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Departamento de Matemática - MTMUniversidade Federal de Santa Catarina - UFSC

Notas de aula MTM 510002:Teoria de semigrupos e aplicações a EDP’s

Prof. Matheus Cheque Bortolan

Florianópolis - SC2015 - 1

Sumário

1 Análise espectral de operadores lineares 5

1.1 O operador resolvente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.2 Operadores lineares limitados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.2.1 Raio espectral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.3 Operadores duais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.4 Operadores compactos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.5 Operadores adjuntos, simétricos e auto-adjuntos . . . . . . . . . . . . . . . 21

2 Teoria de semigrupos 29

2.1 Exponencial de um operador linear limitado . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.2 Semigrupos de classe C0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2.2.1 Iterações de operadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

2.2.2 Unicidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

2.2.3 Exemplos de semigrupos e geradores infinitesimais . . . . . . . . . . 41

3 Geração de semigrupos 43

3.1 Teorema de Hille-Yosida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

3.2 Operadores dissipativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

3.3 Teorema de Lumer-Phillips . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

4 Grupos de operadores lineares 55

4.1 Teorema de Hille-Yosida para grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

4.2 Teorema de Stone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

5 Regularidade 63

5.1 Semigrupos diferenciáveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

2 SUMÁRIO

5.2 Semigrupos compactos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 665.3 Semigrupos analíticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

5.3.1 Transformada inversa de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 715.3.2 Geração de semigrupos analíticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

6 Teoremas de perturbação de geradores 79

6.1 Perturbação por operadores lineares limitados . . . . . . . . . . . . . . . . 796.2 Soma de geradores infinitesimais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 826.3 Perturbação de geradores infinitesimais de semigrupos analíticos . . . . . . 846.4 Perturbação de geradores infinitesimais de semigrupos de contração . . . . 85

7 Problema de Cauchy abstrato 89

7.1 O problema de valor inicial homogêneo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 897.2 Aplicações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

7.2.1 Equação da onda unidimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 907.2.2 Equação da onda dissipativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 947.2.3 Equação de placas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 967.2.4 Equação de Schrödinger (parte 1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 977.2.5 Equação de Schrödinger (parte 2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

7.3 O problema de Cauchy não-homogêneo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 997.4 O problema de Cauchy semilinear - caso hiperbólico . . . . . . . . . . . . . 1027.5 Exemplo: a equação do calor não-linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

A Cálculo de funções vetoriais 115

A.1 Funções analíticas vetoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115A.2 Curvas retificáveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117A.3 Integral de Riemann-Stieltjes de funções contínuas . . . . . . . . . . . . . . 119A.4 Teoremas de Cauchy e expansão em séries . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122A.5 Teorema do máximo módulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

Introdução

O objetivo destas notas é apresentar a teoria de semigrupos e a sua importância paraa teoria de equações diferenciais parciais semilineares.

Estas notas podem ser usadas como um guia para a disciplinaMTM 510002 - Teoria

de semigrupos e aplicações em EDP’s, mas isto não dispensa de maneira nenhumao estudo por meio dos livros sugeridos na ementa da disciplina.

Estas notas são baseadas em [5, 7] e também notas de aula da disciplina de AnáliseFuncional II do ICMC-USP, do professor Alexandre Nolasco de Carvalho.

4 SUMÁRIO

Capítulo

1Análise espectral de operadores lineares

Este capítulo visa oferecer uma revisão sobre operadores lineares limitados e não-limitados em espaços de Banach, para melhor entendimento da teoria de semigrupos e seusgeradores infinitesimais. Vamos estudar algumas propriedades básicas destes operadorese veremos alguns importante resultados, que serão utilizados nos capítulos a seguir.

Denotaremos por R o corpo dos números reais, C o corpo dos números complexos;além disso, R+

.= [0,∞) é o conjunto dos números reais não-negativos, K denota ambos

R ou C e X denota um espaço de Banach sobre K com norma ‖ · ‖X .Para Y um espaço vetorial normado com norma ‖·‖Y , dizemos que um operador linear

A : X → Y é limitado se existe uma constante C > 0 tal que

‖Ax‖Y 6 C‖x‖X , para todo x ∈ X. (1.0.1)

Consideramos o conjunto

L(X, Y ).= A : X → Y tal que A é um operador linear limitado,

e quando Y = X, denotamos L(X, Y ) simplesmente por L(X).

Em L(X, Y ) definimos a norma1

‖A‖L(X,Y ).= sup‖x‖X=1

‖Ax‖Y = sup‖x‖X61

‖Ax‖Y = supx6=0

‖Ax‖Y‖x‖X

.

Sabemos que L(X) com a norma ‖ · ‖L(X) é um espaço de Banach; e além disso, com

1Verifique que ‖ · ‖L(X,Y ) define de fato uma norma em L(X,Y ) e verifique as igualdades.

6 Análise espectral de operadores lineares

a operação de composição de operadores, o espaço L(X) é uma álgebra de Banach; istoé, se A,B ∈ L(X), então

‖AB‖L(X) 6 ‖A‖L(X)‖B‖L(X).

1.1 O operador resolvente

Agora, vamos começar o estudo de operadores lineares, tanto limitados quanto não-limitados; isto é, operadores que não estão definidos em todo o espaço X, mas sim numsubconjunto D(A) de X (chamado de domínio de A). Além disso, A não satisfaz umalimitação do tipo (1.0.1).

Para começar o estudo, o conjunto mais importante a ser estudado é o conjunto resol-vente de um operador, que é definido da seguinte maneira:

Definição 1.1.1. Sejam X um espaço de Banach sobre C e A : D(A) ⊂ X → X umoperador linear. O conjunto resolvente de A, denotado por ρ(A), é o conjunto formadopor todos os λ em C tais que

(i) λ− A é injetor;

(ii) Im(λ− A) = X e

(iii) (λ− A)−1 : Im(λ− A) ⊂ X → X é limitado.

Para λ ∈ ρ(A), o operador R(λ,A).= (λ − A)−1 é chamado operador resolvente.

O espectro do operador A é definido por σ(A) = C \ ρ(A).

Antes de iniciarmos o estudo do conjunto resolvente e dos operadores resolventes de Ademonstramos dois lemas auxiliares que nos motivam a restringir este estudo a operadoresfechados.

Para um operador A : D(A) ⊂ X → X, definimos o gráfico de A em X ×X por

G(A).= (x,Ax) : x ∈ D(A).

Definição 1.1.2. Um operador A : D(A) ⊂ X → X é dito fechado se G(A) é umsubconjunto fechado de X ×X.

Definição 1.1.3. Um operador A0 : D(A0) ⊂ X → X é dito fechável se G(A0) é ográfico de um operador A : D(A) ⊂ X → X fechado. O operador A é chamado de fechode A0. Em geral, denotamos o fecho de A0 por A0.

1.1 O operador resolvente 7

Exercício 1.1.4. Seja X um espaço de Banach sobre K .

1. Sejam A0 : D(A0) ⊂ X → X um operador fechável e A : D(A) ⊂ X → X o seufecho. Mostre que D(A0) ⊂ D(A) e que se x ∈ A0 então Ax = A0x.

2. Mostre que um operador A : D(A) ⊂ X → X é fechável (fechado) se, e somente se,para cada sequência xn

n→∞−→ 0 (xnn→∞−→ x) com Axn

n→∞−→ y, então y = 0 (x ∈ D(A)

e Ax = y).

3. Mostre que, se A : D(A) ⊂ X → X é um operador linear injetor, então A é fechadose, e somente se, A−1 fechado.

4. Mostre que, se A : D(A) ⊂ X → X é um operador linear injetor tal que A−1 éfechável e tem fecho injetivo, então A é fechável.

5. Mostre que se A : D(A) ⊂ X → X é um operador linear fechado, injetor e A−1 : Im(A)

⊂ X → X é limitado, então Im(A) é fechado.

O primeiro lema mostra que se um operador é fechável, então o seu conjunto resolventee o de seu fecho coincidem.

Lema 1.1.5. Se A0 : D(A0) ⊂ X → X é um operador fechável e A : D(A) ⊂ X → X éo seu fecho, então ρ(A0) = ρ(A).

Demonstração: Suponha inicialmente que λ ∈ ρ(A), então (λ − A)−1 ∈ L(X) e con-sequentemente (λ − A0)−1 : Im(λ − A0) → X é um operador limitado. Se y ∈ X ex = (λ − A)−1y, existe uma sequência xn

n→∞−→ x com (λ − A0)xnn→∞−→ y. Logo y é

limite de pontos yn = (λ − A0)xn ∈ Im(λ − A0). Isto mostra que Im(λ− A0) = X e,consequentemente λ ∈ ρ(A0).

Por outro lado, se λ ∈ ρ(A0), então (λ − A0)−1 : Im(λ − A0) → X é um operadorlimitado e Im(λ− A0) = X. Mostremos que (λ−A) é injetor. Se x ∈ D(A) e (λ−A)x = 0,existe uma sequência xnn∈N em D(A0) tal que xn

n→∞−→ x e (λ − A0)xn → 0. Como(λ − A0)−1 é limitado segue que x = 0 e (λ − A) é injetor. Se y ∈ Im(λ − A), existesequência yn em Im(λ − A0) tal que yn

n→∞−→ y e (λ − A0)−1ynn→∞−→ (λ − A)−1y, logo

‖(λ − A)−1y‖X 6 c‖y‖X . Segue do item 5 do Exercício 1.1.4, que a imagem Im(λ − A)

de λ− A é fechada e do fato que Im(λ− A) ⊃ Im(λ− A0) temos que Im(λ− A) = X.

O segundo lema da condições sob as quais um operador que tem conjunto resolventenão-vazio é fechável.


Lema 1.1.6. Suponha que um operador A0 : D(A0) ⊂ X → X tenha conjunto resolventeρ(A0) não vazio.

1. Se para algum λ0 ∈ ρ(A0), (λ0 − A0)−1 é injetivo, então A0 é fechável.

2. Se A0 é fechável, então (λ− A0)−1 é injetivo para todo λ ∈ ρ(A0).

Demonstração: 1. Como λ0 ∈ ρ(A0), xn ∈ D(A0), xnn→∞−→ 0 e (λ0 − A0)xn → y, segue

que (λ0 − A0)−1y = 0 e y = 0. Logo (λ0 − A0) é fechável.

2. Segue diretamente do Lema 1.1.5 pois, para todo λ ∈ ρ(A0) = ρ(A), (λ − A)−1 éuma extensão fechada de (λ− A0)−1 (mostre que (λ− A0)−1 = (λ− A)−1).

Observação 1.1.7. Existem operadores com resolvente não-vazio que não são fecháveis.Considere

X = `1(C)=

xn∈ CN :

∑n∈N

|xn| <∞

,

com a norma ‖xn‖`1(C) =∑

n∈N |xn|. Seja T : D(T ) ⊂ X → X definido por

D(T ) = xn ∈ CN : xn = 0 exceto para um número finito de índices

Txn =

∞∑j=n

j2

n2xj

.

É fácil ver que T é injetivo, ilimitado e que ImT = D(T ). Além disso T−1 : D(T ) ⊂X → X é dado por

T−1xn =

xn −

(n+ 1)2

n2xn+1

, para todo xn ∈ D(T ).

e portanto claramente limitado; e logo 0 ∈ ρ(T ). O operador extensão A de T−1 a X édefinido pela mesma regra acima e não é injetivo, pois A 1

n2 = 0. Segue do item 2 doLema 1.1.6 que T não é fechável.

Em vista desses resultados restringiremos o nosso estudo aos operadores A : D(A) ⊂X → X que são fechados e apenas em alguns casos específicos a operadores fecháveis.

Note que se A : D(A) ⊂ X → X é fechado e λ ∈ ρ(A), então Im(λ−A) = X. Ainda, seλ−A : D(A)→ X é bijetor, segue do Teorema do Gráfico Fechado que (λ−A)−1 ∈ L(X).Com isto, a definição de conjunto resolvente pode ser reformulada da seguinte maneira.

1.1 O operador resolvente 9

Definição 1.1.8. Seja X um espaço de Banach sobre C e A : D(A) ⊂ X → X umoperador linear fechado. O conjunto resolvente de A é o subconjunto ρ(A) de todos osλ em C tais que λ− A é bijetor.

O espectro σ(A) de um operador fechado A : D(A) ⊂ X → X pode ser decompostoem três partes disjuntas

(i) O conjunto dos autovalores de A é chamado de espectro pontual σp(A) de A; istoé,

σp(A) = λ ∈ σ(A) : (λ− A) não é injetor .

(ii) O espectro residual σr(A) de A é definido por

σr(A) = λ ∈ σ(A) : (λ− A) é injetor e Im(λ− A) ( X.

(iii) O espectro contínuo σc(A) de A é definido por

σc(A) = λ ∈ σ(A) : (λ− A) é injetor, Im(λ− A) ( X e Im(λ− A) = X

Claramente σ(A) = σp(A)∪σr(A)∪σc(A) com união disjunta. Em espaços de dimensãofinita, segue do Teorema do Núcleo e Imagem que σ(A) = σp(A); isto é, σr(A) = σc(A) =

∅. Mas, em espaços de dimensão infinita, isto pode não ser verdadeiro.

Exemplo 1.1.9. Seja

X = `2(C)=

xn∈ CN :

∑n∈N

|xn|2<∞

,

com a norma ‖xn‖`2(C) =(∑

n∈N |xn|2) 1

2 . Defina A : X → X por

Axn =

xnn+ 1

.

Note que A é limitado, injetor, sua imagem é densa mas não existe sequência xnem `2(C) tal que se Axn = 1

n+1. Logo 0 ∈ σc(A).

Exemplo 1.1.10. Seja X como no exemplo anterior e A : X → X definido por Axn =

0, x1, x2, x2, · · · . Note que A é injetor mas sua imagem não é densa. Logo 0 ∈ σr(A).


Teorema 1.1.11. Seja X um espaço de Banach sobre C e A : D(A) ⊂ X → X umoperador linear fechado. Então ρ(A) é um subconjunto aberto de C e consequentementeσ(A) é um subconjunto fechado de C. De fato, se µ ∈ ρ(A) e λ ∈ C é tal que |µ−λ|‖(µ−A)−1‖L(X) < 1, então λ ∈ ρ(A) e

(λ− A)−1 =∞∑n=0

(µ− λ)n(µ− A)−n−1 (1.1.1)

Demonstração: Se µ ∈ ρ(A), então (µ− A)−1 ∈ L(X). Se λ ∈ C, escrevemos

(λ− A) = (µ− A)[I − (µ− λ)(µ− A)−1]

e se |µ− λ| ‖(µ− A)−1‖L(X) < 1, segue que λ ∈ ρ(A) e (1.1.1) está demonstrada.

Teorema 1.1.12. Seja X um espaço de Banach sobre C e A : D(A) ⊂ X → X umoperador linear. Se λ, µ ∈ ρ(A), então

(λ− A)−1 − (µ− A)−1 = (µ− λ)(µ− A)−1(λ− A)−1 (1.1.2)

e(λ− A)−1(µ− A)−1 = (µ− A)−1(λ− A)−1 (1.1.3)

Demonstração: Note que

(µ− A)−1 = (µ− A)−1(λ− A)(λ− A)−1

= (µ− A)−1[(µ− A) + (λ− µ)I](λ− A)−1

= (λ− A)−1 + (λ− µ)(µ− A)−1(λ− A)−1,

o que prova (1.1.2). A prova de (1.1.3) é imediata de (1.1.2).

A equação (1.1.2) é chamada de identidade do resolvente, e é de fundamentalimportância para a teoria espectral de operadores lineares.

Corolário 1.1.13. Seja X um espaço de Banach complexo e A : D(A) ⊂ X → X umoperador fechado. Então, a função ρ(A) 3 λ 7→ (λ− A)−1 ∈ L(X) é analítica e

dn

dλn(λ− A)−1 = (−1)nn!(λ− A)−n−1.

1.2 Operadores lineares limitados 11

Demonstração: Fixe λ0 ∈ ρ(A) e observe que, de (1.1.2) e do fato que (1.1.1) convergeuniformemente para

|λ− λ0| 61

2‖(λ0 − A)−1‖L(X)

,

ρ(A) 3 λ 7→ (λ − A)−1 ∈ L(X) é contínua em λ0. Novamente utilizando (1.1.2) temosque ρ(A) 3 λ 7→ (λ− A)−1 ∈ L(X) é derivável em λ0 e

d

dλ(λ− A)−1 = −(λ− A)−2.

O caso geral segue da identidade

(λ−A)−n−(µ−A)−n=

((λ−A)−1−(µ−A)−1)[(µ−A)−n+1+(µ−A)−n+2(λ−A)−1+· · ·+ (λ−A)−n+1]

e de um simples argumento de indução.

1.2 Operadores lineares limitados

SejaX um espaço de Banach sobre C. Nesta seção estudamos algumas particularidadesno estudo do espectro de operadores limitados.

Teorema 1.2.1. Se A ∈ L(X) e |λ| > ‖A‖L(X), então λ ∈ ρ(A) e

(λ− A)−1 =∞∑n=0

λ−n−1An. (1.2.1)

Consequentemente σ(A) é compacto e, se R > ‖A‖L(X), a série acima converge unifor-memente em λ ∈ C : |λ| > R.

Demonstração: O resultado segue simplesmente notando-se que (λ−A) = λ(I−λ−1A).

Teorema 1.2.2. Se A ∈ L(X), então σ(A) 6= ∅.

Demonstração: Suponha que ρ(A) = C. Então C 3 λ 7→ (λ−A)−1 ∈ L(X) é inteira e,para |λ| > ‖A‖L(X),

‖(λ− A)−1‖L(X) 61

|λ| − ‖A‖L(X)

.

Segue do Teorema de Liouville que (λ−A)−1 = 0 para todo λ ∈ C o que é um absurdo.


1.2.1 Raio espectral

Se A ∈ L(X), vimos que σ(A) é não-vazio e compacto. O raio espectral rσ(A) de Aé definido por

rσ(A) = sup|λ| : λ ∈ σ(A)

Teorema 1.2.3. Se A ∈ L(X), então a série (1.2.1) é convergente para todo λ ∈ C com|λ| > rσ(A) e divergente se |λ| < rσ(A). Consequentemente

rσ(A) = lim supn→∞

‖An‖1/nL(X).

Demonstração: Como (λ − A)−1 é analítica em ρ(A), ela tem uma série de Laurentconvergente para |λ| > rσ(A). Do Teorema 1.2.1, a série de Laurent de (λ − A)−1 emλ ∈ C : |λ| > ‖A‖L(X) é dada por (1.2.1) e segue da unicidade da série de Laurent que(1.2.1) vale para |λ| > rσ(A).

Se a série∞∑n=0

λ−n−1An

é convergente em L(X), é fácil ver que sua soma é (λ − A)−1, λ ∈ ρ(A) e a série∑∞n=1 µ

−nAn−1 é convergente sempre que |µ| > |λ|. Logo, o raio de convergência destasérie é rσ(A) e a série é divergente para |λ| < rσ(A).

Teorema 1.2.4. Seja X um espaço de Banach sobre K e A ∈ L(X). Então a seqüência‖An‖1/n

L(X)n∈N é convergente e

limn→∞

‖An‖1/nL(X) = inf

n>1‖An‖1/n

L(X).

Se X é um espaço de Banach complexo então

rσ(A) = limn→∞

‖An‖1/nL(X) = inf

n>1‖An‖1/n

L(X).

Demonstração: Se an = log ‖An‖L(X), devemos provar que

ann→ b = inf

n>1

ann.

É fácil ver que am+n 6 an+am. Logo, se m é um inteiro positivo fixo, seja n = mq+r,

1.3 Operadores duais 13

onde q, r são inteiros não-negativos com 0 6 r < m, temos que an 6 q · am + ar e

ann6q

nam +

1

nar.

Se n → ∞ e m está fixo, qn→ 1

mpois a variação de r está restrita aos núme-

ros 0, 1, 2, · · · ,m − 1. Logo, lim supn→∞ann6 am

m. Como m é arbitrário temos que

lim supn→∞ann6 b. Por outro lado, an

n> b e lim infn→∞

ann> b. Isto prova o resultado.

Note que, de (1.1.1), se |ξ − ξ0| < ‖(ξ0 − A)−1‖−1L(X) temos que ξ ∈ ρ(A) e

(ξ − A)−1 =∞∑n=0

(ξ0 − ξ)n(ξ0 − A)−n−1 (1.2.2)

e se |ξ − ξ0| > ‖(ξ0 − A)‖L(X) temos que ξ ∈ ρ(A) e

(ξ − A)−1 = −∞∑n=0

(ξ0 − ξ)−n−1(ξ0 − A)n (1.2.3)

Assim, o raio de convergência da série de Taylor em (1.2.2) é o recíproco do raioespectral do operador (ξ0−A)−1 enquanto que o raio de convergência da série de Laurentem (1.2.2) é o raio espectral de (ξ0 − A). Portanto, nos círculos λ ∈ C : |λ − ξ0| =

(rσ(ξ0 − A)−1)−1 e λ ∈ C : |λ− ξ0| = rσ(ξ0 − A) existem pontos de σ(A).

1.3 Operadores duais

A seguir recordamos a definição de operadores duais. Sejam X e Y espaços de Banachsobre um corpo K com duais X∗ e Y ∗. Se x∗ ∈ X∗ (y∗ ∈ Y ∗) denotaremos o seu valor emum vetor x ∈ X (y ∈ Y ) por 〈x, x∗〉 (〈y, y∗〉). Seja A : D(A) ⊂ X → Y um operador lineardensamente definido. O operador dual A∗ : D(A∗) ⊂ Y ∗ → X∗ de A é o operador lineardefinido por: D(A∗) é o conjunto dos y∗ ∈ Y ∗ para os quais existe z∗ ∈ Y ∗ satisfazendo

〈Ax, y∗〉 = 〈x, z∗〉, ∀ x ∈ D(A). (1.3.1)

Se y∗ ∈ D(A∗) definimos A∗y∗ .= z∗ onde z∗ é o (único, verifique) elemento de X∗

satisfazendo (1.3.1).

Exercício 1.3.1. Se X é um espaço de Banach e A : D(A) ⊂ X → Y é um operadorlinear densamente definido, mostre que A∗ : D(A∗) ⊂ Y ∗ → X∗ é um operador linear


fechado.

Começamos com alguns resultados básicos sobre operadores duais.

Lema 1.3.2. Sejam X e Y espaços de Banach sobre K e A ∈ L(X, Y ); então A∗ ∈L(Y ∗, X∗) e ‖A‖L(X,Y ) = ‖A∗‖L(Y ∗,X∗).

Demonstração: Para todo y∗ ∈ Y ∗, y∗A é um funcional linear contínuo e portantodetermina um único elemento x∗ ∈ X∗ para o qual 〈x, x∗〉 = 〈Ax, y∗〉, para todo x ∈ X.Segue que D(A∗) = Y ∗. Além disso,

‖A∗‖L(Y ∗,X∗) = sup‖y∗‖Y ∗61

‖A∗y∗‖X∗ = sup‖y∗‖Y ∗61

sup‖x‖X61

|〈x,A∗y∗〉|

= sup‖x‖X61

sup‖y∗‖X∗61

|〈Ax, y∗〉| = sup‖x‖X61

‖Ax‖Y

= ‖A‖L(X,Y ).

Lema 1.3.3. Seja X um espaço de Banach reflexivo sobre K. Se A : D(A) ⊂ X → X éfechado e densamente definido então D(A∗) é denso em X∗.

Demonstração: Se D(A∗) não é denso em X∗ então existe um elemento x0 ∈ X tal quex0 6= 0 e 〈x0, x

∗〉 = 0 para todo x∗ ∈ D(A∗). Como A é fechado, seu gráfico é fechadoe não contém (0, x0). Do Teorema de Hahn-Banach existem x∗1 e x∗2 em X∗ tais que〈x, x∗1〉 − 〈Ax, x∗2〉 = 0 para todo x ∈ D(A) e 〈0, x∗1〉 − 〈x0, x

∗2〉 6= 0.

Assim temos que 〈x0, x∗2〉 6= 0, também x∗2 6= 0, x∗2 ∈ D(A∗) e A∗x∗2 = x∗1. Isto implica

que 〈x0, x∗2〉 = 0 o que é uma contradição. Portanto D(A∗) é denso em X∗.

Exercício 1.3.4. O anulador de um subconjunto M ⊂ X é o conjunto M⊥ = x∗ ∈X∗ : 〈x, x∗〉 = 0,∀x ∈ M e o anulador de M∗ ⊂ X∗ é o conjunto (M∗)⊥ = x ∈ X :

〈x, x∗〉 = 0,∀x∗ ∈M∗. Sabemos que se M ⊂ X é um espaço vetorial então (M⊥)⊥ = M

(veja [3]).

Um subconjunto M∗ ⊂ X∗ é dito total se (M∗)⊥ = 0. Mostre que, se A : D(A) ⊂X → X é fechado e densamente definido então, D(A∗) é total.

Teorema 1.3.5. Seja A : D(A) ⊂ X → X um operador linear densamente definido.

Entãoρ(A) = ρ(A∗) e ((λ− A)−1)∗ = (λ− A∗)−1,∀λ ∈ ρ(A)

1.3 Operadores duais 15

Demonstração: Da definição de dual temos (λI −A)∗ = λI∗ −A∗. Se λ−A é injetor etem imagem densa, mostremos que

(1) ((λI − A)−1)∗(λI∗ − A∗)x∗ = x∗, ∀x∗ ∈ D(A∗) e

(2) (λI∗ − A∗)((λI − A)−1)∗x∗ = x∗, ∀x∗ ∈ D(((λI − A)−1)∗).

Prova de (1): Se x ∈ Im(λ− A), x∗ ∈ D(A∗), então

〈x, x∗〉 = 〈(λI − A)(λI − A)−1x, x∗〉 = 〈(λI − A)−1x, (λI∗ − A∗)x∗〉.

Segue que (λI∗ − A∗)x∗ ∈ D(((λI − A)−1)∗) (Im(λI∗ − A∗) ⊂ D(((λI − A)−1)∗)) e, dofato que R(λI − A) = X, temos que

((λI − A)−1)∗(λI∗ − A∗)x∗ = x∗, ∀x∗ ∈ D(A∗).

Prova de (2): Se x∗ ∈ D(((λI − A)−1)∗) e x ∈ D(A), então

〈x, x∗〉 = 〈(λI − A)−1(λI − A)x, x∗〉 = 〈(λI − A)x, ((λI − A)−1)∗x∗〉.

Logo ((λI − A)−1)∗x∗ ∈ D(λI∗ − A∗) e, do fato que D(A) = X, temos que

(λI∗ − A∗)((λI − A)−1)∗x∗ = x∗, ∀x∗ ∈ D(((λI − A)−1)∗).

Agora podemos completar a prova do teorema. Se λ ∈ ρ(A), (λI − A)−1 é limitado etemos que ((λI − A)−1)∗ ∈ L(X∗). De (1) e (2) segue que (λI∗ − A∗)−1 = ((λI − A)−1)∗

e λ ∈ ρ(A∗).

Se λ ∈ ρ(A∗), note que A∗ é fechado e consequentemente (λI∗ − A∗)−1 ∈ L(X∗). Jásabemos que λI −A tem domínio denso. Mostremos que λI −A é injetivo e tem imagemdensa.

Para ver que λI − A é injetivo note que, se x ∈ D(A) é tal que (λ − A)x = 0 ex∗ ∈ D(A∗), então

0 = 〈(λI − A)x, x∗〉 = 〈x, (λI∗ − A)∗x∗〉.

Como Im(λI∗ − A∗) = X∗ temos que x = 0 e portanto λI − A é injetivo.

Agora, para ver que λI − A tem imagem densa note que, se x∗ ∈ X∗ é tal que0 = 〈(λI − A)x, x∗〉 para todo x ∈ D(A), então x∗ ∈ D(A∗) e 0 = 〈x, (λI − A)∗x∗〉 para


todo x ∈ D(A). Como D(A) é denso em X segue que (λI−A)∗x∗ = 0 e, como λ ∈ ρ(A∗),obtemos que x∗ = 0. Isto prova que Im(λI − A) é denso em X.

Para concluir que λ ∈ ρ(A), resta provar que (λI − A)−1 é limitado. Se x∗ ∈ X∗ =

Im(λI∗ − A∗) ⊂ D(((λI − A)−1)∗) e x ∈ R(λI − A), de (1) e (2), temos

|〈(λI − A)−1x, x∗〉| = |〈x, ((λI − A)−1)∗x∗〉| = |〈x, (λI∗ − A∗)−1x∗〉|

≤ ‖(λI∗ − A∗)−1‖ ‖x∗‖ ‖x‖

Disto segue que (λ − A)−1 é limitado e prova que λ ∈ ρ(A), completando a demons-tração.

1.4 Operadores compactos

Sejam X, Y espaços de Banach sobre K. Denotamos por

BX

1 (0) = x ∈ X : ‖x‖X 6 1.

Diremos que um operador linear K : X → Y é compacto se K(BX

1 (0)) é um sub-conjunto relativamente compacto de Y . Denotamos por K(X, Y ) o espaço dos operadoreslineares compactos K : X → Y . É simples verificar que K(X, Y ) ⊂ L(X, Y ).

Exercício 1.4.1. Sejam X = C([a, b],C) e k ∈ C([a, b]× [a, b],C). Defina K por

(Kx)(t) =

∫ b

a

k(t, s)x(s)ds.

Mostre que K ∈ L(X) e, usando o Teorema de Arzelá Ascoli, mostre que K ∈ K(X).

Teorema 1.4.2. Sejam X, Y espaços de Banach sobre K. Então K(X, Y ) é um supespaçofechado de L(X, Y ).

Demonstração: Se K(X, Y ) 3 Knn→∞−→ K ∈ L(X, Y ) na topologia de L(X, Y ), dado

ε > 0 existe nε ∈ N tal que

K(BX1 (0)) ⊂ Knε(B

X

1 (0)) +BYε (0).

Disto segue facilmente que K(BX1 (0)) é totalmente limitado (logo relativamente com-

pacto) em Y .

1.4 Operadores compactos 17

Exercício 1.4.3. Seja X = `2(C) e A : X → X como no Exemplo 1.1.9. Já sabemos queA é limitado e 0 ∈ σc(A). Mostre que A é compacto.

Teorema 1.4.4. Sejam X, Y, Z espaços de Banach sobre um corpo K, A ∈ L(X, Y ) eB ∈ L(Y, Z),

(a) se A ∈ K(X, Y ) ou B ∈ K(Y, Z), então B A ∈ K(X,Z),

(b) se A ∈ K(X, Y ), então A∗ ∈ K(Y ∗, X∗) e

(c) se A ∈ K(X, Y ) e Im(A) é um subespaço fechado de Y , então Im(A) tem dimensãofinita.

Demonstração: As provas de (a) e (c) são deixadas como exercício para o leitor. Paraprovar (b) mostraremos que se x∗n é uma sequência em A∗(BY ∗

1 (0)), então ela possuiuma subsequência convergente.

Considere o espaço C(A(BX

1 (0)),K). Note que, para y∗ ∈ BY ∗1 (0) e z ∈ A(BX

1 (0))

existe x ∈ BX1 (0) tal que z = Ax e, consequentemente,

|y∗(z)| = |y∗(Ax)| 6 ‖A‖L(X,Y ).

Além disso, se z1, z2 ∈ A(BX

1 (0))

|y∗(z1)− y∗(z2)| 6 ‖z1 − z2‖Y .

