dees_antonio arede_capitulos 1 a 10

FEUP - 2013 António Arêde 1

Mestrado Integrado em Engenharia Civil

Dinâmica de Estruturase

Engenharia Sísmica

ANTÓNIO ARÊDE

FEUP – DEC – Estruturas

2012-13

Elementos baseados em versões anteriores (desde 1986 a 2003) da autoria de

RAIMUNDO DELGADO ANTÓNIO ARÊDE

FEUP – DEC - Estruturas

António Arêde 2

1.1 INTRODUÇÃO

Acção Dinâmica: Varia a grandeza, direcção e ponto de aplicaçãocom o tempo .

Resposta Dinâmica: Tensões, deslocamentos, velocidades eacelerações que também variam com o tempo

1. INTRODUÇÃO À DINÂMICA DE ESTRUTURAS1. INTRODUÇÃO À DINÂMICA DE ESTRUTURAS

Acelerograma

-150

-100

-50

0

50

100

150

0 2 4 6 8 10 12 14 16

t (s)

a (c

m/s

2)

P

t(s)

x1(t)

x2(t)

xn(t)

t1

t(s)

t(s)

t(s)

Tipos de Análise

DETERMINÍSTICA - a lei de variação da acção com o tempo é conhecida

ESTOCÁSTICA – a acção não é completamente conhecida, mas pode ser definida em termos estatísticos

Os problemas dinâmicos diferem dos estáticos porque:

a solicitação varia com o tempo

ocorrem forças de inércia devidas à aceleração

PP(t)Estático Dinâmico

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António Arêde 3

1.2 MODELOS DE ANÁLISE

EXPERIMENTAL (modelo físico experimental)

ANALÍTICA (modelo matemático)

Análise de uma estrutura:

Sistema Físico Real Solução Matemática

Fidedigna

Modelo

Matemático

Tipos de Modelos Matemáticos

Designação simbólica para sistema idealizado que inc lui todas as hipóteses simplificativas

MODELOS CONTÍNUOS MODELOS DISCRETOS

Deformada totalmente conhecida

Deformada conhecida em alguns pontos

z(x,t) z (t)12z (t)

3z (t)

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António Arêde 4

Redução de Problemas Contínuos a um Sistema com 1 Grau de Libe rdade

Este tipo de problema pode ser descrito pelo seguinte modeloesquemático:

A formulação do problema conduzirá a um sistema de equaçõesdiferenciais, cuja resolução permite a obtenção da respost a.

z

z

k

cm

F(t)

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� SISTEMAS COM N GRAUS DE LIBERDADE

Modelos matemáticos de sistemas com vários g.l. (revisões)

Vibrações livres sem e com amortecimento; frequências e mod os devibração; equações de equilíbrio desligadas (revisões)

Resposta a uma acção dinâmica qualquer e à acção sísmica pelométodo da sobreposição modal (revisões)

Método de Rayleigh para análise da resposta sísmica

Matriz de amortecimento de Rayleigh e formulações alternat ivas

Análise dinâmica por métodos de integração directa no tempo

1.3 ÂMBITO DO CURSO

� SISTEMAS COM 1 GRAU DE LIBERDADE

Modelos matemáticos de sistemas de 1 g.l. (revisões)

Vibrações livres com e sem amortecimento (revisões)

Resposta a solicitações harmónicas (revisões)

Resposta a uma solicitação dinâmica qualquer, no domínio do tempo(integral de Duhamel) e no domínio da frequência (análise de Fourier)

Resposta a solicitações sísmicas e espectros de resposta (r evisões)

Análise vibratória pelo método de Rayleigh

Parte I – DINÂMICA DE ESTRUTURAS (complementos)

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António Arêde 6

� COMPORTAMENTO, MODELAÇÃO E ANÁLISE DE ESTRUTURAS DE ENGENHARIA CIVIL SOB ACÇÃO SÍSMICA

Caracterização da acção dos sismos: enquadramento re gulamentar

Aspectos básicos da resposta sísmica de estruturas

Critérios de concepção sismo-resistente de edifícios

Determinação dos efeitos da acção dos sismos. Enquadrament o dasdiversas metodologias de modelação e análise:

- gerais exactas e simplificadas,

- baseadas em modelos estruturais planos e tridimensionais .

� NOÇÕES GERAIS DE MÉTODOS DE DIMENSIONAMENTO SÍSMICO

Dimensionamento directo (RSA, EC8)

Dimensionamento por capacidade resistente. Aspectos bási cos.

Projecto sísmico de acordo com o EC8:

Princípios gerais, objectivos, conceitos e metodologias

Principais novidades relativamente ao RSA

Espectro de resposta elástico e espectro de projecto

Orientações de concepção de estruturas sismo-resitentes

Métodos de controlo ou verificação do desempenho sísmico.- Análises pushover (EC8) e análises dinâmicas não-lineare s.

Parte II - ENGENHARIA SÍSMICA

FEUP - 2013

António Arêde 7

1.4 BIBLIOGRAFIA

� DYNAMICS OF STRUCTURES

Ray W. Clough and Joseph Penzien

McGraw-Hill, 2nd Ed., 1993

� DYNAMICS OF STRUCTURES.

Theory and Applications to Earthquake Engineering

Anil K. Chopra

Prentice Hall, International Edition, 1995

� STRUCTURAL DYNAMICS.

Theory and Computation

Mario Paz

Chapman & Hall, 4th Edition, 1997

� SISMOS E EDIFÍCIOS

Mário Lopes (coordenador)

Edições ORION, 2008

� REGULAMENTOS

RSA (1983) e REBAP (1985)

Eurocódigo 8 (2004) + Anexo Nacional (2008) e Euród igo 2 (2005)

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António Arêde 8

2.1 CARACTERIZAÇÃO DE UM SISTEMA COM UM GRAU DE

LIBERDADE

As características da mola são descritas pela relação entre a força F e odeslocamento y da extremidade da mola.

2. MODELOS MATEMÁTICOS DOS SISTEMAS COMUM GRAU DE LIBERDADE

2. MODELOS MATEMÁTICOS DOS SISTEMAS COMUM GRAU DE LIBERDADE

(1) Comportamento LINEAR

ykF =

(2) Comportamento NÃO - LINEAR

dyykdF )(=

No domínio elástico a mola “é um armazém de energia” !!

dyFdW =

2

00 2

1DkdyykdyFW

DD=== ∫∫

Energia de deformação

Essa energia pode ser dissipada por mecanismos de amortecim ento. Omodelo normalmente utilizado para caracterizar o amortecime nto é o deAMORTECEDOR VISCOSO LINEAR , em que a força de amortecimento fa édada por:

vcfa =velocidade

coeficiente de amortecimento

F

(1)

y

(2)

F

yD

F

dy

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António Arêde 9

Aplicando a 2ª Lei de NEWTON, a equação de movimento de uma par tículaescreve-se:

aF m=∑ aceleração relativa medida em relação a um referencial inercial

massa da partícula

Para os problemas de dinâmica de estruturas é útil introduzir o conceito deforça d’Alembert ou de força de inércia :

af mi −=

que não é mais do que a força fictícia em conjunto com a qual o si stema ficaem equilíbrio. Obtém-se assim a EQUAÇÃO DE EQUILÍBRIO DINÂMICO :

0Ff =+∑i

Força de inércia e Momento das forças de inércia:

f =-mai

a

b

c

G

ma

I Gα

ma

αya

xa

y

x

α+=α )(12

22 cbm

IG

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António Arêde 10

f(t)

yu(t)

k

c m

2.2 FORMULAÇÃO DAS EQUAÇÕES DE MOVIMENTO

2.2.1 Aplicação das Leis de Newton a um sistema dis creto

Considere-se o eixo y e o deslocamento uem relação a esse eixo.

As forças actuantes sobre o corpo devem estar em equilíbrio .

0tffff eai =+−−− )(

)(tfukucum =++ &&& )(tfukucum =++ &&&

Equação Fundamental da Dinâmica de Estruturas

fi f(t)

fe

af

Exemplo: Derivar a equação do movimento para pequenos deslo camentos doseguinte corpo rígido.

0M O =∑

0lumIsenlPM tG =+−−− )( &&&&θθθ

Mas:

θθθ kMlmII GO =+= e 2

0senlPklmIG =θ+θ+θ+ θ&&)( 2∴

kθ

G

l

lut θ&&&& =

Se θθθθ é pequeno: 0lPklmIG =+++ θθ θ )()( 2 &&

lθ

θO

f t

P

Gθ&&GI

fn

Mθ

tum && num &&

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2.2.2 Aplicação do Princípio dos Trabalhos Virtuais

Esta formulação tem particular interesse quando se aplica a um conjunto decorpos rígidos ligados entre si.

P.T.V. : Para um qualquer deslocamento virtual do sistema, o trabalh o virtualdas forças reais mais o das forças de inércia deve ser nulo.

0WWifr =+δδ

Exemplo: Seja o seguinte corpo rígido.

A coordenada generalizada que caracteriza a configuração do c orpo é θθθθ.Assim, no deslocamento virtual δθδθδθδθ o trabalho virtual das forças reais e das deinércia é:

δθ−δθ−=δ lfl

fW epr 4

3

δθδθδ Gif Ml

fWi

−−=2

0WWifr =δ+δ

Pδθ

θ MG

if

f e

pf

l/2 l/2

p

m

Mas

12

e 2

; ; 2

2

θ=θ=θ=θ== &&&&&& lmIM

lmflkf

lpf GGieP

donde

0lmllm

llkllp =δθθ+δθθ+δθθ+δθ &&&&

12224

3

2

2

8

3

3

22

2 lplk

lm −=+ θθ&&∴

l

G

12

2lmIG =

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2.3 ASSOCIAÇÃO DE CORPOS EM SISTEMAS DE UM GRAU DE

LIBERDADE GENERALIZADO

Podem ser de dois tipos:

Sistemas em que a deformação elástica estáconcentrada em elementos de mola

Sistemas com elasticidade distribuída e emque as deformações podem ser contínuasatravés de toda a estrutura

2.3.1 Sistemas com Deformação Elástica Concentrada em Elementos de Mola

ul

uv

l

u

u

v δ=δ⇒=δδ 2

2

02

402

22

2 =−+−⇔=δ−δ+δ−δ um

l

uNukf

uumvNufuf e

&&&&

ful

Nku

m =

−+∴ 4

2&&

Por contraste, uma força axial de tracção aumenta a rigidez a xial do sistema,tal como acontece no caso da corda de uma viola que através de m aior oumenor tensão na corda, produz um som diferente (rigidez dife rente, logofrequência diferente e portanto mudança de tom, mais agudo o u grave).

uδ

δv

fm m

NG1

k

vδ

uδu /2

u/2u/2

/2u

l/2 l/2

δ δu

2δv

uδ

u

m u/2m u/2

G2

Obs: Neste caso a força axial decompressão reduz a rigidez do sistema

4

lkNcr =

A força axial que conduz a uma rigidez total nula do sistema, c orresponde àsua carga crítica dada por:

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2.3.2 Sistemas com Elasticidade Distribuída

Consideram-se estruturas contínuas mas em que a deformada é dedeterminado tipo.

Caracteriza-se a deformada da estrutura num instante t, por um parâmetro(coordenada generalizada) que multiplica a função de forma que se admitiupara a deformada.

)()(),( xtutxu ψ=

função de forma

coordenada generalizada ou deslocamento generalizado

Exemplo: Barra encastrada, solicitada axialmente na extre midade.

l

xtutxu )(),( =

O Princípio dos Trabalhos Virtuais permite escrever:

intfir WWW δ=δ+δ

Trabalho de deformação interna

O campo dos deslocamentos virtuais é caracterizado por δu e portanto

ul

xxu δ=δ )(

( ) uPluPWr δ=δ=δ

( ) ( )∫ δρ−=δl

fi dxxutxuAW0

,&& masl

xtutxu )(),( &&&& =

donde

( ) ( ) ( ) utulA

dxxutul

Adxu

l

xtu

l

xAW

ll

fi δρ−=δρ−=δρ−=δ ∫∫ &&&&&&30

220

Assim:

PA

x

ρ u(x,t) u(t)

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∫ δεσ=δVint dVW

donde

( ) ( ) utul

AEAdxu

ltu

l

EW l

int δδδ =∫= 0

1

mas ( ) ( )tul

Etu

ldx

dudxAdV =σ==ε= ;

1;

ul

δ=δε 1

Finalmente

( ) ( ) Ptul

AEtu

lA =+ρ&&

3

Um sistema de flexibilidade distribuída, e que é caracteriz ado apenas por umparâmetro (a coordenada generalizada u(t)) conduz a uma equação deequilíbrio dinâmico idêntica à obtida para um sistema discr eto mais simples.

Para o caso geral em que )()(),( xtutxu ψ=

( ) ( ) ( ) **** ftuktuctum =++ &&&

em que

massa generalizada( ) ( )∫ ψ=l

dxxxmm0

2*

( ) ( )∫ ψ=l

dxxxcc0

2* amortecimento generalizado

∫

ψ=l

a dxdx

dAEk

0

2*

∫

ψ=

l f dxdx

dIEk

0

2

2

2*

rigidez generalizada (axial, flexão)

( ) ( )∫ ψ=l

dxxtxpf0

* , força generalizada

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3. MOVIMENTO LIVRE DE SISTEMAS COMUM GRAU DE LIBERDADE

3. MOVIMENTO LIVRE DE SISTEMAS COMUM GRAU DE LIBERDADE

Conforme já apresentado, a equação fundamental é:

( ) ( ) ( ) ( ).00, uutptu &e conhecendoCalcularOBJECTIVO:

)(tpukucum =++ &&& )(tpukucum =++ &&&

em que m, c, k e p(t) podem ser quantidades generalizadas.

Trata-se duma equação diferencial linear de 2ª ordem, de coe ficientesconstantes (2 constantes de integração).

A resposta total é a soma de duas parcelas:

)(tu p - movimento forçado – relacionado directamente com a carga p(t)

)(tuc - movimento natural – relacionado apenas com as característicasdo sistema

Em termos matemáticos:

Solução GERAL u (t) = Solução Particular up(t) + Solução Complementar uc(t)

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3.1 VIBRAÇÕES LIVRES SEM AMORTECIMENTO

0=+ ukum && 0=+ ukum &&

Existem procedimentos gerais para a solução deste tipo de eq uações.Porém, neste caso simples podemos resolvê-la directamente .

Uma solução do tipo

Substituindo na equação diferencial e atendendo a que

Como a equação deve ser satisfeita para qualquer instante t, obtém-se

twAu cos= ou

satisfaz a equação diferencial.

A e B são constantes que dependem do início do movimento e

w é uma característica física da estrutura

twAwu cos2−=&&

0cos)( 2 =+− wtkmwA

→=m

kw2

m

kw =

m

kw =

Frequência Natural (circular ou angular) do Sistema ( rad/s )

twBu sen=A equação também satisfaz a equação diferencial.

