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Trabalho realizado por:

Joana Correia Sara Carvalho Sílvia Oliveira Tânia Correia

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ÍNDICE

Capítulo I – Sistemas de voto

1. Introdução2. Métodos de contagem de votos

2.1. Votos de preferência. Tabelas de preferência. 2.2. Método da pluralidade

2.3. Método de contagem de Borda2.4. Método da pluralidade com eliminação

2.4.1. Método da corrida final2.4.2. Método de Coombs

2.5. Método das comparações dois a dois2.6. Rankings

3. Conclusão

Capítulo II – Sistemas de voto com peso

1. Introdução2. Preliminares3. Indicador de poder de Banzhaf

3.1. Aplicações do indicador de Banzhaf4. Indicador de poder de Shapley-Shubik

4.1. Aplicações do poder de Shapley-Shubik5. Conclusão

Bibliografia

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CAPÍTULO I – SISTEMAS DE VOTOS

1. INTRODUÇÃO

A nossa vida é como um puzzle que se constrói pouco a pouco, peça a peça. Cada peça é uma escolha que fazemos, umas vezes pomos a peça no lugar certo outras no lugar errado do puzzle.

Fazemos as mais variadas escolhas: qual o curso que pretendemos tirar, qual o carro que compramos, etc. E por vezes até inconscientemente, quando preferimos uma cor em relação a outra ou quando compramos um livro, estamos a escolher, a eleger algo que preferimos.

Existem outro tipo de escolhas que é necessário tratar de forma diferente uma vez que não dependem apenas da nossa preferência mas sim da preferência de um grupo, como por exemplo quando se elege o Presidente da República.

É este tipo de escolhas que iremos abordar neste trabalho.Cada indivíduo possui uma preferência/predilecção por uma determinada

ideologia, o que faz com que nem sempre haja um consenso de ideias. Quando tal acontece e é necessário escolher apenas uma ideologia, utiliza-se uma escolha por meio de sufrágios ou votos que se designa por ELEIÇÃO.

Numa democracia, todos os cidadãos têm o direito e o dever de expressarem a sua opinião numa eleição, quer esta seja uma eleição presidencial, governamental, municipal ou de carácter mais particular como uma simples eleição de delegado de turma numa escola.

Qual a razão do aumento da taxa de abstenção quando existem mais oportunidades para votar? É aí que se encontra o paradoxo da democracia.

O processo eleitoral tem dois momentos:

a votação

a contagem de votos.

Como funciona a contagem? Será um processo justo?É sobre este tipo de questões que nos iremos debruçar e tentar encontrar

respostas no contexto da Teoria das Eleições.Mas para que é necessário uma teoria deste tipo? Há uma eleição, contam-se os

votos e de uma maneira consistente e justa obtém-se um resultado. Será assim tão linear quanto nos parece?

Vamos assim analisar os diversos tipos de métodos de contagem de votos – como funcionam, quais as suas implicações, se é um processo imparcial ou não.

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2. MÉTODOS DE CONTAGEM DE VOTO

2.1. VOTOS DE PREFERÊNCIAS. TABELAS DE PREFERÊNCIAS

Os votos de preferência são votos em que o eleitor escolhe, por ordem de preferência, os candidatos. Este tipo de votos permite ao eleitor expressar a sua opinião relativamente ao mérito de todos os candidatos: qual o que prefere em primeiro lugar, em segundo lugar, e assim sucessivamente.Uma forma lógica de organizar os votos é agrupar os que são idênticos, e elaborar uma tabela de preferências, onde de uma forma simples e compacta se resume a quantidade de diferentes votos e a posição de cada candidato.

Para ilustrar os diferentes resultados que se podem obter segundo vários métodos de contagem existentes, comecemos a nossa abordagem à teoria das eleições com o seguinte exemplo:

EXEMPLO 1: Suponhamos que temos de eleger um aluno do curso de Matemática para ser o nosso representante no órgão de direcção da Associação Académica de Coimbra. Há 37 pessoas (professores, alunos, assistentes) com direito a voto nesta eleição, que constituirão a população eleitora. Existem quatro candidatos possíveis: o António, o Bernardo, a Carolina e a Daniela. Façamos a seguinte correspondência:

A AntónioB BernardoC CarolinaD Daniela.

Cada um dos eleitores vota indicando a sua primeira, segunda, terceira e quarta escolha. Findada a votação, qual será o candidato eleito para representante?

Agrupando os diferentes tipos de boletins de votos obtidos, no total de 24 possíveis, ficamos com 5 diferentes cujo número de votos para cada um é:

Boletim 1: 14 vezes

Boletim 2: 10 vezes

VOTO1º - A2º - B3º - C4º - D

VOTO1º - C2º - B3º - D4º - A

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Boletim 3: 8 vezes

Boletim 4: 4 vezes

Boletim 5: 1 vez

Elaborando a tabela de preferências temos:

TABELA 1Número de eleitores 14 10 8 4 1

1ª Opção A C D B C2ª Opção B B C D D3ª Opção C D B C B4ª Opção D A A A A

VOTO1º - D2º - C3º - B4º - A

VOTO1º - B2º - D3º - C4º - A

VOTO1º - C2º - D3º - B4º - A

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∲TRANSITIVIDADE E ELIMINAÇÃO DE CANDIDATOS

Há dois factos a ter em conta quando se usam os votos de preferência.O primeiro facto está relacionado com a transitividade da preferência individual,

isto é, se quisermos conhecer o candidato que um eleitor prefere em relação a outro, basta verificar qual o que foi colocado em primeiro lugar no voto de preferência.

O outro facto é que as escolhas relativas de um eleitor não são afectadas pela eliminação de um ou mais candidatos.

Por exemplo, consideremos o seguinte boletim de voto obtido:


Suponhamos que o Bernardo (B) desiste de ser um candidato antes dos votos serem contados.

Como é que se altera o voto deste eleitor? As posições relativas dos restantes candidatos não são afectadas: a Carolina (C) permanece como a primeira escolha, a Daniela (D) será agora a segunda escolha, e o António (A) será a terceira escolha.


VOTO1º - C2º - D3º - A

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2.2. MÉTODO DA PLURALIDADE

Este é, talvez, o método mais comum e por isso usado mais frequentemente para encontrarmos o vencedor de uma eleição.

Essencialmente, este método diz que o candidato que obtiver o maior número de colocações em primeiro lugar será o eleito. Assim sendo, a única informação proveniente dos votos de preferências, que será utilizada é a que se refere aos votos para o primeiro lugar.

Aplicando este método ao nosso exemplo inicial, temos que:

A obtém 14 votos para 1º lugar;B obtém 4 votos para 1º lugar;C obtém 11 votos para 1º lugar;D obtém 8 votos para 1º lugar.

Neste caso, o resultado da escolha é óbvia – o eleito é o candidato (A), o António.

O método da pluralidade é usado pela sua simplicidade e também porque é uma aplicação do princípio da regra da maioria. Numa eleição democrática entre dois candidatos ganha o que obtiver a maioria. Esta regra nem sempre se pode aplicar quando há três ou mais candidatos. Na eleição do representante do curso de Matemática, são necessários 19 votos na 1ª escolha (dos 37 votos totais) para que haja maioria, mas nenhum dos candidatos obteve este número de votos, logo nenhum obteve a maioria. O António (A), obteve 14 votos, mais do que qualquer outro candidato, então obteve a pluralidade.

Enquanto que a pluralidade não implica a maioria, esta implica a pluralidade: um candidato que obtenha mais de metade das colocações em primeiro lugar nos votos é aquele que obteve mais colocações em primeiro lugar que qualquer outro candidato.

Tal facto conduz-nos até ao critério da maioria.

CRITÉRIO DA MAIORIA:

Se uma escolha obtiver a maioria das colocações em primeiro lugar numa eleição, então essa escolha deverá ser a eleita.

Pode-se então afirmar que o método da pluralidade satisfaz o critério da maioria.

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QUAIS AS FALHAS DESTE MÉTODO?

O método da pluralidade tem algumas falhas, sendo a principal, o facto de não ter em atenção as outras preferências além da primeira, o que pode induzir a um mau resultado eleitoral.

Consideremos este novo exemplo:O Orfeão dos Antigos Alunos da Universidade de

Coimbra foi convidado para realizar um espectáculo em cinco cidades diferentes: Roma (R), Helsínquia (H), Caracas(C), Oslo (O) e em Sidney (S). O problema surge em decidir em que cidade actuarão, uma vez que só poderão realizar um espectáculo.

Os cem membros do orfeão procedem então a uma eleição. Os resultados da eleição encontram-se na tabela seguinte:

TABELA 2Número de eleitores 49 48 3

1ª Opção R H C2ª Opção H S H3ª Opção C O S4ª Opção O C O5ª Opção S R R

Se o método da pluralidade fosse usado, a cidade escolhida seria Roma com 49 votos como primeira escolha. É de referir que, a cidade de Helsínquia obteve 48 votos como primeira escolha, obteve também 52 votos como segunda escolha.

Ora, o nosso senso comum diz-nos que Helsínquia é a melhor escolha pois representa o desejo de todo o orfeão. De facto, podemos argumentar em favor de Helsínquia: se compararmos esta cidade com qualquer outra numa mesma base, Helsínquia é sempre a escolha preferida. Por exemplo, comparemos Helsínquia com Roma. Helsínquia obtém 51 votos (48 da segunda coluna mais 3 votos da ultima coluna) enquanto que Roma obtém 49 votos. Uma comparação entre Caracas e Helsínquia resultaria em 97 votos a favor de Helsínquia (primeira e segunda colunas) e 3 votos para Caracas. E quando Helsínquia é comparada quer com Oslo quer com Sidney, Helsínquia obtém os 100 votos.

Resumindo este exemplo temos que, apesar de Helsínquia ganhar cada comparação efectuada par a par com qualquer outra escolha, este método falha pois não elege Helsínquia como a cidade escolhida pelo Orfeão.

Dizemos então que o método da pluralidade não verifica o critério de Condorcet.

CRITÉRIO DE CONDORCET:

Se houver uma escolha, em que comparativamente com todas as outras, seja a preferida pelos eleitores, então essa escolha deverá ser a eleita.

