PROGRAMA FRANCISCO EDUARDO MOURÃO SABOYA DE

PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA MECÂNICA

ESCOLA DE ENGENHARIA

UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE

Dissertação de Mestrado

ANÁLISE DA DEFORMAÇÃO CÍCLICA

PROGRESSIVA EM TUBULAÇÕES

ELASTO-VISCOPLÁSTICAS

JADYR MACABÚ ARAÚJO PERES

FEVEREIRO DE 2015

JADYR MACABÚ ARAÚJO PERES

ANÁLISE DA DEFORMAÇÃO CÍCLICA PROGRESSIVA

EM TUBULAÇÕES ELASTO-VISCOPLÁSTICAS

Dissertação de Mestrado apresentada ao

Programa Francisco Eduardo Mourão

Saboya de Pós-Graduação em Engenharia

Mecânica da UFF como parte dos requisitos

para a obtenção do título de Mestre em

Ciências em Engenharia Mecânica

Orientador: HERALDO SILVA DA COSTA MATTOS, D.Sc.

UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE

NITERÓI, 03 DE FEVEREIRO DE 2015

Ficha Catalográfica elaborada pela Biblioteca da Escola de Engenharia e Instituto de Computação da UFF

P437 Peres, Jadyr Macabú Araújo

Análise da deformação cíclica progressiva em tubulações elasto-

viscoplásticas / Jadyr Macabú Araújo Peres. – Niterói, RJ : [s.n.],

2015.

89 f.

Dissertação (Mestrado em Engenharia Mecânica) - Universidade

Federal Fluminense, 2015.

Orientador: Heraldo Silva da Costa Mattos.

1. Elasto-viscoplasticidade cíclica. 2. Tubulação. 3. Deformação

(mecânica). I. Título.

CDD 620.105

ANÁLISE DA DEFORMAÇÃO CÍCLICA PROGRESSIVA

EM TUBULAÇÕES ELASTO-VISCOPLÁSTICAS

Jadyr Macabú Araújo Peres

Esta Dissertação é parte dos pré-requisitos para a obtenção do título de

MESTRE EM ENGENHARIA MECÂNICA

Área de concentração: Mecânica dos Sólidos

Aprovada em sua forma final pela Banca Examinadora formada pelos professores:

Prof. Heraldo Silva da Costa Mattos (DSc.)

Universidade Federal Fluminense

(Orientador)

Prof. João Marciano Laredo dos Reis (Ph.D.)

Universidade Federal Fluminense

Prof. Pedro Manuel Calas Lopes Pacheco (DSc.)

Centro Federal de Educação Tecnológica Celso Suckow da Fonseca - RJ

Dedico este trabalho

aos meus pais,

aos professores,

e a todos meus amigos

Agradecimentos

À Universidade Federal Fluminense.

Ao Professor Heraldo da Costa Mattos pelos muitos anos de orientação, pelas palavras de

incentivo e apoio constante.

À CAPES por ter me consedido a Bolsa de Mestrado.

Ao PGMEC que proporcionou a oportunidade de aumentar meus conhecimentos.

Aos meus amigos de Universidade que me acompanharam nessa trajetória, em especial

Tobias Campos, Raphael Benevides, Felipe Monteiro, Daniel Gama, Eduardo Malhano,

Henrique Viestel, Rafael Rocha, Luiz Gustavo Medeiros, Thiago Jahn, Hélio

Quintanilha e Daniel Stussi.

A todos os engenheiros com os quais tive a oportunidade de trabalhar, em especial Celso

Carnevale por todos os conselhos e ensinamentos.

E aos meus pais, Dalmir Peres e Eliete Macabú A. Peres, e ao meu avô Jadyr Araújo, pelo

incentivo a minha formação acadêmica. Pelo incansável esforço na minha formação como

cidadão, fornecendo todos os meios necessários para meu desenvolvimento pessoal e

profissional.

RESUMO

O presente trabalho tem como objetivo a simulação numérica do fenômeno de

deformação plástica progressiva (“ratcheting”) em tubulações elasto-viscoplásticas

com paredes finas sob pressão interna e submetidas à uma carga axial cíclica. Entender

o comportamento desse tipo de estrutura sob diferentes níveis de carregamento é

fundamental em um grande número de aplicações de engenharia, como no projeto de

componentes estruturais na indústria química e em reatores nucleares. Dependendo do

endurecimento cinemático e dos carregamentos envolvidos, a tubulação pode

apresentar uma deformação progressiva na direção radial, a qual pode levar à sua falha

em operação. Diferentes equações constitutivas foram propostas para modelar de forma

realística o endurecimento cinemático sob esse tipo de carregamento. O modelo de

Chaboche com endurecimento cinemático e isotrópico não-lineares foi adotado na

análise. Uma mudança de variáveis permite associar as componentes radiais e axiais

da deformação plástica e da tensão às componentes na direção tangencial, reduzindo a

complexidade do problema. O problema é reduzido à um sistema de equações

diferenciais ordinárias e um sistema de diferenças finitas semi-implícito é usado para

aproximar as equações resultantes.

Palavras-chave: ratcheting; elasto-viscoplasticidade

ABSTRACT

The present study is concerned with the numerical simulation of the ratcheting

behaviour of elasto-viscoplastic thin-walled pipes under internal pressure and

subjected to cyclic axial loading. Understanding the behaviour of this kind of structure

at different load levels is of critical importance in a range of engineering applications

such as in the design of structural components of power and chemical reactors.

Depending on the kinematic hardening, the pipe may exhibit a ratcheting behaviour

in the circumferential direction, which leads to a progressive accumulation of

deformation. Many different constitutive theories have been proposed to model the

kinematic hardening under such kind of loading history. The model of Chaboche with

nonlinear isotropic and kinematic hardening is adopted in the analysis. A change of

variable allows relating the axial and radial stress and plastic strain components with

the ones in the circumferential direction, making the simulation easier. The problem

is reduced to a nonlinear system of ordinary differential equations and a simple

semi-implicit finite difference scheme is used to approximate the model equations.

Key-Words: ratcheting; elasto-viscoplastic

SUMÁRIO

RESUMO ...................................................................................................................... 4

ABSTRACT .................................................................................................................. 5

Capítulo 1 Introdução .................................................................................................. 13

Capítulo 2 Observações Fenomenológicas .................................................................. 16

2.1. ENSAIOS DE CARGA E DESCARGA ........................................................... 17

2.2. ENSAIOS CÍCLICOS ....................................................................................... 19

2.3. ENDURECIMENTO CINEMÁTICO E ISOTRÓPICO .................................. 23

Capítulo 3 Equações Constitutivas .............................................................................. 25

3.1. EQUAÇÕES CONSTITUTIVAS GERAIS ..................................................... 25

3.2. EQUAÇÕES CONSTITUTIVAS NO ESPAÇO DAS DIREÇÕES

PRINCIPAIS ................................................................................................................ 27

3.3. REPRESENTAÇÃO GEOMÉTRICA DO CRITÉRIO DE VON MISES

GENERALIZADO ...................................................................................................... 30

3.4. EQUAÇÕES CONSTITUTIVAS UNIDIMENSIONAIS ................................ 32

3.5. EQUAÇÕES CONSTITUTIVAS NO ESPAÇO DAS DIREÇÕES

PRINCIPAIS APLICADAS À UM TUBO DE PAREDES FINAS ........................... 34

Capítulo 4 Algoritmos para solução numérica ............................................................ 37

4.1. DISCRETIZAÇÃO NO TEMPO – MODELO UNIAXIAL ............................ 37

4.1.1. Elasto-plasticidade ..................................................................................... 38

4.1.2. Elasto-viscoplasticidade ............................................................................. 39

4.1.3. Algoritmo para solução uniaxial ................................................................ 39

4.2. DISCRETIZAÇÃO NO TEMPO – VASO DE PRESSÃO DE PAREDES

FINAS .......................................................................................................................... 41

4.2.1. Elasto-plasticidade ..................................................................................... 42

4.2.2. Elasto-viscoplasticidade ............................................................................. 43

4.2.3. Algoritmo para solução de vaso de pressão ............................................... 44

Capítulo 5 Resultados .................................................................................................. 46

5.1. CASO UNIAXIAL ............................................................................................ 46

5.1.1. Histórico de carregamento – caso uniaxial ................................................ 47

5.1.2. Carregamento simétrico ( 1.7A , 0C ) ........................................... 48

5.1.3. Carregamento cíclico (A=1.5, C=0.2) ....................................................... 49

5.1.4. Carregamento cíclico (A=1.7 e C=0.4) ...................................................... 51

5.2. VASO DE PRESSÃO DE PAREDES FINAS ................................................. 53

5.2.1. Histórico de carregamento – caso vaso de pressão .................................... 54

5.2.2. Carregamento axial simétrico e pressão interna ( 1.3A , 0C ) ........ 55

5.2.3. Carregamento axial e pressão interna ( 1.5A , 0.2C ) ..................... 61

5.2.4. Carregamento axial e pressão interna ( 1.7A , 0.4C ) .................... 64

5.3. ESTUDO DO PASSO NO TEMPO ................................................................. 67

Capítulo 6 Conclusões e Perspectivas Futuras ............................................................ 70

Capítulo 7 Referências Bibliográficas ......................................................................... 72

ANEXO 1 ........................................................................................................................ 75

ANEXO 2 ........................................................................................................................ 78

Lista de Figuras

Figura 2.1 - Corpo de prova solicitado axialmente .......................................................... 16

Figura 2.2 - Carga e descarga na região elástica .............................................................. 17

Figura 2.3 - Variação do Módulo de Elasticidade com a Temperatura [13] ................... 18

Figura 2.4 - Carga e descarga na região Plástica ............................................................. 18

Figura 2.5 - Influência da taxa de carregamento na curva tensão – deformação ............. 19

Figura 2.6 - Ensaio cíclico com tensão e deformação prescritas, respectivamente ......... 20

Figura 2.7 - Endurecimento – Variação do limite de proporcionalidade com a

plastificação ..................................................................................................................... 20

Figura 2.8 - Fenômeno de amolecimento cíclico: (a) deformação controlada; (b) tensão

controlada [13] ................................................................................................................. 21

Figura 2.9 - Fenômeno de endurecimento cíclico: (a) deformação controlada; (b) tensão

controlada [13] ................................................................................................................. 22

Figura 2.10 - Fenômeno de deformação plástica cíclica progressiva (Ratchetting) ........ 23

Figura 2.11 – Curva Tensão x deformação – Representação gráfica dos endurecimentos

cinemático e isotrópico .................................................................................................... 24

Figura 3.1 - Representação do critério de von Mises generalizado na base das direções

principais do tensor desviador ......................................................................................... 31

Figura 3.2- Representação plana do critério de von Mises generalizado ........................ 32

Figura 3.3 – Carregamento na tubulação ......................................................................... 34

Figura 5.1 – Histórico de carregamento ........................................................................... 47

Figura 5.2 – Tensão x deformação plástica ..................................................................... 48

Figura 5.3 – Deformação plástica x tempo ...................................................................... 48

Figura 5.4 – Deformação plástica acumulada x tempo .................................................... 49

Figura 5.5 - Tensão x deformação plástica ...................................................................... 49

Figura 5.6 - Deformação plástica x tempo ....................................................................... 50

Figura 5.7 – Deformação plástica acumulada x tempo .................................................... 50

Figura 5.8 - Tensão x deformação plástica acumulada .................................................... 51

Figura 5.9 - Tensão x deformação plástica ...................................................................... 52

Figura 5.10 - Deformação plástica x tempo ..................................................................... 52

Figura 5.11 – Deformação plástica acumulada x tempo .................................................. 53

Figura 5.12 – Histórico de carregamento axial ................................................................ 54

Figura 5.13 – Histórico de carregamento circunferencial ................................................ 54

Figura 5.14 - Sθ x deformação plástica em θ ................................................................... 55

Figura 5.15 – SZ x deformação plástica em Z ................................................................. 56

Figura 5.16 – Deformação plástica em θ x tempo ........................................................... 56

Figura 5.17 – Deformação plástica em Z x tempo ........................................................... 57

Figura 5.18 – Deformação plástica acumulada x tempo .................................................. 57

Figura 5.19 - Sθ x deformação plástica em θ ................................................................... 58

Figura 5.20 - SZ x deformação plástica em Z .................................................................. 58

Figura 5.21 – Deformação plástica em θ x tempo ........................................................... 59

Figura 5.22 – Deformação plástica em Z x tempo ........................................................... 59

Figura 5.23 – Deformação plástica acumulada x tempo .................................................. 60

Figura 5.24 – Tensão equivalente de von Mises x Deformação plástica acumulada ...... 60

Figura 5.25 – Sθ x deformação plástica em θ .................................................................. 61

Figura 5.26 - SZ x deformação plástica em Z .................................................................. 61

Figura 5.27 - Deformação plástica em θ x tempo ............................................................ 62

Figura 5.28 - Deformação plástica em Z x tempo ........................................................... 62

Figura 5.29 – Deformação plástica acumulada x tempo .................................................. 63

Figura 5.30 – Tensão equivalente de von Mises x Deformação plástica acumulada ...... 63

Figura 5.31 – Sθ x deformação plástica em θ .................................................................. 64

Figura 5.32 - SZ x deformação plástica em Z .................................................................. 64

Figura 5.33 - Deformação plástica em θ x tempo ............................................................ 65

Figura 5.34 - Deformação plástica em Z x tempo ........................................................... 65

Figura 5.35 - Deformação plástica acumulada x tempo .................................................. 66

Figura 5.36 - Tensão equivalente de von Mises x Deformação plástica acumulada ....... 66

Figura 5.37 - Carregamento seguro / Possibilidade de falha ........................................... 67

Figura 5.38 - Comparação passo no tempo – Deformação plástica circunferencial pelo

tempo ............................................................................................................................... 69

Figura 5.39 - Comparação passo no tempo – Deformação plástica acumulada pelo tempo

......................................................................................................................................... 69

Lista de Tabelas

Tabela 5.1 – Dados simulações para estudo do passo no tempo ..................................... 68

13

Capítulo 1 Introdução

Quando um componente metálico é submetido a ciclos de carga mecânica além

do limite elástico, muitos fenômenos importantes podem ocorrer. Existem diferentes

situações em engenharia nas quais a combinação de uma carga primária constante com

uma carga secundária pode levar ao colapso incremental ou ao que é conhecido como

ratcheting (esse termo clássico em inglês para o fenômeno de deformação cíclica

progressivas será usado em itálico ao longo desse trabalho). Por exemplo, tubulações

pressurizadas sob flexão reversa [1] ou tubulações pressurizadas submetidas a um

carregamento axial cíclico [2]. Essas estruturas sob tal combinação de carregamentos

apresentam um aumento crescente da deformação na direção tangencial (e um consequente

aumento incremental de seu diâmetro).

