análise dinâmica de sólidos elásticos pelo método dos elementos finitos

Anlise dinmica de slidos elsticos pelo mtodo dos

elementos finitos

Vtor Hugo Amaral Carreiro

Dissertao para obteno do Grau de Mestre em

Engenharia Civil

Jri

Presidente: Doutor Pedro Guilherme Sampaio Viola Parreira

Orientador: Doutor Fernando Manuel Fernandes Simes

Vogal: Doutor Antnio Manuel Figueiredo Pinto da Costa

Junho de 2009

i

Agradecimentos

Em primeiro lugar, quero manifestar o meu profundo agradecimento ao Professor Fernando

Simes, meu orientador cientfico, pelo seu total apoio, amizade, motivao e disponibilidade

demonstrada ao longo do trabalho. Agradeo tambm todos os conhecimentos que me

transmitiu, que foram, sem dvida, extremamente importantes para a realizao deste trabalho

e para o meu enriquecimento pessoal.

Agradeo ao meu irmo Henrique, pela sua preciosa ajuda, principalmente na resoluo de

alguns problemas informticos inesperados. Os seus conhecimentos em Engenharia

Informtica foram-me muito teis.

minha namorada Mafalda devo-lhe um agradecimento muito especial, pelo incondicional

apoio, pacincia e fora transmitida ao longo de todo o trabalho. Foi sempre a minha fora nos

momentos mais pessimistas.

Esta dissertao dedicada aos meus pais, por tudo o que tm feito por mim durante toda a

minha vida. Devo a eles tudo o que sou hoje. Obrigado.

iii

Resumo

O mtodo dos elementos finitos (m.e.f.) um mtodo numrico que permite obter

aproximaes de dimenso finita para problemas de valor de fronteira, sendo hoje em dia uma

ferramenta muito til na anlise de muitos problemas lineares ou no lineares em mecnica

dos meios contnuos.

Esta dissertao tem como objectivo fundamental o desenvolvimento de um programa de

elementos finitos, em linguagem Fortran, que permita analisar problemas planos dinmicos

com deformao infinitesimal, envolvendo slidos elsticos lineares, e em que a integrao das

equaes da dinmica possa ser efectuada por mtodos explcitos ou implcitos.

Os dois programas de elementos finitos concebidos (um utilizando a integrao implcita e

outro a integrao explcita) so aplicados posteriormente na anlise dinmica de trs

estruturas, com carregamentos e condies de fronteira diferentes. O primeiro desses

exemplos (slido) utilizado para validar os programas desenvolvidos, comparando os

resultados obtidos nesse exemplo com os resultados obtidos com o programa comercial

Abaqus. Nos outros dois exemplos mais complexos (viga em consola e viga bi-encastrada)

comparam-se as solues obtidas com os dois diferentes tipos de integrao numrica no

tempo e com malhas de 4 ns e de 8 ns e discutem-se os resultados obtidos.

Enquanto que na regra de integrao explcita o incremento de tempo est limitado por razes

de estabilidade, na regra de integrao implcita este s est limitado por razes de preciso. A

utilizao do mesmo incremento de tempo nos dois casos conduz, em geral, a uma melhor

aproximao dos resultados obtidos com a regra de integrao implcita, custa de um

aumento do tempo de clculo. A considerao de uma regra de integrao implcita permite

ainda, atravs da introduo de amortecimento numrico, reduzir a influncia dos modos de

energia mais elevada nos resultados.

Os programas desenvolvidos podero servir como ponto de partida para futuros

desenvolvimentos de outros programas.

Palavras-Chave: Mtodo dos elementos finitos, Integrao explcita, Integrao implcita,

Anlise dinmica, Slidos elsticos lineares.

v

Abstract

The finite element method (FEM) is a numerical method that allows the attainment of finite

dimension approximations for boundary value problems and is now a highly useful tool in the

analysis of many linear or non linear problems in continuum mechanics.

The core objective of this dissertation is the development of a finite element program in the

Fortran programming language for the dynamic analysis of plane linear elastic solids

experiencing infinitesimal strains and where the integration of the dynamic equations may be

carried out by explicit or implicit methods.

