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DETERMINAÇÃO DO GEÓIDE Aula 10

INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO, CIÊNCIA E TECNOLOGIA SUL DE MINAS GERAIS Câmpus Inconfidentes

INTRODUÇÃO

Segundo ARANA (2009) a determinação do geóide tem o significado da determinação da posição que este ocupa em relação ao elipsóide. Assim, determinar o geóide consiste na obtenção da separação, em todos os pontos, das superfícies do elipsóide e do geóide. Convencionalmente, são atribuídos os sinais positivos às ondulações acima do elipsóide e negativos em caso contrário.

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INTRODUÇÃO A tecnologia GNSS e a popularização dos equipamentos que fazem uso dela, deram mais relevância ao geóide, pois, sua determinação deixa de ser importante apenas no posicionamento horizontal e faz-se importantíssimo no posicionamento vertical.

Atualmente, uma operação relativamente simples com receptores GNSSS, permite a determinação das coordenadas cartesianas de um ponto P(X,Y,Z) sobre a superfície terrestre. A partir dos parâmetros elipsoidais do sistema de referência, pode-se calcular as correspondentes coordenadas geodésicas desse ponto P(ϕ,λ,h).

O cálculo da altitude ortométrica (H) do ponto envolve o conhecimento da ondulação do geoidal (N) no ponto considerado, pois as altitudes geométricas e as ortométricas estão relacionadas pela equação, que segue:

H = h - N

INTRODUÇÃO De acordo com ARANA (2009), existem três métodos para a determinação de N e, que apesar da longa existência destes métodos eles se mantém atuais.

•  O primeiro método adota a fórmula proposta por STOKES e o geóide obtido é denominado de geóide gravimétrico, visto que N é obtida a partir da anomalia da gravidade.

•  O segundo método utiliza o desvio da vertical, obtido pela comparação das coordenadas astronômicas e geodésicas, o geóide assim determinado é denominado de astrogeodésico, utilizando-se fórmulas de Vening-Meinesz que através das anomalias da gravidade, determina-se as componentes dos desvios da vertical e a partir destas a ondulação do geóide é determinada em relação a outro ponto cuja ondulação do geóide seja conhecida.

•  O terceiro método utiliza dados obtidos das observações aos satélites artificiais. Classificados em dois grupos: •  satélites para aplicações geométricas; e •  satélites para aplicações dinâmicas.

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INTRODUÇÃO

Segundo SÁ (1993) apud ARANA (2009), as técnicas mais usadas para a determinação do geóide com alta precisão, visando o nivelamento com GNSS, consistem basicamente na representação das altitudes geoidais através de componentes distintas, denominadas global, a regional e local. •  A componente global é determinada a partir dos coeficientes que

representam o esferoide (elipsóide de revolução (TORGE, W. 1980));

•  A componente regional é determinada a partir de dados do campo de gravidade reduzidos ao esferoide; e

•  A componente local introduz correções calculadas através de dados complementares, tais como modelos digitais da topografia e da densidade da crosta.

Determinar N a partir da anomalia da gravidade

De acordo com GEMAEL (2012) no trabalho de Stokes, publicado com o título de: On the variation of gravity at the surface of the Earth. São tratados dois tópicos:

1.  Conhecendo-se a forma de uma superfície equipotencial S, limitante de um sistema de massas atrativas dotado de movimento de rotação, e o valor da gravidade em um ponto da superfície, determinar o campo externo independente de qualquer hipótese sobre a distribuição das massas no interior da superfície;

2.  Inversamente, conhecendo-se o valor da gravidade em todos os pontos de uma superfície equipotencial, determinar a forma dessa superfície.

No ano de 1849, o matemático George Gabriel Stokes desenvolveu a fórmula que leva seu nome, fundamental à Geodésia Física, pois proporciona a determinação da separação geóide - elipsóide em função da anomalia da gravidade. Fonte: Wikipédia

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Convém antecipar que Stokes, em sua dedução original, admitiu a inexistência de massas externas à superfície equipotencial, o que não ocorre com a Terra, pois as massas topográficas são externas ao geoide. Também admitiu uma aproximação esférica, negligenciando quantidades da ordem de 0,003N; como N < 100m, isso significa negligenciar valores não superiores a 30 cm.


