UNIVERSIDADE DE SO PAULO

ESCOLA DE ENGENHARIA DE SO CARLOS

DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA DE ESTRUTURAS

MATHEUS FERNANDES DE ARAJO SILVA

Desenvolvimento de modelo analtico para determinao da resistncia ao cisalhamento de ns de prtico externos de

concreto armado

So Carlos

2013

MATHEUS FERNANDES DE ARAJO SILVA

Desenvolvimento de modelo analtico para determinao da resistncia ao cisalhamento de ns de prtico externos de concreto armado

Dissertao apresentada Escola de Engenharia de So Carlos, da Universidade de So Paulo, como parte dos requisitos necessrios obteno do ttulo de Mestre em Engenharia de Estruturas.

Orientador: Prof. Dr. Vladimir Guilherme Haach

Verso Corrigida A verso original encontra-se na Escola de Engenharia de So Carlos

So Carlos

2013

AUTORIZO A REPRODUO TOTAL OU PARCIAL DESTE TRABALHO, POR QUALQUER MEIO CONVENCIONAL OU ELETRNICO, PARA FINS DE ESTUDO E PESQUISA, DESDE QUE CITADA A FONTE.

A Deus.

Aos meus pais Milton Arajo,

Silvaneide Fernandes e ao meu

irmo, Moises Fernandes.

AGRADECIMENTOS

A Deus em primeiro lugar, que se mostrou presente nos momentos

mais difceis nestes ltimos dois anos, sempre me dando fora e sade para

superar todos os desafios.

A minha famlia, em especial aos meus pais, Silvaneide Fernandes de

Arajo Silva e Milton Arajo Silva e meu irmo, Moiss Fernandes de Arajo

Silva, pelo incentivo, amor e compreenso. A minha companheira, Clarissa

Maria Arajo Dantas pelas palavras e conselhos fortes nos momentos de

tristeza.

Ao professor Vladimir Guilherme Haach, por seus ensinamentos

valiosos, pacincia, orientao e encorajamento excepcional ao longo do

trabalho de pesquisa.

Aos professores da UFRN, Selma Hissae Shimura de Nbrega, Petrus

Gorgnio Bulhes de Nbrega, Roberto Jos de Medeiros e Maria das Vitrias

Vieira Almeida de S, pelo incentivo a fazer o mestrado quando ainda fazia a

graduao.

Aos colegas e companheiros do departamento, em especial a Hugo

Oliveira (Monstro), Carlos Moreira (Carlinhos), Margot Pereira, Elias Testoni

(Salsicha), Joo Marinho (Miservel), Daniel Bonfim (Baiano), Ketson Roberto,

Daniel Pereira, Carolina Quintero e Rafael Nio por seus conselhos, conversas,

ajudas na pesquisa e momentos de descontrao aps ou durante o rduo

trabalho.

Ao amigo e companheiro de apartamento, Fernando Vecchio, pelo

aprendizado na convivncia, companheirismo e por sua ajuda e comentrios

durante vrios estgios da pesquisa.

Aos professores e funcionrios do Departamento de Engenharia de

Estruturas pelo apoio dado direta ou indiretamente para a realizao deste

trabalho.

Aos conterrneos do meu querido Rio Grande do Norte, Hidelbrando

Digenes, que me recebeu aqui em So Carlos quando cheguei em 2011 e me

ofereceu suporte de corao, e Arthur lax pelo companheirismo e amizade de

longa data.

A CAPES, Coordenao de Aperfeioamento de Pessoal de Nvel

Superior, pelo suporte financeiro.

Nem tudo que se enfrenta pode ser

modificado, mas nada pode ser

modificado at que seja enfrentado.

Albert Einstein

RESUMO

SILVA, M. F. A. Desenvolvimento de modelo analtico para determinao da resistncia ao cisalhamento de ns de prtico externos de concreto armado. 2013. 166f. Dissertao (Mestrado) Escola de Engenharia de So Carlos, Universidade de So Paulo, So Carlos, 2013.

Prope-se um modelo analtico para determinao da resistncia ao

cisalhamento de ns de prtico externos em estruturas de concreto armado.

Faz-se um estudo de modelos analticos propostos por pesquisadores e sua

aplicao em uma extensa base de dados com resultados experimentais de

diferentes ligaes, a fim de verificar a eficincia de cada modelo analtico. Em

paralelo realiza-se uma anlise paramtrica por meio de simulao numrica

utilizando o software DIANA de maneira a compreender o comportamento do n externo analisando a influncia da geometria, nvel de tenses no pilar, taxa

de armadura da viga e taxa de estribos, e assim prope-se um modelo de

clculo para a resistncia ao cisalhamento com base nos resultados desta

anlise paramtrica. Por fim o modelo analtico proposto aplicado na base de

dados apresentando bons resultados e comprovando sua eficcia tanto para

ns de prtico externos sem estribo como com estribos.

Palavras-chave: Ns de prtico. Cisalhamento. Mtodo dos elementos finitos.

Concreto armado.

ABSTRACT

SILVA, M. F. A. Development of analytical model for predicting the shear strength of exterior reinforced concrete beam-column joints. 2013. 166f. Dissertao (Mestrado) Escola de Engenharia de So Carlos, Universidade

de So Paulo, So Carlos, 2013.

A proposal of an analytical model for determining the shear strength of exterior

reinforced concrete beam-column joints is made in this work. A study of

analytical models proposed by researchers and their application in a wide

database with experimental results is done in order to verify the effectiveness of

each analytical model. In parallel a parametric analysis by numerical simulation

using the software DIANA is performed in order to understand the behavior of

the joint by analyzing the influence of the geometry, stress level in the column,

longitudinal reinforcement ratio of beam and stirrup ratio and thus, it is proposed

a model for predicting the shear strength based on the results of this parametric

analysis. Finally the analytical design model proposed is applied to the

database and presents good results proving its effectiveness for both external

joint with and without stirrups.

Keywords: Beam-column joint. Shear. Finite element method. Reinforced

Concrete.

SUMRIO

SUMRIO ........................................................................................................ 15

1 INTRODUO ........................................................................................... 19

1.1 GENERALIDADES ............................................................................ 19

1.2 OBJETIVO ......................................................................................... 21

1.3 JUSTIFICATIVA ................................................................................ 22

1.4 METODOLOGIA ................................................................................ 22

1.5 RESUMO DOS CAPTULOS ............................................................. 23

2 ESTUDO DOS NS DE PRTICO ........................................................... 25

2.1 COMPORTAMENTO DOS NS DE PRTICO ................................ 25

2.2 MODELOS TERICOS ..................................................................... 42

2.2.1 Ortiz (1993) ............................................................................. 42

2.2.2 Parker e Bullman (1997) ......................................................... 44

2.2.3 Hwang e Lee (1999)................................................................ 46

2.2.4 Vollum e Newman (1999) ........................................................ 51

2.2.5 Kim, LaFave e Song (2009) .................................................... 52

2.2.6 Bakir e Boduroglu (2002) ........................................................ 53

2.2.7 Tsonos (2002) ......................................................................... 54

2.2.8 Hegger, Sherif e Roeser(2003) ............................................... 56

2.2.9 Russo e Somma (2004) .......................................................... 58

2.3 RESUMO ........................................................................................... 59

3 SIMULAO NUMRICA .......................................................................... 61

3.1 INTRODUO .................................................................................. 61

3.2 PROPRIEDADES GERAIS DOS MODELOS NUMRICOS ............. 62

3.2.1 Propriedades dos materiais .................................................... 62

3.2.2 Malha e elementos finitos ....................................................... 68

3.2.3 Carregamento e condies de contorno ................................. 69

3.3 VALIDAO DO MODELO NUMRICO ........................................... 71

3.3.1 BS-L-450 ................................................................................. 71

3.3.2 C2 ........................................................................................... 80

3.3.3 N400 ....................................................................................... 86

3.4 RESUMO ........................................................................................... 91

4 ANLISE PARAMTRICA ......................................................................... 93

4.1 ESBELTEZ DA LIGAO (hv/hp) ...................................................... 93

4.2 NVEL DE TENSES NORMAIS NO PILAR () ................................ 98

4.3 TAXA DE ARMADURA DA VIGA (s,viga) ......................................... 105

4.4 TAXA DE ESTRIBOS ...................................................................... 108

4.5 RESUMO ......................................................................................... 118

5 MODELO PROPOSTO ............................................................................ 121

5.1 FLUXOGRAMA E VERIFICAES ................................................ 121

5.2 BASE DE DADOS ........................................................................... 123

5.3 APLICAO DE MODELOS TERICOS DA LITERATURA .......... 126

5.4 APLICAO DO MODELO PROPOSTO SEM ESTRIBOS ............ 131

5.5 APLICAO DO MODELO PROPOSTO COM ESTRIBOS ............ 135

5.6 RESUMO ......................................................................................... 136

6 CONSIDERAES FINAIS ..................................................................... 139

6.1 CONCLUSO .................................................................................. 139

6.2 PROPOSTAS PARA TRABALHOS FUTUROS ............................... 141

REFERNCIAS BIBLIOGRFICAS ............................................................... 143

APNDICE A SIMULAES NUMRICAS PRELIMINARES .................... 151

A.1 GENERALIDADES .......................................................................... 151

A.2 DEFINIO ..................................................................................... 151

A.2.1 Propriedades geomtricas .................................................... 151

A.2.2 Comportamento dos materiais .............................................. 152

A.2.3 Malha e elementos finitos ..................................................... 153

A.2.4 Carregamento e condies de contorno ............................... 153

A.3 ANLISES ....................................................................................... 154

APNDICE B ANLISE PARAMTRICA DOS MODELOS TERICOS DA

LITERATURA ................................................................................................. 159

B.1 INTRODUO ................................................................................ 159

B.2 ESBELTEZ DA LIGAO ............................................................... 159

B.3 TAXA DE ESTRIBOS ...................................................................... 161

B.4 RESISTNCIA DO CONCRETO ..................................................... 162

B.5 TAXA DE ARMADURA DA VIGA .................................................... 164

B.6 NVEL DE TENSES NORMAIS NO PILAR ................................... 164

19

1 INTRODUO

1.1 GENERALIDADES

Nos ltimos anos percebe-se o crescente aumento da resistncia dos

concretos e tambm uma otimizao dos processos de clculo por computadores.

