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Transformações de Coordenadas Prof. Paulo Augusto Ferreira Borges Fevereiro 2016

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Transformações de Coordenadas

Prof. Paulo Augusto Ferreira Borges

Fevereiro 2016

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SUMÁRIO

1. Introdução ....................................................................................................................................... 3

2. Objetivos ......................................................................................................................................... 3

3. Transformação de Coordenadas SIRGAS 2000 em SAD 69 .................................................................. 3

4. Transformação de Coordenadas Cartesianas Geocêntricas Coordenadas Geodésicas (φG, λG) ............ 4

5. Transformação de Coordenadas Geodésicas (φG, λG) Coordenadas Cartesianas Geocêntricas ............ 4

6. Transformação de Coordenadas Geodésicas em Coordenadas Plano-Retangulares TM e vice versa ....... 5

7. Exemplo Prático de Transformações de Coordenadas ......................................................................... 9

8. Plano Topográfico Local .................................................................................................................. 11

9. Exemplo Prático de utilização de um Plano Topográfico Local ........................................................... 22

10. BIBILIOGRAFIA .............................................................................................................................. 25

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1. Introdução

Em função do uso em grande escala dos sistemas de posicionamento por meio de satélites nas mais

diversas áreas do conhecimento, os quais nos fornecem as coordenadas cartesianas de um ponto da

superfície terrestre referidas a um terno ortogonal geocêntrico, torna-se necessário saber manipular os

cálculos necessários para se transformar estas coordenadas em diferentes referenciais geodésicos e em

diferentes sistemas de coordenadas. Estas transformações são de grande importância no campo das

geociências, uma vez que existem diferentes aplicações que requerem a utilização de sistemas de

coordenadas e de referenciais geodésicos específicos.

2. Objetivos

Neste trabalho objetiva-se apresentar os procedimentos necessários para se realizar diferentes tipos

de transformações de coordenadas.

Inicialmente serão apresentados os métodos para a transformação entre diferentes sistemas

geodésicos de referência, particularmente entre o sistema geocêntrico SIRGAS 2000 e o sistema

topocêntrico SAD 69. Posteriormente serão apresentados os cálculos necessários para se converter as

coordenadas cartesianas geocêntricas em coordenadas geodésicas curvilíneas.

Finalmente, devido à necessidade de representação em planta dos dados coletados sobre a

superfície terrestre, apresentaremos os procedimentos para a transformação das coordenadas geodésicas

para o sistema de projeção UTM e também para o sistema topográfico local.

Com o intuito de apresentar na prática essas transformações, tomaremos os pilares dispostos ao

longo da raia olímpica da USP para executar as transformações sobre suas coordenadas, sendo estas

conhecidas, uma vez que fazem parte da rede de estações SAT GPS homologadas pelo IBGE. Os pilares

utilizados serão os seguintes: P1, P2, P3, P4, P5, P6, P7A além do ponto de monitoramento contínuo da

Escola Politécnica (EPUSP).

3. Transformação de Coordenadas SIRGAS 2000 em SAD 69

Com a adoção do sistema SIRGAS 2000 (época de referência 2000,4) como o novo sistema de

referência geodésico para o SGB e para o Sistema Cartográfico Nacional, ficam estabelecidos a partir da

Resolução do Presidente do IBGE n° 1 de 25/02/2005, os novos parâmetros para a transformação entre os

sistemas SIRGAS 2000 e SAD 69.

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• SAD 69 para SIRGAS 2000

a1 = 6.378.160 m

a2 = 6.378.137 m

f2 = 1/298,257222101

ΔX = - 67,35 m

ΔY = + 3,88 m

ΔZ = - 38,22 m

• SIRGAS 2000 para SAD 69

a1 = 6.378.137 m

a2 = 6.378.160 m

f1 = 1/298,257222101

ΔX = + 67,35 m

ΔY = - 3,88 m

ΔZ = + 38,22 m

a1, f1 = parâmetros geométricos do elipsóide do sistema de origem

a2, f2 = parâmetros geométricos do elipsóide do sistema de destino

(X, Y, Z) = parâmetros de transformação entre os sistemas

4. Transformação de Coordenadas Cartesianas Geocêntricas

Coordenadas Geodésicas (φG, λG)