Desta formaF =

y∗|

A(BX1 (0))

: y∗ ∈ BY ∗

1 (0)

é uma família uniformemente limitada e equicontínua de C(A(B

X

1 (0)),K). Segue doTeorema de Arzelá Ascoli que, se x∗n = y∗n A com y∗n ∈ BY ∗

1 (0), existe uma subsequênciay∗nk de y∗n tal que

supx∈BX1 (0)

|x∗nk(x)− x∗nl(x)| = supx∈BX1 (0)

|y∗nk A(x)− y∗nl A(x)|

= supz∈A(BX1 (0))

|y∗nk(z)− y∗nl(z)| k,l→∞−→ 0.

Logo x∗n tem uma subsequência convergente para algum x∗ ∈ X∗ e a prova de (b)

está concluída.


Se X é um espaço de Banach, uma projeção P : X → X é uma transformação linearcontínua tal que P 2 = P então P ∈ K(X) se, e somente se, Z = Im(P ) tem dimensãofinita.

De fato, se Z tem dimensão finita, então qualquer subconjunto limitado de Z é rela-tivamente compacto e consequentemente P (B

X

1 (0)) é relativamente compacto. Por outrolado, se P (B

X

1 (0)) ⊃ BZ

1 (0) é relativamente compacto, segue do Teorema 6.5 em [3] queZ tem dimensão finita.

Claramente o operador identidade I : X → X é compacto se, e somente se, X temdimensão finita e, consequentemente, se A ∈ K(X) e X tem dimensão infinita então0 ∈ σ(A) (se não, I = A A−1 é compacto e dim(X) <∞).

Teorema 1.4.5. Seja X um espaço de Banach sobre K e A ∈ K(X). Se λ ∈ K\0,então N((λ− A)n) tem dimensão finita, n = 1, 2, 3, · · · .

Demonstração: Consideremos primeiramente o caso n = 1. Claramente N(λ − A) éfechado e se x ∈ N(λ − A), x = λ−1Ax. Logo o operador identidade em N(λ − A) écompacto e N(λ− A) tem dimensão finita.

O caso geral segue do caso anterior observando-se que

(λ− A)n =n∑k=0

λn−k

(n

k

)(−1)kAk = λnI + Aλ,

onde Aλ =∑n

k=1 λn−k

(n

k

)(−1)kAk ∈ K(X).

Exercício 1.4.6. Seja X um espaço de Banach sobre K e T ∈ L(X). Mostre que seN(T n0) = N(T n0+1) então N(T n) = N(T n+1) para todo n > n0.

Sugestão: Mostre que N(Tn+1) = x ∈ X : Tx ∈ N(Tn).

Teorema 1.4.7. Seja X um espaço de Banach sobre K, A ∈ K(X) e λ ∈ K\0. Existen0 ∈ N tal que N((λ− A)n+1) = N((λ− A)n) para todo n > n0.

Demonstração: Basta provar que existe n0 ∈ N tal que N((λ−A)n0+1) = N((λ−A)n0).Claramente N((λ − A)n) é fechado e N((λ − A)n) ⊂ N((λ − A)n+1) para todo n ∈ N.Suponha que N((λ − A)n) ( N((λ − A)n+1) para todo n ∈ N. Do do Lema 6.1 em [3],para cada n ∈ N, existe xn ∈ N((λ − A)n+1) tal que ‖xn‖X = 1 e ‖xn − x‖X > 1

2, para

todo x ∈ N((λ− A)n). Logo, se 1 6 m < n,

Axn − Axm = λxn + (−λxm + (λ− A)xm − (λ− A)xn) = λxn − z,

1.4 Operadores compactos 19

onde z = −λxm + (λ− A)xm − (λ− A)xn ∈ N((λ− A)n). Logo

‖Axn − Axm‖X = |λ|‖xn − λ−1z‖X >|λ|2

e Axn não possui uma subseqüência convergente e A não é compacto. Esta contradiçãoprova o teorema.

Se N(λ− A) 6= 0 temos que λ é um autovalor de A; isto é, λ ∈ σp(A). Neste caso,a multiplicidade geométrica de λ é a dimensão de N(λ − A) e, existe um menor inteiropositivo n0 tal que N((λ−A)n0) = N((λ−A)n0+1), diremos que N((λ−A)n0) é o auto-espaço generalizado associado ao autovalor λ e que dim(N((λ−A)n0)) é a multiplicidadealgébrica de λ.

Observe que, se X é um espaço de Banach sobre K, λ ∈ K\0 e A ∈ K(X), doTeorema 6.6 (c) em [3], Im(λ − A) = X se, e somente se, N(λ − A) = 0. Logoλ ∈ ρ(A) se, e somente se, N(λ−A) = 0. Segue que, todos os pontos em σ(A)\0 sãoauto-valores.

Lema 1.4.8. Seja X um espaço de Banach com dimensão infinita sobre um corpo K eA ∈ K(X). Se λn é uma seqüência de números distintos tais que

λn → λ

λn ∈ σ(A)\0, ∀n ∈ N.

Então λ = 0; isto é, todo ponto de σ(A)\0 é isolado.

Demonstração: Como λn ∈ σp(A), seja xn 6= 0 tal que (λn − A)xn = 0 e Xn =

[x1, . . . , xn]. Mostremos que Xn ( Xn+1, ∀n ∈ N. Basta mostrar que x1, . . . , xn é umconjunto linearmente independente de vetores, para todo n ∈ N. Suponha, por indução,que x1, . . . , xn é um conjunto linearmente independente de vetores e mostremos que

x1, · · · , xn+1 também o é. Se xn+1 =n∑i=1

αixi, então

n∑i=1

λn+1αixi = λn+1xn+1 = Axn+1 =n∑i=1

αiλixi.

Disto segue que

n∑i=1

αi(λn+1 − λi)xi = 0 e portanto α1 = · · · = αn = 0.


Com isto xn+1 = 0, o que é uma contradição. Portanto x1, · · · , xn+1 é um conjuntolinearmente independente de vetores. Como x1 6= 0 obtemos que x1, · · · , xn é umconjunto linearmente de independente de vetores para todo n ∈ N e Xn ( Xn+1, paratodo n ∈ N.

Note ainda que (λn−A)Xn ⊂ Xn−1 (pois (λn−A)xn = 0). Aplicando o Lema de Riesz

(Lema 6.1 em [3]), construímos yn tal que yn ∈ Xn, ‖yn‖ = 1 e dist(yn, Xn−1) >1

2para

n > 2. Se 2 6 m < n, então Xm−1 ⊂ Xm ⊂ Xn−1 ⊂ Xn e,

∥∥∥∥Aynλn − Aymλm

∥∥∥∥ =

∥∥∥∥∈Xn−1︷︸︸︷

(λm − A)ymλm

− (λn − A)ynλn

− ym + yn

∥∥∥∥> dist(yn, Xn−1) >

1

2.

Se λn → λ 6= 0, então a seqüênciaynλn

é limitada e, do fato que A é compacta,

Aynλn

tem uma subsequência convergente, e temos uma contradição. Logo λ = 0.

O teorema a seguir sintetiza os resultados obtidos acima a cerca do espectro de umoperador compacto.

Teorema 1.4.9. Seja X um espaço de Banach sobre um corpo K e A ∈ K(X). Entãotodo ponto de σ(A)\0 é um autovalor, σ(A) contém no máximo um número contável depontos e o conjunto dos pontos de acumulação de σ(A) é vazio ou 0.

Frequentemente os operadores compactos surgem como inversa de operadores ilimita-dos. Estes operadores são os chamados operadores com resolvente compacto que definimosa seguir.

Definição 1.4.10. Seja X um espaço de Banach sobre K e A : D(A) ⊂ X → X umoperador fechado e com resolvente não-vazio. Diremos que A tem resolvente compacto

se para algum λ0 ∈ ρ(A) temos que (λ0 − A)−1 ∈ K(X).

É uma consequência simples da identidade do resolvente (1.1.2) que se A tem resolventecompacto, então (λ− A)−1 é compacto para todo λ ∈ ρ(A).

Exemplo 1.4.11. Seja X = f ∈ C([0, 1],K) : f(0) = 0 e A : D(A) ⊂ X → X ooperador linear definido por D(A) = f ∈ C1([0, 1],K) : f(0) = f ′(0) = 0 e Af = f ′

para f ∈ D(A). É fácil ver que A é um operador fechado, densamente definido e que0 ∈ ρ(A). Para ver que A−1 é compacto, basta aplicar o Teorema de Arzelá-Ascoli.

1.5 Operadores adjuntos, simétricos e auto-adjuntos 21

Exercício 1.4.12. Seja A : D(A) ⊂ X → X um operador fechado com 0 ∈ ρ(A). EmD(A) defina a norma do gráfico ‖x‖G(A) = ‖x‖ + ‖Ax‖ e denote por Y o espaço D(A)

munido da norma ‖ · ‖G(A). Mostre que Y é um espaço de Banach e que se Y estácompactamente imerso em X, então A tem resolvente compacto.

1.5 Operadores adjuntos, simétricos e auto-adjuntos

Seja H um espaço de Hilbert com produto interno 〈·, ·〉 : H × H → K e A : D(A) ⊂H → H é um operador densamente definido. O adjunto A• de A é definido por

D(A•) = u ∈ H : v 7→ 〈Av, u〉 : D(A)→ K é limitado

e, se u ∈ D(A•), A•u é o único elemento de H tal que

〈v,A•u〉 = 〈Av, u〉, ∀v ∈ D(A).

Observação 1.5.1. Se H é um espaço de Hilbert sobre C, E : H → H∗ definido porEu(v) = 〈v, u〉, é uma isometria linear-conjugada entre H e H∗. A identificação entreH e H∗ consiste em identificar u com Eu. Se A∗ : D(A∗) ⊂ X∗ → X∗ é o dual de A,então A• = E−1 A∗ E. Note ainda que, embora E e E−1 sejam operadores lineares-conjugados, E−1 A∗ E é um operador linear por dupla conjugação. Chamaremos ambosA• e A∗ de adjunto de A e denotaremos ambos por A∗ mas é importante observar que, seA = αB então A• = αB′ enquanto que A∗ = αB∗. Desta forma, (λI − A)• = λI − A•

enquanto que (λI − A)∗ = λI∗ − A∗.

Daqui em diante usaremos a notação A∗ para denotar os operadores dual e adjunto,indistintamente. Nos referiremos a ambos como operador adjunto.

Definição 1.5.2. Seja H um espaço de Hilbert sobre K com produto interno 〈·, ·〉. Dire-mos que um operador A : D(A) ⊂ H → H é simétrico (também chamado Hermitianoquando K = C) se D(A) = H e A ⊂ A∗; isto é, D(A) ⊂ D(A∗) e 〈Ax, y〉 = 〈x,Ay〉 paratodo x, y ∈ D(A). Diremos que A é auto-adjunto se D(A) = D(A∗) e A = A∗.

Exercício 1.5.3. Seja H um espaço de Hilbert. Se A : D(A) ⊂ H → H é um operadordensamente definido, então A• : D(A•) ⊂ H → H é fechado. Além disso, se A é fechado,então A• é densamente definido.


Exercício 1.5.4. Seja H um espaço de Hilbert sobre K. Mostre que, se A : D(A) ⊂ H →H é simétrico e λ ∈ K é um auto-valor de A, então λ ∈ R. Além disso,

inf‖x‖H=1

〈Ax, x〉 6 λ 6 sup‖x‖H=1

〈Ax, x〉.

Exercício 1.5.5. Seja H = Cn com o produto interno usual. Se A = (ai,j)ni,j=1 é uma

matriz com coeficientes complexos que representa um operador linear em A ∈ L(H),encontre A• e A∗.

Exercício 1.5.6. Seja H um espaço de Hilbert sobre K com produto interno 〈·, ·〉 e A :

D(A) ⊂ H → H um operador densamente definido. Mostre que G(A∗) = (−Ax, x) : x ∈D(A)⊥ (aqui M⊥ representa o ortogonal de M).

Proposição 1.5.7. Seja H um espaço de Hilbert sobre K com produto interno 〈·, ·〉. SeA : D(A) ⊂ H → H é um operador auto-adjunto, injetor e com imagem densa, entãoA−1 é auto-adjunto.

Demonstração: Como A é auto-adjunto, é fácil ver que

(x,−Ax) : x ∈ D(A)⊥ = (Ax, x) : x ∈ D(A) = G(A−1).

Como A é injetor e tem imagem densa, segue facilmente do Exercício 1.5.6,

G((A−1)∗) = (−A−1x, x) : x ∈ Im(A)⊥ = G(A−1).

Logo A−1 = (A−1)∗.

Teorema 1.5.8. Seja H um espaço de Hilbert sobre K com produto interno 〈·, ·〉. SeA : D(A) ⊂ H → H é um operador simétrico e sobrejetor, então A é auto-adjunto.

Demonstração: Primeiramente mostremos que A e A∗ são injetores. Se x ∈ D(A) eAx = 0, temos que 〈Ax, y〉 = 〈x,Ay〉 para todo y ∈ D(A) e consequentemente, do fatoque Im(A) = X temos que x = 0. Para ver que A∗ é injetor procedemos da mesma forma.

Agora mostremos que A é fechado. De fato, se D(A)∗ ⊃ D(A) 3 xn → x ∈ X eAxn = A∗xn → y, então x ∈ D(A∗) e A∗x = y. Como A é sobrejetor, existe w ∈ D(A)

tal que Aw = A∗w = A∗x e da injetividade de A∗ temos que w = x. Com isto x ∈ D(A)

e Ax = y, mostrando que A é fechado.


Segue que do Teorema do Gráfico Fechado que a A tem inversa A−1 ∈ L(X). Clara-mente A−1 é auto-adjunto e da Proposição 1.5.7 segue que A é auto-adjunto.

Corolário 1.5.9. Seja H um espaço de Hilbert sobre K com produto interno 〈·, ·〉. SeA : D(A) ⊂ H → H é um operador simétrico e existe λ0 > 0 tal que Im(λ0 − A) = H,λ0 ∈ ρ(A), então A é auto-adjunto.

Demonstração: Exercício.

Proposição 1.5.10. Sejam H um espaço de Hilbert sobre K com produto interno 〈·, ·〉 eA ∈ L(H) um operador auto-adjunto. Se

m = infu∈H‖u‖=1

〈Au, u〉, M = supu∈H‖u‖=1

〈Au, u〉,

então m,M ⊂ σ(A) ⊂ [m,M ].

Demonstração: Da definição de M temos que 〈Au, u〉 ≤ M‖u‖2H para todo u ∈ H.

Disto segue que, se λ > M , então

〈λu− Au, u〉 > (λ−M)︸︷︷︸>0

‖u‖2H . (1.5.1)

Com isto, é fácil ver que a(v, u) = 〈v, λu − Au〉 é uma forma bilinear, simétrica(a(u, v) = a(v, u) para todo u, v ∈ H), contínua e coerciva. Segue do Teorema de Lax-Milgram que

〈v, λu− Au〉 = 〈v, f〉, para todo v ∈ H,

tem uma única solução uf para cada f ∈ H. É fácil ver que esta solução satisfaz

(λ− A)uf = f,

e assim (λ− A) é bijetora. Logo (M,∞) ⊂ ρ(A).Mostremos que M ∈ σ(A). A forma bilinear a(u, v) = (Mu − Au, v) é linear na

primeira variável, linear-conjugada na segunda variável, contínua, simétrica e a(u, u) > 0,para todo u ∈ H. Logo, vale a desigualdade de Cauchy-Schwarz

|a(u, v)| 6 a(u, u)1/2a(v, v)1/2.


Segue que

|(Mu− Au, v)| 6 (Mu− Au, u)1/2(Mv − Av, v)1/2, para todo u, v ∈ H

6 C(Mu− Au, u)1/2 ‖v‖H

e que‖Mu− Au‖H 6 C(Mu− Au, u)1/2, para todo u ∈ H.

Seja un uma seqüência de vetores tais que ‖un‖H = 1, 〈Aun, un〉 → M . Segue que‖Mun − Aun‖H → 0. Se M ∈ ρ(A)

un = (MI − A)−1(Mun − Aun)→ 0

o que está em contradição com ‖un‖H = 1, ∀n ∈ N. Segue que M ∈ σ(A).Do resultado acima aplicado a −A obtemos que (−∞,m) ⊂ ρ(A) e m ∈ σ(A). A

prova que σ(A) ⊂ R foi dada no Exemplo 3.2.10

Lema 1.5.11. Seja H um espaço de Hilbert sobre K e A ∈ L(H) um operador auto-adjunto, então

‖A‖L(H) = sup‖u‖=1‖v‖=1

|〈Au, v〉| = sup‖u‖=1

|〈Au, u〉|.

Demonstração: Basta mostrar que

‖A‖L(H) = sup‖u‖=1‖v‖=1

|〈Au, v〉| 6 sup‖u‖=1

|〈Au, u〉| := a.

Se u, v′ ∈ H, ‖u‖H = ‖v′‖H = 1, |〈Au, v′〉| eiα = 〈Au, v′〉 e v = eiαv′, temos que

|〈Au, v′〉| = 〈Au, v〉 =1

4[〈A(u+ v), u+ v〉 − 〈A(u− v), u− v〉]

6a

4[‖u+ v‖2 + ‖u− v‖2] = a,

o que completa a prova.

Segue diretamente da Proposição 1.5.10 e do Lema 1.5.11 que

Corolário 1.5.12. Sejam H um espaço de Hilbert com produto interno 〈·, ·〉 e A ∈ L(H)

um operador auto-adjunto com σ(A) = 0, então A = 0.

O teorema a seguir e o Teorema 1.5.8 constituem as principais ferramentas para aobtenção de operadores auto-adjuntos.


Teorema 1.5.13 (Friedrichs). Seja X um espaço de Hilbert sobre K e A : D(A) ⊂ X →X um operador simétrico para o qual existe um α ∈ R tal que

〈Ax, x〉 6 α‖x‖2 ou 〈Ax, x〉 > α‖x‖2 (1.5.2)

para todo x ∈ D(A). Então A admite uma extensão auto-adjunta que preserva a limitação(1.5.2).

Demonstração: Vamos fazer a prova apenas no caso em que 〈Ax, x〉 > α‖x‖2 para todox ∈ D(A) e para algum α ∈ R. O outro caso pode ser deduzido deste considerando ooperador −A. Também consideraremos apenas o caso α = 1 pois o caso geral pode serdeduzido deste considerando o operador A+ (1− α)I.

Em D(A) considere o produto interno D(A) × D(A) 3 (x, y) 7→ 〈Ax, y〉 ∈ K. Cla-ramente, a norma D(A) 3 x 7→ ‖x‖ 1

2= 〈Ax, x〉 12 ∈ R+ resultante deste produto interno

satisfaz ‖x‖ 12> ‖x‖. Denote por X

12 o completamento de D(A) relativamente à norma

‖ · ‖ 12.

Mostremos que X12 , como conjunto, está em correspondência biunívoca com um sub-

conjunto do completamento de D(A) relativamente à norma ‖ · ‖. É claro que todasequência xn em D(A) que é de Cauchy relativamente à norma ‖ · ‖ 1

2é também de

Cauchy relativamente à norma ‖ · ‖.

Para concluir a injetividade mostraremos, por redução ao absurdo que, se xn é umasequência de Cauchy relativamente à norma ‖ · ‖ 1

2para a qual limn→∞ ‖xn‖ 1

2= a > 0,

não podemos ter que limn→∞ ‖xn‖ = 0. Se a tese é falsa, temos que

2Re〈Axn, xm〉 = 〈Axn, xn〉+ 〈Axm, xm〉 − 〈A(xn − xm), (xn − xm)〉m,n→∞−→ 2a2

o que é um absurdo pois 〈Axn, xm〉m→∞−→ 0.

Como X é completo, X12 pode ser identificado com um subconjunto de X.

Seja D = D(A∗) ∩X 12 . Como D(A) ⊂ D(A∗), devemos ter que D(A) ⊂ D ⊂ D(A∗).

Definimos A tomando a restrição de A∗ a D e mostraremos que A é auto-adjunto.

Primeiramente mostremos que A é simétrico. Se x, y ∈ D existem seqüências xn eyn emD(A) que ‖xn−x‖ 1

2

n→∞−→ 0 ‖yn−y‖ 12

n→∞−→ 0. Segue que limm→∞ limn→∞〈Axn, ym〉 =


limn→∞ limm→∞〈Axn, ym〉 = 〈x, y〉 12existe e coincide com

limn→∞

limm→∞

〈Axn, ym〉 = limn→∞〈Axn, y〉 = lim

n→∞〈xn, Ay〉 = 〈x, Ay〉 e com

limm→∞

limn→∞〈Axn, ym〉 = lim

m→∞〈x,Aym〉 = lim

m→∞〈Ax, ym〉 = 〈Ax, y〉,

e assim A é simétrico.

Para concluir a demonstração é suficiente mostrar que A é sobrejetor e isto segue daseguinte forma. Seja y ∈ X e considere o funcional f : D(A)→ K dado por f(x) = 〈x, y〉.Então f é um funcional linear contínuo relativamente à norma ‖ · ‖ 1

2e pode ser estendido

a um funcional linear contínuo de X12 e sendo assim, do Teorema de Representação de

Riesz, existe y′ ∈ X 12 tal que

f(x) = 〈x, y〉 = 〈x, y′〉 12

= 〈Ax, y′〉, ∀x ∈ D(A).

Logo y′ ∈ D(A∗) ∩X 12 e A∗y′ = Ay′ = y mostrando que A é sobrejetor.

Exemplo 1.5.14. Seja X = L2(0, π) e D(A0) = C20(0, π) o conjunto das funções duas

vezes continuamente diferenciáveis e que tem suporte compacto em (0, π). Defina A0 :

D(A0) ⊂ X → X por(A0φ)(x) = −φ′′(x), x ∈ (0, π).

É fácil ver que A0 é simétrico e que 〈A0φ, φ〉 > 2π2 ‖φ‖2

X para todo φ ∈ D(A0). DoTeorema 1.5.13, A0 possui uma extensão auto adjunta A que satisfaz 〈Aφ, φ〉 > 2

π2 ‖φ‖2X

para todo φ ∈ D(A). Observe que o espaço X12 do Teorema de Friedrichs é, neste exemplo

o fecho de D(A) na norma H1(0, π) e portanto X12 = H1

0 (0, π). Por outro lado D(A∗) écharacterizado por

D(A∗0) = φ ∈ X : ∃φ∗ ∈ X tal que 〈−u′′, φ〉 = 〈u, φ∗〉, ∀u ∈ D(A0)

e A∗0u = −u′′ para todo u ∈ D(A∗0). Assim, D(A) = H2(0, π)∩H10 (0, π) e Au = −u′′ para

todo u ∈ D(A).

Também do Teorema 1.5.13 sabemos que (−∞,√

2π

) ⊂ ρ(A). Em particular 0 ∈ ρ(A) ese φ ∈ D(A), temos que |φ(x)− φ(y)| 6 |x− y| 12‖φ′‖L2(0,π) = |x− y| 12 〈Aφ, φ〉 12 . Assim, seB é um conjunto limitado de D(A) com a norma do gráfico, então supφ∈B ‖φ′‖L2(0,π) <∞e a família B de funções é equicontínua e limitada em C([0, π],R) com a topologia da con-vergência uniforme. Segue do teorema de Arzelá-Ascoli que B é relativamente compacto


em C([0, π],R) e consequentemente B é relativamente compacto em L2(0, π). Do Exer-cício 1.4.12 temos que A−1 é um operador compacto. Segue que σ(A) = λ1, λ2, λ3, · · · onde λn = n2 ∈ σp(A) com auto-funções φn(x) =

(2π

) 12 sen(nx), n ∈ N.

Capítulo

2Teoria de semigrupos

Neste capítulo apresentamos os fatos básicos da teoria de semigrupos de operadoreslineares e contínuos indispensáveis ao entendimento das técnicas de solução de problemasparabólicos e hiperbólicos semilineares. Começamos com uma revisão da teoria básicamas com o objetivo principal de apresentar a teoria de semigrupos fortemente contínuose semigrupos analíticos. A exposição apresentada neste capítulo segue [2, 6, 7]. Grandeparte da exposição estará concentrada na caracterização dos geradores de semigruposlineares já que nas aplicações da teoria, em geral, conhecemos a equação diferencial e nãoo operador solução.

Consideremos inicialmente a seguinte equação diferencial ordinária em R dada pord

dtx(t) = ax(t),

x(0) = x0,

(2.0.1)

onde a ∈ R. Sabemos que a solução do problema (única, como veremos a seguir) é dadapor x(t) = x0e

at, para t ∈ R. As propriedades da função T (t).= eat que fazem com que

x(t) seja solução do problema são:

(i) T (0) = 1. (ii) ddtT (t) = aT (t).

Usando a definição de derivada, encontremos propriedades de T (t) para que se verifique(ii). Temos

d

dtT (t) = lim

h→0

T (t+ h)− T (t)

h= lim

h→0

ea(t+h) − eat

h= eat lim

h→0

eah − 1

h.

30 Teoria de semigrupos

Assim, para que valha (ii), usamos as propriedades

• ec+d = eced; • limh→0eah−1h

= a.

E o limite acima é equivalente a limh→0 eah − 1 = 0. Logo, utilizamos as propriedades

(a) T (0) = 1.

(b) T (t+ s) = T (t)T (s).

(c) limh→0 T (h)− 1 = 0.

Isto nos motiva fazer a seguinte definição:

Definição 2.0.15. Um semigrupo de operadores lineares em X é uma família

T (t) : t > 0 ⊂ L(X)

tal que

(i) T (0) = I, onde I é o operador identidade em X;

(ii) T (t+ s) = T (t)T (s), para todo t, s > 0.

Se, além disso,

(iii’) ‖T (t)− I‖L(X)t→0+−→ 0, diremos que o semigrupo é uniformemente contínuo;

(iii”) ‖T (t)x − x‖Xt→0+−→ 0, para cada x ∈ X, diremos que o semigrupo é fortemente

contínuo, ou um C0-semigrupo.

Além da função exponencial real, o estudo dos semigrupos de operadores lineares estáassociado ao estudo de problemas de Cauchy lineares da forma

d

dtx(t) = Ax(t),

x(0) = x0,

(2.0.2)

onde A : D(A) ⊂ X → X é um operador linear (em geral ilimitado). O semigrupoT (t) : t > 0 é o operador solução de (2.0.2); isto é, para cada x0 ∈ X, t 7→ T (t)x0 é asolução (em algum sentido) de (2.0.2). Para explicar melhor esta observação consideremosprimeiramente o caso em que A é um operador linear contínuo.

31

Neste caso, o semigrupo t 7→ T (t) é o operador solução (no sentido usual) do problemad

dtT (t) = AT (t)

T (0) = B ∈ L(X).

(2.0.3)

com B = I. Esta solução será denotada por T (t).= eAt. Vamos mostrar que existe uma

única solução para (2.0.3) e que as propriedades de semigrupo estão satisfeitas. Isto seguedo princípio da contração de Banach que enunciamos a seguir.

Lema 2.0.16. Seja X um espaço métrico completo com métrica dX : X×X → R+ e umafunção F : X → X tal que dX(F n(x), F n(y)) 6 k dX(x, y) para algum inteiro positivo ne 0 < k < 1 (F n é uma contração). Então, existe um único x ∈ X tal que F (x) = x. Oponto x é chamado ponto fixo de F .

Agora vamos procurar soluções para (2.0.3) que sejam funções em U(·) ∈ C([0, τ ],

L(X)) ∩ C1((0, τ ], L(X)) : U(0) = B que verifiquem (2.0.3). Seja

K = U(·) ∈ C([0, τ ],L(X)) : U(0) = B

e defina a transformação F : K → K por

F (U)(t) = B +

∫ t

0

AU(s)ds

e observe que uma solução de (2.0.3) é um ponto fixo de F em K e que um ponto fixo deF é uma solução de (2.0.3). Note que K é um espaço métrico completo com a métricainduzida pela norma de C([0, τ ],L(X)). Queremos mostrar que existe um inteiro positivon tal que F n é uma contração. De fato:

‖F (U)(t)− F (V )(t)‖L(X) 6

∣∣∣∣∫ t

0

‖AU(s)− AV (s)‖L(X)ds

∣∣∣∣6 t‖A‖L(X) sup

t∈[0,τ ]

‖U(t)− V (t)‖L(X)

6 τ‖A‖L(X) supt∈[0,τ ]

‖U(t)− V (t)‖L(X)

Suponha que, para t ∈ [0, τ ],

‖F n−1U(t)− F n−1V (t)‖L(X) 6tn−1‖A‖n−1

L(X)

(n− 1)!supt∈[0,τ ]

‖U(t)− V (t)‖L(X),


então

‖F n(U)(t)− F n(V )(t)‖L(X) 6

∣∣∣∣∫ t

0

‖AF n−1U(s)− AF n−1V (s)‖L(X)ds

∣∣∣∣6tn‖A‖nL(X)

n!supt∈[0,τ ]

‖U(t)− V (t)‖L(X)

6τn‖A‖nL(X)

n!supt∈[0,τ ]

‖U(t)− V (t)‖L(X).

Notando queτn‖A‖nL(X)

n!→ 0 quando n → ∞, temos que existe um inteiro positivo n0

tal que F n0 é uma contração e segue do Princípio da Contração de Banach que existeum único ponto fixo para F . É fácil ver que este ponto fixo é uma função contínuamentediferenciável e que satisfaz (2.0.3).

Como a argumentação acima vale para todo τ ∈ R obtemos que toda solução de(2.0.3) está globalmente definida. Vamos agora verificar que a propriedade de semigrupoestá satisfeita para a solução T (t) de (2.0.3) com B = I. Note que U(t) = T (t + s) eV (t) = T (t)T (s) são soluções de (2.0.3) satisfazendo U(0) = V (0) = T (s). Segue daunicidade de soluções que T (t + s) = T (t)T (s). Portanto, T (t) : t ∈ R é um grupouniformemente contínuo de operadores lineares limitados (vide Capítulo 4).

É claro que estaremos interessados em situações mais gerais, já que em muitas apli-cações o operador A não é limitado. Reciprocamente, dado um semigrupo de operadoreslineares qualquer podemos associá-lo a uma equação differencial através da seguinte defi-nição

Definição 2.0.17. Se T (t) : t > 0 ⊂ L(X) é um semigrupo fortemente contínuo deoperadores lineares, seu gerador infinitesimal é o operador definido por A : D(A) ⊂X → X, onde

D(A) =

x ∈ X : lim

t→0+

T (t)x− xt

existe,

Ax = limt→0+

T (t)x− xt

, ∀x ∈ D(A).

Observação 2.0.18. É claro que quando lidamos com equações diferenciais, em geraltrabalhamos com operadores A que não são limitados. De fato, considere X o espaçoC∞(R); isto é, o conjunto das funções infinitamente diferenciáveis de R em R. Mostremos

2.1 Exponencial de um operador linear limitado 33

que não é possível definir uma norma neste espaço de modo que o operador dado por

(Af)(t) =df

dt(t) (a derivada),

seja um operador linear limitado.

Assuma que ‖ · ‖ é uma norma qualquer em X. Considere a função f(t) = eλt, paraλ ∈ R, onde λ > 0 é fixado. Claramente f ∈ X e das propriedades de norma, temos

‖Af‖ =

∥∥∥∥dfdt∥∥∥∥ = ‖λf‖ = λ‖f‖.

