Introdução Geral.........................................................................................4

Crescimento e a Natureza………………………………………………...6

Números de Fibonacci…………………………………………..….8

Gnomons…………………………………………………………..23

Crescimento Populacional………………………………………………38

Let The Nature Be Your Teacher Introdução geral

Aos estudarmos matemática, muitas vezes não temos noção da sua ligação a determinados aspectos que nos envolvem. Conceitos estes que abrangem a natureza, população, pintura, arte, anatomia, arquitectura, indústria e comércio, etc. O nosso trabalho tem como objectivo mostrar a relação entre a matemática e a vida real, em particular a maneira como o crescimento da natureza e o crescimento da população têm uma ligação muito forte com a matemática. Existem dois grandes temas neste trabalho: Crescimento e a Natureza Crescimento Populacional Os dois temas são completamente distintos e daí termos sido obrigados a fazer apresentações diferentes do trabalho. O tema Crescimento e a Natureza têm uma apresentação em Powerpoint muito interessante, que desde já aconselhamos a consultar, pois tem muitas figuras e exemplos que torna bastante apelativa a exposição do tema. O tema Crescimento Populacional não tem apresentação em Powerpoint, mas contêm uma vasta gama de acetatos que podem ser consultados na parte dos Anexos. O nosso índice não é muito remissivo, em virtude dos conceitos estudados estarem muito interligados e não ser possível fazer uma divisão estanque entre eles.

Fazer Capa a dizer O

crescimento e a Natureza

Crescimento e a Natureza

Introdução

• Quando um bebé começa a crescer, será que lhe vão crescer novas pernas? Ou será que lhe vai crescer outra cabeça?

• Se uma árvore pequena for da seguinte forma:

• Será que ao crescer torna-se assim?

A sociedade evoluiu de tal forma, que muitas vezes não temos tempo para parar e dar uma olhadela para o mundo que nos rodeia!

Este trabalho tem por objectivo despertar a atenção para, o modo como certos comportamentos da natureza se regem por determinados padrões, padrões estes, que estão associados a alguns conceitos matemáticos:

-Fórmula de Binet; -Números de Fibonacci; -Sequência de Fibonacci; -Gnomons; -Crescimento Gnomático; -Razão de ouro; -Rectângulos de ouro; -Triângulos de ouro; -Semelhanças;

Estes padrões não vão influenciar somente a natureza, também se

vão verificar em outros aspectos da vida em sociedade, como por exemplo, na arte, na pintura, na arquitectura, na indústria e comércio, na anatomia...

Esta parte do trabalho divide-se em dois grandes sub temas, Números

de Fibonacci e Gnomons (optámos por deixar o nome em Inglês pois os significados que encontrámos para a palavra em português, não se enquadravam com o tema em estudo).

O primeiro sub tema contém muitas coincidências (ou talvez não…), entre diversos conceitos matemáticos, deste modo começamos por relacionar os conceitos e damos os exemplos no fim. No sub tema Gnomons os exemplos são dados ao longo da exposição da matéria pois como se trata de um tema a ver com geometria pensamos que são mais fáceis de entender através de exemplos.

Números de Fibonacci

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, …………..

Esta sequência é a chamada Sequência de Fibonacci, em que o primeiro e segundo termo são um, e os restantes termos são a soma dos dois termos anteriores. Esta sucessão tem-se revelado bastante produtiva e aparece em diversas áreas da matemática e da ciência. Existe um jornal chamado Fibonacci Quarterly que se dedica ao estudo da matemática relacionado com esta sucessão.

Mas será que a lista de números de Fibonacci acaba?

Claro que não. Conseguimos sempre definir um número à custa dos dois anteriores, como tal é uma sequência infinita, e como em todas as outras sequências há uma ordem definida para os números de Fibonacci.

A notação mais usual para descrever os números de Fibonacci é um

F com um índice que representa o termo da sequência. Por exemplo 10F

representa o décimo número de Fibonacci, que é 55.

Tendo em vista o que foi referido nF representa o enésimo termo da sequência de Fibonacci. Assim

Números de Fibonacci

1

2

1 2

1

1

, 2n n n

F

F

F F F n− −

=

=

= + >

Fazendo uso desta definição podemos calcular todos os números de Fibonacci!...

Então vamos calcular 31F ?!

Sabendo o 30F e o 29F é fácil, mas para saber estes dois termos, temos que calcular todos os termos anteriores, o que dá bastante trabalho!

Observando a seguinte tabela, efectuada através de uma folha de cálculo, facilmente obtemos o resultado:

Termos da Sucessão Números

de Fibonacci de Fibonacci

1 1

2 1

3 2

4 3

5 5

6 8

7 13

8 21

9 34

10 55

11 89

12 144

13 233

14 377

15 610

16 987

17 1597

18 2584

19 4181

20 6765

21 10946

22 17711

23 28657

24 46368

25 75025

26 121393

27 196418

28 317811

29 514229

30 832040

31 30 29 31 31832040 514229 1346269F F F F F= + ⇔ = + ⇔ =

Uma definição de uma sequência em que um novo número é definido à custa de outros dois anteriores é chamada uma definição recursiva, portanto a nossa definição dos números de Fibonacci é uma definição recursiva.