Desta forma, tem sido prtica reduzir as dimenses dos elementos estruturais e,

consequentemente, as dimenses dos ns tambm so reduzidas. Isto contribui

para a ocorrncia de elevados valores de tenses cisalhantes nestes elementos e

congestionamento de armaduras, conforme apresentado na Figura 1.1, e quando

no so corretamente dimensionados e detalhados acabam tornando-se pontos

fracos da estrutura de concreto armado.

Figura 1.11 Congestionamento de armaduras na ligao viga pilar

A princpio, a maioria dos engenheiros estruturais assume que a capacidade

portante da estrutura est atrelada somente aos principais elementos estruturais

1 [disponvel em http://www.istorya.net/forums/general-discussions/283994-house-construction-and-

renovation-44.html. Acesso em 24 abr. 2012]

http://www.istorya.net/forums/general-discussions/283994-house-construction-and-renovation-44.htmlhttp://www.istorya.net/forums/general-discussions/283994-house-construction-and-renovation-44.html

20

(pilares, vigas, lajes, paredes). Sem uma correta verificao das ligaes, pode-se

afirmar que as vigas e pilares dos edifcios usuais de concreto armado no

conseguem atingir seus ELU e suas resistncias ficam limitadas pela resistncia da

ligao. Isto ocorre porque o n de prtico uma regio frgil e sua runa

geralmente se acontece antes da runa dos pilares e vigas.

Na Figura 1.2, apresentam-se os diferentes tipos de ns presentes nas

estruturas de concreto armado e, na Figura 1.3, mostram-se alguns casos de arranjo

de ns de prtico externos em estruturas de concreto armado, com a presena de

vigas na direo perpendicular ao plano do prtico com continuidade e sem

continuidade destas.

Figura 1.2 - Tipos de n de prtico

Figura 1.3 - N de prtico externo de concreto armado

Os ns quando carregados monotonicamente podem entrar em colapso

basicamente, atravs do escoamento dos estribos ou por esmagamento do concreto

comprimido na diagonal. Seus elementos adjacentes (vigas e pilares) podem sofrer

runa por escorregamento das armaduras longitudinais ancoradas no n ou por

escoamento destas. Do ponto de vista da segurana estrutural, prefervel que a

viga que converge ao n sofra o colapso atravs do escoamento da armadura

21

tracionada, permitindo assim que essa atinja sua capacidade ultima e tenha uma

ruptura dctil, ao contrrio da ruptura por cisalhamento do n que frgil e que

forma rtulas nos pilares tornando assim a estrutura instvel (ver Figura 1.4). Logo,

o dimensionamento das ligaes viga-pilar de prticos de concreto armado deve

verificar que a resistncia ao cisalhamento da ligao seja tal que permita que a viga

adjacente alcance seu Estado Limite ltimo.

(a) (b) (c)

Figura 1.4 Comportamento de estruturas de concreto armado quando sujeitas a aes cclicas : a) Xuankou Middle School na cidade de Yingxiu, China; b) Colapso de ligao viga-pilar externo; c)

colapso de pilar curto. Fonte: Zhao, Taucer e Rossetto (2009)

A resistncia ao cisalhamento das ligaes externas depende de diversos

fatores: geometria da ligao, taxa de armadura do pilar, resistncia do concreto,

tipo de ancoragem da armadura da viga, taxa de armadura da viga, taxa de

armadura transversal (estribos), carga axial no pilar, grau de confinamento, presena

de vigas transversais, efeito da laje, etc. Ainda discute-se sobre quais variveis so

preponderantes, e da surgem vrios mtodos e frmulas para clculo de resistncia

ao cisalhamento das ligaes diferenciando entre si somente que variveis so

levadas em conta.

1.2 OBJETIVO

O objetivo principal desta pesquisa desenvolver um modelo analtico para

estimativa da resistncia ao cisalhamento dos ns, bem como prever o modo de

runa, extremamente importante para garantir uma runa dctil do n de prtico

externo com escoamento dos estribos.

22

Tem-se como objetivos especficos:

a) Estudar o comportamento estrutural dos ns de prtico externos e

seus mecanismo de runa;

b) Criar uma base de dados de resultados experimentais de ns

externos;

c) Avaliar vrios modelos tericos presentes na literatura;

d) Fazer simulao numrica de ensaios realizados presentes na

literatura e validar os modelos numricos;

e) Fazer anlise paramtrica das principais variveis que influenciam o

comportamento do n pelo modelo numrico calibrado.

1.3 JUSTIFICATIVA

Os ns ou ligaes entre vigas e pilares constituem pontos importantes da

estrutura de concreto armado visto que esses so os responsveis pela unio

solidria entre vigas e pilares e assim pela formao dos prticos to importantes

para o contraventamento da estrutura. So regies de elevados valores de fora

cortante e concentrao de armaduras o que dificulta sua concretagem. Como visto

anteriormente, devido ao grande nmero de variveis envolvidas que afetam seu

comportamento, o assunto ainda no est completamente elucidado e constitui tema

para muita discusso.

De maneira a ampliar os conhecimentos sobre o comportamento dos ns de

prtico externos de concreto armado, surge a necessidade de se desenvolver um

modelo analtico que preveja a resistncia ao cisalhamento com base na

considerao dos resultados das simulaes numricas e dos modelos

experimentais da base de dados.

1.4 METODOLOGIA

Foi realizada uma extensa reviso bibliogrfica para o melhor entendimento

do comportamento do n e identificar as variveis que o influenciam. Dentro desta

reviso foi feita uma busca por modelos tericos existentes. Depois de estudados,

foi implementada a rotina computacional de alguns destes modelos tericos.

23

Realizada esta etapa da pesquisa, foi feita a coleta de resultados

experimentais na literatura por meio dos trabalhos de diversos pesquisadores,

montando assim a base dados. Em paralelo, foram simulados e calibrados trs

modelos numricos, utilizando o software DIANA, e que representam os modelos

experimentais de trs autores distintos presentes na base de dados.

Aps a validao do mtodo numrico foram feitas as anlises paramtricas

envolvendo a relao entre a altura da seo transversal da viga com a do pilar no

plano do prtico (hv/hp), nvel de carga axial no pilar (), taxa de armadura da viga

(s,viga) e taxa de estribos na ligao(sh). Os resultados desta anlise paramtrica

mais a considerao de alguns dados da reviso bibliogrfica deram base para o

desenvolvimento do modelo analtico de clculo de resistncia ao cisalhamento.

Alm disso, o modelo proposto foi aplicado nos modelos experimentais da

base de dados coletada. Para comparao e anlise dos modelos tericos presentes

na literatura, estes tambm foram aplicados na base de dados.

1.5 RESUMO DOS CAPTULOS

No captulo 1, introduz-se sucintamente informaes bsicas sobre o

comportamento dos ns de prtico externos de concreto armado apresentando os

objetivos, a justificativa e a metodologia empregada no desenvolvimento dos

estudos aqui realizados.

No captulo 2, apresenta-se uma reviso bibliogrfica descrevendo as

principais variveis e como influenciam no comportamento ao cisalhamento dos ns.

Tambm se descrevem resumidamente alguns modelos tericos presentes na

literatura para clculo de resistncia ao cisalhamento das ligaes.

No captulo 3, descrevem-se as consideraes feitas para as simulaes

numricas realizadas, modelos constitutivos dos materiais, malha de elementos

finitos, condies de contorno, ensaios simulados numericamente e validao dos

modelos numricos.

No captulo 4, abordam-se as anlises paramtricas realizadas considerando

a esbeltez da ligao, nvel de solicitao no pilar, taxa de armadura da viga e taxa

de estribos. Apresentam-se pontualmente as principais equaes do modelo

proposto.

24

No captulo 5, o modelo proposto apresentado e aplicado em uma base de

dados de resultados experimentais encontrados na literatura. Alguns modelos

tericos tambm sofrem o mesmo procedimento a fim de investigar e comparar

resultados. Medidas estatsticas so apresentadas no fim do captulo comprovando

o bom funcionamento do modelo proposto.

No captulo 6, fazem-se as consideraes finais do trabalho com a

apresentao das concluses do trabalho e proposta para estudos futuros.

25

2 ESTUDO DOS NS DE PRTICO

2.1 COMPORTAMENTO DOS NS DE PRTICO

Nos ns de prtico ocorrem mudanas de direo do eixo da estrutura, o

que provoca alterao na direo dos esforos internos e, consequentemente,

modificao na distribuio de tenses em seu interior. Sendo assim, os ns so

classificados como regies tipo D, onde as hipteses de Bernoulli (distribuio linear

de deformaes ao longo da seo transversal) no so vlidas, como apresentado

na Figura 2.1. Nestas regies a distribuio de deformaes significativamente

no-linear.

Figura 2.1 Regies do Tipo D

Em funo da distribuio interna de tenses, tm-se os possveis modos de

runa:

26

a) runa frgil por tenso de trao diagonal; essas tenses surgem em

funo da mudana de direo dos esforos internos longitudinais da

viga e pilar;

b) runa frgil por tenses de trao normais s armaduras principais da

viga e pilar;

c) runa por escoamento das armaduras principais, que conduz a

grandes deformaes;

d) runa por ancoragem inadequada das armaduras;

e) runa por esmagamento do concreto nas bielas ou regies nodais.

Na ligao, como pode ser visto na Figura 2.2, surgem tenses de trao

muito desfavorveis na direo da diagonal, transversais biela comprimida de

concreto. Observa-se tambm que a armadura comprimida do tramo superior passa

a ser tracionada no tramo inferior do pilar. Leonhardt e Mnnig (1977) afirmam que a

transferncia de tenses provoca tenses de aderncia perigosamente elevadas na

armadura do pilar e que em conjunto com a trao diagonal tm uma influncia

decisiva na capacidade resistente do n.

A resistncia ao cisalhamento dos ns decresce na seguinte sequencia: n

interno, externo, de cobertura com momento fletor tracionando as fibras internas e

de cobertura com momento tracionando as fibras externas mantendo as variveis

principais constantes. Da pode-se perceber a posio desvantajosa das ligaes

externas, principalmente pela solicitao unilateral no seu plano de carregamento e

tambm por possuir pelo menos um lado sem confinamento.