Como λ > 0 pode ser tomado arbitrário, é fácil ver que não pode existir C > 0 tal que

‖Ag‖ 6 C‖g‖, para toda g ∈ X,

o que mostra que A não é limitado, em nenhuma norma.

2.1 Exponencial de um operador linear limitado

Exemplo 2.1.1. Seja A ∈ L(X) e defina eAt .=∞∑n=0

Antn

n!. Então eAt : t ∈ R define um

grupo uniformemente contínuo com gerador A e satisfazendo ‖eA t‖L(X) 6 e|t|‖A‖L(X).

A série∞∑n=0

Antn

n!converge absolutamente, uniformemente em subconjuntos compactos

de R, visto que ‖An‖L(X) 6 ‖A‖nL(X), portanto

‖eAt‖L(X) 6∞∑n=0

∥∥∥∥Antnn!

∥∥∥∥L(X)

6∞∑n=0

(|t| ‖A‖L(X))n

n!= e|t| ‖A‖L(X) , t ∈ R.

e

∞∑n=1

∥∥∥∥ Antn−1

(n− 1)!

∥∥∥∥L(X)

6 ‖A‖L(X)

∞∑n=0

(|t| ‖A‖L(X))n

n!= ‖A‖L(X)e

|t| ‖A‖L(X) , t ∈ R.

Portantod

dteAt = AeAt, t ∈ R.


Também‖eAt − I‖L(X) 6 |t|‖A‖L(X)e

|t|‖A‖L(X) → 0

quando t → 0. Segue que eAt : t ∈ R é a única solução de (2.0.3) com B = I. Oresultado agora segue das considerações anteriores.

O resultado a seguir é extremamente útil na obtenção de propriedades de regularidadede semigrupos.

Lema 2.1.2. Seja φ uma função contínua e diferenciável a direita no intervalo [a, b). SeD+φ é contínua em [a, b), então φ é continuamente diferenciável em [a, b).

Prova: Exercício.

Todo semigrupo fortemente contínuo possui uma limitação exponencial que é dada noteorema a seguir.

Teorema 2.1.3. Suponha que T (t) : t > 0 ⊂ L(X) é um semigrupo fortemente contí-nuo. Então, existe M > 1 e β tais que

‖T (t)‖L(X) 6Meβ t, para todo t > 0.

Além disso, para qualquer `>0 podemos escolher β> 1`

log‖T (`)‖L(X) e então escolherM .

Prova: Primeiramente note que existe η > 0 tal que supt∈[0,η] ‖T (t)‖L(X) <∞. Isto é con-sequência do fato que, para cada sequência tnn∈N em (0,∞) com tn

n→∞−→ 0+, T (tn)xn∈Né limitada para todo x ∈ X e, do Princípio da Limitação Uniforme, ‖T (tn)‖L(X)n∈N élimitada.

Escolha ` > 0 tal que sup06t6` ‖T (t)‖L(X) =M< ∞ e seja β > 1`

log ‖T (`)‖L(X) isto é‖T (`)‖L(X) 6 eβ` e então

‖T (n`+ t)‖L(X) = ‖T (`)nT (t)‖L(X) 6 ‖T (`)‖nL(X)‖T (t)‖L(X) 6Meβn`

6Me|β|`eβ(n`+t),

para todo 0 6 t 6 ` e n ∈ N, e a afirmativa segue.

O teorema a seguir caracteriza completamente os semigrupos uniformemente contínuosde operadores através de seus geradores.

2.1 Exponencial de um operador linear limitado 35

Teorema 2.1.4. Dado um semigrupo fortemente contínuo T (t) : t > 0 ⊂ L(X), asseguintes afirmativas são equivalentes:

(a) o semigrupo é uniformemente contínuo;

(b) o seu gerador infinitesimal está definido em todo X;

(c) para algum A em L(X), T (t) = eAt.

Demonstração: Se T (t) = eAt para algum A ∈ L(X) as demais afirmativas foramprovadas no Exemplo 2.1.1.

Se o gerador infinitesimal de T (t) : t > 0 está globalmente definido, então∥∥∥T (t)x−x

t

∥∥∥X

06t61

é limitado para cada x e pelo Princípio da Limitação Uniforme temos que∥∥∥T (t)−I

t

∥∥∥L(X)

06t61

é limitado e portanto T (t) → I quando t → 0+. É suficiente provar que, se T (t)t→0+−→ I

em L(X), existe A ∈ L(X) com T (t) = eAt.Assumindo que T (t) → I quando t → 0+, existe δ > 0 tal que ‖T (t)− I‖L(X) 6 1/2,

0 6 t 6 δ. Ainda

‖T (t+ h)− T (t)‖L(X) = ‖(T (h)− I)T (t)‖L(X) → 0,

‖T (t)− T (t− h)‖L(X) = ‖(T (h)− I)T (t− h)‖L(X) → 0

quando h→ 0+, já que ‖T (t)‖L(X) é limitada em [0, δ]. Portanto t→ T (t) : R+ → L(X)

é contínuo e a integral∫ t

0

T (s)ds está bem definida. Além disso,

∥∥∥∥1

δ

∫ δ

0

T (s)ds− I∥∥∥∥L(X)

6 1/2

e portanto(∫ δ

0

T (s)ds

)−1

∈ L(X). Defina

A = (T (δ)− I)

(∫ δ

0

T (s)ds

)−1

.

Para cada h > 0,

h−1(T (h)− I)

∫ δ

0

T (s)ds = h−1

∫ δ+h

h

T (s)ds−∫ δ

0

T (s)ds

= h−1

∫ δ+h

δ

T (s)ds− h−1

∫ h

0

T (s)dsh→0+−→ T (δ)− I.


Logo h−1(T (h) − I)h→0+−→ A e h−1(T (t + h) − T (t)) = T (t)T (h)−I

h= T (h)−I

hT (t)

h→0+−→T (t)A = AT (t). Portanto t→ T (t) tem uma derivada a direita

d+

dtT (t) = T (t)A = AT (t)

que é contínua para t > 0. Segue do Lema 2.1.2 que t 7→ T (t) é continuamente diferenciá-vel e, da unicidade de soluções para o problema (2.0.3) com B = I segue que T (t) = eAt,t > 0.

Em vista desse teorema a teoria de semigrupos concentra-se no estudo dos semigruposfortemente contínuos e seus geradores.

2.2 Semigrupos de classe C0

O resultado a seguir coleta alguns fatos importantes sobre semigrupos fortemente con-tínuos que serão utilizados com freqüência no restante do capítulo.

Teorema 2.2.1. Suponha que T (t) : t > 0 ⊂ L(X) seja um C0-semigrupo.

1. Para qualquer x ∈ X, a aplicação t→ T (t)x ∈ X é contínua para t > 0.

2. R+ 3 t 7→ ‖T (t)‖L(X) ∈ R+ é semicontínua inferiormente e portanto mensurável.

3. Seja A o gerador infinitesimal de T (t) : t > 0; então, A é densamente definido efechado. Para x ∈ D(A), R+ 3 t 7→ T (t)x ∈ D(A) é continuamente diferenciável e

d

dtT (t)x = AT (t)x = T (t)Ax, t > 0.

4. Para β dado no Teorema 2.1.3, se Reλ > β então λ ∈ ρ(A) e

(λ− A)−1x =

∫ ∞0

e−λtT (t)xdt, ∀x ∈ X

Demonstração: De 1: A continuidade de t 7→ T (t)x é uma consequência do Teorema2.1.3 e do fato que, se t > 0 e x ∈ X,

‖T (t+ h)x− T (t)x‖X = ‖(T (h)− I)T (t)x‖Xh→0+−→ 0,

‖T (t)x− T (t− h)x‖X 6 ‖T (t− h)‖L(X)‖T (h)x− x‖Xh→0+−→ 0.

2.2 Semigrupos de classe C0 37

De 2: Mostramos que t > 0 : ‖T (t)‖L(X) > b é aberto em [0,∞) para cada b o queimplica a afirmativa. Mas ‖T (t0)‖L(X) > b implica que existe x ∈ X com ‖x‖X = 1 talque ‖T (t0)x‖ > b. Segue do item 1 que ‖T (t)x‖ > b para todo t suficientemente próximode t0, logo ‖T (t)‖L(X) > b para t em uma vizinhança de t0 e o resultado segue.

De 3: Sejam x ∈ X e para ε > 0, xε = 1ε

∫ ε

0

T (t)x dt; então xε → x quando ε → 0+ e,

para h > 0,

h−1(T (h)xε − xε) =1

εh

∫ ε+h

ε

T (t)x dt−∫ h

0

T (t)x dt

h→0+−→ 1

ε(T (ε)x− x).

Logo xε ∈ D(A). Será uma consequência imediata do item 4 que A é fechado pois(λ− A)−1 ∈ L(X). Se x ∈ D(A) é claro que

d+

dtT (t)x = lim

h→0+

1

hT (t+ h)x− T (t)x = AT (t)x = T (t)Ax

é contínuo e toda função com derivada a direita contínua é continuamente diferenciável.

De 4: Defina R(λ) ∈ L(X) por

R(λ)x =

∫ ∞0

e−λtT (t)xdt

e note que ‖R(λ)‖L(X) 6 MReλ−β , se Reλ > β e ‖T (t)‖L(X) 6Meβt. Seja x ∈ X e h > 0

h−1(T (h)− I)R(λ)x = R(λ)T (h)x− x

h

= h−1

[∫ ∞h

e−λt+λhT (t)xdt−∫ ∞

0

e−λtT (t)xdt

]= h−1

[−∫ h

0

eλ(h−t)T (t)xdt+

∫ ∞0

(eλh − 1)e−λtT (t)xdt

]h→0+−→ −x+ λR(λ)x.

(2.2.1)

Portanto R(λ)x ∈ D(A) e (λ − A)R(λ)x = x, e λ − A é sobrejetivo. Também, sex ∈ D(A) então, integrando por partes, R(λ)Ax = λR(λ)x − x = AR(λ)x. Segue que(λ − A)R(λ)x = x = R(λ)(λ − A)x para todo x ∈ D(A) e λ − A é também injetora.Logo (λ − A) é uma bijeção de D(A) sobre X com inversa limitada R(λ) e a prova estácompleta.


2.2.1 Iterações de operadores

Definição 2.2.2. Sejam T (t) : t > 0 um C0-semigrupo e A seu gerador infinitesimal.Defina A0 .

= I, A1 .= A e estando definido Am−1, definimos

D(Am) = x ∈ X : x ∈ D(Am−1) e Am−1x ∈ D(A),

e assim Amx.= A(Am−1x), para todo x ∈ D(Am).

Proposição 2.2.3. Sejam T (t) : t > 0 um C0-semigrupo e A seu gerador infinitesimal.Então

1. D(Am) é um subespaço vetorial de X e Am : D(Am) ⊂ X → X é um operadorlinear.

2. Se x ∈ D(Am) então T (t)x ∈ D(Am) para todo t > 0 e

dm

dtmT (t)x = AmT (t)x = T (t)Amx.

3. Fórmula de Taylor: se x ∈ D(Am) e t0 > 0 temos

T (t)x =m−1∑k=0

(t− t0)k

k!AkT (t0)x+

1

(m− 1)!

∫ t

t0

(t− s)m−1AmT (t0)xds.

4. Para cada x ∈ D(Am) temos

(T (t)− I)mx =

∫ t

0

· · ·∫ t

0

T (s1 + · · · sm)ds1 · · · dsm.

5. ∩m>1D(Am) é denso em X.

Demonstração: De 1 fica como exercício ao leitor.

De 2: o caso m = 1 é o item 3 do Teorema 2.2.1. Agora suponha por indução que oresultado seja válido para m e o provemos para m+ 1. Para isto, seja x ∈ D(Am+1), logox ∈ D(Am) e da hipótese de indução temos T (t)x ∈ D(Am). Além disso, Amx ∈ D(A) eassim

AmT (t)x = T (t)Amx ∈ D(A),


e portanto T (t)x ∈ D(Am+1). Finalmente

dm+1

dtm+1T (t)x =

d

dt

dm

dtmT (t)x =

d

dtT (t)Amx = AT (t)Amx = T (t)Am+1x.

De 3: Para m = 1, temos

T (t)x− T (t0)x =

∫ t

t0

d

dsT (s)xds =

∫ t

t0

AT (s)xds.

O restante da demonstração deste item é feito por indução, e deixado a cargo do leitor.

De 4: Para m = 1, o resultado segue do caso m = 1 do item 3 deste teorema, comt0 = 0.

Novamente, este item segue por indução e deixamos a demonstração a cargo do leitor.

De 5: Seja φ : R → R uma função em C∞(R) com φ(t) = 0 em uma vizinhança de

t = 0 e também para t suficientemente grande, seja x ∈ X e f =

∫ ∞0

φ(t)T (t)x dt. Segue

facilmente de h−1(T (h)f − f) = h−1

∫ ∞h

(φ(t − h) − φ(t))T (t)x dt que f ∈ D(A) e que

Af = −∫ ∞

0

φ′(t)T (t)x dt. Como −φ′ satisfaz as mesmas condições que φ,

Amf = (−1)m∫ ∞

0

φ(m)(t)T (t)x dt

para todo m ≥ 1 e f ∈ ∩m>1D(Am). Para mostrar que tal conjunto de pontos é denso emX, escolha φ acima satisfazendo também

∫∞0φ(t)dt = 1; então se fn =

∫∞0nφ(nt)T (t)xdt =∫∞

0φ(s)T (s/n)xds, n ∈ N e temos que fn ∈ ∩m>1D(Am) e fn → x quando n→∞.

Exercício 2.2.4. Seja A : D(A) ⊂ X → X um operador fechado, densamente definido ecom 1 ∈ ρ(A).

1. D(A2)X

= X

2. Ym.= (D(Am), ‖ · ‖m) é um espaço de Banach, para cada m ∈ N, onde

‖x‖m =m∑k=0

‖Akx‖X .

3. D(A2)Y1

= Y1 (Sugestão: tome D(A) 3 fn → Ax ∈ X, xn = (I − A)−1(x − fn) emostre que xn → x e Axn → Ax).


Observação 2.2.5. Segue imediatamente do Exercício 2.2.4 que se u : R+ → X é umafunção tal que

(i) u(t) ∈ D(Am) para cada t ∈ I ⊂ R+ aberto;

(ii) u possui n derivadas e

dku

dtk∈ D(Am), para todo t ∈ I e k = 1, · · · , n;

(iii) as funções Aj dkudtk

, para j = 0, · · · ,m e k = 0, · · · , n são contínuas em I;

então u ∈ Cn(I, Ym).

Proposição 2.2.6. Se A é o gerador infinitesimal de um C0-semigrupo T (t) : t > 0então para cada x ∈ D(Am) temos que a aplicação R+ 3 t 7→ T (t)x está em Cm−k(R+, Yk),para cada k = 0, · · · ,m.

Demonstração: Se x ∈ D(Am) então x ∈ D(Ak) e Akx ∈ D(Am−k), para cada k =

0, · · · ,m. Da Proposição 2.2.3, segue que para 0 6 j 6 m− k

dj

dtjT (t)x = AjT (t)x = T (t)Ajx,

e como Ajx ∈ D(Am−j) segue que dj

dtjT (t)x ∈ D(Am−j) ⊂ D(Ak). Ainda, se i = 0, · · · , k,

temos 0 6 i+ j 6 m e assim

Aidj

dtjT (t)x = Ai+jT (t)x = T (t)Ai+jx,

que é contínua na variável t. O resultado segue agora da Observação 2.2.5.

2.2.2 Unicidade

Teorema 2.2.7. Sejam T (t) : t > 0 e S(t) : t > 0 semigrupos fortemente contínuoscom geradores infinitesimais A e B repectivamente. Se A = B então T (t) = S(t), t > 0.

Demonstração: Seja x ∈ D(A) = D(B). Do Teorema 2.2.1 segue facilmente que afunção s 7→ T (t− s)S(s)x é diferenciável e que

d

dsT (t− s)S(s)x = −AT (t− s)S(s)x+ T (t− s)BS(s)x

= −T (t− s)AS(s)x+ T (t− s)BS(s)x = 0.


Portanto s 7→ T (t− s)S(s)x é constante e em particular seus valores em s = 0 e s = t

são os mesmos, isto é T (t)x = S(t)x. Isto vale para todo x ∈ D(A) e como D(A) é densoem X e S(t), T (t) são limitados, T (t)x = S(t)x para todo x ∈ X.

2.2.3 Exemplos de semigrupos e geradores infinitesimais

1. O semigrupo das translações

Considere Cu(R) o espaço das funções uniformemente contínuas e limitadas de R emR. Em Cu(R) defina, para cada t > 0 a seguinte aplicação:

T (t) : Cu(R)→ Cu(R)

u 7→ T (t)u.= u(t+ ·)

Considere em Cu(R) a norma uniforme, dada por

‖u‖ .= supt∈R|u(t)|.

É simples verificar que com esta norma, o espaço Cu(R) é um espaço de Banach, e quepara cada t > 0, a aplicação T (t) é um operador linear limitado (unitário) de Cu(R).

Verifiquemos agora que T (t) : t > 0 é um C0-semigrupo em Cu(R).

(i) T (0)u = u(0 + ·) = u, logo T (0) = I em Cu(R).

(ii) T (t)T (s)u = T (t)u(s+ ·) = u(t+ s+ ·) = T (t+ s)u, para todo t, s > 0 e u ∈ Cu(R).

(iii) Sejam u ∈ Cu(R) e ε > 0. Da continuidade uniforme de u, existe δ > 0 tal que se0 < t < δ, então sups∈R |u(t+ s)− u(s)| < ε; isto é, ‖T (t)u− u‖ < ε para 0 < t < δ

e portanto, para cada u ∈ Cu(R), temos

‖T (t)u− u‖ t→0+−−−→ 0.

Para completar a análise deste semigrupo, encontremos seu gerador infinitesimal; epara isto, o denotemos por A : D(A) ⊂ Cu(R) → Cu(R). Se u ∈ D(A) então temos queAu = limh→0+

T (h)u−uh

, e tal limite existe (na norma uniforme). Mas

(Au)(s) = limh→0+

u(h+ s)− u(s)

h=d+u

dt(s),


onde o limite existe na norma uniforme, portanto d+udt

existe e é uniformemente contínua.Do Lema 2.1.2, du

dtexiste e é uniformemente contínua.

Reciprocamente, se u ∈ Cu(R) e dudt

existe e é uniformemente contínua, do Teoremado Valor Médio, dado h > 0 existe ξt,h ∈ (t, t+ h) tal que

T (h)u(t)− u(t)

h− du

dt(t) =

du

dt(ξt,h)−

du

dt(t),

e como ξt,hh→0−−→ t, a continuidade uniforme de du

dtgarante que limh→0+

T (h)u−uh

existeuniformemente; logo u ∈ D(A) e

Au =du

dt.

Portanto D(A) = u ∈ Cu(R) : dudt

existe e é uniformemente contínua e para u ∈D(A) temos Au = du

dt.

2. Translações de geradores

Sejam T (t) : t > 0 um C0-semigrupo em um espaço de Banach X, A seu geradorinfinitesimal e β ∈ R. Então a família S(t) : t > 0 dada por

S(t) = eβtT (t), para cada t > 0,

define um C0-semigrupo em X e A+ βI é o seu gerador infinitesimal.A demonstração destes fatos é deixada a cargo do leitor.

Capítulo

3

Geração de semigrupos

3.1 Teorema de Hille-Yosida

Teorema 3.1.1 (Hille-Yosida). Suponha que A : D(A) ⊂ X → X é um operador linear.Então os fatos seguintes são equivalentes:

(i) A é o gerador infinitesimal de um semigrupo fortemente contínuo T (t) : t > 0 ⊂L(X) tal que

‖T (t)‖L(X) 6 eωt, para todo t > 0;

(ii) A é um operador linear fechado, densamente definido com ρ(A) ⊃ (ω,∞) e

‖(λ− A)−1‖L(X) 61

λ− ω, ∀λ > ω.

Demonstração: Que (i) implica (ii) segue do Teorema 2.2.1, parte 3, em particular:

‖(λ− A)−1x‖X 6∫ ∞

0

e−λt‖T (t)x‖Xdt 61

λ− ω‖x‖X , se λ > ω.

Note que T1(t).= T (t)e−ωt é um semigrupo com ‖T1(t)‖L(X) 6 1 (chamado semigrupo

de contrações) e o gerador de T1(t) : t > 0 é A−ω logo é suficiente tratar o caso ω = 0.Suponha que (ii) vale com ω = 0. Para λ > 0 temos

‖λ(λ− A)−1‖L(X) 6 1, λ(λ− A)−1 = I + A(λ− A)−1,

44 Geração de semigrupos

então x ∈ D(A) implica

‖λ(λ− A)−1x− x‖X = ‖(λ− A)−1Ax‖X 6 λ−1‖Ax‖X → 0,

quando λ→∞ e, como A é densamente definido,

λ(λ− A)−1x→ x, para cada x ∈ X. (3.1.1)

Para cada λ > 0, defina Aλ = λA(λ− A)−1 ∈ L(X). Então,

‖Aλ‖L(X) = λ‖A(λ− A)−1‖L(X) 6 2λ

e se x ∈ D(A), Aλx→ Ax quando λ→∞. Aλ é chamada de aproximação de Yosida

do operador A. Obtemos T (t) como o limite de etAλ quando λ→∞. Primeiro note queAλ = λ2(λ− A)−1 − λI, logo

‖etAλ‖L(X) = ‖e−λtetλ2(λ−A)−1‖L(X) 6 e−λtetλ2‖(λ−A)−1‖L(X) 6 1

e para qualquer λ, µ > 0 (e t > 0), uma vez que AλAµ = AµAλ,

‖etAλx− etAµx‖X =

∥∥∥∥∫ 1

0

d

ds(etsAλet(1−s)Aµx)ds

∥∥∥∥X

6∫ 1

0

t∥∥etsAλet(1−s)Aµ(Aλx− Aµx)

∥∥Xds

6 t‖Aλx− Aµx‖X .

Portanto para x ∈ D(A), T (t)x.= limλ→∞ e

tAλx existe uniformemente para 0 6 t 6 t0,qualquer que seja t0 > 0. Assim, [0,∞) 3 t → T (t)x ∈ X é contínuo para t > 0 elimt→0+ ‖T (t)x − x‖X = 0 e ‖T (t)x‖X 6 ‖x‖X . Podemos definir de forma única T (t) ∈L(X) para cada t > 0.

Se x ∈ X, dado ε > 0 existem x1 ∈ D(A) e δ > 0 tais que, ‖x1 − x‖X < ε/3 e‖T (t)x1 − x1‖X < ε/3, t ∈ [0, δ]. Assim, para todo t ∈ [0, δ],

‖T (t)x− x‖X 6 ‖T (t)(x− x1)‖X + ‖T (t)x1 − x1‖X + ‖x1 − x‖X < ε.

Isto mostra que limt→0+ ‖T (t)x− x‖X = 0 para todo x ∈ X.

Se x ∈ D(A2), então limλ→∞ etAλx = T (t)x e limλ→∞ e

tAλAx = T (t)Ax. Do fato que A

3.1 Teorema de Hille-Yosida 45

é fechado obtemos que T (t)x ∈ D(A) e AT (t)x = T (t)Ax. Segue da parte 3. do Exercício2.2.4 que T (t)x ∈ D(A) sempre que t ≥ 0 e x ∈ D(A). Disto obtemos facilmente queT (t)(T (s)x) = T (t + s)x para todo x ∈ D(A) e t, s > 0. Da densidade de D(A) em X,obtemos que T (t)(T (s)x) = T (t+ s)x, para todo x ∈ X e t, s > 0.

Portanto T (t) : t > 0 ⊂ L(X) é um semigrupo fortemente contínuo. Só resta provarque A é o seu gerador.

Seja x ∈ D(A2), então

T (t)x− x = limλ→∞

(etAλx− x) = limλ→∞

∫ t

0

esAλAλxds

=

∫ t

0

T (s)Axds.

Tomando limites, a igualdade acima também vale para x ∈ D(A) (isto é feito usandoa parte 3. do Exercício 2.2.4).

Agora 1t(T (t)x− x) = 1

t

∫ t

0

T (s)Axds→ Ax quando t→ 0+, para qualquer x ∈ D(A).

Portanto o gerador B de T (t) deve ser uma extensão de A (isto éD(B) ⊃ D(A) e Bx = Ax

quando x ∈ D(A)). Mas, por hipótese, 1 ∈ ρ(A) e, do fato que B é o gerador de umsemigrupo fortemente contínuo de contrações, 1 ∈ ρ(B). Logo

X = (I − A)D(A) = (I −B)D(A),

então (I − B)D(A) = X = (I − B)D(B), D(A) = R((I − B)−1) = D(B), e segue queA = B e a prova está completa.

Ambas as condições (i) e (ii) dependem da escolha da norma em X. Daremos umaformulação independente da norma, mas na prática devemos usualmente procurar normasespeciais para a qual o Teorema 3.1.1 se aplica.

Lema 3.1.2. Suponha que A é um operador linear fechado cujo conjunto resolvente con-tém (0,∞) e que satisfaz

‖(λ− A)−n‖L(X) 6Mλ−n, n > 1, λ > 0.

Então existe uma norma | · |X em X tal que

‖x‖X 6 |x|X 6M‖x‖X , ∀x ∈ X


e|(λ− A)−1x|X 6 λ−1|x|X , ∀x ∈ X, λ > 0.

Demonstração: Se µ > 0 e |µ− λ| < µ então

(λ− A)−1 = (λ− µ+ (µ− A))−1 =∞∑k=0

(µ− λ)k(µ− A)−k−1

A série converge pois|µ− λ|µ

< 1 e

‖(µ− λ)k(µ− A)−k−1‖L(X) 6M|µ− λ|k

µk+1.

Isto vale, em particular, para 0 < λ < µ e como esta é uma série de potências

1

p!

(d

dλ

)p(λ− A)−1 = (−1)p(λ− A)−p−1

=∞∑k=p

(−1)pk!(µ− λ)k−p

p!(k − p)!(µ− A)−k−1,

então

(λ− A)−p−1 =∞∑k=p

(k

p

)(µ− λ)k−p(µ− A)−k−1 (3.1.2)

e 0 < λ < µ

‖λp+1(λ− A)−p−1x‖X 6∞∑k=p

(k

p

)(µ− λµ

)k−p(λ

µ

)p+1

‖µk+1(µ− A)−k−1x‖X .

Defina ‖x‖µ = supn>0 ‖µn(µ− A)−nx‖X para µ > 0, então ‖x‖X 6 ‖x‖µ 6 M‖x‖X epara 0 < λ < µ, ‖x‖λ 6 ‖x‖µ pois, para todo p ∈ N,

‖λp+1(λ− A)−p−1x‖X 6∞∑k=p

(k

p

)(µ− λµ

)k−p(λ

µ

)p+1

‖x‖µ = ‖x‖µ

onde, na última igualdade, utilizamos (3.1.2) com A = 0. Como λ 7→ ‖x‖λ é crescente elimitada superiormente, seja

|x|X = limλ→∞‖x‖λ = sup

λ>0‖x‖λ,

3.1 Teorema de Hille-Yosida 47

que é é uma norma em X.Então ‖x‖X 6 |x|X 6M‖x‖X e para 0 < λ < µ

‖µp(µ− A)−pλ(λ− A)−1x‖X = ‖λ(λ− A)−1µp(µ− A)−px‖X6 ‖µp(µ− A)−px‖λ6 ‖µp(µ− A)−px‖µ 6 ‖x‖µ 6 |x|X

então ‖λ(λ− A)−1x‖µ 6 |x|X e |λ(λ− A)−1x|X 6 |x|X .

Teorema 3.1.3 (Forma Geral do Teorema de Hille-Yosida). Seja A : D(A) ⊂ X → X

um operador linear. As seguintes afirmativas são equivalentes

(i) A é o gerador infinitesimal de um semigrupo fortemente contínuo T (t) : t > 0 ⊂L(X) tal que

‖T (t)‖L(X) 6Meωt, ∀t > 0;

(ii) A é fechado, densamente definido, o conjunto resolvente de A contém (ω,∞) e

‖(λ− A)−n‖L(X) 6M(λ− ω)−n, ∀λ > ω, n = 1, 2, · · · .

Demonstração: Considerando e−ωtT (t) e A − ω podemos supor sem perda de genera-lidade que ω = 0. Suponha (i), da parte 5. do Teorema 2.2.1, qualquer λ > 0 está noconjunto resolvente de A e

(λ− A)−1x =

∫ ∞0

e−λtT (t)xdt

e derivando, temos

(λ− A)−p−1x =1

p!

∫ ∞0

e−λttpT (t)xdt

logo ‖(λ− A)−p−1x‖X 6 1p!

∫ ∞0

e−λttpdt M‖x‖X = λ−p−1M‖x‖X para p = 0, 1, 2, · · · .

Agora suponha que (ii) vale (com ω = 0). Pelo Lema 3.1.2, podemos escolher umanorma equivalente |·|X para X, tal que ‖x‖X 6 |x|X 6M‖x‖X e |(λ−A)−1x|X 6 λ−1|x|Xpara λ > 0. Portanto o Teorema 3.1.1 (Teorema de Hille-Yosida) se aplica e A gera umsemigrupo fortemente contínuo T (t) : t > 0 com |T (t)x|X 6 |x|X donde conluímos que

‖T (t)x‖X 6 |T (t)x|X 6 |x|X 6M‖x‖X .


Teorema 3.1.4. Seja X um espaço de Banach reflexivo e T (t) : t > 0 um C0-semigrupocom gerador infinitesimal A. Então, definindo T ∗(t) : t > 0 por T ∗(t) = T (t)∗, parat > 0, em L(X∗), então T ∗(t) : t > 0 é um C0-semigrupo e A∗ seu gerador infinitesimal.

Demonstração: Como, por hipótese, X é um espaço de Banach reflexivo e A é fechadoe densamente definido, A∗ é também fechado e densamente definido. Além disso, seλ ∈ ρ(A) então λ ∈ ρ(A∗) e ((λ− A)−1)∗ = (λ− A∗)−1.

Como A é o gerador infinitesimal de um C0-semigrupo, existem constantes ω ∈ R eM > 1 tais que se (ω,∞) ⊂ ρ(A) e

‖(λ− A)−n‖L(X) 6M

(λ− ω)n, para todo λ > ω e n ∈ N.

Assim, (ω,∞) ⊂ ρ(A∗) e

‖(λ− A∗)−n‖L(X∗) = ‖(λ− A)−n‖L(X) 6M

(λ− ω)n, para todo λ > ω e n ∈ N,

e portanto A∗ é o gerador infinitesimal de um C0-semigrupo T ∗(t) : t > 0 em X∗. Mas,para cada x∗ ∈ X∗, temos

T ∗(t)x∗ = limλ→∞

eA∗λtx∗ = lim

λ→∞

(eAλt

)∗x∗ = T (t)∗x∗.

Corolário 3.1.5. Um C0-semigrupo T (t) : t > 0 é auto-adjunto; isto é T (t)∗ = T (t)

para todo t > 0, se, e somente se, A é um operador auto-adjunto.

3.2 Operadores dissipativos

Definição 3.2.1. Seja X um espaço de Banach sobre K. A aplicação dualidade J : X →2X∗ é uma função multívoca definida por

J(x) = x∗ ∈ X∗ : Re〈x, x∗〉 = ‖x‖2X , ‖x∗‖X∗ = ‖x‖X.