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Este critério foi elaborado por Marie Jean Antoine Nicolas Caritat, Marquis de Condorcet no século XVIII. Condorcet era um aristocrata francês, matemático, filósofo, economista e dedicava-se às ciências sociais. Pertencia a um grupo de revolucionários, e as suas ideias foram um instrumento no caminho para a Revolução Francesa. Infelizmente, essas ideias desfavoreceram-no e acabou por morrer na prisão.

É possível encontrar exemplos de eleições em que um candidato ganha em comparação com outros, mas ainda assim, pelo método da pluralidade, esse candidato perde a eleição. A esse candidato que ganha em comparação com os outros designa-se por CANDIDATO CONDORCET.

Como é óbvio, poderá não existir um candidato Condorcet e desta forma não se aplicará o critério de Condorcet (como vimos no exemplo anterior).

Uma outra importante falha do método da pluralidade é a existência de votos que não revelam a verdadeira preferência dos eleitores de modo a influenciar o resultado da eleição.

Como exemplo, consideremos mais uma vez a tabela 2. A última coluna representa os votos de três eleitores que não desejam ir a Roma pois já tiveram a oportunidade de visitar esta cidade e portanto não desejam regressar. Partindo do pressuposto que eles têm uma ideia do resultado da eleição e como a primeira opção deles tem pouca hipótese de ser escolhida, a melhor estratégia destes eleitores é não votar de uma forma sincera, trocando a sua segunda escolha (Helsínquia) para primeira e assim alterar os resultados da eleição.

Nas eleições reais, esta forma de votar (votar de forma não sincera) pode induzir a sérias e inesperadas consequências.

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2.3. MÉTODO DE CONTAGEM DE BORDA

Este método foi elaborado por um marinheiro e matemático francês, Jean-Charles Borda (Dax-1733, Paris-1799).

Uma forma completamente diferente de encontrar o vencedor de uma eleição é utilizando o método de contagem de Borda. Neste método, a cada lugar nos votos de preferências é atribuída uma pontuação.

Numa eleição com n candidatos atribui-se: 1 ponto para o último lugar; 2 pontos para o penúltimo; (...); n pontos para o primeiro lugar.

Somam-se os pontos que foram atribuídos a cada candidato, e o que obtiver o maior número de pontos é o vencedor da eleição.

Usando este método vejamos qual é o representante eleito, no exemplo 1. A tabela seguinte mostra os pontos obtidos por cada representante:


1ª Opção: 4 pts A: 56 pts C: 40 pts D: 32 pts B: 16 pts C: 4 pts2ª Opção: 3 pts B: 42 pts B: 30 pts C: 24 pts D: 12 pts D: 3 pts3ª Opção: 2 pts C: 28 pts D: 20 pts B: 16 pts C: 8 pts B: 2 pts4ª Opção: 1pt D: 14 pts A: 10 pts A: 8 pts A: 4 pts A: 1 pt

Agora somemos os pontos:

A obtém: 4 * 14 + 1 * 10 + 1 * 8 + 1 * 4 + 1 * 1 = = 56 + 10 + 8 + 4 + 1 = 79 pontos;

B obtém: 3 * 14 + 3 * 10 + 2 * 8 + 4 * 4 + 2 * 1 = = 42 + 30 + 16 + 16 + 2 = 106 pontos;

C obtém: 2 * 14 + 4 * 10 * 3 * 8 + 2 * 4 + 4 * 1 = = 28 + 40 + 24 + 8 + 4 = 104 pontos;

D obtém: 1 * 14 + 2 * 10 + 4 * 8 + 3 * 4 + 3 * 1 = = 14 + 20 + 32 + 12 + 3 = 81 pontos;

portanto o vencedor é o candidato (B), o Bernardo.

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QUAIS AS FALHAS DO MÉTODO DE BORDA?

Ao contrário do método da pluralidade, o método de contagem de Borda toma em consideração toda a informação que provem dos votos de preferências.

A falha deste método é que não satisfaz o critério da maioria, isto é, um candidato que obtém a maioria das colocações em primeiro lugar pode perder a eleição, o que implica que também não satisfaz o critério de Condorcet.

Apesar destas falhas, este método é bastante usado em eleições, especialmente quando existe um número significativo de candidatos.

Para ilustrar a falha deste método vejamos o seguinte exemplo:O reitor da Universidade de Coimbra vai reformar-se. Consequentemente, há

que eleger um novo reitor. Os quatro candidatos para esta eleição são: o Dr. Joaquim, o Dr. Rodrigues, a Dra. Carlota e a Dra. Lucília.

Façamos a seguinte correspondência:

J Dr. JoaquimR Dr. RodriguesC Dra. CarlotaL Dra. Lucília.

Após a entrevista dos quatro candidatos os onze membros da direcção votaram nos candidatos e decidiram usar este método para escolher este vencedor. Os resultados da votação estão registados na próxima tabela:


1ª Opção: 4 pts J R C2ª Opção: 3 pts R C L3ª Opção: 2 pts C L R

4ª Opção: 1 pt L J J

Calculemos então a pontuação final de cada candidato:

J obtém: 4 * 6 + 1 * 2 + 1 * 3 = 29 pontos;

R obtém: 3 * 6 + 4 * 2 + 2 * 3 = 32 pontos;

C obtém: 2 * 6 + 3 * 2 + 4 * 3 = 30 pontos;

L obtém: 1 * 6 + 2 * 2 + 3 * 3 = 19 pontos.

Concluímos assim que o doutor Rodrigues será o novo reitor com o total de 32 pontos. Isto verifica-se apesar do doutor Joaquim ter seis colocações em primeiro lugar num total de onze, e portanto a maioria. Logo, este método não verifica o critério da maioria. Tal facto, implica a violação do critério de Condorcet.

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2.4. MÉTODO DA PLURALIDADE COM ELIMINAÇÃO

Este método é uma versão do princípio da sobrevivência dos mais aptos. A ideia básica é a contínua eliminação dos candidatos menos aptos, um a um, até que surja um vencedor. O critério para a aptidão é o número de colocações em primeiro lugar que se obtém.

Uma descrição mais formal deste processo é:

PASSO 1 : Procede-se a contagem das colocações em primeiro lugar para cada candidato, tal como no método da pluralidade. Se um candidato obtém uma maioria de colocações em primeiro lugar, esse candidato é automaticamente declarado como vencedor. Caso contrário, elimina-se o candidato que obteve o menor número de colocações em primeiro lugar.

PASSO 2 : Retira-se o nome do candidato eliminado da tabela de preferências e conta-se novamente os votos para o primeiro lugar. Recorde-se que quando um candidato é eliminado da tabela de preferências, em cada coluna os candidatos posicionados em lugares inferiores sobem um lugar. Se um candidato obtém uma maioria de colocações em primeiro lugar, esse candidato é o eleito. Se tal não se suceder, elimina-se o candidato que obteve o menor número de colocações em primeiro lugar.

PASSO 3 : Repete-se o processo, eliminando um ou mais candidatos de cada vez até que haja um candidato que possua a maioria das colocações em primeiro lugar, sendo declarado o vencedor.

Apliquemos este método á eleição do representante do nosso curso (exemplo 1). Relembremos a tabela 1:



PASSO 1:

Candidato A B C DNº de votos da 1ª Opção 14 4 11 8

Como o candidato (B) é o que possui o menor número de votos na 1ª opção, ele é eliminado.

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PASSO 2:

Devido à eliminação do candidato (B), obtemos uma nova tabela:

TABELA 1.A.Número de eleitores 14 10 8 4 1

1ª Opção A C D D C2ª Opção C D C C D3ª Opção D A A A A

Procedendo-se a uma recontagem dos votos, surge a seguinte tabela:

Candidato A B C DNº de votos para 1ª Opção 14 - 11 12

Neste passo, o candidato (C) é o eliminado pois possui o menor número de votos.

PASSO 3:

Os onze votos pertencentes ao candidato (C) no passo 2 deslocar-se-ão para o candidato (D), como se verifica na seguinte tabela:

TABELA 1.A*.Número de eleitores 14 10 8 4 1

1ª Opção A D D D D2ª Opção D A A A A

O vencedor, neste caso, não é nem o António nem o Bernardo como acontecia nos métodos anteriores, mas sim a Daniela, com 23 votos, como se verifica na tabela 1.A*.. O candidato (D) obteve a maioria dos votos da primeira opção no passo 3, uma vez que é apenas necessário 19 votos para que haja uma maioria, verificando-se assim o critério da maioria.

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QUAIS AS FALHAS DESTE MÉTODO?

Consideremos o seguinte critério de justiça:

CRITÉRIO DA MONOTONIA:

Se uma escolha X for a vencedora de uma eleição e, numa reeleição, as únicas mudanças nos votos forem mudanças que favoreçam X, então a escolha X deverá permanecer como a eleita.

Notemos que este método aplicado ao seguinte exemplo não satisfaz o critério acima enunciado.

No Departamento de Matemática da Universidade de Coimbra está prestes a realizar-se a eleição para o presidente do Núcleo de Estudantes de Matemática e Engenharia Geográfica (NEMATEG). Há três candidatos ao cargo que são a Ana (A), a Vera (V) e o Manuel (M).

A eleição decorre utilizando um sistema de voto secreto, e o vencedor é escolhido através do método da pluralidade com eliminação. A população eleitora é constituída por 29 membros.

Dois dias antes da eleição, é efectuada uma sondagem pelo conselho executivo para verificar em que situação se encontra. Os resultados encontram-se na seguinte tabela:

TABELA 5Número de eleitores 7 8 10 4

1ª Opção A V M A2ª Opção V M A M3ª Opção M A V V

Verificamos que:No passo 1 a Ana obteve 11 votos, a Vera 8 e o Manuel 10, o que significa que a

Vera é a primeira a ser eliminada. No passo 2, os 8 votos que pertenciam à Vera são transferidos para o Manuel

(devido à transitividade e eliminação de candidatos), logo o Manuel soma um total de 18 votos que é suficiente para que seja considerado o presidente do NEMATEG.

Apesar dos resultados da sondagem supostamente serem secretos, surge o boato que alguns eleitores deverão mudar a sua intenção de voto contra o Manuel pois caso contrário este será declarado o vencedor da eleição.

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Uma vez que toda a gente adora um vencedor, o resultado final desta eleição é que o Manuel acaba por obter um maior número de votos do que obteve na sondagem.