Onde: •  R = raio médio terrestre; •  α = é o azimute em torno do ponto de cálculo; •  γ = é a gravidade normal na superfície do elipsóide de referência geocêntrico; •  Ψ = é o ângulo geocêntrico, ou distância esférica, entre o ponto de interesse e o

ponto utilizado na integração; •  Δg = anomalia média da gravidade; •  S(Ψ) = função de Stokes, obtida em função da distância angular entre o ponto

onde se calcula a ondulação e o elemento de área dS, que contribui na determinação de N.

αdA

dS

Ψ

dΨ

Segundo LOBIANCO (2005) podemos definir a Integral de Stokes como:

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Como: dS = R2senΨdΨdαPodemos escrever N da seguinte forma:

Podemos também utilizar coordenadas geográficas (φ,λ); e como estamos admitindo a hipótese esférica, ν e φ são, respectivamente, colatitude e latitude geocêntricas e, como tal, grandezas complementares. Então, fazendo dS = R2cosφ’dφ’dλ’. N irá assumir a seguinte forma:

Integra λ Integra φ


Sendo (φ’,λ’) as coordenadas do elemento de área associado à anomalia Δg’; N é a ondulação geoidal no ponto P(Ψ, λ) com: cosΨ = senφsenφ’ + cosφcosφ’cos(λ’ – λ) .

λ-λ’

φ’φ

Ψ

α

dσ

P

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A aplicação da integral de Stokes pressupõe a inexistência de massas externas ao geoide. A supressão das massas topográficas (externas ao geoide) e das correspondentes massas de compensação isostática, normalmente processada na redução de valores observados de g, satisfaz a condição da aplicação da integral de Stokes. Porém, por outro lado, acarreta um novo problema: produz uma Terra fictícia, com a consequente alteração do potencial gravífico. O Valor de N proporcionado em tais condições pela fórmula de Stokes representa a separação entre o elipsoide de referência e um “geoide fictício” denominado cogeoide.

Cogeoide


•  Aproximação esférica; •  A integração deve ser estendida a toda superfície terrestre, isto é, torna-se

necessário dispor de estações gravimétricas em quantidade e distribuição geográfica convenientes;

•  O potencial perturbador deve ser harmônico em qualquer ponto externo do geoide;

•  A fórmula de Stokes propicia a separação cogeoide-elipsoide; •  A dedução de Stokes exige a igualdade das massa do elipsoide e da Terra; •  Pressupõe que o esferopotencial sobre o elipsoide seja numericamente igual ao

geopotencial sobre o geoide; •  O centro de massa da Terra deve coincidir com o do elipsoide;

Restrições e dificuldades na aplicação da Integral de Stokes

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Determinar N a partir da desvio astrogeodésico

O desvio da vertical em um ponto é definido como sendo o ângulo compreendido entre a vertical e a normal neste ponto. Usualmente este ângulo é decomposto em duas componentes; a componente meridiana e a componente primeiro vertical.

Através das coordenadas astronômicas e geodésicas, pode-se calcular as componentes do desvio da vertical através das fórmulas de Laplace.

Fonte: ARANA (2009)

Determinar N a partir da desvio astrogeodésico

Nota-se na figura anterior que a diferença da ondulação do geóide entre dois pontos, separados a uma distância infinitesimal ds, será de

O símbolo ε representa o desvio da vertical na direção. Para manter a coerência do sinal das componentes do desvio da vertical, positivo nos sentidos sul-norte e oeste-leste, adota-se o sinal negativo na equação.