Sabemos que J(x) 6= ∅ pelo Teorema de Hahn-Banach.

Definição 3.2.2. Um operador linear A : D(A) ⊂ X → X é dissipativo se para cadax ∈ D(A) existe x∗ ∈ J(x) tal que Re 〈Ax, x∗〉 6 0.

3.2 Operadores dissipativos 49

Exercício 3.2.3. Mostre que se X∗ é uniformemente convexo e x ∈ X, então J(x) éunitário.

Lema 3.2.4. O operador linear A é dissipativo se, e somente se,

‖(λ− A)x‖X > λ‖x‖X , para todo x ∈ D(A) e λ > 0. (3.2.1)

Demonstração: Se A é dissipativo, λ > 0, x ∈ D(A), x∗ ∈ J(x) e Re〈Ax, x∗〉 6 0,

‖λx− Ax‖X‖x‖X > |〈λx− Ax, x∗〉| > Re〈λx− Ax, x∗〉 > λ‖x‖2X

e (3.2.1) segue. Reciprocamente, dado x ∈ D(A) suponha que (3.2.1) vale para todoλ > 0. Se y∗λ ∈ J((λ− A)x) e g∗λ = y∗λ/‖y∗λ‖X∗ temos

λ‖x‖X 6 ‖λx− Ax‖X = 〈λx− Ax, g∗λ〉 = λRe〈x, g∗λ〉 − Re〈Ax, g∗λ〉

6 λ‖x‖X − Re〈Ax, g∗λ〉(3.2.2)

Como a bola unitária de X∗ é compacta na topologia fraca∗ temos que existe g∗ ∈ X∗

com ‖g∗‖X∗ 6 1 tal que g∗ é um ponto limite da sequência g∗n. De (3.2.2) segueque Re〈Ax, g∗〉 6 0 e Re〈x, g∗〉 > ‖x‖X . Mas Re〈x, g∗〉 6 |〈x, g∗〉| 6 ‖x‖X e portantoRe〈x, g∗〉 = ‖x‖X . Tomando x∗ = ‖x‖Xg∗ temos x∗ ∈ J(x) e Re〈Ax, x∗〉 6 0. Portanto,para todo x ∈ D(A) existe x∗ ∈ J(x) tal que Re〈Ax, x∗〉 6 0 e A é dissipativo.

Teorema 3.2.5 (Lumer). Suponha que A é um operador linear em um espaço de BanachX. Se A é dissipativo e Im(λ0 − A) = X para algum λ0 > 0, então A é fechado,ρ(A) ⊃ (0,∞) e

‖λ(λ− A)−1‖L(X) 6 1, para todo λ > 0.

Demonstração: Se λ > 0 e x ∈ D(A), do Lema 3.2.4 temos que

‖(λ− A)x‖X > λ‖x‖X .

Agora Im(λ0 − A) = X, ‖(λ0 − A)x‖X > λ0‖x‖X para x ∈ D(A), logo λ0 está noconjunto resolvente de A e A é fechado.

Seja Λ = ρ(A) ∩ (0,∞). Λ é um conjunto aberto em (0,∞) já que ρ(A) é aberto,provaremos que Λ é também fechado em (0,∞) para concluir que Λ = (0,∞). Suponhaque λn∞n=1 ⊂ Λ, λn → λ > 0, se n é suficientemente grande temos que |λn − λ| 6 λ/3

então, para n grande, ‖(λ−λn)(λn−A)−1‖L(X) 6 |λn−λ|λ−1n 6 1/2 e I+(λ−λn)(λn−A)−1


é um isomorfismo de X. Então

λ− A =I + (λ− λn)(λn − A)−1

(λn − A) (3.2.3)

leva D(A) sobre X e λ ∈ ρ(A), como queríamos.

Corolário 3.2.6. Seja A um operador linear fechado e densamente definido. Se ambosA e A∗ são dissipativos, então ρ(A) ⊃ (0,∞) e

‖λ(λ− A)−1‖L(X) 6 1, para todo λ > 0.

Demonstração: Pelo Teorema 3.2.5 é suficiente provar que Im(I − A) = X. Como Aé dissipativo e fechado, Im(I − A) é um subespaço fechado de X. Seja x∗ ∈ X∗, tal que〈(I − A)x, x∗〉 = 0 para todo x ∈ D(A). Isto implica que x∗ ∈ D(A∗) e (I∗ − A∗)x∗ = 0.Como A∗ é também dissipativo segue do Lema 3.2.4 que x∗ = 0. Segue que Im(I − A) édensa em X e, como Im(I − A) é fechada, Im(I − A) = X.

Faremos agora alguma propriedades de operadores dissipativos.

Teorema 3.2.7. Seja A um operador dissipativo em X.

(a) Se para algum λ0 > 0, Im(λ0 − A) = X então Im(λ− A) = X para todo λ > 0.

(b) Se A é fechável então seu fecho A é também dissipativo.

(c) Se D(A) = X então A é fechável.

Demonstração: A parte (a) segue do Teorema de Lumer. Para provar (b), seja x ∈D(A), y = Ax. Então existe uma sequência xnn∈N ⊂ D(A) tal que xn → x e Axn →y = Ax. Do Teorema 3.2.4 segue que ‖λxn − Axn‖X > λ‖xn‖X para λ > 0 e fazendon→∞ temos

‖λx− Ax‖X > λ‖x‖X , para todo λ > 0.

Como a desigualdade acima para todo x ∈ D(A), A é dissipativo pelo Teorema 3.2.4.Para provar (c) assuma que A não é fechável. Então existe uma sequência xnn∈N talque xn ∈ D(A), xn → 0 and Axn → y com ‖y‖X = 1. Do Teorema 3.2.4, segue que paratodo t > 0 e x ∈ D(A)∥∥∥∥(x+

1

txn)− tA(x+

1

txn)

∥∥∥∥X

>

∥∥∥∥x+1

txn

∥∥∥∥X

.

3.2 Operadores dissipativos 51

Fazendo n→∞ e então fazendo t→ 0 temos ‖x− y‖X > ‖x‖X para todo x ∈ D(A).Mas isto é impossível de acontecer se D(A) é denso em X e portanto A é fechável.

Teorema 3.2.8. Seja A dissipativo com Im(I −A) = X. Se X é reflexivo então D(A) =

X.

Demonstração: Seja x∗ ∈ X∗ tal que 〈x, x∗〉 = 0 para todo x ∈ D(A). Mostraremosque x∗ = 0. Como Im(I − A) = X é suficiente mostrar que 〈x − Ax, x∗〉 = 0 para todox ∈ D(A) o que é equivalente a 〈Ax, x∗〉 = 0 para todo x ∈ D(A). Seja x ∈ D(A)

então, pelo Teorema 3.2.7, parte (a), existe um xn tal que x = xn − (1/n)Axn. ComoAxn = n(xn−x) ∈ D(A), xn ∈ D(A2) e Ax = Axn−(1/n)A2xn ou (I−(1/n)A)Axn = Ax.Do Lema 3.2.4 segue que ‖Axn‖X 6 ‖Ax‖X . Assim, ‖xn − x‖X 6 (1/n)‖Axn‖X 6(1/n)‖Ax‖X e xn

n→∞−→ x. Como X é reflexivo, existe uma subsequência Axnk de Axn talque Axnk

w−→ f quando k →∞. Segue do fato que A é fechado que f = Ax. Finalmente,como 〈y, x∗〉 = 0 para todo y ∈ D(A), temos

〈Axnk , x∗〉 = nk〈xnk − x, x∗〉 = 0. (3.2.4)

Fazendo nk →∞ em (3.2.4) temos 〈Ax, x∗〉 = 0. Isto vale para x ∈ D(A) e portantox∗ = 0 e D(A) = X.

Em muitos exemplos, a técnica utilizada para obter estimativas para o operador re-solvente de um operador dado, bem como localizar o seu espectro, é a determinação desua imagem numérica (definida a seguir).

Se A é um operador linear em um espaço de Banach complexo X a sua imagemnumérica W (A) é o conjunto

W (A) := 〈Ax, x∗〉: x ∈ D(A), x∗ ∈ X∗, ‖x‖X =‖x∗‖X∗ = 〈x, x∗〉 = 1. (3.2.5)

No caso em que X é um espaço de Hilbert

W (A) = 〈Ax, x〉 : x ∈ D(A), ‖x‖ = 1.

Teorema 3.2.9. Seja A : D(A) ⊂ X → X um operador fechado densamente definido.Seja W (A) a imagem numérica de A.


1. Se λ /∈ W (A) então λ− A é injetora e tem imagem fechada e satisfaz

‖(λ− A)x‖X > d(λ,W (A))‖x‖X . (3.2.6)

onde d(λ,W (A)) é a distância de λ a W (A). Além disso, se λ ∈ ρ(A),

‖(λ− A)−1‖L(X) 61

d(λ,W (A)). (3.2.7)

2. Se Σ é um subconjunto aberto e conexo em C\W (A) e ρ(A)∩Σ 6= ∅, então ρ(A) ⊃ Σ

e (3.2.7) está satisfeita para todo λ ∈ Σ.

Demonstração: Seja λ /∈ W (A). Se x ∈ D(A), ‖x‖X = 1, x∗ ∈ X∗, ‖x∗‖X∗ = 1 e〈x, x∗〉 = 1 então

0 < d(λ,W (A)) ≤ |λ− 〈Ax, x∗〉| = |〈λx− Ax, x∗〉| 6 ‖λx− Ax‖X (3.2.8)

e portanto λ−A é injetora, tem imagem fechada e satisfaz (3.2.6). Se além disso λ ∈ ρ(A)

então (3.2.8) implica (3.2.7).Resta mostrar que se Σ intercepta ρ(A) então ρ(A) ⊃ Σ. Para este fim considere o

conjunto ρ(A) ∩ Σ. Este conjunto é obviamente aberto em Σ. Mas também é fechado jáque λn ∈ ρ(A) ∩ Σ e λn → λ ∈ Σ implica que para n suficientemente grande |λ − λn| <d(λn,W (A)). Disto e de (3.2.7) segue que para n grande, |λ− λn| ‖(λn − A)−1‖L(X) < 1

e, como na prova do Teorema 1.1.11, temos que λ ∈ ρ(A) e portanto ρ(A) ∩ Σ é fechadoem Σ. Segue que ρ(A) ∩ Σ = Σ ou seja ρ(A) ⊃ Σ, como queríamos.

Exemplo 3.2.10. Seja H um espaço de Hilbert sobre K e A : D(A) ⊂ H → H umoperador auto-adjunto. Segue que A é fechado e densamente definido. Se A é limitadosuperiormente; isto é, 〈Au, u〉 6 a〈u, u〉 para algum a ∈ R, então C\(−∞, a] ⊂ ρ(A), e

‖(A− λ)−1‖L(X) 6M

|λ− a|,

para alguma constante M > 1 dependendo somente de ϕ e para todo λ ∈ Σa,ϕ = λ ∈ C :

|arg(λ− a)| < ϕ, ϕ < π.

Demonstração: Vamos começar localizando a imagem numérica de A. Primeiramentenote que

W (A) = 〈Ax, x〉 : x ∈ D(A), ‖x‖ = 1 ⊂ (−∞, a].

3.3 Teorema de Lumer-Phillips 53

Note que A− a = A∗ − a são dissipativos e portanto, do Corolário 3.2.6, ρ(A− a) ⊃(0,∞). Do Teorema 3.2.9 temos que C\(−∞, a] ⊂ ρ(A) e que

‖(λ− A)−1‖L(X) 61

d(λ,W (A))6

1

d(λ, (−∞, a]).

Além disso, se λ ∈ Σa,ϕ temos que

1

d(λ, (−∞, a])≤ 1

sinϕ

1

|λ− a|

e o resultado segue.

Exercício 3.2.11. Seja X um espaço de Banach tal que X∗ é estritamente convexoe A : D(A) ⊂ X → X um operador fechado, densamente definido e dissipativo. SeIm(I − A) = X, mostre que ρ(A) ⊃ λ ∈ C : Reλ > 0 e que

‖(λ− A)−1‖L(X) 61

Reλ, para todo λ ∈ Σ0,π

2.

3.3 Teorema de Lumer-Phillips

Teorema 3.3.1 (Lumer-Phillips). Suponha que A : D(A) ⊂ X → X é um operadorlinear em um espaço de Banach X.

(i) Se A é o gerador infinitesimal de um C0-semigrupo de contrações, então A é fechado,densamente definido, dissipativo (veja Definição 3.2.1) e Im(λ− A) = X para todoλ > 0. De fato, Re 〈Ax, x∗〉 6 0 para todo x∗ ∈ J(x).

(ii) Se A é dissipativo, D(A) = X e Im(λ0 − A) = X para algum λ0 > 0, então A é ogerador de um C0-semigrupo de contrações.

Demonstração: (i) Do Teorema de Hille-Yosida, se A gera um semigrupo fortementecontínuo T (t) : t > 0 com ‖T (t)‖L(X) 6 1 para todo t > 0, então Im(λ− A) = X paratodo λ > 0 e para qualquer x ∈ X, x∗ ∈ J(x), t > 0,

|〈T (t)x, x∗〉| 6 ‖x∗‖X∗‖T (t)x‖X 6 ‖x‖2X

então,

Re

⟨T (t)x− x

t, x∗⟩

=1

t

Re 〈T (t)x, x∗〉 − ‖x‖2

X

6 0.


Portanto se x ∈ D(A), Re 〈Ax, x∗〉 6 0.(ii) Do Teorema 3.2.5, todas as hipóteses do Teorema 3.1.1 (Teorema de Hille-Yosida)

(ii) estão verificadas e a prova está completa.

O seguinte resultado é uma conseqüência imediata do Corolário 3.2.6 e do Teorema3.3.1 (Teorema de Lumer-Phillips).

Corolário 3.3.2. Seja A um operador linear fechado e densamente definido. Se ambosA e A∗ são dissipativos, então A é o gerador infinitesimal de um semigrupo fortementecontínuo de contrações em X.

Exemplo 3.3.3. Seja H um espaço de Hilbert e A : D(A) ⊂ H → H um operador auto-adjunto (consequentemente, A é fechado e densamente definido). Suponha que A sejalimitado superiormente; isto é, que exista uma constante a ∈ R tal que 〈Au, u〉 6 a〈u, u〉.Então C\(−∞, a] ⊂ ρ(A), e existe uma constante M > 1 dependendo somente de ϕ talque

‖(λ− A)−1‖L(H) 6M

|λ− a|,

para todo λ ∈ Σa = λ ∈ C : |arg(λ − a)| ≤ ϕ, ϕ < π. Segue que A é o gerador de umsemigrupo fortemente contínuo T (t) : t > 0 satisfazendo

‖T (t)‖L(H) 6 ea t.

Na verdade T (t) : t > 0 é um semigrupo analítico como mostraremos posteriormente.

Demonstração: Note que A − aI = A∗ − aI são dissipativos e portanto, do Corolário3.3.2, A− aI gera um semigrupo fortemente contínuo de contrações. Do Exemplo 3.2.10,segue que

‖(λ− A)−1‖L(X) 61

d(λ, (−∞, a])6

1

sinϕ

1

|λ− a|, para todo λ ∈ Σa,

e o resultado segue.

Capítulo

4Grupos de operadores lineares

Além de semigrupos de operadores lineares, algumas equações nos fornecem grupos deoperadores lineares. Um exemplo simples é quando o gerador infinitesimal do semigrupo éum operador A limitados, e vimos que neste caso temos de fato um grupo de operadores.

Vamos estudar mais profundamente este conceito, e encontrar condições para que umoperador linear não-limitado A : D(A) ⊂ X → X gere um grupo de operadores lineares.

Definição 4.0.4. Seja X um espaço de Banach. Diremos que T (t) : t ∈ R ⊂ L(X) éum grupo de operadores lineares limitados se

(i) T (0) = I

(ii) T (t+ s) = T (t)T (s), para todo t, s ∈ R

Se, além disso,

(iii) ‖T (t)x− x‖X→0−→ 0, para todo x ∈ X,

diremos que T (t) : t ∈ R ⊂ L(X) é um grupo fortemente contínuo, ou umC0-grupo, de operadores lineares limitados.

É claro que, se T (t) : t ∈ R ⊂ L(X) é um grupo de operadores lineares limitados,então para cada t ∈ R, 0 ∈ ρ(T (t)) e T (−t) = T (t)−1.

Exercício 4.0.5. Seja

X = u ∈ C(R,K) : u é limitada e uniformemente contínua

com a norma ‖u‖X = supx∈R|u(x)|. Defina (T (t)u)(x) = u(t+x) para t > 0, x ∈ R e u ∈ X.

56 Grupos de operadores lineares

1. Mostre que T (t) : t > 0 ⊂ L(X) é um semigrupo fortemente contínuo de contra-ções,

2. Mostre que podemos definir um grupo fortemente contínuo T (t) : t ∈ R ⊂ L(X)

com T (−t) = T (t)−1 para todo t ∈ R.

3. Mostre que T (t) : t > 0 ⊂ L(X) não é um semigrupo uniformemente contínuo,

4.. Calcule o gerador infinitesimal de T (t) : t > 0 ⊂ L(X),

Para o caso de grupos de operadores lineares também podemos definir o seu geradorinfinitesimal, da seguinte maneira:

Definição 4.0.6. O gerador infinitesimal de um grupo T (t) : t ∈ R de operadoreslineares é definido por

D(A) =

x ∈ X : lim

h→0

T (h)x− xh

existe,

Ax = limh→0

T (h)x− xh

, para todo x ∈ D(A).

Proposição 4.0.7. Temos que A é o gerador infinitesimal de um C0-grupo de operadoreslineares limitados se, e somente se, A e −A são geradores infinitesimais de C0-semigrupos.

Demonstração: Seja A o gerador infinitesimal de um C0-grupo T (t) : t ∈ R.A restrição de T (t) : t ∈ R ao conjunto R+, T (t) : t > 0, é claramente um C0-

semigrupo, e o mesmo ocorre com o a família T−(t) : t > 0, dada por T−(t) = T (−t),para cada t > 0.

Afirmação 1: O gerador infinitesimal de T (t) : t > 0 é A.De fato, denote por A+ o gerador infinitesimal de T (t) : t > 0. Se x ∈ D(A) então

existe limh→0T (h)x−x

he assim

Ax = limh→0

T (h)x− xh

= limh→0+

T (h)x− xh

,

portanto limh→0+T (h)x−x

hexiste, logo x ∈ D(A+) e

A+x = limh→0+

T (h)x− xh

= Ax.

57

Agora, se x ∈ D(A+) então A+x = limh→0+T (h)x−x

hexiste. Mas

limh→0+

T (−h)x− x−h

= limh→0+

T−(h)T (h)x− x

h= A+x,

pois T−(t) : t > 0 é um C0-semigrupo. Deste modo, concluímos que

limh→0

T (h)x− xh

= A+x.

Portanto x ∈ D(A) e Ax = A+x. Desta maneira, provamos que A = A+, como afirmamos.

Analogamente se mostra que o gerador infinitesimal de T−(t) : t > 0 é −A.Reciprocamente, vamos assumir queA e−A sejam geradores de C0-semigrupos T (t) : t >

0 e T−(t) : t > 0, respectivamente.

Da demonstração do Teorema 3.1.1, temos para cada t > 0 que

T (t)x = limλ→∞

eAλtx,

T−(t)x = limλ→∞

e(−A)λtx.

o que nos mostra que T (t) comuta com T−(t) e definindo S(t) = T (t)T−(t), temos queS(t) : t > 0 é um semigrupo.

Afirmação 2: S(t) : t ∈ R é um C0-semigrupo. Como T (t) : t > 0 é um C0-semigrupo,‖T (t)‖L(X) é limitado uniformemente para t em intervalos limitados de R+. Assim,

‖S(t)x− x‖X 6 ‖T (t)T−(t)x− T (t)x‖X + ‖T (t)x− x‖X‖T (t)‖L(X)‖T−(t)x− x‖X + ‖T (t)x− x‖X → 0, quando t→ 0+,

o que prova a nossa afirmação.

Além disso, segue que se x ∈ D(A) = D(−A), temos

limh→0+

S(t)x− xh

= limh→0+

T (h)T−(h)x− x

h+ lim

h→0+

T (h)x− xh

= −Ax+ Ax = 0.

Isto implica que se B é o gerador infinitesimal de S(t) : t > 0, então D(A) ⊂ D(B) eBx = 0 para todo x ∈ D(A). Como D(A) é denso em X, D(A) é denso em D(B) e comoB é fechado, segue que D(B) = X e Bx = 0 para todo x ∈ X. Portanto S(t) = I paratodo t > 0 e desta maneira T−(t) = T (t)−1, para todo t > 0, o que nos permite definirT (−t) .

= T−(t) para cada t > 0.


Afirmação 2: T (t) : t ∈ R é um C0-grupo.Claramente T (0) = I, por definição. Agora, temos:

(a) se t, s > 0:T (t+ s) = T (t)T (s);

(b) se t, s < 0:T (t+ s) = T−(−t− s) = T−(−t)T−(−s) = T (t)T (s);

(c) se t > 0, s < 0 e t+ s > 0:

T (t+ s) = T (t+ s)T (−s)T−(−s) = T (t)T−(−s) = T (t)T (s);

(d) se t > 0, s < 0 e t+ s < 0:

T (t+ s) = T−(−t− s) = T (t)T−(t)T−(−t− s) = T (t)T−(−s) = T (t)T (s).

Assim, a propriedade (ii) da Definição 4.0.4 está satisfeita. Além disso

limt→0+‖T (t)x− x‖X = 0

elimt→0−

‖T (h)x− x‖X − lim−h→0+

‖T−(−h)x− x‖x = 0,

o que prova a afirmação.A demonstração que A é o gerador infinitesimal de T (t) : t ∈ R é deixada a cargo

do leitor, e com todas estas considerações, o resultado está provado.

Proposição 4.0.8. Seja T (t) : t > 0 um C0-semigrupo. Se, para algum t0 > 0, T (t0)−1

existe e T (t0)−1 ∈ L(X), então T (t)−1 existe e está em L(X) para todo t > 0.

Demonstração: Como T (t0)−1 ∈ L(X), segue que T (t0) é injetiva e sobrejetiva. Dainjetividade de T (t0) segue a injetividade de T (nt0) = T (t0)n. Dado t > 0 seja n ∈ N talque nt0 > t. Assim se T (t)x = 0 temos

T (nt0)x = T (nt0 − t)T (t)x = 0,

o que implica que x = 0 e logo T (t)x é injetiva, para cada t > 0.

4.1 Teorema de Hille-Yosida para grupos 59

Da sobrejetividade de T (t0), segue que T (nt0) = T (t0)n e portanto T (nt0) é sobrejetiva.Se t > 0, escolha n ∈ N tal que nt0 > t e temos

T (nt0) = T (t)T (nt0 − t),

o que mostra que ImT (t) ⊃ ImT (nt0) = X e portanto T (t) é sobrejetiva para todo t > 0.Portanto, do Teorema do Gráfico Fechado, segue que T (t)−1 ∈ L(X), para cada t > 0.

Proposição 4.0.9. Seja T (t) : t > 0 um C0-semigrupo com A seu gerador infinitesimal.Se, para algum t0 > 0, T (t0)−1 existe e está em L(X) então A é o gerador infinitesimalde um C0-grupo.

Demonstração: Pela proposição anterior, T (t) tem inversa em L(X) para todo t > 0.Definindo S(t)

.= T (t)−1 para cada t > 0, não é difícil mostrar que S(t) : t > 0 define

um C0-semigrupo. Agora, seja x ∈ D(A) e temos

S(h)x− xh

+ Ax = −S(h)T (h)x− x

h+ Ax = −S(h)

[T (h)x− x

h− T (h)Ax

]→ 0,

as h → 0+. Assim, se B é o gerador infinitesimal de S(t) : t > 0, temos que D(A) ⊂D(B) e Bx = −Ax. Analogamente, mostramos que D(B) ⊂ D(A) e Ax = −Bx eportanto segue que B = −A, e assim −A é o gerador infinitesimal de um C0-semigrupo,o que implica que A é o gerador de um C0-grupo, pela Proposição 4.0.7.

Claramente vemos na demonstração acima que o grupo R(t) : t ∈ R gerado por A édado por

R(t) =

T (t), para t > 0,

T (−t)−1 para t < 0.

4.1 Teorema de Hille-Yosida para grupos

Teorema 4.1.1. O operador A é o gerador infinitesimal de um C0-grupo se, e somentese, A é fechado, densamente definido e existam constantes reais M e ω tais que se λ éreal e |λ| > ω, então λ ∈ ρ(A) e

‖(λ− A)−n‖L(X) 6M

(|λ| − ω)n, para todo n ∈ N. (4.1.1)

Demonstração: Seja A o gerador infinitesimal de um C0-grupo T (t) : t ∈ R. Da Pro-posição 4.0.7, sabemos que A e −A são geradores infinitesimais de C0-semigrupos. Conse-


quentemente, A é fechado, densamente definido e existem constantes reais M1,M2, ω1, ω2

tais que se λ > w1 então λ ∈ ρ(A) e

‖(λ− A)−1‖L(X) 6M1

(|λ| − w1)n

e se λ > w2 então λ ∈ ρ(−A) e

‖(λ+ A)−1‖L(X) 6M2

(|λ| − w2)n.

Sejam ω = maxω1, ω2, M = maxM1,M2 e |λ| > ω. Então, se λ > ω entãoλ ∈ ρ(A) e

‖(λ− A)−n‖L(X) 6M

(λ− ω)n, (4.1.2)

e se −λ > ω então −λ ∈ ρ(−A) e portanto λ ∈ ρ(A) e assim

‖(λ− A)−n‖L(X) = ‖(−λ+ A)−n‖L(X) 6M

(|λ| − ω)n,

o que mostra a limitação desejada.

Reciprocamente, se A é fechado e densamente definido, com (4.1.1) satisfeita. Paraλ > |ω| temos |λ| > ω e assim λ ∈ ρ(A) e

‖(λ− A)−n‖L(X) 6M

(λ− ω)n6

M

(λ− |ω|)n,

e portanto A é o gerador infinitesimal de um C0-semigrupo, pelo Teorema de Hille-Yosida.Agora, se λ > |ω| então | − λ| > ω e assim −λ ∈ ρ(A), o que implica que λ ∈ ρ(−A) e

‖(λ− A)−n‖L(X) = ‖(−λ+ A)−n‖L(X) 6M

(λ− ω)n6

M

(λ− |ω|)n,

e assim, −A é o gerador infinitesimal de um C0-semigrupo, pelo Teorema de Hille-Yosida.

4.2 Teorema de Stone

Nesta seção, consideraremos H um espaço de Hilbert, com norma ‖ ·‖H , induzida peloproduto interno (·, ·)H .

4.2 Teorema de Stone 61

Definição 4.2.1. Um grupo T (t) : t ∈ R de operadores lineares num espaço de HilbertH é dito unitário se T ∗(t) = T (t)−1, para todo t > 0.

Se T (t) : t ∈ R é um semigrupo unitário, vemos que ‖T (t)v‖H = ‖v‖H , já que

‖T (t)v‖2H = (T (t)v, T (t)v)H = (v, T ∗(t)T (t)v)X = (v, v)H = ‖v‖2

H .

Teorema 4.2.2 (Teorema de Stone). Um operador linear A em um espaço de Hilbert Hé o gerador infinitesimal de um C0-grupo unitário se, e somente se, A∗ = −A.

Demonstração: Seja A o gerador infinitesimal de um C0-grupo unitário T (t) : t ∈ R.Da Proposição 4.0.7, A é o gerador de um C0-semigrupo T (t) : t > 0 e −A é o gerador doC0-semigrupo T−(t) : t > 0. Pelo Teorema 3.1.4 é o gerador infinitesimal de T (t)∗ : t >

0. Assim segue queT (t)∗ = T (t)−1 = T (−t) = T−(t),

e assimT (t)∗v − v

h=T−(t)v − v

h,

o que implica que D(A∗) = D(A) e A∗v = −Av, para todo v ∈ D(A). Portanto A∗ = −A.Reciprocamente, assuma que A∗ = −A. Da existência de A∗ segue que D(A) é denso

em X. Para todo v ∈ D(A) temos

(Av, v)H = (v, A∗v)H = −(v, Av)H = −(Av, v)H ,

logo Re(Av, v) = 0. Portanto A e −A = A∗ são dissipativos e do Corolário 3.3.2 segue queA e −A geram C0-semigrupos, e portanto A gera um C0-grupo T (t) : t > 0. Resta-nosapenas mostrar que este grupo é unitário. Mas se T ∗(t) : t > 0 é o semigrupo geradopor A∗ = −A então T (t)∗ = T ∗(t) = T (−t) = T (t)−1. Logo (T (t)−1)∗ = T (t)∗∗ = T (t), oque implica que T (t)∗ = T (t)−1.

Observação 4.2.3. Verifique que −A = A∗ se, e somente se, iA é auto-adjunto. Logo,A gera um C0-grupo unitário se, e somente se, iA é auto-adjunto.

Capítulo

5Regularidade

5.1 Semigrupos diferenciáveis

Sabemos que se A : D(A) ⊂ X → X é o gerador infinitesimal de um C0-semigrupoT (t) : t > 0 e x ∈ D(A), então T (t)x ∈ D(A), para cada t > 0.

Claramente vemos que, em geral, esta propriedade não é válida para todo x ∈ X. Defato, assuma que T (t)X ⊂ D(A), para cada t > 0. Em particular, X = T (0)X ⊂ D(A),o que implica que D(A) = X e portanto, A ∈ L(X). Logo, esta propriedade é válidasomente para o caso de operadores lineares limitados.

Note que o problema surgiu quando assumimos que T (t)X ⊂ D(A) para todo t > 0.Este raciocínio não pode ser repetido se pedirmos que T (t)X ⊂ D(A) para t > 0, (oumais geralmente que t > t0 > 0). Estes são os semigrupos que estaremos interessadosagora.

Definição 5.1.1. Dizemos que um C0-semigrupo T (t) : t > 0, com gerador infinitesimalA : D(A) ⊂ X → X, é diferenciável para t > t0 > 0 se T (t)X ⊂ D(A) para cadat > t0 > 0. Quando t0 = 0, dizemos apenas que o semigrupo é diferenciável.

Vejamos quais as propriedades destes semigrupos.

Teorema 5.1.2. Seja T (t) : t > 0 um semigrupo diferenciável para t > t0 > 0. Então

1. se t− t0 > s > nt0 temos AnT (t)x = T (t− s)AnT (s)x, para todo x ∈ X e n ∈ N;

2. se t > nt0 temos AnT (t) ∈ L(X), para todo n ∈ N;

64 Regularidade

3. se t > nt0 temos AnT (t) =[AT ( t

n)]n, para todo n ∈ N \ 0.

4. para cada x ∈ X, a função t 7→ T (t)x ∈ X é n-vezes continuamente diferenciávelpara todo t > nt0 e

dn

dtnT (t)x = AnT (t)x,

para todo n ∈ N \ 0.

5. a função t 7→ AnT (t) ∈ L(X) é uma função contínua na topologia uniforme, paratodo t > (n+ 1)t0 e n ∈ N.

6. a função t 7→ T (t) ∈ L(X) é n-vezes diferenciável na topologia uniforme para todot > (n+ 1)t0 e

dn

dtnT (t) = AnT (t),

para todo n ∈ N \ 0.

