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MODELAGEM DA FUNÇÃO DE PRODUÇÃO DAS USINASHIDROELÉTRICAS CONSIDERANDO AS CARACTERÍSTICAS

OPERATIVAS DAS UNIDADES GERADORAS

Lílian Takahata Yocogawa

Projeto de Graduação apresentado ao Cursode Engenharia Elétrica da Escola Politécnica,Universidade Federal do Rio de Janeiro, comoparte dos requisitos necessários à obtenção dotítulo de Engenheiro.

Orientadores: José Luiz da Silva NetoLilian Chaves Brandão dosSantos

Rio de JaneiroMaio de 2019




PROJETO DE GRADUAÇÃO SUBMETIDO AO CORPO DOCENTE DOCURSO DE ENGENHARIA ELÉTRICA DA ESCOLA POLITÉCNICADA UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO COMO PARTEDOS REQUISITOS NECESSÁRIOS PARA A OBTENÇÃO DO GRAU DEENGENHEIRO ELETRICISTA.

Examinado por:

Prof. José Luiz da Silva Neto, Ph.D.

Lilian Chaves Brandão dos Santos, M.Sc.

Carlos Alberto de Araújo Júnior, M.Sc.

Prof. Walter Issamu Suemitsu, Dr.Ing.

RIO DE JANEIRO, RJ – BRASILMAIO DE 2019

Takahata Yocogawa, LílianMODELAGEM DA FUNÇÃO DE PRODUÇÃO DAS

USINAS HIDROELÉTRICAS CONSIDERANDO ASCARACTERÍSTICAS OPERATIVAS DAS UNIDADESGERADORAS/Lílian Takahata Yocogawa. – Rio deJaneiro: UFRJ/ Escola Politécnica, 2019.

XV, 69 p.: il.; 29, 7cm.Orientadores: José Luiz da Silva Neto

Lilian Chaves Brandão dos SantosProjeto de Graduação – UFRJ/ Escola Politécnica/

Curso de Engenharia Elétrica, 2019.Referências Bibliográficas: p. 66 – 67.1. Função de Produção Hidroelétrica. 2. Curvas

Colinas. 3. Planejamento de curto prazo. I. da SilvaNeto, José Luiz et al. II. Universidade Federal do Rio deJaneiro, Escola Politécnica, Curso de Engenharia Elétrica.III. Título.

iii

Aos meus avós, Kunivo e Clara.

iv

Agradecimentos

Em primeiro lugar, agradeço a Deus por ter me abençoado e me iluminado nessalonga e árdua jornada.

Agradeço aos meus pais, Amélia e Walter, por todo suporte e por serem minhamaior inspiração. Espero algum dia ser tão incrível quanto vocês, tanto profissio-nalmente, quanto intelectualmente. Ao meu ditian Kunivo e à minha batian Clara,obrigada por todo carinho e por me incentivar desde cedo a estudar e a correr atrásdos meus sonhos. Estou aqui hoje graças à dedicação de vocês. Ao meu irmão Le-onardo, muito obrigada por todo companheirismo, amizade e por tornar meus diasmais doces. Não posso deixar de agradecer à nova integrante da família, Milka, porsempre me receber tão bem em casa e por me divertir tanto com suas brincadeiras.À toda minha família, muito obrigada. Vocês são meu maior tesouro.

Ao Bryan, toda minha gratidão por me incentivar a crescer e a ser uma pes-soa melhor. Obrigada por estar sempre presente, me ajudando a manter o foco eacalmando meus prantos. Obrigada também por sempre acreditar em mim, mesmoquando nem eu mesma acreditava que seria capaz. Você, com sua infinita força devontade e dedicação, é uma das minhas grandes inspirações.

Aos meus amigos da graduação, obrigada por cada hora de estudo, ansiedade esofrimento antes e depois das provas e por todo apoio que me deram nos momentosque pensei em desistir. Agradeço também pelas festinhas e barzinhos, que me aju-daram a aliviar um pouco a mente e dar uma pausa na tensão do dia a dia. Vocêstornaram minha trajetória menos árdua e muito mais divertida. Vocês são incríveis,Anderson, Douglas, Érika, Igor, Jéssica, Nicolas, Rodrigo e Vitor.

Aos meus amigos do CEPEL, Argolo, Bruno, Camila, Fernanda, Marcelo,Miryam, Paulo, Pedrin, Pedron, Rates, Rodrigo e Vini-kun, agradeço por teremme proporcionado esses dois anos maravilhosos de estágio. Obrigada pelos almoçosdiários, os descansos no sofá e as voltinhas nos dias ensolarados. Obrigada tambémpor todos os unicórnios, cartões, fotos de tartaruga, memes e origamis. Cada umtem sua personalidade, mas todos são muito especiais para mim. Quero levar aamizade de vocês para sempre comigo.

Às minhas caronas Andreza, Larissa e Nane, obrigada por transformar o longo eengarrafado trajeto de ida e volta pro Fundão em momentos de alegria e diversão.

v

A amizade de vocês será da carona para a vida.Às minhas amigas da escola, Brenda, Marjorie, Raiane, Paula e Verônica, agra-

deço por todos esses anos de amizade, que me proporcionaram momentos inesque-cíveis.

Aos profissionais do DEA, principalmente aos meus orientadores, Lilian Chavese André Diniz, muito obrigada por todo conhecimento transmitido, pela paciênciana fase de aprendizado e por sempre estarem disponíveis para tirar dúvidas e meajudar no que fosse preciso.

Ao Prof. Zé Luiz, muito obrigada pela orientação neste trabalho e por ter acei-tado o convite de última hora.

Por fim, à todos os meus professores do DEE, agradeço pelas aulas ministradase por todo conhecimento que foi transmitido dentro e fora de sala de aula.

vi

Resumo do Projeto de Graduação apresentado à Escola Politécnica/ UFRJ comoparte dos requisitos necessários para a obtenção do grau de Engenheiro Eletricista.




Maio/2019

Orientadores: José Luiz da Silva NetoLilian Chaves Brandão dos Santos

Curso: Engenharia Elétrica

O foco deste trabalho será o planejamento da operação hidrotérmica a curtoprazo, cujo objetivo é estimar a geração de usinas hidroelétricas e térmicas em umperíodo de dois meses a um ano de horizonte, com discretização semanal e mensal, demodo que atenda à demanda, com menor custo possível e satisfazendo aos critériosde segurança e restrições físicas do sistema. Será proposta uma nova modelagem dafunção de produção hidroelétrica, cujos objetivos são representar o sistema de formamais realista e obter resultados mais acurados de geração hidroelétrica.

O modelo atual considera o rendimento da turbina constante e já embutido naprodutibilidade específica da usina. A nova modelagem, entretanto, considera as ca-racterísticas de operação do conjunto turbina-gerador, utilizando as curvas colinas,que determinam a eficiência instantânea das turbinas, dada uma vazão turbinada equeda líquida. Nelas também são representadas as zonas proibidas que correspon-dem aos intervalos de geração em que a máquina não deve operar.

Com o intuito de aplicar as curvas colinas no problema de planejamento dediscretização semanal, foi realizado um tratamento probabilístico, obtendo assimuma curva colina com eficiências médias do período em estudo. Em seguida, pormeio de algoritmos heurísticos, foi feita a otimização da distribuição da geraçãomédia da usina entre as gerações médias de cada unidade geradora.

vii

Abstract of Undergraduate Project presented to POLI/UFRJ as a partial fulfillmentof the requirements for the degree of Engineer.

MODELING OF THE PRODUCTION FUNCTION OF THEHYDROELECTRIC POWER PLANTS CONSIDERING THE OPERATING

CHARACTERISTICS OF THE GENERATION UNITS


May/2019

Advisors: José Luiz da Silva NetoLilian Chaves Brandão dos Santos

Course: Electrical Engineering

The aim of this work is the planning of short-term hydrothermal operation, whoseobjective is to estimate the generation of hydroelectric and thermal plants in a periodof two months to one year horizon, with weekly and monthly discretization, so thatit complies with the demand supply, with the lowest possible cost and satisfyingthe safety standard and physical restrictions of the system. A new modeling of thehydroelectric production function will be proposed, whose objectives are to representthe system in a more realistic way and obtain more accurate hydroelectric generationresults.

The current model considers the turbine efficiency constant and already builtinto the specific productivity of the plant. The new modeling, however, consid-ers the operating characteristics of the turbine-generator set, using the hill curves,which determine the instantaneous efficiency of the turbines, given the turbinedflow and the water head. They also represent the forbidden zones that correspondto generation intervals in which the machine must not operate.

In order to apply the hill curves to the problem of weekly discretization plan-ning, a probabilistic treatment was performed, obtaining a hill curve with meanefficiencies of the period under study. Then, by means of heuristic algorithms, theaverage generation of the plant was optimized between the average generations ofeach generating unit.

viii

Sumário

Agradecimentos v

Lista de Figuras xi

Lista de Tabelas xiii

Lista de Abreviaturas xv

1 Introdução 11.1 Contexto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Motivação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.3 Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.4 Estrutura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2 Fundamentação teórica e revisão bibliográfica 42.1 Cálculo da Função de Produção Hidroelétrica . . . . . . . . . . . . . 4

2.1.1 Função de Produção Hidroelétrica Exata (FPH) . . . . . . . . 62.1.2 Função de Produção Hidroelétrica Aproximada (FPHA) . . . 7

2.2 Consideração de curvas colinas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

3 Modelagem proposta 113.1 Cálculo da Função de Produção Hidroelétrica considerando Curvas

Colinas (FPHcc) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113.2 Tratamento das curvas colinas em tabelas . . . . . . . . . . . . . . . 133.3 Tratamento das zonas proibidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3.3.1 Consideração de uma zona proibida constante . . . . . . . . . 183.3.2 Obtenção de uma curva colina média a partir de uma distri-

buição de probabilidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203.4 Otimização da distribuição do turbinamento . . . . . . . . . . . . . . 23

3.4.1 Algoritmo 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243.4.2 Algoritmo 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243.4.3 Algoritmo 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

ix

3.4.4 Algoritmo 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313.4.5 Algoritmo genético . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

4 Resultados e discussões 384.1 Curvas colinas médias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394.2 FPHcc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444.3 FPHAcc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 504.4 Comparação entre os modelos (FPH, FPHcc, FPHA e FPHAcc) . . . 574.5 Algoritmo genético . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

5 Conclusões e trabalhos futuros 64

Referências Bibliográficas 66

A Demonstração 68A.1 Cálculo do Critério ∆ghj+ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68A.2 Cálculo do Critério ∆ghj− . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

x

Lista de Figuras

2.1 Componentes de uma usina hidroelétrica. . . . . . . . . . . . . . . . . 52.2 Esquema ilustrativo do ajuste da FPHA0. . . . . . . . . . . . . . . . 7

3.1 Exemplo de uma curva colina em formato de gráfico. . . . . . . . . . 123.2 Exemplo de uma curva colina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153.3 Exemplo de uma curva colina com os pontos extremos em destaque. . 153.4 Exemplo de uma curva colina com as arestas limítrofes destacadas. . 163.5 Exemplo de uma curva colina com a região proibida determinada. . . 163.6 Ilustração da interpolação realizada na curva colina fictícia. . . . . . . 173.7 Curva colina para um valor de Hliq constante. . . . . . . . . . . . . . 183.8 (a) Curva colina para Hliqcc constante, considerando que uma zona

proibida no interior da curva; (b) Distribuição da vazão turbinadatotal ao longo de um período de duração t = t1 + t2. . . . . . . . . . . 19

3.9 Curva colina para Hliqcc constante, considerando uma zona proibidapara baixas vazões. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3.10 Função densidade de probabilidade da vazão com distribuição normale com a distribuição considerando as zonas proibidas. . . . . . . . . . 22

3.11 Fluxograma do Algoritmo 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253.12 Fluxograma da fase de pré-processamento do Algoritmo 3. . . . . . . 273.13 Fluxograma do Algoritmo 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313.14 Fluxograma da fase de pré-processamento do Algoritmo 4. . . . . . . 323.15 Fluxograma do Algoritmo 4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

4.1 Função densidade de probabilidade da vazão para (a) q∗ = 20 m3/s;(b) q∗ = 50 m3/s; (c) q∗ = 80 m3/s - Usina 1. . . . . . . . . . . . . . 39

4.2 Gráficos comparativos para Hliqcc = 60 m (a) Curvas colinas instan-tânea e média; (b) Gerações instantânea e média - Usina 1. . . . . . . 40

4.3 Curva colina (a) Instantânea e (b) Média - Usina 1. . . . . . . . . . . 414.4 Curva colina (a) Instantânea e (b) Média - Usina 2. . . . . . . . . . . 424.5 Curva colina (a) Instantânea e (b) Média - Usina 3. . . . . . . . . . . 434.6 FPH - Usina 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

xi

4.7 Função de Produção Hidroelétrica Exata considerando Curvas Coli-nas - Usina 1. (a) FPHccA1; (b) FPHccA2; (c) FPHccA3; (d) FPHccA4 45

