matemática para administradores -...

Matemática para

Administradores

Universidade Federal de Santa Catarina

Pró-Reitoria de Ensino de Graduação

Departamento de Ensino de Graduação a Distância

Centro Socioeconômico

Departamento de Ciências da Administração

2014

3ª edição

Professores Fernando Guerra e Inder Jeet Taneja

Copyright 2014. Universidade Federal de Santa Catarina / Sistema UAB. Nenhuma parte deste material poderá ser reproduzida, trans-

mitida e gravada, por qualquer meio eletrônico, por fotocópia e outros, sem a prévia autorização, por escrito, do autor.

1ª edição – 2007.

2ª edição revisada e atualizada – 2011.

G934m Guerra, Fernando

Matemática para administradores / Fernando Guerra e Inder JeetTaneja. – 3. ed. – Florianópolis : Departamento de Ciências da Admi-

nistração/UFSC, 2014.

148 p.

Inclui bibliografia

Curso de Graduação em Administração, modalidade a DistânciaISBN: 978-85-7988-114-5

1. Matemática – Estudo e ensino. 2. Matemática na administração.

3. Educação a distância. I. Taneja, Inder Jeet. II. Título.CDU: 51:65

Catalogação na publicação por: Onélia Silva Guimarães CRB-14/071

PRESIDÊNCIA DA REPÚBLICA

MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO

COORDENAÇÃO DE APERFEIÇOAMENTO DE PESSOAL DE NÍVEL SUPERIOR – CAPES

DIRETORIA DE EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA

UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA

REITORA – Roselane Neckel

VICE-REITORA – Lúcia Helena Martins Pacheco

PRÓ-REITOR DE GRADUAÇÃO – Julian Borba

COORDENADOR UAB – Sônia Maria Silva Correa de Souza Cruz

CENTRO SOCIOECONÔMICO

DIRETORA – Elisete Dahmer Pfitscher

VICE-DIRETOR – Rolf Hermann Erdmann

DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS DA ADMINISTRAÇÃO

CHEFE DO DEPARTAMENTO – Marcos Baptista Lopez Dalmau

SUBCHEFE DO DEPARTAMENTO – Eduardo Lobo

COORDENADOR DE CURSO – André Luís da Silva Leite

SUBCOORDENADOR DE CURSO – Rogério da Silva Nunes

COMISSÃO EDITORIAL E DE REVISÃO – Alessandra de Linhares JacobsenMauricio Roque Serva de OliveiraPaulo Otolini GarridoClaudelino Martins Dias Junior

COORDENAÇÃO DE PRODUÇÃO DE RECURSOS DIDÁTICOS – Denise Aparecida Bunn

SUPERVISÃO DE PRODUÇÃO DE RECURSOS DIDÁTICOS – Erika Alessandra Salmeron Silva

DESIGN INSTRUCIONAL – Denise Aparecida BunnPatrícia Regina da Costa

PROJETO GRÁFICO E DIAGRAMAÇÃO – Annye Cristiny Tessaro

REVISÃO DE PORTUGUÊS – Mara Aparecida Andrade da Rosa Siqueira Sérgio Meira

ORGANIZAÇÃO DO CONTEÚDO – Fernando GuerraInder Jeet Taneja

Apresentação

Caro estudante do curso de Graduação em Administração sejabem-vindo a disciplina de Matemática para Administradores!

Essa disciplina foi desenvolvida com objetivo de tornar seusestudos práticos, e, para isso, disponibilizamos uma grande quantida-de de exemplos e exercícios. Ao iniciar os estudos de Matemática paraAdministradores, algumas perguntas devem passar por sua cabeça,entre elas: qual o seu campo de aplicação? Qual a sua utilidade práti-ca? Ela fará alguma diferença em minha vida?

Para facilitar seus estudos, este livro foi organizado em quatroUnidades, cujo objetivo é apresentar alguns conceitos de Matemáticae sua aplicação na resolução de problemas. Para isso, os assuntosabordados envolvem números reais, funções, limite, continui-dade, derivada e suas aplicações.

Na Unidade 1, você vai conhecer as noções básicas de núme-ros reais, funções e gráficos, bem como suas aplicações. Na Unidade 2,você vai estudar sequências, limite e continuidade, enquanto nas Uni-dades 3 e 4 você vai conhecer derivada e suas aplicações práticas.

Desejamos que você tenha sucesso nos estudos que se propôs arealizar ao iniciar esta disciplina. Bons estudos!

Professores Inder Jeet Taneja e Fernando Guerra

Sumário

Unidade 1 – Números Reais e Funções

Números Reais. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

Conjuntos Numéricos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

Desigualdades. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

Módulo ou Valor Absoluto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

Intervalos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

Atividades de aprendizagem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

Funções. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

Conceito de Função. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

Operações com Funções. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

Gráfico de uma Função. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

Algumas Funções Elementares. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

Função Composta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 36

Função Inversa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37


Resumindo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

Respostas às Atividades de Aprendizagem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

Unidade 2 – Sequências, Limite e Continuidade

Sequências. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

Limite de uma Sequência. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 49

Sequências Monótonas Crescentes e Decrescentes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50


Limites de Funções. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

A Noção de Limite. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

Propriedades dos Limites de Funções. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55


Limites Laterais. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59


Indeterminações. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

Limites Infinitos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

Limite de Função Racional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68


Continuidade. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70


Resumindo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

Respostas às atividades de aprendizagem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

Unidade 3 – Derivadas

Incremento e Taxa Média de Variação. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79


Definição de Derivada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

Interpretação Geométrica da Derivada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

Cálculo das Derivadas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 91


Derivada de Função Composta (ou Regra da Cadeia) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97


Derivada de Função Inversa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104


Derivadas Sucessivas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107


Tabela: Derivadas e Identidades Trigonométricas. . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

Resumindo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111


Unidade 4 – Aplicações da Derivada

Teorema do Valor Médio (TVM). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

Definição do TVM. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

Fórmula de Taylor ou Polinômio de Taylor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 117


A Diferencial. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

Aplicações: funções marginais. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125


Máximos e Mínimos de uma Função. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

Teste da Segunda Derivada para Extremos Relativos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136


Resumindo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143


Referências. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

Minicurrículos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

Objetivo

Nesta Unidade, você vai: recordar conjuntos

numéricos, propriedades dos números reais e

expressar o conjunto solução de uma desigualdade

na forma de intervalo; identificar os diferentes tipos

de funções, esboçar gráfico de uma função e calcular

função composta; e, finalmente, aplicar funções na

resolução de problemas práticos.

1UNIDADE

Números Reais eFunções

1212121212 Curso de Graduação em Administração, modalidade a distância

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1

1313131313Período 2

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1

Números Reais

Caro estudante!

Será um prazer poder interagir com você durante adisciplina de Matemática para Administradores.Queremos mostrar a importância da Matemática emseu curso. Para tanto, faremos, nesta Unidade, umarápida apresentação dos números reais e suas pro-priedades, mas no sentido de recordar o que você jáaprendeu no ensino fundamental e ensino médio.

Recomendamos que você realize as atividadessugeridas ao longo da Unidade, pesquise as indica-ções sugeridas no Saiba mais e visite o AmbienteVirtual de Ensino-Aprendizagem (AVEA) e participedas atividades propostas nele, interagindo com seuscolegas e tutor. Nós estaremos com você até o finalda disciplina, com muita alegria, estimulando aaprendizagem e auxiliando na solução das dúvidas.Então, não perca tempo, comece logo seus estudos.

Conjuntos Numéricos

Para iniciar nossos estudos, apresentaremos alguns conjuntosnuméricos já conhecidos na literatura:

Números naturais

O conjunto ù = {0,1,2,3,...} é denominado conjunto dos nú-meros naturais.

Números inteiros

O conjunto Z = { ...,–3, –2, –1,0,1,2,3,... } é denominado con-junto dos números inteiros.


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1

Números racionais

São todos os números fracionários, que têm o numerador e odenominador (diferente de zero) pertencentes ao conjunto Z. Simboli-camente

Números irracionais

São os números que não são racionais, mas podem ser “encon-trados na reta”. Por exemplo: 2 = 1,41421 ..., = 3,14159 ...,e= 2,718282 ... . Denotaremos por Qc, o conjunto dos números irracionais.

Números reais

É a união do conjunto dos números racionais com o conjuntodos números irracionais.

É importante observar que sempre que falarmosem número, sem qualquer qualificação, entende-remos tratar-se de um número real.

A Reta Real

O uso dos números reais para medição, tais como comprimen-to, área, volume, posição, tempo e velocidade, reflete-se no costumebastante conveniente de representar esses números graficamente pormeio de pontos numa reta horizontal chamada eixo.

Figura 1

1515151515Período 2

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1Observe que essa representação começa com a escolha de umponto arbitrário, denominado origem ou ponto zero, e um outro pontoarbitrário à sua direita, o ponto 1. A distância entre esses pontos (dis-tância unitária) serve como escala por meio da qual é possível asso-ciar pontos da reta a números inteiros positivos ou negativos, comoilustrado na Figura 1.

Todos os números positivos estão à direta do zero, no “sentidopositivo”, e todos os números negativos estão à sua esquerda.

Desigualdades

A sucessão de pontos na reta real, da esquerda para a direita,corresponde a uma parte importante da álgebra dos números reais, aque trata das desigualdades.

O significado geométrico da desigualdade a < b (leia-se “amenor que b”) é simplesmente que a está à esquerda de b; a desigual-dade equivalente a > b (leia-se “a maior que b”) significa que a está àdireita de b. Um número a é positivo ou negativo conforme a > 0 oua < 0. Se você quer dizer que a é positivo ou igual a zero, escreve-sea 0 e lê-se “a maior ou igual a zero”. Do mesmo modo, a b significaque a > b ou a = b.

As desigualdades apresentam algumas propriedades fundamen-tais, dadas a seguir.

Propriedades das Desigualdades

Para quaisquer números reais a, b, c e d, valem as propriedades:

P1. a < b a + c < b + c, para qualquer real c.

Exemplo: 3 < 5 3 + 4 < 5 + 4

P2. a < b e c < d a + c < b + d.

Exemplo: 6 < 8 e 5 < 7 6 + 5 < 8 + 7

P3. a < b e b < c a < c

Exemplo: 5 < 9 e 9 < 11 5 < 11


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1

!

P4. a < b e c < 0 a c < b c

Exemplo: 4 < 6 e 3 > 0 4 3 < 6 3

P5. a < b e c < 0 a c > b c

Exemplo: 4 < 6 e –3 < 0 4 (–3) > 6 (–3)

P6. 0 < a < b e 0 < c < d a c < b d

Exemplo: 0 < 4 < 7 e 0 < 5 < 8 4 5 < 7 8

Módulo ou Valor Absoluto

Dado um número real a, o módulo ou valor absoluto é definidopor

Exemplos:

1) Para qualquer número real a tem-se |a| 0 e|a|= 0 a = 0.

2) |–a| = |a| para qualquer real a.

3) Geometricamente, o valor absoluto de um númeroreal a é distância de a até zero.

4) Para qualquer real a tem-se: a² =|a|, a raiz qua-drada de qualquer número real, quando existe, émaior ou igual a zero. Logo, |a|² = a² = (–a)².

1717171717Período 2

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1Propriedades do valor absoluto

É preciso que você observe atentamente as propriedades dovalor absoluto:

P1. |x|a se e somente se, x –a ou x a

P2. |x|>a se e somente se, x<–a ou x>a

P3. |x| a se e somente se, –a x a (a>0)

P4. |x|<a se e somente se, –a < x < a, (a>0)

P5. |x y| = |x| |y|para quaisquer x e y ú

P6. para x e y ú, (y 0)

P7. Para quaisquer x e y ú vale a desigualdade triangular:|x + y| |x| + |y|

Intervalos

Um conjunto I de números reais é denominado intervalo quan-do, dados a, b I com a < b, valer a implicação a < x < b x I.

Os intervalos podem ser limitados ou ilimitados:

Intervalos limitados

1) Fechado [a,b] = {x ú ; a x b}

2) Aberto (a,b) = {x ú ; a < x < b}

3) Semiabertos (a,b] = {x ú ; a < x b}[a,b) = {x ú ; a x < b}

Intervalos ilimitados

1) Fechados [a, +) = {x ú ; x a}(–, b] = {x ú ; x b}

2) Abertos (a, +) = {x ú ; x > a}(–, b) = {x ú ; x < b}


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1 3) Aberto e fechado (–,+) = ú

Veja a representação de intervalos na reta real:

Figura 2

Figura 3

Figura 4

Resolver uma desigualdade consiste em determinar o conjuntodos números reais que tornam verdadeira a desigualdade proposta.Para isto, você usa as propriedades das desigualdades (e do móduloquando este estiver envolvido).

A partir de agora, você irá acompanhar a resolução de algunsexercícios. Nosso intuito é que você compreenda a resolução de exer-cícios sobre desigualdades e potencialize seu entendimento a fim deque encontre as respostas para os desafios que serão propostos.

Exemplo 1.1 Resolver a desigualdade: |x+4| 7

Resolução. Pela propriedade P3, do módulo, temos:

–7 x + 4 7, ou seja,

–7 x + 4 e x + 4 7

–7 – 4 x e x 7 – 4

–11 x e x 3

Portanto, –11 x 3 ou ainda [–11, 3]

1919191919Período 2

UNID

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1Exemplo 1.2 Resolver a desigualdade |x – 5| 8


x – 5 –8 ou x – 5 8

x –8 + 5 ou x 8 + 5

x –3 ou x 13

Portanto, x –3 ou x 13 ou ainda [–3, 13]

Exemplo 1.3 Resolver a desigualdade |5 – x| 9


–9 5 – x 9, ou seja,

–9 5 – x e 5 – x 9

–9 – 5 – x e – x 9 – 5

–14 – x e – x 4

Agora, pela propriedade P5, da desigualdade, vem:

14 x ou x 14 e x – 4 ou – 4 x

Portanto, – 4 x 14 ou ainda [– 4, 14]

Exemplo 1.4 Resolver a desigualdade 7 5x – 3 < 17

Resolução. Resolvendo simultaneamente, vem:

7 5x – 3 < 17

7 + 3 5x – 3 + 3 < 17 + 3 (Propriedade 1 da desigualdade)

10 5x < 20 (Dividindo por 5)

2 x < 4.

O conjunto solução, S, da desigualdade proposta é

S = {x ú ; 2 x < 4} = [ 2, 4)

Exemplo 1.5 Determine todos os números reais que satisfa-zem a equação abaixo.

|3x – 5| = 4

Para resolver esse exercício, use os seguintes passos:

Passo 1: Pela definição de módulo você tem

|3x – 5| = 3x – 5 se 3x – 5 0 ou 3x 5 ou


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ADE

1 Admita então neste passo.

Logo, |3x – 5| = 4 3x – 5 = 4 que, resolvido, temosx = 3.

Como neste passo , x = 3 é uma solução da equa-

ção dada.

Passo 2: Ainda pela definição de módulo, vem

|3x – 5| = –(3x – 5) = –3x+5 se 3x – 5 < 0 ou

Logo, |3x – 5| = 4 –3x + 5 = 4, que, resolvido,

temos

Como , é também solução da equação dada.

Portanto, o conjunto solução de |3x – 5| = 4 é

Exemplo 1.6 Resolver a desigualdade (x – 2) (x + 3) < 0

Resolução. Para resolver essa desigualdade, use o fato deque o produto de dois fatores é negativo quando pelo me-nos um deles for negativo.

Você tem dois casos em que a desigualdade é satisfeita:

Caso 1. Quando o primeiro fator for negativo e o se-gundo fator for positivo, ou

(x – 2)<0 e (x + 3)>0, ou seja, x < 2 e x > –3

Assim, a primeira parte da solução éS1 = {x ú | –3 < x < 2} = (–3, 2) ou S1 = (–3, 2)

2121212121Período 2

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1Caso 2. Quando o primeiro fator for positivo e o se-gundo fator for negativo, ou

(x – 2)>0 e (x + 3)<0, ou seja, x>2 e x<–3

Para x>2 e x<–3 você não encontra número real al-gum que seja solução da desigualdade proposta. En-tão, a segunda parte da solução leva você a concluirque S2 = .

