dinâmica · do corpo se movem em um círculo cujo centro está sobre o eixo de ... cilindro...
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Corpo rígido É um conceito limite ideal, de um corpo indeformável que pode girar comtodas suas partes travadas conjuntamente sem sofrer qualquer mudança. A distânciaentre duas partículas quaisquer do corpo é constante
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O Corpo rígido conserva a sua forma durante o seu movimento
CORPO RÍGIDO
São corpos cuja dimensões não são desprezáveis
Todas as partículas sofrem o mesmo deslocamento durante o mesmointervalo de tempo, de modo que todas possuem, em qualquerinstante, a mesma velocidade e aceleração.
MOVIMENTOS DE UM CORPO RÍGIDO
1º - O movimento de translação (movimento linear) quandotodos os pontos percorrem trajetórias paralelas. Todos os pontos semovem ao longo de uma linha reta e todos os pontos sofrem omesmo deslocamento linear em um mesmo intervalo de tempo.
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2º - O movimento de rotação (movimento angular) quandotodos os pontos percorrem trajetórias circulares. Todos os pontosdo corpo se movem em um círculo cujo centro está sobre o eixo derotação e todos os pontos descrevem o mesmo ângulo em ummesmo intervalo de tempo.
Movimento rotacional puro
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MOVIMENTOS DE UM CORPO RÍGIDO
Movimento translacional
+
rotacional
3º - Combinação do movimento de rotação e de translação
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MOVIMENTOS DE UM CORPO RÍGIDO
6
x
z
y
MOVIMENTO DE ROTAÇÃO DE UM CORPO RÍGIDO
Rotação de um corpo rígido em torno de um eixo fixo. Significa que arotação ocorre em torno de um eixo que não se move.
O eixo fixo é denominado eixo de rotação
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é a posição angular do corpo rígido
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Exemplos de movimento de rotação
MOMENTO DE INÉRCIA DE UMA MASSA
• A aceleração angular da massa infinitesimal Δm em torno do eixo AA` devido à aplicação de um momento, é proporcional a r2 Δm.
r2 Δm = momento da inércia da massa Δm relativamente ao eixo AA’
• Raio de giro, k : m
IkmkI 2
• Para um corpo de massa m a resistência à rotação em torno do eixo AA' é:
ae uma mass Inércia dMomento dedmr
mrmrmrI
2
2
3
2
2
2
1
• Momento de inércia relativamente ao eixo coordenado y é:
dmxzdmrI y 222
• Similarmente, para o momento da inércia relativamente aos
eixos x e z:
dmyxI
dmzyI
z
x
22
22
MOMENTO DE INÉRCIA DE UMA MASSA
• Em unidades SI:
]m[kg 22 dmrI
Se um corpo rígido compõe de poucas partículas, podemos
calcular o momento de inércia
No entanto se o corpo rígido constituir de um grande número
de partícula (meio contínuo) para encontrarmos I temos que
integrar
Cálculo do Momento de Inércia
dmrI 2
2
iirmI
haste é uniforme: CM é o seu centro.
Cálculo do Momento de Inércia
Exemplo: Haste fina uniforme de massa M e comprimento L.
Qual o momento de inércia?
dmrI 2
Suponha que queremos encontrar o
momento de inércia I de um corpo de
massa M em torno de um eixo dado.
reformulando
temos o teorema dos eixos paralelos
Teorema dos Eixos Paralelos
Momentos de inércia de alguns corpos homogêneos
Momentos de inércia de massa para formas geométricas comuns
Barra fina
Placa retangular fina
Prisma retangular
Disco delgado
Cilindro circular
Cone circular
Esfera maciça
2 21 1
2 2C G GE m v I
A energia cinética está relacionada com o movimento dos corpos.
ENERGIA CINÉTICA
A energia cinética de um corpo rígido é constituída por duas partes:
energia cinética de translação (referida á velocidade do seu cento de
massa) e de rotação (determinada a partir do conhecimento do
momento de inércia do corpo em relação ao seu centro de massa)
Os diagramas cinemáticos das velocidades podem ser úteis na
determinação das variáveis vG e w ou para estabelecer entre
estas duas variáveis.
G
Gv
Gr
G
vvG
Energia cinética: movimentos de translação e de rotação (eixo fixo)
Translação: Sempre que um corpo rígido de massa m está sujeito
a um movimento de translação retilínea ou curvilínea, a energia
cinética de rotação é nula pois w = 0:
Rotação em torno de um eixo fixo: Quando um corpo rígido roda
em torno de um eixo fixo, o corpo apresenta energia cinética de
translação (em G) e de rotação.