Figura 2.2- Caso tpico de aes solicitantes no n com idealizao da biela comprimida de

concreto. Adaptado de Silva e Giongo (2000)

27

Park e Paulay (1975) comentam que as ligaes externas viga-pilar em

prticos de concreto armado passam por uma situao crtica quando sujeitas a

aes ssmicas. As resultantes de esforos nos ns induzem tenses de trao

diagonais (Figura 2.3a), podendo estas ter grandes valores quando os elementos

adjacentes atingem sua capacidade ltima. A severidade destas tenses

influenciada pela quantidade de armadura longitudinal dos membros adjacentes e

pela magnitude da carga axial do pilar. No entanto sabe-se que a mesma situao

ocorre para carregamentos monotnicos, produzidos por aes laterais na estrutura

de um edifcio. Park e Paulay (1975) ainda comentam que um mecanismo de biela

diagonal primria comprimida de concreto responsvel pela transferncia de foras

cortantes e de compresso na ligao (Figura 2.3b). Os mesmos autores tambm

idealizam um mecanismo de trelia formado por bielas secundrias separadas por

fissuras diagonais em conjunto com as armaduras horizontais e verticais existentes

no n (Figura 2.3c).

(a)

(b)

(c)

Figura 2.3 Consideraes de Park e Paulay (1975). (a) Padro de fissurao, tenses de aderncia e tenses principais no ncleo do n. (b) Mecanismo de transferncia de tenses

cisalhantes por biela comprimida diagonal de concreto (c) Mecanismo de trelia para transferncia de tenses cisalhantes.

28

Sabe-se tambm que seria muito otimista dizer que estas bielas poderiam

alcanar a resistncia compresso do concreto. Devido a um estado biaxial de

tenses, se produz uma aprecivel reduo da resistncia compresso da biela.

Alguns autores denominam esta reduo da resistncia do concreto por

causa do estado biaxial de tenses como efeito de amolecimento (softening). Este

efeito foi mais bem estudado por Vecchio e Collins (1986), que obtiveram a resposta

de elementos retangulares planos de concreto armado sujeitos a um estado plano

de tenses. Segundo os mesmos autores, os elementos de concreto, quando

submetidos a determinados carregamentos, sofrem a formao de fissuras que

conectam-se, propagam-se ou fecham-se e que as tenses de compresso

principais do concreto no so dependentes somente das deformaes principais de

compresso, mas tambm da coexistente deformao principal de trao. Assim, o

concreto fissurado quando submetido a elevadas deformaes de trao na direo

normal direo comprimida mais amolecido e mais fraco do que o concreto

ensaiado segundo os corpos-de-prova cilndricos (ver Figura 2.4). Este efeito de

amolecimento do concreto no comportamento do n um dos pontos chave para

qualquer modelo analtico para clculo de resistncia ao cisalhamento. Hwang e Lee

(1999) levam em conta este efeito em seu modelo analtico reduzindo a resistncia

do concreto por meio de um fator que funo das deformaes de trao

transversais a biela comprimida.

Figura 2.4 Comportamento do concreto fissurado submetido a compresso

29

Alva (2004) comenta que o modelo proposto por Hwang & Lee (1999),

embora tenha sido originalmente proposto para situao de solicitaes cclicas,

pode ser adaptado ao caso de aes monotnicas. Acredita que para tal correo o

modelo deve considerar um novo coeficiente redutor de resistncia do concreto na

biela, em substituio ao original proposto por Hwang & Lee (1999) estabelecido

para aes cclicas, e comenta que a utilizao da expresso da norma canadense

CSA-A23.3 (2004) para a determinao de fornece uma boa correlao para

alguns resultados experimentais. Segundo esta norma, a expresso para este

coeficiente redutor dada por:

= 1

0,8 + 170 0,85 (2.1)

onde r a deformao principal de trao transversal biela diagonal comprimida

de concreto no n de prtico.

Em regies do tipo D, como os ns de prtico externos, o fluxo interno de

tenses pode ser razoavelmente representado por modelos de bielas e tirantes.

Nesses tipos de modelos os esforos atuantes nas bielas comprimidas, que

representam o fluxo de tenses de compresso, so resistidos pelo concreto. As

bielas tem sua resistncia limitada em funo da resistncia compresso do

concreto e da seo adotada para a biela. Os campos de tenses de trao so

representados por tirantes, usualmente resistidos pelas armaduras. Nos anos 80,

Schlaich, Schafer e Jennewein (1987) aplicaram diversos modelos de bielas e

tirantes em elementos estruturais especiais, como vigas-parede, consolos, sapatas,

blocos de fundao, ligaes viga-pilar de cobertura e aberturas em vigas.

Na Figura 2.5, so apresentados dois modelos de bielas e tirantes que

podem ser adotados para ns de prtico, segundo Silva e Giongo (2000). Para o

caso em que as dimenses do pilar e da viga so aproximadamente iguais,

recomenda-se o modelo da Figura 2.5a. O modelo da Figura 2.5b se aplica quando

a altura da viga (hv) maior do que a dimenso do pilar (hp) na direo da viga.

Outros pesquisadores, como Tsonos (1999), idealizam o mecanismo

resistente de tirantes verticais (armaduras dos pilares) e horizontais (estribos) no n

agindo em conjunto com bielas secundrias e o mecanismo de uma biela

comprimida de concreto diagonal. Tanto o mecanismo de biela diagonal como bielas

30

e tirantes dependem da resistncia do concreto compresso e trao, segundo

Tsonos (1999).

(a) (b)

Figura 2.5 Modelos de bielas e tirantes para ns de prtico externos:

Existem na bibliografia muitas recomendaes sobre o bom

dimensionamento dos ns (Park e Paulay,1975; Marques e Jirsa, 1975; Ortiz, 1993;

Vollum e Newman, 1999; Bakir e Boduroglu, 2002; Genoglu e Eren, 2002; Kaung e

Wong, 2006). No entanto, na maioria dos casos, os trabalhos feitos diferenciam-se

entre si pelas variveis que consideram ser significativas no comportamento dos

ns. A nica coisa em comum em todos eles so as investigaes sobre

detalhamento da ligao que possa assegurar o comportamento dctil. As principais

variveis consideradas na bibliografia so: resistncia do concreto, relao

geomtrica do n (relao entre altura da viga e altura do pilar), detalhamento e taxa

de armadura longitudinal tracionada da viga, taxa de armadura transversal do n,

carga axial no pilar, presena de vigas transversais ou laje, taxa de armadura do

pilar, tipo de carregamento aplicado, excentricidade, etc. A principal dificuldade

conseguir avaliar a verdadeira influncia de cada varivel separadamente tendo em

vista a ampla variedade de ensaios j realizados e que todas aquelas variveis

existem interdependentemente.

31

As recomendaes normativas trazem pouco sobre o assunto, sem um

consenso entre mecanismos resistentes e variveis influentes. Segundo Ehsani e

Wight (1990), o ACI-ASCE Committee 352, Recommendations for Design of Beam-

Column Connections in Monolithic Reinforced Concrete Structures, foi publicado pela

primeira vez em 1976 com recomendaes de projeto para ns em estruturas de

concreto armado. Naquela poca acreditava-se que o comportamento do n era

similar ao comportamento de vigas ao esforo cortante. A capacidade da ligao era

tomada como a soma da capacidade ao cisalhamento da armadura transversal e do

concreto. A contribuio do concreto era funo do tipo de carregamento e do

confinamento provocado pelas vigas transversais. De acordo com aquelas

recomendaes, a capacidade ao cisalhamento do n s poderia ser aumentada por

armaduras transversais adicionais (estribos). As ligaes seguindo estas

recomendaes ficavam bastante congestionadas e bastante difceis de construir. O

ACI-ASCE 352 (2002) traz recomendaes de modo a satisfazer a resistncia e

requisitos de ductilidade nas ligaes. As principais recomendaes so a respeito

da geometria do n, confinamento do ncleo da ligao por meio de estribos,

ancoragem das armaduras da viga, controle das tenses cisalhantes e relao entre

a resistncia a flexo do pilar e da viga que se conectam. Segundo a definio da

norma, o n a poro do pilar com altura igual a da viga com maior altura de seo

transversal que a ele se conecta.

Embora haja discusso sobre as variveis significativas, existe consenso

sobre a influncia de algumas na resistncia do n, por exemplo, a resistncia do

concreto. Mesmo assim alguns pesquisadores diferem-se por considerar que a

resistncia ao cisalhamento proporcional a 1/2 ou a

2/3.

O efeito benfico dos estribos no comportamento do n j foi verificado por

diversos pesquisadores (Ortiz, 1993; Hegger, Sherif e Roeser, 2003; Bakir e

Boduroglu, 2002). Quando o n comea a fissurar, os estribos comeam a se

deformar, podendo atingir seu escoamento se as deformaes forem excessivas e

se no existir uma quantidade adequada, implicando nas ms condies de

ancoragem das armaduras da viga e pilar como pode ser visto na Figura 2.6a. Em

uma situao ideal de colapso e sob a ao de carregamentos monotnicos, a

fissurao do n tende a aumentar medida que as solicitaes aumentam, porm

controladamente, at que se chega ao ponto em que as barras longitudinais da viga

comeam a escoar anunciando seu ELU. Por causa do controle de fissurao, os

32

estribos tambm acabam melhorando as condies de ancoragem do trecho vertical

das barras tracionadas da viga aps a dobra e das barras do pilar externas,

assegurando que haja transferncia de tenses das barras para o concreto.

A Figura 2.6b mostra os danos provocados pelas foras das bielas

comprimidas e tenses de aderncia no cobrimento das armaduras do pilar.

Segundo Ortiz (1993), o ncleo do n mais rgido do que o cobrimento e isto

acentua as tenses de aderncia no lado interno das barras do pilar caso haja uma

quantidade suficiente de estribos, aliviando as solicitaes no recobrimento. Alm do

mais, os estribos horizontais equilibram as componentes horizontais das foras

resultantes da ao das bielas que atuam nos trechos de barras do pilar

compreendidos entre dois estribos (ver Figura 2.7).

Na anlise de alguns ensaios, Park e Paulay (1975) comentam que o

confinamento do n imperativo para o seu perfeito comportamento. Em todos os

ensaios analisados pelos mesmos autores, os estribos apresentaram deformaes

segundo o plano horizontal nas faces livres do n. Isto significa um aumento

volumtrico do ncleo da ligao, com consequente perda da capacidade de

compresso diagonal.