O estudo do comportamento desse tipo de estrutura é muito importante em várias

aplicações de engenharia, como no sistema primário de transferência de calor em usinas

nucleares, por exemplo. A confiabilidade das análises de integridade estrutural dependem

fortemente da adequação das equações constitutivas consideradas. O desenvolvimento de

equações constitutivas mais realísticas para a elasto-viscoplasticidade vem tomando um

grande impulso nas duas últimas décadas. Diversos trabalhos vêm sendo desenvolvidos

procurando desenvolver adequadamente os fenômenos de plasticidade dependente do

tempo, além do endurecimento causado pela plastificação. Uma modelagem adequada do

endurecimento e do comportamento viscoso é fundamental para se obter uma previsão

confiável das tensões e deformações, as quais são fundamentais em qualquer critério de

avaliação da integridade estrutural. Desde os clássicos artigos de Chaboche (ver [3], por

exemplo), a maioria dos trabalhos tratam de aperfeiçoar o efeito do endurecimento

cinemático nos modelos constitutivos [4 - 7]. Em [4], um modelo completo foi

14

desenvolvido para a análise do fenômeno de ratcheting em aços 316 L à temperatura

ambiente. Nesse estudo, uma lei particular de endurecimento cinemático foi escolhida

para descrever adequadamente a forma das curvas tensão-deformação em carregamentos

cíclicos. A principal preocupação desses estudos, como discutido em [5], era propor leis

de comportamento que induzissem menos acúmulo de deformação durante o fenômeno de

ratcheting do que a clássica regra de Armstrong e Frederick. Diferentes modelos já foram

propostos ([6], [7]) e uma breve discussão pode ser encontrada em [8].

Em particular, muitos trabalhos experimentais e numéricos sobre o fenômeno de

ratcheting em tubulações foram feitos nos últimos anos [1, 8 - 11] e uma revisão detalhada

pode ser encontrada em [11]. Embora critérios de integridade para tubulações

pressurizadas sob carregamentos severos possam ser encontrados em códigos [12], até o

presente momento os modelos constitutivos ainda não são capazes de uma descrição

adequada do comportamento não-linear complexo observado nesses problemas. Além

disso, a análise dos campos de tensão e de deformação requerem o uso de códigos

numéricos complexos, o que pode ser uma limitação para o uso efetivo dessas teorias por

engenheiros e projetistas.

O objetivo deste trabalho é de dar continuidade ao estudo desenvolvido em [8] no

contexto da elasto-plasticidade. Ele dá uma contribuição a mais no desenvolvimento de

técnicas simplificadas para o estudo de deformações cíclicas progressivas em estruturas

elasto-viscoplasticas estaticamente determinadas. Estruturas metálicas isostáticas são

aquelas em que o estado de tensão atuante depende somente dos carregamentos externos

e da geometria da estrutura. Exemplos deste tipo de estrutura são as treliças isostáticas,

vigas e os vasos de pressão de paredes finas.

Neste trabalho é estudado o problema particular de vasos de pressão de paredes

finas com pressão interna constante e submetido a uma carga axial cíclica. Este tipo de

estrutura, por suas particularidades geométricas, pode ter o campo de tensão aproximado

de uma forma que independe do material considerado. As tensões dependem apenas da

geometria e dos carregamentos externos e o problema de determinar a evolução das

deformações plásticas envolvidas se reduz a solução de um sistema de equações

diferenciais ordinárias não lineares.

Inicialmente são discutidos alguns aspectos fenomenológicos. Em seguida, é feita

uma breve apresentação da teoria constitutiva geral, onde é apresentado o sistema de

equações constitutivas generalizadas para o R3, posteriormente particularizadas para o

espaço das direções principais. Na sequência é apresentado um algoritmo para a

15

aproximação dessas equações seja no caso uniaxial, seja para o problema da tubulação de

paredes finas. Com uma simples mudança de variáveis, é possível verificar que o problema

do duto pressurizado submetido à deformação axial cíclica é praticamente idêntico ao

problema uniaxial. Uma mudança de variáveis permite verificar que as componentes da

deformação plástica são acopladas, o que permite estudar o problema considerando apenas

a componente na direção tangencial.

Simulações numéricas considerando-se um aço inoxidável 316 L são apresentadas

mostrando que, em certas circunstâncias, o fenômeno de ratcheting pode levar à falha da

estrutura e, consequentemente, dando meios de buscar evitá-la num projeto.

16

Capítulo 2 Observações Fenomenológicas

Neste capítulo serão abortados os principais comportamentos macroscópicos de

corpos de prova metálicos observados em ensaios uniaxiais. A ênfase é dada na análise de

carregamentos cíclicos que causem uma deformação permanente mensurável no corpo de

prova.

Seja então um corpo de prova (CP) de seção transversal 𝐴 e comprimento útil 𝐿

solicitado da seguinte maneira:

Figura 2.1 - Corpo de prova solicitado axialmente

Neste tipo de ensaio é imprescindível que se conheça a geometria do corpo de

prova. No lugar da força 𝐹(𝑡) e do alongamento ∆𝐿(𝑡), as váriáveis 𝜎(𝑡) e 휀(𝑡), tensão e

deformação respectivamente, serão adotadas. Desta forma tem-se:

𝜎(𝑡) =𝐹(𝑡)

𝐴 (2.1)

17

휀(𝑡) =∆𝐿(𝑡)

𝐿 (2.2)

2.1. ENSAIOS DE CARGA E DESCARGA

Os ensaios de carga e descarga são caracterizados por submeter um corpo de prova

a um carregamento cíclico onde a tensão aplicada nunca ultrapassa a tensão de ruptura do

material.

Considerando inicialmente o caso onde um corpo de prova sofre um uma força 𝐹

que aumenta até um limite e posteriormente tem seu valor diminuido até zero, podem ser

verificadas duas situações distintas. Um comportamento linear entre 𝜎(𝑡) e 휀(𝑡) se o valor

da tensão for sempre menor do que o limite de proporcionalidade 𝜎0, como pode ser

observado na figura abaixo.

Figura 2.2 - Carga e descarga na região elástica

Esta relação linear é dada por:

𝜎(𝑡) = 𝐸 휀(𝑡) (2.3)

Onde o Módulo de Elasticidade, ou Módulo de Young, 𝐸 domaterial é dado pela

equação (2.3). Este não éinfluenciado pela velocidade do carregamento a qual o corpo de

prova é submetido, entretanto pode variar bruscamente com a temperatura.

18

Figura 2.3 - Variação do Módulo de Elasticidade com a Temperatura [13]

Outro caso que pode ser observado acontece quando a tensão aplicada sobre o

corpo de prova é superior em módulo a tensão limite de proporcionalidade 𝜎0, desta forma

verifica-se uma relação não linear entre tensão e deformação. No descarregamento a curva

tensão versus deformação volta a ser uma reta com inclinação igual ao Módulo de

elasticidade, posteriormente, após a descarga completa é possível perceber que há ainda

uma deformação residual 휀𝑝, deformação plástica ou permanente.

Figura 2.4 - Carga e descarga na região Plástica

Logo a deformação total associada a um nível de tensão acima do limite de

proporcionalidade pode ser expressa em duas parcelas, a deformação elástica 휀𝑒 e a

deformação plástica 휀𝑝.

19

휀 = 휀𝑒 + 휀𝑝 (2.4)

휀𝑒 =𝜎

𝐸⟹ 𝜎 = 𝐸(휀 − 휀𝑝) (2.5)

Adicionalmente é importante ressaltar que dependendo da temperatura a curva

tensão – deformação será função da velocidade do carregamento, ou seja, 휀̇. De forma

geral esse fonômeno é observado quando a temperatura absoluta 𝜃 for maior do que um

terço da temperatura absoluta de fusão 𝜃𝐹, quando o material passa a sofrer influência de

efietos viscosos.

Figura 2.5 - Influência da taxa de carregamento na curva tensão – deformação

Esta dependência da taxa de carregamento pode ser observada mesmo à

temperatura ambiente em aços austeníticos, como será apresentado posteriormente em

mais detalhes no presente estudo.

2.2. ENSAIOS CÍCLICOS

Existem duas possibilidades para realização de ensaios cíclicos, Figura 2.6, ensaio

com força (tensão) prescrita, ou ensaio com alongamento (deformação) prescrito. O

ensaio, seja ele com tensão ou deformação prescrita, pode ser feito de várias formas

(triangular, senoidal etc) e com diferentes valores médios e iniciais. Adicionalmente é

importante que se tomem alguns cuidados com o ensaio; como solicitar o corpo de prova

de forma que não ocorra flambagem durante a compressão e utilizar frequências baixas

durante o carregamento para evitar efeitos de propagação ondas que causem deformações

não homogêneas.

20

Nos comentários feitos a seguir sempre é considerado um corpo de prova “virgem”

e que os ensaios não apresentam influência dos fenômenos de variação de temperatura

nem envelhecimento.

Figura 2.6 - Ensaio cíclico com tensão e deformação prescritas, respectivamente

Neste tipo de ensaio a evolução da resposta cíclica é estudada obtendo-se a curva

tensão (𝜎) versus deformação (휀). De forma geral após alguns ciclos a curva tende a

estabilizar e pode-se, desta forma, obter os parâmetros para modelagem do comportamento

do material. Em um carregamento cíclico de carga e descarga com amplitude de

carregamento crescente é possível perceber que o limite de proporcionalidade é afetada

pela plastificação. A tensão de proporcionalidade no início de cada novo ciclo é sempre

maior do que a tensão 𝜎0, caracterizando o período de endurecimento.

Figura 2.7 - Endurecimento – Variação do limite de proporcionalidade com a

plastificação

21

É importante ressaltar que havendo evolução da deformação plástica o limite de

proporcionalidade a tração (𝜎𝐸𝑇) e o limite de proporcionalidade a compressão (𝜎𝐸𝐶) são

alterados a cada ciclo e não são, necessariamente, iguais, ou seja, a plastificação altera não

somente o limite de proporcionalidade a tração mas também o a compressão, induzindo

uma anisotropia no material. Este fenômeno é conhecido como efeito Bauschinger. De

forma geral após uma tração o limite de proporcionalidade a tração aumenta e o limite de

proporcionalidade a compressão é reduzido.

Em ensaios cíclicos de tensão – compressão a maioria das ligas metálicas sofre

uma variação nas suas propriedades de endurecimento. Estas podem endurecer ou

amolecer dependendo do material, temperatura e condições iniciais.

O amolecimento cíclico ocorre quando a variação de ∆𝜎 decresce durante

sucessivos ciclos sob deformação controlada, ou quando a variação de ∆휀 aumenta durante

sucessivos ciclos sob tensão controlada. Por outro lado o endurecimento cíclico

corresponde ao crescimento da variação de ∆𝜎 durante ciclos com deformação controlada

ou quando há uma diminuição na variação de ∆휀 em um ensaio com tensão controlada.

Figura 2.8 - Fenômeno de amolecimento cíclico: (a) deformação controlada; (b)

tensão controlada [13]

22

Figura 2.9 - Fenômeno de endurecimento cíclico: (a) deformação controlada; (b)

tensão controlada [13]

Adicionalmente, se um ensaio com tensão prescrita não for puramente alternado é

possível que não haja resposta periódica (estabilização), ocorrendo então um fenômeno de

deformação plástica cíclica progressiva (Ratchetting) até a ruptura. Neste caso, tanto a

amplitude de deformação plástica |휀𝑝| quanto a deformação plástica acumulada 𝑝

aumentam progressivamente.

23

Figura 2.10 - Fenômeno de deformação plástica cíclica progressiva (Ratchetting)

2.3. ENDURECIMENTO CINEMÁTICO E ISOTRÓPICO

A Observação dos fenômenos de endurecimento ou amolecimento durante ensaios

cíclicos motivou a introdução de duas novas variáveis, onde ambas são funções da

evolução dos limites de proporcionalidade trativo (𝜎𝐸𝑇) e compressivo (𝜎𝐸𝐶).

Desta forma é possível dizer resumidamente que o endurecimento cinemático

modela a anisotropia induzida pela plastificação enquanto o endurecimento isotrópico

modela como o limite de proporcionalidade varia com a plastificação.

24

Figura 2.11 – Curva Tensão x deformação – Representação gráfica dos

endurecimentos cinemático e isotrópico

25

Capítulo 3 Equações Constitutivas

As equações constitutivas que modelam o comportamento de materiais elasto-

plásticos e elasto-viscoplástico cíclicas utilizadas no presente trabalho foram apresentadas

anteriormente por CHABOCHE e LEMAITRE [13]. Neste capítulo serão apresentadas de

forma resumida esses modelos, assim como discutidas suas principais características.

O conjunto de variáveis internas responsáveis pela caracterização do

comportamento de materiais elasto-plásticos e elasto-viscoplásticos é composto pelas

seguintes variáveis: 0, , , , ,pY X K e N , segundo [13].

3.1. EQUAÇÕES CONSTITUTIVAS GERAIS

Abaixo são descritas algumas equações que modelam o comportamento multiaxial

de um material elasto-plástico ou elasto-viscoplástico.

Relação tensão-deformação:

( - )1 ( - ) ou, inversamente(1 )(1 - 2 ) (1 )

(1 )( - ) - ( )1

p p

p

E ETr

TrE E

(3.1)

Onde é o tensor tensão, é o tensor deformação, p é o tensor deformação

plástica e 1 é o tensor identidade. Usa-se o símbolo (•)Tr para o traço de um tensor ( ).

