desenvolvimento de software de otimização de estruturas em...
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DESENVOLVIMENTO DE SOFTWARE DE OTIMIZAÇÃO DE ESTRUTURAS
EM PÓRTICO UTILIZANDO O MÉTODO DE ELEMENTOS FINITOS
Carlos Eduardo Fernandes Paiva
Projeto de Graduação apresentado ao Curso
de Engenharia Mecânica da Escola Politécnica,
Universidade Federal do Rio de Janeiro, como
parte dos requisitos necessários à obtenção do
t́ıtulo de Engenheiro.
Orientador: Fábio da Costa Figueiredo
Rio de Janeiro
Março de 2019
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UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO
Departamento de Engenharia Mecnica
DEM/POLI/UFRJ
DESENVOLVIMENTO DE SOFTWARE DE OTIMIZAÇÃO DE ESTRUTURAS
EM PÓRTICO UTILIZANDO O MÉTODO DE ELEMENTOS FINITOS
Carlos Eduardo Fernandes Paiva
PROJETO FINAL SUBMETIDO AO CORPO DOCENTE DO DEPARTAMENTO
DE ENGENHARIA MECÂNICA DA ESCOLA POLITÉCNICA DA
UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO COMO PARTE
DOS REQUISITOS NECESSÁRIOS PARA A OBTENÇÃO DO GRAU DE
ENGENHEIRO MECÂNICO.
Aprovada por:
Prof. Fábio da Costa Figueiredo, D.Sc.
Prof. Lavinia Maria Sanabio Alves Borges, D.Sc.
Prof. Fernando Pereira Duda, D.Sc.
RIO DE JANEIRO, RJ – BRASIL
MARÇO DE 2019
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Fernandes Paiva, Carlos Eduardo
Desenvolvimento de Software de Otimização de
Estruturas em Pórtico Utilizando o Método de Elementos
Finitos/ Carlos Eduardo Fernandes Paiva. – Rio de
Janeiro: UFRJ/Escola Politécnica, 2019.
XV, 78 p.: il.; 29, 7cm.
Orientador: Fábio da Costa Figueiredo
Projeto de Graduação – UFRJ/ Escola Politécnica/
Curso de Engenharia Mecânica, 2019.
Referências Bibliográficas: p. 77 – 78.
1. Método de Elementos Finitos. 2. Otimização
de Estruturas. 3. Estruturas em Pórtico. 4.
Materiais Compósitos. I. da Costa Figueiredo, Fábio. II.
Universidade Federal do Rio de Janeiro, UFRJ, Curso de
Engenharia Mecânica. III. Desenvolvimento de Software de
Otimização de Estruturas em Pórtico Utilizando o Método
de Elementos Finitos.
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A todos os membros da equipe Mi-
nerva Aerodesign, para que este
trabalho ajude a permitir voos
mais altos. Avante Minerva!
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Agradecimentos
A Deus, por toda a minha vida, pela saúde e pelas oportunidades que me ofereceu.
Aos meus pais, Francisco e Cećılia, por todo o esforço, dedicação, incentivo e
exemplo que me ofereceram ao longo da minha vida, devo tudo o que sou a eles.
Ao meu irmão, João Vı́tor, por todos os momentos divididos nessa vida, e pelos
ensinamentos e experiências que nenhum outro irmão poderia oferecer.
Aos meus avós, Maria Alice e Rosental, por todo o carinho e afeto que sempre
tiveram por mim.
À minha segunda famı́lia, Ana Paula, José Antônio, Tiago, Daniel e Raquel, por
vários dos momentos mais felizes e divertidos da minha vida. Em especial, ao meu
padrinho, José Antônio, meu exemplo maior para seguir a Engenharia Mecânica, e
ao meu também padrinho, Tiago, pelas diversas vezes que dividimos experiências,
frustrações e alegrias durante a faculdade.
Aos professores Fábio Figueiredo, pela incansável dedicação para tornar este
trabalho melhor e mais completo; e Lavinia Borges, pela orientação e direcionamento
inicial do rumo tomado neste trabalho.
A todos os professores da minha carreira estudantil, pela dedicação e empenho
que me transmitiram ao longo da minha vida.
Aos meus colegas de curso do grupo Bananada, por todos os trabalhos, aulas
almoços, piadas e momentos vividos ao longo destes anos de Engenharia Mecânica.
Aos meus colegas de equipe Minerva Aerodesign, por todas experiências pessoais
e profissionais que inspiraram a ideia de um trabalho voltado para a equipe.
A todos que, de alguma forma, ajudaram-me a ser quem eu sou.
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Resumo do Projeto de Graduação apresentado à Escola Politécnica/UFRJ como
parte dos requisitos necessários para a obtenção do grau de Engenheiro Mecânico
DESENVOLVIMENTO DE SOFTWARE DE OTIMIZAÇÃO DE ESTRUTURAS
EM PÓRTICO UTILIZANDO O MÉTODO DE ELEMENTOS FINITOS
Carlos Eduardo Fernandes Paiva
Março/2019
Orientador: Fábio da Costa Figueiredo
Programa: Engenharia Mecânica
A equipe Minerva Aerodesign representa anualmente a Universidade Federal do
Rio de Janeiro na competição SAE Aerodesign, e é dividida em diversas áreas.
Uma destas áreas é a de Estruturas, cuja tarefa de maior dificuldade é o projeto
da estrutura da fuselagem da aeronave. Este trabalho visa facilitar o projeto da
fuselagem, desenvolvendo um software capaz de calcular a rigidez da estrutura,
segundo o método de elementos finitos, e otimizar os diâmetros dos elementos da
estrutura, cujo material é o poĺımero reforçado de fibra de carbono. Desta forma,
é posśıvel minimizar a massa da aeronave, garantindo que os fatores de segurança
determinados sejam respeitados.
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Abstract of Undergraduate Project presented to POLI/UFRJ as a partial fulfillment
of the requirements for the degree of Mechanical Engineer
DEVELOPMENT OF PORTICO STRUCTURES OPTMIZATION SOFTWARE
BASED ON THE FINITE ELEMENTS METHOD
Carlos Eduardo Fernandes Paiva
March/2019
Advisor: Fábio da Costa Figueiredo
Department: Mechanical Engineering
The Minerva Aerodesign team represents the Federal University of Rio de Janeiro
(UFRJ) in a annual competition, SAE Aerodesign. The team is divided into areas
of knowledge, one of these being the Structural area, whose hardest task is the
project of the fuselage’s structure. This paper aims to help on this task, developing
a software capable of calculating the structure’s stiffness, according to the finite
elements method, and to optimize the diameters of the structural elements, made of
carbon fiber reinforced polymer. Thus, it is possible to minimize the aircraft’s mass
while making sure that the safety factors previously set are respected.
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Sumário
Lista de Figuras x
Lista de Tabelas xii
Lista de Śımbolos e Abreviações xv
1 Introdução 1
1.1 Motivação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3 Organização do Trabalho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2 Componentes do VANT 5
2.1 Fuselagem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.2 Tailboom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.3 Estabilizadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.4 Asa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.5 Trem de Pouso Principal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.6 Bequilha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.7 Parede de Fogo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.8 Compartimento de Carga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3 Material e Métodos Utilizados 14
3.1 Material . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3.1.1 Materiais Compósitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3.1.2 Dados do Material . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.1.3 Teorias de Falha Macroscópica . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.2 Método de Elementos Finitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
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3.2.1 Estruturas Treliçadas e em Pórtico . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.2.2 Análise de Elementos por Mola . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.2.3 Análise de Elementos por Treliças . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.2.4 Análise de Elementos por Pórtico . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.3 Rotina de Otimização . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.4 Análise de Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.4.1 Tipos de Tensões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.4.2 Tensão Axial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.4.3 Análise das Tensões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.4.4 Análise da Condição Cŕıtica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
4 Modelo Computacional 52
4.1 Código e Linguagem Python . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
4.2 Análise Estática x Dinâmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
4.3 Modelagem para Forças de Impacto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
4.4 Determinação de Apoios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
4.5 Dados de Entrada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
4.5.1 Nós e Elementos da Estrutura . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
4.5.2 Forças e Momentos Externos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
4.5.3 Material . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
4.5.4 Critérios de Falha e Análise de Pouso . . . . . . . . . . . . . . 64
5 Simulações e Casos Estudados 65
5.1 Validação do Programa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
5.2 Projeto 2015 - Cavaco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
5.2.1 Análise para Vd = 2m/s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
5.2.2 Análise para Vd = 1m/s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
5.2.3 Análise para Vd = 0.5m/s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
6 Conclusão 75
Referências Bibliográficas 77
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Lista de Figuras
1.1 Modelo de Aeronave de 2015 - Minerva Aerodesign . . . . . . . . . . 1
1.2 Fluxograma com os processos e decisões de projeto da equipe . . . . . 2
2.1 Representação da aeronave projetada pela equipe e seus componentes 5
2.2 Exemplo de fuselagem sem a presença de tailboom . . . . . . . . . . . 6
2.3 Exemplo de projeto com tailboom tubular (2011) . . . . . . . . . . . . 7
2.4 Exemplo de projeto com tailboom treliçado (2014) . . . . . . . . . . . 7
2.5 Projeto dos estabilizadores utilizados pela equipe em 2014 . . . . . . 8
2.6 Projeto da asa utilizada pela equipe em 2014 - Antes da entelagem . 9
2.7 Foto da asa utilizada pela equipe em 2013 - Após a entelagem . . . . 9
2.8 Comparativo entre configurações de Trem de pouso . . . . . . . . . . 10
2.9 Foto do Trem de Pouso Principal do projeto de 2018 . . . . . . . . . 10
2.10 Demonstração do impacto absorvido pela bequilha . . . . . . . . . . . 11
2.11 Foto da bequilha utilizada pela equipe em 2014 . . . . . . . . . . . . 12
2.12 Foto da parede de fogo utilizada pela equipe em 2017 . . . . . . . . . 12
2.13 Foto do compartimento de carga utilizado pela equipe em 2017 . . . . 13
3.1 Representação de estrutura de materiais compósitos . . . . . . . . . . 15
3.2 Demonstração de Lâminas Unidirecionais . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.3 Exemplo de uma ponte com estrutura treliçada . . . . . . . . . . . . 19
3.4 Mercedes-Benz Stadium - Exemplo de estrutura em Pórtico . . . . . . 19