4.8 FPH - Usina 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 464.9 Função de Produção Hidroelétrica Exata considerando Curvas Coli-

nas - Usina 2. (a) FPHccA1; (b) FPHccA2; (c) FPHccA3; (d) FPHccA4 474.10 FPH - Usina 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 494.11 Função de Produção Hidroelétrica Exata considerando Curvas Coli-

nas - Usina 3. (a) FPHccA1; (b) FPHccA2; (c) FPHccA3; (d) FPHccA4 494.12 FPHA - Usina 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 514.13 Função de Produção Hidroelétrica Aproximada considerando Curvas

Colinas - Usina 1. (a) FPHAccA1; (b) FPHAccA2; (c) FPHAccA3; (d)FPHAccA4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

4.14 FPHA - Usina 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 534.15 Função de Produção Hidroelétrica Aproximada considerando Curvas


4.16 FPHA - Usina 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 554.17 Função de Produção Hidroelétrica Aproximada considerando Curvas


4.18 FPHcc resultante do GA - Usina 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 614.19 Comparação entre o GA e as funções de produção exata para a Usina 1. 614.20 Comparação entre o GA e as funções de produção aproximada para

a Usina 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

xii

Lista de Tabelas

3.1 Exemplo de curva colina em formato de tabela. . . . . . . . . . . . . 133.2 Exemplo de pontos de eficiência (q ×Hliq). . . . . . . . . . . . . . . . 133.3 Exemplo de pontos de eficiência (p×Hliq). . . . . . . . . . . . . . . . 13

4.1 Erros percentuais absolutos médios entre a FPH e a FPHcc dos Al-goritmos 1, 2, 3 e 4 - Usina 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

4.2 Erros percentuais absolutos médios entre as FPHcc dos Algoritmos1, 2, 3 e 4 - Usina 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46





4.7 Erros percentuais absolutos médios entre a FPHA e a FPHAcc dosAlgoritmos 1, 2, 3 e 4 - Usina 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

4.8 Erros percentuais absolutos médios entre as FPHAcc dos Algoritmos1, 2, 3 e 4 - Usina 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53





4.13 Erros percentuais absolutos médios entre a FPHAcc e FPHcc dosAlgoritmos 1, 2, 3 e 4 - Usina 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

xiii

4.14 Erros percentuais absolutos médios entre a FPHA, FPH e FPHcc dosAlgoritmos 1, 2, 3 e 4 - Usina 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58





4.19 Erros percentuais absolutos médios entre o GA e as funções de pro-dução exatas - Usina 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

4.20 Erros percentuais absolutos médios entre o GA e as funções de pro-dução aproximadas - Usina 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

xiv

Lista de Abreviaturas

DECOMP Modelo de Planejamento da Operação de Sistemas Hidrotér-micos Interligados de Curto Prazo, p. 1

DESSEM Modelo de Despacho Hidrotérmico de Curto Prazo, p. 1

FPHA Função de Produção Hidroelétrica Aproximada, p. 1

FPHAcc Função de Produção Hidroelétrica Aproximada com Curva Co-lina, p. 2

FPH Função de Produção Hidroelétrica Exata, p. 1

FPHcc Função de Produção Hidroelétrica Exata considerando CurvasColinas, p. 2

GA Genetic algorithm, p. 36

MILP Mixed-Integer Linear Programming, p. 8

NEWAVE Modelo de Planejamento da Operação de Sistemas Hidrotér-micos Interligados de Longo e Médio Prazo, p. 1

SIN Sistema Interligado Nacional, p. 2

v.a. Variável aleatória, p. 21

xv

Capítulo 1

Introdução

1.1 Contexto

O planejamento da operação hidrotérmica tem como objetivo estimar a geração deusinas hidroelétricas e térmicas em um determinado período de tempo, de modoa atender à demanda, com menor custo possível e satisfazendo aos critérios de se-gurança e restrições físicas do sistema. É um problema de complexidade elevada,devido às diversas fontes de geração existentes no Brasil e sua vasta extensão terri-torial, assim como o caráter estocástico de representação de incertezas ao longo dohorizonte de tempo de estudo, que vai do planejamento plurianual ao planejamentodiário da operação. Desse modo, o planejamento da operação é realizado por trêsmodelos, em que cada um é responsável por um horizonte de estudo. Esses modelossão o NEWAVE [1], para o período de médio prazo (cinco a dez anos); o DECOMP[2], para o período de curto prazo (dois meses a um ano); e o DESSEM [3][4], paraprogramação diária (um a catorze dias).

O foco deste trabalho será o planejamento da operação a curto prazo, de doismeses a um ano de horizonte, com discretização semanal e mensal, em que seráproposta uma nova modelagem da função de produção hidroelétrica e comparadacom a atualmente utilizada pelo modelo DECOMP [2].

A função de produção recebe o nome de Função de Produção Hidroelétrica Exata(FPH) depende da vazão turbinada, da vazão vertida e da altura líquida da usina deforma não-linear e não-côncava. Dessa forma, modelos aproximados são utilizadosvisando uma linearização da FPH, para que possam ser utilizados em problemas deotimização convexos sem que se perca a característica da produtividade das usinasvariável com a queda.

Atualmente, a modelagem da função de produção utilizada pelo DECOMP é aFunção de Produção Aproximada (FPHA) [5], sendo uma aproximação por usina,linear por partes e côncava da FPH. Essa modelagem possui a vantagem de repre-

1

sentar os efeitos do turbinamento, vertimento e da variação do nível de água noreservatório em uma única função, representando cada uma dessas variáveis indivi-dualmente. Entretanto, tem como desvantagem o fato de considerar os rendimentosda turbina e do gerador como sendo constantes e já embutidos no valor da pro-dutibilidade específica das unidades geradoras, resultando em valores otimistas oupessimistas da geração hidroelétrica em determinados pontos de operação. Portanto,há uma necessidade de buscar meios alternativos para representar com mais deta-lhes as características operativas das usinas hidroelétricas, de modo a aprimorar arepresentação do sistema.

1.2 Motivação

Com o aumento da inserção de fontes intermitentes de energia no SIN, como a eólicae a solar, há uma grande necessidade de representar os aspectos da operação horáriaem modelos de mais longo prazo. É preciso também aprimorar a representação daFPHA, levando em consideração o rendimento da turbina variável com o ponto deoperação da usina, visando representar o sistema cada vez mais de forma realista.

1.3 Objetivos

Nesse trabalho são propostas duas modelagens alternativas da FPH, denominadasFunção de Produção Hidroelétrica Exata considerando Curvas Colinas (FPHcc) ea Função de Produção Hidroelétrica Aproximada com Curva Colina (FPHAcc), emque ambas consideram as características de operação do conjunto turbina-gerador,por meio do uso das curvas colinas, que servem para determinar a eficiência ins-tantânea das turbinas para uma dada vazão turbinada e queda líquida [6]. Nelastambém são representadas as zonas proibidas que correspondem aos intervalos degeração em que a máquina não deve operar, devido aos efeitos de cavitação em bai-xas vazões e de vibração em vazões elevadas, que podem levar a deterioração dasturbinas. A diferença entre as duas modelagens propostas é que a FPHAcc sofre umprocesso de convexificação, assim como a FPHA, que será detalhado adiante. Cabedestacar que a FPHAcc foi obtida a partir da FPHcc, portanto, primeiramente serádeterminada a função de produção exata utilizando a curva colina e, em seguida,sua função aproximada.

A modelagem proposta da FPHcc foi construída a partir das etapas abaixo, queserão detalhadas nos próximos capítulos.

• Etapa 1: Tratamento dos dados das curvas colinas instantâneas em tabelaspara um grid, fazendo interpolações;

2

• Etapa 2: Determinação das zonas proibidas por meio da análise das curvascolinas resultantes dos dados tabelados. Para uma primeira análise, as zo-nas proibidas foram consideradas como sendo constantes. Posteriormente, foiobtida uma curva colina média, a partir das curvas colinas instantâneas, demodo a melhorar a representação das eficiências das unidades geradoras noplanejamento de médio/longo prazo;

• Etapa 3: Desenvolvimento de algoritmos heurísticos para otimização da dis-tribuição da geração média da usina entre as gerações médias das unidades,considerando a curva colina média.

1.4 Estrutura

Este trabalho está dividido em cinco capítulos. No Capítulo 1 foi apresentada umabreve introdução de como este trabalho se encaixa no estudo do planejamento daoperação hidrotérmica, suas motivações e objetivos.

No Capítulo 2 será abordado, com maior detalhamento, o cálculo da FPH e serãoapresentadas outras modelagens já existentes, considerando as curvas colinas e zonasproibidas de geração, assim como suas vantagens e desvantagens.

No Capítulo 3 será explicado todo o desenvolvimento das Etapas 1, 2 e 3, utiliza-das na modelagem proposta da FPHcc, assim como o desenvolvimento do algoritmogenético.

No Capítulo 4, os resultados da FPHcc e da FPHAcc para três usinas do SINserão mostrados e comparados com o modelo exato (FPH), o aproximado (FPHA)e o algoritmo genético.

Por fim, no Capítulo 5 serão apresentadas as conclusões e algumas sugestõespara trabalhos futuros.

3

Capítulo 2

Fundamentação teórica e revisãobibliográfica

2.1 Cálculo da Função de Produção Hidroelétrica

A função de produção hidroelétrica tem como objetivo representar o processo deconversão da energia potencial da água armazenada nos reservatórios em energiaelétrica. Nesse processo, a turbina transforma a energia potencial em energia me-cânica, que por sua vez gera um torque no eixo do gerador, transformando energiamecânica em energia elétrica. Dessa forma, a função de produção que se quer cal-cular determina a geração hidroelétrica GH [MW] fornecida pela usina, em umintervalo de tempo, dado o volume armazenado médio do reservatório V [m3], avazão turbinada total Q [m3/s] e a vazão vertida da usina S [m3/s] [7], que são asvariáveis de decisão consideradas no problema de otimização onde essa função deveser inserida.

Cabe destacar que algumas usinas não tem seu canal de fuga afetado pelo verti-mento, sendo, portanto, desconsiderado na função de produção.

Para usinas à fio d’água, a função de produção varia apenas com a vazão turbi-nada e vertida, visto que o volume armazenado é constante. Na Figura 2.1 (adaptadade [8]) estão ilustrados os componentes de uma usina hidroelétrica.

4

Figura 2.1: Componentes de uma usina hidroelétrica.

A geração hidroelétrica da usina é dada pelo somatório das gerações individuaisdas suas unidades geradoras, gh [MW], que por sua vez são compostas pelos con-juntos turbina-gerador (Equação 2.1). A potência gerada por cada unidade dependeda vazão a ser turbinada pela unidade geradora, q [m3], da altura líquida da usinaHliq [m] e dos rendimentos da turbina ηt [%] e do gerador ηg [%] [5].

GH =nunid∑j=1

ghj(qj, Hliq) (2.1)

em que nunid é o número de unidades geradoras da usina.

gh = 9, 81× 10−3 × ηt × ηg × q ×Hliq (2.2)

Na Equação 2.2, a constante 9, 81× 10−3 corresponde ao produto entre a densi-dade da água γ [kg/m3] e a aceleração da gravidade g [m/s2].

A altura líquida está relacionada com a altura de montante Hmon [m], altura dejusante Hjus [m] e o fator de perdas Hperdas [m ou %], mostrada na Equação 2.3.

Hliq = Hmon(V )−Hjus(Q,S)−Hperdas(q) (2.3)

A altura de montante corresponde à cota a montante da usina (nível do reser-vatório), que é uma função polinomial do volume V . A altura de jusante, tambémconhecida como canal de fuga, corresponde a altura do reservatório da usina a ju-sante e é uma função não-linear de Q e de S, quando esta tem influência na vazãoturbinada, que depende da configuração da usina. Dependendo da proximidade dasusinas, Hjus também pode ser influenciada pelo nível do reservatório da usina a ju-sante. O fator de perdas é uma função quadrática da vazão turbinada pela unidade

5

geradora.A eficiência da turbina é uma função não-linear da altura líquida e da vazão

turbinada pela unidade geradora (Equação 2.4), já a eficiência do gerador é umafunção não-linear da potência (Equação 2.5).

ηt = ηt(q,Hliq) (2.4)

ηg = ηg(gh) (2.5)

A combinação da eficiência da turbina com a do gerador resulta em η [%], que é aeficiência do conjunto turbina-gerador (Equação 2.6). Assim, a geração hidroelétricaé obtida pela Equação 2.7.

