daniel nelson maciel análise de problemas elásticos não

DANIEL NELSON MACIEL

Anlise de problemas elsticos no lineares geomtricos empregando o

mtodo dos elementos finitos posicional

Tese apresentada Escola de Engenharia de So Carlos, da Universidade de So Paulo, como parte dos requisitos de obteno do ttulo de Doutor em Engenharia de Estruturas.

Orientador: Prof. Assoc. Humberto Breves Coda

So Carlos

2008

AUTORIZO A REPRODUO E DIVULGAO TOTAL OU PARCIAL DESTE TRABALHO, POR QUALQUER MEIO CONVENCIONAL OU ELETRNICO, PARA FINS DE ESTUDO E PESQUISA, DESDE QUE CITADA A FONTE.

Ficha catalogrfica preparada pela Seo de Tratamento da Informao do Servio de Biblioteca EESC/USP

A Elisnia, minha amada esposa.

AGRADECIMENTOS

Primeiramente gostaria de expressar meus sinceros agradecimentos aos meus amados pais

Elias e Marila e aos meus irmos Reginaldo e Slvio, por sempre me apoiarem

incondicionalmente, dando-me sempre muito incentivo para prosseguir nos meus estudos e

aprimoramento profissional.

minha esposa, Elisnia, sobretudo pela pacincia, amor e incentivo nos momentos mais

difceis.

Ao meu orientador e amigo, Professor Humberto Breves Coda, pelo brilhantismo demonstrado

na profisso de pesquisador e excelente orientao a mim dedicada.

Ao Prof. Sergio Pellegrino, da Universidade de Cambridge, Reino Unido, pela ateno e

oportunidade conferida a mim, durante minha permanncia em Cambridge no perodo de

estgio de doutorado no exterior.

Famlia McMullan, pelo suporte emocional ao longo da minha estadia em Cambridge.

Ao Departamento de Engenharia da Universidade de Cambridge (CUED) pela acolhida durante

o estgio de doutorado no exterior.

Ao amigo Professor Roberto Jos de Medeiros, grande incentivador dos meus estudos de ps-

graduao.

Aos funcionrios do SET, em especial, Nadir, Rosi, Toninho e Sylvia, pela competncia e

prestimosidade.

Ao amigo Rodrigo R. Paccola, por sempre, com muita competncia e conhecimento, ter me

ajudado no que fosse necessrio durante esses anos de doutorado.

Tambm ao amigo Marcelo Greco, pelas brilhantes contribuies dadas a linha de pesquisa e a

este trabalho, alm da grande ateno dispensada a minha pessoa desde a poca do meu

mestrado.

Aos amigos do SET: Alexandre Buttler, Alexandre Freitas, Sergio Oshima, Alexandre Min,

Andr Christforo, Caio, Wesley, Leandro e Marcelo Santos, por tornarem o nosso ambiente de

trabalho produtivo e saudvel.

Aos demais colegas do GMEC (Grupo de Mecnica Computacional), Patrick, Gustavo e Rogrio

pela amizade e troca de idias.

Aos amigos conterrneos Sales, George e Hamilton por toda ajuda durante todos esses anos

aqui em So Carlos.

AKAER Engenharia, empresa onde trabalho, pela concesso do afastamento temporrio,

tornando possvel a concluso desta tese em tempo hbil.

Universidade de So Paulo, atravs do Departamento de Engenharia de Estruturas, por ter

dado essa importantssima oportunidade a minha pessoa, oferecendo excelente infraestrutura e

corpo docente de elevadssima qualificao.

Ao meu Pai, Elias Cabral Maciel, pela reviso gramatical e sugestes para redao do texto.

Ao Governo do Brasil atravs da CAPES, pelo fundamental auxlio financeiro para realizao

deste trabalho.

E finalmente, aos prezados professores participantes da banca deste trabalho, pela pacincia e

disponibilidade para leitura desta tese, bem como pelas valiosas sugestes e crticas

construtivas dadas ao autor.

RESUMO

MACIEL, D. N. Anlise de problemas elsticos no lineares geomtricos empregando o mtodo

dos elementos finitos posicional. 2008, Tese (Doutorado) Escola de Engenharia de So

Carlos, Universidade de So Paulo, So Carlos-SP.

Neste trabalho problemas no lineares geomtricos envolvendo prticos planos e slidos

tridimensionais so analisados atravs do mtodo dos elementos finitos com formulao

posicional. A formulao posicional utiliza como incgnitas as posies dos ns ao invs de

deslocamentos. O referencial adotado da formulao o lagrangiano total. Tambm se utiliza o

algoritmo de Newton-Raphson para soluo iterativa do problema no linear. Para problemas

envolvendo dinmica, a matriz de massa consistente e o integrador temporal o algoritmo de

Newmark. Para o prtico plano, a cinemtica adotada a de Reissner, onde a seo plana do

prtico no necessariamente permanece perpendicular ao seu eixo central aps deformao.

Com relao formulao de slido tridimensional, adotada aproximao cbica de variveis

com elementos finitos tretradricos de 20 ns. apresentada tambm a anlise de impacto em

anteparo rgido para estruturas tridimensionais utilizando o integrador de Newmark modificado

para se garantir a estabilidade do problema. A formulao aqui proposta validade em

comparao com exemplos clssicos da literatura especializada.

Palavras-chave: no linearidade geomtrica; slidos 3D; prticos planos; elementos finitos.

ABSTRACT

MACIEL, D. N. Elastic nonlinear geometric analysis with positional finite element method. 2008,

Thesis (Doctoral) - Escola de Engenharia de So Carlos, Universidade de So Paulo, So

Carlos-SP.

Non linear geometric analysis for 2D frames and 3D solids are analyzed in this work by

employing the finite element method with positional description. The present formulation does

not use the concept of displacement; it considers positions as the real variables of the problem.

In addition, the formulation is developed through total lagrangian description. Besides, the

Newton-Raphson method is applied for solving the iterative linear system. For dynamic

problems, the mass matrix is consistent and it is applied the Newmark algorithm for time

integration. For 2D frame analysis, Reissner kinematics is adopted, that is, initial plane cross-

sections remain plane after deformation and angles are independent of the slope of central line.

In respect to 3D solids, a cubic approximation for the variables is employed through tetraedric

finite elements with 20 nodes. Moreover, impact analysis against rigid wall is performed for 3D

solids by applying the modified Newmark procedure in order to guarantee a stabilized response.

In order to validate the herein proposed formulation, numerical examples are compared to those

in the specialized literature.

Keywords: nonlinear geometric; 3D solids; 2D frames; finite elements.

SUMRIO

1 INTRODUO 1

1.1 CONSIDERAES INICIAIS 1 1.2 METODOLOGIA 3 1.3 ORGANIZAO DA TESE 4

2 REVISO BIBLIOGRFICA 5

2.1 NO LINEARIDADE GEOMTRICA APLICADA A PRTICOS PLANOS 5 2.2 NO LINEARIDADE GEOMTRICA APLICADA A SLIDOS 7

3 ELASTICIDADE NO LINEAR 9

3.1 DESCRIO DAS DEFORMAES E MOVIMENTOS 9 3.2 TENSOR GRADIENTE DE DEFORMAO 12 3.3 DEFORMAO DE VOLUME E SUPERFCIE 15 3.4 ALONGAMENTO, DEFORMAO E DISTORO 19 3.5 DECOMPOSIO POLAR 25 3.6 ANLISE DO MOVIMENTO 30 3.7 CONSERVAO DE MASSA 34 3.8 BALANO DE QUANTIDADE DE MOVIMENTO 36 3.9 TENSOR DE TENSES DE CAUCHY 37 3.10 LEIS DO MOVIMENTO DE CAUCHY 39 3.11 TENSOR DE TENSES NOMINAL 40 3.12 EQUAES LAGRANGIANAS DE CAMPO 41 3.13 BALANO DE ENERGIA 42 3.14 CONJUGADO TENSO-DEFORMAO 45 3.15 ENERGIA DE DEFORMAO 47

4 FORMULAO POSICIONAL 50

4.1 FUNCIONAL DE ENERGIA POTENCIAL TOTAL 50 4.2 SOLUO DO PROBLEMA ESTTICO 54 4.3 SOLUO DO PROBLEMA DINMICO 56 4.4 IMPACTO EM ANTEPARO RGIDO 59

5 PRTICOS PLANOS COM CINEMTICA DE REISSNER 61

5.1 MAPEAMENTO DA GEOMETRIA 61 5.2 MEDIDA DE DEFORMAO 64 5.3 ENERGIA POTENCIAL TOTAL 66 5.4 EQUACIONAMENTO ESTTICO 67 5.5 EQUACIONAMENTO DINMICO 70 5.6 FORMULAO COM CARGAS NO CONSERVATIVAS 72 5.7 EXEMPLOS NUMRICOS DE PRTICO PLANO 74 5.7.1 EXEMPLOS ESTTICOS 75 5.7.2 EXEMPLOS DINMICOS 90

6 SLIDO TRIDIMENSIONAL FORMULAO POSICIONAL 102

6.1 MAPEAMENTO DA GEOMETRIA 102 6.2 MEDIDA DE DEFORMAO 104 6.3 ENERGIA POTENCIAL TOTAL 105 6.4 EQUACIONAMENTO ESTTICO 106 6.5 EQUACIONAMENTO DINMICO 109 6.6 EXEMPLOS EMPREGANDO SLIDO TRIDIMENSIONAL 110 6.6.1 EXEMPLOS ESTTICOS 110 6.6.2 EXEMPLOS DINMICOS 123

7 FORMULAO DE CASCA E APLICAES 131

7.1 FENMENO DE ENRUGAMENTO 132 7.2 CINEMTICA DA FORMULAO POSICIONAL DE CASCA 132

7.3 EXEMPLOS NUMRICOS E EXPERIMENTAIS 137 7.3.1 MEMBRANA RETANGULAR SOB CISALHAMENTO 137 7.3.2 ENRUGAMENTO DE MEMBRANA SOB TRAO 145

