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DESPERTANDO O INTERESSE PELA MATEMÁTICA: RELATO DE UMA

ATIVIDADE DE MODELAGEM MATEMÁTICA

Sonia Maria Gabriel MatheusDocente da Rede Estadual de educação do Paraná

Prof.ª Dr.ª Lilian Akemi KatoUniversidade Estadual de Maringá - UEM

Resumo

Este trabalho relata uma experiência com Modelagem Matemática no ensino que foirealizada com alunos de uma Escola Pública Estadual do Paraná no ano de 2008. Oobjetivo deste trabalho foi investigar e analisar possíveis contribuições que as atividades demodelagem Matemática podem oferecer para a aprendizagem do conceito de função paraalunos do ensino médio. Neste trabalho foi analisado como os alunos se comportam econstroem o conceito de função durante o desenvolvimento de atividades norteadas pelaModelagem Matemática. As análises realizadas evidenciaram que, quando foi propostoatividades por meio de Modelagem Matemática os alunos sentiram-se motivados adesenvolver as atividades propostas, conseqüentemente o processo de aprendizagem ali seiniciou. Por meio desta experiência de ensino foi possível perceber modificações nasrelações entre professora, alunos e o conhecimento matemático, melhorando as relações deensino-aprendizagem.

Palavras-chave: Modelagem Matemática. Funções. Ensino-aprendizagem.

Abstract

This work tells an experience with Mathematical Modelling in the teaching that wasaccomplished with students of a State Parana’s Public School in the year of 2008. Theobjective this work went investigates and to analyze possible contributions that the activitiesof Mathematical Modeling can offer for the learning of the function concept for students of themedium teaching. In this work it was analyzed as the students they behave and they buildthe function concept during the development of activities norteadas for MathematicalModeling. The accomplished analyses evidence that, when he/she intends activities bymeans of Mathematical Modeling the students they are motivated to develop the activitiesproposals, consequently the learning process there begins. By means of this teachingexperience it was possible to notice modifications in the relationships among teacher,students and the mathematical knowledge, improving the teaching-learning relationships.

Key-words: Mathematical Modeling. Functions. Teaching and learning.

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Introdução

O ensino de Matemática, nas últimas décadas, tem trazido preocupações a

professores, alunos, pais e a sociedade, diante do baixo rendimento escolar,

constatado pelo elevado índice de reprovação, desinteresse, o elevado índice de

evasão e a baixa qualidade do rendimento escolar.

O que se observa nas aulas de Matemática, é que, os alunos a vêem como

uma disciplina pronta e acabada sem espaço para criatividade e construção do

conhecimento. Desta forma, muitos se comportam passivamente em relação aos

seus conteúdos. Não compreendem e não questionam.

Diante do exposto, verifica-se que existem falhas neste processo de ensino-

aprendizagem da Matemática envolvendo professores, alunos e a escola. Existe

assim, uma necessidade de mudança nas crenças e nos valores da cultura escolar,

repensando o papel da Matemática na vida do aluno. Nesse sentido, busca-se uma

proposta que contenha os ingredientes necessários para um novo posicionamento

do professor, diante da conjuntura atual da prática docente em Matemática, que

façam os alunos se interessar pelo estudo dessa disciplina e que venha contribuir

para a formação do aluno, enquanto ser social.

Para que a escola se torne uma instituição geradora e socializadora de

conhecimentos com qualidade, é necessário que suas estratégias de ensino sejam

continuamente atualizadas, atendendo às exigências e necessidades da

comunidade onde está inserida.

No Estado do Paraná a Secretaria de Estado da Educação, em parceria com

a Secretaria de Estado da Ciência, Tecnologia e Ensino Superior, instituiu o

Programa de Desenvolvimento Educacional – PDE, como uma política educacional

inovadora de Formação Continuada dos professores da rede pública estadual

(SEED, 2007).

O Programa de Desenvolvimento Educacional – PDE demonstra

preocupação com a formação permanente dos educadores proporcionando ao

professor PDE o retorno às atividades acadêmicas de sua área de formação

No período de 2007, a primeira turma de professores PDE participa de uma

ampla gama de atividades propostas pela Secretaria de Estado e Educação - SEED



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e pelas Instituições de Ensino Superior - IES. Este conjunto de atividades

proporciona aos professores momentos de reflexão e fundamentação teórica sobre

temas educacionais, que lhes possibilita uma compreensão das políticas públicas da

educação básica, bem como uma atualização de conhecimentos científicos

relacionados à sua área de atuação.

O programa apresenta-se como uma oportunidade para que professores da

educação básica, conjuntamente com os professores das IES, repensem as suas

práticas pedagógicas, atualizem conhecimentos e elaborem estratégias para

compartilhar suas novas ações com os outros professores da rede de ensino que

ainda não ingressaram no programa. Desta forma, o PDE oportuniza também a

participação de todos os professores da rede pública estadual que também

apresentam uma vasta vivência da problemática que aflige o dia-a-dia na sala de

aula. Especificamente no caso da Matemática optamos trabalhar por Modelagem

Matemática no Ensino Médio como norteadora do trabalho a ser elaborado, pois se

por um lado há uma necessidade de atualização de conhecimentos científicos por

parte dos docentes, por outro o ensino da matemática tem trazido preocupações a

professores, alunos, pais e à sociedade diante do baixo rendimento escolar. Por

esse motivo, a modelagem matemática pode contribuir oferecendo condições para

uma possível superação de tal problema.

