µ−
=σ 1
2
2 , que está presente em livros didáticos
destinados aos alunos do EM.
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
cm51
32
32
40
92
40
2716708161840
39447112081442940
334271120814223
2
2
2
2
22222222
,
,
,
.......
.......
=
=
=
=
++++++=
++++++=
++++−+−+−=
σ
σ
σ
σ
σ
σ
σ
DISCURSO TEÓRICO-TECNOLÓGICO 1E: Para realizar a tarefa, são
necessários os conceitos construídos e mobilizados anteriormente como o cálculo da
média, a devida interpretação de que o desvio-padrão é um número que mostra a
média dos desvios em relação à media representando a variabilidade média da
distribuição, e o desvio-padrão da variável X é anotado por σ, calculado por meio da
raiz quadrada da variância.
60
TAREFA 1F: Hachurar no histograma os “intervalos” ];[ σµσµ +− ,
];[ σµσµ 22 +− e ];[ σµσµ 33 +− , onde µ é a média e σ o desvio-padrão.
TÉCNICA 1F: Para os intervalos dados, temos o seguinte:
INTERVALO 1
[ ][ ]020017
5151851518
,;,
,,;,,
];[
+−
+− σµσµ
INTERVALO 2
[ ][ ]521515
512518512518
22
,;,
,.,;,.,
];[
+−
+− σµσµ
INTERVALO 3
[ ][ ]023014
513518513518
33
,;,
,.,;,.,
];[
+−
+− σµσµ
Para hachurar o gráfico, os intervalos acima devem ser usados, da seguinte
maneira:
• Intervalo 1 compreendido entre 17 cm e 20 cm.
0
2
4
6
8
10
12
14
15,5 16,5 17,5 18,5 19,5 20,5 21,5
Medida (cm)
No. A
lunos
GRÁFICO 3: Representação do Intervalo [ ]σµσµ +;-
• Intervalo 2 compreendido entre 15,5 cm e 21,5 cm.
[ ]σµσµ +;-
61
0
2
4
6
8
10
12
14
15,5 16,5 17,5 18,5 19,5 20,5 21,5
Medida (cm)
No. A
lunos
GRÁFICO 4: Representação do Intervalo [ ]σµσµ 22 +− ;
• Intervalo 3 compreendido entre 14 cm e 23 cm.
0
2
4
6
8
10
12
14
15,5 16,5 17,5 18,5 19,5 20,5 21,5
Medida (cm)
No. A
lunos
GRÁFICO 5: Representação do Intervalo [ ]σµσµ 33 +− ;
DISCURSO TEÓRICO-TECNOLÓGICO 1F: Para realizar esta tarefa, são
necessários a identificação da média e do desvio-padrão para calcular os intervalos
[ ]σµσµ 22 +− ;
[ ]σµσµ 33 +− ;
62
];[ σµσµ +− , ];[ σµσµ 22 +− e ];[ σµσµ 33 +− e, em seguida, identificá-los no
histograma, bem como o reconhecimento de uma população e amostra.
2.3.2 Análise a “Posteriori” – Atividade em sala de aula
Ao analisar a “Atividade 1”, observamos que todos os alunos pesquisados
realizaram a tarefa com êxito. Construíram a tabela de frequências, conforme o
trabalhado em sala de aula e, em seguida, construíram o histograma a partir da
tabela. Ao serem questionados quanto à simetria do gráfico, percebemos que nossa
pergunta estava incompleta e de imediato fizemos uma correção, salientando que a
simetria a ser observada em relação à media (à reta que passa pela média). No
entanto , nenhum dos alunos lembrou o significado de simetria. Foi preciso realizar
uma consulta ao dicionário e, em seguida, o professor fez uma intervenção
mostrando algumas figuras geométricas e seus respectivos eixos de simetria. Em
suas justificativas, oito alunos disseram que o histograma não apresentava simetria
em relação à média, e outros três que o histograma apresentava “quase” simetria em
relação aos valores em torno da média. Uma das alegações foi a seguinte: “...gráfico
é quase simétrico, pois seus valores são quase iguais com uma pequena
diferença...” .
Assim, solicitamos que os alunos calculassem os valores da média e do
desvio-padrão, o que fizeram o cálculo com êxito.
Ao tentar localizar a média no histograma, percebemos que os alunos
sentiram dificuldades para encontrar uma “reta perpendicular”. Fizemos uma
abordagem sobre o tema sem aprofundamento, pois os alunos recordaram esse
conceito. Além disso, também foi preciso esclarecer qual era o eixo Ox, pois os
alunos desconheciam esse termo. Após a reflexão sobre os temas em questão, os
alunos construíram a reta perpendicular ao eixo Ox e, em seguida, deram as
seguintes opiniões sobre à simetria:
• Dois alunos afirmaram que, ao construir a reta perpendicular ao eixo Ox,
esta reta seria exatamente a média e, então, havia simetria no histograma;
• três alunos afirmaram, que mesmo ao construir a reta perpendicular ao
eixo Ox, ainda continuaram a achar que não havia simetria no histograma;
63
• seis alunos deixaram de responder à questão.
Para hachurar os intervalos de normalidade, a princípio esclarecemos o
significado da palavra hachurar. Tivemos também de apontar o primeiro intervalo em
conjunto com os alunos, para que depois pudessem dar sequência à atividade.
A dificuldade encontrada na atividade, além das anteriores (reta perpendicular
e “eixo Ox”), foi o significado da palavra hachurar. Os intervalos não apresentaram
dificuldades na sua identificação.
2.3.3 Considerações sobre a atividade em sala de aula
Os objetivos da atividade realizada em ambiente de lápis e papel foram
calcular os parâmetros média e desvio-padrão, bem como os conceitos de simetria e
de variáveis quantitativas contínuas, necessários para a apreensão do objeto de
estudo de nossa pesquisa, a Distribuição Normal.
Conforme as Orientações Curriculares (BRASIL, 2006 p.79), os conteúdos
desenvolvidos na primeira atividade fazem parte do currículo a ser ensinado aos
alunos do EM.
Nesta atividade, observamos que os alunos desempenharam com relativa
facilidade os cálculos de média e desvio-padrão por meio dos algoritmos, visto que
os temas foram bastante discutidos em nossas aulas anteriores e também a
organização dos dados em uma tabela de frequência. Os alunos mostraram
desconhecer o conceito de simetria e o significado da palavra hachurar, bem como
da palavra “eixo Ox”. Todos esses conceitos foram (re) lembrados por meio de
exemplos, dirimindo todas as dúvidas apresentadas.
No final da atividade, começamos a trabalhar com os intervalos de
normalidade, em que 68,26% das observações ocorrem no primeiro intervalo
];[ σµσµ +− , 95,44% verificam-se no segundo intervalo, ];[ σµσµ 22 +− e 99,44% no
terceiro intervalo ];[ σµσµ 33 +− . Nesta atividade, iniciamos uma discussão com os
alunos sobre os valores que estavam dentro dos intervalos, na tentativa de
interpretá-los.
64
Para terminar a atividade, alguns alunos pintaram o gráfico para destacar os
intervalos e, dessa maneira, começaram a ter uma noção das distribuições das
medidas dos palmos, dentro dos intervalos de normalidade. Ao final, fizemos
algumas considerações que julgamos convenientes para nosso trabalho, mostrando
como se comportava a distribuição dos palmos no gráfico dentro dos intervalo a fim
de prepará-los para as próximas atividades.
2.3.4 Análise a “Priori” – Atividade realizada em uma planilha eletrônica
O segundo momento da oficina foi destinado ao trabalho em ambiente
informatizado, em que os alunos puderam construir a representação de uma
Distribuição Normal a partir do uso de uma planilha eletrônica do Excel.
A partir dos parâmetros obtidos no primeiro momento (média e desvio-padrão)
e do conceito de simetria, partimos para a construção da representação da
Distribuição Normal: a curva de Distribuição Normal dos palmos dos alunos.
Os valores calculados na etapa anterior foram utilizados nesta atividade para
realizar a simulação da representação de uma Distribuição Normal, utilizando um
arquivo de planilha de dados do Excel, conforme Ilustração 5. A seguir, descrevemos
o significado das colunas existentes nesse arquivo:
• INTERVALOS: esta coluna apresenta os intervalos dos períodos a
serem considerados para interpretação do congestionamento sugerido
no exercício interativo. Ao inserir na célula “MÉDIA” o valor obtido na
Atividade 1, a coluna foi ajustada para calcular automaticamente esses
intervalos a partir desse valor, simetricamente, dentro do intervalo
];[ σµσµ 33 +− .
• DISTRIB. NORMAL: esta coluna apresenta os valores da imagem da
função 22 2
2
1 σµ−−
πσ= /)X(e)x(f , que foram calculados automaticamente a
partir da inserção dos parâmetros Média e Desvio-padrao.
65
• DISTRIBUIÇÃO PADRONIZADA: esta coluna apresenta os valores da
Distribuição Normal Padronizada σ
µ−=
)x(Z , calculados
automaticamente a partir da inserção dos parâmetros Média e Desvio-
padrão.
