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Introduo ao Mtodo dos Elementos Finitos aplicado Anlise EstruturalAula 03: Formulao do elemento de barra, Anlise de trelias usando o FEMAP/Nastran.Prof. Armando S Ribeiro Jnior Prof. Carlos Augusto de Souza

Salvador, outubro de 2006

UFBA - Escola Politcnica - DCE

1

Seqncia de Apresentao da Aula 03Definio do elemento; Deduo da matriz de rigidez do elemento; Montagem e soluo do sistema de equaes; Transformao de coordenadas Soluo de problemas de trelias usando o FEMAP/Nastran

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Formulao do elemento de barraBARRA SOB TRAOA E

P l

x

Comprimento l rea de seo transversal A Carga axial P Material homogneo, isotrpico e linearUFBA - Escola Politcnica - DCE 3

Barra discretizada

P l

x

e1 u1L

A 2 u2 1 x u1

eL

2 u2 x

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Formulao do elemento de barraElemento e rea da seo transversal A, comprimento L Dois graus de liberdade: u1 e u2 Foras nodais associadas aos graus de liberdade: P1 e P2

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5

Formulao do elemento de barraForas nodais no elemento e1P1 L

A 2P2

Equao de equilbrio na direo x P2 = -P1

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Formulao do elemento de barraEquao Constitutiva (relao tenso-deformao ou lei de Hooke unidimensional):

x = E x , sendo x tenso normal E mdulo de elasticidade x deformao axialUFBA - Escola Politcnica - DCE 7

Formulao do elemento de barraRelao deformao-deslocamento

du( x) x = dxConsiderando a deformao x constante ao longo do elemento

x =

LL

L variao do comprimento do elemento, devido ao das foras nodaisUFBA - Escola Politcnica - DCE 8

Formulao do elemento de barraEm termos dos deslocamentos nodais

u2 u1 x = L1 P1 L x A x A 2 P2

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Formulao do elemento de barraPor equilbrio P1 = -x A P2 = x A Usando a Lei de Hooke P1 = -E A x P2 = E A xUFBA - Escola Politcnica - DCE 10

Formulao do elemento de barraComou2 u1 x = L

entoEA P = (u2 u1 ) 1 LEA P2 = (u2 u1 ) LUFBA - Escola Politcnica - DCE 11

Formulao do elemento de barraNa forma matricialE A 1 1 u1 P 1 = L 1 1 u2 P2 EA 1 1 K = L 1 1 e

ou

[K ]{u }= {P }e e e

matriz de rigidez do elemento vetor de carga do elemento vetor dos deslocamentos nodais do elementoUFBA - Escola Politcnica - DCE 12

{ }e

P1 Pe = P2 u1 = u 2

{u }

Superposio dos Elementos de BarraElementos usados na discretizao da barra sob trao1 1 u1 L1 A1 2 u2 2 3 u3 L2 A2 4 u4 5 u5 L3 3 A3 6 u6

As equaes para cada um dos elementos de barra so P1 E 1 A1 = L1 P2 1 1 u1 1 1 u 2 P5 E 3 A3 = L3 P6

P3 E 2 A2 = L2 P4 1 1 u 5 1 1 u 6

1 1 u 3 1 1 u 4

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Superposio dos Elementos de BarraSuperposio em uma nica matriz, com apenas 4 deslocamentos nodais independentes, pois u3 = u2 e u4 = u5

= 4 x1

4 x4

u1 u 2 u 4 u 6 4 x 1

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Superposio dos Elementos de BarraPrimeiro elemento finito P1 P E A 2 1 1 = L1 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 u1 u 2 u 4 u 6

Segundo elemento finito0 P E A 3 2 2 = L2 P4 0 0 0 0 0 1 1 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 u1 u 2 u 4 u6 15

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Superposio dos Elementos de BarraTerceiro elemento finito

0 0 E A = 3 3 L3 P5 P6

0 0 0 0

0 0 0 1 1 0 1 1 0 0 0 0

u1 u 2 u4 u6

Adicionando-se as trs matrizes obtm-se a:

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Superposio dos Elementos de BarraEQUAO DE ELEMENTOS FINITOS PARA TODA A BARRA E 1 A1 L 1 P1 E A 1 1 P + P 2 L1 3 = P4 + P5 0 P6 0 E 1 A1 L1 E 1 A1 E 2 A2 + L1 L2 E 2 A2 L2 0 0 E 2 A2 L2 E 2 A2 E 3 A3 + L2 L3 E 3 A3 L3 u1 0 u 2 E 3 A3 u 4 L3 u 6 E 3 A3 L3 0

ou

{ P } = [ K ] {u }G G G

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Superposio dos Elementos de Barraonde: [KG ]: matriz de rigidez global da estrutura [KG ]: vetor de carga global1 1 0 0 {uG }: vetor globalde deslocamentos nodais, ou vetor E A 1 2 1 0 G soluo [do ]problema. K = L 0 0 1 0 2 1 1 1

