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UNIVERSIDADE DO VALE DO TAQUARI - UNIVATES

PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO STRICTO SENSU

MESTRADO EM ENSINO DE CIÊNCIAS EXATAS

O USO DO SOFTWARE GEOGEBRA PARA O ENSINO DE

FUNÇÃO DO 2º GRAU: O CASO DA 1ª SÉRIE DO ENSINO

MÉDIO DE UMA ESCOLA FEDERAL

Danilo do Nascimento de Jesus

Lajeado, 04 de Dezembro de 2018

Danilo do Nascimento de Jesus

O USO DO SOFTWARE GEOGEBRA PARA O ENSINO DE FUNÇÃO

DO 2º GRAU: O CASO DA 1ª SÉRIE DO ENSINO MÉDIO DE UMA

ESCOLA FEDERAL

Dissertação de Mestrado apresentada ao Programa

de Pós-Graduação em Ensino de Ciências Exatas, da

Universidade do Vale do Taquari Univates, como

parte da exigência para obtenção do grau de Mestre

em Ensino de Ciências Exatas na linha de Pesquisa

em Tecnologias, Metodologias e Recursos Didáticos

Para o Ensino de Ciências e Matemática.

Orientadora: Profa. Dra. Maria Madalena Dullius

Lajeado, 2018

Dedico este trabalho a minha avó materna

Ana do Nascimento (In memória).

Enquanto esteve aqui, foi um exemplo de

força, amor, perseverança e luta e que

contribui de forma decisiva na minha

formação com ser humano e cidadão.

Minha eterna gratidão.

AGRADECIMENTOS

Inicialmente gostaria de agradecer a minha companheira de vida e filha, a primeira

pelo apoio incondicional nesta caminhada profissional e compreensão pelas ausências, a

segunda por ser o motivo de minha coragem e perseverança.

Agradeço também aos professores do PPGECE pelas contribuições e orientações

nessa etapa de formação acadêmica.

A minha família, mãe, irmãos, sobrinhos por ser minha base de sustentação.

A professora que orientou este trabalho, Maria Madalena Dullius, que soube

compreender os momentos de dificuldade, e pelas corretas orientações e correções dadas

nesse processo complexo de escrita da dissertação.

Aos colegas da 11ª turma, gente de várias regiões do país, pela convivência e

aprendizado que foi proporcionado nos encontros presenciais e mesmo, nesta sociedade

tecnológica, em grupos de mensagens instantâneas.

A turma da primeira série do ensino médio do Instituto Federal da Bahia, pois se

dispuseram a participar da pesquisa e se permitirem a aprender outras formas de

aprendizagem da Matemática.

Ao Instituto Federal da Bahia por ceder o espaço e incentivar a pesquisa no Campus e

o desenvolvimento de novas metodologias para ensinar.

A todos que de forma direta ou indireta conviveram comigo nesse período de grande

aprendizado, contribuindo com experiências que produziram aprendizado de forma efetiva.

“A maioria dos professores gasta seu

tempo fazendo perguntas que têm como

objetivo descobrir se o aluno não sabe

algo, enquanto a verdadeira arte de fazer

perguntas é para descobrir o que o aluno

sabe ou o que ele é capaz de saber”

Albert Einstein

RESUMO

No cenário atual da educação no Brasil, o ensino de Matemática não tem se mostrado

eficiente nas escolas, tornado cada vez mais necessário buscar alternativas para melhorar

esse quadro. Este trabalho surge a partir da dificuldade de se ensinar função no ensino

médio do Instituto Federal da Bahia Campus Eunápolis, visto que, os alunos que

ingressam na instituição apresentam deficiências em conteúdos que são pré-requisitos.

Este cenário nos fez formular a seguinte pergunta: Como a utilização do software

GeoGebra pode potencializar a exploração da função do 2º grau? Diante disto, este

trabalho apresenta uma proposta de ensino da função quadrática com o auxílio do

software GeoGebra a partir de uma sequência de atividades e ao final a construção de um

mapa conceitual, que tinha como principal objetivo investigar como a utilização do

software GeoGebra pode potencializar a exploração da função do 2º grau. A pesquisa, de

abordagem qualitativa, ocorreu no Instituto federal da Bahia Campus Eunápolis em uma

turma da 1ª série do ensino médio com 36 alunos e teve duração de 10 aulas de 50

minutos, sendo que a cada duas aulas foi aplicada uma atividade de função quadrática. A

análise dos dados seguiu a metodologia de descritiva, pois pretendia-se analisar as

respostas dos alunos nas atividades. Os resultados mostraram que a utilização do

software GeoGebra aliado às atividades contribuiu para a aprendizagem dos estudantes,

pois a utilização do software permitiu maior manipulação e observação do objeto

matemático (função do 2º grau) por parte dos alunos, precisão dos gráficos e a rapidez na

sua construção otimizando o tempo de aula e permitindo assim discussões entre alunos e

entre alunos e professor e exploração do comportamento da função em seus aspectos

gráficos, contribuindo com a dedução de conceitos desta função de forma dinâmica e

interativa.. Além disso, esta metodologia possibilitou que os estudantes tivessem uma

postura ativa no processo de ensino e de aprendizagem, pois ao responder diretamente as

questões, com o auxílio do software, o professor fazia apenas o papel de mediador.

Palavras-chave: Software GeoGebra. Função quadrática. Tecnologias. Ensino de

Matemática.

ABSTRACT

In the current scenario of education in Brazil, the teaching of mathematics has not been

efficient in schools, that is why teachers and educators seek alternatives to reduce such

inefficiency. The motivation to do this research arises from the difficulty I have to teach

“function” to the first-year high school students who enter the Federal Institute of Bahia

Campus Eunápolis since they present deficiencies in contents that are prerequisites to study

other contents. This scenario has permitted us to ask the following question: How can I use

GeoGebra software to enhance the exploration of the 2nd

degree function? Thus, this work

presents a proposal of teaching the quadratic function with the help of GeoGebra software

from a sequence of activities and, at the end, doing a conceptual map, whose main objective is

to investigate how the use of GeoGebra software can enhance the exploration of the 2nd

degree function. The qualitative research was carried out at the Federal Institute of Bahia

Campus Eunápolis in a 1st high school class with 36 students and lasted 10 lessons of 50

minutes each, in whicha quadratic function activity was applied every two classes. The

analysis of the data followed descriptive content analysis methodology, since it was intended

to analyze the students' responses to the activities. The results haves howed that the use of the

GeoGebra software added to regular activities have contributed to the students' learning, since

the use of the software has allowed greater manipulation and observation of the mathematical

object (2nd degree function) by the students, as well as the accuracy of the graphs and speed

in its construction, optimizing the class time and allowing good discussions among students

and between students and teacher. We could also explore the behavior of the function in its

graphical aspects, contributing to the deduction of concepts of this function in a dynamic and

interactive way. Moreover, such methodology made it possible that students could have an

active posture in the teaching and learning process, since the teacher only played the role of

mediator because the students were able to answer the questions, with the help of software.

Key-words: GeoGebra Software. Quadratic function. Technologies. Teaching of

Mathematics.

LISTA DE FIGURAS

Figura 1 – Ciclo trigonométrico no Geogebra .......................................................................... 31

Figura 2 – Gráfico e tabela de função do 2º grau......................................................................32

Figura 3 – Estatística e probabilidade no GeoGebra ................................................................ 32

Figura 4 – Cálculos simbólicos no GeoGebra .......................................................................... 33

Figura 5 – Tela inicial do geogebra .......................................................................................... 34

Figura 6 – Resposta da dupla 2 Atividade 1 ............................................................................ 42

Figura 7 – Resposta da dupla 1 Atividade 1 ............................................................................. 43

Figura 8 – Resposta da dupla 6 Atividade 1 ............................................................................. 44

Figura 9 – Resposta da dupla 11 Atividade 1 ........................................................................... 45

Figura 10 – Resposta da dupla 16 Atividade 1 ......................................................................... 46

Figura 11– Resposta da dupla 7 atividade 1 ............................................................................. 46

Figura 12– Resposta da dupla 7 Atividade 1 ............................................................................ 47

Figura 13– Resposta da dupla 1 Atividade 2 ............................................................................ 50







Figura 20 - Resposta da dupla 6 Atividade 3............................................................................57





Figura 25 – Resposta da dupla 4 Atividade 4............................................................................65



Figura 28 – Resposta da dupla 10 Atividade 4..........................................................................68




Figura 32 – Resposta da dupla 1 Atividade 5............................................................................73

Figura 33 – Mapa conceitual da dupla 11.................................................................................75

Figura 34 – Mapa conceitual da dupla 15.................................................................................75

Figura 35 – Mapa conceitual da dupla 3...................................................................................76

Figura 36 – Mapa conceitual da dupla 1...................................................................................77

Figura 37 – Resposta do aluno A ao Questionário....................................................................80

Figura 38 – Resposta do aluno B ao Questionário....................................................................80

Figura 39 – Resposta do aluno C ao Questionário....................................................................80

Figura 40 – Resposta do aluno D ao Questionário....................................................................81

Figura 41 – Resposta do aluno E ao Questionário....................................................................81

Figura 42 – Resposta do aluno F ao Questionário....................................................................82

Figura 43 – Resposta do aluno G ao Questionário....................................................................82

Figura 44 – Resposta do aluno H ao Questionário....................................................................83

Figura 45 – Resposta do aluno I ao Questionário.....................................................................83

Figura 46 – Resposta do aluno J ao Questionário.....................................................................84

LISTA DE GRÁFICOS

Gráfico 1 – Concavidade da parábola dupla 2..........................................................................43

Gráfico 2 – Intercepto do gráfico no eixo y dupla 11...............................................................45

Gráfico 3 – Questões da atividade 1 parte 1............................................................ .................48

Gráfico 4 – Gráfico da dupla 13 zeros da função do 2º grau .................................................... 52

Gráfico 5 – Zeros da função do 2º grau dupla 11 .................................................................... 54

Gráfico 6 – Intervalos de crescimento e decrescimento dupla 4 .............................................. 57

Gráfico 7 – Intervalos de crescimento e decrescimento dupla 6 ............................................ 58

Gráfico 8 – Máximos e mínimos da dupla 5 ............................................................................ 59

Gráfico 9 – Máximos e mínimos da função do 2º grau dupla 15 ............................................. 60

Gráfico 10 – Estudo do sinal da função do 2º grau dupla 1 ..................................................... 63

Gráfico 11 – Estudo do sinal da função do 2º grau dupla 4 ..................................................... 66

Gráfico 12 – Construção de gráficos da função do 2º grau dupla 14 ....................................... 70

Gráfico 13 – Construção de gráficos da função do 2º grau dupla 1 ......................................... 73

LISTA DE QUADROS

Quadro 1 – Descrição dos trabalhos do estado a arte .............................................................. 25

Quadro 2 – Descrição das atividades a serem aplicadas na pesquisa ...................................... 36

Quadro 3 – Questões da atividade 1 parte 1 ............................................................................. 41







Quadro 10 – Questões da atividade 4 parte 3 ........................................................................... 62





Quadro 15 – Resultados do questionário aplicado aos alunos..................................................79

SUMÁRIO

1 INTRODUÇÃO ..................................................................................................................... 16

1.1 Tema ............................................................................................................................... 17

1.2 Problema ......................................................................................................................... 17

1.3 Objetivos ......................................................................................................................... 18

1.3.1 Objetivo Geral .......................................................................................................... 18

1.3.2 Objetivos Específicos ............................................................................................... 18

1.4 Justificativa ..................................................................................................................... 18

2 REFERENCIAL TEÓRICO ................................................................................................. 21

2.1 Informática na Educação Matemática.............................................................................21

2.2 Alguns Trabalhos sobre o uso das TIC no ensino de funções........................................24

2.3 Caracterização do software GeoGebra............................................................................31

3 PROCEDIMENTOS METODOLÓGICOS .......................................................................... 35

3.1 Caracterização da pesquisa quanto ao método de abordagem ........................................ 35

3.2 Delimitação da área de pesquisa e caracterização da turma ........................................... 36

3.3 Intervenção Pedagógica .................................................................................................. 36

3.4 Caracterização dos instrumentos de pesquisa ................................................................ 39

3.5 Análise dos dados ........................................................................................................... 40

4 ANÁLISE E DISCUSSÃO DOS DADOS ............................................................................ 41

4.1 Atividade 1 – Comportamento da parábola de acordo com o coeficiente a e c.......

.......................................................................................................................................41

4.2 Atividade 2 - Determinação dos zeros da função do 2º grau.........................................49

4.3 Atividade 3 – Coordenadas do vértice da parábola e máximos e

mínimos.....................................................................................................................................54

4.4 Atividade 4 – Estudo do sinal da função do 2º grau......................................................62

4.5 Atividades 5 – Construção de gráficos da função do 2º

grau............................................................................................................................................69

4.6 Análise do mapas conceituais.........................................................................................74

4.7 Análise do questionário aos alunos.................................................................................78

CONSIDERAÇÕES FINAIS...................................................................................................85

REFERÊNCIAS.......................................................................................................................88

APÊNDICE A........................................................................................................................93

APÊNDICE B......................................................................................................................102

ANEXO A............................................................................................................................103

ANEXO B............................................................................................................................106

16

1 INTRODUÇÃO

A tecnologia computacional está presente em vários setores da sociedade atual,

provocando mudanças no comportamento das pessoas e permitindo que tenham acesso aos

mais variados tipos de informação e serviços, e tudo isso com muita velocidade a rapidez. No

contexto educacional, o uso da tecnologia para ensinar tem estado cada vez mais na pauta de

pesquisadores, que buscam soluções com o uso de tecnologia para facilitar a aprendizagem

dos estudantes e ser um diferencial no processo de ensino. Isso se justifica a medida que com

o acesso a essas tecnologias computacionais facilitado, a maioria dos estudantes tem contato

com esta ferramenta boa parte de seu tempo, seja em um aparelho celular, ou em

computadores de mesa (Desktop).

Enquanto aluno de ensino básico, e mesmo no ensino superior, tive pouco contato com

o uso de Tecnologias da informação e comunicação como ferramenta de aprendizado em

todas as disciplinas, em particular de Matemática. No ensino básico, ainda era pouco

difundido o uso de tecnologia para o ensino e os professores não tinham formação inicial e

continuada para inserir este recurso nas suas aulas. Já no período do ensino superior, o uso de

tecnologia como ferramenta de ensino já tinha um espaço importante nas pesquisas, no

entanto, no curso de licenciatura havia “apenas” uma disciplina de 30 h no currículo voltada a

utilizar softwares matemáticos para o ensino e a aprendizagem.

Na docência desde 2009, sempre trabalhei em escolas públicas, e a maioria delas não

tinha estrutura de laboratórios de informática adequada para trabalhar com tecnologia

informática nas aulas de Matemática. Além disso, a minha formação inicial não forneceu

capacitação necessária para trabalhar com este recurso, o que fazia ficar restrito aos livros

didáticos e às aulas expositivas sem a participação efetiva dos estudantes. Considerando este

17

contexto vejo a necessidade de pesquisar sobre o tema, de que forma a tecnologia informática

pode contribuir para o ensino e a aprendizagem dos estudantes em Matemática para que eles

sejam sujeitos partícipes do seu processo de aprendizagem, e por outro lado, permita romper

com o ensino centrado apenas no professor.

No Brasil, uma das primeiras iniciativas para inserir a tecnologia informática na

educação, em nível nacional, ocorreu em 1981 com a realização do I seminário Nacional de

informática educativa, que tinha como objetivo incentivar e promover a implementação do

uso da tecnologia informática nas escolas brasileiras e onde estiveram diversos educadores

brasileiros. (BORBA E PENTEADO, 2001, p.19).