Suponhamos então que os quatro eleitores da última coluna da tabela 5 decidem trocar os votos da sua primeira opção (A) para o candidato Manuel (M). Seguidamente apresentamos a tabela real da eleição (a tabela 6 mostra o resultado da troca de A com M na última coluna, combinando as colunas três e quatro numa única coluna).


1ª Opção A V M2ª Opção V M A3ª Opção M A V

Quando aplicamos o método da pluralidade com eliminação à tabela 6, a Ana (com 7 votos para a primeira opção) é a primeira a ser eliminada, e os 7 votos que originalmente se transfeririam para a Ana vão agora para a Vera, obtendo então este candidato, nesta fase, um total de 15 votos e consequentemente a vitória da eleição.

Como é que isto pôde acontecer? Como é que o Manuel pôde perder a eleição simplesmente porque alguns eleitores transferiram o Manuel de segunda opção para primeira? Para os apoiantes do Manuel este resultado surge com certeza, como uma estratégia da Vera, mas verificando novamente torna-se claro – o Manuel é apenas uma vítima das circunstâncias do método da pluralidade com eliminação.

Conclui-se então que este método não satisfaz o critério da monotonia, não satisfazendo também o critério de Condorcet. Contudo, este método é utilizado em eleições em que haja poucos candidatos (normalmente três ou quatro, e raramente mais do que seis).

2.4.1. Método da Corrida Final

O método da corrida final insere-se dentro do método da pluralidade com eliminação porque é uma nova versão deste método. A descrição deste novo método é então o seguinte:

PASSO 1 : Conta-se o número de colocações em 1º lugar de cada candidato. Caso algum dos candidatos obtiver a maioria das colocações é automaticamente declarado o vencedor da eleição. Se tal não se verificar eliminam-se todos os candidatos excepto os dois que obtiveram mais colocações em 1º lugar.

PASSO 2 : Eliminam-se os candidatos, retirados anteriormente, da tabela de preferências. Procedendo-se a uma nova contagem, o vencedor da eleição é o candidato que obtiver a maioria das colocações em 1º lugar.

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Vejamos qual o resultado da aplicação deste método ao exemplo 1. De acordo com a tabela 1, temos:

PASSO 1:

Candidato A B C DNº de votos da 1ª Opção 14 4 11 8

Como nenhum candidato possui o número de votos necessários para que tenha a maioria, os candidatos (B) e (D) são eliminados.

PASSO 2:

Efectuada uma nova contagem após a eliminação dos candidatos (B) e (D) temos:

TABELA 1.B.Número de eleitores 14 10 8 4 1

1ª Opção A C C C C2ª Opção C A A A A

Verificamos finalmente que o candidato vencedor é o candidato (C) com 23 votos, obtendo assim a maioria.

2.4.2. Método de Coombs

Este método funciona tal como o método da pluralidade com eliminação mas eliminamos o candidato com o maior número de votos em último lugar, em vez de eliminarmos aquele que possui o menor número de votos em primeiro lugar.

Voltando ao exemplo 1, cuja tabela de preferências é:



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PASSO 1:

Uma vez que o António (A) é o candidato com o maior número de colocações em último lugar, com 23 votos, então é eliminado.

PASSO 2:

TABELA 1.C.Número de eleitores 14 10 8 4 1

1ª Opção B C D B C2ª Opção C B C D D3ª Opção D D B C B

Como não há nenhum candidato que tenha obtido a maioria das colocações em 1º lugar, o candidato (D) é eliminado.

PASSO 3:

Após a eliminação da Daniela (D), obtemos a seguinte tabela:

TABELA 1.C*Número de eleitores 14 10 8 4 1

1ª Opção B C C B C2ª Opção C B B C B

Contando novamente os votos, verificamos que o candidato (C) obteve a maioria das colocações em 1º lugar (19 votos), logo é o vencedor!

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2.5. MÉTODO DAS COMPARAÇÕES PAR A PAR

Até agora, todos os métodos anteriores não satisfazem o critério de Condorcet ao contrário deste próximo método de contagem de votos.

Cada candidato é comparado com os restantes candidatos, sendo essas comparações feitas entre dois candidatos de cada vez. Daí a designação de método das comparações par a par. Numa comparação deste tipo, entre um candidato X e um candidato Y, será atribuído um voto a X ou a Y conforme o número de votos que cada um obteve nos votos de preferências. Aquele que obteve mais votos será o vencedor da comparação e portanto, ser-lhe-á atribuído um ponto e zero pontos ao perdedor. Em caso de empate, é atribuído a cada candidato meio ponto.

Depois de efectuadas todas as comparações, o eleito é o candidato que obtiver mais pontos. O empate é algo comum de acontecer neste tipo de método, logo poderá haver mais do que um eleito ou poderá proceder-se a um desempate previamente definido, no caso de não ser permitido mais do que um vencedor.

Mais uma vez utilizemos este método no exemplo inicial.Comecemos por comparar (A) com (B), observando a tabela de preferências.

Verificamos que existem 14 eleitores que preferem (A) a (B) (primeira coluna) e 23 eleitores que preferem (B) a (A) (as últimas quatro colunas). Consequentemente, o vencedor desta comparação é (B).

TABELA 1.1.Número de eleitores 14 10 8 4 1


Vejamos agora a comparação entre (A) com (C). Notemos que (A) é escolhido por 14 eleitores, e (C) por 23. Logo, (C) é o vencedor da comparação.



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Efectuando a comparação entre A e D, observamos que D é o escolhido com 23 votos versus os 14 votos de A.



Novamente, comparando (B) com (C) verificamos que (B) obtém 18 votos e (C) obtém 19 e assim (C) ganha a comparação.



Observando agora a comparação entre (B) e (D), vemos que existem 28 votos para (B) contra 9 votos para (D). Portanto (B) ganha a comparação.



Por fim, a comparação entre (C) e (D): o candidato (D) é o perdedor da comparação, com 12 votos, e (C) o vencedor com 25.



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Resumindo as comparações efectuadas anteriormente obtém-se o seguinte quadro:

QUADRO 2.5.1.Comparações Pontuação

A B A: 1 pt; B: 0 ptsA C A: 0 pts; C: 1 ptA D A: 0 pts; D: 1 ptB C B: 0 pt; C: 1 ptB D B: 1 p ; D: 0 ptsC D C: 1 p ; D: 0 pts

Somando agora a pontuação de cada candidato, obtemos o resultado final que está expresso no seguinte quadro:

QUADRO 2.5.2.Candidato Pontuação final

A 0 ptsB 2 ptsC 3ptsD 1pt

Concluímos assim, que segundo o método das comparações par a par, o candidato eleito é a Carolina (C).

Verificamos facilmente que este método satisfaz o critério de Condorcet. Satisfaz também o critério da maioria pois [efectuadas todas as comparações, o candidato que obteve maior número de colocações em primeiro lugar é o vencedor], bem como o critério da monotonia [o candidato vencedor de cada comparação é favorecido na comparação seguinte].

Este método verifica três critérios de justiça, então:

QUAIS SÃO AS FALHAS DESTE MÉTODO?

Com a ajuda do seguinte exemplo vamos verificar uma das falhas deste método. Na Associação Académica de Coimbra existem várias secções desportivas. Na secção de Rugby, é necessário eleger um representante da equipa para receber o trofeu de campeã nacional nesta modalidade. Há cinco voluntários: o Rafael (R), o João (J), o Miguel (M), o Luís (L) e o Gonçalo (G).

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A tabela seguinte mostra os votos de preferência dos eleitores:

TABELA 7Nº de Eleitores 2 6 4 1 1 4 4

1ª Opção R L L M M J G2ª Opção J R R L J R M3ª Opção M M J R R G J4ª Opção L J G J L M L5ª Opção G G M G G L R

O quadro das comparações efectuadas é o seguinte:


R L R: 0 pts ; L: 1 ptR M R: 1 pt ; M: 0 ptsR J R: 1 pt ; J: 0 ptsR G R: 1 pt ; G: 0 ptsL M L: 0 pts ; M: 1 ptL J L: ½ pt ; J: ½ ptL G L: 1 pt ; G: 0 ptsM J M: 1 pt ; J: 0 ptsM G M: 0 pts ; G: 1 ptJ G J: 1 pt ; G: 0 pts

Assim sendo, apresenta-se o quadro com a pontuação final:


R 3 ptsL 2 + ½ ptsM 2 ptsJ 1 + ½ ptsG 1 pt

O candidato eleito para ir receber o prémio em causa é o Rafael.O mais interessante neste exemplo, é que mesmo antes de ser anunciado o

resultado da eleição, o Miguel comunica que não poderá ir receber o trofeu caso seja o eleito. Uma vez que o Miguel não é a escolha principal, será que a sua desistência vai afectar o resultado?

Suponhamos que o Miguel era eliminado no início da eleição, neste caso bastaria eliminá-lo do boletim de voto. Desta forma a tabela de preferências seria a seguinte:

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TABELA 8Nº de Eleitores 2 6 4 1 1 4 4

1ª Opção R L L L J J G2ª Opção J R R R R R J3ª Opção L J J J L G L4ª Opção G G G G G L R

O resultado das seis comparações efectuadas entre estes quatro candidatos seria o seguinte:


R L R: 0 pts ; L: 1 ptR J R: 1 pt ; J: 0 ptsR G R: 1 pt ; G: 0 ptsL J L: ½ pt ; J: ½ ptL G L: 1 pt ; G: 0 ptsJ G J: 0 pts ; G: 1 pt

Nesta situação teríamos:


R 2 ptsL 2 + ½ ptsJ 1 + ½ ptsG 0 pts

Logo, o vencedor seria o Luís. Por outras palavras, se a eleição fosse realizada com o conhecimento de que o

Miguel não fazia parte do leque de candidatos, então o Luís seria o eleito e não o Rafael. Consequentemente o resultado original parece injusto para o Luís.

Apesar deste método satisfazer os critérios de justiça referidos anteriormente, ele não satisfaz um outro critério de justiça conhecido como o critério de independência das alternativas irrelevantes.

CRITÉRIO DE INDEPENDÊNCIA DAS ALTERNATIVAS IRRELEVANTES:

Se a escolha X for a vencedora de uma eleição e uma (ou mais) das outras escolhas for removida e houver uma nova contagem dos votos, então X deverá continuar a ser a escolha eleita.