E é o módulo de Young e o coeficiente de Poisson.

Adicionalmente ainda são necessárias as leis de evolução apresentadas abaixo para

caracterização completa dos materiais elasto-plásticos e elasto-viscoplásticos.

26

32

pSpJ

(3.2)

23

pX a bXp (3.3)

0; 0; 0N

PLASTICIDADE p F pF

FVISCOPLASTICIDADE p

K

(3.4)

Com,

F YJ (3.5)

332

11

3( ) ( )

2 ( )-ij ijji

J S X S X S X (3.6)

0 1 21 exp( )Y v v p (3.7)

Onde

𝜎0, 𝑣1, 𝑣2, 𝑎, 𝑏, 𝐾 e 𝑁 são constantes positivas que caracterizam o

comportamento plástico do material e que podem ser obtidas a partir de

ensaios uniaxiais cíclicos;

𝑆 é o desviador da tensão, dado por:

1( )1

3S Tr

(3.8)

A variável 𝑋 é chamada de endurecimento cinemático e modela a

anisotropia induzida pela plastificação.

A variável 𝑌 é chamada de endurecimento isotrópico e modela como o

limite de proporcionalidade varia com a plastificação.

𝐹 é usualmente chamada de função de plastificação e a variável 𝐽 de tensão

equivalente de von Mises. A lei de evolução (3) caracteriza as chamadas

equações de complementaridade. Se 𝐹 < 0 tem-se que 𝐽 < 𝑌 e de (3.4) é

possível concluir que �̇� = 0, seja para o comportamento elasto-plástico,

27

seja para o comportamento elasto-viscoplástico. Portanto, usando-se (3.2)

conclui-se que 휀̇𝑝 = 0 (não há escoamento e o material se comporta

elasticamente). No caso da plasticidade, só haverá escoamento (휀̇𝑝 ≠ 0)

quando 𝐹 = 0. Para a viscoplasticidade, haverá escoamento quando 𝐹 ≥ 0.

O critério 𝐹 < 0 é chamado de critério de von Mises generalizado. Se 𝑌 =

𝜎0 então a condição 𝐽 < 𝑌 nada mais é do que o critério de von Mises

clássico que estabelece que não haverá escoamento se:

1/2

03( )

2J S S

A variável p é usualmente chamada de deformação plástica acumulada.

No caso da plasticidade p pode ser interpretado como o multiplicador de

Lagrange associado à restrição 0F . À partir da equação (3.2) é possível

verificar que:

0

2 2( ) ( 0) ( ) ( )

3 3

tp p p p

t

p p t p t d (3.9)

Para este estudo é tomado como base um material virgem, ou seja, um

material com as seguintes condições iniciais:

( 0) 0p t ; ( 0) ( 0) 0pt X t ; Y( 0) yt (3.10)

3.2. EQUAÇÕES CONSTITUTIVAS NO ESPAÇO DAS DIREÇÕES PRINCIPAIS

Para obter uma simplificação das equações constitutivas gerais para o caso de vasos

de pressão é interessante que estas sejam representadas na base das direções principais do

tensor das tensões. Assim tanto a solução quanto o entendimento do problema se tornam

mais fáceis.

É possível demonstrar que, em um dado ponto do domínio, o tensor das tensões e

o seu desviador tem as mesmas direções principais (autovetores). Sendo assim, sejam 𝜎1,

𝜎2 e 𝜎3 os componentes principais (autovalores) do tensor das tensões e 𝑆1, 𝑆2 e 𝑆3 os

28

autovalores dos tensor desviador da tensão, é possível representar estes tensores da

seguinte forma:

𝜎 = [

𝜎1 0 00 𝜎2 00 0 𝜎3

] ; 𝑆 = [

𝑆1 0 00 𝑆2 00 0 𝑆3

] ; 𝑆𝑖 = 𝜎𝑖 −1

3𝑡𝑟 (𝜎) (3.11)

É possível verificar que se as leis de evolução forem válidas e as condições iniciais

de material virgem, estabelecidas anteriormente, forem atendidas, logo os tensores

deformação plástica 휀𝑝 e endurecimento cinemático 𝑋 terão as mesmas direções principais

que os tensores 𝜎 e, consequentemente, 𝑆. Sendo assim, sejam 휀1𝑝, 휀2

𝑝 e 휀3

𝑝 os componentes

principais (autovalores) do tensor deformação plástica e 𝑋1, 𝑋2 e 𝑋3 os autovalores dos

tensor endurecimento cinemático, é possível representar estes tensores da seguinte forma:

휀𝑝 = [

휀𝑝1 0 0

0 휀𝑝2 0

0 0 휀𝑝3

] ; 𝑋 = [

𝑋1 0 00 𝑋2 00 0 𝑋3

] (3.12)

Logo, reescrevendo as equações constitutivas na base das direções principais tem-

se:

𝜎𝑖 =𝜈𝐸

(1 + 𝜈)(1 − 2𝜈)∑(휀𝑗 − 휀𝑗

𝑝)

3

𝑗=1

+𝐸

(1 + 𝜈)(휀𝑖 − 휀𝑖

𝑝); 𝑖 = 1,2 𝑜𝑢 3 (3.13)

ou

(휀𝑖 − 휀𝑖𝑝) =

(1 + 𝜈)

𝐸𝜎𝑖 −

𝜈

𝐸∑(𝜎𝑗)

3

𝑗=1

; 𝑖 = 1,2 𝑜𝑢 3

e

휀𝑖�̇�

=3

2𝐽𝑆𝑔�̇�; 𝑖 = 1,2 𝑜𝑢 3 (3.14)

�̇�𝑖 = 𝑎휀𝑖�̇�

− 𝑏𝑋𝑖�̇�; 𝑖 = 1,2 𝑜𝑢 3 (3.15)

𝐽 = [3

2{(𝑆1 − 𝑋1)

2 + (𝑆2 − 𝑋2)2 + (𝑆3 − 𝑋3)

2}]

12⁄

(3.16)

Adicionalmente também pode-se representar a equação (3.9) nesta base.

29

�̇� = √2

3[(휀1̇

𝑝)2+ (휀2̇

𝑝)2+ (휀3̇

𝑝)2] (3.17)

Nota-se a partir das equações acima que as componentes principais do desviador

da tensão, do endurecimento cinemático e da deformação plástica não são independentes,

o que permite a seguinte simplificação.

𝑆𝑖

𝑆𝑗=

휀𝑖𝑝

휀𝑗𝑝 =

𝑋𝑖

𝑋𝑗; ∀|𝑖, 𝑗 = 1,2 𝑜𝑢 3 (3.18)

Como o traço do tensor desviador é nulo, tem-se que:

∑𝑆𝑖

3

𝑖=1

= ∑휀𝑖𝑝

3

𝑖=1

= ∑𝑋𝑖

3

𝑖=1

= 0 (3.19)

ou

𝑆3 = −(𝑆1 + 𝑆2); 휀3𝑝

= −(휀1𝑝

+ 휀2𝑝); 𝑋3 = −(𝑋1 + 𝑋2) (3.20)

Sendo assim, é possível reescrever as equações constitutivas (3.14) a (3.16) usando

apenas duas das três componentes principais de 𝑆, 휀𝑝, 𝑋, já que a terceira não é

independente.

휀1𝑝

=3

2𝐽𝑆1�̇� (3.21.1)

휀2𝑝

=3

2𝐽𝑆2�̇� (3.21.2)

�̇�1 = 𝑎휀1�̇�

− 𝑏𝑋1�̇� (3.22.1)

�̇�2 = 𝑎휀2�̇�

− 𝑏𝑋2�̇� (3.22.2)

𝑃𝐿𝐴𝑆𝑇𝐼𝐶𝐼𝐷𝐴𝐷𝐸 ⇒ �̇� ≥ 0; 𝐹 = 𝐽 − 𝑌 ≥ 0; �̇�𝐹 = 0 (3.23.1)

𝑉𝐼𝑆𝐶𝑂𝑃𝐿𝐴𝑆𝑇𝐼𝐶𝐼𝐷𝐴𝐷𝐸 ⟹ �̇� = ⟨𝐽 − 𝑌

𝐾⟩𝑁 (3.23.2)

30

3.3. REPRESENTAÇÃO GEOMÉTRICA DO CRITÉRIO DE VON MISES

GENERALIZADO

Tendo representado as equações constitutivas na base das direções principais é

possível fazer uma representação geométrica do critério de von Mises generalizado. A

partir da sua definição segue que para 𝐽 < 𝑌 ⟹ 휀𝑝 = 0, ou seja, se a tensão equivalente

de von Mises for menor do que o valor para o endurecimento isotrópico não há deformação

permanete ou plástica.

Partindo da definição (3.16), 𝐽 < 𝑌 implica que:

𝐽 = [3

2{(𝑆1 − 𝑋1)

2 + (𝑆2 − 𝑋2)2 + (𝑆3 − 𝑋3)

2}]

12⁄

< 𝑌

{(𝑆1 − 𝑋1)2 + (𝑆2 − 𝑋2)

2 + (𝑆3 − 𝑋3)2} < (√

2

3𝑌)

2

(3.24)

O que define uma esfera de raio √2 3⁄ 𝑌 centrada no ponto 𝑋 = (𝑋1, 𝑋2, 𝑋3) na

base das direções principais do tensor tensor desviador, como na figura abaixo. A expansão

da região elástica está relacionada com o endurecimento isotrópico 𝑌(𝑡), e a translação

dessa esfera está ligada ao endurecimento cinemático 𝑋 de uma esfera de raio inicial

√2 3⁄ 𝜎𝑦 (região elástica inicial).

31

Figura 3.1 - Representação do critério de von Mises generalizado na base das

direções principais do tensor desviador

Como visto em (3.20), estas relações podem permitem representar o Critério de

von Mises usando apenas duas componentes principais de 𝑆 e 𝑋, já que a terceira não é

independente. Ou seja, mesmo para estados triaxiais de tensão, pode ser representado num

plano. Analogamente à equação (3.24), pode-se descrever o critério de von Mises como

uma elipse inclinada em 45º da seguinte maneira.

[(𝑆1 − 𝑋1)2 + (𝑆2 − 𝑋2)

2 + (𝑆1 − 𝑋1)(𝑆2 − 𝑋2)] =𝑌2

3 (3.25)

Analogamente à representação em todas as três direções principais, essa elipse é

centrada no ponto 𝑋 = (𝑋1, 𝑋2). A expansão da região elástica está relacionada com o

endurecimento isotrópico 𝑌(𝑡), e a translação dessa elipse está ligada ao endurecimento

cinemático 𝑋.

32

Figura 3.2- Representação plana do critério de von Mises generalizado

3.4. EQUAÇÕES CONSTITUTIVAS UNIDIMENSIONAIS

Como premissa inicial do presente estudo foram considerados materiais

isotrópicos. Sendo assim, uma das maneiras de identificar os coeficientes das equações

constitutivas é através de ensaios uniaxiais, nos quais se supõe um estado uniaxial de

tensão. Logo os tensores tensão e deformação são dados da seguinte maneira.

𝜎 = [𝜎1(𝑡) = (

𝐹(𝑡)

𝐴0) 0 0

0 0 00 0 0

] ; 휀 =

[ 휀1(𝑥, 𝑡) = (

𝛿(𝑡)

𝐿0) 0 0

0 −𝜈∗휀1(𝑥, 𝑡) 0

0 0 −𝜈∗휀1(𝑥, 𝑡)]

(3.26)

Onde 𝐹(𝑡) é a força de tração / compressão aplicada no corpo de prova no instante

𝑡, 𝐿0 o comprimento da área de seção útil (𝐴0) e 𝛿(𝑡) o alongamento. 𝜈∗ é uma constante

tal que 0 < 𝜈∗ < 0.5. Logo, seguindo a definição (3.11), o tensor desviador é dado da

forma abaixo:

𝑆 =

[ 𝑆1 =

2

3𝜎1 0 0

0 𝑆2 = −1

3𝜎1 0

0 0 𝑆3 = −1

3𝜎1]

(3.27)

Logo, das equações (3.18) e (3.20), segue que:

33

휀2𝑝

= 휀3𝑝

= −1

2휀1

𝑝 𝑒 𝑋2 = 𝑋3 = −

1

2𝑋1 (3.28)

Tem-se, portanto, em uma notação matricial:

휀𝑝 =

[ 휀𝑝

1 0 0

0 휀𝑝2 = −

1

2휀𝑝

1 0

0 0 휀𝑝3 = −

1

2휀𝑝

1]

(3.29)

Introduzindo a variável 𝑋 = 32⁄ 𝑋1, tem-se o tensor 𝑋 da seguinte forma:

𝑋 =

[ 𝑋1 =

2

3𝑋 0 0

0 𝑋2 = −1

3𝑋 0

0 0 𝑋3 = −1

3𝑋]

(3.30)

Utilizando a definição do critério generalizado de von Mises apresentada em (3.16)

é possível obter a equação abaixo:

𝐽 = |𝜎 − 𝑋| (3.31)

Para simplificar a representação, serão utilizadas as seguintes notações: 𝜎1(𝑡) =

𝜎(𝑡), 휀1(𝑡) = 휀(𝑡) e 휀1𝑝(𝑡) = 휀𝑝(𝑡). Logo, as equações constitutivas podem ser

representadas da seguinte maneira:

𝜎 = 𝐸(휀 − 휀𝑝) (3.32)

휀̇𝑝 = �̇�𝑆𝑔; 휀𝑝(𝑡 = 0) = 0 (3.33)

𝑆𝑔 = +1 𝑠𝑒 (𝜎 − 𝑋) ≥ 0 𝑒 𝑆𝑔 = −1 𝑠𝑒 (𝜎 − 𝑋) < 0 (3.34)

�̇� = 𝑎휀̇𝑝 − 𝑏𝑋�̇�, 𝑋(𝑡 = 0) = 0 (3.35)

𝑌 = 𝜎0 + 𝑣1[1 − 𝑒−𝑣2𝑝] (3.36)

𝑃𝐿𝐴𝑆𝑇𝐼𝐶𝐼𝐷𝐴𝐷𝐸 ⇒ 𝐹 = |𝜎 − 𝑋| − 𝑌 ≤ 0; �̇� ≥ 0; �̇�𝐹 = 0; 𝑝(𝑡 = 0) = 0 (3.37.1)

𝑉𝐼𝑆𝐶𝑂𝑃𝐿𝐴𝑆𝑇𝐼𝐶𝐼𝐷𝐴𝐷𝐸 ⟹ �̇� = ⟨|𝜎 − 𝑋|

𝐾⟩𝑁 ; 𝑝(𝑡 = 0) = 0 (3.37.2)

34

3.5. EQUAÇÕES CONSTITUTIVAS NO ESPAÇO DAS DIREÇÕES PRINCIPAIS

APLICADAS À UM TUBO DE PAREDES FINAS

Tendo obtido uma simplificação das equações constitutivas para as direções

principais, basta aplicá-las ao caso de estudo, um tubo submetido a pressão interna e um

carregamento axial cíclico, como mostra a figura abaixo.