(a)

(b)

Figura 2.6 Ligaes externas viga-pilar. (a) Fissurao excessiva de um n aps ensaio, afetando a ancoragem das barras do pilar e viga. (b) Arrancamento do cobrimento da armadura externa do pilar.

Fonte: Park e Paulay (1975)

33

Figura 2.7 Transferncia de tenses das bielas comprimidas de concreto para as armaduras

longitudinais do pilar externas ao n

Ehsani e Wight (1985) apresentam em seu trabalho a definio clssica da

taxa de estribo, calculada como:

=

( ) (2.2)

onde a rea total de estribos horizontais; a largura da seo do pilar; e

e a distncia entre os centroides da armadura tracionada e comprimida da

viga.

Muitos autores usam em seus modelos a taxa de estribos como parmetro

de entrada. O ACI 352(2002), no entanto recomenda uma rea de ao por camada e

o espaamento entre elas. Segundo Ehsani e Wight (1990) o escoamento dos

estribos pode ocorrer de forma prematura quando esta taxa insuficiente. Isto

resulta na expanso volumtrica da ligao e por sua vez, na ruptura do cobrimento

de concreto abaixo e acima da ligao, reduzindo a capacidade flexo do pilar.

Em outro trabalho, Ehsani e Wight (1985) comentam que as armaduras

transversais podem contribuir de duas maneiras no comportamento do n. Primeiro,

elas podem fornecer um acrscimo de resistncia ao cisalhamento com um limite

superior igual rea total de estribos vezes a tenso de escoamento. Ainda

segundo eles, os estribos proporcionam confinamento ao n o qual proporcional

ao nmero de estribos colocados na ligao.

34

Marques e Jirsa (1975) ensaiaram 22 modelos experimentais simulando

tpicas ligaes externas viga-pilar para avaliar a capacidade e o comportamento

das barras ancoradas da viga. Uma de suas concluses foi que estribos detalhados

na ligao aparentam ser benficos ao comportamento da ancoragem das barras

longitudinais da viga quando o espaamento entre eles igual ou menor do que o

raio de dobra da armadura da viga, pois assim confina-se uma regio de intensas

tenses laterais. Os autores comentam que a carga axial do pilar produz

deformaes laterais que causam desplacamento e que o uso de estribos reduz este

efeito. Em todos os modelos experimentais em que foram colocados estribos, as

tenses nas armaduras longitudinais da viga atingiram o patamar de escoamento.

Ortiz (1993) apresenta os resultados de sete ns de prtico externos de

concreto armado, em tamanho natural, testados experimentalmente sujeitos a

carregamento monotnico com ou sem presena de carga axial no pilar. A autora

conclui que a contribuio dos estribos transversais do n apenas permite um

alargamento da biela diagonal e que, portanto o excesso de estribos no pode

alargar a biela alm da rea de concreto existente, isto , excesso de estribos no

produz nenhum efeito benfico, e que somente estribos localizados acima do banzo

comprimido da viga (Figura 2.8) so realmente solicitados e, portanto, efetivos. Park

e Paulay (1975) afirma que somente os estribos situados nos dois teros superiores

na altura til da viga so considerados efetivos.

Figura 2.8- Estribos efetivos em um n externo localizados a 2/3 . Fonte: Park e Paulay

(1975)

35

Vollum (1998) em seu trabalho desenvolveu um estudo paramtrico que

mostra que os estribos correspondentes aos mnimos valores requeridos pela BS

8110 so incapazes de aumentar a resistncia ao cisalhamento significativamente.

Vollum e Newman (1999) tambm afirmam que uma contribuio linear dos estribos

na resistncia do n dada pela Equao (2.3) contra a segurana, visto que para

altas taxas de armadura ocorrer ruptura do n devido ao esmagamento do concreto

antes do escoamento dos estribos.

= + (2.3)

onde a resistncia ao cisalhamento do n; a parcela de contribuio do

concreto na resistncia e a fora resultante nos estribos efetivos no seu

escoamento.

Kaung e Wong (2011) ensaiaram seis modelos experimentais tomando como

varivel principal a taxa de estribo de ns sujeitos a carregamentos cclicos. Os

mesmos autores comentam que um significativo aumento na resistncia ao

cisalhamento das ligaes pode ser alcanado se forem detalhadas armaduras

transversais no ncleo do n, e que de fato h uma substancial melhora no

comportamento dctil da ligao. Em suas anlises os autores apresentam uma

comparao bastante interessante: as vigas de dois modelos experimentais, que

no possuam estribos no n, alcanaram somente 70% das suas resistncias

flexo; no entanto, as vigas de outros dois modelos experimentais, que tiveram as

mesmas dimenses dos modelos iniciais e taxas de armadura transversal de 0,14%

e 0,27%, respectivamente, alcanaram cerca de 90% e 85% das suas resistncias a

flexo. Kaung e Wong (2011) afirmam que a resistncia ao cisalhamento cresce no

linearmente e atinge um patamar quando a taxa de estribos de 0,4% e que por

isso estribos adicionais a este valor de taxa no tero nenhum efeito benfico na

resistncia da ligao.

Vecchio e Collins (1986) analisando seus resultados sobre a influncia das

taxas de armadura na resistncia ao cisalhamento dos elementos planos,

concluram que o escoamento da armadura, que costura as fissuras, limita as

tenses de trao no concreto e que, portanto controla a resistncia da ligao para

baixas taxas de armadura transversal, enquanto que a ruptura por esmagamento do

concreto controla a resistncia para maiores valores de taxa de armadura. A est

36

um ponto interessante, pois no caso da ligao viga-pilar fica evidente que existe um

limite de taxa de armadura transversal que a partir do qual no adianta detalhar mais

estribos no n, pois a ruptura ocorrer por falha do concreto e no pelo escoamento

da armadura.

Em relao influncia das armaduras da viga no comportamento do n,

Scott (1996) ensaiou 15 modelos experimentais carregados monotnicamente

(Figura 2.9) variando a altura das vigas, detalhamento e taxa de armadura

longitudinal tracionada da viga e carga axial no pilar. Em suas concluses, o mesmo

autor percebeu que modelos com taxa de armadura tracionada da viga igual a 1,0%

e com barras dobradas segundo o tipo A ou C (Figura 2.10) sofreram colapso com

formao de rtula plstica na viga quando os pilares foram carregados.

Ainda nas concluses de Scott (1996), modelos similares aos anteriores,

mas com foras axiais menores nos pilares tiveram colapso por cisalhamento do n

e suas vigas no atingiram mais do que 50% de sua resistncia flexo terica.

Scott (1996) considera que, do ponto de vista da ductilidade, o uso do detalhamento

do Tipo A mais desejvel quando comparado com o Tipo C, considerando o

carregamento monotnico. Os modelos com detalhamento do Tipo B obtiveram

pssima ancoragem das armaduras longitudinais das vigas aps a fissurao do n,

resultando em rupturas frgeis, pois seu detalhamento para cima evita o

desenvolvimento de tenses na perna vertical devido a flexo do pilar, logo a

transferncia de cargas adicionais aumentam as tenses de aderncia ao redor da

curva. Como a capacidade de resistir a estas tenses por parte do concreto

limitada, ocorre ento a ruptura repentina com rpida propagao de tenses ao

longo da perna vertical. De um modo geral o detalhe Tipo B muito mais frgil do

que o Tipo A e C.

Bakir e Boduroglu (2002a) avaliaram que h um aumento exponencial da

resistncia do n com o aumento da taxa de armadura da viga. Aqui no presente

trabalho, a armadura da viga refere-se somente a armadura superior tracionada. De

maneira a entender a possvel influncia desta varivel, Bakir e Boduroglu (2002a)

investigaram dois modelos experimentais ensaiados por Scott (1997), que so

semelhantes com exceo da taxa de armadura da viga. A resistncia ao

cisalhamento de um deles que teve uma armadura da viga de 2,26 cm foi de 122,78

kN, aproximadamente 30% menor do que o outro que teve uma rea de armadura

de 4,0 cm. Os mesmos autores chegam mesma concluso de Scott (1996) e

37

afirmam que a resistncia dos ns ao cisalhamento aumentada cerca de 15% se

detalhados com barras a 90 (L) em relao a 180 (U).

Figura 2.9 Equipamento e modelo experimental utilizados por Scott (1992)

Figura 2.10 Tipos de detalhamento ensaiados por Scott (1996)

Kuang e Wong (2006) ensaiaram cinco modelos experimentais para estudar

os efeitos do tipo de detalhamento das barras longitudinais das vigas e submetendo-

os a carregamentos cclicos sem armaduras transversais na ligao. O modelo com

detalhamento do tipo U obteve um comportamento cclico melhor do que o

detalhamento do tipo L, mas sabe-se que para carregamentos monotnicos esse

38

tipo de ancoragem menos efetivo. Os autores tambm no recomendam o uso do

detalhamento cujas barras tracionadas e comprimidas da viga ou somente

tracionadas estejam dobradas para fora do n, pois os dois modelos com este tipo

de detalhamento obtiveram somente dois teros da resistncia do modelo com barra

dobrada em L.

Para ns no armados transversalmente, segundo Park e Mosalam (2012),

h uma relao benfica entre taxa de armadura da viga e resistncia ao

cisalhamento que pode ser explicada como se segue: (a) aumentando a taxa de

armadura longitudinal da viga, leva-se ao aumento das foras cisalhantes horizontais

no n sem escoamento dessas armaduras, isto , valores grandes de foras

cisalhantes so impostos sem deteriorao da ancoragem destas barras; (b) esta

estabilidade na ancoragem produz uma biela maior que pode suportar maiores

foras cortantes. Porm, da anlise paramtrica de Park e Mosalam (2012), a

resistncia ao cisalhamento proporcional a taxa de armadura da viga at certo

limite e alm deste limite a resistncia ao cisalhamento no aumenta com o aumento

taxa de armadura da viga.

A considerao da relao geomtrica da ligao tem sido tomada por

muitos autores em seus modelos tericos para estimativa da resistncia ao

cisalhamento, de forma implcita ou explcita. Alguns autores, como Kim e LaFave

(2007) afirmam que a resistncia ao cisalhamento levemente reduzida medida

que se aumenta a relao altura da viga/altura do pilar. Esta anlise foi feita com

base em uma base de dados montada pelos mesmos autores, considerando

somente os modelos experimentais nos quais a armadura da viga no chegou a

atingir seu patamar de escoamento e com relao geomtrica variando de 1,0 a 1,6

para ns externos. Esta anlise completamente contraditria a maioria dos outros

autores.