Ilustração 4: Simulação de uma curva normal no Excel
ATIVIDADE 2A15 – Insira os valores encontrados para média e desvio-padrão
da variável palmo da mão do exercício anterior nas células indicadas como média e
desvio-padrão e responda às questões a seguir:
1. Onde exatamente está situado o valor da média dos palmos dos alunos na
curva de Distribuição Normal?
15 Arquivo do Excel disponibilizado aos alunos.
66
( ) à direita da curva ( ) à esquerda da curva ( ) no meio da curva
2. Analisando os valores calculados anteriormente, onde está situado o valor
de σµ − ?
( ) à direita da curva ( ) à esquerda da curva ( ) no meio da curva
3. Analisando os valores calculados anteriormente, onde está situado o valor
de σµ + ?
( ) à direita da curva ( ) à esquerda da curva ( ) no meio da curva
4. Analisando os valores calculados anteriormente, onde está situado o valor
de σµ 2− ?
( ) à direita da curva ( ) à esquerda da curva ( ) no meio da curva
5. Analisando os valores calculados anteriormente, onde está situado o valor
de σµ 2+ ?
( ) à direita da curva ( ) à esquerda da curva ( ) no meio da curva
6. Analisando os valores calculados anteriormente, onde está situado o valor
de σµ 3− ?
( ) à direita da curva ( ) à esquerda da curva ( ) no meio da curva
7. Analisando os valores calculados anteriormente, onde está situado o valor
de σµ 3+ ?
( ) à direita da curva ( ) à esquerda da curva ( ) no meio da curva
67
ATIVIDADE 2B – Analisando a tabela de frequências dos palmos dos alunos,
verifique na coluna de frequência relativa o valor em percentuais dos alunos, cujos
palmos estão dentro dos seguintes intervalos:
TABELA 4: Intervalo dos palmos (cm)
Palmo (cm) Fi Fr % 15,0 |---------- 16,0 2 0,050 5% 16,0 |---------- 17,0 4 0,100 10% 17,0 |---------- 18,0 8 0,200 20% 18,0 |---------- 19,0 12 0,300 30% 19,0 |---------- 20,0 7 0,175 17,5% 20,0 |---------- 21,0 4 0,100 10% 21,0 |---------- 22,0 3 0,075 7,5%
Total 40 1,000 100%
];[ σµσµ +− __________%
];[ σµσµ 22 +− __________%
];[ σµσµ 33 +− __________%
A seguir, o Quadro 5 contém as representações das curvas obtidas pelos
alunos em suas simulações, nas quais se basearam para responder às questões
sobre o posicionamento da média adicionado aos desvios-padrão. Com esta
atividade pretendíamos que os alunos compreendessem que, quanto mais longe da
média estava o intervalo dado, mais se aproximava do “final” da curva.
68
QUADRO 6: Simulação dos Gráficos em Planilha Eletrônica
CURVA DE DISTRIBUIÇÃO NORMAL
0,000
0,050
0,100
0,150
0,200
0,250
0,300
13,55
14,55
15,55
16,55
17,55
18,55
19,55
20,55
21,55
22,55
23,55
24,55
Intervalos
f(x)
CURVA DE DISTRIBUIÇÃO NORMAL
0,000
0,050
0,100
0,150
0,200
0,250
0,300
13,55
14,55
15,55
16,55
17,55
18,55
19,55
20,55
21,55
22,55
23,55
24,55
Intervalos
f(x)
ATIVIDADE 2A1 ATIVIDADE 2 A2
CURVA DE DISTRIBUIÇÃO NORMAL
0,000
0,050
0,100
0,150
0,200
0,250
0,300
13,55
14,55
15,55
16,55
17,55
18,55
19,55
20,55
21,55
22,55
23,55
24,55
Intervalos
f(x)
CURVA DE DISTRIBUIÇÃO NORMAL
0,000
0,050
0,100
0,150
0,200
0,250
0,300
13,55
14,55
15,55
16,55
17,55
18,55
19,55
20,55
21,55
22,55
23,55
24,55
Intervalos
f(x)
ATIVIDADE 2 A3 ATIVIDADE 2 A4
CURVA DE DISTRIBUIÇÃO NORMAL
0,000
0,050
0,100
0,150
0,200
0,250
0,300
13,55
14,55
15,55
16,55
17,55
18,55
19,55
20,55
21,55
22,55
23,55
24,55
Intervalos
f(x)
CURVA DE DISTRIBUIÇÃO NORMAL
0,000
0,050
0,100
0,150
0,200
0,250
0,300
13,55
14,55
15,55
16,55
17,55
18,55
19,55
20,55
21,55
22,55
23,55
24,55
Intervalos
f(x)
ATIVIDADE 2 A5 ATIVIDADE 2 A6
CURVA DE DISTRIBUIÇÃO NORMAL
0,000
0,050
0,100
0,150
0,200
0,250
0,300
13,55
14,55
15,55
16,55
17,55
18,55
19,55
20,55
21,55
22,55
23,55
24,55
Intervalos
f(x)
ATIVIDADE 2 A7
69
Análise Teórica (praxeológica) da atividade com uma planilha eletrônica
TAREFA 2A: Usar uma planilha eletrônica do Excel para simular uma
Distribuição Normal de Probabilidades
TÉCNICA 2A1, 2A2, 2A3, 2A4, 2A5, 2A6, 2A7: para realizar a tarefa, devemos abrir o
arquivo supramencionado, inserir os parâmetros média (18,5 cm) e desvio-padrão
(1,5 cm) na planilha eletrônica para obter a curva que representa a Distribuição
Normal e, em seguida, analisar os valores dos eixos das abscissas que representam
os intervalos e verificar que a média está no meio da curva, bem como analisar os
demais intervalos que estão a mais ou menos um, dois e três desvios-padrão da
média.
DISCURSO TEÓRICO-TECNOLÓGICO 2A: os conhecimentos disponíveis
são média, desvio-padrão, a interpretação de gráficos e o uso de uma planilha
eletrônica do Excel.
TAREFA 2B: relacionar os intervalos ];[ σµσµ +− , ];[ σµσµ 22 +− e
];[ σµσµ 33 +− com as porcentagens 68%, 95% e 99%, respectivamente.
TÉCNICA 2B: para realizar a atividade, devemos iniciar a análise a partir da
classe que contém a média, no caso a classe é 18 cm e 19 cm. A partir dessa classe,
podemos calcular os valores ];[ σµσµ +− , pelos quais iremos obter o intervalo [17;
20]. Analisando os dados da Tabela 5, podemos identificar que aproximadamente
68% dos palmos estão dentro desse intervalo.
Para os valores compreendidos no intervalo ];[ σµσµ 22 +− podemos obter os
valores do intervalo [16; 22]. Analisando a tabela, podemos identificar que
aproximadamente 95% dos palmos estão dentro desse intervalo.
Para os valores compreendidos no intervalo ];[ σµσµ 33 +− podemos obter os
valores do intervalo [14; 23]. Analisando a tabela, podemos identificar que
aproximadamente 99% dos palmos estão dentro desse intervalo.
70
DISCURSO TEÓRICO-TECNOLÓGICO 2B: para realizar a tarefa, devemos
identificar os valores dos parâmetros média e desvio-padrão, em seguida, relacioná-
los com a tabela de frequências, quando poderemos novamente realizar a
comparação com a atividade 1 item f (lápis e papel) e com atividade 2 (ambiente
informatizado) e reunir as informações obtidas anteriormente para realizar a
atividade seguinte.
2.3.5 Análise a “Posteriori” – Atividade realizada em uma planilha eletrônica
A resolução da atividade 2A pautou-se toda nas simulações via planilha
eletrônica. Ao inserirem os valores da média e do desvio-padrão na célula da
planilha, os alunos depararam-se com a curva de Distribuição Normal e ficaram
impressionados com tal fato, perguntando se aprenderiam a construir aquele tipo de
gráfico. Um ponto muito positivo e alto da pesquisa foi a ligação da sala de aula com
a informática.
Nesse momento, os alunos passaram a identificar os valores calculados na
Atividade 1 com o “tamanho” da área abaixo da curva, mostrado nas simulações. Ao
verificar que esse “tamanho” era maior quando o horário estava em torno das 18h,
começaram a associá-lo com o horário de pico, e na medida que o horário se
distanciava de 18h, o “tamanho” ia diminuindo. Logo isso sugeria que o
congestionamento também diminuía, o fato ocorreu em um momento em que não
imaginávamos, pois de acordo com nossa sequência os alunos ainda não estariam
prontos para associar estatística com probabilidade (enfoque frequentista a
probabilidade).
Nesta atividade, a primeira questão proposta originou uma pequena
discussão, pois pairou uma dúvida quanto ao referencial que deveria ser adotado: “À
direita de quem? Do computador ou do aluno?”. A partir daí, definimos um
referencial para que eles pudessem se situar: a tela do computador ou também a
direita ou à esquerda do ponto de máximo da curva obtida na simulação. Na
sequência da atividade nesta questão, sete alunos responderam que a média dos
palmos está situada no meio da curva e quatro alunos responderam que a média
dos palmos está situada à esquerda da curva. Nas demais questões, com exceção
apenas do intervalo σµ 3− (um aluno respondeu que esse intervalo estava do lado
71
direito da curva), os alunos conseguiram identificar onde estava situado o intervalo
mencionado na atividade.