Enquanto as definições recursivas têm uma teoria elegante e simples, na prática são muito limitadas, como vimos no exemplo anterior.

Imaginemos então o que é calcular o 1000F …

Pelo processo já conhecido é bastante doloroso! Mas existirá outra maneira de o calcular?

Existem outras maneiras!

A chamada fórmula de Binet, dado o número do termo, calcula directamente o valor do número de Fibonacci, muitos autores dizem que foi descoberta por Jacques Binet (1786-1856) em 1843 e por isso conhecida por Fórmula de Binet, mas existe uma grande ambiguidade em relação a quem descobriu a fórmula, alguns autores dizem que foi Leonhard Euler, e outros dizem que foi Moivre. Certos autores afirmam mesmo que Moivre tinha encontrado um método para encontrar uma fórmula para qualquer sequência de números similar à sequência de Fibonacci.

Como tantos outros resultados em Matemática, nem sempre quem descobriu ficou com a glória de ter o seu nome associado ao resultado…

Formula de Binet

1 5 1 5

2 2

5

n n

nF

+ −− =

Esta fórmula apresenta uma grande vantagem em relação à definição recursiva, pois dá-nos uma regra explícita para calcular qualquer número de Fibonacci, sem antes ter de calcular os números de Fibonacci precedentes. Como tal, esta fórmula é uma definição iterativa dos números de Fibonacci.

As constantes que aparecem na fórmula de Binet são as três, números irracionais, então só podemos ter valores aproximados deles.

5 2.236067977...

1 5 0.6180339887

1 5 1.6180339887

=

− = −

+ =

O último destes números vai ser particularmente importante no desenrolar deste trabalho.

Até ao aparecimento dos computadores, o uso prático da fórmula de Binet era muito limitado, pois aparecem potências de números irracionais, nos dias de hoje torna-se esta fórmula é muito útil pois com o uso das novas tecnologias, poupa-nos muito tempo e trabalho.

A equação 2 1x x= + e o número de ouro

Consideremos a seguinte equação2 1x x= + , à primeira vista parece

estar deslocada do tema que estamos a estudar. Trata-se de uma equação de segundo grau que facilmente se calculam as soluções. As soluções da equação são:

1 5

2

+ e

1 5

2

−

Estes números já nos são familiares, eles aparecem na fórmula de Binet.

Prestemos atenção à solução positiva 1 5

2

+ . Este número é

suficientemente importante para lhe ser atribuído um símbolo e um nome.

A este número é chamado número de ouro e é representado pela

letra grega Φ (Phi), ou seja, 1 5

2

+Φ =

Vamos então exemplificar um dos raciocínios que se usava para explicar este número:

Considere-se um segmento de recta, de extremidades A e C, e colocando um ponto B entre A e C (neste caso o ponto B estará mais perto de A), de maneira a que a razão do segmento de recta mais pequeno (AB) para o maior (BC) seja igual à razão do maior segmento (BC) para o segmento todo (AC):

A razão entre os comprimentos destes segmentos designa-se habitualmente por secção áurea.

Equacionalmente tem-se:

(AB) / (BC) = (BC) / (AC)

Estamos então preparados para definir o número de ouro.

Se fizermos: AB = y

BC = x

AC = x + y

O número de ouro vai ser a razão entre x e y:

y / x = x / (x + y)

Se substituirmos ainda y por 1 tem-se:

1 / x = x / (x+1)

Multiplicando em cruz, obtém-se:

2 2( 1) 1x x x x+ = ⇔ = +

Resolvendo esta equação quadrática, obtém-se as seguintes soluções:

x1 = 1 5

2

+ ; x2 = 1 5

2

−

Não se irá considerar o segundo valor (x2), pois o comprimento de um segmento, nunca poderá ser negativo.

Chega-se então ao que se pretende, isto é, encontrou-se o tão esperado número de ouro Φ (Phi):

Φ=1 5

2

+

Então Φ Pé solução da equação 2 1x x= − o que significa que

2 1Φ = Φ +

Usando este facto repetidamente podemos calcular outras potências de Φ . Multiplicando ambos os lados da equação Ppor Φ , ficamos

com3 2Φ = Φ +Φ de seguida substituímos

2Φ por 1Φ+ , donde vem 3 2 1Φ = Φ +

Para encontrar 4Φ usamos o mesmo processo, e obtemos 4 3 2Φ = Φ +

Continuando o mesmo processo

5

6

7

5 3

8 5

13 8

Φ = Φ +Φ = Φ +Φ = Φ +

.

.

.