Para pontos separados por uma distância maior, a diferença da ondulação geoidal de dois pontos A e B, será determinada pela função:

onde:

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EXERCÍCIO 1.  Calcular a ondulação geoidal (N) entre os pontos A e B

referenciados ao SAD69: A.  φa = -20º 08’ 41,5”, λa = -50º 11’ 40,6” e φ = -20º 08’ 43,6”, λ = -50º 11’ 39,3” B.  φa = -19º 55’ 22,8”, λa = -50º 42’ 14,8” e φ = -19º 55’ 20,8”, λ = -50º 42’ 00,2”

ΔN = R*105*sin(1”)*sin(1’)*(ξ”Δφ’ + η”Δλ’cosφ)

Onde:ξ” = 0,5(ξA + ξB)η” = 0,5(ηA + ηB)Δφ’ = φB – φAΔλ’ = λB – λAR = raio da Terra considerando o modelo esférico

Determinar N a partir de modelos geoponteciais

De acordo com RAPP (1996) apud ARANA (2009), a representação do potencial gravitacional da Terra através de séries harmônicas esféricas tem sido um dos objetivos da comunidade geodésica a mais de 40 anos. Dados gravimétricos obtidos de satélites e de superfície tem possibilitado uma maior e mais precisa representação do geopotencial. A combinação destes dados permitiram os cálculos dos coeficientes dos modelos do geopotencial até o grau 360.

Os modelos de alto grau podem ser usados para uma variedade de aplicações, dentre as quais, cita-se:

•  cálculo da predição das órbitas de satélites;

•  uso em estudos simulados que envolvem quantidades gravimétricas; e

•  cálculos de ondulações geoidais.

O uso mais frequente dos modelos geopotencias de alto grau tem sido na determinação da ondulação do geóide ou da anomalia de altitude. Este uso é devido à facilidade proporcionada pelo GNSS nas determinações da altura geométrica e consequente necessidade do conhecimento da altura geoidal.

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Os modelos mais divulgados são:

•  os da série Smithsonian Astrophysical Observatory Standar Earth (SAO-SE);

•  o Goddard Earth Model – Natinal Aeronautics and Space Administration (NASA – GEM);

•  o Ohio State University (OSU);

•  o Groupe de Recherche Spatial – Institut Universität Müchen (GRIM); e

•  o GeoPotential Model (GPM).

Alguns destes modelos foram determinados a partir de dados orbitais de satélites (GEM-T1 e GEM-T2), enquanto outros combinam estes elementos com observações gravimétricas e altimétricas (OSU-86, OSU-89, OSU91A, GPM1 e GPM2).

Determinar N a partir de modelos geoponteciais O Modelo OSU91A

Desenvolvido pela Ohio State University no ano de 1991. Os coeficientes do grau de 2 à 50 foram gerado a partir do modelo GEM-T2 e de anomalias de gravidade médias em blocos de 30’x30’ e de dados altimétricos da superfície dos oceanos gerados pelo Geosat. As anomalias da gravidade terrestres foram combinadas com anomalias estimadas. Os coeficientes de grau 51 à 360 foram obtidos a partir do modelo GEM-T2 combinados com anomalias da gravidade espaçadas de 30’.

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O Modelo EGM2008 Nas últimas décadas (1990-2000), tem havido uma soma de esforços envolvendo a colaboração, análises e recursos do National Imagery and Mapping Agency (NIMA), da NASA Goddard Space Flight Center (NASA/GSFC) e da Ohio State University. Como resultado desta junção de esforços, tem-se o novo modelo global do campo gravitacional da Terra denominado Earth Gravitational Model 1996 (EGM96). A forma do modelo EGM96 é uma expansão do potencial gravitacional (V). O desenvolvimento do EGM96 deu-se com uso dos dados da gravidade do NIMA e dados de satélites da NASA/GSFC. A NIMA proporcionou dados da anomalia da gravidade de todo o globo terrestre de 30’ e 1º , esta anomalia foram determinada a partir de pontos de anomalia da gravidade de 5’X5’ obtidos do arquivo de altura do geóide do GEOSAT Geodetic Mission. Dando sequência ao EGM96, foi elaborado o modelo gravimétrico EGM2008, onde o mesmo é composto coeficientes que o representam a ondulação geoidal por grau 2190 e ordem 2159.

Determinar N a partir de GNSS & Nivelamento Geométrico

A realização do rastreamento dos satélites do sistema GNSS sobre duas RN (Referência de Nível) propicia a determinação da ondulação do geóide. Assim, em uma linha formada por duas RN com alturas geométricas conhecidas, pode-se interpolar a ondulação do geóide em pontos desta linha, ou próximo a ela.