NYX

h

X

Y

uaeYX

usenbeZ

G

CC

C

CG

CC

CG

cos

arctan

cos**

**'arctan

22

3222

32

b

a

YX

Zu

uu

u

uusenonde

CC

*tan;tan1

1cos;

tan1

tan

22

2

22

5. Transformação de Coordenadas Geodésicas (φG, λG) Coordenadas

Cartesianas Geocêntricas

GC

GGC

GGC

senheNZ

senhNY

hNX

21

cos

coscos

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6. Transformação de Coordenadas Geodésicas em Coordenadas Plano-

Retangulares TM e vice versa

6.1 Constantes Elipsoidais

10

1..

8

1..

6

1..

4

1..

2

1..1..

222

22

0

2

eaFeaEeaD

eaCeaBeaA

10

108

1086

10864

108642

108642

131072

639

65536

3465

16384

315

131072

31185

2048

315

512

35

16384

10395

4096

2205

256

105

64

15

65536

72765

2048

2205

512

525

16

15

4

3

65536

43659

16384

11025

256

175

64

45

4

31

eF

eeE

eeeD

eeeeC

eeeeeB

eeeeeA

2

222

2

222

2

2

'1

')2(.b

bae

a

bae

a

baf

e

eeffe

e = primeira excentricidade do elipsóide

e’ = segunda excentricidade do elipsóide

f = achatamento da elipse meridiana

a = semi-eixo maior da elipse meridiana

b = semi-eixo menor da elipse meridiana

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6.2 Conversão de Coordenadas Geodésicas em UTM

Segue abaixo as equações utilizadas para a transformação de coordenadas geodésicas em

coordenadas planas retangulares UTM.

42243

1

42

1

2

00 495."1.cos..24

1""1.cos..

2

1"..' tsensenNsensenNKBKN

222265

1

6 3507205861."1.cos..720

1" ttsensenN

2233

1

3

10 1."1.cos.6

1""1.cos..".' tsenNsenNKE

2224255

1

5 5814185."1.cos.120

1" tttsenN

fusodocentralmeridianodooesteapontoEKN

fusodocentralmeridianodolesteapontoEKE

sulhemisférionoNKN

nortehemisférionoNN

etsene

aN

sensensensensenB

onde

E

E

N

'

'

'

'

cos'tan1

10.8.6.4.2..

3600."

221

0

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6.3 Conversão de Coordenadas UTM em Geodésicas

1º Passo: O cálculo de M, comprimento do arco de meridiano, que é a distância vertical ao longo da

superfície terrestre partindo do Equador até o ponto, é feito com a fórmula a seguir:

)(10000000

)(

0

0

0

0

EquadordoSulK

NMM

EquadordoNorteK

NMM

centralmeridianonoescaladereduçãodeecoeficientk 0

OBS: A latitude de origem M0, no UTM padrão é zero.

2º Passo: Cálculo de ϕ1, que é a latitude do ponto no meridiano central do fuso que possui a

mesma latitude, ou comprimento do arco de meridiano, que o ponto que está sendo convertido.

2

2

1

11

11

e

ee

256

5

64

3

41

642 eeea

Mmu

...32

55

16

214

32

27

2

32

4

1

2

1

3

111

eemusen

eemusenmu

512

410978

96

1516... 1

3

1 emusen

emusen

3º Passo: Cálculo de termos intermediários, necessários para obtenção de ϕ:

1

22

1 cos' eC 1

2

1 tan T 1

221

1 sene

aN

1

22

2

11

1

1

sene

eNR

01

500000

kN

ED

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4º Passo: Fórmulas para obtenção dos valores da latitude (φ) e longitude (λ). Os valores obtidos

nos cálculos intermediários devem ser substituídos nas fórmulas a seguir.

720

'2523452989061

24

'941035

2.

tan 22

1

2

111

622

111

42

1

1

11

eCTCTDeCCTDD

RN

A notação decimal destas coordenadas são obtidas com as fórmulas a seguir.

Onde zcm refere-se à longitude do meridiano central.