Temos

n fn

n = fn + f n-1

= n-1 +

n-2

= n+1 -

n-1

= n+2 -

n+1

1 1 = + 0 = 1 + -1

2 1 2 = + 1 = + 1

3 2 3 = 2 + 1 = 2 + = 5 - 4

4 3 4 = 3 + 2 = 3 + 2 = 6 - 5

5 5 5 = 5 + 3 = 4 + 3

6 8 6 = 8 + 5 = 5 + 4

7 13 7 = 13 + 8 = 6 + 5

8 21 8 = 21 + 13 = 7 + 6

9 34 9 = 34 + 21 = 8 + 7

10 55 10 = 55 + 34 = 9 + 8

Acabamos por verificar a relação existente entre os números de Fibonacci e as potências de Φ , relação esta que pode ser descrita pela seguinte fórmula:

1n

n nF F−

Φ = Φ +

Em resumo, esta fórmula é o inverso da Fórmula de Binet, na

Fórmula de Binet usamos potências de Φ para calcular números de Fibonacci, aqui usamos números de Fibonacci para calcular potências de

Φ .

A terceira ligação entre os números de Fibonacci e o número de ouro é possivelmente a mais surpreendente. O que será que acontece quando dividimos dois números de Fibonacci consecutivos?

Termos da

Sucessão Números fn / f n-1

de Fibonacci de Fibonacci

1 1 1

2 1 1

3 2 2

4 3 1,5

5 5 1,666666667

6 8 1,6

7 13 1,625

8 21 1,615384615

9 34 1,619047619

10 55 1,617647059

11 89 1,618181818

12 144 1,617977528

13 233 1,618055556

14 377 1,618025751

15 610 1,618037135

16 987 1,618032787

17 1597 1,618034448

18 2584 1,618033813

19 4181 1,618034056

20 6765 1,618033963

21 10946 1,618033999

22 17711 1,618033985

23 28657 1,61803399

24 46368 1,618033988

25 75025 1,618033989

26 121393 1,618033989

27 196418 1,618033989

28 317811 1,618033989

29 514229 1,618033989

30 832040 1,618033989

… … ...

O que acontece?

Parece que depois de uma oscilação na razão dos primeiros termos, a razão assenta no valor aproximado 1,61803…

Razão f n / f n-1

0

0,5

1

1,5

2

2,5

ordem dos termos

f n / f n-1

Série1

Mas, se estudarmos a razão entre dois números consecutivos de Fibonacci maiores, e escrevermos o valor obtido com um maior número de casas decimais, o que está a acontecer torna-se mais aparente.

Por exemplo:

99

98

100

99

1.61803398874989484820458683436563811772033

1.61803398874989484820458683436563811772030

F

F

F

F

=

=

A diferença entre as duas razões anteriores torna-se insignificante.

O número mágico de qual a razão se aproxima é o nosso número de

ouro Φ , e quanto maior forem os números de Fibonacci usados na razão

maior será a aproximação a Φ .

Plantas:

O número de pétalas das margaridas é constantemente, um número de Fibonacci:

Margaridas Azuis – 13 pétalas

Margaridas Inglesas – 21 pétalas

Margaridas Africanas – 55 pétalas

Existem ainda outras flores onde isto acontece (lírios, crisântemos, gerânios).

Algumas plantas apresentam ainda os números de Fibonacci no crescimento dos seus galhos:

Animais

- Os números de Fibonacci aparecem por vezes associados à reprodução dos coelhos e das abelhas, mas estes exemplos não são reais pois partem de determinadas condições que nem sempre acontecem.

Anatomia do Homem

- Temos cabeça, tronco e membros - Nos nossos membros superiores, temos - 2 Braços; - 2 Mãos; - Numa mão temos: - 5 Dedos; - Em cada dedo temos: - 3 Partes separadas por 2 articulações ou 2 partes separadas por uma 1 articulação

Triângulo de Pascal A soma dos números das diagonais dá sempre um número de Fibonacci

Divisões Contínuas

Ao efectuarmos as contas das divisões contínuas (definidas do seguinte modo) observamos que os números de Fibonacci vão aparecer nos numeradores e denominadores dos resultados:

1 1 111 1 11 1

11 1111

1 1 1 11 2 3 4 511 1 1 1

1

3 51 21 2 3 4 52 3 5 8

1

11, , , , ,...,

1

1, , , , ,...

n

n

nn

n

f f f f f ff

Ff f f f f f

F

+ + ++ +

+

+ + + +−

+

= = = = = =+

= = = = = =

Pintura A razão entre as medidas dos lados dos quadros tende para o número de ouro

Arquitectura

Falaremos mais destes assuntos quando falarmos de Rectângulos de Ouro

Dimensões áureas do Homem

Se efectuarmos a razão entre as medidas dos nossos membros, essa razão tende para o número de ouro

Indústria, Comércio e Publicidade

- Cartazes publicitários; - Cartões de Crédito; - Revistas, jornais; (A razão entre as medidas dos lados tende para o número de ouro) - Títulos de livros; (A razão entre a medida do comprimento da lombada e a medida do nome do livro tende para o número de ouro)

Gnomons Na Grécia antiga, o significado da palavra gnomon é “Aquele que

sabe”, por isso, não é surpresa que a palavra tenha um significado no vocabulário dos matemáticos…

Em Geometria, um gnomon é uma figura geométrica (G) que quando associada (sem partes separadas) convenientemente a outra figura geométrica (A), resulta numa figura (G&A) semelhante no sentido geométrico à figura (A).

