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Desenvolvimento de ferramenta matemática para o estudo da viga de
Bernoulli por meio do MEF – Métodos dos Elementos Finitos
Eric M. F. Bezerra, Ruan M. O. de Freitas, Jonathas I. F. de Oliveira, Raimundo G. de
Amorim Neto UFERSA - Departamento de Ciências Ambientais e Tecnológicas,
DCAT - Campus Leste
59.625-900, Mossoró, RN
E-mail: [email protected], [email protected], [email protected], [email protected],
Flaviana M. de S. Amorim Faculdade de Ciências e Tecnologia Mater Christi
59611-030, Mossoró, RN
E-mail: [email protected]
Palavras-chave: MEF, viga de Bernoulli, modelagem matemática-computacional
Resumo: O tipo de peça estrutural mais comumente usada na engenharia civil é a viga. Esta se
mostra como um elemento horizontal linear onde as cargas agem provocando a tendência de flexão
ao longo de seu plano de atuação. O estudo deste tipo de estrutura é fundamental para a estruturação
de edifício de múltiplos pavimentos e quase todo tipo de obra. Este trabalho busca estudar o
comportamento mecânico destas peças por meio de implementação computacional das equações
diferenciais governantes do problema. Para tanto, faz o uso da estratégia numérica do método dos
elementos finitos (MEF), que consiste em particionar o domínio da peça e garantir a compatibilidade
de deslocamentos por meio de funções polinomiais aproximadoras. Os resultados numéricos
comprovam a potencialidade de usar este método como forma solucionar os problemas de vigas.
1 Introdução
Vigas são elementos estruturais esbeltos cujo carregamento age perpendicular ao seu eixo longitudinal
resultando a flexão, que tende a deformar o mesmo em forma de uma curva, conforme se observa em
[3]. A equação da curvatura dessa deformação é dada por:
Podemos expressar a deflexão a partir de relações diferenciais com os esforços internos. A análise é
feita para o momento fletor, que trata-se do esforço preponderante nas mesmas. Sabendo que a
curvatura de um elemento diferencial de uma viga é dada pela razão do momento interno pelo módulo
de resistência a flexão, obtemos a seguinte expressão
Como a inclinação da linha elástica é pequena, seu quadrado será desprezível. Logo, da equação (2)
resulta:
Os esforços internos são obtidos analiticamente tomando-se uma seção a uma distância arbitrária ao
longo da viga, onde os esforços são provenientes de um sistema equivalente de forças que objetiva
manter o equilíbrio da viga. Ampliada a complexidade das estruturas, no que diz respeito à geometria,
ao carregamento, as condições de contorno, etc., o tratamento analítico se torna não usual (por vezes
impraticável), tendo em vista a grande dificuldade da resolução destas equações diferenciais,
consideradas por muitos até impossíveis. Dessa forma, faz-se necessário obter uma um método que
determine esses valores com uma aproximação aceitável.
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2 Metodologia
O Método dos Elementos Finitos (MEF) é um método numérico matricial caracterizado pela
discretização de um meio contínuo que fornece resultados aproximados para os deslocamentos da
estrutura [2]. O domínio de integração é dividido em um número finito de elementos (malha de
elementos), sendo calculando os deslocamentos em pontos da estrutura que representam a deformação
inteira da mesma de uma forma aproximada. Esses pontos são as conectividades dos elementos e são
chamados de nós. Dados os deslocamentos nodais, podemos calcular os deslocamentos para todo
elemento através da interpolação, onde para cada elemento haverá uma função de aproximação.
Figura 1: Elemento de viga
Como se tem quatro parâmetros nodais para cada elemento, ou seja, dois graus de liberdade para
cada nó, a função de interpolação é dada por um polinômio de terceiro grau. Assumindo a teoria da
viga de Euler-Bernoulli, que estabelece que o plano da seção transversal permanecerá normal a linha
neutra da viga após a deformação, podemos descrever a rotação como a derivada do deslocamento.