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Exemplo Prático de Transformações de Coordenadas

Para fins de aplicação prática das equações de transformações apresentadas anteriormente,

tomaremos os pontos P1, P2, P3, P4, P5, P6, P7A além do ponto de monitoramento contínuo da Escola

Politécnica (EPUSP) inicialmente em coordenadas Geodésicas no sistema SIRGAS 2000 1.

Vértice Latitude φ Longitude λ h

P1 -23° 33' 03,0482" -46° 43' 53,6793" 718,140 P2 -23° 33' 03,7852" -46° 43' 52,1660" 718,090 P3 -23° 33' 05,5562" -46° 43' 48,5302" 718,060 P4 -23° 33' 09,8674" -46° 43' 39,6771" 718,220 P5 -23° 33' 15,4861" -46° 43' 28,1396" 718,610 P6 -23° 33' 23,1011" -46° 43' 12,5032" 719,170 P7A -23° 33' 34,8127" -46° 42' 48,4463" 720,220

POLI -23° 33' 20,3323'' -46° 43' 49,1232'' 730,620 Coordenadas Geodésicas nos sistema SIRGAS 2000

6.4 Transformação para Coordenadas UTM em Sirgas 2000

Vértice Este Norte h

P1 323255.082 7394432.171 718,140 P2 323298.272 7394410.017 718,090 P3 323402.038 7394356.783 718,060 P4 323654.701 7394227.192 718,220 P5 323983.969 7394058.291 718,610 P6 324430.202 7393829.370 719,170 P7A 325116.710 7393477.275 720,220

POLI 323390.708 7393902.042 730,620

6.5 Transformação para Coordenadas Cartesianas em Sirgas 2000

Vértice XC YC ZC

P1 4010143.2207 -4260162.285 -2533046.321 P2 4010168.2344 -4260126.233 -2533067.088 P3 4010228.3839 -4260039.672 -2533117.027 P4 4010374.9940 -4259829.060 -2533238.688 P5 4010566.1518 -4259554.695 -2533397.316 P6 4010825.2064 -4259182.860 -2533612.314 P7A 4011223.8451 -4258610.907 -2533943.043

POLI 4010099.5035 -4259927.302 -2533538.799

1 Coordenadas oficiais disponibilizadas pelo IBGE

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6.6 Transformação para Coordenadas Cartesianas em SAD69

Vértice XC YC ZC

P1 4010210.576 -4260166.162 -2533008.096 P2 4010235.590 -4260130.110 -2533028.863 P3 4010295.739 -4260043.550 -2533078.802 P4 4010442.350 -4259832.937 -2533200.463 P5 4010633.507 -4259558.573 -2533359.091 P6 4010892.562 -4259186.737 -2533574.089 P7A 4011291.201 -4258614.784 -2533904.818

POLI 4010166.859 -4259931.180 -2533500.574

6.7 Transformação para Coordenadas Geodésicas em SAD69

Vértice Latitude φ Longitude λ h

P1 -23°33'01.2873" -46°43'52.0439" 724.871 P2 -23°33'02.0242" -46°43'50.5306" 724.821 P3 -23°33'03.7952" -46°43'46.8949" 724.792 P4 -23°33'08.1064" -46°43'38.0418" 724.952 P5 -23°33'13.7250" -46°43'26.5044" 725.343 P6 -23°33'21.3399" -46°43'10.8681" 725.905 P7A -23°33'33.0514" -46°42'46.8114" 726.956

POLI -23°33'18.5713" -46°43'47.4878" 737.348

6.8 Transformação para Coordenadas UTM em SAD69

Vértice Este Norte h

P1 323300.166 7394477.895 724.871 P2 323343.356 7394455.742 724.821 P3 323447.121 7394402.507 724.792 P4 323699.784 7394272.916 724.952 P5 324029.051 7394104.016 725.343 P6 324475.284 7393875.095 725.905 P7A 325161.791 7393523.000 726.956

POLI 323435.791 7393947.767 737.348

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7. Plano Topográfico Local

7.1 Definição do Plano Topográfico Local

É definido por um sistema plano-retangular X,Y que representa as posições de pontos de um

levantamento topográfico. Uma terceira grandeza, a altura (cota ou altitude) junta-se às coordenadas

planas X e Y, determinando a posição tridimensional dos pontos. A origem deste sistema de coordenadas

planas é um vértice geodésico com coordenadas geodésicas conhecidas e o plano de referência é

tangente, neste ponto, ao geóide, ou matematicamente, à superfície de referência (elipsóide de

referência) do sistema geodésico adotado.