3.5 Exemplo de uma mola linear com forças aplicadas em cada nó . . . . 21
3.6 Exemplo de uma associação de 2 molas lineares . . . . . . . . . . . . 23
3.7 DCL da Estrutura da Figura 3.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.8 Exemplo 2D de um elemento de treliça . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.9 Exemplo 3D de um elemento de treliça . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
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3.10 Elemento sob flexão e direções tomadas como positivas para V e m . 32
3.11 DCL de um corpo sofrendo flexão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.12 Conceito assumido para que a Equação 3.37 seja verdadeira . . . . . 34
3.13 DCL de um elemento sofrendo torção . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.14 Sentidos tomados como positivos para m e φ . . . . . . . . . . . . . . 36
3.15 Linhas radiais em uma barra antes e após a torção . . . . . . . . . . . 37
3.16 Exemplo de uma barra sofrendo forças e momentos nas 3 direções . . 39
3.17 Relação entre os sistemas local e global de um elemento . . . . . . . . 41
3.18 Exceções da Equação 3.56 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.19 Relação entre os valores de De e A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.20 Relação entre os valores de De e Di . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.21 Exemplo de seção transversal sofrendo flexão em duas direções . . . . 48
3.22 Exemplo de tubo vazado submetido a um momento torsor . . . . . . 48
4.1 Demonstração das forças sobre o VANT durante a decolagem . . . . . 53
4.2 Demonstração das forças Lf e W em uma curva . . . . . . . . . . . . 54
4.3 Diagrama V-n para o projeto de 2018 - FC: 3.0 . . . . . . . . . . . . 54
4.4 Modelagem utilizada neste trabalho para o momento do pouso . . . . 57
4.5 Modelagem da distribuição da força peso sobre cada elemento . . . . 58
4.6 Modelagem para assossiação de forças de reação sobre cada nó . . . . 59
4.7 Modelagem da rigidez do trem de pouso principal . . . . . . . . . . . 59
4.8 Modelagem da rigidez do trem de pouso principal . . . . . . . . . . . 60
4.9 Modelagem da rigidez do trem de pouso principal . . . . . . . . . . . 60
4.10 Exemplo de fuselagem com nós e origem definidos . . . . . . . . . . . 63
5.1 Modelagem de estrutura de exerćıcio resolvido . . . . . . . . . . . . . 66
5.2 Modelagem de estrutura para validação do programa . . . . . . . . . 67
5.3 Representação da configuração final da fuselagem do Projeto 2015 . . 69
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Lista de Tabelas
3.1 Valores das propriedades f́ısicas do PRFC . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.2 Parâmetros relativos aos tubos de PRFC dispońıveis em mercado . . 17
3.3 Caracteŕısticas das tensões analisadas sobre o elemento . . . . . . . . 49
3.4 Valores das tensões normais e cisalhantes de cada elemento . . . . . . 49
4.1 Valores de Fatores de Carga segundo Raymer . . . . . . . . . . . . . 55
4.2 Valores de Fatores de Carga segundo Far-23 . . . . . . . . . . . . . . 55
5.1 Valores dos deslocamentos axiais encontrados por Logan e pelo pro-
grama . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
5.2 Valores dos dados de entrada do exerćıcio de validação . . . . . . . . 67
5.3 Valores dos diâmetros externos e internos utilizados na validação . . . 68
5.4 Valores dos deslocamentos encontrados pelo exerćıcio e pelo programa 68
5.5 Parâmetros estruturais para a estrutura do Projeto 2015 - Vd = 2m/s 70
5.6 Parâmetros estruturais para a fuselagem otimizada a partir do Projeto
2015 - Vd = 2m/s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
5.7 Parâmetros estruturais para a estrutura do Projeto 2015 - Vd = 1m/s 72
5.8 Parâmetros estruturais para a fuselagem otimizada a partir do Projeto
2015 - Vd = 1m/s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
5.9 Parâmetros estruturais para a estrutura do Projeto 2015 - Vd = 0.5m/s 73
5.10 Parâmetros estruturais para a fuselagem otimizada a partir do Projeto
2015 - Vd = 0.5m/s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
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Lista de Śımbolos e Abreviações
(x, y, z)i Coordenadas cartesianas do nó i
φ̂ij Rotação sobre o nó i em torno da direção j
d̂ Deslocamentos Locais dos nós de um Elemento
f̂ Esforços Locais sobre os nós de um Elemento
k̂ Matriz de Rigidez Local
m̂ij Momento sobre o nó i em torno da direção j
F Conjunto de forças externas aplicado sobre os nós da estrutura
ρ Massa Espećıfica do Material
σA Tensão axial sobre um elemento
σC Limite de resistência à compressão
σF Tensão causada por flexão pura
σTo Limite de resistência à torção
σTr Limite de resistência à tração do material
τT Tensão cisalhante causada por torção
Ci cos(θi)
De Diâmetro externo do tubo vazado
Di Diâmetro interno do tubo vazado
Fij Somatório das forças externas sobre o nó i, na direção j
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f(k)ij Força interna do elemento k aplicada sobre o nó i, na direção j
FLeme Força do Leme
FProf Força do Profundor
FTr Força de Tração do motor
FCS Fator de Carga de Solo
Lf Força de Sustentação
Mt Momento Fletor Total
Ndf Número de Graus de Liberdade do Elemento
Si sen(θi)
Tr Matriz de Rotação
Vd Velocidade de Descida
wn Frequência Natural do Sistema
ABS Acrilonitrila Butadieno Estireno
CC Condições de Contorno
DCL Diagrama de Corpo Livre
E Módulo de Elasticidade
EH Estabilizador Horizontal
EV Estabilizador Vertical
FC Fator de Carga
FS Fator de Segurança
K Matriz de Rigidez Global
MEF Método de Elementos Finitos
PRFC Poĺımero Reforçado com Fibra de Carbono
xiv
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SI Sistema Internacional de Unidades
SLSQP Método de Otimização Sequential Least Squares Programming
UFRJ Universidade Federal do Rio de Janeiro
V Esforço Cortante/Cisalhamento
VANT Véıculo Aéreo Não Tripulado
W Força Peso
xv
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Caṕıtulo 1
Introdução
1.1 Motivação
Anualmente a SAE Brasil organiza uma competição entre alunos de engenharia
de várias universidades do páıs e do exterior, desafiando-os a projetar e construir
Véıculo Aéreo Não Tripulado (VANT). A SAE Brasil Aerodesign coloca como prin-
cipal objetivo a construção de um avião com a maior eficiência estrutural posśıvel.
Em outras palavras, os alunos são encorajados a desenvolver, dentro das restrições
geométricas impostas por um regulamento, um VANT que pese o mı́nimo posśıvel e
que consiga carregar o máximo de carga posśıvel. Além disso, para instigar inovações
dos alunos, o regulamento da competição muda a cada edição, modificando signifi-
cativamente o tamanho e formatos dos aviões de um ano para o outro [1]. Na Figura
1.1, retirada de [2], observa-se o modelo da aeronave utilizada pela equipe Minerva
Aerodesign na competição de 2015.
Figura 1.1: Modelo de Aeronave de 2015 - Minerva Aerodesign
1
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Para melhor se organizarem, as equipes costumam dividir seus membros em
diversas áreas de atuação, sejam elas de gestão ou de projeto. As áreas de projeto
são: Aerodinâmica, Controle e Estabilidade, Elétrica, Desempenho, Plantas, Cargas,
e Estruturas. Cada uma dessas áreas foca em uma particularidade do projeto, porém
com integração suficiente para que se discuta e determine a melhor configuração
do VANT, dados as restrições geométricas do regulamento de cada competição.
Observa-se na Figura 1.2 apresenta um fluxograma demonstrativo de como funciona
o projeto da equipe Minerva Aerodesign.
Figura 1.2: Fluxograma com os processos e decisões de projeto da equipe
2
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Este projeto é focado na área de Estruturas, que é responsável por projetar os
componentes da aeronave a fim de suportar todas as cargas aplicadas durante a
decolagem, voo e pouso do avião. Uma das tarefas mais complicadas na área de
Estruturas é o projeto da fuselagem, já que esta deve ser resistente o suficiente para
suportar o impacto do pouso, ŕıgida o suficiente para não comprometer a estabili-
dade da aeronave durante a decolagem e o voo, e ainda leve o suficiente para não
comprometer a eficiência estrutural do projeto aerodinâmico.
Existem diversos softwares capazes de simular e calcular os esforços internos
da fuselagem, possibilitando otimizar a estrutura de acordo com a necessidade da
equipe. Contudo, a utilização destes softwares requer que seu operador tenha um
treinamento prévio bastante longo para os padrões da equipe, cujos membros ficam
na equipe em torno de 2 anos, apenas. Esta dificuldade em adaptar os softwares
existentes às necessidades da equipe motivou o desenvolvimento deste projeto.
1.2 Objetivos
Este trabalho pretende desenvolver um software de fácil utilização que gere uma fuse-
lagem estruturada em tubos de Poĺımero Reforçado com Fibra de Carbono (PRFC),
já que este é um material com uma boa relação entre resistência mecânica e massa
espećıfica. O software será utilizado pela equipe Minerva Aerodesign, da Universi-
dade Federal do Rio de Janeiro (UFRJ), a fim de reduzir o tempo necessário para o
projeto da aeronave como um todo.
O software foi estruturado para cumprir 3 etapas:
• Recepção dos dados de entrada (Posição dos nós, forças e momentos aplicados,
fatores de segurança (FS) mı́nimos)
• Cálculo das matrizes de rigidez, tensões e margens de segurança para cada ele-
mento e para a estrutura como um todo
• Otimização da área de cada elemento para obtenção de menor massa posśıvel
Dessa forma, o programa é capaz de entregar a menor área de seção posśıvel para
cada tubo da fuselagem, de modo que o projeto como um todo tenha um FS maior
ou igual ao valor estabelecido pela equipe, que será um dado de entrada do software.
3
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Considerando que todos os tubos têm área de seção e densidade linear constantes ao
longo de seu comprimento, o programa terá como dados de sáıda a estrutura com
a menor massa posśıvel, dentro de parâmetros determinados pela equipe, que é o
objetivo final deste projeto.
1.3 Organização do Trabalho
Este trabalho foi dividido da seguinte forma:
O caṕıtulo 2 trata dos componentes da aeronave projetada pela equipe, com
comentários sobre como cada elemento atua durante o voo e como estes geram
forças atuantes sobre a fuselagem.
O caṕıtulo 3 trata sobre o material utilizado para a estrutura deste trabalho
e suas propriedades, além de tratar sobre os métodos teóricos utilizados, como o
método de elementos finitos, a rotina de otimização e a análise das tensões atuantes
sobre cada elemento.
O caṕıtulo 4 trata do modelo computacional desenvolvido e aplicado no pro-
grama, além de tratar da utilização do programa em si. Serão comentadas as mo-
delagens para as reações do impacto geradas no pouso da aeronave, além de como
a estrutura deve ser apoiada para que se realize a análise pelo método de elementos
finitos.