A solução geral vem então

twBtwAtu sencos)( +=

twBu sen=

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Determinação das constantes iniciais:

00 )0(;)0(0 uuuut && ==⇒= quandoSe

00 0sen0cos uABAu =→+=

w

uBBwAwu 0

0 0cos0sen&

& =→+−=

wtBwwtAwu cossen +−=&

e sendo

resulta


(Eq. 3.1)wtsenw

uwtutu 0

0 cos)(&

+=

Note-se que esta função é PERIÓDICA!

π=−+→+= 2)()()( wtTtwTtutu

wT

π= 2

wT

π= 2 Período da função (segundos)

π==

2

1 w

Tf

π==

2

1 w

Tf

Frequência Natural

em Ciclos / Segundo

ou Hertz (Hz)

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Exemplo: Seja o seguinte pórtico com uma viga de rigidez “infi nita”.

Pretende-se calcular w, f e T.

010 00 ==→= ummut &e instante noSe

ttu 8.22cos001.0)( =

GPaE

mA

21

3.03.0 2

=×=Dados:

sTHzf

sradw

mNl

EIk

kgm

276.063.314.32

8.22

/8.2210000

2106.2

/106.24

123.0

10211212

100000.58.9

20000

6

63

49

3

=⇒=×

=

=××=

×=×××

==

≅×=

Resolução:

4.0

12EI

5.0

20 kN/m

L312EI

3L

0.276s

0.1 0.2 0.3 0.4 t(seg)

u(mm)

1.0

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Observando a figura

Representação Vectorial ou em Diagrama de Argand

wtsenw

uwtutu 0

0 cos)(&

+=

Projecção no eixo R dos vectores e wu0&0u

ou

( )α−= wtCtu cos)(

Projecção no eixo R do vector C, que partiu com atraso de fase de αααα

α=

α=

sen

cos

0

0

C

wu

C

u

&

( )20

20 wuuC &+=

0u

wu0&α

pode-se escrever

0

0tgu

wu&=αcom

( )wtwtCtu sensencoscos)( α+α=

( )α−= wtCtu cos)(ou

A equação (3.1) pode ser transformada de modo conveniente.

Definindo2

020

+=w

uuC

&

+= wtsenC

wuwt

C

uCtu 00 cos)(

&vem

Ângulo de FASEu

t

T=2π/ω

T=2π/ω

u0

u0

Amplitude

I

R

0u

C

α

wt

u0/w

/w0u sen wt

cos wtu0

C cos (wt-α)

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3.2 VIBRAÇÕES LIVRES COM AMORTECIMENTO

0=++ ukucum &&& 0=++ ukucum &&&

A função tseCu = satisfaz a equação diferencial.

Substituindo

02 =++ ststst eCkesCcesCm

02 =++ kscsm

m

k

m

c

m

c

s

s−

±−=

2

2

1

22

tsts eCeCu 2121 +=

A solução virá

apresentando diferentes formas conforme as raízes s1 e s2.

3.2.1 Sistema Criticamente Amortecido

Caso em que o radicando é nulo

→=−

0

2

2

m

k

m

ccr mkccr 2=

ou, atendendo a que ⇒=m

kw wmccr 2=

amortecimento crítico

e então

m

css cr

221 −==

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Como as soluções são iguais, a solução geral do tipo Cest fornece só umaconstante, e portanto só uma solução independente.

( )tmccreCu 211

−=

Outra solução independente pode ser procurada com o seguint e aspecto

( )tmccretCu 222

−=

sm

ccr =−2

Designando

stst estCeCu 222 +=&

ststst estCesCesCu 22222 ++=&&

02 2222

22 =++++ ststststst etCkestCceCcestCmesCm

tmccretCCu )2/(21 )( −+=

e substituindo

0)()2( 2

0

22

0

=++++==

stst etCkscsmeCcsm4342143421

obtém-se uma expressão verdadeira que confirma a validade d estasegunda solução independente.

Assim, a solução geral será:

u(t)

t

0u

u0

Não entra em movimentooscilatório !!

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António Arêde 22

3.2.2 Sistema com Amortecimento Superior ao Crítico

3.2.3 Sistema com Amortecimento Inferior ao Crítico

As duas soluções s1 e s2 são reais e a solução geral é

tsts eCeCu 2121 +=

O gráfico é idêntico ao do caso criticamente amortecido só qu e tende parazero menos rapidamente.

crcc >

Coeficiente de amortecimento: 12

≤==ξwm

c

c

c

cr

Foi visto que

m

k

m

c

m

c

s

s−

±−=

2

2

1

22

e então

12222

2

1 −ξ±ξ−=−ξ±ξ−=

wwwwws

s

43421

aw

wiws

s 2

2

1 11 ξ−±ξ−=

⇒<ξsendo

A solução geral é então

tiwwttiwwt aa eCeCu −ξ−+ξ− += 21

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Introduzindo as condições iniciais, tem-se

Fazendo intervir as equações de Eulerxixeix sencos +=

xixe ix sencos −=−

pode-se transformar a expressão anterior

( )( ) ( )( )

( ) ( )

−++=

−++=

+=

ξ−

ξ−

−ξ−

tw

B

iCiCtw

A

CCe

twitwCtwitwCe

eCeCetu

aawt

aaaawt

tiwtiwwt aa

sencos

sencossencos

)(

2121

21

21

4342143421

para obter

( )twBtwAetu aawt sencos)( += ξ−

ξ++= ξ− tww

wuutwuetu a

aa

wt sencos)( 000

&

0uA =

( ) ( )twBwtwAwetwBtwAewtu aaaawt

aawt cossensencos)( +−++ξ−= ξ−ξ−&

aa w

wuuBBwuwu

ξ+=⇒+ξ−= 0000

&&

e finalmente

onde wa é a frequência angular do movimento com amortecimento.

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Tal como para o caso sem amortecimento,pode-se definir α tal que

2

0020

ξ++=aw

wuuuC

&

e obter

com

awu

wuu

0

00tgξ+=α

&

Nos casos correntes o amortecimento varia entre 2% e 20%.

Se ξ ξ ξ ξ = 0.2:

( )α−= ξ− tweCtu awt cos)(

Que graficamente adquire o aspecto

wwwww aa ≅⇒=ξ−= 98.01 2

O diagrama de Argand é idêntico ao apresentado para os sistemas com amortecimento. Neste caso a grandeza do vector vai d iminuindo com o tempo .( )wtCe ξ−

C

α

0u

aw

wuu ξ+ 00&

u(t)

C e−ξwt

t

u0

Ta

aa w

Tπ= 2

Movimento oscilatório não periódico

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António Arêde 25

3.3 DETERMINAÇÃO DO COEFICIENTE DE AMORTECIMENTO

Experimentalmente podemos determinar o coeficiente de amortecimento induzindo uma vibração no sistema e registando a dim inuição da sua amplitude com o tempo.

Considerem-se dois picos sucessivos u1 e u2

( )α−= ξ−11 cos1 tweCu a

wt

aaa w

tttwtwπ=−⇒π+α−=α− 2

2 1212u2 é tal que

( )α−= ξ−22 cos2 tweCu a

wt

aww

eu

uπξ

=⇒

2

2

1

Tomando o logaritmo natural obtém-se2

2

1

1

22ln

ξ−ξπ=ξπ==δ

aw

w

u

u

Para pequenos amortecimentos vem ξπ≅=δ 2ln2

1

u

u

o que permite determinar o coeficiente de amortecim ento conhecidos u1 e u2 afastados de Ta.

Para aumentar a precisão na sua determinação podemo s usar n

períodos, obtendo-se ξπδ n

u

u

n

2ln1

1 ≅=+

Outro processo consiste em observar o número de cic los que são necessários para reduzir 50% a amplitude do moviment o é consultar a seguinte relação gráfica

6

5

4

3

2

1

00 0.05 0.10 0.15 0.20

nº d

e ci

clo

s p

ara

red

uzir

a am

plit

ude

de

50%

ξ, coef. de amortec.

ln 2 = 2nπξ

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António Arêde 26

4. RESPOSTA DE SISTEMAS COM UM GRAU DE LIBERDADE A UMA CARGA HARMÓNICA

4. RESPOSTA DE SISTEMAS COM UM GRAU DE LIBERDADE A UMA CARGA HARMÓNICA

A solicitação (forças ou deslocamentos) podem ser represen tadas por senoou cosseno.

4.1 SISTEMA NÃO AMORTECIDO

Seja a solicitação ( ) twptp sen0=

0p

w

- amplitude

- frequência da solicitação

A equação de equilíbrio dinâmico é

twpukum sen0=+&&

e a solução complementar já se viu que é

Dado que no 1º membro só aparecem derivadas pares, a solução particular poderá ser do tipo

( ) wtBwtAtuc sencos +=

( ) twUtu p sen=

sendo

( ) twwUtu p cos=&

( ) twwUtu p sen2−=&&

Substituindo vem

twptwkUtwwUm sensensen 02 =+−

2

20

20

1

1

w

wk

p

wmk

pU

−=

−=

donde

p(t)

t(s)

p0

T

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António Arêde 27

w

wr =Designando por a razão de frequências

o deslocamento estático00 U

k

p=

vem

201

1

rUU

−=

A solução geral é então

( ) twr

UwtBwtAtu sen1

1sencos

20 −++=

Admitindo que para t = 0 ( ) ( ) 0000 == uu &e

obtém-se

( )

2020

20

110

cos1

cossen

0

r

rUB

r

wUwB

twr

wUwtwBwtwAtu

A

−−=⇒

−+=

−++−=

=

&

donde

( ) ( )wtrtwr

Utu sensen

1 20 −

−=

Trata-se da sobreposição de duas funções harmónicas com frequências diferentes, pelo que o movimento resultante NÃO É HARMÓNICO !!

Temos assim

21

1

r−

twsen

wtsenr

Factor de AMPLIFICAÇÃO DINÂMICA (estacionário)

Resposta em estado ESTACIONÁRIO

Resposta TRANSITÓRIA

FEUP - 2013

António Arêde 28

Exemplo: Considere-se o mesmo pórtico já estudado, sujeito agora a uma

força harmónica horizontal. Pretende-se calcular a respost a dinâmica.

0

15

20

sen)(

2106.2

8.22

21

00

0

0

6

====

=××=

==

uu

rad/sw

kNp

twptp

N/mk

rad/sw

GPaE

&

Dados e resultados anteriores:

5.0

4.0

m=2000 kg/m

0.3x0.3

p(t)

mus 0038.02106.2

2000060

=××

=

6580.w

wr ==

( ) ( )tttu 8.22sen658.015sen658.01

0038.02

−−

=

76411

12

.r

D =−

=

Acção

Resposta

u

t(s)0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6

6

4

2

(mm)

estacionária

resposta totaltransitória

p(t)

t(s)

20 kN

10 kN

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6

p = 20 sen 15t

t8.22sen658.0764.18.3 ×××−

t15sen764.18.3 ××

FEUP - 2013

António Arêde 29

Factores de Amplificação Dinâmica

3

4

2

1

00 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0

r = w/w

Estacionária, DTotal, Dt

D,D t

- da resposta estacionária 21

1

rD

−=

- da resposta total( )

0

max

st u

tuD = Factor de AMPLIFICAÇÃO

DINÂMICA TOTAL

Quando r = 1 ( ) ∞→tu

Verifica-se portanto que quando ocorre a RESSONÂNCIA é impossíveldeterminar u(t) pela expressão anterior. Então a solução será do tipo

( ) wwtwtCtu p == comcos

( )( ) twwtCtwwCtwwCtu

twwtCtwCtu

p

p

cossensen

sencos2−−−=

−=

&&

&

{ wm

pCtwptwtCktwwtmCtwwmC

wm 2sencoscossen2 0

0

2

2

−=⇒=+−−

twtwm

ptu p cos

2)( 0−=

( ) twtwm

pwtBwtAtu cos

2sencos 0−+=

Substituindo vem

donde

e a nova solução total resulta em

FEUP - 2013

António Arêde 30

Sendo para t = 0 ( ) ( ) 0000 == uu &e

obtém-se

donde a expressão final

( )

200

00

220

sen2

cos2

cos

0

wm

pB

wm

pwB

wttmw

wpwt

mw

pwtwBtu

A

=⇒−=

+−=

=

&

( ) ( ) ( )wtwtwtsenk

pwtwtwt

mw

ptu cos

2sencos

20

20 −=+−=

ww =:Obs

cuja evolução no tempo, tem o seguinte aspecto

u(t)

t

Amplitude crescente

4.2 SISTEMA COM AMORTECIMENTO

A equação é agora

twpukucum sen0=++ &&&

sendo a solução complementar

( ) ( )twBtwAetu aatw

c sencos += ξ−

A solução particular assume a forma seguinte

( ) twCtwCtu p cossen 21 +=

Onde são introduzidas estas duas parcelas porque em geral a resposta do sistema amortecido não está em fase com a carga har mónica.

FEUP - 2013

António Arêde 31

Re-arranjando a equação, vem

2

0

2

sen

ww

twm

pu

m

ku

m

cu

ξ↓↓

=++ &&&

Mas como

( ) twwCtwwCtu p sencos 21 −=&

( ) twwCtwwCtu p cossen 22

21 −−=&&

obtém-se, após substituição e separação dos múltipl os de sene cos

( )( ) twm

ptwwCwwCwC sensen2 02

122

1 =+ξ−−

( )( ) 0cos2 221

22 =+ξ+− twwCwwCwC

Dividindo por w2 resulta

k

pCrCrC 0

122

1 2 =+ξ−−

( ) 021 122 =ξ+− CrCr

donde

( ) ( )222

20

121

1

rr

r

k

pC

ξ+−−=

( ) ( )222

02

21

2

rr

r

k

pC

ξξ+−

−=


( ) ( )

( ) ( )( )[ ]

444444444 3444444444 21

4444 84444 76

iaEstacionár Parcela

aTransitóri Parcela

twrtwrrrk

p

twBtwAetu aawt

cos2sen121

1

sencos

2

222

0 ξ−−ξ+−

+

++= ξ−

FEUP - 2013

António Arêde 32

Tal como anteriormente, pode-sedefinir α tal que

( ) ( )222 21 rrC ξ+−=e

com

( )α−= twUtu sen)(

C

α

21 r−

rξ2

21

2

r

rtg

−ξ=α

C

r 21cos

−=αC

rξ=α 2sen

Considerando apenas a parte estacionária , virá

( ) ( )44444 344444 21

α−

α−α=

tw

twtwCk

ptu

sen

cossensencos10

donde

em queCk

pU

10=

( )22

01 1 r

Ck

pR −=

rCk

pR ξ= 2

20

2

( ) ( )D

rrCu

U

kp

U

so

=+−

===222 21

11

0 ξA razão representa

o COEFICIENTE DE AMPLIFICAÇÃO DINÂMICA da parcela estacionária.

wt α

I

RR2

1R

0p

kC =U

FEUP - 2013

António Arêde 33

Equilíbrio de forças da resposta em REGIME ESTACION ÁRIO

DpDk

pkUkFe 0

0 ===

DprDpwm

wcD

k

pwcUcFc 002

0 2 ξ==== &

DprDk

pwmUmFi 0

202 === &&

Velocidade

Este sistema de forças está em equilíbrio em REGIME ESTACIONÁRIO.

