dinâmica do movimento de rotação - física · uma bola de boliche, com 11 cm de raio e 7,2 kg de...

Profº Carlos Alberto http://www.fisicacomcarlos.blogspot.com

Disciplina: Mecânica BásicaDisciplina: Mecânica Básica

Professor: Carlos AlbertoProfessor: Carlos Alberto

Dinâmica do Dinâmica do movimento de Rotaçãomovimento de Rotação


Objetivos de aprendizagemObjetivos de aprendizagem

Ao estudar este capítulo você aprenderá:Ao estudar este capítulo você aprenderá:

✔ O que significa o torque produzido por uma força;

✔ Como o torque resultante sobre um corpo afeta o movimento de

rotação do corpo;

✔ Como analisar o movimento de um corpo que gira e também se move

como um todo pelo espaço;

✔ Como solucionar problemas que envolvem trabalho e potência para

corpos em rotação;

✔ A que se refere o momento angular de uma partícula ou de um corpo

rígido;

✔ Como o momento angular de um sistema varia com o tempo;

✔ Porque um giroscópio em rotação para pelo curioso movimento

chamado de precessão.


Linha de ação

= Braço de alavanca

Torque (ou momento da força)Torque (ou momento da força)

(módulo do Torque)(módulo do Torque)


Torque (ou momento da força)Torque (ou momento da força)

(definição do Torque)(definição do Torque)

No SI, a unidade de Torque é no newton vezes metro (N.m)


A segunda lei de Newton para rotaçõesA segunda lei de Newton para rotações

2ª Lei de Newton:

Equação para o torque:

Temos ainda que, . Assim

Se várias forças agem sobre a partícula:

Podemos estender essa equação a qualquer corpo rígido girando em torno de um eixo fixo, uma vez que o corpo pode sempre ser considerado como um conjunto de partículas.


A figura mostra um disco uniforme, de massa M = 2,5 kg e raio R = 20 cm, montado em

um eixo horizontal fixo. Um bloco de massa m = 1,2 kg está pendurado por uma corda de

massa desprezível que está enrolada na borda do disco. Determine a aceleração do

bloco em queda, a aceleração angular do disco e a tensão na corda. A corda não

escorrega e não existe atrito no eixo.

Exemplo 10.9: (halliday, p277)Exemplo 10.9: (halliday, p277)


Algumas correspondências entre os movimentos Algumas correspondências entre os movimentos de translação e rotaçãode translação e rotação


Um anúncio fazendo propaganda da potência desenvolvida pelo motor de um automóvel

afirma que o motor desenvolve 1,49•105 W para uma rotação de 6000 rpm. Qual é o

torque desenvolvido pelo motor?

Exemplo 10.8: (Young, p330)Exemplo 10.8: (Young, p330)

Um motor elétrico exerce um torque constante de 10 N•m sobre um esmeril montado

em seu eixo motor. O momento de inércia é I = 2,0 kg•m². Sabendo que o sistema

começa a se mover a partir do repouso, calcule o trabalho realizado pelo motor em 8,0 s

e a energia cinética no instante final. Qual é a potência média desenvolvida pelo motor?



Rotação de um corpo rígido em torno de um eixo móvelRotação de um corpo rígido em torno de um eixo móvel

Todo movimento possível de um corpo rígido pode ser representado como uma combinação do movimento de translação do centro de massa e de uma rotação em torno de um eixo passando pelo centro de massa.


Rolamento como uma combinação da rotação e translaçãoRolamento como uma combinação da rotação e translação

(rolamento sem deslizamento)

cicloide


Rolamento sem deslizamentoRolamento sem deslizamento

Rotação pura Translação pura Rolagem+ =

Energia Cinética no Rolamento:Energia Cinética no Rolamento:


Uma bola de boliche, com 11 cm de raio e 7,2 kg de massa, rola sem deslizar a 2,0 m/s,

na pista de retorno horizontal. Ela continua a rolar, sem deslizar, ao subir uma rampa até

a altura h, quando atinge momentaneamente o repouso e desce de volta. Considere-a

uma esfera homogênea e determine h.

Exemplo 9.16: (Tipler, p302)Exemplo 9.16: (Tipler, p302)


Um taco atinge uma bola de bilhar horizontalmente em um ponto a uma distância d acima

do centro da bola. Determine o valor de d para o qual a bola rolará, sem deslizar, desde o

início. Escreva sua resposta em termos do raio R da bola.

Exemplo 9.17: (Tipler, p302)Exemplo 9.17: (Tipler, p302)


Um ioiô primitivo é feito enrolando-se um fio diversas vezes

em torno de um cilindro de massa M e raio R. Você

mantém presa a extremidade do fio enquanto o cilindro é

liberado sem velocidade inicial. O fio desenrola, mas não

desliza nem se dilata a medida que o cilindro cai e gira.