Outra falha é que este método poderá produzir um resultado em que todos os candidatos sejam vencedores.

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Analisemos o seguinte exemplo:

Os onze quartanistas do nosso curso vão realizar um jantar de curso, de modo a angariar algum dinheiro para participarem no cortejo da Queima das Fitas. É então necessário escolher o local do jantar entre os seguintes restaurantes: o Batina (B), a Liga (L) e o Democrática (D). A tabela de preferências é:

TABELA 9Nº de Eleitores 4 2 51ª Opção B L D2ª Opção L D B3ª Opção D B L

Analisando a tabela anterior obtemos o seguinte quadro:


BL B: 9 pts ; L: 2 ptsBD B: 4 pts ; D: 7 ptsLD L: 6 pts ; D: 5 pts

Chegamos assim, ao quadro da pontuação final:


B 1 ptL 1 ptD 1 pt

Notamos que existe uma situação de empate. E agora? Geralmente, não há uma regra pré-estabelecida para desempatar, mas na prática é importante estabelecer este tipo de regras.

Os quartanistas que desejam jantar no restaurante Democrática poderiam argumentar que o desempate deveria ser feito contando as colocações em primeiro lugar (método da pluralidade). E assim, o restaurante Democrática seria o eleito.

Por outro lado, os que desejam jantar no Batina poderiam alegar que o desempate deveria ser feito contando o número total de pontos (contagem segundo Borda). Neste caso o restaurante Batina obteria 24 pontos e o restaurante Democrática 23 pontos, e assim o Batina seria o eleito.

Como é óbvio, seria razoável prever antecipadamente este tipo de situações!Uma dificuldade prática relacionada com este método é o trabalho que é

requerido para efectuar tantas comparações. Surge assim uma pergunta inevitável:

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Exactamente, quantas comparações serão necessárias efectuar até que se encontre um vencedor?

Uma vez que as comparações são feitas entre dois candidatos de cada vez, a resposta depende obviamente do número de candidatos. Ora, se existir n candidatos numa determinada eleição e aplicando o método das comparações, tem-se que:

comparando o primeiro candidato com os n-1 restantes efectuam-se n-1 comparações;

comparando o segundo candidato com os restantes, à excepção do primeiro uma vez que essa comparação já foi realizada, efectuam-se n-2 comparações;...

comparando o penúltimo candidato com o último candidato, pois as comparações com os restantes já foram realizadas, efectua-se 1 comparação.

Chegamos efectivamente, à conclusão de que o número total de comparações efectuadas é:

1 + 2 + 3 +..... + (n-2) + (n-1) = n (n-1). 2

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2.6. RANKINGS

Muito frequentemente, é importante não só conhecer quem ganha as eleiçõesmas também quem ficou em segundo lugar, terceiro lugar, etc.

Neste tipo de situações é, então, necessário um método que forneça o vencedor mas também quem ficou colocado em segundo, em terceiro, etc – por outras palavras, que forneça um ranking dos candidatos. Para isto, temos dois métodos que são os seguintes:

➣ Métodos de ranking extensivos;➣ Métodos recursivos de ranking.

∲MÉTODOS DE RANKING EXTENSIVOS

Cada um dos quatro métodos mencionados anteriormente possui uma extensão natural que pode ser usada de forma a produzir um ranking de candidatos.

➸ Segundo o método da pluralidade, o eleito é aquele que obtém mais colocações em primeiro lugar, logo será ele que ocupará a primeira posição do ranking. A segunda posição do ranking será ocupada pelo candidato que obtém o maior número de colocações em primeiro lugar, com a excepção do candidato eleito. O terceiro candidato que obtém maior número de colocações em primeiro lugar, com excepção dos candidatos que já estão colocados no ranking, ocupará a terceira posição. E assim sucessivamente, proceder-se-á à elaboração do ranking.

Vejamos como se pode obter um ranking no caso da eleição do nosso representante para o órgão de direcção (exemplo 1). Recordemos a tabela de preferências:



A contagem das colocações para a primeira opção é:

A: 14 colocações para a 1ª opção;B: 4 colocações para a 1ª opção;C: 11 colocações para a 1ª opção;D: 8 colocações para a 1ª opção.

Anteriormente, concluímos que usando este método, o vencedor é o António (A). Desta forma, o quadro do ranking é:

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QUADRO 2.6.1.Posição Candidato Colocações para 1ª opção

1º Lugar A 142º Lugar C 113º Lugar D 84º Lugar B 4

➸ De acordo com o método de contagem de Borda, a cada candidato está associado um número de pontos, sendo o candidato eleito o que obtém o maior número de pontos.

Então, o ranking será elaborado de acordo com essa pontuação, isto é, a posição do ranking aumenta à medida que o número de pontos também aumenta.

No exemplo inicial obtivemos os seguintes pontos para cada candidato a representante do órgão de direcção:

A: 79 pontos;B: 106 pontos;C: 104 pontos;D: 81 pontos.

O quadro do ranking é então o seguinte:

QUADRO 2.6.2.Posição Candidato Pontos segundo Borda

1º Lugar B 1062º Lugar C 1043º Lugar D 814º Lugar A 79

➸ Relativamente ao método da pluralidade com eliminação, o ranking será elaborado tendo em conta a eliminação dos candidatos. O primeiro candidato que é eliminado será colocado em último lugar, o segundo candidato eliminado será colocado em penúltimo lugar do ranking, e seguindo desta forma até se colocar o candidato eleito no primeiro lugar do ranking.

Relativamente ao exemplo inicial temos o seguinte quadro de ranking:

QUADRO 2.6.3.Posição Candidato Eliminado no

1º Lugar D ---2º Lugar A 3º Passo3º Lugar C 2º Passo4º Lugar B 1º Passo

➸ Por último, o método das comparações par a par, em que o número de comparações ganhas por cada candidato será a base para se elaborar o ranking. Ou seja, o candidato que mais comparações tiver ganho será colocado na primeira posição do ranking, seguindo-se o candidato que ganhou mais comparações (com excepção do

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candidato já colocado), sedo este colocado na segunda posição, e assim sucessivamente até se concluir o ranking.

Obtemos desta forma o quadro de ranking:

QUADRO2.6.4.Posição Candidato Pontos

1º Lugar C 32º Lugar B 23º Lugar D 14º Lugar A 0

➲ Um resumo dos resultados obtidos na eleição para representante do curso de Matemática usando o ranking dos métodos extensivos é:

TABELA 10

RANKINGMétodos Extensivos

Pluralidade Cont. de Borda Plura. Com Eliminação Comp. Par a Par

1º Lugar A B D C2º Lugar C C A B3º Lugar D D C D4º Lugar B A B A

Existe uma discrepância nos resultados do ranking que provém dos métodos utilizados, o que é natural pois os resultados das eleições também diferem. Um objectivo do exemplo da eleição do representante do curso de Matemática para o órgão de direcção da Associação Académica de Coimbra é ilustrar como é que se obtém resultados tão heterogéneos. No entanto, nas eleições reais, há uma tendência para uma maior consistência entre os diferentes métodos.

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∲MÉTODOS RECURSIVOS DE RANKING

De tudo o que foi dito anteriormente, pode-se concluir que existem vários modos de elaborar um ranking. Porém, existe uma estratégia diferente para o fazer que se designa por APROXIMAÇÃO RECURSIVA.

Esta estratégia básica consiste em aplicar os diversos métodos mas de um modo diferente.

Considere que numa dada eleição se utilizará o método X para a contagem de votos e, a aproximação recursiva para elaborar um ranking de candidatos. Findada a votação, aplica-se o método X elegendo-se um candidato. Após ter sido declarado qual o candidato eleito, coloca-se o nome deste na primeira posição do ranking e retira-se o nome deste da tabela de preferência, obtendo desta forma uma nova, e modificada, tabela com um candidato a menos. Mais uma vez, aplica-se o método X para encontrar o candidato eleito desta nova tabela de preferência, que irá ser colocado em segundo lugar no ranking.

Isto faz um certo sentido, uma vez que depois do vencedor da eleição ser removido da tabela de preferência, faz-se uma nova eleição, e o candidato eleito desta vez será o segundo melhor candidato de todos. Repete-se o processo de novo (retira-se o nome do último vencedor, calcula-se a nova tabela de preferências, e aplica-se o método X para encontrar o próximo vencedor, que será colocado na posição seguinte do ranking) até se colocar todos ou quantos os candidatos necessários no ranking.

Baseando-nos no exemplo 1, vamos mostrar como funciona o método recursivo de ranking nos dois exemplos seguintes. Relembremos a tabela de preferências original:



➸ Suponhamos que pretendemos colocar os quatro candidatos a representante do curso utilizando o método da pluralidade recursivo.

PASSO 1: (Escolher o vencedor usando o método da pluralidade).O candidato eleito é o António (A) com 14 colocações para a 1ª opção, logo é

colocado no 1º lugar do ranking.

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PASSO 2: (Escolher o candidato para o 2º lugar).Removendo o candidato (A) da tabela original, obtemos uma nova tabela de

preferências:

TABELA 1 TABELA 11

Usando agora esta nova tabela, é o Bernardo (B) que obtém o maior número de colocações para 1ª opção, 18 colocações. Logo será colocado no 2º lugar do ranking.

PASSO 3: (Escolher o candidato para o 3º lugar).Retirando desta vez o candidato (B), obtemos a seguinte tabela:

TABELA 12Após a remoção dos candidatos (A) e (B)

Nº de eleitores 14 10 8 4 11ª Opção C C D D C2ª Opção D D C C D

Uma vez que o candidato (C) é aquele que obtém mais colocações para a 1ª opção, 25, então este é colocado no 3º lugar do ranking, e por fim o candidato (D).