η = ηt × ηg (2.6)

gh = 9, 81× 10−3 × η × q ×Hliq (2.7)

2.1.1 Função de Produção Hidroelétrica Exata (FPH)

No modelo da FPH, η é considerado como sendo constante e seu valor correspondeao rendimento médio da usina. Dessa forma, os termos constantes da Equação 2.2são unidos em uma só variável, que recebe o nome de produtibilidade específica, ρesp[

W(m3/s).m

], descrita na Equação 2.8.

ρesp = 9, 81× 10−3 × ηt × ηg (2.8)

Assim, gh é determinada como sendo o produto da produtibilidade específicapela vazão e altura líquida, como é mostrado na Equação 2.9.

ghFPH = ρesp × q ×Hliq (2.9)

ghFPH = ρesp × q × (Hmon(V )−Hjus(Q,S)−Hperdas(q)) (2.10)

GH = FPH(V,Q, S) = ρesp ×Q× (Hmon(V )−Hjus(Q,S)−Hperdas(q)) (2.11)

A variávelHperdas também é aproximada por uma constante e, dessa forma, a geraçãoda usina é finalmente dada por:

GH = FPH(V,Q, S) = ρesp ×Q× (Hmon(V )−Hjus(Q,S)−Hperdas) (2.12)

6

2.1.2 Função de Produção Hidroelétrica Aproximada

(FPHA)

Devido à complexidade de se calcular a FPH por ser uma função não-linear e não-côncava, atualmente no DECOMP utiliza-se a FPHA, que considera a função deprodução linear por partes e côncava, permitindo a associação das vantagens de taispropriedades com a precisão de uma representação não-linear [9].

Na construção da FPHA, primeiramente considera-se o vertimento nulo econstrói-se uma grade de pontos no plano V ×Q, em que para cada ponto é calculadaa geração exata da usina pela FPH (Equação 2.12). O número de pontos de suagrade de discretização, bem como sua distribuição, dependem da precisão desejadapara o modelo e do comportamento da função de produção de cada usina. Se aFPH for mal comportada (ou seja, não-côncava) em uma grande parte da grade de-finida, aumentar o número de pontos na discretização não resultará em um modelomais acurado, uma vez que todos os pontos na região não-côncava da curva serãoeliminados durante o cálculo da envoltória convexa [10].

Em seguida, realiza-se o ajuste de uma envoltória convexa para a região desseplano e é obtido um modelo inicial linear por partes e côncavo, chamado de FPHA0.Como esse modelo é uma aproximação otimista da FPH, ou seja, seus valores degeração tendem a ser maiores que os da função de produção exata, então é aplicadoum fator de correção para minimizar o desvio quadrático médio entre as funçõesFPH e a FPHA0 nos pontos de discretização, sendo ilustrado na Figura 2.2.

A modelagem aproximada foi desenvolvida em [5] e tem a grande vantagem deconsiderar a influência do volume armazenado, do turbinamento e da vazão vertidaem uma única função, que pode ser usada diretamente.

Figura 2.2: Esquema ilustrativo do ajuste da FPHA0.

7

2.2 Consideração de curvas colinas

A utilização das curvas colinas para o cálculo da função de produção hidroelétricajá foi considerada em alguns trabalhos, com aplicação para o planejamento de curtoprazo quanto de médio/longo prazo, empregando diferentes técnicas de solução paradeterminar a geração ótima, cada uma com suas vantagens e desvantagens. Ostrabalhos que mais se assemelham com o que é proposto serão apresentados aolongo desta seção.

Em [11], para o problema de planejamento de médio/longo prazo, foi criada umafunção de produção hidroelétrica que representa individualmente as decisões dasunidades geradoras. Primeiramente, foi elaborado um algoritmo unit commitmentheurístico na fase de pré-processamento, que considerou como um problema de curtoprazo. Esse algoritmo tem o objetivo de maximizar a geração, definindo a vazão a serturbinada por cada unidade, dada a altura líquida, o turbinamento total da usina,o limite máximo de turbinamento, a curva colina da unidade e as zonas proibidas.A geração é uma função linear por partes aproximada por retângulos e serviu paracompor um problema de formulação MILP, cuja função objetivo visa maximizar aenergia armazenada, atendendo à demanda em todos os períodos e o balanço hídricopara usinas com reservatório e a fio d’água. Apesar de os resultados apresentadosserem acurados, tem a desvantagem de possuir um tempo computacional bastanteelevado, se aplicado a um sistema elétrico de grande porte, como o brasileiro. Outradesvantagem é considerar as curvas de eficiências instantâneas em um problema demédio/longo prazo, pois não há garantia de que a vazão a ser turbinada pela unidadese mantenha em um mesmo valor ao longo de todo o período de discretização.

Em [12], foram estudados dois modelos matemáticos para determinar a eficiênciado grupo turbina-gerador: um polinômio de segundo grau (Equação 2.13) [13],[14] eoutro de quarto grau (Equação 2.14) [13], cujos coeficientes foram determinados portécnicas de regressão linear, a partir de pontos de uma curva colina típica com eixosnormalizados. Apesar das diferenças entre os dois modelos serem pequenas, aqueleque melhor se adequou foi o da Equação 2.14. Para esse modelo, foram calculadasa geração média de um período, dada pela FPHA do modelo DECOMP, e a gera-ção considerando o modelo proposto da curva colina e seus resultados mostrarampequenas diferenças entre elas, que justifica a usual consideração na literatura o usode um fator de eficiência médio constante para problemas hidrotérmicos de curtoprazo. Um ponto negativo desse trabalho foi desconsiderar as zonas proibidas degeração e considerar a vazão turbinada da usina como um todo e não de maneiraindividualizada.

8

η = a00 + a10h+ a01q + a11hq + a20h2 + a02q

2 (2.13)

η = b00 + b10h+ b01q + b11hq + b20h2 + b02q

2 + b21h2q + b12hq

2 + b22h2q2 (2.14)

Em [15], foi desenvolvido um modelo de programação dinâmica para otimizaro número de unidades geradoras em operação para cada hora do dia, atendendo àdemanda da maneira mais econômica. Um procedimento foi feito para determinar avazão a ser turbinada por cada unidade e a altura líquida e, a partir desses parâme-tros, extraiu-se a eficiência da curva colina. Os custos de ligamento/desligamento daunidade foram calculados por um modelo dinâmico de otimização discreta, buscandoum trade-off entre minimizar o número de ligamentos e desligamentos das unidadesgeradoras e maximizar a eficiência da geração. O modelo foi testado utilizando da-dos da usina de Itaipú e mostrou a grande vantagem em considerar a representaçãode cada turbina-gerador individualmente, a fim de modelar sua eficiência com pre-cisão, reduzindo as perdas de geração e os custos de ligamento e desligamento dasunidades no problema de planejamento de curto prazo e promovendo uma economiaestimada em US$ 80 milhões por ano.

Em [16], foi proposto um modelo para solucionar o problema unit commitmentdas unidades de geração hidroelétrica, baseada em técnicas de decomposição. Devidoà não-linearidade da função de produção e a consideração das zonas proibidas, oproblema é classificado como inteiro misto não-linear, para o qual foi proposta umasolução baseada nos métodos Branch and Bound1 e de gradientes projetados. Aeficiência foi descrita como uma função quadrática, cujos coeficientes foram obtidospor uma técnica de regressão multivariável não-linear e a função de produção foirepresentada por um polinômio de sétimo grau, em função apenas do turbinamento.Após aplicação do método Branch and Bound, as zonas proibidas foram encontradas,assim como as soluções viáveis. As restrições operativas foram inseridas no problemade otimização, que foi solucionado pelo método de Gradientes Projetados de Rosen[17]. Uma desvantagem dessa metodologia é que ela só consegue garantir soluçõesótimas em determinados pontos, além de considerar o parque gerador isoladamentee com apenas três unidades de geração.

Em [18], foi apresentada uma metodologia para obter e ajustar as curvas colinasdas unidades geradoras de uma usina do SIN, baseada em dados reais de geraçãohidroelétrica, queda líquida e vazão turbinada. Para o ajuste das funções de eficiên-cia, foi aplicado o método de otimização de Gradiente Reduzido Generalizado2, como objetivo de minimizar a soma dos erros quadrados entre o turbinamento obtido

1Método baseado na ideia de desenvolver uma enumeração inteligente das soluções candidatasà solução ótima inteira de um problema.

2Método usado para solucionar problemas de programação matemática com uma função objetivonão linear e restrições lineares.

9

de dados reais e o da curva colina da turbina. Resultados mostraram uma melhorasignificativa com redução de erros em torno de 90% e também comprovou que o usode funções ajustadas para operar as usinas hidrelétricas podem reduzir a necessidadede se construírem novas usinas para atender o crescimento da demanda, pois há ummelhor aproveitamento da geração, podendo trazer também maiores lucros para ascompanhias geradoras de eletricidade.

10

Capítulo 3

Modelagem proposta

Na Seção 3.1 é apresentada a metodologia utilizada para o cálculo da FPHcc, adefinição de curva colina e suas principais características. Na Seção 3.2 é explicadocomo foram coletados os dados das curvas colinas e na Seção 3.3 são apresentadasas metodologias desenvolvidas para determinar as zonas proibidas. Por fim, osalgoritmos propostos para otimizar a distribuição do turbinamento entre as unidadesgeradoras são apresentados na Seção 3.4.

3.1 Cálculo da Função de Produção Hidroelétrica

considerando Curvas Colinas (FPHcc)

No modelo da FPHcc, considera-se a eficiência η (Equação 2.7) como uma variável,em função da vazão que está sendo turbinada e da altura líquida e sua representaçãoé dada pelas curvas colinas.

Essas curvas podem ser apresentadas em formato de gráfico ou tabela, sendoesta derivada do gráfico e a mais utilizada, inclusive neste trabalho, devido à maiorfacilidade em trabalhar com esse tipo de dado. Nelas estão contidas pontos de vazãoturbinada e queda líquida e, para cada par, é extraída sua eficiência correspondente.Conforme o turbinamento aumenta e, consequentemente a geração, a eficiência tam-bém aumenta até um valor máximo ηccmax e, em seguida, começa a decrescer [15].Uma usina pode ser representada por uma única curva ou cada unidade geradorapode ter sua própria curva colina.

Existem alguns pontos na curva colina que são chamados de zonas proibidas,em que as máquinas não devem operar, devido aos efeitos de cavitação, quandohá baixas vazões, e de vibração, quando há vazões elevadas, que podem levar arápida deterioração das turbinas. Essas zonas podem estar nas extremidades e/ouno interior da curva.

Na Figura 3.1, adaptada de [13], está um exemplo de curva colina representada

11

em gráfico, podendo ser observadas as zonas proibidas e o ponto de máxima efici-ência. Na Tabela 3.1 está um exemplo de curva colina em formato de tabela. Porquestões de nomenclatura, a vazão turbinada dada pela curva colina se chamará qcce a altura líquida, Hliqcc .

Dessa forma, o cálculo da geração hidroelétrica utilizando a curva colina, ghFPHcc

[MW], é dado pela Equação 3.1, em que ηcc [%] é a eficiência da turbina extraídada curva colina. Por exemplo, supõe-se que é preciso turbinar q em uma unidadegeradora, que se encontra a uma altura líquida Hliq. Consulta-se sua curva colinae extrai-se diretamente ou por interpolação, se necessário, o valor da eficiência cor-respondente neste ponto de operação. Em seguida, este valor é multiplicado pelaeficiência do gerador, obtendo a eficiência do conjunto turbina-gerador.

Neste trabalho, a eficiência do gerador já está embutida na variável ηcc, corres-pondendo, portanto, à eficiência do conjunto turbina-gerador.

ghFPHcc = 9, 81× 10−3 × ηcc(qcc, Hliqcc)× q ×Hliq (3.1)

Figura 3.1: Exemplo de uma curva colina em formato de gráfico.

12

Tabela 3.1: Exemplo de curva colina em formato de tabela.

qcc/Hliqcc Hliqcc(1) Hliqcc(2) . . . Hliqcc(n)

qcc(1) ηcc(1,1) ηcc(1,2) . . . ηcc(1,n)

qcc(2) ηcc(2,1) ηcc(2,2) . . . ηcc(2,n)

. . . . .

. . . . .

. . . . .

qcc(m) ηcc(m,1) ηcc(m,2) . . . ηcc(m,n)

3.2 Tratamento das curvas colinas em tabelas

O objetivo deste procedimento consiste em construir uma curva colina a partir depontos de eficiência de algumas usinas do SIN. Alguns rendimentos são expressosem função de q e Hliq (Tabela 3.2) e outros em função de p e Hliq (Tabela 3.3), sendop a potência mecânica útil no eixo do gerador, em MW.

Tabela 3.2: Exemplo de pontos de eficiência (q ×Hliq).