A dedução da equação do movimento podia então ser f eita, também, a partir desta consideração de equilíbrio.

O amortecimento introduz um atraso na resposta estac ionária, traduzido

pelo ângulo de fase α:

( )α−= twUtu p sen)(

( )α−−= twwUtu p cos)(&

( )α−−= twwUtu p sen)( 2&&

Pelo equilíbrio de forças pode-se então determinar a fase α e a amplitude U.

R

I

Fe

U

Fc

Fi

U

P0

U

αwt

Aceleração

Deslocamento

I

R

-P0

P0

U

α

kU

cwU

mw U2

FEUP - 2013

António Arêde 34

Do triângulo rectângulo da figura obtém-se

( ) ( ) 20

222 pUwcUwmKU =+−222 1

2tg

r

r

wmk

wc

UwmUk

Uwc

−ξ=

−=

−=α

( ) ( ) 2

2

2

2

22

20

222

202

1

1

+

−

=+−

=⇒

wm

wc

w

wk

p

wcwmk

pU

{ ( ) ( )444 3444 21

D

rr

u

k

pU

S

222

0

21

1

0

ξ+−↓

=⇔

FACTOR de AMPLIFICAÇÃO DINÂMICA versus RAZÃO de FREQUÊNCIAS :

4

3

2

1

00 1 2 3

r

D

ξ=1.0

ξ=0.7ξ=0.5

ξ=0.2

ξ=0

;

Relação entre o ÂNGULO de FASE e a RAZÃO de FREQUÊNCIAS :

r

α

FEUP - 2013

António Arêde 35

a) O movimento é HARMÓNICO e têm a mesma frequência da excitação

b) A amplitude é função de: amplitude e frequência da excitação ; frequência e amortecimento do sistema ;

O coeficiente de amplificação dinâmica tanto pode s er muito maior como menor que a unidade.

c) A RESPOSTA e a EXCITAÇÃO NÃO ESTÃO EM FASE, ou se ja não atingem os valores máximos simultaneamente. A respo sta atinge o máximo segundos depois de a excitação o t er atingido.wα

( )wp ;0

( )ξ;w

Conclusões importantes da resposta em REGIME ESTACI ONÁRIO

( )α−= twUtu sen)( DuU S0=

21

2

r

rtg

−ξ=α( ) ( )222 21

1

rrD

ξ+−=

d) Para (i.e., a forç a varia muito lentamente) o termo vem muito pequeno , tendendo para zero, e o termo ; logo o factor D é pouco maior que 1.

A resposta é então essencialmente independente de ( ξ) e é sobretudo controlada pela parcela estática, ou seja, pela rigidez .

Além disso (porque ), ou seja, a resposta está

essencialmente em fase com a acção .

1<<r ( )ww << ( )22 rξ

+→

−0

1

22r

rξ

( )1<ξ ( ) 11 2 →− r

0→α

e) Para (i.e., a forç a varia muito rapidamente) o termo é

preponderante e o ξ afecta pouco a resposta. No limite ,

donde , ou seja, a massa é que controla a

resposta (maior massa �� menor U ).

Além disso (porque ), ou seja, a resposta está

essencialmente em oposição de fase com a acção .

1>>r ( )ww >> ( )4r

−→

−0

1

22r

rξ180→α

2

2

24

11

w

w

rrD ==→

20

22

2

00

wm

p

wm

ku

w

wuU ss ==→

f) Para (i.e., a força v aria aproximadamente com a frequência

própria da estrutura), pelo que no limite vem

Quer dizer que a resposta é essencialmente afectada pelo amortecimento ,

donde maior amortecimento �� menor deslocamento máximo.

Além disso (porque ), ou seja, significa que o

deslocamento é máximo quando a força é nula ( atraso de fase de 90º ).

1≈r ( )ww ≈

∞→

− 21

2

r

rξ90→α

c

wp

wc

p

mw

p

k

puU

u

UD

cr

S

S

/

2222

1 002

000

0

====≈⇒→=ξξξξξ

FEUP - 2013

António Arêde 36FEUP - 2013

( ) ( ) ( )[ ]444 3444 21

44444 844444 76


0


sensencos αωωωξ −++= − tDutBtAetu sadadwt

Por derivação obtém-se a velocidade dada por:

Recorde-se que a resposta total é dada por

( ) ( ) ( )[ ]444 3444 21

44444 844444 76

&


0


cossencos αωωωωωξ −++= − tDutBtAetu savavwt

21

2

r

rtg

−= ξα

( ) ( )222 21

1

rrD

ξ+−=21 ξωω −=a

ωω=r

k

pus

00 =

[ ]πα ,0∈

)0()0(

:0 iniciais Condições

00 uueuu

t

&& ===

e impondo as condições iniciais, resulta:

ξξ

ξξ

ξξω

ξ

ξ

ddv

ddv

sd

sd

BAB

BAA

rrDuu

uB

rDuuA

−−−=

−+−=

−

−+++=

+=

2

2

22220

00

200

1

1

112(

2

&

que para condições iniciais nula, se simplifica par a:

onde

[ ]ξξξξ

ξξξ

ddvddv

sdsd

BABBAA

rrDuBrDuA

−−−=−+−=

−−+==22

22220

20

1;1

112(;2

António Arêde 37

Para ξ = 0 a solução é indeterminada, podendo a indeterminação ser

levantada usando a regra de l’Hôpital.

Nos casos correntes :amplitude a para pouco contribuie twwwa senξ=

( ) ( ) tweU

tu tw cos12

1

0

−ξ

≅ ξ−

( )2

cossen

2

sen1

1sen

1cos

22

0

twtwtwetwtwtwewt

U

tu

twtw

−=ξ−

+

ξ−ξ+−

=

ξ−ξ−

Assim, no caso de ressonância ( r=1 ) a expressão da resposta escreve-se:

( ) ( )ξ

−+= ξ−

2

cossencos 0 tw

k

ptwBtwAetu aa

tw

e, admitindo que para t = 0 , ( ) ( ) 0000 == uu &e

obtém-se

2

00

12

1;

2

1

ξ−=

ξ=

k

pB

k

pA

( )

−

ξ−ξ+

ξ= ξ− twtwtwe

k

ptu aa

tw cossen1

cos2

12

0

4.3 RESPOSTA EM RESSONÂNCIA

O pico da resposta em regime estacionário ocorre pa ra valores de r próximos

da unidade, sendo que o valor máximo exacto se obté m derivando a

expressão de D em ordem a r.

No entanto, para pequenos valores de ξ, os diversos valores de r no pico da

resposta praticamente coincidem em torno da unidade .

FEUP - 2013

António Arêde 38

Resolvendo a equação aproximada ( ) 1cos1 =−ξ− twe tw em ordem a wt,

obtém-se o número de ciclos necessário para que a r esposta amortecida em ressonância atinja o seu pico, traduzido pelo seg uinte aspecto gráfico:

ξ=0.2 ξ=0.1ξ=0.05

ξ=0.02

2 4 6 8 10 12nº de ciclos

0 4π 8π 12π 16π 20π 24π 28π

u(t)/us0

1/(2ξ)

1/(4ξ)

wt

Assim, a tradução gráfica da equação do movimento e m ressonância com amortecimento é:

t

1/(2ξ)

-1/(2ξ)

u(t)/us0

FEUP - 2013

António Arêde 39

4.4 CÁLCULO DO AMORTECIMENTO EM SISTEMAS DE 1 G.L.

i) Decréscimo da amplitude nas vibrações livres

πδ≅ξn

n

2 nm

mn u

u

+

=δ lnem que

ii) Amplificação em ressonância

Considere-se a estrutura solicitada por

Calcula-se a máxima amplitude U para um conjunto de frequências crescentes.

( ) twptp sen0=2U0

0

U0

1 2 r

3U0

U

w

Sabe-se que

e quando r=1

( ) ( ) 002220

;21

1suU

rrU

U =+−

=ξ

Inconveniente deste procedimento: necessidade de de terminar U0.

Os aparelhos que permitem aplicar a carga dinâmica, não têm, dum modo

geral, a possibilidade de aplicar p0 de forma estática.

1

0

0

1

22

1

=

= ≅⇒≅r

r

U

U

U

U ξξ

mede-se no gráfico

FEUP - 2013

António Arêde 40

iii) A partir das características da curva que relaciona a máxima amplitudecom a razão de frequências

A diferença entre duas frequências que correspondem à mesma amplitude está relacionada com o amortecimento.

12

1== rUU

Seja o caso particular em que

3U0

0 r1 12r 2

r=1U2

U

2U0

U0

r

( ) ( ) ξ=

ξ+−=

22

1

21

0

222

0 U

rr

UU

( ) ( )2222 218 rr ξ+−=ξ

ou seja

donde

Fazendo 2rR = vem ξ±=⇒ξ±≈ξ+ξ±ξ−=≈

212112211

22 rR321

desprezável

Usando a expansão binomial ou em série de Mc-Laurin e desprezando os termos de ordem superior à primeira, obtém-se en tão

( )

( )ξ≅−⇒

+ξ+=

+ξ−=2

22

11

22

11

12

2

1

rr

r

r

L

L

Lendo no gráfico os valores de r1 e r2 para aquele valor particular de U,

é então possível obter uma estimativa do factor de amortecimento.

FEUP - 2013

António Arêde 41

p(t) = p

p0

t = 0

p(t)

t

0

Consideremos a equação correspondente ao movimento devido a

A solução correspondente ao regime estacionário

twp cos0

Resposta complexa

Então a parte estacionária do movimento será dada pe la parte real ou pela parte imaginária conforme a solici tação

4.5 RESPOSTA NO DOMÍNIO DA FREQUÊNCIA COMPLEXA

twpukucum RRR cos0=++ &&&

( )[ ]α−= twUuR cos

Do mesmo modo será

twsenpukucum III 0=++ &&&

em que

( )[ ]α−= twsenUuI

Se multiplicarmos por esta equação e a somarmos à anterior resulta

1−=i

pepukucum twi ==++ 0&&&

em que a barra sobre p, u e suas derivadas designa um vector no plano complexo e

[ ]IR uiuu +=

twp cos0 twp sen0

Podemos admitir que a solução é do tipo

( ) twitwi eUeUu == −α

αieUU −= Amplitude de movimento

Amplitude unitária [ ]twitw sencos +

Substituindo na equação de movimento

twitwitwitwi epeUkeiwUCewUm 02 =++−

( )w

mw

mwi

w

w

u

wmw

ci

w

w

u

wk

ci

mk

w

kp

wciwmk

pU s

cr

s

22

2

22

220

20

211

/1

/00

ξξ +

−

=+

−

=+

−

=+−

=

t = 0 p(t) = 0

t

p0

p(t)

FEUP - 2013

António Arêde 42

Ou seja:

obtendo-se assim a resposta complexa no domínio da frequência .

Para determinar a amplitude e a fase da resposta es tacionária necessita-se apenas de determinar a amplitude e fase da expressã o complexa

( ) ( ) ( )

+−==

riru

UwG

s ξ21

12

0

( )wG

( ) ( ) 2222 1

2tg

21

1

0r

r

rru

U

s −=

+−= ξα

ξ

A correspondente representação gráfica é

uwu

uwiewiUu

eUutwi

twi

2−===

=

&&

&

u

I

u

w tα

u

R

pm u

c up

R

k u

I

onde:

(Note-se que multiplicar um número complexo por i, corresponde a rodar o correspondente vector de 90º no plano dos complexos )

Polígono de forças em equilíbrio

FEUP - 2013

António Arêde 43

Aplicando as expressões de e vem

4.5 RESPOSTA A FORMAS ESPECIAIS DE ACÇÃO HARMÓNICA

i) Transmissão de forças de máquinas vibratórias

m

p(t) = p0 sen w t

ck

Tf( ) ( )[ ]tuctuKfff ceT &+⋅=+=

( ) ( ) ( )[ ]αα −+−= twwctwsenkRutf dST cos0

( ) 2220 0

wckRuf dST +⋅=

( ) 2

0

0 21

+=w

wR

p

fd

T ξ

( ) ( )( ) ( )222

22

21

2121

rr

rrRTR d

ξξξ+−

+=+=

Num sistema actuado por uma forca p(t):

( )tu ( )tu&

cuja amplitude máxima é:

k

puS

00

=ou, atendendo a que: k = mw2, c = 2ξmw e

= TR = (factor de) transmissibilidade que medea fracção de força da máquina que étransmitida ao suporte.

ii) No caso de ser uma aceleração na base

gu

m

ut..

..ck

( ) twsenutu gg 0&&&& =

( ) ( ) ( )tututu gt

&&&&&& +=

Acção:

e a aceleração total vem:

A equação de equilíbrio dinâmico escreve-se:

( )twsenum

tumkuucumkuucum

g

gt

0

0

&&

&&&&&&&&

−=

−=++⇔=++

A resposta vem então:

( ) ( )α−−= twsenRk

umtu d

g0&&

a força transmitida à fundação ( fT) engloba a

força elástica ( ku) e de amortecimento( )uc &

FEUP - 2013

António Arêde 44

Derivando 2 vezes e adicionando a obtém-se que permite defini r

a relação entre aceleração total máxima da massa e a aceleraç ão

máxima e suporte dado por:

( )tug&& ( )tu t&&

( )tu0&&

( )0gu&&

( )( ) ( )

=

+−+= TR

rr

r

u

u

g

t

222

20

21

21

0 ξξ

&&

&&

que coincide com o factor de transmissibilidade.

( ) ⇒<<⇔<< 1rww00 g

t uu &&&& →

00 →tu&&

ou seja, a massa move-se rigidamente com o suporte⇒⇒⇒⇒ deslocamento relativo →→→→ 0

(porque o termo em r4 domina e →→→→ ∞)

Se:

Se: ⇒>>⇔>> 1rww

ou seja, a massa quase fica parada enquanto o solo se move muit o rápido.

iii) No caso de ser um deslocamento na base

Acção: ( ) twsenutu gg 0=

É possível concluir a mesma relação de

transmissibilidade em deslocamento:

( )( ) ( )

+−+==

222

20

21

21

0 rr

r

u

uTR

g

t

ξξ

g

t

u

u

ck

m

Note-se que estas expressões são particularmente úteis no e stado de vibrações

induzidas por máquinas, no estudo de acelerações em equipam entos

instalados nas estruturas e ainda na resposta de veículos ci rculando sobre

suportes irregulares (exemplos 3.3, 3.4 e 3.5 do livro de Ani l Chopra).