Informalmente G é um gnomon para A se G&A é semelhante a A, o símbolo & deve ser interpretado com o significado “juntas de modo apropriado”.

Não é dada muita importância aos Gnomons no contexto da geometria, mas eles desempenham um papel importante no crescimento espiral.

O estudo dos Gnomons remonta a 2300 anos atrás por Aristóteles e os seus discípulos.

Antes de aprofundarmos o conceito de Gnomons vamos aprofundar o conceito de semelhança geométrica. Sabemos que em geometria dois objectos são semelhantes se um for obtido à escala de outro (redução, ampliação, igual).

Por exemplo, quando projectamos a imagem de um slide e a projectamos numa tela, criamos uma imagem semelhante mas maior. Outro exemplo é uma redução, ou ampliação de uma imagem numa fotocopiadora.

Aqui ficam alguns resultados básicos de semelhança de figuras geométricas, que vamos utilizar:

- Dois triângulos são semelhantes se os seus lados, são proporcionais, alternativamente dois triângulos são semelhantes se a medida dos seus respectivos ângulos for a mesma;

- Dois quadrados são sempre semelhantes;

- Dois rectângulos são semelhantes se os seus lados são proporcionais, isto é, se

1 1

2 2

ladomaior ladomenor

ladomaior ladomenor=

- Duas circunferências são sempre semelhantes;

- Dois anéis circulares são semelhantes se os seus raios interiores e exteriores são proporcionais:

1 int 1

2 int 2

raioexterior raio erior

raioexterior raio erior=

Exemplos:

Exemplo 1:

O quadrado A tem a figura em forma de L, G como gnomon porque quando G é “encaixado” em A formam outro quadrado, logo A e A’ são semelhantes, pois dois quadrados são sempre semelhantes.

Notas:

- G é um gnomon de A, mas A não é um gnomon de G, pois se considerarmos G (em forma de L) a nossa figura, e A (quadrado) o possível

gnomon, a figura obtida com a junção das duas anteriores, nunca dá uma figura em forma de L, e portanto não é semelhante à figura original G.

- Os Gnomons para uma figura não são únicos, existem outros Gnomons para o quadrado A, para além de G.

Exemplo 2:

A circunferência C tem como gnomon o anel G (não sendo o único), o raio interior de G tem de ser r e o raio exterior de G pode ser qualquer número R maior que r. Quando encaixamos o anel G na circunferência C, obtemos uma nova circunferência C’ que é semelhante a C, pois todas as circunferências são semelhantes.

Exemplo 3:

Considerando agora o anel C com o raio exterior r e outro anel H com raio interior r e raio exterior R (qualquer). Será que H é um gnomon para o anel C?

Qualquer pessoa é tentada a pensar que com uma escolha apropriada para o raio exterior talvez funcione, mas nunca vai dar. Não importa o valor que escolhemos para o raio exterior do anel H, quando encaixamos os dois anéis, C e H, o anel resultante C’ nunca vai ser semelhante a C. Pois o raio interior de C’ continua o mesmo de C, mas o raio exterior é muito maior. Não se mantendo portanto a proporcionalidade.

Exemplo 4:

Suponhamos que temos um rectângulo R de altura h e base b. A figura geométrica com a forma do L ( G ), é um gnomon para o rectângulo R se a razão b/h e y/x (ver figura seguinte) for igual. Neste caso G pode ser “encostada” a R, de modo a que juntas formem um rectângulo R’ semelhante a R. Uma maneira muito simples de construir o gnomon em forma de L (G) é notando que a diagonal do rectângulo original R é também a diagonal do canto de G.

Exemplo 5:

No exemplo seguinte vamos fazer as coisas de modo inverso. Vamos começar com um triângulo isósceles a que vamos chamar T, cujos vértices são B, C e D, e a medida dos seus ângulos são 72º, 72º e 36º respectivamente como é mostrado na figura.

No lado DC, marcamos o ponto A, de modo que BA seja congruente com BC. O triângulo T’ cujos vértices são C, B e A é também um triângulo isósceles, em que os ângulos em C e A são congruentes. Deste modo, T’ vai ter ângulos de medidas 72º, 36º e 72º. Assim T’ vai ser semelhante ao nosso triângulo original T.

E daí? Podem perguntar!!!!!!

Onde está o gnomon para o triângulo T? Ainda não temos nenhum, por enquanto…

Mas já temos um gnomon para o triângulo T’, que é o triângulo G’, cujos vértices são A, B e D.