Ainda, segundo Borba e Penteado (2001) foi a partir desse evento, que surgiram

projetos que tinham como principais objetivos, criar centros pilotos em universidades

brasileiras para desenvolverem pesquisas sobre as diversas aplicações da informática na

educação, formação de recursos humanos para o trabalho na área de informática educativa e

criação de laboratórios e centros de capacitação de professores. Portanto, o foco principal da

inclusão da informática na educação passa, sobretudo, pela capacitação de professores, para

que possam inserir este recurso em suas aulas.

O benefício da inclusão tecnológica nas escolas públicas como catalisador de

mudanças, é auxiliar o educador a entender a educação como um processo de construção de

conhecimento por parte do aluno, como resultado de seu próprio engajamento intelectual e

não apenas uma mera transmissão de conhecimentos. LUCAS (2002 apud VALENTE, 2002,

p.5). Portanto, essa pesquisa traz para a prática pedagógica um software de construção de

gráficos para permitir participação efetiva dos alunos no processo de aprendizagem.

1.1 Tema

A utilização do software GeoGebra no ensino de funções na 1ª série do ensino médio

integrado do Instituto Federal da Bahia Campus Eunápolis (IFBA).

1.2 Problema

Os estudantes que adentram o IFBA na 1ª série do ensino médio integrado, vêm com

uma defasagem em pré-requisitos matemáticos, que são necessários para o estudo de funções,

o que gera dificuldades no estudo e análise das funções, gerando uma alta reprovação na

disciplina. Além disso, as tecnologias podem permitir outras possibilidades aos processos de

18

ensino e de aprendizagem. Portanto, considerando este contexto, a questão de pesquisa foi:

Como a utilização do software GeoGebra pode potencializar a exploração da função do 2º

grau?

1.3 Objetivos

1.3.1 Objetivo geral

Investigar como a utilização do software GeoGebra pode potencializar a exploração da

função do 2º grau.

1.3.2 Objetivos específicos

Desenvolver uma proposta de exploração da função do 2º grau e estudo de seus

elementos com auxílio do software GeoGebra;

Promover a participação ativa dos estudantes no estudo da função do 2º grau por meio

da manipulação do software;

Verificar potencialidades do software GeoGebra nos processos de ensino e de

aprendizagem da função polinomial de grau 2 com os alunos da 1ª série do ensino

médio .

1.4 Justificativa

O presente estudo foi realizado no Instituto Federal da Bahia Campus Eunápolis, em

uma turma da 1ª série do ensino médio integrada ao ensino técnico em meio ambiente e os

estudantes são oriundos, em sua maioria, de escolas públicas do município de Eunápolis e das

cidades circunvizinhas. Ao ingressar no IFBA, é possível observar durante o ano letivo, na

disciplina de Matemática, que os estudantes apresentam dificuldades para estudar as funções

matemáticas que são abordadas nesta série na maioria dos casos de forma “tradicional”,

ocasionando uma alta taxa de reprovação.

19

O Ideb1 do município entre 2007 e 2015 foi de 3.1 em 2007 a 3.4 em 2015. Logo, é

possível observar que a evolução da média foi muito baixa, além de não alcançar a meta

projetada para o município no ano de 2015, que era de 3.7. Este dado é um dos elementos que

mostram a defasagem de conhecimentos matemáticos necessários para que os estudantes

tenham condições de acompanhar a disciplina de Matemática no Instituto.

Outro ponto que justifica este trabalho é o de analisar o ensino com uma tecnologia

computacional e a participação dos estudantes na construção de sua aprendizagem. Sob esta

perspectiva, os estudantes ao manipularem o software para construir e analisar os gráficos das

funções passam a ter papel ativo no seu processo de aprendizagem e o professor acompanha

esta construção orientando e corrigindo os possíveis erros neste processo. Logo, a tecnologia

computacional será utilizada como ferramenta de ensino, buscando a inserção dos alunos no

processo de ensino e aprendizagem de forma ativa.

Portanto, considerando este contexto, é que se propôs uma intervenção pedagógica

com cinco atividades, uma a cada duas aulas de 50 minutos, para explorar a função do 2º grau

com a utilização da tecnologia informática como auxiliar no processo de aprendizagem. A

seguir, os alunos construíram um mapa conceitual da função do 2º grau a partir da intervenção

pedagógica, com vista a verificar a efetivação da aprendizagem dos conceitos. Por fim, foi

aplicado um questionário para que os alunos avaliassem a metodologia utilizada na

intervenção bem como o uso da tecnologia computacional para aprendizagem da função

quadrática.

A apresentação desta pesquisa se dá a partir de cinco capítulos. O primeiro se refere a

introdução. No segundo, é apresentada a fundamentação teórica, que está dividida em duas

partes: a primeira mostra como a utilização das tecnologias computacionais tem papel

relevante para o ensino e a aprendizagem, destacando que esta ferramenta possibilita um

ensino dinâmico e participativo, permitindo a participação efetiva do aluno no processo de

aprendizagem. Na segunda parte, foi realizada uma revisão de bibliografia no portal de teses

da capes, sendo que na composição desta pesquisa foram três artigos e sete dissertações de

mestrado, que abordam a temática o ensino de funções com a utilização da tecnologia.

1 Índice de desenvolvimento da educação básica. O IDEB é calculado a partir de dois componentes: taxa de

rendimento escolar (aprovação) e médias de desempenho das provas de português e Matemática aplicadas pelo

INEP.

20

No terceiro capítulo é apresentado os procedimentos metodológicos, tais como o tipo

de pesquisa, caracterização da turma participante, metodologia de análise de dados,

instrumentos de coleta e a descrição da intervenção pedagógica.

No quarto capítulo é apresentada a análise dos dados através das respostas das

atividades, dos gráficos e tabelas, os mapas conceituais e do questionário aplicado ao final.

Durante a análise dos dados foi feita relações entre os resultados e a fundamentação teórica,

que corrobora com os dados apresentados. Por fim, no quinto capítulo, é apresentada uma

comparação entre os objetivos propostos na pesquisa e os resultados encontrados,

apresentando assim as considerações finais.

21

2 REFERENCIAL TEÓRICO

Neste capítulo, será apresentada uma abordagem teórica sobre a informática na

educação, sobretudo na educação matemática, de acordo com a visão de teóricos da área e que

sustentam o desenvolvimento da pesquisa. Na sequência, será apresentado o estado da arte

considerando o período de, 2011 a 2016, de trabalhos que consideram a informática como

recurso tecnológico e pedagógico para o ensino de Matemática.

2.1 Informática na Educação Matemática

A implantação da informática na educação no Brasil ocorreu em 1981, com a

realização do I seminário nacional de informática educativa, onde estiverem diversos

educadores de várias partes do Brasil (BORBA; PENTEADO, 2007). Desde essa época,

houve uma grande revolução dos aspectos tecnológicos com o advindo da internet, causando

forte impacto na sociedade, sobretudo na educação.

Dullius e Quartieri (2014) salientam sobre a inserção das tecnologias no ensino e

aprendizagem como instrumento de mediação, e afirmam que,

As tecnologias da informação vêm sendo incorporadas aos processos de

ensino e de aprendizagem como ferramenta de mediação entre o indivíduo

e o conhecimento. A inserção do computador nas escolas, como instrumento

de ensino adicional às aulas convencionais, cresce progressivamente em todo

mundo. (p.5)

Portanto, cada vez mais a tecnologia como instrumento de ensino e de aprendizagem

tem desempenhado um papel importante na escola, visto que os estudantes passam a ter

contato com diversas tecnologias fora dela, exigindo cada vez mais dos profissionais do

ensino e dos sistemas educativos adequação a esta realidade que se apresenta.

22

Em particular no ensino de Matemática, as Tecnologias da informação e comunicação

(TIC) têm desempenhado papel importante tanto nas pesquisas, como no ensino. Santana

(2006) assevera que,

Os recursos computacionais representam novas perspectivas e problemas na área

educacional com respeito ao ensino de matemática. Um dos questionamentos

presentes consiste em compreender como ferramentas computacionais podem

favorecer o trabalho docente e a aprendizagem discente. (p. 6)

Santana defende que os recursos computacionais proporcionam novas realidades e

trazem novos problemas para a área educacional, especificamente para o ensino de

Matemática. Mas o autor traz também uma contribuição importante; é necessário entender de

que forma estes recursos podem ajudar a melhorar, tanto o trabalho do professor, como a

aprendizagem dos estudantes. Do contrário, a utilização do computador pode ficar restrita a

passagem de informação e conteúdo, da mesma forma que acontece no ensino tradicional. A

esse respeito Valente (1995) afirma que,

A utilização do computador para passar informação implica na mera

informatização do processo de ensino tradicional. No caso do computador ser usado

para ser programado, permite a implementação do ciclo descrição-execução

reflexão-depuração-descrição, criando as condições para o aluno construir o

conhecimento e, portanto, aprender. ( p.45)

Amado e Carreira (2015), ao refletirem sobre o uso da tecnologia para ensinar

Matemática, sustentam que,

Devemos estar conscientes de que não é a tecnologia ou qualquer outro recurso

didático que vai melhorar ou resolver os problemas de aprendizagem da Matemática.

Defendemos que as tecnologias são um recurso indispensável, mas que deve ser

integrado na sala de aula de forma adequada. O que está em discussão é, acima de

tudo, aquilo que se faz com a tecnologia em sala de aula. ( p. 14)

Portanto, o recurso computacional não deve ser um fim em si mesmo, mas um meio

para se atingir um determinado objetivo proposto. Neste sentido, deve-se entender o recurso

computacional no ensino de Matemática como uma ferramenta auxiliar, que ajuda o professor

no processo de ensino, e da mesma forma, o estudante na sua aprendizagem. Já Borba e

Penteado (2007), referindo-se às mídias computacionais afirmam que,

Dessa forma, busca-se superar práticas antigas com este novo ator informático. Tal

prática está também em harmonia com uma visão de construção do conhecimento

que privilegia o processo e não o produto-resultado em sala de aula, e com uma

proposta epistemológica que entende o conhecimento como tendo sempre um

componente que depende do sujeito. ( p.46).

23

Resumidamente, Borba e Penteado afirmam que a partir da inserção dos recursos

computacionais, é permitido aos sujeitos a construção do seu próprio saber, e que o processo é

mais importante, pois possibilita ao aluno ter esta participação efetiva. Neste sentido, as TIC

têm um papel diferente de um livro didático ou mesmo a utilização do quadro e giz. Santana

(2006) afirma que,

Neste aspecto, o computador passa a ser visto como uma geratriz

de problemas matemáticos genuínos para os estudantes e professores. Além disto,

estes problemas ocorrem espontaneamente em decorrência de falhas oriundas de

manipulações livres realizadas no transcorrer de uma aula, ou seja, não se tratam de

situações artificialmente geradas por meio de livros didáticos e paradidáticos, mas

sim, são fenômenos decorrentes do uso das tecnologias computacionais em situações

de ensino-aprendizagem em software educativo (...) ( p.8).

Santana argumenta que o computador, neste contexto de participação efetiva dos

estudantes, tem a função de gerar problemas matemáticos, e que esses problemas são postos

naturalmente a partir da manipulação e observação por parte dos alunos, o que não seria

possível com o livro didático ou paradidático.

Sobre a participação dos alunos durante as aulas de Matemática com auxílio da

tecnologia, Amado e Carreira (2015) afirmam que,

(...) Os recursos tecnológicos tem um papel importante durante a aula, quando os

alunos são incentivados a trabalhar autonomamente, procurando resolver problemas

e questões que lhe são propostos, lidando com ideias e relações matemáticas,

pensando, raciocinando, aplicando e desenvolvendo conceitos. O sucesso da

aprendizagem dos alunos, nesse tipo de aula, depende da concretização de uma

estratégia de ensino que pressupõe diversos momentos, mas em que o trabalho dos

alunos com tarefas matemáticas, apoiado por recursos didáticos, ocupa uma posição

central. Isso diverge claramente de outra perspectiva em que o professor expõe o

conteúdo ao aluno, seguidamente exercita sobre questões estruturadas e dirigidas à

assimilação de regras, procedimentos ou fatos. ( p. 14)

As autoras destacam o papel relevante que as tecnologias têm durante uma aula,

sobretudo porque permitem que os alunos sejam levados a trabalhar com autonomia,

resolvendo problemas e estabelecendo relações matemáticas, o que permite o

desenvolvimento de conceitos. Mas as autoras fazem uma ressalva importante: a

concretização da aprendizagem dos estudantes nesse modelo de aula vai depender

necessariamente de um plano de ensino que contemple momentos diversos, no entanto, o

trabalho dos alunos com a Matemática apoiado nas tecnologias deve ocupar um papel central.

Já para Bairral (2015), a relação dos seres humanos com as tecnologias, ressaltando

aspectos humanos e não humanos, possibilita uma visão diferente e não trivial do papel da

24

tecnologia na construção do conhecimento. Em particular, para o aprendizado de Matemática,

ele afirma que,

O aprendizado matemático, nesse modelo, fica predominantemente circunscrito à reorganização do pensamento mediante a visualização e a

experimentação, e com uma aparente observação de estruturas cognitivas já

existentes, sem um foco pormenorizado na geração de conhecimento novo. (p. 487)

Logo, o que se pretende é o ensino de objetos matemáticos a partir da visualização e

experimentação com a tecnologia, sem necessariamente estar interessado em geração de

novos conhecimentos.

Considerando a importância da utilização das tecnologias no ensino, é preciso salientar

a dificuldade que os docentes apresentam para utilizar as tecnologias nas aulas de matemática.

Apesar de todo o avanço da tecnologia, e concomitantemente, as pesquisas sobre a utilização

delas no ensino, há pouca utilização das tecnologias para ensinar. É o que afirmam Borba e

Lacerda (2015),

No entanto, não é essa a realidade, pois apesar de diversas pesquisas na área de

Educação Matemática mostrarem as potencialidades da utilização das tecnologias no

desenvolvimento do conhecimento matemático dos alunos, como as pesquisas

realizadas pelo GPIMEM (BORBA; CHIARI, 2013) a prática de uso contínuo das

TD nas aulas de Matemática não ocorre com frequência, e nem formação inicial e

continuada é desenvolvida com uso intenso de TD. (p.498)

Ou seja, apesar de todo o material produzido sobre o tema, e das experiências exitosas

com o uso de tecnologia para ensinar Matemática, as tecnologias não estão sendo utilizadas

constantemente por professores em suas aulas, e tampouco isso é trabalhado intensamente em

cursos de formação de professores. Sem a utilização constante desta ferramenta, não será

possível inseri-la no contexto de sala de aula com os alunos.

2.2 Alguns Trabalhos sobre o uso das TIC no ensino de funções

Para construção do estado da arte, seguiremos o que diz Ferreira et.al ( apud, SILVA E

CARVALHO, 2014 ). Os autores asseveram que o estado da arte é um método de pesquisa

que se realiza por meio de uma revisão de bibliografia sobre a produção de determinada

temática em uma área específica. Esta revisão busca identificar que teorias estão sendo

construídas, quais procedimentos de pesquisa estão sendo empregados para realizar esta

construção, quais são os teóricos utilizados para embasar as pesquisas e qual sua contribuição

científica e social. Portanto, o principal objetivo ao utilizar este método, é fazer um

25

levantamento, mapeamento e análise do que se produz considerando a área de conhecimento,

períodos cronológicos, espaços, formas e condições de produção.

Inicialmente, considerando o tema tecnologias no ensino de funções, foi feita uma

busca no portal de teses da capes com as palavras chave: “Software e funções”, “Ensino de

Funções”. A partir disso, foi feita uma seleção prévia pelo título, considerando as palavras

chave, de 50 trabalhos, entre dissertações e artigos de 2011 a 2016, com vistas a fazer uma

segunda filtragem a partir dos resumos destes trabalhos. Nesta segunda filtragem, a partir da

leitura dos resumos e considerando o enquadramento dos trabalhos dentro da temática a ser

pesquisada, foram selecionados 10 trabalhos que compuseram esta revisão de bibliografia,

sendo sete dissertações de mestrado e três artigos científicos publicados em periódicos.