Figura 3.3 – Carregamento na tubulação

Desta forma o tensor das tenções é representado, para um tubo de paredes finas, da

meneira abaixo.

𝜎 = [

𝜎r 0 00 𝜎𝜃 00 0 𝜎𝑧

] (3.38)

Sendo,

𝜎r = 0 (3.39.1)

𝜎𝜃 =𝑃0𝑅

𝑒 (3.39.2)

𝜎𝑧 =𝐹(𝑡)

𝐴 (3.39.3)

Logo,

𝜎 =

[ 𝜎r = 0 0 0

0 𝜎𝜃 =𝑃0𝑅

𝑒0

0 0 𝜎𝑧 =𝐹(𝑡)

𝐴 ]

E a partir da definição de 𝑆 apresentada em (3.11), tem-se que:

35

𝑆 =

[ −

1

3(𝜎𝜃 + 𝜎𝑧) 0 0

01

3(2𝜎𝜃 − 𝜎𝑧) 0

0 01

3(2𝜎𝑧 − 𝜎𝜃)

]

Pela relação (3.20) nota-se que os três termos não são independentes, logo é

possível simplificar o critério de von Mises, (3.16), de forma que este seja função apenas

de duas das direções principais. Desta forma o critério de von Mises pode ser simplificado

e escrito da seguinte forma.

𝐽 = √3{(𝑆𝜃 − 𝑋𝜃)2 + (𝑆𝑍 − 𝑋𝑍)2 + (𝑆𝜃 − 𝑋𝜃)(𝑆𝑍 − 𝑋𝑍)} (3.40)

Usando a relação apresentada em (3.18) e fazendo:

𝑆𝑟

𝑆𝜃=

𝑋𝑟

𝑋𝜃=

𝜎𝜃 + 𝜎𝑧

𝜎𝑧 − 2𝜎𝜃

e

𝑆𝑧

𝑆𝜃=

𝑋𝑧

𝑋𝜃=

2𝜎𝑧 − 𝜎𝜃

2𝜎𝜃 − 𝜎𝑧

É possível representar o critério de von Mises utilizando somente uma das direções

principais, 𝜃 ou 𝑧, já que o carregamento é conhecido. Segue abaixo a simplificação.

𝐽 = |𝑆𝜃 − 𝑋𝜃|√3 [1 + (2𝜎𝑧 − 𝜎𝜃

2𝜎𝜃 − 𝜎𝑧) + (

2𝜎𝑧 − 𝜎𝜃

2𝜎𝜃 − 𝜎𝑧)2

]

Sendo

𝜂(𝑡) = √3 [1 + (2𝜎𝑧 − 𝜎𝜃

2𝜎𝜃 − 𝜎𝑧) + (

2𝜎𝑧 − 𝜎𝜃

2𝜎𝜃 − 𝜎𝑧)2

] (3.41)

𝐽 = |𝑆𝜃 − 𝑋𝜃| 𝜂(𝑡) (3.42)

A partir da definição de 𝜂(𝑡) é possível modelar o problema apenas em função das

equações constitutivas na direção circunferencial e do carregamento aplicado [8].

3 3( )

2 2p S X p Sg p

J com

1, if ( ) 0

-1, caso contrário

S XSg (3.43)

36

23

pX a bX p (3.44)

2 1 0 ( ) Y v v Y p (3.45)

; ( ( )) 0

NF

p F S X t YK

(3.46)

37

Capítulo 4 Algoritmos para solução

numérica

As equações constitutivas apresentadas no capítulo anterior definem um sistema

de equações diferencias ordinárias com valores iniciais definidos em (3.10). Desta forma

o problema matemático pode ser simplesmente solucionado usando um método baseado

na divisão de operador [14-16]. O objetivo dessa técnica é tomar vantagem das

propriedades de decomposição do operador matemático para resolver uma série de

problemas mais simples no lugar de um único problema complexo. As técnicas de

aproximação baseadas na decomposição de operador associadas a outros algoritmos tem

sido aplicadas em várias áreas da Mecânica do Contínuo, em especial na elasto-

plasticidade e elasto-viscoplasticidade [17] e [18].

4.1. DISCRETIZAÇÃO NO TEMPO – MODELO UNIAXIAL

Considerando uma sequência de tempo é possível introduzir os incrementos das

variáveis presentes nas equações constitutivas do problema. Usando a seguinte notação

tem-se: ( )y t : ( )n ny t y .

A partir das equações constitutivas para o caso uniaxial pode-se fazer as seguintes

aproximações:

1( ) ( )p p pn n (4.1)

1( ) ( )n nX X X (4.2)

1( ) ( )nnY Y Y (4.3)

38

1( ) ( )nnp p p (4.4)

Com:

( ) pnSg p (4.5)

[ ( ) ( ) ] n nX a Sg b X p (4.6)

2 1( - ( ) )n pY v v Y p (4.7)

Como pode ser visto, é possível calcular todas as variáveis no instante 1nt uma

vez que o incremento p é obtido. Sabe-se pelas definições (3.37) que a função F é

calculada de formas distintas para materiais com comportamento elasto-plástico e elasto-

viscoplástico. A seguir será mostrado como é o cálculo do incremento p para os casos

elasto-plástico e elasto-viscoplástico.

4.1.1. Elasto-plasticidade

A partir da definição (3.37.1) é possível calcular o incremento p de forma

simples.

0F X Y

1 1 1 1( ) - ( ) - ( )n n n nF X Y

1 1( ) - ( ) - - ( ) -n n n n nF X X Y Y

1 1 2 1 0( ) - ( ) - ( ( ) ( ) ) - ( ) - ( - ( ) )n n n n n n nF X a Sg b X p Y v v Y p

Uma aproximação analítica de p pode ser obtida usando a condição 1( ) 0nF

quando 0p .

1 1 2 1 0(( ) [ ) - ( ) - ( ( ) - ( ) ) ]( ) - ( ) - ( - ( ) )n n n n n n n nF X a Sg b X p Sg Y v v Y p

Sendo 1( ) 0nF , então:

39

1 2 1 0([ ) - ( ) ]( ) - { - ( ) ( ) ( - ( ) )}n n n n n n nX Sg Y a b X Sg v v Y p

1

2 1 0

( ) - ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )n n n n

n n n

X Sg Ypa b X Sg v v Y

(4.8)

4.1.2. Elasto-viscoplasticidade

A função F para elasto-viscoplasticidade também pode ser representada em

função de p para cálculo deste incremento.

NN X Yp Fp

t K K

1

N

n n nX X Y Y

p tK

2 1 01( ) ( ) ( - ( ) )

N

n n nn n nX a Sg b X p Y v v Y p

p tK

2 1 01( ) ( ) ( ) ( - ( ) )

N

n n n nn n n

p

X a Sg b X p Sg Y v v Y pt

K

(4.9)

A partir da equação (4.9) fica claro que não existe solução analítica para cálculo

do incremento p , logo deve-se escolher um método numérico para solução desta

equação, ao contrário do que acontece com materiais com comportamento elasto-plástico

como pôde ser visto anteriormente.

No desenvolvimento deste trabalho o método numérico escolhido foi o de Newton-

Raphson devido a mais fácil e mais rápida convergência.

4.1.3. Algoritmo para solução uniaxial

40

Das definições obtidas acima é possível, então, calcular o incremento p , e

consequentemente, os demais incrementos, (4.5), (4.6) e (4.7). Define-se, então, o

algoritmo, abaixo, para solução do problema elasto-viscoplástico.

i) 0n

ii) São conhecidas: 1n ; 1nS ; t ; pn ; np ; nX ; nY

iii) Computar Sg

1, - n nS DSIGN Xg

iv) 1( ) 0n n nX Y ?

SIM – O passo é elástico, logo 0p

1n nt t t ; 1p pn n ; 1n np p ; 1n nX X ; 1n nY Y ;

1n n

Go to (ii)

NÃO – O passo é plástico

É calculado o incremento p a partir da equação (4.9), como dito

anteriormente esta equação não possui solução analítica. Logo foi

escolhido o Método de Newton-Raphson para calcular uma aproximação

de p .

v) Cálculo dos demais incrementos:

( ) pnSg p

[ ( ) ( ) ] n nX a Sg b X p

2 1 0( - ( ) )nY v v Y p

vi) Atualização das variáveis:

1n np p p

41

1pp p

n n

1n nX X X

1n nY Y Y

vii) Se 1n máxt t ?

SIM - 1n nt t t ; 1n n

Go to (iii)

NÃO – Go to (viii)

viii) FIM

4.2. DISCRETIZAÇÃO NO TEMPO – VASO DE PRESSÃO DE PAREDES FINAS

Tendo como base o algoritmo desenvolvido anteriormente é possível, através das

simplificações feitas na seção 3.5, apresentar um algoritmo capaz de resolver o caso de

vasos de pressão de paredes finas submetidos a uma pressão interna e carregamentos

cíclicos axiais. Tomando como valores iniciais os apresentados em (3.10) e as equações

apresentas em 3.5 é possível adequar o algoritmo e a discretização no tempo apresentados

anteriormente para solucionar este problema.

Considerando uma sequência de tempo é possível introduzir os incrementos das

variáveis presentes nas equações constitutivas do problema. Usando a seguinte notação

tem-se: ( )y t : ( )n ny t y .

A partir das equações constitutivas para o caso de um vaso de pressão de paredes

finas submetido a pressão interna e carregamento cíclico axial pode-se fazer as seguintes

aproximações:

1( ) ( )p p pnn (4.10)

1( ) ( )nnX X X (4.11)

1( ) ( )nnY Y Y (4.12)

42

1( ) ( )nnp p p (4.13)

Com:

13( )( )

2np

nSg p (4.14)

1

2( ) [ ( ) ( ) ( ) ]

3p

n n nnX a b X p a Sg b X p (4.15)

2 1 0( - ( ) )nY v v Y p (4.16)

4.2.1. Elasto-plasticidade

A partir das definições (3.37.1) e (3.41) é possível calcular o incremento p de

forma simples.

( ) - ( ) - ( )SF X Y

1 1 1 1 1( ) - ( ) - ( )n n n n nSF X Y

1 1 1( ) - ( ) - ( ) - ( ) -n n n n nSF X X Y Y

1 1 1 1 2 1 0( ) - ( ) - ( ( ) ( ) ) - ( ) - ( - ( ) )n n n n n n n n nSF X a Sg b X p Y v v Y p

Uma aproximação analítica de p pode ser obtida usando a condição 1( ) 0nF

quando 0p .

1

1 1 1 2 1 0(

( )

[ ) - ( ) - ( ( ) ( ) - ( ) ) ]( ) ( ) - ( ) - ( - ( ) )n

n n n n n n n n nS

F

X a Sg b X p Sg Y v v Y p

Sendo 1( ) 0nF , então:

43

21 1 1 1 2 1 0([ ) - ( ) ] ( ) - { - ( ) ( ) ( - ( ) )}n n n n n n n n n nS X Sg Y a b X Sg v v Y p

1 1

21 1 2 1

( ) - ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

n n n n n

n n n n y n

S X Sg Ypa b X Sg v v Y

(4.17)

4.2.2. Elasto-viscoplasticidade

A função F para elasto-viscoplasticidade também pode ser representada em

função de p para cálculo deste incremento.

NN S X Yp Fp

t K K

11( )

N

nn n nS X X Y Y

p tK

1 1 2 1 01( ) ( ) ( ) ( ) ( - ( ) )

N

n n n n nn n n

p

S X a Sg b X p Y v v Y pt

K

1 1 2 1 01( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( - ( ) )

N

n n n n n nn n n

p

S X a Sg b X p Sg Y v v Y pt

K

(4.18)

A partir da equação (4.18) fica claro que não existe solução analítica para cálculo

do incremento p , logo deve-se escolher um método numérico para solução desta

equação, ao contrário do que acontece com materiais com comportamento elasto-plástico

como pôde ser visto anteriormente.

No desenvolvimento deste trabalho o método numérico escolhido foi o de Newton-

Raphson devido a mais fácil e mais rápida convergência.

44

4.2.3. Algoritmo para solução de vaso de pressão

Das definições obtidas acima é possível, então, calcular o incremento p , e

consequentemente, os demais incrementos, (4.14), (4.15) e (4.16). Define-se, então, o

algoritmo, abaixo, para solução do problema elasto-viscoplástico.

i) 0n

ii) São conhecidas: 1( )n ; t ; ( )p n ; ( )np ; ( )nX ; ( )nY

iii) Computar Sg

1, ( ) - ( )n nDSIGN SSg X

iv) 1( ) ( ) ( ) 0n n nS X Y ?

SIM – O passo é elástico, logo 0p

1n nt t t ; 1( ) ( )p pn n ; 1n np p ; 1( ) ( )n nX X ;

1n nY Y ; 1n n

Go to (ii)

NÃO – O passo é plástico

É calculado o incremento p a partir da equação (4.18), como dito

anteriormente esta equação não possui solução analítica. Logo foi

escolhido o Método de Newton-Raphson para calcular uma aproximação

de p .

v) Cálculo dos demais incrementos:

( ) pnSg p

[ ( ) ( ) ] n nX a Sg b X p

2 1 0( - ( ) )nY v v Y p

vi) Atualização das variáveis:

45

1n np p p

1( ) ( )p p pn n

1( ) ( )n nX X X

1n nY Y Y

vii) Se 1n máxt t ?