FEUP - 2013

António Arêde 45

4.6 DISSIPAÇÃO DE ENERGIA SOB ACÇÃO HARMÓNICA

Acção:

Energia dissipada num ciclo:

( ) twsenptp 0= Forças de amortecimento viscoso: ucfc &⋅=

( )∫ ∫ ∫π

⋅⋅π==⋅=⋅=T w

ccD UwcdtucdtufdufE0

/2

0

22&&

A energia introduzida no sistema devido à excitação, num ciclo é dada por:

com dtudu &= wT /2π= ( ) ( )α−= twUwtu cos&

Ou, como mwc 2ξ=2w

km =

w

wr = vem então:

22 UKrED ξπ= dss RUDUU00

=⋅=com

( ) ( ) ( ) ( )( )απ

απ

senUpE

dttwUwtwsenpdtutpdutpE

I

T w

I

0

0

/2

0 0 cos

⋅=⇔

−⋅=== ∫ ∫ ∫&

ou, atendendo à definição do ângulo de fase , pode ser dada por:

−=

21

2tg

r

Rξα

DI EUKrE =⋅ξπ= 22

Conclui-se então que a energia introduzida no sistem a é dissipada pelo

mecanismo de amortecimento do mesmo.

De facto, é possível demonstrar que a energia poten cial ( ES) associada à

deformação elástica e a energia cinética ( EK) associada à força de inércia

durante um ciclo são nulas, ou seja:

( )∫ ∫π

==⋅==w

eS dtukudufE/2

00...........&

( )∫ ∫ ==⋅==w

iK dtuumdufE/2

00...........

π&&&

FEUP - 2013

António Arêde 46

Evolução da força de amortecimento com o deslocamen to:

( ) ( )tuUwcftuCf DD22 −=⇔= &

( )1

22

=

+

⇔Uwc

f

U

tu D

Elipse em (u, fD)

U-U

> 0tu

(t)fD

< 0u tDE = 2π ξ r K U2

u(t)

Evolução da força no suporte com o deslocamento:

( ) ( )( ) ( )tUUwctuK

tuCtuKfff ceT

22 −+=

+=+= &

�� No espaço (u, fT) esta equação

representa uma elipse rodada, onde

fT é a força que se mede no suporte

num caso real.

u

r K Uπ ξ= 2DE 2

c w U

Ku

fT

1k

u(t)

Es = 0porque

Amortecimento viscoso equivalente:

Numa estrutura real, a resposta em termos de

força resistente fR , que acaba por englobar a

restituição elástica e o amortecimento, tem

uma forma menos regular. De qualquer modo,

pode ser registada a resposta histerética num

ciclo e obtida a área do diagrama. ED= energia dissipada real

u > 0

Rf

k

u

1

u

R

(carga)

(descarga)u < 0

Pode-se estimar a razão (factor) de amortecimento vi scoso equivalente ξeq ,

que num sistema ideal sob a mesma solicitação harmó nica, originaria a

mesma energia dissipada:RDeq EkU

w

w =⇒ 22 ξπ

Considerando ainda que a energia de deformação máxi ma até U, é dada

por , pode-se então escrever: o amortecimento

equivalente sob solicitação sinusoidal à frequência .

22

0UKES =

ww

EE Sdreq /4

/0

π=ξ

Se a medição for em ressonância (quando

é mais sensível o amortecimento), vem:

=

πξ

4

1

0S

dreq E

E

FEUP - 2013


5. RESPOSTA DE SISTEMAS DE UM GRAU DE LIBERDADE A UMA ACÇÃO DINÂMICA QUALQUER

5. RESPOSTA DE SISTEMAS DE UM GRAU DE LIBERDADE A UMA ACÇÃO DINÂMICA QUALQUER

Em muitos casos a acção dinâmica não é harmónica. Veremos que aresposta pode ser obtida em termos de um integral, que nos cas os em quea acção é simples, pode ser calculado analiticamente e que no utros casospode ser calculado numericamente.

Condições iniciais:

Pretende-se a resposta de um sistema de

1 grau de liberdade (de período T ) para

um impulso de curta duração td << T

Considere-se uma força f(t) com uma duração td. Define-se o correspondente

impulso como sendo

5.1 RESPOSTA DE UM SISTEMA DE 1 G.L. A UM IMPULSO D E PEQUENA DURAÇÃO. RESPOSTA A UM IMPULSO UNITÁRIO

( )∫= dtdttpI

0

( ) ( ) 000 == uu &

A equação do movimento para o caso de amortecimento nulo é:

( )

<=+≤<=+

ttukum

tttpukum

d

d

0

0

&&

&&

Integrando a 1ª equação, e fazendo intervir as condições inic iais, vem

( ) ( ) Idttptuktumdt

dmedd ==+ ∫0&

em que umed é o deslocamento médio no intervalo 0 a td.

Quando 0→dt ( ) ( ) vem , por designando e +0utu d &&

( ) ( )m

IuIum =⇒= ++ 00 && ( ) ldesprezáve→+0ue

dt

p(t)

t

td << T

António Arêde 48

Então, o efeito duma carga que actua durante um tempo muito cu rto é o de

dar à massa m uma velocidade inicial igual a I/m, que é uma das condições

iniciais do movimento livre para t>td. A outra condição é a de deslocamento

inicial desprezável.

Introduzindo estas condições na expressão do deslocamento e mmovimento livre (após o impulso), vem

Obtendo-se assim a RESPOSTA A UM IMPULSO.

Fazendo I = 1 obtém-se a resposta a um impulso unitário , dada por

Para o caso do amortecimento ser não nulo, virá

A um sistema de 1 grau de liberdade

aplica-se uma carga genérica p(t) com a

lei genérica representada na figura.

( ) ( ) ( ) ( ) ( )wt

wm

dttpwt

w

uwtuwt

w

utu

dt

sensen0

cos0sen0 0∫=≅+=

++

+&&

( ) wtwm

th sen1=

( )( )

twewm

dttptu a

tw

a

td

sen0 ξ−∫=

( ) twewm

th atw

a

sen1 ξ−=

RESPOSTA A UM IMPULSO

RESPOSTA A UM IMPULSO UNITÁRIO

5.2 RESPOSTA A UMA ACÇÃO QUALQUER. INTEGRAL DE DUHAMEL

Condições iniciais:

( ) ( ) 000 == uu &

Amortecimento nulo

τ t

p(t)

dτ

τ

u(t)

t

du(t)

(t −τ)

FEUP - 2013

António Arêde 49

A resposta em t a um impulso elementar dI = p(τ)dτ no instante (τ < t) é

Aplicando o Princípio da Sobreposição dos Efeitos (válido a penas em

sistemas lineares), obtém-se a resposta no instante t como o somatório das

respostas devidas a todos os impulsos anteriores a t, ou seja

ou ainda

( ) ( ) ( ) ( )ττττ −=−= twwm

dptw

wm

Idtud sensen

( ) ( ) ( )∫ −=t

dtwpwm

tu0

sen1 τττ

( ) ( ) ( )∫ −=t

dthptu0

τττ

Função de resposta ao impulso unitário

O integral nesta equação é conhecido como o INTEGRAL de DUHAMEL e

permite calcular o deslocamento total produzido pela força p(t).

Se as condições iniciais forem ( ) ( ) 00 00 uuuu && == e

( ) ( ) ( )∫ −++=t

dtwpwm

tww

utwutu

0

00 sen

1sencos τττ&

resulta

No caso do sistema ter amortecimento e condições in iciais nulas, virá

( ) ( ) ( ) ( )∫ −= −−t

atw

a

dtwepwm

tu0

sen1 τττ τξ

expressão à qual deve ser adicionada uma parcela co rrespondente ao movimento livre com amortecimento se as condições i niciais forem diferentes de zero.

FEUP - 2013

António Arêde 50

5.3 FORÇA CONSTANTE SUBITAMENTE APLICADA (SEM AMORTECIMENTO)

Aplicando o integral de Duhamel a p(t) = P0 = constante , virá

( ) ( )

( ) ( )[ ]

( ) ( ) ( )twututwk

P

twwm

Ptu

dtwPwm

tu

s

t

t

cos1cos1

cos

sen1

0

0

020

0 0

−=⇒−=

−=

−= ∫

τ

ττ

que graficamente vem traduzido do seguinte modo

O máximo deslocamento duma carga subitamente aplicada é então o dobro do deslocamento que se obtém aplicando a mesma carga de forma estática .

5.4 CARGA RECTANGULAR (SEM AMORTECIMENTO)

Trata-se duma carga p(t) = P0 , subitamente aplicada mas só durante um

intervalo de tempo td.

Até ao instante td vem, tal como no caso anterior,

( ) ( ) dtttwk

Ptu <−= cos10

Para t > td temos uma vibração livre em que as condições inicia is são:

( ) ( )dd twk

Ptu cos10 −=

( ) dd twwk

Ptu sen0=&

u/us

t

0

0

1

2

e portanto, substituindo na expressão do movimento livre não amortecido, obtém-se

FEUP - 2013

António Arêde 51

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

−+−−−=

−+−−=

−44444444 344444444 21

twddddd

dddd

ttwtwttwtwttwk

P

ttwtwk

Pttwtw

k

Ptu

cos

sensencoscoscos

sensencoscos1

0

00

( ) ( )[ ]wtttwk

Ptu d coscos0 −−= dtt ≥

5.5 CÁLCULO NUMÉRICO DO INTEGRAL DE DUHAMEL

Quando a função p(t) não é simples, ou só é conhecida a partir de

medições (como é o caso da solicitação sísmica), é necessário calcular o integral numericamente.

A relação trigonométrica ( ) τ−τ=τ− wwtwwttw sencoscossensen

permite escrever o integral de Duhamel com o seguin te aspecto

( ) ( ) ( )∫ ∫−=t t

dwpwm

wtdwpwm

wttu0 0

sen1

coscos1

sen ττττττ

ou( ) ( ) ( )[ ] wmtwtBtwtAtu cossen −=

em que ( ) ( ) ( ) ( )∫∫ ==tt

dwptBdwptA00

sencos ττττττ e

O cálculo numérico de A(t) e de B(t) pode ser feito usando diversos métodos.

Designando a função a integrar por I(τ), virá

Regra dos Trapézios:

Regra de Simpson:

( ) ( )nn IIIIItA +++++τ∆= −1210 2...222

1

( ) ( )nn IIIIItA +++++τ∆= −1210 4...243

1

Quando se pretenda a história completa da resposta é conveniente escrever

A(t) de forma incremental:

t/tn ∆=

e n par.

( ) ( ) ( )∫−

+= −i

i

t

tii dwptAtA1

cos1 τττ

Se o sistema tem amortecimento, o procedimento é an álogo.

FEUP - 2013

António Arêde 52

5.6 CÁLCULO DA VELOCIDADE E ACELERAÇÃO DO INTEGRAL DE DUHAMEL

Partindo da expressão base doo integral de Duhamel:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )tutum

tptutptuktuctum 22 ωξω −−=⇔=++ &&&&&&

( ) ( ) ( ) ( ) 0)(;0)(;sen1

, 21 ==−= −− tatatwepwm

th atw

a

τττ τξem que:

a velocidade calcula-se por derivação de modo segui nte:

( ) ( ) ( ) ( )

−+∂

∂== ∫ dt

tdatath

dt

tdatathd

t

th

dt

tdutu

ta

ta

)()(,

)()(,

,)( 11

22

)(

)(

2

1

ττ&

No caso do integral de Duhamel tem-se:

( ) ( ) ( ) twepwm

thtathdt

tdaa

tw

a

sen01

0,)(,;0)(

11 ξ−===

( ) ( ) ( ) 00sen1

,)(,;1)( 0

22 ==== etp

wmtthtath

dt

tda

a

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]

( ) ( )( ) ( ) ( )

−

−−−=

−+−−=

−

∂∂=

∂∂

−−

−−−−−−

τξ

ξττ

ττξτττ

τξ

τξτξτξ

twwtwwwm

ep

twewtwewwm

ptwe

wm

p

tt

th

aaaaa

tw

atw

aatw

aa

tw

a

sen1

cos

cossensen)(

2

Pelo que a velocidade se simplifica para:

( ) ( ) ( )[ ] ( )∫∫ ∂

∂=⋅−⋅+∂

∂=tta

tad

t

ththd

t

thtu

0

)(

)(

,00,10

,2

1

ττττ&

A derivada parcial da função integranda vem :

Donde a velocidade se pode expressar por:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫

−

−−−= −−t

aatw dtwtwep

mtu

0 2sen

1cos

1 ττξ

ξττ τξ&

A aceleração pode ser facilmente obtida da equação de equilíbrio dinâmico:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫∫ =−= −− )(

)(0

2

1

,sen1 ta

ta

t

atw

a

dthdtwepwm

tu τττττ τξ

FEUP - 2013


6. ANÁLISE de FOURIER e RESPOSTA no DOMÍNIO da FREQUÊNCIA

6. ANÁLISE de FOURIER e RESPOSTA no DOMÍNIO da FREQUÊNCIA

( ) { }∑∞

=

++=1

0 sencosn

nn twnbtwnaatp

Tw

π2=

( )∫+

=Tt

tdttp

Ta

1

1

10

( )∫+

=Tt

tn dttwntpT

a1

1

cos2

( )∫+

=Tt

tn dttwnsentpT

b1

1

2

frequência que vai aumentando de forma discreta

frequência de força periódica

Valor médio da força no período

pesos (amplitudes das funções cos e sen )

( )[ ]00 .20se aan nn =⇒= =

Neste capítulo apresenta-se a aplicação das séries de Fouri er nadeterminação de:

• Resposta de sistemas a forças PERIÓDICAS

• Resposta de sistemas a forças NÃO PERIÓDICAS como a lternativa à análise no domínio do tempo

6.1 RESPOSTA A FORÇAS PERIÓDICAS

6.1.1 Desenvolvimento em séries de Fourier duma for ça PERIÓDICA

p (t)

T T T

t

1t - é um instante qualquer, normalmente zero ou 2T−

António Arêde 54

Onda rectangular

Contribuição dos primeirostermos não-nulos da série de

Fourier:- termos cos anulam-se

- termos pares sen anulam-se

6.1.2 Resposta a uma carga representada por SÉRIES DE FOURIER

( )

nrw

wnr

twnrk

btu

n

n

nn

==

−= sen

1

12

A resposta estacionária produzida num sistema de 1 grau de lib erdade porcada termo seno da carga harmónica é

e para cada termo cosseno

e para a parcela constante

( ) twnrk

atu

n

nn cos

1

12−

=

( ) ( )

+

−+=

=

∑∞

=120

00

cos1

11

nnn

n

twnsenbtwnar

ak

tu

k

au

t

p(t)

p0

-p0

T1

t

t

n=3

t

n=1

• termos até à 3ª ordem,representados a escalasindicativas diferentes;

• aproximação apenas comtermos até à 3ª ordem;

• aproximação com termosaté à 5ª ordem.