Observemos agora como fica o quadro do ranking usando o método da pluralidade recursivo:

QUADRO 2.6.5.Posição Candidato

1º Lugar A2º Lugar B3º Lugar C4º Lugar D

Eleição originalNº de

eleitores14 10 8 4 1


Após a remoção do candidato (A)Nº de


1ª Opção B C D B C2ª Opção C B C D D3ª Opção D D B C B

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➸ Vamos determinar o ranking do exemplo 1 utilizando o método de contagemde Borda recursivo. Temos então a seguinte tabela:

TABELA 13Numero de

eleitores 14 10 84 4 1

1ª Opção: 4 pts A: 56 pts C: 40 pts D: 32 pts B: 16 pts C: 4 pts2ª Opção: 3 pts B: 42 pts B: 30 pts C: 24 pts D: 12 pts D: 3 pts3ª Opção: 2 pts C: 28 pts D: 20 pts B: 16 pts C: 8 pts B: 2 pts

4ª Opção: 1pt D: 14 pts A: 10 pts A: 8 pts A: 4 pts A: 1 pt

Somando os pontos

A obtém: 4 * 14 + 1 * 10 + 1 * 8 + 1 * 4 + 1 * 1 = = 56 + 10 + 8 + 4 + 1 = 79 pontos;

B obtém: 3 * 14 + 3 * 10 + 2 * 8 + 4 * 4 + 2 * 1 = = 42 + 30 + 16 + 16 + 2 = 106 pontos;

C obtém: 2 * 14 + 4 * 10 + 3 * 8 + 2 * 4 + 4 * 1 = = 28 + 40 + 24 + 8 + 4 = 104 pontos;

D obtém: 1 * 14 + 2 * 10 + 4 * 8 + 3 * 4 + 3 * 1 = = 14 + 20 + 32 + 12 + 3 = 81 pontos;

Portanto o vencedor é o Bernardo (B) colocando-se então no primeiro lugar do ranking. Eliminando o Bernardo da tabela 1 temos a seguinte tabela:

TABELA 14Após a remoção do candidato (B)

Nº de eleitores 14 11 121ª Opção. 3 pts A C D2ª Opção: 2 pts C D C1ª Opção: 1 pt D A A

Temos portanto que:

A obtém: 3 * 14 + 1 * 11 + 1 * 12 = 65 pts;C obtém: 2 * 14 + 3 * 11 + 2 * 12 = 85 pts;D obtém: 1 * 14 + 2 * 11 + 3 * 12 = 72 pts.

O vencedor é a Carolina (C) colocando-se em segundo lugar do ranking.

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Ao eliminarmos o candidato (C), a tabela reduz-se à seguinte:

TABELA 15Após a remoção dos candidatos (B) e (C)Nº de eleitores 14 231ª Opção: 2 pts A D2ª Opção: 1 pt D A

E assim, A obtém: 2 * 14 + 1 * 23 = 51 pts;

B obtém: 1 * 14 + 2 * 23 = 60 pts.

Concluímos que (D) é o vencedor, colocando-se em terceiro lugar do ranking. Por último, colocamos o candidato (A) no último lugar do ranking.

Temos então o seguinte quadro:


1º Lugar B2º Lugar C3º Lugar D4º Lugar A

➸ Apliquemos o método da pluralidade com eliminação recursivo ao exemplo inicial.

PASSO 1: Comecemos por aplicar o método da pluralidade com eliminação à tabela de preferências original. Obtemos um vencedor que é a Daniela (D) que ocupará o 1º lugar do ranking.

PASSO 2: Removemos o candidato vencedor da tabela.

TABELA 1 TABELA 16

Mais uma vez, apliquemos o método da pluralidade com eliminação a esta nova tabela. O candidato (B) é eliminado pois possui o menor número de colocações para a 1ª opção. Temos assim a seguinte tabela:

Eleição originalNº de



Após a remoção do candidato (D)Nº de


1ª Opção A C C B C2ª Opção B B B C B3ª Opção C A A A A

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TABELA 17Nº de eleitores 14 10 8 4 1

1ª Opção A C C C C2ª Opção C A A A A

O candidato eliminado é agora, o António (A) com 14 colocações para a 1ª opção. E assim o candidato eleito desta ronda é o candidato (C).

PASSO 3: Removemos então a Carolina (C) da tabela, colocando-a no 2º lugar do ranking. Temos então a seguinte tabela:

TABELA 18Após a remoção dos candidatos (D) e (C)

Nº de eleitores 14 10 8 4 11ª Opção A B B B B2ª Opção B A A A A

Aplicando novamente o método da pluralidade com eliminação a esta tabela temos que: o candidato eliminado é o António (A), pois obteve o menor número de colocações para a 1ª opção, sendo o candidato eleito desta ronda o Bernardo (B). Assim sendo, o candidato (B) ocupará o 3º lugar do ranking, e por último, o candidato (A).

O quadro do ranking utilizando o método da pluralidade com eliminação recursivo será o seguinte:


1º Lugar D2º Lugar C3º Lugar B4º Lugar A

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➸ Utilizando o método das comparações par a par recursivo para determinar oranking do exemplo 1, temos:



Como vimos anteriormente, o resultado das comparações dos candidatos está no quadro seguinte:


A 0 ptsB 2 ptsC 3ptsD 1pt

Portanto o vencedor é a Carolina (C), que colocamos no primeiro lugar do ranking. Depois de eliminarmos este candidato obtemos a seguinte tabela:

TABELA 19Após a remoção do candidato (C)

Nº de eleitores 14 14 91ª Opção A B D2ª Opção B D B3ª Opção D A A

Então, temos o seguinte quadro com o resultado das comparações:

QUADRO 2.6.9.Candidato Pontuação Final

A 0 ptsB 2 ptsD 1 pt

Desta forma, o candidato (B) ganha, colocando-se em segundo lugar do ranking.

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Elimina-se o candidato (B) e temos então:

TABELA 20Após remoção dos candidatos (B) e (C)

Nº de eleitores 14 231ª Opção A D2ª Opção D A

Comparando (A) com (D), o candidato (D) ganha a comparação e portanto este ocupará o terceiro lugar do ranking, e o candidato (A) ocupará o quarto lugar.

Temos o seguinte quadro de ranking:


1º Lugar C2º Lugar B3º Lugar D4º Lugar A

➲ Um resumo dos resultados obtidos na eleição para representante do curso de Matemática usando o ranking dos métodos recursivos é:

TABELA 21

RANKINGMétodos Recursivos

Pluralidade Cont. de Borda Plura. Com Eliminação Comp. Par a Par

1º Lugar A B D C2º Lugar C C C B3º Lugar D D B D4º Lugar B A A A

➲ Os métodos de rankings recursivos são um exemplo interessante de um conceito matemático importante: o conceito de um processo recursivo.

3. CONCLUSÃO35

Após as aplicações dos diversos métodos ao exemplo 1, chegamos ao seguinte quadro:

QUADRO 3.1.Métodos Vencedor

Pluralidade (A) AntónioContagem de Borda (B) Bernardo

Pluralidade com Eliminação (D) DanielaComparações Par a Par (C) Carolina

Concluímos então que os resultados da eleição do representante do curso de Matemática variam conforme a aplicação do método de contagem utilizado.

Recordemos os critérios citados anteriormente:

CRITÉRIO DA MAIORIA:

Se uma escolha obtiver a maioria das colocações em primeiro lugar numa eleição, então essa escolha deverá ser a eleita.

CRITÉRIO DE CONDORCET:

Se houver uma escolha, em que comparativamente com todas as outras, seja a preferida pelos eleitores, então essa escolha deverá ser a eleita.

CRITÉRIO DA MONOTONIA:Se uma escolha X for a vencedora de uma eleição e, numa reeleição, as únicas

mudanças nos votos forem mudanças que favoreçam X, então a escolha X deverá permanecer como a eleita.

CRITÉRIO DE INDEPENDÊNCIA DAS ALTERNATIVAS IRRELEVANTES:

Se a escolha X for a vencedora de uma eleição e uma (ou mais) das outras escolhas for removida e houver uma nova contagem dos votos, então X deverá continuar a ser a escolha eleita.

Estes são quatro critérios fundamentais para que haja justiça, e é natural pensar que um método de contagem de votos justo deva satisfazer todos estes critérios.Surpreendentemente, nenhum dos métodos mencionados satisfaz estes critérios.

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A questão permanece: será que há um método de contagem de votos que satisfaça os quatros critérios de justiça, que seja um método perfeitamente imparcial?Para eleições que envolvam mais do que dois candidatos a resposta é NÃO. Não existe um método imparcial.

Num primeiro olhar, este facto é um pouco surpreendente. Dada a importância das eleições numa democracia, e dada à inteligência e imaginação colectiva dos cientistas sociais e matemáticos, como é possível que não tenha surgido um método de contagem de votos que satisfaça os critérios de justiça?

Até ao início dos anos 50, esta era uma das questões mais pertinentes na Teoria da Escolha - Social. Finalmente, em 1952, Kenneth Arrow demonstrou o agora famoso:

TEOREMA DA IMPOSSIBILIDADE DE ARROW:

É matematicamente impossível que um método de contagem de votos democrático satisfaça todos os critérios de justiça.

Em suma, não há um método de contagem imparcial. Ironicamente, a imparcialidade, a justiça total e consistente é impossível numa democracia.

CAPÍTULO II – SISTEMA DE VOTO COM PESO

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O JOGO DO PODER

1. INTRODUÇÃO

A sociedade é constituída por pessoas muito diferentes umas das outras. Perguntamos então se seria melhor um sistema de voto com peso, em que cada pessoa teria direito a um determinado número de votos? Contrariando assim o principio de um voto por pessoa. A resposta não é unânime! Pois cada pessoa ou instituição deve escolher o sistema de voto que acha mais justo e que melhor se aplica à situação.

O melhor exemplo de um sistema de voto com peso é a eleição do presidente dos Estados Unidos, que causa sempre tanta controvérsia. Temos ainda outros exemplos como: os quadros governamentais regionais e locais; os quadros das escolas; corpos de legislação internacional; no consulado de segurança das nações unidas; nas cooperações de accionistas em que os votos são de acordo com o numero de acções que cada um possui; e muitos mais.

Assim qualquer arranjo formal em que cada eleitor tem um número diferente de votos é chamado um sistema de voto com peso. Neste sistema tem-se em conta a relação entre o número de votos e o poder. A principal vantagem de um sistema de voto com peso é que apenas temos duas hipóteses, ou aceitar a moção ou recusar. Por este facto não temos que nos preocupar com a escolha do método de voto a usar, pois todos eles seguem a regra da maioria. É então válido falar de indicador de poder de cada eleitor. Vamos analisar as diferenças entre os indicadores de poder de Banzhaf e de Shapley-Shubik.