Figura 8.1– Definição do Plano Topográfico Local.

Assim, todas as distâncias e ângulos determinados nas operações topográficas são pressupostos

como sendo a projeção em verdadeira grandeza sobre o Plano Topográfico Local. Neste caso há uma

coincidência da superfície de referência com o plano tangente a esta superfície, o que permite concluir

que há uma desconsideração da curvatura da Terra. Entretanto, esta desconsideração só é admitida

desde que os erros desta abstração não ultrapassem os erros provenientes das operações topográficas,

face à precisão dos instrumentos de medição e processos de cálculo empregados.

7.2 Extensão do Sistema Topográfico Local

A extensão do Sistema Topográfico Local é limitada pela precisão requerida para a determinação

das posições dos pontos no processo de levantamento e do erro ocasionado pela desconsideração da

curvatura terrestre, em um alinhamento definido pela distância do ponto mais afastado do levantamento

em relação à origem do sistema.

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Seja a Figura 8.2, onde SF é um trecho da Superfície Física, PT é o plano tangente ao geóide na

origem do Sistema Topográfico (ponto A1), R é o raio da Terra, supostamente esférica. Seja B um ponto

da superfície física, cuja projeção sobre o plano tangente é definida pelo ponto B1, e sobre o geóide é o

ponto B2.

Sejam D e D1 as distâncias entre os pontos A e B referidas ao geóide A1B2 e ao plano tangente

A1B1, respectivamente.

Figura 8.2 – Erro devido à curvatura da Terra.

Verifique que:

D1 = A1B1 = R . tan α (1)

Admitindo-se que α é um ângulo muito pequeno, pode-se escrever:

D = arco A1B2 = R.α (2)

A diferença entre D1 e D é denominada de erro planimétrico (ΔD) devido à curvatura da Terra,

portanto:

ΔD = D1 – D (3)

ΔD = R . tan α – R.α = R (tan α – α) (4)

Sendo o ângulo central α muito pequeno, convém desenvolver a função tangente em série de

potências:

tan α = α + α3/3 + 2α5/15 + 17α7/315 + ... (5)

Limitando a expressão ao segundo termo deste desenvolvimento e substituindo a expressão (5)

na equação (4) tem-se:

ΔD = R. α3 (6) 3

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Da expressão (2) tem-se α em função de R e D:

α = D/R α3 = D3/R3 (7)

Inserindo a equação (7) na equação (6) tem-se:

ΔD = D3/3R2 (8)

Esta é a expressão do erro planimétrico devido à curvatura da Terra. O erro ΔD corresponde a

um erro ε na escala E da planta, ou seja:

ΔD = ε/E (9)

Fazendo E = 1/M, onde M é o “módulo da escala”, tem-se:

ΔD = ε x M (10)

O erro ε é a menor dimensão que se pode perceber em uma planta topográfica, ou à espessura

do traço mais fino do desenho. A seguir, estão consignados na Tabela abaixo, diversos valores de

distâncias calculadas sobre o geóide e sobre o plano tangente de referência, incluindo também os erros

planimétricos “absolutos” e “relativos”.

R = Raio Médio da Terra = 6370 Km

δ = erro relativo aproximado

Os valores ideais para a extensão do Sistema Topográfico Local são admitidos como sendo de 50

km para um erro relativo máximo de 1:48.000;

Para cartografia de âmbito municipal: 70 km para em erro relativo máximo de 1:25.000;

Para cartografia, em áreas urbanas e especiais: 35 km para um erro relativo máximo de 1:100.000

Entretanto, pode-se reduzir estes valores considerando-se o relevo do terreno. A altitude da

maioria dos pontos do terreno não deve variar de 150 m da altitude média do terreno conforme a

finalidade do levantamento topográfico. Tanto no caso dos valores ideais para a determinação da área de