SIM - 1n nt t t ; 1n n

Go to (iii)

NÃO – Go to (viii)

viii) FIM

46

Capítulo 5 Resultados

Os resultados são divididos em diversas partes, quais sejam, o caso uniaxial e de

tubos de paredes finas submetidos a carregamento axial cíclico e pressão interna. Todos

os resultados apresentados a seguir foram obtidos numericamente usando o algoritmo

apresentado anteriormente e tomando como material o aço AISI 316 L [13] a 600 C. Os

parâmetros do material são: 𝜎0 = 60 𝑀𝑃𝑎, 𝐸 = 195000 𝑀𝑃𝑎, 𝑣1 = 80, 𝑣2 = 100, 𝑎 =

16535 𝑀𝑃𝑎, 𝑏 = 300, 𝐾 = 150, 𝑁 = 12

5.1. CASO UNIAXIAL

Inicialmente foram feitos os estudos considerando uma barra submetida somente a

esforço axial cíclico devido a simplicidade do modelo. O objetivo principal dessas

simulações foi testar o algoritmo desenvolvido e estudar a deformação plástica

progressiva.

Todas as simulações foram feitas com tensão prescrita e uma frequência de

carregamento de 0,050 Hz, ou seja, um ciclo a cada 18 segundos. Para cada ensaio foram

consideradas variações na intensidade do carregamento e número de ciclos, e

consequentemente, o intervalo de tempo do estudo.

Abaixo é apresentada a formulação do carregamento para o caso uniaxial, esta

mesma formulação é usada para o carregamento axial do caso do vaso de paredes finas.

0 ( )A sen w t C (5.1)

0.05

2w s-1 ; ( / )asen C A (5.2)

Onde o fator w representa a frequência de carregamento, t é o tempo e é a fase.

max 0( )A C ; min 0( )C A (5.3)

47

Os valores de A e C definem a amplitude e a média dos valores do carregamento.

1.3A , 0C (5.4)

1.5A , 0.2C (5.5)

1.7A , 0.4C (5.7)

5.1.1. Histórico de carregamento – caso uniaxial

As combinações do carregamento são mostradas na figura a seguir:

Figura 5.1 – Histórico de carregamento

Como pode ser visto, o carregamento axial imposto é cíclico, senoidal, e determina

a intensidade da tensão aplicada, a tensão aplicada é o resultado do produto do fator de

carregamento com a tensão de proporcionalidade. Nota-se que dos três carregamentos

somente o representado pela linha cheia é simétrico, enquanto os restantes têm o valor

mínimo comum de -1,3 e o máximo de 1,5 ou 1,7. Posteriormente será observado o efeito

dessa simetria do carregamento no comportamento do material.

48

5.1.2. Carregamento simétrico ( 1.7A , 0C )

A seguir são apresentados os resultados gráficos para um carregamento com cinco

ciclos, noventa segundos de duração e valores máximo e mínimo para o fator de

carregamento de 1,7 e -1,7 respectivamente.

Figura 5.2 – Tensão x deformação plástica

Figura 5.3 – Deformação plástica x tempo

49

Figura 5.4 – Deformação plástica acumulada x tempo

Observando a figura 5.2 observa-se que ocorre acomodação e não o surgimento de

uma deformação plástica cíclica progressiva como mostrado na figura 2.10.

5.1.3. Carregamento cíclico (A=1.5, C=0.2)

A Seguir são apresentados os resultados gráficos para um carregamento com cinco

cíclos, noventa segundos de duração e valores máximo e mínimo para o fator de (𝜎/𝜎0)

de 1,5 e -1,3 respectivamente.

Figura 5.5 - Tensão x deformação plástica

50

Figura 5.6 - Deformação plástica x tempo

Figura 5.7 – Deformação plástica acumulada x tempo

51

Figura 5.8 - Tensão x deformação plástica acumulada

Pode-se perceber que devido a uma carga trativa maior o efeito do Ratcheting

fazendo com que a deformação plástica aumente progressivamente a cada ciclo. Através

dos gráficos apresentando a evolução do incremento ∆𝑝, que não varia com os cíclos, que

a cada cíclo o aumento na deformação plástica e na deformação plástica acumulada é

mantido constante.

5.1.4. Carregamento cíclico (A=1.7 e C=0.4)

A Seguir são apresentados os resultados gráficos para um carregamento com cinco

ciclos, noventa segundos de duração e valores máximo e mínimo para o fator de

carregamento de 1,7 e -1,3 respectivamente.

52

Figura 5.9 - Tensão x deformação plástica

Figura 5.10 - Deformação plástica x tempo

53

Figura 5.11 – Deformação plástica acumulada x tempo

Com os resultados acima é possível perceber que o aumento na tensão máxima no

carregamento torna ainda mais claro o efeito da deformação cíclica acumulada, ou

Ratcheting. Com os resultados das simulações para os carregamentos não simétricos

percebe-se que durante a compressão o material não consegue atingir o limite de

proporcionalidade a compressão, fazendo com que a deformação plástica acumulada (p)

evolua da mesma maneira que a deformação plástica.

5.2. VASO DE PRESSÃO DE PAREDES FINAS

Nesta seção serão apresentados os resultados para as simulações feitas tomando

como objeto de estudo um vaso de pressão de paredes finas submetido a uma pressão

interna e com carregamento axial cíclico de forma que possa ser observada a deformação

plástica progressiva.

Todas as simulações foram feitas com tensão prescrita e uma frequência de

carregamento axial de 0,050 Hz, ou seja, um ciclo a cada 18 segundos e pressão interna

crescente até um limite estabelecido e posteriormente constante. Para cada ensaio foram

consideradas variações na intensidade do carregamento e número de ciclos, e

consequentemente, o intervalo de tempo do estudo.

54

5.2.1. Histórico de carregamento – caso vaso de pressão

O histórico de carregamento pode ser observado nas figuras a seguir.

Figura 5.12 – Histórico de carregamento axial

Figura 5.13 – Histórico de carregamento circunferencial

Como pode ser visto, o carregamento axial imposto é cíclico, senoidal, e determina

a intensidade da tensão aplicada, a tensão aplicada é o resultado do produto do fator de

carregamento com a tensão de proporcionalidade, o mesmo acontece com o carregamento

circunferencial onde a tensão aplicada é o produto do fator de carregamento

circunferencial e a tensão de proporcionalidade. Nota-se que dos três carregamentos axiais

55

somente o representado pela linha cheia é simétrico, enquanto os restantes têm o valor

mínimo comum de -1,3 e o máximo de 1,5 ou 1,7. O efeito da simetria, ou não, do

carregamento axial pôde ser observado nas simulações do caso uniaxial.

5.2.2. Carregamento axial simétrico e pressão interna ( 1.3A , 0C )

A seguir são apresentados os resultados gráficos para um carregamento com cinco

ciclos, noventa segundos de duração, valores máximo e mínimo para o fator de

carregamento axial de 1,3 e -1,3 respectivamente e esforços circunferenciais como

mostrado na Figura 5.48.

Figura 5.14 - Sθ x deformação plástica em θ

56

Figura 5.15 – SZ x deformação plástica em Z

Figura 5.16 – Deformação plástica em θ x tempo

57

Figura 5.17 – Deformação plástica em Z x tempo

Figura 5.18 – Deformação plástica acumulada x tempo

Agora são apresentados os resultados para 75 ciclos, ou 1350 segundos.

58

Figura 5.19 - Sθ x deformação plástica em θ

Figura 5.20 - SZ x deformação plástica em Z

59

Figura 5.21 – Deformação plástica em θ x tempo

Figura 5.22 – Deformação plástica em Z x tempo

60

Figura 5.23 – Deformação plástica acumulada x tempo

Figura 5.24 – Tensão equivalente de von Mises x Deformação plástica acumulada

Observando os resultados apresentados acima é possível perceber que com o

aumento do número de ciclos a tendência é que haja acomodação, uma vez que o

crescimento da deformação plástica acumulada torna-se mais lento como ilustrado na

Figura 5.23.

Percebe-se também o aumento da fase elástica e o seu deslocamento na Figura 5.68

devido aos endurecimentos isotrópico e cinemático respectivamente.

61

5.2.3. Carregamento axial e pressão interna ( 1.5A , 0.2C )

A seguir serão apresentados os resultados gráficos para um carregamento axial

cíclico com fator de carregamento máximo de 1,5 vezes a tensão de proporcionalidade e

mínimo de -1,3, além de pressão interna.

São apresentados os resultados para 75 ciclos, ou 1350 segundos de duração.

Figura 5.25 – Sθ x deformação plástica em θ

Figura 5.26 - SZ x deformação plástica em Z

62

Figura 5.27 - Deformação plástica em θ x tempo

Figura 5.28 - Deformação plástica em Z x tempo

63

Figura 5.29 – Deformação plástica acumulada x tempo

Figura 5.30 – Tensão equivalente de von Mises x Deformação plástica acumulada

As conclusões obtidas através da análise desses resultados é semelhante às feitas

no encerramento da seção 5.2.2, com o adicional de os efeitos serem mais claros a medida

que a tensão aplicada é maior.

64

5.2.4. Carregamento axial e pressão interna ( 1.7A , 0.4C )

Abaixo são apresentados os resultados gráficos para um carregamento axial cíclico

com fator de carregamento máximo de 1,7 vezes a tensão de proporcionalidade e mínimo

de -1,3, além de pressão interna.

São apresentados os resultados para 75 ciclos, ou 1350 segundos.

Figura 5.31 – Sθ x deformação plástica em θ

Figura 5.32 - SZ x deformação plástica em Z

65

Figura 5.33 - Deformação plástica em θ x tempo

Figura 5.34 - Deformação plástica em Z x tempo

66

Figura 5.35 - Deformação plástica acumulada x tempo

Figura 5.36 - Tensão equivalente de von Mises x Deformação plástica acumulada

A análise de resultados é semelhante a feita nas duas seções anteriores. O mais

importante a ser destacado é o comportamento apresentado na Figura 5.36. Como

explicado anteriormente é esperado que o domínio elástico expanda, assim como há a

tendência a acomodação da curva.

Nota-se que a partir do valor de, aproximadamente, 0,02% para a deformação

plástica acumulada que a tensão equivalente de von Mises não diminui além de zero, isso

se deve ao fato de esta variável ser absoluta, ou seja, somente apresenta valores reais

positivos, é possível observar esta característica na equação (3.42).

67

Em todos os casos se observa um incremento de deformação plástica p por

ciclo, o que corresponde à um aumento permanente pr do diâmetro, pois vale a relação

pp

i

r

r (5.8)

Após alguns ciclos, esse incremento se estabiliza p cte , podendo esse valor

ser igual a zero (estabilização elástica). Um possível critério de integridade seria impor

uma deformação plástica acumulada máxima maxp e verificar através de simulações se esse

valor seria atingido.

Figura 5.37 - Carregamento seguro / Possibilidade de falha

5.3. ESTUDO DO PASSO NO TEMPO

Por se tratar de um trabalho numérico é importante que o tempo gasto pelo

programa para obter os resultados seja o menor possível sem que a qualidade dos

resultados seja prejudicada. Logo vê-se a necessidade de, através de estudos preliminares,

68

determinar um passo no tempo onde a precisão não seja prejudicada e o tempo de

processamento seja o menor possível.

Foram, então, feitas várias simulações para obter um passo no tempo que

proporcionasse tais resultados.

Como será apresentado posteriormente, a simulação com o maior intervalo de

tempo tem duração de 1350 segundos e 90 ciclos. Para o estudo de passo no tempo foi

decidido inicialmente que uma divisão de 100.000 (cem mil) iterações obtivesse um

resultado adequado, o que resulta em um passo no tempo de ∆𝑡 = 0,0135𝑠. A partir deste

ponto foi-se diminuindo o número de iterações e consequentemente aumentando o passo

no tempo (∆𝑡). Adicionalmente foi registrado de forma aproximada o tempo demorado

por cada simulação.

Para simplificar a visualização gráfica desse estudo, as simulações foram feitas

considerando apenas 5 ciclos. Abaixo é apresentada uma tabela para simplificar a

visualização das simulações feitas.

Tabela 5.1 – Dados simulações para estudo do passo no tempo

Dados de carregamento Dados das simulações

Tempo Máximo [s]

Número de

ciclos

Passos no tempo

Δt [s] Passos no tempo por

cíclo

Tempo gasto em cada

simulação [s]

90 5 6667 0,0135 1333 3,1 90 5 3333 0,0270 667 2,8 90 5 1667 0,0540 333 2,4 90 5 1000 0,0900 200 2,1

90 5 500 0,1800 100 1,8

As simulações foram feitas com carregamento axial cíclico com valor máximo de

1,7 vezes a tensão de proporcionalidade e tensão mínima de -1,3 vezes a tensão de

proporcionalidade. Já a tensão circunferencial é constante e tem o mesmo valor da tensão

de proporcionalidade.

Abaixo são apresentados os resultados gráficos com a variação do passo no tempo

e número de iterações.

69

Figura 5.38 - Comparação passo no tempo – Deformação plástica circunferencial

pelo tempo

Figura 5.39 - Comparação passo no tempo – Deformação plástica acumulada pelo

tempo

Bons resultados são encontrados quando são usadas 100 iterações por ciclo, ou

seja, quando ∆𝑡 = 𝑇/100. Onde ∆𝑡 é o passo no tempo e 𝑇 é o período.

70

Capítulo 6 Conclusões e Perspectivas

Futuras

Tubulações metálicas sob pressão e submetidas a cargas axiais cíclicas além do

limite elástico podem exibir um aumento progressivo da deformação na direção

circunferencial ou tangencial, o que é conhecido na literatura internacional com o

fenômeno de ratcheting.

Em geral os estudos para esse tipo de problema requerem equações constitutivas

sofisticadas e são usados códigos de elementos finitos que levam a simulações

relativamente caras. A análise elasto-viscoplástica realizada nesse trabalho permite

explicar o fenômeno de uma forma simples.