(a) Use considerações de energia para achar a velocidade vcm do centro de massa de cilindro sólido depois que ele

caiu até uma distância h.

(b) Qual a aceleração de cima para baixo e a tração no fio?



Atrito e rolamentoAtrito e rolamento


Uma bola uniforme, de massa M = 6,00 kg e raio R, rola suavemente, a partir do repouso,

descendo uma rampa inclinada de ângulo θ = 30,0º. A bola desce uma distância vertical h

= 1,20 m para chegar à base da rampa.

(a) Qual é sua velocidade ao chegar à base da rampa?

(b) Quais são o módulo e a orientação da força de atrito que age sobre a bola quando ela

desce a rampa rolando?

Exemplo 11.2: (Halliday, p300)Exemplo 11.2: (Halliday, p300)


Momento angularMomento angular

(Definição de momento angular)(Definição de momento angular)

No SI, a unidade do momento angular é o

quilograma vezes metro quadrado por segundo.

(kg•m²/s)

(módulo do momento angular)(módulo do momento angular)

(2ª Lei de Newton para rotação)(2ª Lei de Newton para rotação)(Sistema de partículas)(Sistema de partículas)

(Corpo rígido, eixo fixo)(Corpo rígido, eixo fixo)


A figura mostra uma vista superior de duas partículas que se movem com velocidade constante ao longo de trajetórias horizontais. A partícula 1, como momento de módulo p1

= 5,0 kg.m/s, tem vetor posição r1 e passará a 2,0 m do ponto O. A partícula 2, com um

momento de módulo p2 = 2,0 kg.m/s, tem um vetor posição r2 e passará a 4,0 m do ponto

O. Quais são o módulo e a orientação do momento angular total em relação ao ponto O

do sistema formado pelas duas partículas.

Exemplo 11.4: (Halliday, p305)Exemplo 11.4: (Halliday, p305)


Na figura abaixo, três partículas de massa m = 23 g estão presas a três barras de

comprimento d = 12 cm e massa desprezível. O conjunto gira em torno do ponto O com

velocidade angular ω = 0,85 rad/s. Em relação ao ponto O quais são

(a) o momento de inércia do conjunto,

(b) o módulo do momento angular da partícula do meio e

(c) o módulo do momento angular do conjunto?

Questão 39: (Halliday, p321)Questão 39: (Halliday, p321)


Conservação do momento angularConservação do momento angular

“Quando o torque externo resultante que atua sobre um sistema é igual a zero, o

momento angular do sistema permanece constante (se conserva)”.

Se

“Se a componente do torque externo resultante que age sobre um sistema ao longo

de um certo eixo é nula, a componente do momento angular ao longo desse eixo

permanece constante, sejam quais forem as mudanças que ocorrem dentro do

sistema”.

(sistema isolado)(sistema isolado)


Conservação do momento angularConservação do momento angular


Um acrobata professor de física está em pé sobre o centro de uma mesa girante,

mantendo os braços estendidos horizontalmente com um haltere de 5,0 kg em cada mão.

Ele está girando em torno de um eixo vertical e completa uma volta em 2,0 s. Calcule a

nova velocidade angular do professor, quando ele aproxima os dois halteres do

estômago, e discuta como isso modifica sua energia cinética. Seu momento de inércia

(sem halteres) é igual a 3,0 kg•m², quando seus braços estão estendidos, diminuindo para

2,2 kg•m²,quando suas mão estão próximas do estômago. Os halteres estão inicialmente

a uma distância de 1,0 m do eixo e a distância final é igual a 0,20 m. Considere os

halteres como partículas.

Exemplo 10.11: (Young p.335)Exemplo 10.11: (Young p.335)


A figura abaixo mostra dois discos: um deles (A) é o volante de um motor, de massa 2,0

kg e raio de 0,20; o outro (B) é um disco de embreagem ligado a um eixo de transmissão, de massa de 4,0 kg e raio de 0,10 m. Seus momentos de inércia são IA e IB; inicialmente

eles estão girando com uma velocidade angular constante ωA = 50 rad/s e ωB = 200

rad/s. respectivamente. A seguir, empurramos os dois discos juntos, aplicando forças que

atuam ao longo do eixo, de modo que sobre nenhum dos dois discos surge torque em

relação ao eixo. Os discos se deslocam unidos e acabam atingindo a mesma velocidade

angular final ω.

Exemplo 10.12 e 10.13: (Young p.335)Exemplo 10.12 e 10.13: (Young p.335)

(a) Deduza uma expressão para ω e obtenha

seu valor.

(b) A energia cinética se conserva durante o

processo?

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