Demonstração: De 1: o caso n = 0 é trivialmente satisfeito. Suponhamos que oresultado seja válido pra n ∈ N \ 0 e seja t− t0 > s > (n+ 1)t0. Para τ − t0 > r > nt0,da hipótese de indução, temos AnT (τ)x = T (τ − r)AnT (r)x, para todo x ∈ X.

Como τ−r > t0, da definição de diferenciabilidade do semigrupo, segue que AnT (τ)x ∈D(A), e em particular, segue que AnT (s)x ∈ D(A). Assim T (t − s)AnT (s)x ∈ D(A) eportanto temos

An+1T (t)x = AT (t− s)AnT (s)x = T (t− s)An+1T (s)x,

o que prova o item 1.

De 2: novamente o caso n = 0 é trivial. Suponhamos que o resultado seja válidopara n ∈ N e seja t > (n + 1)t0, assim t > nt0 e AnT (t) ∈ L(X). Portanto, como A éfechado, An+1T (t) = A(AnT (t)) é também fechado. Pelo Teorema do Gráfico Fechado,An+1T (t) ∈ L(X).

De 3: o caso n = 1 é trivial. Suponha que o resultado é válido para n e assuma quet > (n+ 1)t0. Se t− t0 > s > nt0, temos do item 1 que

An+1T (t) = AAnT (t) = AT (t− s)AnT (s) = AT (t− s)[AT

( sn

)]n(5.1.1)

Tome s = ntn+1

e claramente temos t − t0 > s > nt0 e t − s = tn+1

, e usando estes

5.1 Semigrupos diferenciáveis 65

valores em (5.1.1), obtemos

An+1T (t) =

[AT

(t

n+ 1

)]n+1

.

De 4: o caso n = 1 é consequência do Teorema 2.2.1 (item 3). Suponha que o resultadovale para n e seja t − t0 > s > nt0. Do item 1 temos AnT (t)x = T (t − s)AnT (s)x, paratodo x ∈ X. Como t− s > t0 temos pelo caso n = 1 que

d

dtAnT (t)x = AT (t− s)AnT (s)x = An+1T (t)x.

Da indução segue que t 7→ T (t)x é n+ 1 vezes continuamente diferenciável e

dn+1

dtn+1T (t)x =

d

dt

[dn

dtnT (t)x

]=

d

dtAnT (t)x = An+1T (t)x.

De 5: faremos primeiramente o caso n = 0. Sejam t > s > t0 e |h| < t− s. Temos

‖T (t+ h)x− T (t)x‖X 6∣∣∣∣∫ t+h

t

‖AT (τ)x‖Xdτ∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∫ t+h

t

‖AT (s)T (τ − s)x‖Xdτ∣∣∣∣

6

∣∣∣∣∫ t+h

t

‖AT (s)‖L(X)‖T (t− s)‖L(X)‖x‖Xdτ∣∣∣∣ 6M |h|‖x‖X ,

ondeM é uma constante, já que AT (s) ∈ L(X) e T (τ−s) é uniformemente limitado paraτ num intervalo limitado, e portanto

‖T (t+ h)− T (t)‖L(X) 6M |h|,

e prova o caso n = 0.

Se t− t0 > s > nt0 e |h| < t− s− t0, temos

‖AnT (t+ h)x− AnT (t)‖L(X) = ‖T (t+ h− s)AnT (s)x− T (t− s)AnT (s)‖L(X)

6 ‖T (t+ h− s)− T (t− s)‖L(X)‖AnT (s)‖L(X) → 0,

quando h→ 0, pois t− s > t0.

De 6: Sejam t > (n+ 1)t0 e |h| < t− (n+ 1)t0. Temos, para todo x ∈ X, que

An−1T (t+ h)x− An−1T (t)x =

∫ t+h

t

AnT (τ)xdτ.

66 Regularidade

Assim,

An−1T (t+ h)x− An−1T (t)x

h=

1

h

∫ t+h

t

AnT (τ)xdτ =1

h

∫ t+h

t

AnT (τ)dτ · x,

e portanto, fazendo h→ 0, temos

d

dtAn−1T (t) = AnT (t).

Desta maneira, facilmente vemos que o caso n = 1 é válido. Suponhamos que oresultado é valido para n. Assim, como AnT (t) é diferenciável, segue que t 7→ T (t) ∈ L(X)

é (n+ 1)-vezes diferenciável e

dn+1

dtn+1T (t) =

d

dt

[dn

dtnT (t)

]=

d

dtAnT (t) = An+1T (t),

o que conclui o item 6 e também a demonstração.

Corolário 5.1.3. Se T (t) : t > 0 é um semigrupo diferenciável, então T (t) : t > 0 én vezes continuamente diferenciável na topologia uniforme de operadores para todo t > 0

e temosdn

dtnT (t) = AnT (t) =

[AT

(t

n

)]n.

5.2 Semigrupos compactos

Definição 5.2.1. Dizemos que um C0-semigrupo T (t) : t > 0 é compacto para t >

t0 > 0 se T (t) é um operador compacto para cada t > t0. Se t0 = 0, dizemos simplesmenteque T (t) : t > 0 é compacto.

Note que se T (t) é compacto para todo t > 0, então T (0) = I é compacta, o queimplica que X é um espaço finito dimensional. Note também que se T (t1) é compacto,então T (t) é compacto para todo t > t1, já que T (t) = T (t− t1)T (t1).

Teorema 5.2.2. Seja T (t) : t > 0 um semigrupo compacto para t > t0 > 0. Então aaplicação t 7→ T (t) ∈ L(X) é contínua para t > t0.

Demonstração: Sejam ε > 0, t > t0 dados e M > 0 tal que sup06s61 ‖T (s)‖L(X) 6 M .Da compacidade do semigrupo, segue que o conjunto U = T (t)B

X

1 (0) é precompacto, e

5.2 Semigrupos compactos 67

portanto existem x1, · · · , xk ∈ X tais que

U ⊂k⋃i=1

BXε

2(M+1)(T (t)xi).

Da continuidade forte do semigrupo, existe 0 < h0 < 1 tal que

sup16i6k

‖T (t+ h)xi − T (t)xi‖X 6ε

2, para 0 6 h 6 h0.

Seja agora x ∈ BX

1 (0). Então, existe 1 6 i 6 k tal que T (t)x ∈ BXε

2(M+1)(T (t)xi), e

portanto para 0 6 h 6 h0 temos

‖T (t+ h)x− T (t)x‖X 6 ‖T (h)‖L(X)‖T (t)x− T (t)xi‖X + ‖T (t+ h)xi − T (t)xi‖X

+ ‖T (t)xi − T (t)x‖X 6Mε

2(M + 1)+ε

2< ε,

o que prova a continuidade de t 7→ T (t) ∈ L(X) para t > t0.

Teorema 5.2.3. Sejam T (t) : t > 0 um C0-semigrupo e A seu gerador infinitesimal.Então T (t) : t > 0 é compacto se, e somente se, a aplicação t 7→ T (t) ∈ L(X) é contínuapara t > 0 e o operador resolvente (λ− A)−1 é compacto para todo λ ∈ ρ(A).

Demonstração: Seja M,ω constantes tais que ‖T (t)‖L(X) 6Meωt, para todo t > 0. DoTeorema 5.2.2, segue que a aplicação t 7→ T (t) ∈ L(X) é contínua para t > 0. Portanto,

(λ− A)−1 =

∫ ∞0

e−λtT (t)dt, para Reλ > ω, (5.2.1)

e a integral existe na topologia uniforme de operadores. Agora, sejam ε > 0, Reλ > ω edefina

Rε(λ) =

∫ ∞ε

e−λtT (t)dt.

Como T (t) é um operador compacto para todo t > 0, segue que Rε(λ) é compacto.Além disso

‖(λ− A)−1 −Rε(λ)‖L(X) 6

∥∥∥∥∫ ε

0

e−λtT (t)ds

∥∥∥∥L(X)

6 εMeωε → 0,

quando ε→ 0+. Logo (λ−A)−1 é o limite uniforme de operadores compactos, e portantoé compacto. Segue diretamente da identidade do resolvente que (λ − A)−1 é compactopara todo λ ∈ ρ(A).

68 Regularidade

Reciprocamente, assuma que a aplicação t 7→ T (t) ∈ L(X) é contínua para t > 0 eque (λ− A)−1 é compacto para todo λ ∈ ρ(A). Segue de (5.2.1) que

λ(λ− A)−1T (t)− T (t) = λ

∫ ∞0

e−λs[T (t+ s)− T (t)]ds.

Se λ é real, λ > maxω, 0, e δ > 0 temos

‖λ(λ− A)−1T (t)− T (t)‖L(X) 6∫ δ

0

λe−λs‖T (t+ s)− T (t)‖L(X)ds

+

∫ ∞δ

λe−λs‖T (t+ s)− T (t)‖L(X)ds

6 sup06s6δ

‖T (t+ s)− T (t)‖L(X) + 2Mλ

λ− ωeω(t+δ)e−λδ,

o que implica que

limλ→∞‖λ(λ− A)−1T (t)− T (t)‖L(X) 6 sup

06s6δ‖T (t+ s)− T (t)‖L(X),

o como δ > 0 é arbitrário e t 7→ T (t) ∈ L(X) é contínua para t > 0, temos

limλ→∞‖λ(λ− A)−1T (t)− T (t)‖L(X) = 0,

e como λ(λ−A)−1T (t) é um operador compacto para cada λ, segue que T (t) é compacto.

Corolário 5.2.4. Sejam T (t) : t > 0 um C0-semigrupo e A seu gerador infinitesimal.Se (λ−A)−1 é compacto para algum λ ∈ ρ(A) e a aplicação t 7→ T (t) ∈ L(X) é contínuapara t > t0 > 0, então o semigrupo T (t) : t > 0 é compacto para t > t0.

Corolário 5.2.5. Sejam T (t) : t > 0 um semigrupo uniformemente contínuo e A ∈L(X) seu gerador infinitesimal. Então T (t) : t > 0 é compacto se, e somente se, (λ −A)−1 é compacto para algum λ ∈ ρ(A).

A caracterização de semigrupos compactos dada no Teorema 5.2.3 não é totalmentesatisfatória, uma vez que não caracteriza o semigupo compacto T (t) : t > 0 somenteem termos de propriedades do seu gerador infinitesimal A, mas precisamos assumir acontinuidade da aplicação t 7→ T (t) ∈ L(X). A razão é que, até agora, não existemcondições necessárias e suficientes, nem em termos de A nem do seu resolvente (λ−A)−1,

5.2 Semigrupos compactos 69

nas quais a aplicação t 7→ T (t) ∈ L(X) seja contínua. Para uma condição necessária,veremos um resultado logo abaixo, mas para isto, precisamos do seguinte lema:

Lema 5.2.6. Sejam T (t) : t > 0 um C0-semigrupo e A seu gerador infinitesimal. Se

Bλ(t)x =

∫ t

0

eλ(t−s)T (s)xds

então(λ− A)Bλ(t)x = eλtx− T (t)x, para todo x ∈ X, (5.2.2)

Bλ(t)(λ− A)x = eλtx− T (t)x, para todo x ∈ D(A). (5.2.3)

Demonstração: Para cada λ e t > 0 fixos, Bλ(t) é um operador linear limitado em X.Mais ainda, para cada x ∈ X, temos

T (h)− Ih

Bλ(t)x =eλh−1

h

∫ t

h

eλ(t−s)T (s)xds+eλh

h

∫ t+h

t

eλ(t−s)T (s)xds

− 1

h

∫ h

0

eλ(t−s)T (s)xds.

Quando h→ 0+, o lado direito da igualdade acima converge para λBλ(t)x+T (t)x−eλtxe consequentemente Bλ(t)x ∈ D(A) e

ABλ(t)x = λBλ(t)x+ T (t)x− eλtx,

o que mostra (5.2.2). Da definição de Bλ(t), é claro que se x ∈ D(A) temos ABλ(t)x =

Bλ(t)Ax, o que mostra (5.2.3).

Este resultado agora nos dá uma condição necessária para que a aplicação t 7→ T (t) ∈L(X) seja contínua:

Teorema 5.2.7. Sejam T (t) : t > 0 um C0-semigrupo e A seu gerador infinitesimal. Sea aplicação t 7→ T (t) ∈ L(X) é contínua para t > 0, então existe uma função ψ : R+ → R+

tal queρ(A) ⊃ λ ∈ C : λ = σ + iτ, |τ | > ψ(|σ|), (5.2.4)

e tambémlim|τ |→∞

‖(σ + iτ − A)−1‖L(X) = 0, para todo real σ. (5.2.5)

70 Regularidade

Demonstração: Podemos assumir, sem perda de generalidade, que ρ(A) ⊃ Reλ > 0 eque ‖T (t)‖L(X) 6M (se este não é o caso, basta considerar o semigrupo S(t) = e−ωtT (t)).

Se σ > 0, então λ = σ + iτ ∈ ρ(A) para todo τ ∈ R e usando (λ− A)−1x no lugar dex em (5.2.3), temos que para x ∈ X:

eλt(λ− A)−1x− T (t)(λ− A)−1x =

∫ t

0

eλ(t−s)T (s)xds,

o que implica que

(eσt −M)‖(λ− A)−1‖L(X) 6 eσt∥∥∥∥∫ t

0

e−iτse−σsT (s)ds

∥∥∥∥ ,e escolhendo t > 1

σlnM , temos

‖(σ + iτ − A)−1‖L(X) 6 C

∥∥∥∥∫ t

0

e−iτse−σsT (s)ds

∥∥∥∥ ,para alguma constante C > 0 independente de τ . Segue do Lema de Riemann-Lebesgue1

que o lado direito da inequação acima tende a zero quando |τ | → ∞.

Se σ 6 0, escrevemos

(λ− A)−1 =∞∑k=0

(1 + iτ − λ)k(1 + iτ − A)−k−1,

e definimosϕ(|τ |) = max

|r|>|τ |‖(1 + ir − A)−1‖L(X),

e já mostramos no caso anterior (σ = 1 > 0) que ϕ(|τ |) → 0 quando |τ | → ∞. A sérieacima é claramente convergente (em L(X)) para |1 − σ| 6 1

2ϕ(|τ |) , o que implica (5.2.4).Mais ainda, fixado σ satisfazendo |1− σ| 6 1

2ϕ(|τ |) , temos para |τ | suficientemente grandeque

‖(σ + iτ − A)−1‖L(X) 6 2‖(1 + iτ − A)−1‖L(X) 6 2ϕ(|τ |),

e portanto vale (5.2.5) e a demonstração está completa.

Corolário 5.2.8. Sejam T (t) : t > 0 um C0-semigrupo compacto e A seu geradorinfinitesimal. Para cada −∞ < α 6 β < ∞, a intersecção da faixa α 6 Reλ 6 β comσ(A) contém no máximo um número finito de autovalores de A.

1Veja o Exercício 5.2.9

5.3 Semigrupos analíticos 71

Demonstração: Sabemos que σ(A) pode ser: vazio, ou um conjunto finito, ou umconjunto infinito com ∞ sendo seu único possível ponto de acumulação. Portanto, doTeorema 5.2.7, o resultado segue.

Exercício 5.2.9. Se a, b são números reais estendidos com a < b e f : (a, b) → C éabsolutamente integrável, mostre o Lema de Riemann-Lebesgue; isto é,

limµ→∞

∫ b

a

f(t) senµt dt = limµ→∞

∫ b

a

f(t) cosµt dt = 0.

Sugestão: No caso em que f é continuamente diferenciável e tem suporte compacto em (a, b), integre

por partes para provar o resultado.

5.3 Semigrupos analíticos

Definição 5.3.1. Sejam φ1 < 0 < φ2 e defina o setor Λ = z ∈ C : φ1 < argz < φ2.Para z ∈ Λ, seja T (z) um operador linear limitado. A família T (z) : z ∈ Λ é dita umsemigrupo analítico em Λ se

(i) a aplicação Λ 3 z 7→ T (z) ∈ L(X) é analítica;

(ii) T (0) = I e lim z→0z∈Λ

T (z)x = x, para cada x ∈ X;

(iii) T (z1 + z2) = T (z1)T (z2), para todos z1, z2 ∈ Λ.

Um semigrupo T (t) : t > 0 é dito analítico se ele possui uma extensão a um semi-grupo analítico em algum setor Λ, contendo o eixo real positivo.

Claramente, a restrição de um semigrupo analítico ao eixo real é um C0-semigrupo.Estaremos interessados então no problema oposto; isto é, dado um C0-semigrupo, encon-trar condições sob as quais possamos garantir que este semigrupo pode ser estendido aum semigrupo analítico em algum setor Λ em torno do eixo real não-negativo. Para isto,precisamos primeiro encontrar uma maneira de expressar o semigrupo em termos do seugerador infinitesimal, e tal relação é dada pela transformada inversa de Laplace.

5.3.1 Transformada inversa de Laplace

Vimos no Teorema 2.2.1, item 4, que

(λ− A)−1 =

∫ ∞0

e−λtT (t)dt,

72 Regularidade

se Reλ é grande. Isto sugere que usando a transformada inversa de Laplace poderemosencontrar T (t), conhecido A. No que se segue perseguiremos este objetivo.

Lema 5.3.2. Temos o seguinte:

(a)∫ ∞−∞

sin t

tdt = π

(b) Se f : R → C é tal quef(t)

(1 + |t|)é integrável em R e

∫ 1

−1

∣∣∣∣f(t)− f(0)

t

∣∣∣∣ dt < ∞,

então ∫ ∞−∞

f(t)sinmt

πtdt→ f(0) quando m→ +∞.

Demonstração: De (a): Note que, se σ é a curva no plano complexo dada pela figuraabaixo

-

6

−r r−R R

I

- -

-

Figura 1

integrando a função analítica C\0 3 z 7→ eiz ∈ C ao longo de σ, temos

0 =

∫ −r−R

eit

tdt+

∫ R

r

eit

tdt+ i

∫ 0

π

eireiθ

dθ + i

∫ π

0

eiReiθ

dθ.

O resultado agora segue notando quesent

té par, fazendo r → 0, R → ∞ e conside-

rando que (do Teorema da Convergência Dominada de Lebesgue) temos∣∣∣∣∫ π

0

eiReiθ

dθ

∣∣∣∣ 6 ∫ π

0

e−R sin θdθR→∞−→ 0.


De (b):∫ 1

−1

sinmtπt

dt =

∫ m

−m

sin tπtdt→ 1 quando m→∞ e

∫ ∞−∞

f(t)sinmt

πtdt− f(0)

∫ 1

−1

sinmt

πtdt =

∫|t|61

f(t)− f(0)

πtsinmtdt

+

∫|t|>1

f(t)

πtsinmtdt,

ambos os termos a direita tendem a zero quandom→∞ pelo Lema de Riemann-Lebesgue.

Teorema 5.3.3. Suponha que A seja o gerador infinitesimal de um C0-semigrupo T (t) : t >

0 tal que ‖T (t)‖L(X) 6Meβt. Se γ > max0, β, x ∈ D(A2) e t > 0

T (t)x = limm→∞

1

2πi

∫ γ+im

γ−imeλt(λ− A)−1x dλ.

Além disso, para cada 0 < ε < 1, o limite acima é uniforme no intervalo [ε, ε−1].

Demonstração: Como Reλ = γ > ω, (λ− A)−1 existe e é uniformemente limitada. Defato, como x ∈ D(A2) temos

(λ− A)−1x = λ−1x+ λ−2Ax+ λ−2(λ− A)−1A2x

e também

1

2πi

∫ γ+im

γ−ikeλt(λ− A)−1x dλ =

(1

2πi

∫ γ+im

γ−ik

eλt

λdλ

)x

+1

2πi

∫ γ+im

γ−ik

eλt

λ2[Ax+ (λ− A)−1A2x]dλ

e ambos os termos convergem, uniformemente para t em [ε, ε−1], quando k,m → ∞, oprimeiro por integração por partes e o segundo porque o integrando tem norma menor ouigual a C/|λ|2, para alguma constante positiva C, e portanto converge absolutamente. Sóresta mostrar que o limite é T (t)x.

Agora para Reλ = γ

(λ− A)−1x =

∫ ∞0

e−λsT (s)x ds,

74 Regularidade

então

1

2πi

∫ γ+im

γ−imeλt(λ− A)−1x dλ =

∫ ∞0

1

2πi

∫ γ+im

γ−imeλ(t−s)dλ

T (s)x ds

=

∫ ∞0

sinm(t− s)π(t− s)

eγ(t−s)T (s)x ds

=

∫ ∞−t

sinmτ

πτe−γτT (t+ τ)x dτ.

A função

f(τ) =

〈e−γτT (t+ τ)x, x∗〉, τ > −t0, τ < −t

satisfaz as condições do Lema 5.3.2 para qualquer x∗ ∈ X∗ e t > 0 pois f é diferenciávelem τ = 0 com f ′(0) = 〈T (t)(A− γ)x, x∗〉 e

|f(τ)|1 + |τ |

6 C e−(γ−ω)|τ |, τ ∈ R,

para alguma constante positiva C. Assim,⟨1

2πi

∫ γ+im

γ−imeλt(λ− A)−1x dλ, x∗

⟩m→∞−−−→ f(0) = 〈T (t)x, x∗〉.

Como isto é válido para todo x∗ ∈ X∗, a prova está completa.

Teorema 5.3.4. Assuma que existem 0 < δ < π2e M > 0 tal que

ρ(A) ⊃ Σ =λ ∈ C : |argλ| < π

2+ δ∪ 0

e‖(λ− A)−1‖L(X) 6

M

|λ|, para todo λ ∈ Σ, λ 6= 0.

EntãoT (t) =

1

2πi

∫Γ

eλt(λ− A)−1dλ,

onde Γ é a curva que consiste de dois raios λ : | arg λ| = φ, |λ| > r, do arco λ : |λ| =

r, | arg λ| 6 φ para r pequeno e φ ∈ (π2, π

2+ δ), e orientada no sentindo da parte imagi-

nária crescente (veja Figura 2).


Demonstração: Se x ∈ D(A2) e t > 0 então, para algum γ > 0, do Teorema 5.3.3 temos

T (t)x =1

2πi

∫ γ+i∞

γ−i∞eλt(λ− A)−1xdλ.

O integrando é analítico para λ ∈ Σ e portanto podemos deformar o contorno deintegração para a curva Γ.

De fato, quando |Imλ| = m, −km 6 Reλ 6 γ (k = |cotanφ| > 0),

‖eλt(λ− A)−1x‖X ≤etReλC‖x‖X√(Reλ)2 +m2

e, dividindo o intervalo de integração [−km, γ] em [−km,−m 12 ] e [−m 1

2 , γ], vemos que asintegrais correspondentes tendem a zero quando m→∞.

PortantoT (t)x =

1

2πi

∫Γ

eλt(λ− A)−1x dλ,

e esta expressão vale para todo x ∈ X porque converge em norma. De fato, para t > 0,| arg λ| = φ

‖eλt(λ− A)−1‖L(X) 6 Ce−t|λ|k1

|λ|, k1 = | cosφ| > 0

entãoT (t) =

1

2πi

∫Γ

eλt(λ− A)−1dλ,

com convergência na norma de L(X) qualquer t > 0. A convergência é uniforme paraε 6 t, qualquer ε > 0.

argλ = −φargλ = φΓImλ = mImλ = −mFigura 2

76 Regularidade

5.3.2 Geração de semigrupos analíticos

Como a multiplicação de um C0-semigrupo T (t) por eβt não afeta a possibilidade ouimpossibilidade de estendê-lo a um semigrupo analítico, podemos nos restringir ao casode C0-semigrupos uniformemente limitados; isto é, C0-semigrupos T (t) : t > 0 para osquais existe uma constante M tal que ‖T (t)‖L(X) 6M para todo t > 0.

Ainda, é sempre possível assumir que 0 ∈ ρ(A), onde A é o gerador infinitesimal deT (t) : t > 0 (basta multiplicar o semigrupo uniformemente limitado por e−εt, para ε > 0.Começamos com o seguinte teorema:

Teorema 5.3.5. Sejam T (t) : t > 0 um C0-semigrupo uniformemente limitado, A seugerador infinitesimal e assuma que 0 ∈ ρ(A). As seguintes afirmações são equivalentes:

(a) T (t) : t > 0 pode ser estendido para um semigrupo analítico em um setor Λδ =

z ∈ C : |argz| < δ e ‖T (t)‖L(X) é uniformemente limitada em cada subsetor fe-chado Λδ′, δ′ < δ, de Λδ.

(b) Existe uma constante C tal que para cada σ > 0 e τ 6= 0 temos

‖(σ + iτ − A)−1‖L(X) 6C

|τ |.

(c) Existem 0 < δ < π2e M > 0 tal que

ρ(A) ⊃ Σ =λ ∈ C : |argλ| < π

2+ δ∪ 0

e‖(λ− A)−1‖L(X) 6

M

|λ|, para todo λ ∈ Σ, λ 6= 0.

(d) T (t) : t > 0 é diferenciável e existe uma constante C tal que

‖AT (t)‖L(X) 6C

t, para todo t > 0.

Demonstração: Mostremos que (a) implica (b). Seja 0 < δ′ < δ tal que ‖T (t)‖L(X) 6

C1 para todo z ∈ Λδ′ . Para x ∈ X e σ > 0 temos

(σ + iτ − A)−1 =

∫ ∞0

e−(σ+iτ)tT (t)xdt.


Da analiticidade e limitação uniforme de T (z) em Λδ′ , podemos trocar o caminho deintegração na equação acima do eixo real positivo para qualquer raio ρeiθ, com 0 < ρ <∞e |θ| 6 δ′. Para τ < 0, mudando o caminho de integração para o raio ρeiδ′ e estimando aintegral resultante, obtemos

‖(σ + iτ − A)−1‖L(X) 6∫ ∞

0

e−ρσ cos δ′+ρτ sin δ′)C‖x‖dρ 6 C1

σ cos δ′ − τ sin δ′6

C

|τ |.

Analogamente, para τ > 0 mudamos o caminho de integração para o raio ρe−iδ′ e

obtemos ‖(σ + iτ − A)−1‖L(X) 6 Cτo que prova (b).

Mostremos agora que (b) implica (c). Como A é por hipótese o gerador infinitesimalde um C0-semigrupo temos ‖(λ−A)−1‖L(X) 6 M

Reλ, para Reλ > 0. De (b) segue que para

Reλ > 0

‖(λ− A)−1‖L(X) 6C

|Imλ|e portanto

‖(λ− A)−1‖L(X) 6C1

|λ|, para Reλ > 0.

Seja σ > 0 e escrevamos a expansão em série de Taylor de (λ − A)−1 em torno deλ0 = σ + iτ , dada por

(λ− A)−1 =∞∑n=0

(λ0 − λ)n(λ0 − A)−n−1.

Sabemos que esta série é convergente em L(X) para ‖(λ0−λ)(λ0−A)−1‖L(X) 6 α < 1.Assim, usando Reλ + iτ no lugar de λ e a hipótese do item (b) temos que esta série éconvergente em L(X) para |σ−Reλ| C|τ | 6 α < 1; isto é, se |σ−Reλ| 6 α|τ |

C. Como ambos

σ > 0 e α < 1 são arbitrários, segue que ρ(A) contém o conjunto dos λ tais que Reλ 6 0

e |Reλ||Imλ| <

1Ce em particular

ρ(A) ⊃λ : |argλ| 6 π

2+ δ,

onde δ = α arctan 1C, 0 < α < 1. Mais ainda, nesta região

‖(λ− A)−1‖L(X) 6C

1− α1

|τ |6

√C2 + 1

1− α1

|λ|=M

|λ|.

Como 0 ∈ ρ(A) por hipótese, A satisfaz o item (c).

78 Regularidade

Mostremos que (c) implica (d). Se A satisfaz (c) então segue do Teorema 5.3.4 que

T (t) =1

2πi

∫Γ

eλt(λ− A)−1.

Derivando formalmente esta expressão com respeito a t, obtemos

T ′(t) =1

2πi

∫Γ

λeλt(λ− A)−1dλ.

Mas esta integral é convergente em L(X) para todo t > 0, já que∥∥∥∥ 1

2πi

∫Γ

λeλt(λ− A)−1dλ

∥∥∥∥L(X)

61

π

∫ ∞0

Me−ρt cosφdρ =M

π cosφ

1

t,

e portanto a derivação formal está justificada, o que mostra que T (t) é diferenciável parat > 0 e

‖AT (t)‖L(X) = ‖T ′(t)‖L(X) 6C

t, para t > 0.

Finalmente, mostremos que (d) implica (a). Como T (t) é diferenciável para t > 0,segue do Corolário 5.1.3 que T (n)(t) = [T ′(t/n)]n, para n > 1. Logo

‖T (n)(t)‖L(X) 6 ‖T ′(t/n)‖nL(X).

Assim, usando que nn 6 n!en, temos

1

n!‖T (n)(t)‖L(X) 6

(Ce

t

)n.

Consideremos agora a série de potências

T (z) = T (t) +∞∑n=1

T (n)(t)

n!(z − t)n.

Esta série é uniformemente convergente em L(X) para |z − t| 6 α( tCe

) para α < 1.Portanto T (z) é analítica em Λ = z : |argz| < arctan 1

Ce. Claramente T (z) estende T (t)

ao setor Λ. Pela analiticidade de T (z) segue que T (z) satisfaz a propriedade de semigrupoe é simples verificar que T (z)x → x quando z → 0 em Λ. Finalmente, reduzindo o setorΛ para o setor Λε = z : |argz| 6 arctan( 1

Ce)− ε vemos que ‖T (z)‖L(X) é uniformemente

limitada em Λε e a demonstração está completa.

Capítulo

6

Teoremas de perturbação de geradores

6.1 Perturbação por operadores lineares limitados

Nesta seção estudamos que tipos de operadores podem ser adicionados a geradores deC0-semigrupos de forma que o resultado ainda seja o gerador de um C0-semigrupo.

Teorema 6.1.1. Se X é um espaço de Banach, eAt : t > 0 é um C0-semigrupo em X

com gerador infinitesimal A : D(A) ⊂ X → X e B ∈ L(X), então A+B : D(A) ⊂ X → X

é o gerador infinitesimal de um C0-semigrupo e(A+B)t : t > 0. Se ‖eAt‖L(X) 6Meωt paratodo t > 0, então

‖e(A+B)t‖L(X) 6Me(ω+M‖B‖L(X))t, t > 0.

Demonstração: De acordo com o Lema 3.1.2, podemos escolher uma norma | · |X em X

tal que‖ · ‖X 6 | · |X 6M‖ · ‖X e |(λ− A)−1|L(X) 6

1

λ− ω,

para λ > ω. Se λ > ω + |B|L(X) então

|B(λ− A)−1|L(X) 6|B|L(X)

λ− ω< 1

e I −B(λ− A)−1 é um isomorfismo em L(X). Logo

λ− A−B = [I −B(λ− A)−1](λ− A) : D(A)→ X

80 Teoremas de perturbação de geradores

e|(λ− A−B)−1|L(X) 6

1

λ− ω1

1− |B|L(X)/(λ− ω)=

1

λ− (ω + |B|L(X)).

Do Teorema de Hille-Yosida, A + B gera um C0-semigrupo |e(A+B)t|L(X) 6 e(ω+|B|)t

para t > 0. Retornando à norma original temos a estimativa desejada.