Depois deste processo, quando o triângulo G’ é ligado ao triângulo T’, obtemos o triângulo T. Note-se também que o gnomon G’ é também um triângulo isósceles, cujos ângulos têm por medidas 36º, 36º e 108º.

Agora já sabemos como encontrar um gnomon, não só para o triângulo T’, mas também para qualquer triângulo cujas medidas dos

ângulos sejam 72º, 72º, 36º: ligando um triângulo de medidas de ângulos 36º, 36º, 108º a um dos lados maiores do triângulo original.

Se repetirmos este processo indefinidamente, obtemos uma série em espiral de triângulos que vão ter sempre as medidas de ângulos 72º, 72º, 36º. .

Fazendo uma analogia com famílias, podemos dizer que os triângulos T e G são os pais, onde T é o gene dominante, o descendente desta união sai semelhante a T (só que maior), o descendente do descendente vai ser semelhante também a T só que ainda maior que o descendente, e por aí fora….

Este exemplo tem um interesse especial por duas razões. Primeiro porque pela primeira vez temos um exemplo onde a figura original e o seu gnomon são do mesmo tipo (triângulos isósceles). Segundo, porque os triângulos isósceles desta “história” (72º, 72º, 36º e 36º, 36º, 108º) têm uma propriedade que os torna únicos: em ambos os casos a razão da medida dos seus lados (o lado maior sobre o lado menor) é o número de ouro. Estes são os únicos triângulos isósceles que têm esta propriedade e por esta razão são chamados triângulos de ouro.

Exemplo 6:

Neste exemplo começamos com um rectângulo R, cujo lado menor tem medida um e o lado maior tem medida x.

Nós gostaríamos de descobrir se é possível encontrar um gnomon quadrado (G) para este rectângulo, e se for possível, saber qual o valor de x.

A razão pela qual estamos interessados nesta questão é porque estes quadrados desempenham um papel fundamental no processo de construção da natureza, o que os torna Gnomons especiais.

Para R’ ser semelhante a R, temos de ter

' 'ladomaiorR ladomenorR

ladomaiorR ladomenorR=

isto é:

211

1

x xx x

x

+= ⇔ = +

Como x é a medida do lado maior do rectângulo R, x tem que ser a

solução positiva da equação 2 1x x= + , que é o número de ouro.

A nossa escolha para a dimensão do rectângulo R (x e 1) é ditada por conveniência para a simplificação dos cálculos, mas o que é verdade para R, também é verdade para qualquer rectângulo semelhante a R: qualquer rectângulo cujos lados são em proporção ao número de ouro tem como gnomon um quadrado e vice-versa.

Estes rectângulos são chamados rectângulos de ouro.

- Uma das mais maravilhosas construções da antiguidade, O Parthenon de Atenas, Grécia, já tem a forma de um rectângulo de ouro

- Na arte, um dos quadros que ficou bastante conhecido e onde se encontra o rectângulo de ouro, é na Gioconda (em 1505) de Leonardo Da Vinci. Não só o quadro é um rectângulo de ouro, se repararmos no seu rosto também está inscrito um rectângulo de ouro, assim como na sua boca e formato dos olhos. Na altura, este quadro foi uma inovação, que se desenvolveu também com a ajuda de Luca Pacioli, autor da Divina Proporção.

Qualquer rectângulo de ouro tem um gnomon quadrado, este resultado leva-nos a mais um resultado interessante, como vamos ver de seguida:

Consideremos um quadrado de lado 1, associemos a esse quadrado outro

quadrado de lado 1, temos um rectângulo de dimensões 1 por 2, associemos

a este rectângulo um quadrado de lado 2 (um gnomon do rectângulo),

colocamos este quadrado junto ao lado maior do rectângulo 1 por 2,

obtemos um novo rectângulo de dimensões 3 por 5, associemos a este

rectângulo um quadrado de lado 5 (um gnomon do rectângulo), obtemos

um novo rectângulo de dimensões 5 por 8…

Se continuarmos este processo infinitamente vamos obter sempre

rectângulos de ouro.

Reparemos agora que os quadrados que aparecem têm por dimensões

1, 1, 2, 3, 5, 8, …..

E os rectângulos que se obtêm têm por medidas de lados estes

números!

1º Rectângulo a aparecer tem por dimensões 2 – 1;

2º Rectângulo aparecer tem por dimensões 3 – 2;

3º Rectângulo a aparecer tem por dimensões 5 – 3;

…

Estes números são os nossos conhecidos, números de Fibonacci.

Os rectângulos que aparecem têm por medidas sempre dois números

consecutivos de Fibonacci, e por isso também são chamados por

rectângulos de Fibonacci.