η1 η2 ... ηn

q(1,1) Hliq(1,1) q(2,1) Hliq(2,1) ... q(n,1) Hliq(n,1)

q(1,2) Hliq(1,2) q(2,2) Hliq(2,2) ... q(n,2) Hliq(n,2)

... ... ... ...

q(1,i) Hliq(1,i) q(2,j) Hliq(2,j) ... q(n,k) Hliq(n,k)

Tabela 3.3: Exemplo de pontos de eficiência (p×Hliq).

η1 η2 ... ηn

p(1,1) Hliq(1,1) p(2,1) Hliq(2,1) ... p(n,1) Hliq(n,1)

p(1,2) Hliq(1,2) p(2,2) Hliq(2,2) ... p(n,2) Hliq(n,2)

... ... ... ...

p(1,i) Hliq(1,i) p(2,j) Hliq(2,j) ... p(n,k) Hliq(n,k)

13

Para usinas com pontos de eficiência em função de p e Hliq, a partir dos valoresde p são calculados os valores de q. Para isso, considera-se a eficiência da turbinahidráulica dada por [19]:

η =p

ph(3.2)

em que ph é a potência hidráulica ou potência de entrada na turbina, sendo obtidapor:

ph = 9, 81× 10−3 × q ×Hliq (3.3)

em que a constante 9,81 ×10−3 corresponde ao peso específico da água e ph é dadaem MW.

Substituindo a Equação 3.3 na Equação 3.2 e isolando q, tem-se que:

q =p

9, 81× 10−3 × η ×Hliq

(3.4)

Assim, para cada valor de p aplica-se a Equação 3.4 para obter o valor de qcorrespondente.

Para realizar o tratamento das curvas colinas, foi elaborado um programa emlinguagem FORTRAN 90, constituído por quatro rotinas: rotina de leitura, rotinade ajuste, rotina de interpolação e rotina de escrita. Três usinas tiveram suas curvascolinas determinadas, em que duas delas têm suas eficiências em função de q e Hliq

e uma em função de p e Hliq, necessitando aplicar a Equação 3.4 para obter seusvalores de turbinamento.

Rotina de leitura

Lê e salva em variáveis os valores de eficiência, turbinamento e altura líquida contidosnos dados de entrada.

Rotina de ajuste

Organiza os dados de entrada lidos e cria uma curva colina inicial. Esta rotinarealiza os procedimentos abaixo:

• Define o intervalo dos eixos de q e Hliq da curva colina de acordo com os valoresmínimos e máximos que foram lidos.

• Determina analiticamente o intervalo de discretização;

• Aproxima os valores lidos de q e Hliq com os valores dos eixos predefinidos;

• Normaliza os eixos da curva colina, transformando os valores absolutos em

14

valores relativos, como feito em [12], por meio das Equações 3.5 e 3.9.

q =q − qefqef

(3.5)

Hliq =Hliq −Hliqef

H liqef

(3.6)

em que qef e Hliqef correspondem aos valores efetivos de turbinamento e alturalíquida respectivamente, ou seja, é o ponto de operação que ocorre a máximaeficiência.

• Determina as zonas proibidas no entorno da curva colina, analisando dos pon-tos mais extremos aos pontos mais internos, se são pertencentes ou não à essaregião. Considerando a curva colina fictícia da Figura 3.2 como exemplo, érealizado o seguinte procedimento para se determinar as zonas proibidas:

Figura 3.2: Exemplo de uma curva colina .

1o) Encontrar os pontos extremos da zona proibida: Sendo m o númerode pontos em q e n o número de pontos em Hliq, se os pontos ηcc(1,1) e ηcc(1,n)

no eixo q e ηcc(m,1) e ηcc(m,n) no eixo Hliq forem nulos, então são consideradospontos extremos da zona proibida.

Na Figura 3.3 são destacados os pontos extremos da curva colina do exemplo.

Figura 3.3: Exemplo de uma curva colina com os pontos extremos em destaque.

15

2o) Encontrar as arestas limítrofes da zona proibida: Se o ponto for nuloe tiver como vizinho um ponto extremo, então faz parte da aresta limítrofe dazona proibida.

Na Figura 3.4 é ilustrada a curva colina com as arestas limítrofes demarcadas.

Figura 3.4: Exemplo de uma curva colina com as arestas limítrofes destacadas.

3o) Encontrar os pontos internos da zona proibida: Se o ponto for nulo etiver dois pontos extremos como vizinhos, então é um ponto interno da zonaproibida.

Na Figura 3.5 encontra-se a curva colina com a região proibida obtida.

Figura 3.5: Exemplo de uma curva colina com a região proibida determinada.

Assim, é obtida a curva colina inicial com os eixos definidos e as zonas proibidasdelimitadas.

Rotina de interpolação

A curva colina inicial obtida é composta por muitos zeros, visto que as eficiênciasoriundas dos dados de entrada não foram definidas para todos os valores dos eixosde q e Hliq que foram estabelecidos na rotina de ajuste. Para preencher esses pontosnulos, é realizada a interpolação linear.

16

Para o eixo q, ηA é o ponto de eficiência correspondente ao par (qA, Hliq) e ηBcorresponde ao par (qB, Hliq), sendo ηA e ηB não-nulos. Considera-se ηi como sendoos pontos nulos de eficiência pertencentes ao intervalo [ηA, ηB], com i variando de 1a np, sendo np o número de pontos nulos.

ηA < η1, η2, ..., ηnp < ηB

Para exemplificar a interpolação, observa-se a Figura 3.6, que contém a curvacolina fictícia. Na região destacada, para qcc(5) constante, ηA corresponde a 0,6, ηBa 0,9 e np é igual a 3.

Figura 3.6: Ilustração da interpolação realizada na curva colina fictícia.

Assim, ηi é obtido realizando a interpolação linear ao longo do eixo q, seguindoa Equação 3.7. O mesmo procedimento é feito para o eixo Hliq, em que, no exemplocitado, ηA é igual a 0,7 e ηB igual a 0,6.

Em seguida, para cada ponto ηi obtido, é feita uma média aritmética entre seusdois valores obtidos na interpolação (Equação 3.8), em que um valor corresponde àinterpolação feita no eixo q e outro no eixo Hliq.

ηi = ηA +i

np+ 1(ηB − ηA) i = 1, np (3.7)

ηi =ηi(eixo q)

+ ηi(eixo Hliq)

2(3.8)

Rotina de escrita

Escreve a curva colina resultante no formato da Tabela 3.1.

17

3.3 Tratamento das zonas proibidas

Para valores de turbinamento que não estão contidos nos intervalos de uma curvacolina, as zonas proibidas precisaram ser tratadas de maneira distinta. Neste traba-lho, foram elaboradas duas formas de se modelar uma zona proibida fora da curvacolina. A primeira foi uma alternativa inicial em que se faz uma aproximação, con-siderando a zona proibida com valores constantes de eficiência. A segunda considerauma distribuição de probabilidades para obter uma curva colina média, expandindoseu intervalo de turbinamento e inserindo a região proibida na própria curva deeficiência.

3.3.1 Consideração de uma zona proibida constante

Considere a curva colina sem zonas proibidas internas da Figura 3.7, para um valorde Hliqcc constante, cuja vazão varia de qccmin

a qccmax e qccef corresponde à vazãoefetiva, ou seja, no ponto de máxima eficiência ηccmax .

Figura 3.7: Curva colina para um valor de Hliq constante.

A modelagem proposta leva em consideração o fato de que para problemas deplanejamento de médio/longo prazo, a vazão turbinada é dada pela média no períodode discretização (semanal ou mensal). Dessa forma, se a vazão média a ser turbinadapor uma unidade geradora em um período estiver inserida em uma zona proibida,então pode-se turbinar valores acima e abaixo da média ao longo do referido período,contanto que a vazão média do período permaneça a mesma, como é mostrado nográfico da Figura 3.8b. Sendo assim, supõe-se que a vazão média turbinada ao longode um período t seja qcc. Porém, como este ponto de operação encontra-se numaregião proibida, então a máquina não deve operar com este valor de vazão. Comosolução, turbina-se q+

zp durante o período t1 e q−zp durante o período t2. Assim, ao

18

final do período t, a vazão turbinada média será de qcc e a máquina não terá operadoem uma zona proibida.

(a) (b)

Figura 3.8: (a) Curva colina para Hliqcc constante, considerando que uma zonaproibida no interior da curva; (b) Distribuição da vazão turbinada total ao longo deum período de duração t = t1 + t2.

Considera-se primeiramente que há uma zona proibida com intervalo de [q−zp, q+zp]

no interior da curva colina, como mostra a Figura 3.8a. Conhecidos os valores deqcc, q−zp, q+

zp e t, determinam-se os períodos de turbinamento t1 e t2, resolvendo osistema da Equação 3.9. A primeira equação está relacionada ao tempo de operaçãoda máquina, em que a soma dos períodos t1 e t2 deve ser igual ao período totalt; e a segunda equação faz referência às áreas do gráfico da Figura 3.8b, em que asoma das áreas referentes ao turbinamento no período t1 e t2, que correspondem,respectivamente, às áreas pontilhada e hachurada, deve ser igual a área referente aoturbinamento total no período t, demarcada pelo traço-ponto em vermelho, pois,somente assim, pode-se garantir que a vazão média turbinada ao longo de todoperíodo será equivalente a qcc.

Resolvido o sistema, t1 e t2 são obtidas pelas Equações 3.10 e 3.11, respectiva-mente. t = t1 + t2

qcct = q+zpt1 + q−zpt2

(3.9)

t1 = tqcc − q−zpq+zp − q−zp

(3.10)

t2 = tq+zp − qccq+zp − q−zp

(3.11)

Para encontrar o valor de ηcc, que é a eficiência correspondente ao turbinamento

19

qcc, faz-se uma análise de conservação de energia (Equação 3.12), em que a energiagerada ao se turbinar qcc por um período t deve ser igual às energias geradas ao seturbinar q+

zp durante t1 e q−zp durante t2.Substituindo as Equações 3.10 e 3.11 na Equação 3.12 e colocando ηcc em evi-

dência, obtém-se a Equação 3.13. Considerando o intervalo da zona proibida parabaixas vazões sendo de [0, qccmin

], então q−zp é igual a zero e q+zp é igual a qccmin

(Figura3.9). Assim, substituindo esses valores na Equação 3.13, chega-se ao resultado deuma zona proibida constante de valor igual a η+

zp (Equação 3.14).

ηccqcct = η+zpq

+zpt1 + η−zpq

−zpt2 (3.12)

ηcc =η+zpq

+zp − η−zpq−zpq+zp − q−zp

+q+zpq−zp(η

−zp − η+

zp)

qcc(q+zp − q−zp)

(3.13)

ηcc = η+zp (3.14)

Figura 3.9: Curva colina para Hliqcc constante, considerando uma zona proibida parabaixas vazões.

3.3.2 Obtenção de uma curva colina média a partir de uma

distribuição de probabilidades

Em problemas de médio/longo prazo, a vazão a ser considerada é a vazão média emum período de tempo, sendo assim, a eficiência para um dado turbinamento médiopode não coincidir com a eficiência instantânea obtida da curva colina, visto que aunidade geradora não irá turbinar o mesmo valor durante todo o tempo. O objetivodessa subseção é calcular uma curva colina média em função dos turbinamentosmédios das unidades, de forma a representar a eficiência no período de maneira mais

20

realista. Tendo isso em vista, para calcular a curva de eficiência média em função dacurva instantânea, considera-se o turbinamento instantâneo de uma unidade comouma variável aleatória que segue uma função de probabilidade, tal que a média destav.a. corresponde ao turbinamento médio no período.

ηccinst(qmed, Hliq) 6= ηccmed

(qmed, Hliq)

Cálculo da função densidade de probabilidade

A função de probabilidade da variável q é considerada contínua, pois o turbinamentopode assumir qualquer valor dentro de seus limites inferior e superior. Sendo assim,considera-se a vazão turbinada q como uma variável aleatória, que varia em tornode q∗, de valor igual a vazão média qmed. Pode-se dizer então que q tende a umafunção de probabilidade p(q), que segue a distribuição normal de probabilidade, commédia q∗ e variância σ2 (Equação 3.15). Optou-se pela distribuição normal, pois éa distribuição contínua mais utilizada e a que obteve melhores resultados dentre asoutras que foram testadas, como a binomial e a normal truncada.

q 7→ p(q) ∼ N(q∗, σ2) (3.15)

A esperança (ou valor esperado) é a soma do produto de cada probabilidade peloseu respectivo valor, sendo calculada pela Equação 3.16 para uma variável aleatóriacontínua.