Agora estudaremos as relações entre o semigrupo eAt : t > 0 e o semigrupo e(A+B)t :

t > 0 quando B ∈ L(X). Para este fim consideramos o operador H(s) = eA(t−s)e(A+B)s.Para x ∈ D(A) = D(A + B), s 7→ H(s)x é diferenciável e H ′(s)x = eA(t−s)Be(A+B)sx.Integrando H ′(s)x de 0 até t obtemos

e(A+B)tx = eAtx+

∫ t

0

eA(t−s)Be(A+B)sxds, x ∈ D(A).

Como os operadores em ambos os lados da expressão acima são limitados, ela valepara todo x ∈ X. O semigrupo e(A+B)t : t > 0 é portanto a solução da equação integralacima. Para tal equação integral temos:

Proposição 6.1.2. Seja eAt : t > 0 um C0-semigrupo satisfazendo ‖eAt‖L(X) 6 Meωt

e B ∈ L(X). Então existe uma única família V (t) : t > 0 ⊂ L(X) tal que t 7→ V (t)x écontínua em [0,∞) para todo x ∈ X e

V (t)x = eAtx+

∫ t

0

eA(t−s)BV (s)xds, x ∈ X. (6.1.1)

Demonstração: Defina V0(t).= eAt e Vn(t), indutivamente, por

Vn+1(t)x =

∫ t

0

eA(t−s)BVn(s)xds, para x ∈ X, n ∈ N.

É claro da definição acima que t 7→ Vn(t)x é contínua para x ∈ X, t > 0 e n ∈ N.Provemos por indução que,

‖Vn(t)‖L(X) 6MeωtMn‖B‖nL(X)t

n

n!.

6.1 Perturbação por operadores lineares limitados 81

Claramente isto é valido para n = 0, e suponhamos que vale para n. Então temos que

‖Vn+1(t)x‖X 6∫ t

0

Meω(t−s)‖B‖L(X)

Mn‖B‖nL(X)sn

n!‖x‖Xds

= MeωtMn+1‖B‖n+1

L(X)tn+1

(n+ 1)!‖x‖X

e portanto a desigualdade vale para qualquer n ∈ N. Definindo

V (t) =∞∑n=0

Vn(t),

segue que a série converge uniformemente em intervalos limitados na topologia uniformede operadores. Portanto t 7→ V (t)x é contínua para cada x ∈ X e além disso (6.1.1) estásatisfeita. Isto conclui a prova da existência. Para provar a unicidade seja U(t) : t >

0 ⊂ L(X) tal que t 7→ U(t)x é contínua para todo x ∈ X e

U(t)x = eAtx+

∫ t

0

eA(t−s)BU(s)xds, x ∈ X. (6.1.2)

Subtraindo as expressões (6.1.1) e (6.1.2) e estimando as diferenças obtemos

‖V (t)x− U(t)x‖X 6∫ t

0

Meω(t−s)‖B‖L(X)‖V (s)x− U(s)x‖Xds, x ∈ X.

o que pela desigualdade de Gronwall implica que ‖V (t)x−U(t)x‖X = 0, t > 0 e portantoV (t) = U(t).

Segue imediatamente do teorema anterior que

e(A+B)t =∞∑n=0

Vn(t),

e a convergência da série é na topologia de operadores uniformemente para t em intervaloslimitados de R+.

Para a diferença entre eAt e e(A+B)t temos:

Corolário 6.1.3. Se A é o gerador infinitesimal de um C0-semigrupo que satisfaz ‖eAt‖L(X) 6


Meωt e B ∈ L(X), então

‖e(A+B)t − eAt‖L(X) 6Meωt(eM‖B‖L(X)t − 1).

6.2 Soma de geradores infinitesimais

O teorema a seguir mostra que sob certas condições, a soma A+B de dois geradoresA e B de C0-semigrupos que comutam, resulta em um gerador de um C0-semigrupoe(A+B)t : t > 0 que satisfaz e(A+B)t = eAteBt.

Teorema 6.2.1. Suponha que A e B são geradores de semigrupos fortemente contínuosde operadores eAt : t > 0 e eBt : t > 0 tais que, para algum M > 0, ‖eAt‖L(X) 6 M e‖eBt‖L(X) 6 M . Suponha também que A e B comutam, que o operador A + B : D(A) ∩D(B) ⊂ X → X é fechado, densamente definido e que λ ∈ ρ(A + B) para algum λ >

0. Então A + B gera um C0-semigrupo e(A+B)t : t > 0 tal que e(A+B)t = eAteBt e‖e(A+B)t‖L(X) 6M2.

Demonstração: Por um momento vamos mudar a norma do espaço de Banach X deforma que A gera um C0-semigrupo de contrações. Sejam Aλ = λA(λ − A)−1 e Bλ =

λB(λ−B)−1, como na demonstração do Teorema de Hille-Yosida. Então ‖eAλt‖ 6 1 paratodo λ > 0 e como eAλtx→ eAtx e eBλse→ eBsx para todo x ∈ D(A)∩D(B) = D(A+B)

e s, t > 0 temos que

limλ→∞

eAλt+Bλsx = limλ→∞

eAλteBλsx = eAteBsx.

É claro que isto continua verdadeiro se mudamos a norma do espaço para a normaoriginal. Ainda, por um argumento similar, temos que

limλ→∞

eBλt+Aλsx = limλ→∞

eBλseAλsx = eBseAtx,

mostrando que eAteBsx = eBseAtx, para todo x ∈ D(A+B). Como D(A+B) é denso emX e ambos os lados desta expressão são operadores limitados, segue que eAteBsx = eBseAt

em X.

Em seguida vamos motrar que T (t) = eAteBt é um semigrupo fortemente contínuo comgerador A + B. Primeiro observe que a continuidade forte em t = 0 e a limitação são

6.2 Soma de geradores infinitesimais 83

óbvias e de

T (t+ s) = eA(t+s)eB(t+s) = eAteAseBteBs = eAteBteAseBs = T (t)T (s)

temos que T (t) é um semigrupo. Resta mostrar que A+B é o gerador de T (t).

Se x ∈ D(A) ∩D(B) = D(A+B), então

T (t)x− x = limλ→∞

(etAλetBλx− x) = limλ→∞

(eAλteBλtx− eBλtx+ eBλtx− x)

= limλ→∞

∫ t

0

eAλseBλt(Aλx) + limλ→∞

∫ t

0

eBλs(Bλx)ds

=

∫ t

0

eAseBtAxds+

∫ t

0

T (s)Bxds.

Agora

1

t(T (t)x− x) =

1

t

∫ t

0

eAseBtAxds+1

t

∫ t

0

T (s)Bxdst→0+−→ −(A+B)x,

para todo x ∈ D(A) ∩ D(B) = D(A + B). Portanto o gerador C de T (t) deve ser umaextensão de A + B. Seja λ um número real no resolvente de A + B e no resolvente dogerador de T (t). Então

(λ− C)D(C) = X = (λ− (A+B))D(A+B) = (λ− C)D(A+B),

e A+B = C completando a demonstração.

Corolário 6.2.2. Suponha que A e B são geradores de C0-semigrupos eAt : t > 0 eeBt : t > 0, respectivamente, tais que, para algum M > 0, α, β ∈ R, ‖eAt‖L(X) 6 Meαt

e ‖eBt‖L(X) 6 Meβt. Suponha também que A e B comutam, que o operador A + B éfechado, densamente definido com domínio D(A)∩D(B) e que λ ∈ ρ(A+B) para algumλ > 0. Então A + B gera um C0-semigrupo e(A+B)t : t > 0 tal que e(A+B)t = eAteBt eque ‖e(A+B)t‖L(X) 6M2e(α+β)t.

Demonstração: Basta aplicar o Teorema 6.2.1 aos operadores A− αI e B − βI.


6.3 Perturbação de geradores infinitesimais de semigru-

pos analíticos

Teorema 6.3.1. Seja A : D(A) ⊂ X → X e constantes 0 < δ < π2, ω ∈ R e M > 0 tais

queρ(A) ⊂ Σ = λ ∈ C : |arg(λ− ω)| < π

2+ δ ∪ ω,

e‖(λ− A)−1‖L(X) 6

M

|λ− ω|, para todo λ ∈ Σ, λ 6= ω.

Então sabemos que A é o gerador infinitesimal de um semigrupo analítico. Seja tam-bém B : D(B) ⊂ X → X, D(B) ⊃ D(A), um operador linear tal que

‖Bx‖X 6 ε‖Ax‖X +K‖x‖X , para todo x ∈ D(A),

para algum ε > 0 e alguma constante K. Então, existe δ > 0 tal que, se 0 6 ε 6

δ, D(A + B) = D(A), e A + B é o gerador infinitesimal de um semigrupo analíticoe(A+B)t : t > 0.

Demonstração: Escolha ε > 0 tal que 0 < ε(M + 1) < 1 e θ tal que ε(M + 1) < θ < 1.Para tal λ, B(λ− A)−1 ∈ L(X) e

‖B(λ− A)−1‖L(X) 6 ε‖A(λ− A)−1‖L(X) +K‖(λ− A)−1‖L(X)

6 ε

(1 +

M |λ||λ− ω|

)+

KM

|λ− ω|

que é menor ou igual a θ para |λ− ω| > R, para algum R suficientemente grande. Segueque | arg (λ− ω)| < ϕ, |λ− a| > R implica λ ∈ ρ(A+B) e

‖(λ− (A+B))−1‖L(X) 6M

(1− θ)|λ− ω|.

Disto, é facil obter que (A+B) é o gerador de um semigrupo analítico, usando o Teorema5.3.5.

6.4 Perturbação de geradores infinitesimais de semigrupos de contração 85

6.4 Perturbação de geradores infinitesimais de semigru-

pos de contração

Definição 6.4.1. Um operador dissipativo A : D(A) ⊂ X → X é chamado de m-dissipativo se Im(I − A) = X.

Claramente, se A ém-dissipativo, então µA também é, para qualquer µ > 0 e portantose A é m-dissipatvo temos Im(λ − A) = X para todo λ > 0. Em termos de operadoresm-dissipativos, o Teorema de Lumer-Philips pode ser rescrito da forma: Um operadordensamente definido A é o gerador infinitesimal de um C0-semigrupo de contrações se, esomente se, A é m-dissipativo.

O resultado principal dessa seção é o seguinte teorema de perturbação para operadoresm-dissipativos.

Teorema 6.4.2. Sejam A e B operadores lineares em X tais que D(A) ⊂ D(B) e A+ tB

é dissipativo para t ∈ [0, 1]. Se

‖Bx‖X 6 α‖Ax‖X + β‖x‖X , para x ∈ D(A),

onde 0 6 α < 1, β > 0 e para algum t0 ∈ [0, 1], A + t0B é m-dissipativo então A + tB ém-dissipativo para todo t ∈ [0, 1].

Demonstração: Mostremos que existe δ > 0 tal que se A+ t0B é m−dissipativo, A+ tB

é m−dissipativo para todo t ∈ [0, 1] satisfazendo |t − t0| 6 δ. Como qualquer pontoem [0, 1] pode ser alcançado de qualquer outro ponto por um número finito de passos detamanho δ, isso implica o resultado.

Assuma que para algum t0 ∈ [0, 1], A + t0B é m−dissipativo, o que implica queI− (A+ t0B) é inversível. Denotemos R(t0) = (I− (A+ t0B))−1 e temos ‖R(t0)‖L(X) 6 1.Mostremos que o operador BR(t0) é um operador linear limitado.

Da nossa hipótese e da desigualdade triangular, temos para x ∈ D(A) que

‖Bx‖X 6 α‖(A+ t0B)x‖X + αt0‖Bx‖X + β‖x‖X6 α‖(A+ t0B)x‖X + α‖Bx‖X + β‖x‖X ,

e portanto‖Bx‖X 6

α

1− α‖(A+ t0B)x‖X +

β

1− α‖x‖x.


Como R(t0) : X → D(A) e (A+ t0B)R(t0) = R(t0)− I, segue da desigualdade acimaque

‖BR(t0)x‖X 6α

1− α‖(R(t0)− I)x‖X +

β

1− α‖R(t0)x‖X 6

2α + β

1− α‖x‖X ,

para todo x ∈ X, e portanto BR(t0) é limitado. Para mostrar que A+tB ém−dissipativo,mostremos que I − (A+ tB) é inversível e portanto sua imagem é todo X. Temos

I − (A+ tB) = I − (A+ t0B) + (t0 − t)B

= (I + (t0 − t)BR(t0))(I − (A+ t0B)).

Portanto I − (A + t0B) é inversível se, e somente se, I + (t0 − t)BR(t0) é inversível.Mas I + (t0− t)BR(t0) para todo t satisfazendo |t− t0|‖BR(t0)‖L(X) 6 |t− t0|2α+β

1−α < 1 eportanto podemos escolher δ = 1−α

4α+2βpara concluir a demonstração.

O Teorema 6.4.2 é usualmente usado através do seguinte simples corolário.

Corolário 6.4.3. Seja A o gerador infinitesimal de um C0-semigrupo de contrações. SejaB um operador dissipativo, satisfazendo D(A) ⊂ D(B) e

‖Bx‖X 6 α‖Ax‖X + β‖x‖X , para x ∈ D(A),

onde 0 6 α < 1 e β > 0. Então A+ B é o gerador infinitesimal de um C0-semigrupo decontrações.

Demonstração: Pelo Teorema de Lumer-Philips, D(A) = X e A é m−dissipativo. Por-tanto A+ tB é dissipativo para todo t ∈ [0, 1], pois Re〈Ax, x∗〉 6 0, para todo x∗ ∈ J(x).De fato, se B é dissipativo com D(A) ⊂ D(B), então para cara x ∈ D(A) existe umx∗ ∈ J(x) tal que Re〈Bx, x∗〉 6 0 e para este mesmo x∗, Re〈Ax + tBx, x∗〉 6 0. PeloTeorema 6.4.2 segue que A+tB é m−dissipativo para todo t ∈ [0, 1] e em particular A+B

é m−dissipativo. Como D(A+B) = D(A) é denso em X, A+B é o gerador infinitesimalde um C0−semigrupo de contrações pelo Teorema de Lumer-Philips.

O Teorema 6.4.2 e o Corolário 6.4.3 são falsos, em geral, se α = 1. Uma das razõespara isto é que neste caso, o operador A+B não é necessariamente fechado. Se A+B nãoé fechado, então ele não por ser o gerador infinitesimal de um C0-semigrupo. Um simplesexemplo desta situação é quando iA um operador auto-adjunto em um espaço de Hilbert.

6.4 Perturbação de geradores infinitesimais de semigrupos de contração 87

Se iA é auto-adjunto, então A e −A são geradores infinitesimais de um C0−semigrupode contrações. Tomando B = −A em Teorema 6.4.2 temos a estimativa com α = 1 eβ = 0, mas A + B restrito a D(A) não é fechado. Neste exemplo simples, entretanto ofecho de A + B; isto é, o operador nulo no espaço todo, é o gerador infinitesimal de umC0−semigrupos de contrações. Nosso próximo teorema mostra sobre certas hipóteses, queesse é sempre o caso.

Teorema 6.4.4. Seja A o gerador infinitesimal de um C0−semigrupo de contrações. SejaB um operador dissipativo tal que D(A) ⊂ D(B) e

‖Bx‖X 6 ‖Ax‖X + β‖x‖X , para todo x ∈ D(A),

onde β > 0 é uma constante. Se B∗, é o adjunto de B, está densamente definido então ofecho A+B = A+B é o gerador infinitesimal de um C0−semigrupos de contrações.

Demonstração: A+B é dissipativo e densamente definido já que A é m−dissipativo e Bé dissipativo com D(A) ⊂ D(B). Portanto, do Teorema 3.2.7, o operador A+B é fechávele seu fecho A+B é dissipativo. Para provar que A + B é o gerador infitesimal de umC0−semigrupo de contrações é suficiente mostrar que Im(I −A+B) = X. Como A+B

é dissipativo e fechado segue do Lema 3.2.4 que Im(I − A+B) é fechada e portanto ésuficiente mostrar que Im(I − A+B) é densa em X.

Seja y∗ ∈ X∗ tal que 〈y∗, z〉 = 0 para todo z ∈ Im(I − A+B). Seja y ∈ X tal que‖y∗‖X∗ 6 〈y∗, y〉. Do Corolário 6.4.3 segue que A+ tB é m−dissipativo para 0 6 t < 1 eportanto a equação

x− Ax− tBx = y

tem uma única solução xt para todo 0 6 t < 1. Mais ainda, como A + tB é dissipativo‖xt‖X 6 ‖y‖X . Da nossa hipótese, temos

‖Bxt‖X 6 ‖Axt‖X + β‖xt‖X 6 ‖(A+ tB)xt‖X + t‖Bxt‖X + β‖xt‖X6 ‖y − xt‖X + t‖Bxt‖X + β‖xt‖X

e portanto(1− t)‖Bxt‖X 6 ‖y − xt‖X + β‖xt‖X 6 (2 + β)‖y‖X . (6.4.1)


Seja z∗ ∈ D(B∗) então

|〈z∗, (1− t)Bxt〉| = (1− t)|〈B∗z∗, xt〉|

6 (1− t)‖B∗z∗‖X‖y‖X → 0,

quando t → 1. Como D(B∗) é denso em X e por (6.4.1), (1 − t)Bxt é uniformementelimitada, segue que (1 − t)Bxt tende fracamente a zero quando t → 1. A nossa escolhaparticular de y∗ temos

‖y∗‖X∗ 6 〈y∗, y〉 = 〈y∗, xt − Axt − tBxt〉

〈y∗, (1− t)Bxt〉 → 0, quando t→ 1,

o que implica y∗ = 0 e portanto a imagem de I − A+B é denso em X.SejamX um espaço de Banach reflexivo e A um operador fechável densamente definido

em X. Sabemos então que A∗ está densamente definido e D(A∗) é denso em X∗. Assim,para espaço de Banach reflexivos, temos:

Corolário 6.4.5. Sejam X um espaço de Banach reflexivo e A o gerador infinitesimal deum C0−semigrupo de contrações em X. Seja B um operador dissipativo tal que D(A) ⊂D(B) e

‖Bx‖X 6 ‖Ax‖X + β‖x‖X , para todo x ∈ D(A),

onde β > 0. Então A+B, o fecho de A+B, é o gerador infinitesimal de um C0−semigrupode contrações em X.

Capítulo

7

Problema de Cauchy abstrato

7.1 O problema de valor inicial homogêneo

Nesta seção estudaremos o problema linear de valor inicial, ou problema de Cauchy

homogêneo (ou linear), dado pordu

dt= Au, para t > 0

u(0) = u0 ∈ X,(CH)

onde A : D(A) ⊂ X → X é um operador linear num espaço de Banach X.

Definição 7.1.1. Dizemos que uma função u : R+ → X é uma solução clássica ousolução forte de (CH) se

u ∈ C(R+, D(A)) ∩ C1([0,∞), X)

e u satisfaz (CH).

Teorema 7.1.2. Assuma que A é o gerador infinitesimal do um C0-semigrupo eAt : t >0 em X. Então as seguintes condições são satisfeitas:

(i) para cada u0 ∈ D(A), o problema (CH) possui uma única solução clássica u;

(ii) as soluções dependem continuamente do dado inicial; isto é, considere uma sequênciaun0n∈R ⊂ D(A) e assuma que un0

n→∞−−−→ u0 ∈ D(A). Se un é a solução clássica de

90 Problema de Cauchy abstrato

(CH) com ponto inicial un0 e u é a solução clássica de (CH) com ponto inicial u0,temos

un(t)n→∞−−−→ u(t), para cada t > 0.

Demonstração: Provemos primeiramente (i). Se u0 ∈ D(A) então sabemos que

u(t).= eAt(t)u0 ∈ C(R+, D(A)) ∩ C1([0,∞), X),

pelo Teorema 2.2.1. Além disso, u satisfaz (CH) e portanto u é uma solução clássica.

Assuma agora que u1 é uma outra solução clássica de (CH). Fixe t > 0 e defina afunção ψ : [0, t]→ X por

ψ(s) = eAt(t− s)u1(s).

Temos

d

dsψ(s) = −AeAt(t− s)u1(s) + eAt(t− s)Au1(s) = 0, para todo s ∈ (0, t),

assim ψ é constante, e da continuidade de ψ segue que

u(t) = eAt(t)u0 = ψ(0) = ψ(t) = u1(t),

o que mostra a unicidade e conclui o item (i).

O item (ii) é uma simples consequência do fato de que, para cada t > 0, a aplicação eAt

é um operador linear limitado de X, e portanto, contínuo. Isto conclui a demonstração.

7.2 Aplicações

Nesta seção resolveremos algumas EDP’s lineares, usando as técnicas desenvolvidasnos capítulos anteriores.

7.2.1 Equação da onda unidimensional

Nesta subseção estudaremos a equação da onda unidimensional com condições iniciais,e com condições de fronteira de Dirichlet nulas, dada por

7.2 Aplicações 91

utt = uxx, t > 0, 0 < x < 1

u(t, 0) = u(t, 1) = 0, t > 0

u(0, x) = u0(x), 0 < x < 1

ut(0, x) = u1(x), 0 < x < 1.

Formulação abstrata do problema: Defina v = ut. Assim, temos vt = utt = uxx e podemosescrever

d

dt

[u

v

]=

[v

uxx

]=

[0 1

∂xx 0

][u

v

].

Assim, usando a notação z .= [ uv ], z0

.= [ u0u1 ] e A =

[0 1∂xx 0

]temos

dz

dt= Az,

z(0) = z0,

(7.2.1)

onde nos falta escolher o espaço de Banach X e o domínio D(A) do operador A adequadospara trabalharmos, e garantir que A gere um C0-semigrupo em X. Uma das maneiras deescolhermos estes espaços adequadamente é olhar para a energia do sistema; e para isto,multiplicando a equação acima por v = ut e integrando no intervalo [0, 1] (isto é, tomandoo produto interno da equação com ut em L2(0, 1)) temos∫ 1

0

uttutdx =

∫ 1

0

uxxutdx,

o que nos dá (assumindo as diferenciabilidades adequadas) que

1

2

d

dt‖v‖2

L2(0,1) =1

2

d

dt

∫ 1

0

|v|2dx =

=0︷︸︸︷vux∣∣10−∫ 1

0

uxvxdx

=1

2

d

dt

∫ 1

0

|ux|2dx =1

2

d

dt‖∂xu‖2

L2(0,1).

(7.2.2)

Definindo assim E(t).= 1

2(‖∂xu‖2

L2(0,1) +‖v‖2L2(0,1)) temos d

dtE(t) = 0, o que nos dá que

E(t) = E(0) para todo t > 0 (desde que a solução esteja definida até t) que

E(t) =1

2(‖∂xu(0)‖2

L2(0,1) + ‖v(0)‖2L2(0,1)) =

1

2(‖∂xu0‖2

L2(0,1) + ‖u1‖2L2(0,1)),

e isto nos indica que o espaço X adequado para trabalharmos é X = H10 (0, 1)× L2(0, 1),


com norma‖[ uv ]‖X = ‖∂xu‖2

L2(0,1) + ‖v‖2L2(0,1),

que é um espaço de Hilbert (verifique).

Agora, para escolher D(A), lembre-se que devemos escolhê-lo de forma que A seja umoperador fechado, densamente definido. Olhando para (7.2.2), vemos que as diferenciabi-lidades (fracas) que usamos para realizar adequadamente todas os passos foram: v deveter vx bem definida, isto é v ∈ H1(0, 1); e além disso, devemos ser capazes de integraruxxut, e como ut = v ∈ L2(0, 1), é suficiente que uxx ∈ L2(0, 1). Assim devemos ter

A [ uv ] = [ vuxx ] ∈ X,

e portanto escolhemosD(A) = [ uv ] ∈ X : A [ uv ] ∈ X.

Vamos agora dar uma caracterização explícita de D(A). Para isto, seja [ uv ] ∈ D(A).Como uxx existe e está em L2(0, 1), segue que u ∈ H2(0, 1) ∩ H1

0 (0, 1). Além disso,v ∈ H1

0 (0, 1) e portanto

D(A) ⊂ [H2(0, 1) ∩H10 (0, 1)]×H1

0 (0, 1).

Reciprocamente, é simples ver que D(A) ⊃ [H2(0, 1)∩H10 (0, 1)]×H1

0 (0, 1), e portanto

D(A) = [H2(0, 1) ∩H10 (0, 1)]×H1

0 (0, 1).

Ainda, como C∞0 (0, 1) ⊂ H2(0, 1) ∩H10 (0, 1) e C∞0 (0, 1)

H10 (0,1)

= H10 (0, 1), segue que

H2(0, 1) ∩H10 (0, 1)

H10 (0,1)

= H10 (0, 1).

Analogamente, C∞0 (0, 1) ⊂ ∩H10 (0, 1) e C∞0 (0, 1)

L2(0,1)= L2(0, 1), logo

H10 (0, 1)

L2(0,1)= H1

0 (0, 1).

Consequentemente, mostramos que D(A)X

= X; isto é, A é densamente definido.

Exercício 7.2.1. Mostre que A : D(A) ⊂ X → X é um operador fechado.

Geração de semigrupo: Mostremos primeiramente que A é um operador dissipativo. Se

7.2 Aplicações 93

[ uv ] ∈ D(A) temos

〈A [ uv ] , [ uv ]〉X = 〈[ vuxx ] , [ uv ]〉X =

∫ 1

0

vxuxdx+

∫ 1

0

uxxvdx = 0.

Mostremos ainda que A é m-dissipativo; isto é, Im(I −A) = X; isto é, dado[fg

]∈ X,

existe [ uv ] ∈ D(A) tal que (I − A) [ uv ] =[fg

].

Tal [ uv ] ∈ D(A) existe se, e somente se, existe [ uv ] ∈ D(A) tal que [ u−vv−uxx ] =

[fg

].

A formulação variacional para a equação u− uxx = f + g é dada por∫ 1

0

uφdx+

∫ 1

0

uxφxdx =

∫ 1

0

(f + g)φdx, para toda φ ∈ H10 (0, 1).

Em H = H10 (0, 1) definimos a forma bilinear a : H ×H → R, dada por

a(u, φ) =

∫ 1

0

uφdx+

∫ 1

0

uxφxdx = 〈u, φ〉L2(0,1) + 〈u, φ〉H10 (0,1),

e mostremos que a é contínua e coerciva.

De fato, temos

|a(u, φ)| 6 ‖u‖L2(0,1)‖φ‖L2(0,1) + ‖u‖H10 (0,1)‖φ‖H1

0 (0,1)

6 2‖u‖H10 (0,1)‖φ‖H1

0 (0,1),

onde para a última desigualdade utilizamos a desigualdade de Poincaré em (0, 1)1. Por-tanto a é contínua. Além disso

|a(u, u)| = 〈u, u〉L2(0,1) + 〈u, u〉H10 (0,1) > 〈u, u〉H1

0 (0,1),

portanto a é coerciva. Defina o funcional linear contínuo (verifique) ξ ∈ H∗ por

ξ(φ) =

∫ 1

0

(f + g)φdx.

Assim, do Teorema de Lax-Milgram, existe um único u ∈ H tal que

a(u, φ) = ξ(φ), para todo φ ∈ H,

1‖u‖L2(0,1) 6 ‖u‖H10 (0,1)

, para toda u ∈ H10 (0, 1). Verifique este fato.


ou seja, existe um único u ∈ H tal que∫ 1

0

uφdx+

∫ 1

0

uxφxdx =

∫ 1

0

(f + g)φdx, para toda φ ∈ H10 (0, 1),

o que implica que uxx está bem definida e u − uxx = f + g em L2(0, 1). Portantou ∈ H2(0, 1) ∩ H1

0 (0, 1). Definindo v = u − f ∈ H10 (0, 1) concluímos a prova de que

Im(I − A) = X.

Segue então do Teorema de Lumer-Philips que A é o gerador infinitesimal de umC0-semigrupo de contrações eAt : t > 0.

Do Teorema 7.1.2 seque que para cada z0 ∈ D(A), existe uma única solução

z ∈ C([0,∞), D(A)) ∩ C1([0,∞), X)

de (7.2.1). Podemos ainda facilmente ver que, se z = [ uv ] então

u ∈ C([0,∞), H2(0, 1) ∩H10 (0, 1)) ∩ C1((0,∞), H1

0 (0, 1)) ∩ C2([0,∞), L2(0, 1)),

onde usamos que (verifique) Az ∈ C([0,∞), X) e

‖ [ uv ] ‖2H2(0,1)×H1

0 (0,1) 6 2(‖ [ uv ] ‖2X + ‖A [ uv ] ‖X) = 2‖ [ uv ] ‖Y1 .

7.2.2 Equação da onda dissipativa

Agora estudaremos a seguinte equação de ondas

utt −∆u+ a(x)ut = 0, x ∈ Ω, t > 0

u = 0, x ∈ ∂Ω

u(0, x) = u0(x), x ∈ Ω

ut(0, x) = u1(x), x ∈ Ω,

onde Ω ⊂ Rn é um subconjunto aberto, limitado e com ∂Ω suave, e a ∈ L∞(Ω) coma(x) > 0 para x ∈ Ω.

Formulação abstrata: Novamente, façamos v = ut, z = [ uv ], z0 = [ u0u1 ], e a equação acimase torna

dz

dt= Az,

z(0) = z0,

(7.2.3)

7.2 Aplicações 95

onde A =[

0 I∆ −a(x)

].

Exercício 7.2.2. Como na equação da onda unidimensional, multiplique a equação porut, assumindo as regularidades necessárias (diga quais são), e integrando o resultado emΩ, mostre que se

E(t).=

1

2‖∇u‖2

L2(Ω) +1

2‖v‖2

L2(Ω) =1

2

∫Ω

|∇u|2dx+

∫Ω

|v|2dx,

entãod

dtE(t) = −

∫Ω

a(x)|v|2dx,

e portanto

E(t) +

∫ t

0

∫Ω

a(x)|v|2dx = E(0).

Com o exercício acima, podemos definir novamente X = H10 (Ω)×L2(Ω) com produto

interno〈[ w1w2 ] ,

[w1w2

]〉X = 〈w1, w1〉H1

0 (Ω) + 〈w2, w2〉L2(Ω),

e além disso definimos, como anteriormente

D(A) = [ uv ] ∈ X : A [ uv ] ∈ X.

Geração de semigrupo:

Exercício 7.2.3. Mostre que:

1. D(A) = (H2(Ω) ∩H10 (Ω))×H1

0 (Ω).

2. A é densamente definido e fechado.

3. A é dissipativo.

4. Im(I − A) = X.

Pelo Teorema de Lumer-Philips, A é o gerador de um C0-semigrupo de contrações, epelo Teorema 7.1.2, dado z0 ∈ D(A), existe uma única solução clássica z de (7.2.3) a e

z ∈ C([0,∞), D(A)) ∩ C1([0,∞), X),

e se z = [ uv ] então

u ∈ C([0,∞), H2(Ω) ∩H10 (Ω)) ∩ C1([0,∞), H1

0 (Ω)) ∩ C2([0,∞), L2(Ω)).


Observação 7.2.4. Para obtermos soluções mais regulares, p.e. u ∈ C3([0,∞), L2(Ω)),basta considerarmos dados iniciais em D(A2).

7.2.3 Equação de placas

Considere e equação utt + ∆2u+ u = 0, x ∈ Rn, t > 0

u(0, x) = u0(x)

ut(0, x) = u1(x).

Formulação abstrata: Como anteriormente, para v = ut, z = [ uv ], z0 = [ u0u1 ] e A =[0 I

−∆2−I 0

]o problema se torna

dz

dt= Az,

z(0) = z0.