Portanto, a solução de (x – 2) (x + 3)<0 é

S = S1 S2 = (–3, 2) = (–3, 2)

Exemplo 1.7 Resolver a desigualdade 6x – 4 < x + 8

Resolução. Aplicando as propriedades da desigualdade, você tem

6x – 4 < x + 8 6x – 4 – x < x + 8 - x (propriedade 1)

5x – 4 + 4 < 8 + 4 (propriedade 1)

5x < 12

(propriedade 4)

Por tanto, o conjunto solução, será ou


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1

AAAAAtividades de aprtividades de aprtividades de aprtividades de aprtividades de aprendizagemendizagemendizagemendizagemendizagem

Vamos conferir se você está acompanhando tudoaté aqui? Procure, então, resolver as atividades pro-postas e, caso tenha dúvidas, faça uma releituracuidadosa dos conceitos e preste atenção nosexemplos apresentados. Não esqueça: você podecontar com o auxílio do seu tutor.

1. Determinar todos os números reais que satisfaçam as desigualdades

abaixo.

a) |x| 3

b)

c) |3x – 2|<4

d) |3 – x|7

e) 2 (x –1) + 3 x+7

f) (x+3) (x – 2) 0

2. Determinar todos os números reais que satisfaçam a equação abaixo.

|4x – 3| = 15

2323232323Período 2

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1

Funções

Nesta seção, nosso objetivo será o de apresentar oconceito de função, sua representação gráfica eestudar alguns tipos especiais de funções, taiscomo, função módulo, exponencial, logarítmica,função composta, função inversa e algumas apli-cações de funções. Não esqueça: continuamos àsua disposição!

Conceito de Função

Um dos conceitos mais importantes da Matemática é o de fun-ção. Em muitas situações práticas, o valor de uma quantidade podedepender do valor de uma segunda. A procura de carne pelo consumi-dor, por exemplo, pode depender do seu preço atual no mercado; aquantidade de ar poluído numa área metropolitana depende do nú-mero de veículos na rua; o valor de uma garrafa de vinho pode depen-der da safra. Essas relações são matematicamente representadas porfunções.

Sejam A e B dois conjuntos. Uma fun-ção é uma relação que a cada elemento de Aassocia um único elemento de B, e é indicadapor f : A B.

A relação entre os conjuntos A e B é dadaatravés de uma regra de associação expressa naforma y = f(x).

Função

Na Matemática, função significa uma relação

(com algumas características determinadas) en-

tre os membros de dois ou mais conjuntos. Fun-

ções descrevem relações matemáticas especiais

entre dois objetos, x e y. O objeto x é chamado o

argumento da função f e o objeto y que depende

de x é chamado imagem de x pela f. Função, em

Administração, é o que relaciona determinado

componente ao objetivo de um sistema adminis-

trativo. Exemplo: função marketing. Fonte: Ela-

borado pelos autores.

Tô a fim de saber


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ADE

1

!Definição

(Função): Sejam A e B dois conjuntos. Dizemos quef é uma função ou aplicação, de conjunto A em con-junto B, se e somente se, todo elemento de A está emcorrespondência com um único elemento de B. Escre-vemos f : A B definida por y= f(x), onde y é o valorde f em x.

Domínio: é o conjunto dos valores de x tais que afunção está definida. Anotamos D(f)=A ou Dom(f)=A.

Contradomínio: o conjunto B é o contradomínio dafunção CD(f)=B.

Imagem: é o conjunto dos valores y B tais quey = f(x) para algum x. Anotamos Im(f) B.

Assim:

D(f) = {x A| y = f(x) para algum y B},

e

Im(f) = {y B| x A com y = f(x)}.

Por exemplo, seja f : A B definida por f(x) = 2x, ondeA = {1,2,3} e B = {1,2,4,6,7}

Nesse caso, D(f) = {1,2,3}, CD(f) = {1,2,4,6,7} e Im(f) = {2,4,6}Veja a figura abaixo:

Figura 5

Uma função f : A B é dita função real de uma variável real seA ú e B ú.

2525252525Período 2

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1Figura 6

Normalmente, representamos por y = f(x), x A e y B.

Veja a seguir alguns exemplos de funções.

(i) f(x) = x, œ x ú, D(f) = ú

(ii) f(x) = x², œ x ú, D(f) = ú

(iii) f(x) = x, œ x ú, D(f) = [0,]

(iv) , x 2, D(f) = ú – {2}

(v) f(x) = 1–x², –1 x 1, D(f) = [–1,1]

(vi) f(x) = x + 1, œ x ú, D(f) = ú

(vii) , x 0, x ú, D(f) = ú * = ú – {0}

(viii) f(x) = |x|, œ x ú, D(f) = ú

(ix) , x –2

D(f) = ú – {–2} = {x ú|x –2} e Im(f) = ú

(x) f(x) = 2x+3 2x + 3 0 x –3/2. Nesse caso,

D(f) = {x ú | x –3/2}

(xi)

1º Caso: x – 2 0 e x + 3 > 0 x 2 e x > –3

2º Caso: x – 2 0 e x + 3 < 0 x 2 e x < –3 Assim,

D(f) = {x ú | x (–, –3) (2, +)}


UNID

ADE

1

!

Exemplo 1.8 Seja A = {x ú | x 1} e f : A[0, +) tal

que , isto é, a regra que associa a todo ponto

x A o número real em [0, +). Assim,

Observação. Quando o domínio e o contradomíniode uma função estão contidos no conjunto dos núme-ros reais, a função é chamada de uma função real devariável real.

Definição. Duas funções são iguais somente quando têm osmesmos domínios, contradomínio e regra de associação.

Exemplo 1.9 As funções f:úú, f(x)=x², exemplo: (–1, 1)ú,g(x)=x², têm domínios Dom(f)=ú e Dom(g)=(–1, 1). Essasfunções são distintas, pois têm domínios diferentes, apesarde terem a mesma regra de associação e o mesmocontradomínio. Os conjuntos imagem de ambas são tam-bém distintos: Im(f)=[0, +) e Im(g)=[0,1).

2727272727Período 2

UNID

ADE

1Operações com Funções

Sejam f e g duas funções definidas num mesmo conjunto A.

Soma das funções:

A função s definida em A tal que s(x) = f(x)+g(x) recebe onome de função SOMA de f e g.

Exemplo 1.10 Se f(x)=x³ e g(x)= 3x³ + 2, com x ú, entãoa função s definida em ú tal que s(x)= x³ + 3x² + 2 é asoma de f e g.

Produto de duas funções:

A função p definida em A tal que p(x) = f(x).g(x) recebe onome de função PRODUTO de f e g.

Exemplo 1.11 Se f(x)=x³ e g(x)= 3x³ + 2, com x ú, então afunção p definida em ú tal que p(x)= x³.(3x² + 2)= 3x5 + 2x³é o produto de f e g.

Divisão de duas funções:

Se g(x) 0 para todo x A, a função q definida em A tal

que é o quociente de f e g.

Exemplo 1.12 Sejam f(x)=x4 e g(x)= x4 + 2, com x ú.

A função q definida em ú tal que é o quocien-

te das funções f e g.

Gráfico de uma Função

O gráfico de uma função f : A B, dada como y = f(x), é oconjunto dos pontos do plano cujas coordenadas no sistema cartesiano


UNID

ADE

1 retangular são dadas por (x, f(x)), onde x A. Para isso construímosum quadro (x, f(x)) atribuindo a x valores convenientes.

Vejamos alguns exemplos de gráficos:

Exemplo 1.13 Representar graficamente a função y = f(x) = 3 – x,x [0,3].

Resolução. Temos o seguinte quadro.

Figura 7

Exemplo 1.14 Representar graficamente a função

y = f(x) = x–1, x 1.

Resolução. Temos o seguinte quadro.

Figura 8

2929292929Período 2

UNID

ADE

1

Exemplo 1.15 Representar graficamente a função

Resolução. Temos para x , y = f(x) = 2 e para x ,y = f(x) = x, construímos o seguinte quadro.

Figura 9

Se ao fim deste primeiro estudo sobre funções edemais tópicos houver dúvidas e não conseguir re-solver os exercícios propostos, não desista! Releiao material e estude os exemplos mais uma vez eainda, refaça os exercícios. Além disso, consulteo seu tutor e as referências na bibliografia. Essarecomendação também vale para as demais se-ções e Unidades. Agora, vamos estudar algunstipos de função.


UNID

ADE

1 Algumas Funções Elementares

Função constante

A função que associa cada elemento do seu domínio a ummesmo elemento do contradomínio é chamada de função constante.

Exemplo 1.16 A função f:[0,ú, f(x) = 2, é uma funçãoconstante. Seu gráfico é mostrado na Figura 10.

Figura 10

Funções afim ou linear

Chama-se função afim qualquer função dada por f(x) = ax + bonde os coeficientes a e b são números reais dados. Quando b = 0, afunção é chamada de linear. O gráfico da função afim com domínio econtradomínio ú é uma reta com coeficiente angular igual a e que intercepta

os eixos coordenados X e Y nos pontos e (0, b), respectivamente.

Exemplo 1.17 O gráfico da função afim tomando-se a = 1 eb = –1, ou seja, y = f(x) = 1x – 1 = x – 1, no intervalo [–1, 2],é mostrado a seguir.

3131313131Período 2

UNID

ADE

1

Figura 11

Uma reta pode ser representada por uma função afim da formay = ax + b. Precisamos apenas determinar a e b.

Função módulo

É a função definida por

O gráfico da função módulo é o seguinte:

Figura 12


UNID

ADE

1

!

Função quadrática

Sejam a, b e c números reais quaisquer com a . A função fdefinida em ú e dada por y = f(x) = ax²+bx+c recebe nome de fun-ção quadrática.

Alguns exemplos de função quadrática

y = f(x) = x²–9x+14 a = 1; b = –9; c = 14

y = f(x) = 5x²+25x a = 5; b = 25; c = 0

Observação. O gráfico de uma função quadrática repre-senta uma parábola no plano cartesiano, dependendodas condições sobre os valores dos constantes a, b e c.

Função polinomial

É toda função cuja regra de associação é um polinômio, ou seja,

f(x) = anxn + an-1x

n-1 + ... + a1x + a0,

onde os coeficientes a0, a1, ..., an são números reais e n é número natu-ral chamado de grau de f(x).

Exemplo 1.18 As funções afim e linear são exemplos de fun-ções polinomiais de grau n=1.

A função quadrática f(x)=ax²+bx+c, a , é uma funçãopolinomial de grau n=2.

A função f(x)=2x4 –x³+3x²–5x+1 é uma função polinomialde grau n=4.

Função racional

É toda função f cuja regra de associação é do tipo

,

3333333333Período 2

UNID

ADE

1onde p(x) e q(x) são funções polinomiais. Uma função racional está de-finida em qualquer domínio que não contenha raízes do polinômio q(x).

Exemplo 1.19 A função é uma

função racional cujo domínio é o conjunto .

Função exponencial de base a

Seja a um número positivo e a . A função f: ú, dadapor f(x)=ax, é chamada de função exponencial de base a. Os gráficosdessas funções são os seguintes:

Gráfico da função exponencial, quando a>1.

Figura 13

Gráfico da função exponencial, quando 0 < a < 1.

Figura 14

O conjunto imagem da função exponencial é o intervalo (0, +).


UNID

ADE

1

!

Propriedades da exponencial

As seguintes propriedades valem para quaisquer a, b, x, y úcom a > 0, b > 0:

P1. ax.ay = ax+y

P2. (axbx) = (ab)x

P3.

P4.

P5. (ax)y = (ay)x = axy

A função exponencial mais comum em aplicações é afunção exponencial de base a = e, onde e = 2,71828...é a constante de Euler, que é um número irracional. Afunção, nesse caso, é chamada de função exponencialnatural ou, simplesmente, função exponencial.

Função logaritmo

Seja a um número positivo e a . A função definida pory = f(x) = log ax, x > 0, recebe o nome de função logarítmico de base a.

Vejamos os gráficos da função logarítmica:

Constante de Euler-Mascheroni – é uma cons-

tante matemática com múl-

tiplas utilizações em Teoria

dos números. Ela é definida

como o limite da diferença

entre a série harmônica e o

logaritmo natural. Fonte:

<http://www.educ.fc.ul.pt/

d o c e n t e s / o p o m b o /

s e m i n a r i o / e u l e r /

o b r a . h t m # C o n s t a n t e

%20de%20Euler>. Acesso

em: 6 maio 2011.

Figura 15

3535353535Período 2

UNID

ADE

1

!

Figura 16

Propriedades operatórias do logaritmo

Para todo x, y > 0, valem as seguintes propriedades:

P1. Propriedade do produto: loga(xy) = logax + logay

P2. Propriedade do quociente: = logax – logay

P3. Propriedade da potenciação:loga(yx) = xlogay

O logaritmo na base a = e é chamado de logaritmonatural e é comum indicá-lo como In(x).

Funções crescentes e funções decrescentes

Seja I um intervalo qualquer da reta e f uma função definidaem I. Sejam x1 e x2 com x1 < x2 dois pontos quaisquer de I.

Dizemos que f é uma função crescente em I quando f(x1) f(x2),ou seja, à medida que aumenta o valor de x, dentro do intervalo I, asimagens correspondentes também aumentam.

Analogamente, dizemos que f é uma função decrescente em Iquando f(x1) f(x2), ou seja, à medida que aumenta o valor de x, den-tro do intervalo I, as imagens correspondentes vão diminuindo.


UNID

ADE

1 Exemplo 1.20 A função da figura 13, f(x) = ax, a > 1 é umafunção crescente para qualquer número real x. A funçãoda figura 16, y = f(x) = logax, x > 0 e 0 < a < 1 é umafunção decrescente para todo x > 0.

Função Composta

Dadas as funções f e g, a função composta, denotada porf(x) = fog, é definida por

F(x) = (fog) (x) = f(g(x)),

e o domínio de fog é o conjunto de todos os números x no domínio de g,tal que g(x) esteja no domínio de f. Geralmente,

fog gof

Exemplo 1.21 Sejam f a função definida por x–1 e g porg(x) = x+5, determinar:

a) F(x) = fog, e determine o domínio de F

b) G(x) = gof, e determine o domínio de G

Resolução.

a) F(x) = (fog)(x) = f(g(x)) = f(x+5) = x+5–1 = x+4

O domínio de g é (– e o domínio de f é: [1,Assim sendo, o domínio de f é o conjunto dos núme-ros reais para os quais x + 4 , ou seja, x ,ainda, [–4,

b) G(x) = (gof)(x) = g(f(x)) = g( x–1) = x–1+5

Como o domínio de f é [1, e o domínio de g é(– , o domínio de G é [1,.

Exemplo 1.22 Sejam f a função definida por

e g por g(x) = x² – 4, determinar:

a) F(x) = fog, e determine o domínio de F.

b) G(x) = gof, e determine o domínio de G.

3737373737Período 2

UNID

ADE

1Resolução.

a) F(x) = (fog)(x) = f(x² – 4) = (x² – 4)–2

O domínio de g é (– , +), e o domínio de f é ú–{0}. Assim sendo, o domínio de F é o conjunto dosnúmeros reais tal que x ±2.

b)

O domínio de g é (– , +), e o domínio de f é ú–{0}.Assim sendo, o domínio de G é ú–{0}.

Exemplo 1.23 Sejam f a função definida por f(x) = logx e gpor g(x) = x–5, determinar:

a) F(x) = fog, e determine o domínio de F.

b) G(x) = gof, e determine o domínio de G.

Resolução.

a) F(x) = (fog)(x) = f(g(x)) = f(x – 5) = log(x – 5)

O domínio de g é (– , +), e o domínio de f é {x ú/x>0}. Assim sendo, o domínio de F é o conjunto dosnúmeros reais tal que x>5

b) G(x) = (gof)(x) = g(f(x)) = g(log x) = log x – 5

O domínio de g é (– , +), e o domínio de f é {x ú /x>0}. Assim sendo, o domínio de G é {x ú / x>0}.

Função Inversa

Uma função f : A B é inversível quando a relação inversa daf também é uma função. Nesse caso, diz-se que a f tem função inversaf –1 : B A.

Dada uma função f : A B, y = f(x), a relação inversa da f é:0x = f –1(y)


UNID

ADE

1 Propriedades da função inversa

Seja f uma função inversível e f –1 a sua inversa, então temos asseguintes propriedades:

P1. Dom(f –1) = Im(f);

P2. Im(f –1) = Dom(f);

P3. Seja f : A B uma função inversível. A função g : B Aé função inversa da f quando para todo x e todo ytem-se g(f(x)) = x e f(g(y)) = y.

P4. O gráfico da f –1 é simétrico ao gráfico de f em relação àreta diagonal y=x.Isso significa que se o ponto (x,y) pertence ao gráfico da f,então o ponto (x,y) pertence ao gráfico da f –1.