E[p(x)] =

∫ n

i=1

xip(xi) (3.16)

Como a esperança é o valor médio da distribuição, então ela deve corresponderà vazão média no período, ou seja:

E[p(q)] = qmed (3.17)

A função densidade de probabilidade considerando as zonas proibidas p(q) éparametrizada pela vazão média e é obtida fazendo-se uma comparação com a funçãode densidade de probabilidade da distribuição normal p(q), como é ilustrado naFigura 3.10, em que a curva em azul é a função p(q) e a curva em vermelho é afunção p(q).

Nota-se que, o ponto p(0) possui um valor de probabilidade elevado. Isso ocorredevido à existência de uma zona proibida, que faz com que seja preferível não tur-binar dentro dessa região.

21

Figura 3.10: Função densidade de probabilidade da vazão com distribuição normale com a distribuição considerando as zonas proibidas.

Considerando que a probabilidade deve ser nula (ou seja, que não se deve turbi-nar) para valores negativos de vazão, para regiões fora dos limites mínimo e máximode turbinamento e para pontos dentro das zonas proibidas, analisou-se da Figura3.10 e definiu-se que a função p(q) é dada por:

p(q) =

0, se q < 0

B + p(0), se q = 0

0, se 0 < q < qmin

A+ p(q), se qmin ≤ q ≤ qmax

0, se q > qmax

(3.18)

Para calcular os fatores A e B, são levadas em consideração duas condições:

• A função p(q) deve ter valor esperado igual ao valor esperado da função p(q),para que ambas as distribuições possuam vazões médias equivalentes. Utili-zando a Equação 3.16 e fazendo as adaptações necessárias, calcula-se o fatorA. ∫ +∞

q=−∞q × p(q) =

∫ +∞

q=−∞q × p(q) (3.19)

A =

∫ +∞q=−∞ q × p(q)−

∫ qmax

q=qminq × p(q)∫ qmax

q=qminq

(3.20)

22

• A função p(q) deve ser uma função de probabilidade discreta com espaço amos-tral Ω. Para ser uma distribuição de probabilidades a função p(q) deve atender:

∑q∈Ω

p(q) = 1 (3.21)

B = 1− p(0)− (qmax − qmin)× A−∫ qmax

q=qmin

p(q) (3.22)

Dessa forma, é encontrada a função densidade de probabilidade com zonas proi-bidas compatível com a função de distribuição normal escolhida.

Cálculo da curva colina média

Para determinar a curva colina média, consideram-se as Equações 3.23 e 3.24, queexpressam a geração instantânea e a geração média, respectivamente.

ghccinst= ηccinst

(q,Hliq)× q ×Hliq (3.23)

ghccmed= ηccmed

(q∗, Hliq)× q∗ ×Hliq (3.24)

A geração média também pode ser definida como a média das gerações instantâ-neas ponderada pela probabilidade, seguindo a mesma ideia do cálculo da esperança(Equação 3.16), obtendo-se, portanto, a Equação 3.25. Como Hliq não varia emfunção de q, então considera-se como sendo uma constante, resultando na Equação3.26.

ghccmed=

qmax∑q=0

ηccinst(q,Hliq)× q ×Hliq × p(q) (3.25)

ghccmed= Hliq ×

qmax∑q=0

q × ηccinst(q,Hliq)× p(q) (3.26)

Igualando as Equações 3.24 e 3.26 e isolando o termo ηccmed, obtém-se a Equação

3.27, que exprime os pontos de eficiência da curva colina média.

ηccmed(q∗, Hliq) =

1

q∗

qmax∑q=0

q × ηccinst(q,Hliq)× p(q) (3.27)

3.4 Otimização da distribuição do turbinamento

Nesta seção são apresentados quatro algoritmos heurísticos que foram desenvolvidospara otimizar a distribuição da geração da usina entre suas unidades geradoras.A partir dos dados de entrada de queda líquida (H i

liq), vazão total que deve serturbinada pela usina (Qi) e o número total de máquinas de cada usina i (N i

maqtot),

23

calcula-se a vazão a ser turbinada por cada unidade geradora j (qj) e determina-setambém o número de máquinas que entram em operação (N i

maq).Também foi modelado um algoritmo genético, implementado em MATLAB. Seu

objetivo é determinar a distribuição de vazão turbinada ótima, de modo a maxi-mizar a geração da usina. Como o algoritmo genético possui um elevado tempocomputacional, ele foi desenvolvido apenas para avaliar se os resultados obtidos nosalgoritmos heurísticos foram satisfatórios.

3.4.1 Algoritmo 1

O Algoritmo 1 é um modelo aproximado, dividindo igualmente a vazão turbinadatotal da usina entre as máquinas das unidades geradoras, considerando que todas asmáquinas estejam em operação.

A Equação 3.28 representa o cálculo realizado pelo Algoritmo 1, em que qj é avazão a ser turbinada pela máquina j, Qi é a vazão turbinada total da usina i eNmaqtot é o número total de máquinas da usina.

qj =Qi

Nmaqtot

(3.28)

3.4.2 Algoritmo 2

O Algoritmo 2, assim como no Algoritmo 1, é um modelo aproximado, porém nãoconsidera o turbinamento de todas as unidades geradoras. A distribuição é feita soba condição de que se a vazão total que precisa ser turbinada pela usina (ou seja, avazão restante) for maior que a vazão efetiva da primeira máquina, esta irá turbinaro valor referente à vazão sua efetiva. A vazão restante Qi

rest é recalculada pelaEquação 3.29 e o processo continua, terminando somente quando todas as máquinastenham sido utilizadas ou quando o valor da vazão restante seja nulo.

Caso todas as máquinas tenham sido utilizadas e ainda tenha vazão para serturbinada, essa vazão restante é então distribuída igualmente pelas máquinas dausina (Equação 3.30).

Qirest = Qi − qjef (3.29)

qj = Qief +

Qirest

Nmaq

(3.30)

24

Figura 3.11: Fluxograma do Algoritmo 2.

3.4.3 Algoritmo 3

No Algoritmo 3 é adotado um ponto de operação inicial poperj(0)(ηj(0)poper, qj(0)

poper) paracada máquina j da usina i, que corresponde à máxima eficiência, partindo do princí-pio de que todas as máquinas deveriam operar neste ponto para maximizar a geração.Entretanto, o turbinamento da máquina depende do quanto de vazão a usina pre-cisa turbinar, que pode não corresponder à vazão no ponto de máxima eficiência,podendo ser maior ou menor. Dessa forma, no desenvolvimento deste algoritmo, o

25

ponto de operação inicial será "elevado" (aumenta o turbinamento) ou "diminuído"(reduz o turbinamento), através da análise da inclinação da reta entre os pontos dacurva colina de modo a sempre atender a vazão demandada.

Inicialmente, é realizado um pré-processamento para tratar os dados de entradaantes de inseri-los no Algoritmo 3. Primeiramente, verifica-se se a altura líquida H i

liq

da usina está contida na grade de pontos da curva colina com o intuito de obter aeficiência no ponto de operação da usina. Cabe ressaltar que o ponto (Qi,H i

liq) é umdado de entrada do problema e corresponde ao ponto que a usina deve operar paraatender a demanda, sendo diferente do ponto de operação das unidades geradoras,que serão determinados pelos algoritmos heurísticos.

Caso H iliq pertença à grade de pontos, então a eficiência é obtida diretamente.

Caso contrário, é necessário fazer a interpolação. Em seguida, ainda consultando acurva colina, é determinado o ponto de operação inicial de cada máquina da usina,que corresponde ao ponto de máxima eficiência, como dito anteriormente. Dessemodo, ηj(0)poper é obtido pela curva colina, assim como a sua respectiva vazão qj(0)poper.Vale ressaltar que poperj(0) é um número inteiro e corresponde ao índice do pontono eixo qcc, que, na Tabela 3.1 por exemplo, seriam (1), (2) ... (m).

O ponto de operação inicial é modificado de acordo com o quanto de vazão aindafalta ser turbinado pelas máquinas para que seja igual à vazão total que precisa serturbinada pela usina. Para isso, são criados dois critérios de escolha para mudançado ponto de operação da máquina, denominado critério ∆ghj+ e critério ∆ghj−, cujademonstração está no Apêndice A.

∆ghj(0)

+ = ∆ηj(0) × qj(0)poper + ∆qj

(0) × ηj(0)poper + ∆qj(0) ×∆ηj

(0)

poper (3.31)

em que,∆ηj

(0)

= ηj(0)

poper+1 − ηj(0)

poper (3.32)

∆qj(0)

= qj(0)

poper+1 − qj(0)

poper (3.33)

∆ghj(0)

− = ∆ηj(0) × qj(0)poper + ∆qj

(0) × ηj(0)poper + ∆qj(0) ×∆ηj

(0)

poper (3.34)

em que,∆ηj

(0)

= ηj(0)

poper−1 − ηj(0)

poper (3.35)

∆qj(0)

= qj(0)

poper−1 − qj(0)

poper (3.36)

26

Calcula-se também Qipoper, que seria a vazão turbinada pela usina se todas as

máquinas estivessem operando em seus pontos iniciais de operação.

Qipoper =

Nmaq∑j=1

qjpoper (3.37)

Após obtido Qipoper, o ponto de operação inicial de cada máquina e os crité-

rios ∆ghj+ e ∆ghj−, finaliza-se a fase de pré-processamento do Algoritmo 3. Umfluxograma representativo é mostrado na Figura 3.12.

Figura 3.12: Fluxograma da fase de pré-processamento do Algoritmo 3.

27

No Algoritmo 3, que determina o quanto de vazão cada máquina deve turbinar, érealizada a escolha do critério a ser utilizado, sendo determinada pelo procedimentoabaixo, cujo fluxograma se encontra na Figura 3.13.

• Se Qi > Qipoper:

Utiliza-se o critério ∆ghj+, pois o ponto de operação da máquina deverá ser"elevado", de modo a aumentar a vazão a ser turbinada para atender a vazãodemandada. O passo a passo para determinar a vazão que será turbinada porcada máquina é descrito a seguir.

Passo 1

Calcula-se ∆Qi(0)

+ que exprime o quanto de vazão deve ser acrescido à usinapara que sua vazão turbinada total corresponda à vazão que deve ser despa-chada.

∆Qi(0)

+ = Qi −Qipoper (3.38)

em que o índice zero corresponde a iteração k = 0.

Passo 2

Visto que ∆Qi(0)

+ é maior que zero, então deve-se acrescentar mais vazão emalguma máquina. A máquina que terá seu ponto de operação "elevado", ouseja, que sofrerá um acréscimo de vazão, é aquela que obtiver o maior critério∆ghj+, que é calculado pela Equação 3.31. A máquina escolhida terá seu pontode operação alterado de acordo com a Equação 3.39.

poperj(1)

= poperj(0)

+ 1 (3.39)

Passo 3

Recalcula-se ∆Qi+ para saber se ainda há necessidade de acrescentar vazão e,

em caso positivo, o quanto de vazão ainda deve ser acrescido.

∆Qi(1)

+ = ∆Qi(0)

+ −∆qj(0)

(3.40)

Enquanto ∆Qi+ for maior que zero, os cálculos dos Passos 2 e 3 devem ser

realizados novamente e o processo de iteração se estende até quando ∆Qi+ for

menor ou igual a zero, pois, assim, sabe-se que a vazão total que será turbinadapela usina irá atender à vazão que está sendo demandada.

28

A formulação geral das Equações 3.31 a 3.33 e 3.38 a 3.40 encontram-se abaixo,em que k corresponde ao índice da iteração.

∆ghj(k)

+ = ∆ηj(k) × qj(k)poper + ∆qj

(k) × ηj(k)poper + ∆qj(k) ×∆ηj

(k)

poper (3.41)

∆ηj(k)

= ηj(k)

poper+1 − ηj(k)

poper (3.42)

∆qj(k)

= qj(k)

poper+1 − qj(k)

poper (3.43)

poperj(k+1)

= poperj(k)

+ 1 (3.44)

∆Qi(k+1)

+ = ∆Qi(k)

+ −∆qj(k)

(3.45)

• Se Qi < Qipoper:

Utiliza-se o critério ∆ghj−, pois o ponto de operação da máquina deverá ser"diminuído", de modo a reduzir a vazão a ser turbinada para atender a vazãodemandada. O passo a passo para determinar a vazão que será turbinada porcada máquina é descrito a seguir.

Passo 1

Calcula-se ∆Qi(0)

− que exprime o quanto de vazão deve ser retirado da usinapara que sua vazão turbinada total corresponda à vazão que deve ser despa-chada.

∆Qi(0)

− = Qipoper −Qi (3.46)

em que o índice zero corresponde a iteração k = 0.