Diversos autores defendem o uso da Modelagem Matemática em sala de

aula, (BASSANEZI, 2002), (BARBOSA, 2004), (BIEMBENGUT, 2005) apontando-a

como uma alternativa metodológica que pode contribuir para melhorar o

desempenho escolar dos alunos facilitando a aprendizagem, de modo que os

mesmos alcancem um aprendizado mais significativo, contribuindo na formação de

sujeitos ativos do conhecimento, capazes de atuar como cidadãos conscientes dos

problemas da sociedade.

Percebe-se que a maneira tradicional como o conceito de Função tem sido

desenvolvido por muitos professores do Ensino Fundamental e Médio, não tem

conduzido o aluno a uma aprendizagem significativa do conceito de função. É de

fundamental importância, para que a aprendizagem do aluno possa ser significativa,

que se relacione o conceito que envolve a função com suas aplicações práticas.

Assim, o presente trabalho tem por objetivo identificar possíveis contribuições

que atividades de Modelagem Matemática podem oferecer na aprendizagem do



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conceito de funções de alunos do Ensino Médio.

Este artigo descreve os resultados da implementação da proposta do projeto

“Modelagem Matemática como estratégia para o ensino e aprendizagem de

Matemática no Ensino Médio” do programa PDE desenvolvido no Colégio Estadual

Humberto de Campos de Querência do Norte – Pr. no ano de 2008.

Para iniciar este estudo realiza uma pesquisa bibliográfica sobre a

Modelagem Matemática e sobre o ensino de Funções do qual é apresentado

alguns pontos relevantes para prosseguir o trabalho. Em seguida, relatam-se

algumas atividades de modelagem desenvolvidas em sala de aula com comentários

e observações realizadas.

Modelagem Matemática

Pesquisas realizadas na área de Educação Matemática apontam que a

matemática ensinada na sala de aula bem como a forma como vem sendo ensinada,

não contribuem de forma efetiva para formação da cidadania enquanto seres

sociais.

De acordo com BASSANEZI (2006, p.17),

No caso da Matemática, é necessário buscar estratégias alternativas deensino-aprendizagem que facilitem sua compreensão e utilização. Amodelagem matemática, em seus vários aspectos, é um processo que aliateoria e prática, motiva seu usuário na procura do entendimento darealidade que o cerca e na busca de meios para agir sobre ela etransformá-la. Nesse sentido, é também um método científico que ajuda apreparar o indivíduo para assumir seu papel de cidadão.

As Diretrizes Curriculares de Matemática para a Educação Básica do Paraná

apresentam algumas considerações sobre tendências metodológicas, que compõem

o campo de estudo da Educação Matemática. A proposta metodológica da

Modelagem Matemática “tem como pressuposto que o ensino e a aprendizagem da

Matemática podem ser potencializadas ao se problematizarem situações do

cotidiano. Ao mesmo tempo em que se propõe a valorização do aluno no contexto

social, procura levantar problemas que sugerem questionamentos sobre situações

de vida” (SEED, 2006, p.6).



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FIORENTINI (1995, p.32) diz que:

O aluno aprende significamente Matemática, quando consegue atribuirsentido e significado às idéias matemáticas – mesmo aquelas mais puras(isto é, abstraídas de uma realidade mais concreta) – e, sobre elas, écapaz de pensar, estabelecer relações, justificar, analisar, discutir e criar.

Assim, o conhecimento matemático deve proporcionar condições para que o

estudante possa conscientizar-se das questões sociais, políticas, econômicas e

históricas que vivencia.

A falta de conexão entre a matemática escolar e a matemática da vida

cotidiana do aluno, é um fator que contribui para as dificuldades, encontradas pelos

alunos, no entendimento de determinados assuntos no âmbito escolar.

Para Biembengut (2005) “[...] matemática e realidade são dois conjuntos

disjuntos, e a modelagem é um meio de fazê-las interagir”.

Para BASSANEZI (2006, p. 177):

A modelagem de situações-problemas envolvendo a realidade cotidianafunciona como elemento motivador para o aprendizado dos alunos. Talefeito motivador não se reflete apenas no aprendizado da matéria, mastambém revela aos alunos a interação que existe entre as diversasciências. ... A Modelagem Matemática utilizada como estratégia de ensino-aprendizagem é um dos caminhos a ser seguido para tornar um curso dematemática, em qualquer nível, mais atraente e agradável. Umamodelagem eficiente permite fazer previsão, tomar decisões, explicar eentender, enfim, participar do mundo real com capacidade de influenciarem suas mudanças.

Para BARBOSA (2004, p.75), "a Modelagem é um ambiente de

aprendizagem no qual os alunos são convidados a problematizar e investigar, por

meio da matemática, situações com referência na realidade".

Em seu artigo BEAN (2001, p.52) enfatiza que “a modelagem oferece uma

maneira de colocar a aplicabilidade da matemática“. Esta interação da matemática

escolar com a vida do aluno desempenha um importante papel no ensino

aprendizagem, pois dá sentido ao conteúdo estudado, facilitando sua aprendizagem.

Oferece ao aluno oportunidades de participação durante as aulas, e proporciona

momentos de aprendizagem mais significativa, o que auxilia na formação do aluno.