Vollum e Newman (1999) afirmam que a resistncia do n sem significativas

quantidades de estribos diminui com o aumento da relao geomtrica. No entanto

os autores acham que existem poucos dados na literatura que possam

conclusivamente estabelecer a influncia da relao geomtrica na resistncia do

n, devido a dificuldade de isolar sua influncia frente as demais variveis.

Ainda segundo Park e Mosalam (2012), o efeito da relao altura da

viga/altura do pilar no cisalhamento pode ser entendido se pensarmos em uma

aproximao por bielas e tirantes (Figura 2.11) onde uma biela mais ngreme se

39

forma quando essa relao grande e o n no apresenta armadura transversal. A

biela mais ngreme no consegue equilibrar com eficincia a fora cisalhante

horizontal e portanto a resistncia do n diminui.

Em relao carga axial do pilar, Vollum e Newman (1999) comentam que

no existem evidncias de que a resistncia ao cisalhamento aumente com o

incremento da carga axial do pilar. Bakir e Boduroglu (2002b) citam que

aumentando a carga axial e a taxa de armadura do pilar as deformaes principais

de trao aumentam, diminuindo a resistncia ao cisalhamento da ligao.

Deste modo, o incremento na resistncia ao cisalhamento devido a carga

axial e armadura do pilar, como outros pesquisadores concluram, compensado

pela diminuio da resistncia ao cisalhamento devido ao incremento das

deformaes por trao do n. Assim, Bakir e Boduroglu (2002b) afirmam que a

carga axial e a taxa de armadura no influenciam na resistncia ao cisalhamento do

n de maneira global. Os mesmos autores, ao tentarem chegar numa aproximao

para a inclinao da biela diagonal, comentam que segundo Park e Paulay (1975),

quando a carga axial aplicada no pilar muito pequena a inclinao da biela

diagonal comprimida de concreto pode ser aceita como = (/), onde hv

e hp so as alturas da viga e pilar respectivamente. Como dito anteriormente, os autores no acreditam na influncia da fora normal na resistncia ao cisalhamento

do n, concluindo ento que o ngulo da biela comprimida de concreto independe no

nvel de tenses normais aplicado no pilar.

Figura 2.11- Efeito da relao altura da viga/pilar

40

Ainda segundo os mesmos autores, o nvel de tenses normais no pilar tem

um efeito significativo no modo de colapso das ligaes. H uma reduo do

escorregamento da armadura com o aumento da carga axial que por causa do

efeito de confinamento do concreto em volta da zona de comprimento de ancoragem

das armaduras da viga. Assim, o mecanismo de trelia apresentado por Park e

Paulay (1975), ver Figura 2.3c, garantido e a possibilidade de colapso por falha de

ancoragem da armadura da viga reduzida. Um segundo efeito tambm

comentado pelos autores, relacionado com a preveno de formao de rtulas e

colapso do pilar no trecho superior ao n. De forma a evitar este tipo de colapso, a

carga axial no pilar pode ser aumentada.

Alva (2004) ensaiou cinco modelos experimentais com nveis de solicitao

axial no pilar = 0,15 com aplicao de carregamento cclico na extremidade da viga.

Segundo anlises do mesmo autor, a fora cisalhante atuante no incio da fissurao

diagonal nos ns externos pode ser dada pela Equao (2.4) que mostrou boa

correlao com os dados experimentais.

,. = 0,744 1 +

(2.4)

onde ft a resistncia trao do concreto; Np a fora axial aplicada no pilar; Ag

a rea da seo bruta do pilar; beff a largura da ligao e hp a altura da seo transversal do pilar medida na direo da viga. A largura efetiva do n dada pela

mdia aritmtica entre a largura da seo transversal da viga e do pilar.

Na Equao (2.4) para a fora cisalhante ajustada por Alva (2004) fica

evidente que a fora axial aplicada no pilar uma varivel importante para o incio

da fissurao do n, retardando este processo para pilares com cargas axiais

maiores. No entanto os pilares dos modelos experimentais do autor apresentavam

baixos nveis de solicitao normal.

Haach (2005) estudou a influncia da fora normal no comportamento dos

ns de prtico externos por meio de anlise experimental de trs ligaes sujeitas a

diferentes nveis de fora normal, por meio de modelos analticos encontrados na

literatura e da simulao numrica do n de prtico com aplicativo ABAQUS. Em

seu trabalho trs nveis de fora normal foram aplicados: 400 kN, 300 kN e 250 kN.

Observou que com maiores nveis de esforo normal as fissuras s ocorrem na

41

iminncia da runa do modelo experimental e que a ativao da armadura

transversal tende a ser mais retardada. Afirmou que a carga no pilar tem influncia

no modo de runa do modelo, proporcionando uma runa dctil para baixos nveis de

fora normal.

Park e Mosalam (2012) chegaram a concluso de que a resistncia ao

cisalhamento do n no claramente afetada pela carga axial do pilar ate 0,2 ,

ou = 0,2, onde a rea da seo transversal do pilar. Segundo Park e Paulay

(1975), quando a carga axial no pilar pequena ( = 0,12) seu efeito benfico na

resistncia ao cisalhamento deve ser ignorado, se que pode-se dizer que a carga

axial no pilar possua efeito benfico.

Park e Mosalam (2012) fazem outra anlise interessante e duvidosa sobre o

efeito desta varivel no comportamento do n (Figura 2.12), considerando que as

deformaes horizontais no n sejam pequenas (negligenciam a carga axial da

viga). Pela Equao (2.5), quando se impe um incremento de deformao vertical

devido ao aumento da carga axial no pilar e sabendo que resultados

experimentais realizados por outros autores indicam que a variao de

pequena e que a direo das deformaes principais muda, o valor das

deformaes principais de trao pouco varia e, ao contrrio, as deformaes

principais de compresso aumentam significativamente. Idealizando a biela

diagonal comprimida de concreto do n, isso significa dizer que o concreto da biela

no sofre progressivos amolecimentos, pois as deformaes transversais a biela

permanecem praticamente constantes mesmo aumentando-se as deformaes

verticais provocadas pelo acrscimo de carga axial do pilar.

, =2

12

2 + 2 (2.5)

De maneira geral, entende-se que:

a) a resistncia compresso do concreto, sem dvida, proporciona um

acrscimo de resistncia ao cisalhamento;

b) o nvel de tenses no pilar provoca mudana no comportamento da

ligao, sendo mostrado em alguns ensaios que muda o modo de

colapso, mantendo as demais variveis constantes;

42

c) a taxa de armadura da viga incrementa as tenses cisalhantes no n,

mas em contrapartida melhora as condies de ancoragem e a

formao de uma biela mais larga;

d) a taxa de estribos na ligao uma varivel importante, aumentando

a resistncia e ductilidade da ligao pelo confinamento do concreto e

pelo controle de fissurao;

e) armaduras superiores da viga ancoradas no n e detalhadas em L

apresentam melhor comportamento em relao s detalhadas em U

quando sujeitas a carregamento monotnico;

f) a relao entre altura da viga e altura do pilar penaliza a resistncia

ao cisalhamento.

Figura 2.12- Mudana das deformaes de compresso principais devido a carga axial do pilar

2.2 MODELOS TERICOS

Neste captulo sero apresentados os modelos tericos propostos por vrios

pesquisadores para clculo da resistncia ao cisalhamento e em alguns casos a o

modo de runa dos ns externos de prtico.

2.2.1 Ortiz (1993)

Com base em ensaios realizados em sete modelos variando o detalhamento

da armadura, taxa de armadura transversal, dimetro das barras de ao da viga e

43

carga axial do pilar, Ortiz (1993) props uma rotina de clculo para o

dimensionamento dos ns externos. Seu procedimento de clculo baseado em

modelo de bielas e tirantes.

Figura 2.13- Biela diagonal e foras atuantes no n. Fonte: Ortiz (1993)

A biela comprimida de concreto e as foras no contorno do n so

consideradas por Ortiz (1993) de acordo com a Figura 2.13.

O ngulo da biela comprimida de concreto com a direo horizontal dado

por:

= arctan (2.6)

onde a resultante das foras verticais provenientes da viga e do pilar em um

dos lados do n e a fora cortante atuante na ligao quando os elementos

adjacentes ao n atingem seu ELU.

= + + = + + (2.7)

= (2.8)

A capacidade do n dada por:

= 2 ( + ) (2.9)

onde + a largura total da biela diagonal e limitada a:

+ (2.10)

44

onde W pode ser calculado por:

= + (2.11)

onde a altura da linha neutra da seo da viga adjacente ao pilar; a largura da biela quando no existe armadura transversal (estribo) e definida como:

= 0,45 (2.12)

corresponde a contribuio dos estribos, mas depende da resistncia do concreto e dado por:

=

2 (2.13)

onde a rea de estribos efetivos na ligao e a tenso de escoamento dos

estribos. Ortiz (1993) considera somente os estribos efetivos como aqueles

posicionados acima da linha neutra da viga.

Portanto a resistncia ao cisalhamento pode ser tambm escrita como:

= 2 + (2.14)

Pela filosofia de projeto .

2.2.2 Parker e Bullman (1997)

Parker e Bullman (1997) propuseram um modelo de resistncia dos ns

baseado em que as foras cisalhantes atuantes so resistidas por campos de

compresso ou bielas comprimidas. De forma geral, outros pesquisadores adotam a

inclinao destas bielas considerando a geometria ou esforos solicitantes no n. No

entanto Paker e Bullman (1997) definem uma inclinao crtica a qual oferece a

mxima rigidez ao cisalhamento para ns sem estribos. Esta inclinao pode ser

dada por:

Para < 0,5, = (1 /2) (2.15)

45

Para > 0,5, = (1/ + (2 0,75)/(63 + 2,5))

= / (2.16)

= 0,8 0,8 (2.17)

onde a altura efetiva da viga, a altura til do pilar e o raio de dobra das

armaduras tracionadas da viga tomado como positivo para barras dobradas a 90

para baixo e negativo para barras dobradas para cima.

A resistncia do n ao cisalhamento dada pela Equao (2.18) em funo

da armadura e da fora axial do pilar.