The two finite element programs (one with recourse to implicit integration and the other with

explicit integration) are applied in the dynamic analysis of three structures with different loads

and boundary conditions. The first such example (solid), where the results obtained are

compared with results generated by the Abaqus commercial program, serves to validate the

written program. In the other two more complex examples (cantiliver beam and doubly-clamped

beam), the solutions obtained with two different types of numerical time integration and two

different meshes are compared and discussed.

While the rule for explicit integration is that the time increment is limited for reasons of stability,

the rule for implicit integration is that the time increment is limited only for reasons of precision.

The utilisation of the same time increment in the two cases generally leads to a better

approximation of the results obtained with the implicit integration rule at the cost of an increased

time of calculation. Incorporating an implicit integration rule further enables, through the

introduction of numerical damping, a reduction of the influence of the higher energy mode levels

on the results.

The programs developed may serve as the basis for future software applications.

Keywords: Finite element method, Explicit integration, Implicit integration, Dynamic analysis,

Linear elastic solids.

vii

ndice geral

1. Introduo .............................................................................................................................. 1

1.1 Enquadramento Geral ................................................................................................... 1

1.2 Objectivos ...................................................................................................................... 1

1.3 Estrutura da Dissertao ............................................................................................... 2

2. O Problema da elasticidade plana linear............................................................................... 3

2.1 Introduo ...................................................................................................................... 3

2.2 Formulao Forte .......................................................................................................... 4

2.3 Formulao fraca ou variacional ................................................................................... 6

2.4 Elasticidade Plana (2D) ................................................................................................. 7

2.5 Aproximao por elementos finitos ............................................................................... 9

2.6 Integrao no tempo das equaes da dinmica ....................................................... 13

2.6.1 Integrao explcita ............................................................................................. 13

2.6.2 Integrao implcita ............................................................................................. 15

3. Elementos finitos isoparamtricos ....................................................................................... 18

3.1 Introduo .................................................................................................................... 18

3.2 Os elementos quadrilteros bilinear (4 ns) e quadrtico (8 ns) .............................. 18

3.3 Clculos relativos aos elementos bidimensionais ....................................................... 21

3.4 Integrao numrica Quadratura de Gauss ............................................................. 24

4. Aplicao do mtodo dos elementos finitos ........................................................................ 26

4.1 Introduo .................................................................................................................... 26

4.2 Exemplo 1: Slido........................................................................................................ 26

viii

4.2.1 Elementos de 4 ns ............................................................................................. 28

4.2.2 Elementos de 8 ns ............................................................................................. 34

4.2.3 Comparao entre elementos de 4 e 8 ns ........................................................ 37

4.2.4 Comparao entre o caso dinmico e o caso esttico ....................................... 41

4.3 Exemplo 2: Viga em consola ....................................................................................... 44

4.3.1 Elementos de 4 ns ............................................................................................. 45

4.3.2 Elementos de 8 ns ............................................................................................. 52


4.4 Exemplo 3: Viga bi-encastrada ................................................................................... 59

4.4.1 Elementos de 4 ns ............................................................................................. 60

4.4.2 Elementos de 8 ns ............................................................................................. 68


5. Concluses e sugestes para desenvolvimentos futuros ................................................... 77

6. Bibliografia ........................................................................................................................... 79

ANEXOS ...................................................................................................................................... 81

Anexo 1 Malha da viga em consola com elementos de 4 ns ............................................ A-1

Anexo 2 Malha da viga em consola com elementos de 8 ns ............................................ A-5

Anexo 3 Malha da viga bi-encastrada com elementos de 4 ns ........................................ A-9

Anexo 4 Malha da viga bi-encastrada com elementos de 8 ns ...................................... A-13

Anexo 5 Modos de vibrao dados pelo Abaqus .............................................................. A-17

Viga em consola com elementos de 4 ns ...................................................................... A-19