Ao refletir sobre diversos autores que têm defendido o uso da Modelagem

Matemática em sala de aula, como BASSANEZI (2002), BARBOSA (2004),



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BIEMBENGUT (2005) percebe-se que a Modelagem Matemática relaciona a

Matemática com a realidade em que os alunos estão inseridos.

Para se utilizar a modelagem matemática como metodologia de ensino, é

importante definir algumas etapas que são necessárias ao desenvolvimento do

processo. As atividades a serem desenvolvidas, com os alunos, durante a

metodologia da modelagem, podem ser agrupadas em fases distintas que segundo

BIEMBENGUT (2005,) destaca as seguintes:

1. Interação – onde ocorre o envolvimento com o tema (realidade) a ser

estudado/problematizado, através de um estudo indireto (por meio de jornais, livros

e/ou revistas) ou indireto (por meio de experiências em campo).

2. Matematização – onde ocorre a “tradução” da situação-problema para

a linguagem matemática. É aqui que se formula um problema e escreve-o segundo

um modelo matemático que leve à solução.

3. Modelo Matemático – onde ocorre a “testagem” ou validação do

modelo obtido, através da análise das respostas que o modelo oferece quando

aplicado à situação que o originou, no sentido de verificar o quanto são adequadas

ou não. “Se o modelo não atender às necessidades que o geraram, o processo deve

ser retomado na segunda etapa [...] mudando-se ou ajustando-se hipóteses,

variáveis, etc”.

BASSANEZI (2006, p.175) comenta sobre:

O desafio do professor, que toma o caminho da modelagem como métodode ensino, é ajudar o aluno a compreender, construindo relaçõesmatemáticas significativas, em cada etapa do processo.Se um modelo é inadequado para atingir determinados objetivos, é naturaltentar caminhos que permitem construir outro melhor ou, então, analisá-lo,de modo comparativo, tomando como referência outro existente. O modelonunca encerra uma verdade definitiva, pois é sempre uma aproximaçãoconveniente da realidade analisada e, portanto, sujeito a mudanças – esteprocesso dinâmico de busca a modelos adequados, como protótipos dedeterminadas entidades, é o que se convencionou chamar de ModelagemMatemática.

Tem como um dos objetivos interpretarem e compreender os diversos

fenômenos do nosso cotidiano, de forma criativa, motivadora e eficaz; provocando,

por exemplo, um crescimento no desempenho escolar do aluno em termos de

conteúdos matemáticos. Contribuindo no preparo das futuras profissões, auxiliando

no desenvolvimento do raciocínio do aluno como cidadão crítico, na sua



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compreensão do papel sócio-cultural da matemática, tornando-a importante e

agradável.

Sobre a utilização da modelagem em sala de aula BARBOSA (2003),

comenta sobre a flexibilidade da implementação de Modelagem Matemática no

contexto escolar e apresenta como regiões de possibilidades de Modelagem o que

ele denomina de "casos". Para o autor os "casos" são categorizados conforme a

quantidade de tarefas que compete ao professor e/ou aos alunos desenvolverem

dentro do processo de Modelagem, na sala de aula.

No caso 1, o professor apresenta um problema, devidamente relatado,com dados qualitativos e quantitativos, cabendo aos alunos a investigação.Aqui, os alunos não precisam sair da sala de aula para coletar novosdados e a atividade não é muito extensa....Já no caso 2, os alunos deparam-se apenas com o problema parainvestigar, mas têm que sair da sala de aula para coletar dados. Aoprofessor, cabe apenas a tarefa de formular o problema inicial. Nessecaso, os alunos são mais responsabilizados pela condução das tarefas.......no caso 3, trata-se de projetos desenvolvidos a partir de temas "não-matemáticos", que podem ser escolhidos pelo professor ou pelos alunos.Aqui, a formulação do problema, a coleta de dados e a resolução sãotarefas dos alunos. (BARBOSA, 2004, P.76,77)

Em geral nas primeiras experiências, o trabalho fica mais centrado no

professor, ou seja, o professor toma para si a maior parte das tarefas, e à medida

que começa a sentir-se mais seguro, transfere-as assumindo, cada vez mais, o

papel de mediador entre o conhecimento e o aluno.

A modelagem Matemática é uma forma de trazer propostas de ensino que

possam levar estímulo do mundo externo para o mundo abstrato da Matemática.

Estratégias para o ensino e aprendizagem de funções no Ensino Médio

O ensino de funções, como é proposto nas escolas de Ensino Médio,

apresenta consideráveis dificuldades conceituais e metodológicas. Os professores

mostram uma grande preocupação com definições e notações rigorosas

(CAMPITELI, 2006). Se gasta muito tempo explicando as operações de união,

interseção e produto cartesiano de conjuntos, para se chegar à definição de função

como um caso particular de relação entre dois conjuntos.



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“O tratamento que se dá ao ensino de funções não tem sido adequado porque

não se dá um lugar de relevo a relação da matemática com a realidade”

(CAMPITELI, 2006, p.15).

Em geral, os livros didáticos apresentam o conteúdo de função de maneira

bastante formalizada e sem muitas aplicações. Pouca ênfase é dada para a

representação de fenômenos que podem ser descritos por esta função.