Exemplo 1.24 As funções f : [0, ) [0, ), f(x) = x², eg : [0, ) [0, ), g(y) = y, são inversas uma da outrapois

g(f(x)) = f(x) = x² = x, œx Dom(f),

e

f(g(y)) = (g(y))² = ( y)² = y, œy Dom(g), onde g = f –1.

Note que

Dom(f –1) = Im(f) e Im(f –1) = Dom(f).

Regra prática para determinar a função inversa

Dada a regra de associação da f, y= f(x), para se obter a regraque define f –1, procede-se assim:

Primeiro passo: a partir de y= f(x), trocamos x por y ey por x obtendo x= f(y);

Segundo passo: expressamos y em função de x, transfor-mando algebricamente a expressão x= f(y) em f –1(x).

3939393939Período 2

UNID

ADE

1Exemplo 1.25 Seja f : ú ú definida por y= f(x) = 3x – 5.Determine a função inversa f –1(x).

Resolução. Vamos aplicar a regra prática.

Primeiro passo: trocando x por y e y por x, vem x=3y – 5;

Segundo passo: expressando y em função de x, vem

.

Portanto, é a função inversa de y= f(x)= 3x – 5.

Exemplo 1.26 Seja definida por

. Determine a função inversa f –1(x).

Resolução. Aplicando a regra prática, temos

xy – 7x = 2y – 3

xy – 2y = 7x – 3

y(x – 2) = 7x – 3

Portanto, é a função inversa de

.


UNID

ADE

1 AAAAAtividades de aprtividades de aprtividades de aprtividades de aprtividades de aprendizagemendizagemendizagemendizagemendizagem

3. Seja a função f(x) = 4x – 3, calcular:

a) f(–2)

b) f(a +1)

c) f(x +h)

d) f(x) +f(h)

e)

4. Seja a função g(x) = 5x² – 4x, calcular:

a) g(–1)

b) ;

c)

d)

e)

5. Seja a função f(x) = 2x – |x – 3|, calcular:

a) f(–1)

b) f(2)

c) f(3)

d)

e) f(2x)

6. Faça o gráfico da função f(x) = –x² + 2, com o

Dom(f) ={– 3, – 2, – 1,0,1,2,3}

4141414141Período 2

UNID

ADE

1

7. Obtenha o domínio das seguintes funções:

a) y = f(x) = 3x – 2

b) y = f(x) = 3–x

c)

8. Esboce o gráfico da função f

9. Sejam as funções e , determinar:

a) fog e Dom (fog)

b) gof e Dom (gof)

c) fof e Dom (fof)

10. Seja f : [0, ) [–2, ), y = f(x) = x² – 2, determinar a inversa da

função f.

Saiba mais...

Para aprofundar os conceitos estudados nesta Uni-dade, consulte:

LEITHOLD, Louis. O cálculo com geometria analítica. V. 1; 2. ed.São Paulo: Harbra, 1994.

MORETTIN, Pedro A.; HAZZAN, Samuel; BUSSAB, Wilton de O. Cálculofunções de uma e várias variáveis. São Paulo: Saraiva, 2005.

SILVA, Sebastião Medeiros da; SILVA, Elio Medeiros da; SILVA, ErmesMedeiros da. Matemática: para os cursos de economia, administração eciências contábeis. 3. ed. São Paulo: Atlas, 1988.


UNID

ADE

1 rRRRRResumindoesumindoesumindoesumindoesumindoNesta Unidade, você estudou os conjuntos numéricos e

suas propriedades, estudou também o módulo ou valor absolu-

to de um número real, juntamente com suas propriedades e,

por isso, deve ser capaz de resolver uma desigualdade aplican-

do suas propriedades e apresentando seu conjunto solução em

forma de intervalo.

Você apreendeu o que é uma função, as operações com

funções e a esboçar o gráfico de uma função.

Você compreendeu funções elementares tais como a fun-

ção linear e a função quadrática.

Vimos também a função módulo, a função polinomial, a

função racional, a função exponencial, a função logaritmo, fun-

ções crescentes e funções decrescentes, função composta e fun-

ção inversa.

Finalmente, você estudou aplicações práticas de função

linear e de quadrática.

4343434343Período 2

UNID

ADE

1RRRRResesesesespospospospospostttttas as atividades deas as atividades deas as atividades deas as atividades deas as atividades deaprapraprapraprendizagemendizagemendizagemendizagemendizagem

1. a) x – 3 ou x 3 b)

c) d) x – 4 ou x 10

e) [6, + f) [–3, 2]

2.

3. a) –11 b) 4a+1

c) 4x + 4h – 3 d) 4x + 4h – 6

e) 4

4. a) 9 b)

c) 10x + 5h – 4 d)

e)

5. a) –6 b) 3

c) 6 d)

e) 4x – |2x – 3|

6.

`̀̀̀̀


UNID

ADE

1

7. a) Dom(f) =ú b) Dom(f) = (–

c) Dom(f) = [5, +

8.

9. a) e Dom(fog) = ú – {1}

b) e Dom(fog) = ú – {–1}

c) fof = x e Dom(fof) = ú

10. f –1(x) = x+2

A Unidade 1 abordou considerações importantessobre conjuntos numéricos e funções. É fundamen-tal que você tenha compreendido todos os concei-tos apresentados. Para certificar-se de que enten-deu, busque resolver todas as atividades propos-tas e caso tenha ficado alguma dúvida, faça umareleitura cuidadosa dos conceitos ainda não en-tendidos ou, se achar necessário, entre em conta-to com seu tutor.Vamos agora, na Unidade 2, estudar Sequências,Limite e Continuidade de uma função real.

4545454545Período 2

UNID

ADE

1

Objetivo

Nesta Unidade, temos os seguintes objetivos:

introduzir Sequências e cálculo de limite de uma

sequência; apresentar a noção intuitiva de limite de

uma função; calcular limite de função usando

propriedades, bem como calcular limites laterais, limites

infinitos; e analisar a continuidade de uma função.

2UNIDADE

Sequências, Limite eContinuidade


UNID

ADE

2

4747474747Período 2

UNID

ADE

2

Sequências

Caro estudante!

Nesta Unidade vamos estudar Sequência, Limite eContinuidade de uma função real. Recomendamosque você realize todas as atividades sugeridas aolongo da Unidade a fim de não estudar somentepara as avaliações, que procure realizar outras lei-turas, principalmente as indicadas no Saiba mais,que pesquise sobre os temas abordados e que semantenha atual izado; af inal, num mundoglobalizado e em constante transformação, é pre-ciso estar sempre “ligado”, atualizado e informado.Não esqueça, conte sempre conosco!

Definição 2.1 Uma sequência é um conjunto de números a1,a2, ..., an, ... disposta em certa ordem (isto é, em correspondência comos inteiros positivos) e formada segundo uma dada regra. Tambémpodemos dizer que uma sequência é uma função cujo domínio é oconjunto dos inteiros positivos.

Cada número da sequência chama-se termo; an é o n-ésimotermo ou termo geral. Uma sequência será finita ou infinita, conformetenha, ou não, um número finito de termos.

A sequência a1, a2, . . . , an, . . . também é representadaabreviadamente por {an}.

Exemplo 2.1 Os números 2, 7, 12, 17, ..., 32 formam umasequência finita, cujo termo geral é an= 5n – 3, paran= 1,2,...,7. Ainda podemos representá-la por {5n – 3}.

Exemplo 2.2 Os números ... ou

formam uma sequência infinita.


UNID

ADE

2 Exemplo 2.3 Os números ... ou formam

uma seqüência infinita.

Exemplo 2.4 Os números for-

mam uma sequência infinita.

Exemplo 2.5 Escreva os primeiros 5 termos da seguinte se-

qüência .

Resolução: Fazendo n = 1 em você tem:

Do mesmo modo, fazendo n = 2 temos:

Para n = 3, vem: Para n = 4 vem: Para n = 5 vem:

Portanto, os cinco primeiros termos da sequência

são os números:

Exemplo 2.6 Escreva os primeiros 5 termos da seguinte

sequência:

Resolução: Fazendo n = 1 em você tem:

E assim por diante.

Portanto, os cinco primeiros termos da sequência

são os números:

4949494949Período 2

UNID

ADE

2Limite de uma Sequência

Definição 2.2 Informalmente podemos dizer que umasequência tem limite L (converge para L) se a partir de certo índicetodos os termos da sequência se aproximam cada vez mais de L. Ouainda dizemos que uma sequência {an} tem o limite L se, para todo ,existe um número N > 0 tal que |an – L|< œ inteiro n>N; e escrevemos:

.

Intuitivamente, L é o limite de uma sequência quando os ter-mos da mesma aproximam-se cada vez mais de L, quando n .

Exemplo 2.7 Seja a sequência , então:


Exemplo 2.9 Seja a sequência , então: .


Definição 2.3 Se uma sequência {an} tem um limite, dizemosque a sequência é convergente, e dizemos que an converge para aquelelimite. Se uma sequência não for convergente, dizemos que é diver-gente.

Exemplo 2.11 A sequência e

Portanto, a sequência é convergente e tem limite 2.

Exemplo 2.12 A sequência {(–1)n+1} e

Portanto, a sequência é divergente.


UNID

ADE

2 Exemplo 2.13 A sequência , e

Portanto, é convergente e tem limite:

Exemplo 2.14 A sequência , e (não

existe o limite).

Portanto a sequência é divergente.

Sequências Monótonas Crescentes e Decrescentes

Definição 2.4 Dizemos que uma sequência {an} é:

(i) crescente, se an an+1, œn

(ii) decrescente, se an an+1, œn

Se uma sequência é monótona crescente ou decrescente, ela échamada monótona.

Exemplo 2.15 A sequência

ou é crescente pois:

De fato,

n(2n+3)(n+1)(2n+1)

2n²+3n2n²+3n+1, o que vale sempre.

Exemplo 2.16 A sequência é decres-

cente porque:

De fato n+1n, o que vale sempre.

5151515151Período 2

UNID

ADE

2


Vamos verificar se você está acompanhando as ins-truções propostas até o momento nesta Unidade?Procure, então, realizar os exercícios a seguir.

1. a) Dada a sequência –1, –3, –5, –7,... determine: o termo geral an

b) Dada a seqüência determine: o termo geral an

2. Escreva os primeiros 5 termos das seguintes sequências:

a)

b)

c)

3. Calcular o limite das seguintes sequências:

a)

b)

4. Verificar se as sequências a seguir são monótona crescente ou monó-

tona decrescente.

a)

b)


UNID

ADE

2 Limites de Funções

conceito de Limite é importante na construção de muitos ou-tros conceitos no Cálculo Diferencial e Integral, por exemplo,as noções de Derivada e de Integral.

A Noção de Limite

A noção de Limite fornece um caminho preciso para distinguiro comportamento de algumas funções que variam continuamente e ocomportamento de outras funções que podem variar independente-mente do modo como se controlam as variáveis. É com base nisso quepretendemos apresentar a você uma noção intuitiva de Limite paraque você possa observar o que ocorre com a função f(x), intuitivamen-te, quando x tende para um número real a ou quando x tende para maisou menos infinito. Usaremos Limites, por exemplo, para definir retastangentes e gráficos de funções. Essa aplicação geométrica nos leva aoimportante conceito de derivada de uma função que investigare-mos, com detalhes, na Unidade sobre a derivada.

Dada uma função f, você quer saber o que ocorre com os valoresf(x) quando a variável x se aproxima de um ponto a. Para você entendermelhor, considere a função f definida pela expressão abaixo:

A função f está definida para todo x real exceto x=1. Assim, sex 1, o numerador e o denominador de f podem ser divididos por(x–1) e você obtém:

f(x) = 3x + 2, para x 1

Vamos estudar juntos os valores da função f(x), quanto x esti-ver próximo de 1, mas não é igual a 1. Primeiro, vamos considerarvalores de x cada vez mais próximos de 1, com x<1, e observarmos oque está acontecendo com f(x), conforme o quadro a seguir:

O

5353535353Período 2

UNID

ADE

2

!

Agora, vamos considerar que a variável x aproxima-se cadavez mais de 1, com x>1, e observar o que está acontecendo com f(x):

Observamos, em ambos os quadros, que quando x se aproxi-ma cada vez mais de 1, a função f(x) se aproxima cada vez mais de 5.Em outras palavras, é possível obter o valor de f(x) tão próximo de 5quanto desejarmos, desde que tomemos x suficientemente próximo de1. Examine o gráfico de f(x) a seguir.

Figura 17

Para x cada vez mais próximo de 1, f(x) aproxima-se de 5 eescreve-se a seguinte expressão:

Lê-se: O limite da função f(x) quando x aproxima-se de1 é 5, ou ainda, o limite de f(x) quando x tende a 1 é 5.Isso significa dizer que o valor da expressão 3x +2 cadavez mais aproxima-se de 5 à medida que os valores dex estão aproximando-se de 1. Quando x 1, f(x) 5.

x < 1

f(x) = 3x+2

0 0,25 0,5 0,75 0,9 0,99 0,999 0,9999 0,99999

2 2,75 3,5 4,25 4,70 4,97 4,997 4,9997 4,99997

x > 1

f(x) = 3x+2

2 1,75 1,5 1,25 1,1 1,01 1,001 1,00001

8 7,25 6,5 5,75 5,30 5,03 5,003 5,00003


UNID

ADE

2

Consideremos agora a função f definida pela expressão:

, para x 1

Queremos saber o que ocorre com a função f(x) quando x ten-de para 1 através de valores de x 1 e o que ocorre com a função f(x)quando x tende para 1 através de valores de x 1. Vejamos o queacontece com f(x), no quadro a seguir, quando x tende para 1 atravésde valores de x 1.

Observamos que quando x tende para 1, através de valores dex 1 ou pela direita de 1, a função f(x) cresce indefinidamente ou afunção f tende para +; podemos dizer que o limite de f(x), quando xtende a 1 pela direita, é +, x 1+, f(x) + e anota-se por:

Vejamos o que acontece com f(x), no quadro seguinte, quandox tende para 1 através de valores de x 1.

Observamos que quando x tende a 1, através de valores de x 1ou pela esquerda de 1, os valores absolutos da função f(x) crescem esão negativos ou a função f tende para –; podemos dizer que o limitede f(x) quando x tende a 1 pela esquerda é –, x 1–, f(x) –eanotamos por:

Apresentaremos agora a definição formal de limitede uma função. Preste atenção!

x > 1

3x+1 x–1

3 2 1,5 1,25 1,1 1,01 1,001 1,00001 ...

5 7 11 19 43 403 4003 40003 ...f(x)=

x < 1

3x+1 x–1

–1 0 0,9 0,99 0,999 0,9999 ...

1 –1 –37 –397 –3997 –39997 ...f(x)=

5555555555Período 2

UNID

ADE

2

Definição 2.5 Seja I um intervalo qualquer, a I e f(x) umafunção definida no intervalo I (exceto eventualmente em a), dizemosque f(x), o limite de quando x tende a a, é L, e escrevemos:

se, para todo (epslon), >0, existe um (delta), >0, tal que|f(x) – L|< sempre que 0 <|x – a|<.

Propriedades dos Limites de Funções

Nesta subseção, enunciaremos algumas proprie-dades sobre limites e suas aplicações na resolu-ção de problemas. Estas propriedades desempe-nharão um papel importante em todo o nosso cur-so. Estude com atenção e lembre-se: estamos aoseu lado!

P1. Unicidade do limite:

Se , então: L = M

P2. Se f(x) = K para todo x real, então para qualquer número

real a temos:

Exemplo 2.17 Considere f(x) = 4 e a=2, então: Ou seja, o limite de uma constante é a

própria constante.

P3. , então:

a)

b) Para qualquer número real k, temos:

c)

d)


UNID

ADE

2 e)

P4. Se , com L=g(b), então:

Observação 2.1 Pela P3(e) podemos concluir que:

Por exemplo:

P5. Sejam bú, b1, b>0 e nù. Se , então:

a)

b) , para todo n se: L0

e só para n ímpar se: L<0

Observação 2.2 Seja p(x) = bnxn + bn–1x

n–1 + ... + b1 x + b0,um polinômio qualquer, pelas propriedades P3(a) e (b) e pela obser-vação anterior, temos:

Logo:

Por exemplo:

(i) (2x²–7x+4)=22²–72+4=24–72+4=8–14+4=18

(ii) (x5–3x4+2x3+2)=15–314+213+2=1–3+2+2=2

Vejamos agora alguns exemplos resolvidos.