1 = + (2.18)

A resistncia do n limitada pela resistncia do concreto, dando:

2 = 0,8 (2.19) Onde:

= (1 )/( + 1/) (2.20)

= 0,7

200 0,5 (2.21)

A resistncia do n pode ento ser incrementada com a presena de estribos.

Assim sua resistncia com estribos pode ser dada por:

3 = 2 + (/ 1) (2.22) onde o espaamento dos estribos.

No caso da presena de estribos, a resistncia ao cisalhamento no pode

exceder um valor mximo baseado na resistncia das bielas de concreto entre

estribos, dada pela seguinte equao:

4 = 2 (2.23) onde um fator de eficincia que tomado como:

= (0,9 )/( ) (2.24)

46

De modo geral, o modelo proposto por Parker e Bullman (1997) pode ser

resumido da seguinte forma:

a) Calcula-se a resistncia ao cisalhamento dada por 1 [Equao

(2.18)], mas no maior que 2 [Equao (2.19)] quando estribos no

so detalhados ou quando ignorados;

b) Calcula-se a resistncia ao cisalhamento dada por 1 [Equao

(2.18)], mas no maior que 3 [Equao (2.22)] e no maior que 4

segundo Equao (2.23) quando estribos so detalhados.

2.2.3 Hwang e Lee (1999)

Hwang e Lee (1999) propuseram um modelo interessante baseado na teoria

de bielas e tirantes, satisfazendo as equaes de equilbrio, compatibilidade e leis

constitutivas do concreto fissurado. Em suas pesquisas consideraram o

comportamento resistente do n baseado em trs mecanismos (Figura 2.14): biela

diagonal, trelia com mecanismo horizontal e trelia com mecanismo vertical.

Figura 2.14 - Mecanismos resistentes do n.

O mecanismo de biela diagonal se constitui de uma nica biela cuja

inclinao aproximada como:

12 (2.25)

47

onde 1 e 2 so as distncias entre os centros geomtricos das armaduras da viga

e do pilar respectivamente na regio do n.

A rea efetiva da biela comprimida de concreto definida como:

= (2.26) onde a largura da biela e aproximada pela seguinte expresso:

= (0,25 + 0,85

) (2.27)

onde a fora normal atuando no pilar; a resistncia a compresso do

concreto, a rea bruta da seo do pilar; a altura do pilar na direo do

carregamento e a largura da biela tomada como a largura efetiva do n como

define o ACI 352(2002).

Com referncia ao mecanismo de trelia horizontal, este consiste de um

tirante horizontal e duas bielas comprimidas de concreto com uma menor inclinao

do que a biela diagonal. Os estribos horizontais constituem os tirantes, e segundo

Hwang e Lee (1999) somente os estribos posicionados acima da meia altura do n

so realmente efetivos no computo da rea de ao horizontal da ligao, e os outros

estribos so includos com uma minorao da rea em 50%.

O mecanismo de trelia vertical possui um tirante vertical e duas bielas

comprimidas mais ngremes do que a biela diagonal principal. Os tirantes verticais

so formados pela armadura longitudinal do pilar.

Do equilbrio de foras, a parcela horizontal do esforo cortante no n dada

da seguinte forma:

= cos() + + () (2.28) = sen() + () + (2.29)

Os valores e so assumidos como sendo:

= =2 () 1

3 0 1 (2.30)

= =2 () 1

3 0 1 (2.31)

48

onde a frao da fora cisalhante horizontal resistida pelo mecanismo horizontal

na ausncia de armaduras verticais (armaduras intermedirias nas faces dos pilares)

e a frao da fora cisalhante vertical resistida pelo mecanismo vertical na

ausncia do mecanismo horizontal (estribos).

Baseados nas equaes anteriormente expostas, os autores definiram taxas

da fora cortante horizontal , e definidas pelas seguintes expresses:

=(1 ) (1 )

1 (2.32)

= (1 )1

(2.33)

= (1 )1

(2.34)

A Figura 2.15 ilustra as relaes entre as foras cortantes resistentes de

cada mecanismo em funo do ngulo da biela . Quando = 45, o mecanismo

diagonal suporta a maior frao da fora cisalhante, isto = 0,5.

Figura 2.15-Relao entre foras de cada mecanismo.

Para avaliar se a resistncia do n ao esmagamento atingida a tenso

mxima na regio nodal dada por:

49

, =1

+cos 12 2

cos 12 2

+cos 12 2

12 2

(2.35)

Sabe-se que o concreto em zonas fissuradas apresenta resistncia e rigidez

menores que o concreto submetido apenas compresso uniaxial, em virtude dos

efeitos de trao da armadura que o atravessa. Este fenmeno nomeado aqui como

amolecimento do concreto um dos responsveis pelo comportamento ao

cisalhamento do n segundo Hwang e Lee (1999). O ramo ascendente da curva

tenso versus deformao do concreto amolecido (Figura 2.16) dado pela seguinte

equao:

= 2

2 para

1 (2.36)

= 5,8

1

1 + 400

0,9

1 + 400 (2.37)

onde tenso mdia de compresso no concreto na direo diagonal (d); o

coeficiente de amolecimento; e so as deformaes mdias nas direes d e r

respectivamente; a deformao correspondente a tenso mxima de

compresso do cilindro de concreto, a qual pode ser estimada por:

= 0,002 0,001( 20

80) para 20 100 (2.38)

A resistncia ao cisalhamento atingida sempre que a tenso e a

deformao na biela diagonal comprimida de concreto esto em conformidade com

as seguintes equaes:

= . (2.39) = . (2.40)

50

Figura 2.16-"Amolecimento" do concreto devido a traes diagonais na ligao.Fonte: Alva, G. S.

(2004)

Desprezando o efeito da rigidez a trao do concreto, o comportamento do

ao pode ser aproximado como sendo elasto-plstico perfeito, e as relaes entre as

foras resultantes nas armaduras transversais e as deformaes de trao podem

ser dadas por:

= (2.41)

= (2.42)

onde e so as deformaes na armadura horizontal (estribos) e vertical

(armadura do pilar) respectivamente; o mdulo de elasticidade do ao; e

so as foras de escoamento dos tirantes horizontal e vertical respectivamente;

e so as reas dos tirantes horizontal e vertical respectivamente.

So duas as equaes de compatibilidade que relacionam as deformaes

mdias nos diferentes sistemas de coordenadas (r-d versus h-v). Conhecendo a

direo das tenses principais de compresso , a deformao principal de trao

pode ser correlacionada com a deformao horizontal , a deformao vertical e

com a deformao principal de compresso da seguinte forma:

= + ( ) cotg2 (2.43) = + ( ) tg2 (2.44)

51

O procedimento proposto por Hwang e Lee (1999) inicia-se com a adoo de

um valor inicial para a fora cisalhante horizontal seguido de trs etapas:

a) Resolve-se as equaes de equilbrio para encontrar a tenso de compresso

, atuando na direo d. Assumindo que a resistncia do concreto tenha

sido atingida, um valor para o coeficiente de amolecimento obtido atravs

de = ,/;

b) As leis constitutivas so aplicadas para calcular as deformaes das bielas e

tirantes;

c) Aplicam-se as condies de compatibilidade para se calcular um novo valor

de . Se o valor calculado inicialmente pelas equaes de equilbrio for

prximo deste ltimo valor calculado para , ento a resistncia ao

cisalhamento do n, caso contrrio volta-se a iterao e prope-se um novo

valor para .

Em funo do nmero de variveis, cinco situaes de clculo so possveis

para a determinao de e que levam a cinco tipos de comportamento a ruptura

para as ligaes:

Tipo E: A biela comprimida de concreto atinge sua resistncia e os tirantes horizontal e vertical permanecem no seu regime elstico;

Tipo YH: Ocorre escoamento da armadura horizontal e a resistncia ao cisalhamento passa a ser proveniente dos mecanismos diagonal e vertical;

Tipo YV: Ocorre escoamento da armadura vertical e a resistncia ao cisalhamento passa a ser proveniente dos mecanismos diagonal e horizontal;

Tipo YHV: O tirante horizontal atinge o escoamento seguido do tirante vertical, antes que a biela atinja sua capacidade ultima;

Tipo YVH: O tirante vertical atinge o escoamento seguido do tirante horizontal, antes que a biela atinja sua capacidade ultima.

2.2.4 Vollum e Newman (1999)

Os autores propem um mtodo simples baseado na sua anlise de dados

experimentais. Assim, segundo os autores um valor mais realstico proposto para

pela equao (2.45), e a resistncia do n dada pela equao (2.46).

52

= 0,642 1 + 0,5552 (2.45)

= + ( ) (2.46) onde igual a 1,0 para detalhamentos das barras longitudinais da viga em L, e 0,9

para detalhamento em U; um coeficiente que depende de fatores que incluem

carga axial do pilar, resistncia do concreto, taxa de estribos e relao geomtrica

do n, tomado como igual a 0,2 0,5.

A resistncia ao cisalhamento deve ser limitada por:

< 0,97 1 + 0,5552 < 1,33 (2.47)

Segundo os autores, o valor calculado para pode ser amplificado em 33%

se vigas transversais existem na face do n. Um incremento deste tipo tambm

poderia teoricamente ser aplicado no limite superior de resistncia do n, no entanto

Vollum e Newman (1999) afirmam que seriam necessrios mais estudos sobre este

ponto.

2.2.5 Kim, LaFave e Song (2009)

Kim, LaFave e Song (2009) desenvolveram um modelo para clculo de

resistncia ao cisalhamento de ns usando Mtodo estimativo do parmetro

Bayesian em sua base de dados. Chegaram ento a seguinte expresso para a

resistncia ao cisalhamento (MPa):

= 1,07 () 0,15 ()0,30 ()0,75 (2.48)

na qual um parmetro que representa a geometria no plano da ligao: 1,0 para

ns internos, 0,7 para externos e 0,4 para ns de cobertura; um parmetro que

descreve a geometria da ligao na direo perpendicular ao plano: 1,0 para

ligaes com 0 ou 1 viga transversal e 1,18 para ligaes com duas vigas

transversais; ( = 1 /0,67

) considera a excentricidade da ligao (igual a 1,0

em ns com nenhuma excentricidade) onde a distncia entre o eixo da viga e do

53

pilar e a largura do pilar; um ndice da armadura transversal da ligao,

definido como ( )/ na qual a taxa volumtrica de armadura transversal

e a tenso de escoamento da armadura transversal; um ndice da

armadura da viga definido como (, ,)/ na qual , a taxa de

armadura da viga e , a tenso de escoamento da armadura da viga; a

resistncia a compresso do concreto.