Na atividade 2B, para que os alunos resolvessem o exercício, o professor
solicitou que relacionassem o histograma construído no exercício 1 com a tabela de
frequências, a fim de iniciar o estudo dos intervalos de normalidade. A atividade
anterior (atividade 1) colaborou para que os alunos identificassem os intervalos e,
em seguida, encontrá-los na curva. Os alunos responderam da seguinte maneira:
• Dois alunos responderam que:
];[ σµσµ +− 68%
];[ σµσµ 22 +− 94,5%
];[ σµσµ 33 +− 100%
• Dois alunos responderam que
];[ σµσµ +− 68%
];[ σµσµ 22 +− 97,5%
];[ σµσµ 33 +− 100%
• Sete alunos responderam que
];[ σµσµ +− 68%
];[ σµσµ 22 +− 100%
];[ σµσµ 33 +− 100%
2.3.6 Considerações sobre a atividade realizada em uma planilha eletrônica
Nesse momento de trabalho em um ambiente informatizado, buscamos a
ligação das duas atividades, lápis e papel e informática.
Trabalhamos com os parâmetros média e desvio-padrão, elementos
necessários para a construção da representação da Distribuição Normal. Para iniciar
a sequência didática (variáveis quantitativas contínuas), elegemos os seguintes tipos
de variáveis: o histograma e a verificação dos intervalos de normalidade no
histograma e na curva de Distribuição Normal, tanto na identificação do
posicionamento dos valores dos intervalos como a porcentagem que cada intervalo
contém (palmos). Após esclarecimentos das dúvidas que pairavam sobre o
72
referencial adotado, ou seja, se eles deveriam analisar se os valores estavam à
direita da tela do computador ou à direita do aluno, as atividades transcorreram de
maneira normal, foram consideradas como muito boa, e os alunos entenderam como
situar os intervalos de normalidade na curva de representação normal.
Vale ressaltar que houve uma evolução, já que no ambiente papel e lápis eles
não souberam fazer isso.
Ao final da atividade, os alunos sentiram dificuldades para interpretar os
intervalos de normalidades por meio da tabela de frequências e, então, fizemos uma
intervenção apontando esses intervalos, dando sequência às atividades, e fazendo a
ligação do conceito de estatística com o de probabilidade (enfoque frequentista).
2.3.7 Análise a “Priori” – Atividade realizada em papel quadriculado
Na sequência das atividades, abordamos um tema fundamental para a
apreensão do objeto matemático, considerado por Cohen e Chechille (1997, p. 9),
como um aspecto no qual os alunos apresentam erros conceituais, pelo fato da
curva de Distribuição Normal não tocar o eixo das abscissas. Para isso, solicitamos
aos alunos que realizassem os esboços de uma curva de representação normal em
papel quadriculado, para aferir se os conceitos sobre a curva ser assintótica ao eixo
x haviam sido apreendidos nessa atividade.
Propusemos aos alunos que fizessem esboços da representação de uma
Distribuição Normal por meio da sua curva normal, no qual foram dados apenas os
parâmetros média e desvio-padrão. O intuito da atividade foi verificar se a curva
desenhada tocava o eixo das abscissas e se existia simetria em relação à média.
ATIVIDADE 3 – Considerando as simulações realizadas na planilha eletrônica
do Excel, verificamos o comportamento de uma curva de Distribuição Normal, que é
uma ferramenta de representação de uma Distribuição Normal a partir da média e do
desvio-padrão de uma determinada variável. No espaço quadriculado abaixo,
represente a Distribuição Normal por meio de uma curva de Distribuição Normal,
com os seguintes parâmetros: média igual a 0 e desvio-padrão igual a 1.
73
Análise Teórica (praxeológica) da atividade com papel quadriculado
TAREFA 3: esboçar a representação de uma Distribuição Normal, dados os
parâmetros média e desvio-padrão.
TÉCNICA 3: para realizar esta tarefa precisamos conhecer a média e o
desvio-padrão para representar a escala do gráfico. Em seguida, devemos esboçar a
curva que representa a Distribuição Normal de forma simétrica em relação à média,
e a curva não poderá tocar o eixo das abscissas.
0,000
0,050
0,100
0,150
0,200
0,250
0x
Ilustração 5: Curva normal
DISCURSO TEÓRICO-TECNOLÓGICO 3: a atividade deverá ser realizada
mediante os conceitos adquiridos com as atividades anteriores, sendo estes
necessários para conceituar a curva como assintótica ao eixo horizontal, ou seja, a
curva não tocará o eixo das abscissas.
Possíveis dificuldades: segundo Cohen e Chechile (1997, p. 9), os alunos
não conseguem interpretar nesse tipo de exercício que a curva não toca o eixo das
abscissas, portanto entendemos que somente as simulações não serão suficientes
para que o aluno compreenda esse conceito, requerendo uma intervenção, por
exemplo, mostrando o significado da curva não tocar o eixo das abscissas.
74
2.3.8 Análise a “Posteriori” – Atividade realizada em papel quadriculado
Conforme apontam os estudos de Cohen e Chechille (1997, p.9), os alunos
sentiram grande dificuldade para esboçar a curva de Distribuição Normal. Todos
voltaram para o computador e refizeram as simulações, a fim de associar a
simulação com o seu esboço e entender como representar a curva normal. Várias
dúvidas surgiram, por exemplo, como eles marcariam o valor da média e do desvio-
padrão? No caso, os alunos usaram o ambiente computacional como suporte para
construção da resolução procurada.
Dos esboços dos gráficos que os alunos apresentaram, consideramos como
correto oito deles, e outros três, por apresentarem forma triangular, como incorreto.
A atividade com o papel quadriculado foi necessário para conceituar a curva de
Distribuição Normal, como uma curva assintótica ao eixo das abscissas. Procuramos
identificar os possíveis erros e corrigi-los, mostrando as curvas por meio de
simulações e dos conceitos da Distribuição Normal. Uma das técnicas adotadas foi
enfatizar uma das características da curva, que é sua “forma de sino”, conhecida por
todos e, falar sobre o tema “assintótico”. Pelo fato dos alunos não terem tido o
contato com esse conceito, foi grande o esforço para dar exemplos e esclarecê-lo. O
estudo de funções no ensino médio comporta curvas assintóticas (por exemplo, a
função x
)x(f1
= ). No entanto, os alunos não mobilizaram esse conhecimento,
supostamente já conhecido. A seguir, mostramos dois esboços realizados pelos
alunos nesta atividade:
75
Ilustração 6: Esboço da curva normal correto
Ilustração 7: Esboço da curva normal incorreto
76
2.3.9 Considerações sobre a atividade em papel quadriculado
Como mencionamos na análise anterior, a atividade foi considerada pelos
alunos a mais difícil; pois não sabiam o que fazer, nem havia uma contextualização
do exercício, os dados fornecidos para eles não representavam muito. Conforme
Cohen e Chechille (1997) apontam, os dados são pouco significativos aos alunos e
para que o objeto de ensino tenha significado é melhor ensiná-lo por meio de
exercícios interativos, por meio de uma contextualização, os alunos têm melhor
apreensão do objeto de ensino.
2.3.10 Análise a “Priori” – Atividade realizada com exercícios interativos
Nesta seqüência, a última atividade realizada pelos alunos foi interpretar uma
Distribuição Normal por meio de sua representação, a curva de Distribuição Normal,
no qual utilizamos um exercício interativo em que o aluno pôde visualizar essa
representação, por meio das atividades anteriores e em conjunto com sua própria
vivência e dar significado ao problema proposto. Nessa atividade, buscamos a
apreensão por parte dos alunos de que a área abaixo da curva é igual a 1 e os
intervalos de normalidade ];[ σµσµ +− , ];[ σµσµ 22 +− e ];[ σµσµ 33 +− são,
aproximadamente, 68%, 95% e 99% dessa área, respectivamente.
Todas as questões versavam sobre a área abaixo da curva, assim os alunos
puderam associá-la com a probabilidade de ocorrer congestionamento. Para resolver
a questão, o professor/pesquisador propôs uma discussão antes de começar as
atividades, dando uma noção geral aos alunos do funcionamento do trânsito de uma
cidade, como por exemplo, os horários em que podem ocorrer os
congestionamentos e quando as rodovias estão livres (em condições normais).
Dessa forma, os alunos puderam levar em conta suas experiências pessoais, no que
dizia respeito à analise do contexto haja vista que eram exercícios interativos, ou
seja, buscamos listar a atividade estatística com a experiência pessoal de cada
aluno, conforme sugerem os estudos de Cohen e Chechille (1997), apresentados no
item 1.4.
ATIVIDADE 4 – O gráfico abaixo representa o horário de pico no trânsito de
uma cidade a partir das 12h. Em média, o trânsito torna-se caótico (muito
77
congestionado) às 18h, com mais ou menos 2 horas de desvio-padrão, ou seja, no
intervalo entre às 16h e 20h temos o período de maior congestionamento no trânsito.