Passo 2

Visto que ∆Qi(0)

− é maior que zero, então deve-se retirar mais vazão em algumamáquina. A máquina que terá seu ponto de operação "diminuído", ou seja, quesofrerá um decréscimo de vazão, é aquela que obtiver o maior critério ∆ghj−,que é calculado pela Equação 3.34. A máquina escolhida terá seu ponto deoperação alterado de acordo com a Equação 3.47.

poperj(1)

= poperj(0) − 1 (3.47)

Passo 3

Recalcula-se ∆Qi− para saber se ainda há necessidade de retirar vazão e, em

caso positivo, o quanto de vazão ainda deve ser retirado. Na Equação 3.48 o

29

sinal é positivo, pois o valor de ∆qj(0) é negativo.

∆Qi(1)

− = ∆Qi(0)

− + ∆qj(0)

(3.48)

Enquanto ∆Qi− for maior que zero, os cálculos dos Passos 2 e 3 devem ser

realizados novamente e o processo de iteração se estende até quando ∆Qi− for

menor ou igual a zero, pois, assim, sabe-se que a vazão total que será turbinadapela usina irá atender à vazão que está sendo demandada.

A formulação geral das Equações 3.34 a 3.36 e 3.46 a 3.48 encontram-se abaixo,em que k corresponde ao índice da iteração.

∆ghj(k)

− = ∆ηj(k) × qj(k)poper + ∆qj

(k) × ηj(k)poper + ∆qj(k) ×∆ηj

(k)

poper (3.49)

∆ηj(k)

= ηj(k)

poper−1 − ηj(k)

poper (3.50)

∆qj(k)

= qj(k)

poper−1 − qj(k)

poper (3.51)

poperj(k+1)

= poperj(k) − 1 (3.52)

∆Qi(k+1)

− = ∆Qi(k)

− + ∆qj(k)

(3.53)

30

Figura 3.13: Fluxograma do Algoritmo 3.

3.4.4 Algoritmo 4

O Algoritmo 4 foi criado como uma versão mais elaborada do Algoritmo 2, poisrealiza a distribuição da vazão restante de maneira mais adequada.

Assim como o Algoritmo 3, o Algoritmo 4 consulta a curva colina antes de fazera distribuição do turbinamento entre as unidades geradoras, havendo uma fase de

31

pré-processamento para determinar o ponto de operação inicial poperj(ηjpoper, qjpoper)de cada máquina j da usina i, sendo seu cálculo realizado da mesma maneira. Adiferença é que neste modelo foi criada uma ordem de despacho das máquinas, com ointuito de turbinar primeiro naquelas que possuem os maiores rendimentos, visandootimizar a geração. Portanto, são atribuídos índices às máquinas e, assim, seuspontos inicias de operação são ordenados em ordem decrescente de eficiência ηjpoper.Caso alguma máquina possua o mesmo valor de rendimento que a outra, o critériode desempate despacha primeiro a máquina que possui o maior valor de qjpoper, pois,assim, pode-se garantir um melhor aproveitamento da máquina. O fluxograma dessaetapa de pré-processamento encontra-se na Figura 3.14.

Figura 3.14: Fluxograma da fase de pré-processamento do Algoritmo 4.

32

No Algoritmo 4 será determinada a vazão que cada máquina irá turbinar, quedepende do valor da vazão Qi que é demandada da usina. Para realizar esse cálculo,foram idealizados três casos a seguir, com o fluxograma representativo na Figura3.15.

Caso 1: Qi > Qipoper

Se a vazão a ser despachada for maior que a soma das vazões de todas as máquinasno ponto de máxima eficiência, então todas as máquinas entram em operação e oturbinamento é determinado como segue:

• Para usinas com quatro máquinas ou menos, divide-se igualmente a vazãodemandada entre as máquinas, sendo similar à metodologia do Algoritmo 1.Dessa forma, cada máquina irá turbinar um valor próximo à vazão no pontode máxima eficiência.

qj =Qi

Nmaqtot

(3.54)

• Para usinas com mais de quatro máquinas, a vazão a ser turbinada é igual avazão no ponto de operação, exceto para as três últimas máquinas.

qj∣∣∣Nmaqtot−3

j=1= qjpoper (3.55)

Para as três últimas máquinas, calcula-se a vazão restante e divide igualmenteentre elas.

Qirest = Qi −

Nmaqtot−3∑j=1

qj (3.56)

qj∣∣∣Nmaqtot

j=Nmaqtot−2=Qirest

3(3.57)

Esse tratamento diferenciado de acordo com o número de máquinas da usina foidado por meio de testes sucessivos, sendo observado resultados melhores ao fazeressa divisão.

Caso 2: Qi ≥ qj=1poper

Se a vazão total a ser despachada for maior ou igual a vazão da primeira máquina,seguindo a ordem de despacho, então ela irá turbinar o valor correspondente a vazãoem seu ponto de operação inicial. Em seguida, é calculada a vazão restante Qi

rest e,caso seja maior que a vazão no ponto de operação da máquina seguinte, então elaentra em operação, turbinando o valor referente à vazão em seu ponto de operaçãoinicial.

qj = qjpoper (3.58)

33

Qirest = Qi − qj (3.59)

O processo se repete até que a vazão restante seja menor que qjpoper da máquinaseguinte. Quando isso acontece, aloca-se a vazão restante nessa máquina.

qj = Qirest (3.60)

Caso 3: Qi < qjpoper

Se a vazão total a ser despachada for menor que a vazão da primeira máquina, entãoapenas ela irá turbinar e com valor igual à vazão demandada Qi.

qj = Qi (3.61)

34

Figura3.15

:Fluxo

gram

ado

Algoritmo4.

35

3.4.5 Algoritmo genético

Algoritmos genéticos (GA) são algoritmos de otimização inspirados na evolução bi-ológica, sendo baseados em mecanismos de seleção natural e genética. Eles realizamuma busca aleatória em um espaço, com o objetivo de encontrar o ponto ótimo parasolução do problema [20].

Inicialmente, é gerada uma população (espaço de busca) formada por um con-junto aleatório de indivíduos (pontos) que são vistos como uma possível solução parao problema. Durante o processo evolutivo a população é avaliada, concedendo umíndice para cada indivíduo, que corresponde à sua capacidade de adaptação ao meio.Os mais aptos à sobrevivência são mantidos e o restante é descartado. Os membrosmantidos podem sofrer mutações e cruzamentos, gerando descendentes para a gera-ção seguinte. Esse processo se repete até que se encontre uma solução satisfatóriapara o problema.

Neste trabalho, o algoritmo genético foi desenvolvido para solucionar o problemade otimização, que consiste em determinar a melhor forma de distribuir a vazãoturbinada pelas unidades geradoras, de modo que a geração da usina seja a máximapossível. Ele foi elaborado como uma formulação exata, sendo utilizado para avaliara acurácia dos algoritmos heurísticos desenvolvidos.

A formulação do problema de otimização é representada pela Equação 3.62, emque o GA maximiza a geração da usina para cada ponto de operação (Qi,H i

liq).

GH i = max

Nmaqtot∑j=1

ghj (3.62)

satisfazendo as restrições:

qjmin ≤ qj ≤ qjmax, ∀ j ∈ [1, Nmaqtot] (3.63)

Nmaqtot∑j=1

qj = Qi (3.64)

ghj = 9, 81× 10−3 ×H iliq × qj × fη(q) (3.65)

A restrição 3.63 se refere ao turbinamento qj de cada máquina, que deve estar contidodentro dos limites de mínimo e máximo de vazão da curva colina. A restrição 3.64diz respeito ao somatório da vazão turbinada por todas as máquinas, cujo valordeve corresponder à vazão Qi da usina. As restrições para as zonas proibidas nãoforam consideradas, pois foram utilizadas as curvas colinas médias, ou seja, as zonasproibidas para todo o intervalo de turbinamento já estão acopladas na própria curva.Além do mais, deseja-se determinar o turbinamento médio ao longo do período e

36

não o instantâneo.Dado o ponto de operação da usina, a geração de cada máquina é calculada pela

Equação 3.65, para um o valor fixo de H iliq. A função fη(q) é não-linear, sendo

obtida da curva colina. Ela representa a eficiência em função de q, dado que H iliq é

constante.

37

Capítulo 4

Resultados e discussões

Neste capítulo são apresentados os resultados obtidos neste trabalho para três usinasdo SIN, com diferentes quantidades de conjuntos de máquinas e, em cada conjunto,diferentes quantidades de máquinas. Para cada usina foi considerada que todas asmáquinas possuem a mesma curva colina.

O objetivo é analisar qual dos algoritmos desenvolvidos para o cálculo da FPHccmais se aproxima do GA, que é modelo de otimização que oferece resultados maisprecisos, pois, apesar de a FPHcc considerar as curvas de eficiência das máquinas,ela é formulada por heurísticas, podendo gerar resultados imprecisos, enquanto quea FPH aproxima a eficiência da usina pela produtibilidade específica. Além dasmodelagens exatas, a FPHAcc e a FPHA também são avaliadas, uma vez que a estaé utilizada atualmente pelo DECOMP.

A análise é feita calculando o erro percentual absoluto médio entre as funções deprodução, dados em % (Equação 4.1).

Erro Percentual Absoluto Médio [%] =

∑nm=1 |em|n

(4.1)

em que em é dado por:

em = 100× Xref −XXref

(4.2)

O erro percentual absoluto médio expressa a acurácia do erro em porcentagem.Por exemplo, um erro de 7% significa que os valores em análise (X) estão distantesda referência (Xref ) em 7% dos dados.

Na Seção 4.1 são reunidos os resultados obtidos na construção da curva colinamédia pela distribuição de probabilidades; na Seção 4.2 encontram-se os resultadosda FPHcc e os da FPHAcc estão na Seção 4.3. Na Seção 4.4, todos os resultadosobtidos são examinados e comparados com a FPHA e, finalmente, na Seção 4.5, éfeita a análise do algoritmo genético.

38

4.1 Curvas colinas médias

As curvas colinas médias foram implementadas em MATLAB. O valor de q∗ é co-nhecido, pois corresponde ao turbinamento médio de 0 a qmax. O desvio padrão foiobtido por meio de testes sucessivos e o valor que gerou melhores resultados foi 12,5.

Na Figura 4.1 estão as funções densidade de probabilidade para as vazões médiasde 20, 50 e 80m3/s da Usina 1, que correspondem, respectivamente, aos casos de tur-binamento médio dentro da zona proibida, na metade do intervalo de turbinamentoe próximo ao turbinamento máximo. Para essa análise inicial são apresentados so-mente os resultados para Usina 1, visto que são semelhantes para as demais usinas.

Pode-se observar que a distribuição considerando zonas proibidas (curva em ver-melho) acompanha a função da distribuição normal (curva em azul) em todos oscasos e que as esperanças das duas distribuições ficaram próximas como esperado.Outra análise a ser feita é em relação ao ponto p(0). Na Figura 4.1a, por se tratarde uma vazão dentro de uma região proibida, a probabilidade de não turbinar namaior parte do período é muito alta. Nas Figuras 4.1b e 4.1c, o ponto p(0) nãoapresenta valores tão elevados por justamente o turbinamento se encontrar fora daregião proibida.

(a) (b)

(c)

Figura 4.1: Função densidade de probabilidade da vazão para (a) q∗ = 20 m3/s; (b)q∗ = 50 m3/s; (c) q∗ = 80 m3/s - Usina 1.

39

Na Figura 4.2a estão representadas as curvas de eficiência instantânea e médiae, na Figura 4.2b, as gerações instantânea e média para a Usina 1, considerando aqueda líquida constante e igual a 60 m. Observa-se que a curva de eficiência média(em vermelho) segue a curva de eficiência instantânea (em azul). Alguns pontosde vazão, em torno de 100 m3/s, apresentaram maiores diferenças, que podem terocorrido devido ao ajuste do desvio padrão. Entretanto, tais diferenças não forammuito significativas, mostrando que o método utilizado é apropriado.

As gerações da Figura 4.2b foram calculadas ponto a ponto pela Equação 3.1, emque os valores de eficiência e vazão foram extraídos da Figura 4.2a. Esse gráfico temcomo objetivo analisar o comportamento da função de produção para as duas curvascolinas em questão. Pode-se perceber que, assim como na análise da figura anterior,ambas as curvas comportam-se de maneira similar, com uma pequena discrepânciaem torno da vazão de 100 m3/s como esperado.

(a) (b)

Figura 4.2: Gráficos comparativos para Hliqcc = 60 m (a) Curvas colinas instantâneae média; (b) Gerações instantânea e média - Usina 1.

Tendo vista os resultados acima, construíram-se as curvas colinas médias paraas Usinas 1, 2 e 3, que encontram-se, respectivamente, nas Figuras 4.3b, 4.4b e4.5b, com suas curvas colinas instantâneas nas Figuras 4.3a, 4.4a e 4.5a. As curvascolinas foram plotadas com os eixos nos seus valores relativos, em que o ponto zerocorresponde aos valores efetivos de vazão e altura líquida.