FEUP - 2013

António Arêde 55

6.2 FORMA EXPONENCIAL DAS SÉRIES DE FOURIER

( ) ( ) ( ) ( )twnitwnetwnitwne twintwin sencos;sencos −=+= −

Assim, a função solicitação pode ser expressa por

( ) ( )i

eetwn

eetwn

twintwintwintwin

2sen;

2cos

−− −=+=

( )

∑∑

∑∞

−∞=

∞

=

−

∞

=

−−

=

−+

++=

−+++=

n

twinn

n

twinnntwinnn

n

twintwin

n

twintwin

n

ePei

bae

i

baa

i

eeb

eeaatp

10

10

2222

22

( ) ( )

( ) ( ) ( )

−==

−++=+=

∫∫∫

∫∫−

−−

TTT twin

Ttwintwin

Ttwintwin

nnn

dttwntpidttwntpT

dtetpT

dti

eetp

iTdt

eetp

Ti

baP

000

00

)cos()cos(11

2

1

2

1

22

Os termos imaginários anulam-se mutuamente quando n varia de – ∞∞∞∞ a +∞∞∞∞,

pelo que, o somatório acima resulta numa função real (solici tação aplicada).

Vejamos como se escreve resposta a uma carga harmónica na for maexponencial, partindo da equação de equilíbrio dinâmico :

A parcela estacionária da resposta terá a forma semelhante à funçãosolicitação

twsenitweukucum twi +==++ cos&&&

( ) ( ) twiewHtu =

Considerando a conhecida relação de Euler

pode-se escrever as seguintes expressões

( )( ) ( )twn

nntwn

nnnn bbaa

aa

sencos

00 ;;

2 −−= −===

atendendo a que, pelas definições de an (função par) e de bn (função ímpar), se tem

ou seja

( ) nn

T twinnn BiAwnBiwnAdtetp

TwPP −=−=== ∫

− )()(1

)(0

( ) ( )

==

== ∫∫

T

nn

T

nn dttwntpT

wBBdttwntpT

wAA00

)cos(1

)(;)cos(1

)(

com

FEUP - 2013

António Arêde 56

pelo que, substituindo na equação de equilíbrio, se obtém

6.3 ANÁLISE DA RESPOSTA NO DOMÍNIO DA FREQUÊNCIA

( ) ( ) twinn

n

n ePwHtu ∑∞

−∞=

=

É semelhante à análise para cargas periódicas. No entanto é n ecessárioestender o conceito de desenvolvimento em séries de Fourier para arepresentação de funções não periódicas.

Considere-se a seguinte carga não periódica, que se pode ima ginar comrepetições fictícias (a tracejado) ao fim de um dado tempo Tp.

Calculando os coeficientes no intervalo [0, Tp], obtém-se a funçãoperiódica representada a tracejado.

e pelo princípio da sobreposição dos efeitos, a parcela esta cionária daresposta total do sistema a uma qualquer função periódica p(t) vem:

( ) ( ) ( ) twitwitwitwi eewHkewHwicewHwm =++− 2

( ) ( )( )k

wG

irr

k

kcwimwwH =

+−=

++−=

ξ21

/1122

22 wr ⋅− wr ⋅k

wcr =ξ2

A resposta a uma frequência será entãownwn =

FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA

Resposta dinâmica complexa a uma solicitação complexa de amplitude unitária twie

p (t)

p-T pT 2Tp

0

( ) ( )inrrn

kwH n

ξ21

/122 +−

=

nP

FEUP - 2013

António Arêde 57

Se em vez de for adoptada a frequência o par de transformadas d eFourier escreve-se então:

Aumentando o período eliminam-se as repetições da carga, po dendo-sefazer o seguinte ajuste de notação:

Se o incremento da frequência torna-se infinitesimal

e a frequência discreta torna-se na função contínua .

No limite temos o integral de Fourier, em termos de

e a função amplitude

As equações anteriores das séries de Fourier escrevem-se en tão

ππ 22

1 ww

TP

∆≡= porque resulta pequeno quando Tp é escolhido grande

nwwnwn ≡∆= Frequência da n-ésima componente

( ) ( )nnp

n wPw

wPT

Pπ2

1 ∆== ( ) ( ) dtetpwPp

nTt

t

twin ∫

+ −= 1

1

com

( ) ( ) ( )[ ]

( ) ( ) dtetpPTwP

wewPewPw

tp

twi

Tt

Tt

npn

n

twin

n

twin

n

p

p

nn

−=

−=

∞

−∞=

∞

−∞=

∫

∑∑

==

∆=∆=

2

2

2

1

2 ππ

∞→pT wdw →∆

nw w

( ) ( ) ( )wde

wPwdewPtp twi

w

twi

w ∫∫∞

−∞=

∞

−∞===

ππ 22

1

( ) ( ) dtetpwP twi

t

−∞

−∞=∫=

Os dois integrais constituem um par de transformadas de Four ier, que paraexistirem é necessário que seja finito o seguinte integral ( )dttft∫

∞−∞=

( ) ( ) fdefPtp tfi

f

π2∫

∞

−∞==

( ) ( ) dtetPfP tfi

t

π2−∞

−∞=∫=

w

w f

FEUP - 2013

António Arêde 58

onde define a amplitude por unidade de da componente da

carga com frequência , exactamente como para a solicitação.

A comparação das duas últimas expressões permite concluir q ue:

ou seja, tal como já visto anteriormente, exprime, no domíni o dafrequência, a resposta complexa por unidade de solicitação complexa.

A expressão então obtida traduz a relação excitação-respos ta no domínioda frequência, definida pela função que também se designa de Funçãode Resposta em Frequência (FRF) e fica caracterizada pela am plitude ouganho e pelo ângulo de fase dados por:

( ) ( ) ( )∫∞

−∞==

w

iwt wdewPwHtuπ2

1

A primeira função do par de transformadas de Fourier pode ser interpretada

como a representação duma carga arbitrária como a soma de um n úmero

infinito de componentes harmónicas e define a amplitude por

unidade de da componente da carga com frequência .

De acordo com o exposto atrás, a resposta total será então:

ww( ) π2/wP

Por outro lado, tal como se fez para a solicitação p(t), também se podeescrever a função deslocamento u(t) através do integral de Fourier, i.e.:

( ) ( )wde

wUtu twi

w∫∞

−∞==

π2

ww( ) π2/wU

( ) ( ) ( )wPwHwU = ( ) ( ) ( )wPwUwH /=⇔

( )wH

( )wH

( ) ( ) ( )wwiww

k

rir

kwH

ξξ 2)(1

/1

21

/122 +−

=+−

=

em que

( )( ) ( )222 2)(1

/1

wwww

kwH

ξ+−= ( )

−=

2)(1

2

ww

wwtanaw

ξα

Amplitude ou ganho:

- atinge picos na ressonância ( r=1)

Ângulo de fase:

- varia de 180º em torno da ressonância e vale 90º em r=1

FEUP - 2013

António Arêde 59

Numéricamente, o cálculo dos integrais de Fourier é feito at ravés desomatórios que resultam de um algoritmo eficaz.

O período é então dividido em N intervalos ∆∆∆∆t ( = Tp / N ) e a carga é definidapara os instantes tm = m ∆∆∆∆t.

Resulta assim

pTw

π2=∆

e

6.4 ANÁLISE NUMÉRICA NO DOMÍNIO DA FREQUÊNCIA

N

nmi

tmwintwi eee mnπ2

== ∆∆

( ) ∑−

=

==1

0

2N

n

N

mni

nmm ePtppπ

( ) ∑−

=

−==

1

0

21 N

m

N

mni

mnn epN

wPPπ

Estas duas últimas expressões são designadas por par de tran sformadasdiscretas de Fourier.

O cálculo destas transformadas pode ser feito de forma efici ente usando atécnica designada de transformada rápida Fourier (Fast Fou rier Transform– FFT).

Em primeiro lugar é necessário definir o período da carga Tp que tambémserve para definir a frequência mais baixa.

FEUP - 2013

António Arêde 60

RESPOSTA A FORÇAS PERIÓDICAS

( ) ( ) ( )

−∫

−−t

atw

a

dtwepmw 0

1 τττ τξ sen

( ) ∑+∞

−∞=

=n

twinn ePtp ( ) ( )∫

−=T twin

n dtetpt

wP0

1

( ) ( )∑+∞

−∞=

=n

n tutu ( ) ( ) ( ) twinnnn ewPwHtu =

Ou

Integral de Duhamel

com:

twieukucum =++ &&&

( ) ( ) twiewHtu =

( ) ( )rirkwH

ξ21

12 +−

=

wnw

Domínio do tempo Domínio da frequência

RESPOSTA A FORÇAS COM LEI DE VARIAÇÃO QUALQUER

( ) ( ) ( )

−∫

−−t

atw

a

dtwepmw 0

1 τττ τξ sen

( ) ( )wde

wPtp iwt

w∫∞+

−∞==

π2( ) ( )∫

∞+

−∞=

−=t

twi dtetpwP

ππ 2

1

2

( ) ( ) ( )wde

wPwHtu

w

twi

∫∞+

−∞==

π2( ) ( )

wdewP

wH twi

π2

Ou

Integral de Duhamelcom:

( ) ( )rirkwH

ξ21

12 +−

=

Domínio do tempo Domínio da frequência

Transformada directa de Fourier da acção

6.5 COMPARAÇÃO DE METODOLOGIAS DE ANÁLISE NO DOMÍNIO DO TEMPO E NO DOMÍNIO DA FREQUÊNCIA

Transformada inversa de Fourier da resposta

twieukucum =++ &&&

( ) ( ) twiewHtu =

FEUP - 2013


7. RESPOSTA à ACÇÃO SÍSMICA de SISTEMAS COM UM GRAU DE LIBERDADE

7. RESPOSTA à ACÇÃO SÍSMICA de SISTEMAS COM UM GRAU DE LIBERDADE

Conhecendo-se a lei de movimento do solo, pretende-se a resp osta daestrutura.

Neste caso a equação do movimentoda estrutura vem

A força sísmica é então

Tudo se passa como se a massa m fosse solicitada por uma força

proporcional à aceleração do solo, mantendo-se os apoios fi xos.

- deslocamento do solo( )tug

- deslocamento relativo( )tu

- deslocamento total( )tu t

uug

ut

k/2 k/2

m

eixo

de

refe

rên

cia

0=++ ukucum t&&&

O movimento sísmico origina uma resposta dinâmica porque as forças deinércia dependem do deslocamento total e as forças elástica s e deamortecimento dependem do movimento relativo.

tu

gt uuu +=

gumukucum &&&&& −=++

guuwuwu &&&&& −=+ξ+ 22

gef umF &&−=

7.1 CONCEITO E OBTENÇÃO DE ESPECTROS

António Arêde 62

A expressão do movimento relativo pode ser obtida, por exemp lo, através dointegral de Duhamel

- são os acelerogramas registados à superfície do solo( )tug&&

( ) ( ) ( ) ( )∫ ττ−τ= τ−ξ−t twg dtweum

wmtu

0sen

1&&

O valor máximo deste deslocamento pode ser tomado como uma me dida daintensidade do sismo que originou o acelerograma ( )tug

&&

Seja então

( ) ( ){ }tuwSd max, =ξ

Fazendo variar w e ξ, e traçando o resultado num diagrama (Sd , w),,,, paraparaparaparacadacadacadacada valorvalorvalorvalor dededede ξ, obtém-se

5

dS

w10 15 20 25

ξ = 0.02

ξ = 0.1

Resposta de todos os possíveis osciladores de 1 G.L., com umdado amortecimento, a uma dada acção.

ESPECTRO DE RESPOSTA DE DESLOCAMENTOS

Acelerograma

-150

-100

-50

0

50

100

150

0 2 4 6 8 10 12 14 16

t (s)

a (cm/s2)

FEUP - 2013

António Arêde 63

Num sistema sem amortecimento, a aceleração absoluta é semp reproporcional ao deslocamento, o que se verifica também no in stante dosvalores máximos.

Ou seja

Considerando a envolvente de espectros devidos a vá rios acelerogramas que caracterizam a acção sísmica, obtêm-se os Espectros de Resposta Regulamentares .

(7.1)max2

maxmaxmax 00 uwuukumukum ttt −=⇒=+⇒=+ &&&&&&

( ) ( )wSwwS da2−=

O mesmo se pode obter no caso de sistemas com amortecimento, a tendendoa que, quando o deslocamento relativo é máximo, a velocidade relativa é nula(ou próxima de zero), pelo que

( ) ( )ξ−≅ξ ,, 2 wSwwS da

A expressão (7.1), que por mera coincidência é idêntica à que se obtém numaresposta harmónica, sugere a definição duma velocidade fictícia associadacom um movimento harmónico aparente.

Trata-se da designada pseudo-velocidade , cujo valor máximo Sv é definido

como velocidade espectral e dado por

( ) ( ) ( )w

wSwSwwS a

dv

ξ=ξ=ξ ,,,

onde, por conveniência e por serem irrelevantes, se omitira m os sinais.

Outra forma habitual desta expressão é: ( ) ( ) ( )ξ=ξ=ξ ,,, 2 wSwwSwwS dva

(7.2)

FEUP - 2013

António Arêde 64

Exemplo : Para o pórtico que tem vindo a ser apresentado, d eterminar o máximo deslocamento e o máximo corte basal.

ESPECTRO TRILOGARÍTMICO

É possível num mesmo gráfico registar os valores es pectrais da aceleração, velocidade e deslocamento.

De facto, a relação (8.2) entre as três grandezas es pectrais, permite escrever:

HzfsradwmNkkgm 63.3;/8.22;/102.5;10000 6 ==×==

mmmw

SSscmS a

da 07.800807.08.22

2.4;/420

222 =====

Admitindo ξξξξ = 5%, retira-se do espectro regulamentar

donde a força elástica:

NSkf de 419641007.8102.5 36 =×××== −

Ou, sabendo que num sistema em vibração livre se te m

tieei umffff max0 &&−=−=⇒=+

NSmf ae 420002.410000 =×==

( ) ( ) ( )

π+−=⇒

π=

=

π+=⇒π==

2logloglog

2logloglog

2logloglog2logloglog

av

aav

dvddv

SfS

f

S

w

SS

SfSSfSwS

Estas expressões representam uma infinidade de rect as a 45º e –45º num

gráfico (log Sv , log f ), conforme se vão dando sucessivos valores a Sd e Sa.