Responda às questões a seguir:
0,000
0,050
0,100
0,150
0,200
0,250
12h 13h 14h 15h 16h 17h 18h 19h 20h 21h 22h 23h 24h
Horário
Po
ssib
ilid
ade
de
hav
er c
on
ges
tio
nam
ento
no
trâ
nsi
to
GRÁFICO 6: Horário de Pico
No gráfico colocamos retas perpendiculares ao eixo das abscissas nas
seguintes marcas: 12h, 14h, 16h, 20h, 22h e 24h. Estas marcações serviram para a
contagem dos retângulos, pelos quais os alunos poderiam realizar o cálculo
estimado da área abaixo da curva.
a) Localize no gráfico o horário das 12h às 24h e estime a probabilidade de
ocorrer um congestionamento na cidade nesse período, justificando como
você chegou à estimativa.
b) Localize no gráfico o horário das 12h às 18h e estime a probabilidade de
ocorrer um congestionamento na cidade nesse período, justificando como
você chegou à estimativa.
c) Localize no gráfico o horário das 18h às 24h e estime a probabilidade de
ocorrer um congestionamento na cidade nesse período, justificando como
você chegou à estimativa.
78
d) Localize no gráfico o horário das 16h às 20h e estime a probabilidade de
ocorrer um congestionamento na cidade nesse período, justificando como
você chegou à estimativa.
e) Localize no gráfico o horário das 14h às 22h e estime a probabilidade de
ocorrer um congestionamento na cidade nesse período, justificando como
você chegou à estimativa.
f) Localize no gráfico o horário das 16h às 18h e estime a probabilidade de
ocorrer um congestionamento na cidade nesse período, justificando como
você chegou à estimativa.
g) Localize no gráfico o horário das 18h às 20h e estime a probabilidade de
ocorrer um congestionamento na cidade nesse período, justificando como
você chegou à estimativa.
h) Localize no gráfico o horário das 12h às 16h e estime a probabilidade de
ocorrer um congestionamento na cidade nesse período, justificando como
você chegou à estimativa.
i) Localize no gráfico o horário das 14h às 18h e estime a probabilidade de
ocorrer um congestionamento na cidade nesse período, justificando como
você chegou à estimativa.
Análise Teórica (praxeológica) da atividade com exercícios interativos
TAREFA 4: identificar a área abaixo da curva como probabilidade igual a 1 de
ocorrer congestionamento, associando um tema em que o pesquisado possa
interagir por meio de sua vivência pessoal.
TÉCNICA 4A: analisando o gráfico dado, temos que o congestionamento da
cidade ocorre das 12h às 24h, com variações no período. Como se trata do período
total, podemos dizer que a probabilidade de ocorrer um congestionamento nesse
período é quase igual à área total abaixo da curva, portanto, aproximadamente, 1.
TÉCNICA 4B/4C: analisando o gráfico dado, temos que o congestionamento
da cidade pode ocorrer entre 12h e 18h e entre 18h e 24h e, como vimos no item a,
no período inteiro a probabilidade é aproximadamente 1. Nos dois casos, a
79
probabilidade de ocorrer congestionamento é de quase 0,5, pois trata-se de metade
do período.
TÉCNICA 4D1: sabemos que a área total abaixo da curva tem probabilidade
igual a 1 de ocorrer um congestionamento e que, antes ou depois das 18h, a
probabilidade é de, aproximadamente, 0,5 de ocorrer congestionamento. Uma
possível solução por parte do aluno é a contagem dos retângulos que estão abaixo
da curva e sua contagem dentro do intervalo pedido.
Em seguida, calcular a probabilidade por meio de uma regra de três simples.
O gráfico apresenta um total de quase 195 retângulos, e o total de retângulos
compreendidos no intervalo solicitado é de, aproximadamente, 134. Calculando por
regra de três simples, temos:
6870195
134
134195
1134195
,x
x
x
.x.
≅
=
=
=
N.º Retângulos Probabilidade
195 1
134 x
TÉCNICA 4D2: o aluno poderá estimar o valor da probabilidade desse evento
relacionar-se com o exercício da atividade 2B, cujo o intervalo de [ ]σµσµ +− ;
equivale a, aproximadamente, 68%, o que representaria a probabilidade de 0,68.
80
0,000
0,050
0,100
0,150
0,200
0,250
12h 13h 14h 15h 16h 17h 18h 19h 20h 21h 22h 23h 24h
Horário
Po
ssib
ilid
ade
de
hav
er c
on
ges
tio
nam
ento
no
trâ
nsi
to
GRÁFICO 7: Interpretação do Intervalo [ ]σµσµ +− ;
TÉCNICA 4E1: o gráfico apresenta um total de quase 195 retângulos, e o total
de retângulos compreendidos no intervalo solicitado é de quase 188. Calculando por
regra de três simples, temos:
9640195
188
188195
1188195
,x
x
x
.x.
≅
=
=
=
N.º Retângulos Probabilidade
195 1
188 x
TÉCNICA 4E2: o aluno poderá estimar o valor da probabilidade desse evento
relacionar-se com o exercício da atividade 2B, em que o intervalo de [ ]σµσµ 22 +− ;
equivale a quase 95%, o que representaria a probabilidade de, aproximadamente,
0,95.
81
0,000
0,050
0,100
0,150
0,200
0,250
12h 13h 14h 15h 16h 17h 18h 19h 20h 21h 22h 23h 24h
Horário
Po
ssib
ilid
ade
de
hav
er c
on
ges
tio
nam
ento
no
trâ
nsi
to
GRÁFICO 8: Interpretação do Intervalo [ ]σµσµ 22 +− ;
TÉCNICA 4F1,4G1: o gráfico apresenta um total de, aproximadamente, 195
retângulos, e o total de retângulos compreendidos no intervalo solicitado é de quase
68. Calculando por regra de três simples, temos:
3480195
68
68195
168195
,x
x
x
.x.
≅
=
=
=
N.º Retângulos Probabilidade
195 1
68 X
TÉCNICA 4F2,4G2:o aluno poderá estimar o valor da probabilidade desse
evento relacionar-se com o exercício da atividade 2B, cujo intervalo de [ ]σµσµ +− ;
equivale a, aproximadamente, 68%, o que poderia levá-lo a realizar o cálculo da
metade desse valor, encontrando 34% o que nesse caso seria igual a uma
probabilidade aproximada de 0,34 para ocorrer um congestionamento.
82
0,000
0,050
0,100
0,150
0,200
0,250
12h 13h 14h 15h 16h 17h 18h 19h 20h 21h 22h 23h 24h
Horário
Po
ssib
ilid
ade
de
hav
er c
on
ges
tio
nam
ento
no
trâ
nsi
to
GRÁFICO 9: Interpretação do Intervalo [ ]µσµ ;−
TÉCNICA 4H1: o gráfico mostra um total de quase 195 retângulos, e o total de
retângulos compreendidos no intervalo solicitado é de quase 32. Calculando pela
regra de três simples, temos:
1640195
32
32195
132195
,x
x
x
.x.
≅
=
=
=
N.º Retângulos Probabilidade
195 1
32 x
TÉCNICA 4H2: o aluno poderá estimar o valor da probabilidade desse evento
relacionar-se com os itens b e f desta atividade da seguinte maneira: se a
probabilidade do período compreendido entre 12h e 18h é quase 0,5, e a
probabilidade do período compreendido entre 16h e 18h é quase 0,34, então, o
aluno deverá calcular a diferença entre as duas probabilidades e encontrará uma
probabilidade aproximada de 0,16.
Técnica 4F1 Técnica 4F2
83
0,000
0,050
0,100
0,150
0,200
0,250
12h 13h 14h 15h 16h 17h 18h 19h 20h 21h 22h 23h 24h
Horário
Po
ssib
ilid
ade
de
hav
er c
on
ges
tio
nam
ento
no
trâ
nsi
to
GRÁFICO 10: Interpretação do Intervalo [ ]σµσµ −− ;3
TÉCNICA 4I: o gráfico apresenta um total de quase 195 retângulos, e o total
de retângulos compreendidos no intervalo solicitado é de, aproximadamente, 96.
Calculando por regra de três simples, temos:
4920195
96
96195
196195
,x
x
x
.x.
≅
=
=
=
Nº Retângulos Probabilidade
195 1
96 X
84
0,000
0,050
0,100
0,150
0,200
0,250
12h 13h 14h 15h 16h 17h 18h 19h 20h 21h 22h 23h 24h
Horário
Po
ssib
ilid
ade
de
hav
er c
on
ges
tio
nam
ento
no
trâ
nsi
to
GRÁFICO 11: Interpretação do Intervalo [ ]µσµ ;2−
Observação: um dos possíveis erros dos alunos no cálculo das probabilidades
por meio da regra de três poderá ocorrer na contagem dos retângulos. O professor
poderá solucionar esses erros durante os trabalhos, pois os cálculos são estimativas,
portanto, valores aproximados.