No Quadro 1 são apresentadas as obras considerando o(s) autor (es), título e tipo de

trabalho.

Quadro 1 – Descrição dos trabalhos do estado a arte

Autor(es) Título Tipo de trabalho

CARNEIRO,

Reginaldo F;

PASSOS, Carmén,

L, B.

A utilização das tecnologias da informação e

comunicação nas aulas de Matemática: Limites e

possibilidades.

Artigo

SCHASTAI, Marta

Burda; SILVA, Sani

de Carvalho Rutz da.

Funções & Graphmat: uma possibilidade de

dinamizar as aulas de matemática e favorecer a

construção de conhecimentos a partir do

computador.

Artigo

SOUZA, M,

Antônio.

A Sequência de Fedathi para uma Aprendizagem

Significativa da Função Afim: Uma Proposta

Didática com o Uso do Software GeoGebra.

Dissertação de

mestrado

PEREIRA, S,

Willian.

Uma Proposta Para o Uso do Software Winplot

no Ensino de Matemática Para Estudantes do

Ensino Médio do IFTM, Campus Cuiabá

Dissertação de

mestrado

26

NOGUEIRA, L,

Gabriel.

Uma proposta metodológica para estudo,

modelagem, e aplicações de funções afins

(lineares), quadráticas e exponenciais com o uso

do software geogebra no ensino médio.

Dissertação de

mestrado

LEMOS JUNIOR,

A, José.

Estudo de funções afim e quadráticas com o

auxílio do computador.

Dissertação de

mestrado.

ARAÚJO, A,

Wellington. O

geogebra:

Uma experimentação na abordagem da função

afim.

Dissertação de

mestrado

ROCHA, S, A,

Lúcia.

A utilização de softwares no ensino de funções

quadráticas.

Dissertação de

mestrado.

WEGNER,

Alexandre.

Uma abordagem do uso do software

Graphmatica para o ensino de funções na

primeira série do ensino médio.

Dissertação de

mestrado.

SOUZA, E, Mauro. Professores e o uso do GeoGebra: (RE)

construindo conhecimentos sobre funções.

Dissertação de

mestrado.

Fonte: Os autores

Carneiro e Passos (2014) apresentaram um artigo que é resultado de uma dissertação

de mestrado, e tinha como objetivo discutir alguns limites e possibilidades da utilização das

tecnologias da educação e comunicação nas aulas de Matemática. A partir de questionários e

entrevistas realizadas com 16 professores, os autores tiveram a intenção de verificar indícios

da relação do professor com as tecnologias, de práticas bem exitosas e também de

dificuldades que podem ser enfrentadas nesse contexto. A pesquisa foi de caráter qualitativo e

os participantes eram professores de Matemática egressos da licenciatura em Matemática da

USFCAR, no período de 2002 a 2006.

A partir das respostas aos questionários e entrevistas, os autores concluíram que os

professores apresentaram diferentes formas de utilização, que podem ser enquadradas como

elemento de facilitação, elemento de motivação e elemento de mudança. Alguns professores

comentaram sobre práticas que envolveram formas diferentes de uso da tecnologia. Assim, a

27

partir das respostas dos professores, foi possível verificar indícios de que eles refletiram sobre

a forma de utilização e o objetivo que queriam alcançar, apesar de serem práticas muito

mecânicas, que não exploravam todas as potencialidades das TIC.

Schastai e Silva (2013) apresentaram um artigo resultado de uma prática docente

utilizando o software de construção de funções Graphmat, para ensinar funções por meio de

problematização, observação de regularidades e da sistematização do conteúdo em uma

perspectiva dialógica. O artigo discorre sobre o uso do computador nas aulas de Matemática,

e uniu pesquisa ação e bibliográfica. A prática ocorreu em uma escola do estado do Paraná, no

ano de 2011 com alunos da 1ª série do ensino médio e contou com dez aulas.

Depois de realizada as dez aulas, os autores concluíram que a prática pedagógica

desenvolvida mostrou que exercícios realizados com o auxílio de um software de construção

de funções e com a mediação do professor, promovem um processo de ensino e aprendizagem

dinâmico, que enfatiza a matematização, destituindo o conteúdo pronto e acabado e que não

se relaciona com o cotidiano dos estudantes.

Souza (2015) traz uma proposta de ensino da função afim (do 1º grau), que tinha como

fundamentos a teoria da aprendizagem significativa proposta por Ausubel, a metodologia de

ensino da Sequência de Fedathi e o software GeoGebra como recurso tecnológico auxiliar. A

pesquisa teve como público alvo a 1ª série do ensino médio de uma escola pública do estado

do Ceará e tinha como objetivo oferecer subsídios aos alunos, a partir de atividades

elaboradas previamente, para que construíssem o conceito de função afim, partindo de uma

situação problema, e na sequência diferenciassem este conceito através de simulações no

GeoGebra, assumindo uma atitude participativa no processo.

O autor utilizou como recurso metodológico sessões didáticas que eram aulas

estruturadas de acordo com a Seqüência de Fedathi e também através da construção de mapas

conceituais, sendo que a segunda, terceira e quarta sessões contou com o auxílio do software

GeoGebra. Os resultados mostraram que os conceitos da aprendizagem significativa, a

metodologia da Sequência de Fedathi e a utilização do software GeoGebra juntos favoreceram

a aprendizagem da função do 1º grau, pois foi possível construir o conceito da função afim a

partir de um problema, bem como a posterior diferenciação deste conceito através de

simulações no GeoGebra.

28

Pereira (2015) apresenta uma proposta de atividades didáticas mediadas pelo software

de construção de gráficos Winplot. As atividades didáticas tinham como foco a construção e

aplicação de exercícios de conteúdos de gráficos bidimensionais e eram direcionadas as

turmas de 2º ano do Instituto Federal do Mato Grosso (IFTM). O objetivo principal das

atividades era proporcionar a compreensão de conteúdos matemáticos especificamente, a

abordagem bidimensional, mediada pelo software Winplot. Ao final das atividades didáticas,

o autor conclui que a visualização gráfica das figuras nas atividades propostas favoreceu a

reflexão e autonomia dos estudantes no processo de ensino e aprendizagem da abordagem

sobre gráficos bidimensionais.

Nogueira (2015) traz em sua pesquisa uma proposta metodológica para estudo,

modelagem e aplicação de funções do 1º grau, do 2º grau e função exponencial no ensino

médio, utilizando o software GeoGebra como ferramenta tecnológica. A pesquisa foi

realizada em uma escola do estado do Rio de Janeiro e tinha como sujeitos da pesquisa alunos

da primeira, segunda e terceira série. O objetivo da pesquisa era, através de oficinas,

permitirem aos estudantes compreender a representação gráfica das funções, o

comportamento das funções a partir da variação de seus coeficientes e as aplicações destas

funções, tudo isso com a utilização do GeoGebra.

Além das oficinas, foram aplicados também questionários aos alunos participantes da

pesquisa e professores de diferentes localidades com vistas a avaliarem a proposta de ensino

proposta pelo pesquisador. Com relação aos alunos participantes da pesquisa, ficou

evidenciado que em sua grande maioria utilizavam o computador, seja para fins educacionais,

seja para recreação. Também ficou constatado que os estudantes compreenderam melhor os

conceitos abordados com o uso do software GeoGebra do que em aulas que eles usaram

apenas o livro, papel e caneta. Por outro lado, verificou-se que grande parte dos professores

conhece o GeoGebra, mas não utilizam em suas aulas, seja por falta de estrutura nas escolas,

seja pela falta de tempo para a preparação de aulas que envolva este recurso.

Lemos Junior (2013) apresenta um resumo da história de implantação e uso de

computadores para fins educacionais e em conjunto algumas atividades que envolvem os

conteúdos função afim (do 1º grau) e função quadrática (do 2º grau) com o auxílio do

software de geometria dinâmica GeoGebra. As atividades foram aplicadas a alunos da 1ª série

do ensino médio e tinham como objetivo dar aprofundamento no conceito de função, função

afim e função quadrática. Na síntese histórica realizada pelo autor, ficou constatado que no

29

Brasil, desde a década de 70, surgiram vários projetos que visavam a implantação de

computadores na educação. Embora tivesse sido a mudança pedagógica o objetivo principal

dos projetos, os resultados, até o momento, não foram capazes de mudar o sistema

educacional.

Com relação às atividades realizadas utilizando o software GeoGebra com os alunos

da 1ª série do ensino médio, foi possível verificar que alunos que tinham dificuldades nos

conteúdos trabalhados na pesquisa, conseguiram ter um desempenho satisfatório, atingindo os

objetivos que foram propostos para as atividades. O autor conclui que a tecnologia

computacional permite ao professor diversificar as suas aulas e propor situações que não são

possíveis a partir de uma aula tradicional. No entanto, o professor precisa de capacitação e

planejamento, para que as aulas com o uso da tecnologia surtam o efeito esperado.

Araújo (2014) apresenta uma sequência didática para o estudo de função afim que se

desenvolveu em dois grupos; um que utilizou o GeoGebra como ferramenta e outro que

realizou a sequência didática sem o GeoGebra. A pesquisa tinha como objetivo investigar

situações em que ocorre aprendizado de matemática, especificamente função polinomial de

grau 1. Os sujeitos da pesquisa eram alunos de duas turmas da 1ª série do ensino médio do

Instituto Federal de Sergipe - Campus São Cristóvão. A pesquisa teve uma abordagem

qualitativa e utilizou procedimentos como questionários, pré-teste e pós-teste e atividade

experimental envolvendo a função afim para a coleta de dados.

Ao analisar os dados, tanto do grupo que utilizou o GeoGebra, quanto o que não

utilizou, foi possível concluir que em todas as resoluções, o grupo que utilizou o GeoGebra

obteve uma quantidade de acertos das questões da sequência didática mais satisfatória do que

o grupo que não utilizou, dando respostas mais próximas do que era esperado. Com base

nisso, foi possível afirmar que a inserção do software GeoGebra no ensino de função afim

constitui um aplicativo viável.

Rocha (2013) na sua dissertação de mestrado apresenta uma forma diferente para

abordar os conceitos de função quadrática utilizando os softwares Winplot e wxMáxima,

propondo atividades de motivação e exercícios de fixação, contextualizadas com o dia a dia

dos alunos. No decorrer da pesquisa, foi feita uma revisão de bibliografia em livros didáticos

do ensino fundamental e médio e ficou constatado que a maioria dos livros analisados não

apresentava o estudo de funções relacionado com o cotidiano dos alunos. Lançando mão de

30

ferramentas tecnológicas presentes na maioria das escolas públicas, a autora propõe atividades

usando pelo menos um software livre para motivar professores no planejamento de suas aulas

e, por consequência, ajudar os alunos na construção de sua aprendizagem. Por fim, foi

possível concluir que a utilização de tecnologias no estudo de funções quadráticas pode ser

um excelente recurso para ajudar os professores em suas aulas.

Wegner (2011) traz uma pesquisa que busca analisar através de uma prática

pedagógica o uso do software Graphmatica para o ensino de funções na 1ª série do ensino

médio. A pesquisa ocorreu em uma escola estadual no Rio Grande do Sul e tinha como

objetivos analisar livros de matemática da escola pesquisada, mostrar as possibilidades que as

tecnologias computacionais podem trazer para o aprendizado dos estudantes e compreender as

contribuições que o software Graphmática pode oferecer ao professor ao se trabalhar o

conteúdo de funções na sala de aula.

Os resultados mostraram que: os livros analisados não apresentaram menção a

utilização de recursos computacionais, e que os mesmos apresentam exercícios e exemplos

semelhantes ao de livros bem mais antigos. Com relação à prática pedagógica, foi possível

verificar uma grande aceitação por parte dos estudantes, pois o software permite fazer os

gráficos com mais rapidez, com maior precisão e quantidade de dados e a contextualização

que ele permite efetuar. Por outro lado, o Graphmatica também se mostrou uma importante

ferramenta de apoio ao professor, pois auxilia o docente a produzir gráficos com maior

precisão e economiza-se tempo para trabalhar outros pontos importantes no estudo de

funções.

Souza (2016) realizou uma pesquisa a partir de um curso de formação de professores

que tinha como objetivo verificar como acontece a (re) construção de conhecimentos a

respeito das funções por professores de Matemática. O curso de formação foi estruturado em

encontros presenciais e virtuais a partir de um projeto de extensão de uma universidade

pública de uma cidade de Mato Grosso. A coleta de dados foi efetuada a partir da gravação

dos encontros presenciais, registros no ambiente virtual de aprendizagem e os registros das

atividades realizadas no GeoGebra.

Para análise dos resultados, foram escolhidos dois participantes da pesquisa, e a partir

desta seleção foi possível observar que os dois participantes construíram conhecimentos que

tem relações com a representação gráfica da função polinomial de 1º grau no que diz respeito

31

aos coeficientes da função e a inclinação da reta, e a representação gráfica da função seno

com relação entre o coeficiente da função e a amplitude da curva senoidal.

A partir da análise desses trabalhos é possível concluir que o uso das TIC para ensinar

matemática tem se mostrado eficaz, permitindo que o professor planeje aulas mais dinâmicas

e participativas e os alunos passam a ter um papel mais ativo no processo de aprendizagem.

Muitas das pesquisas apresentadas trazem práticas realizadas em sala de aula e, portanto,

mostrando na prática a utilização das tecnologias no ensino. Por outro lado, alguns trabalhos

trazem resultados sobre a utilização de professores das TIC em suas aulas, mas que apenas

reproduzem o conteúdo, sem permitir que os alunos tenham autonomia no processo de

aprendizagem. Nesse caso, apesar de haver vários recursos hoje disponíveis, a utilização das

tecnologias para o ensino de matemática ainda é pouco utilizada nas escolas.

2.3 Caracterização do software GeoGebra

O GeoGebra é um software de Matemática dinâmica, criado por Markus Hohenwarter

como produto de sua tese de doutoramento na universidade Salsburg na Suíça. Segundo

Nascimento (2012), O GeoGebra é um software gratuito de Matemática dinâmica que foi

idealizado para o ensino de Matemática, seja no ensino básico e no ensino superior. O

Geogebra agrega recursos de geometria (Figura 1), tabelas e gráficos (Figura 2),

probabilidade e estatística (Figura 3) e cálculos simbólicos (Figura 4) em um mesmo

ambiente.

Figura 1 – Ciclo trigonométrico no GeoGebra

32

Fonte: Os autores

Figura 2 – Gráfico e tabela de função do 2º grau

Fonte: Os autores

Figura 3 – Estatística e probabilidade no GeoGebra

33

Fonte: Os autores

Figura 4 – Cálculos simbólicos no GeoGebra

Fonte: Os autores

Assim, o GeoGebra possui uma vantagem didática de apresentar a leitura de um

objeto, ao mesmo tempo, de maneiras diferentes, e que interagem entre si. Ainda segundo

Nascimento (2012),

O GeoGebra está rapidamente ganhando popularidade no ensino e aprendizagem da

matemática em todo o mundo. Atualmente, o GeoGebra é traduzido para 58

idiomas, utilizado em 190 países e baixado por aproximadamente 300.000 usuários

em cada mês. Esta utilização crescente obrigou o estabelecimento do Internacional

GeoGebra Institute (GII), que serve como uma organização virtual para apoiar

GeoGebra locais, iniciativas e institutos. (p. 128)

Portanto, é possível verificar que o software tem tido uma grande aceitação no meio

acadêmico, seja para ser utilizado como instrumento de ensino, seja para a pesquisa. Ele se

caracteriza como uma importante ferramenta de tecnologia para auxiliar o professor durante

as aulas, permitindo que o aluno participe com mais efetividade da aula.

Neste trabalho, foi utilizada a janela gráfica e algébrica, visto que iria ser feita a

representação da função do 2º grau que tinha como ponto principal a análise gráfica das

funções e sua visualização algébrica. Na Figura 5 é apresentada a tela de trabalho do software

em que os alunos realizaram as atividades, nesse caso, a versão 5 do programa.