Se se construir uma escala para cada uma dessas dua s classes de rectas, i.e., uma escala para as rectas lugar geométrico do s pares de valores que correspondem a um deslocamento espectral constante e outra escala para as rectas de aceleração espectral constante, obtém-se um gráfico tripartido geralmente designado por ESPECTRO TRILOGARÍTMICO.

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António Arêde 65

Exemplo : Espectros Trilogarítmicos do sismo de El Centro ( 1940) – 0.32g, para vários coeficientes de amortecimento.

Espectro de Resposta de Projecto:

(espectro médio, normalizado para uma aceleração máx ima do solo unitária 1.0g)

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António Arêde 66

De igual forma também pode ser traçado em termos d o período de vibração, apenas se invertendo a orientação das rectas a 45º.

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António Arêde 67

a) ESCALAS DE QUANTIFICAÇÃO DA ACTIVIDADE SÍSMICA

MAGNITUDE �� Medida da energia libertada no foco do sismo.

Magnitude de Richter (1935), convencionada como:

• logaritmo decimal (log) da amplitude máxima do movimento sí smico(em mícrons) registada por um sismógrafo a 100 km do foco do si smo;

• a relação da magnitude M com a quantidade E energia libertada no foco,foi estabelecida como log E = 12,2+1,44M , onde E se expressa em erg eM é adimensional;

• os valores da magnitude, efeitos, ocorrências e eventos com parativospodem ser expressos na seguinte escala:

7.2.1 Aspectos básicos da acção sísmica

7.2 ASPECTOS REGULAMENTARES DA ACÇÃO SÍSMICA

FEUP - 2013

António Arêde 68

INTENSIDADE �� está ligada aos efeitos do sismo (movimentos do solo)nos diferentes locais, no comportamento das construções e n osefeitos sobre a natureza; é uma escala qualitativa, baseada emobservações dos locais afectados e em relatos de pessoas.

Escala de Mercalli-Sieberg , modificada por Wood e Neumann , com osseguintes graus:

• O sismo passa despercebido à maior parte das pessoas, sendodetectado pelos sismógrafos.

• O sismo é sentido por pessoas em repouso, especialmente nos p isossuperiores dos edifícios altos (oscilação de objectos susp ensos).

• As oscilações são claramente perceptíveis no interior das h abitaçõesmas muitas pessoas não as identificam como sismo. Não háquaisquer estragos materiais.

• O sismo é claramente perceptível como tal no interior das hab itações,vibrando loiças, vidros e portas. No exterior passa desperc ebido àmaioria das pessoas.

• O sismo é claramente perceptível como tal tanto no exterior c omo nointerior das habitações, onde se partem algumas loiças e vid ros e asportas batem fortemente; abrem fendas nos estuques.

• O sismo é imediatamente identificado; os móveis das habitaç õesdeslocam-se, há quedas de estuque e danos nas chaminés eelementos afins .

• O sismo produz danos ligeiros nos edifícios de boa construçã odanos médios nos edifícios de alvenaria corrente e danosconsideráveis nos edifícios de má construção.

• Produzem-se danos ligeiros em estruturas de boas caracterís ticasanti-sísmicas, danos consideráveis nas construções de alv enaria depedra irregular e colapso em grande número de construções ma lconcebidas, como chaminés.

• Produzem-se danos médios nas estruturas especiais e danosconsideráveis em grande número dos edifícios correntes.Fendilhações nos terrenos.

• O sismo destrói a maior parte dos grandes edifícios de alvena ria, umaparte dos edifícios de estrutura de betão armado e alguns edi fíciosligeiros de madeira.

• Colapso generalizado dos edifícios de alvenaria.

• Destruição total, objectos projectados pelas vibrações.

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António Arêde 69

DOIS CENÁRIOS SÍSMICOS:

SISMOS AFASTADOS (acção sísmica tipo 2 no RSA)

� com epicentro no mar, a grande distância do continente, têm c omoorigem movimentos inter-placas entre as placas europeia e a fricana (falhaao sul do continente) e tipicamente apresentam grande magni tude (M>5.5).

� caracterizam-se por uma grande distância focal, uma duraçã o maior,normalmente acima dos 30 segundos, uma frequência predomin ante baixa,em torno de 1 Hz e uma componente vertical pouco importante emcomparação com a horizontal

b) SISMICIDADE OU ACTIVIDADE SÍSMICA EM PORTUGAL

SISMOS PRÒXIMOS (acção sísmica 1 no RSA)

� com epicentro em terra, já no território continental, têm co mo origemmovimentos intra-placas em diversas falhas activas (Algar ve e Vale doTejo) e geralmente apresentam magnitude moderada (M<5,5).

� caracterizam-se por uma pequena distância focal, uma duraç ão menor,entre 7 e 14 segundos, uma frequência predominante alta entr e 3 e 3,5 Hz euma componente vertical importante que pode chegar à ordem d egrandeza da horizontal

CASOS PARTICULARES (Regiões Autónomas das lhas)

� Todas estão muito distantes das fontes sísmicas inter-plac as relevantespara o continente

� Madeira e Porto Santo , estão em zonas de baixa sismicidade, afectadasapenas por acções sísmicas inter-placas similares às mais f racas doterritório continental.

� Açores , não são afectadas por sismos de grande magnitude eepicentros distantes, mas são fortemente afectadas por act ividade sísmicalocal devido à proximidade da falha entre as placas american a e europeia efalhas locais no mar e em terra. As ilhas dos grupos Central e Oriental (naplaca Europeia), estão em zonas de maior perigosidade sísmic a (maioresacelerações na rocha) enquanto que as ilhas do grupo Ocident al (Flores eCorvo , já na placa americana) não têm fontes sísmicas próximas, se ndoportanto consideradas em zonas de menor sismicidade.

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António Arêde 70

7.2.2 Caracterização da Acção dos Sismos segundo o R.S.A.

1. Dependem da Zona Sísmica :

�� A , B , C ou D (Artº 28)

�� Coeficiente de Sismicidade α

Valores do coeficiente de sismicidade

Zona sísmica α

A 1.0

B 0.7

C 0.5

D 0.3

2. Dependem do Tipo de Terreno :

�� Tipo I , II ou III (Artº 29)

(qualificação pouco objectiva)

3. Dependem do Tipo de Acção Sísmica (1=Próxima ; 2=Afastada)

(Anexo III – Ponto 2))

4. Quantificação da acção através de acelerações:

�� Espectros de POTÊNCIA ��Análise DINÂMICA (domínio da frequência)

�� Espectros de RESPOSTA ��Análise DINÂMICA (modal, Rayleigh)

�� Coeficiente Sísmico de Referência ��Mét. Simplif. de Análise Estática

A prática corrente apoia-se nosespectros de resposta deACELERAÇÕES TOTAIS numoscilador de 1 g.l., que portantoincluem a amplificação dinâmicada aceleração imposta na base,em resultado da frequência e doamortecimento do oscilador.

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António Arêde 71

7.2.3 Caracterização da Acção dos Sismos segundo o Eurocódigo 8 - EN1998-1

2. A ACÇÃO SÍSMICA está ligada às Exigências de Desempenho

�� EXIGÊNCIA DE NÃO COLAPSO (NCR)

�� Acção Sísmica de projecto (“design seismic action”), definida nosAnexos Nacionais de cada País através dos Parâmetros deDeterminação Nacional (NDPs, em inglês)

Valor recomendado para casos correntes corresponde à proba bilidadede 10% de ocorrência em 50 anos ( �� período de retorno 475 anos)

�EXIGÊNCIA DE LIMITAÇÃO DE DANOS (DLR)

�� Acção Sísmica de serviço , definida em função da anterior, para cadaPaís através dos Parâmetros de Determinação Nacional

Valor recomendado para casos correntes corresponde à proba bilidadede 10% de ocorrência em 10 anos ou, de forma equivalente a 40.9 %probabilidade de ocorrência em 50 anos ( �� período de retorno 95 anos)

É adoptada a mesma representação espectral reduzida para 40% ou 55%(respectivamente, para a Acção Sísmica Tipo 1 ou Tipo 2 )

3. A ACÇÃO SÍSMICA depende das Classes de Importância das construções

�� Coeficiente de Importância - γγγγI, que afecta a acção

4 Classes de Importância com valores de γγγγI, fixados no Anexo Nacional,

entre 0,6 e 2,1, dependendo do tipo de Acção Sísmica e da zona(Continente ou Açores)

−γγγγI mais elevados (2,1; 1,6 ou 1,4), para edifícios fundamentai s para

socorro pós-sismo (hospitais, quartéis de bombeiros, etc)

−γγγγI mais reduzidos (0,8 ou 0,6), para edifícios importância redu zida

(edifícios agrícolas)

−γγγγI = 1 para edifícios correntes

1. A SISMICIDADE ( = sismogénese, recorrência e atenuação sísmica) m antém o Duplo Cenário do RSA, embora actualizado:

�� SISMOS AFASTADOS (inter-placas, Acção Sísmica Tipo 1, M > 5.5)

�� SISMOS PRÓXIMOS (intra-placas, Acção Sísmica Tipo 2, M ≤ 5.5)

O Zonamento Sísmico passa a depender do Tipo de Acção Sísmica

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António Arêde 72

4. O ZONAMENTO SÍSMICO é definido no Anexo Nacional como NDP

� Estabelecido em termos da aceleração máxima de projecto dereferência agR

� agR é a aceleração de pico em rocha, para cada tipo da acção sísmic a,definida para cada zona sísmica no Anexo Nacional pelo quadro seguinte:

Acção sísmica Tipo 1 (afastada) Acção sísmica Tipo 2 (próxima)

Zona Sísmica agR (m/s2) Zona Sísmica agR (m/s2)

1.1 2,5 2.1 2,5

1.2 2,0 2.2 2,0

1.3 1,5 2.3 1,7

1.4 1,0 2.4 1,1

1.5 0,6 2.5 0,8

1.6 0,35 - -

�� As Zonas Sísmicas apresentam a seguinte distribuição geográfica:

Em Portugal Continental .

Acção sísmica Tipo 1 Acção sísmica Tipo 2

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António Arêde 73

No Arquipélago da Madeira .

Acção sísmica Tipo 1 (apenas)

No Arquipélago dos Açores .

Acção sísmica Tipo 2 (apenas)

Grupo Ocidental

N

10 0 10 Kilo mKm

Zonas2.12.22.32.42.5

Grupo Oriental

Grupo Central

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António Arêde 74

5. A ACÇÃO SÍSMICA é definida por Espectros de Resposta de Aceleração

� ESPECTRO DE RESPOSTA ELÁSTICO DE ACELERAÇÕES Se(T)

�� O espectro apresentado está escalado por ag, a aceleração de projecto em

rocha (terreno tipo A), que resulta da aceleração d e pico de referência agR

multiplicada pelo coeficiente de Importância da est rutura ( agR . γγγγI) cujos

valores constam do quadro seguinte (adoptado no Ane xo Nacional ainda para aprovação).

Acção sísmica Tipo 2 Classe de Importância

Acção sísmica Tipo

1 Portugal

Continental Açores

I 0,6 0,8 0,8

II 1,0 1,0 1,0

III 1,6 1,3 1,2

IV 2,1 1,6 1,4

S e/a g

T B T C T D T

S

2,5S η

S e/a g

T B T C T D T

S

2,5S η

∞→T

( ) DCgDC

ggg TTSaTT

SadTd ⋅⋅≈⋅⋅=→ 025.04 2π

Aceleração constante

Velocidade constante

Deslocamento constante

Transição linear para aceleração

do solo

T←0( ) SaSTS gee ⋅=→

Coeficientes de Importância ( γγγγI):

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António Arêde 75

�� Os quatro ramos do espectro apresentam as seguintes expressões:

:0 BTT ≤≤ ( ) ( )

−β⋅η⋅+⋅⋅= 11 0

Bge T

TSaTS

:DC TTT ≤≤ ( )

⋅β⋅η⋅⋅=T

TSaTS C

ge 0

:TTD ≤ ( )

⋅⋅⋅⋅=20 T

TTSaTS DC

ge βη

( ) 0β⋅η⋅⋅= SaTS ge:CB TTT ≤≤

onde:

:DT é o período limite de início do ramo de deslocament o constante�� Os vários ramos do espectro apresentam as zonas de ac eleração, velocidade e deslocamento constantes, tal como se observou já na construção dos espectros.

�� Para períodos muito elevados o movimento tende para o deslocamento relativo

igual ao movimento do solo dg, cuja estimativa se apresenta no gráfico.

:T é o período de vibração da estrutura

( ):TSe é o valor do espectro de resposta elástico em acele ração

:ga é a aceleração de projecto em rocha (terreno tipo A ), já definida

:0β é o factor de amplificação dinâmica, que vale: �� 2,5 para a componente horizontal da aceleração ag e

�� 3,0 para a componente vertical avg, caso em que S = 1

:BT é o período limite inferior do ramo de aceleração c onstante

:CT é o período limite superior do ramo de aceleração c onstante

:55.0)5/(10 ≥+= ξη é o factor de correcção do amortecimento, com valor unitário para 5% de amortecimento

:S é o factor do terreno

:DT é o período limite superior do ramo de deslocamento constante

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António Arêde 76

�� Os parâmetros S, TB, TC, e TD, dependem do Tipo de Acção Sísmica e

do terreno em que a estrutura se encontra, sendo dados como ND P noAnexo Nacional. Na versão já aprovada são os seguintes os val oresdaqueles parâmetros:

Acção Sísmica Tipo 1

Tipo de Terreno S TB

(s) TC (s)

TD (s)

A 1,0 0,1 0,6 2,0

B 1,35 0,1 0,6 2,0

C 1,6 0,1 0,6 2,0

D 2,0 0,1 0,8 2,0

E 1,8 0,1 0,6 2,0

Acção Sísmica Tipo 2

Tipo de Terreno S TB

(s) TC (s)

TD (s)

A 1,0 0,1 0,25 2,0

B 1,35 0,1 0,25 2,0

C 1,6 0,1 0,25 2,0

D 2,0 0,1 0,3 2,0

E 1,8 0,1 0,25 2,0

�� O espectro de resposta elástico para a componente vertical tem umadescrição formalmente idêntica ao da componente horizontal em que:

S = 1 , ag é substituído ave, cuja quociente para ag bem como os restantes

parâmetros definidores do espectro são dados no quadro segu inte :

Acção sísmica

avg/ag TB (s) TC (s) TD (s)

Tipo 1 0,75 0,05 0,25 1,0 Tipo 2 0,95 0,05 0,15 1,0

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António Arêde 77

Os cinco tipos de terrenos configuram a seguinte diferencia ção, conformedescrita no referido quadro a seguir ilustrado com base na ve rsão inglesa:

6. O TIPO DE TERRENO é definido no Quadro 3.1 do EC8 (EN 1998-1:2004), emfunção de parâmetros geotécnicos objectivos, tais como o nº de pancadasno ensaio SPT (N SPT), a velocidade de propagação das ondas de corte nosolo (v s,30) e a coesão não-drenada (c u) no caso de solos argilosos.