Barra discretizada com elementos iguais: mesmo A, L, EUFBA - Escola Politcnica - DCE 18

Superposio dos Elementos de Barra

Barra discretizada com elementos iguais: mesmo A, L, E

[

KG

]

1 1 E A = L 0 0

1 2 1 0

0 1 2 1

0 0 1 1

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Superposio dos Elementos de BarraPropriedades da matriz de rigidez: simtrica; valores no nulos na diagonal principal; matriz banda; Para uma barra submetida uma carga P na extremidade P1, P2 , P3 , P4 e P5 so nulas e P6 = P

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Superposio dos Elementos de BarraAssim, a equao de elementos finitos escrita como 1 1 0 0 u1 0 E A 1 2 1 0 u2 0 = L 0 1 2 1 u4 0 0 0 1 1 u P 6

matriz de rigidez singular no foi imposta nenhuma vinculao

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Imposio das condies de contornoEscrevendo cada equao separadamente: u1 - u2 = 0 -u1 + 2u2 -u4 = 0 -u2 + 2u4 - u6 = 0PL u4 + u6 = EA

Como o n 1 est engastado u1 = 0, o sistema acima reescrito u1 = 0 -0 + 2u2 -u4 = 0 -u2 +2u4 -u6 =0 PL u 4 + u6 = E AUFBA - Escola Politcnica - DCE 22

Imposio das condies de contornoNotar que se u1 0, a segunda equao teria um valor diferente de zero no seu lado direito. Por exemplo, se o deslocamento do n 1 fosse prescrito, ento o sistema de equaes seria escrito como

u1 = u12u2 u4 = u1 u2 + 2u4 u6 = 0

PL u 4 + u6 = EAUFBA - Escola Politcnica - DCE 23

Imposio das condies de contornoRetornando ao sistema pode-se escrev-lo na seguinte forma matricial

1 0 0 0 u1 0 0 2 1 0 u 0 EA 2 = L 0 1 2 1 u4 0 0 0 1 1 u P 6

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Imposio das condies de contornoNotar novamente que se u1 0, a forma matricial seria

1 E A 0 L 0 0

0 0 0 u1 u1 2 1 0 u2 u1 = 1 2 1 u4 0 0 1 1 u6 P

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Resoluo do Sistema de equaesComo u1 = 0, a primeira equao pode ser descartada e o sistema de equaes pode ser escrito como

2 1 0 u2 0 EA u = 0 1 2 1 4 L 0 1 1 u6 P A soluo do sistema de equaes acima

0 u1 u P L 1 2 = E A 2 u4 3 u6 UFBA - Escola Politcnica - DCE 26

Transformao de CoordenadasSistema de coordenas global no coincidente com o eixo centroidal (anlise de trelias, por exemplo)y

A e

w2

s

A e

2

P2

s

2

L w1 1 P1 1

L

x

- Coordenada s: ao longo do eixo axial - w1 e w2 : deslocamentos nodais ao longo do eixo s - : ngulo entre o eixo s e o eixo x.UFBA - Escola Politcnica - DCE 27

Transformao de CoordenadasRelao entre o deslocamento w ao longo do elemento e suas componentes u e v nas direes x e y: w = u cos + v sen Assim, pode-se relacionar os deslocamentos nodais com suas componentes nas direes x e y:u1 0 0 v 1 w1 cos sen = w2 0 0 cos sen u2 v 2 UFBA - Escola Politcnica - DCE 28

Transformao de Coordenadase as foras nodais e suas componentes nas direes x e y

0 P1x cos P sen 0 P1 1y = cos P2 P2 x 0 P2 y 0 sen

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Transformao de CoordenadasIntroduzindo as relaes acima na equao correspondente equao do elemento de barra, agora reescrita em termos de w1 e w2 , ou seja,

EA Lobtm-secos sen 0 0

1 1 w 1 P1 1 1 w = P 2 2

0 0 EA cos L sen

1 1 cos 1 1 0

sen 0

0 cos

u1 P1x 0 v1 P1y = sen u2 P2x v 2 P2 y 30

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Transformao de CoordenadasAps as multiplicaes obtm-se cos2 cos sen cos2 cos sen u1 P x 1 sen2 sen cos sen2 v1 P y EA 1 = L sim trica cos2 cos sen u2 P2 x 2 sen v2 P2 y

A equao acima a equao para o elemento de barra em relao a um sistema de coordenadas x-y que no passa pelo seu eixo axial, o qual est inclinado em relao ao eixo x de um ngulo .UFBA - Escola Politcnica - DCE 31

Exemplos PrticosPara os exemplos a seguir: Criar um arquivo resultados.txt com as seguintes informaes: Os deslocamentos dos ns das trelias; A tenso normal mxima em cada barra; As reaes em cada apoio.

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Exemplo Prtico 1Resolver o exemplo abaixo utilizando trs elementos finitos de barra

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Exemplo Prtico 2Resolver a trelia abaixo

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Exemplo Prtico 3Resolver a trelia abaixo

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Exemplo Prtico 3Resolver a trelia abaixo

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