Pode-se observar que as curvas médias e instantâneas das três usinas, para omesmo intervalo de turbinamento, apresentam o mesmo comportamento. A dife-rença é observada para vazões mais baixas, onde não poderia haver turbinamentona curva instantânea por se tratar de uma zona proibida. Na curva colina média,esse "buraco" ocasionado pela região proibida foi preenchido.

40

(a)

(b)

Figura 4.3: Curva colina (a) Instantânea e (b) Média - Usina 1.

41

(a)

(b)


42

(a)

(b)


43

4.2 FPHcc

Aqui encontram-se os resultados da Função de Produção Hidroelétrica Exata consi-derando Curvas Colinas para as Usinas 1, 2 e 3, que foram obtidos pelos Algoritmos1, 2, 3 e 4.

De maneira geral, analisando as figuras obtidas da FPHcc, observa-se que elasapresentaram comportamento semelhante, mostrando erros percentuais absolutosmédios não muito elevados quando comparados com suas respectivas FPH e entre osalgoritmos propostos. Entretanto, dependendo da usina, um algoritmo aproximou-se mais da FPH do que os outros. Nota-se também um efeito de ondulação nasFPHcc, que ocorre devido à utilização das curvas colinas em seu processamento.Uma análise mais detalhada de cada usina é feita a seguir.

Usina 1

Na Figura 4.6 se encontra sua FPH e na Figura 4.7 suas FPHcc para os Algoritmos1, 2, 3 e 4.

Figura 4.6: FPH - Usina 1.

44

(a) (b)

(c) (d)

Figura 4.7: Função de Produção Hidroelétrica Exata considerando Curvas Colinas- Usina 1. (a) FPHccA1; (b) FPHccA2; (c) FPHccA3; (d) FPHccA4

Os erros percentuais absolutos médios entre a FPH e as FPHcc estão na Tabela4.1. Para esta usina, os Algoritmos 2 e 4 se aproximaram mais da FPH, apresentandoum erro de, aproximadamente, 3,2%.

Tabela 4.1: Erros percentuais absolutos médios entre a FPH e a FPHcc dos Algo-ritmos 1, 2, 3 e 4 - Usina 1.

Erros percentuais absolutos médios [%]FPHx

FPHccA1

FPHx

FPHccA2

FPHx

FPHccA3

FPHx

FPHccA4

3,994 3,253 4,451 3,233

45

Na Tabela 4.2 encontram-se os erros percentuais absolutos médios entre cada umadas alternativas da FPHcc, mostrando que não houve uma diferença significativaentre elas. Os Algoritmos 2 e 4, como visto anteriormente, ficaram mais próximasda FPH, e, portanto, apresentam uma diferença de 0,246% entre si.

Tabela 4.2: Erros percentuais absolutos médios entre as FPHcc dos Algoritmos 1,2, 3 e 4 - Usina 1.

Erros percentuais absolutos médios [%]FPHccA1

xFPHccA2

FPHccA1

xFPHccA3

FPHccA1

xFPHccA4

FPHccA2

xFPHccA3

FPHccA2

xFPHccA4

FPHccA3

xFPHccA4

1,286 0,562 1,048 1,831 0,246 1,594

Usina 2

A FPH encontra-se na Figura 4.8 e, na Figura 4.9, estão as alternativas propostaspara a FPHcc. Assim como para a Usina 1, observa-se a similaridade entre as curvase também o mesmo efeito de ondulação.


46

(a) (b)

(c) (d)


Na Tabela 4.3 são mostrados os erros percentuais absolutos médios entre a FPHe as FPHcc, sendo o Algoritmo 2 aquele que mostrou o menor erro, enquanto queos Algoritmos 3 e 4 apresentaram os maiores erros para esta usina. Outro ponto aser destacado é o trecho de geração constante observado na parte de vazão e volumeelevados das curvas das Figuras 4.9c e 4.9d. Esse efeito ocorreu pois foi atingido olimite máximo de potência de cada máquina, ou seja, chegou-se à geração máximada usina, que corresponde ao valor de geração constante das figuras em análise.

47



FPHccA1

FPHx

FPHccA2

FPHx

FPHccA3

FPHx

FPHccA4

2,362 1,468 5,310 7,015

Os erros percentuais absolutos médios entre as FPHcc são encontrados na Ta-bela 4.4. Como os Algoritmos 3 e 4 exibiram os maiores erros em relação à FPH,também foi observada uma maior diferença quando comparados aos Algoritmos 1 e2, variando de 3,194 a 4,838%.



xFPHccA2

FPHccA1

xFPHccA3

FPHccA1

xFPHccA4

FPHccA2

xFPHccA3

FPHccA2

xFPHccA4

FPHccA3

xFPHccA4

1,518 3,233 4,578 3,194 4,838 1,505

Usina 3

Na Figura 4.10 é exibida a FPH da Usina 3 e as FPHcc se encontram na Figura 4.11.É observado que, assim como no caso da Usina 2, as FPHcc apresentaram um valorconstante de geração para um trecho de volume e vazão elevados, tendo ocorridopelo mesmo motivo da usina anterior, em que a geração máxima corresponde aovalor constante de geração das Figuras 4.11a a 4.11d.

48


(a) (b)

(c) (d)


Analisando as Tabelas 4.5 e 4.6 que constam os erros percentuais absolutos mé-dios entre as funções de produção, observa-se que as FPHcc obtiveram erros baixos

49

em relação à FPH. Nota-se que o Algoritmo 2 foi o que mais se aproximou, comerro de 1,145%, seguido dos Algoritmos 1 e 4 com 2,544 e 2,640%, respectivamente.Estes últimos modelos ficaram muito próximos entre si, exibindo uma diferença deapenas 0,463 %.



FPHccA1

FPHx

FPHccA2

FPHx

FPHccA3

FPHx

FPHccA4

2,544 1,145 3,111 2,640



xFPHccA2

FPHccA1

xFPHccA3

FPHccA1

xFPHccA4

FPHccA2

xFPHccA3

FPHccA2

xFPHccA4

FPHccA3

xFPHccA4

1,623 2,997 0,463 3,004 1,736 3,292

Sendo assim, a avaliação da FPHcc mostrou que o Algoritmo 2 apresentou re-sultados mais próximos da FPH para as três usinas em análise. Os Algoritmos 1 e 4também exibiram resultados com erros reduzidos, com exceção à Usina 2. De modogeral, o Algoritmo 3 foi aquele que se manteve um pouco mais distante da função deprodução exata. Outra consideração a se fazer é em relação aos trechos constantesde geração máxima observados nas FPHcc das Usinas 2 e 3, mostrando que, com aconsideração da curva colina, valores maiores de geração puderam ser alcançados.

4.3 FPHAcc

A Função de Produção Aproximada considerando Curvas Colinas foi construída pelomesmo procedimento da FPHA. A única diferença é que esta foi gerada a partir daFPH, enquanto que aquela foi obtida a partir da FPHcc.

50

Analisando as FPHAcc obtidas, de maneira genérica, verifica-se que, assim comona análise da FPHcc, suas curvas se mostraram semelhantes à FPHA, com a maioriados erros apresentando valores abaixo de 4%. Observou-se também que elas nãosão marcadas pelas ondulações características da FPHcc. Isso ocorre devido aoajuste das funções aproximadas por uma envoltória convexa, fazendo com que assinuosidades presentes nas funções exatas sejam suavizadas. Como os algoritmosresponderam de maneiras diferentes para cada usina, então, a seguir, é feita umaanálise mais detalhada.

Usina 1

Nas Figuras 4.12 e 4.13 encontram-se, respectivamente, a FPHA e as FPHAcc e, naTabela 4.7, estão os erros percentuais absolutos médios entre as duas funções.

Comparando as Tabelas 4.1 e 4.7, observa-se que os modelos aproximados tiveramseus erros percentuais reduzidos, tendo ocorrido devido à envoltória convexa comofoi explicado anteriormente e que pode ser observado comparando as Figuras 4.7 e4.13.

Figura 4.12: FPHA - Usina 1.

51

(a) (b)

(c) (d)

Figura 4.13: Função de Produção Hidroelétrica Aproximada considerando CurvasColinas - Usina 1. (a) FPHAccA1; (b) FPHAccA2; (c) FPHAccA3; (d) FPHAccA4

Tabela 4.7: Erros percentuais absolutos médios entre a FPHA e a FPHAcc dosAlgoritmos 1, 2, 3 e 4 - Usina 1.

Erros percentuais absolutos médios [%]FPHA

xFPHAccA1

FPHAx

FPHAccA2

FPHAx

FPHAccA3

FPHAx

FPHAccA4

1,219 1,452 2,666 1,428

Na Tabela 4.8 é constatado que com a convexificação, os Algoritmos 1, 2 e 4ficaram muito próximos entre si, com erros variando de 0,030 a 0,236%.

52

Tabela 4.8: Erros percentuais absolutos médios entre as FPHAcc dos Algoritmos 1,2, 3 e 4 - Usina 1.

Erros percentuais absolutos médios [%]FPHAccA1

xFPHAccA2

FPHAccA1

xFPHAccA3

FPHAccA1

xFPHAccA4

FPHAccA2

xFPHAccA3

FPHAccA2

xFPHAccA4

FPHAccA3

xFPHAccA4

0,236 1,466 0,211 1,253 0,030 1,278

Usina 2

Nas Figuras 4.14 e 4.15 são mostradas, nesta ordem, a FPHA e as FPHAcc da Usina2.


53

(a) (b)

(c) (d)


Fazendo análise das Tabelas 4.9 e 4.10, constata-se que as FPHAcc dos Algo-ritmos 3 e 4 apresentaram erros maiores em relação à FPHA, com valores de 4,807e 6,342% respectivamente, em que o mesmo foi observado quando comparou-se aFPHcc com a FPH. Como foram os algoritmos que se mantiveram mais distantesda FPHA, eles detém os maiores erros quando comparados com os Algoritmos 1 e2.

54



xFPHAccA1

FPHAx

FPHAccA2

FPHAx

FPHAccA3

FPHAx

FPHAccA4

1,901 1,135 4,807 6,342

Tabela 4.10: Erros percentuais absolutos médios entre as FPHAcc dos Algoritmos1, 2, 3 e 4 - Usina 2.


xFPHAccA2

FPHAccA1

xFPHAccA3

FPHAccA1

xFPHAccA4

FPHAccA2

xFPHAccA3

FPHAccA2

xFPHAccA4

FPHAccA3

xFPHAccA4

1,501 3,367 5,039 2,964 5,815 1,619

Usina 3

Nas Figuras 4.16 e 4.17 são mostradas, respectivamente, a FPHA e FPHAcc daUsina 3.


55

(a) (b)

(c) (d)


Analisando as Tabelas 4.11 e 4.12, pode-se observar que a FPHAcc do Algoritmo2 apresentou um erro percentual de apenas 0,122% em relação à FPHA. Além disso,percebe-se que este algoritmo exibiu o menor erro quando comparado à FPH, comopode ser visto na Tabela 4.5. Os demais modelos da FPHAcc também obtiveramerros pequenos, abaixo de 3%, mostrando pouca diferença entre si.

56



xFPHAccA1

FPHAx

FPHAccA2

FPHAx

FPHAccA3

FPHAx

FPHAccA4

0,962 0,122 2,547 1,089

Tabela 4.12: Erros percentuais absolutos médios entre as FPHAcc dos Algoritmos1, 2, 3 e 4 - Usina 3.


xFPHAccA2

FPHAccA1

xFPHAccA3

FPHAccA1

xFPHAccA4

FPHAccA2

xFPHAccA3

FPHAccA2

xFPHAccA4

FPHAccA3

xFPHAccA4

0,543 1,517 0,259 2,666 1,176 1,890

4.4 Comparação entre os modelos (FPH, FPHcc,

FPHA e FPHAcc)

A seguir, são comparados os modelos exatos com os aproximados considerando acurva colina, de modo a mensurar a discrepância entre eles e avaliar a função apro-ximada. A FPHA também é comparada com os modelos exatos com a finalidade demensurar a diferença entre o modelo usado atualmente e os que foram desenvolvidos.

Usina 1

Na Tabela 4.13 são mostrados os erros percentuais absolutos médios entre a FPHcce a FPHAcc para cada um dos algoritmos desenvolvidos. Verifica-se que o ajuste daenvoltória da função aproximada apresentou um erro em torno de 2,8 a 2,9% paraos algoritmos.