• Rocha (terreno Tipo A)

• Terrenos rijos (terreno Tipo B)

• Solos médios e brandos (terrenos Tipo C e D)

• Formações brandas de pequena espessura (5 a 20m), de tipoaluvionar, assentes sobre maciços rochosos ou quase rochos oscom grande contraste de rigidez (terreno Tipo E).

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A frequência de um sistema de 1 grau de liberdade caracteriza o seucomportamento dinâmico.

Um dos processos mais simples para determinar é o método deRayleigh. Pode ser aplicado a um sistema qualquer desde que s e admitaque a sua deformada é de determinado tipo - .

mkw =

)(xψ

O método de Rayleigh assenta no princípio da conservação da e nergia:

“a energia num corpo em vibração livre mantém-se constante se não houverforças de amortecimento” .

Seja então:

wtwutu

wtutu

cos)(

sen)(

0

0

==

&

A Energia Potencial (Energia de deformação da mola), vem

twukukWp

220

2 sen2

1

2

1 ==

e a Energia Cinética da massa será

twwumumWc

2220

2 cos2

1

2

1 == &

Os respectivos valores máximos ocorrem para

220

20

2

10

2

02

1

24

max

max

wumWeWw

Tt

WeukWw

Tt

cp

cp

==⇒==

==⇒==

π

π

Portanto, se a energia total se mantém constante, obtém-se

m

kw

m

kwWW cp =⇔=⇒= 2

maxmax

8. ANÁLISE VIBRATÓRIA pelo MÉTODO de RAYLEIGH8. ANÁLISE VIBRATÓRIA pelo MÉTODO de RAYLEIGH

8.1 FUNDAMENTOS E APRESENTAÇÃO DO MÉTODO

António Arêde 79

8.2 APLICAÇÃO A SISTEMAS CONTÍNUOS

A vantagem deste método aparece mais evidente em sistemas co m muitosgraus de liberdade.

Seja por exemplo o caso de uma viga em que se admite:

( ) ( ) ( ) ( ) twztztzxtxu sen, 0== comψ

Seja por exemplo o caso de uma viga em que se admite:

Isto quer dizer que: a forma da deformada da viga não varia com o tempo ,só se alterando a sua amplitude e, no caso de ser uma vibração livre, variaharmónicamente.

Esta hipótese reduz a viga a um sistema de 1 grau de liberdade ( odeslocamento da extremidade).

Neste caso, a máxima Energia de Deformação (potencial) é

e a máxima Energia Cinética da massa vem

Portanto:

dxx

twzEIdxx

uEIW

L L

p

2

0 0 2

2

0

2

2

2

sen2

1

2

1∫ ∫

∂∂=

∂∂= ψ

∫

∂∂=

L

p dxx

EIzW0

2

2

2202

1max

ψ

( ) dxtwwzmdxt

umW

L L

c ∫ ∫=

∂∂=

0 0

20

22

cos2

1

2

1 ψ

∫=L

c dxwzmW0

22202

1max

ψ

dageneralizamassa

dageneralizarigidez

←

←

ψ

∂ψ∂

=∫

∫L

L

dxm

dxx

EI

w

0

2

0

2

2

2

2

FEUP - 2012

António Arêde 80

8.3 ESCOLHA DA FUNÇÃO DE FORMA DA DEFORMADA

A aproximação do Método de Rayleigh depende da função de form a ψ(x)adoptada.

Se ψ(x) não for a forma exacta da deformada em vibração livre, é

necessário adicionar forças para manter esta vibração, o qu e significamaior rigidez do sistema e, consequentemente, maior frequência .

A deformação que se obtém na vibração livre decorre da aplica ção deforças de inércia que são proporcionais à distribuição de ma ssa e àamplitude da deformada.

Assim, a Deformada Exacta ψe(x)é a que resulta duma carga

proporcional a m(x) ψe(x)

De um modo geral basta adoptar uma carga proporcional à massa

Então, se se admitir esolicitar o sistema por ,

a deformada ψ(x) que se obtém

será uma boa aproximação.

)(xψ)()( xxm ψ

( ) ( ) ( )xgxmxp pψ⇒=

que conduz à deformada ψp(x) devida às cargas permanentes.

~ m(x).ψ (x)e

ψ (x)e

ψ(x)m(x) ψ(x)

FEUP - 2012

António Arêde 81

8.4 MÉTODO DE RAYLEIGH APLICADO A ESTRUTURAS PORTICADAS COM VIGAS DE GRANDE RIGIDEZ

E = 2x107 kN/m 2

Laje do piso 1 – 6.75 kN/m 2 (inclui peso próprio, revestimentos, divisórias esobrecargas)

Laje do piso 2 – 4.0 kN/m 2

Peso do piso 1 Laje - 6.75 ××××15.0××××5.0_________________ 506.25 kN

Vigas - 0.2 ××××0.35××××5.0××××25××××10 ____________ 87.5 kN

Pilares - 0.3 ××××0.3××××3.0××××25××××8 ______________ 54.0 kN

647.75 kN

Peso do piso 2 Laje - 4.0 ××××15.0××××5.0 _____________________ 300.0 kN

Vigas - ________________________________ 87.5 kN

Pilares - _______________________________ 27.0 kN

414.5 kN

Massa dos pisos: m 1,Tot = 647.75 / 9.8 = 66.1 ton ; m 2,Tot = 42.3 ton

Massa/ Pórtico: m 1 = m1,Tot / 4 = 16.5 ton; m 2 = m2,Tot / 4 = 10.6 ton

A situação particular de pórticos com vigas de grande rigide z comparadacom a dos pilares, configura o designado “ shear-building ” cuja deformadaé determinada exclusivamente através do esforço de corte en tre pisos.

Como tal, pode ser analisado como uma associação em série da rigidez decorte dos sucessivos pisos em altura, razão pela qual aqui po de serestudado sem recorrer à formulação de sistemas de N graus de l iberdade.

Considere-se o seguinte edifício simétrico nas duas direcç ões em planta :

5.00

3.0

03

.00

Piso 20.2x0.5

Piso 10.2x0.5

0.3

x0.3

0.3

x0.3

0.3

x0.3

0.3

x0.3

Alçado Planta

Lajes: 0.15m esp.

FEUP - 2012

António Arêde 82

8.4.1 Método de Rayleigh Directo

Admitindo uma deformada com deslocamentos unitários nos do is andares:

1.0

1.0

∑ ∆= 2

2

1max iip ukW

Máxima Energia Potencial

=1

1cos

~twu

em que ki, a rigidez dos pilares entre dois pisos, é

kN/ml

EIki 120002

3

102123.0

122

123

74

3=×

×××=×=

0.0;0.1 21 =∆=∆ uu

e os deslocamentos relativos entre pisos:

Máxima Energia Cinética

−=1

1sen

~twwu&

( ) kJww

umW iic2

22 6.130.16.100.15.16

22

1max

=×+×== ∑ &

Fazendomaxmax cp WW =

26.136000 w=

Hzrad/s 34.3;0.21;18.4412 === fww

kJWp 6000max

=Obtém-se assim

FEUP - 2012

António Arêde 83

Assim:

8.4.2 Método de Rayleigh Melhorado

Considera-se como deformada a que se obtém aplicando à estru tura asforças de inércia que se desenvolvem com a deformada assumida no ponto

anterior e, que para o piso i, são dadas por

02 cos iiiii utwwmumf =−= &&

Quando a aceleração é máxima, vem

(kN)wf 2

6.10

5.16

=

Por sua vez os correspondentes deslocamentos podem ser obti dos por

iii Tuk =∆

iu∆em que é o deslocamento relativo das extremidades dos pilare s e

iT é o esforço transverso nos pilares.

( ) 21

21

21 0023.00023.0;6.105.1612000 wuwuwu =⇒=∆+=∆

2212

22

22 0032.00009.0;6.1012000 wuuuwuwu =∆+=⇒=∆=∆


( ) 44 036.00032.06.100023.05.162

1

2

1

2

1max

wwufuTWi

iii

iip =×+×==∆= ∑∑


( ) 64226

2 10979.00032.06.100023.05.1622

1max

ww

umW iic−×=×+×== ∑ &

twww

wtwwu sen

0032.0

0023.0

0032.0

0023.0sen 3

2

2

~

−=

−=&

Hzfrad/swwww 05.3;18.19;7.36710979.0036.0 2644 ===⇒×= −

FEUP - 2012

António Arêde 84

8.4.3 Deformada Devida às Cargas Gravíticas Aplicad as Horizontalmente

Sejam as seguintes forças gravíticas por pórtico para cada p iso:

kNgmF 9.1614/75.64711 ===

kNgmF 6.1034/5.41422 ===

Os correspondentes deslocamentos vêm

md 0221.012000

9.1616.1031 =+=

md 0307.012000

6.1030221.02 =+=


4.32

1max == ∑ iiP dFW


( ) 01.00307.06.1030221.09.1618.92

2

1

2

1

2222

222

maxmax

×=×+××

=

== ∑ ∑

ww

dwg

FumW i

iiic &

De novo, igualando os dois valores máximos da energia, resul ta:

Expressão do RSA⇒=∑∑ 22i

iii dw

g

FdF

∑∑=

2ii

ii

dF

dFgw

donde

Hzfrad/sw 02.3;98.18 ==

FEUP - 2012

António Arêde 85

9. MODELOS MATEMÁTICOS de SISTEMAS COM VÁRIOS GRAUS DE LIBERDADE

9. MODELOS MATEMÁTICOS de SISTEMAS COM VÁRIOS GRAUS DE LIBERDADE

Num sistema com N graus de liberdade, a solução depende de N pa râmetros,tantos quantos os que sejam necessários para descrever adeq uadamente acinemática do sistema de acordo com a distribuição de rigide z e de massa.

No caso dos pórticos planos, por exemplo, tem-se então:

Para um sistema de forçasqualquer :

Para um sistema de forçashorizontais apenas :

3 G.L. por nó 1 G.L. por andar

A caracterização do comportamento dinâmico estrutural requ er a definição de:

Matriz de RIGIDEZ

Matriz de MASSA

Matriz de AMORTECIMENTO

K

M

C

9.2 MATRIZ DE RIGIDEZ

fuK =

Como é bem conhecido

Kij – Força de restituição elástica desenvolvida na direcção i devida a um

deslocamento unitário na direcção j

9.1 GRAUS DE LIBERDADE A CONSIDERAR

FEUP - 2013

António Arêde 86

9.3 MATRIZ DE MASSA

Neste exemplo, “não havendo massa nos pilares”, não há transmi ssão

de forças de inércia entre pisos, i.e. m21 = m31 = m23 = 0, donde

m1

m2

m331m

21m

m11u1

De modo semelhante para a matriz de massa, designa-se

mij – Força de inércia desenvolvida na direcção i devida a uma aceleração

unitária na direcção j

No caso de massas concentradas só nas direcções dos g.l. escolhidos:

=

3

2

1

00

00

00

m

m

m

M Matriz de Massa Diagonal

Para um dado deslocamento na direcção de u1, a função de forma

correspondente será ψ1(x) conforme abaixo esboçada.

O campo de deslocamentos vem então dado por

Quando a massa é distribuída, recorre-se ao conceito de funç ão de formatal como no Método dos Elementos Finitos, aplicado por exemp lo ao casode barras de pórticos como a seguir descrito.

( ) ( ) ( )tuxtxu 111 , ψ=

1.0

1u u3

4u

u2

x

u(x)ψ (x)1

FEUP - 2013

António Arêde 87

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )tuxxmtxuxmtxfin 1111, ,, &&&& ψ=−=

Admitindo uma distribuição de massa por unidade de comprime nto m(x),as correspondentes forças de inércia vêm dadas por

Quando é necessário aplicar forças mi1 em correspondência com osg.l. considerados, para garantir o equilíbrio com as forças de inérciadistribuídas ao longo da barra.

Através do Princípio dos Trabalhos Virtuais, impondo um des locamentovirtual unitário segundo qualquer uma das direcções, por ex emplo a

direcção de u2 à qual corresponde uma deformada dada por ψ2(x), pode

escrever-se a seguinte equação:

11 =u&&

( ) ( ) int

l

inext WdxxtxfmmmmW δψδ =+⋅⋅+⋅+⋅= ∫0 21,41312111 ,0010

Note-se que apenas estão a ser consideradas as forças de inér cia e nadada parte elástica (forças internas), pelo que o trabalho int erno é nulo.

Resulta então

( ) ( ) ( ) ( ) 010 2121 =

− ∫ tudxxxxmm

l&&ψψ

( ) ( ) ( )∫=l

dxxxxmm0 2121 ψψ

que, atendendo à aceleração nodal unitária, conduz a

Procedendo de igual forma com deslocamentos virtuais unitá rios nasoutras direcções obtém-se os termos mi1, que constituem a 1ª coluna damatriz de massa.

Considerando depois as restantes configurações de acelera ções nodaisunitárias, obtém-se a expressão geral dos termos da matriz d e massa:

( ) ( ) ( )∫=l

jiij dxxxxmm0

ψψ

Por derivação de u1(x,t) em ordem ao tempo, obtém-se o campo das

acelerações( ) ( ) ( )tuxtxu 111 , &&&& ψ=

FEUP - 2013

António Arêde 88

No contexto do Método dos Elementos Finitos, a matriz de mass a obtém-sepor

dVNNmV jiij ∫ ρ=

em que ρ representa a massa específica.

9.4 MATRIZ DE AMORTECIMENTO

Pode ser definida de modo análogo à matriz de massa. Porém, co nforme severá mais adiante, na maior parte dos casos, não é necessário obter deforma explícita a matriz de amortecimento.

Quando necessário, é muitas vezes definida por proporcional idade àsmatrizes de massa e de rigidez através de

em que α e β são parâmetros independentes, convenientemente definido s

conforme adiante se explicará.

Designa-se por matriz de amortecimento de Rayleigh .

KMC β+α=

9.5 EQUAÇÕES de EQUILÍBRIO DINÂMICO

A sobreposição dos três vectores de forças envolvidas (inér cia,amortecimento e restituição elástica) equilibra o vector s olicitação exterior,resultando no seguinte SISTEMA de EQUAÇÕES de EQUILÍBRIO DINÂMICO:

( )tptuKtuCtuM

eaIfff

=++321321

&321&& )()()(

−−−−−−

=

22

22

~

422313

221561354

313422

135422156

420

llll

ll

llll

ll

lmM

( ) mxm =Para uma barra de massa uniforme , obtém-se a seguinte matriz :

Resulta uma matriz “cheia”, designada matriz de MASSA CONSISTENTE,por ser definida de modo consistente com todos os g.l. envolv idos.