Uma manipulação adequada das equações permite estudar o problema multiaxial

através de um problema uniaxial com a análise restrita à direção circunferencial. O

problema matemático resultante é essencialmente um problema de valor inicial que pode

ser resolvido adaptando-se técnicas de integração razoavelmente conhecidas usadas para

os problemas uniaxiais da elasto-viscoplasticidade. O modelo combina simplicidade

matemática para permitir seu uso por não especialistas com a capacidade de descrever um

comportamento mecânico não linear complexo (deformação permanente, encruamento,

fluência cíclica, etc.) observado em situações onde há a combinação de uma carga primária

constante e uma carga cíclica secundária.

Finalmente, como continuação desse trabalho, sugere-se os seguintes tópicos:

Incluir o efeito do dano para prever a falha estrutural;

Incluir o efeito de temperatura (equação do calor) numa tubulação ancorada nas

extremidades;

71

Desenvolver a teoria constitutiva de forma abstrata, dentro de um contexto

termodinâmico, de forma a poder incluir de forma simples na análise outras leis de

comportamento mais sofisticadas (como, por exemplo, equações acopladas com

envelhecimento propostas em [19] e equações com dano que levam em conta a

corrosão sob tensão [20], [21]).

72

Capítulo 7 Referências Bibliográficas

[1] Vishnuvardhan S, Raghava G, Gandhi P, Saravanan M, Goyal S, Arora P, Gupta SK,

Bhasin V. Ratcheting failure of pressurised straight pipes and elbows under reversed

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walled pipes under internal pressure and subjected to cyclic axial loading. Thin-Walled

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73

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[21] da Costa Mattos HS, Bastos IN., Gomes JACP. A thermodynamically consistent

modelling of stress corrosion tests in elasto-viscoplastic materials. Corros Sci 2013. In

press. Accepted manuscript. Online in http://dx.doi.org/10.1016/j.corsci.2013.11.020

75

ANEXO 1

Programa para solução do caso de vasos de pressão com paredes finas

1: PROGRAM VPLAST_MULTI

2: IMPLICIT DOUBLE PRECISION (A-H,O-Z)

3: DIMENSION STHETA(100002), SZ(100002), DEF(100002), DEFP(100002),

4: * DEFPZ(100002), P(100002), XJ(100002), X(100002), Y(100002),

5: * T(100002), ALFA(100002), BETA(100002), ETA(100002)

6: C 7: OPEN(UNIT=6,FILE='entrada_propriedades.txt')

8: OPEN(UNIT=7,FILE='entrada_carregamento.txt')

9: OPEN(UNIT=8,FILE='saida.txt')

10: C 11: C ENTRADA DAS PROPRIEDADES DO MATERIAL 12: C 13: READ(6,*) E

14: READ(6,*) SIGMAY

15: READ(6,*) V1

16: READ(6,*) V2

17: READ(6,*) A

18: READ(6,*) B

19: READ(6,*) XK

20: READ(6,*) XN

21: C 22: C DEFINIÇÃO DOS VALORES INICIAIS 23: C 24: STHETA(1) = 0.D0

25: SZ(1) = 0.D0

26: DEF(1) = 0.D0

27: DEFP(1) = 0.D0

28: DEFPZ(1) = 0.D0

29: P(1) = 0.D0

30: X(1) = 0.D0

31: Y(1) = SIGMAY

32: T(1) = 0.D0

33: XJ(1) = 0.D0

34: ALFA(1) = 0.D0

35: C 36: C COMEÇO DO ALGORITNO 37: C 38: PI = 2.D0*DASIN(1.D0)

39: READ(7,*) TMAX !TEMPO MÁXIMO 40: READ(7,*) TDIV !DIVISOR DO PASSO NO TEMPO 41: READ(7,*) N !NÚMERO DE CICLOS 42: READ(7,*) SZMAX

43: READ(7,*) SZMIN

44: READ(7,*) AMPLALFA

45: C 46: DT = TMAX/TDIV !PASSO NO TEMPO 47: AMPLZ = (SZMAX - SZMIN)/2.D0

48: C = SZMAX - AMPLZ

49: FI = DASIN(C/AMPLZ)

50: WZ = (N/TMAX)*(4.D0*FI+4.D0*DASIN((-C+SZMAX)/AMPLZ))

51: BETA(1) = (DSIN(WZ*T(1)-FI)*AMPLZ + C)

52: C 53: WRITE(8,*) T(1), DEFP(1), DEFPZ(1), P(1), 0.D0, X(1), Y(1),

54: * ALFA(1), BETA(1), ALFA(1), BETA(1), XJ(1)

55: C 56: ICOUNT = 0

57: I = 1

58: C

76

59: DOWHILE (ICOUNT.NE.1)

60: C 61: T(I+1) = T(I) + DT

62: IF (T(I+1).GT.TMAX) THEN

63: ICOUNT = 1

64: ENDIF

65: C CARREGAMENTO SZ 66: BETA(I+1) = (DSIN(WZ*T(I+1)-FI)*AMPLZ + C)

67: C CARREGAMENTO STHETA 68: ALFA(I+1) = (AMPLALFA*N/TMAX)*T(I+1)

69: IF (ALFA(I+1).GT.AMPLALFA) THEN

70: ALFA(I+1) = AMPLALFA

71: ENDIF

72: C

73: C

74: AUX = (2.D0*BETA(I+1)-ALFA(I+1))/(2.D0*ALFA(I+1)-BETA(I+1))

75: ETA = DSQRT(3.D0*(1.D0+AUX+AUX**2.D0))

76: C

77: STHETA(I+1) = (1.D0/3.D0)*(2.D0*ALFA(I+1)-BETA(I+1))*SIGMAY

78: SZ(I+1) = (1.D0/3.D0)*(2.D0*BETA(I+1)-ALFA(I+1))*SIGMAY

79: C 80: SG = DSIGN(1.D0,(STHETA(I)-X(I)))

81: C 82: IF (DABS(STHETA(I+1)-X(I))*ETA(I+1)-Y(I).LT.0.D0) THEN

83: DP = 0.D0

84: ELSE

85: C CÁLCULO NUMÉRICO DE DP 86: ITS = 1

87: Z = DP

88: AUX1 = DABS(STHETA(I+1)-X(I))*ETA(I+1)-Y(I)

89: AUX2 =A*ETA(I+1)*ETA(I+1)-B*X(I)*SG*ETA(I+1)+V2*(V1+SIGMAY-Y(I))

90: F = (((AUX1-(AUZ2*Z))/XK)**XN) - Z/DT

91: DF = (-(XN*AUX2)/XK)*((AUX1-(AUX2*Z))/XK)**(XN-1.D0) - (1.D0/DT)

92: C NEWTON 93: TOL = 1.D0

94: DO WHILE ((DABS(TOL).GE. 1.D-3).AND.ABS(F).GT.1.D-20.AND.

95: * ITS.LT.100)

96: DELTAZ = (F/DF)

97: Z = Z - DELTAZ

98: TOL = DABS((DELTAZ)/Z)

99: F = (((AUX1-(AUZ2*Z))/XK)**XN) - Z/DT

100: DF = (-(XN*AUX2)/XK)*((AUX1-(AUX2*Z))/XK)**(XN-1.D0) - (1.D0/DT)

101: ITS = ITS + 1.D0

102: ENDDO

103: DP = Z

104: IF (ITS.GT.1000) THEN

105: PRINT*, ITS

106: GO TO 30

107: ENDIF

108: C 109: IF (((AUX1-(AUZ2*Z))/XK).LE.0.D0) THEN

110: DP = 0.D0

111: ELSE

112: DP = DP

113: ENDIF

114: C 115: ENDIF

116: C CÁLCULO DOS DEMAIS INCREMENTOS 117: DEP = 1.5D0*ETA(I+1)*SG*DP

118: DX = (A*ETA(I+1)*SG - B*X(I))*DP

119: DY = V2*(V1+SIGMAY-Y(I))*DP

120: C 121: C ATUALIZAÃ├O DAS VARI┴VEIS 122: C 123: DEFP(I+1) = DEFP(I)+DEP

124: X(I+1) = X(I)+DX

77

125: Y(I+1) = Y(I)+DY

126: P(I+1) = P(I)+DP

127: AUX=(2.D0*BETA(I+1)-ALFA(I+1)) / (2.D0*ALFA(I+1)-BETA(I+1))

128: DEFPZ(I+1) = AUX*DEFP(I+1)

129: ETA(I+1) = DSQRT(3.D0*(1.D0+AUX+AUX**2.D0))

130: XJ(I+1) = DABS(STHETA(I+1)-X(I+1))*ETA(I+1)

131: C 132: WRITE(8,*) T(I+1), DEFP(I+1), DEFPZ(I+1), P(I+1), DP, X(I+1),

133: * Y(I+1), ALFA(I+1), BETA(I+1), STHETA(I+1), SZ(I+1), XJ(I+1)

134: C 135: I = I+1

136: END DO

137: 30 STOP

138: END

78

ANEXO 2

Costa Mattos HS, Peres JMA, Melo MAC. Ratcheting behaviour of elasto-plastic thin-

walled pipes under internal pressure and subjected to cyclic axial loading. Thin-Walled

Structures 2015; 93: 102-111.

Ratcheting behaviour of elasto-plastic thin-walled pipesunder internal pressure and subjected to cyclic axial loading

Heraldo S. da Costa Mattos a,n, Jadyr M.A. Peres a, Marco Antonio C. Melo a,b

a Laboratory of Theoretical and Applied Mechanics, Graduate Program in Mechanical Engineering, Universidade Federal Fluminense, Rua Passo da Pátria 156,24210-240 Niterói, RJ, Brazilb Eletrobras—Eletronuclear, Rua da Candelária, no 65-61 andar, 20091-020 Rio de Janeiro, RJ, Brazil

a r t i c l e i n f o

Article history:Received 5 September 2014Received in revised form25 February 2015Accepted 11 March 2015Available online 2 April 2015

Keywords:Thin-walled pipesCyclic elasto-plasticityMultial RatchetingModelling

a b s t r a c t

The present paper is concerned with the analysis of the ratcheting behaviour of elasto-plastic thin-walled pipes under internal pressure and subjected to cyclic axial loading. Understanding the behaviourof this kind of structure at different load levels is of critical importance in a range of engineeringapplications such as in the design of structural components of power and chemical reactors. Dependingon the kinematic hardening, the pipe may exhibit a ratcheting behaviour in the circumferential direction,which leads to a progressive accumulation of deformation. Many different constitutive theories havebeen proposed to model the kinematic hardening under such kind of loading history. The present paperpresents a simple local criterion to indicate whether or not the pipe may exhibit a progressiveaccumulation of deformation. Such criterion is independent of the choice of the evolution law adoptedfor the backstress tensor. As an example, a semi-analytic approach using a mixed nonlinear kinematic/isotropic hardening model is proposed to be used in a preliminary analysis of this kind of structure.

& 2015 Published by Elsevier Ltd.

1. Introduction

When a metallic component is subjected to cycles of mechanicalloading beyond the elastic limit many important phenomena canoccur, what may lead to structural failure. Different structural situa-tions exist in which this combination of sustained or primary loadingand secondary cyclic loading can lead to incremental collapse or whatis known as ratcheting. For instance, pressurised metallic tubes underreversed bending [1] or pressurised metallic tubes subjected to cyclicpush pull [2]. These structures under such load combinations areknown to exhibit continued strain growth in the hoop direction.

Understanding the behaviour of this kind of structure at differentload levels is of critical importance in a range of engineering applica-tions such as in the design of structural components of power andchemical reactors (primary heat transport system of nuclear powerplants, for instance). The reliability of structural integrity predictiondepends strongly on the physical adequacy of the elasto-plastic con-stitutive equations considered in the analysis. Many papers concernedwith ratcheting failure mechanisms or with constitutive models forratcheting have been performed in the last years. Since the classicalworks of Chaboche (see [3], for instance), most works were concernedwith an adequate modelling of the kinematic hardening to improvethe description of ratcheting effects and to include a better modelling

of multiaxial behavior [4–7]. In [4], a complete model was developed,including isotropic hardening, to describe the ratcheting behaviour of316L stainless steel at room temperature. In this study, one particularkinematic hardening rule was selected aiming at describing both theshape of the normal cyclic stress–strain relations and the ratchetingresults. The main concern, as discussed in [5], was to propose rulesthat induce much less accumulation of uniaxial and multiaxial ratch-etting strains than the Armstrong and Frederick rule. In [5], kinematichardening rules formulated in a hardening/dynamic recovery formatwere examined for simulating racheting behaviour. These rules, chara-cterized by decomposition of the kinematic hardening variable intocomponents, are based on the assumption that each component has acritical state for its dynamic recovery to be fully activated. In the paperby Abdel Karim and Ohno [6], an alternative kinematic hardeningmodel was proposed for simulating the steady-state in ratchetingwithin the framework of the strain hardening and dynamic recoveryformat. The model was formulated to have two kinds of dynamicrecovery terms, which operate at all times and only in a critical state,respectively. The model is able of representing appropriately thesteady-state in ratcheting under multiaxial and uniaxial cyclic loading.In [7], seven cyclic plasticity models for structural ratcheting responsesimulations were analysed: bilinear (Prager), multilinear (Besseling),Chaboche, Ohno–Wang, Abdel Karim–Ohno, modified Chaboche (Bariand Hassan) and modified Ohno–Wang (Chen and Jiao). Apparently,none of the models evaluated perform satisfactorily in simulating thestraight pipe diameter change and circumferential strain ratchetingresponses.

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Thin-Walled Structures

http://dx.doi.org/10.1016/j.tws.2015.03.0110263-8231/& 2015 Published by Elsevier Ltd.

n Corresponding author. Tel./fax: þ55 21 2629 5585.E-mail address: heraldo@mec.uff.br (H.S. da Costa Mattos).