34

Figura 5 – Tela inicial do GeoGebra

Fonte: Os autores

Os estudantes escreveram as funções no campo entrada para visualizar as leis de

formação na janela algébrica e os gráficos na janela de visualização. Isso permite que os

alunos manipulem os coeficientes nas leis de formação na janela algébrica e visualize as

mudanças no gráfico a partir dessa variação. Além disso, é possível analisar outros aspectos

da função como concavidade, crescimento e decrescimento e sinal da função do 2º grau.

35

3 PROCEDIMENTOS METODOLÓGICOS

Neste capítulo apresentaremos os procedimentos metodológicos utilizados nesta

pesquisa, como o método de pesquisa, o tipo de pesquisa, os procedimentos de pesquisa,

detalhamento da intervenção pedagógica, caracterização dos sujeitos da pesquisa,

instrumentos de coleta de dados.

3.1 Caracterização da pesquisa quanto ao método de abordagem

Trata-se de uma pesquisa qualitativa, do tipo pesquisa participante, que buscou

analisar em uma turma da 1ª série do ensino médio integrado ao ensino técnico de meio

ambiente do Instituto Federal da Bahia campus Eunápolis, se a utilização do software

Geogebra, a partir de atividades pré-estruturadas pode favorecer a exploração da função do 2ª

grau. Logo, esta pesquisa seguirá o conceito de Moreira (2011) que ao descrever a abordagem

qualitativa afirma que,

O interesse central desta pesquisa está em uma interpretação dos significados

atribuídos pelos sujeitos e suas ações em uma realidade socialmente construída,

através de observação participativa, isto é, o pesquisador fica imerso no fenômeno

de interesse. Os dados obtidos por meio dessa participação ativa de são de natureza

qualitativa e analisados de forma correspondente. ( p.76)

Moreira (2011) continua ao dizer que as hipóteses são definidas a partir do processo de

investigação. O pesquisador busca, ao analisar profundamente casos particulares e comparar

estes com outros já estudados, estabelecer uma generalidade sobre o fenômeno que está sendo

analisado. Logo, o pesquisador estará imerso no campo de pesquisa, em contato com os

sujeitos e processos que estão sendo pesquisados.

36

3.2 Delimitação da área de pesquisa e caracterização da turma

A pesquisa foi desenvolvida no estado da Bahia na cidade de Eunápolis, situada na

região extremo sul, no IFBA, em uma turma da 1ª série do ensino médio integrado ao técnico

em meio ambiente. O Instituto Federal da Bahia é uma autarquia de educação criada no ano

de 2008 a partir da lei nº 11.892/2008 comportando três segmentos de ensino: Médio, técnico

e superior. No caso específico do IFBA campus Eunápolis, que atende várias cidades de seu

entorno, trabalha com três cursos técnicos integrados ao ensino médio, três cursos técnicos

subsequentes e três cursos superiores, sendo uma licenciatura, uma engenharia e um

tecnólogo.

A turma que foi pesquisada tinha quarenta alunos, sendo trinta e dois do sexo feminino

e oito do sexo masculino com idades entre quatorze e quinze anos. Desses quarenta alunos,

trinta e dois são oriundos de escolas públicas do município de Eunápolis-BA e cidades da

região, e oito de escolas particulares. Todos os alunos que participaram da pesquisa assinaram

o termo de livre e esclarecido (TCLE), além disso, a pesquisa contou com a anuência da

escola em que ocorreu. A turma apresentou deficiências em conteúdos matemáticos que são

pré-requisitos para conteúdos a serem trabalhados na 1ª série do ensino médio, sendo

necessário no início do ano letivo fazer uma revisão desses conteúdos com vistas a amenizar

as dificuldades dos estudantes nessa série.

3.3 Intervenção Pedagógica

Foram realizados cinco encontros de duas aulas de 50 minutos cada, e todos os

encontros ocorreram em um dos laboratórios de informática da instituição, sendo que em cada

encontro foi trabalhado um tópico de função do 2º grau, de forma a verificar os objetivos que

foram propostos preliminarmente. A seguir, é apresentado o Quadro 2 que contém os tópicos

que foram trabalhados em cada encontro, a descrição das atividades que foram desenvolvidas

e os objetivos propostos para cada atividade.

Quadro 2 – Descrição das atividades desenvolvidas na pesquisa

Atividades Tópico Descrição

das

atividades

Objetivo

37

Atividade 1 Variação dos

coeficientes a e c

da função do 2º

grau.

Apêndice A

Levar os alunos, através da

observação e manipulação no

GeoGebra, a compreenderem o

comportamento do gráfico da

função do 2º grau a partir da

variação dos coeficientes a e c.

Atividade 2 Determinação dos

zeros da função do

2º grau.

Apêndice A

Permitir que os estudantes

encontrem os zeros da função a

partir da observação dos

gráficos no GeoGebra e

compreenda o seu significado.

Atividade 3 Coordenadas do

vértice da parábola

e determinação de

máximos e

mínimos.

Apêndice A

Permitir que os alunos possam

identificar o vértice das

funções bem como o relacionar

este ponto com o ponto

máximo e mínimo das

funções do 2º grau.

Atividade 4

Estudo do sinal da


Apêndice A

Propor o estudo do sinal da

função do 2º grau utilizando a

visualização dos gráficos no

GeoGebra, considerando os

discriminante da função e o

coeficiente a.

Atividade 5 Construção de

gráficos da função

do 2º grau a partir

dos zeros, do

vértice, e dos

coeficientes a e c da

função quadrática.

Apêndice A

Construir o gráfico da função

do 2º grau a partir dos

coeficientes a e c, zeros da

função, crescimento e

decrescimento e o vértice.

Fonte: Os autores

38

A turma que participou da intervenção pedagógica já era turma do professor

pesquisador, e já tinha trabalhado conteúdos prévios a função do 2º grau. No modelo de aula

trabalhado na intervenção, o foco principal de interlocução não é só do professor, os alunos

passam a ter uma participação efetiva no processo de aprendizagem. Durante a intervenção

pedagógica, os alunos receberam as atividades e em seguida eles utilizaram o software para

responder as perguntas. Isso provocou muitos questionamentos dos alunos ao professor,

provocando uma discussão entre alunos e alunos e entre alunos e professor. Nesse caso, houve

um processo de autonomia por parte dos alunos pois ao utilizarem a tecnologia para explorar a

função do 2º grau, os estudantes foram instados a pensar, conjecturar e elaborar as respostas,

provocando envolvimento dos alunos na aula. Berbel(2011) afirma que,

Concorrem para a promoção da autonomia as atividades de aprendizagem que

possibilitam, por exemplo, conforme Bzuneck e Guimarães (2010), que, em relação

a um dado comportamento, haja envolvimento pessoal, baixa pressão e alta

flexibilidade em sua execução, e percepção de liberdade psicológica e de escolha.

(p.27).

Neste aspecto, o professor colabora para a promoção da autonomia do aluno

oferecendo explicações pertinentes para o estudo do conteúdo que está sendo estudado, utiliza

de linguagem informacional e não controladora e desenvolve a aula de acordo com o ritmo

dos alunos. (BERBEL, 2011, p. 28).

Outro ponto a se destacar na pesquisa é o papel do professor. Durante as aulas da

intervenção pedagógica, o professor conduziu as aulas através de orientação e medição,

auxiliando os alunos em dúvidas relacionadas ao conteúdo e ao software utilizado. A

mediação do professor possibilita uma aproximação bem sucedida entre o conteúdo e os

alunos. A esse respeito, Libâneo [201 -] afirma que

Numa formulação sintética, boa didática significa um tipo de trabalho na sala de

aula em que o professor atua como mediador da relação cognitiva do aluno com a

matéria. Há uma condução eficaz da aula quando o professor assegura, pelo seu

trabalho, o encontro bem sucedido entre o aluno e a matéria de estudo. Em outras

palavras, o ensino satisfatório é aquele em que o professor põe em prática e dirige as

condições e os modos que asseguram um processo de conhecimento pelo aluno (p.

3)

A aprendizagem se consolida de forma adequada se forem criadas situações de

interlocução, cooperação, diálogo, entre professor e alunos e entre os alunos, em que os

estudantes tenham chance de formular e operar com conceitos. (LIBÂNEO, 201 - , p.4)

39

3.4 Caracterização dos instrumentos de pesquisa

Nesta seção serão descritos os procedimentos técnicos que foram utilizados na

pesquisa, ou seja, os instrumentos que foram utilizados para a realização da coleta de dados,

bem como o objetivo de cada um. Segundo Gerhardt e Silveira ( 2009), a coleta de dados é

formada por um conjunto de operações que permitem analisar o modelo através dos dados

coletados. No decorrer desta etapa, várias informações foram coletadas e elas foram

analisadas na etapa posterior.

Mapa conceitual. O mapa conceitual foi utilizado para verificar a o aprendizado da

função do 2º grau através da utilização do software GeoGebra, e foi aplicado logo depois da

intervenção pedagógica. Ao definir a construção de um mapa conceitual, Moreira (2012) de

modo geral, afirma que os mapas conceituais são diagramas que estabelecem uma relação de

conceitos, ou através de palavras que utilizamos para representar estes conceitos. Ainda

segundo Moreira (2012),

Embora normalmente tenham uma organização hierárquica e, muitas vezes, incluam

setas, tais diagramas não devem ser confundidos com organogramas ou diagramas

de fluxo, pois não implicam sequência, temporalidade ou direcionalidade, nem

hierarquias organizacionais ou de poder. Mapas conceituais são diagramas de

significados, de relações significativas; de hierarquias conceituais, se for o caso. Isso

também os diferencia das redes semânticas que não necessariamente se organizam

por níveis hierárquicos e não obrigatoriamente incluem apenas conceitos. Mapas

conceituais também não devem ser confundidos com mapas mentais que são livres,

associacionistas, não se ocupam de relações entre conceitos, incluem coisas que não

são conceitos e não estão organizados hierarquicamente. Não devem, igualmente, ser

confundidos com quadros sinópticos que são diagramas classificatórios. Mapas

conceituais não buscam classificar conceitos, mas sim relacioná-los e hierarquizá-

los. (p. 1).

Logo, os mapas conceituais se constituem em uma importante ferramenta para

verificar se houve aprendizagem de conceitos por parte dos estudantes. Além disso, o mapa

conceitual permitiu que os sujeitos da pesquisa escrevessem o que entenderam do conteúdo

trabalhado na intervenção pedagógica sem a necessidade de realização de cálculos

matemáticos.

Diário campo. O diário de campo, segundo Falkemback (apud GERHARDT e

SILVEIRA, 2009, p.76) é um instrumento para se fazer anotações, uma ferramenta com

espaço suficiente para realizar todas as anotações, fazer comentários e realizar reflexões, e

deve fazer parte do dia a dia do pesquisador. No diário de campo foram relatadas as

observações do que ocorreu concretamente durante a pesquisa como, acontecimentos,

experiências do próprio investigador, suas reflexões e comentários. Além disso, ele permite

40

criar o hábito de escrever e observar com atenção, explicar com fidedignidade e pensar sobre

os acontecimentos.

Questionário. O questionário foi utilizado nesta pesquisa para avaliar a metodologia

utilizada bem como a utilização do software, e foi aplicada após a realização do mapa

conceitual. Gil (2008, p. 121) define o questionário como uma ferramenta de investigação que

é formada por um conjunto de questões que são submetidas a um grupo com o objetivo de

coletar informações sobre “conhecimentos, crenças, sentimentos, valores, interesses,

expectativas, aspirações, temores, comportamento presente ou passado etc.” Ainda segundo

Gil (2008), fazer um questionário nada mais é do que transformar os objetivos da pesquisa em

questões específicas. As respostas a estas questões permitirão a coleta dos dados para então

mostrar as características da população a ser pesquisada ou verificar as hipóteses que foram

levantadas durante o planejamento da pesquisa.

3.5 Metodologia de Análise dos dados

Para analisar os dados coletados, foi utilizada a descrição, visto que foi analisada as

respostas dos alunos às atividades com o auxílio do GeoGebra. As atividades foram descritas

em ordem cronologia, visto que cada atividade ocorreu em um dia diferente. Gil(2008)

afirma que

As pesquisas deste tipo têm como objetivo primordial a descrição das características

de determinada população ou fenômeno ou o estabelecimento de relações entre

variáveis. São inúmeros os estudos que podem ser classificados sob este título e uma

de suas características mais significativas está na utilização de técnicas padronizadas

de coleta de dados. (p.28)

No caso desta pesquisa, o objetivo foi descrever a exploração da função do 2º grau de

alunos de uma turma da 1ª série do ensino médio com a utilização de um software como

auxílio. O objetivo primordial é a descrição das características do fenômeno e as relações

existentes entre as variáveis.

41

4 ANÁLISE E DISCUSSÃO DOS DADOS

Depois da realização da intervenção, as atividades, o mapa conceitual bem como as

informações do diário de bordo foram digitalizados e organizados para a realização da análise

dos dados coletados. Nas atividades, além dos acertos, foram indicadas também respostas que

foram respondidas de forma incorreta, ou seja, os alunos não concluíram a resposta

corretamente. Os acertos e erros aqui são considerados a partir da obra de Luis Roberto Dante,

Matemática Contexto e Aplicações, de 2017. As atividades foram analisadas individualmente,

considerando o objetivo de cada uma, o enunciado, e a análise das respostas dos alunos.

4.1 Atividade 1 – Comportamento da parábola de acordo com o coeficiente a e c

A atividade 1 tinha como objetivo ajudar os alunos, através da observação e

manipulação no geogebra, a compreenderem o comportamento do gráfico da função do 2º

grau a partir da variação dos coeficientes a e c. A seguir é apresentado o enunciado da

atividade considerando o comportamento do gráfico com relação ao coeficiente a.

Quadro 3 – Questões da atividade 1 parte 1

1) Construa os gráficos das funções do 2º grau abaixo em um mesmo plano no GeoGebra.

𝑎) 𝑓 𝑥 = 𝑥2 − 3𝑥 + 5

𝑏) 𝑓 𝑥 = −𝑥2 + 2𝑥 + 8

𝑐) 𝑓 𝑥 = 𝑥2 − 8𝑥 + 16

𝑑) 𝑓 𝑥 = −2𝑥2 + 3𝑥

𝑒) 𝑓 𝑥 =1

2𝑥2 + 1

42

2) Identifique, em cada caso, se o valor de a é positivo ou negativo.

3) Como é a concavidade do gráfico das funções que possuem o valor de a positivo? E a

negativo?

4) O que podemos concluir em relação ao sinal do valor de a e a concavidade do gráfico?

Fonte: Os autores

Das dezoito duplas que realizaram a atividade, dezesseis conseguiram compreender e

responder corretamente atividade e duas erraram algum conceito relacionado ao coeficiente a

e o comportamento do gráfico. Foi possível verificar que a partir da construção e observação

dos gráficos no GeoGebra, os alunos conseguiram relacionar o coeficiente a da função do 2º

grau com o comportamento de seu gráfico (GRÁFICO 1) como mostra a Figura 6.

Figura 6 – Resposta da dupla 2 Atividade 1

Fonte: Os autores

43

Gráfico 1 – Concavidade da parábola dupla 2

Fonte: Os autores

Na resposta da dupla 2 foi possível perceber que os alunos relacionaram corretamente

a concavidade da parábola com o coeficiente a, ou seja, se a maior que zero, concavidade da

parábola para cima, se a menor que zero concavidade para baixo. Além disso, a dupla 2

conseguiu concluir em linguagem matemática a relação do a com o gráfico, o que ocorreu

com outras duplas. No entanto, ao escreverem sobre esta relação, outras duplas não

concluíram em linguagem matemática, mas escreveram corretamente a relação como mostra a

Figura 7.