DISCURSO TEÓRICO-TECNOLÓGICO 4A4B4C4D4E4F4G4H4I: para resolver
as tarefas, precisamos analisar o gráfico e fazer a relação da área abaixo da curva
com a probabilidade de ocorrer um congestionamento na cidade. O aluno deverá
associar a área total abaixo da curva com a probabilidade aproximada do possível
congestionamento. O conhecimento necessário é a interpretação do gráfico com a
probabilidade de um evento, bem como a associação da área do gráfico com a
probabilidade de ocorrer o congestionamento.
2.3.11 Análise a “Posteriori” – Atividade realizada com exercícios interativos
12h às 24h – os resultados foram os seguintes:
85
• Sete alunos estimaram em 100% a probabilidade de ocorrer o
congestionamento, dos quais cinco deles justificaram da seguinte maneira:
“...compreende todo o período...”;
• Um aluno estimou em 90%, justificando da seguinte maneira: “... o horário
está abrangendo o horário de pico...";
• Um aluno estimou que a probabilidade é de 1 a cada hora;
• Dois alunos estimaram da seguinte maneira: de 4/12 horas, e justificaram
da seguinte maneira: “...se o maior congestionamento é entre às 16h e às
20h, então, a probabilidade está entre as 4 horas para as 12 horas de
congestionamento...”.
ANÁLISE: entendemos que, para esse período, os alunos conseguiram
associar o período total com a área total abaixo da curva, portanto, a atividade
mostrou-se positiva, pois atingiu seu objetivo. Como mostramos em nossa
análise praxeológica, os alunos poderiam ter realizado esse cálculo por meio
da contagem dos retângulos, o que de fato não aconteceu.
12h às 18h – os resultados foram os seguintes:
• Cinco alunos estimaram em 50% a probabilidade de ocorrer o
congestionamento, justificando da seguinte maneira: “...representa a
metade do período...”;
• Um aluno estimou em 25% a probabilidade de ocorrer o congestionamento,
justificando da seguinte maneira: “...porque o horário das 16h às 18h é
considerado como desvio-padrão de 2h, um horário de grande
congestionamento...”;
• Dois alunos estimaram em 2/6 horas, justificando da seguinte maneira:
“...se entre às 12h e às 18h, o período de maior congestionamento é entre
às 16h e às 18h, então, num período de 6 horas, 2 horas estão
congestionadas...”;
• Um aluno estimou em 80%, justificando de maneira incoerente;
86
• Dois alunos estimaram em 100%, também, com justificativas incoerentes.
18h às 24h – os resultados foram os seguintes:
De maneira análoga ao item anterior, os alunos responderam à questão,
conforme segue:
• Cinco alunos estimaram em 50% a probabilidade de ocorrer o
congestionamento, justificando da seguinte maneira: “...representa a
metade do outro lado do gráfico...”;
• Um aluno estimou em 25% a probabilidade de ocorrer o congestionamento,
justificando da seguinte maneira: “...idem ao anterior, só mudando os
horários...”;
• Dois alunos estimaram de 2/6 horas, justificando da seguinte maneira:
“...se entre às 18h e às 24h o período de maior congestionamento é entre
18h e às 20h, então, num período de 6 horas, 2 horas estão
congestionados...”;
• Um aluno estimou em 70%, justificando de maneira incoerente;
• Dois alunos estimaram em 100%, também, com justificativas incoerentes.
ANÁLISE: para o exercício que compreendia o horário entre 12h e 24h,
buscou-se a interpretação do intervalo total, imaginávamos que fariam uma
“ponte” para a metade do período, ou seja, os alunos conseguiriam fazer a
associação de “metade ou 50%”, portanto, a atividade mostrou-se
parcialmente eficaz.
16h às 20h – os resultados foram os seguintes:
• Sete alunos estimaram em 100% a probabilidade de ocorrer
congestionamento no período, com justificativas variadas, por exemplo:
“...devido ao horário de pico...”; “...se inicia no horário de pico...”; “...devido
a ser o horário de maior congestionamento...”, entre outras respostas,
todas foram relacionadas com o horário de maior movimento;
87
• Um aluno estimou em 4 de 4 horas e justificou da seguinte maneira: “...4h
de maior congestionamento para o horário de 4h...”;
• Um aluno estimou em 5/12 horas, justificando da seguinte maneira:
“...porque são 5 horas esse intervalo, e 12 horas é o total do período
apresentado...”;
• Um aluno estimou em 25% a probabilidade justificando da seguinte
maneira: “...o horário de 16h às 20h representa a metade da metade...”;
• Um aluno estimou em 33% justificando que “analisou o gráfico”.
14h às 22h – os resultados foram os seguintes:
• Cinco alunos estimaram em 100% de probabilidade de ocorrer o
congestionamento, com justificativas análogas, em que apontaram que
esse período “atingiria o horário de pico”;
• Um aluno estimou em 75% por entender que o período representa “um
pouco mais da metade”;
• Um aluno estimou em 80% e justificou dizendo que “analisou o gráfico”;
• Três alunos estimaram em 50% justificando da seguinte maneira: “...pois,
neste período, se encaixam os horários de almoço e de saída das pessoas
que trabalham...”, e as outras justificativas foram as seguintes: “...entre às
14h e às 22h, há 4 horas de congestionamento e 4 horas de tempo mais
sossegado...” e “...4 horas de maior congestionamento para o período de 8
horas...”;
• Um aluno estimou em 8/12 e justificou da seguinte maneira: “...são 8 horas
de congestionamento para um total de 12 horas apresentado...”.
16h às 18h – Os resultados foram os seguintes:
• Três alunos estimaram em 100% a probabilidade de ocorrer o
congestionamento, justificando da seguinte maneira: “...por ser o horário
em que se inicia o congestionamento...; “...por se tratar do horário de pico,
então, a probabilidade é total...”;
88
• Um aluno estimou em 12,5% a probabilidade de ocorrer o
congestionamento e justificou dizendo que “se tratava da metade do lado
esquerdo da curva”;
• Um aluno estimou em, “aproximadamente, 16%”, justificando que
“analisou o gráfico”;
• Um aluno estimou em 2/12 a probabilidade de ocorrer o congestionamento,
justificando que “o intervalo representa 2 horas em relação ao total que é
de 12 horas...”;
• Um aluno estimou em 100% a probabilidade de ocorrer o
congestionamento justificando ser “...2 horas do maior congestionamento
para o período de 2 horas...”;
• Quatro alunos estimaram em 50% a probabilidade de ocorrer o
congestionamento, justificando da seguinte maneira: “...representa a
metade do período...”.
18h às 20h – os resultados foram os seguintes:
• Quatro alunos estimaram em 100% a probabilidade de ocorrer o
congestionamento, justificando da seguinte maneira: “...devido a ser o
horário do rush ou o horário de pico...”;
• Um aluno estimou em 80% a probabilidade de ocorrer o congestionamento
e justificou dizendo: “...porque é o horário em que quase todos saem do
trabalho...”;
• Um aluno estimou em 16% a probabilidade de ocorrer o congestionamento
e justificou dizendo que “analisou o gráfico”;
• Um aluno estimou em 12,5% a probabilidade de ocorrer o
congestionamento e justificou da seguinte maneira: ”...a metade do lado
direito da curva...”;
• Três alunos estimaram em 50% a probabilidade de ocorrer
congestionamento e justificaram da seguinte maneira: “...o
congestionamento já está na metade...”;
89
• Um aluno estimou em 2/12 a probabilidade de ocorrer o congestionamento
e justificou dizendo que são 2 horas em relação ao período de 12 horas
apresentado.
12h às 16h – os resultados foram os seguintes:
• Dois alunos estimaram em 50% a probabilidade de ocorrer o
congestionamento; um justificou dizendo que “se trata da hora do almoço”,
e o outro dizendo que “não chegou ao horário de pico”;
• Um aluno estimou em 75% a probabilidade de ocorrer o congestionamento
e justificou dizendo: “por estar do lado esquerdo da metade”;
• Dois alunos estimaram em 25% a probabilidade de ocorrer o
congestionamento e justificaram da seguinte maneira: “...porque é o
momento mais calmo em que o congestionamento inicia seu aumento...” e
“...o período para o congestionamento começa às 16h, então, antes desse
horário não pode haver congestionamento...”;
• Dois alunos estimaram em 0% a probabilidade de ocorrer o
congestionamento e justificaram dizendo que “...pois segundo o enunciado,
o congestionamento começa a partir das 16h...” e “...durante o horário do
exercício acima de 4 horas não haverá hora nenhuma de maior
congestionamento...”;
• Um aluno estimou em 4/12 a probabilidade de ocorrer o congestionamento
e justificou dizendo que são 4 horas em relação a 12 horas totais...”;
• Um aluno estimou em 30% a probabilidade de ocorrer congestionamento e
justificou dizendo que “analisou o gráfico”;
• Um aluno estimou em 20% a probabilidade de ocorrer o congestionamento
e justificou dizendo que “não atinge o horário de pico”.