α D1 = R . tan α D = R.α ΔD (m) δ

8’ 14823,690 14823,663 0,027 1 : 550.000

9’ 16676,659 16676,621 0,038 1 : 430.000

10’ 18529,631 18529,579 0,052 1 : 350.000

12’ 22235,585 22235,495 0,090 1 : 250.000

12,5’ 23007,661 23007,560 0,100 1 : 230.000

13’ 24088,567 24088,453 0,115 1 : 210.000

13,1’ 24335,632 24335,514 0,118 1 : 205.000

13,25’ 24551,814 24551,692 0,122 1 : 201.000

13.5’ 25015,060 25014,932 0,129 1 : 190.000

15’ 27794,545 27794,368 0,176 1 : 150.000

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abrangência do sistema como no de suas reduções em função do relevo do terreno, deve-se estabelecer

novos planos tangentes de modo que cada sistema apresentará uma origem distinta, porém “amarrados”

entre si em pontos comuns cujas coordenadas geodésicas são conhecidas.

Nos levantamentos topográficos regulares, em função dos instrumentos utilizados no processo de

medição e das metodologias de cálculo empregadas, admite-se erros relativos da ordem de 1:200.000.

Isto equivale a um erro de aproximadamente 10 cm em 20 km. Logo pode-se concluir que não há a

necessidade de correção do erro devido à curvatura nestas circunstâncias, sendo que a partir deste limite

a curvatura da terra já não se torna desprezível. Convém, entretanto, verificar a escala da planta e o erro

admissível conseqüente, e assim efetuar ou não a correção ΔD. Por outro lado, na maioria dos casos o

levantamento topográfico não excede o espaço do terreno limitado por uma malha do canevas geodésico

(lados entre 5 e 6 km), o que permite admitir a hipótese de que em uma porção do terreno nestas

circunstâncias, a curvatura terrestre é desprezível.

7.3 O Sistema Topográfico Local

O sistema topográfico local, conforme consta na NBR 13133 (1994), pode ser descrito pelas

seguintes características:

a) as projetantes são ortogonais à superfície de projeção, ou seja, o centro de projeção está

localizado no infinito;

b) a superfície de projeção é um plano normal à vertical do lugar no ponto da superfície terrestre

considerado como origem do levantamento, sendo seu referencial altimétrico referido ao datum vertical

brasileiro;

c) as deformações máximas inerentes a desconsideração da curvatura terrestre e a refração

atmosférica podem ser definidas (de forma aproximada) pelas seguintes expressões:

l = - 0,004 mm/3 Km;

h = + 78,5 mm/2 Km;

h’ = + 67,0 mm/2 Km;

onde:

l = deformação planimétrica devido à curvatura da Terra, em mm

h = deformação altimétrica devido à curvatura da Terra em mm

h’= deformação altimétrica devido ao efeito conjunto da curvatura da Terra e da refração

atmosférica, em mm/distância considerada no terreno, em Km.

d) o plano de projeção tem a sua dimensão máxima limitada a 80 Km a partir da origem de

maneira que o erro relativo, decorrente da desconsideração da curvatura terrestre, não ultrapasse

1/35000 nesta dimensão e 1/15000 nas imediações da extremidade desta dimensão.

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e) a localização planimétrica dos pontos, medidos no terreno e projetados no plano de projeção,

se dá por intermédio de um sistema de coordenadas cartesianas, cuja origem coincide com a do

levantamento topográfico.

Conforme a alínea (e), temos que, em um levantamento topográfico a posição relativa dos

pontos da superfície terrestre é caracterizada pelas coordenadas num sistema cartesiano ortogonal, em

duas dimensões (Ver Figura 8.3). A origem dos dois eixos cartesianos coincide com a origem do sistema

topográfico local, onde o eixo das ordenadas (Y) está orientado segundo a direção Norte-Sul verdadeira

coincidindo-se com a linha do meridiano na origem. O eixo positivo das abscissas (X) forma 90º na

direção Leste.

Figura 8.3 – Coordenadas Plano Retangulares no plano topográfico local.

O sistema topográfico local, face às suas limitações quanto à sua extensão (conforme visto no

item 8.2), permite tratar a superfície matemática da terra, dada pelo elipsóide de revolução, como sendo

supostamente uma esfera (esfera de adaptação de Gauss), onde o raio da Terra é dado pelo raio médio

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do elipsóide de referência no ponto definido como sendo a origem do sistema topográfico local (ver

Figura 8.4).