5757575757Período 2

UNID

ADE

2Exemplo 2.18 Calcular:

Resolução: Aplicando o P3(a), (b) e (d), obtemos:

Portanto:

Exemplo 2.19 Calcular:

Resolução: Inicialmente você aplica o P3(c) e (e), obtendo

Portanto:

= 5


UNID

ADE

2


Vamos verificar se você compreendeu as propri-edades sobre limites? Resolva os exercícios aseguir.

Calcular os seguintes limites:

5.

6.

7.

8.

9.

O aproveitamento desta seção será importante paratoda a sequência de nosso curso. Por isso, passepara a próxima seção apenas quando tiver resolvi-do os exercícios propostos acima. Se você teve al-guma dúvida, releia a seção e, após, retorne aosexercícios. Esse procedimento pode ser bastante útil.

5959595959Período 2

UNID

ADE

2

Limites Laterais

Na subseção anterior analisamos o comportamen-to de uma função f(x) quando x se aproxima de umnúmero real a e quando x assume valores (positi-vos ou negativos) de valor absoluto muito grande.O nosso objetivo agora é estudar os casos quandox tende para a pela direita, xa e x>a, ou em quex tende para a pela esquerda, xa e x<a, e comisso identificar a existência de limite de uma fun-ção através dos limites laterais e esboçar o gráficode uma função usando limites laterais. Para issovejamos as seguintes definições.

Definição 2.6 Limite à esquerda: Se f(x) tende para L1 quan-do x tende para a através de valores menores que a, dizemos que L1 éo limite de f(x) quando x tende para a pela esquerda e indicamos por:

Definição 2.7 Limite à direita: Se f(x) tende para L2 quan-do x tende para a através de valores maiores que a, dizemos que L2 é olimite de f(x) quando x tende para a pela direita e indicamos por:

Vamos ver alguns exemplos aplicando as definições acima.

Exemplo 2.20 Seja a função f definida por:

Determinar:

a)

b)

c) Esboce o gráfico de f(x)


UNID

ADE

2 Resolução: Pela definição de limite à esquerda, você res-ponde a letra a). Observe que a função f(x) está definidapor: f(x) = x² + 1 se x < 1

Logo:

Assim:

Agora, pela definição de limite à direita você responde aletra b). Observe que a função f(x) está definida por:f(x) = 4 – x se x > 1

Logo:

Assim:

c) Note: f(1) = 4 Com essas informações, de que f(1) = 4, e , você consegue perceber como

f(x) se comporta quando x está próximo de 1. Para esboçaro gráfico de f(x), dê valores para x, x<1 e calcule os valoresde f(x) correspondentes através da expressão x²+1, dê va-lores para x>1 e calcule os valores de f(x) correspondentesatravés da expressão 4 – x e veja o gráfico de f(x) abaixo.

Figura 18

Exemplo 2.21 Considere a função:

6161616161Período 2

UNID

ADE

2Determinar:

a)

b)

c) Esboçar o gráfico de f(x)

Resolução: Pela definição de limite à esquerda, vamos re-solver a letra a). Observe como está definida a função aci-ma para valores de x à esquerda de –2, ou seja, para x –2.

Assim, f(x) = x² – 1 se x –2

e

Logo:

Pela definição de limite à direita, vamos resolver a letra b).Para valores de x à direita de – 2, a função f(x) está defini-da por f(x) = 2x + 7 se x –2 e

Logo:

Portanto:

c) Note: f(–2) = (–2)² –1 = 4 – 1 = 3 Como f(–2) = 3 e, para esboçar o gráfico de f(x), dê

valores para x, x –2 e calcule os valores de f(x) correspon-dentes através da expressão x² – 1, dê valores para x –2e calcule os valores de f(x) correspondentes através da ex-pressão 2x + 7 e veja o gráfico de f(x) abaixo.

Figura 19


UNID

ADE

2

Teorema de existência do limite. Sejam I um intervaloaberto, a um ponto desse intervalo e f:I–{a}ú. Então existe:

Vejamos alguns exemplos de aplicação do teoremade existência do limite.

Exemplo 2.22 Considere a função:

Determinar o , se existir, e esboçar o gráfico de f(x).

Resolução: Para determinar o vamos calcular os li-

mites laterais de f(x), ou seja, calcular e .

Para calcular observe na função dada que f(x)

está definida por f(x) = x²+1 para valores de x menoresque 2.

Assim:

Para calcular observe na função dada que f(x)

está definida por f(x) = x+3 para valores de x maiores que 2.

Assim:

Como e , pelo teorema acima

temos:

Para esboçar o gráfico da função f(x) você utiliza o mesmoprocedimento do exemplo anterior e conseguirá facilmenteo gráfico da função f(x) conforme abaixo.

6363636363Período 2

UNID

ADE

2

Figura 20


Vamos conferir se você compreendeu as definiçõesapresentadas? Então resolva os exercícios propos-tos a seguir.

10) Seja

Calcular: , e

11) Seja

Calcular: , e

12) Seja

Calcular: , e


UNID

ADE

2

13) Seja f(x) uma função definida para todo número real por:

Determinar o valor da constante k para que exista:

14) Seja

Calcular: , e .

Os exercícios dessa seção objetivaram contribuirpara a aprendizagem do conceito da existência dolimite de uma função. Se você percebeu alguma difi-culdade, reveja os exemplos. Da noção de limite late-ral, dependerá, fundamentalmente, o entendimentode continuidade de uma função que será estudadaposteriormente.

Indeterminações

Na subseção anterior, você estudou limites laterais. Nesta se-ção, vamos entender melhor o que vem a ser indeterminação. Nossoobjetivo aqui é “levantar” uma indeterminação a qual é uma expres-são sem sentido que se obtém ao tentar calcular um limite. Por exem-plo, usando erroneamente a letra d da propriedade P3 para calcular

se chega à expressão , que não possui significado. Nesse

processo utilizaremos alguns artifícios algébricos.

6565656565Período 2

UNID

ADE

2Até agora calculamos limites do quociente entre duas funçõesaplicando a propriedade P3, letra d); veja o exemplo 2.18 resolvido

( ). Utilizando essa propriedade você notou que não

houve nenhuma dificuldade para encontrar o valor do referido limite,mas podem ocorrer situações em que você usando erroneamente a

letra d) da propriedade P3 encontre e quando isto ocorrer, cuidado:

o limite nunca é , pois não é número algum. Nesse caso, o que

fazer? É o que veremos a seguir:

Consideremos f(x) e g(x) funções tais que e

. A princípio, nada se pode afirmar sobre o

(com a aplicação indevida da propriedade P3 d).

Dependendo das funções f e g o limite pode assumir qualquervalor real ou não existir.

Definição 2.8 Dizemos que é uma indeterminação, ou um

símbolo de indeterminação.

Para melhor entendimento, vejamos os exemplos:

Exemplo 2.23 Sejam f(x) = x4 e g(x) = x3. Calcular

Resolução: Temos:

e

Mas;

Exemplo 2.24 Sejam f(x) = x3 e g(x) = 4x3 Calcular

Resolução: Você tem e

Nesse caso:


UNID

ADE

2

Exemplo 2.25 Calcular:

Resolução: Quando x=1 temos a determinação . Nesse caso:

Portanto:

Observação 2.3 Tentando calcular limites de funções, apli-cando os teoremas vistos, você pode chegar a outras expressões cujosignificado, ou valor, não é determinado. Ao todo são sete tipos deindeterminações:

.

Mais detalhes sobre esse assunto podem ser vistosnos livros citados nas referências.

Limites Infinitos

Consideremos a função definida por: para x 3

Queremos determinar os valores da função f(x) quando x está próxi-mo de 3. Para x se aproximando de 3 pela direita, x>3, temos osvalores de f(x) dados no quadro abaixo:

Observamos que, fazendo x aproximar-se cada vez mais de 3,com x>3, f(x) cresce ilimitadamente, isto é, pode-se tornar f(x) tãogrande quanto você desejar, desde que se tome x bem próximo de 3.

x, x > 3

2 (x–3)²

4 3,5 3,25 3,125 3,1 3,01 3,001 ...

2 8 32 128 200 20.000 2.000.000 ...f(x)=

6767676767Período 2

UNID

ADE

2Escreve-se:

ou seja, quando x 3+, f(x) +

Agora vamos considerar x se aproximando de 3 pela esquerda.Para x<3 obtemos os valores de f(x), dados no quadro abaixo.

Observamos que, fazendo x aproximar-se cada vez mais de 3,com x<3, f(x) cresce ilimitadamente, isto é, pode-se tornar f(x) tãogrande quanto você desejar, desde que se tome x bem próximo de 3.

Escreve-se:

ou seja, quando x 3–, f(x) +

Portanto, quando x se aproxima de 3 pela direita (x>3) ou pelaesquerda (x<3), f(x) cresce ilimitadamente e escreve-se:

Escrevemos para dizer que f(x) cresce ilimitada-

mente quando x tende para a.

Se f(x)<0 para x próximo de a e o módulo de f(x) crescer ilimi-tadamente, escrevemos:

De maneira análoga atribuímos significados para

e .

Escrevemos para dizer que f(x) cresce ilimitada-

mente sempre que x crescer ilimitadamente.

De maneira análoga atribuímos significado para

e .

x, x < 3

2 (x–3)²

2 2,5 2,75 2,8 2,9 2,99 2,999 ...

2 8 32 50 2.000 20.000 2.000.000 ...f(x)=


UNID

ADE

2

Limite de Função Racional

A seguir, apresentaremos um resultado que vai faci-litar o cálculo de limite de uma função racional quan-do a variável x tende para mais infinito ou tendepara menos infinito. Vejamos o seu enunciado.

Seja a função racional (o quociente entre dois polinômios):

com a0 0 e b0 0.

Então:

Ou seja, o limite da função racional f(x) é dado pelo limite da razão ouo quociente dos termos de maior grau dos polinômios P(x) e Q(x).

Vejamos alguns exemplos aplicando o Teorema de uma funçãoracional quando x .

Exemplo 2.26 Determinar:

Resolução: Pelo Teorema acima, temos

. (Aqui n=m=3).

Portanto:

6969696969Período 2

UNID

ADE

2


Teste seus conhecimentos, respondendo às ativi-dades propostas.

Calcular os seguintes limites:

15.

16.

17.

18.

19.

20.

21.

Nos exercícios desta seção e da anterior você tevea oportunidade de perceber se entendeu a aplica-ção dos teoremas neles enunciados. Só prossigaapós fazer todos os exercícios propostos em ambasas seções, porque contribuirá para melhor enten-dimento dos conteúdos. Para possíveis dúvidas,consulte o seu tutor.


UNID

ADE

2

Continuidade

Nesta seção vamos ver que uma das consequênciasimportantes da noção de limite é a noção de conti-nuidade de uma função. E, para isso, o nosso in-tuito é que você estude a continuidade de umafunção f(x) no ponto x=a. Na linguagem quotidia-na dizemos que o tempo é contínuo, uma vez queele decorre de maneira ininterrupta. O tempo nãosalta, digamos, de 2 horas para 2 horas e 1 minu-to da tarde, deixando um lapso de 1 minuto.

Em Matemática usamos a expressão contínua emsentido semelhante. Intuitivamente gostaríamos deafirmar que uma função f é contínua em x=a quan-do o gráfico de f não tem interrupção em a, ouseja, o gráfico de f não tem quebras ou saltos ema. Para muitas funções contínuas isso é verdadei-ro, mas existem exceções. As considerações acimamotivam as definições a seguir.

Definição 2.9 Seja f uma função definida em um conjunto Xconstituído de uma reunião de intervalos e seja a X, dizemos que afunção f é contínua no ponto a quando:

A maior parte das funções elementares, vistas na Unidade 2,são contínuas em todo x real, por exemplo, f(x)=c, f(x)=ax+b, f(x)=sen xe f(x)=cos x.

Definição 2.10 Seja a Domf, dizemos que uma função f édescontínua no ponto x=a se f não for contínua em x=a.

Isso significa que f é descontínua em x=a se ocorrer ao menosuma das seguintes condições:

i) Não existe

ii) Existe , mas

7171717171Período 2

UNID

ADE

2

Vamos ver alguns exemplos.

Exemplo 2.27 Seja:

A função f(x) é descontínua no ponto x=3, pois e , logo

não existe .

Observe que f(3) = 3 – 1=2, mas isso não é suficiente paraa continuidade de f(x). Seria necessário que se tivesse

, o que jamais poderia ocorrer visto que não

existe . Veja o gráfico de f(x) abaixo.

Figura 21

Definição 2.11 Uma função f é contínua no conjunto X se f écontínua em todos os pontos de X.

Vamos estudar agora as propriedades elementaresde funções contínuas, tais como: soma, produto,quociente e composição.

P1 Se as funções f(x) e g(x) são contínuas em x=a, então:

a) A soma, f(x) + g(x), é contínua em x=a;

b) A diferença, f(x) – g(x), é contínua em x=a;

c) O produto, f(x) g(x), é uma função contínua em x=a;


UNID

ADE

2 d) O quociente, , é uma função contínua em x=a,

desde que se tenha g(a)0.

P2 A composição, (fog)(x)=f(g(x)) é contínua em x=a, desdeque g(x) seja contínua em x=a e f(x) seja contínua em g(a).

Observação 2.4

(i) A função polinomial f(x) = a0xn + a1x

n–1 + ... + an é contí-nua em (–, +)=ú.

(ii) Uma função racional é contínua em todo número real deseu domínio.

(iii) As funções abaixo são contínuas em todo número real xde seu domínio: f(x)=ax, g(x)=logax, h(x)= x.

Vejamos mais exemplos de funções contínuas:

Exemplo 2.28 As funções f(x)=x² e g(x)=3x são contínuaspara todo número real x, logo, (f+g)(x)=x²+3x é contínuapara todo número real x.

Exemplo 2.29 As funções f(x)=x +1 e g(x)=cos x são contí-nuas para todo número real x, logo, (fg)(x)=(x+1) cos xé contínua para todo número real x.

Exemplo 2.30 As funções f(x)=x³ e g(x)=x²+1 são contínu-

as para todo número real x, logo, é

contínua para todo número real x.

Exemplo 2.31 A função f(x)=2x5 – x³+3x² –1 é contínua paratodo número real x.

Exemplo 2.32 As funções f(x)=2x +1 e g(x)=2x são contínuaspara todo número real x, logo, (fog)(x)=f(g(x))=f(2x)=4x+1,isto é, (fog)(x)=4x+1 é contínua para todo número real x.

7373737373Período 2

UNID

ADE

2


Vamos analisar a continuidade de uma função numdeterminado ponto x=a e para isso consideremosos seguintes exemplos resolvidos.

22. Seja

Verificar se f(x) é contínua em: x=2

23. Verificar se a função f definida por:

é contínua no ponto: x=–3

24. Seja

Verifique se f(x) é contínua em: x=3

Saiba mais ...Para aprofundar os conceitos estudados nesta Unidade, consulte:

FLEMMING, Diva Maria; GONÇALVES, Miriam Buss. Cálculo A: Funções,Limites, Derivação, Integração. 5. ed. São Paulo: Makron Books, 1992.

LEITHOLD, Louis. O cálculo com geometria analítica. Vol. 1, 2. ed.São Paulo: Harbra, 1994.


UNID

ADE

2 rRRRRResumindoesumindoesumindoesumindoesumindoNesta Unidade, você teve a oportunidade de estudar e

de compreender a definição de limite de uma forma intuitiva,

bem como calcular o limite de uma função usando os teoremas

sobre limites. Você compreendeu também o significado dos li-

mites laterais, limites no infinito e limites infinitos, percebendo

como levantar uma indeterminação. E aprendeu a analisar a

continuidade de uma função aplicando limites laterais. Resta

mencionar que a compreensão é importante para que você possa

acompanhar o curso, por isso, prossiga após fazer todos os exer-

cícios propostos, já que o que veremos a seguir dependerá dos

conceitos abordados nesta Unidade. Consulte o tutor sempre

que achar necessário.

7575757575Período 2

UNID

ADE

2RRRRResesesesespospospospospostttttas as Aas as Aas as Aas as Aas as Atividadestividadestividadestividadestividadesde aprde aprde aprde aprde aprendizagemendizagemendizagemendizagemendizagem

1. a) {–(2n –1)}; b)

2. a)

b)

c)

3. a) ; b) (não existe o limite)

4. a) monótona crescente; b) monótona crescente

5.

6.

7.

8.

9. 1.

10. não existe.

11. Não existe

12.

13. k =–8

14.

15.

16. +

`̀̀̀̀


UNID

ADE

2 17.