14h às 18h – os resultados foram os seguintes:
90
• Um aluno estimou em 55% a probabilidade de ocorrer o congestionamento
e justificou dizendo que “...o intervalo está do lado esquerdo da metade da
curva...”;
• Seis alunos estimaram em 50% a probabilidade de ocorrer o
congestionamento e justificaram da seguinte maneira: “... não chegou ao
pico do congestionamento...”; “...porque é o inicio da primeira parte do
congestionamento...”; ”...pode ou não ocorrer congestionamento nesse
horário...”; ”...2 horas de maior congestionamento para um período de 4
horas...”; ”...porque é a metade do horário de maior congestionamento...”;
• Um aluno estimou em 4/12 a probabilidade de ocorrer o congestionamento
e justificou dizendo que: “são 4 horas em relação às 12 horas totais”;
• Um aluno estimou em 30% a probabilidade de ocorrer o congestionamento
e justificou dizendo que “analisou o gráfico”;
• Um aluno estimou em 25% a probabilidade de ocorrer o congestionamento
e justificou dizendo que “...neste período, começa a crescer o número de
carros na cidade...”;
• Um aluno estimou em 20% a probabilidade de ocorrer o congestionamento
e justificou dizendo que “...não atinge o horário...”.
ANÁLISE: para os períodos compreendidos entre 16h e 20h, 14h e 22h, 16h e
18 h, 18h e 20h, 12h e 16h e, finalmente, entre 14h e 18h, os alunos precisavam
estimar a probabilidade, o que de fato não ocorreu. Acreditamos que os alunos não
estavam acostumados com essa atitude, “de estimar”, pois para eles, a Matemática
deveria ser exata e, por isso, eles não conseguiram “estimar” ou “aproximar” valores
para esta atividade.
Além do mais, se não bastasse essa dificuldade, havia outra que era o fato de
relacionar a área abaixo da curva com a probabilidade de ocorrer o evento.
Lamentamos o fato de não termos feito junto com os alunos a reflexão dessa
atividade por meio da contagem dos retângulos, em razão da falta de tempo, pois
acreditávamos que essa seria uma opção didática muito interessante, e deixamos de
explorá-la.
91
2.3.12 Considerações sobre a atividade realizada com exercícios interativos
Faremos uma síntese dos resultados apresentados, conforme os dados da
tabela abaixo:
TABELA 5: Análise dos resultados da atividade com exercícios interativos
Questão Total Respostas
Corretas
Total de Respostas
Erradas
Total de
Justificativas
Corretas
Total de
Justificativas
Erradas
A 7 4 7 4
B 5 6 5 6
C 5 6 6 5
D 0 11 0 11
E 7 4 7 4
F 4 7 4 7
G 3 8 3 8
H 4 7 4 7
I 7 4 6 5
Conforme o exposto, observamos que:
• Sete alunos interpretaram corretamente a questão “a”, na qual deveriam
associar o período total (compreendido entre 12h e 24h) com a
probabilidade aproximada em 100%;
• Sete alunos interpretaram corretamente as questões “e” e “i”, nas quais
deveriam associar os períodos compreendidos entre 14h e 18h e entre
14h e 22h com probabilidade aproximada em 95% e 47,5%,
respectivamente;
• Cinco alunos interpretaram corretamente as questões “b” e “c”, nas quais
deveriam associar os períodos compreendidos entre 12h e 18h e entre
18h e 24h, com probabilidade aproximada em 50% em ambos os casos;
• Quatro alunos interpretaram corretamente as questões “f” e “h”, nas quais
deveriam associar os períodos compreendidos entre 16h e 18h e entre
12h e 16h;
92
• Três alunos interpretaram corretamente a questão “g”, na qual deveriam
associar o período compreendido entre 18h e 20h; e
• Nenhum dos alunos interpretou corretamente a questão “d”, na qual
deveriam associar o período compreendido entre 16h e 20h.
Nesta atividade, buscamos reunir as ideias das atividades anteriores e
verificar se os alunos conseguiriam associar os parâmetros (média e desvio-padrão),
calculados por eles em etapas anteriores, ao conceito de probabilidade.
Observamos que os alunos apreenderam parcialmente o que se pretendia e
acreditamos que deveríamos ter discutido mais o tema em sala de aula. A
aprendizagem esperada dos conceitos abordados nas fases anteriores não ocorreu.
Nesse ponto, demos como encerrada nossa sequência didática, nas quais os
alunos estudaram a Distribuição Normal por meio da análise de gráfico, simulação
em planilha eletrônica e por exercícios interativos.
2.3.13 Análise a “Priori” – Questionário Diagnóstico
Passamos a analisar o questionário diagnóstico, para relacioná-lo a todas as
atividades desenvolvidas nesta pesquisa com os alunos. Como descrito no item 2.2
(Etapa 5), o questionário aplicado foi adaptado da tese de doutorado intitulada “La
construcción del significado de la distribución normal a partir de actividades de
análisis de datos” defendida por Liliana M. Tauber em 2001, na Universidad de
Sevilla, e o descrevemos no item a seguir.
Nesta atividade, procuramos identificar os conceitos assimilados pelos alunos
e analisar qualitativamente os dados. As atividades aqui desenvolvidas buscam
diagnosticar se os alunos, após os trabalhos com as atividades anteriores,
conseguiram relacionar a área total abaixo da curva com a probabilidade de ocorrer
um evento.
O questionário foi aplicado após o término da sequência com os alunos, sem
o apoio do material utilizado anteriormente. No questionário, colocamos para os
leitores desta pesquisa um asterisco ao final das alternativas que julgamos correta,
salientando que os alunos, ao respondê-lo, não tiveram acesso a esta informação.
93
QUESTIONÁRIO DIAGNÓSTICO
1. Escreva um exemplo para cada tipo de variável abaixo:
a) Variável quantitativa contínua. (resposta pessoal)
b) Variável quantitativa discreta. (resposta pessoal)
c) Variável qualitativa. (resposta pessoal)
2. Em um histograma, a frequência dos valores de um intervalo é dada por:
a) A altura de cada retângulo.
b) A amplitude do intervalo.
c) A área dos retângulos compreendidos no intervalo.*
3. O propósito de um modelo matemático envolvendo a distribuição normal
aplicado a qualquer ciência é que:
a) Permite-nos visualizar a natureza dos dados.∗
b) Permite-nos fazer previsões sobre dados futuros.*
c) Proporciona-nos uma aproximação dos dados.*
d) Permite-nos usar uma equação.*
4. A curva normal é um modelo que:
a) Se encontra raramente em uma distribuição de dados empíricos.
b) Está definida em termos de dados empíricos.
c) Está definida em termos de uma função matemática.*
d) Serve para fazer inferências sobre uma população.*
5. A curva normal é:
a) Uma curva que se aproxima indefinidamente do eixo horizontal sem
tocá-lo.*
b) Uma distribuição matemática ou teórica.*
c) Uma curva em forma de sino.*
d) Pode obter valores negativos.*
∗ Resposta correta.
94
6. Quais das seguintes distribuições aproximam-se melhor de uma curva
normal?
a) Idade dos estudantes de uma escola.*
b) Peso dos alunos do sexo masculino de uma escola.*
c) Número de livros publicados pelos professores de uma determinada
instituição.
d) O Q.I. (Quociente de Inteligência) de uma população de candidatos a
um posto de trabalho em uma empresa.*
7. A Distribuição Normal tem muitos dados acumulados em torno:
a) Da média.*
b) Dos valores mais altos.
c) Dos valores mais baixos.
d) Depende da variável medida.
8. Para definir completamente uma Distribuição Normal, basta conhecer:
a) A mediana.
b) A média.∗
c) A moda.
d) O desvio-padrão.*
9. A Distribuição Normal é uma distribuição aplicável a:
a) Variável aleatória contínua.*
b) Variável aleatória discreta com poucos valores diferentes.
c) Dados qualitativos.
d) Dados ordinais.
10. Uma distribuição de probabilidade estabelece que:
a) A frequência acumulada sobre a ordenada (eixo vertical) é o resultado
provável sobre o eixo vertical.
b) A área da curva está sobre o eixo horizontal e os resultados possíveis
estão sobre a ordenada (eixo vertical).
∗ Resposta correta.
95
c) Os limites inferiores e superiores dos sucessos estão sobre o eixo
horizontal e a frequência, sobre a ordenada (eixo vertical).
d) A probabilidade será dada pela área abaixo da curva e todos os valores
possíveis estão sobre o eixo horizontal.*
11. João verificou que seus dados estão normalmente distribuídos com uma
média de 16 e um desvio-padrão de 4,2. O que mais ele deveria fazer
antes de publicar seus resultados?
a) Calcular o primeiro e o terceiro quartil.
b) Determinar todos os decis.
c) Todas as afirmações anteriores serviriam como informações adicionais
a seu informe.
d) Nada! Ele tem informação suficiente para seu informe.*
12. Classificar como Verdadeiro (V) ou Falso (F) e justificar a resposta.
a) Em uma Distribuição Normal, 50% das medidas estão acima da média.