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2. PRELIMINARES

Vamos iniciar o nosso estudo analisando alguns casos de eleição onde se usa o sistema de voto com peso. Para tal vamos indicar algumas notações e ideias importantes que serão usadas no nosso estudo:

Usamos constantemente a palavra jogadores com um sentido paralelo a eleitores;

Moção – apresentação de um assunto para ser discutido em assembleia; isto é, uma proposta;

Usaremos o conceito de moção no sentido de haver uma mudança;

A notação usada para representar um sistema de voto com peso é: [C: P1,..., PN] em que:

▪ C- representa a cota, isto é, o número de votos necessários para que haja uma mudança;

▪ P1,..., PN – que representam o peso de voto de cada jogador, ordenado por ordem decrescente.

O valor da cota tem que ser sempre maior do que metade do total dos votos e menor do que o próprio total.

Analisemos o caso que opera segunda a forma: [11: 12, 5, 4]. Neste caso há um jogador que tem um peso de voto superior à cota. A este jogador chama-se DITADOR. Assim todos os jogadores que tiverem peso de voto superior ou igual à cota chamam-se ditadores. Numa situação em que há um ditador todos os outros jogadores ficam submetidos a ele, e estes jogadores chamam-se jogadores neutros. Consideremos agora um caso de sistema de voto com peso onde não há um jogador ditador: [12: 9, 5, 4, 2]. Nesta situação o jogador P1, apesar de não ser ditador, tem o poder de obstruir, prevenindo qualquer mudança de posição dos restantes jogadores, isto é, que estes jogadores unam as forças e assim juntem mais votos que o primeiro jogador. Ao jogador P1 é dado o poder de prevenir tais mudanças porque mesmo que os restantes jogadores votem juntos, estes não tem votos superiores à cota. Isto faz com eles não possam aceitar uma moção contra a vontade de P1. O jogador que não é ditador mas que individualmente pode prevenir que os restantes jogadores juntos aceitem uma moção tem: poder de veto.

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3. INDICADOR DE PODER DE BANZHAF

Em 1965 John Banzhaf introduziu uma interpretação matemática do poder para o sistema de voto com peso.

Vamos então definir importantes conceitos para percebermos como funciona o indicador de poder segundo Banzhaf.

Seja então:

► COLIGAÇÃO: um grupo de jogadores que unem forças e juntos levarem à mudança.Esta designação também é válida para eleitores singulares.

► PESO DA COLIGAÇÃO: número total de votos controlado por uma coligação.

► COLIGAÇÃO VENCEDORA: são todas as coligações com votos suficientes para ganhar, as outras coligações são PERDEDORAS.

A coligação que contém todos os jogadores é sempre vencedora e chama-se grande coligação.

A notação usada para representar uma coligação genérica de N eleitores é: {P1, P2,....,PN}.

► JOGADOR CRÍTICO: é o jogador que transforma uma coligação vencedora em perdedora ao abandonar a coligação.

Uma coligação vencedora pode ter mais do que um jogador crítico, e só ocasionalmente uma coligação não tem jogador crítico. As coligações perdedoras nunca têm jogadores críticos.

O conceito de jogador crítico é a base da definição para o indicador de poder de Banzhaf. A sua ideia chave é de que o poder do jogador é proporcional ao número de coligações para as quais ele é critico, isto é, quanto mais frequentemente um jogador é critico mais poder ele tem.

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Para determinarmos o indicador de poder de Banzhaf de qualquer jogador num sistema de voto com peso genérico com N jogadores, seguimos os seguintes passos:

PASSO 1 : fazer uma lista de todas as coligações possíveis,

PASSO 2 : determinar quais são as coligações vencedoras,

PASSO 3 : em cada coligação vencedora determinar quais são os jogadores críticos,

PASSO 4 : contar o numero total de vezes que o jogador P, é critico – seja esse valor representado por B,

PASSO 5 : contar o número total de vezes que todos os jogadores são críticos – seja esse valor representado por T.

O indicador de poder de Banzhaf é dado pela fracção: B / T.Uma lista completa com os indicadores de poder de cada jogador, designa-se por

distribuição de poder de Banzhaf. É comum escrever os indicadores de poder em percentagem.

Para melhor percebermos os conceitos introduzidos anteriormente vamos analisar alguns exemplos.

➸ Exemplo 3.1:

Vejamos o exemplo de voto com peso distribuído da forma: [101: 99, 98, 3].À primeira vista somos conduzidos a dizer que os dois primeiros jogadores têm mais

poder do que o terceiro. Mas depois de analisarmos a situação verificamos que por mais estranho que nos pareça, os três jogadores tem o mesmo poder.

Mostramos na tabela seguinte todas as coligações possíveis, analisando a sua situação vencedora ou perdedora:

Coligações Peso da coligação Vence ou perde1- {P1} 99 Perde2- {P2} 98 Perde3- {P3} 3 Perde4- {P1, P2} 197 Vence5- {P1, P3} 102 Vence6- {P2, P3} 101 Vence7- {P1, P2, P3} 200 Vence

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Analisando a tabela também se observa que as coligações 4, 5, 6, são vencedoras, mas basta que um jogador abandone a coligação para que esta se torne numa coligação perdedora. Em contrapartida a coligação 7 permanece vencedora mesmo que um jogador abandone a coligação. Os jogadores que estão marcados a vermelho na tabela são os jogadores críticos. Verificamos assim que cada jogador é duas vezes critico, então podemos concluir que cada jogador tem um terço do poder (isto é, 2/6=1/3).

➸ Exemplo 3.2:

Numa empresa onde na direcção estão envolvidas três gerações da família Oliveira: Oliveira I: G I, Oliveira II: G II, e Oliveira III: G III, as decisões importantes são decididas usando um sistema de voto com peso. Em que cada um deles tem um poder diferente nas decisões finais. Sendo o poder do G1 de três votos, o de G2 de dois votos, e o de G3 de um voto. E sabemos também que dos seis votos possíveis são necessários quatro para que haja mudança, isto é, para que seja aceite a moção. O que dá origem a um sistema de voto com peso da forma: [4: 3, 2, 1]. Aplicando agora a cinco regras para o cálculo do indicador de poder de cada um dos jogadores, obtemos:

1º- Há sete coligações possíveis:

{G1} {G2} {G3} {G1, G2} {G1, G3} {G2, G3} {G1, G2, G3},

2º- Coligações vencedoras:

{G1} {G1, G3} {G1, G2, G3},

3º- Jogadores críticos:

G1 e G2 na coligação {G1, G2} G1 e G3 na coligação {G1, G3} Apenas G1 na coligação {G1, G2, G3},

4º- G1 é três vezes jogador crítico G2 é uma vez jogador crítico G3 é uma vez jogador critico,

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5º- O número total de jogadores críticos é cinco.

Assim temos que o indicador de poder de Banzhaf de cada jogador é:

G1: 2/5 G2: 1/5 G3: 1/5

Sendo então a distribuição de poder da forma:

G1 tem 60% do poder G2 tem 20% do poder G3 tem 20% do poder.

Por fim concluímos que a primeira geração tem mais poder, e que a segunda e terceira geração têm igual poder.

➸ Exemplo 3.3:

A equipa de futebol da Associação Académica de Coimbra usa o sistema de voto com peso para decidir a entrada de um jogador em campo. No sistema usado por deles o treinador principal (TP) tem quatro votos, o administrador geral (AG) tem três votos, o director das operações (DO) tem dois votos, e por fim o psicólogo da equipa (PS) tem um voto. Dos dez votos possíveis é necessária uma maioria de seis votos para um jogador da equipa ser escolhido.

Estamos assim perante um sistema de voto com peso da forma: [6: 4, 3, 2, 1].Como podemos verificar na tabela abaixo, existem quinze coligações possíveis.

E para nos facilitar os cálculos vamos marcar o jogador crítico a vermelho.

Coligações Peso das coligações Vence ou perde

{TP} 4 Perde{AG} 3 Perde{DO} 2 Perde{PS} 1 Perde

{TP, AG} 7 Vence{TP, DO} 6 Vence{TP, PS} 5 Perde

{AG, DO} 5 Perde{AG, PS} 4 Perde{DO, PS} 3 Perde

{TP, AG, DO} 9 Vence{TP, AG, PS} 8 Vence{TP, DO, PS} 7 Vence{AG, DO, PS} 6 Vence

{TP, AG, DO, PS} 10 Vence

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Seguindo agora as cinco regras para o cálculo do indicador de poder de Banzhaf, obtemos a seguinte distribuição de poder:

TP: 5/12 = 41,7% AG: 3/12 = 25% DO: 3/12 = 25% PS: 1/12 = 8,3%

∲QUANTAS COLIGAÇÕES?

Até este momento vimos exemplos com um número de jogadores pequeno. Em que era fácil determinar todas as coligações possíveis para depois aplicar as regras de cálculo do indicador de poder de Banzhaf. Mas nos casos com muitos jogadores torna-se complicado determinar todas as coligações. Estamos perante a necessidade de introduzir uma fórmula simples e rápida para calcular o número de coligações possíveis com um número genérico N de jogadores.

Consideremos então a questão matemática: Quantas coligações existem para um dado número de jogadores? A resposta está na nossa identificação com os grupos, que se vai mostrar particularmente útil. Podemos identificar cada subgrupo com uma coligação diferente, excluindo o subgrupo vazio. Então concluímos que existem tantas coligações quantos os subgrupos menos um, que é o subgrupo vazio.

A tabela seguinte mostra quantos subgrupos é possível formar com N elementos:

Número de jogadores Número de subgrupos Número de coligações2 4 = 22 22 - 1 = 33 8 = 23 23 - 1 = 7... ... ...N 2N 2N - 1

➸ Exemplo 3.4:

O comité disciplinar de uma escola superior tem cinco membros: o presidente – P1, o vice-presidente – P2, e três professores - P1, P2, P3 . Quando votam uma acção disciplinar específica o presidente tem três votos, o vice – presidente tem dois votos, e cada professor tem um voto. Dos oito votos é necessário um total de cinco para haver mudança. Originando uma situação voto com peso da forma: [5: 3, 2, 1, 1, 1]. Depois da fórmula introduzida anteriormente, sabemos que com cinco jogadores existem 25 – 1 = 31 coligações possíveis. Para poupar trabalho, na tabela seguinte mostramos apenas as coligações vencedoras e o jogador crítico esta marcado a vermelho.