Thin-Walled Structures 93 (2015) 102–111

In particular, many experimental and numerical studies on ratch-eting induced by reversed bending in straight pipes and elbows havebeen performed in the last years [1,8–10], and a detailed review can befound in [1,10]. In [1], ratcheting studies were carried out on Type304LN stainless steel straight pipes and elbows subjected to steadyinternal pressure and cyclic bending load. Ratcheting behaviour ofstraight pipes and elbows were compared and it was generallyinferred that ratcheting was more pronounced in straight pipes thanin elbows. Shariati et al. [8] investigated the softening and ratchetingbehaviours of SS316L cantilevered cylindrical shells under cyclicbending load. Accumulation of the plastic strain or ratcheting phe-nomenon occurred under force-control loading with nonzero meanforce. It was verified that an increase of the mean force induces anincrease in the accumulation of the plastic deformation and its rate.Plastic mechanism analyses of circular tubular members under cyclicloading were performed in [9]. This paper provides new methods ofanalyses for circular hollow sections subjected to a constant amplitudecyclic pure bending and a large axial compression–tension cycle. Thelocal buckling analysis was performed using a rigid plastic mechanismanalysis.

Although ratcheting based criteria for integrity assessment of pres-surized piping under severe loading can be found in codes [11], so farmost constitutive models are unable to describe the complex non-linear cyclic behaviour observed in this kind of problem. Besides, theanalysis of the stress and strain fields usually requires the use ofcomplex finite element codes, what can be a shortcoming for theeffective use of these theories by designers.

The present paper is concerned with the analysis of the coupledeffect of kinematic and isotropic hardening on the multiaxial ratchet-ing behaviour of elasto-plastic thin-walled straight pipes under inter-nal pressure and subjected to cyclic axial loading. An easily employableframework to be used in the analysis of structures of this type withcomplex material behaviour, as elasto-plasticity with both isotropicand kinematic hardening, is presented. A simple and efficient algo-rithm for approximating the solution is described.

Simulations of AISI 316L steel and AU4G aluminium alloy pressurevessels at room temperature subjected to multiaxial loadings are pres-ented and analysed. It is shown that cyclic behaviour is stronglydependent on the kinematic hardening, but also on the isotropichardening. The main result of the paper is the proposition of a simplecondition (involving the ratio of the circumferential component of thebackstress tensor and the auxiliary variable related to the isotropichardening) to indicate when the pipe may exhibit a ratcheting beha-viour, which leads to a progressive accumulation of deformation. Suchkind of criterion is independent of the evolution law adopted for thebackstresss tensor. Therefore, it is important to emphasize that thepaper is not focused on the evaluation of the physical adequacy ofdifferent constitutive models for predicting ratcheting behaviour.Although the Marquis–Chaboche elasto-plastic constitutive Eqs. (11)and (12) have been considered in the present study, such a conditionfor ratcheting to arise can be applied to any cyclic plasticity modelwith both isotropic and kinematic hardening.

2. Summary of the elasto-plastic constitutive equations

The following set of elasto-plastic constitutive equations pro-posed by Marquis [12] is adequate to model the cyclic inelasticbehaviour of metallic material at room temperature. A further dis-cussion about these equations can be found in [13].

In the framework of small deformations and isothermal processes,besides the stress tensor σ and the strain tensor ε , the followingauxiliary variables are also considered: the plastic strain tensor ε p, theaccumulated plastic strain p and two other auxiliary variables ðX ;YÞ,respectively related to the kinematic hardening and to the isotropichardening. A complete set of elasto-plastic constitutive equations is

given by

σνE

ð1þνÞð1�2νÞtrðε�ε pÞ 1¼þ Eð1þνÞðε�ε pÞ ð1Þ

_ε p ¼ 32J

S�

�X�_p ð2Þ

_X ¼ 23a_ε p�bX _p ð3Þ

_Y ¼ v2ðv1þσy�YÞ _p ð4Þ

_pZ0; F ¼ ðJ�YÞZ0; _pF ¼ 0 ð5Þ

with

J ¼ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi32

S�

�X�U S�

�X�r¼

ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi32

X3i ¼ 1

X3j ¼ 1

ðSij�XijÞ2vuut ð6Þ

where E is the young modulus, ν the Poisson’s ratio and σy, v1, v2, a, bare positive constants that characterize the plastic behaviour of thematerial and they can be obtained from a simple tension-compressiontest [14]. 1 is the identity tensor, and trðA Þ is the trace of an arbitrarytensor A . S is the deviatoric stress given by

S ¼ σ � 13

� �trðσ Þ1

� �ð7Þ

J is the equivalent vonMises stress. X is an auxiliary variable related tothe kinematic hardening (eventually called the backstress tensor) andit is introduced to account for the anisotropy introduced by the plasticdeformation. Y is an auxiliary variable related to the isotropic hard-ening andmodels how the yield stress varies with plastic deformation.p is usually called the accumulated plastic strain and _p can be interpr-eted as a Lagrange multiplier associated to the constraint Fr0.Function F characterizes the elasticity domain and the plastic yieldingsurface. From Eq. (2) it is possible to affirm that

_p¼ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi23_ε p U _ε p

rð8Þ

and, therefore,

pðtÞ ¼ pðt ¼ 0ÞþZ t

t ¼ 0

ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi23_ε pðζÞU _ε pðζÞ

r !dζ ð9Þ

If F ¼ J�Yo0, it comes that JoY . Hence, from the condition_pF ¼ 0 in (5), it is possible to conclude that _p¼ 0. If _pa0, from thecondition _pF ¼ 0 it also comes that, necessarily, F ¼ 0. Besides, fromEqs. (2)–(4) it comes that, in this case, _ε pa , ̇a and _Ya0. Therefore,the elasto-plastic material is characterized by an elastic domain in thestress space where yielding doesn’t occur (_ε p ¼ ̇ ¼ ,_p¼ _Y ¼ 0 if Fo0).

Noting the eigenvalues of S and X , respectively by fS1; S2; S3gand fX1;X2;X3g, the elastic domain can be represented in the spaceof the principal directions of the deviatoric stress as a spherecentred at the point fX1;X2;X3g with radius R¼

ffiffiffiffiffiffiffiffi2=3

pY . Generally

the following initial conditions are used for a “virgin” material

pðt ¼ 0Þ ¼ 0; ε pðt ¼ 0Þ ¼ X ðt ¼ 0Þ ¼ ; Yðt ¼ 0Þ ¼ σy ð10Þ

From now on, the initial conditions (10) are assumed to hold in theanalysis. It is also important to remark that the constitutive equationswith conditions (10) and definition (7) imply that the principal direct-ions the stress tensor, of the deviatoric stress tensor, of the plasticstrain tensor and of the backstress tensor are the same.

H.S. da Costa Mattos et al. / Thin-Walled Structures 93 (2015) 102–111 103

Eqs. (1)–(3) have the following form if expressed using thebasis of the principal directions

σi ¼νE

ð1þνÞð1�2νÞX3i ¼ 1

ðεi�εpi ÞþE

ð1þνÞðεi�εpi Þ ð11Þ

_εpi ¼32JðSi�XiÞ _p ð12Þ

_Xi ¼23a_εpi �bXi _p ð13Þ

with Siði¼ 1;2or3Þ, εpi ði¼ 1;2or3Þ and Xi ði¼ 1;2or3Þ being theprincipal components (eigenvalues) respectively of S , ε p and X . In thiscase, from Eq. (7), it is possible to obtain the following alternativeexpression

J ¼ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi3½ðSi�XiÞ2þðSi�XiÞðSj�XjÞþðSj�XjÞ2�

q8 i; jð Þ; witha i j

ð14ÞUsing the evolution laws (2) and (3) and considering the initial

conditions (10), it is also possible to verify that the followingrelation always holds (provided Sja0, εpj a0 and Xja0)

SiSj¼ εpiεpj

¼ Xi

Xj8 i; j¼ 1;2; or 3ð Þ ð15Þ

3. Thin-walled elasto-plastic cylinder under constant internalpressure and cyclic axial loading

The goal of this section is to summarize the procedure to analyse aparticular two-dimensional state of stress obtained from the generalmodel. In this two-dimensional abstract context, the tensor σ ðx; tÞ at agiven point x and a given time instant t is supposed to be given by thefollowing expressions (in cylindrical coordinates)

σ ¼σr 0 00 σθ 00 0 σz

264

375 with σr ¼ 0; σθ ¼ αðtÞσy; σz ¼ βðtÞσy:

ð16Þσr is the radial stress component, σθ the circumferential stresscomponent and σz the axial stress component. All other componentsare considered to be equal to zero. α and β are arbitrary scalarfunctions of time such that αðt ¼ 0Þ ¼ 0 and βðt ¼ 0Þ ¼ 0.

A theoretical analysis allows explaining the different possible cyclicplastic behaviours in if such kind of (local) stress history is supposed tooccur. This analysis includes the case of thin-walled elasto-plasticcylinders under constant internal pressure and subjected to cyclic axialloading. In this case, the expressions relating the external loading andgeometry with the axial and circumferential stress component σz andmay vary depending on the nature of the cyclic axial loading. Never-theless, no matter the nature of the axial loading, the stress tensor at agiven point will always have the abstract form presented in Eq. (16),since αðtÞ and βðtÞ are arbitrary scalar functions.

For instance, in the case of an elasto-plastic cylinder withinternal radius ri and thickness e submitted to an internal pressureP, the circumferential stress component (or hoop stress) σθ andthe circumferential strain component εθ are classically approxi-mated in the framework of membrane theory of shells of revolu-tion by the following expression (provided the internal radius riand the thickness e are such that ri410e and ovalisation isnegligible)

σθ ¼Prie; εθ ¼

Δrri

ð17Þ

where Δr is the variation of the internal radius. To simplify the

analysis, the cylinder is assumed to be open-ended (studiesanalysing the effect of the closed ends in the cylinder integritycan be found in [15,16]). In a cyclic push and pull with axial forceFt , the axial stress is homogeneous along a cross-section andapproximated by the following expression: σz � Ft=ð2πrieÞ.

In real straight pipes in operation, the cyclic axial stress componentcan be caused by a non-homogeneous temperature variation or by abending moment [10]. The present paper is not concerned with theanalysis of the equilibrium equations in these cases and the expressionof both the axial stress component σz and may vary depending on thematerial, the geometry and the loading history. In the case of cyclicbending, the axial stress is not homogeneous and complex expressionsshould be adopted. In the case of non isothermal problems, the fullycoupled constitutive equations must be considered (see, [17], forinstance). Nevertheless, if ovalisation is negligible, the hoop stressand the axial stress in a thin walled pipe can be considered uncoupledsince the expressions presented in Eq. (17) are still reasonable.

Besides, as it will be verified in the sequence, the particular expres-sion relating the axial stress with material, geometry and externalloading does not affect the basic goal of the paper, which is to identify asimple criterion for ratcheting to arise when the circumferentialcomponent of the backstress tensor exceed a given isotropic hardeningparameter.

No matter the pipe material and geometry, α must be a constantvalue in Eq. (16) for a fixed internal pressure of the pipe. Besides, sincethe goal is to study the ratcheting induced by a periodic axial loading,the axial stress is assumed to be a periodic function of time at a givenmaterial point and, consequently, β must be a periodic function oftime. Since plasticity is rate-independent, the frequency of the axialloading does not affect the stress–strain behaviour and only maximumand minimum stress levels (and, therefore, the maximum and mini-mum values of the function β) are important in the analysis.

Taking into account assumption (16) and using definition (7), itis possible to conclude that the radial, circumferential and axialcomponents Sr , Sθ , Sz of the deviatoric stress tensor S are its onlynon-zero components

Sr ¼ �13ðσθþσzÞ ¼ �1

3ðαðtÞþβðtÞÞσy ð18:1Þ

Sθ ¼13ð2σθ�σzÞ ¼

13ð2αðtÞ�βðtÞÞσy ð18:2Þ

Sz ¼13ð2σz�σθÞ ¼

13ð2βðtÞ�αðtÞÞσy ð18:3Þ

It is important to note that the principal components of thedeviatoric stress and of the plastic deformation are not independent,which allows introducing additional simplifications in the equations.From Eqs. (15) and (18.1)–(18.3), it comes that (provided ð2α�βÞa0)

SrSθ

¼ εprεpθ

¼ Xr

Xθ¼ ðαþβÞðβ�2αÞ;

SzSθ

¼ εpzεpθ

¼ Xz

Xθ¼ ð2β�αÞð2α�βÞ ð19Þ

Using definition (14) and Eq. (19) it is possible to obtain thefollowing equivalent expressions for the von Mises equivalent stress

J ¼ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi3½ðSθ�XθÞ2þðSθ�XθÞðSz�XzÞþðSz�XzÞ2�

qð20:1Þ

J ¼ Sθ�Xθ ηðtÞ with ηðtÞ ¼

ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi3 1þð2β�αÞ

ð2α�βÞþð2β�αÞð2α�βÞ

� �2" #vuutð20:2Þ

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Thus, the behaviour in the circumferential direction is governedby the following system of equations

Sθ ¼13ð2αðtÞ�βðtÞÞσy; ηðtÞ ¼

ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi3 1þð2βðtÞ�αðtÞÞ

ð2αðtÞ�βðtÞÞþð2βðtÞ�αðtÞÞð2αðtÞ�βðtÞÞ

� �2" #vuutð21:1Þ

_εpθ ¼32JðSθ�XθÞ _p¼ 3η

2Sg _p with Sg¼

1; ifðSθ�XθÞZ0�1; otherwise

(

ð21:2Þ

_Xθ ¼23a_εpθ�bXθ _p ð21:3Þ

_Y ¼ v2ðv1þσy�YÞ _p ð21:4Þ

_pZ0; F ¼ ð Sθ�Xθ ηðtÞÞ�YZ0; _pF ¼ 0 ð21:5Þ

From Eqs. (18.2) and (21.2) it is possible to verify that the axialstress component affects the plastic strain in the circumferentialdirection. In the case of a tube under constant internal pressure, asignificant variation of the axial stress component may cause aplastic flow in the circumferential direction.

4. Solution algorithm

Eqs. (21.1)–(21.4) define a nonlinear system of ordinary differ-ential equations coupled with the constraints (21.5). The basicmathematical problem considered in this paper is formed by Eqs.(21.1)–(21.4) together with the following initial conditions

pðt ¼ 0Þ ¼ εpθðt ¼ 0Þ ¼ Xθðt ¼ 0Þ ¼ 0;Yðt ¼ 0Þ ¼ σy ð22Þ

The solution algorithm used to obtain a numerical approximationfor this initial value problem is based on the operator split method[18–20]. The objective of this technique is to take advantage of someadditive decomposition properties of the mathematical operator tosolve a sequence of simpler problems instead of a unique complexproblem. The approximation techniques based on the operator splitmethod and associated product formula algorithms have been appliedin various areas of Continuum Mechanics and, in particular, in elasto-plasticity and elasto-viscoplasticity.