O ensino de funções como é visto em vários livros didáticos, do Ensino

Médio, estão carregados de terminologias e notações de maneira artificial e

descontextualizados. O professor deve então planejar ações educativas a serem

desenvolvidas em sala de aula, de maneira a possibilitar a superação dos problemas

de ensino e aprendizagem do conceito de função, beneficiando o bom aprendizado

das idéias matemáticas. BIEMBENGUT (2001, p. 43) diz que:

Apesar do valor da teoria matemática, ”sustentáculo” das aplicações,acreditamos que o ensino de Matemática, integrando teoria e aplicação,pode contribuir para os alunos, em particular do Ensino Fundamental eMédio, melhor compreenderem os temas abordados.

A modelagem matemática contribui “para que se promova uma aprendizagem

não apenas da teoria matemática, mas também da área em que seja ferramenta“

(BIEMBENGUT, 2001, p. 43).

Situações de modelagem matemática podem contribuir para que os alunos

percebam o aspecto dinâmico do conceito de função, como uma relação à variação

entre duas grandezas. Além disso, pode se conceber as funções como uma

ferramenta, a ser utilizada para explicar e entender várias situações reais.

A modelagem matemática ajuda o aluno a interpretar e compreender os

diversos fenômenos do nosso cotidiano que podem ser representados por funções

matemáticas, de forma criativa, motivadora e eficaz.

Atividades de Modelagem desenvolvidas em sala de aula

As atividades com modelagem Matemática foram desenvolvidas com os

alunos da 1a série do Ensino Médio do Colégio Estadual "Humberto de Campos" do

município de Querência do Norte-Paraná, num período de aproximadamente um



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bimestre, no primeiro bimestre do ano de 2008.

No colégio, o conteúdo de funções vem sendo apresentado por meio de

material organizado pelos professores e com recurso de livros didáticos, o que se

tornou um desafio a mais para a realização das atividades com modelagem.

Por estar inseridos em curso regular de ensino com conteúdo programático a

ser seguido e cumprido, e sendo a primeira vez a utilizar o recurso da Modelagem

Matemática em sala de aula foi definido, previamente, o tema a ser trabalhado com

os alunos. O tema escolhido: Velocidade.

Fez necessário um estudo detalhado do tema para limitar o que deveria ser

estudado, pois poderiam ser enfatizados vários aspectos. No entanto, neste trabalho

o enfoque é para a estimativa do valor da velocidade em várias situações. A

intenção é direcionar o trabalho na busca de um modelo, que utilize as funções

matemáticas como modelo matemático para descrevê-lo.

Para iniciar as atividades com Modelagem Matemática o professor conversa

com os alunos sobre a forma que irá abordar o conteúdo de funções, que será

desenvolvido de forma diferente da habitual, com outra metodologia. Explica que

serão propostas atividades com Modelagem Matemática da qual o professor

elaborou um problema inicial devidamente relatado com dados qualitativos e

quantitativos, cabendo aos alunos a investigação e resolução.

Utiliza-se a metodologia de trabalho em grupo para que cada aluno possa

socializar suas idéias com os demais. Durante as atividades o professor estimula o

debate, discussões, troca de experiências.

Para avaliar o trabalho com modelagem matemática deverá ser utilizados

vários instrumentos de coleta de informações. Observações durante o

desenvolvimento das atividades como: falas dos alunos, atitudes que forem

importantes deve ser registrada e a análise dos trabalhos produzidos pelos alunos

precisa ser incorporada como elementos de informação. Será solicitadas duas

produções de textos, a primeira antes de iniciar as atividades de Modelagem

Matemática e a segunda após a conclusão do trabalho de Modelagem Matemática.

Em relação às produções, a primeira tem como objetivo identificar as percepções

dos alunos sobre o tema a ser desenvolvido. E a outra produção será aplicada para

verificar se houve mudança no sentimento e no modo de aprender Matemática, bem

como se o aluno achara interessante trabalhar os conteúdos com o tema proposto e



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se essa metodologia de ensino facilitou a compreensão do conceito de função.

A descrição a seguir é uma forma abreviada de algumas situações de

modelagem matemática desenvolvidas em sala de aula.

Primeiro Momento:

Na primeira atividade o professor solicita aos alunos a produção de um texto a

partir das questões: O que você entende por velocidade? O que você entende

quando falamos em função?

Em seguida alguns relatos são lidos e uma discussão sobre o assunto se

inicia.

Comentários:

Neste primeiro momento ocorre o envolvimento dos alunos com o tema. As

questões propostas pelos alunos e suas respectivas respostas servem para o

professor avaliar o que e quanto os alunos conhecem e o grau de interesse a

respeito do tema abordado.

Os alunos não produziram um texto, responderam as perguntas

separadamente. Provavelmente não perceberão relação entre velocidade e função.

A maioria descreveram a velocidade associada a rapidez de um movimento. Veja os

registros:

“Na minha opinião quando eu ouso a palavra “velocidade” eu penso que étudo aquilo que corre muito rápido. Ex: carro, moto, bicicleta,etc.” (registrode aluno)“Velocidade é o tempo que você leva para percorrer de um lugar paraoutro.” (registro de aluno)

Ao se referirem à função descreveram como um cargo que uma pessoa

ocupa. Quando citam a função no sentido matemático descrevem como conta.

“Função é o que você tem que fazer por exemplo o professor tem a funçãode ensinar.” (registro de aluno)“Uma função que uma determinada pessoa tem numa empresa, em suacasa, ou seja função e que nos essecutamos num determinadoespaço.cada um de nós temos uma função cabe a nós essecutala domelhor jeito possível.”( registro de aluno)“Eu entendo em dois tipos de função: Emprego, “você é destinada a fazeruma certa função”e função também conheço por conta.” (registro dealuno).