18. +

19. –

20. –

21. 0

22. Sim, f(x) é contínua em x=2

23. A função dada não é contínua em x=–3

24. A função f(x) não é contínua em x=3

7777777777Período 2

UNID

ADE

2

Objetivo

Nesta unidade nosso objetivo é fazer cm que você

compreenda a taxa média de variação; conheça a

definição de derivada de uma função e seu

significado geométrico; calculer e aplique algumas

regras de derivadas; determine a derivada de função

composta; aprenda a regra da cadeia ou derivada

de função composta e suas aplicações; apresente a

derivada de função inversa; e calcule derivadas

sucessivas.

3UNIDADE

Derivadas


UNID

ADE

3

7979797979Período 2

UNID

ADE

3

Incremento e Taxa Média de Variação

Prezado estudante!

Como você já sabe, estudaremos alguns conceitospertinentes a Derivadas nesta Unidade. Não se as-suste! Vamos dar um passo de cada vez, de ma-neira que você possa acompanhar a caminhada.Para tanto, é muito importante que você se dedi-que aos estudos e aproveite esse momento que éfundamental para sua formação pessoal e profissi-onal. Leia, pesquise, assista às aulas gravadas erealize as atividades disponíveis no AVEA. Você es-tará desse modo, formando-se de maneira respon-sável, autônoma e, certamente, isso fará diferençana vida profissional.

onsideremos uma função f dada por y = f(x). Quando x varia deum valor inicial de x para um valor final de x, temos o incremen-to em x. O símbolo matemático para a variação em x, chamada

incremento em x, será x (leia-se delta x). Logo:

x = valor final de x – valor inicial de x.

Por exemplo, quando x passa de um valor inicial 2 para umvalor final 2,5, o incremento em x será x = 2,5 – 2 = 0,5.

O incremento em y, y (leia-se delta y), será:

y = valor final de y – valor inicial de y.

Por exemplo, quando y passa de um valor inicial 5 para umvalor final 7,25, o incremento em y será y = 7,25 – 5 = 2,25.

Consideremos agora a função y = f(x) = x² + 1. Vamos calcularx quando x varia do valor x=1 para x=3 e também calcular y. Inici-almente temos x=3–1=2. Para calcularmos o valor de y, temos:

para x=1 y = f(1) = 1² + 1 = 2

para x=3 y = f(3) = 3² + 1 = 10

C


UNID

ADE

3 Assim: y=10–2=8. Portanto: x=2 e y=8

De um modo geral, temos:

Valor inicial de x = x0 e valor final de x = x0 x

Valor inicial de y = f(x0) e valor final de y = f(x0 x) Assim:

y = f(x0 x) – f(x0)

Para a função y = f(x) = x² + 1, temos:

y = f(x0 x) – f(x0)

= (x0 x)² +1– (x²0 +1)

= x²0 + 2x0x + (x)² +1 – x²0 –1

= 2x0x + (x)²

Portanto:

y = 2 . x0 .x + (x)²

O que acabamos de mencionar, o conceito de incremento, nosmotiva-nos a seguinte definição:

Definição 3.1 Seja f(x) uma função definição em um interva-lo [a,b] e x0 [a,b], œx [a,b] com x x0. Quando a variável x passa dovalor x x0 para o valor x x0 + x sofrendo uma variação x, x = x – x0,o correspondente valor da função passa de f(x0) para o valor f(x0 + x)sofrendo, portanto, uma variação: y = f(x0 + x) – f(x0)

Conforme mostra a Figura 22:

Figura 22

8181818181Período 2

UNID

ADE

3O quociente

recebe o nome de taxa média de variação da função f(x) quando xpassa do valor x0 para o valor x x0 + x e expressa a variação médiasofrida pelos valores da função f(x) entre esses dois pontos.

Exemplo 3.1 Seja a função f tal que f(x) = 2x+1, para x ú.Determine a taxa média de variação de f quando x passade: x0 = 1 para x0 + x = 4

Resolução: Como x0 + x = 4, temos 1 + x = 4 x = 4–1 = 3

f(x0) = f(1) = 21+1=3 e f(x0 + x) = f(4) = 24+1=9

Logo:

Exemplo 3.2 Seja a função f tal que f(x) = x²+4, para x ú.Determine a taxa média de variação de f quando x passade: x0 = 2 para x0 + x = 5

Resolução: Como x0 + x = 5 temos: 2+x = 5 x = 5–2 = 3

f(x0) = f(2) = 2² 4 = 4 + 4 = 8

f(x0 + x) = f(5) = 5² 4 = 25 + 4 = 29

Logo:

Exemplo 3.3 A função custo total para produzir x unidadesde uma mercadoria, C(x), em reais é dada pela equaçãoC(x) = 2x² – 0,5x + 10.

Determinar a taxa média de variação do custo total emrelação a x quando x varia de x0 unidades para x0 + xunidades.

Resolução: Sabemos pela definição 3.1 que a taxa médiade variação do custo total é dada por:


UNID

ADE

3 Assim:

C(x0 + x) = 2(x0 + x)² – 0,5(x0 + x) + 10

= 2x0² + 4x0x + 2(x)² – (0,5)x0 – (0,5)x +10

e

C(x0)= 2x0² – 0,5x0 +10

Logo:

Portanto, a taxa média de variação da função custo totalC(x0)= 2x0² – 0,5x0 +10, quando x varia de x0 unidades para x0 + x

unidades, é:

8383838383Período 2

UNID

ADE

3


Teste seus conhecimentos respondendo às ativida-des propostas. Sempre que sentir dificuldades retorneaos conceitos e aos exemplos apresentados e tam-bém busque o auxílio de seu tutor. Bons estudos!

1. Determinar a taxa média de variação das funções seguintes entre os

pontos indicados:

a) f(x) = 3; 2 e 4

b) f(x) = x²+x; –2 e 2

c) ; 3 e 6

d) f(x) = x²; –4 e –1

e) f(x) = –x+1; –2 e 6

2. Determinar a taxa média de variação da função f(x) = x+1 entre os

pontos: x0 e x0 + x

3. Uma fábrica de doces verificou que o custo total diário para produzir x

caixas de doces cristalizados, em reais, era dado por:

Determinar a taxa média de variação do custo em relação a x.


UNID

ADE

3 Definição de Derivada

Na seção anterior você compreendeu o significado de taxamédia de variação de uma função f(x) quando x passa do valor x0 parao valor x0 + x; e esse estudo nos leva às seguintes definições.

Definição 3.2 Derivada da função. A derivada de uma fun-ção f em relação à variável x do domínio de f é a função f’(x) dada por

se esse limite existir. Dizemos, nesse caso, que a função f(x) é derivávelem x.

Definição 3.3 Derivada de uma função no ponto x0. Sex0 for um número particular no domínio de f, então a derivada da fun-ção f no ponto x0, denotada por f’(x0), é dada por:

se esse limite existir. Dizemos, nesse caso, que a função f(x) é derivávelem x0, ou seja, existe f’(x0).

Notação: Há várias maneiras de representar a derivada. Porexemplo:

Exemplo 3.4 Dada f(x) = 4x² + 8, calcular a derivada de f.

Resolução: Se x é algum número no domínio de f, então peladefinição 3.2, temos

8585858585Período 2

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ADE

3

Portanto, a derivada de f(x) = 4x² + 8, em relação a x, é 8x,ou seja: f’(x) = 8x

Exemplo 3.5 Dada f(x) = 5x² + 3, encontrar a derivada de fno ponto x0 = 2, ou seja: f’(2)

Resolução: Pela definição 3.3, temos que:

Portanto:

f’(2) = 20

Exemplo 3.6 Dada , encontre:

Resolução: Sabemos que:


UNID

ADE

3 Logo:

Portanto:

Exemplo 3.7 Dada , encontre , ou seja,

encontre: f’(–1)

Resolução: Do exemplo acima, temos: , logo:

Portanto:

Ou seja:

f’(–1) = – 5

8787878787Período 2

UNID

ADE

3Exemplo 3.8 Calcular f’(x), onde f(x) = x² – 3x

Resolução: Pela definição 3.2, temos:

Substituindo os valores, obtemos:

Portanto: se f(x) = x² – 3x, então f’(x) = 2x – 3

Observação 3.1

(i) Se não existe o limite ou se ele é igual a , dizemos que afunção não é derivável no ponto x0, isto é: ò f’(x0)

(ii) Se existe apenas ou , dize-

mos que a derivada é lateral e indicaremos por:

a) – derivada à direita de x0

b) – derivada à esquerda de x0

c) Se f’+(x0) = f’–(x0), dizemos que a função é derivávelno ponto x0, isto é, f’+(x0) = f’–(x0) = f’(x0)

(iii) Se existem as derivadas laterais, porém f’+(x0) f’–(x0),então dizemos que não existe f’(x0), ou seja, derivada deuma função no ponto existe se e somente se as derivadaslaterais são iguais.

(iv) Uma função é derivável num intervalo [a,b], se existemderivadas em qualquer ponto do intervalo [a,b].


UNID

ADE

3 Exemplo 3.9 Calcular f’(x) no ponto x0 = 0 da função f(x) = |x|,ou seja: f’(0)

Resolução: Por definição, temos:

Agora, pela definição de módulo ou valor absoluto de umnúmero real a

vem

e

Por tanto, pela observação 3.1 ( i i i ) , f ’+(0) = 1 ef’–(0) = –1, não existe a derivada de f(x) = |x| no ponto x0 = 0.

Interpretação Geométrica da Derivada

A derivada de uma função num dado ponto, quando existe, temum significado geométrico importante que é o discutido nesta seção.

Seja f(x) uma função definida e contínua em [a,b]. Seja G ográfico da função f(x). Seja x [a,b] e x0 [a,b), xx0. Veja a Figura 23:

8989898989Período 2

UNID

ADE

3

!

Figura 23

A reta s determinada pelos pontos P(x0,f(x0)) e Q(x,f(x)) é umasecante à curva e o coeficiente angular é dado por:

Se f é derivável no ponto x, quando x x0, Q P e s t,onde t é tangente geométrica à curva G no ponto P, temos:

Assim, podemos dizer que a derivada de uma funçãof(x), quando existe, assume em cada ponto x0 um valorque é igual ao coeficiente angular da reta tangente aográfico de f(x), no ponto de abscissa x0.

Observação 3.2 A equação de uma reta não vertical passan-do em um ponto (x0,y0) é dada por:

y – y0 = a(x–x0)

Onde a é o coeficiente angular da reta. Se f(x) é uma função derivávelem x = x0, segue da interpretação geométrica da derivada que a retatangente ao gráfico de f(x) no ponto (x0,f(x0)) tem coeficiente angulara=f’(x0). Portanto, a equação da reta tangente é:

y – f(x0) = f’(x0)(x–x0)


UNID

ADE

3 Exemplo 3.10 Determine a equação da reta tangente ao grá-fico da função f(x) = x² no ponto (2,4).

Resolução: Para determinar o coeficiente angular da retaque é f’(2), temos:

Assim:

f’(2) = 4

A equação da reta tangente é:

y – f(x0) = f’(x0)(x–x0)

Ou seja:

y – f(2) = f’(2)(x–2)

Logo:

y – 4 = 4(x–2) y – 4 = 4x–8 y = 4x–8 +4 = 4x– 4

Portanto, a equação da reta tangente ao gráfico de f(x) = x²no ponto (2,4) é: y = 4x– 4

Definição 3.4 Se uma função f(x) é derivável no ponto x0 deseu domínio, então f(x) é contínua em x0, isto é, se existe f’(x), então:

A recíproca não é verdadeira, ou seja, se f(x) é contínua em x0,então não é necessário que f’(x0) exista. Por exemplo, f(x)=|x| é con-tínua no ponto x=0, mas f(x)=|x|não é derivável em x=0. Vimos que:f’–(0) = –1 e f’+(0) = 1

9191919191Período 2

UNID

ADE

3Cálculo das Derivadas

O cálculo da derivada de uma função pela definição 3.2, de-pendendo da função, pode ser bastante complicado. Contudo, combase na definição 3.2, é possível obter várias regras que facilitam muitoo trabalho. São as chamadas regras de derivação para soma, produtoe quociente de funções. Elas são importantes no cálculo de derivadasde qualquer função.

A seguir apresentaremos alguns exemplos de cálculo de deriva-da usando a definição 3.2. Posteriormente, esses exemplos serão utili-zados como regras de derivação.

Derivada da função constante

Se f(x) = k, onde k é uma constante, então: f’(x)=0

De fato,

Logo se f(x) = k, então: f’(x)=0

Por exemplo, se f(x) = 4, então: f’(x)=0

Derivada da função afim

Se f(x) = ax+b, onde a e b são constante e a0, então: f’(x)=a

De fato,

Logo, se f(x) = ax+b, então: f’(x)=a

Por exemplo:

(i) Se f(x) = 5x+4, então: f’(x)=5

(ii) Se f(x) = 2 – 6x, então: f’(x)=–6


UNID

ADE

3 Derivada da função potência

Se f(x)=xn, onde n ù, então f’(x)=nxn–1

Por exemplo:

(i) Se f(x)=x4, então: f’(x)=4x3

(ii) Se f(x)=x2, então: f’(x)=2x

Observação 3.3 Podemos estender a potência n ù, para

qualquer n que seja inteiro ou racional. Por exemplo, se , en-

tão: , aqui

Derivada da função soma

Sejam g(x) e h(x) duas funções deriváveis no ponto x, entãof(x)=g(x)+h(x) também é derivável no ponto x e

f’(x)=g’(x)+h’(x)

Logo, se f(x)=g(x)+h(x), então:

f’(x)=g’(x)+h’(x)

Observação 3.4 Podemos estender a propriedade dada aci-ma para a soma de n funções, isto é, se

f(x)=f1(x)+f2(x)+...+fn(x)

então

f’(x)=f’1(x)+f’2(x)+...+f’n(x)

Por exemplo, se f(x) = x4 + 3x²+x, então: f’(x) = 4x3 + 6x+1

Derivada da função produto

Sejam u(x) e v(x) duas funções deriváveis em x, então:f(x)=u(x).v(x) também é derivável em x e:

f’(x)=u(x).v’(x)+u’(x).v(x)

9393939393Período 2

UNID

ADE

3Logo, se f(x)=u(x).v(x), então:

f’(x)=u(x).v’(x)+v(x).u’(x)

Para simplificar a notação, às vezes escrevemos simplesmente:

f’=u.v’+v.u’

Observação 3.5. Podemos estender a propriedade dada an-teriormente para o produto de n funções, ou seja, se

f(x)=f1(x)f2(x)... fn(x)

então:

f’(x)=f’1(x)f2(x)... fn(x)+f1(x)f’2(x)... fn(x)+...+f1(x)f2(x)... f’n(x)

Em particular, se f1(x)=f2(x)=... =fn(x) =u(x), então:

f(x)= (u(x))n f’(x)= n(u(x))n–1u’(x)

Por exemplo:

(i) f(x)=5x2 f’(x) =10x

(ii) f(x) = 7x3 + 4x²+5x f’(x) = 21x2 + 8x+5

(iii) f(x) = (x2 + x+1) f’(x) = 5(x2 + x+1)4(2x+1)

Derivada da função quociente

Sejam u(x) e v(x) duas funções deriváveis no ponto x. Seja

com v(x)0. Então:

Logo, se , com v(x)0, então:

Para simplificar a notação, às vezes escrevemos simplesmente:


UNID

ADE

3

!

Por exemplo:

Resumindo, seja f(x) uma função de x, então temos asseguintes regras de derivação:

(i) f(x) = k f’(x) = 0, onde k é uma constante

(ii) f(x) = ax+b f’(x) = a, onde a e b são constantes

(iii) f(x) = xn f’(x) = nxn–1, onde n Q, racionais

(iv) f(x) = g(x) + h(x) f’(x) = g’(x) + h’(x)

(v) f(x) = u(x). v(x) f’(x) = u(x). v’(x)+v(x). u’(x)

(vi) f(x) = (u(x))n f’(x) = n(u(x))n–1 u’(x)

(vii) v(x)0

Derivada das FunçõesExponencial e Logarítmica

A seguir apresentaremos as fórmulas (sem demonstração) parao cálculo de derivadas de funções exponencial e logarítmica.

Derivada da função exponencial

Seja f(x)=ax, a ú e a1, então:

f’(x)=(ax)’ = ax lna

Em particular, quando a=e, então:

f(x)=ex f’(x) = ex

9595959595Período 2

UNID

ADE

3

Derivada da função logarítmica

Seja f(x)=logax, a ú e a1, então:

Em particular:

Vamos agora resolver alguns exemplos para calcu-lar a derivada de algumas funções utilizando asregras apresentadas.