Viga bi-encastrada com elementos de 4 ns ................................................................... A-21

ix

Anexo 6 Frequncias de vibrao dadas pelo Abaqus ..................................................... A-23





Anexo 7 Tempo de clculo de cada exemplo ................................................................... A-29

xi

ndice de figuras

Figura 1 - Corpo elstico linear na sua configurao indeformada .............................................. 3

Figura 2 - Malha de elementos finitos ........................................................................................... 9

Figura 3 - Elemento Quadriltero de 4 ns esquerda e elemento mestre direita ... 19 Figura 4 - Elemento mestre de 8 ns ................................................................................... 20 Figura 5 - Slido .......................................................................................................................... 27

Figura 6 - Intensidade da carga ao longo do tempo ................................................................ 27 Figura 7 - Malha do slido com elementos de 4 ns .................................................................. 28

Figura 8 - Integrao Explcita / Abaqus Deslocamento vertical ............................................. 29

Figura 9 - Integrao Implcita ( 0) / Abaqus Deslocamento vertical ................................ 29 Figura 10 - Integrao Implcita ( 0,05) / Abaqus Deslocamento vertical ...................... 30 Figura 11 - Integrao Implcita ( 1/3) / Abaqus Deslocamento vertical ....................... 30 Figura 12 - Integrao Explcita / Abaqus Tenso vertical ...................................................... 31

Figura 13 - Integrao Implcita ( 0) / Abaqus Tenso vertical ......................................... 32 Figura 14 - Integrao Implcita ( 0,05) / Abaqus Tenso vertical ................................. 32 Figura 15 - Integrao Implcita 1/3) / Abaqus Tenso vertical .................................. 33 Figura 16 - Malha do slido com elementos de 8 ns ................................................................ 34

Figura 17 - Integrao Explcita / Abaqus Deslocamento vertical ........................................... 35

Figura 18 - Integrao Implcita ( 1/3) / Abaqus Deslocamento vertical ....................... 35 Figura 19 - Integrao Explcita / Abaqus Tenso vertical ...................................................... 36

xii

Figura 20 - Integrao Implcita ( 1/3) / Abaqus Tenso vertical .................................. 36 Figura 21 - Integrao Explcita em elementos de 4 e 8 ns Deslocamento vertical .............. 37

Figura 22 - Integrao Implcita ( 1/3) em elementos de 4 e 8 ns Deslocamento vertical ......................................................................................................................................... 38

Figura 23 - Integrao Explcita em elementos de 4 e 8 ns Tenso vertical ......................... 38

Figura 24 - Integrao Implcita ( 1/3) em elementos de 4 e 8 ns Tenso vertical ..... 39 Figura 25 - Deformada do slido com elementos de 4 ns ........................................................ 40

Figura 26 - Deformada do slido com elementos de 8 ns ........................................................ 40

Figura 27 - Intensidade da carga ao longo do intervalo de tempo [0 0,002s] Casos 1 e 241 Figura 28 - Intensidade da carga ao longo do intervalo de tempo [0 0,5s] Caso 3 ........... 42 Figura 29 - Caso dinmico/Caso esttico [0 0,002s] ............................................................ 42

Figura 30 - Caso dinmico/Caso esttico [0 0,5s] ................................................................ 43

Figura 31 - Viga em consola ....................................................................................................... 44

Figura 32 - Integrao Explcita/Integrao Implcita ( 0) Deslocamento horizontal no intervalo [0 0,02s] ..................................................................................................................... 45

Figura 33 - Integrao Explcita/Integrao Implcita ( 1/3) Deslocamento horizontal no intervalo [0 0,02s] ..................................................................................................................... 46

Figura 34 - Integrao Explcita/Integrao Implcita ( 0) Deslocamento horizontal no intervalo [1 1,02s] ..................................................................................................................... 46

Figura 35 - Integrao Explcita/Integrao Implcita ( 1/3) Deslocamento horizontal no intervalo [1 1,02s] ..................................................................................................................... 47

xiii

Figura 36 - Integrao Explcita/Integrao Implcita ( 0) Deslocamento horizontal no intervalo [10 10,02s] ................................................................................................................. 47