Aplicando-se as condições de contorno a estas duas equações, obtemos as funções de forma:
A energia potencial total de um elemento é dada como a soma do trabalho realizado pelas cargas
externas e pela energia dos esforços internos (energia de deformação). A mesma é expressa por:
Mesclando esta equação (5) com as funções de forma (4), e resolvendo-as, obtemos:
Dessa forma, com os valores dos carregamentos externos nodais, podemos obter os respectivos
deslocamentos do elemento, e, por conseguinte, os esforços internos, de forma bastante aproximada.
Essa análise é válida para todos os elementos que compõe a viga. Já que um nó será em comum a dois
elementos, podemos superpor as matrizes de cada elemento para obter a matriz global da viga.
O MEF é aplicado nas diversas áreas da ciência, e em [1] observa-se a gama possibilidades de seu
uso, destaca-se a aplicação na análise estrutural. Esse grande uso deve-se ao fato do mesmo possuir
uma conceituação simples, bem como relativa facilidade na implementação computacional,
amplificada pelo o aumento da capacidade de processamento dos mesmos ao longo das ultimas
décadas. Podemos citar aplicações tais como nas estruturas aeroespaciais, análise de tensões e térmica
de peças industriais, análise sísmica de represas, análise do escoamento de líquidos, análise de
impactos de veículos, eletromagnetismo, condução de calor, mecânica estrutural, dentre outras
diversas.
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3 Resultados e Considerações Finais
De modo a validar o código, bem como mostrar suas vantagens, será feita a resolução de um problema
através do programa implementado e em seguida, a solução será comparada com a fornecida pelo
método analítico.
O problema consta em uma viga em balanço de comprimento de 5m e está submetida a uma carga
concentrada de 1 kN em uma de suas extremidade. A mesma possui área de seção transversal
constante ao longo do seu eixo longitudinal e o valor do seu módulo de elasticidade igual a 205 GPa.
A seção é retangular com largura de 20 cm e altura de 50 cm. Com base nisso, deve-se determinar os
esforços internos (cortante e momento fletor) e os deslocamentos da viga com sua respectiva
inclinação.
Figura 2: Viga em balanço
A tabela abaixo fornece a solução do problema de forma exata, pelo método analítico manual, e a
solução pelo programa, feito usando-se uma malha com vinte elementos. Os resultados dos esforços
internos são dados no engaste da viga (x=0). Já os valores para a deflexão e sua respectiva inclinação
são dados na extremidade livre da viga (x=5m).
Analítico Programa
Deflexão (mm) -0,01
-0,01
Inclinação (rad) -2,9x10-5
-2,9x10-5
Momento fletor (kN.m) -5 -5
Esforço cortante (kN) 1 1
Tabela 1: Resultados do problema proposto
A aproximação dos valores será ampliada quanto maior for o número de elementos usados na
malha. Em contrapartida, ampliado o número de elementos na discretização da viga, aumenta-se o
número de processos, exigindo maior capacidade de processamentos da máquina. Outra forma de se
ampliar a aproximação dos resultados seria aumentando o grau da função de interpolação. Para esse
exemplo clássico, a discretização em vinte elementos mostrou-se adequada.
Tendo em vista os aspectos observados, o programa mostra-se vantajoso em relação aos métodos
analíticos, já que a resolução manual torna-se demasiadamente cansativa para problemas mais
complexos, sendo assim maximizadas as chances de erros. Com o programa em questão, pode-se obter
resultados para problemas complexos com significativa aproximação, ao custo de uma relativa
simplicidade na implementação computacional.
Referências
[1] A.J.M. Ferreira, “Matlab Codes for Finite Element Analysis”, Springer, Porto, 2008.
[2] T. Belytschko, “Um primeiro curso em Elementos Finitos”, LTC, Rio de Janeiro, 2009.
[3] R.C. Hibbeler, “Structural Analysis”, Pearson Prentice Hall, New Jersey, 2012.
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