8 CONCLUSES E SUGESTES 148

REFERNCIAS BIBLIOGRFICAS 151

BIBLIOGRAFIA COMPLEMENTAR 161

V

LISTA DE FIGURAS

Figura 1 Configurao inicial e final do corpo............................................................................ 10

Figura 2 Volume infinitesimal em mudana de configurao.................................................... 16

Figura 3 Fibra infinitesimal transpassando superfcie arbitrria do corpo. ............................... 18

Figura 4 Transformao de superfcie de um corpo.................................................................. 18

Figura 5 esquema de vetores unitrios ao longo de uma fibra arbitrria.................................. 22

Figura 6 - ngulo inicial e final. ..................................................................................................... 23

Figura 7 Ilustrao esquemtica do teorema da decomposio polar. .................................... 28

Figura 8 Decomposio Polar via posies principais. ............................................................. 30

Figura 9 Representao do Tensor Real de Cauchy atravs de suas componentes. ............. 38

Figura 10 Quadro ilustrativo do mtodo de soluo para problema dinmico. ........................ 58

Figura 11 Condio de penetrao nula.................................................................................... 59

Figura 12 Regies de estabilidade para os valores de e . ................................................. 60

Figura 13- Esquema de deformao do corpo. ............................................................................ 62

Figura 14 Seo transversal genrica do elemento. ................................................................. 63

Figura 15 espao adimensional auxiliar e mapeamento da geometria..................................... 65

Figura 16 elemento finito de n ns e suas variveis nodais. .................................................. 68

Figura 17 Foras no conservativas aplicadas na extremidade livre da viga engastada. ....... 73

Figura 18 Viga engastada com fora transversal. ..................................................................... 75

Figura 19 Fora vs deslocamento longitudinal xU L . ............................................................. 76

Figura 20 - Fora vs deslocamento transversal yU L . ............................................................... 76

Figura 21 - Fora vs rotao . ................................................................................................... 77

Figura 22 Configuraes deformadas para alguns nveis de carga. ........................................ 77

VI

Figura 23 Prtico articulado: esquema esttico para a situao de compresso (P0). ..................................................................................................................................78

Figura 24 Deslocamento horizontal vs carregamento. ..............................................................78

Figura 25 - Deslocamento vertical vs carregamento ....................................................................79

Figura 26 - Rotao vs carregamento...........................................................................................79

Figura 27 Configuraes deformadas na trao........................................................................80

Figura 28 Configuraes deformadas na compresso. .............................................................80

Figura 29 Coluna analisada........................................................................................................81

Figura 30 Deslocamento lateral do ponto de aplicao da carga P. .........................................81

Figura 31 Deslocamento lateral para o ponto de aplicao da carga P. Modos 2 e 3 de

flambagem. ....................................................................................................................................82

Figura 32 Deformadas da coluna analisada durante o carregamento. .....................................83

Figura 33 Prtico em arco submetido fora de compresso. .................................................84

Figura 34 Deformada do arco na flambagem. ...........................................................................85

Figura 35 Prtico bi-apoiado com carga no conservativa aplicada. ........................................86

Figura 36 Posies deformadas para prtico devido fora no conservativa........................86

Figura 37 Deslocamentos no ponto de aplicao da fora no conservativa. ..........................87

Figura 38 - Posio deformada para as faixas devido ao peso prprio. ......................................89

Figura 39 Barra flexvel e dados do problema. ..........................................................................90

Figura 40 Deslocamentos relativos ao movimento de corpo rgido da barra. ...........................91

Figura 41 Deslocamento 1U .......................................................................................................91

Figura 42 Deslocamento 2U . .....................................................................................................92

Figura 43 Rotao relativa .....................................................................................................92

Figura 44 Acelerao angular do n 1. ......................................................................................93

Figura 45 Velocidade angular do n 1. ......................................................................................93

Figura 46 Reao momento do n 1..........................................................................................94

VII

Figura 47 Curva de torque hipottica......................................................................................... 95

Figura 48 - Deslocamento 1U . ...................................................................................................... 96

Figura 49 - Deslocamento 2U ....................................................................................................... 96

Figura 50 - Rotao relativa . .................................................................................................... 97

Figura 51 Mecanismo articulado e dados do problema. ........................................................... 98

Figura 52 Posio horizontal do bloco para primeira situao de carga. ................................. 98

Figura 53 Posio horizontal do bloco para segunda situao de carga. ................................ 99

Figura 54 Posio horizontal do bloco com massa no desprezvel. ..................................... 100

Figura 55 Posio horizontal do bloco com massa no desprezvel. ..................................... 100

Figura 56 Posies deformadas para o mecanismo ao longo do tempo: massa do bloco

desprezvel. ................................................................................................................................. 101

Figura 57 - Posies deformadas para o mecanismo ao longo do tempo: massa do bloco no

desprezvel. ................................................................................................................................. 101

Figura 58 Mapeamento de geometria para o slido tridimensional. ....................................... 103

Figura 59 Elemento finito tetradrico de 20 ns...................................................................... 108

Figura 60 Malha de elementos tetradricos adotada para viga em flexo simples................ 111

Figura 61 Fora parametrizada versus deslocamento longitudinal xU L . ............................ 111

Figura 62 - Fora vs deslocamento transversal yU L . ............................................................. 112

Figura 63 Viga deformada e configurao inicial (sem escala). ............................................. 112

Figura 64 Viga fina em flexo. ................................................................................................. 113

Figura 65 Deslocamentos verticais em escala de fora para viga fina................................... 114

Figura 66 Malha empregada para viga 3D. ............................................................................. 115

Figura 67 Deslocamento lateral versus carga aplicada. ......................................................... 115

Figura 68 Situao deformada para alguns passos de carga - perspectivas 3D. .................. 116

Figura 69 Viga em balano com carga na extremidade.......................................................... 116

Figura 70 Grfico de Fora versus deslocamento da extremidade livre da viga engastada.. 117

VIII

Figura 71 Deformada ps-flambagem lateral da vida analisada (sem escala). ......................118

Figura 72 Geometria, propriedades mecnicas e carregamento na placa. ............................119

Figura 73 Discretizao da placa em elementos tetradricos. ................................................119

Figura 74 Deformada final da placa em formato de anel (sem escala)...................................120

Figura 75 Grfico de deslocamentos versus fora aplicada....................................................120

Figura 76 Cilindro com diafragmas rgidos submetido fora concentrada de compresso. 121

Figura 77 Discretizao de um quarto do cilindro com 7092 e 18893 graus de liberdade.....121

Figura 78 Deslocamentos para os ns A e B...........................................................................122

Figura 79 Deformadas do quarto de cilindro para cargas intermedirias e final (sem escala).

......................................................................................................................................................122

Figura 80 Barra com carregamento axial na extremidade livre. ..............................................123

Figura 81 Grfico da aplicao da fora e dados do problema...............................................123

Figura 82 Deslocamento vertical horizontal da extremidade livre versus tempo. ...................124

Figura 83 Viga com carga sbita de flexo..............................................................................125

Figura 84 Dados do problema e grfico de carga aplicada. ....................................................125

Figura 85 grfico do deslocamento da extremidade livre versus tempo. ................................126

Figura 86 Esquema de anteparo rgido e dados do problema ................................................127

Figura 87 Grfico de velocidade para superfcie de impacto. .................................................127

Figura 88 Fora de contato da superfcie de impacto versus tempo.......................................128

Figura 89 Anel e anteparo rgido. .............................................................................................129

Figura 90 configuraes deformadas do anel que sofre impacto............................................129

Figura 91 ngulo de aproximao e reflexo da estrutura anelar...........................................130

Figura 92 - Mapeamento do elemento de casca com 10 ns.....................................................133

Figura 93 - Vetor normal unitrio perpendicular superfcie media do elemento de casca......134

Figura 94 - Ponto genrico ao longo da espessura do elemento de casca. ..............................134

Figura 95 - Esquema da membrana analisada. ..........................................................................138

IX

Figura 96 - Tenso principal 3 versus Deslocamento. ............................................................... 139

Figura 97 - Grfico detalhado para d=0.0003mm e d=0.003 mm.......................................... 140

Figura 98 - Comportamento instvel da membrana em cisalhamento. ..................................... 140

Figura 99 - Situao deformada para =0.110 mm.................................................................... 141

Figura 100 - Deformada da membrana com deslocamentos prescritos proporcionais. ............ 142

Figura 101 Deslocamento transversal no passo de tempo 100.............................................. 143

Figura 102 Deslocamento transversal no passo de tempo 150, deslocamento horizonatal

0.07 mm = . ................................................................................................................................ 143

Figura 103 - Deslocamento transversal no passo de tempo 180, deslocamento horizonatal

0.27 mm = . ................................................................................................................................ 143


0.54 mm = . ................................................................................................................................ 144


1.50 mm = .................................................................................................................................. 144


2.00 mm = . ................................................................................................................................ 144


3.09 mm = . ................................................................................................................................ 145

Figura 108 - Foto da membrana analisada no experimento. ..................................................... 146

Figura 109 - Resultado da anlise numrica da membrana sob trao. ................................... 147

X

LISTA DE TABELAS

Tabela 1 Carga crtica crP para o prtico em arco. .................................................................84

Tabela 2 Resultados numricos em comparao com os analticos. .......................................88

Tabela 3 Resultados para deslocamento na extremidade livre...............................................113

Tabela 4 ngulos de reflexo para impacto sem atrito............................................................130

Tabela 5 - Dimenses da membrana e propriedades do material. ............................................138

Tabela 6 Sensibilidade do nmero de rugas em relao pr-tenso...................................141

Tabela 7 - da membrana e propriedades do material.................................................................146

1 INTRODUO

Neste captulo, introdutrio do presente trabalho, fazem-se consideraes a respeito das

motivaes que nortearam o desenvolvimento da pesquisa, a metodologia aplicada e os

objetivos desejados, apontando-se por fim como o texto est organizado ao longo da tese.