Exemplo 3.11 Calcular a derivada de: f(x) = 7x3 – 3x²+5x – 6

Resolução: Usando as regras (iv) e (i), citadas anteriormen-te, vem:

f’(x) = (7x3 – 3x²+5x – 6)’=(7x3)’ – (3x²)’+(5x)’ + 6’

ou

f’(x) = 7.3x3–1 – 3.2x2–1+5.x1–1 + 0 = 21x² – 6x + 5

Portanto, a derivada da função f(x) = 7x3 – 3x²+5x – 6 édada por: f’(x) = 21x² – 6x + 5

Exemplo 3.12 Calcular a derivada de:

f(x) = (2x3 – 5x²+3x – 1).(3x2 – 2x+5)

Resolução: Inicialmente, vamos considerar:

u(x) = 2x3 – 5x²+3x – 1 e u(x) = 3x2 – 2x+5

Assim:

u’(x) = (2x3 – 5x²+3x – 1)’ = 6x2 – 10x+3 –0 = 6x2 – 10x+3,

ou

u’(x) = 6x2 – 10x+3

e

v’(x) = (3x3 – 2x+5)’ = 6x – 2 +0 = 6x – 2


UNID

ADE

3 Agora, usando a regra (v), vem

f’(x)=u(x).v’(x)+u’(x).v(x)

= (2x3 – 5x²+3x – 1)(6x – 2)+(3x3 – 2x+5)(6x2 – 10x+3)

= 30x4 – 76x3 + 87x² – 68x + 17

Portanto, a derivada da função:

f(x) = (2x3 – 5x²+3x – 1)(3x3 – 2x+5)

é dada por:

f’(x) = 30x4 – 76x3 + 87x² – 68x + 17

Exemplo 3.13 Determinar a derivada de:

Resolução: Pela regra (vii), temos:

Portanto, a derivada da função:

é a função dada por:

9797979797Período 2

UNID

ADE

3


Chegou a hora de testar os seus conhecimentos.Procure, então, resolver as atividades propostas.

Obtenha a derivada de cada função a seguir:

4. f(x) = –5

5.

6.

7.

8.

Derivada de Função Composta (ou Regra da Cadeia)

Sejam y = f(x) e u = g(x) duas funções tais que suas derivadasexistem e exista a derivada da função y = f(g(x)) que indicaremos por:

, então:

ou, ainda:

Logo:

y = f(g(x)) y’ = f’(g(x)).g’(x)

A derivada obtida acima da função composta também é co-nhecida como regra da cadeia.


UNID

ADE

3 Exemplo 3.14 Determinar a derivada da função: y=e4x

Resolução: Temos, y=e4x, então y=eu, onde u=4x, e

Logo:

Portanto, a derivada de y=e4x é a função: y’=e4x

Aplicações da Regra de Derivaçãode Função Composta

Apresentaremos nesta seção algumas regras aplicando direta-mente a regra da cadeia ou derivada de função composta.

Derivada da função dada por y=un, onde u=u(x) éuma função derivável num ponto x e n ú

Se y=un, então: y’=n.un–1.u’


y = (x3 – 4x²+ x – 2)4

Resolução: Aqui,

u = x3 – 4x²+ x – 2, n = 4 e u’ = 3x2 – 8x+ 1

Assim: y=u4

Logo:

y’= 4.(u)4–1 u’=4.u3.u’=4(x3 – 4x²+ x – 2)3 (3x2 – 8x+ 1)

Portanto, a derivada de y=(x3 – 4x²+ x – 2)4 é a função:

y’= 4.(x3 – 4x²+ x – 2)3 . (3x2 – 8x+ 1)

9999999999Período 2

UNID

ADE

3Exemplo 3.16 Encontrar a derivada de:

Resolução: Sabemos que:

onde:

Assim:

Logo:

Portanto:

Derivada da função dada por y=eu, onde u=u(x) éuma função derivável num ponto x

Se y=eu, então: y’=eu.u’

Exemplo 3.17 Encontrar a derivada de:

Resolução: Aqui,

ou u’= –x²

Assim: y=eu

Logo:

Portanto, a derivada de é a função:


UNID

ADE

3 Exemplo 3.18 Calcular a derivada de:

Resolução: Temos u = 3+lnx e . Aplicando di-

retamente a regra acima vem:


Derivada da função dada por y=au, onde u=u(x) éuma função derivável num ponto x

Se y=au, então: y’=au.u’.lna Em particular, se f(x)=ex, então:f’(x)=ex


Resolução: Temos , u = x³ + x –1 e u’ = 3x² + 1

Logo:

Portanto, a derivada da função é a função:

101101101101101Período 2

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ADE

3Exemplo 3.20 Calcular a derivada de:

y=a3lnx

Resolução: Temos: a=3, u=lnx e

Logo:

Portanto, a derivada de y=a3lnx é a função:

Derivada da função dada por y=lnu, onde u=u(x) éuma função derivável num ponto x

Se y=lnu, então: Em particular, se f(x)=lnx, então:


Resolução: Aqui temos: e

Logo:


Exemplo 3.22 Calcular a derivada de:

y=ln(x.ex+2)

Resolução: Aqui temos u=x.ex+2. Para encontrarmos u’ va-mos utilizar a regra da derivada do produto de duas fun-ções. Assim:

u’=x.(ex+2)+(x).ex+2 =x.ex+2.(x+2)+l.ex+2

u’=x.ex+2.l+ex+2 =x.ex+2+ex+2.(x+1)


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ADE

3 Aplicando a regra de derivação acima, temos:

Portanto:

y=ln(x.ex+2)

Derivada da função dada por y=logau, onde u=u(x)é uma função derivável num ponto x

Se y=logau, então:


Resolução: Observe que: e Aplicando a

regra de derivação acima, temos:

Portanto, a derivada de:

é a função:

103103103103103Período 2

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ADE

3Exemplo 3.24 Calcular a derivada de:

Resolução: Aqui: a=10 e Para encontrarmos u’ va-

mos utilizar a regra de derivação do quociente entre duasfunções. Assim:

Agora, aplicando a regra de derivação anterior, temos:

ou seja:

Portanto, a derivada de:

é a função

:


UNID

ADE

3


Resolva as atividades a seguir usando os conheci-mentos adquiridos. Em caso de dúvidas, faça areleitura dos conceitos e observe atentamente osexemplos. Se ainda assim você não conseguir re-solver, faça contato com seu tutor.

Obtenha a derivada de cada função a seguir:

9. y = logax²

10. y = ln(x³+1)

11. h(x) = (2x³+4x+1)5

12.

13.

14. h(x) = log(1 – 5x)4

15.

Derivada de Função Inversa

Seja y = f(x) uma função inversível, derivável no ponto x, ondef’(x)0. A função inversa de y = f(x) que representaremos por x = g(y)é derivável no ponto y, sendo y = f(x), sua derivada é:

Ou seja, se y = f(x), função dada, e x = g(y), sua inversa, então:

105105105105105Período 2

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3Exemplo 3.25 Calcular a derivada da função inversa de:y = f(x) = 5x–7

Resolução: Inicialmente vamos calcular a função inversa dey = f(x) = 5x–7, que é x = g(y). Aplicando a regra práticaestudada na Unidade 1, exemplo 1.26 (p. 39), para encon-trarmos a função inversa de uma dada função, temos:

ou, ainda:

Assim, a função inversa de f(x) = 5x–7 é e f’(x) = 5

Logo:

De fato, calculando a derivada da função g(y) em relação a y,temos:

Portanto, a derivada da função inversa de:

y = f(x) = 5x–7,

é dada por:

Exemplo 3.26 Determine a derivada da inversa da função:y = f(x) = x³ para x>0

Resolução. Vamos calcular a função inversa de y = f(x) = x³aplicando a regra prática estudada na Unidade 1, exemplo1.26 (p. 39). Assim, a função inversa da função y = f(x) = x³

é , y (0,) e f’(x) = 3x² 0 para todo x>0;logo:


UNID

ADE

3 Portanto, a derivada da inversa da função f(x) = x³ para x>0,

, é:

Exemplo 3.27 Calcular a derivada da inversa da funçãoy = f(x) = x² para todo x>0.

Resolução. A derivada de f é f’(x) = 2x e a função inversa dey = f(x) = x², aplicando a regra prática, é x=g(y)= y paray>0; logo:

ou

Portanto, a derivada da inversa da função y = f(x) = x² para

todo x>0, g(y)= y, é

Exemplo 3.28 Calcular a derivada da função inversa dey = f(x) = x³ –2 no ponto y = 6, ou seja; g’(6)

Resolução: A derivada da função f é f’(x) = 3x². Vamos cal-cular a função inversa de y = f(x) = x³ –2, que é x = g(y).Aplicando a regra prática, temos:

ou, ainda:

Assim, a função inversa de y = f(x) = x³ –2 é:

Logo:

ou seja:

107107107107107Período 2

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ADE

3

Como queremos calcular g’(6), vem:

Portanto, a derivada da função inversa de: y = f(x) = x³ –2

, no ponto y=6 é:


Resolva as atividades propostas. Não esqueça: seututor pode lhe ajudar!

16. Calcular a derivada da função inversa de: no ponto y=1

17. Determinar a derivada da função inversa de: y = f(x) = 2x² – 3

18. Determinar a derivada da função inversa de: y = f(x) = 5 – 7x

19. Determinar a derivada da função inversa de: y = f(x) = x4 + 1

Derivadas Sucessivas

Suponha que f é uma função derivável no intervalo I. Se a fun-ção f’(x), chamada de derivada primeira de f(x), é derivável no mesmointervalo, então existe a função derivada de f’(x), indicada como f’’(x),que é chamada de derivada segunda de f(x). Dizemos então que f(x) éduas vezes derivável.

Seguindo esse procedimento sucessivamente, e supondo quef(x) é n vezes derivável, obteremos a função derivada n-ésima, ou


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3 derivada de ordem n, de f(x) indicada como f(n)(x). As funções f’(x),f’’(x),..., f(n)(x), são as derivadas sucessivas de f(x).

Exemplo 3.29 Determinar todas as derivadas da função:

f(x) = x³ + 2x² +1

Resolução: Aplicando as regras de derivação estudadas, temos:

f(x) = x³ + 2x² +1

f’(x) = 3x² +4x

f’’(x) = 6x +4

f’’’(x) = 6

fiv(x) = 0

fn(x) = 0, œn4

Portanto, todas as derivadas da função f(x) = x³ + 2x² +1são: fn(x) = 0, œn4

Exemplo 3.30 Obtenha a derivada terceira da função:

Resolução: Aplicando as regras de derivação, temos:

Portanto, a derivada terceira de é:

109109109109109Período 2

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3

Exemplo 3.31 Obtenha a derivada de ordem 4 da função:

f(x) = e–2x

Resolução: Aplicando as regras de derivação, temos:

f(x) = e–2x

f’(x) = –2.e–2x

f’’(x) = 4.e–2x

f’’’(x) = –8.e–2x

f’’’’(x) = 16.e–2x

Portanto, a derivada de ordem 4 ou a quarta derivada da fun-ção f(x) = e–2x é: f’’’’(x) = 16.e–2x e, consequentemente

fn(x) = (–1)n . 2n . e–2n, œn ù


Vamos ver se você entendeu? Resolva as ativida-des propostas.

20. Calcular todas as derivadas da função:

21. Calcular todas as derivadas da função: f(x) = ax

22. Determinar a derivada segunda da função: f(x) = 2x4 – 3x³ + 4x² – x + 2

23. Determinar a derivada segunda da função:


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3

Tabela: Derivadas e Identidades Trigonométricas

Derivadas:

Sejam u e v funções deriváveis de x e n constante.

1. y = un y’=nun–1 u’

2. y = u v y’=u’v + v’u

3.

4. y = au y’=au(ln a) u’, (a>0, a 1)

5. y = en y’=eu u’

6. y = logau

7. y = lnu

Saiba mais ...

Para aprofundar os conceitos estudados nesta Uni-dade, consulte:

FLEMMING, Diva Maria; GONÇALVES, Miriam Buss. Cálculo A: Funções,Limites, Derivação, Integração. 5. ed. São Paulo: Makron Books, 1992.

LEITHOLD, Louis. O cálculo com geometria analítica. Vol. 1, 2. ed. SãoPaulo: Harbra, 1994.



111111111111111Período 2

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3rRRRRResumindoesumindoesumindoesumindoesumindoNesta Unidade, estudamos a taxa média de variação; a

definição de derivada de uma função e realizamos cálculos de

derivadas de diversos tipos de função, tais como: derivada da

função produto e função quociente, derivada da função com-

posta (ou regra da cadeia) e aplicações da regras de derivação

de função composta e derivadas sucessivas. Ratificamos a ne-

cessidade da compreensão para que você possa acompanhar o

curso. Só prossiga depois de fazer todos os exercícios propos-

tos. Consulte o tutor sempre que achar necessário.

RRRRResesesesespospospospospostttttas as atividades deas as atividades deas as atividades deas as atividades deas as atividades deaprapraprapraprendizagemendizagemendizagemendizagemendizagem

1. a) 0 b) 1

c) d) e) –1

2.

3.

4. f’(x) = 0

5. f’(x) = x² – x + 4

6.

7.

`̀̀̀̀


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3 8.

9.

10.

11. h’(x) = 5.(2x³ + 4x + 1)4 . (6x² + 4)

12.

13.

14.

15.

16. 5

17.

18.

19.

20.

21. f n(x) = ax (ln a)n, œn

22. f’’(x) = 24x² – 18x + 8

23.

113113113113113Período 2

UNID

ADE

3

Objetivo

Nesta Unidade, compreenderemos o teorema do valor

médio; descreveremos a Fórmula de Taylor;

empregaremos a diferencial e expressaremos algumas

funções marginais; determinaremos os pontos de

máximos e mínimos aplicando a derivada segunda e

aplicaremos derivadas na construção do gráfico de

uma função.

4UNIDADE

Aplicações da Derivada


UNID

ADE

4

115115115115115Período 2

UNID

ADE

4

Teorema do Valor Médio (TVM)

Na Unidade anterior você aprendeu o que é a deri-vada de uma função, sua interpretação geométricae várias regras que auxiliam no cálculo dela. Ago-ra, nesta Unidade, aprenderemos a aplicá-la paraescrever a fórmula de Taylor e determinar informa-ções importantes sobre a função. Aplicaremos, tam-bém, derivadas no esboço do gráfico de uma fun-ção para determinar os valores máximos e míni-mos, os pontos de inflexão e a concavidade deuma função usando a derivada segunda. Para isso,vamos iniciar esta Unidade com o Teorema do Va-lor Médio. Bons estudos!

Definição do TVM

Suponha que a função f seja contínua no intervalo fechado [a,b]e que f’(x) exista no intervalo aberto a<x<b. Então, existe pelo menosum valor c entre a e b, tal que:

Geometricamente, o teorema afirma que pelo menos um pontoc (a,b) tal que a reta tangente ao gráfico da função no ponto (c, f(c))é paralela à reta que passa pelos pontos A = (a , f(a)) eB=(b, f(b)), como indica a Figura 24:


UNID

ADE

4

Figura 24

Exemplo 4.1. Seja f(x) = x² definida no intervalo [–1, 3],calcular o valor de c que o TVM garante existir.

Resolução. Aqui a = –1 e b = 3. Vamos calcular f(a) e f(b),assim:

f(a) = f(–1) = (–1)² = 1

e

f(b) = f(3) = 3² = 9

Como f(x) = x² é contínua para todo x, f’(x) = 2x existe em–1 < x < 3 e f’(c) = 2c para –1 < c < 3, temos:

Portanto, o valor de c que o TVM garante existir em (–1, 3)vale 1.

Exemplo 4.2 Seja f(x) = x³, a = –2 e b = 2, determine ospontos desse intervalo onde se verifica a afirmação doteorema do valor médio.

Resolução. A função é um polinômio e como tal satisfaz ashipóteses do TVM. Queremos determinar c (–2,2) tal que:

117117117117117Período 2

UNID

ADE

4Assim, f’(x) = 3x³ e f’(c) = 2c² para c (–2,2). Então:

de forma que:

Logo, os dois valores de c são: c1= – 2 e c2=+ 2 entrea = –2 e b = 2 nos quais a tangente à curva y = x³ é para-lela à corda que passa pelos pontos (–2, –8) e (2,8).