Figura 37 - Integrao Explcita/Integrao Implcita ( 1/3) Deslocamento horizontal no intervalo [10 10,02s] ................................................................................................................. 48

Figura 38 - Diagrama de tenses no intervalo [0 0,02s] Integrao Explcita (T1 =

0,0000875s ; T5 = 0,0004375s ; T9 = 0,0007875s ; T13 = 0,0011375s ; T17 = 0,0014875s) ... 49

Figura 39 - Diagrama de tenses no intervalo [0 0,02s] Integrao Implcita ( 1/3) (T1 = 0,0000875s ; T5 = 0,0004375s ; T9 = 0,0007875s ; T13 = 0,0011375s ; T17 = 0,0014875s) 49


1,0000365s ; T5 = 1,0003865s ; T9 = 1,0007365s ; T13 = 1,0010865s ; T17 = 1,0014365s) ... 50



10,0000150s ; T5 = 10,0003650s ; T9 = 10,0007150s ; T13 = 10,0010650s ; T17 =

10,0014150s)............................................................................................................................... 51

Figura 43 - Diagrama de tenses no intervalo [10 10,02s] Integrao Implcita ( 1/3) (T1 = 10,0000150s ; T5 = 10,0003650s ; T9 = 10,0007150s ; T13 = 10,0010650s ; T17 =

10,0014150s)............................................................................................................................... 51


0,0000875s ; T5 = 0,0004375s ; T9 = 0,0007875s ; T13 = 0,0011375s ; T17 = 0,0014875s) ... 53



1,0000369s ; T5 = 1,0003869s ; T9 = 1,0007369s ; T13 = 1,0010869s ; T17 = 1,0014369s) ... 54

xiv


Figura 48 - Integrao Explcita em elementos de 4 e 8 ns Deslocamento horizontal no

intervalo [0 0,02s] ..................................................................................................................... 55

Figura 49 - Integrao Implcita ( 1/3) em elementos de 4 e 8 ns Deslocamento horizontal no intervalo [0 0,02s] ............................................................................................... 56

Figura 50 - Integrao Explcita em elementos de 4 e 8 ns Deslocamento horizontal no

intervalo [1 1,02s] ..................................................................................................................... 56

Figura 51 - Integrao Implcita ( 1/3) em elementos de 4 e 8 ns Deslocamento horizontal no intervalo [1 1,02s] ............................................................................................... 57

Figura 52 - Deformada da viga em consola com elementos de 4 ns ........................................ 58

Figura 53 - Deformada da viga em consola com elementos de 8 ns ........................................ 58

Figura 54 - Viga bi-encastrada .................................................................................................... 59

Figura 55 - Intensidade da carga ao longo do tempo ............................................................. 59 Figura 56 - Integrao Explcita/Integrao Implcita ( 0) Deslocamento vertical durante o carregamento [0 0,1s] .............................................................................................................. 61

Figura 57 - Integrao Explcita/Integrao Implcita ( 1/3) Deslocamento vertical durante o carregamento [0 0,1s] .............................................................................................. 61

Figura 58 - Integrao Explcita/Integrao Implcita ( 0) Deslocamento vertical aps o carregamento [0,1 0,24s] ......................................................................................................... 62

Figura 59 - Integrao Explcita/Integrao Implcita ( 1/3) Deslocamento vertical aps o carregamento [0,1 0,24s] ...................................................................................................... 62

Figura 60 - Integrao Explcita/Integrao Implcita ( 0) Deslocamento vertical aps o carregamento [10 10,14s] ........................................................................................................ 63

xv

Figura 61 - Integrao Explcita/Integrao Implcita ( 1/3) Deslocamento vertical aps o carregamento [10 10,14s] ..................................................................................................... 63

Figura 62 - Diagrama de tenses durante o carregamento [0 0,1s] Integrao Explcita (T4 =

0,0018200s ; T9 = 0,0040950s ; T14 = 0,0063700s ; T19 = 0,0086450s ; T24 = 0,0109200s) . 64