1.1 Consideraes iniciais

Com o avano das tecnologias de materiais empregados na engenharia, no tocante ao

desenvolvimento de ligas metlicas, aglomerantes, polmeros etc. cada vez mais resistentes, as

estruturas tendem a ser, portanto, mais esbeltas e flexveis, fazendo-as sofrer grandes

mudanas de forma diante das suas solicitaes. Dessa forma, o emprego da superposio dos

efeitos, por exemplo, que vlido apenas para pequenos deslocamentos, para clculo das

variveis de um problema estrutural, comea a se tornar deveras limitado para alguns

problemas da engenharia moderna.

Alm disso, reas de engenharia tais como a aeroespacial, robtica e biomecnica j

empregam amplamente solues no lineares geomtricas devido a sua natureza de grandes

deslocamentos.

Captulo 1: INTRODUO_____________________________________________________________________ 2

Diante disso, so importantes trabalhos que levem em considerao grandes mudanas de

forma e posio dos elementos estruturais, bem como leis constitutivas no lineares,

representando assim, com maior fidelidade, o comportamento estrutural de peas consideradas

esbeltas com comportamento no linear fsico e geomtrico.

Em CODA (2003.c) e CODA & GRECO (2003) foi apresentada pela primeira vez a formulao

denominada de Posicional aplicada ao MEF que tem como variveis nodais as posies dos

ns ao invs de deslocamentos como normalmente empregado na literatura. Essa formulao

aqui implementada para os problemas de prtico plano com a cinemtica de Reissner e para

problemas tridimensionais.

Destaca-se, como o objetivo principal deste trabalho, elaborar cdigos computacionais

empregando o mtodo numrico denominado de Mtodo dos Elementos Finitos (MEF) para a

anlise de problemas elsticos no lineares geomtricos de prticos planos e slidos. Essa

anlise, ou seja, elstica no linear geomtrica desenvolvida tanto para problemas estticos

quanto para problemas dinmicos (foras inerciais em considerao). A formulao do MEF em

questo a Formulao Posicional, e como dito anteriormente, leva esse nome por se

considerar as posies nodais dos elementos finitos, ao invs dos deslocamentos, como as

principais variveis do problema. A formulao de impacto em anteparo rgido baseada nos

parmetros de Newmark modificados implementada para o caso tridimensional.

objetivo tambm, atravs do emprego da formulao numrica, fazer-se um estudo preliminar

de estruturas extremamente finas sujeitas ao fenmeno de enrugamento1, que so muito

empregadas na indstria aeroespacial, mais especificamente em estruturas de satlite tais

como velas solares, por exemplo.

A metodologia do trabalho apresentada no item a seguir.

1 O estgio de doutorado desenvolvido pelo autor na Universidade de Cambridge, Reino Unido, teve esse objetivo, j que l se tornou um centro reconhecido no assunto sob a liderana do Prof. S. Pellegrino.


1.2 Metodologia

Os corpos dos elementos estruturais - membros de prtico plano e slido - analisados so

considerados contnuos em termos macroscpicos, ou seja, sem vazios entre uma partcula e

outra, no havendo tambm perdas de massa. Considera-se elstico o material desses

elementos estruturais, porm no necessariamente de comportamento linear quanto lei

constitutiva.

O Mtodo dos Elementos Finitos formulado em descrio Lagrangiana Total a partir da

minimizao do funcional de energia potencial total do sistema, emprega-se o mtodo interativo

de Newton-Raphson, onde os parmetros nodais dos elementos finitos so as prprias

coordenadas cartesianas dos seus ns, ao invs dos deslocamentos como comumente

empregado nas formulaes encontradas na literatura. Para o caso do prtico plano, alm das

coordenadas de translao, adiciona-se o giro da seo reta como parmetro nodal.

importante frisar que a cinemtica adotada a de Reissner, que similar de Timoshenko, ou

seja, a seo permanece plana, mas no obrigatoriamente perpendicular linha mdia do

elemento, considerando-se, dessa forma, a influncia dos esforos cortantes na deformao do

prtico. O elemento slido ter forma tetradrica com aproximao cbica de variveis.

Quanto aos problemas que envolvem foras inerciais, isto , problemas dinmicos, a matriz de

massa ser consistente e o algoritmo de soluo da equao do movimento na coordenada

temporal ser o de Newmark (NEWMARK, 1959). Alm disso, no caso do impacto em

anteparos rgidos para o problema com elementos slidos, adota-se o esquema desenvolvido

em GREGO (2004), que usa parmetros de Newmark modificados a fim de se estabilizar a

resposta do problema.

O Cdigo computacional desenvolvido utilizando-se FORTRAN como linguagem de

programao. Utiliza-se tambm, para a soluo de sistemas lineares simtricos, o cdigo livre

denominado de MA27. Para o problema de slidos, as malhas so criadas empregando-se o

pr-processador do software comercial ANSYS e depois modificadas atravs da adio de ns

a fim de se representar a aproximao de variveis adotada no presente trabalho.


1.3 Organizao da tese

Esta tese est organizada em oito captulos. O primeiro captulo introdutrio, seguido do

captulo de reviso bibliogrfica, onde se discute os artigos mais relevantes encontrados pelo

autor, situando tambm o presente trabalho dentro da literatura especializada, como tambm

mostrando algumas aplicaes da linha de pesquisa aqui abordada na engenharia em geral. No

terceiro captulo, est descrita a teoria bsica da elasticidade no linear, mostrando-se o

equacionamento que serve de alicerce terico para as formulaes em elementos finitos. No

captulo 4, escreve-se sobre a formulao posicional de forma geral, independente das

hipteses cinemticas abordadas. J nos captulos 5 e 6 esto descritas, respectivamente, as

formulaes de posicionais para o prtico plano e slidos, devidamente fundamentadas por

exemplos numricos encontrados na literatura. No captulo 7, expe-se sobre a cinemtica de

elemento finito de casca e suas aplicaes para problemas de membranas extremamente finas

sujeitas ao fenmeno de enrugamento. E por fim, no captulo 8, as concluses do presente

trabalho e algumas sugestes de pesquisa dentro dos temas aqui abordados so apontadas.

No captulo a seguir descrita a reviso bibliogrfica do presente trabalho.

2 REVISO BIBLIOGRFICA

Neste captulo so mostrados alguns trabalhos desenvolvidos no estudo da no linearidade

geomtrica empregando o MEF para problemas de prtico plano e problemas de slidos

tridimensionais, como tambm, trabalhos desenvolvidos nessa rea por pesquisadores do

Departamento de Engenharia de Estruturas da Escola de Engenharia de So Carlos (SET). A

reviso dividida em subitens de acordo como assunto abordado.

2.1 No linearidade geomtrica aplicada a prticos planos

Solues analticas para problemas de grandes deslocamentos em prticos planos so

bastantes restritas devido complexidade do problema no linear geomtrico. Alguns trabalhos,

tais como, JENKINS et. al. (1966), BISSHOP & DRUCKER (1945) e MATTIASSON (1981)

trazem solues para alguns problemas como barras engastadas e prticos articulados rgidos.

Sendo ento de grande valia o estudo desses problemas atravs da soluo via mtodos

numricos.

Captulo 2: REVISO BIBLIOGRFICA 6

Com relao s formulaes numricas, mais especificamente em elementos finitos, elas

podem ser denominadas quanto ao referencial adotado, ou seja, lagrangiana total, lagrangiana

atualizada, lagrangiana parcialmente atualizada e euleriana. Na formulao lagrangiana total

considerado um referencial fixo j conhecido para determinao das variveis do problema.

Esse referencial adotado geralmente a posio inicial do corpo. Essa abordagem

encontrada em, por exemplo, MONDKAR & POWELL (1977), SURANA (1983), GRECO (2004),

CODA & GRECO (2004), MACIEL et al.(2004), MACIEL & CODA (2005), entre outros. Na

lagrangiana atualizada, o referencial conhecido atualizado durante os incrementos de carga,

ou seja, a posio do corpo referente ao nvel de carga anterior passa a ser referncia e assim

por diante. Empregando essa tcnica pode-se citar GADALA et al. (1984) e GATTASS & ABEL

(1987). denominada lagrangiana parcialmente atualizada quando o referencial mudado

apenas no incio dos incrementos de carga (WONG & TINLOI, 1990). J em formulaes

baseadas na descrio Euleriana (Espacial), o referencial para determinao das integrais,

derivadas, etc. a configurao atual, corrente do corpo. Essa forma bastante empregada na

mecnica dos fluidos, porm so encontrados trabalhos que empregam essa formulao para

prticos, por exemplo, em IZZUDIN & ELNASHAI (1993) que trata de prticos tridimensionais.

Com relao a trabalhos que empregam a cinemtica de Reissner em prticos no lineares,

pode-se citar entre outros SIMO et al. (1986), SAJE et al. (1998), YANG & SAIGAL (1984),

IBRAHIMBEGOVI (1995), MINGRUI LI (1997), NUKALA & WRITE (2004), MACIEL et al.

(2004), MACIEL & CODA (2005) etc.

Com relao a trabalhos desenvolvidos por pesquisadores do SET que levam em conta prticos

com no linearidade geomtrica, pode-se citar LAVALL (1996) que aborda prticos planos de

ao com formulao lagrangiana co-rotacional. O trabalho de PAULA (2001) aborda problemas

estticos e dinmicos com referencial lagrangiano total e atualizado. Em PINTO (2002) a no

linearidade apresentada para prticos planos de concreto armado. Em GRECO (2004), a

primeira tese a apresentar a formulao posicional, faz-se anlise dinmica e esttica de

prticos planos, bem como desenvolve formulao de contato/impacto para esse tipo de

estrutura. J em SANCHES (2006), faz-se interao fluido-estrutura, considerando-se o prtico

plano com cinemtica de Reissner.