O caṕıtulo 5 trata de simulações rodadas no programa, a fim de validá-lo e de
analisar estruturas de anos anteriores de acordo com a modelagem deste trablaho.
O caṕıtulo 6 encerra este trabalho com uma conclusão, uma análise da utilidade
do programa e sugestões para trabalhos futuros.
4
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Caṕıtulo 2
Componentes do VANT
Para melhor compreensão da modelagem de estruturas e forças utilizadas neste
trabalho, será comentado sobre alguns componentes da aeronave projetada pela
equipe. Observa-se na Figura 2.1 uma das aeronaves projetadas pela equipe Minerva
Aerodesign, destacando os componentes abordados neste trabalho. Todas as fotos
deste caṕıtulo foram retiradas de [2].
Figura 2.1: Representação da aeronave projetada pela equipe e seus componentes
2.1 Fuselagem
A fuselagem do VANT é o foco principal deste trabalho. Seu objetivo para a ae-
ronave da equipe é servir como estrutura para armazenar e fixar o compartimento
de carga e cada um dos outros componentes do avião. Existem diversos formatos
5
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e estruturas posśıveis para a fuselagem, porém, na história recente da equipe, a fu-
selagem tem sido projetada em formato de paraleleṕıpedo, com estrutura treliçada.
O formato de paraleleṕıpedo gera um maior arrasto do que o formato ciĺındrico,
por exemplo, porém a equipe leva em consideração diversos outros fatores para a
escolha deste formato, como as restrições geométricas da competição, além de custo
e complexidade de construção.
Figura 2.2: Exemplo de fuselagem sem a presença de tailboom
2.2 Tailboom
Tailboom é a estrutura que liga a fuselagem até os estabilizadores da aeronave.
Entre 2012 e 2018, a equipe Minerva Aerodesign variou entre dois tipos diferentes de
tailboom: Utilizar um tubo ŕıgido como tailboom, chamado de Boom tubular (Figura
2.3); ou então expandir as treliças da fuselagem até os estabilizadores, chamado de
Boom treliçado (Figura 2.4). A escolha do tipo de tailboom utilizado em cada
ano varia de acordo com as necessidades e restrições de projeto. No caso de uma
eventual escolha pelo tailboom treliçado, deve-se adicionar a estrutura do tailboom a
este programa, junto com a estrutura da fuselagem, para que o diâmetro dos tubos
necessários sejam calculados de forma precisa.
6
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Figura 2.3: Exemplo de projeto com tailboom tubular (2011)
Figura 2.4: Exemplo de projeto com tailboom treliçado (2014)
2.3 Estabilizadores
Como o próprio nome sugere, os estabilizadores são superf́ıceis responsáveis por es-
tabilizar a aeronave em caso de pequenas pertubações durante o voo. Usualmente,
dividem-se essas superf́ıceis em Estabilizador Horizontal (EH) e Estabilizador Ver-
tical (EV). Observa-se abaixo, na Figura 2.5, uma foto com os estabilizadores uti-
lizados pela equipe em 2017. Nota-se que, em caso de restrição ou preferência
construtiva, o EV pode ser dividido em duas ou mais superf́ıcies.
7
-
Figura 2.5: Projeto dos estabilizadores utilizados pela equipe em 2014
Em cada uma das superf́ıcies estabilizadoras, observa-se que há uma superf́ıcie
móvel, que pode ser comandada pelo piloto em voo. No EH, essa superf́ıcie móvel
é chamada de profundor, enquanto a superf́ıcie móvel do EV é chamada de leme.
O dimensionamento de ambos é feito pela área de Controle e Estabilidade, que
calcula as áreas de superf́ıcie necessárias e os esforços resultantes, que serão utilizados
posteriormente neste trabalho. A equipe Minerva Aerodesign utiliza um software
desenvolvido por [3], para reduzir o tempo necessário para cálculos de projeto.
2.4 Asa
A asa é a superf́ıcie responsável por gerar a sustentação necessária para que a aero-
nave levante e se mantenha em voo. O formato da asa, tal qual os perfis utilizados
para gerar essa sustentação, são determinados pela área de Aerodinâmica, que re-
passa esses dados para que as áreas de cargas e estruturas dimensionem a longarina
da asa e como essas forças e momentos são transferidos para a fuselagem em voo.
Observa-se na Figura 2.6 um exemplo de uma asa utilizada pela equipe no ano de
2014. Após a montagem da asa como visto na figura, faz-se a entelagem da asa, ou
seja, cola-se um plástico em torno da asa, que é aquecido logo em seguida, dando
a forma esperada da asa, como visto na Figura 2.7. Nota-se também na Figura 2.7
8
-
que há uma superf́ıcie móvel em cada semi-asa. Estas superf́ıcies são chamadas de
Ailerons, e são também controláveis pelo piloto.
Figura 2.6: Projeto da asa utilizada pela equipe em 2014 - Antes da entelagem
Figura 2.7: Foto da asa utilizada pela equipe em 2013 - Após a entelagem
A área necessária para as superf́ıcies dos ailerons também são calculadas pela
área de Aerodinâmica, porém sua intensidade é irrisória quando comparada pela
sustentação gerada pela asa. Por essa razão, para efeitos práticos, ela é ignorada
pelas áreas de Cargas e Estruturas.
2.5 Trem de Pouso Principal
Existem dois principais tipos de configuração de trem de pouso: o chamado trem
de pouso convencional e o trem de pouso triciclo. Ambos podem ser observados na
Figura 2.8. Entre os anos de 2012 e 2018, a equipe preferiu utilizar a configuração
9
-
em triciclo. Isso ocorreu pois uma configuração convencional obrigaria a equipe a
aumentar a resistência ao impacto dos estabilizadores, já que uma das rodas seria
ali posicionada, e consequentemente de todo o tailboom, acarretando um aumento
considerável do peso da aeronave.
Utilizando a configuração em triciclo, pode-se projetar uma peça a ser posicio-
nada à frente do VANT, junto do motor, que já necessita de uma estrutura mais
robusta, capaz resistir às altas temperaturas geradas durante o voo. A configuração
em triciclo possui dois componentes: O trem de pouso principal e a bequilha.
Figura 2.8: Comparativo entre configurações de Trem de pouso
O trem de pouso principal, comumente chamado apenas de trem de pouso, é
responsável por absorver parte do primeiro impacto da aeronave com o chão no
momento do pouso. Entre 2012 e 2018, a equipe utilizou como trem de pouso
principal uma barra de Divinycell laminada com PRFC, sendo esta comprida o
suficiente para se deformar elasticamente durante o pouso, reduzindo o impacto na
fuselagem.
Na Figura 2.9, observa-se uma foto do trem de pouso utilizado pela equipe no
ano de 2018.
Figura 2.9: Foto do Trem de Pouso Principal do projeto de 2018
10
-
Na aviação comercial e militar, o trem de pouso é usualmente retrátil, havendo
um mecanismo que o recolha para dentro da aeronave durante o voo. Isso acontece
para que o trem de pouso exposto não gere um arrasto extra à aeronave. Contudo,
no caso da equipe Minerva Aerodesign, visto que as velocidades de voo são muito
menores que às encontradas na aviação comercial e militar, o arrasto gerado pelo
trem de pouso exposto não é suficiente para que se justifique o projeto de um me-
canismo de recolhimento do mesmo, o que acarretaria em uma fuselagem maior e
mais pesada.
2.6 Bequilha
A bequilha é o segundo elemento da configuração de trem de pouso em triciclo.
Entre 2012 e 2018, a equipe posicionou a bequilha logo abaixo do motor, por uma
peça chamada Parede de Fogo. A bequilha tem por função absorver o impacto da
segunda manobra de pouso, impacto esse que depende da velocidade de rotação que
o piloto consegue dar à aeronave. Essa rotação é demonstrada na Figura 2.10.
Figura 2.10: Demonstração do impacto absorvido pela bequilha
Em uma situação ideal, o piloto realiza o pouso da maneira mais suave posśıvel.
Contudo, dependendo das condições de voo no momento da competição, como
condições climáticas, por exemplo, esse pouso nem sempre é tão suave quanto se
espera. Essas diversas situações são levadas em consideração pela equipe para o
dimensionamento da bequilha.
Usualmente, a bequilha é projetada como um tubo de PRFC, sendo seu diâmetro
dependente das condições de cada projeto.
11
-
Figura 2.11: Foto da bequilha utilizada pela equipe em 2014
2.7 Parede de Fogo
A Parede de Fogo é uma peça projetada pela equipe para reter o motor e a bequilha.
Usualmente, a equipe utiliza uma peça desenhada em computador e impressa por
uma impressora 3D, utilizando como material o plástico Acrilonitrila Butadieno
Estireno (ABS) . Esse material é suficientemente resistente a altas temperaturas, e
a impressão 3D possibilita a equipe a projetar geometrias mais complexas, porém
que atendam da melhor forma posśıvel as necessidades de cada aeronave.
Figura 2.12: Foto da parede de fogo utilizada pela equipe em 2017
12
-
2.8 Compartimento de Carga
O compartimento de carga, como o próprio nome sugere, é um reservatório onde
a equipe prepara a carga a ser carregada pelo avião em cada bateria de voo da
competição. De 2012 a 2018, o compartimento de carga foi projetado como uma
caixa de metal que é fixada dentro da fuselagem do avião, sendo que a forma de
fixação varia de acordo com as necessidades do projeto de cada ano. Abaixo, observa-
se um exemplo de compartimento de carga utilizado pela equipe em 2017.
Figura 2.13: Foto do compartimento de carga utilizado pela equipe em 2017
13
-
Caṕıtulo 3
Material e Métodos Utilizados
Este caṕıtulo pretende descrever caracteŕısticas do Poĺımero Reforçado de Fibra de
Carbono (PRFC), material dos tubos vazados utilizados nas estruturas das aerona-
ves, além de explicar os métodos utilizados no software para o cálculo da rigidez e
das tensões causadas na estrutura e a rotina de otimização de sua massa total.