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Segundo Momento:

Utiliza-se um projetor multimídia para apresentar slides contendo a seguinte

situação:

DEVAGAR!!!

140 na curva? Vai rapidinho pro céu...

No percurso, rumo à balada, aconteceu de tudo: furou o pneu, acabou a

gasolina...

Vamos ajudar os nossos colegas.

Como podemos monitorar a velocidade do carro, se o velocímetro não

funciona?

Como poderíamos estimar a velocidade do carro?

Comentários:

A situação-problema foi estabelecida pelo professor visando proporcionar aos

alunos o primeiro contato com o processo de modelagem.

Os alunos ficaram curiosos em saber como descobrir a velocidade, como

poderiam agir para não ultrapassar a velocidade permitida na rodovia, se seriam

multados, se corriam risco de acidentes. Levantaram hipóteses de solução, gerando



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uma discussão, onde a maioria dos alunos empolga. Trataram o problema como um

“Problema” que qualquer pessoa poderia enfrentar no dia-a-dia, mas eles não

sabiam exatamente como proceder. Durante a discussão os alunos se propuseram a

buscar informações, através de uma pesquisa, sobre as leis de trânsito. Nesse

momento, alguns alunos sugeriram que fosse dividido o trabalho em equipes, e que

cada equipe apresentasse aos demais colegas da classe o resultado das pesquisas

realizadas. O professor acompanhou o trabalho dos alunos em sala de aula,

ajudando a organizar e escolher os temas a serem pesquisados.

Os temas escolhidos pela turma foram:

Como tirar a carteira de habilitação

Acidentes ocasionados por excesso de velocidade

Sinalização nas rodovias

Leis de trânsito

Infrações no trânsito e suas medidas

Definidos os temas, o próximo passo foi à organização da turma em grupos,

de até cinco componentes. Cada grupo ficou encarregado de realizar a pesquisa em

período extraclasse. Algumas equipes buscaram informações na auto-escola da

cidade, outros fizeram pesquisa na internet. A turma tornou-se ativa, algumas

equipes apresentaram sua pesquisa utilizando cartazes ilustrativos, outras montaram

slides e utilizaram o projetor multimídia.

Durante as apresentações os alunos discutiam, trocavam informações até

pessoais. Demonstraram muito interesse, principalmente com relação aos acidentes

provocados por excesso de velocidade. Comentaram durante a discussão, que

qualquer um deles poderia enfrentar situações semelhantes às citadas nos trabalhos

apresentados.

Terceiro Momento:

Na aula seguinte o professor levanta a seguinte pergunta: O que significa

80 km/h?

Segue com a atividade:

Atividade 1: Suponha que uma pessoa realize uma caminhada com passos

constantes e no ritmo de 2 passos por segundo. Então no primeiro segundo ela terá

percorrido a distância de 2 passos, no segundo terá percorrido 4 passos, no terceiro



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terá percorrido 6 passos, e assim por diante. Complete a tabela a seguir para ajudar

a organizar essas informações.

Tabela 1: Dados referentes à Atividade 1

Tempo (em segundos) Distância (em passos) Raciocínio envolvido

1 2 2 = 2 . 1

2 4 4 = 2 . 2

3

4

5

6

... ... ...

T d d =

Observe que existe uma relação de dependência entre a distância percorrida

(em passos) pela pessoa e o tempo que ela gastou para percorrê-la. Podemos dizer

que a distância percorrida é expressa em função do tempo, isto é, a distância

depende do tempo. A cada unidade de tempo corresponde um único valor para a

respectiva distância percorrida.

Como podemos expressar essa relação de dependência?

Quando uma das variáveis depende da outra, ela sofrerá alterações em seu

valor, se houver variação da primeira. Uma das variáveis será a variável

dependente e a outra a variável independente. No problema apresentado na

Atividade 1, quem é a variável dependente? E a variável independente?

Comentários:

Várias tentativas foram feitas para explicar o que significa 80 km/h. Muitos

alunos sabem que é a velocidade do carro, mas não compreendem o significado da

representação 80 km/h. A partir das respostas dadas pelos alunos o professor

levanta outras questões que ajudam à organização as discussões e levarem os

alunos a compreenderem que naquela rodovia é permitido percorrer até 80 km em



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uma hora.

Outras atividades de livros didáticos foram propostas aos alunos com o intuito

de observarem e descobrirem relações em outras situações da vida ou em outras

áreas da matemática.

Durante a realização destas atividades o termo função foi surgindo

naturalmente e os alunos incorporaram o termo ao seu vocabulário sem dificuldades.

No começo associaram com a idéia de dependência, onde apresentavam relações

entre duas grandezas em que uma dependia da outra. Observe a fala de um aluno

durante uma atividade extraída de um livro didático:

“O valor que se paga na conta de luz está em função da quantidade de

energia que se gasta”.

O uso de tabelas para relacionar duas grandezas organizando as informações

de uma dada situação, facilita e ajuda o aluno a perceber que se variarmos o valor

da variável independente, a função associa outro valor a variável dependente. Ficam

claras, também, as associações feitas, onde a cada valor de uma das grandezas

está associado, de alguma forma, um único valor da outra grandeza.

Sem introduzir o conceito de função o aluno já incorpora o caráter dinâmico

do conceito. E os alunos começam a interiorizar o conceito por meio de experiências

de seu dia-a-dia.