No prximo item, discute-se o estado da arte relativo s formulaes envolvendo elementos

finitos tridimensionais aplicados a problemas de no linearidade geomtrica, expondo aqui os

trabalhos mais relevantes encontrados na literatura.


2.2 No linearidade geomtrica aplicada a slidos

A maioria das peas estruturais que por ventura podem sofrer grandes deslocamentos

apresentam geralmente uma das trs dimenses bem menor do que as outras. Assim sendo,

no muito comum encontrar na literatura problemas de no linearidade geomtrica

envolvendo slidos tridimensionais na sua forma mais pura, ou seja, sem que haja nenhuma

hiptese para representar estruturas de casca, placa, ou mesmo prtico espacial, por exemplo.

Porm com o crescente avano do estudo da biomecnica, surge a necessidade de se analisar

problemas com slidos tridimensionais, pois as peas estruturais, no caso msculos e rgos

internos do corpo humano tais como o corao, artrias e at mesmo o globo ocular, sofrem

muitas vezes grandes deformaes e deslocamentos. Por exemplo, o trabalho de HAUSSY &

GANGHOFFER (2005) se destaca por analisar problema de instabilidade de cascas de parede

grossa, simulando, assim, uma artria que sofre aneurisma atravs do emprego de leis

constitutivas mais apropriadas de acordo com a natureza da estrutura deformada (grandes

deslocamentos ou grandes deformaes). Em HRON & MDLIK (2006), uma formulao

acoplando fluido-estrutura aplicada a problemas de biomecnica mostrada com elementos

slidos tetradricos de 10 ns (aproximao quadrtica de variveis). O mesmo elemento

tetradrico tambm usado em ALMEIDA & SPILKER (1998), s que para anlise de tecidos

do tipo cartilagem (materiais hidratados). Enfim, em outros importantes trabalhos tais como

YUCESOY et al (2002), TANG et al (2007) e BLEMKER et al (2005), ROGERS et al (1999),

desenvolvem modelos e/ou formulaes com elementos finitos slidos a fim de se aplicar aos

problemas de biomecnica.

Ainda mais, formulaes que empregam coordenadas cilndricas e polares no lugar de

coordenadas cartesianas so empregadas para soluo de problemas que envolvem

pneumticos. o caso de DANIELSON & AHMED (1997) que desenvolve uma formulao para

contato de pneumtico com pavimento usando elemento hexadrico de formato cilndrico de 4

ns. O mesmo tipo de formulao com coordenadas cilndricas pode tambm ser encontrado

em BOURDARIAS et al.(2003) e COSTA et al (1996).

Com relao ao grau de aproximao de variveis em elementos slidos para representar

grandes deslocamentos e deformaes, existem muitos trabalhos que desenvolvem


formulaes utilizando elemento de aproximao linear, e para contornar o problema de

travamento originado pelo polinmio de baixa ordem, estratgias atravs do melhoramento do

campo de tenses e deformaes so comumente empregados. o caso de trabalhos como

SIMO et al (1993), SIMO & ARMERO (1992), ARMERO & GARIKIPATI (1996), MOITA &

CRISFIELD(1996), CRISFIELD & MOITA (1996), REESE et al (1999) e REESE et al (2000) que

utilizam estratgia melhorar o campo de deformaes denominada de, no ingls, enhanced

strains, j em BUCALEM & NOBREGA (2000), SZE & YAO,(2000), AUSSERER & LEE (1988),

HAUPTMANN & SCHWEIZERHOF (2002), HONG, et al (2001), HONG & KIM (2002), HOLT &

KRISHNAMURTHY (1995) e PETCHSASITHON & GOSLING (2005), utiliza-se tambm um

campo de deformaes otimizado que chamado no ingls de assumed natural strains (ANS)

e esse enriquecimento ocorre quando se adiciona no termo da energia potencial total a parcela

de energia provocada por essas deformaes. Em KOAR & IBRAHIMBEGOVI (1995),

IBRAHIMBEGOVI & FREY (1994) e SIMO & ARMERO (1992), para aliviar o travamento, a

tcnica dos modos incompatveis utilizada, e consiste em assumir que gradiente de

deslocamentos otimizado atravs da soma de outro gradiente incompatvel, ou seja,

descontnuo ao longo do elemento, mas variacionalmente consistente.

Apesar dos trabalhos descritos acima enfocarem nos elementos de baixa ordem, alguns como

RANK et al (1998), RANK et al (1998), DSTER et al (2003), afirmam que basta empregar

elementos de alta ordem que problemas de travamento so eliminados. O autor comunga com

essa filosofia, por isso o elemento de slido aqui utilizado , como dito antes, tetradrico de 20

ns, gerando uma aproximao cbica de variveis e sem a utilizao de campos de

deformao ou tenso otimizados. No captulo de exemplos numricos referente formulao

de slidos, essa afirmao se confirma ao mostrar a ausncia de travamento quando

comparado o resultados obtidos por alguns autores aqui j citados.

Sobre formulaes de slidos com grandes deslocamentos e deformaes, no foi encontrado

atualmente pelo autor trabalhos no SET, levando-o a crer que este o primeiro a abordar o

assunto neste departamento. Entretanto, importante ressaltar o trabalho de MARQUES

(2006), que desenvolveu a formulao posicional esttica e dinmica para problemas slidos

bidimensionais com impacto em anteparo rgido.

3 ELASTICIDADE NO LINEAR

Equation Chapter 3 Section 1

Com o objetivo de fundamentar a teoria aplicada, enfoca-se neste captulo o equacionamento

do problema elstico no linear geomtrico. Parte-se, inicialmente, descrevendo-se as

configuraes e movimentos do contnuo. Feito isso, so mostradas as equaes de campo

(equilbrio e movimento), bem como a lei de balano de energia e medidas de tenso

empregadas no presente trabalho.

Para tanto, o texto a seguir baseado principalmente nos importantes trabalhos de OGDEN

(1984), CIARLET (1993), MASE (1999), CRISFIELD (1991), COIMBRA (1978), BONET &

WOOD (1997) e CODA (2003.b).

3.1 Descrio das deformaes e movimentos

Considere um corpo em um dado instante de tempo como sendo um conjunto de partculas

continuamente distribudas. Esse corpo forma com a regio B de um espao euclidiano E uma correspondncia bijetora, isto , cada partcula do corpo pode ser relacionada com um ponto

no espao euclidiano E, sendo sua configurao dada por:

tf :B (3.1)

Captulo 3: ELASTICIDADE NO LINEAR 10

Sendo assim, admitindo sempre a existncia dessa correspondncia, chamaremos neste texto

uma partcula de simplesmente ponto e a notao para o corpo () ir se confundir com a da

regio que ele ocupa no espao euclidiano B (OGDEN, 1984).

Figura 1 Configurao inicial e final do corpo.

Considere-se um corpo B0 inicialmente em repouso no tempo t0 no espao euclidiano E. Esse corpo, devido s aes externas, assume diferentes formas e posies ao longo do tempo. Para

um determinado tempo t, Bt a sua configurao atual, ou corrente no espao euclidiano. Um

vetor ( )1 2 3x , x , x=x , no instante qualquer t pode ser relacionado com o seu correspondente

na configurao inicial ( )0 0 0 01 2 3x , x , x=x , pela funo f(x0,t), ento:

0 0tf ( , t) f ( )= =x x x (3.2)

Da mesma forma, pode-se escrever:

0 1 1tf ( , t) f ( )

= =x x x (3.3)

A Eq.(3.2) descreve o caminho de 0x ao longo do tempo (Ogden, 1984), conforme mostrado na Figura 1. Na forma indicial, a Eq.(3.2), fica:

0i i kx f (x , t)= (3.4)


Tomando-se a derivada da Eq. (3.2) em relao ao tempo, fica definida a velocidade do corpo

no instante t (Bt):

0 0f ( , t) ( )t

= = t

x x v x& (3.5)

Derivando-se Eq. (3.5) em relao ao tempo novamente, obtm-se a acelerao do corpo B no instante t (Bt):

0 0f ( , t) ( )t

= = t

x x a x&& (3.6)

Portanto observa-se que a funo f ( 0f ( , t)x ) descreve o movimento do corpo, pois a partir dela,

obtm-se posio, velocidade e acelerao. Sendo assim, neste texto, f denominada Funo Mudana de Configurao do corpo em questo. Tambm, neste trabalho a funo f ser sempre no mnimo de classe C2 para garantir as continuidades nos campos associados de

velocidade e acelerao (Ogden, 1984 ; Coimbra, 1978).

Segundo OGDEN (1984), para a observao do comportamento fsico do corpo ao longo do seu

movimento deve ser feita a escolha de uma das suas configuraes para ser tomada como

referencial. Portanto, uma vez escolhida, essa configurao denominada de configurao de

referncia. Quando a escolhida a B0, chama-se de referencial Lagrangiano. Sendo ento chamada de referencial Euleriano quando a referncia a configurao Bt (configurao atual).

Nos trabalhos que envolvem mtodos numricos em elasticidade no linear, comumente se

formula o problema a partir da descrio Langrangiana, sendo ento a descrio Euleriana mais

utilizada para problemas de mecnica dos fluidos.

No caso deste trabalho, como j explanado no primeiro captulo, a estrutura inicial adotada

como o referencial para descrio das infinitas formas e posies que um corpo pode vir a

ocupar. Esse tipo de abordagem do problema no linear chamado de Descrio Langragiana

Total, pois a posio de referncia sempre a mesma durante o processo iterativo para

determinao da soluo do problema. Discusso mais detalha ser feita ao longo dos

captulos relativos Formulao Posicional.