2
1
2C OE I
2 2 21 1
2 2O G G C G GI I m r E m v I
2 2 21 1
2 2C G Gx GyE m v m v v
pois
Trabalho de uma força Introdução
Os métodos do trabalho e da energia são utilizados para analisar
o movimento plano de corpos rígidos.
O princípio do trabalho e da energia é utilizado na solução de
problemas de movimento plano de corpos rígidos que envolvam
forças, deslocamentos e velocidades.
Pontos de análise do trabalho de uma força:
- Uma força realiza trabalho quando se move segundo a sua linha de
ação.
- Graficamente o trabalho é igual à área sob a curva Força - Deslocamento.
- O sinal positivo para o trabalho de uma força é definido pelos sentidos
dos vetores força/momento e deslocamento.
- O diagrama de corpo livre deve considerar todas as forças e momentos
que realizam trabalho ao longo da trajetória do corpo rígido.
Forças que atuam em corpos rígidos sem realizar trabalho
Forças aplicadas a pontos fixos ou perpendiculares à direção
do deslocamento:
- Reações em pinos de dimensões desprezíveis, em relação aos
quais o corpo se move.
- Reação normal quando atua sobre um corpo que se move
sobre uma superfície fixa.
- Força gravitacional quando o seu centro de gravidade se move
num plano horizontal.
- Força de resistência ao rolamento de um corpo roliço quando
rola sem deslizar sobre uma superfície rugosa (isto porque a
força atua em um ponto do corpo com velocidade nula).
Trabalho realizado Formulação Matemática Observações
Força variável
Força constante
Força gravitacional
Força exercida por uma mola
Binário de momento variável
Binário de momento constante
F ts
W F ds (FC)t representa a componentetangencial da força (segundo a direçãodo movimento).
CF C t
W F s
k1: deformação inicial da mola
k2: deformação final da mola
O sinal para W é definido pelossentidos dos vetores força e
deslocamento.
gF gW F h
2
1
dMWM
M
W M
Trabalho realizado por diferentes forças
(F)t representa a componentetangencial de F.
2
1
2
22
1
2
1kxkxWk
O princípio do trabalho e energia pode ser aplicado na solução de
problemas que envolvam mecanismos constituídos por diversos
elementos (corpos rígidos). O principio, deve ser aplicado a cada um dos
elementos isoladamente.
2121 CC EWE
Quando vários corpos são interligados por pinos, conectados por cabos
indeformáveis ou interligados entre si sem a utilização de elementos
flexíveis o princípio do trabalho e energia pode ser aplicado a todo o
sistema de corpos interligados.
Princípio do trabalho e energia
Esta equação estabelece que a variação da energia cinética do corpo (de
translação e de rotação), entre os instantes inicial e final, é igual ao
trabalho realizado por todas as forças e momentos externos que nele
atuam.
CONSERVAÇÃO DA ENERGIA
Quando sobre um sistema atuam apenas forças conservativas o princípio
do trabalho e energia pode ser substituído na resolução de problemas
pelo teorema da conservação da energia.
Energia potencial gravitacional GP ygmEg
A convenção de sinais utilizada para a energia potencial gravitacional é a
mesma que a apresentada para o trabalho realizado pela força
gravitacional.
Energia potencial elástica 2 x2
1kE
eP
A energia potencial elástica é considerada positiva quando os vetores
força elástica e deslocamento têm o mesmo sentido. É negativa quando
os sentidos dos vetores referidos é oposto.
CONSERVAÇÃO DA ENERGIA MECÂNICA
ENERGIA MECÂNICA
22. 11 )2( PCFPC EEWEE
consnão
PCm EEE )1( com:RT CCC EEE
eg PPP EEE
O termo da equação 2, WF não cons. representa o trabalho realizado pelas
forças não conservativas como a força de atrito. Se este termo for nulo
então a equação 2, vem:
212211 mmPCPC EEEEEE Teorema da conservação da
energia mecânica
Potência
A potência mecânica (P) de uma máquina quantifica a sua
capacidade de trabalho por unidade de tempo.
Assim, se uma máquina é capaz de aplicar a um corpo
rígido:
• uma força Ft sobre um ponto com velocidade v,
P [w]t
t
F dsdWF v
dt dt
[w] P
Mdt
dM
dt
dW
• um momento M à velocidade angular w,
7000N.m @ 2700rpm
Para realizar o mesmo
trabalho sobre o
comboio, a locomotiva
mais recente precisará de
mais tempo do que o que
a outra máquina porque é
menos potente.
SD80MAC (USA, 1994)
PRR S1 (USA, 1938)
potência disponível p/a tração
Conceito de potência
Relações da Translação e Rotação