Para concluir as atividades o professor introduz uma definição matemática de

função e solicita aos alunos que consultem sobre outras situações do seu dia-a-dia

que podem ser expressas por relações funcionais e procurar nos livros de

Matemática algumas definições de função.

Quarto momento

O professor lembra aos alunos da situação dos quatro amigos (problema

inicial) e utiliza os termos utilizados por eles: a velocidade está associada a “rapidez”

do movimento. E prossegue com um debate propondo várias questões. Como

podemos estimar a velocidade de um objeto em movimento? Como calcular a

velocidade? O que vocês estão estudando na disciplina de Física? Está estudando

velocidade, movimento retilíneo uniforme? Como o professor de física representa

este movimento?



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Comentários:

Houve certa dificuldade para se expressarem, então o professor apresenta

um texto sobre o Movimento Uniforme e as funções afins. Explica que a Física utiliza

modelos matemáticos (funções) para representar seus movimentos. Compara a

função da equação horária d = d0 + v.t do movimento uniforme com a função afim

representada matematicamente por y = ax + b.

No início alguns alunos apresentaram bastante dificuldade em relacionar a

função afim com a equação horária d = d0 + v.t por causa das diferentes simbologias

usadas pela física e pela matemática. Conforme compreendiam, algumas falas

eram registradas:

“A física e a matemática se encaixão se aprendem física aprendem matemática”(registro de aluno)“deu para compreender melhor as duas matérias”. (fala de aluno)“a matemática acaba ajudando nos cálculos da disciplina de física”. (fala de aluno)

Em seguida propõe a seguinte atividade:

Imagine que uma raposa faminta (predador) vê um coelho (presa) a 20m de

distância. Neste momento a raposa inicia uma corrida atrás do coelho. O coelho

muito esperto também corre rumo a um esconderijo que se localiza 10m à sua

frente. Será que a raposa conseguirá pegar o coelho? E se o esconderijo do coelho

estivesse a 20m de distância?

Para estudar a situação proposta, sugerimos o seguinte procedimento:

1- Primeiro estudaremos o movimento da raposa.

a) Escreva a equação que representa a função do movimento da raposa.

b) Represente esta função no plano cartesiano.

2- Repita o mesmo procedimento para o estudo do movimento do coelho.

a) Escreva a equação que representa a função do movimento do coelho.

b) Represente esta função no mesmo plano cartesiano utilizado para

representar o movimento da raposa.

SUGESTÂO: Utilize cores diferentes na construção do gráfico de cada

função.

3- Agora, analisando os gráficos obtidos, responda às seguintes questões:

a) O que você pode concluir sobre o comportamento dos gráficos?

b) Existe algum ponto de interseção entre o gráfico das duas funções?



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c) Qual o significado do ponto de interseção dos dois gráficos?

d) A raposa pega o coelho?

Comentários:

Para esta atividade o professor levou uma tabela contendo a velocidade

máxima de alguns mamíferos extraída do artigo “A máxima velocidade entre as

espécies”, que trata sobre a Física nos Esportes dos autores GOMES e PARTELI,

(2006).

Os alunos ficaram motivados e curiosos com a velocidade dos animais,

queriam saber qual o animal mais veloz e se surpreenderam com a chita, pois

imaginavam ser um chipanzé. Muitos alunos queriam ver imagens da chita e se

prontificaram a pesquisar na internet e trazer na aula seguinte.

Com relação à atividade proposta, alguns alunos achavam que a raposa iria

pegar o coelho, outros discordavam, criavam respostas sem embasamento teórico,

simplesmente porque assim pensavam. Alguns alunos não gostaram da sugestão

oferecida na atividade, não queriam representar em gráficos e tentaram por outros

caminhos sem muito êxito, pois não conseguiam demonstrar com clareza o

resultado, havia dúvidas no resultado. Quando os primeiros alunos terminaram os

gráficos e perceberam que os gráficos das funções expressavam com clareza a

situação proposta ficaram eufóricos e demonstravam estar felizes por

compreenderem a situação. Neste momento os outros também foram tentar pelo

modelo matemático e se encantaram com a leitura dos gráficos das funções. Neste

momento percebe-se a diferença de uma aprendizagem com significados e com

prazer daquelas em que o aluno apenas responde para obter o resultado.

Quinto Momento

Explorando um pouco mais sobre a velocidade dos animais o professor

propõe a reflexão do texto a seguir:

A fuga da presa ou o sucesso do predador estão dependentes da velocidade

de cada um, e contribuem para um maior ou menor sucesso evolutivo dos animais

envolvidos. No caso destes animais, a luta pela sobrevivência depende

simplesmente de quem corre mais rápido ao perseguir a presa desejada, ou para

fugir do inimigo.



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A lei da sobrevivência impera em todos os níveis da vida, controlando o

número de indivíduos de uma espécie a fim de que esta não entre em extinção e

nem ocorra a super população.

À sucessão de seres vivos, ordenada de acordo com a seqüência na

obtenção de alimentos na natureza, denominamos de cadeia alimentar.

Os seres vivos que produzem seus próprios alimentos são chamados de

produtores. Os que se alimentam de vegetais e animais recebem o nome de

consumidores. E os seres que decompõem restos de animais e vegetais são os

decompositores.