Se nesta figura

Por cada um dos quadrados, passarmos, um quarto de círculo

seguindo uma determinada ordem vamos formar “A espiral dos rectângulos

de Fibonacci”:

Isto é

Neste sub tema, estudámos um tipo de crescimento especial –

crescimento Gnomático – onde, certas formas crescem, pela adição de

Gnomons, as figuras preservam a sua forma original, mesmo quando estão

a “crescer”.

O Náutilus Marinho segue este tipo de crescimento

Gnomon

Outros Exemplos

(que seguem o crescimento gnomático, onde estão inseridos Espirais de Fibonacci)

Pinha

Vegetais (couve flor)

Plantas Girassóis

Crescimento Populacional

Introdução O estudo de populações e a matemática estão ligados desde sempre. Um dos motivos que levaram ao aparecimento dos primeiros sistemas numéricos foi a necessidade de descrever populações - saber quantas pessoas havia na tribo, quantas ovelhas havia no rebanho, etc. Já nos tempos bíblicos eram usados modelos muito simples de crescimento populacional para medir a produção agrícola e prever a produtividade de futuras colheitas. A raiz etimológica de «população» é a palavra latina «populus» que significa pessoas, povo. Numa acepção mais vasta, chama-se população a qualquer conjunto de objectos, animados ou inanimados. Fala-se em crescimento populacional, mas tal não significa que o tamanho da população estudada aumente. De facto, o crescimento pode ser positivo (isto é, o tamanho da população aumenta) ou negativo (isto é, o tamanho da população diminui).

A dinâmica do Crescimento Populacional O crescimento populacional é um processo dinâmico, ou seja, representa uma situação que muda com o passar do tempo. Podemos distinguir dois tipos de crescimento: o crescimento contínuo e o crescimento discreto. No crescimento contínuo as mudanças ocorrem em cada instante.

Exemplo: dinheiro depositado numa conta que rende juros numa base contínua.

O crescimento discreto é a forma mais comum e natural de

evolução da maioria das populações.

É uma situação do tipo ‘‘pára-arranca’’, ou seja, as mudanças são

intermitentes. Cada mudança diz-se uma transição.

O problema básico do crescimento populacional é perceber como

evolui uma população ao longo do tempo.

Podemos estudar o comportamento de uma população durante um

período específico ou a longo prazo.

Em ambos os casos, temos que estabelecer a regra de transição da

população.

A evolução de uma população durante um certo período de tempo

pode ser representada por uma sucessão

P0, P1 , P2 , ... , Pn

Onde

0P representa a população inicial

nP representa o tamanho da população na n-ésima geração (isto é,

após n transições).

Modelo de Crescimento Linear

É o modelo mais simples e é mais comum em populações de objectos

inanimados.

No modelo de crescimento linear a população é descrita por uma

progressão aritmética e em cada transição o tamanho da população cresce

de uma constante d chamada razão.

Isto é:

Progressão Aritmética

Definição por recorrência

1N NA A d−

= +

Termo geral 0NA A N d= + ×

Soma dos n primeiro termos =

0 1( )

2NA A N−

+ ×

Assim, a regra de transição para o modelo de crescimento linear é

PN = PN-1 + d ou PN = P0 + N.d

Exemplo 1

O vereador do ambiente de um município quer que seja aprovado um

decreto municipal que limite a quantidade de lixo despejado no aterro

sanitário local a um máximo de 120 toneladas por mês.

A menos que esta restrição seja imposta, o aterro atingirá a sua

capacidade máxima de 20.000 toneladas em pouco tempo.

Actualmente já contém 8.000 toneladas de lixo.

Se o decreto for aprovado e a quantidade de lixo despejada

mensalmente for exactamente 120 toneladas :

(a) Que quantidade de lixo haverá dentro de 5 anos?

(b) Quanto tempo passará até o aterro atingir a sua capacidade

máxima?

População: lixo depositado no aterro sanitário

As transições acontecem uma vez por mês

P0 = 8.000

d = 120

A regra de transição é então PN = 8000 + 120 . N

(a) 5 anos = 60 meses

60 608000 60 120 15200P P= + × ⇔ =

Dentro de 5 anos haverá 15200 toneladas de lixo

(b) 20000 8000 120 20000 100xP x x= ⇔ + = ⇔ =

O aterro atingirá a sua capacidade máxima dentro de 100 meses, isto

é, 8 anos e 4 meses.

Representação gráfica

Os gráficos são um meio muito usado para representar a evolução de

uma população.

Habitualmente, o eixo horizontal representa o tempo e nele marcam-

se as transições; o eixo vertical representa o tamanho da população.

O gráfico pode consistir apenas de pontos que representam o

tamanho da população em cada geração, ou de pontos unidos por

segmentos, como neste caso, para melhorar o efeito visual.

Neste gráfico, todos os pontos da sucessão da população estão sobre

uma recta e, por isso, o crescimento é claramente linear.

Modelo de Crescimento Exponencial

O modelo de crescimento exponencial é típico das situações em que

o crescimento não é restrito. - por exemplo: dinheiro a render juros numa

conta bancária.