Figura 8.4 – O sistema topográfico local.

Para que todas as distâncias e ângulos determinados nas operações topográficas sejam

considerados como sendo a projeção em verdadeira grandeza sobre o Plano do Horizonte Local, faz-se

necessário elevar o plano à altitude média do terreno, transformando-se assim no plano topográfico local.

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Figura 8.5 – Conceitos básicos do sistema topográfico local.

Dessa forma, as coordenadas plano retangulares do ponto origem (apoio geodésico ao

levantamento topográfico), devem ser afetadas por um fator de elevação, determinado pela seguinte

expressão:

Rm

HRmc t

ou aproximadamente:

tHc 71057,11

As coordenadas plano retangulares da origem do sistema são dadas por X = 0 e Y = 0.

Entretanto, para evitarmos pontos no plano topográfico com coordenadas negativas, é comum arbitrar

um valor inicial para o ponto de origem, lembrando-se sempre do valor máximo para a extensão do plano

topográfico local (50 Km). Dessa forma as coordenadas do ponto de origem se apresentarão somadas de

termos constantes (exemplo, X = 150.000 e Y = 250.000) KX e KY, para os eixos X e Y respectivamente.

Logo, temos que:

YY

XX

KKY

KKX

0

0

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Para orientação dos alinhamentos utiliza-se o azimute plano de suas direções. Este azimute é

dado pelo ângulo formado por uma direção de um determinado alinhamento com o norte da quadrícula

(NQ), sendo o vértice, o ponto inicial deste alinhamento. As linhas paralelas ao eixo Y no canevas do

plano topográfico local se referem às projeções de linhas geodésicas (meridianos) paralelas ao meridiano

da origem (O). Logo, enquanto as direções Norte e Sul geodésicas, convergem para os pólos, no plano

topográfico local as direções são representadas paralelamente ao meridiano central e representam as

direções Norte e Sul de quadrícula. A diferença angular entre as direções norte-sul geodésica (NG) e

norte-sul na quadrícula (NQ) é definida como convergência meridiana, que é utilizada para

transformar o azimute verdadeiro, determinado pela astronomia, em azimute topográfico que é referido

ao norte de quadrícula e vice-versa (ver Figura 8.6).

A convergência meridiana () só deve ser considerada no caso de utilização de elementos

colhidos em planta para locação em campo com a finalidade de aviventação de rumos ou para

elaboração de memoriais descritivos de perímetros de propriedades em registros públicos ou em ações

judiciais. Em plantas de projetos e obras de engenharia, a consideração da convergência meridiana é

irrelevante

A Figura 8.6 representa o comportamento da convergência meridiana em algumas direções

indicadas nos vértices iniciais de cada direção, para um plano topográfico local situado no hemisfério sul.

A convergência meridiana nos pontos situados à leste da origem do sistema topográfico local apresenta

valores negativos, enquanto à oeste apresenta valores positivos.

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Figuras 8.6 – Exemplo da convergência meridiana no hemisfério Sul.

A Figura 8.7 a seguir representa o comportamento da convergência meridiana para um plano

topográfico local, situado no hemisfério norte. A convergência meridiana nos pontos situados à leste da

origem do sistema topográfico local apresenta valores positivos, enquanto à oeste apresenta valores

negativos.

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Figuras 8.7 – Exemplo da convergência meridiana no hemisfério Norte.

Para o caso da origem do sistema se situar exatamente no equador, conforme pode ser visto

pela Figura 8.8, tem-se as seguintes situações.

Pontos situados no eixo dos X (linha do equador): = 0;

Pontos situados no primeiro quadrante: > 0;

Pontos situados no segundo quadrante: < 0;

Pontos situados no terceiro quadrante: > 0;

Pontos situados no quarto quadrante: < 0.

Nos dois hemisférios, pontos situados exatamente no mediano da origem têm valores nulos para

a convergência meridiana .

NQ NG

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Figuras 8.8 – Exemplo da convergência meridiana quando a origem se situa na linha do equador.