3.2 Tensor Gradiente de Deformao

Se um corpo elstico, submetido s foras externas em equilbrio ou no, sofre movimento

relativo de seus pontos, diz-se que o mesmo sofreu deformao ou mudou de forma. Quando

isso no ocorre, ou seja, o sistema de foras atuantes no equilibrado e o corpo no sofre

deformao, ento h apenas mudana de configurao atravs de movimento de corpo rgido.

Na forma matemtica isso descrito atravs da funo Mudana de Configurao f, responsvel pelo mapeamento do movimento e mudana de forma do corpo.

Escreve-se uma aproximao para funo f prxima ao ponto 0x , na forma (CODA, 2003b):

( ) ( ) 00 0 2xf , t f , t Grad f= + = + +0 0x x x x x O (3.7)

no limite, ou seja, x 0 , tem-se:

( )0xGrad f= 0dx dx (3.8)

Ressalta-se que quando o operador gradiente escrito com a letra inicial maiscula, isto ,

( )Grad , a sua representao Lagrangiana, ou seja, em relao B0.

A forma clssica para se obter a Eq.(3.8) quando se toma uma variao infinitesimal d 0x na

configurao inicial, essa variao correspondente na configurao atual , de acordo com a

Figura 1, dx , que o diferencial total da Eq.(3.4), ento:

0i j 0

i k0k

f (x , t)dx dx

x

=

(3.9)

na qual, para uso futuro, far-se-:

0i j

ik 0k

f (x , t)A

x

=

(3.10)

sendo Eq.(3.9), fica na forma:

0i ik kdx A dx= (3.11)


ou tambm:

iik 0

k

dxAdx

= (3.12)

ikA denominado Tensor Gradiente Mudana de Configurao (usualmente chamado de

Tensor Gradiente de Deformao). Na forma matricial, a Eq.(3.10), escreve-se:

0 0 01 1 1 2 1 3

0 0 02 1 2 2 2 3

0 0 03 1 3 2 3 3

x x x x x xx x x x x xx x x x x x

=

A (3.13)

Da mesma forma, para Eq.(3.9):

0 0 0 01 1 1 1 2 1 3 1

0 0 0 02 2 1 2 2 2 3 2

0 0 0 03 3 1 3 2 3 3 3

dx x x x x x x dxdx x x x x x x dxdx x x x x x x dx

=

(3.14)

levando-se em conta tambm a notao da Eq.(3.8):

( )Grad f , t = 0A x (3.15)

Tambm, na forma tensorial, a Eq.(3.9) e/ou Eq.(3.8), torna-se:

0=dx Adx (3.16)

Importante lembrar que dx0 uma poro fixa, ou seja, um lugar geomtrico dos pontos no

corpo na configurao inicial, ao passo que dx o novo lugar geomtrico e genrico desses pontos aps sofrerem a transformao atravs de A. Sendo assim, relevante enfatizar que:

0d 0A x , para todo 0d 0x (3.17)

Isso significa que fisicamente impossvel que haja aniquilao do material, isto , atravs de

uma mudana de forma a fibra dx0 desaparecer. Portanto, devido a Eq.(3.17), diz-se que o tensor A no-singular (OGDEN, 1984), ou seja:

J = det( ) 0A (3.18)


Sendo J o jacobiano da mudana da configurao do corpo que dado pelo determinante do

Tensor Gradiente Mudana de Configurao. Para tensores de segunda ordem, que o caso

do tensor A, o seu terceiro invariante principal o prprio determinante e, portanto pode ser escrito na forma:

( ) ( )3(3) 3 2A1 3 1I det J tr tr tr3 2 2 = = = +

A A A A A (3.19)

Na forma indicial, para uso futuro, o jacobiano, dado pela Eq.(3.18) fica na forma:

ijk i1 j2 k3J = e A A A (3.20)

tambm vlida a relao:

lmn ijk il jm kne J = e A A A (3.21)

sendo, ijke chamado de smbolo de permutao.

A no singular, como dito anteriormente, portanto existe sua inversa:

( )T= 1B A (3.22)

Derivando-se a Eq.(3.19) em relao ao tensor A, obtm-se:

( )T1J J J = =

A BA

(3.23)

Assim sendo, a Eq.(3.16) pode ser invertida, na forma:

0 T=dx B dx (3.24)

onde,

T T= =AB I B A (3.25)

Pode-se chegar a Eq.(3.24) pelo mesmo raciocnio quando da obteno da Eq.(3.8), isto ,

escrevendo-se agora uma aproximao para a inversa de f tem torno do ponto x, ou seja:

( ) ( )0 1 1 1 2x

f , t f , t grad f = + = + +x x x x x O (3.26)


no limite novamente, tem-se:

0 1

xgrad f = dx dx (3.27)

sendo ento:

( )1grad f , t = TB x (3.28)

A mesma Eq. (3.24), sendo o operador gradiente quando escrito com a letra inicial minscula,

isto , ( )grad , indica o gradiente em relao configurao de atual (B).

Sabe-se que:

( )TT T=A A A A (3.29)

isto , TA A um tensor simtrico. Sendo assim, pode-se escrever:

( ) ( ) ( ) 20 T 0 0 0 0 0= = >dx A A dx Adx Adx Adxg g (3.30)

A Eq.(3.30) mostra que para dx00, ATA chamado por definio de tensor positivo-definido, da mesma forma que AAT, BBT e BTB. Ademais, na literatura, denominam-se os tensores ATA e AAT Tensores de alongamento de Cauchy-Green direito e esquerdo respectivamente.

3.3 Deformao de volume e superfcie

Quando o corpo sofre deformao, h a mudana de volume (Ver Figura 2). Essa quantificao

relativa forma de referencia do corpo dada pelo gradiente mudana de configurao A.


Figura 2 Volume infinitesimal em mudana de configurao.

Considerando-se o triedro ( )0 0 01 2 3dx ,dx ,dx no ponto x0, pode-se escrever, para as trs direes:

0i ij jdx = A dx (3.31)

Admitindo-se que o triedro tem orientao positiva (referencial destrgiro), isto , 0 0j k dx dx 0 ,

o seu volume do paraleleppedo infinitesimal formado entre eles na configurao de referncia

dado por:

( ) ( )0 0 0 0ijk i j kdV det , , dx dx dx= = = 0 0 0 0 0 01 2 3 1 2 3dx dx dx dx dx dxg (3.32)

Da mesma forma, o volume infinitesimal do paraleleppedo na configurao atual determinado

por:

( ) ( ) ijk i j kdV det , , e dx dx dx= = =1 2 3 1 2 3dx dx dx dx dx dxg (3.33)

Substituindo a Eq.(3.11) na Eq.(3.33), fica-se com:

0 0 0ijk q iq n jn m kmdV e dx A dx A dx A= (3.34)

Substituindo a Eq.(3.21) na Eq.(3.34), tem-se:

0 0 0lmn q n mdV Je dx dx dx= (3.35)

e sabendo que, pelq Eq.(3.32), 0 0 0 0lmn q n mdV e dx dx dx= , obtm-se:


0dV JdV= (3.36)

A Eq.(3.36) significa fisicamente que o Jacobiano da transformao representa a taxa de

variao do volume em relao a configurao inicial, isto , o quanto o volume da configurao

atual diminuiu ou aumentou em relao ao corpo na posio de referncia. Lembrando que se

J 1= significa que no houve variao de volume durante a transformao, ou seja, a

transformao dita isocrica. Um exemplo mais simples de transformao isocrica quando

o corpo sofre movimento de corpo rgido. interessante notar, por exemplo, que se o

movimento de corpo rgido de translao, pode-se escrever:

+0x = x d (3.37)

sendo d um vetor incremento de posio. Aplicando-se a Eq.(3.16) na transformao dada pela Eq.(3.37), obtm-se:

d d 0x = x (3.38)

sendo ento o gradiente mudana de configurao dado por:

A = I (3.39)

onde I o tensor identidade e seu jacobiano J = 1 , evidentemente.

A Eq.(3.36) representa a transformao local, infinitesimal, do volume do corpo. Pode-se,

portanto, ser estendida para todo volume, na forma:

0

B B0

dV = JdV (3.40)

Considere-se agora na vizinhana do ponto 0x vetor infinitesimal de superfcie 0ds , de forma que:

0ds=0ds N (3.41)

onde N o vetor normal superfcie infinitesimal ds0 na configurao B0. Seja 0dx uma fibra

arbitrria do corpo que corta a superfcie ds0 de forma que 0 >0 0dx ds (ver Figura 3).


Figura 3 Fibra infinitesimal transpassando superfcie arbitrria do corpo.

Dessa forma, o volume do cilindro de base ds0 e geratriz dx0 dado por:

0dV = 0 0dx ds (3.42)

Aps deformao, suponha-se que dx0 e ds0 transformem-se respectivamente em dx e ds, onde:

ds=ds n (3.43)

Sendo n equivalente a N na configurao atual. Pode-se ter o volume do cilindro na configurao corrente dado por ds e dx na mesma forma que em Eq.(3.42) (ver Figura 4) , ou

seja:

dV = dx ds (3.44)

Figura 4 Transformao de superfcie de um corpo.


Ento, substituindo a Eqs.(3.42) e (3.44) na Eq.(3.36), tem-se:

J = 0 0dx ds dx ds (3.45)

Novamente, substituindo-se a Eq.(3.31) em (3.45) e removendo 0dx , obtm-se:

J=T 0A ds ds (3.46)

Multiplicando-se a Eq.(3.46) por B e empregando-se a propriedade dada pela Eq.(3.25), chega-se a:

J= 0ds Bds (3.47)

A Eq.(3.47) pode-se tambm se escrever na forma:

0ds J ds=n BN (3.48)

A frmula expressa pela Eq.(3.47) ou (3.48) chamada de Frmula de Nanson e representa a

transformao de uma superfcie 0ds do corpo na configurao inicial em uma ds na atual. importante notar que, ao longo da superfcie do corpo, a lei de transformao no segue a

Eq.(3.16), sendo esta transformao dada somente pela Frmula de Nanson. Portanto, o

material ao longo do vetor N no o mesmo que est ao longo do vetor n (OGDEN,1984).