Fonte: Os autores

Considerando as duas duplas que cometeram algum erro, foi possível observar que os

alunos não conseguiram estabelecer a relação entre o coeficiente a e gráfico da função,

chamando a concavidade de positiva ou negativa, concluindo que a função é positiva quando

44

tem concavidade para cima e negativa quando a concavidade está para baixo como pode ser

observado na Figura 8.


Fonte: Os autores

Na sequência, os alunos responderam as questões que relacionam o coeficiente c e o

gráfico da função do 2º grau como segue abaixo.


6) Construa os gráficos de:

𝑎) 𝑓 𝑥 = 𝑥2 + 2𝑥 − 2

𝑏) 𝑓 𝑥 = 𝑥2 + 2𝑥 − 1

𝑐) 𝑓 𝑥 = 𝑥2 + 2𝑥

𝑑) 𝑓 𝑥 = 𝑥2 + 2𝑥 + 1

𝑒) 𝑓 𝑥 = 𝑥2 + 2𝑥 + 2

7) Escreva o par ordenado onde cada gráfico intersecta o eixo y.

8) Qual a relação entre o coeficiente c e o gráfico da função?

Fonte: Os autores

Neste caso, doze duplas responderam corretamente a relação entre o coeficiente c o

gráfico da função, ou seja, que a parábola sempre intercepta o eixo y no valor de c. Já seis

duplas não conseguiram estabelecer esta relação, respondendo incorretamente ou deixando em

45

branco. Na Figura 9 e Gráfico 2 podemos observar que os alunos utilizaram o recurso

tecnológico, observando os gráficos no plano cartesiano para entender a relação existente.

Figura 9 – Resposta da Dupla 11 Atividade 1

Fonte: Os autores

Gráfico 2 – Intercepto do gráfico no eixo y dupla 11

Fonte: Os autores

Neste caso, os estudantes além de representarem todas as funções em um mesmo plano

cartesiano, utilizaram a ferramenta do GeoGebra para marcar os pontos onde o gráfico

46

intercepta o eixo y, em seguida os relacionaram com o coeficiente c da função. Além disso, o

GeoGebra permite uma rapidez na representação das funções e exatidão dos gráficos,

permitindo que os alunos consigam estabelecer os conceitos de forma correta.

No entanto, como mencionado acima, seis duplas não conseguiram estabelecer a

relação existente entre o coeficiente c e o gráfico da função. Não conseguiram através da

observação no gráfico, confundindo o eixo y com os valores de c ou relacionando o

coeficiente com um ponto do gráfico qualquer, como se observa nas Figuras 10 e 11.


Fonte: Os autores

Figura 11 – Resposta da dupla 7 atividade 1

Fonte: Os autores

Por fim, os alunos realizaram uma atividade para escrever a lei de formação da função

do 2º grau com informações relacionadas com os coeficientes a e c, com as seguintes

questões:

47


9) Escreva:

a) Uma função do 2º grau cujo gráfico é uma concavidade para cima e que intercepta o eixo

y em -2

b) Uma função do 2º grau cujo gráfico é uma concavidade para baixo e que intercepta o eixo

y em -2.

c) Uma função do 2º grau cujo gráfico é uma concavidade para cima e que intercepta o eixo

y na parte positiva

d) Confira seus resultados construindo o gráfico no GeoGebra.

Fonte: Os autores

Nesta parte da atividade doze duplas escreveram corretamente as leis de formação,

mostrando assim que compreenderam a relação dos coeficientes com a função, como mostra a

Figura 12 e Gráfico 3.


Fonte: Os autores

48

Gráfico 3 – Lei de formação e gráfico dupla 7

Fonte: Os autores

Ao final desta atividade foi possível verificar que o trabalho dos estudantes com o

auxílio da tecnologia permitiu a eles uma postura autônoma de participação efetiva em seu

processo de aprendizagem, respondendo as questões da atividade apenas com o auxílio do

GeoGebra e estabelecendo conceitos matemáticos de forma participativa. Este aspecto foi

observado também na pesquisa de Souza (2016), ao afirmar que a partir da análise dos

trabalhos realizados na pesquisa, é possível concluir que o uso das TIC para ensinar

Matemática tem se mostrado eficaz, permitindo que o professor planeje aulas mais dinâmicas

e participativas e os alunos passam a ter um papel mais ativo no processo de aprendizagem.

Isso corrobora com o que diz Amado e Carreira (2015) na discussão teórica, ao afirmar que

(...)Os recursos tecnológicos tem um papel importante durante a aula, quando os

alunos são incentivados a trabalhar autonomamente, procurando resolver problemas

e questões que lhe são propostos, lidando com ideias e relações matemáticas,

pensando, raciocinando, aplicando e desenvolvendo conceitos. (p.14) (...)

Este tipo de aula tira do professor o papel central, permitindo que o aluno questione,

faça conjecturas e aplique os conceitos apreendidos. Por outro lado, foi perceptível a

dificuldade de parte dos estudantes de interpretar as questões propostas, demandando do

professor, mediação nesse caso. Portanto, para que a aula de Matemática com recursos

tecnológicos atinja seu objetivo, é necessário um bom planejamento por parte do professor,

para que dificuldades adjacentes não atrapalhem o andamento da aula.

49

4.2 Atividade 2 – Determinação dos zeros da função do 2ºgrau

Esta atividade tinha como proposta fazer com que os estudantes encontrassem os zeros

da função a partir da observação dos gráficos no GeoGebra, compreendendo a sua relação

com o gráfico da função do 2º grau, ou seja, os zeros ou raízes da função do 2º grau é onde o

gráfico intersecta o eixo x.

Nesta atividade 18 duplas resolveram as questões propostas. A partir da análise das

respostas, foi possível identificar dois tipos de resultado: As duplas (nove) que resolveram

corretamente as questões e ao final conseguiram estabelecer a relação pedida na questão 6) e

as duplas (nove) que responderam parcialmente. As duplas que responderam corretamente a

atividade conseguiram estabelecer a relação entre o zero da função e o intercepto do gráfico

no eixo x. Na sequência, serão apresentadas as questões dirigidas aos alunos referentes as

raízes da função do 2º grau.

Quadro 6 – Questões da atividade 2 Parte 1

1) No campo de entrada do GeoGebra, construa os gráficos das funções abaixo em uma

mesma janela.

a) 𝑓 𝑥 = 𝑥2 − 2𝑥 − 8

b) 𝑓 𝑥 = −4𝑥2 + 1

c) 𝑓 𝑥 = 𝑥2 + 4𝑥 + 3

d) 𝑓 𝑥 = 𝑥2 − 2𝑥 + 1

e) 𝑓 𝑥 = −𝑥2

2) Ative a ferramenta no GeoGebra e marque com um ponto os valores de x que são

intersectados pelo gráfico nas cinco funções. Registre abaixo os pontos e suas coordenadas

para suas respectivas funções.

3) O que acontece com o valor de 𝑓(𝑥) nos pontos que o gráfico intersecta o eixo x?

Fonte: Os autores

Os alunos registraram as funções no GeoGebra, marcando com um ponto onde o

gráfico intercepta o eixo x de acordo com o enunciado. Na sequência, conseguiram verificar

50

que nesses pontos de intercepto do gráfico com o eixo x, o valor de f(x) é sempre igual a zero,

como mostram as Figuras 13 e 14


Fonte: Os autores


Fonte: Os autores

Na segunda parte da atividade, os alunos teriam que calcular o zero da função,

substituindo f(x) por zero, e em seguida escrever a relação matemática existente entre os zeros

e o intercepto do gráfico com o eixo x, de acordo com o enunciado abaixo.

51


4) Substitua o valor de 𝑓 𝑥 = 0 correspondente a cada função para determinar as

equações. Na sequência, calcule os valores de x e registre aqui.

5) O que você observa em relação aos valores de “x” determinados na questão 4) e o que foi

registrado na questão 2)?

6) Qual a relação do gráfico com os zeros da função do 2º grau no eixo x?

Fonte: Os autores

Nesta parte, as mesmas duplas que acertaram a atividade anterior, conseguiram

responder corretamente esta também. Assim, conseguiram estabelecer a relação solicitada,

relacionando corretamente o intercepto do gráfico com o eixo x, como pode ser observado nas

Figuras 15 e 16.


Fonte: Os autores

52


Fonte: Os autores

Na resposta da dupla 1 é possível perceber que os alunos conseguiram, visualizando no

GeoGebra, perceber que quando o gráfico intercepta o eixo x, o f(x) será sempre igual a zero.

Na questão 5), depois de substituir o f(x) por zero e calcular as raízes, foi possível confirmar a

relação existente entre o intercepto do gráfico no eixo x com o zero da função. Assim, foi

possível escrever a relação matemática na questão 6). Já a dupla 13, ao estabelecer a relação

existente, escreve diretamente o nome do gráfico da função, nesse caso uma parábola. A

visualização do comportamento da mesma no software permitiu que os alunos estabelecessem

a relação correta como mostra o Gráfico 4.

Gráfico 4 – Gráfico da dupla 13 zeros da função do 2º grau

Fonte: Os autores

53

Por outro lado, alguns alunos não conseguiram escrever a relação solicitada, tendo

dificuldades de fazer análise dos gráficos no GeoGebra. Isso ocorreu devido à falta de atenção

dos alunos ao comportamento dos gráficos. Eles construíram os gráficos e marcaram os

pontos de intercepto no eixo x corretamente, mas não conseguiram fazer a interpretação de

forma a responder a relação solicitada como mostra as Figura 17 e 18 e o Gráfico 5.


Fonte: O autor


Fonte: Os autores

54

Gráfico 5 – Zeros da função do 2º grau dupla 11

Fonte: Os autores

Nesta atividade especificamente os alunos tiveram dificuldades de interpretação das

questões propostas e como trabalhar estas questões com o uso da tecnologia, de forma que em

alguns momentos era necessário uma intervenção do professor para ajudá-los a compreender

o que estava sendo solicitado. Esta situação está de acordo com o que diz Santana (2006) que

essas dificuldades ocorrem de forma espontânea, a partir das manipulações realizadas com as

tecnologias no decorrer da aula e não são artificialmente geradas.

Portanto, o trabalho com a utilização das tecnologias exige que o professor esteja

atento as essas dificuldades e que com intervenções pontuais consiga dar seguimento à

atividade e alcance o objetivo proposto. Do contrário, a utilização das tecnologias não trará os

benefícios que ela pode proporcionar ao estudante e ao professor nos processos de ensino e de

aprendizagem.

4.3 Atividade 3 – Coordenadas do vértice da parábola e máximos e mínimos.

A atividade 3 propôs explorar a identificação dos vértices da função bem como sua

relação com os pontos máximo e mínimo da função do 2º grau e o valor do coeficiente a.

Além disso, foi objetivo analisar os intervalos de crescimento e decrescimento das funções

55

propostas na atividade. Na primeira parte da atividade foi proposto que estudantes

verificassem o crescimento e decrescimento das funções, como mostra o enunciado abaixo.


1) No campo de entrada do GeoGebra, insira as funções abaixo em um mesmo plano cartesiano.

a) 𝑓 𝑥 = 𝑥2 + 4𝑥

b) 𝑓 𝑥 = 𝑥2 − 2𝑥 + 3

c) 𝑓 𝑥 = −𝑥2 + 2𝑥 − 4

d) 𝑓 𝑥 = 𝑥2 − 4𝑥 + 3

e) 𝑓 𝑥 = −2𝑥2 + 4𝑥 + 1

2) Utilizando a ferramenta , insira um ponto onde é possível dividir a parábola ao meio e

preencha a tabela escrevendo o intervalo para dizer onde a função é crescente e decrescente.

𝑎) 𝑓 𝑥 = 𝑥2 + 4𝑥

Crescente

Intervalo:

Decrescente

Intervalo:

𝑏) 𝑓 𝑥 = 𝑥2 − 2𝑥 + 3

Crescente

Intervalo:

Decrescente

Intervalo:

𝑐) 𝑓 𝑥 = −𝑥2 + 2𝑥 − 4

Crescente

Intervalo:

Decrescente

Intervalo:

𝑑) 𝑓 𝑥 = 𝑥2 − 4𝑥 + 3

Crescente

Intervalo:

Decrescente

Intervalo:

𝑒) 𝑓 𝑥 = −2𝑥2 + 4𝑥 + 1

Crescente

Intervalo:

Decrescente

Intervalo:

Fonte: Os autores

Das dezoito duplas que responderam a atividade, dez conseguiram responder

corretamente a questão relacionada ao crescimento e decrescimento, e oito responderam

parcialmente correto, pois acertaram alguns intervalos e erraram outros. Os alunos que

conseguiram responder corretamente relacionaram o crescimento e decrescimento ao eixo de

simetria da parábola a partir do vértice e assim foi possível escrever os intervalos tomando

como referência o valor de x do vértice como mostra a Figura 19 e Gráfico 6.

56


Fonte: O autor

Esta dupla escreveu os intervalos utilizando uma notação de parênteses e colchetes,

representando corretamente os intervalos de cada função proposta. O ponto do vértice da

função permitiu, a partir da visualização dos gráficos no GeoGebra, que os alunos

verificassem em que parte da parábola o valor de y diminuía à medida que x

aumentava(decrescente) e quando o valor de y aumentava à medida que x também

aumentava(crescente), como mostra o Gráfico 6.

57

Gráfico 6 – Intervalos de crescimento e decrescimento dupla 4

Fonte : Os autores

Do grupo de alunos que acertaram parcialmente, muitos tiveram dificuldades em

escrever o intervalo em notação matemática, pois relacionaram o eixo x e y em um mesmo

intervalo de crescimento e decrescimento como mostra Figura 20 e Gráfico 7.

Figura 20 – Resposta da dupla 6

Fonte: Os autores

58

Gráfico 7 – Intervalos de crescimento e decrescimento dupla 6

Fonte: Os autores

É possível perceber que apesar de os alunos terem feito corretamente os gráficos no

GeoGebra e marcado o ponto em cada vértice, não conseguiram interpretar os gráficos com

relação a crescimento e decrescimento de forma adequada. Na função 𝑓 𝑥 = 𝑥2 + 4𝑥 que

tem vértice 𝑉 = (−2, −4) os alunos analisaram o crescimento com o -2 e o decrescimento

com o – 4, além disso, a notação de colchetes e parênteses não foi utilizada de forma correta.

A partir desse exemplo é possível afirmar que nesse tipo de aula, o professor terá que fazer

algumas intervenções para auxiliar os alunos a compreenderem o que o exercício pede, pois

apesar de visualizarem as informações no software, não conseguiram desenvolver o conceito

ou expressar corretamente a forma escrita.

Na segunda parte da atividade o objetivo era relacionar o vértice da função do 2º grau

com ponto de máximo e de mínimo de acordo com o valor do coeficiente a. Quatorze duplas

responderam corretamente, estabelecendo a relação correta e quatro erraram. Abaixo é

apresentado o enunciado proposto aos alunos.

59


6) Nas funções que o a é positivo, o vértice da função é:

( ) O ponto máximo do gráfico em relação a 𝑓(𝑥).

( ) O ponto mínimo do gráfico em relação a 𝑓 𝑥 .

7) E nas funções que o a é negativo, qual o comportamento do vértice?

( ) O ponto máximo do gráfico em relação a 𝑓(𝑥) .

( ) O ponto mínimo do gráfico em relação a 𝑓(𝑥).

8) De acordo com as respostas da questão 6) e 7), qual a relação do coeficiente a com o

vértice das funções?

Fonte os autores

Quatro duplas erraram a relação do coeficiente a com a concavidade da parábola e os

pontos de máximo e mínimo, ora atribuindo esta relação com o sinal da função, ora com os

intervalos de crescimento e decrescimento. Os alunos em questão não conseguiram interpretar

os gráficos, visto que a representação dos mesmos estava correta no GeoGebra, como

podemos observar no Gráfico 8 e Figura 21.