Figura 63 - Diagrama de tenses durante o carregamento [0 0,1s] Integrao Implcita

( 1/3) (T4 = 0,0018200s ; T9 = 0,0040950s ; T14 = 0,0063700s ; T19 = 0,0086450s ; T24 = 0,0109200s) ............................................................................................................................. 65

Figura 64 - Diagrama de tenses aps o carregamento [0,1 0,24s] Integrao Explcita (T4

= 0,1014649s ; T9 = 0,1037399s ; T14 = 0,1060149s ; T19 = 0,1082899s ; T24 = 0,1105649s)

..................................................................................................................................................... 65

Figura 65 - Diagrama de tenses aps o carregamento [0,1 0,24s] Integrao Implcita

( 1/3) (T4 = 0,1014649s ; T9 = 0,1037399s ; T14 = 0,1060149s ; T19 = 0,1082899s ; T24 = 0,1105649s) ............................................................................................................................. 66

Figura 66 - Diagrama de tenses aps o carregamento [10 10,14s] Integrao Explcita (T4

= 10,0013476s ; T9 = 10,0036226s ; T14 = 10,0058976s ; T19 = 10,0081726s ; T24 =

10,0104476s)............................................................................................................................... 66

Figura 67 - Diagrama de tenses aps o carregamento [10 10,14s] Integrao Implcita

( 1/3) (T4 = 10,0013476s ; T9 = 10,0036226s ; T14 = 10,0058976s ; T19 = 10,0081726s ; T24 = 10,0104476s) .................................................................................................................... 67

Figura 68 - Diagrama de tenses durante o carregamento [0 0,1s] Integrao Explcita (T4 =

0,0018200s ; T9 = 0,0040950s ; T14 = 0,0063700s ; T19 = 0,0086450s ; T24 = 0,0109200s) . 68

Figura 69 - Diagrama de tenses durante o carregamento [0 0,1s] Integrao Implcita

( 1/3) (T4 = 0,0018200s ; T9 = 0,0040950s ; T14 = 0,0063700s ; T19 = 0,0086450s ; T24 = 0,0109200s) ............................................................................................................................. 69

xvi

Figura 70 - Diagrama de tenses aps o carregamento [0,1 0,24s] Integrao Explcita (T4

= 0,1014650s ; T9 = 0,1037400s ; T14 = 0,1060150s ; T19 = 0,1082900s ; T24 = 0,1105650s)

..................................................................................................................................................... 69

Figura 71 - Diagrama de tenses aps o carregamento [0,1 0,24s] Integrao Implcita

( 1/3) (T4 = 0,1014650s ; T9 = 0,1037400s ; T14 = 0,1060150s ; T19 = 0,1082900s ; T24 = 0,1105650s) ............................................................................................................................. 70

Figura 72 - Diagrama de tenses aps o carregamento [10 10,14s] Integrao Explcita (T4

= 10,0013562s ; T9 = 10,0036312s ; T14 = 10,0059062s ; T19 = 10,0081812s ; T24 =

10,0104562s)............................................................................................................................... 70

Figura 73 - Diagrama de tenses aps o carregamento [10 10,14s] Integrao Implcita

( 1/3) (T4 = 10,0013562s ; T9 = 10,0036312s ; T14 = 10,0059062s ; T19 = 10,0081812s ; T24 = 10,0104562s) .................................................................................................................. 71

Figura 74 - Integrao Explcita em elementos de 4 e 8 ns Deslocamento vertical durante o

carregamento [0 0,1s] .............................................................................................................. 72

Figura 75 - Integrao Implcita ( 1/3) em elementos de 4 e 8 ns Deslocamento vertical durante o carregamento [0 0,1s] .................................................................................. 72

Figura 76 - Integrao Explcita em elementos de 4 e 8 ns Deslocamento vertical aps o

carregamento [0,1 0,24s] ......................................................................................................... 73

Figura 77 - Integrao Implcita ( 1/3) em elementos de 4 e 8 ns Deslocamento vertical aps o carregamento [0,1 0,24s] ................................................................................. 73