3.4 Alongamento, deformao e distoro

Quando, aps mudana de configurao do corpo, a fibra dx0 permanece com o mesmo comprimento, o material dito indeformvel, ou seja:

0 =0dx dx (3.49)

Multiplicando-se a Eq.(3.16) por dx, tem-se:

( ) ( ) ( )2 = = = T0 0 0 T 0dx dx dx Adx Adx dx A Adx (3.50)


Subtraindo-se o resultado obtido pela Eq.(3.50) por |dx0|2, obtm-se:

( )22 = 0 0 T 0dx dx dx A A - I dx (3.51)

A Eq. (3.51) representa a diferena entre os quadrados dos comprimentos da fibra na

configurao inicial e final. Para satisfazer a condio de indeformabilidade da fibra dx0 dada pela Eq.(3.49), na Eq.(3.51) necessrio e suficiente se ter:

=TA A I (3.52)

Quando a condio dada pela Eq.(3.52) no satisfeita, a fibra se deforma. Portanto o tensor

TA A I fornece uma forma de medir deformao no corpo localmente. Sendo assim, o Tensor de Deformao de Green definido como sendo:

( )12= TE A A I (3.53)

Tambm chamado de Tensor de deformao Lagrangiano, devido configurao inicial do

corpo ser tomada para determinao desse tensor. Da mesma forma, multiplicando-se tambm

a Eq.(3.24) por dx0 e seguindo o mesmo procedimento algbrico para se chegar Eq.(3.51), obtm-se:

( )22 = 0 Tdx dx dx I BB dx (3.54)

e por conseguinte:

( )1F 2= TI B B (3.55)

O tensor dado pela Eq.(3.55) denominado de Tensor de Deformao de Almansi ou Tensor

de Deformao Euleriano, pois a configurao em que se mede a deformao, ou seja, de

referncia, a corrente.

Pode-se escrever o tensor de deformao Lagrangiano dado pela Eq.(3.53) em funo dos

deslocamentos, para isso, define-se o vetor deslocamento:

0i i iu = x x (3.56)

Tomando-se o gradiente de (3.56), tem-se:


0i i i0 0 0j j j

u x xx x x

= = =

A I D (3.57)

A Eq.(3.57) representa o Tensor gradiente de deslocamento D. Pode-se escrever o tensor de Green em funo do tensor gradiente de deslocamento, na forma:

( )12=T TE D + D + D D (3.58)

Na notao indicial a Eq.(3.58) fica-se na forma:

ji k kij 0 0 0 0

j i i j

uu u u1E =2 x x x x

+ + (3.59)

Considerem-se, de acordo com a Figura 5, os vetores unitrios M na configurao de referncia e m o respectivo vetor na configurao atual, ambos ao longo de dx0 e dx respectivamente, de forma que se pode escrever:

=0 0dx M dx (3.60)

e

=dx m dx (3.61)

Portanto, substituindo a Eq.(3.60) e (3.61) em (3.16), tem-se:

0m dx = AM dx (3.62)

Na forma indicial a mesma Eq.(3.62) fica:

j kj jm A M0dx = dx (3.63)


Figura 5 esquema de vetores unitrios ao longo de uma fibra arbitrria.

Multiplicando-se a Eq.(3.62) por m dx , fica-se com:

( ) 22 = T 0dx M A AM dx (3.64)

Da Eq.(3.64), pode-se escrever:

( ) ( )1/ 2 = = = T0dx

AM M A AM Mdx

(3.65)

onde ( ) M definido como sendo o alongamento na direo de M da fibra correspondente dx medido na configurao lagrangiana. Sendo assim, a medida de deformao de

engenharia2(CODA, 2003.a; CODA, 2003.b) dada por:

( ) ( ) 1 = M M (3.66)

A Eq.(3.66), pode tambm ser escrita na forma:

( ) =0

0

dx - dxM

dx (3.67)

2Segundo OGDEN(1984), tambm chamada de extension ratio.


Ressaltando novamente que a medida de deformao de engenharia uma grandeza

Lagrangiana. O mesmo raciocnio iniciado a partir da Eq.(3.60) levando-se tomando-se em

conta o referencial Euleriano resultaria na seguinte medida de deformao Euleriana:

( ) =0dx - dx

mdx

(3.68)

Alm de se alongar aps deformao, as fibras de um corpo tambm podem sofrer distoro.

Na Figura 6 so mostradas duas fibras na configurao inicial que formam um ngulo entre

elas. Aps deformao esse ngulo torna-se havendo, portando, distoro.

Figura 6 - ngulo inicial e final.

Para fibra dx' , pode-se tambm escrever:

0dx' = Adx ' (3.69)

onde 0dx ' a fibra correspondente na configurao de referncia. Seja m' e M' vetores

unitrios ao longo de dx' e 0dx ' respectivamente. Ento, os ngulos e so dados por:

( )Ta rccos = M M' (3.70)

( )Tarccos = m m' (3.71)


Sendo, da Eq.(3.62) e Eq.(3.65), ( )

=AMm

M e

( )=AM'm'

M', pode-se escrever a Eq.(3.71) na

forma:

( )( ) ( )

arccos =

TM A AM'M' Mg

(3.72)

O ngulo de distoro ou simplesmente distoro definido como sendo a diferena entre

e , ou seja:

= (3.73)

importante ressaltar que TA A , Tensor de Alongamento de Cauchy-Green, simtrico, positivo-definido e tem seis componentes independentes (OGDEN,1984). E qualquer medida de

deformao em funo dele considerada objetiva, isto , invariante relativo a rotaes e

translaes (YOJO, 1993; CAMPELLO et. al., 2003).

Neste trabalho, admite-se sempre 2 = , ou seja, a distoro o quanto reduziu o ngulo

reto, expresso em radianos. Para a representao completa das deformaes no espao

tridimensional, faz-se necessrio o emprego de seis componentes independentes de

deformao, que so trs longitudinais e trs de distoro. Essas componentes so calculadas

escolhendo trs vetores unitrios mutuamente ortogonais, isto , 1M , 2M e 3M , formando um

triedo ortogonal cartesiano. Empregando ento as frmulas anteriormente descritas para clculo

das deformaes, obtm-se:

( )TT 1 2 3 12 13 23, , , , , ,= (3.74)

ou na forma matricial:

11 12 13

21 22 23

31 32 33

=

(3.75)

sendo ij ji = .


, nas Eqs.(3.75) e (3.74), escrito na forma vetorial tensorial respectivamente (apesar de no s-lo), representa as seis componentes de deformao independentes calculadas segundo

referencial lagrangiano, ou seja, medidas de deformao de engenharia (CODA, 2003.c ; CODA

& GRECO, 2003; MACIEL & CODA, 2004).

3.5 Decomposio Polar

Neste item se descreve, para melhor entendimento geomtrico de como as deformaes

ocorrem no corpo, o teorema da decomposio polar.

Foi visto nos itens anteriores que o tensor gradiente de deformao A transforma a fibra dx0 em dx atravs da Eq.(3.16) e que essa transformao implica em alongamentos e rotaes dessa fibra. possvel, portanto, exprimir o tensor A como sendo o produto tensorial de um tensor de rotao e um tensor de alongamento. Dessa forma, o teorema da decomposio polar afirma

que para um tensor gradiente de deformao A existem os nicos tensores positivos-definidos U e V e um nico tensor ortogonal R, de forma que:

A = RU = VR (3.76)

Esse teorema demonstrado como se segue.

Das propriedades de Tensores de segunda ordem sabe-se que para um tensor positivo-definido

simtrico T, existe um tensor U positivo-definido e simtrico, tal que:

2U = T (3.77)

Dessa forma, sabendo-se da existncia da Eq.(3.76) pode-se escrever:

T T T 2A A = U R RU = U (3.78)

e tambm:

T T T 2AA = VRR V = V (3.79)


Como j dito antes, ATA e AAT so simtricos e positivos-definidos, e portanto, de acordo com a propriedade de tensores dada pela Eq.(3.77), conclui-se que U e V tambm os so.

Com a finalidade de se demonstrar a ortogonalidade de R, definem-se:

-1R = AU (3.80)

e

-1S = V A (3.81)

Empregando-se a Eq.(3.78), tem-se:

T -1 T -1 -1 -1R R = U A AU = U UUU = I (3.82)

Se demonstra, ento, que R ortogonal. De forma anloga se demonstra para S:

T -1 TSS = V AA V -1 = I (3.83)

A fim de se provar a unicidade de R e U, suponha-se que existem tambm outros tensores R e U com as mesmas propriedades tensoriais, de forma que:

A = RU = R'U' (3.84)

Sendo assim, pode-se escrever:

-1R = R'U'U (3.85)

e

-1 -1 TR = UU' R' (3.86)

Porm, sabendo-se que:

-1 T -1 TR = R = U U'R' (3.87)

Juntando-se a Eq.(3.86) com a Eq.(3.87), tem-se:

-1 -1UU' = U U' (3.88)

e, portanto:


2 2U = U' (3.89)

Novamente, de forma anloga, obtm-se tambm para o tensor V:

2 2V = V' (3.90)

Ambos tensores U e V so positivos-definidos, portanto se conclui que U = U' e V = V' .

Sendo agora,

RU = A = VS (3.91)

e sabendo que TSS = I , Eq.(3.91) fica:

( )TRU = A = S S VS (3.92)

onde S um novo tensor de rotao. Como j provado anteriormente, a decomposio nica,

portanto se conclui que S = R' = R , e:

TU = R VR (3.93)

e tambm:

TV = RUR (3.94)

O tensor R representa somente movimento de rotao (corpo rgido) na mudana de configurao do corpo, sendo assim, tem-se:

det det det= =A U V (3.95)

mostrado na Figura 7 um esquema de decomposio da mudana de configurao do corpo

de acordo com os tensores U, V e R definidos no teorema da decomposio polar.