Gráfico 8 – Máximos e mínimos da dupla 5

Fonte: Os autores

60


Fonte: Os autores

É importante salientar que o ponto máximo ou mínimo de uma função do 2º grau, a

partir do vértice, é analisado em relação ao eixo y. Com essa informação, os alunos tiveram

condições de construir as funções no GeoGebra, fazer a análise e concluir o conceito

corretamente como podemos observar na e Gráfico 9 e Figura 22.

Gráfico 9 – Máximos e mínimos da função do 2º grau dupla 15

Fonte: Os autores

61


Fonte: Os autores

Analisando a resposta da dupla 15, é possível verificar que eles fizeram a associação

entre o coeficiente a, concavidade da parábola, e a partir disso, se a função apresenta ponto de

máximo ou de mínimo. Fica claro ao observar os gráficos em sequência que se o valor de a é

negativo tem-se concavidade para baixo e, portanto, a função tem no seu vértice um ponto

máximo, e se a é positivo, tem-se a função com concavidade para cima e ponto de mínimo.

A construção deste conceito foi realizada de forma autônoma por parte dos alunos,

utilizando o software para observação e simulação. Esta autonomia pode ser observada na

pesquisa de Pereira (2015), que ao analisar as atividades didáticas em uma pesquisa que

utiliza um software de construção de gráficos para estudar função, conclui que a visualização

gráfica das figuras nas atividades propostas favoreceu a reflexão e autonomia dos estudantes

no processo de ensino e aprendizagem da abordagem sobre gráficos bidimensionais.

Isso não seria possível apenas em uma aula expositiva, visto que, os alunos não teriam

a oportunidade de pensarem a respeito da construção dos conceitos, pois nesse caso, só o

professor fala. Logo, o planejamento de uma aula que utilize recursos computacionais que

permita a participação efetiva dos estudantes tem sido um caminho adequado para ensinar

62

Matemática. É o que afirma Lemos Junior (2013) ao dizer que a tecnologia computacional

permite ao professor diversificar as suas aulas e propor situações que não são possíveis a

partir de uma aula tradicional. No entanto, o professor precisa de capacitação e planejamento,

para que as aulas com o uso da tecnologia surtam o efeito esperado.

4.4 Atividade 4 – Estudo do sinal da função do 2º grau.

Para esta atividade, foi proposto que os alunos estudassem o sinal da função do 2º grau

utilizando a visualização dos gráficos no GeoGebra, considerando o discriminante da função e

o coeficiente a. Inicialmente, os estudantes calcularam o discriminante da função na

GeoGebra registrando os valores e, na sequência, efetuaram o estudo do sinal considerando o

coeficiente a. Dezessete duplas estiveram presentes para a realização desta atividade. A

análise foi realizada em três etapas, considerando os casos de estudo do sinal da função do 2º

grau. Na primeira etapa, foi feita a análise das funções em que 𝑎 > 0.


1) Represente as funções abaixo em planos cartesianos diferentes no GeoGebra.

a) 𝑓 𝑥 = 𝑥2 + 2𝑥

b) 𝑓 𝑥 = 𝑥2 − 2𝑥 + 1

c) 𝑓 𝑥 = 𝑥2 + 3𝑥 + 3

d) 𝑓 𝑥 =– 𝑥2 + 4𝑥

e) 𝑓 𝑥 = −2𝑥2

f) 𝑓 𝑥 = −3𝑥2 + 4𝑥 − 5

2) Calcule o valor do discriminante da função (∆ 𝐷𝑒𝑙𝑡𝑎) no geogebra e em seguida

identifique o valor de a. Para calcular o discriminante da função no GeoGebra, insira os

valores de a, b e c no campo de entrada. Em seguida digite a fórmula: ∆= 𝑏2 − 4𝑎𝑐

3) Observe o gráfico das funções que o valor de a é positivo e responda:

a) Qual a função tem ∆> 0? Escreva quais valores de x tornam essa função positiva,

negativa e onde ela se anula.

b) Qual função tem ∆= 0? Escreva quais valores de x tornam essa função positiva,


c) Qual função tem ∆< 0? Escreva quais valores de x tornam essa função positiva,


Fonte: Os autores

63

Nesta primeira parte, nove duplas responderam corretamente a atividade enquanto que

sete duplas não conseguiram responder ou responderam parcialmente. As duplas que

conseguiram êxito na solução da primeira parte da atividade analisaram o sinal da função

escrevendo os intervalos do eixo x, que tornam a função positiva, negativa ou nula, como é

possível observar na Figura 23 e Gráfico 10.


Fonte: Os autores

Gráfico 10 – Estudo do sinal da função do 2º grau dupla 1

Fonte: Os autores

64

Aqui, os alunos definiram corretamente as funções de acordo com o valor de seu

discriminante, e na sequência procederam ao estudo do sinal da função observando os

gráficos. Esta dupla escreve os limites dos intervalos de forma correta, errando apenas a

notação nos limites em que o intervalo deveria ser fechado. No entanto, conseguiram concluir

o estudo do sinal para funções que tenha 𝑎 > 0 e delta maior, igual e menor que zero.

As duplas que não conseguiram realizar o estudo do sinal, observando os gráficos no

GeoGebra, tiveram dificuldades para escrever os intervalos no eixo x em que a função é

positiva, negativa ou se anula como mostra a Figura 24.


Fonte: Os autores

A segunda parte da atividade os alunos deveriam estudar os sinal das funções em que

o valor de a é negativo, 𝑎 < 0, considerando também o valor do discriminante da função a

partir das questões abaixo.

65


4) Agora faça a mesma análise do gráfico das funções, só que agora com o valor de a

negativo, e responda:

a) Qual a função tem ∆> 0? Escreva quais valores de x tornam essa função positiva,negativa

e onde ela se anula.

b) Qual função tem ∆= 0? Escreva quais valores de x tornam essa função positiva,negativa e

onde ela se anula.

c) Qual função tem ∆< 0? Escreva quais valores de x tornam essa função positiva,negativa e

onde ela se anula.

Fonte: Os autores

Nesta segunda parte, também nove duplas responderam corretamente e sete não

responderam ou acertaram parcialmente. Novamente os estudantes escreveram os intervalos

no eixo x que tornam a função positiva, negativa ou nula, para 𝑎 < 0, como é possível

observar na Figura 25 e Gráfico 11.


Fonte: Os autores

66

Gráfico 11 – Estudo do sinal da função do 2º grau dupla 4

Fonte: Os autores

É possível observar que esta dupla escreve corretamente os limites dos intervalos,

considerando 𝑎 < 0, e o discriminante da função maior, menor ou igual a zero. Há um erro de

notação dos intervalos, mas após o término da atividade, o professor realizou uma intervenção

para explicar a forma correta de escrita do intervalo nesse caso específico. Já os alunos que

não conseguiram responder, ou que responderam parcialmente, não compreenderam quais os

intervalos tornavam a função positiva, negativa e nula ou escreveram os intervalos incorretos,

como mostra a Figura 26.


Fonte: Os autores

67

Na última parte da atividade, foi proposto que os alunos escrevessem em linguagem

matemática a análise do sinal da função do 2º grau realizada nas questões anteriores, ou seja,

quando 𝑎 > 0 e com 𝑎 < 0, considerando em cada caso o discriminante da função como

sendo positivo negativo ou igual a zero de acordo com o enunciado a seguir.


5) Faça aqui um resumo preenchendo as tabelas abaixo considerando o que você observou

nos exercícios 3) e 4), com relação ao coeficiente a, o(s) zero(s) da função e o discriminante

(∆ 𝐷𝑒𝑙𝑡𝑎), utilizando linguagem matemática em cada caso.

Fonte: Os autores

O objetivo desta parte foi verificar se os estudantes compreenderam o estudo de sinal

da função quadrática, permitindo que eles escrevessem a esse respeito a partir das construções

realizadas no GeoGebra, e da própria interpretação que fizeram dos gráficos com relação ao

coeficiente a e o discriminante da função. Foi possível observar que os alunos que

responderam a questão 3) e 4) também conseguiram preencher os quadros, compreendendo o

estudo do sinal da função do 2º grau. Por outro lado, os alunos que não conseguiram realizar

os estudo de sinal corretamente nas questões 3) e 4), preencheram os quadros de forma errada,

com podemos observar nas Figuras 27 e 28.


Fonte: Os autores

68


Fonte: Os autores

Esta atividade foi a que mais precisou de intervenções por parte do professor –

pesquisador, tanto nos aspectos de pré-requisitos para o conceito que estava sendo estudado,

quanto para interpretação dos gráficos. Em algumas situações, foi preciso orientar os alunos

quanto ao emprego da tecnologia para estudar determinado conceito, pois o objetivo maior é

que o recurso facilite o aprendizado. Isso exige planejamento, pois de acordo com Amado e

Carreira (2015)

Devemos estar conscientes de que não é a tecnologia ou qualquer outro recurso

didático que vai melhorar ou resolver os problemas de aprendizagem da Matemática.

Defendemos que as tecnologias são um recurso indispensável, mas que deve ser

integrado na sala de aula de forma adequada. (P.14)

69

Isso se mostrou muito claro nesta atividade, como relatado acima em alguns

momentos coube ao professor auxiliar os alunos no estudo do sinal da função do 2º grau, mas

o recurso tecnológico ocupou um papel central, na visualização e experimentação por parte

dos alunos.

4.5 Atividade 5 – Construção de gráficos da função do 2º grau

Por fim, os alunos procederam a realização da atividade 5, que tinha como objetivo

construir o gráfico da função do 2º grau a partir dos coeficientes a e c, zeros da função,

crescimento e decrescimento e o vértice. Inicialmente, os alunos foram instados a escreverem

a lei de formação, considerando os conceitos trabalhados nas atividades anteriores e, em

seguida, esse gráfico seria construído no GeoGebra. Abaixo é apresentado o enunciado da

primeira parte da atividade.


1) Escreva as funções abaixo e em seguida construa o gráfico desta função no GeoGebra em

um único plano cartesiano.

a) Uma função do 2º grau que tenha: Concavidade voltada para cima, que intercepte o eixo y

em 3;

b) Uma função do 2º grau que tenha concavidade voltada para baixo, com vértice no ponto (1,

2) e que intercepte o eixo y em 1;

c) Uma função do 2º grau com 𝑎 > 0, que intercepte o eixo y na parte negativa e que tenha

vértice no ponto (-1 , -2);

d) Uma função do 2º grau que tenha como zeros 1 e 3, e tenha 𝑎 < 0.

Fonte: Os autores

Nesta atividade participaram dezoito duplas, das quais onze acertaram as leis de

formação das funções que representam os respectivos itens, quatro erraram e três respondeu

pelo menos uma lei de formação correta. Das onze duplas que responderam corretamente, foi

possível observar que aplicaram corretamente os conceitos trabalhados nas atividades

anteriores, e que o GeoGebra serviu como ferramenta de validação das respostas, como pode

ser observada na Figura 29, Gráfico 12.

70


Fonte: Os autores

Gráfico 12 – Construção de gráficos da função do 2º grau dupla 14

Fonte: Os autores

Observando a resposta da dupla 14, é possível notar que os conceitos trabalhados nas

atividades anteriores foram apreendidos pelos estudantes, permitindo que eles escrevessem as

71

leis de formação solicitadas utilizando esses conceitos. Isso corrobora, com fato que houve

construção desses conceitos através da sequência de atividades com o auxílio da tecnologia,

nesse caso, o software GeoGebra.

Já as duplas que erraram, não compreenderam o intercepto do gráfico no eixo y ou

deixaram a questão sem responder como podemos verificar nas Figuras 30 e 31.


Fonte: Os autores


Fonte: Os autores

72

Foi possível notar que esses alunos que não conseguiram escrever as leis de formação

também tiveram dificuldades nas atividades anteriores, o que naturalmente traria dificuldades

para realização desta atividade.

As demais questões da atividade consistiam, também, na escrita da lei de formação

considerando intervalos de crescimento e decrescimento, bem como o intercepto nos eixos x e

y, a partir do enunciado abaixo.


1) Escreva as funções abaixo e em seguida construa o gráfico desta função no GeoGebra em

um único plano cartesiano.

e) Uma função do 2º grau que seja crescente no intervalo −∞, −1 , tenha vértice no ponto

(-1 , -2) e intercepte o eixo f(x) em -3;

f) Uma função do 2º grau que seja decrescente no intervalo [4, +∞) e intercepte o eixo x nos

valores 0 e 4;

g) Uma função do 2º grau que seja decrescente no intervalo (−∞, 2), crescente no intervalo

[2, +∞) e intercepte o eixo f(x) em 4.

Fonte: Os autores

Nesta segunda parte da atividade, os alunos tiveram mais dificuldades na

representação da lei de formação das funções. Isso ocorreu por conta da interpretação dos

intervalos de crescimento e decrescimento. É necessário salientar que os coeficientes

trabalhados aqui foram o a e o c. Como os alunos precisaram escrever a lei de formação a

partir de um esboço do gráfico, sem o auxílio do GeoGebra neste momento, o professor

necessitou fazer algumas intervenções, explicando a relação de crescimento e decrescimento

na função do 2º grau e sua relação com o coeficiente a. No entanto, boa parte dos alunos

conseguiu escrever as leis de formação, validando as resposta no GeoGebra, como mostra a

Figura 32 e Gráfico 13.

73

Figura 32 – Resposta da dupla 1

Fonte: Os autores

Gráfico 13 – Construção de gráficos da função do 2º grau dupla 1

Fonte: Os autores

74

Ao final das cinco atividades, foi possível verificar que a utilização do GeoGebra

como ferramenta para estudo da função do 2º grau permitiu aos alunos construírem conceitos

referentes à função, pois o software possibilitou a manipulação dos gráficos e a representação

e visualização dos mesmos com maior precisão. Dullius e Quartieri (2014), a partir de um

estudo realizado, afirmam que,

O uso de aplicativos computacionais na geometria plana, objeto de estudo deste

capítulo, auxilia na visualização, na manipulação de desenhos, na construção de

modelos e permitem simulações. Tais habilidades podem ser desenvolvidas com

o uso destes recursos, pois possibilitam ao aluno construir, mover e observar

de várias perspectivas as figuras geométricas, além de modificar algumas de

suas características, o que enriquece os modelos mentais construídos pelos

alunos. (P.9)

Estas situações, observadas pelas autoras, ocorreram durante a realização das

atividades na pesquisa, favorecendo desta forma a autonomia do aluno durante o processo de

aprendizagem. Isso também foi constatado na pesquisa de Wegner (2011) que conclui a

pesquisa afirmando que o software permite fazer os gráficos com mais rapidez, com maior

precisão e quantidade de dados e a contextualização que ele permite efetuar.

4.6 – Análise dos mapas conceituais

Depois de realizada a intervenção pedagógica, os alunos construíram um mapa

conceitual da função do 2º grau. O objetivo era verificar o aprendizado de conceitos por parte

dos alunos através da sistematização dos mesmos no mapa. Além disso, o mapa conceitual

possibilitou que os sujeitos da pesquisa escrevessem o que entenderam do conteúdo

trabalhado na intervenção pedagógica sem a necessidade de realização de cálculos

matemáticos.

Como as cinco atividades da intervenção pedagógica foram realizadas por duplas de

alunos, a construção do mapa também foi executada por elas, as mesmas da intervenção.

Dezessete duplas realizaram a construção, de forma que todas as duplas conseguiram

sistematizar os conceitos no mapa, umas com maior facilidade e detalhamento e outras com

maior dificuldade na sua construção, da mesma forma do que foi observado nas atividades da

intervenção. A seguir serão analisados os mapas de quatro duplas, nas Figuras 33, 34, 35 e 36.