Neste modelo a população é descrita por uma progressão

geométrica e em cada transição o tamanho da população é multiplicado

por uma constante r chamada razão (r > 0).

Isto é:

Progressão Geométrica

Definição por recorrência

1n nA A r−

= ×

Termo geral 0n

nA A r= ×

Soma dos n primeiro termos =0 ( 1)

( 1)

nA r

r

−

−

Assim, a regra de transição para o modelo de crescimento exponencial é

PN = PN-1 . r

ou

PN = P0 . rN

Observação :

Impõe-se a restrição r > 0 para garantir que a sucessão da população

não apresente termos negativos. No entanto, esta restrição não é necessária

quando lidamos com progressões geométricas em geral.

Exemplo 2

Constitui-se uma conta Depósito a Prazo:

O montante investido é de 1000 euros e os juros são pagos

anualmente à taxa de 10%.

Quanto dinheiro haverá na conta ao fim de 25 anos se os juros forem

capitalizados?

Para perceber como evolui o saldo da conta, construiu-se a seguinte

tabela:

Saldo da conta no

início do ano

Juros ganhos

durante o ano

Saldo da conta no

fim do ano

1º ano 1000 € 100 € 1100 €

2º ano 1100 € 110 € 1210 €

3º ano 1210 € 121 € 1331 €

...

...

...

...

25º ano ? ? ?

Observando a tabela, vemos claramente que o saldo da conta segue

um modelo de crescimento exponencial onde P0 = 1000 e r = 1,1.

De facto, P1 / P0 = P2 / P1 = P3 / P2 = 1,1

Assim, o saldo da conta ao fim de n anos é dado por

PN = 1000. (1,1)N .

Logo, P25 = 1000 . (1,1)25 = 10.834,71 €

Representação Gráfica

Generalização do exemplo 2:

Consideremos

P0 - o investimento inicial

J - a taxa de juro anual ( na forma decimal )

K - número de vezes que os juros são pagos e capitalizados

num ano.

Então o saldo da conta ao fim de n anos, PN , pode ser calculado usando a

fórmula

PN = P0 . (1+ J / K )N.K

Modelo de Crescimento Logístico

Exemplo / Motivação

Colocaram-se alguns ratos numa gaiola grande com muita comida.

No início, os ratos reproduziram-se muito. Porém, à medida que a

gaiola foi ficando cheia, a taxa de crescimento decresceu drasticamente. A

competição pela comida e pelo espaço tornou-se tão violenta que os ratos

começaram a matar-se uns aos outros.

Quando o tamanho da população atingiu novamente um nível

aceitável, deixou de se observar comportamentos agressivos e os ratos

recomeçaram a reproduzir-se.

Como descrever matematicamente o comportamento desta

população?

Quando lidamos com populações animais, o modelo de crescimento

linear e o modelo de crescimento exponencial são inadequados.

O modelo de crescimento logístico é utilizado quando a taxa de

crescimento de uma dada população não é fixa.

No caso das populações animais, a taxa de crescimento é

directamente proporcional ao espaço disponível no habitat.

Assim:

- quando há muito espaço, a taxa de crescimento é elevada;

- quando há pouco espaço a taxa de crescimento é muito

baixa;

- se o espaço está saturado, a população acaba por extinguir-

se.

Existem duas maneiras equivalentes para descrever esta situação

matematicamente.

(1)

Se

C é a constante que descreve o ponto de saturação do habitat

(depende do habitat)

PN é o tamanho da população no período N

então

o espaço disponível no período N é igual a (C - PN).

Como a taxa de crescimento é proporcional ao espaço disponível,

então

Taxa de crescimento no período N = R. (C - PN)

Onde R é a constante de proporcionalidade e depende da

população estudada.

Além disso,

PN .(taxa de crescimento no periodo N) = PN+1 .

Conclui-se então que a regra de transição para o modelo de crescimento

logístico é:

PN+1 = R. (C - PN).PN

(2)

Podemos descrever a mesma situação pondo tudo em termos

relativos.

A população máxima é 1 (isto é, a população ocupa 100% do

habitat);

A população mínima é 0 (isto é, a população está extinta).

Se np é a fracção (da capacidade total) do habitat ocupada pela

população no período N

, 0 1NN n

Pp p

c= ≤ ≤

Então o espaço relativo é

(1- np )

E a regra de transição para o modelo logístico pode ser reescrita da

seguinte forma:

Equação Logística

1 (1 )N N Np r p p+ = × − ×

onde r é uma constante chamada parâmetro de crescimento e depende

da taxa de crescimento de R e de C .

Neste caso, o crescimento de uma população é descrito em termos do

espaço que ela ocupa no habitat. Assim, esta segunda descrição torna-se

muito útil para comparar a evolução de duas ou mais populações que

dividam o mesmo habitat e é, por isso, preferida por biólogos e

ecologistas.

Exemplo:

O comportamento de uma dada população é descrito por um modelo

de crescimento logístico de parâmetro de crescimento r = 4 e p0 = 0,2.