Portanto, os pontos onde se verifica a afirmação do TVMsão c1= – 2 e c2=+ 2

Fórmula de Taylor ou Polinômio de Taylor

A fórmula de Taylor é uma extensão do Teorema do Valor Mé-dio. Isso nos motiva a dar a seguinte definição:

Definição 4.1. Seja f uma função tal que f e suas n primeirasderivadas f’, f’’,..., f(n–1), f(n) sejam contínuas em [a,b]. Além disso,f(n+1)(x) existe para todo x no intervalo aberto (a,b). Então, a fórmulade Taylor ou Polinômio de Taylor de ordem n, no ponto a da função f,é definida por:

Observação 4.1 No caso de a=0 temos:

Trata-se da chamada fórmula de Maclaurin de f(x).

A fórmula de Taylor pode ser utilizada para calcular um valoraproximado de determinada função por meio de somas parciais; porexemplo, calcular um valor aproximando de ln (3,47) e e4,289.


UNID

ADE

4 Exemplo 4.3 Seja f(x)=lnx, determine a fórmula ou opolinômio de Taylor no ponto a=1, de ordem:

(i) 3;

(ii) n, sendo n um número natural qualquer;

(iii) Use o polinômio do item (i) para calcular um valoraproximado de ln(1,1).

Resolução. Vamos inicialmente determinar o polinômio deTaylor de ordem 3, no ponto a=1, ou seja, devemos ter:

Assim

Logo, respondendo (i), vem:

ou seja:

119119119119119Período 2

UNID

ADE

4Agora, para responder (ii), vem:

Finalmente, respondendo (iii), para calcular temos que:

ln(1,1), fazendo x=1,1 em (i), vem:

Efetuando esses cálculos, obtemos: ln 1,1 = 0,09533

Portanto: ln 1,1 = 0,09533

Exemplo 4.4 Determinar a fórmula ou o polinômio de Taylorde ordem n, no ponto zero da função: f(x)=ex

Resolução. Vamos calcular:

Sabemos que se f(x)=ex, então:

f’(x)= f’’(x)= f’’’(x)=...= fn(x)=ex

f’(0)= f’’(0)= f’’’(0)=...= fn(0)=1. Logo:

.

Portanto, a fórmula ou o polinômio de Taylor de ordem n,no ponto zero da função é:

f(x)=ex vale

Isso significa que para valores de x próximos de zero:

Quanto maior n, melhor a aproximação.

Por exemplo, fazendo x=1 e n=6, obtemos:

De fato, a soma à direita aproxima o número e até a tercei-ra casa decimal, sendo o “erro” igual a: 2,26 10–4


UNID

ADE

4 Exemplo 4.5. Seja a função f(x) = x. Obter uma aproxima-ção de Taylor de terceira ordem no ponto: a=9

Resolução. Vamos determinar:

Assim:

Logo:

ou seja:

121121121121121Período 2

UNID

ADE

4Portanto, a aproximação de Taylor de terceira ordem def(x) = x no ponto a=9 é:

Por exemplo, um valor aproximado de 5 seria:

= 3 – 0,6667 – 0,0741 – 0,0165 = 3 – 0,7542 = 2,2428

Portanto:


UNID

ADE

4


Vamos conferir se você está acompanhando? Pro-cure, então, resolver as atividades propostas e, casotenha dúvidas, faça uma releitura cuidadosa dosconceitos e preste atenção nos exemplos apresen-tados antes de prosseguir nos estudos. Não esque-ça: você pode contar com o auxílio do seu tutor.

1. Verifique se as condições do teorema do valor médio são satisfeitas

pela função f(x) = x³ + 3x² – 5 em [–1,2]. Determine os pontos

desse intervalo onde se verifica a afirmação do teorema.

2. Seja f(x) = x² + 1, x [–3,3]. Determine c (–3,3) pelo TVM, tal

que:

3. Determine a fórmula de Taylor de ordem n da função: , x>0

no ponto: a = 1

4. Dê a fórmula de Taylor de ordem 4 da função: f(x) = e–2x no ponto

zero.

123123123123123Período 2

UNID

ADE

4A Diferencial

uponha que a função f seja definida por y = f(x) e f seja derivávelem x0. A variação sofrida por f, quando se passa do ponto x0 aoponto x0 + x, é:

y = f = f(x0 +x) – f(x0)

Usando o símbolo , que significa “é aproximadamente iguala”, dizemos que f f’(x0)x, se x for suficientemente pequeno.O lado direito da expressão é definido como a diferencial de y. Issonos motiva a seguinte definição:

Definição 4.2 Se a função f é definida por y = f(x), então adiferencial de y, no ponto x0, denotada por dy ou df é dada por:

df = f’(x0)x

onde x0 está no domínio de f’ e x é um incremento arbitrário de x0.

Observação 4.2 Note que df depende de x e é fácil perceberque quanto menor for x, mais próximo df estará de f. Assim, pode-mos dizer que df f para pequenos valores de x.

Dessa forma, a diferencial de uma função pode ser usada paracalcular aproximadamente variações de f, para pequenos valores de x.

Exemplo 4.6 Considere a função f(x) = 3x², x0 = 1 ex0 +x=1,01, logo x = 1,01 – 1 = 0,01. Calcular f e df.

Resolução. Vamos calcular inicialmente f dado por:f = f(x0 +x) – f(x0), assim:

f = f(x0 +x) – f(x0)

= f(1,01) – f(1)

= 3×(1,01)² – 3×1²

= 3×1,0201 – 3×1

= 3,0603 – 3 = 0,0603

S


UNID

ADE

4 Para calcularmos a diferencial de f no ponto x0 = 1 ex = 0,01 temos:

f’(x) = 6x e f’(1) = 6

Assim:

df = f’(x0)x = f’(1) = 6

Não é difícil de observar que df f.

Portanto:

f = 0,0603 e df =

Exemplo 4.7 Calcule a diferencial de y = f(x) = x² no pontox0 = 2 e x = 0,01.

Resolução. Sabemos que a diferencial de uma função f noponto x0 é dada por:

df = f’(x0)x ou df = f’(2)0,01

Como:

f’(x) = 2x e f’(2) = 22 = 4

vem

df = f’(2)0,01 = 40,01 = 0,04

Portanto, a diferencial de y = f(x) = x² no ponto x0 = 2 ex = 0,01 é: df =

Exemplo 4.8 Seja a função y = f(x) = 4x² – 3x +1, encontrey e dy para:

(i) qualquer x e x

(ii) x = 2, x = 0,1

(iii) x = 2, x = 0,01

(iv) x = 2, x = 0,001

Resolução. (i) Vamos calcular inicialmente y. Comoy = 4x² – 3x +1, temos:

y = 4(x+x)² – 3(x+x) +1 – f(x)

= 4(x² + 2xx +(x)²) – 3x – 4x² +1 – (4x² – 3x +1)

= 8x x – 3x + 4 (x)²

= (8x – 3) x + 4 (x)²

125125125125125Período 2

UNID

ADE

4Logo

y = (8x – 3) x + 4 (x)²

Agora, vamos calcular dy. Sabemos que: dy = f’(x)xA derivada de y = f(x) = 4x² – 3x +1 em relação a x é:

f’(x) = 8x – 3

Assim:

dy = f’(x)x = (8x – 3)x

Portanto:

dy = (8x – 3)x

Os resultados para as partes (ii), (iii) e (iv) são apresenta-dos no quadro abaixo, onde:

y = (8x – 3)x + 4(x)² e dy = (8x – 3)x

x

2

2

2

x

0,1

0,01

0,001

y

1,34

0,1304

0,013004

dy

1,3

0,13

0,013

Aplicações: funções marginais

Em Administração e em Economia, dada uma função f(x), cos-tumamos utilizar o conceito de função marginal para avaliar o efeitocausado em f(x) por uma pequena variação de x. Chamamos fun-ção marginal de f(x) à função derivada de f(x). Assim, a funçãocusto marginal é a derivada da função custo, a função receita margi-nal é a derivada da função receita, e assim por diante. Nesta seçãoveremos algumas funções marginais.

Função custo marginal

Suponha que C(x) seja o custo total de produção de x unidadesde certo produto, com x 0 e C(x) 0. A função C é chamada defunção custo total e temos a seguinte definição:


UNID

ADE

4 Definição 4.3 Se C(x) é o custo total de produção de x unida-des de um produto, então o custo marginal, quando x=x0, é dadopor C’(x0), caso exista. A função C’(x) é chamada função custo mar-ginal.

Assim, usando o conceito de diferencial, vem:

C’(x0) C = C(x0+1) – C(x0)

Portanto, o custo marginal é aproximadamente igual à varia-ção do custo, decorrente da produção de uma unidade adicional apartir de x0 unidades.

Na definição acima, C’(x0) pode ser interpretada como a taxade variação do custo total quando x=x0 unidades são produzidas.

Exemplo 4.9 Suponha que C(x) seja o custo total de fabri-cação de x pares de calçados da marca WW dado pelaequação: C(x) = 110+4x+0,02x².

Determinar o custo marginal quando: x = 50

Resolução . Vamos calcular a derivada da funçãoC(x) = 110+4x+0,02x², ou seja, C’(x) = 4+0,04x eC’(50) = 4+0,04 50 = 6. Assim sendo, a taxa de varia-ção do custo total, quando 50 pares de calçados da marcaWW são fabricados, é R$ 6,00 por par fabricado.

O custo de fabricação do quinquagésimo primeiro par decalçado é C’(50) C = C(51) – C(50)

e

C(51) – C(50) = 110+451+0,02(51)² – (50+0,02(50)²)

= 366,02 – 360 = 6,02

Assim:

C’(50) C = C(51) – C(50) = 6,02

Logo: C’(50) é o custo aproximado da produção doquinquagésimo primeiro par de calçado da marca WW.

Portanto, o custo marginal quando x = 50 é: C’(50) = 6

127127127127127Período 2

UNID

ADE

4Exemplo 4.10 Considere a função custo:

C(x) = 0,02x³–0,4x²+400x+200

Determinar o custo marginal para: x = 20

Resolução. Inicialmente, vamos calcular a derivada da função:

C(x) = 0,02x³–0,4x²+400x+200

ou seja:

C’(x) = 0,06x² – 0,8x+400

e

C’(20) = 0,06(20)² – 0,820+400 = 408

Como C’(20) C = C(21) – C(20), vem:

C’(20) 0,02(21)³–0,4(21)²+40021+200)

–0,02(20)³–0,4(20)²+40020+200)

8.608,82 – 8.200 = 408,82

Logo: C(20) é o custo aproximado da produção do vigési-mo primeiro item.

Portanto, o custo marginal quando x = 20 é: C’(20) = 408

Função receita marginal

Suponha que R(x) seja a receita total obtida pela venda de xunidades de um produto e terá a seguinte definição:

Definição 4.4. Se R(x) é a receita obtida quando x unidadesde um produto são demandadas, então a receita marginal, quandox=x0, é dada por R’(x0), caso exista. A função R’(x) é chamada fun-ção receita marginal. R’(x0) pode ser positiva, negativa ou nula epode ser interpretada como a taxa de variação da receita total quan-do x=x0 unidades são demandadas.

Assim, pelo conceito de diferencial, vem:

R’(x0) R = R(x0+1) – R(x0)

Portanto, a receita marginal é aproximadamente igual à varia-ção da receita decorrente da venda de uma unidade adicional, a par-tir de x0 unidades.


UNID

ADE

4 Exemplo 4.11 Suponha que R(x) seja a receita total recebi-da na venda de x cadeiras da loja BBC, eR(x) = – 4x²+2000x. Calcular a receita marginal para x = 40.

Resolução. Inicialmente, vamos calcular a derivada da fun-ção R(x) = –4x²+2000x, ou seja:

R’(x) = – 8x+2000 e R’(40) = – 840+2000 = 1.680

Como:

R’(40) R(41) – R(40)

– 4(41)²+200041 –(–4(40)²+200040)

75.276 – 73.600 = 1.676

Logo: R’(40) é a receita efetiva da venda da quadragésimaprimeira carteira.

Portanto, a receita marginal, quando x = 40, é: R’(40)= 1.676

Exemplo 4.12 Considere a função receita total da venda de

x estantes dadas por: .

Calcular a receita marginal para: x = 50

Resolução. Calculando a derivada da função ,

temos:

R’(x) = 500 – x e R’(50) = 500 – 50 = 450

Como:

Logo: R’(50) é a receita efetiva da venda da quinquagésimaestante.

Portanto, a receita marginal, quando x = 50, é: R’(50) = 450

129129129129129Período 2

UNID

ADE

4 Função produtividade marginal

Consideremos uma função de produção P que dependa daquantidade x de um fator de produção variável. Chamamos funçãoprodutividade marginal do fator a derivada da função P em rela-ção a x.

Exemplo 4.13 A quantidade P (em toneladas) produzidapor mês de certo produto e x o trabalho mensal envolvido(medido em homens-hora) são dados pela função produ-

ção . Determinar a produtividade marginalquando x = 64.

Resolução . Vamos calcular a derivada da função

em relação a x, que é a função produtivida-de marginal do fator trabalho mensal. Logo:

ou seja:

Calculando a produtividade marginal quando x = 64, temos:

Assim, se o número de homens-hora passar de 64 para 65,o aumento na produção mensal será, aproximadamente,63,5 toneladas.

Portanto, a produtividade marginal da função produção

, quando x = 64, é 63,5 toneladas.


UNID

ADE

4 Exemplo 4.14 Considere a função produção

, onde P é a produção mensal (em tone-ladas), e H, o número de homens-hora empregados. Calcular:

a) função produtividade marginal, P’(H);

b) P’(100).

Resolução. a) Vamos calcular a derivada da função P emrelação a H. Logo:

ou seja:

Portanto, a função produtividade marginal é:

b) Agora, vamos calcular P’(100), isto é:

Portanto: P’(100) = 19

131131131131131Período 2

UNID

ADE

4


Vamos conferir se você entendeu? Resolva as ativi-dades propostas e, caso tenha dúvidas, faça umareleitura cuidadosa dos conceitos, preste atençãonos exemplos apresentados e prossiga nos estudossomente depois de sanadas as dúvidas. Não esque-ça: você pode contar com o auxílio do seu tutor.

5. Calcular dy da função y = f(x) = e–x² no ponto x0 = 0 para x = 0,01.

6. Obtenha a diferencial de no ponto x0 = 2 para x = 0,01.

7. Seja a função y = f(x) = x² – 5x, calcular y e dy para x0 = –1 e

x = 0,01.

8. O custo total da produção de x unidades de certo produto é dado por

Calcular:

a) a função custo marginal;

b) o custo marginal para x = 1.000;

c) o número de unidades produzidas quando o custo margi-

nal é R$ 600,00.

9. Dada a função custo C(x) = 0,3x³ – 2,5x² + 20x + 200, obtenha o

custo marginal para x = 50 e x = 100.

10. Dada a função custo C(x) = 0,3x³ – 2,5x² + 20x + 200, obtenha o

custo médio para x = 10. Sugestão: o custo médio, CM, é dado por:

11. Dada a função receita R(x) = – 3x² + 1.500x, obtenha a receita

marginal quando x = 250.


UNID

ADE

4 12. A receita total recebida da venda de x televisores em cores é dada

por:

Determinar:

a) a função receita marginal;

b) a receita marginal quando x = 20.

13. Dada a função receita total R(x) = – 20x² + 1.500x, determinar a

receita média para x = 10. Sugestão: a receita medida, RM, é dada

por

14. A quantidade P (em quilograma) produzida por dia de certo produ-

to e x o trabalho diário envolvido (medido em homens-hora) são da-

dos pela função produção:

Determinar:

a) a função produtividade marginal;

b) a produtividade marginal quando x = 36.

133133133133133Período 2

UNID

ADE

4

Máximos e Mínimos de uma Função

Caro estudante!

Esta seção tem como objetivo estudar aplicaçõesda derivada para determinar os valores máximos emínimos de uma função. Para isto necessitamosda seguinte definição.

Definição 4.5. Dada a função f : I ú, um ponto x0 I échamado de:

(i) ponto de máximo local (ou relativo) da função quandof(x0) f(x) para todo x I;

(ii) ponto de mínimo local (ou relativo) da função quandof(x0) f(x) para todo x I.

O valor f(x0) é chamado de máximo ou mínimo local (rela-tivo) de f e (x0, f(x0)) são as coordenadas do ponto de máximo oumínimo relativo (local) de f.

Os máximos e mínimos de uma função são também chamadosde extremos relativos.

Definição 4.6 Dada a função f(x), um ponto x0 onde f éderivável em x0 e f’(x0) = 0 ou f não é derivável em x0 é chamado deponto crítico da função f.

Exemplo 4.15 Seja a função f(x)= x³ – 3x², x ú. Determi-nar os pontos críticos de f.