Em seguida o professor propõe as equipes que discutam sobre a seguinte

situação:

Vamos determinar um modelo de interação entre duas espécies, onde uma

delas (a presa) dispõe de alimentos em abundância, e a segunda espécie (o

predador) tem como suprimento alimentar exclusivamente a população de presas.

Analisando as velocidades das presas e dos predadores, você poderia

identificar algum tipo de relação entre a velocidade das presas e dos predadores?

Observe a representação de uma cadeia alimentar a seguir:

CAPIM ⇒ COELHO ⇒ RAPOSAprodutor consumidor primário consumidor secundário

presa (18 m/s) predador (20 m/s)

Discuta com seus colegas e com o professor as seguintes questões:

a) Suponha que a raposa esteja num meio no qual seu alimento seja

exclusivamente o coelho e que durante a caçada a raposa e o coelho conseguem

manter suas velocidades constantes, conforme descrito no quadro anterior. Nessas

condições, a presa vai ser capturada pelo predador?

b) Suponha que a raposa esteja num meio onde além dos coelhos existem

outras fontes de alimento. O que aconteceria se os coelhos atingissem velocidades

superiores às das raposas? Estes animais formariam uma cadeia alimentar? Por

quê?

Comentários:

Alguns alunos perceberam que nas condições da questão (a) a velocidade é



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fundamental para a sobrevivência do animal (presa ou predador) e seria possível

representar a situação usando o modelo da atividade anterior. Na questão (b) até

poderiam usar o mesmo modelo desde que fosse atribuído um valor maior para a

velocidade do coelho do que a velocidade da raposa. Porém, os alunos perceberam

que nas condições citadas esses animais não formariam uma cadeia alimentar. Fala

de um aluno: “Professora se a raposa tem outros alimentos não vai perder tempo

correndo atrás do coelho”.

Sexto Momento

Comenta sobre o problema inicial dos quatro amigos. E algumas questões

foram levantadas.

Quais instrumentos são necessários para determinar a velocidade de um

móvel?

Você deve ter observado que a velocidade é expressa por uma relação entre

duas grandezas. Esta informação ajuda os nossos colegas do problema inicial?

Como?

Então, como eles poderiam estimar a velocidade do veículo em um dado

momento da viagem, uma vez que o velocímetro está quebrado? O jeito é buscar

uma solução sem o recurso do velocímetro. O que você sugere?

Como você faria para estimar a velocidade do carro nas condições que o

quatro amigos se encontram?

Conversando com os alunos o professor propõe uma análise das soluções

propostas por eles.

O professor pede aos alunos que produzam um texto relatando sobre o

estudo das funções por meio da Modelagem Matemática e que expressem o que

acharam sobre a forma pelo qual foi desenvolvido o tema. Se esta metodologia

influenciou na aprendizagem, se gostaram.

Comentários:

Na análise dos resultados deve ocorrer o que BIEMBENGUT (2005)

denomina de validação do modelo obtido. Analisando os resultados que o modelo

oferece quando aplicado à situação que o originou, é possível refletir sobre a



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solução, verificando a ocorrência de incoerências e enganos tornando o modelo

adequado ou não.

Muitas sugestões foram propostas pelos alunos para resolver a situação

problema inicial dos quatro amigos.

“Calcular a distância percorrida com o tempo gasto... Ex: Olhar a placa develocidade permitida calcular com o tempo gasto, olhando no relógio.Ou seja, dividir a distância se descobre com placas informativas, etc.“Velocidade é a distância em função do tempo.” (registro de um grupo dealunos)

Muitas questões surgiram durante a análise dos resultados, por exemplo: Se

o velocímetro está quebrado então o marcador de quilômetros não funciona.

Disseram que são juntos. Quando um para de funcionar o outro também. Eles

perceberam que havia outro problema: como saber a distância?

Várias alternativas foram sugeridas e a que validaram como a mais viável na

visão da turma foi a de usar um relógio para medir o tempo e contar os postes de luz

a beira da estrada. Consideraram a distância entre os postes sempre iguais.

As atividades com Modelagem Matemática contribuíram para que os alunos,

por meio da compreensão e discussão das atividades e utilizando recursos

matemáticos, percebessem que é possível fazer previsões razoáveis quanto à

velocidade de um carro em movimento.

Nos textos produzidos pelos alunos aparecem citações que expressam

simpatia pelas atividades com modelagem, elogios ao trabalho, especialmente as

atividades realizadas em grupo e as discussões que oportunizam a fala do aluno.

“eu gostei muito da forma como a professora ensinou e seria melhor setoda alula fosse assim.” (registro de aluno)“eu gostei desse método de ensino, porque se tornou uma aula boa, nãocansativa e a gente aprende com as coisas do dia-a-dia...” (registro dealuno).“legal eu estou me desenvolvendo muito bem e estou gostando tomara quecontinui assinn.” (registro de aluno)

A maioria dos alunos manifesta a favor do uso da modelagem durante as

aulas de matemática. Infelizmente para alguns alunos essa visão diferenciada de

ensino não foi adquirida e para eles a forma tradicional de ensino é melhor.



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“Eu não gostei muito dessa aula, por que prefiro fazer contas no quadro,por que eu aprendo melhor. Da maneira que empregada é legal, masprefiro fazer contas, colocar a cabeça para pensar em enormes contas.”(registro de aluno)

Este aluno relata sua preocupação achando que estaríamos perdendo tempo

e negligenciando o conteúdo. Romper totalmente com a forma usual de ensino não

foi possível e outras aplicações de metodologias diferenciadas são necessárias, no

intuito de mudar tal visão.