A equação logística é então

pN+1=4 .(1- pN ).pN .

Os 20 primeiros valores da sucessão da população são:

p0 = 0,2000 p1 = 0,6400 p2 = 0,9216 p3 = 0,2890

p4 = 0,8219 p5 = 0,5854 p6 = 0,9708 p7 = 0,1133

p8 = 0,4020 p9 = 0,9616 p10 = 0,1478 p11 = 0,5039

p12 = 0,9999 p13 = 0,0002 p14 = 0,0010 p15 = 0,0039

p16 = 0,0157 p17 = 0, 0617 p18 = 0,2317 p19 = 0,7121

Representação gráfica

--Evolução de uma população regida pela equação logística com

r=4 e p0=0,2 , nas primeiras 19 gerações.

Neste caso, o eixo vertical já não representa o tamanho da população

mas sim a fracção do habitat ocupada por ela. O eixo horizontal representa

o tempo.

Conclusão

Neste trabalho foram apresentados os modelos de crescimento linear,

exponencial e logístico. Existem muitos outros modelos de crescimento

populacional cujas descrições matemáticas são bem mais complicadas.

Apesar de serem muito simples, os modelos apresentados mostram

bem que a matemática pode ser muito útil para descrever e prever a

evolução de populações nas mais diversas áreas -desde a economia até à

ecologia.

Bibliografia: -Tannebaum Peter, e Arnold, Robert “Excursions in Modern Mathematics” 4th Edition, Prentice Hall, 2001 Curso de Geometria Paulo Ventura Araújo, Gradiva

Tecnografia:

Microsoft Word

Microsoft Excel

Microsoft Powerpoint

Cabri-Geomètre II

Math Type

Microsoft Explorer

Páginas da Internet Consultadas: A Formula for the nth Fibonacci number.htm

Afitradingcomm.htm

Curiosidades numouro.htm

Fibonacci Leonardo.htm

Fibonacci Number-from MathWorld.htm

Golden Section.htm

Inovação no Ensino da Geometria-1998-Actividades.htm

Fibonacci and Lucas Sequences.htm

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Fibonacci Squence.htm

Golden Ratio.htm

Matemática Essencial Sequencias de Fibonacci-Aplicações.htm

Math Fórum Ask Dr Math FAQ Golden Ratio, Fibonacci Sequence.htm

Nrich May 1999 article Continued Fractions.htm

Nrich May 2001 Problems.htm

Número de Ouro.htm

Pascal’s Triangle.htm

Phi, the Golden Ratio.htm

Prova de Ouro1.htm

TeethBeautyBiologyHealth.htm

The Golden Ratio and the Fibonacci Numbers.htm

Trabalho Realizado por: Lúcia Maria Soares Murça Ricardo Jorge Duarte Victória Calinas Rui Alexandre Matos Santos

Leonardo Pisano Fibonacci

1170-1250

Leonardo Pisano, era filho de Guilielmo (mercante) e membro da família Bonacci. O nome Fibonacci provém da abreviação em latim de "filius Bonaccii”.

Fibonacci nasceu em Piza (Itália) mas foi educado no Norte de África onde o seu pai exercia um posto diplomático. Fibonacci começou por dar importância à matemática em Bugia devido ao conhecimento dos sistemas matemáticos usados nos países que visitava com o seu pai .

Fibonacci terminou as suas viagens por volta do ano 1200 e regressou para Piza, lá ele escreveu um número importante de textos, mas como viveu na época anterior à imprensa os seus livros eram escritos à mão e a única maneira de os copiar era à mão. Dos seus livros continuamos a ter cópias de Liber abaci (1202), Pratica geometriae (1220), Flos (1225) e Liber quadratorum. Contudo temos conhecimento de outros livros escritos por ele que infelizmente foram perdidos.

Na altura toda a Europa não estava muito interessada nos estudos matemáticos, em consequência disso, Fibonacci foi largamente ignorado.

Frederick II, o imperador de Roma tomou conhecimento da existência de Fibonacci através de Joh 3 22 10 20x x x+ + = annes of Palermo um dos membros da sua corte. Johannes of Palermo apresentou um torneio de matemáticos onde Fibonacci participou e resolveu três dos problemas propostos, e escreveu as suas soluções no livro Flos que enviou a Frederic II. Ficando a partir daí a efectuar trabalhos para a corte.

A título de curiosidade um dos problemas era resolver a equação

3 22 10 20x x x+ + =

Liber abaci foi publicado em 1202 e foi dedicado a Scotus o astrólogo da corte. Liber abaci é baseado na aritmétrica e na álgebra que Fibonacci tomou conhecimento durante as suas viagens.

Liber abaci é dividido em três secções, sendo a terceira a que nos dá a introdução aos números de Fibonacci. Uma das maiores descobertas de Fibonacci e através dos quais ele ficou conhecido até aos nossos dias.