(Verdadeiro)
b) Na distribuição normal, a média é igual à moda. (Verdadeiro)
c) A curva normal representa uma distribuição que se distribui de forma
simétrica com respeito à média. (Verdadeiro)
d) Se uma variável está distribuída normalmente, os casos extremos são
pouco frequentes. (Verdadeiro)
e) Entre )(e)( σ+µσ−µ 33 , em uma Distribuição Normal, podem ser
encontrados quase os 100% dos dados ( µ é a média e σ o desvio-
padrão). (Verdadeiro)
Análise Teórica (praxeológica) do Questionário Diagnóstico
TAREFA 1A: escrever uma variável quantitativa contínua.
TAREFA 1B: escrever uma variável quantitativa discreta.
TAREFA 1C: escrever uma variável qualitativa.
96
TAREFA 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12: analisar as questões e associá-las
às alternativas corretas.
TÉCNICA 1A: identificar o tipo de variável pedida como algo que pode ser
contado, em partes inteiras e, também, em partes não inteiras.
TÉCNICA 1B: identificar o tipo de variável pedida como algo que pode ser
contado apenas em partes inteiras.
TÉCNICA 1C: identificar o tipo de variável pedida como algo que representa
um atributo ou uma qualidade, podendo ser ordinal ou nominal.
TÉCNICA 2: associar a frequência dos valores de um intervalo à área
compreendida entre o histograma e o eixo no intervalo.
TÉCNICA 3: associar os modelos matemáticos como meio de visualizar a
natureza dos dados, meio de realizar previsões, de aproximar os dados e escrever
equações.
TÉCNICA 4: associar a curva normal a uma equação matemática e entender
que essa curva pode ser utilizada para realizar previsões sobre uma população ou
um objeto de interesse que esteja representado por meio dela.
TÉCNICA 5, 7,12: associar a curva normal às suas propriedades.
TÉCNICA 6, 9: associar a curva normal ao tipo de variável que pode ser
representado por ela.
TÉCNICA 8,11: associar a Distribuição Normal aos parâmetros média e
desvio-padrão.
TÉCNICA 10: associar a área abaixo da curva com a probabilidade de ocorrer
um determinado evento.
97
DISCURSO TEÓRICO-TECNOLÓGICO 1A,1B,1C: para responder a esta
questão, o aluno deve conhecer os tipos de variáveis, que se dividem em dois:
qualitativas e quantitativas que, por sua vez, se subdividem da seguinte maneira:
qualitativas nominais, qualitativas ordinais, quantitativas discretas e quantitativas
contínuas.
DISCURSO TEÓRICO-TECNOLÓGICO 2: para responder a esta questão, o
aluno deve saber construir e analisar um histograma a partir de uma tabela de
frequências.
DISCURSO TEÓRICO-TECNOLÓGICO 3: o aluno pode reconhecer padrões
matemáticos e conseguir escrever sua lei de formação, pela qual realiza previsões e
aproxima dados.
DISCURSO TEÓRICO-TECNOLÓGICO 4: o aluno deve reconhecer, pelo
menos, que a curva normal é um modelo utilizado para realizar previsões e que pode
ser representada por uma equação matemática.
DISCURSO TEÓRICO-TECNOLÓGICO 5, 12: o aluno deve conhecer as
propriedades de uma curva normal, como uma curva assintótica ao eixo horizontal,
por se tratar de uma distribuição matemática de dados, por ter a forma de sino e
poder obter valores negativos.
DISCURSO TEÓRICO-TECNOLÓGICO 6, 9: o aluno deve conhecer o tipo de
variável (contínua) utilizado para representar uma Distribuição Normal.
DISCURSO TEÓRICO-TECNOLÓGICO 7: é preciso que o aluno conheça os
intervalos de normalidade, e saiba que, no intervalo de ];[ σµσµ +− estão quase
68% dos dados.
DISCURSO TEÓRICO-TECNOLÓGICO 8, 11: o aluno deve conhecer os
parâmetros média e desvio-padrão, como elementos indispensáveis e necessários
para definição de uma Distribuição Normal.
98
DISCURSO TEÓRICO-TECNOLÓGICO 10: é necessário estabelecer a
conexão entre estatística descritiva e probabilidade de ocorrer um evento.
2.3.14 Respostas observadas – Questionário Diagnóstico
Faremos um paralelo entre as questões oferecidas aos alunos por meio do
questionário diagnóstico e as questões e atividades respondidas por eles durante a
sequência didática.
• A questão 1 está relacionada às previsões estudadas nas atividades com
papel e lápis, ambiente informatizado e com os exercícios interativos.
• A questão 2 está relacionada à construção do histograma representativo
dos palmos dos alunos.
• A questão 3 está relacionada à tabulação dos dados, com a construção da
tabela, do histograma, com o intervalo de normalidade e com a previsão
dos dados, trabalhados nas atividades com exercícios interativos.
• A questão 4 relaciona-se às estimativas realizadas pelos exercícios
interativos (inferências).
• A questão 5 está diretamente relacionada com o esboço de uma curva de
Distribuição Normal com papel quadriculado.
• As questões 6 e 9 estão relacionadas à formação do banco de dados
coletado pelos alunos.
• A questão 7 está relacionada a todos os exercícios estudados na
sequência didática.
• A questão 8 está diretamente ligada às primeira e segunda atividades,
porém todas as questões estudadas na sequência dependem da média e
do desvio-padrão, portanto, estes são os parâmetros relacionados com
Distribuição Normal.
• A questão 10 está relacionada aos estudos de exercícios interativos, em
que se estudou a área abaixo da curva.
• A questão 11 está diretamente relacionada à primeira atividade (lápis e
papel) e com a simulação das curvas na planilha eletrônica.
99
• A questão 12 relaciona-se com todas as atividades que envolvem os
intervalos de normalidade, como a atividade 2 (ambiente informatizado) e
a atividade com exercícios interativos.
Os dados coletados por meio do questionário diagnóstico foram os seguintes:
A questão que relaciona o estudo das variáveis, mostrou que cinco alunos
deram exemplos corretos ou classificaram de maneira correta uma variável
quantitativa contínua; sete alunos deram exemplos corretos ou classificaram de
maneira correta uma variável quantitativa discreta e oito alunos deram exemplos
corretos ou classificaram corretamente uma variável qualitativa.
A questão que relaciona a frequência dos valores de um intervalo à área dos
retângulos compreendidos no intervalo foi interpretada corretamente por quatro
alunos.
Quando foi perguntado aos alunos: “qual o propósito de um modelo
matemático aplicado a qualquer ciência?”, Nenhum apontou todas as alternativas
que diziam que o modelo matemático permitia visualizar a natureza dos dados, fazer
previsões sobre dados futuros, aproximação dos dados e, também, usar uma
equação. De todas as alternativas apresentadas, a que obteve maior número de
alunos respondendo-a (cinco alunos), foi a que permitia visualizar a natureza dos
dados.
Para cinco alunos, a curva normal é um modelo que pode ser definido por
meio de uma expressão matemática e serve para fazer inferências sobre uma
população.
Seis alunos reconheceram a curva normal por intermédio de sua forma de
sino, e só três identificaram que a curva normal não toca o eixo horizontal.
Quanto ao tipo de variável, dez alunos reconheceram, pelo menos, uma
variável quantitativa que poderia ser aproximada por meio da curva normal, e três
deles identificaram que a Distribuição Normal aplica-se somente a uma população
de dados contínuos.
Apenas quatro alunos identificaram os dados acumulados em torno da média.
100
Quanto à questão que versava sobre os parâmetros necessários para a
construção de uma curva normal, média e desvio-padrão (tema bastante discutido
em sala de aula), apenas quatro alunos reconheceram os dois parâmetros, e outros
quatro identificaram apenas um dos parâmetros ou média, ou desvio-padrão.
Seis alunos reconheceram que a probabilidade será dada pela área abaixo da
curva, e todos os valores possíveis estão sobre o eixo horizontal.
Na situação em que “João” tem seus dados distribuídos com média igual a 16
e um desvio-padrão igual a 4,2, sete alunos entenderam que “João” tinha todos os
dados necessários para publicar seus resultados.
Por fim:
• Em uma Distribuição Normal, 50% das medidas estão acima da média,
quatro alunos classificaram como verdadeira a alternativa, e apenas três
justificaram a resposta dizendo que “...a metade está de um lado e a outra
metade está do outro lado...” e “...porque está bem distribuída...”; um outro
aluno desenhou uma curva e definiu que ambos os lados são iguais
(abaixo da média e acima da média).
• Na curva normal, a média é igual à moda, seis alunos classificaram a
alternativa como verdadeira, porém, somente um justificou a resposta
dizendo que elas (média e moda) são iguais.
• A curva normal representa uma distribuição que se distribui de forma
simétrica com respeito à média, sete alunos classificaram a alternativa
como verdadeira, porém somente três alunos justificaram suas respostas
dizendo que os dois lados da curva são iguais ou simétricos.
• Se uma variável está distribuída normalmente, os casos extremos são
pouco frequentes, três alunos classificaram a alternativa como verdadeira,
mas não souberam justificar suas respostas.