Para estabelecer um sistema topográfico local,deve-se, inicialmente, calcular as coordenadas

plano retangulares dos pontos geodésicos utilizados como apoio geodésico ao levantamento topográfico.

Estas coordenadas são obtidas a partir das coordenadas geodésicas destes pontos (,) e das

coordenadas geodésicas da origem (O) do sistema (o, o), por intermédio das fórmulas da solução

inversa do problema geodésico de transporte de coordenadas geodésicas, cujas coordenadas plano

retangulares são objetos de determinação.

A origem do sistema (O) pode ser ou não, um ponto do apoio geodésico. Neste caso recomenda-

se que o mesmo esteja próximo ao centro da área do levantamento.

Caso contrário, pode ser escolhido um ponto qualquer, não necessariamente identificado e

materializado no terreno, sendo as suas coordenadas geodésicas impostas, convenientemente, a fim de

que o ponto mais afastado da área de abrangência do sistema não proporcione um erro devido à

negligência da curvatura terrestre que exceda o erro possível de ser cometido pela operação topográfica.

A partir das coordenadas plano-retangulares dos pontos de apoio geodésico, calculam-se as demais

coordenadas pelo processo convencional da topografia.

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8. Exemplo Prático de utilização de um Plano Topográfico Local

Neste exemplo foi realizado um levantamento topográfico às margens da raia olímpica da USP, a

partir de uma poligonal fechada, contendo quatro vértices (E1, E2, E3 e E4), dos quais foram irradiados

mais quatro pontos de detalhes (D001, D002, D003 e D004).

O objetivo deste exemplo é comprovar a eficácia da utilização de um sistema topográfico local

para obter coordenadas geodésicas de pontos levantados por meio de técnicas convencionais

(levantamento topográfico por meio de estações totais e teodolitos).

Para o cálculo da poligonal necessita-se conhecer as coordenadas geodésicas dos pontos de

partida e referência, aqui tomados como sendo os pontos E1 e E4, respectivamente. Para fins de análise

e comparações dos resultados, estes e os demais pontos do levantamento topográfico foram também

levantados por meio de receptores GPS de freqüência simples (L1) e cujas coordenadas geodésicas foram

obtidas a partir da correção diferencial em software tomando-se como referência o ponto 91607 (Pilar 1),

pertencente à rede de estações SAT GPS homologadas pelo IBGE. Os resultados após o pós-

processamento dos dados no software GNSS Solutions foram os seguintes:

Vértice Este Norte h

E1 323280.770 7394476.055 723.892

E2 323296.954 7394608.823 724.459

E3 323440.715 7394532.660 724.486

E4 323421.504 7394401.686 723.521

D001 323260.155 7394472.914 724.147

D002 323248.350 7394636.253 724.594

D003 323481.043 7394519.892 724.311

D004 323437.828 7394381.802 723.414

Coordenadas UTM dos Vértices obtidas por meio de receptores GPS L1

O ponto 91607 (Pilar 1) foi adotado como sendo a origem do Plano Topográfico Local, para o

qual foram arbitradas as coordenadas topográficas locais X = 150.000 m e Y = 250.000 m e cujas

coordenadas geodésicas φ0 e λo são conhecidas:

Vértice

91607

φ0 λo h (m)

23 ° 33 ' 01,2875 " S 46 ° 43 ' 52,0441 "W 724,84 Coordenadas Geodésicas do ponto Origem – Sistema SAD69

A partir das coordenadas geodésicas dos pontos E1 e E4 obteve-se via transformação de

coordenadas, suas correspondentes coordenadas topográficas locais, a partir do ponto 91607, adotado

como origem.

Vértice Coordenada X Coordenada Y

91607 (Pilar 1) 150.000,000 250.000,000

E1 149.980,585 249.998,402

E4 150.120,428 249.922,329 Coordenadas Topográficas dos pontos de origem, partida e referência da poligonal

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O levantamento topográfico foi efetuado por meio do método das direções com 1 série de leitura

(1 CD e 1 CE). As irradiações também foram efetuadas em duas posições da luneta.

Dados do levantamento topográfico efetuado pelo método das direções.