(7.2.4)

Encontremos uma energia adequada para esta equação, de modo a encontrar o espaçoX e o domínio D(A) do operador. Multiplicando a equação por ut e integrando em Rn,obtemos

0 =

∫Rnuttutdx+

∫Rn

∆2uutdx+

∫Rnuutdx

=

∫Rnuttutdx+

∫Rn

∆u∆utdx+

∫Rnuutdx

=1

2

d

dt

∫Rn

(|v|2 + |∆u|2 + |u|2)dx

=1

2

d

dt(‖u‖2

L2 + ‖∆u‖2L2 + ‖v‖2

L2)

=1

2

d

dt(‖u‖2

H2 + ‖v‖2L2),

o que nos leva a escolher X = H2 × L2 com a o produto interno adequado à norma queaparece na última igualdade da expressão acima. Ainda, para o cálculo desta integral,precisamos que ∆2u ∈ L2; isto é, u ∈ H4 e além disso necessitamos que v = ut ∈ H2.Assim, escolhemos

D(A) = H4 ×H2 (= [ uv ] ∈ X : A [ uv ] ∈ X).

Exercício 7.2.5. Mostre que:

7.2 Aplicações 97

2. A é densamente definido e fechado.

3. A é dissipativo.

4. Im(I − A) = X (Dica: use o seguinte fato de regularidade de soluções elípticas: se ∆2φ ∈ L2,

então φ ∈ H4).

Pelo Teorema de Lumer-Philips, A é o gerador infinitesimal de um C0-semigrupo decontrações. Ainda, do Teorema eqrefeq:Linear, concluímos que para cada z0 ∈ D(A)

existe uma única solução clássica z de (7.2.4) e

z ∈ C([0,∞, D(A)) ∩ C1([0,∞), X)).

Se z = [ uv ], então

u ∈ C([0,∞), H4) ∩ C1([0,∞), H2) ∩ C2([0,∞), L2).

7.2.4 Equação de Schrödinger (parte 1)

Vamos estudar nesta subseção e seguinte equaçãout − i∆u = 0, x ∈ Rn, t > 0

u(0, x) = u0(x).

Para o espaço de energia, multiplicamos a equação por u e integramos em Rn, paraencontrar

1

2

d

dt‖u‖2

L2 + i‖∇u‖2H1

0= 0,

e tomando a parte real e integrando em (0, t), obtemos

‖u‖2L2 = ‖u0‖L2 .

Assim, escolhemos X = L2, e como precisamos de u ∈ H2 para calcular esta integral,tomamos D(A) = H2, onde A = i∆. Mostremos que −iA = ∆ é auto-adjunto, dondeseguirá que iA é auto-adjunto.

De fato, ∆ é simétrico por para u, v ∈ H2, temos

〈∆u, v〉L2 =

∫Ω

∆uvdx =

∫Ω

u∆vdx = 〈u,∆v〉L2 .


Agora, mostremos que 1 ∈ ρ(∆) e que Im(I − ∆) = L2, o que mostra que ∆ éauto-adjunto, pelo Corolário 1.5.9. Notemos que ∆ é dissipativo, pois

〈∆u, u〉L2 = −∫Rn|∇u|2dx 6 0,

para todo u ∈ H2. Assim ‖u‖L2 6 ‖(I−∆u)‖L2 , para todo u ∈ H2, e mostra que (I−∆)

é injetivo. Assim (I −∆)−1 : Im(I −∆)→ L2 está bem definido e

‖(I −∆)−1v‖L2 6 ‖v‖L2 ,

logo 1 ∈ ρ(∆). Resta-nos mostrar que Im(I−∆) = L2; e para isto, defina a forma bilineara : H1 ×H1 → R por

a(u, φ) = 〈u, φ〉L2 + 〈u, φ〉H1 .

Como antes, a é contínua e coerciva, e para o funcional linear contínuo ξ(φ) = 〈f, φ〉L2

em (H1)∗, o Teorema de Lax-Milgram nos dá a existência de um único u ∈ H1 tal quea(u, φ) = ξ(φ) para todo φ ∈ H1, o que nos dá que (I − ∆)u = f em L2. Usando aregularidade elíptica, vemos que u ∈ H2, o que mostra o desejado.

Segue do Teorema de Stone que A gera um C0-grupo unitário em L2. Ainda, paracada u0 ∈ D(A), existe uma única solução clássica u da equação de Schödinger, que estádefinida para todo t ∈ R e além disso

‖u(t)‖L2 = ‖u0‖L2 , para todo t ∈ R.

7.2.5 Equação de Schrödinger (parte 2)

Nesta subseção estudaremos uma perturbação limitada da equação de Shrödinger queestudamos na parte 1, dada porut − i∆u = iαu, x ∈ Rn, t > 0

u(0, x) = u0(x),

onde α ∈ R está fixado. Sabemos da Parte 1 acima que A = i∆ é o gerador infinitesimal deum C0-grupo unitário. Além disso, se definirmos o operador linear limitado B : L2 → L2

dado por Bu = iαu, temos

Re〈Bu, u〉L2 = Re(iα‖u‖2L2) = 0,

7.3 O problema de Cauchy não-homogêneo 99

e portanto B é dissipativo. Segue então do Teorema 6.4.4 que A + B é o gerador infini-tesimal de um C0-semigrupo de contrações.

7.3 O problema de Cauchy não-homogêneo

A seguir estudamos problemas de Cauchy não-homogêneos da formadu

dt= Au+ f(t), para t0 < t < t1

u(t0) = u0 ∈ X(CnH)

onde A : D(A) ⊂ X → X é o gerador de um C0-semigrupo eAt : t > 0 em X ef : [t0, t1)→ X é contínua por partes e contínua à direita.

Definição 7.3.1.

(a) Uma solução forte de (CnH), é uma função contínua u : [t0, t1) → X tal queu(t0) = u0 e para t0 < t < t1, u(t) ∈ D(A),

d+

dtu(t) = lim

h→0+

u(t+ h)− u(t)

hexiste e

(CnH) vale com ddtu(t) substituída por d+

dtu(t) e t 7→ d+

dtu(t) é contínua onde f é

contínua.

Note que se t 7→ f(t) é uma função contínua e t 7→ u(t) é uma solução forte de(CnH) então t 7→ u(t) é contínuamente diferenciável e (CnH) se verifica para cadat ∈ (t0, t1).

(b) Uma solução fraca de (CnH) em [t0, t1) é uma função contínua u : [t0, t1) → X

tal que u(t0) = u0 e para todo u∗ ∈ D(A∗), t 7→ 〈u∗, u(t)〉 tem derivada à direita e

d+

dt〈u∗, u(t)〉 = 〈A∗u∗, u(t)〉+ 〈u∗, f(t)〉, t0 < t < t1. (7.3.1)

Note que se t 7→ 〈u∗, f(t)〉 é uma função contínua e t 7→ u(t) é uma solução fracade (CnH) então t 7→ 〈u∗, u(t)〉 é contínuamente diferenciável e (7.3.1) se verificacom d+

dtsubstituída por d

dt.

Definição 7.3.2. Um subconjunto S∗ ⊂ X∗ é dito total se dado x ∈ X tal que 〈x∗, x〉 = 0,para todo x∗ ∈ S∗, então x = 0.


O anulador S⊥ ⊂ X∗ de um subconjunto S ⊂ X é o conjunto de todos os elementosx∗ ∈ X∗ tais que 〈x∗, x〉 = 0, para todo x ∈ S. Sabemos que se S ⊂ X é um subespaçovetorial então (S⊥)⊥ = S (veja [3]).

Lema 7.3.3. Se A : D(A) ⊂ X → X é fechado e densamente definido então D(A∗) étotal.

Demonstração Seja x ∈ X tal que 〈x∗, x〉 = 0 para todo x∗ ∈ D(A∗). Queremos mostrarque x = 0.

Temos que o gráfico de A∗, G(A∗) = (x∗, A∗x∗) : , x∗ ∈ D(A∗), é o anulador emX∗ × X∗ de S = (−Ax, x) : x ∈ D(A); isto é, G(A∗) = S⊥. Note que G(A∗) tambémanula (x, 0), segue que (x, 0) ∈ G(A∗)⊥ = S e portanto x = 0.

O teorema a seguir nos dá formas de manuseio mais simples para as soluções fracas eestabelece algumas relações importantes entre soluções fracas e fortes.

Teorema 7.3.4. São válidas as seguintes afirmações:

1. se u : [t0, t1)→ X é uma solução forte de (CnH) então é também uma solução fracade (CnH).

2. Se u : [t0, t1)→ X é uma solução fraca de (CnH), então

u(t) = eA(t−t0)u0 +

∫ t

t0

eA(t−s)f(s)ds, t0 6 t < t1. (7.3.2)

Em particular, existe uma única solução fraca de (CnH).

3. Se u : [t0, t1)→ X é definida por (7.3.2), então u : [t0, t1)→ E0 é uma solução fracade (CnH).

4. Se u : [t0, t1)→ X é uma solução fraca e para algum t ∈ (t0, t1) ou u(t) ∈ D(A) oud+

dtu(t) existe, então ambos são verdadeiros e para este instante

d+

dtu(t) = Au(t) + f(t).

Demonstração: A afirmativa 1 é trivial. Provaremos 3 e a unicidade de soluções fracas,o que implicará 2.

7.3 O problema de Cauchy não-homogêneo 101

Prova de 3. Defina u : [t0, t1) → X por (7.3.2) e seja x∗ ∈ D(A∗). Para qualquerx ∈ X t 7→ 〈x∗, eAtx〉 é diferenciável com derivada 〈A∗x∗, eAtx〉 pois

〈x∗, eAtx〉 − 〈x∗, x〉 =

∫ t

0

〈A∗x∗, eAsx〉ds,

para x ∈ D(A) e por continuidade para todo x ∈ X. Usando isto calculamos d+

dt〈x∗, u(t)〉

e vemos que u : [t0, t1)→ X é uma solução fraca; de fato,

〈x∗,∫ t+h

t0

eA(t+h−s)f(s)ds〉 − 〈x∗,∫ t

t0

eA(t−s)f(s)ds〉

= 〈x∗,∫ t+h

t

eA(t+h−s)f(s)ds〉 − 〈x∗, (eAh − I)

∫ t

t0

eA(t−s)f(s)ds〉

= h[〈x∗, f(t)〉+ 〈A∗x∗,∫ t

t0

eA(t−s)f(s)ds〉] + o(h),

onde na última passagem utilizamos que A∗ é o gerador infinitesimal do semigrupo forte-mente contínuo eA∗t = (eAt)∗ : t > 0 em Y = D(A∗)

X∗

(veja Teorema 3.1.4).

Prova da unicidade em 2. Se existem duas soluções de (CnH), a diferença entre elasv : [t0, t1) → X é uma função contínua com v(t0) = 0 e d+

dt〈x∗, v(t)〉 = 〈A∗x∗, v(t)〉,

t0 6 t < t1 e x∗ ∈ D(A∗). É conveniente trabalhar com uma função C1, logo seja

V (t) =

∫ t

t0

v(s)ds; então

〈x∗, v(t)〉 =

∫ t

t0

〈A∗x∗, v(s)〉ds

e 〈x∗, ddtV (t)〉 = 〈A∗x∗, V (t)〉.

Agora observe que (eAt)∗D(A∗) ⊂ D(A∗) para t > 0, já que 〈(eAt)∗x∗, Ax〉 = 〈A∗x∗, eAtx〉para x∗ ∈ D(A∗), x ∈ D(A). Logo, para qualquer t∗ ∈ (t0, t1)

〈x∗, eA(t∗−t) d

dtV (t)〉 = 〈A∗x∗, eA(t∗−t)V (t)〉

e ddt〈x∗, eA(t∗−t)V (t)〉 = 0 para t0 6 t 6 t∗.

Como V (t0) = 0, 〈x∗, V (t∗)〉 = 0 para todo x∗ ∈ D(A∗), portanto V (t∗) = 0 e v(s) = 0

para t0 6 s 6 t1.

Prova de 4. Se u(·) é uma solução fraca, dada por (7.3.2), então para t0 6 t < t+h < t1

u(t+ h)− u(t)

h=

1

h

∫ t+h

t

eA(t+h−s)f(s)ds+1

h(eAh − I)u(t).


O termo do meio converge para f(t+) = f(t) quando h → 0+, logo se um dos outrostermos converge, ambos devem convergir.

A seguir damos condições simples que asseguram a diferenciabilidade de uma soluçãofraca.

Teorema 7.3.5. Assuma que A e f são como antes e u : [t0, t1) → E0 é uma soluçãofraca de (CnH). Se u0 ∈ D(A) e/ou

1. f(t) ∈ D(A) com t 7→ Af(t) ∈ X contínua à direita em [t0, t1) ou

2. d+

dtf(t) existe e é contínua à direita em [t0, t1),

então d+

dtu(t) existe, u(t) ∈ D(A) e u : [t0, t1)→ E0 é uma solução forte de (CnH).

Demonstração: Seja v(t) =

∫ t

t0

eA(t−s)f(s)ds, logo u(t) = eA(t−t0)u0 + v(t); como u0 ∈

D(A), t 7→ eA(t−t0)e0 é continuamente diferenciável. Se t0 6 t < t+ h < t1, temos

v(t+ h)− v(t)h

= 1h

∫ t+h

t

eA(t+h−s)f(s)ds+

∫ t

t0

eA(t−s)eAh − Ih

f(s)ds

= 1h

∫ t0+h

t0

eA(t+h−s)f(s)ds+

∫ t

t0

eA(t−s)f(s+ h)− f(s)h

ds

(7.3.3)

e usando as primeira e segunda expressões nos casos 1 e 2 respectivamente, vemos que

d+

dtv(t) = f(t) +

∫ t

t0

eA(t−s)Af(s)ds, no caso (1),

= eA(t−t0)f(t0) +

∫ t

t0

eA(t−s) d+dtf(s)ds, no caso (2).

Pelo Teorema 7.3.4, item 4, v(t) ∈ D(A) e a prova está completa.

7.4 O problema de Cauchy semilinear - caso hiperbólico

Nesta seção consideramos o problema de valor iniciald

dtu = Au+ f(t, u), para t0 < t < t1

u(t0) = u0 ∈ X,(CsL)

onde A é o gerador de um C0-semigrupo, f é uma função contínua que está definida emum subconjunto U de R× E0 e toma valores em X e (t0, u0) ∈ U .

7.4 O problema de Cauchy semilinear - caso hiperbólico 103

Definição 7.4.1.

(a) Uma solução forte de (CsL) em [t0, t1) é uma função contínua u : [t0, t1) → X

tal que u : (t0, t1) → u0 é continuamente diferenciável, u(t0) = u0, (t, u(t)) ∈ U ,u(t) ∈ D(A) e (CsL) vale para t0 < t < t1.

(b) Uma solução fraca de (CsL) em [t0, t1) é uma função contínua u : [t0, t1)→ X talque u(t0) = u0 (t, u(t)) ∈ U , para todo x∗ ∈ D(A∗), t 7→ 〈x∗, u(t)〉 é diferenciável e

d

dt〈x∗, u(t)〉 = 〈A∗x∗, u(t)〉+ 〈x∗, f(t, u(t))〉, t0 < t < t1. (7.4.1)

Com isto temos o seguinte teorema

Teorema 7.4.2. São válidas as seguintes afirmações:

1. se u : [t0, t1)→ X é uma solução forte de (CsL) então é também uma solução fracade (CsL).

2. Uma solução fraca u : [t0, t1) → X de (CsL) é também uma solução forte se, esomente se, é continuamente diferenciável em (t0, t1). Isto é válido se, e somentese, u(t) ∈ D(A) com t 7→ Au(t) contínua em (t0, t1).

3. Se u : [t0, t1)→ X é uma solução fraca de (CsL), então

u(t) = eA(t−t0)u0 +

∫ t

t0

eA(t−s)f(s, u(s))ds, t0 6 t < t1. (7.4.2)

4. Se u : [t0, t1)→ X é contínua com (t, u(t)) ∈ U , t0 6 t < t1 e satisfaz (7.4.2), entãou : [t0, t1)→ X é uma solução fraca de (CsL).

Demonstração: As afirmativas do teorema seguem imediatamente do Teorema 7.3.4uma vez que [t0, t1) 3 t 7→ f(t, u(t)) ∈ X é uma função contínua.

Teorema 7.4.3. Assuma que A é o gerador de um C0-semigrupo eAt : t > 0, U ⊂ R×E0

um aberto e f : U → X é contínua, e localmente Lipschitz contínua em sua segundavariável; isto é, dado (t0, u0) ∈ U existe δ > 0 e L tal que

‖f(t, u1)− f(t, u2)‖X 6 L‖u1 − u2‖X , (7.4.3)

quando |t − t0| 6 δ e ‖ui − u0‖X 6 δ, i = 1, 2. Então, dado qualquer (t0, u0) ∈ U existet1 > t0 e uma solução fraca u : [t0, t1)→ X de (CsL).


Adicionalmente, qualquer solução fraca u : [t0, t1) → X é tal que u(t) = u(t) parat0 6 t < mint1, t1.

Demonstração: Existem δ > 0 e constantes L,M tais que se t0 6 t 6 t0+δ, ‖ui−u0‖X 6δ, i = 1, 2, então

‖f(t, u1)− f(t, u2)‖X 6 L‖u1 − u2‖X‖f(t, u1)‖X 6M.

Escolha t1 > t0 tal que

0 < t1 − t0 6 min

δ

2MM0

,1

2M0L, δ, ε

,

onde ‖eAτ‖L(X) 6M0, 0 6 τ 6 ε, ‖eAτu0 − u0‖X 6 δ2, quando 0 6 τ 6 ε.

Seja S o conjunto das funções contínuas u : [t0, t1]→ X tal que ‖u(t)−u0‖X 6 δ, parat0 6 t 6 t1. Se u, u ∈ S, defina d(u, u) = supt06t6t1 ‖u(t) − u(t)‖X ; então (S, d) é umespaço métrico completo. Para u ∈ S defina G(u) : [t0, t1]→ X por

G(u)(t) = eA(t−t0)u0 +

∫ t

t0

eA(t−s)f(s, u(s))ds, para t0 6 t 6 t1.

Então G(S) ⊂ S, d(G(u), G(u)) 6 12d(u, u) para u, u ∈ S e, do Princípio da Contração

de Banach, G tem um único ponto fixo em S. Isto prova a afirmativa, usando os itens 3e 4 do Teorema 7.4.2.

A seguir obtemos resultados sobre extensões de soluções de (CsL) e a existência deintervalos maximais de definição para soluções de (CsL). Estes resultados são essenciaisno estudo do comportamento assintótico de soluções de (CsL) permitindo, em muitoscasos, obter a existência global de soluções através de alguma estimativa a priori.

Teorema 7.4.4. Assuma que A, U e f são como no Teorema 7.4.3. Para (t0, u0) ∈ Uexiste uma única solução fraca maximal u : [t0, τmax ) → X de (CsL). Para esta soluçãosuponha que τmax < ∞. Então ou existe u1 ∈ X tal que (τmax , u1) ∈ ∂U e u(t) → u1

quando t→ τ−max ou

lim supt→τ−max

‖f(t, u(t))‖X1 + ‖u(t)‖X

=∞.

Se U = R × E0 e f leva subconjunto limitados de R × E0 em subconjuntos limitadosde X o segundo caso só ocorre se lim supt→τ−max

‖u(t)‖X =∞.


Demonstração: Seja

τmax = supt1 : existe uma solução de (CsL) definida em [t0, t1).

Para qualquer t ∈ [t0, τmax ) defina u(t) = o valor em t de uma solução fraca u : [t0, t1)→X de (CsL), t1 > t. Toda solução fraca dá o mesmo valor para u(t), pelo Teorema 7.4.3,e u : [t0, τmax )→ X é claramente maximal.

Suponha que τmax < ∞ e o limite u1 = limt→τ−maxu(t) exista. Se (τmax , u1) ∈ U

existe uma solução fraca u : [τmax , τmax + δ] → X para algum δ > 0 com u(τmax ) = u1.Então se u : [t0, τmax + δ] → X é dada por u(t) = u(t), t0 6 t < τmax e u(t) = u(t),τmax 6 t 6 τmax + δ, então u é uma solução fraca de (CsL) o que contradiz a definiçãode τmax . Portanto, se o limite existe devemos ter (τmax , u1) ∈ ∂U .

Mostremos que‖f(t, u(t))‖X1 + ‖u(t)‖X

6 B <∞, t0 6 t < τmax ,

implica que limt→τ−maxu(t) existe e isto completará a prova.

Primeiramente note que pela desigualdade de Gronwall, ‖u(t)‖X é limitada, logo‖f(t, u(t))‖X 6 B1, t0 6 t < τmax . Provamos que ‖u(s)−u(r)‖X → 0 quando s, t→ τ−max .Podemos assumir que ‖eAt‖L(X) 6 M , para 0 6 t 6 τmax − t0. Dado ε > 0, esco-lha 0 < ε1 < τmax − t0 com ε1 6 ε

4MB1. Seja t∗ = τmax − ε1 e 0 < δ 6 ε1 tal que

‖(eA(s−t∗) − eA(r−t∗))u(t∗)‖X 6 ε4se |s− r| 6 δ. Então para t∗ 6 τmax − δ 6 s, r < τmax ,

u(s) = eA(s−t∗)u(t∗) +

∫ s

t∗eA(s−θ)f(θ, e(θ))dθ,

logo, se s 6 r, ‖u(s)− u(r)‖X 6 ε4

+ 2

∫ s

t∗MB1dθ +

∫ r

s

MB1dθ 6 ε.

Teorema 7.4.5. Assuma que A, U e f são como no Teorema 7.4.3 e suponha queu : [t0, t1) → X é uma solução fraca de (CsL). Se u(t0) = u0 ∈ D(A) e f : U → X

é continuamente diferenciável, então u : [t0, t1)→ X é continuamente diferenciável e por-tanto uma solução forte. Adicionalmente

d+

dtu(t0) = Au(t0) + f(t0, u(t0)).

Observação 7.4.6. É suficiente que (t, u) 7→ ft(t, u) ∈ X seja contínua e que (t, u) 7→fu(t, u) ∈ L(X) seja fortemente contínua; isto é, (t, u) 7→ fu(t, u)x ∈ X é contínua paracada x ∈ X.


Demonstração: Escolha qualquer t2 ∈ (t0, t1); provamos que u é continuamente diferen-ciável em [t0, t2]. Defina v : [t0, t1)→ X a solução fraca de v = Av + ft(t, u(t)) + fu(t, u(t))v,

v(t0) = Au0 + f(t0, u0).

Para 0 < h < t1 − t2, defina ∆h(t) = u(t + h)− u(t)− hv(t), t0 6 t 6 t2, é suficienteprovar que ∆h(t) = o(h) quando h→ 0+, uniformemente em [t0, t2]. Agora

∆h(t) = (eAh − I − hA)eA(t−t0)u0

+

∫ t0+h

t0

(eA(t+h−s)f(s, u(s))− eA(t−t0)f(t0, u0))

+

∫ t

t0

eA(t−s)[f(s+ h, u(s+ h))− f(s, u(s+ h))− hft(s, u(s))]ds

+

∫ t

t0

eA(t−s)[f(s, u(s+ h))− f(s, u(s))− hfu(s, u(s))v(s)]ds,

onde somente a expressão da última linha apresenta dificuldades. Denotando fu(s, h) =∫ 1

0

fu(s, θu(s+ h) + (1− θ)u(s))dθ, a expressão da última linha se torna

∫ t

t0

eA(t−s)[fu(s, h)∆h(s) + h(fu(s, h)− fu(s, u(s)))v(s)]ds.

Como fu é limitada em uma vizinhança do conjunto compacto (s, u(s)) : t0 6 s 6 t2,obtemos

‖∆h(t)‖X 6 C

∫ t

t0

‖∆h(s)‖Xds+ o(h),

quando h → 0+ uniformemente para t0 6 t 6 t2, para alguma constante C. Logo‖∆h(t)‖X 6 o(h), da desigualdade de Gronwall.

Teorema 7.4.7. Assuma que A, U e f são como no Teorema 7.4.3 e suponha que X éreflexivo. Se Y1 é D(A) com a norma do gráfico ‖x‖Y1 = ‖x‖X+‖Ax‖X , f leva U∩(R×Y1)

continuamente em Y1 e‖Af(t, x)‖X 6 C(t, x)‖x‖Y1 ,

em U ∩ (R × EA) onde C : U → R é localmente limitada. Então, qualquer solução fracau : [t0, t1)→ X de (CsL) com u(t0) ∈ D(A) é uma solução forte e ‖Au(t)−Au(t0)‖X → 0

quando t→ t+0 .


Demonstração: Seja t0 < t2 < t1. O método de iteração

un+1(t) = eA(t−t0)u(t0) +

∫ t

t0

eA(t−s)f(s, un(s))ds, para n ∈ N,

convergirá uniformemente em [t0, t2], se a aproximação inicial u0(t) é escolhida uniforme-mente próxima a u(t) em [t0, t2]; e podemos ainda assumir que u0 : [t0, t2]→ Y1 é contínua(basta tomar, por exemplo e = u0(t) = (I − εA)−1u(t) para algum ε > 0). Portanto‖Au0(t)‖X é limitado e un(t)

n→∞−−−→ u(t), uniformemente em [t0, t2].

Provaremos que ‖Aun(t)‖X é uniformemente limitada, u(t) ∈ D(A) com Aun(t)w−→

Au(t) e t 7→ Au(t) é contínua.

Primeiro note que (t, un(t)) : t0 6 t 6 t2, n ∈ N está em um subconjunto compactode U . Logo

‖Af(t, un(t))‖X 6 C1(1 + ‖Aun(t)‖X),

para alguma constante C1 independente de n, t. Portanto

‖Aun+1(t)‖X 6 ‖eA(t−t0)Au(t0)‖X +

∫ t

t0

‖eA(t−s)C1(1 + ‖Aun(s)‖X)ds

6 C2 + C3

∫ t

t0

‖Aun(s)‖Xds, t0 6 t 6 t2.

Podemos assumir que C2 > ‖Au0(t)‖X para t0 6 t 6 t2, e então se ‖Aun(s)‖X 6C2e

C3(s−t0) em [t0, t2], segue que ‖Aun+1(t)‖X 6 C2eC3(t−t0) e portantoAun(t) eAf(t, un(t))

são uniformemente limitadas. Note que o gráfico de A é fechado e portanto fracamentefechado e un(t) → u(t); se uma subsequência é tal que Aun(t)

w−→ y(t), então u(t) ∈D(A), Au(t) = y(t). Portanto, Aun(t)

w−→ Au(t). Semelhantemente Af(t, un(t))w−→

Af(t, u(t)). Ainda t 7→ Au(t), Af(t, u(t)) são fracamente contínuas; por exemplo, dadox∗ ∈ X∗ e ε > 0, primeiro escolha x∗1 ∈ D(A∗) próximo a x∗ e então

|〈x∗, Au(t)− Au(s)〉| 6 |〈x∗ − x∗1, Au(t)− Au(s)〉|+ |〈A∗x∗1, u(t)− u(s)〉|6 C‖x∗ − x∗1‖X∗ + ‖A∗x∗1‖X∗‖u(t)− u(s)‖X< ε,

se |t− s| é suficientemente pequeno dependendo de x∗1, ε. Note que D(A∗) é denso em X∗,já que X é reflexivo (veja Lemma 1.3.3).


Agora mostramos que t 7→ Au(t) é contínua, ou especificamente,

t 7→ z(t) ≡∫ t

t0

eA(t−s)Af(s, u(s))ds

é contínua. O integrando aqui é pelo menos fracamente contínuo, logo a integral faz(fraco) sentido. Primeiro observe que

z(t+ h)− z(t) = (eAh − I)z(t) +

∫ t+h

t

eA(t+h−s)Af(s, u(s))ds

e ‖Af(s, u(s))‖X é limitado, logo ‖z(t+h)−z(t)‖X → 0 quando h→ 0+ para cada t > 0;isto é, z(t) é contínua à direita. Segue que Au(t) é contínua à direita, logo s 7→ Af(s, u(s))

é também contínua a direita. Agora para cada t0 < t 6 t2

z(t)− z(t− h) =∫ t0+h

t0eA(t−s)Af(s, u(s))ds

+∫ t−ht0

eA(t−h−s)[Af(s+ h, u(s+ h))− Af(s, u(s))]ds→ 0

quando h → 0+. Logo z é também contínuo à esquerda, Au(·) é contínua e u é umasolução forte. O argumento aqui utiliza o Teorema da Convergência Dominada.

Teorema 7.4.8. Assuma que A, U e f são como no Teorema 7.4.3 e suponha quefn : U → X, n ∈ N também satisfaz as condições do Teorema 7.4.3. Suponha queu : [t0, t1) → X é uma solução fraca de (CsL) e que fn(t, u) → f(t, u) quando n → ∞uniformemente para (t, u) em uma vizinhança de cada ponto (τ, u(τ)), t0 6 τ < t1. Sejaun,0 uma sequência em X convergente para u0 ∈ X e un uma solução fraca de

d

dtun = Aun + fn(t, un(t))

un(t0) = un,0,

(7.4.4)

em um intervalo maximal [t0, tn). Dado t0 < t∗ < t1, para n grande, un está definido em[t0, t

∗]; isto é, tn > t∗ elimn→∞

supt06t6t∗

‖un(t)− u(t)‖X = 0.

Demonstração: Pela compacidade de (τ, u(τ)) : t0 6 τ 6 t∗ ⊂ U , podemos escolherr > 0, L e εn > 0 tal que, para y, z na bola fechada de raio r em torno de u(τ),

‖f(τ, y)− f(τ, z)‖X 6 L‖y − z‖X


e ‖fn(τ, y)−f(τ, y)‖X 6 εn, t0 6 τ 6 t∗, εn → 0 quando n→∞. Também ‖eAt‖L(X) 6M

em 0 6 t 6 t∗ − t0.

Escolha n0 tal que n > n0 implica

M [‖un(t0)− u(t0)‖X + εn(t∗ − t0)]eML(t∗−t0) < r.

Então ‖eA(t−t0)(un(t0) − u(t0))‖X < r e ‖un(t) − u(t)‖X < r para t próximo a t0. Defato, digamos que n > n0 e ‖un(s)− u(s)‖X 6 r para t0 6 s < t 6 t∗; então

‖un(t)− u(t)‖X 6 ‖eA(t−t0)(un(t0)− u(t0))‖X

+‖∫ t

t0

eA(t−s)(fn(s, un(s))− f(s, un(s)))ds‖X

+‖∫ t

t0

eA(t−s)(f(s, un(s))− f(s, u(s)))ds‖X

6M‖un(t0)− u(t0)‖X +Mεn(t− t0)

+

∫ t

t0

ML‖un(s)− u(s)‖Xds.

A desigualdade de Gronwall mostra que ‖un(t) − u(t)‖X < r (se n > n0), logo adesigualdade vale para todo t0 6 t 6 t∗ e

‖un(t)− u(t)‖E0 6M [‖un(t0)− u(t0)‖E0 + εn(t− t0)]eML(t−t0) → 0,

quando n→∞.

Corolário 7.4.9. Assuma que A, U e f são como no Teorema 7.4.3 e que f é tambémcontinuamente diferenciável. Dado qualquer solução fraca u : [t0, t1) → X e t0 < t∗ <

t1, existem soluções fortes un : [t0, t∗] → X, n ∈ N, tais que limn→∞ supt06t6t∗ ‖un(t) −

u(t)‖X = 0.