3.1 Material
3.1.1 Materiais Compósitos
Material compósito é aquele fabricado pela união de dois ou mais materiais, cha-
mados de Matriz ou Reforço. As funções da matriz de um material compósito são
dar a forma final do componente e fazer a ligação entre as fibras do reforço. Visto
que o reforço é muito mais resistente que a matriz de um material compósito, este
tem como função resistir aos esforços mecânicos transmitidos pela matriz. Uma vez
fabricado, o produto final terá propriedades mecânicas com valores entre as propri-
edades dos materiais que o compõem, possibilitando sua aplicação onde não seria
recomendável a utilização de algum de seus constituintes isoladamente. [4]
14
-
Figura 3.1: Representação de estrutura de materiais compósitos
Segundo [5], um exemplo de material compósito é o Poĺımero Reforçado de Fibra
de Carbono (PRFC), que utiliza resina Epóxi como matriz e fibras de carbono como
reforço. O PRFC é utilizado na indústria aeronáutica desde a década de 1960, devido
exatamente à sua boa relação entre resistência e peso. Por esse motivo, a equipe
Minerva Aerodesign utiliza componentes de PRFC há vários anos. Este projeto,
portanto, foi desenvolvido em função de tubos de PRFC comprados pela equipe.
Como observado na Figura 3.2, retirada de [5], os tubos possuem fibras unila-
terais na direção do seu comprimento. As propriedades de compósitos com esta
configuração são ortotrópicas, com diferentes valores para as direções paralela e as
duas perpendiculares à direção das fibras. Contudo, a partir de uma quantidade su-
ficientemente grande de camadas de material na espessura do componente, o plano
perpendicular às fibras tem propriedades efetivas isotrópicas, sendo chamados de
materiais transversalmente isotrópicos. Neste trabalho, consideram-se os tubos de
PRFC utilizados como transversalmente isotrópicos, propriedade confirmada pelo
fabricante.
Figura 3.2: Demonstração de Lâminas Unidirecionais
15
-
3.1.2 Dados do Material
Como comentado na Seção 3.1.1, os tubos de PRFC são considerados como trans-
versalmente isotrópicos, ou seja, existe um Módulo de Elasticidade Axial, Ea, e um
Transversal, Et. Contudo, como será explicado no Caṕıtulo 4, apenas o valor de
Ea terá qualquer influências nos esforços, sendo este chamado apenas de E . Além
do Módulo de Elasticidade, devem ser informados os valores de massa espećıfica
(ρ), Módulo de Cisalhamento (G) e Limites de Resistência à Tração (σTr) , à Com-
pressão (σC) e à Torção (σTo) . Na Tabela 3.1, encontram-se os valores utilizados
neste trabalho, fornecidos pelo fabricante dos tubos utilizados pela equipe. Con-
tudo, é sugerido que sejam feitos ensaios sobre o material para que se confirmem
estes valores.
Tabela 3.1: Valores das propriedades f́ısicas do PRFC
ρ (g/cm3) E (GPa) G (GPa) σTr (MPa) σC (MPa) σTo (MPa)
1.76 11.03 5 62.05 52.12 12.74
Os diâmetros internos (Di) e externos (De) dos tubos vazados serão definidos por
meio do processo iterativo de otimização. Contudo, visto que não é economicamente
viável fabricar tubos exclusivamente para as necessidades da equipe, deve-se adaptar
o projeto em função dos valores de De e Di dispońıveis em mercado. Entre os anos
de 2012 a 2018, a equipe adquire tubos vazados da mesma loja, cujos diâmetros
dispońıveis não variaram ao longo deste peŕıodo. Criou-se a Tabela 3.2 com estes
valores, que foram utilizados como diâmetros base para este programa.
16
-
Tabela 3.2: Parâmetros relativos aos tubos de PRFC dispońıveis em mercado
De (mm) Di (mm) A (mm2) I (mm4) J (mm4)
2 1 2.36 0.74 1.47
3 2 3.93 3.19 6.38
4 2 9.42 11.78 23.56
5 3 12.57 26.70 53.41
7 5 18.85 87.18 174.36
8 6 21.99 137.44 274.89
10 8 28.27 289.81 579.62
Vale ressaltar que o programa todo foi desenvolvido com todas as unidades se-
guindo o Sistema Internacional de Unidades (SI). Contudo, para os dados de entrada,
considerou-se mais simples utilizar as unidades mais usuais para cada caso. Assim
que estes dados são adquiridos pelo programa, este converte todas as unidades para
o SI, facilitando o entendimento dos cálculos para um futuro membro da equipe que
venha a destrinchar o programa.
3.1.3 Teorias de Falha Macroscópica
Para analisar em que momento ocorre a falha de um elemento submetido a esforços
nas 3 direções cartesianas, deve-se utilizar um dos chamados critérios de falhas,
diversos deles sendo descritos em [5]. Segundo [6], os dois critérios de falha mais
utilizados em materiais compósitos pela indústria são o Critério de Máxima Tensão
e o Critério de Máxima Deformação, representando mais de 50% das situações in-
dustriais. Neste trabalho, optou-se por utilizar o Critério de Máxima Tensão, visto
que já são conhecidos os valores limites de tensão para o PRFC.
O Critério de Máxima Tensão considera que ocorre a falha de um elemento
quando, em qualquer ponto, uma das tensões normais ou cisalhantes do componente
atinge seu valor limite, seja ele positivo ou negativo, de forma a garantir que o
Fator de Segurança estabelecido seja cumprido. Estes valores limites devem ser
adquidos por meio de diferentes ensaios em estado uniaxial de tensão. As equações
17
-
computadas em código para este critério são expostas na Equação 3.1.
|σx| < Xj/FS
|σy| < Yj/FS
|σz| < Zj/FS
|τxy| < Q/FS
|τxz| < R/FS
|τyz| < S/FS
(3.1)
Sendo Ij o valor de tensão limite na direção I e sentido j, ou seja, se o ele-
mento está submetido a tração ou compressão. Q, R e S são os valores limtes de
cisalhamento em cada um dos planos cartesianos.
3.2 Método de Elementos Finitos
Nesta seção será analisado o Método de Elementos Finitos (MEF) , utilizado para os
cálculos de rigidez, tensões e deslocamentos necessários para a rotina de otimização.
Como este tópico não é tão difundido entre os alunos de Engenharia Mecânica,
preferiu-se abordá-lo de forma mais abrangente, partindo desde sua análise mais
simples até a modelagem deste trabalho. Todo este caṕıtulo foi baseado nos métodos
descritos por [7]. Além disso, a implementação dos conceitos deste caṕıtulo no
software desenvolvido segue os passos sugeridos por [8].
3.2.1 Estruturas Treliçadas e em Pórtico
Para determinar o tipo de análise do MEF a ser utilizado, deve-se primeiro deter-
minar como modelar a estrutura analisada.
Estruturas treliçadas são uma excelente solução para situações onde se faz ne-
cessária uma alta rigidez e resistência a esforços, porém com baixo custo e peso
estrutural. Define-se como treliça um componente composto de um arranjo estável
de barras delgadas (elementos) interligadas por articulações rotuladas (nós) [9]. Fre-
quentemente subdivide-se a estrutura em treliças de áreas triangulares, já que este
18
-
formato não permite rotação livre de seus elementos. Por conta das articulações
livres, pode-se considerar que não há reações de momento sobre os elementos. Além
disso, as estruturas treliçadas são organizadas de forma a garantir que as forças ex-
ternas sejam sempre aplicadas sobre nós, e não diretamente sobre algum elemento.
Dessa forma, pode-se analisar os esforços sobre cada elemento como sendo apenas
axiais. Um exemplo de uma estrutura treliçada encontra-se na Figura 3.3 (Retirada
de [10]).
Figura 3.3: Exemplo de uma ponte com estrutura treliçada
Estruturas em pórtico são compostas vigas e colunas (elementos) conectadas por
ligações ŕıgidas (nós). Os elementos da estrutura em pórtico diferem dos elementos
de uma estrutura treliçada pois não necessariamente estão subdivididos em áreas
triangulares, visto que suas conexões são ŕıgidas. Por conta disso, em uma análise de
esforços, deve-se contabilizar esforços transversais ao elemento e reações de momento
em cada uma das 3 direções ortogonais. Pode-se dizer, portanto, que a estrutura
treliçada é um “caso particular” da estrutura em pórtico, onde os momentos e as
forças transversais aos elementos são iguais a zero. Um exemplo de uma estrutura
em pórtico se encontra na Figura 3.4 (Retirada de [11]).
Figura 3.4: Mercedes-Benz Stadium - Exemplo de estrutura em Pórtico
19
-
Entre 2012 e 2018, foram aproximadas as fuselagens dos aviões da equipe Minerva
Aerodesign como estruturas treliçadas. Contudo, visando permitir uma modelagem
mais abrangente e condizente com a realidade, escolheu-se desenvolver este projeto
sobre estruturas em pórtico.
3.2.2 Análise de Elementos por Mola
Matriz de Rigidez
A Matriz de Rigidez é o conceito base para todo o método a ser descrito neste
caṕıtulo. Para um elemento, define-se uma Matriz de Rigidez Local (k̂) tal que:
f̂ = k̂.d̂ (3.2)
Onde f̂ são os esforços locais sobre os nós do elemento e d̂ são os deslocamen-
tos dos nós do elemento. Diz-se ainda que o total de coeficientes em d̂ é igual ao
Número de Graus de Liberdade (Ndf ) do elemento. Considerar-se-á que uma carac-
teŕıstica é ”local”quando o sistema de referência está alinhado com o elemento, e
”global”quando o sistema de referência é o adotado para a estrutura como um todo.
Neste trabalho, será considerado que o sistema de coordenadas local tem o eixo
”X”alinhado com o comprimento do tubo. Para diferenciar caracteŕısticas gerais e
locais, será utilizado o śımbolo ”ˆ”para todas as caracteŕısticas locais ao longo deste
trabalho. Além disso, serão utilizadas letras minúsculas para caracteŕısticas de um
elemento, e letras maiúsculas para caracteŕısticas da estrutura como um todo.
A maneira mais simples de aplicar o conceito de Matriz de Rigidez é aplicando-o
a uma mola linear unidimensional posicionada sobre um plano. Sabe-se que uma
mola linear resiste a esforços somente na direção do seu comprimento, segundo a Lei
de Hooke.
20
-
Figura 3.5: Exemplo de uma mola linear com forças aplicadas em cada nó
Observa-se na Figura 3.5 que o elemento em questão possui dois nós, numerados
como 1 e 2, e que há uma força e um deslocamento associados a cada um dos nós do
elemento. Deseja-se estruturar uma equação matricial que relacione diretamente os
esforços e os deslocamentos de cada nó. Para tal, pode-se montar a seguinte relação:
f̂1xf̂2x
= k11 k12k21 k22
. d̂1xd̂2x
(3.3)Onde kij é o coeficiente de linha ”i”e coluna ”j”da matriz de rigidez k̂ da mola.
Para tornar conhecidos os coeficientes de k̂, deve-se aplicar os 4 primeiros passos dos
chamados 7 Passos do MEF. Esses passos são necessários somente uma vez, visto
que os coeficientes calculados terão a mesma equação para todas as molas. Os passos
5, 6 e 7 estão relacionados aos esforços internos dos elementos para o caso de uma
estrutura com mais de 1 elemento, e serão exemplificados ao longo deste trabalho.