75

Figura 33 – Mapa conceitual da dupla 11

Fonte: Os autores


Fonte: Os autores

76

Nestes mapas (Figura 33 e 34) é possível observar que os alunos compreenderam os

conceitos trabalhados, escrevendo corretamente as relações dos coeficientes a e c da função, o

intercepto do gráfico no eixo x e no eixo y e relação do vértice com ponto máximo e mínimo

da função. Com relação ao estudo do sinal, os estudantes escreveram no mapa os casos, no

entanto não especificaram os intervalos onde a função é positiva, negativa ou nula, da mesma

forma como fizeram na atividade de estudo do sinal da intervenção além de terem

dificuldades com os verbos de ligação.

Da mesma forma, a dupla 3 sistematizou o mapa conceitual com base nas atividades

da intervenção, mas diferente do mapa anterior, especificou os casos no estudo sinal da

função como é possível observar na Figura 35.


Fonte: Os autores

77

Neste mapa, os estudantes escrevem corretamente os conceitos relacionados aos

coeficientes a e c, sobre o intercepto do gráfico nos eixos x e y e o ponto de máximo e

mínimo da função. Ao estudar o sinal da função, específica os casos, mas não escreve os

intervalos onde a função é positiva, negativa ou nula. Por fim, descreveu que a função cresce

ou decresce a partir do vértice, também não especificando os intervalos de crescimento e

decrescimento.

O quarto mapa da análise traz uma construção realizada em um software livre de

construção de mapas conceitual o Cmap Tools como mostra a Figura 36. Este software foi

abordado em sala de aula antes da intervenção pedagógica, visto que os alunos já haviam

trabalhado com mapas conceituais em função do 1º grau.


Fonte: O autores

78

Este mapa traz os conceitos bem definidos, como a concavidade da parábola, o

intercepto do eixo x e eixo y, estudo de sinal da função, faltando apenas abordar o conceito de

máximo e mínimo. Em relação ao estudo do sinal, essa foi uma das poucas duplas que

conseguiram escrever corretamente o conceito, descrevendo os casos com relação ao

coeficiente a, mas ainda sem descrever os intervalos, o que reflete as dificuldades

demonstradas pelos alunos no momento de realização da atividade 4 .

A partir do objetivo proposto na utilização de mapas conceituais, foi possível avaliar

se houve aprendizado na exploração da função do 2º grau realizada com o auxílio do

GeoGebra, verificou-se que a utilização da tecnologia potencializou a exploração da função

do 2º grau, permitindo o estudo dessa função de forma não tradicional e expositiva. Moreira

(2012) assevera que,

Como instrumento de avaliação da aprendizagem, mapas conceituais podem ser

usados para se obter uma visualização da organização conceitual que o aprendiz

atribui a um dado conhecimento. Trata-se basicamente de uma técnica não

tradicional de avaliação que busca informações sobre os significados e relações

significativas entre conceitos-chave da matéria de ensino segundo o ponto de vista

do aluno. É mais apropriada para uma avaliação qualitativa, formativa, da

aprendizagem. (p.5)

Esta afirmação corroborou com a utilização do mapa ao final da intervenção

pedagógica, pois além das análises realizadas a partir das respostas dadas nas atividades, foi

possível avaliar as relações significantes dos conceitos ora abordados, e de como se deu essa

construção a partir da utilização de uma tecnologia como auxiliar no processo de

aprendizagem.

4.7 – Análise do questionário aos alunos

Nesta seção serão apresentados os resultados do questionário aplicado aos alunos.

Trinta alunos responderam o questionário durante 20 minutos, que tinha como objetivo

avaliar a metodologia utilizada bem como o uso do software como auxílio na exploração da


O questionário foi construído com questões abertas, para que os respondentes

oferecessem suas próprias respostas sobre a metodologia que estava sendo avaliada (GIL,

2008). Isso permitiu uma ampla liberdade na resposta, visto que os alunos expuseram o seu

olhar sobre a metodologia utilizada, expressando assim o que de fato ele observou.

79

Inicialmente, no Quadro 3 são apresentadas as perguntas do questionário e uma análise

quantitativa das respostas. Na sequência é apresentada uma análise qualitativa das respostas.

Quadro 15 – Resultados do questionário aplicado aos alunos

Perguntas

Categorias

Número de alunos

O que você achou das aulas

de Matemática no

computador?

Auxiliou na aprendizagem

29

Não auxiliou na

aprendizagem

1

Em sua opinião, a utilização

do computador nas aulas de

Matemática influencia as

formas de aprender a

Matemática?

Teve influência

26

Não teve influência

4

A utilização do software

GeoGebra influenciou na

compreensão do conteúdo

função do 2º grau?

Sim ( )

Não ( )

Influenciou

29

Não influenciou

1

Fonte: Os autores

Observando o resultado da primeira pergunta, na visão dos estudantes, a utilização do

computador auxiliou nas aulas de Matemática em que ele foi utilizado. Na análise das

respostas, os alunos consideraram que o uso do computador permitiu que aulas de Matemática

80

fossem mais dinâmicas, incentivadoras, produtivas e facilitou o aprendizado, como pode ser

observado nas respostas apresentadas nas Figuras 37, 38, 39 e 40.

Figura 37 – Resposta do aluno A ao Questionário

Fonte: Os autores

Figura 38 – Resposta do aluno B ao Questionário

Fonte: Os autores

Figura 39 – Resposta do aluno C ao Questionário

Fonte: Os autores

81

Figura 40 – Resposta da dupla D ao Questionário

Fonte: Os autores

A análise destas respostas corrobora com o que diz Oliveira (2009a):

Os artefatos tecnológicos presentes nas situações didáticas podem ter um caráter

mediador, permanecendo a serviço de uma estratégia didática que têm o aprendiz

como foco, que busca entender e planejar de acordo com as mais diversas propostas

que lhe permitam ampliar a autonomia diante do desafio de aprender.(p.4)

Isso se verifica claramente nas respostas dos alunos, pois sendo ele o foco e tendo

autonomia para aprender, as aulas se tornam mais produtivas e interessantes, facilitando o

aprendizado dos estudantes.

Já na segunda pergunta, queria-se investigar se a utilização da tecnologia influenciou

na forma de aprender Matemática. Observado os resultados no Quadro 3, a maioria respondeu

que influencia, pois permite ao estudante maior participação nas aulas,incentivando-o a buscar

suas próprias respostas. Outros consideraram que os estudantes já utilizam naturalmente a

tecnologia, tornando mais prático aprender matemática com uma ferramenta já habitual no dia

a dia deles, como pode ser observado nas respostas contidas nas Figuras 41, 42 e 43.

Figura 41 – Resposta do aluno E ao Questionário

Fonte: Os autores

82

Figura 42 – Resposta do aluno F ao Questionário

Fonte: Os autores

Figura 43 – Resposta do aluno G ao Questionário

Fonte: Os autores

Ao analisar as resposta dos alunos, é possível verificar que o software utilizado na

intervenção pedagógica influenciou na forma de aprender Matemática. Isso está de acordo

com Soares(2012), afirmando que estudos sobre o ensino de funções com o uso do geogebra

permite verificar que softwares auxiliam a aprendizagem por facilitarem a visualização de

gráficos e sua interpretação e a codificação do tipo de função, mas o estudante precisa ser

capaz de associar seu conhecimento às informações fornecidas pelo software.

Por fim, a última pergunta do questionário tinha como objetivo verificar a percepção

dos alunos com relação ao software utilizado na pesquisa, o GeoGebra, e se a utilização do

mesmo colaborou para a compreensão da função do 2º grau. Dos pontos elencados pelos

83

alunos destaca-se a visualização dos gráficos no software, a praticidade da utilização e a

precisão e rapidez na construção dos gráficos, como mostram as respostas das Figuras 44, 45

e 46.

Figura 44 – Resposta do aluno H ao Questionário

Fonte: Os autores

Figura 45 – Resposta do aluno I ao Questionário

Fonte: Os autores

84

Figura 46 – Resposta do aluno J ao Questionário

Fonte: Os autores

A aplicação do questionário permitiu analisar a percepção dos alunos com relação a

intervenção pedagógica e a metodologia empregada com a utilização de um software como

auxílio na aprendizagem. Após a análise constatou-se que para os alunos, a utilização de uma

tecnologia, especificamente o GeoGebra, possibilita ter uma aprendizagem mais dinâmica,

participativa, motivadora e desenvolvedora de autonomia. Portanto, a utilização de tecnologia

para ensinar matemática se mostrou positiva em um contexto de aula em que o professor

passa a ser mediador orientando os alunos no seu processo de aprendizagem.

85

CONSIDERAÇÕES FINAIS

O presente trabalho se propôs a investigar se um software de construção de gráficos,

em uma intervenção pedagógica, pode potencializar a exploração da função do 2º grau com

alunos da 1ª série do ensino médio. Portanto, foi elaborada uma sequência de atividades aliada

ao software GeoGebra para a exploração da função.

A motivação deste trabalho foi verificar como uma metodologia diferenciada poderia

facilitar a aprendizagem da função do 2º grau. O principal interesse era explorar a parte

gráfica da função a partir da visualização e experimentação, observando o comportamento do

gráfico e com isso permitindo aos alunos que explorassem os conceitos da função a partir das

perguntas contidas na sequência de atividades.

Inicialmente foi realizada uma pesquisa bibliográfica que desse embasamento a

intervenção pedagógica, considerando o tema tecnologias no ensino de Matemática. Foi

realizada uma revisão de literatura para verificar como as tecnologias estavam sendo

empregadas em sala de aula e quais os resultados foram observados, constituindo-se assim o

capítulo 2. Após a pesquisa bibliográfica, foi elaborada a metodologia da pesquisa que

considerou: abordagem de pesquisa e instrumentos, intervenção pedagógica e metodologia de

análise de dados, especificamente a análise de conteúdo de Bardin (1977), constituindo-se

assim o capítulo 3.

Após a realização da intervenção pedagógica, os alunos construíram mapas

conceituais com o objetivo de verificar a construção conceitual da função do 2º grau. Por fim,

86

após analisar os dados, os alunos responderam um questionário para avaliar a metodologia

utilizada com o software com auxílio no processo de aprendizagem.

A função do 2º grau, em uma abordagem tradicional, é trabalhada em sala de aula a

partir de sua definição, dando ênfase mais aos aspectos algébricos da função como os zeros, o

cálculo dos valores de máximo e mínimo, o estudo do sinal e as inequações. Nesta pesquisa, a

ênfase do estudo da função quadrática se deu na parte gráfica e no comportamento deste, para

a partir daí, escrever as propriedades e cálculos que fossem necessários. Isso se justificou a

medida que os alunos participantes tinham dificuldades com os pré-requisitos para o estudo da

função quadrática e queríamos saber se o trabalho com o software, de exploração da parte

gráfica aliado às atividades, permitiria aos alunos autonomia na exploração da função,

colaborando para compreensão da função do 2º grau.

Dentre os objetivos desta pesquisa está a verificação das potencialidades do software

GeoGebra no processo de ensino e aprendizagem. Em relação ao ensino, a utilização da

tecnologia (software GeoGebra) durante a intervenção pedagógica trouxe algumas

potencialidades para o trabalho do professor. Dentre elas está à possibilidade da construção de

vários gráficos em pouco tempo e da precisão dos mesmos.

Além disso, permite que o professor planeje suas aulas de forma que os alunos

participem de forma ativa das aulas, podendo discutir com o docente a construção dos

conceitos que estejam sendo trabalhados. Por outro lado, é necessário salientar que neste tipo

de aula o professor passa a ser um mediador/orientador, visto que a tecnologia por si não

abarca todos os momentos de aprendizagem, mas é uma ferramenta auxiliar. Isso corrobora

com o que diz Amado e Carreira (2015), de que “O que está em discussão é, acima de tudo,

aquilo que se faz com a tecnologia em sala de aula (p.14)”.

Do ponto de vista da aprendizagem, algumas potencialidades foram observadas

comparando com uma aula expositiva. O papel dos alunos durante a aula mudou, não sendo

mais um mero expectador, mas um participante ativo, questionador e com condições de

construção do seu próprio aprendizado. Este aspecto observado foi um dos objetivos iniciais

da pesquisa, um aluno participante, autônomo e contando com a orientação do professor para

exploração da função do 2º grau. Além disso, o software permite fazer os gráficos com maior

precisão e rapidez, permitindo assim otimizar o tempo da aula para discussões e troca de

ideias entre os alunos e o professor.

87

Diante do exposto queríamos saber: como a utilização do software GeoGebra pode

potencializar a exploração da função do 2º grau? A partir da análise dos resultados,

concluímos que:

a) A utilização do software permite maior manipulação e observação do objeto

matemático (função do 2º grau) por parte dos alunos;

b) A precisão dos gráficos e a rapidez na sua construção otimiza o tempo de aula

permitindo tempo maior para discussões entre alunos e entre alunos e professor;

c) A partir das condições dadas no item b), foi possível analisar o comportamento da

função em seus aspectos gráficos, permitindo assim a exploração de conceitos desta função

d) Portanto, os resultados observados nos permitem concluir que a utilização do

software GeoGebra potencializou a exploração da função do 2º grau, visto que houve

aprendizado, como foi possível observar a partir das construções dos mapas conceituais. Isso

não ocorreria ou ocorreria muito pouco em uma aula expositiva, que o aluno é apenas um

receptor e muitas vezes é “obrigado” a decorar resultados prontos.

O processo de evolução das tecnologias tem se mostrado acelerado, trazendo

inovações e novidades também para as tecnologias educacionais. Neste momento, as

pesquisas em tecnologias para o ensino estão, cada vez mais, voltadas para as tecnologias

móveis como smartfhones com acesso a internet, visto que os estudantes estão cada vez mais

utilizando esta ferramenta nas escolas. No entanto, no Brasil, a falta de estrutura ainda

dificulta o trabalho com este tipo de tecnologia, mas é um campo a se explorar no presente

momento.

A realização deste trabalho provocou mudanças na minha prática como docente.

Permitiu-me planejar aulas mais dinâmicas e participativas, que o aluno participasse de

maneira efetiva. As tecnologias para ensinar Matemática trazem grandes potencialidades para

se explorar o objeto matemática, tanto sob o ponto de vista do ensino, como da aprendizagem.

88

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92

APÊNDICES

93

APÊNDICE A - Atividades para desenvolver na Intervenção Pedagógica

Atividade 1- Comportamento da parábola a partir da variação dos coeficientes a e c da


É importante lembrar que a função do segundo grau é dada por 𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐,

em que 𝑎 ≠ 0. Logo, a é o coeficiente que multiplica a variável 𝑥2, b o coeficiente que

multiplica o 𝑥, e c a constante.

1) Construa os gráficos das funções do 2º grau abaixo em um mesmo plano no GeoGebra.

a) 𝑓 𝑥 = 𝑥2 − 3𝑥 + 5

b) 𝑓 𝑥 = −𝑥2 + 2𝑥 + 8

c) 𝑓 𝑥 = 𝑥2 − 8𝑥 + 16

d) 𝑓 𝑥 = −2𝑥2 + 3𝑥

e) 𝑓 𝑥 =1

2𝑥2 + 1

2) Identifique, em cada caso, se o valor de a é positivo ou negativo

a)

b)

c)

d)

e)

3) Como é a concavidade do gráfico das funções que possuem o valor de a positivo? E a

negativo?

4) O que podemos concluir em relação ao sinal do valor de a e a concavidade do gráfico?

5) Construa os gráficos de

𝑓 𝑥 = 𝑥2 + 3 𝑓 𝑥 = 2𝑥2 + 3 𝑓 𝑥 = 3𝑥2 + 3 𝑓 𝑥 =1

2𝑥2 + 3 𝑓 𝑥 =

1

5𝑥2 + 3.

a) O que acontece com o gráfico à medida que o valor de a aumenta?

94

b) O que acontece com o gráfico à medida que o valor de a diminui?