Demonstração: Sejam fn = f , un(t0) ∈ D(A) com ‖un(t0) − u(t0)‖X → 0 quandon→∞. Cada solução fraca un é uma solução forte pelo Teorema 7.4.5.


7.5 Exemplo: a equação do calor não-linear

Considere o seguinte problema de valor inicial e de fronteiraut = uxx + f(u), 0 < x < 1, t > 0

u(t, 0) = u(t, 1), ux(t, 0) = ux(t, 1), t > 0

u(0, x) = u0(x).

(7.5.1)

Este problema representa a condução de calor em um anel de comprimento um comuma fonte que depende da temperatura. Nesta seção provaremos, sob certas condições,a existência de soluções locais e globais deste problema de valor inicial e de fronteira eestudaremos o comportamento assintótico das soluções globais.

Começamos introduzindo uma estrutura abstrata conveniente. Seja X = Cp([0, 1],R)

o espaço de todas as funções contínuas um-periódicas a valores reais com a norma dosupremo; isto é, ‖u‖X = supx∈[0,1] |u(x)|. Assim X é portanto o espaço das funçõescontínuas em [0, 1] satisfazendo u(0) = u(1). Seja A o operador linear definido em X porD(A) = u ∈ X : u, u′, u′′ ∈ X onde u′ e u′′ são a primeira e segunda derivadas de u,respectivamente. Para u ∈ D(A), Au = u′′.

Lema 7.5.1. O operador A definido acima é o gerador infinitesimal de um semigrupoanalítico compacto eAt : t > 0 ⊂ L(X).

Demonstração: Como o domínio de A contém todos os polinômios trigonométricos (como período um) ele é denso em X pelo teorema de aproximação de Weierstrass. Seja g ∈ Xe λ = ρeiν com ρ > 0 e −π/2 < ν < π/2. Considere o problema de valor de fronteira λ2u− u′′ = g, x ∈ (0, 1)

u(0) = u(1), u′(0) = u′(1).(7.5.2)

Um cálculo direto mostra que este problema tem uma solução u dada por

u(x) =1

2λ sinh λ2

[∫ x

0

coshλ(x− y − 1

2)g(y)dy +

∫ 1

x

coshλ(x− y +1

2)g(y)dy

]

e que esta solução é única. Denotando por Reλ = µ = ρ cos ν > 0 e usando as desigual-

7.5 Exemplo: a equação do calor não-linear 111

dades elementares∣∣∣∣sinhλ

2

∣∣∣∣ > sinhµ

2,

∣∣∣∣coshλ(x− y ± 1

2)

∣∣∣∣ 6 coshµ(x− y ± 1

2)

encontramos

|u(x)| 6 ‖g‖X2|λ| sinh µ

2

[∫ x

0

coshµ(x− y − 12)dy +

∫ 1

x

coshµ(x− y + 12)dy

]

=‖g‖X|λ|2 cos ν

.

Fixando qualquer π/4 < ν0 < π/2 encontramos que

ρ(A) ⊃ Σ(ν0) = λ : | arg λ| < 2ν0

e também‖(λ− A)−1‖L(X) 6 (cos ν0)−1, para λ ∈ Σ(ν0).

Segue então que A é o gerador infinitesimal de um semigrupo analítico eAt : t > 0.Como eAt : t > 0 é um semigrupo analítico ele é contínuo na topologia uniforme de

operadores para t > 0. Isto é uma consequência imediata da desigualdade

‖eA(t+h)x− eAtx‖X =

∥∥∥∥∫ h

0

AeA(t+s)xds

∥∥∥∥X

≤ h sups∈[0,h]

‖Ae(t+s)‖L(X)‖x‖X 6 Ct h‖x‖X

para h > 0 e t > 0. Adicionalmente, pelo Teorema de Arzelá-Ascoli, D(A) dotado danorma do gráfico (Y1) está compactamente imerso em X. Segue que para todo λ ∈ Σ(ν0),(λ − A)−1 é um operador compacto e que eAt : t > 0 é um semigrupo compacto. Aprova está completa.

Segue do Lema 7.5.1 e dos resultados deste capítulo, o seguinte resultado:

Teorema 7.5.2. Para toda função localmente Lipschitz f : R → R e para todo u0 ∈ Xexiste um t0 > 0 tal que o problema de valor inicial e de fronteira (7.5.1) tem uma únicasolução u(t, x) em [0, t0) e ou t0 =∞ ou se t0 <∞ então lim supt→t−0 ‖u(t, ·)‖X =∞.

Agora nos voltamos para o estudo das soluções globais do problema de valor inicial e


de fronteira (7.5.1) e começamos notando que as condições do Teorema 7.5.2 não implicama existência global de soluções de (7.5.1). De fato, escolhendo por exemplo f(s) = s2 eu0 ≡ 1 é fácil ver que a única solução de (7.5.1) neste caso é u(t, x) = (1−t)−1 que explodequando t→ 1.

Lema 7.5.3. Seja f uma função contínua e u uma solução de (7.5.1) em [0,∞) então oconjunto u(t) : t > 0 é precompacto em X.

Demonstração: Seja ‖u(t)‖X 6 K para t > 0. A continuidade de f implica que‖f(u(t))‖X 6 N para alguma constante N . Seja eAt : t > 0 o semigrupo gerado por Ae recorde que pelo Lema 7.5.1, eAt é compacto para t > 0. Sejam 0 < ε < 1, t > ε e faça

u(t) = eAεu(t− ε) + [u(t)− eAεu(t− ε)] .= uε(t) + vε(t).

O conjunto uε(t) : t > 1 é precompacto em X pois u(t− ε) : t > 1 é limitado e eAε

é compacto. Também,

‖vε(t)‖X =

∥∥∥∥∫ t

t−εeA(t−s)f(u(s))ds

∥∥∥∥X

6∫ t

t−ε‖eA(t−s)‖L(X)‖f(u(s))‖X 6 εMN

onde M = sup‖eAt‖L(X) : 0 6 t 6 1. Portanto u(t) : t > 1 é totalmente limitado eportanto pré-compacto. Como u(t) : 0 6 t 6 1 é compacto o resultado segue.

Lema 7.5.4. Seja f localmente Lipschitz contínua. Se para algum u0 ∈ X o problema(7.5.1) tem uma solução global limitada u(t, x) então existe uma sequência tk → ∞ talque

limtk→∞

u(tk, x) = φ(x),

onde φ(x) é uma solução do problema de valor de fronteira φ′′ + f(φ) = 0, x ∈ (0, 1)

φ(0) = φ(1), φ′(0) = φ′(1).

7.5 Exemplo: a equação do calor não-linear 113

Demonstração: Multiplicando a equação (7.5.1) por ut e integrando em x e t temos∫ T

1

∫ 1

0

|ut|2dx dt+12

∫ 1

0

|ux(T, x)|2dx−∫ 1

0

F (u(T, x))dx

6 12

∫ 1

0

|ux(1, x)|2dx−∫ 1

0

F (u(1, x))dx

(7.5.3)

onde F (s) =

∫ x

0

f(r)dr. Como |u(t, x)| 6 K para alguma constante K, deduzimos de

(7.5.3) que ∫ ∞1

∫ 1

0

|ut|2dx dt <∞.

Portanto existe uma sequência tj →∞ para a qual limtj→∞ ut(tj, x) = 0 quase sempreem [0, 1], ou limtj→∞ ut(tj) = 0 em L2(0, 1). Do Lema 7.5.3 segue que para uma subsequên-cia de tj que denotaremos por tk temos limtk→∞ u(tk, x) = φ(x) uniformemente para0 6 x 6 1. Portanto

limtk→∞

f(u(tk, x)) = f(φ(x)),

uniformemente para 0 6 x 6 1. Passando o limite quando t → ∞ através da sequênciatk, na equação (7.5.1) no sentido de L2(0, 1) e usando o fato que Au = u′′ é fechadocomo um operador em L2(0, 1) encontramos que φ′′(x) + f(φ(x)) = 0 em L2(0, 1). Comof(φ(x)) é contínua a equação vale no sentido clássico. Adicionalmente, as condições deperiodicidade estão satisfeitas para φ(x) já que elas estão satisfeitas para u(t, x).

Corolário 7.5.5. Se f é localmente Lipschitz contínua e f(s) 6= 0 para todo s ∈ R, entãoo problema de valor inicial (7.5.1) não tem soluções limitadas.

Demonstração: Se f(s) 6= 0 o problema de valor de fronteira (7.5.4) não tem solução.De fato, integrando a equação φ′′ + f(φ) = 0 em [0, 1] resulta

φ′(1)− φ′(0) = −∫ 1

0

f(φ(s))ds 6= 0

e portanto as condições de fronteira não podem estar satisfeitas. Portanto pelo Lema7.5.4 não pode haver solução limitada de (7.5.1).

Teorema 7.5.6. Se f é localmente Lipschitz contínua e sf(s) < 0 para todo s 6= 0

então todas as soluções do problema de valor inicial e de fronteira (7.5.1) são limitadas.Adicionalmente, toda solução de (7.5.1) tende a zero quando t→∞.


Demonstração: A limitação das soluções e ainda mais a estimativa:

max06x61

|u(t, x)| 6 max06x61

|u(s, x)|, t > s, (7.5.4)

são consequências imediatas do princípio do máximo. Portanto todas as soluções doproblema de valor inicial (7.5.1) são limitadas. Adicionalmente do Lema 7.5.4 sabemosque para alguma sequência tk → ∞, u(tk, x) → φ(x) onde φ é uma solução do problemade valor de fronteira (7.5.4). Mas a única solução deste problema de valor de fronteira éφ ≡ 0. Isto pode ser visto multiplicando φ′′ + f(φ) = 0 por φ e integrando em [0, 1] paraobter ∫ 1

0

|φ′(x)|2dx 6 0

o que implica φ′ ≡ 0 e φ = const. Contudo a única solução f(s) = 0 é s = 0 e portantoφ ≡ 0. Portanto temos que

limtk→∞

u(tk, x) = 0. (7.5.5)

Combinando (7.5.4) com (7.5.5) obtemos que u(t, x)→ 0 quando t→∞.

Apêndice

ACálculo de funções vetoriais

A.1 Funções analíticas vetoriais

Se X é um espaço de Banach, r > 0 e x ∈ X, a bola aberta (fechada) de centro em x eraio r em X é denotada por BX

r (x) (BX

r (x)) ou simplesmente por Br(x) (Br(x)) quandoestiver claro qual é o espaço de Banach envolvido.

Se Ω ⊂ C é um conjunto aberto e X é um espaço de Banach sobre C, diremos queuma função f : Ω→ X é analítica em Ω se, para cada λ0 ∈ Ω existe f ′(λ0) ∈ X tal que

limλ→λ0

f(λ)− f(λ0)

λ− λ0

= f ′(λ0).

O vetor f ′(λ0) é chamado derivada de f em λ0. Observe que, se f : Ω→ X é analíticae x∗ ∈ X∗, então h .

= x∗f : Ω→ C é analítica e h′(λ0) = x∗(f ′(λ0)). Surpreendentemente(já que, em geral, convergência fraca não implica convergência forte), a recíproca tambémé verdadeira.

Teorema A.1.1. Sejam X um espaço de Banach sobre C, Ω um subconjunto aberto deC e f : Ω→ X uma função tal que x∗ f : Ω→ C é analítica para todo x∗ ∈ X∗. Entãof : Ω→ X é analítica.

Demonstração: Seja λ0 ∈ Ω. Como X é completo, é suficiente provar que para cadaλ0 ∈ Ω, a expressão

f(λ)− f(λ0)

λ− λ0

− f(µ)− f(λ0)

µ− λ0

116 Cálculo de funções vetoriais

tende a zero quando λ e µ tendem a λ0.

Escolha r > 0 tal que o Br(λ0) ⊂ Ω e denote por γ fronteira de Br(λ0) orientadano sentido anti-horário. Para cada x∗ ∈ X∗ a função x∗ f : Br(λ0) → C é contínua eportanto limitada. Do Princípio da Limitação Uniforme, existe uma constante M > 0 talque

‖f(ξ)‖X 6M, para todo ξ ∈ Br(λ0). (A.1.1)

Pela fórmula integral de Cauchy, se ζ ∈ B r2, temos

x∗(f(ζ)) =1

2πi

∫γ

x∗(f(ξ))

ξ − ζdξ. (A.1.2)

Agora, se x∗ ∈ X∗ e λ, µ ∈ B r2(λ0), utilizando (A.1.2) para ζ igual a λ, µ e λ0, obtemos

x∗[f(λ)−f(λ0)

λ−λ0

− f(µ)−f(λ0)

µ−λ0

]=

1

2πi

∫γ

(λ−µ) x∗(f(ξ))

(ξ−λ)(ξ−µ)(ξ−λ0)dξ. (A.1.3)

Nossa escolha de λ e µ assegura que |λ − ξ| > r2e |µ − ξ| > r

2. Disto e de (A.1.1),

segue de (A.1.3) que∣∣∣∣x∗ [f(λ)− f(λ0)

λ− λ0

− f(µ)− f(λ0)

µ− λ0

]∣∣∣∣ 6 4r−2M‖x∗‖X∗ |λ− µ|.

Logo,∥∥∥∥f(λ)−f(λ0)

λ−λ0

− f(µ)−f(λ0)

µ−λ0

∥∥∥∥X

= supx∗∈X∗‖x∗‖X∗=1

∣∣∣∣x∗ [f(λ)−f(λ0)

λ−λ0

− f(µ)−f(λ0)

µ−λ0

]∣∣∣∣6 4r−2M |λ− µ|,

o que conclui a demonstração.

A seguir, consideramos funções definidas em subconjuntos abertos de C com valoresno espaço dos operadores lineares e contínuos entre dois espaços de Banach.

Teorema A.1.2. Sejam X, Y , espaços de Banach sobre C e Ω um subconjunto abertode C. Se T : Ω→ L(X, Y ), as seguintes afirmativas são equivalentes:

(a) Para cada x ∈ X e y∗ ∈ Y ∗, a função Ω 3 λ 7→ y∗(T (λ)x) ∈ C é analítica.

(b) Para cada x ∈ X, a função Ω 3 λ 7→ T (λ)x ∈ Y é analítica.

A.2 Curvas retificáveis 117

(c) A função Ω 3 λ 7→ T (λ) ∈ L(X, Y ) é analítica.

Demonstração: A prova de (a)⇒ (b) segue diretamente do Teorema A.1.1, a prova de(b)⇒ (c) é análoga à prova do Teorema A.1.1 e a prova de (c)⇒ (a) é imediata.

Estes teoremas permitem que uma parte significativa da teoria de funções de variáveiscomplexas possa ser transferida para funções com valores vetoriais sem muito esforçoadicional.

A.2 Curvas retificáveis

Dados a, b ∈ R com a < b, uma partição P do intervalo [a, b] é uma coleção de pontost0, t1, · · · , tnP , nP ∈ N∗ .= N\0, tal que a = t0 < t1 < · · · < tnP = b. A malha ‖P‖ deuma partição P : a = t0 < t1 < · · · < tnP = b é o comprimento do maior dos sub-intervalosdeterminados por ela; isto é, ‖P‖ = maxti − ti−1 : 1 6 i 6 nP.

Definição A.2.1.

(i) Uma curva é uma função contínua γ : [a, b]→ C.

(ii) Se γ : [a, b] → C é diferenciável e γ′ : [a, b] → C é contínua, diremos que γ é umacurva suave.

(iii) Uma curva γ : a, b] → C é dita suave por partes se existe uma partição P : a =

t0 < t1 < · · · < tnP = b do intervalo [a, b] tal que γi : [ti−1, ti] → C dada porγi(t) = γ(t), t ∈ [ti−1, ti], é suave i = 1, · · · , nP .

(iv) Uma curva γ : [a, b] → C é uma poligonal se existe uma partição P : a = t0 <

t1 < · · · < tnP = b do intervalo [a, b] tal que

γ(t) =γ(ti−1)(ti − t) + γ(ti)(t− ti−1)

ti − ti−1

, t ∈ [ti−1, ti], 1 6 i 6 nP .

(v) Uma curva γ : [a, b] → C é de variação limitada se existe uma constante M > 0

tal que, para toda partição P : a = t0 < t1 < · · · < tnP = b do intervalo [a, b]

v(γ, P ).=

nP∑i=1

|γ(ti)− γ(ti−1)| 6M.


Se γ : [a, b]→ C é de variação limitada, a variação de γ é definita por

V (γ)].= supv(γ, P ) : P é uma partição de [a, b].

Quando for importante especificar o intervalo de definição da curva γ escreveremosV (γ, [a, b]) para denotar a variação da curva γ : [a, b]→ C.

Exercício A.2.2. Se γ : [a, b]→ C for de variação limitada V (γ, [a, b]) então |γ| : [a, b]→C definida por |γ|(t) = V (γ, [a, t]) será de variação limitada e V (γ, [a, b]) = V (|γ|, [a, b]).

Proposição A.2.3. Sejam γ, σ : [a, b]→ C curvas de variação limitada.

(a) Se P,Q são partições de [a, b] com P ⊂ Q, então

v(γ, P ) 6 v(γ,Q).

(b) Se α, β ∈ C, então αγ + βσ : [a, b]→ C definida por (αγ + βσ)(t) = αγ(t) + βσ(t),t ∈ [a, b] é de variação limitada e V (αγ + βσ) 6 |α|V (γ) + |β|V (σ).

Demonstração: Exercício.

Proposição A.2.4. Se γ : [a, b]→ C é suave por partes, então γ é de variação limitadae

V (γ) =

∫ b

a

|γ′(t)|dt.

Demonstração: Faremos apenas a prova para o caso em que γ é suave. O caso geral édeixado como exercício para o leitor.

Note que, para toda partição P : a = t0 < t1 < · · · < tnP = b do intervalo [a, b], temosque

v(γ, P ) =

nP∑i=1

|γ(ti)− γ(ti−1)| =nP∑i=1

|∫ ti

ti−1

γ′(t)dt| 6nP∑i=1

∫ ti

ti−1

|γ′(t)|dt

=

∫ b

a

|γ′(t)|dt.

Consequentemente

V (γ) 6∫ b

a

|γ′(t)|dt.

A.3 Integral de Riemann-Stieltjes de funções contínuas 119

Como γ′ : [a, b] → C é uniformemente contínua, dado ε > 0, existe δ1 > 0 talque, para todo t, s ∈ [a, b] com |t − s| < δ1, temos que |γ′(t) − γ′(s)| < ε

2(b−a). Seja

δ2 > 0 tal que, para toda partição P : a = t0 < t1 < · · · < tnP = b com malha‖P‖ = maxti − ti−1 : 1 6 i 6 nP < δ2, temos que∣∣∣∣∣

∫ b

a

|γ′(t)|dt−nP∑i=1

|γ′(τi)|(ti − ti−1)

∣∣∣∣∣ < ε

2,∀ τi ∈ [ti−1, ti].

Logo, se ‖P‖ < minδ1, δ2,∫ b

a

|γ′(t)|dt 6 ε

2+

nP∑i=1

|γ′(τi)|(ti − ti−1) =ε

2+

nP∑i=1

∣∣∣∣∫ ti

ti−1

γ′(τi)dt

∣∣∣∣6ε

2+

nP∑i=1

∣∣∣∣∫ ti

ti−1

γ′(t)dt

∣∣∣∣+

nP∑i=1

∣∣∣∣∫ ti

ti−1

[γ′(τi)− γ′(t)]dt∣∣∣∣

6 ε+

nP∑i=1

|γ(ti)− γ(ti−1)| 6 ε+ V (γ).

Como ε > 0 é arbitrário, segue que∫ b

a

|γ′(t)|dt 6 V (γ)

e a prova está completa.

Observação A.2.5. O conjunto γ = γ(t) : t ∈ [a, b] é chamado traço da curva

γ : [a, b] → C. Se γ : [a, b] → C é uma curva de variação limitada, a sua variação V (γ)

é comprimento de γ. O resultado anterior nos diz que, a noção usual de comprimentopara o traço de uma curva suave por partes é estendida pela noção de variação às curvasde variação limitada.

Definição A.2.6. Seja γ : [a, b] → C uma curva. Diremos que γ é retificável se γ forde variação limitada.

Diremos que γ é fechada se γ(a) = γ(b) e diremos γ é simples se γ : [a, b)→ C forinjetiva.

A.3 Integral de Riemann-Stieltjes de funções contínuas

Teorema A.3.1. Seja X um espaço de Banach sobre K, γ : [a, b] → K uma curvaretificável e f : [a, b] → X uma função contínua. Então, existe um vetor I em X com a


seguinte propriedade: Dado ε > 0, existe δ > 0 tal que, se P : a = t0 < t1 < · · · < tnP = b

é uma partição de [a, b] com ‖P‖ < δ, então∥∥∥∥∥I −nP∑i=1

f(τi)[γ(ti)− γ(ti−1)]

∥∥∥∥∥X

< ε, (A.3.1)

para qualquer escolha de τi ∈ [ti−1, ti], 1 6 i 6 np. Este vetor I é denotado por∫ b

a

fdγ.

Demonstração: Seja δm uma seqüência estritamente decrescente em (0,∞) com aseguinte propriedade: se t, s ∈ [a, b] e |t − s| < δm, então ‖f(t) − f(s)‖X < 1

m, m ∈ N∗.

Para m ∈ N∗ defina

Pm = partições de [a, b] com malha ‖P‖ < δm.

Defina ainda

Fm =

nP∑i=1

f(τi)(γ(ti)− γ(ti−1) : P ∈ Pm e τi ∈ [ti−1, ti]

.

Claramente P1 ⊃ P2 ⊃ P3 ⊃ · · · e F1 ⊃ F2 ⊃ F2 ⊃ · · · . Suponha que diam(Fm) 62mV (γ) e seja I o único vetor em ∩m≥1Fm. Dado ε > 0 escolham > 2

εV (γ). Como I ∈ Fm,

se tomamos P ∈ Pm, temos que∥∥∥∥∥I −nP∑i=1

f(τi)(γ(ti)− γ(ti−1))

∥∥∥∥∥X

6 diam(Fm) 62

mV (γ) < ε,

para cada escolha de τi ∈ [ti−1, ti], 1 6 i 6 nP .

Assim, dado ε > 0, escolhendo m > 2εV (γ) e δ = δm temos que, se P : a = t0 < t1 <

· · · < tnP = b é uma partição de [a, b] com ‖P‖ < δ, então (A.3.1) vale.

Para concluir a prova, basta mostrar que diam(Fm) 6 2mV (γ). Primeiramente mos-

tremos que, se P ∈ Pm e P ⊂ Q, então

‖S(P )− S(Q)‖X <1

mV (γ) (A.3.2)

onde

S(P ) =

nP∑i=1

f(τi)(γ(ti)− γ(ti−1)), τi ∈ [ti−1, ti]

A.3 Integral de Riemann-Stieltjes de funções contínuas 121

e

S(Q) =

nQ∑i=1

f(σi)(γ(si)− γ(si−1)), σi ∈ [si−1, si].

O vetor S(P ) é chamado uma soma de Riemann-Stieltjes associada à partição P .Se P : a = t0 < t1 < · · · < tnP = b e Q : a = t0 < t1 < · · · < tp−1 < t∗ < tp < · · · <

tnP = b, temos que

S(Q).=

nQ∑i=1

f(σi)(γ(si)− γ(si−1))

=

nP∑i=1i 6=p

f(σi)(γ(ti)− γ(ti−1)) + f(σ)[γ(t∗)− γ(tp−1)] + f(σ′)[γ(tp)− γ(t∗)]

S(P ).=

nP∑i=1

f(τi)(γ(ti)− γ(ti−1))

=

nP∑i=1i 6=p

f(τi)(γ(ti)− γ(ti−1)) + f(τp)[γ(t∗)− γ(tp−1)] + f(τp)[γ(tp)− γ(t∗)]

e

‖S(Q)− S(P )‖X 6nQ∑i=1

1

m|γ(si)− γ(si−1)| = 1

mv(γ,Q) 6

1

mV (γ).

Isto prova (A.3.2) para P ∈ Pm e Q = P ∪t∗. O caso geral em que P ⊂ Q é deixadocomo exercício.

Se P e Q são duas partições quaisquer em Pm, então

‖S(Q)− S(P )‖X 6 ‖S(Q)− S(P ∪Q)‖X + ‖S(P ∪Q)− S(P )‖X 62

mV (γ).

Isto conclui a prova da estimativa diam(Fm) 6 2mV (γ) e completa a prova do teorema.

Exercício A.3.2. Se f, g : [a, b]→ X são funções contínuas e γ, σ : [a, b]→ K são curvasretificáveis, mostre que:

(i)∫ b

a

(αf + βg) dγ = α

∫ b

a

f dγ + β

∫ b

a

g dγ,

(ii)∫ b

a

f d(αγ + βσ) = α

∫ b

a

f dγ + β

∫ b

a

f dσ,

(iii)∫ b

a

f dγ =k∑i=1

∫ ti

ti−1

f dγ, a = t0 < t1 < · · · < tk = b.


(iv)∫ b

a

f dγ 6∫ b

a

‖f‖X d|γ|

Definição A.3.3. Seja X um espaço de Banach sobre C, γ : [a, b] → C uma curvaretificável, e f : γ ⊂ C → X uma função contínua. A integral de linha de f ao longode γ é definida por ∫ b

a

f γ dγ

e denotada por ∫γ

f(z)dz ou simplesmente∫γ

f.

Teorema A.3.4. Se X, Y são espaços de Banach sobre C, T ∈ L(X, Y ), γ : [a, b]→ C éuma curva retificável e f : γ → X é contínua, então

T

(∫γ

f(z)dz

)=

∫γ

T (f(z))dz (A.3.3)

Demonstração: Basta lembrar que ambas as integrais em (A.3.3) são limites de somasde Riemann-Stieltjes, que T é contínua e linear.

Teorema A.3.5. Se Xé um espaço de Banach sobre C, γ : [a, b]→ C é uma curva suavepor partes e f : γ → X é contínua, então∫

γ

f(z)dz =

∫ b

a

f(γ(t))γ′(t) dt

Demonstração: Sabemos que o resultado é verdadeiro se X = C. Consequentemente,usando o Teorema A.3.4, temos que

y∗(∫

γ

f(z) dz

)=

∫γ

y∗f(z) dz =

∫ b

a

y∗(f(γ(t))γ′(t))dt

= y∗(∫ b

a

f(γ(t))γ′(t)dt

),

para todo y∗ ∈ Y ∗. O resultado agora segue do Teorema de Hahn-Banach.

A.4 Teoremas de Cauchy e expansão em séries

Definição A.4.1. Um subconjunto Ω de C é chamado um domínio de Cauchy se é aberto,possui um número finito de componentes conexas e a fronteira de Ω é composta por um

A.4 Teoremas de Cauchy e expansão em séries 123

número finito de curvas fechadas, retificáveis e simples. A fronteira de Ω orientada posi-tivamente é denotada por +∂Ω.

Teorema A.4.2. Seja X um espaço de Banach sobre C, Ω um domínio de Cauchy limi-tado e f : Ω→ X uma função contínua que é analítica em Ω. Então∫

+∂Ω

f(z)dz = 0.

Para n = 0, 1, 2, · · · , a n−ésima derivada f (n) de f é analítica em Ω e

f (n)(λ) =n!

2πi

∫+∂Ω

f(z)

(z − λ)n+1dz

Demonstração: Primeiramente note que, z 7→ x∗(f(z)) é analítica e que sua derivadaé z 7→ x∗f ′(z) = d

dz(x∗f)(z). Como z 7→ d

dz(x∗f)(z) é analítica, segue do Teorema

A.1.1 que z 7→ f ′(z) é analítica. Segue por indução que z 7→ f (n)(z) é analítica para todon ∈ N.

Com isto, a prova do resultado é feita utilizando o resultado correspondente parafunções a valores complexos; isto é, para todo x∗ ∈ X∗ temos que∫

+∂Ω

x∗f(z) dz = x∗(∫

+∂Ω

f(z)dz

)= 0

e para n = 0, 1, 2, · · · , a n−ésima derivada (x∗f)(n) de x∗f é analítica em Ω e

x∗(f (n)(λ)) = (x∗f)(n)(λ) =n!

2πi

∫+∂Ω

(x∗f)(z)

(z − λ)n+1dz

= x∗(n!

2πi

∫+∂Ω

f(z)

(z − λ)n+1dz

).

O resultado agora segue como antes.

Corolário A.4.3. Seja X um espaço de Banach sobre C, Ω um subconjunto aberto deC, f : Ω → X uma função analítica, λ0 ∈ Ω e r0 > 0 tal que Br0(λ0) ⊂ Ω. SeMr0 = max‖f(z)‖X : z ∈ Br0(λ0), então

‖f (n)(λ0)‖X 6 n!Mr0

rn0, n = 0, 1, 2, · · ·


e consequentemente, se r < r0, a série

∞∑n=0

(λ− λ0)nf (n)(λ0)

n!

converge uniformemente para λ em Br(λ0) e

f(λ) =∞∑n=0

(λ− λ0)nf (n)(λ0)

n!.

Para 0 6 a < b e ζ ∈ C, denote por A(ζ, a, b) o anel λ ∈ C : 0 6 a < |λ− ζ| < b.

Corolário A.4.4. Seja X um espaço de Banach sobre C, Ω um subconjunto aberto deC, f uma função analítica em um anel A = λ ∈ C : 0 6 R1 < |λ − λ0| < R2. Sejamr, r1, r2 números reais positivos tais que 0 6 R1 < r1 < r < r2 < R2 e γ(t) = λ0 + re2πit,t ∈ [0, 1]. Defina

an =1

2πi

∫γ

f(ξ)

(ξ − λ0)n+1dξ, n ∈ Z.

Se Mr1,r2 = max‖f(z)‖X : z ∈ A(λ0, r1, r2), então

‖an‖X 6Mr1,r2

rn, n ∈ Z

e consequentemente, se r1 < ρ1 < ρ2 < r2, a série

∞∑n=−∞

(λ− λ0)nan

converge uniformemente para λ em A(λ0, ρ1, ρ2) e

f(λ) =∞∑

n=−∞

(λ− λ0)nan.

A.5 Teorema do máximo módulo

Teorema A.5.1. Seja X um espaço de Banach complexo e Ω um sub-conjunto aberto econexo de C. Seja f : Ω→ X uma função analítica em Ω e suponha que ‖f(λ)‖X não éconstante em Ω. Então ‖f(λ)‖X não pode atingir um máximo absoluto em nenhum pontode Ω.

A.5 Teorema do máximo módulo 125

Prova: Suponha que existe λ0 ∈ Ω tal que ‖f(λ0)‖X > ‖f(λ)‖X para todo λ ∈ Ω. DoTeorema de Hanh-Banach, existe x∗ ∈ X∗ com ‖x∗‖X∗ = 1 tal que x∗(f(λ0)) = ‖f(λ0)‖X .Segue que g = x∗f é uma função analítica em Ω com |g(λ)| 6 |g(λ0)| para todo λ ∈ Ω.Do Teorema do Máximo Módulo para funções com valores em C, g é constante em Ω ex∗(f(λ)) = ‖f(λ0)‖X para todo λ ∈ Ω. Por outro lado, ‖f(λ0)‖X = x∗(f(λ)) 6 ‖f(λ)‖Xpara todo λ ∈ Ω e chegamos a uma contradição com o fato que ‖f(λ)‖X não é constante.

Referências Bibliográficas

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