Coligações vencedoras

{P1, P2} Única coligação vencedora com dois jogadores,

44

{P1, P2, P3}{P1, P2, P4}{P1, P2, P5} Para uma coligação de três jogadores ser vencedora {P1, P3, P4} tem que ter P1 mais dois jogadores quaisquer, {P1, P3, P5}{P1, P4, P5}

{P1, P2, P3, P4}{P1, P2, P3, P5}{P1, P2, P4, P5} Todas as coligações de quatro jogadores são {P1, P3, P4, P5} vencedoras,{P2, P3, P4, P5}

{P1, P2, P3, P4, P5} A grande coligação, é sempre vencedora.

Então a distribuição de poder segundo Banzhaf do comité disciplinar é: Presidente – P1: 11/25 = 44% Vice – presidente – P2: 5/25 = 20% Professor – P3: 3/25 = 12% Professor – P4: 3/25 = 12% Professor – P5: 3/25 = 12%

➸ Exemplo 3.5:

Numa universidade da Tasmânia o comité tem cinco membros: o director - D, e quatro membros facultativos – F1, F2, F3, F4, com igualdade na posição de voto. Neste comité as mudanças são trazidas por uma maioria restrita, mas o director nunca vota. Excepto para resolver uma situação de empate.

Neste exemplo não temos o peso de cada jogador, mas podemos proceder de forma análoga sabendo apenas qual o forma das coligações vencedoras. Uma coligação vencedora com três jogadores é do tipo: {três membros facultativos} ou {dois membros facultativos + o director}, em que cada um dos jogadores é critico. A única coligação vencedora com quatro jogadores é: {quatro membros facultativos} em que nenhum jogador é critico.

45

A tabela seguinte mostra as coligações vencedoras neste caso, e o jogador crítico aparece a vermelho para facilitar a sua identificação:

Coligações vencedoras sem o D Coligações vencedoras com o D

{F1, F2, F3}{F1, F2, F4}{F1, F3, F4}{F2, F3, F4}

{F1, F2, F3, F4}

{D, F1, F2}{D, F1, F3}{D, F1, F4}{D, F2, F3}{D, F2, F4}{D, F3, F4}

A distribuição de poder de Banzhaf neste comité é:

D: 6/30 = 20 % F1: 6/30 = 20 % F2: 6/30 = 20 % F3: 6/30 = 20 % F4: 6/30 = 20 %

Para nossa surpresa, todos os membros tem o mesmo poder, incluindo o director.

Uma interessante variação deste exemplo ocorre no senado dos Estados Unidos onde o vice – presidente vota apenas para resolver o empate. Uma análise análoga ao exemplo anterior, e assumindo que todos os cem senadores votam, mostrará que o vice-presidente tem exactamente o mesmo poder que qualquer outro membro do senado.

46

3.1. APLICAÇÕES DO INDICADOR DE PODER DE BANZHAF

Colégio Eleitoral

Como todos sabemos o presidente dos Estados Unidos é escolhido usando uma instituição chamada Colégio Eleitoral. Para escolher o presidente a cada estado é concedido um número de votos igual ao número total de membros no congresso desse estado (senadores mais representativos). Os votos são lançados por individuais chamados eleitores que são escolhidos para representar os cidadãos dos seus estados respectivos. Regra geral é que todos os eleitores de um estado particular votam para o candidato à presidência que ganha a pluralidade dos votos nesse estado. Esta regra é conhecida como a regra da unidade ou o vencedor faz a regra.

Outro ponto importante é o facto de debaixo do forte sistema americano “bipartido” muitas das eleições presidenciais reduzem-se a uma escolha entre apenas dois candidatos viáveis.

Debaixo da regra da unidade e numa eleição entre apenas dois candidatos viáveis o colégio eleitoral representa um dos mais importantes exemplos dum sistema de voto com peso, bem como um dos mais invulgares. O Estados Unidos é o único país no mundo que recorre a este sistema de voto. Os eleitores deste sistema de voto são de cinquenta estados mais o distrito da Colômbia, e o peso de voto de cada estado é o número de senadores mais representativo desse estado. Enquanto que o peso de voto da Colômbia é três. A cota é definida por uma maioria restrita de voto eleitoral. Desde 1964 o número total de votos eleitorais tem sido de 538 e a cota de 270. Em anexo mostramos os votos eleitorais de cada estado baseados nos censos de 1990, e o respectivo indicador de Banzhaf de cada estado.

47

O poder no colégio eleitoral

Indicador Indicador de poder de poder Estados Nº votos % votos segundo segundo Banzhaf Shapley-Shubik

48

Conselho de Segurança das Nações Unidas

É corpo

principal responsável por manter a paz e segurança internacional das nações. É um clássico exemplo do sistema de voto com peso. Contém quinze nações de voto; cinco delas são membros permanentes (Inglaterra, China, França, Rússia, U.S.) as outras dez nações são de membros não permanentes, que estão numa base de rotação de um período de dois anos. Para que uma moção seja aceite é necessário um voto a favor de cada um dos membros permanentes (com efeito, dando a cada membro o poder de veto), mais votos adicionais a favor de pelo menos quatro dos dez membros não permanentes. As coligações vencedoras contêm todos os membros permanentes mais quatro dos membros não permanentes. Formando assim um total de 848 coligações vencedoras. Em cada uma destas coligações vencedoras cada membro permanente é crítico.

Então existem:

+ + + + + +

=

= 210 + 252 + 210 +120 + 45 + 10 +10

= 848 Coligações

E os membros não permanentes são apenas críticos nas coligações vencedoras mínimas, isto é, aquelas que são formadas pelos cinco membros permanentes e por exactamente quatro dos membros não permanentes.

Então existem: = 84 Coligações

(mantemos fixos os cinco permanentes e o não permanente considerado, e temos de escolher três entre os restantes nove não permanentes).

Há 210 coligações mínimas: .

49

O número total de vezes que cada jogador é crítico é:

5 * 848 + 10 * 84 = 5080.

Com esta informação podemos concluir que o indicador de poder de Banzhaf de cada membro permanente é:

848 / 5080 = 0.167 ou 16.7%.

Enquanto que o indicador de cada membro não permanente é: 84/5080 = 0.0165 ou 1.65%. Vemos a discrepância no poder entre permanentes e não permanentes: um membro permanente tem dez vezes mais poder do que um membro não permanente.

50

4. INDICADOR DE PODER DE SHAPLEY-SHUBIK

Ainda no âmbito dos sistemas de voto com peso, surgiu em 1954, uma diferente aproximação proposta por Lloyd Shapley e Martin Shubik para medir o poder. Comparando este novo método com o de Banzhaf, observamos que a principal diferença da interpretação destes, centra-se à volta do conceito, COLIGAÇÃO SEQUENCIAL. Neste método pode-se assim referir que as coligações são formadas sequencialmente, isto é, é importante a ordem do eleitor na coligação (todas as coligações começam com um primeiro eleitor que pode ser seguido pelo segundo, depois o terceiro e assim sucessivamente). Estamos assim perante uma situação delicada à qual vamos acrescentar mais uma propriedade – A questão da ordem de cada eleitor na coligação.

Ilustre-se então a diferença com um simples exemplo. De acordo com a interpretação de Banzhaf uma coligação com os eleitores {P1,

P2, P3} significa que P1, P2 e P3 juntaram poder e votaram em conjunto, não interessando como formaram (a ordem) a coligação. Segundo Shapley – Shubik, os mesmos três eleitores podem formar seis diferentes coligações sequenciais:

<P1, P2, P3> - significa que P1 iniciou a coligação, em seguida juntou - se o eleitor P2 e , por fim P3.

<P1, P3, P2> <P2, P1, P3> <P2, P3, P1>

<P3, P1, P2> <P3, P2, P1>

Repare-se no tipo de notação utilizada: < > -este símbolo indica que se está a trabalhar com coligações sequenciais, isto

é, interessa-nos a ordem de listagem dos eleitores.

∲FACTORIAIS

Podemos agora considerar a seguinte questão:

Para um dado número de eleitores, N, quantas coligações sequenciais existem?

Vimos que para 3 eleitores temos 6 coligações sequenciais. O que acontecerá se tivermos 4 eleitores? Esta é uma tarefa possível, no entanto é trabalhosa a nível de contagem! Então, recorremos ao seguinte processo:

para o primeiro lugar da coligação temos 4 hipóteses de escolha ( qualquer um dos quatro eleitores);

para a segunda posição temos 3 escolhas ( todos os eleitores excepto o que já foi escolhido)

para o terceiro lugar temos duas escolhas; e, por fim, resta-nos o eleitor que ainda não foi escolhido.

51

Esquematizando o raciocínio, podemos observar:

____ ____ ____ ____ 4 3 2 1

Então, podemos concluir que o número de coligações possíveis, são

4 * 3 * 2 * 1 = 24.

Agora, poderá surgir de novo uma outra questão: “ Porque efectuamos a operação multiplicação?”. A resposta baseia-se numa regra básica, a regra da multiplicação.

➸Exemplo 4.1:

Se há m caminhos diferentes para fazer x e n caminhos para fazer y, então, x e y podem ser feitos juntos por m * n caminhos diferentes.

Generalizando: O número de coligações sequenciais com N eleitores é 1 * 2 * 3 *...* N = N!

Aos números desta forma designamos por Factorial de N e escreve-se N!Voltando ao poder de Shapley – Shubik, suponhamos que temos um sistema de

voto com peso com N eleitores. Sabemos, de conclusões anteriores, que há N! coligações sequenciais diferentes contendo todos os eleitores. Em cada uma destas coligações, há um jogador que no momento em que se junta à coligação, transforma a coligação perdedora numa coligação vencedora. Este eleitor designar-se-á PIVOT. Neste modelo, o jogador pivotal, devido as suas características, merece uma atenção especial uma vez que ele foi o eleitor determinante na passagem de uma situação de coligação perdedora a vencedora. (Os eleitores que se tinham juntado primeiro à coligação não conseguiram votos suficientes para passar a moção.).

Nota: Repare-se que podemos falar em “antes” e “depois” porque estamos a considerar

coligações sequenciais.