Passo 1 - Selecionar o Tipo de Elemento
Analisa-se o sistema como um todo, considerando que um conjunto de forças
externas F está sendo aplicado sobre os nós. Neste caso, o sistema é composto
apenas por uma mola, como demonstrado na Figura 3.5.
Passo 2 - Determinar uma Função de Alongamento
Deve-se descrever o alongamento ao longo de um elemento estrutural por meio
de uma função polinomial de grau (Ndf - 1). No caso da mola, visto que Ndf = 2,
21
-
deve-se determinar que:
û(x̂) = a1 + a2.x̂
û(x̂) =[
1 x̂].
a1a2
(3.4)Sendo û(x̂) o alongamento ao longo da mola. São conhecidos os alongamentos
nos nós da mola, então pode-se utilizá-las como condições de contorno:
û(0) = d̂1x = a1
û(L) = d̂2x = a2.L+ d1x
a2 =d2x − d1x
L
(3.5)
Portanto, utilizando as Equações em 3.4 e 3.5:
û(x̂) =d2x − d1x
L.x̂+ d̂1x
û(x̂) =[
1− x̂L
x̂L
].
d1xd2x
(3.6)
Passo 3 - Determinar as relações alongamento/deslocamentos e es-
forços/alongamento do elemento
Os deslocamentos nodais d̂i produzem um alongamento total ∆L na mola, de tal
forma que:
∆L = û(L)− û(0) (3.7)
Utilizando-se das relações expostas na Equação 3.6, tem-se que:
∆L = d̂2x − d̂1x (3.8)
Para uma mola, é sabido que F = k.∆L. Associando esta equação com a Equação
3.8, tem-se:
F = k.(d̂2x − d̂1x) (3.9)
22
-
Passo 4 - Determinar a Matriz de Rigidez Elementar (k̂)
Imaginando uma mola sofrendo esforços trativos, toma-se por convensão que há
uma força F na direção positiva sobre o nó 2, e uma força F na direção negativa
sobre o nó 1. Associando essa suposição com a Equação 3.9, tem-se:
f̂1x = −F
f̂2x = F
F = −f̂1x = k.(d̂2x − d̂1x)
F = f̂2x = k.(d̂2x − d̂1x)
(3.10)
Portanto:
f̂1x = k.(d̂1x − d̂2x)
f̂2x = k.(d̂2x − d̂1x) f̂1xf̂2x
= k −k−k k
. d̂1xd̂2x
(3.11)
Associando as Equações 3.3 e 3.11, nota-se que foram encontrados os coeficientes
kij desejados.
Associação de molas em estrutura 1D
Como foi explicado anteriormente, os passos de 1 a 4 estão relacionados a apenas
um elemento, enquanto os passos de 5 a 7 estão relacionados a uma estrutura com
mais de 1 elemento.
Para exemplificar a aplicação de todos os 7 Passos do MEF, tomar-se-á como
exemplo o conjunto de molas a seguir. Neste trabalho, somente o exemplo de molas
associadas em uma única direção será tratado como exemplo. Exemplos em 2D e
3D serão desenvolvidos nas próximas seções:
Figura 3.6: Exemplo de uma associação de 2 molas lineares
23
-
Nota-se que todos os elementos estão alinhados na mesma direção. Por esse
motivo, não se faz necessária a abordagem de direção local (ˆ). A partir da Figura
3.6 e da relação encontrada na Equação 3.11, pode-se dar sequência aos 7 Passos do
MEF:
Passo 5 - Determinar a Matriz de Rigidez Global (K) e aplicar Condições de
Contorno (CC)
A Matriz de Rigidez Global é geradas a partir das matrizes de rigidez locais de
cada uma das molas. Utilizando as relações encontradas na Equação 3.11 para as 2
molas da Figura 3.6, tem-se que:
f1xf3x
= k1 −k1−k1 k1
. d1xd3x
(3.12) f3xf2x
= k2 −k2−k2 k2
. d3xd2x
(3.13)Nota-se que o deslocamento d̂3x é o mesmo para as duas molas, visto que estas
compartilham o mesmo nó 3. Além disso, deve-se identificar o Diagrama de Corpo
Livre (DCL) da estrutura, como mostrado na Figura 3.7:
Figura 3.7: DCL da Estrutura da Figura 3.6
Nota-se que duas forças internas são identificadas sobre o nó 3, f(1)3x e f
(2)3x , já que
duas molas estão associadas no nó 3. Utilizando as relações descritas nas Equações
3.12 e 3.13, é posśıvel utilizar-se do equiĺıbrio na estrutura para encontrar as 3 forças
externas Fix :
F1x = k1.d1x − k1.d3x
F2x = k2.d2x − k2.d3x
F3x = (−k1.d1x + k1.d3x) + (−k2.d2x + k2.d3x)
(3.14)
24
-
F1x
F2x
F3x
=
k1 0 −k10 k2 −k2−k1 −k2 k1 + k2
.d1x
d2x
d3x
(3.15)
Determinar a matriz K por um método anaĺıtico de forças se torna bastante
complicado à medida que começa-se a analisar estruturas com um maior número de
elementos.No código do software deste programa, utilizou-se do método descrito por
[8], que utiliza a chamada matriz de incidência. Esta é uma matriz de dimensões
nX2, sendo n o número de elementos, onde determinam-se os nós iniciais e finais de
cada elemento.
Partindo desta matriz, pode-se expandir a matriz de rigidez elementar, como
mostradas nas Equações 3.12 e 3.13, para uma matriz de dimensões mXm, sendo m
o número de nós da estrutura, onde os coeficientes da matriz de rigidez elementar
sejam posicionados de acordo com os nós daquele elemento, indicados pela matriz
de incidência.
Utilizando este método no exemplo da Figura 3.7, tem-se a matriz de incidência
como na Equação 3.16:
Incid =
1 33 2
(3.16)Onde a linha i representa o elemento i. Pode-se então expandir as matrizes
de rigidez elementar. Neste exemplo, as matrizes expandidas estão expostas na
Equação 3.17:
K̂1 =
k1 0 −k10 0 0
−k1 0 k1
K̂2 =
0 0 0
0 k2 −k20 −k2 k2
(3.17)Onde as linhas e colunas j representam o nó j. Por fim, basta somar todas as
matrizes de rigidez elementares expandidas. No exemplo acima, pode-se perceber
que a matriz K descrita na Equação 3.15 é igual à soma das matrizes expandidas da
Equação 3.17.
25
-
Após conhecida K, deve-se aplicar as CC conhecidas. Neste exemplo, nota-se
pela Figura 3.6 que d1x = 0. Aplicando esta CC, tem-se: F2xF3x
= k2 −k2−k2 k1 + k2
. d2xd3x
(3.18)Passo 6 - Determinar os deslocamentos de cada nó
Tendo posse da Equação 3.18 e dos valores de F2x; F3x; k1; e k2, é posśıvel en-
contrar os deslocamentos d2x e d3x por meio de uma simples multiplicação matricial.
Passo 7 - Determinar as forças internas de cada elemento
Por último, conhecidos todos os deslocamentos nodais, é posśıvel retornar à
Equação 3.18 e aplicar uma multiplicação matricial para que sejam conhecidas todas
as componentes de F , inclusive as reações nos eventuais apoios. Feito isso, deve-se
observar as relações entre as forças internas e externas, mostradas na Figura 3.7,
para que sejam encontradas as forças internas sobre cada nó. Conhecidos os nós
entre cada elemento, é posśıvel encontrar os esforços sobre cada elemento.
3.2.3 Análise de Elementos por Treliças
Uma estrutura treliçada, como explicado na Seção 3.2.1, é formada por um deter-
minado número de barras delgadas, interligadas por meio de articulações rotuladas.
Essa modelagem parte do prinćıpio que as barras sofrem reações e deslocamentos
apenas na direção de seu comprimento, de maneira análoga às molas. Pode-se dizer,
portanto, que a análise feita na Seção 3.2.2 é um caso particular da análise por
treliças. Nesta análise, contudo, as barras utilizadas em estruturas treliçadas não
costumam ser associadas com uma rigidez diretamente, sendo necessário que esta
seja calculada.
F =A.E
L.∆L (3.19)
Associando as Equações 3.2 e 3.19, tem-se:
k̂ =A.E
L(3.20)
26
-
Sendo assim, percebe-se que a rigidez de cada elemento varia em função de
L, A e E. Visto que o objetivo deste trabalho é encontrar a estrutura onde cada
elemento tenha a menor A posśıvel, determinados todos E e L, nota-se que um
método iterativo se faz necessário, já que A depende de k̂, que depende de A.
Todos os procedimentos sobre esta análise são analogos aos vistos anteriormente
na Seção 3.2.2, incluindo os 7 passos do MEF. Os passos de 1 a 4 são praticamente
idênticos, tendo como única diferença o fato de que a rigidez das barras delgadas
é calculada pela Equação 3.20, e não mais considerada como uma constante única.
Por esse motivo, pode-se adaptar a Equação 3.11 para:
f̂1xf̂2x
= A.EL
.
1 −1−1 1
. d̂1xd̂2x
k̂ =
A.E
L.
1 −1−1 1
(3.21)
Estruturas de Treliças 2D
Nota-se que a Matriz de Rigidez Local da Equação 3.21 está associada com o sistema
de coordenadas do elemento em questão. Nesta seção, será analizado um exemplo
em duas dimensões (Como na Figura 3.8), para que se continue uma progressão de
complexidade para cada exemplo.
Figura 3.8: Exemplo 2D de um elemento de treliça
Para tal, é necessário rotacionar o eixo de coordenadas da Equação 3.21, de
27
-
forma que encontre-se o formato:
f = k.df1x
f2x
f1y
f2y
= k.d1x
d2x
d1y
d2y
(3.22)
Para tal, observando-se os sistemas de coordenadas da Figura 3.8, pode-se de-
duzir que:
d̂xd̂y
= C S−S C
. dxdy
(3.23)Onde C e S são cos(θ) e sen(θ), respectivamente.