Figura 7 Ilustrao esquemtica do teorema da decomposio polar.

Observando-se ainda a Figura 7 percebe-se que o tensor R somente rotaciona o corpo, enquanto que os demais, U e V, o alongam.

importante ressaltar que o tensor gradiente A representa uma rotao rgida se somente

U = V = I e uma deformao pura se somente R = I .

Ademais, pode-se escrever os tensores de deformao de Green e Almansi dados pela

Eq.(3.53) e Eq.(3.55) em funo dos tensores U e V, ou seja:

( )122E = U - I (3.96)

( )12= 2F I - V (3.97)

Fica claro, atravs das Eq.(3.96) e Eq.(3.97), que as deformaes do corpo no dependem do

tensor R, ou seja, so independentes de rotaes.

Pode-se escrever tambm a expresso do alongamento, Eq.(3.65), em funo do tensor U, ou seja:

( ) ( ) ( )1/ 2 1/ 2 = = = TM M A AM M UM UM (3.98)

Para que se tenham os alongamentos correspondentes posio principal de U, faz-se:


( ) ( )i ii= Uu u (3.99)

onde i=1,2,3 e i so os valores principais (alongamentos principais) de U nas direes

principais ( )iu .

Fazendo-se o produto de A por ( )iu e sabendo-se A pode ser expresso pela Eq.(3.76), obtm-se:

( ) ( ) ( )i i ii= = Au VRu Ru (3.100)

Da Eq.(3.100) se conclui, portanto, que i tambm so valores principais para o tensor V e que

uma fibra na posio principal i sofre alongamento i e rotao de acordo com o tensor R.

Ademais, sendo ( )iv a posio principal de V na Eq. (3.100), tem-se:

( ) ( )i i=VRu Vv (3.101)

ou seja, a posio principal de V sofre rotao atravs do tensor R a partir da posio principal de U.

Em termos de alongamentos principais, o jacobiano da transformao dado pela Eq.(3.18),

torna-se:

( ) 1 2 3J = det det det( )det( )= = = A RU R U (3.102)

Com base nessas definies sobre posies principais e alongamentos principais dos tensores

U e V, cabe-se aqui um reforo explicativo em relao interpretao geomtrica das deformaes j adiantas atravs da figura Figura 7. A Figura 8 mostra uma faixa retangular de

material no plano bidimensional com as fibras nas posies principais em destaque formando

uma elipse de deformao (elipside para o caso tridimensional). Ainda na Figura 8, so

mostrados os dois caminhos de deformao possveis, isto , atravs dos produtos tensoriais

RU e VR.


Figura 8 Decomposio Polar via posies principais.

importante notar que as fibras na posio principal no sofrem distoro, ou seja, o ngulo

reto entre elas se mantm aps deformao.

3.6 Anlise do movimento

No item 3.1 so definidas a velocidade e acelerao do corpo a partir da Eq.(3.2). Sendo assim

, as Eqs.(3.5) e (3.6) so aqui reescritas seguindo a notao:

velocidade:

( ) ( ), t f , t=0 0 0v x x& (3.103)

acelerao:

( ) ( ), t f , t=0 0 0a x x&& (3.104)


Apesar da velocidade e acelerao descritas pelas Eq.(3.103) e (3.104) respectivamente serem

valores devidos ao corpo na configurao atual, essas so medidas a partir de argumentos

lagrangianos, ou seja, em especificao langrangiana. Na especificao euleriana, pode-se

escrever a velocidade na forma ( ), tv x e sabendo que x pode ser dado pela Eq. (3.2), a velocidade dada pela Eq.(3.103) expressa ento, na forma:

( ) ( )0, t f , t , t = 0 0v x v x (3.105)

Nota-se que a velocidade que se mede a mesma, o que muda o argumento interno da

funo, ou seja, o referencial (CODA, 2003b).

Derivando-se em relao ao tempo (t) o tensor gradiente mudana de configurao na forma dada pela Eq.(3.10), escreve-se:

0i jik

ik 0k

f (x , t)AAt t x

= =

& (3.106)

Sabendo-se que x e t so variveis independentes, portanto a derivada dada pela Eq.(3.106) comutativa, ento se escreve:

( )0

i jikik 0 0

k k

f (x , t)AA v , tt x t x

= = =

x& (3.107)

Aplicando-se a regra da cadeia na Eq.(3.107), obtm-se:

jik iik 0

j k

xA vAt x x

= =

& (3.108)

em notao tensorial:

( )grad=A v A& (3.109)

Na Eq.(3.109) determinado o Tensor Gradiente de Velocidade. Define-se ento:

( )grad , t= v x (3.110)

Sendo assim, a Eq.(3.109), escreve-se:


=A A& (3.111)

Derivando-se em relao ao tempo a Eq.(3.25), tem-se:

( )t t

= =

TB A I 0 (3.112)

ou seja,

( )t t t

= + = + =

TT T T TB AB A A B B A B A 0& (3.113)

Sabendo-se que T TA = A e T TB A = A B& &, a Eq.(3.113), fica:

TB = - B& (3.114)

tambm,

T TB = -B & (3.115)

importante enfatizar que a derivada temporal de uma grandeza intrnseca ao referencial,

isto , langrangiano ou euleriano e que a relao entre uma derivada e outra no tocante aos

referencias dada por:

( ) ( ) ( )gradt t

= +

0x xv (3.116)

Tomando-se a derivada temporal na especificao lagrangiana do tensor de deformao de

Green, tem-se:

( )1t 2

= =

T TE E A A + A A& && (3.117)

Sanbendo que =A A& e T T TA = A & , Eq.(3.117) fica:

( )12

= =T T TE A + A A A& && (3.118)

onde,


( )12=T + (3.119)

A parte simtrica chamada de tensor taxa de deformao euleriano (OGDEN, 1984).

Derivando-se a Eq.(3.16) em relao ao tempo, tem-se:

( ) 0t

= = =

dx dx Adx dx&& (3.120)

que a taxa com que a fibra dx se deforma com o tempo.

de importncia, para o uso futuro, escrever-se a taxa de variao da deformao de

engenharia, na forma:

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

1/ 2

1/ 2t

= = = = =

TE E A AM M M UMM MM UM

&& &&& (3.121)

Na posio principal de U, a Eq. (3.121) se escreve:

11

1

22

2

33

3

E 0 0

E0 0

E0 0

=

&

&&

&

1 11 1

1

2 22 2

2

3 33 3

3

0 0

0 0

0 0

=

(3.122)

onde i = 1, 2, 3 so as direes principais do tensor U.

Nos prximos itens sero expostos os equacionamentos no tocante s leis de equilbrio,

determinao de tenses nos corpos, e equaes de campo em elasticidade no linear.


3.7 Conservao de massa

A massa de um corpo arbitrrio B definida como sendo uma funo escalar m tal que:

( )m 0B (3.123)

A massa diretamente proporcional ao volume do corpo, ou seja, se o seu volume tender a

zero, a massa tambm tender. Considera-se aqui neste trabalho a massa invarivel durante os

processos de mudana de forma corpo, sendo assim constante ao longo do tempo:

( )m 0t

=

B (3.124)

Outra hiptese da continuidade do corpo B. Portanto, define-se que para uma dada configurao de B, um campo escalar contnuo chamado de densidade do corpo, tal que:

( ) ( )m , t dV= B

B x (3.125)

onde,

( ), t 0 x x B

Como ( )m B no varia, ou seja, independente da configurao, pode-se escrever:

( ) ( )0

0 00, t dV dV =

B B

x x (3.126)

Utilizando-se a Eq.(3.36) em Eq.(3.126), obtm-se:

( ) ( )0 0

0 0 00, t JdV dV =

B B

x x (3.127)

Da Eq.(3.127), conclui-se que:

10J

= (3.128)

e que:


0det J 0= = >

A (3.129)

A Eq.(3.128) a forma local do princpio da conservao de massa (OGDEN, 1984). Ainda

sobre a Eq. (3.128), conclui-se que 0 = se somente se 0 0 = . Derivando-se em a Eq.(3.128)

em relao ao tempo na especificao lagrangiana, tem-se:

( )00

JJ J

t t

= = = +

&& & (3.130)

sendo 0 0 =& , tem-se:

JJ

=

&& (3.131)

tambm,

( ) ( )det J JJ Jtrt t

= = = =

A

A A A

&& (3.132)

logo, a Eq.(3.131), fica:

( ) ( )J tr divJ

= = =

v&&

(3.133)

ou seja,

( ) ( ), t div 0 = + =x v& (3.134)

onde div escrito com letra inicial minscula representa o divergente na configurao atual.

Enfatiza-se que a Eq.(3.134) a forma local da conservao de massa. Sendo assim, pode-se

a Eq. (3.134) na forma global ou integral, ou seja:

( ) ( )div dV , t dV 0t

+ = = B Bv x& (3.135)

importante ressaltar que B varia com o tempo, portanto se pode generalizar a Eq.(3.135), na forma:


B B

fdV fdVt

=

& (3.136)

onde f uma varivel arbitrria definida em B.