Resolução. Sabemos que f(x)=x³–3x² é uma funçãopolinomial derivável em todo x ú. Calculando f’(x) te-mos: f’(x)= 3x² – 6x = 3x(x–2)

Agora f’(x)= 0 implica em 3x² – 6x = 0, ou seja, x = 0 ex = 2 são os pontos críticos da função: f(x)= x³ – 3x²


UNID

ADE

4 Exemplo 4.16 Determinar o ponto crítico da função

, x ú

Resolução. Calculando f’(x), temos

ou,

A função dada não derivável em x = 1, isto é, não existef’(1). Nesse caso, x = 1 é o único ponto crítico de f.

Exemplo 4.17 Calcular os pontos críticos da função:f(x)= x³ + x² – x + 1 no intervalo

Resolução. Inicialmente temos: se f(x)= x³ + x² – x + 1, en-tão: f’(x)= 3x² + 2x – 1

Fazendo f’(x)= 0, vem: 3x² + 2x – 1 = 0

Resolvendo a equação pela fórmula de Báskara encontra-

mos as raízes: x = –1 e

Portanto, x = –1 e são os pontos críticos de:

f(x)= x³ + x² – x + 1 em

Definição 4.7 Seja f uma função derivável em x0, se f tem ummáximo ou mínimo relativo (ou local) em x0, então: f’(x0)= 0

Por exemplo, a função f(x)= x², para x (–1,1) tem derivada:f’(x)= 2x Em x = 0, a função tem um mínimo relativo e f’(0)= 0.

Vimos na Unidade 1 que, dada uma função f : I ú, f é cres-cente no intervalo I quando dados x1, x2 I, quaisquer, com x1 x2,temos f(x1) f(x2) E f é decrescente no intervalo I quando dados x1, x2 I,quaisquer, com x1 x2, temos f(x1) f(x2)

O teorema a seguir estabelece um critério para determinar ondeuma função f é crescente ou decrescente.

135135135135135Período 2

UNID

ADE

4Teorema 4.1 Seja f(x) uma função derivável no intervalo (a,b),então:

(a) Se f’(x)= 0 em (a,b), então f(x) é constante em (a,b);

(b) Se f’(x)> 0 em (a,b), então f(x) é crescente em [a,b];

(c) Se f’(x)< 0 em (a,b), então f(x) é decrescente em [a,b].

Exemplo 4.18 Seja f(x)= x². Determinar os intervalos ondef é crescente e decrescente.

Resolução. Temos f(x)= x² e f’(x)= 2x.

Agora, f’(x)= 2x 0 quando x 0, então f’(x) 0; logo, f édecrescente em (–,0] e f’(x)= 2x 0 quando x 0, então:f’(x) 0; Logo: f é crescente em [0, +)

Utilizando o sistema de sinais podemos interpretar assim:

x

x < 0

x > 0

f(x)

–

+

Conclusão

f(x) decrescente em (–,0]

f(x) crescente em [0, +)

Veja a figura a seguir:

Figura 25


UNID

ADE

4 Exemplo 4.19 Determinar os intervalos onde f é crescente edecrescente onde: f(x)= x³

Resolução. De f(x)= x³ temos: f’(x)= 3x² Agora, 3x² 0, en-tão: f’(x) 0, para todo x ú e f é crescente em ú.

Exemplo 4.20 Seja f(x)= x³ – 6x²+9x+1, definida para todox real, determinar os intervalos onde f é crescente e decres-cente.

Resolução. Temos f(x)= x³ – 6x²+9x+1, então: f’(x)= 3x² –12x + 9 Agora, fazendo f’(x) 0, vem: 3x² – 12x + 9 = 0Resolvendo esta equação pela regra de Báskara, temos asraízes x = 3 e x = 1. Logo: f’(x)= 3(x–1)(x–3)

Utilizando o sistema de sinais podemos interpretar assim:

Portanto, f(x) é crescente em (–,1] e [3, ) e decrescenteem [1,3]. Também x = 3 e x = 1 são extremos da função(pontos críticos).

Teste da Segunda Derivada para Extremos Relativos

O teste da segunda derivada para extremos relativos é empre-gado para pesquisar o(s) ponto(s) de máximo(s) e mínimo(s) relativosde uma dada função e para isso temos a seguinte definição:

Definição 4.8. Seja x0 um ponto crítico de uma função naqual f’(x0)= 0 e f’ existe para todos os valores de x em algum intervaloaberto que contenha o ponto x0, então f’’(x0) existe e:

x

1

x < 1

1 < x < 3

x = 3

x > 3

f(x)

0

+

–

0

+

Conclusão

ponto crítico de f

f é crescente

f é decrescente

ponto crítico de f

f é crescente

137137137137137Período 2

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ADE

4(i) se f’’(x)< 0, então f tem um valor máximo relativoem x0;

(ii)se f’’(x)> 0, então f tem um valor mínimo relativoem x0.

Exemplo 4.21 Pesquisar máximos e mínimos relativos da

função pelo critério ou teste da segun-

da derivada.

Resolução. Temos: , Então: f’(x)= 4x³ + 4x² – 8x

Agora, f’(x)= 0, vem:

4x³ + 4x² – 8x = 0

Fatorando a expressão 4x³ + 4x² – 8x = 0 vem:

4x(x² + x – 2) = 4x(x+2)(x–1) = 0

A partir dessa fatoração fica claro que f’(x) será igual azero se e somente se

x = 0, x = –2 e x = 1

Logo: x = 0, x = –2 e x = 1 são pontos críticos da função f.

Vamos analisar, agora, os pontos críticos obtidos separa-damente. Calculando f’’(x) temos:

f’’(x)= 12x² + 8x – 8

Analisando para x = 0, vem: f’’(0)= 120² + 80 – 8 = –8<0Assim: x = 0 é um ponto de máximo relativo da função f eseu valor no ponto x = 0 é:

ou f(0) = 0

Analisando para x = 1, vem: f’’(1)= 121² + 81 – 8 = 12>0Assim, x = 1 é um ponto de mínimo relativo da função f eseu valor no ponto é:

ou

Finalmente, analisando para x= –2, vem:

f’’(–2)= 12(–2)² + 8(–2) – 8 = 124 – 16 – 8= 24>0


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4 Assim, x= –2 é um ponto de mínimo relativo da função f eseu valor no ponto é:

ou seja:

Portanto, x= 0 é um ponto de máximo relativo da função f,x= 1 é um ponto de mínimo relativo da função f e x= –2 éum ponto de mínimo relativo da função f. Veja a figura aseguir:

Figura 26

Exemplo 4.22 Encontrar os extremos relativos da funçãof(x)= x³ – 6x² +9x +1 usando o critério da segunda derivada.

Resolução. Temos: f(x)= x³ – 6x² +9x +1 Então:

f’(x)= 3x² –12x +9 e f’’(x)= 6x –12

Agora, para calcular os pontos críticos de f é só igualarf’(x) a zero, ou seja, f’(x)=0, isto é: 3x² –12x +9

Fatorando vem: 3(x –3)(x–1) = 0

A partir dessa fatoração fica claro que f’(x) será zero se esomente se x= 1 e x= 3.

Logo: x= 1 e x= 3 são pontos críticos de f.

Vamos determinar agora os extremos relativos de f.

139139139139139Período 2

UNID

ADE

4Para x= 1, temos f’’(1)= 61 –12 = –6<0, logo x= 1 é umponto de máximo relativo da função f.

Para x= 3, temos f’’(3)= 63 –12 = 6>0, logo x= 3 é umponto de mínimo relativo da função f.

Portanto, x= 0 é um ponto de máximo relativo da função fe x= 3 é um ponto de mínimo relativo da função f.

Veja a figura a seguir:

Figura 27

Exemplo prático

Exemplo 4.23 A empresa “Sempre Alerta” produz determi-nado produto com um custo mensal dado pela função:

.

Cada unidade desse produto é vendida por R$ 31,00. De-terminar a quantidade que deve ser produzida e vendidapara dar o máximo lucro mensal.

Resolução. Seja x a quantidade a ser produzida e vendidapara dar o máximo lucro mensal. O lucro mensal é dado:

Lucro(L) = Receita(R) – Custo(C)


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ADE

4 Assim:

ou ainda:

Calculando a derivada primeira da função lucro, em rela-ção a x, temos:

L’(x) = –x²+4x+21 e L’’(x) = –2x+4

Agora, para calcular os pontos críticos de L é só igualarL’(x) a zero, ou seja, L’(x)=0 e vem –x²+4x+21=0. Resol-vendo essa equação pela fórmula de Bháskara, temos asraízes x= –3 e x=7.

Logo, x= –3 e x=7 são os pontos críticos de L.

Vamos determinar agora os extremos relativos de L.

Para x= –3, temos L’’(–3) = (–2)(–3)+4 = 10>0, logo, éum ponto de mínimo relativo de L.

Para x=7, temos L’’(7) = –27+4 = –10<0, logo, é um pontode máximo relativo de L.

Portanto, a quantidade a ser produzida e vendida para daro máximo lucro mensal é x=7.

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4


Entendeu? Para certificar-se, procure, resolver asatividades propostas.

15. Seja: f(x) = x³ + x² – 5x – 5

a) Determine os pontos críticos de f.

b) Determine os intervalos onde f é crescente e decrescente.

16. Seja: Determine:

a) os pontos críticos,

b) os intervalos onde f é crescente e decrescente,

c) os valores máximos e mínimos de f.

17. O custo total de produção de x aparelhos de certa TV de Plasma por

dia é e o preço unitário que elas podem ser ven-

didas é cada. Qual deve ser a produção diária para que

o lucro seja máximo?

18. A produção de bicicletas da empresa “Roda Viva” por mês, é de

custo dado por: C(x) = 100+ 3x. Se a equação de demanda é:

Obtenha o número de unidades que devem ser produzi-

das e vendidas para maximizar o lucro mensal.

19. A equação de demanda de um produto é p = 30 – 5ln x

Determinar:

a) a função receita R(x);

b) o valor de x que maximiza a receita.


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4

Saiba mais...

Para melhor compreensão dos conteúdos estuda-dos nesta Unidade, consulte:

AYRES, Frank. Cálculo diferencial e integral. 3. ed. São Paulo: MakronBooks, 1994.


MUROLO, Afrânio Carlos; BONETO, Giácomo Augusto. Matemática aplicadaà administração, economia e contabilidade. São Paulo: Pioneira ThomsonLearning, 2004.


WHIPKEY, Kenneth L; WHIPKEY, Mary Nell. Cálculo e suas múltiplasaplicações. 3. ed. Rio de Janeiro: Campus, 1982.

143143143143143Período 2

UNID

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4r

RRRRResumindoesumindoesumindoesumindoesumindoNesta Unidade você estudou a importância do Teorema

do Valor Médio e verificou que a fórmula de Taylor é uma exten-

são desse teorema. Compreendeu uma das mais importantes

aplicações da derivada na construção ou esboço do gráfico de

uma função na determinação de seus valores máximos e míni-

mos e sua concavidade usando a derivada segunda e aplicou

derivada em algumas funções marginais.

Chegamos ao final da Unidade 4. Ao longo dela,desenvolvemos importantes considerações sobreaplicações da derivada de uma função. É importan-te que você tenha tido boa compreensão dessesconceitos. Mas, caso tenha ficado alguma dúvida,proceda como das outras vezes: releitura cuidado-sa dos conceitos e contate seu tutor. Além disso,busque informações em materiais auxiliares, comoos disponíveis no AVEA e as indicações sugeridasno Saiba mais e, ainda, debata com colegas a res-peito dos assuntos aqui apresentados.


UNID

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4 RRRRResesesesespospospospospostttttas as atividades deas as atividades deas as atividades deas as atividades deas as atividades deaprapraprapraprendizagemendizagemendizagemendizagemendizagem

1. c = –1+ 2

2. c = 0

3. f(x) = 1 – (x–1)+(x–1)² – (x–1)³+...+(–1)n+(–1)n+1(x–1)n+1

4.

5. dy = 0

6. df = 0,1

7. y = –0,0699 e dy = –0,0700

8. a) b) 750 c) 4.000

9. 2.020 e 8.520

10. CM = 45

11. R’(250) = 0

12. a) b) 670

13. 1.300.

14. a) b) 15,33

15. a) 1 e

b) f é crescente no intervalo

f é decrescente no intervalo

f é crescente no intervalo x > 1

16. a) 2 e –3

b) f é crescente no intervalo x < – 3

f é decrescente no intervalo –3 < x < 2

f é crescente no intervalo x > 2

`̀̀̀̀

145145145145145Período 2

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4

c) em x = – 3, f tem ponto de máximo e em x = 2, f tem ponto

de mínimo.

17. 10 aparelhos de TV Plasma por dia.

18. 33 bicicletas.

19. a) R(x) = 30x – 5xln x b) x = e5

Caro estudante!

Chegamos ao final da disciplina de Matemática paraAdministradores. Nosso desejo é que você tenhaobtido bons resultados durante o processo de en-sino-aprendizagem, pois essa foi a razão do nossoempenho.

Esperamos que seu investimento: tempo e esforço,tenha valido a pena.

De nossa parte, foi um prazer estar com você!


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4

147147147147147Período 2

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4�^̂̂̂̂RRRRRefefefefeferererererenciasenciasenciasenciasenciasAYRES, Frank. Cálculo diferencial e integral. 3. ed. São Paulo:Makron Books, 1994.

FLEMMING, Diva Maria; GONÇALVES, Miriam Buss. Cálculo A:Funções, Limite, Derivação, Integração. 5. ed. São Paulo: MakronBooks, 1992.

GOLDSTEIN, Larry J.; LAY, David C.; SCHNEIDER, David I.Matemática aplicada: economia, administração e contabilidade.8. ed. Porto Alegre: Bookman, 2000.

KUELKAMP, Nilo. Cálculo 1. 3. ed. Florianópolis: UFSC, 2006.

LEITHOLD, Louis. O cálculo com geometria analítica. Vol. 1, 2. ed.São Paulo: Harbra, 1994.

MORETTIN, Pedro A.; HAZZAN, Samuel; BUSSAB, Wilton de O.Cálculo-funções de uma e várias variáveis. São Paulo: Saraiva,2005.

MUROLO, Afrânio Carlos; BONETO, Giácomo Augusto.Matemática aplicada à administração, economia e contabilidade.São Paulo: Pioneira Thomson Learning, 2004.

SILVA, Sebastião Medeiros da; SILVA, Elio Medeiros da; SILVA,Ermes Medeiros da. Matemática: para os cursos de economia,administração e ciências contábeis. 3. ed. São Paulo: Atlas, 1988.

TAN, Sao Tang. Matemática Aplicada à Administração e Economia.São Paulo: Pioneira Thomson Learning, 2001.

WHIPKEY, Kenneth L.; WHIPKEY, Mary Nell. Cálculo e suasmúltiplas aplicações. 3. ed. Rio de Janeiro: Campus, 1982.


MIN

ICUR

RÍCU

LO FFFFFererererernando Guernando Guernando Guernando Guernando Guerrrrrraaaaa

Licenciado em Matemática pela

Universidade Presidente Antônio

Carlos de Barbacena (1974/Minas

Gerais), possui graduação em Admi-

nistração pela Universidade Federal de

Santa Catarina (1989) e é Mestre em Teoria (Ciência) da Infor-

mação (UFSC, 1980). Atualmente é professor adjunto da Uni-

versidade Federal de Santa Catarina, Departamento de Matemá-

tica, desde 1978 e participa da EaD-UFSC desde 2006. Tem

experiência na área de Finanças, com ênfase em Matemática

Financeira, Análise de Investimentos e Avaliação de Empresas.

Possui publicações dos livros: Matemática Financeira Através

da HP-12C; e Integrando Matemática Financeira com Excel, em

coautoria com Adilson Almeida.

Inder JeeInder JeeInder JeeInder JeeInder Jeet Tt Tt Tt Tt Taneaneaneaneanejajajajaja

É doutor (Ph.D.) pela Universidade de

Délhi (1975/Índia) e Pós-doutor nas áreas

de Teoria (Ciências) da Informação (1983-

1984/Itália) e Estatística (1989-1990/

Espanha). É pesquisador, nas área de con-

centração em Teoria (Ciência) da Informa-

ção, na qual tem cerca de 80 artigos, 5 capítulos e 1 livro publi-

cados – seus trabalhos têm mais de 400 citações. Atualmente é

professor Titular do Departamento de Matemática de Universi-

dade Federal de Santa Catarina, onde leciona diversas discipli-

nas de Matemática desde 1978.

matemática para administradores -...

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