Expandindo a Equação 3.23 para os dois nós de um elemento, tem-se:
d̂1x
d̂1y
d̂2x
d̂2y
=
C S 0 0
−S C 0 0
0 0 C S
0 0 −S C
.d1x
d1y
d2x
d2y
d̂ = Tr.d
(3.24)
Tr =
C S 0 0
−S C 0 0
0 0 C S
0 0 −S C
(3.25)
Sendo Tr chamada de Matriz de Rotação . Uma análise análoga pode ser feita
com as coordenadas das forças aplicadas sobre o elemento. É posśıvel também
28
-
expandir a Equação 3.21 para que se contemplem as duas dimensões da modelagem:
f̂1x
f̂2x
f̂1y
f̂2y
=
1 0 −1 0
0 0 0 0
−1 0 1 0
0 0 0 0
.d̂1x
d̂2x
d̂1y
d̂2y
f̂ = k̂.d̂
(3.26)
Associando a relação demonstrada na Equação 3.24, e sua analogia para a direção
das forças, a relação da Equação 3.26, pode-se calcular a Matriz de Rigidez Global:
f̂ = k̂.d̂
Tr.f = k̂.Tr.d
f = T−1r .k̂.Tr.d
k = T−1r .k̂.Tr
(3.27)
Onde T−1r é a matriz inversa de Tr. Contudo, ao multiplicar a matriz Tr pela
sua transposta, percebe-se que o resultado é a matriz identidade. Isso acontece por
conta das relações entre S e C. Portanto:
T−1r = TTr (3.28)
Finalmente, associando as Equações 3.21, 3.25 e 3.27:
f1x
f2x
f1y
f2y
=A.E
L.
C2 CS −C2 −CS
S2 −CS −S2
C2 CS
S2
.d1x
d2x
d1y
d2y
k =A.E
L.
C2 CS −C2 −CS
S2 −CS −S2
C2 CS
S2
(3.29)
De posse da Equação 3.29, basta seguir os Passos 5,6 e 7 do MEF, de forma
análoga ao que foi feito na Seção 3.2.2.
29
-
Estruturas de Treliças 3D
O processo de obtenção da Matriz k para um elemento de treliça no espaço é análogo
ao visto na Seção 3.2.3. O objetivo desta seção é, portanto, apresentar conceitos
utilizados em uma análise tridimensional antes de avançar para uma análise em
pórtico.
Figura 3.9: Exemplo 3D de um elemento de treliça
Observando a Figura 3.9, nota-se que são definidos os 3 ângulos entre os eixos do
sistema de coordenadas local e global. Para definir a relação entre os dois sistemas
de coordenadas, pode-se tomar como exemplo o vetor d, mostrado na Figura 3.9.
Sabe-se que o módulo do vetor não varia em função do eixo de coordenadas tomado
como referência, portanto:
∣∣∣~d∣∣∣ = d̂x .̂i+ d̂y.ĵ + d̂z.k̂ = dx.i+ dy.j + dz.k (3.30)Tomando o produto escalar entre a Equação 3.30 e o vetor î:
d̂x + 0 + 0 = dx.(i.̂i) + dy.(j.̂i) + dz.(k.̂i) (3.31)
Onde os produtos escalares entre (i,j,k) e î são iguais aos cossenos dos 3 ângulos
30
-
definidos na Figura 3.9:
(i.̂i) =x2 − x1L
= Cx
(j.̂i) =y2 − y1L
= Cy
(k.̂i) =z2 − z1L
= Cz
(3.32)
Onde:
L = [(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2] + (z2 − z1)2]0.5
Cx = cos(θx);Cy = cos(θy);Cz = cos(θz)
Associando as Equações 3.31 e 3.32:
d̂x = Cx.dx + Cy.dy + Cz.dz
d̂1xd̂2x
= Cx Cy Cz 0 0 0
0 0 0 Cx Cy Cz
.
d1x
d1y
d1z
d2x
d2y
d2z
Tr =
Cx Cy Cz 0 0 00 0 0 Cx Cy Cz
(3.33)
Sendo Tr uma matriz de rotação de coordenadas, análoga à encontrada na Seção
3.2.3. Utilizando os conceitos encontrados nas Equações 3.27 e 3.28 com a matriz
de rotação da Equação 3.33:
k = T Tr .k̂.Tr
k =
Cx 0
Cy 0
Cz 0
0 Cx
0 Cy
0 Cz
.A.E
L.
1 −1−1 1
. Cx Cy Cz 0 0 0
0 0 0 Cx Cy Cz
31
-
k =A.E
L.
C2x Cx.Cy Cx.Cz −C2x −Cx.Cy −Cx.CzC2y Cy.Cz −Cx.Cy −C2y −Cy.Cz
C2z −Cx.Cz −Cy.Cz −C2zC2x Cx.Cy Cx.Cz
C2y Cy.Cz
C2z
(3.34)
Com a matriz de rigidez encontrada na Equação 3.34, é posśıvel encontrar forças
e tensões em elementos de treliças dispostas em um espaço tridimensional, desde
que se sigam os passos 5,6 e 7 do MEF.
3.2.4 Análise de Elementos por Pórtico
Na seção 3.2.3, estudaram-se estruturas de treliças, partindo da modelagem de que
os únicos esforços sobre os elementos, barras delgadas, eram proveninentes de forças
atuando na direção axial. Nesta seção serão estudadas estruturas em pórtico, que
foi a modelagem utilizada neste trabalho. Considera-se que há, além dos esforços de
tensão axial, esforços de flexão e torsão sobre as barras. Portanto, faz-se necessário
conhecer a rigidez dos elementos para cada um desses novos esforços.
Matriz de Rigidez para Flexão
Para derivar a matriz de rigidez de uma barra sofrendo flexão, basta seguir os mesmos
passos do MEF, descritos na seção 3.2.2.
Passo 1 - Selecionar o Tipo de Elemento
Figura 3.10: Elemento sob flexão e direções tomadas como positivas para V e m
32
-
Figura 3.11: DCL de um corpo sofrendo flexão
Toma-se como base as representações das Figuras 3.10 e 3.11.
Nota-se que existe um deslocamento na direção y, causado pelos esforços cortan-
tes (V) , e uma rotação φ̂i em cada um dos nós, resultado dos momentos m̂i também
aplicados sobre cada nó.
Passo 2 - Determinar uma Função de Alongamento
Como descrito na seção 3.2.2, deve-se tomar como função de deslocamento um
polinômio de grau (Ndf - 1). Neste caso, Ndf = 4, já que há deslocamento na direção
y e rotação na direção z para cada um dos nós. Portanto:
ν̂(x̂) = a1.x̂3 + a2.x̂
2 + a3.x̂+ a4 (3.35)
Deve-se então aplicar as CC conhecidas à Equação 3.35:
ν̂(0) = d̂1y = a4
dν̂(0)
dx̂= φ̂1y = a3
ν̂(L) = d̂2y = a1.L3 + a2.L
2 + a3.L+ a4
dν̂(L)
dx̂= φ̂2y = 3.a1.L
2 + 2.a2.L+ a3
(3.36)
Onde é assumido que dν̂dx̂
= φ̂ para pequenas rotações.
Passo 3 - Determinar as relações alongamento/deslocamentos e es-
forços/deslocamentos
33
-
Para este passo, assumem-se as duas equações abaixo:
�x(x̂, ŷ) =dû
dx̂
û = −y.dν̂dx̂
(3.37)
Onde, para que a Equação 3.37 seja verdadeira, assume-se que o deslocamento
na seção transversal da barra acontece de forma cont́ınua durante a flexão, ou seja,
assume-se que todos os pontos em uma seção transversal antes da flexão continuam
no mesmo plano após a flexão, plano este tendo apenas sido rotacionado, como
mostrado na Figura 3.12.
Figura 3.12: Conceito assumido para que a Equação 3.37 seja verdadeira
Associando as Equações em 3.37:
�x(x̂, ŷ) = −y.d2ν̂
dx̂2(3.38)
Definida a relação alongamento/deslocamento, agora são necessárias as funções
esforços/deslocamentos. No caso da barra sofrendo flexão, há esforços tanto de
forças cisalhantes quanto de momentos. De acordo com a teoria de barras [12], essas
relações são:
m̂(x̂) = E.I.d2ν̂
dx̂2
V̂ = E.I.d3ν̂
dx̂3
(3.39)
Onde I é o momento de inércia de área da seção transversal. Visto que todas as
seções transversais serão circulares neste trabalho, o valor de I não muda, indepen-
dente da direção da flexão.
34
-
Passo 4 - Derivar a matriz de rigidez local do elemento
Observando os esforços da Figura 3.10, os sentidos positivos da Figura 3.11 e as
Equações 3.36 e 3.39:
f̂1y = V̂ = E.I.d3ν̂(0)
dx̂3=E.I
L3.(12.d̂1y + 6.L.φ̂1 − 12.d̂2y + 6.L.φ̂2)
m̂1 = −m̂ = −E.I.d2ν̂(0)
dx̂2=E.I
L3.(6.L.d̂1y + 4.L
2.φ̂1 − 6.L.d̂2y + 2.L2.φ̂2)
f̂2y = −V̂ = −E.I.d3ν̂(L)
dx̂3=E.I
L3.(−12.d̂1y − 6.L.φ̂1 + 12.d̂2y − 6.L.φ̂2)
m̂2 = m̂ = E.I.d2ν̂(L)
dx̂2=E.I
L3.(6.L.d̂1y + 2.L
2.φ̂1 − 6.L.d̂2y + 4.L2.φ̂2)
(3.40)
f̂1y
m̂1
f̂2y
m̂2
=E.I
L3.
12 6L −12 6L
4L2 −6L 2L2
12 −6L
4L2
.d̂1y
φ̂1
d̂2y
φ̂2
k̂ =E.I
L3.
12 6L −12 6L
4L2 −6L 2L2
12 −6L
4L2
(3.41)
Deve-se levar em consideração que os elementos da estrutura em pórtico podem
sofrer flexões em duas direções simultâneamente. Neste caso, basta aplicar esta
matriz de rigidez para cada uma das direções, levando em consideração que, para
este trabalho, não haverá mudança de I.
Matriz de Rigidez para Torção
O calculo para a matriz de rigidez de um elemento sofrendo torção é análogo ao
visto nas Seções 3.2.2 e 3.2.4. Deve-se seguir os 4 primeiros passos do MEF:
35
-
Passo 1 - Selecionar o Tipo de Elemento
Neste passo, deve-se tomar como parâmetro o DCL apresentado na Figura 3.13
e os sentidos a serem tratados como positivos, como na Figura 3.14.
Figura 3.13: DCL de um elemento sofrendo torção
Figura 3.14: Sentidos tomados como positivos para m e φ
Passo 2 - Determinar uma Função de Alongamento
Como descrito na seção 3.2.2, deve-se novamente tomar como função de desloca-
mento um polinômio de grau (Ndf - 1). Neste caso, Ndf = 2, já que há apenas uma
rotação na direção x para cada um dos nós. Dessa forma:
φ̂(x̂) = a1 + a2.x̂ (3.42)
Aplicando as CC conhecidas:
φ̂(0) = φ̂1x = a1
φ̂(L) = φ̂2x = a1 + a2.L
φ̂(x̂) =φ̂2x − φ̂2x
L.x̂+ φ̂1x
(3.43)
36
-
Passo 3 - Determinar as relações deformação/deslocamento e es-
forços/deslocamentos
Para obter uma relação entre os deslocamentos φ̂ e a deformação cisalhante γ,
deve-se tomar como referência a Figura 3.15.