2.2.6 Bakir e Boduroglu (2002)

Bakir e Boduroglu (2002a) basearam-se na idia largamente aceita de que

as ligaes externas resistem ao cisalhamento atravs de dois mecanismos como

sugerido por Paulay (1975). O primeiro dos mecanismos o de biela o qual leva em

conta a contribuio do concreto na resistncia ao cisalhamento. O segundo o

mecanismo de trelia, o qual leva em conta a contribuio dos estribos. Em seu

trabalho uma nova equao para clculo da resistncia ao cisalhamento e uma

rotina para previso do modo de falha foram feitos. Para este propsito, foi feito um

estudo paramtrico para observar a influencia das variveis chaves no

comportamento do n (resistncia do concreto, taxa de armadura do pilar, taxa de

armadura da viga, tipo de detalhamento da armadura a viga, geometria do n, taxa

de estribos na ligao, carga axial no pilar).

Para clculo da resistncia ao cisalhamento, Bakir e Boduroglu (2002a)

chegaram seguinte equao:

=0,71 100

,

0,4289

+

2

0,61 + (2.49)

onde a resistncia compresso do concreto (MPa), um parmetro que

reflete o tipo de detalhamento da armadura da viga ( = 0,85 para barras ancoradas

em U e = 1 para detalhadas em L), = 1 para barras inclinadas no n e = 1,37

para outros tipo, , a rea de ao (mm) tracionada na viga que passa pelo n,

a largura da viga (mm), a altura til da viga (mm), a largura do pilar

(mm), a altura do pilar (mm), a altura da viga (mm), a rea total de

54

estribos (mm) situados acima do banzo comprimido da viga, a tenso de

escoamento dos estribos (MPa), = 0,664 para baixa taxa de estribos, = 0,6 para

taxa de estribos mdia e = 0,37 para alta taxa de estribos. Os autores diferenciam

a taxa de estribos em baixa, mdia e alta atravs do seguinte parmetro:

=1000

(2.50)

onde:

= +

2;

< 3 : baixa taxa de estribos;

3 < < 5,5 : mdia taxa de estribos;

> 5,5: alta taxa de estribos.

extremamente importante, particularmente no caso de ligaes viga-pilar

em estruturas de concreto armado, estimar o modo de runa. Tendo isso em vista,

Bakir e Boduroglu (2002b) desenvolveram uma rotina de clculo para verificar o

modo de runa das ligaes viga pilar, sendo distinguidos 4 modos: escorregamento

da armadura da viga (P), runa do pilar (C), runa da viga(B) e runa por

cisalhamento do n (JS). O fluxograma do mtodo de previso do modo de runa

pode ser visto em Bakir e Boduroglu (2002b). Estes aplicaram tais procedimentos

para prever os modos de runa de uma base de dados de resultados experimentais

de 58 ensaios realizados em modelos de ligaes viga-pilar externos.

2.2.7 Tsonos (2002)

Tsonos considera que as foras cortantes atuantes no n so resistidas

primeiramente pela biela comprimida de concreto (Figura 2.17a), e segundo

parcialmente pelo mecanismo de trelia formado pelas armaduras horizontais e

verticais e as bielas de concreto (Figura 2.17b). Ambos os mecanismos dependem

da resistncia do ncleo de concreto.

Em seu modelo, Tsonos (2002) considera o comportamento biaxial do

ncleo de concreto do n e sugere que o trecho AB da curva apresentada na Figura

2.18 pode ser aproximado por um polinmio do 5 grau incompleto. A partir da

resistncia dos materiais e da considerao desta aproximao para o trecho AB, o

55

autor chega a Equao (2.51). A soluo fisicamente vlida da equao para valores

de (Equao (2.56)) d a resistncia ao cisalhamento da ligao.

Figura 2.17- Mecanismos resistentes do n. Adaptado de Tsonos, A. G. (2002)

Figura 2.18 Representao da curva AB de resistncia do concreto em estado biaxial de tenses por uma curva do 5 grau e estado de tenses de um elemento no ncleo do n

( + )5 + 10 10 = 1 (2.51)

onde:

=.

2 (2.52)

56

=.

21 +

42

(2.53)

= . (2.54)

= 1 +.

(2.55)

=

(2.56)

=

(2.57)

=.

(2.58)

: tenso de cisalhamento expressa como mltipla de ;

2.2.8 Hegger, Sherif e Roeser(2003)

Hegger, Sherif e Roeser (2003) desenvolveram um modelo para clculo da

resistncia ao cisalhamento das ligaes viga-pilar como tambm o modo de

colapso, usando parmetros que influenciam na resistncia ao cisalhamento da

ligao. Os autores decidiram desenvolver um modelo semi-emprico, com o qual

levam em conta diferentes fatores, mas ao mesmo tempo adequado para aplicaes

em projeto. A fora resistente do n externo pode ser atribuda resistncia do

concreto e a resistncia proveniente da armadura transversal . Assim sendo:

= + (2.59)

Para examinar os efeitos dos diferentes parmetros individualmente, pode

ser expresso da seguinte forma:

= 1. . . . . (2.60) onde 1 um fator que reflete a eficincia da ancoragem da armadura longitudinal

da viga (1 = 0,85 para gancho 180 e 1 = 0,95 para gancho 90), um fator

que leva em conta a geometria da ligao, reflete a taxa de armadura do pilar

() e C depende da resistncia compresso do concreto. A taxa de armadura do

57

pilar calculada como sendo a rea total de ao nas faces interna e externa do pilar

dividida pela rea da seo transversal do pilar.

A resistncia ao cisalhamento proveniente dos estribos pode ser

expressa por:

= 2. . (2.61) onde 2 um fator de eficincia para as armaduras transversais (Tabela 2.1),

a rea de ao transversal efetiva na ligao considerada como sendo a rea acima

do banzo comprimido da viga. Tabela 2.1-Valores sugeridos para 2

Detalhe Estribos fechados Estribos abertos

Gancho 90 0,6 0,7

Gancho 180 0,5 0,6 Fonte: Hegger, Sherif e Roeser (2003)

Hegger, Sherif e Roeser (2003) propem as seguintes equaes para

clculo dos fatores , , :

= 1, ,2 0,3

para 0,75

2,0 (2.62)

= 1,0 + 0,5

7,5 para

0,5 2,0% (2.63)

= 2 3 para 20 100 (2.64)

A resistncia ao cisalhamento definida pela Equao (2.59) limitada a um

valor mximo que depende principalmente do tipo de ancoragem, da carga axial no

pilar e da esbeltez da ligao:

= 1.2. 3. 0,25.. . 2 (2.65) onde 1 = 1,0 para ancoragem com gancho e 1 = 1,2 para ancoragem com placa,

2 est relacionado com a carga axial no pilar e 3leva em conta a esbeltez do n.

2 = 1,5 1,2

1,0 (2.66)

58

3 = 1,9 0,6

1,0 (2.67)

onde a tenso axial mdia na seo transversal do pilar dada por:

=

(2.68)

e a rea da seo transversal do pilar.

2.2.9 Russo e Somma (2004)

Russo e Somma (2004) examinaram o comportamento na ruptura de 50 ns

externos ensaiados por diversos autores, desde 1967 a 2000, e propuseram um

modelo para clculo de resistncia ao cisalhamento de ns externos sujeitos a

aes ssmicas. Todos estes ensaios foram feitos com a aplicao de uma carga

concentrada alternada na extremidade do elemento de viga e sempre com o pilar

carregado.

Em seu trabalho uma expresso analtica proposta, com base nos

mecanismos resistentes que se contrapem a expanso volumtrica do n sempre

observada em ensaios. Os autores consideram que existe uma ao confinante

vertical, ao longo do eixo do pilar, que garantida pela carga axial do pilar, , e

pelas armaduras verticais (passivas) deste consideradas distribudas ao longo de

toda a seo, . A expanso horizontal combatida por um confinamento passivo

proveniente da armadura da viga ancorada na regio do n e pelos estribos, , e

, respectivamente. A expresso proposta pelos autores para resistncia ao

cisalhamento de ns externos :

= , + , + , (2.69) onde , a contribuio ao cisalhamento proveniente do concreto () e pelas

armaduras passivas verticais (), , a contribuio da armadura longitudinal da

viga, e , a contribuio proveniente dos estribos transversais no n. A

expresso final proposta pelos autores :

59

=

31 +

+

+1

23,, + (2.70)

=

2 (2.71)

= 0,214 0,69 (2.72)

onde: a ao vertical mxima obtida quando as armaduras do pilar esto

escoando; a resistncia trao do concreto; , a rea de ao tracionado

da viga; , a tenso de escoamento das armaduras longitudinais da viga;

a tenso de escoamento dos estribos; a rea total de estribos; a rea

total de armadura do pilar; a tenso de escoamento das armaduras do pilar.

A expresso analtica proposta por Russo e Somma (2004) leva em conta a

reduo da resistncia trao do concreto devido ao estado biaxial de tenses

existente no interior do n. Em contrapartida, o efeito de confinamento provocado

pela carga axial do pilar e suas armaduras aumentam a resistncia do n.

2.3 RESUMO

Apresentaram-se algumas das principais variveis influentes no

comportamento do n externo. de se esperar que por causa do tamanho e da

complexidade do assunto que no exista concordncia no entendimento desse

comportamento entre os pesquisadores. Muitas so as variveis e dados

experimentais disponveis na literatura abrindo espao para muitas interpretaes. O

mais difcil no entendimento do n como tambm do cisalhamento isolar a

influncia das variveis e de certa forma desconsiderar que elas coexistam e sejam

interdependentes.

Os modelos propostos presentes na literatura apresentados trazem

conceitos e consideraes importantes de seus autores, sendo cada um deles

desenvolvido diferentemente: ora de maneira analtica, emprica ou semi-emprica.

Independente disto, eles possuem restries e campos de aplicao. Estes modelos

tericos sero investigados a fim de detectar as deficincias e pontos fortes de cada

um.