Onde: HX – representa a altitude ortométrica do ponto X a ser interpolado; HA – representa a altitude ortométrica da RNA; ΔhAX – diferença de altura geométrica do ponto X a ser interpolado e a RNA; lAX – distância entre o ponto X a ser interpolado e a RNA; lAB – distância entre as RNA e RNB; ΔNAB – diferença de ondulação geoidal entre as RNA e RNB;

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Determinar N a partir de GNSS & Nivelamento Geométrico

Exercício: Determinar uma coordenada com GNSS sobre a linha de une os SAT do IBGE: 93949 e 93953. Conforme ilustra a imagem abaixo:

Determinar N a partir de GNSS & modelos geoponteciais

Os modelos do geopotencial tem a capacidade de representar, com fidelidade, os longos comprimentos de ondas do campo da gravidade terrestre.

Como vimos anteriormente, a determinação da ondulação geoidal a partir do rastreamento de satélites em pontos pertencentes à rede fundamental de nivelamento do Brasil, nos possibilita calcular a “real” ondulação do geóide. Já os modelos do geopotencial nos fornecem a ondulação do geoidal conforme o modelo.

A diferença entre as ondulações geoidais do modelo com as ondulações determinadas com GNSS/nivelamento permite o cálculo da “separação” entre o modelo e o efetivo geóide; considerando-se o conceito de diferenças de ondulações geoidais das várias RN existentes na região de estudo (Modelo Geopotencial – GNSS/nivelamento).

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Assim, o procedimento para a determinação da ondulação do geóide pelos modelos do geopotencial associado ao GNSS/nivelamento, deve-se primeiramente:

•  determinar a ondulação do geóide pelo modelo do geopotencial, em um ponto qualquer de interesse pertencente à região;

•  aplicar o modelo matemático ao ponto de interesse, determinando assim a separação entre os modelos matemático e geopotencial;

•  considerar a separação obtida na determinação da ondulação do geóide a partir do GNSS associado ao modelo do geopotencial.

Fonte: ARANA (2009)

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O Modelo Geoidal do IBGE

O MAPGEO2010, assim como os modelos anteriores (MAPGEO92 , MAPGEO2004), foi concebido e produzido conjuntamente pelo Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística (IBGE), através da Coordenação de Geodésia (CGED), e pela Escola Politécnica da Universidade de São Paulo – EPUSP. Este modelo foi calculado com uma resolução de 5’ de arco, e o Sistema de Interpolação de Ondulações Geoidais foi atualizado. Através deste sistema, os usuários podem obter a ondulação geoidal em um ponto ou conjunto de pontos, cujas coordenadas refiram-se tanto a SIRGAS2000 quanto a SAD69.


O Modelo Geoidal do IBGE

O MAPGEO2010, assim como os modelos anteriores (MAPGEO92 , MAPGEO2004), foi concebido e produzido conjuntamente pelo Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística (IBGE), através da Coordenação de Geodésia (CGED), e pela Escola Politécnica da Universidade de São Paulo – EPUSP. Este modelo foi calculado com uma resolução de 5’ de arco, e o Sistema de Interpolação de Ondulações Geoidais foi atualizado. Através deste sistema, os usuários podem obter a ondulação geoidal em um ponto ou conjunto de pontos, cujas coordenadas refiram-se tanto a SIRGAS2000 quanto a SAD69.

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08,12 m

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

ARANA, J. Introdução a Geodésia Física. FCT-UNESP – Presidente Prudente, 2009. CATALÃO, J. Geodésia Física. Faculdade de Ciências da Universidade de Lisboa – Lisboa, 2000. GEMAEL, C. Introdução à Geodesia Física. Ed. UFPR – Curitiba, 2012. IBGE. http://www.ibge.gov.br/home/geociencias/geodesia/modelo_geoidal.shtm, consultado em 01/11/2014. LOBIANCO, M.C.B., BLITZKOW, D., MATOS, A.C.O.C. O Novo Modelo Geoidal para o Brasil. IV Colóquio Brasileiro de Ciências Geodésicas - Curitiba, 2005. SNEEUW, N. Physical Geodesy. Institude of Geodesy Universität Stuttgart – Stuttgart, 2006.

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DÚVIDAS?

e-mail: [email protected]

Fonte: BOLSTAD P., 2012.

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