57

Tabela 4.13: Erros percentuais absolutos médios entre a FPHAcc e FPHcc dosAlgoritmos 1, 2, 3 e 4 - Usina 1.


xFPHAccA1

FPHccA2

xFPHAccA2

FPHccA3

xFPHAccA3

FPHccA4

xFPHAccA4

2,989 2,835 2,848 2,876

Os erros obtidos entre o modelo atual e as funções de produção exatas encontram-se na Tabela 4.14. Constata-se que a FPHA é uma boa aproximação da FPH,com erro menor que 1%. Entretanto, ela possui uma diferença maior em relação àsfunções exatas considerando curvas colinas. Isso pode significar que, ao se considerardados mais realistas, a FPHA pode se tornar menos precisa, sendo verificado na seção4.5, quando as funções são comparadas com o algoritmo genético.

Outro ponto a destacar é que, comparando as Tabelas 4.7 e 4.14, verifica-se queos erros entre a FPHA e a FPHAcc são menores que entre a FPHA e FPHcc, comaquelas variando de 1,20 a 2,70% e estas variando de 3,20 a 4,20%, aproximada-mente. Ou seja, os erros entre a FPHA e a FPHcc são reduzidos após o processo deconvexificação.

Tabela 4.14: Erros percentuais absolutos médios entre a FPHA, FPH e FPHcc dosAlgoritmos 1, 2, 3 e 4 - Usina 1.


xFPH

FPHAx

FPHccA1

FPHAx

FPHccA2

FPHAx

FPHccA3

FPHAx

FPHccA4

0,965 3,808 3,186 4,186 3,181

Usina 2

Comparando a FPHcc com a FPHAcc, a Tabela 4.15 mostra que os valores doserros percentuais obtidos foram próximos aos da Usina 1, variando de 2,50 e 3,20%,aproximadamente.

58



xFPHAccA1

FPHccA2

xFPHAccA2

FPHccA3

xFPHAccA3

FPHccA4

xFPHAccA4

2,476 2,845 2,850 3,187

Confrontando a FPHA com os modelos propostos, a Tabela 4.16 mostra que,assim como na Usina 1, o erro entre a FPHA e a FPH apresentou o menor valor emrelação às demais funções de produção exata, comprovando novamente que é umaboa aproximação. Por outro lado, o erro em relação às FPHcc é maior, variandode 3,28 a 7,48%, o que pode significar que o modelo atualmente utilizado produzresultados não muito acurados, quando comparado com uma modelo mais realista,como também foi constatado no caso da Usina 1.

Outro evento também observado em ambas usinas foi quando comparou-se asTabelas 4.9 e 4.16, verificando que as FPHAcc apresentam erros menores do queas FPHcc quando comparadas com a FPHA, mostrando que a FPHcc se aproximamais do modelo utilizado atualmente após a convexificação.



xFPH

FPHAx

FPHccA1

FPHAx

FPHccA2

FPHAx

FPHccA3

FPHAx

FPHccA4

2,982 3,780 3,277 6,012 7,482

Usina 3

Na Tabela 4.17 estão os erros percentuais entre as FPHcc e as FPHAcc, que apresen-tam valores abaixo de 4%, assim como foi observado nas duas usinas anteriormenteanalisadas.

59



xFPHAccA1

FPHccA2

xFPHAccA2

FPHccA3

xFPHAccA3

FPHccA4

xFPHAccA4

2,713 1,421 3,908 3,515

Comparando a FPHA com a FPH e os modelos propostos na Tabela 4.18, pode-se observar que, assim como nas outras usinas, o modelo aproximado atual é muitopróximo do modelo exato, com erro de menos de 1%. As demais comparaçõesmostram que a FPHA se distancia um pouco dos modelos propostos que considerama curva de eficiência, apresentando erros entre 1,47 e 3,29%.



xFPH

FPHAx

FPHccA1

FPHAx

FPHccA2

FPHAx

FPHccA3

FPHAx

FPHccA4

0,710 2,850 1,470 3,289 2,957

As análises das três usinas mostraram que as FPHAcc são boas aproximaçõespara as funções de produção exata considerando curvas colinas, em que, para todosos casos, foi mostrado erros percentuais abaixo de 4%.

4.5 Algoritmo genético

A FPHcc obtida pelo algoritmo genético é retratada na Figura 4.18. Devido aoelevado tempo de processamento do GA, a simulação somente foi feita para a Usina1, que é a menor usina em termos de número de máquinas dentre as outras analisadasneste trabalho.

60

Figura 4.18: FPHcc resultante do GA - Usina 1.

Na Figura 4.19, é apresentado um gráfico comparativo entre a FPHccGA, FPHe a FPHcc dos quatro algoritmos. Para uma melhor visualização, é plotado o perfilde geração para uma queda líquida constante. Observa-se que todas as FPHcc seaproximaram do GA, com exceção das FPHccA1 e FPHccA3, que apresentaram umadiferença mais significativa em determinado trecho. Nota-se também que a FPHpossui alguns pontos em que sua geração é maior do que a do GA, confirmando ahipótese de que a FPH pode produzir resultados otimistas.

Figura 4.19: Comparação entre o GA e as funções de produção exata para a Usina1.

Na Figura 4.20 é feita a mesma comparação, porém analisando as funções apro-

61

ximadas. Apesar de as FPHAcc mostrarem resultados muito próximos entre si esem trechos muito discrepantes em relação à FPHccGA, elas apresentaram trechosde geração otimistas ou pessimistas em relação ao GA ao longo do intervalo de turbi-namento. Já as funções exatas FPHccA2 e FPHccA4, acompanharam perfeitamenteo algoritmo genético, apresentando os erros percentuais absolutos médios de 1,099 e1,556%, respectivamente, como pode ser observado na Tabela 4.19.

Figura 4.20: Comparação entre o GA e as funções de produção aproximada para aUsina 1.

Analisando a Tabela 4.20, dentre as funções aproximadas, a FPHAccA1 apresen-tou o menor erro, com valor de 1,989%. Observa-se que, diferentemente das outrasfunções, a FPHAccA3 teve seu erro diminuído em relação à FPHccA3 de 0,093%,tendo ocorrido devido à aproximação feita pela envoltória convexa, fazendo com quea função se aproximasse mais do GA. Também pode-se constatar que a FPH e aFPHA exibem o mesmo erro em relação ao algoritmo genético, comprovando que aFPHA é uma excelente aproximação de sua função exata.

62

Tabela 4.19: Erros percentuais absolutos médios entre o GA e as funções de produçãoexatas - Usina 1.

Erros percentuais absolutos médios [%]FPHccGA

xFPH

FPHccGA

xFPHccA1

FPHccGA

xFPHccA2

FPHccGA

xFPHccA3

FPHccGA

xFPHccA4

2,298 1,894 1,556 2,359 1,099

Tabela 4.20: Erros percentuais absolutos médios entre o GA e as funções de produçãoaproximadas - Usina 1.

Erros percentuais absolutos médios [%]FPHccGA

xFPHA

FPHccGA

xFPHAccA1

FPHccGA

xFPHAccA2

FPHccGA

xFPHAccA3

FPHccGA

xFPHAccA4

2,299 1,989 2,008 2,266 2,004

63

Capítulo 5

Conclusões e trabalhos futuros

Este trabalho propôs duas modelagens da função de produção hidroelétrica, umaexata (FPHcc) e outra aproximada (FPHAcc), considerando as curvas de eficiênciadas unidades geradoras, cujo objetivo é representar o rendimento da usina de formamais realista. Pode-se afirmar que tal propósito foi alcançado.

A partir da análise dos resultados das Usinas 1, 2 e 3, em relação ao modeloaproximado utilizado atualmente, observou-se que ele possui alguns valores de ge-ração otimistas e outros pessimistas em relação ao algoritmo genético. A diferençaentre elas está na faixa de 2%, o que não é um valor elevado, porém, tratando-sede energia gerada em MW, essa porcentagem reflete um valor significante a mais degeração que poderia estar sendo gerada, por exemplo. Essa análise ratifica a impor-tância de considerar as curvas colinas no cálculo da função de produção do modeloDECOMP, para um melhor aproveitamento da vazão da usina e, consequentemente,um aprimoramento do planejamento da operação hidroelétrica.

Constatou-se que os Algoritmos 2 e 4 têm as melhores metodologias para realizara distribuição do turbinamento da usina, visto que ambos trabalham próximos aoponto efetivo da curva de eficiência e apresentaram os menores erros quando com-parados ao algoritmo genético. O Algoritmo 1, apesar de ser mais simples, mostroubons resultados, principalmente para a função de produção aproximada, como podeser observado na Tabela 4.20, em que a aproximação pela envoltória convexa dei-xou a FPHAccA1 mais próxima do GA. O Algoritmo 3 apresentou maiores erros emdecorrência do tratamento da vazão remanescente, em que uma máquina acabourecebendo um turbinamento muito pequeno, que poderia ter sido alocado em outramáquina, não havendo necessidade de utilizá-la para turbinar um valor tão baixo devazão, o que acabou acarretando também em uma redução da geração.

Um ponto a ser considerado é a necessidade de aprimorar a modelagem daFPHAcc, tendo em vista que, assim como observado no modelo atual, ela apre-sentou muitos pontos otimistas e pessimistas em relação ao GA. Considerando queo cálculo para sua construção foi o mesmo utilizado na FPHA, é importante o aper-

64

feiçoamento da aproximação pela envoltória convexa para a FPHAcc, pois a curvade sua função exata apresenta as ondulações pelo uso das curvas colinas, que não sãoobservadas na FPH. Com esse aprimoramento, é possível que as FPHAcc apresen-tem valores mais próximos ao GA, passando a ser boas alternativas para substituiro modelo aproximado atual.

Outro ponto que pode ser melhorado é em relação ao tratamento das curvascolinas em tabela, em que a metodologia escolhida para preencher os pontos nulosda curva foi a interpolação linear por ser simples e produzir resultados condizentescom o esperado. Entretanto, outros métodos mais acurados poderiam ser utilizadospara solucionar o problema, como a aplicação de redes neurais.

Por fim, pode-se concluir que o trabalho como um todo, desde a fase de trata-mento das curvas colinas até a fase de otimização da distribuição do turbinamento,apresentou bons resultados, mesmo utilizando metodologias simples, como interpo-lações e algoritmos heurísticos.

65

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66

[10] “Relatório Técnico – Modelagem da função de produção das usinas hidroelétri-cas no modelo DESSEM-PAT”, Centro de Pesquisas de Energia Elétrica,jan. 2010.

[11] GUEDES, L. S. M., MAIA, P. M., LISBOA, A. C., et al. “A unit commit-ment algorithm and a compact MILP model for short-term hydro-powergeneration scheduling”, IEEE Transactions on Power Systems, 2016.

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[20] ROSA, T., LUZ, H. S. “Conceitos Básicos de Algoritmos Genéticos: Teoriae Prática”, XI Encontro de Estudantes de Informática do Tocantins, pp.27–37, 2009.

67

Apêndice A

Demonstração

A.1 Cálculo do Critério ∆ghj+

Sabe-se que a geração produzida pela máquina j da usina i é proporcional ao produtoda vazão turbinada pela eficiência da máquina.

ghj(qj) ∝ qj × ηj (A.1)

Supõe-se que se deseja alocar um ∆q a mais de vazão na usina, então:

ghj(qj + ∆q) ∝ (qj + ∆q)(ηj + ∆η)

ghj(qj + ∆q) ∝ qjηj + qj∆η + ∆qη + ∆q∆η

ghj(qj + ∆q) ∝ ghj(qj) + qj∆η + ∆qηj + ∆q∆η

ghj(qj + ∆qj) ∝ ghj(qj) + ∆ghj+

∆ghj+ = qj∆η + ηj∆q + ∆η∆q (A.2)

Assim, deve-se colocar um ∆q a mais de vazão na máquina que apresentar maior∆ghj+, pois quanto maior for o seu valor, maior será a geração da usina, como émostrado na Equação A.3.

GH i =

[Nmaq∑j=1

ghj(qj)

]+ ∆ghj+ (A.3)

68

A.2 Cálculo do Critério ∆ghj−

Considerando a Equação A.1, supõe-se que se deseja retirar um ∆q a menos de vazãona usina, então:

ghj(qj −∆q) ∝ (qj −∆q)(ηj + ∆η)

ghj(qj −∆q) ∝ qjηj + qj∆η −∆qη −∆q∆η

ghj(qj −∆q) ∝ ghj(qj) + qj∆η −∆qηj −∆q∆η

ghj(qj −∆qj) ∝ ghj(qj) + ∆ghj−

∆ghj− = qj∆η + ηj(−∆q) + ∆η(−∆q) (A.4)

Assim, deve-se retirar um ∆q a menos de vazão na máquina que apresentar maior∆ghj−. Isso acontece da mesma forma que no caso anterior porque, em geral, ∆ghj−

será negativo, visto que ghj(qj) é maior que ghj(qj + ∆qj), pois está diminuindo avazão turbinada pela máquina.

69

modelagemdafunÇÃodeproduÇÃodasusinas...

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