Figura 3.15: Linhas radiais em uma barra antes e após a torção
Observa-se que, supondo que as linhas radiais, como OA, continuam retas após a
aplicação do momento torsor na barra, é posśıvel obter a exposta na Equação 3.44:
γ.dx̂ = r.dφ̂
γ = r.dφ̂
dx̂= r.
φ̂2x − φ̂1xL
(3.44)
A relação entre tensão e deformação para o caso da torção é descrito pela Lei
de Hooke. Sabe-se ainda que a tensão de cisalhamento causada por um momento
torsor é descrita pela Equação 3.45:
τ =m̂x.r
J(3.45)
Nota-se que, para encontrar a tensão máxima, deve-se considerar r como a maior
distância posśıvel da linha neutra de torção. No caso dos tubos vazados utilizados
neste trabalho, a tensão máxima τmax ocorrerá em re. Associando a Lei de Hooke
37
-
com a Equação 3.45:
τ = G.γ
m̂x.r
J= G.r.
φ̂2x − φ̂1xL
m̂x =G.J
L.(φ̂2x − φ̂1x)
(3.46)
Passo 4 - Derivar a matriz de rigidez local do elemento
Associando a Equação 3.46 com os sentidos dos momentos aplicados sobre a
barra, mostrados na Figura 3.14, tem-se:
m̂1x = −m̂x
m̂1x =G.J
L.(φ̂1x − φ̂2x)
m̂2x = m̂x
m̂2x =G.J
L.(φ̂2x − φ̂1x)
(3.47)
Com as relações da Equação 3.47, pode-se calcular a matriz de rigidez para um
elemento sofrendo torção:
m̂1xm̂2x
= G.JL.
1 −1−1 1
. φ̂1xφ̂2x
k̂ =G.J
L.
1 −1−1 1
(3.48)
Matriz de Rigidez Global
Nas seções 3.2.4 e 3.2.4, calcularam-se as matrizes de rigidez locais para elementos
sofrendo flexão e torção, respectivamente. Nesta seção, será considerado um ele-
mento sofrendo tensão axial, flexão em duas direções, e torção, como demonstrado
na Figura 3.16:
38
-
Figura 3.16: Exemplo de uma barra sofrendo forças e momentos nas 3 direções
Para obter a matriz de rigidez local k̂ deste elemento, basta sobrepor as matrizes
locais para cada um dos esforços aplicados:
• k̂ para tensões axiais (Equação 3.21) - Relativa a d̂x
• k̂ para flexão no plano xy (Equação 3.41) - Relativa a d̂y e φ̂z
• k̂ para flexão no plano xz (Equação 3.41) - Relativa a d̂z e φ̂y
• k̂ para torção no plano yz (Equação 3.48) - Relativa a φ̂x
Para tal sobreposição, será necessária uma expansão das matrizes, como feito na
Equação 3.26. Feito isso, encontra-se a matriz k̂ para um elemento como na Figura
39
-
3.16:
k̂ =
d̂1x d̂1y d̂1z φ̂1x φ̂1y φ̂1z d̂2x d̂2y d̂2z φ̂2x φ̂2y φ̂2z
AEL
0 0 0 0 0 −AEL
0 0 0 0 0
12EIL3
0 0 0 6EIL2
0 −12EIL3
0 0 0 6EIL2
12EIL3
0 −6EIL2
0 0 0 −12EIL3
0 −6EIL2
0
GJL
0 0 0 0 0 −GJL
0 0
4EIL
0 0 0 6EIL2
0 2EIL
0
4EIL
0 −6EIL2
0 0 0 2EIL
AEL
0 0 0 0 0
12EIL3
0 0 0 −6EIL2
12EIL3
0 6EIL2
0
GJL
0 0
4EIL
0
4EIL
(3.49)
Observa-se que a primeira linha da matriz, acima da linha, representa apenas
qual os parâmetros com os quais os termos de cada coluna se relacionam. Esta linha
foi escrita apenas para facilitar a visualização da f́ısica do problema.
Contudo, antes de iniciar o processo para obter K global de uma estrutura, deve-
se obter k global de cada elemento. Isso é feito de maneira análoga à Seção 3.2.3,
segundo a Equação 3.50.
k = T Tr .k̂.Tr (3.50)
Visto que todos os esforços são aplicados nas 3 direções, basta identificar uma
matriz de rotação λ3x3 entre os sistemas local e global e aplicá-lo a cada tipo de
40
-
esforço para ambos nós. Dessa forma, Tr será descrito por:
Tr =
λ3x3
λ3x3
λ3x3
λ3x3
(3.51)
Para encontrar λ3x3, deve-se observar a relação e os ângulos entre os sistemas
local e global, expostos na Figura 3.17.
Figura 3.17: Relação entre os sistemas local e global de um elemento
Observando a Figura 3.17, são obtidas as seguintes relações:
x̂ = Cxx̂i+ Cyx̂j + Czx̂k
ŷ = z × x̂
ẑ = x̂× ŷ
(3.52)
Onde:
Cxx̂ =x2 − x1L
= l
Cyx̂ =y2 − y1L
= m
Czx̂ =z2 − z1L
= n
(3.53)
Conhecida a relação entre x̂ e (i, j, k), deve-se fazer o mesmo para ŷ e ẑ, utilizando
41
-
a Equação 3.52:
ŷ =z × x̂ = 1D.
∣∣∣∣∣∣∣∣∣i j k
0 0 1
l m n
∣∣∣∣∣∣∣∣∣D = (l2 +m2)0.5
ŷ = −mD.i+
l
D.j
(3.54)
ẑ =x̂× ŷ = 1D.
∣∣∣∣∣∣∣∣∣i j k
l m n
−m l 0
∣∣∣∣∣∣∣∣∣ẑ = − ln
D.im− mn
D.j +D.k
(3.55)
Combinando as Equações 3.52 , 3.53 , 3.54 e 3.55:
λ3x3 =
l m n
−mD
lD
0
− lnD−mn
DD
(3.56)
Para que a Equação 3.56 seja verdadeira, percebe-se que D não pode ser igual a
0. Isso acontece apenas quando o eixo local x̂ está na mesma direção do eixo global
z, em ambos os sentidos, como mostrado na Figura 3.18:
Figura 3.18: Exceções da Equação 3.56
42
-
Contudo, a matriz λ3x3 pode ser facilmente determinada por observação da Fi-
gura 3.18. Para o caso do eixo x̂ com mesmo sentido do eixo z, adota-se a Equação
3.57, e para o caso de x̂ e z com sentidos opostos, adota-se a Equação 3.58
λ3x3 =
0 0 1
0 1 0
−1 0 0
(3.57)
λ3x3 =
0 0 −1
0 1 0
1 0 0
(3.58)Conhecido λ3x3 de cada elemento, é posśıvel calcular k global de cada elemento,
sobrepô-los a fim de encontrar K global da estrutura, e enfim seguir os passos se-
guintes do MEF, como demonstrado na Seção 3.2.2.
3.3 Rotina de Otimização
Uma vez desenvolvidos todos os métodos de determinação de uma estrutura aceitável
para as forças e geometria estabelecidas, necessita-se desenvolver um método para
minimizar a massa total da estrutura, que é o objetivo final deste trabalho. Visto
que, neste trabalho, não serão variados os valores de comprimento dos tubos e massa
espećıfica do PRFC, deve-se variar as áreas de cada tubo a fim de minimizar sua
massa. Baseando-se nos conceitos de otimização descritos por [13], deseja-se mini-
mizar uma função objetivo, dadas as devidas restrições, como descrito na Equação
3.59:
Minimizar m = ρ.Ne∑i=1
Li.Ai
Tal que min[Xij/|σx|i] ≥ FS
min[S/|τyz|i] ≥ FS
→ Falha MacroscópicadProfdmax
≤ 1→ Deslocamento Máximo
(3.59)
Neste trabalho, visto que há valores espećıficos de diâmetros posśıveis para os
tubos da estrutura, sabe-se que o ideal seria considerar um domı́nio discreto para
43
-
tais valores. Contudo, este tipo de abordagem utilizaria conceitos de programação e
otimização muito além do escolpo deste trabalho. Por isso, optou-se por considerar
um domı́nio cont́ınuo para os diâmetros externos dos tubos, limitando-os de acordo
com o menor e o maior diâmetro segundo a Tabela 3.2. Contudo, visto que não há
uma relação direta entre os valores de De e Di ou entre De e A, optou-se por apro-
ximar uma relação linear entre De e um destes outros dois parâmetros. Observando
os gráficos das Figuras 3.19 e 3.20, percebe-se que a aproximação linear entre De e
A possui um R2 maior do que a relação entre De e Di.
Figura 3.19: Relação entre os valores de De e A
Figura 3.20: Relação entre os valores de De e Di
Por esse motivo, preferiu-se adotar a relação linear entre De e A (Mostrada
44
-
na Figura 3.19) e calcular os valores de Di a partir desta, como demonstrado na
Equação 3.60.
2 ≤ De ≤ 10
A = 3.32.De + 4.58
Di = (D2e −
4.A
π)0.5
(3.60)
Visto que o problema desenvolvido neste trabalho é Não-Linear, de apenas uma
variável e que há diversas restrições, optou-se por utilizar o método de otimização da
ToolBox Scipy - Sequential Least Squares Programming (SLSQP) , já que pode-se
facilmente fazer o download de sua rotina de programação e utilizá-la no software,
realizando-se apenas pequenas adaptações.
Uma destas adaptações para que se possa utilizar o SLSQP é reescrever as res-
trições de projeto de forma que o valor retornado seja igual a zero - em caso de
uma restrição de igualdade - ou maior ou igual a zero - em caso de uma restrição de
desigualdade. As restrições são computadas no código como descritas na Equação
3.61:
Restr1→ min[Xij/|σx|i]− FS
Restr2→ min[S/|τyz|i]− FS
Restr3→ dmax − dProf
(3.61)
Neste trabalho, todas as restrições são de desigualdade. Contudo, o programa
permite que sejam adicionadas condições de igualdade, caso a equipe adote alguma
outra restrição no futuro.