4.1. Time discretization

Considering a sequence of time instants (since the elasto-plasticequations are rate independent, this definition is only used to establisha sequence of events)

0ot1ot2o⋯otn ð23Þand using the following notation for any function yðtÞ: yðtnÞ ¼ yn

The main idea of the solution algorithm is to explore the factthat all time rates of the variables εpθ , Xθ and Y , defined in Eqs.(21.2)–(21.4), are linear functions of _p, hence, the followingapproximation can be considered

ðεpθÞnþ1 ¼ ðεpθÞnþΔεpθ ð24:1Þ

ðXθÞnþ1 ¼ ðXθÞnþΔXθ ð24:2Þ

ðYÞnþ1 ¼ ðYÞnþΔY ð24:3Þ

ðpÞnþ1 ¼ ðpÞnþΔp ð24:4Þ

with

Δεpθ ¼3ðηÞnþ1

2ðSgÞnΔp ð25:1Þ

ΔXθ ¼23aΔεpθ�bðXθÞnΔp¼ ½aðηÞnþ1ðSgÞn�bðXθÞn�Δp ð25:2Þ

ΔY ¼ v2ðv1 � ðYÞnþσyÞ �

Δp ð25:3Þ

The plastic function F can be expressed in terms of Δp:

Fnþ1 ¼ ðSθÞnþ1 � ðXθÞnþ1

ηnþ1 � ðYÞnþ1 )Fnþ1 � ðSθÞnþ1 � ðXθÞn � ΔXθ

ðηÞnþ1 � ðYÞn � ΔYn )� ðSθÞnþ1 � ðXθÞn � ðaηnþ1ðSgÞn�bðXθÞnÞΔp ηnþ1 � ðYÞn � v2ðv1 � ðYÞnþσyÞ

�Δp

9>>=>>;

ð26Þ

and an analytical approximation of the increment Δp can beobtained using the condition ðFÞnþ1 ¼ 0 when Δpa0:

ðFÞnþ1 � ½ðSθÞnþ1 � ðXθÞn� ðaðηÞnþ1ðSgÞn � bðXθÞnÞΔp�ðηÞnþ1ðSgÞn � ðYÞn� v2ðv1 � ðYÞnþσyÞ �

Δp ð27Þ

If ðFÞnþ1 ¼ 0, then

½ðSθÞnþ1�ðXθÞn�ηnþ1ðSgÞn� Yn ¼ faη2nþ1�bðXθÞnηnþ1ðSgÞnþv2ðv1�ðYÞnþσyÞg

Δp ) Δp� ðSθÞnþ1�ðXθÞn �ðηÞnþ1ðSgÞn�ðYÞn

aðηÞ2nþ1�bðXθÞnðηÞnþ1ðSgÞnþv2 v1þσy�ðYÞn� ð28Þ

Once the increment Δp is known, all the variables can beobtained at the instant tnþ1 using Eqs. (24.1)–(24.4), (25.1)–(25.3).The procedure can be improved using an iterative solutiontechnique that uses this Euler scheme coupled with a projectionscheme. The projection technique assures that Foδ at any timestep, with δ40 being the maximum admissible error in thecomputation of F in the plastic steps. Such a technique allowsthe computation of accurate results even if very large steps areused, what is crucial if the simulation of a great number of cycles isnecessary.

4.2. Basic solution algorithm

The basic solution algorithm is defined as follows

(i) n¼ 0(ii) ðηÞnþ1, ðεpθÞn, ðpÞn, ðXθÞn, ðYÞn are known and

ðSθÞnþ1 ¼13ð2ðαÞnþ1�ðβÞnþ1Þσy; ðηÞnþ1

¼

ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi3 1þð2ðβÞnþ1�ðαÞnþ1Þ

ð2ðαÞnþ1�βðtÞÞ þ ð2ðβÞnþ1�ðαÞnþ1Þð2ðαÞnþ1�ðβÞnþ1Þ

� �2" #vuut

(iii) Compute the auxiliary variables εpθ , p, Xθ and Y:εpθ ¼ ðεpθÞn, p¼ ðpÞn, Xθ ¼ ðXθÞn, Y ¼ ðYÞn, ITER¼1

(iv) ðSθÞnþ1�X ðηÞnþ1�Yoδ?YES ) The step is elastic:ðεpθÞnþ1 ¼ εpθ , ðXθÞnþ1 ¼ X, Ynþ1 ¼ Y , pnþ1 ¼ p, n¼ nþ1If n4NMAX, stop ) maximum number of time stepsGo to (ii)NO ) The step is plastic:

ITER¼ ITERþ1

if ITER4 ICONT , stop ) Maximum number of iterations pertime stepgo to (vi)

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(v) Computation of the increment Δp:

Sg ¼ ðSθÞnþ1�Xθ

ðSθÞnþ1�Xθ ) Δp¼ ðSθÞnþ1�Xθ

�ðηÞnþ1Sg�Yn

aðηÞ2nþ1�bXθðηÞnþ1Sgþv2 v1þσy�Y�

(vi) Computation of the increments Δεpθ , ΔXθ , ΔY:

Δεpθ ¼3ηnþ1

2SgΔpΔXθ ¼ ðaηnþ1Sg�bXθÞΔp

ΔY ¼ v2ðv1�YþσyÞ �

Δp

(vii) Update the variables εpθ , Xθ , Y , p

εpθ ¼ εpθþΔεpθ

Xθ ¼ XθþΔXθ

Y ¼ YþΔY

p¼ pþΔp

(viii) Go to (iv)

Good results are obtained taking δ¼ σy=100�

, ICONT¼ 5 andΔSθr σy=100

�

5. Results and discussion

In order to better understand when ratcheting may occur in anarbitrary tube, it is considered an AISI 316L steel at roomtemperature. The material parameters in this case are

σy ¼ 300 MPa; E¼ 196 GPa; ν¼ 0:3;

Fig. 1. Loading histories considering Eq. (16).

Fig. 2. Curves Sθ � εpθ for different amplitudes of the cyclic axial loading. AISI 316L steel at room temperature.

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a¼ 45 GPa; b¼ 60; v1 ¼ 0; v2 ¼ 0 ð29Þ

It can be observed that, for this kind of material, the hardeningis purely kinematic (since v1 ¼ 0 and v2 ¼ 0). The goal is todemonstrate that the ratcheting phenomenon is essentially dueto the kinematic hardening and thus it is chosen a material whichdoes not present isotropic hardening (Y ¼ σy).

In the analysis, the loading histories depicted in Fig. 1 (thefunctions αðtÞ and βðtÞ, see (16)) are taken into account. Since theelasto-plastic constitutive are rate independent, the time is notimportant and it is only used to establish a sequence of events.Thus, tn ¼ ðt=ΔtÞ, where Δt is an arbitrary time interval. Theparameters A and B are chosen in order to allow understandingthe role of the stress components in the ratcheting behaviour.Parameter α is related to the internal pressure. Combining theexpressions in (16) and (17), we have

σθ ¼ αðtnÞσy ¼Prie

) P ¼ ασyeri

� �ð30Þ

The maximum hoop stress is given by ðσθÞmax ¼ Aσy ) P ¼Aðσye=riÞ (see Eq. (16)). Therefore, if A¼ 1 then the maximum hoopstress is such that ðσθÞmax ¼ σy and the internal pressure is givenby P ¼ Aðσye=riÞ.

B41 is the amplitude of the periodic function βðtnÞ ¼�B sin πtn

200

� , with σz ¼ βðtnÞσy. Therefore, the maximum and

minimum axial stress component are ðσzÞmax ¼ Bσy andðσzÞmin ¼ �Bσy.

Significant ratcheting in the circumferential direction occurs fordifferent values of B as it is shown in Figs. 2 and 3. Parameter B isrelated to the amplitude of the cyclic axial loading. Therefore,different amplitudes in the axial loading induce different ratchet-ing behaviour in circumferential direction. Since εpθ ¼ ðΔrÞp=ri,

where ðΔrÞp is the plastic or irreversible variation of the internalradius, it may be concluded that the tube diameter will increaseincrementally with the axial cyclic loading. Fig. 4 presents theevolution of the accumulated plastic strain for A¼ 1 and differentvalues of the parameter B.

Under cyclic axial loading and unloading, the pipe exhibitshysteresis (a phase lag), which leads to a dissipation of mechanicalenergy. The progressive accumulation of plastic deformation canbe explained by the strong kinematic hardening observed in thismaterial. The analysis is very similar to the one performed in [21]for progressive accumulation of deformation observed in cyclictension tests performed in epoxy polymers.

The elastic region is the domain of stresses in which there is noplastic flow. As commented before, the elastic domain can be

Fig. 3. Evolution of εpθ for different amplitudes of the cyclic axial loading. AISI 316L steel at room temperature.

Fig. 4. Evolution of p for different amplitudes of the cyclic axial loading. AISI 316Lsteel at room temperature.

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Fig. 5. Influence of kinematic hardening in the accumulation of plastic deformation.

Fig. 6. Curves Sθ � εpθ for different amplitudes of the cyclic axial loading. AU4G aluminium alloy at room temperature.

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represented in the space of the principal directions of thedeviatoric stress as a sphere centred at the point fX1;X2;X3g withradius R¼

ffiffiffiffiffiffiffiffi2=3

pY . This domain varies with the plastic deforma-

tion process. In the particular case studied in this paper, fromcondition F ¼ Sθ�Xθ

η�Yo0 it possible to define the elasticsegment as the set of all possible Sθ such that Sθ�Xθ

�ðY=ηÞ o0.The elastic segment has a length (2Y=η) and it is centred on Xθ .The elastic segment also varies with the plastic deformationprocess.

If ðY=ηÞ4Xθ hysteresis with consequent accumulation of cyclicplastic deformation does not occur. For the pipe material under theprescribed loading conditions considered in this paper, the kine-matic hardening variable can be greater that the isotopic hard-ening variable ðY=ηÞ and a negative plastic strain rate may occureven with a positive stress (_εpθo0 if _Sθo0 even when Sθ40). Thisfact explains why hysteresis and a progressive accumulation ofdeformation occur in a cyclic load–unload test as shown in Fig. 5.In the case of a material that presents both kinematic and isotropichardening, the reasoning is similar and ratcheting occurs if thekinematic hardening parameter (the circumferential component ofthe backstress tensor) Xθ exceeds the isotropic hardening para-meter ðY=ηÞ. Therefore, a simple criterion involving the ratio of thecircumferential component of the backstress tensor and theauxiliary variable related to the isotropic hardening indicates ifthe pipe may exhibit a ratcheting behaviour, which leads to aprogressive accumulation of deformation.

Ratcheting may occur if

Xθ4 ðY=ηÞ ) ðXθ=YÞo1η

ð31Þ

Figs. 6–8 show the results of simulations considering an AU4Galuminium alloy at room temperature. The loading history con-sidering Eq. (16) is the same presented in Fig. 1, with A¼ 1 and

different values of the parameter B. The material parameters inthis case are

σy ¼ 170 MPa; E¼ 72 GPa; ν¼ 0:32; a¼ 22:5 GPa; b¼ 125;

v1 ¼ 100; v2 ¼ 1:6: ð32ÞAs it can be verified, despite the isotropic hardening, the

behaviour is similar than in the previous case. The considerationof a range of hoop stresses is perfectly possible within the model.This would permit a ratchet diagram to be developed—for anygiven set of hardening parameters. Fig. 9 shows the results ofsimulations considering the aluminium alloy with B¼ 1:5 anddifferent values of the parameter A. Significant ratcheting in thecircumferential direction also occurs even when Ao1 ) σθoσy.

It is interesting to remark that, in all cases, after a few cycles,the increment of the accumulated plastic strain per cycle δp tendsto a constant value (Fig. 10). Such a plastic increment per cycle can

Fig. 7. Evolution of εpθ for different amplitudes of the cyclic axial loading. AU4G aluminium alloy at room temperature.

Fig. 8. Evolution of p for different amplitudes of the cyclic axial loading. AU4Galuminium alloy at room temperature.

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be easily obtained using the proposed numerical procedure. Asimple preliminary failure criterion would be to assume that theprobability of failure is higher when the accumulated plastic strainis greater than a given limit, i.e. when p� ðnδpÞ4pmax.

6. Conclusion

Metallic pipes under constant pressure and cyclic axial loadingbeyond the elastic limit may exhibit continued strain growth inthe hoop direction, what is known as ratcheting, which leads tothe accumulation of cyclic plastic deformation. The simple elasto-plastic analysis presented in this paper allows explaining this kindof phenomenon. With an adequate cmanipulation of variables,the multiaxial problem can be reduced to the analysis in the

circumferential direction. It is shown that cyclic behaviour isstrongly dependent on the kinematic hardening, but also on theisotropic hardening. A simple condition involving the ratio of thecircumferential component of the backstress tensor and theauxiliary variable related to the isotropic hardening allows indi-cating when the pipe may exhibit a ratcheting behaviour. Althoughthe Marquis–Chaboche elasto-plastic constitutive equations havebeen considered in the present study, the condition for ratchetingto arise is valid for any cyclic plasticity model with both isotropicand kinematic hardening, provided Eq. (15) holds. Besides, thesolution algorithm can be easily adapted to other kinematichardening rules provided the increment of the circumferentialcomponent of the backstress tensor ΔXθ can be expressed as afunction of the plastic strain increment Δεpθ of the accumulatedplastic strain increment Δp: ΔXθ ¼ f ðΔεpθ ;ΔpÞ. In this case, Eq.(25.2) would be replaced by the alternative expression.

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Fig. 9. Curves Sθ � εpθ for different amplitudes of the hoop stress. AU4G aluminium alloy at room temperature.

Fig. 10. Increment of the accumulated plastic strain per cycle δp.

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