FEUP - 2013


10. ANÁLISE MODAL10. ANÁLISE MODAL

Tal como nos sistemas de 1 g.l., a equação de equilíbrio dinâm ico reduz-se a

0=+ uKuM &&

Vejamos em que condições pode ocorrer um movimento que satis faça estaequação.

Seja uma deformada u cuja grandeza varie sinusoidalmente com o tempo:

twu senφ=

φ - caracteriza a forma da deformada, não dependendo do tempo, p elo que

1φ

φ2

φ3

φφφ

=φ

3

2

1

twwu sen2φ−=&&

Substituindo, vem então

0sensen2 =φ+φ− wtKwtwM

Sendo estas equações válidas para qualquer instante, impli ca que

( ) 02 =φ− MwK

Além da solução trivial (nula), este sistema terá outras sol uções não nulas seo respectivo determinante for nulo (sistema indeterminado ):

( ) 0det 2 =− MwK( ) 0det 2 =− MwK

10.1.1 Frequências e modos de vibração

10.1 MOVIMENTO LIVRE SEM AMORTECIMENTO

António Arêde 90

Para uma estrutura com N graus de liberdade, a condição de determinante

nulo conduz a uma equação polinomial de grau N nos w2.

Trata-se da Equação Característica do sistema, da qual se po de obter N

soluções que são as frequências dos N modos de vibração do

sistema.

222

21 ,,, Nwww K

Para cada wn , temos o correspondente φn, modo de vibração que se obtém

resolvendo o seguinte sistema de equações:

que tem uma simples infinidade de soluções (ou seja, o vector φn não é

determinado em grandeza).

Obtém-se uma solução particular, por exemplo, fazendo unitá ria uma das

componentes do vector: φ1n=1 .

O sistema, de N-1 equações em ordem às restantes componentes de φn,

permite determinar este vector:

Vector próprio que caracteriza a

deformada do n -ésimo modo de

vibração.

φ

φφ

=φ

Nn

n

n

nM

2

1

φ

φφ

=φ

Nn

n

n

nM

2

1

( ) 02 =φ−nn MwK( ) 02 =φ−nn MwK

A determinação de valores e vectores próprios pode ser feita com recurso adiversos métodos numéricos (por ex.: método de Jacobi, de St odola, desequências de Sturm, de iterações por sub-espaços)

Temos assim um problema de valores e vectores próprios, em qu e os valores

próprios são os w2.

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António Arêde 91

10.1.2 Condições de Ortogonalidade

Sejam dois modos de vibração φm e φn.

Para o modo φn tem-se

43421

nf

MwKnn n φ=φ 2

Forças de inércia

De igual forma para o modo φm

i j

f jninf

nφ

φimf

jmf

m

Aplicando o teorema de Betti, pode escrever-se

( ) ( )

n

T

mmm

T

nn

n

T

mmm

T

nn

n

T

m

T

MwMw

MwMw

ffmn

φφ=φφ

φφ=φφ

φ=φ

22

22

donde

( ) 022 =φφ−m

T

nmn Mww

Assim, se resulta22mn ww ≠

n m se ≠=φφ 0m

T

nM

Do mesmo modo se pode proceder em relação à matriz de rigidez:

n m se ≠=φφ 0m

T

nK

43421

mf

MwKmm m φ=φ 2

Estas expressões são as designadas CONDIÇÕES de ORTOGONALIDADEdos modos de vibração em relação à matriz de MASSA e à matriz deRIGIDEZ.

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António Arêde 92

1P

5.03

.03

.0

=160 kN

=160 kN2P

0.3

x0.3

0.3

x0.3

I=∞

I=∞

Exemplo : Considere-se o pórtico de 2 andares abaixo repres entado, com vigas supostas de rigidez infinita.

27 /102 mkNE ×=

a) Matriz de RIGIDEZ

kN/mK

kN/mK

kN/mK

kN/ml

EIK

24000

12000

12000

12000

212

22

12

21

311

=−=−=

=

×=

−−

=2400012000

1200012000K

b) Matriz de MASSA

tonmi 33.168.9

160 ==

=

33.160

033.16M

1.0

K12

K22

1.0

21K

K11

FEUP - 2013

António Arêde 93

0.618

1.0

c) Determinação das FREQUÊNCIAS de VIBRAÇÃO

( )( )

=

×−−−×−

0

0

76.1633.162400012000

1200076.1633.1612000

21

11

2

2

φφ

−−−−

=−2

22

33.162400012000

1200033.1612000

w

wMwK

( ) ( )( ) 01200033.162400033.16120000det 2222 =−−−⇒=− wwMwK

Hzfsradw

Hzfsradw

0.7;/86.43

7.2;/76.16

22

11

==

==

d) Determinação dos MODOS de VIBRAÇÃO

1º MODO

Fazendo 618.00.1 2111 =φ→=φ

=φ618.0

0.11

( )( )

=

×−−−×−

0

0

86.4333.162400012000

1200086.4333.1612000

22

12

2

2

φφ

Fazendo 618.00.1 1222 −=φ→=φ

2º MODO

1.0

0.618

−

=φ0.1

618.02

FEUP - 2013

António Arêde 94

11φ

21φ x y

12φ

φ221 u2

1u

+ =x y 2

10.2 ANÁLISE DINÂMICA POR SOBREPOSIÇÃO MODAL

A deformada duma estrutura tem sido caracterizada até agora pelas N

componentes do vector deslocamento u no espaço geométrico.

No entanto, a mesma deformada pode também ser caracterizada em termos

dos N modos de vibração, atendendo a que estes podem constituir a b ase

dum outro espaço vectorial: o espaço modal .

Assim, a amplitude de cada um dos modos será a coordenada generalizadaque permitirá caracterizar qualquer deformada no espaço modal .

Esquematicamente, esta estratégia assume o aspecto seguin te:

2211yyu φ+φ=

φ1 – 1º MODO φ2 – 2º MODO u – DEFORMADAFINAL

Genericamente

∑=

φ=N

iii

yu1

yi – COORDENADAS

NORMAIS ou MODAIS

10.2.1 Decomposição de deslocamentos no espaço moda l

FEUP - 2013

António Arêde 95

10.2.2 Equações de Equilíbrio Desligadas Sem Amorte cimento

Retomando a equação

( )tpuKuM =+&&

e substituindo u e ∑=

φ=N

iii

yu1

&&&&

( )tpyKyMN

iii

N

iii

=

+

∑∑

== 11

φφ &&

Multiplicando à esquerda por T

nφ

( )tpyKyM T

n

N

iii

T

n

N

iii

T

nφφφφφ =

+

∑∑

== 11

&&

desenvolvendo os somatórios, e atendendo a que, devido às co ndiçõesde ortogonalidade, se tem

nn

T

nNN

T

nnn

T

n

T

n

T

n

N

iii

T

nyMyMyMyMyMyM &&&&

43421K&&K&&

43421&&

43421&& φφ=φφ++φφ+φφ+φφ=

φφ ∑=

0

2

0

21

0

11

nn

T

nNN

T

nnn

T

n

T

n

T

n

N

iii

T

nyKyKyKyKyKyK φφ=φφ++φφ+φφ+φφ=

φφ ∑= 43421

KK43421321

0

2

0

21

0

11

resulta

( )tpyKyM T

nnn

T

nnn

T

nφφφφφ =+&&

Definindo

( ) ( )tptF

KK

MM

T

nn

n

T

nn

n

T

nn

φ

φφ

φφ

=

=

= massa generalizada para o modo n

rigidez generalizada para o modo n

força generalizada para o modo n

resulta

FEUP - 2013

António Arêde 96

Obtém-se a seguinte equação de equilíbrio dinâmico no modo n

( )tFyKyM nnnnn =+&& ( )tFyKyM nnnnn =+&&

que é uma equação com apenas uma variável incógnita yn.

Portanto, em vez de um sistema com N equações diferenciais a N

incógnitas, fica-se reduzido a N equações com apenas uma incógnita

cada – são as N equações de equilíbrio desligadas .

Pode ainda verificar-se quennn MKw /2 =

De facto, pré-multiplicando a equação T

nnnMwK n φφ=φ por2

n

n

nn

M

n

T

n

K

n

T

n

M

Kw

MwK

MwK

n

n

n

n

n

=

=

=

2

2

2

43421321φφφφ

A resolução das N equações desligadas permite determinar as coordenadas

modais y1 , y2 , ... , yn , ... , yN , e a deformada final obtém-se, tal como já

apresentado, somando as contribuições dos vários modos de v ibração:

∑=

φ=N

iii

yu1

Esta é a base do designado MÉTODO DA SOBREPOSIÇÃO MODAL !!!

Verifica-se ainda que, sobrepondo apenas as contribuições dos primeiros J

modos de vibração ( com J << N ) se obtêm excelentes resultados

∑=

≅J

iii

yu1

φ

poupando-se muito esforço de cálculo em relação à solução ex acta.

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António Arêde 97

10.2.3 Equações de Equilíbrio Desligadas Com Amorte cimento

Admitindo a ortogonalidade dos modos de vibração, também em relaçãoà matriz de amortecimento, i.e.

n m se ≠=φφ 0m

T

nC

e definindo o amortecimento generalizado para o modo n,resulta

n

T

nn CC φφ=

( )tFyKyCyM nnnnnnn =++ &&& ( )tFyKyCyM nnnnnnn =++ &&&

ou ( )n

nn

n

nn

n

nn M

tFy

M

Ky

M

Cy =++ &&&

Tal como para um simples oscilador de 1 g.l., pode definir-se o

amortecimento crítico para o modo n, que virá dado por

nncritn wMC 2=

e o correspondente coeficiente de amortecimento do modo n será

nnnncritn

nn wMC

C

C2ξ=⇒=ξ

obtendo-se finalmente

( )n

nnnnnnn M

tFywywy =+ξ+ 22 &&&

( )n

nnnnnnn M


uma expressão formalmente idêntica à obtida para um oscilad or de 1 g.l.

Portanto, todas as metodologias abordadas para obtenção da respostaforçada de osciladores de 1 g.l. são directamente aplicávei s ao cálculoda resposta modal, em particular o integral de Duhamel e as ex pressõesda resposta à acção sísmica.

Fica assim bem patente a vantagem do método de sobreposição modal .

FEUP - 2013

António Arêde 98

10.2.4 Resumo do Método de Sobreposição Modal

1º EQUAÇÕES DE EQUILÍBRIO DINÂMICO

2º FREQUÊNCIAS e MODOS de VIBRAÇÃO

3º MASSA e FORÇA GENERALIZADAS PARA CADA MODO n

A partir do cálculo de K e M determinam-se os ww e φφ.

4º EQUAÇÕES de MOVIMENTO DESLIGADAS

( )tpuKuCuM =++ &&&

( )n

nnnnnnn M


( )n

nnnnnnn M


5º RESPOSTA MODAL À SOLICITAÇÃO

Cada equação pode ser resolvida pelo método mais adequado, p orexemplo usando o integral de Duhamel

( ) ( ) ( ) ( )∫ ττ−τ= τ−ξ−t

atw

nan

n dtweFwM

tyn

nn

n

0sen

1

( ) NNwwwMwK φφφ→→=φ− ,,,,,,0 21212 KK( ) NNwwwMwK φφφ→→=φ− ,,,,,,0 21212 KK

( ) ( )tptFMM T

nnn

T

nn φφφ == ( ) ( )tptFMM T

nnn

T

nn φφφ ==

No caso de existirem deslocamentos ou velocidades iniciais , acorrespondente resposta em vibração livre é dada por:

( ) ( ) ( ) ( )

+ξ+= ξ− twytw

w

wyyety

nn

n

nnana

a

nnnntwn cos0sen

00&

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António Arêde 99

As condições iniciais em termos de coordenadas moda is podem ser relacionadas com as correspondentes condi ções iniciais no espaço geométrico

( ) ( )00 yy & e

( ) ( )00 uu & e

De facto, tendo ∑=

φ=N

iii

yu1

e pré-multiplicando por vemMT

nφ

nnnn

T

n

N

iii

T

n

T

nyMyMyMuM =φφ=

φφ=φ ∑=1

ou seja

n

T

nn

n

T

nn M

uMy

M

uMy

&&

φ=

φ= ;

pelo que

( ) ( ) ( ) ( )n

T

nn

n

T

nn M

uMy

M

uMy

00;

00

&&

φ=

φ=

6º DESLOCAMENTOS EM TERMOS DE COORDENADAS GERAIS

7º FORÇAS ELÁSTICAS

( ) ∑=

φ==N

iiie

yKuKtf1

ou, atendendo a queii

MwK i φ=φ 2

∑=

φ=N

iii

yu1∑

=

φ=N

iii

yu1

( ) ( )

∑=

=

N

iiiie

tywMtf1

2φ( ) ( )

∑=

=

N

iiiie

tywMtf1

2φ

Estas forças são depois aplicadas à estrutura como quaisque r outrasforças, a fim de conhecer os esforços por elas induzidos.

FEUP - 2013

António Arêde 100

10.2.5 Decomposição de forças no espaço modal

é um padrão de forças (invariável no tempo)

Frequentemente o vector de forças p(t) é um vector do tipo )()( tfstp =

s

)()( tutf g&&= é a variação no tempo das forças efectivas

Tal como se fez para os deslocamentos decompostos em numa sér ie devectores expressos na base dos modos de vibração através de:

)(tu

∑∑==

==N

nnn

N

nn tytutu

11

)()()( φ

também se pode decompor as forças p(t), ou melhor, a distribuição s, em

termos das distribuições de forças de inércia de cada modo.

Para cada modo, já se viu que as forças de inércia são proporci onais a Mφn

,portanto o que se pretende é então escrever:

∑∑==

==N

mmm

N

mm Mss

11

φα

onde os coeficientes de proporcionalidade α se obtêm multiplicando a

expressão acima por φn e aplicando a propriedade da ortogonalidade.

Resulta então:

n

T

n

n

T

n

nn

T

nn

M

MsM

M

ss

φφφφ

φφ

==⇔

m

T

nn M

sφα =

e assim, a componente (projecção) sn do vector de forças s no modo n (i.e.,

com o mesmo padrão de distribuição das forças de inércia do mo do n), vem

dado por:

expressão que é independente da forma de normalização dos mo dos (porque

qualquer factor de escala que afecte o modo φn cancela-se entre o numerador

e o denominador), o mesmo já não acontecendo com o factor αn ....

onde

e

⇒==∑=

n

T

nn

N

mm

T

nmT

nMMs φφαφφαφ

1

nnn Ms φα=

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