De posse dos dados de partida e referência efetuou-se o cálculo da poligonal, obtendo-se os

seguintes erros de fechamento:

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Após o cálculo e o ajustamento da poligonal por Mínimos Quadrados – Método das Equações de

Condição, obteve-se as seguintes coordenadas topográficas locais para os pontos do levantamento:

Vértice Coordenada X Coordenada Y Cota Z

E1 149980.585 249998.402 723.890

E2 149998.354 250130.990 724.462

E3 150141.212 250053.071 724.482

E4 150120.431 249922.327 723.515

D001 149959.933 249995.514 724.127

D002 149950.092 250158.980 724.608

D003 150181.376 250039.799 724.319

D004 150136.527 249902.259 723.428

Coordenadas topográficas finais obtidas após o cálculo da poligonal.

Transformando-se as coordenadas topográficas locais obtidas acima para coordenadas

geodésicas e posteriormente para UTM, obteve-se os seguintes valores:

Vértice Latitude φ Longitude λ Este Norte h

E1 -23°33'01.3394" -46°43'52.7286" 323280.7702 7394476.055 723.890

E2 -23°32'57.0301" -46°43'52.1021" 323296.9344 7394608.831 724.462

E3 -23°32'59.5626" -46°43'47.0657" 323440.7047 7394532.652 724.482

E4 -23°33'03.8119" -46°43'47.7983" 323421.5063 7394401.684 723.515

D001 -23°33'01.4333" -46°43'53.4566" 323260.1574 7394472.918 724.127

D002 -23°32'56.1204" -46°43'53.8036" 323248.3448 7394636.233 724.608

D003 -23°33'00.0000" -46°43'45.6498" 323481.0208 7394519.868 724.319

D004 -23°33'04.4642" -46°43'47.2308" 323437.8418 7394381.814 723.428

Resultados

Analisando-se os resultados obtidos a partir das duas técnicas de levantamento (GPS e

Topografia), obteve-se as seguintes diferenças:

Vértice ∆E ∆N ∆h

E1 0.0002 -0.0001 -0.0020

E2 -0.0196 0.0082 0.0030

E3 -0.0103 -0.0080 -0.0040

E4 0.0023 -0.0019 -0.0060

D001 0.0024 0.0037 -0.0200

D002 -0.0052 -0.0204 0.0140

D003 -0.0222 -0.0245 0.0080

D004 0.0138 0.0123 0.0140

Variações obtidas para as coordenadas levantadas a partir de GPS e Estação Total

Observando-se as diferenças encontradas, pode-se concluir que o levantamento por meio de

técnicas convencionais e utilizando-se do conceito do Plano Topográfico Local, permite obter

coordenadas georreferenciadas com precisões compatíveis e bem próximos aos resultados obtidos por

posicionamento GPS. Vale salientar que embora os resultados obtidos comprovam a eficácia do uso do

Plano Topográfico Local, deve-se utilizá-lo apenas em levantamentos que não excedam à extensão

máxima desse plano, onde deve-se adotar, por medida de segurança, um valor máximo de 25 km

contados a partir da origem do sistema.

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9. BIBILIOGRAFIA

1. ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS (ABNT). NBR 13133:

Execução de levantamento topográfico. Rio de Janeiro, 1994. 35p.

2. ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS (ABNT). NBR 14166: Rede de

referência cadastral municipal - procedimento. Rio de Janeiro, 1998. 23p.

3. ESPARTEL, Lelis. Curso de Topografia. 9ª ed. Rio de Janeiro, Globo, 1987.

4. GEMAEL, Camil. Astronomia de Campo (1ª parte). Curitiba: UFPR.,[s. ed.], 1971.

5. GEMAEL, Camil. Astronomia de Campo (2ª parte). Curitiba: UFPR.,[s. ed.], 1971.

6. LIMA, Divaldo Galvão. “Sistema Topográfico Local” - São Paulo - 1995 em publicação.

7. LIBAULT, André. Geocartografia. São Paulo: Editora Universitária.,[s. ed.], 1975.

8. LOCH, Carlos; CORDINI, Jucilei. Topografia Contemporânea: Planimetria: Florianópolis: Ed. da

UFSC, 1995. 320 p.

9. UZÊDA, Olívio Gondim. Topografia. Rio de Janeiro: Ed. Ao Livro Técnico., 1963.