• Entre )(e)( σ+µσ−µ 33 , em uma Distribuição Normal, podemos encontrar
quase 100% dos dados (µ é a média e σ o desvio-padrão), nove alunos
classificaram a alternativa como verdadeira, dos quais quatro alunos não
justificaram suas respostas e cinco justificaram suas respostas da seguinte
maneira: dois deles disseram que “...o intervalo abrange todos os dados...”,
101
um aluno respondeu que “...são quase todos os dados...”; um aluno diz
que “...é o início e o fim da distribuição...” e outro aluno aponta que “...os
dados pegam todo o histograma...”
As respostas observadas no Questionário Diagnóstico estão representadas
no Gráfico 12.
1A
1B
1C
2C
3A
3B
3C
4C
4D
5A 5B
5C
6A
6B
6D
7A
8A
8B
8D
9A
10D
11D
12A
12B
12D
12E
12C
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
QUESTÕES
AC
ER
TO
S
GRÁFICO 12. Respostas observadas do Questionário Diagnóstico
A Tabela 6 representa as respostas consideradas corretas dadas pelos
alunos ao responderem o Questionário Diagnóstico.
10
2
TABELA 6: RESPOSTAS OBSERVADAS NO QUESTIONÁRIO DIAGNÓSTICO
103
2.3.15 Análise das respostas observadas do Questionário Diagnóstico
De acordo com as respostas observadas, pudemos verificar que os alunos
mostraram um bom domínio do conceito das variáveis, porém estes apresentaram
as mesmas dificuldades apontadas por Tauber (2001, p. 179) na diferenciação das
variáveis quantitativas discretas e quantitativas contínuas. O fato aponta que o
conceito deve ser discutido posteriormente em sala de aula.
Segundo Tauber (2001, p. 179) uma confusão muito comum é pensar que a
frequência é dada pela altura do retângulo, por confundir o histograma com um
gráfico de barras, sem considerar sua largura, que é determinada pela amplitude das
classes. Podemos observar que para responder à questão sobre a frequência dos
valores de um intervalo em um histograma, a maior parte dos alunos pensou dessa
maneira, esquecendo-se de observar que as larguras eram iguais, o que permitia
validar o raciocínio que fizeram.
As questões sobre os modelos matemáticos (três e quatro) buscavam verificar
se o aluno poderia identificar a aplicação de um modelo matemático. Tauber (2001,
p. 179) apontou que uma das possíveis dificuldades dos alunos é a de que poderiam
confundir o modelo teórico com um conjunto de dados reais.
Nessas questões, os resultados apresentados pelos alunos mostraram muitas
variações nas respostas e, em nossa opinião, entendemos que os alunos não
souberam responder à pergunta. Quando lhes foi perguntado sobre as
características de uma Distribuição Normal e sua representação (curva de
distribuição), responderam que tinha forma de sino e a variável que melhor se
aproximava de uma Distribuição Normal era a idade.
Quanto às questões seguintes, observamos que os alunos compreenderam-
nas razoavelmente, pois tratava-se de reconhecer qual tipo de variável era
adequada para uma Distribuição Normal; quais eram os parâmetros necessários
para determinar uma Distribuição Normal; suas características, como a da moda ser
igual à média; simetria; análise da curva em relação aos extremos de sua cauda e
interpretação dos intervalos de normalidade; bem como de justificar suas respostas.
104
Tauber (2001, p. 182-183) salienta que essas questões são importantes, por meio
delas, verifica-se a capacidade de argumentação dos alunos.
Os alunos participantes desta pesquisa desconheciam o tema da Distribuição
Normal, entendemos que conseguiram superar suas dificuldades ao argumentar com
suas palavras questões pertinentes ao tema da Distribuição Normal. Em outras
palavras, podemos inferir que os alunos, mesmo sem ter estudado “oficialmente” a
Distribuição Normal, já que não é um conteúdo do EM, puderam atribuir significado
às ideias exploradas, construindo argumentações adequadas para justificar suas
respostas.
105
CCCConclusãoonclusãoonclusãoonclusão
Ao final das análises, esperamos ter respondida nossa questão de pesquisa,
que procurou identificar “Quais as contribuições de uma sequência didática
baseada em resoluções de problemas e com a utilização da informática como
ferramenta na construção da ideia da Distribuição Normal a partir de uma
atividade de análise exploratória de dados”, com base na Teoria Antropológica do
Didático de Chevallard (1999), a partir das premissas levantadas na introdução deste
trabalho; nos trabalhos de Cohen e Chechille (1997), que versam sobre a avaliação
da simulação, produção e interpretação de exercícios interativos; e na adaptação do
questionário proposto por Tauber (2001).
Conforme os resultados obtidos na sequência didática aplicada neste trabalho,
concluímos que as contribuições de nossa sequência didática na construção da ideia
da Distribuição Normal foram as seguintes:
• Após as atividades, os alunos reconheceram os parâmetros média e
desvio-padrão, como elementos necessários para representar uma
Distribuição Normal;
• Passaram a reconhecer os tipos de variáveis qualitativa e quantitativa;
• Souberam reconhecer a representação de uma Distribuição Normal, como
uma curva em forma de sino, assintótica ao eixo horizontal;
• Entenderam o conceito de simetria da curva normal em relação aos
valores médios;
• Perceberam que a área abaixo da curva refere-se à probabilidade de
ocorrer um determinado evento;
• Entenderam que, dentro do intervalo de ];[ σµσµ 33 +− está a quase
totalidade dos dados.
106
Com esses conceitos, inferimos que os alunos passaram a ter a “ideia da
Distribuição Normal”, a partir das atividades realizadas em sala de aula, ou seja,
perceberam também a noção da relação existente entre estatística e probabilidade.
O propósito inicial de nossa pesquisa era que nossos alunos pudessem ter,
além da ideia descrita anteriormente sobre a Distribuição Normal, também,
condições de relacionar a probabilidade com os intervalos de normalidade (ou Regra
dos Intervalos Normais), 68%, 95% e 99%.
A relação implicava a identificação das probabilidades existentes entre os
intervalos propostos na atividade com exercícios interativos, o que pudemos
observar que não aconteceu.
No início da pesquisa, pensávamos que esse conceito seria assimilado com
tranquilidade pelos alunos. Creditamos o fato dos alunos não conseguirem
relacionar a probabilidade da área abaixo da curva desses intervalos ao curto
espaço de tempo da aplicação de nossa sequência.
Na análise a priori da atividade com exercícios interativos, deixamos uma
possível solução por meio da contagem dos retângulos com o conceito de regra de
três simples, porém não foi possível realizar uma discussão mais aprofundada com
os alunos novamente pela falta de tempo e, também, porque presumimos que eles
conseguiriam ‘enxergar’ uma solução para essa atividade. Dessa forma, esta
discussão fica para uma futura investigação por meio do seguinte questionamento:
“É possível que um aluno interprete a regra dos intervalos de normalidade por
meio de exercícios interativos?”.
A técnica dos exercícios interativos merece ser explorada com maior
profundidade, pois acreditamos que os resultados tragam ganhos cognitivos
significativos no tocante à aprendizagem da Distribuição Normal.
107
FFFFuturos uturos uturos uturos TTTTrabalhosrabalhosrabalhosrabalhos
No decorrer de nosso trabalho, surgiram várias questões relacionadas a seu
tema que não foram abordadas aqui. Portanto, deixamos estas questões como
sugestões para futuros trabalhos, além daquela sobre os exercícios interativos,
comentada na conclusão do presente trabalho.
No que diz respeito aos softwares destinados ao ensino de estatística,
levantamos as seguintes questões:
1. Quais softwares estatísticos existentes são adequados ao ensino de
estatística e probabilidade aos alunos de um curso superior?
2. Quais softwares estatísticos existentes são adequados ao ensino de
estatística e probabilidade aos alunos do EM?
No presente trabalho, abordamos as simulações somente por meio da
planilha do Excel e acreditamos que a pesquisa de novos softwares adaptados à
nossa sequência didática mostrarão resultados significativos do ponto de vista dos
exercícios interativos.
Para finalizar este estudo, poderíamos replicar esse trabalho com um número
maior de alunos, por exemplo, uma sala de 3.º ano do EM, e após as análises,
realizar a comparação dos resultados obtidos.
108
RRRReferênciaseferênciaseferênciaseferências
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110
AAAAnexonexonexonexo
Anexo A: Folha de Autorização
Pontifícia Universidade Católica de São Paulo
Programa de Estudos Pós-graduados em Educação Matemática
Mestrado Profissional
Professor Responsável: Osmar Antonio de Lima
Professora Orientadora: Prof.ª Dr.ª CILEDA DE QUEIROZ E SILVA COUTINHO
Autorizo a coleta dos dados dos exercícios relativos à aplicação da sequência didática, para
fins de pesquisa, sendo utilizada exclusivamente para análise da pesquisa intitulada “Distribuição Normal: uma introdução voltada ao EM por simulações via planilha eletrônica e exercícios interativos”, visando a melhoria do ensino de Matemática. Somente terão acesso
aos dados o aplicador e seu orientador.
Nome do aluno voluntário: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12.