6) Construa os gráficos de

a) 𝑓 𝑥 = 𝑥2 + 2𝑥 − 2

b) 𝑓 𝑥 = 𝑥2 + 2𝑥 − 1

c) 𝑓 𝑥 = 𝑥2 + 2𝑥

d) 𝑓 𝑥 = 𝑥2 + 2𝑥 + 1

e) 𝑓 𝑥 = 𝑥2 + 2𝑥 + 2

7) Escreva o par ordenado onde cada gráfico intersecta o eixo y.

a)

b)

c)

d)

e)

8) Qual a relação entre o coeficiente c e o gráfico da função?

9) Escreva:

a) Uma função do 2º grau cujo gráfico é uma concavidade para cima e que intercepta

o eixo y em -2

b) Uma função do 2º grau cujo gráfico é uma concavidade para baixo e que intercepta

o eixo y em -2.

95

c) Uma função do 2º grau cujo gráfico é uma concavidade para cima e que intercepta

o eixo y na parte positiva

d) Confira seus resultados construindo o gráfico no GeoGebra.

Atividade 2 - Zeros da função do 2º grau

Como visto na atividade anterior, sabe-se que a função do 2º grau é da forma

𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐, em que 𝑎 ≠ 0.

1) No campo de entrada do GeoGebra, construa os gráficos das funções abaixo em uma

mesma janela.

f) 𝑓 𝑥 = 𝑥2 − 2𝑥 − 8

g) 𝑓 𝑥 = −4𝑥2 + 1

h) 𝑓 𝑥 = 𝑥2 + 4𝑥 + 3

i) 𝑓 𝑥 = 𝑥2 − 2𝑥 + 1

j) 𝑓 𝑥 = −𝑥2

2) Ative a ferramenta no GeoGebra e marque com um ponto os valores de x que

são intersectados pelo gráfico nas cinco funções. Registre abaixo os pontos e suas

coordenadas para suas respectivas funções.

a)

b)

c)

d)

e)

3) O que acontece com o valor de 𝑓(𝑥) nos pontos que o gráfico intersecta o eixo x?

96

4) Substitua o valor de 𝑓 𝑥 = 0 correspondente a cada função para determinar as

equações. Na sequência, calcule os valores de x e registre aqui.

a)

b)

c)

d)

e)

5) O que você observa em relação aos valores de x determinados na questão 4) e o que

foi registrado na questão 2)?

6) Qual a relação do gráfico com os zeros da função do 2º grau no eixo x?

Atividade 3 – Coordenadas do vértice da parábola e máximos e mínimos.

1) No campo de entrada do GeoGebra, insira as funções abaixo em um mesmo plano

cartesiano.

f) 𝑓 𝑥 = 𝑥2 + 4𝑥

g) 𝑓 𝑥 = 𝑥2 − 2𝑥 + 3

h) 𝑓 𝑥 = −𝑥2 + 2𝑥 − 4

i) 𝑓 𝑥 = 𝑥2 − 4𝑥 + 3

j) 𝑓 𝑥 = −2𝑥2 + 4𝑥 + 1

2) Utilizando a ferramenta , insira um ponto onde é possível dividir parábola ao

meio e preencha a tabela escrevendo o intervalo para dizer onde a função é crescente e

decrescente.

𝑎) 𝑓 𝑥 = 𝑥2 + 4𝑥

Crescente

Intervalo:

Decrescente

Intervalo:

𝑏) 𝑓 𝑥 = 𝑥2 − 2𝑥 + 3

Crescente

Intervalo:

Decrescente

Intervalo:

𝑐) 𝑓 𝑥 = −𝑥2 + 2𝑥 − 4

Crescente

Intervalo:

Decrescente

Intervalo:

𝑑) 𝑓 𝑥 = 𝑥2 − 4𝑥 + 3 Crescente

Intervalo:

Decrescente

Intervalo:

97

𝑒) 𝑓 𝑥 = −2𝑥2 + 4𝑥 + 1

Crescente

Intervalo:

Decrescente

Intervalo:

3) Escreva abaixo os pontos marcados com a ferramenta da atividade anterior.

a)

b)

c)

d)

e)

4) Quais os vértices das funções que tem concavidade voltada para cima, ou seja, quando

o a é positivo?

5) Quais os vértices das funções que têm a concavidade voltada para baixo, ou seja,

quando o a é negativo?

6) Nas funções que o a é positivo, o vértice da função é:

( ) O ponto máximo do gráfico em relação a 𝑓(𝑥).

( ) O ponto mínimo do gráfico em relação a 𝑓 𝑥 .

7) E nas funções que o a é negativo, qual o comportamento do vértice?

( ) O ponto máximo do gráfico em relação a 𝑓(𝑥) .

( ) O ponto mínimo do gráfico em relação a 𝑓(𝑥).

8) De acordo com as respostas da questão 6) e 7), qual a relação do coeficiente a com o

vértice das funções?

98

9) Insira as seguintes funções no GeoGebra:

𝑓 𝑥 = −1

2𝑥2 + 2𝑥 + 4, 𝑓 𝑥 = 2𝑥2 + 4𝑥 − 1, 𝑓 𝑥 = −𝑥2 + 5, 𝑓 𝑥 =

1

3𝑥2 + 2𝑥

, 𝑓 𝑥 = 4𝑥2

10) Quais funções apresentam ponto de máximo?

11) Quais funções têm ponto de mínimo?

Atividade 4 – Estudo do sinal da função do 2º grau.

1) Represente as funções abaixo em planos cartesianos diferentes no GeoGebra.

g) 𝑓 𝑥 = 𝑥2 + 2𝑥

h) 𝑓 𝑥 = 𝑥2 − 2𝑥 + 1

i) 𝑓 𝑥 = 𝑥2 + 3𝑥 + 3

j) 𝑓 𝑥 =– 𝑥2 + 4𝑥

k) 𝑓 𝑥 = −2𝑥2

l) 𝑓 𝑥 = −3𝑥2 + 4𝑥 − 5

2) Calcule o valor do discriminante da função (∆ 𝐷𝑒𝑙𝑡𝑎) no geogebra e em seguida

identifique o valor de a. Para calcular o discriminante da função no GeoGebra, insira

os valores de a, b e c no campo de entrada. Em seguida digite a fórmula: ∆= 𝑏2 − 4𝑎𝑐

a)

b)

c)

99

d)

e)

3) Observe o gráfico das funções que o valor de a é positivo e responda:

a) Qual a função tem ∆> 0? Escreva quais valores de x tornam essa função

positiva, negativa e onde ela se anula.

b) Qual função tem ∆= 0? Escreva quais valores de x tornam essa função


c) Qual função tem ∆< 0? Escreva quais valores de x tornam essa função


4) Agora faça a mesma análise do gráfico das funções, só que agora com o valor de a

negativo e responda:

a) Qual a função tem ∆> 0? Escreva quais valores de x tornam essa função


b) Qual função tem ∆= 0? Escreva quais valores de x tornam essa função


c) Qual função tem ∆< 0? Escreva quais valores de x tornam essa função


100

5) Faça aqui um resumo preenchendo as tabelas abaixo considerando o que você

observou nos exercícios 3) e 4), com relação ao coeficiente a, o(s) zero(s) da função e

o discriminante (∆ 𝐷𝑒𝑙𝑡𝑎), utilizando linguagem matemática em cada caso.

Para funções com

𝒂 > 0

Positiva (𝑓 𝑥 > 0)

Negativa (𝑓 𝑥 < 0)

Nula (𝑓 𝑥 = 0)

∆> 0

∆< 0

∆= 0

Para funções com

𝒂 < 0

Positiva (𝑓 𝑥 > 0) Negativa (𝑓 𝑥 < 0) Nula (𝑓 𝑥 = 0)

∆> 0

∆< 0

∆= 0

Atividade 5 – Construção de gráficos da função do 2º grau

1) Escreva as funções abaixo e em seguida construa o gráfico desta função no GeoGebra

em um único plano cartesiano.

a. Uma função do 2º grau que tenha: Concavidade voltada para cima, que

intercepte o eixo y em 3;

101

b. Uma função do 2º grau que tenha concavidade voltada para baixo, com vértice

no ponto (1, 2) e que intercepte o eixo y em 1;

c. Uma função do 2º grau com 𝑎 > 0, que intercepte o eixo y na parte negativa e

que tenha vértice no ponto (-1 , -2);

d. Uma função do 2º grau que tenha como zeros 1 e 3, e tenha 𝑎 < 0;

e. Uma função do 2º grau que seja crescente no intervalo −∞, −1 tenha vértice

no ponto (-1 , -2) e intercepte o eixo f(x) em -3;

f. Uma função do 2º grau que seja decrescente no intervalo [4, +∞) e intercepte o

eixo x nos valores 0 e 4;

g. Uma função do 2º grau que seja decrescente no intervalo (−∞, 2), crescente no

intervalo [2, +∞) e intercepte o eixo f(x) em 4.

102

APÊNDICE B - Questionário aos Alunos

Universidade do Vale do Taquari - Univates

Pró-Reitoria de Pesquisa, Extensão e Pós - Graduação

Mestrado Profissional em Ensino de Ciências Exatas

Questionário

1) O que você achou das aulas de Matemática com a utilização do computador?

2) Em sua opinião, a utilização do computador nas aulas de Matemática influencia a

forma de aprender Matemática? Comente.

3) A utilização do software GeoGebra influenciou na compreensão do conteúdo função

do 2º grau?

Sim ( )

Não ( )

Justifique:

103

ANEXO A – Termo de livre e esclarecido

TERMO DE CONSENTIMENTO LIVRE E ESCLARECIDO (TCLE)

Prezado participante,

“Você está sendo convidado(a) a participar da pesquisa O USO DO SOFTWARE

GEOGEBRA PARA O ENSINO DE FUNÇÃO DO 2º GRAU: O CASO DA

1ª SÉRIE DO ENSINO MÉDIO DE UMA ESCOLA FEDERAL”,

desenvolvida por Danilo do Nascimento de Jesus, discente de Mestrado Profissional em

Ensino de Ciências Exatas) na Universidade do Vale do Taquari UNIVATES, sob orientação

da Professora Dr. Maria Madalena Dullius.

Sobre o objetivo central

O objetivo central do estudo é: Investigar como a utilização do software GeoGebra pode

potencializar a aprendizagem de conceitos de função do 2º grau.

Por que o participante está sendo convidado (critério de inclusão)

“O convite a sua participação se deve ao fato de que a pesquisa tem um cunho de investigação

de uma ferramenta tecnológica para ensino de funções, conteúdo trabalhado na série em que

você estuda.

“Sua participação é voluntária, isto é, ela não é obrigatória, e você tem plena autonomia para

decidir se quer ou não participar, bem como retirar sua participação a qualquer momento.

Você não será penalizado de nenhuma maneira caso decida não consentir sua participação, ou

desistir da mesma. Contudo, ela é muito importante para a execução da pesquisa.”

“Serão garantidas a confidencialidade e a privacidade das informações por você prestadas.”

Mecanismos para garantir a confidencialidade e a privacidade

“Qualquer dado que possa identificá-lo será omitido na divulgação dos resultados da pesquisa,

e o material será armazenado em local seguro.”

104

“A qualquer momento, durante a pesquisa, ou posteriormente, você poderá solicitar do

pesquisador informações sobre sua participação e/ou sobre a pesquisa, o que poderá ser feito

através dos meios de contato explicitados neste Termo.”

Procedimentos detalhados que serão utilizados na pesquisa

Exemplos: “A sua participação consistirá em responder perguntas de um roteiro de atividades

e um questionário ao pesquisador do projeto. Não haverá entrevista gravada em vídeo ou

áudio.

ATENÇÃO: caso a gravação seja condição à participação, isso deve estar claro no termo.

Caso o participante tenha a prerrogativa de aceitar ou não a gravação da entrevista, deve ser

inserido ao final do termo as opções para que o participante possa assinalar se autoriza ou não

a gravação.

Tempo de duração da entrevista/procedimento/experimento

“O tempo de duração da entrevista é de aproximadamente uma hora, e do questionário

aproximadamente trinta minutos”.

Guarda dos dados e material coletados na pesquisa

“As entrevistas serão transcritas e armazenadas, em arquivos digitais, mas somente terão

acesso às mesmas o aluno e seu professor orientador”.

Ao final da pesquisa, todo material será mantido em arquivo, por pelo menos 5 anos,

conforme Resolução CNS no 466/12.

Explicitar benefícios diretos (individuais ou coletivos) ou indiretos aos participantes da

pesquisa

O benefício (direto ou indireto) relacionado com a sua colaboração nesta pesquisa é o de

aprender o conteúdo de função do 2º grau, componente curricular do nível de ensino que você

está participando.

Previsão de riscos ou desconfortos

Toda pesquisa possui riscos potenciais. Maiores ou menores, de acordo com o objeto de

pesquisa, seus objetivos e a metodologia escolhida. O pesquisador deverá identificar os riscos,

esclarecer e justificá-los aos participantes da pesquisa, bem como as medidas para minimizá-

105

los. Alguns exemplos de risco: risco de constrangimento durante uma entrevista ou uma

observação; risco de dano emocional, risco social, risco físico decorrente a procedimentos

para realização de exames laboratoriais, etc.

Sobre divulgação dos resultados da pesquisa

Os resultados serão divulgados na dissertação de mestrado, em artigos científicos e em

eventos da área de educação matemática.

Contatos:

Universidade do Vale do Taquari (UNIVATES) (51) 3714.7000, ramal 5339 e

[email protected].” Professor Pesquisador: Danilo do Nascimento de Jesus, Tel

(73)999350155, email: [email protected]

Observações:

Este termo será redigido em duas vias, sendo uma para o participante e outra para o

pesquisador.

Todas as páginas devem ser rubricadas pelo participante da pesquisa e pelo professor

pesquisador.

___________________________________________

Professor Pesquisador: Danilo do Nascimento de Jesus

EUNÁPOLIS, 06 DE FEVEREIRO DE 2018

Declaro que entendi os objetivos e condições de minha participação na pesquisa e concordo

em participar.

_________________________________________

(Assinatura do participante da pesquisa ou responsável)

Nome do participante

mailto:[email protected]

mailto:[email protected]

106

ANEXO B – Carta de anuência Institucional

CARTA DE ANUÊNCIA INSTITUCIONAL

Aceito que o(a)(s) pesquisador Danilo do Nascimento de Jesus pertencente do programa de

mestrado profissional em Ensino de Ciências Exatas da Universidade do Vale do Taquari

(Univates) desenvolvam sua pesquisa intitulada O USO DO SOFTWARE

GEOGEBRA PARA O ENSINO DE FUNÇÃO DO 2º GRAU: O CASO DA

1ª SÉRIE DO ENSINO MÉDIO DE UMA ESCOLA FEDERAL, tal como foi

submetida à Plataforma Brasil, sob a orientação do(a) professor(a) Dra. Maria Madalena

Dullius, vinculado(a) a Universidade do Vale do Taquari e professora do programa de

mestrado em questão. Ciente dos objetivos, métodos e técnicas que serão utilizados nesta

pesquisa, concordo em fornecer todos os subsídios para seu desenvolvimento, desde que seja

assegurado o que segue:

1) O cumprimento das determinações éticas da Resolução CNS no 466/2012;

2) A garantia de solicitar e receber esclarecimentos antes, durante e depois do

desenvolvimento da pesquisa;

3) Que não haverá nenhuma despesa para esta instituição que seja decorrente da

participação nesta pesquisa;

4) No caso do não cumprimento dos itens acima, a liberdade de retirar minha anuência

a qualquer momento da pesquisa sem penalização alguma.

O referido projeto será realizado em um dos laboratórios de informática da instituição

(IFBA Eunápolis) e poderá ocorrer somente a partir da aprovação do Comitê de Ética em

Pesquisa da Univates (Coep/Univates).

Eunápolis, 21 de dezembro de 2017

__________________________________

Assinatura do responsável pela instituição

Dados profissionais e contato

danilo do nascimento de jesus - univates.br · mapa conceitual, que tinha como ... doing a...

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