60

61

3 SIMULAO NUMRICA

3.1 INTRODUO

Simulaes numricas so teis quando se dispe de pouco ou nenhum

resultado experimental e pretende-se fazer extrapolao de resultados para o

entendimento do comportamento do elemento estrutural. No caso da ligao viga-

pilar, extremamente importante entender o seu comportamento frente s variveis

apresentadas em itens anteriores para s ento se propor um modelo terico para

clculo de resistncia ao cisalhamento. Este entendimento, neste trabalho, parte da

anlise dos resultados de modelos numricos.

Para dar validade as consideraes tomadas nos modelos numricos,

prope-se neste item a simulao numrica de modelos experimentais de ligao

viga-pilar. A preocupao desta validao parte do princpio de tornar os modelos

numricos os mais confiveis possveis e da poder julgar com confiana os

resultados dos demais casos de ligao viga-pilar que sero vistos (variao na

geometria da ligao, nvel de fora normal do pilar, taxa de estribos e taxa de

armadura da viga).

Os modelos experimentais de ligaes viga-pilar externos ensaiados por

Haach (2005), Wong (2005) e Antonopoulos e Triantafillou (2003) foram simulados

utilizando o software comercial DIANA que dispe de ferramentas baseadas no

mtodo dos elementos finitos e que oferece um modelo de comportamento fsico do

concreto no linear considerando a fissurao do material. Este software vem sendo

desenvolvido desde 1972, pela Delf University of Technology na Holanda

Os modelos experimentais foram escolhidos tendo como critrio principal o

modo de ruptura do n. Outra caracterstica comum a todos os modelos

experimentais adotados que eles no apresentaram falha de ancoragem antes da

runa do n. Alguns modelos experimentais apresentam estribos na ligao (Haach,

2005), menor resistncia do concreto (Antonopoulos e Triantafillou, 2003) e grande

taxa de armadura da viga e pilar (Wong e Kuang, 2008).

62

Para todas as simulaes numricas, foi adotada a aproximao de

fissurao distribuda para o material concreto. Os modelos de fissurao distribuda

podem ser resumidamente descritos como um mtodo no qual o material em um

elemento passa a ter novas propriedades mecnicas, com menor rigidez, quando

um critrio de fissurao atingido. Portanto, nenhuma fissura fsica introduzida

no modelo, como no caso da aproximao de fissuras discretas. No modelo de

fissurao distribuda, o material considerado como contnuo enquanto o

carregamento gradualmente se processa, mas localmente a rigidez reduzida.

Descries dos modelos aplicados para os materiais sero mais detalhadas nos

prximos itens.

3.2 PROPRIEDADES GERAIS DOS MODELOS NUMRICOS

Neste item, falar-se-o dos modelos de material para o ao e concreto,

condies de contorno e malha de elementos finitos. Pretende-se assim apresentar

um quadro geral das consideraes feitas na modelagem para a simulao dos trs

modelos experimentais.

3.2.1 Propriedades dos materiais

3.2.1.1 Concreto

Para esta simulao, foi adotado para o concreto o modelo de fissurao fixa

baseado na deformao total (Total Strain Fixed Crack Model) disponvel no

programa DIANA. No modelo com fissurao fixa, a direo de formao de

fissuras fica fixa na direo da primeira fissura formada (direo das tenses

principais). Desta maneira, uma vez que o critrio de ruptura seja atingido, a direo

da fissura e posio so guardadas e usadas nos prximos incrementos de carga.

Da se diz que o conceito de fissura fixa preserva na memria do material a

orientao dos danos. O modelo constitutivo baseado na deformao total foi

desenvolvido considerando a Teoria de Campo Modificado de Compresso,

originalmente proposta por Vecchio e Collins (1986). Os dados de entrada para este

modelo compreendem dois pacotes: as propriedades bsicas do material elstico

linear (mdulo de elasticidade e coeficiente de poisson) e a definio do

comportamento a trao, cisalhamento e compresso. Para todos os modelos

63

numricos o mdulo de elasticidade foi calculado segundo formulao do CEB 90,

excetuando-se aqueles em que o autor disponibilizou dados experimentais.

No concreto armado, devido ao enrijecimento trao proporcionado pela

aderncia, a reduo da tenso de trao normal ao plano de fissura no se d de

maneira total, mas de modo progressivo com o aumento das deformaes. A curva

de enrijecimento a trao do concreto em um estado uniaxial foi adotada como

sendo linear e o mdulo de elasticidade igual ao modulo de elasticidade a

compresso. Esta curva baseada na energia de fratura a trao do concreto

(Figura 3.1). Outros parmetros para definio do comportamento a trao so a

prpria resistncia trao do concreto e largura de banda de fissurao.

Figura 3.1 - Modelo de enrijecimento trao do concreto

A energia de fratura a trao a energia necessria para a propagao de

uma fissura de rea unitria. Segundo o CEB 90 pode ser estimada por:

= (/10)0,7 [N.mm/mm] (3.1)

onde:

= 0,0250,0300,038

[N.mm/mm] para dimetros maximos de agregado () = 8

16 32

Esta equao foi proposta por Hilsdorf e Brameshuber (1991) e baseada

em um estudo emprico de resultados experimentais.

Pela rea da curva tenso-deformao apresentada pelo DIANA, podemos

fazer a largura de banda de fissurao igual a:

64

=

2 =

2

onde a resistncia trao do concreto e a deformao ultima do concreto

a trao.

Uma vez conhecida a resistncia compresso do concreto (pode-se

calcular a resistncia a trao segundo o CEB-FIP Cdigo Modelo 1990) e adotando

= 0,238 % (deformao a nvel de escoamento de uma barra de CA50), pode-se

ento estimar um valor para a largura de banda de fissurao. Um valor nico e

igual a 18,68 mm (valor exato equivalente a um concreto de 30 MPa) foi adotado

para a largura de banda de fissurao para todos os modelos numricos, tentando

assim isolar esta varivel da calibrao dos modelos numricos. Foi verificado que

este valor no variaria significativamente para diferentes valores de resistncia a

compresso entre 20 e 30 MPa.

Nos casos em que a resistncia compresso do cubo de concreto foi dada

pelo autor, a resistncia equivalente em cilindro foi estimada por:

= 0,8 , [MPa] (3.2)

O CEB-FIP Cdigo Modelo 1990 estabelece que quando a resistncia real

do concreto aos 28 dias () conhecida pode-se estimar o modulo de elasticidade

() como sendo:

= 21,5 (/10)1/3 [GPa] (3.3)

O valor mdio da resistncia a trao dado como funo do valor do valor

caracterstico da resistncia a compresso. Aqui, a resistncia a trao e estimada

por troca do valor caracterstico a compresso pelo valor medido (), o que d:

= 1,4 (/10)2/3 [MPa] (3.4)

O comportamento do concreto ao cisalhamento foi simulado pelo DIANA

levando em conta um modelo de reteno ao cisalhamento. O surgimento de

fissuras reduz a rigidez ao cisalhamento das estruturas de concreto, no entanto o

concreto armado aps a fissurao ainda consegue transferir foras cisalhantes por

65

meio do engrenamento de agregados ou atrito e efeito pino das armaduras. No

DIANA, o mdulo de rigidez ao cisalhamento , assim, reduzido a , onde o

fator de reteno ao cisalhamento (com 0,01 0,99), admitido constante para

todas as simulaes numricas feitas neste trabalho (ver Figura 3.2).

Figura 3.2 - Fator de reteno ao cisalhamento

Foi feita uma anlise da influncia deste parmetro em simulaes

numricas com modo de runa segundo fissurao diagonal do n. Variou-se o de

0,01 e 0,99 (domnio de valores para o fator de reteno de cisalhamento) segundo

seis simulaes numricas. Os resultados desta anlise sero discutidos nos

prximos itens. De maneira geral, foi adotado um igual a 0,2 para todas as

simulaes numricas.

O comportamento da curva tenso-deformao do concreto a compresso

uniaxial foi tomado como sendo parablico segundo funo pr-definida pelo

DIANA (ver Figura 3.3a). A curva parablica baseada na energia de fratura a

compresso do concreto e pela largura de banda de fissurao (como definida

anteriormente). Para clculo da energia de fratura considerou-se a rea da regio

ps-pico sob a curva tenso-deformao apresentada pelo EUROCODE 2 (ver

Figura 3.3b).

Para todos os modelos numricos traavam-se as curvas tenso-

deformao do EUROCODE 2, definida pela seguinte funo:

= 1

12

1 + ( 2) 1 (3.5)

onde:

66

= 1,1 1

;

1- deformao correspondente ao pico de tenso.

(a) (b)

Figura 3.3 - Curva tenso-deformao do concreto a compresso uniaxial: (a) Curva adotada no DIANA; (b) Curva adotada do EUROCODE 2

A rea sob a curva tenso-deformao do EUROCODE 2 no intervalor

[1, 1] era tomada como sendo igual a /, e por sua vez este valor era inserido

na curva do modelo parablico do DIANA. Esta curva parablica definida pela

seguinte funo:

=

13/3

13 1 + 4

/31 /3

2 /31 /3

2

1 11 1

2

0

se /3 > 0

(3.6) se 1 > /3

se 1 > 1

se 1

Outro fenmeno importante para a simulao da ligao viga-pilar foi a

considerao do comportamento biaxial do concreto. Aps a fissurao do concreto,

o concreto paralelo direo da fissura ainda capaz de resistir a compresso ou a

trao. No caso da compresso, resultados experimentais mostram que as fissuras

causam dano ao concreto e que estas degradam no somente a resistncia, mas

tambm a rigidez a compresso. Portanto, nesta situao o concreto sofre um

67

amolecimento, com valores de resistncia e rigidez menores do que ensaio de um

cilindro padro. Para considerao desse fenmeno, foi adotado um modelo da

biblioteca do DIANA baseado no trabalho de Vecchio e Collins (1993).

Figura 3.4 Modelo de amolecimento proposto por Vecchio e Collins (1993)

Foi adotado um modelo de confinamento do concreto no DIANA que

descreve o aumento da resistncia compresso do concreto por causa do

confinamento lateral proposto por Selby e Vecchio (1993).

3.2.1.2 Ao

O material ao foi adotado como tendo comportamento elasto-plstico

perfeito (Figura 3.5), com comportamento igual na trao e compresso, e critrio de

plastificao de Von Mises.

Figura 3.5 - Comportamento elasto-plstico

68

3.2.2 Malha e elementos fi