No entanto, percebemos que a aprendizagem destes alunos por meio da

Modelagem Matemática melhorou. Alguns alunos começaram agir de forma mais

autônoma, estabelecendo relações que até então não tinha percebido ou pensado. E

isso encoraja e leva a acreditar que a Modelagem Matemática como uma alternativa

pedagógica pode contribuir para melhorar o desempenho escolar dos alunos

facilitando a aprendizagem, de modo que os mesmos alcancem um aprendizado

mais significativo, contribuindo na formação de sujeitos ativos do conhecimento,

capazes de atuar como cidadãos conscientes dos problemas da sociedade.

(BASSANEZI, 2002), (BARBOSA, 2004), (BIEMBENGUT, 2005)

Considerações Finais

Baseando nas recomendações feitas pelos autores pesquisados e nas

experiências que normalmente vivencia na sala de aula, pensou-se em novos

caminhos que conduzissem o aluno a uma aprendizagem significativa do conceito

de função.

Iniciou-se assim, com uma atividade produzida durante o estudo do PDE, no

caso o material didático: Folhas. Este material proporciona confiança, pois existia

certa insegurança em desenvolver uma modelagem onde os alunos fossem escolher

os temas. Imaginava que os alunos poderiam escolher temas que não estivesse ao

alcance do aluno e mesmo do professor, afinal não tinha nenhuma experiência com

trabalho de modelagem.

Esta primeira experiência com Modelagem Matemática permitiu avaliar as



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atitudes do professor na condução não só da modelagem em si, mas também da

aula como um todo, confirmando a necessidade de mudanças na prática pedagógica

em sala de aula.

No decorrer do trabalho com modelagem, observa-se que a maioria dos

alunos executa as atividades com gosto e prazer, pois os alunos conseguem

verificar a aplicabilidade do que estudam.

Com base nas observações realizadas em sala de aula e documentos

produzidos pelos alunos constatou-se que a escolha do tema fez despertar a

participação ativa e interessada pela maioria dos alunos, por estar relacionado ao

contexto real do seu dia-a-dia.

No decorrer das atividades com modelagem matemática, alguns alunos

começaram aceitar resoluções diferentes para o mesmo problema, pois antes

aceitavam somente a resolução do professor e procuravam resolver todos os

exercícios da mesma forma.

Nessa abordagem, o conceito de função assume um papel importante como

modelo matemático para a resolução de situações do cotidiano do aluno, bem como

ferramenta para conexão e trânsito entre áreas do saber e dentro da própria

matemática.

O trabalho com Modelagem Matemática proporciona um ambiente de sala de

aula de participação ativa dos alunos. Alguns achavam que se tornava mais

agradável desta forma, enquanto outros, com receio do novo, criticavam dizendo que

perdia muito tempo, que matemática tem que “aprender a fazer conta”.

Comparando os resultados das avaliações realizadas no período de aplicação

das atividades de Modelagem Matemática com as avaliações anteriores, percebeu-

se uma melhora significativa na forma do aluno se expressar.

A partir dessas polêmicas, confirma-se a importância de mudar a forma de

propor os conteúdos de matemática, muitas vezes, esquece de preparar o aluno

para tornar-se um cidadão ativo, critico que saiba buscar o conhecimento quando

necessitar para resolver algum problema de sua vida.

Ao analisar esta experiência percebe-se que os alunos ao se depararem com

uma situação na qual tiveram que pensar criticamente, apresenta maior

envolvimento, interesse e dedicação. Os alunos passam a enxergar a Matemática

em nosso cotidiano de uma forma prática e objetiva, não apenas aquela vista nos



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livros didáticos, sem vida e distante da realidade de seu dia-a-dia.

Com este estudo pôde-se verificar as possibilidades metodológicas oferecidas

pela Modelagem Matemática tanto para motivar quanto para a melhoria da

aprendizagem destes alunos.

Assim, a Modelagem Matemática pode ser entendida como uma alternativa

metodológica que o professor pode utilizar para ensinar Matemática, além de

diferenciar e dinamizar as nossas práticas pedagógicas.

Referências

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BASSANEZI, R. C. Ensino-aprendizagem com modelagem matemática: umanova estratégia. São Paulo: Contexto, 2006.

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BEAN, D. O que é modelagem matemática? In: Educação Matemática em Revista,São Paulo, SBEM, v.8, n.9/10, p.49-57, abril, 2001.

BIEMBENGUT, M. S. Modelagem matemática & implicações no ensino e naaprendizagem de matemática. 2ª ed. Blumenau: Edfurb, 2004,

__________. Funções Reais: Uma abordagem por meio de modelos matemáticos.In: Tópicos de Matemática para o ensino médio, Blumenau: Edifurb, 2001, p. 41 -57

BIEMBENGUT, M. S.; HEIN, N. Modelagem matemática no ensino. 4ª ed. SãoPaulo: Contexto, 2005.

CAMPITELI, H. C.; CAMPITELI, V. C. Funções. Ponta Grossa: Editora UEPG, 2006.130p.

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Brasília: Ministério da Educação, Secretaria de Educação Básica, 2006. 185 p.: il.(Coleção Explorando o Ensino; volume 7)



despertando o interesse pela matemÁtica: relato de uma atividade de modelagem matemÁtica ·...

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