De acordo com o modelo de Shapley – Shubik o poder dos eleitores depende do número total de vezes que ele é Pivot em relação a todos os outros eleitores.

52

A descrição formal do procedimento para encontrar o indicador de poder de Shapley - Shubik de cada eleitor num sistema de voto com peso com N eleitores é o seguinte:

PASSO 1 : Fazer uma lista de todas as coligações sequenciais com os N eleitores, há N!.

PASSO 2 : Em cada coligação sequencial determinar o Pivot. (Há um em cada.)

PASSO 3 : Contar o número de vezes que o eleitor P é Pivot. (Designemo-lo por S)

O indicador de poder de Shapley – Shubik do eleitor P é dado por S / N!

➸ Exemplo 4.2:

Vamos retomar novamente o exemplo da empresa da família Oliveira considerada já anteriormente. Mas, agora utilizaremos o método de Shapley – Shubik. Temos ainda que ter em conta que o sistema de votação que estamos a utilizar é [4: 3, 2, 1. Para a sua análise vamos então seguir os passos observados anteriormente.

PASSO 1:

Temos 3! = 6 coligações sequenciais dos três eleitores que passaremos a descrever:

<P1, P2, P3> <P1, P3,P2> <P2, P1, P3> <P2, P3, P1> <P3, P1, P2> <P3, P2, P1>

PASSO 2:

Coligação sequencial

Jogador pivotal

<P1, P2, P3> P2

<P1, P3, P2> P3

<P2, P1, P3> P1

<P2, P3, P1> P1

<P3, P1, P2> P1

<P3, P2, P1> P1

53

PASSO 3:

Podemos então observar que:

P1 é pivotal 4 vezes;

P2 é pivotal 1 vez;

P3 é pivotal 1 vez.

A distribuição de poder segundo o modelo de Shapley – Shubik é assim:

P1 : 4/6 = 66, (6)% ;

P2 : 1/6 = 16,(6)% ; P3 : 1/6 = 16,(6)% .

Podemos então concluir que a distribuição de poder dos dois métodos é diferente. Utilizando o modelo de Banzhaf tínhamos que - P1 : 60%; P2: 20%; P3 : 20%. Comparando e analisando os resultados do poder com o modelo de Shapley – Shubik, o Oliveira I tem ainda mais poder ao contrário do seu filho e neto. Um facto que não se alterou é que o Oliveira II mantém o mesmo poder que o seu filho.

➸ Exemplo 4.3:

Voltemos a analisar o exemplo da equipa de futebol da Associação Académica de Coimbra usando, agora, o método de Shapley _Shubik. Tenha-se em consideração que a votação considerada é 6: 4, 3, 2, 1. Temos 4 eleitores pelo que serão 4! = 24 coligações sequenciais possíveis, a ver:

<TP, AG, DO, PS> <AG, TP, DO, PS> <DO, TP, AG, PS> <PS, TP, AG, DO><TP, AG, PS, DO> <AG, TP, PS, DO> <DO, TP, PS, AG> <PS, TP, DO, AG><TP, DO, AG, PS> <AG, DO, TP, PS> <DO, AG, TP, PS> <PS, AG, TP, DO><TP, DO, PS, AG> <AG, DO, PS, TP> <DO, AG, PS, TP> <PS, AG, DO, TP><TP, PS, AG, DO> <AG, PS, TP, DO> <DO, PS, TP, AG> <PS, DO, TP, AG><TP, PS, DO, AG> <AG, PS, DO, TP> <DO, PS, AG, TP> <PS, DO, AG, TP>

A distribuição de Shapley – Shubik é:

Treinador principal (TP): 10/24 = 41, (6) % Administrador geral (AG): 6/24 = 25% Director de operações (DO): 6/24 = 25% Psicólogo (PS): 2/24 = 8, (6) %

Comparando novamente com os resultados obtidos a este exemplo mas com o modelo de Banzhaf, verificamos que o índice de poder de cada eleitor se mantém o mesmo.

Deste exemplo, podemos retirar uma conclusão importante:54

➲A distribuição de poder pode ser a mesma na aplicação dos diferentes modelos!

➸ Exemplo 4.4:

Numa cidade do nosso país a assembleia autárquica é composta por cinco elementos, um dos quais é o Presidente da Câmara. Aos restantes membros da assembleia designaremos por ordinários. Para qualquer ordem de trabalho é necessário efectuar uma votação entre os membros da assembleia. A ordem de trabalho será efectuada só quando existirem os votos a favor do Presidente da Câmara e dois dos restantes membros ou, em alternativa, quatro votos a favor dos membros ordinários. O senso comum faz-nos crer que debaixo destas regras os quatro membros ordinários terão o mesmo poder e que o Presidente terá mais. Apliquemos então o método de Shapley – Shubik:

Temos então 5 membros donde, teremos 5! = 120 coligações sequenciais possíveis. Como é obvio trabalhar com este número de coligações não parece ser muito simples o que nos leva a procurar um caminho mais curto na resolução do nosso problema. Então, iremos primeiro tentar determinar o índice de poder do Presidente. Que posição terá ele que ocupar para ser pivot numa coligação sequencial? O presidente poderá ocupar a primeira posição? Não! Nenhum eleitor pode ser pivot na primeira posição, a não ser que seja ditador. E na segunda? Também não. Um membro ordinário e o presidente não são suficientes para aprovarem a ordem de trabalho. E o terceiro lugar? Sim! Se o presidente está em terceiro lugar ele é pivot. Acontece o mesmo quando ocupa a quarta posição. Na quinta posição já não acontece o mesmo pois os restantes membros têm votos suficientes para a aprovação.

Perguntamos então: “Quantas vezes será o Presidente pivotal?”. A simetria das posições diz-nos que há tantas coliagações sequenciais em que o presidente está em 1º lugar como em qualquer outro. Assim, as 120 coligações sequenciais podem dividir-se em 5 grupos de 24 – 24 coligações sequenciais em que o Presidente está em primeiro lugar; 24 em 2º lugar;... Mas, como já vimos, o presidente é pivotal quando ocupa a terceira e a quarta posição. Então, o índice de poder de Shapley – Shubik é 48/120 = 40%. Como os membros ordinários têm o mesmo poder, teremos de distribuir os restantes 60% pelos quatro, isto é, cada membro terá 15% de índice de poder segundo Shapley – Shubik.

55

➸ Exemplo 4.5: Conselho de Segurança das Nações Unidas

Como mencionado anteriormente neste capítulo, o Conselho de Segurança das Nações Unidas tem quinze membros – cinco serão membros permanentes e os dez restantes serão não permanentes. Apliquemos agora o método de Shapley – Shubik:

Se temos 15 membros, podemos afirmar que teremos 15! coligações sequenciais possíveis. Em quantas destas coligações sequenciais será um membro não permanente pivotal? As regras para passar uma moção são as seguintes: é necessário o suporte de cada um dos cinco membros permanentes e, pelo menos, quatro dos votos dos membros não permanentes. Podemos então concluir que um membro não permanente será pivotal nas sequências em que ocupa a nona posição, isto é, será antecedido pelos 5 membros permanentes e 3 não permanentes.

Nestas coligações, os 3 membros não permanentes poderão ser escolhidos entre

o total de 9 membros não permanentes, isto é, teremos possibilidades. Estes 8

elementos poderão ainda ser ordenados de 8! maneiras distintas. Aos restantes 6 elementos da coligação sequencial podemos ordená-los de 6! modos distintos. Então,

cada membro não permanente será pivotal em * (8!) * (6!), ou seja,

(9!8!6!) / (3!6!).

O poder de cada membro não permanente será

(9!8!) / 3! / 15! = 1,1856%.

Como a soma dos poderes é 1,865% e a soma dos 5 permanentes é

100 - 1,865 = 98,135%

o que dividido por 5 dá

19,63%.

Comparativamente com o método de Banzhaf onde cada membro permanente tinha 16,7% contra 1,65% dos não permanentes, aqui há uma maior discrepância de valores de índice de poder, cada membro permanente tem aproximadamente 100 vezes mais poder que um não permanente.

56

5. CONCLUSÃO

Em qualquer sociedade, por muito democrática que seja, alguns indivíduos e grupos tem mais poder do que outros. Isto é uma consequência simples do facto de indivíduos e grupos não serem iguais. A diversidade é a razão inerente ao porquê do conceito do poder existir. O poder em si surge de diversas formas. Frequentemente conseguimos ouvir expressões como “na força é que está o poder” ou “ dinheiro é poder” (nova versão cibernética, “informação é poder”). Neste capítulo discutimos a noção do poder, como este se aplica nas situações formais de votação chamadas sistemas de voto com peso e vimos como os métodos matemáticos nos permitem medir o poder de um indivíduo ou grupo como um índice de poder. Em particular, vimos dois diferentes tipos de índice de poder: o índice de poder segundo Banzhaf e o indicador de poder de Shapley-Shubik. Estes dois indicadores fornecem-nos diferentes maneiras de medir o poder, onde ocasionalmente estão de acordo contudo frequentemente diferem significativamente. Dos dois, qual deles é que se aproxima mais da realidade? Infelizmente não há uma resposta simples. Ambos são úteis, e alguns casos a escolha é subjectiva. Talvez a melhor maneira de os avaliar é pensar neles como sendo baseados num conjunto de suposições ligeiramente diferentes. A ideia subjacente do poder segundo Banzhaf é que os “jogadores” são livres de entrar e sair, negociando a suas alianças de poder. Segundo a interpretação do poder de Shapley-Shubik é a suposição de que quando um jogador entra numa coligação, ele faz um compromisso para ficar. No último caso o poder do jogador é gerado pela sua habilidade de estar no lugar certo na hora exacta. Na prática, a escolha do método a usar para medir o poder é baseado na melhor suposição para cada situação específica. Contrariamente ao que nos esperamos, os matemáticos não nos dão as respostas, apenas as ferramentas que nos podem ajudar a tomar uma decisão certa.

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BIBLIOGRAFIA

Arnold, Peter Tannenbaum & Robert – “Excursions in Modern Mathematics” -4ª Edição

“Le Petit Larousse Compact 2001” – Le premier du siecle

58

a teoria das eleicÇÕes - mat.uc.ptmcag/fea2003/fea-word-teoria das el… · web vieweste...

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