3.8 Balano de quantidade de movimento

A quantidade de movimento de translao (momento linear) do corpo na configurao atual B definida como:

( ) ( ), t v , t dVB

x x (3.137)

onde, segundo a Eq. (3.105), ( ) ( )0, t f , t , t = v x v x . Sendo assim, a Eq.(3.137) pode se escrita na forma Lagrangiana, ou seja:

( ) ( )( ) ( ) ( )0 0

0 00 0f , t , t dV , t dV = 0 0

B B

x v x x v x (3.138)

A quantidade de movimento angular (momento angular) do corpo em relao a um ponto x0 dado na configurao Euleriana :

( )( ) ( ), t , t dV 0B

x x x v x (3.139)

As foras de volume que agem no corpo quando na configurao atual so dadas pela

expresso:

( ) ( ), t , t dVB

x b x (3.140)

e as de superfcie:

( ), dSS

t x S (3.141)


onde a densidade de fora de volume b um vetor definido em B e t a densidade de fora de contato que depende somente da normal superfcie S. importante esclarecer que a superfcie S pode ser tanto no contorno, quanto no interior do corpo.

A fora resultante, portanto, dada por:

( ) ( ), t , t dVB

x b x + ( ), dsS

t x s (3.142)

e o momento resultante em relao ao ponto arbitrrio x0 dado por:

( ) ( ) ( ), t , t dV 0B

x x x b x + ( ) ( ), ds 0S

x x t x s (3.143)

O balano de quantidade de movimento dado pela primeira Lei de Newton, ou seja:

( ) ( ), t , t dVB

x b x + ( ), dsS

t x s = ( ) ( ), t , t dVB

x v x& (3.144)

O balano de momento angular dado por:

( ) ( ) ( ), t , t dV 0B

x x x b x + ( ) ( ), ds 0S

x x t x s = ( )( ) ( ), t , t dV 0B

x x x v x& (3.145)

onde a propriedade =v v 0 foi aplicada.

3.9 Tensor de Tenses de Cauchy

O postulado fundamental de Cauchy estabelece que a fora de superfcie t dependente apenas da normal superfcie em que esta atua. Dessa forma, pode-se escrever:

( ) ( ), ,=t x S t x n (3.146)

Portanto, uma conseqncia imediata que (terceira Lei de Newton):


( ) ( ), ,= t x -n t x n (3.147)

Diante disso, o teorema de Cauchy assim enunciado: Se t(x,n) contnuo in x ento o mesmo depende linearmente do vetor normal n e existe portanto um tensor de segunda ordem T independente de n, de forma que:

( ) ( ), =t x n T x n , x B (3.148)

O tensor T chamado de Tensor de tenses de Cauchy. Tambm chamado de Tensor Real de Cauchy. A prova desse teorema pode ser encontra em OGDEN(1984).

A Eq.(3.148) na forma indicial fica:

( ) ( )i ij jt , T n=x n x (3.149)

e,

( ) ( )i i j jt , t , e n=x n x (3.150)

Para i=j, se diz que a tenso dita normal, do contrrio, ou seja, ij, a tenso denominada de

cisalhamento. Na Figura 9 mostrada a representao do Tensor de Tenses de Cauchy

atravs de suas componentes. Lembrando que o primeiro ndice indentifica a direo da tenso

com relao ao triedo unitrio ei e o segundo ndice a superfcie perpendicular com relao ao

mesmo triedo.

Figura 9 Representao do Tensor Real de Cauchy atravs de suas componentes.


A tenso de Cauchy o esforo pontual na configurao atual, portanto chamada de tenso

real, diferente da tenso nominal, que determinada levando-se em conta a configurao

inicial, ou forma inicial do corpo como ser visto no item 3.11. Tambm, existe uma relao

entre as duas tenses, que ser descrita no item 3.14.

3.10 Leis do Movimento de Cauchy

Diante da relao expressa pela Eq.(3.148), o balano de momento linear dada pela Eq.(3.144)

agora escrita na forma:

( ) ( ), t , t dVB

x b x + ( )t dsS

T x, n = ( ) ( ), t , t dVB

x v x& (3.151)

Aplicando-se o teorema da divergncia na Eq.(3.151), tem-se:

( ) ( ), t , t dVB

x b x + ( )div t dV TB

T x, - ( ) ( ), t , t dV =B

x v x 0& (3.152)

Na forma local, portanto, pode-se escrever a Eq.(3.152):

div + = TT b v& (3.153)

A Eq.(3.153) chamada de Primeira Lei do Movimento de Cauchy. Na forma indicial, escreve-

se:

jii i

j

Tb v

x

+ =

& (3.154)

Substituindo-se a Eq.(3.153) na equao de balano de momento angular, Eq.(3.145), conclui-

se que:

= TT T (3.155)

que a Segunda Lei do Movimento de Cauchy. Na forma indicial, tambm se escreve:


ij jiT = T (3.156)

Reunindo-se, portanto, a Eq. (3.134) (equao de conservao de massa) com as equaes

das Leis do Movimento de Cauchy, isto , Eqs. (3.153) e (3.155), tem-se as equaes

Eulerianas de campo.

3.11 Tensor de Tenses Nominal

A fora resultante determinada a partir da configurao atual ao longo de uma superfcie s

dada pela seguinte integral:

ds= s

F Tn (3.157)

Empregando-se a frmula de Nanson, Eq.(3.48), pode-se escrever para a configurao

Lagrangiana:

0

0

s

ds J ds= s

Tn TBN (3.158)

onde,

J J= =T TS TB S B T (3.159)

que denominado de Tensor de Tenses de Piola-Kirchhoff de primeira espcie. Assim, a

Eq.(3.158), torna-se:

0

0

s

ds ds= Ts

Tn S N (3.160)

O tensor S de segunda ordem e, portanto denominado de Tensor de Tenses Nominal. Ainda, a partir da Eq.(3.159), pode-se escrever:

J=

AST (3.161)


Define-se tambm, o tensor simtrico denominado de Tensor de Tenses de Piola-Kirchhoff de

segunda espcie, na forma:

=T TP = SB = JB TB B TB (3.162)

sendo o tensor J=T T denominado de Tensor de Tenses de Kirchhoff.

Dessa forma, o Tensor de Cauchy, pode ser reescrito como:

1J

= TT A PA (3.163)

Cabe esclarecer que o tensor S no tem significado fsico e nem necessariamente simtrico.

Porm, quando o corpo se deforma tal que os deslocamentos sejam pequenos, ou seja, no

regime linear, tem-se J 1 e conseqentemente A I . Sendo assim, pode-se admitir por simplicidade T = S = P (MASE,1999).

baseada nesse raciocnio, ou seja, que os deslocamentos so pequenos, que a elasticidade

linear se utiliza por simplicidade das equaes de campo Eulerianas descritas no seguinte item,

sem incorrer em grandes distores da realidade relativa ao problema analisado.

No prximo item so expostas as equaes de campo langrangianas.

3.12 Equaes Lagrangianas de campo

A equao de momento linear, Eq.(3.151), pode ser escrita em relao configurao

Lagrangiana, ento:

( ) ( )0

0 0 00 , t dV

B

x b x + ( )0

T 0 0S t dsB

x , N ( ) ( )0

0 0 00 , t dV=

B

x x x&& (3.164)

Aplicando-se o teorema da divergncia sobre o segundo termo da Eq.(3.164), resulta em:


[ ]0

00 0Div dV+ = 0

B

S b x 0&& (3.165)

e, na forma local,

0 0Div + =0S b x 0&& (3.166)

A Eq.(3.166) denominada de Equao do Movimento Lagrangiana.

O balano de momento angular resulta em:

T TAS = S A ou T TSB = B S (3.167)

E a equao da conservao de massa, fica:

( ) 0Det J = =

A (3.168)

Com isso, estabelece-se o conjunto de equao campo na forma lagrangiana.

As equaes descritas no presente item, ou seja, as dadas pelas Eqs. (3.166), (3.167) e (3.168)

so amplamente empregadas na formulao de elementos finitos em mecnica dos slidos, ao

passo que as equaes Eulerianas de campo so comumente aplicadas em mecnica dos

fluidos.

3.13 Balano de Energia

Tomando-se o produto escalar da Eq.(3.154) e levando-se em conta a segunda lei do

movimento de Cauchy, tem-se:

iji i i i

j

Tv b v v

x

+ = & (3.169)

e, sabendo que:


( )ij i ij i ij ijj j

Tv T v T

x x

=

(3.170)

onde iijj

vx

=

.

Com base na Eq.(3.170), pode-se escrever ento a Eq.(3.169) na forma:

( )i ijij ij i i i i

j

v TT v b v v

x

+ =

& (3.171)

Na forma global, a Eq.(3.171) fica:

( )i iji i ij ij i i

jB B B B

v TdV v b dV T dV v v dV

x

+ = + & (3.172)

sendo:

( )i ijij i j i i

jB S S

v TdV T v n ds t v ds

x

= = (3.173)

tem-se, ento novamente a Eq.(3.172):

i i i i ij ij i iS B B B

t v dS v b dV T dV v v dV+ = + & (3.174)

Sendo tambm:

( )i i i i1 dv v v v2 dt

=& (3.175)

pode-se escrever:

( )i i i iB B

1 dv v dV v v dV2 dt

= & (3.176)

Levando-se em conta a propriedade dada pela Eq.(3.136), pode-se escrever a Eq.(3.176) na

forma:


( )i i i iB B

dv v dV v v dVdt

= & (3.177)

Portanto, a Eq.(3.174) se torna:

i i i i ij ij i iB S B B

d 1v b dV t v dS T dV v v dVdt 2

+ = + (3.178)

e na notao simblica, escreve-se:

( )B S B B

d 1dV dS tr dV dVdt 2

+ = + bv tv T vv (3.179)

onde, devido simetria de T, tem-se:

( ) ( )tr tr=T T (3.180)

A Eq.(3.179) chamada de Equao do Balano de Energia Mecnica. Seus termos so

denominados como se segue:

B

dV bv Taxa do trabalho das foras aplicadas no corpo;

S

dS tv Taxa do trabalho das foras de superfcie;

( )B

tr dV T Taxa do trabalho das tenses no corpo, ou potncia de tenso;

B

d 1 dVdt 2

vv Taxa de variao da energia cintica do corpo.

Na

daniel nelson maciel análise de problemas elásticos não

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