Desenvolvida a equação objetivo (Equação 3.59) e definidas as restrições
(Equação 3.61), deve-se estimar valores iniciais para os De da estrutura. Quanto
mais próximos estes valores estiverem dos valores finais, menor é a esperada quan-
tidade de iterações necessárias e, consequentemente, menor é o esperado tempo
computacional do programa. Visto que não há como dizer qual será o valor final
antes das iterações, sugere-se que se utilize o valor De = 6mm para todos os tu-
bos como valores iniciais. Este valor foi escolhido já que é o valor médio entre os
45
-
posśıveis para os tubos neste trabalho, estes que também devem ser computados em
código.
Por fim, sabe-se que os valores finais de De serão aproximados para os valores
inteiros dispońıveis em mercado. Por isso, visando reduzir o tempo computacional
do programa, é posśıvel reduzir a precisão que o SLSQP utiliza para os valores da
variável - cujo padrão é de 10−3mm. Neste trabalho, sugere-se utilizar o valor inicial
de 1mm. Caso a equipe julgue necessária uma precisão maior, sugere-se fazer um
teste inicial com precisão de 1mm e, uma vez que se tenha um valor final de De,
utilizá-lo como valor inicial para uma nova iteração de menor resolução.
Terminadas as iterações, serão obtidos valores de De para cada um dos elementos
da estrutura. Contudo, estes valores devem ainda ser arredondados para valores dis-
pońıveis para compra. Considerou-se mais apropriado arredondar os valores de De
para o maior valor inteiro mais próximo dispońıvel em mercado, segundo a Tabela
3.2. Dessa forma, garante-se que os FS estarão de acordo com os mı́nimos previa-
mente estabelecidos. Sugere-se que sejam feitas algumas simulações com diferentes
valores de FS mı́nimo, de forma a melhor observar como a massa total da estrutura
varia e, por fim, ter uma maior base de informações para escolher o valor final de
FS.
3.4 Análise de Resultados
Utilizando o método demonstrado no Caṕıtulo 3, tem-se como dados de sáıda os
esforços de forças e momentos em cada um dos nós de cada elemento, estes calculados
a partir dos deslocamentos de cada nó. Contudo, três dos critérios de falha deste
trabalho dependem das tensões aplicadas sobre os elementos, tornando necessário o
cálculo destas tensões.
3.4.1 Tipos de Tensões
Após aplicados os esforços externos sobre a estrutura, ocorrem forças e momentos
de reação sobre cada um dos nós. Estes esforços são, como visto anteriormente,
divididos em componentes em cada uma das 3 direções cartesianas locais. Sendo
assim, há 6 esforços diferentes sendo aplicados sobre os nós dos elementos. Nesta
46
-
seção, são estudadas as tensões geradas por cada um destes esforços. Considera-se
que o cisalhamento devido a esforços cortantes será desprezado, visto que este possui
uma ordem de grandeza muito abaixo das demais tensões.
3.4.2 Tensão Axial
A primeira tensão a ser estudada é a tensão axial, que pode ser trativa ou com-
pressiva, dependendo do sentido da força de reação. É valido ressaltar que, em
uma modelagem da estrutura como treliçada, e não em pórtico, esta seria a única
tensão aplicada sobre os elementos. A tensão axial (σA) é causada pela força f̂x,
tendo direção e sentido também iguais a f̂x. Esta tensão pode ser calculada como
mostrado na Equação 3.62.
σA =f̂xA
(3.62)
Tensão de Flexão
A tensão de flexão é modelada neste trabalho como se o elemento estivesse sofrendo
flexão pura, ou seja, como se o elemento estivesse submetido apenas a um momento
fletor. O desenvolvimento teórico para o cálculo desta tensão pode ser encontrado
em [12]. Utilizando os parâmetros dos tubos vazados utilizados neste trabalho, o
cálculo da tensão máxima causada por flexão pura (σF ) é descrito pela Equação
3.63.
σF =m̂i.reI
(3.63)
É importante notar que σF atua na direção x̂ do tubo, para os momentos fletores
em ambas direções ŷ e ẑ. Vale ressaltar também que as tensões atuam em pontos
distintos - O ponto onde σFy é máximo, σFz é nulo, e vice-versa. Para encontrar o
ponto onde o valor de σFy + σFz é máximo, basta trabalhá-los como vetores, como
mostrado na Figura 3.21.
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-
Figura 3.21: Exemplo de seção transversal sofrendo flexão em duas direções
Mt = (M2y +M
2z )
0.5 (3.64)
Percebe-se pela figura que o momento fletor total (Mt) tem seu valor calculado
segundo a Equação 3.64. Percebe-se ainda que, uma vez conhecido o valor do ângulo
θ, pode-se traçar a linha neutra da flexão total, o que explicita que há pontos ondeMt
causa uma tensão trativa, e outros onde a tensão é compressiva. Isso será relevante
ao combinar as tensões fletores com as axiais, que será feito na Seção 3.4.3.
Tensão de Torção
A última tensão analisada resulta do momento torsor m̂x, que gera uma torção ao
longo do tubo. Esta tensão é cisalhante, atuando no plano yz, como mostrado na
Figura 3.22.
Figura 3.22: Exemplo de tubo vazado submetido a um momento torsor
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-
Calcula-se o valor da tensão τyz segundo a Equação 3.45, repetida abaixo por
conveniência.
τyz =m̂x.reJ
(3.65)
O desenvolvimento teórico desta equação pode ser encontrado em [12]. Utiliza-se
o valor de re para o cálculo visto que a tensão cisalhante é máxima no ponto mais
distante posśıvel do centro, como observado também na Figura 3.22
3.4.3 Análise das Tensões
Conhecidos os valores, as direções e os pontos onde as tensões são máximas, é
posśıvel combiná-las a fim analisar como estas tensões atuam sobre o elemento.
Como visto na Seção anterior, ambas tensões de flexão e torção são máximas na
superf́ıcie externa do tubo, enquanto a tensão axial é uniforme ao longo da seção
transversal. Abaixo, observa-se na Tabela 3.3, as caracteŕısticas de cada uma das
tensões utilizadas neste trabalho.
Tabela 3.3: Caracteŕısticas das tensões analisadas sobre o elemento
Tensão Tipo Śımbolo Direção/Plano Ponto de Valor Máximo
Axial Normal σA x̂ Uniforme na seção transversal
Fletora Normal σF x̂ Superćıe externa do tubo
Torsora Cisalhante τT Plano xy Superćıe externa do tubo
De posse da Tabela 3.3,nota-se que a área onde a soma das tensões é máxima
ocorre na superf́ıcie externa do tubo, que deve ser também a área analisada para fins
de critério de falha. Ainda na Tabela 3.3, é posśıvel identificar as 3 tensões normais
e as 3 cisalhantes atuantes em um elemento, a fim de obter o Tensor das tensões de
cada elemento. O módulo destas tensões está exposto abaixo.
Tabela 3.4: Valores das tensões normais e cisalhantes de cada elemento
Tensão σx σy σz τxy τxz τyz
Valor σA + σF 0 0 0 0 τT
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-
O sentido da tensão cisalhante τT é irrelevante neste trabalho, dado que o cisa-
lhamento ocorrerá da mesma forma para os dois sentidos. No caso da tensão normal
σx, é importante comentar que o sentido da tensão - Se esta é trativa ou compressiva
- vai depender unicamente do sentido da tensão axial σA. Como foi comentado na
Seção 3.4.2, a tensão de flexão gera pontos onde esta tensão é trativa e pontos onde
esta é compressiva. Ao somar estes valores com a tensão uniforme σA, alguns pontos
terão sua tensão amplificada, enquanto outros terão sua tensão atenuada. Como este
trabalho pretende avaliar as condições cŕıticas da estrutura, consideram-se pontos
cŕıticos aqueles onde ambas tensões têm mesmo sentido, ou seja, o sentido da tensão
axial.
3.4.4 Análise da Condição Cŕıtica
Conhecidos os esforços e as propriedades de cada elemento, é posśıvel determinar
o que o software irá considerar uma falha da estrutura, ou seja, quais os critérios
que ele utilizará para julgar uma estrutura sendo robusta o suficiente ou não. Neste
trabalho serão desenvolvidos dois critérios independentes, onde ambos devem ser
atendidos para que a estrutura seja aceita. Contudo, a equipe será livre para adi-
cionar, remover ou modificar quaisquer critérios, de acordo com as experiências da
equipe e necessidades de cada projeto.
Falha Macroscópica
Como foi descrito na Seção 3.1.3, neste trabalho será utilizado o Critério de Máxima
Tensão, que determina que as tensões normais e cisalhantes em cada direção não
podem ultrapassar um valor limite, determinado por ensaios. Neste trabalho, será
considerado que apenas as tensões σx e τyz são diferentes de zero (Seção 3.4.3),
porém todas as tensões são avaliadas dentro da rotina de otimização, visto que a
equipe tem liberdade de mudar os critérios de análise de cargas sobre os elementos.
Deslocamento Máximo
Durante todo o percurso de voo da aeronave, é posśıvel que os esforços externos
não sejam suficientes para fazer com que os elementos se rompam, mas podem ser
o suficiente para deformar a estrutura a ponto de comprometer a estabilidade e o
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-
controle do avião. Caso os nós relativos ao profundor, por exemplo, sejam deslocados
para cima ou para baixo além de um determinado limite, o avião pode se tornar
instavel a ponto do piloto perder o controle do mesmo durante o voo, resultando em
uma provável queda. Para evitar isso, considerou-se razoável adicionar um segundo
critério de falha, sendo este exatamente um limite para o deslocamento total dos
nós relativos à posição do profundor do avião.
Visto que este critério de falha existe devido a experiências da equipe, não há
muita base para definir um valor considerado razoável para o deslocamento máximo
do profundor, deve-se analisar e ajustar este dado ao longo das competições fu-
turas. Inicialmente, sugere-se utilizar os valores de deslocamento encontrados nas
configurações passadas, valores estes que serão apresentados no Caṕıtulo 5.
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Caṕıtulo 4
Modelo Computacional
Neste caṕıtulo, serão detalhadas quais análises o software se propõe a fazer e como ele
se propõe a fazê-las, além de desenvolver como a estrutura da aeronave foi modelada.
4.1 Código e Linguagem Python
Todos os métodos e parâmetros descritos no Caṕıtulo 3 foram transcritos para um
código em Python. Decidiu-se utilizar a linguagem de programação Python, já que
esta é uma linguagem simples e de fácil entendimento, tendo conquistado uma grande
popularidade no meio cient́ıfico [14]. Além disso, diversos cursos de engenharia da
Escola Politécnica da UFRJ ensinam conceitos básicos de Python para seus alunos de
1o e 2o peŕıodo. Visto que a maioria dos alunos que ingressam na equipe ja