Figura 78 - Integrao Explcita em elementos de 4 e 8 ns Deslocamento vertical aps o

carregamento [10 10,14s] ........................................................................................................ 74

Figura 79 - Integrao Implcita ( 1/3) em elementos de 4 e 8 ns Deslocamento vertical aps o carregamento [10 10,14s] ................................................................................ 74

Figura 80 - Deformada da viga bi-encastrada com elementos de 4 ns .................................... 75

xvii

Figura 81 - Deformada da viga bi-encastrada com elementos de 8 ns .................................... 76

ndice de tabelas

Tabela 1 - Algoritmo do mtodo .............................................................................................. 17 Tabela 2 - Coordenadas e pesos para regras integrao de Gauss .......................................... 25

Tabela 3 - Propriedades do slido .............................................................................................. 28

Tabela 4 - Propriedades da viga em consola .............................................................................. 44

Tabela 5 - Propriedades da viga bi-encastrada .......................................................................... 60

xix

Abreviaturas

m.e.f - Mtodo dos elementos finitos

E.P.T. - Estado plano de tenso

E.P.D. - Estado plano de deformao

P.T.V. - Princpio dos trabalhos virtuais

P.G. - Pontos de Gauss

Simbologia

- Domnio ocupado por um corpo - Foras de massa distribudas no interior de um corpo por unidade de volume - Superfcie do corpo - Deslocamentos prescritos em parte da superfcie do corpo (= 0) - Foras por unidade de superfcie de um corpo - Vector de deslocamento (m) - Vector de velocidade (m/s) - Vector de acelerao (m/s2) - Vector dos deslocamentos nodais (m) - Vector das velocidades nodais (m/s) - Vector das aceleraes nodais (m/s2) - Vector dos deslocamentos virtuais nodais cinematicamente admissveis - Tempo (s) - Massa especfica (Kg/m3) - Tensor das tenses ! - Tensor das deformaes

xx

" - Vector de componentes de tenso (Pa) # - Vector de componentes de deformao $ - Mdulo de elasticidade (Pa) % - Coeficiente de Poisson & - Vector da funo de teste (deslocamentos virtuais) - Elemento finito (e) ' - Matriz das funes de forma ( - Nmero total de ns num elemento (e) ) - Matriz de operadores diferenciais * - Matriz dos coeficientes elsticos + - Matriz de deformao , - Vector das foras exteriores - - Vector das foras interiores (- .) . - Matriz de rigidez / - Matriz de massas 0 - Constante de proporcionalidade 12 - Nmero total de elementos finitos utilizados na discretizao de um slido - Incremento de tempo 4 - Frequncia , 5, 6 - Parmetros que controlam a preciso e a estabilidade do mtodo 7, 8 - Constantes de Lam 9 - Fora residual . - Matriz de rigidez efectiva : - Pesos associados a um ponto de Gauss

xxi

1 - Ordem da regra de quadratura de Gauss - Elemento mestre ;, < - Coordenadas naturais do elemento mestre = - Smbolo de Kronecker > - Matriz jacobiana de transformao - Carga uniformemente distribuda - Carga pontual

1

1. Introduo

1.1 Enquadramento Geral

Quase todos os fenmenos na natureza podem ser descritos, com a ajuda das leis da Fsica,

por equaes algbricas, diferenciais ou integrais que relacionam entre si diversas quantidades

importantes para os problemas em causa. A obteno das equaes que regem esses

fenmenos constitui, por um lado, um grande desafio. Por outro lado, a sua resoluo atravs

de mtodos exactos poder tornar-se difcil seno mesmo impossvel. Isto acontece em

problemas da mecnica dos meios contnuos quando, por exemplo, os dados do problema

(geometria do domnio, propriedades dos materiais, condies de fronteira, carregamento, etc.)

so muito irregulares. Nestes casos h que recorrer a mtodos aproximados de anlise,

nomeadamente a mtodos numricos.

O mtodo dos elementos finitos (m.e.f.) um dos mtodos que permite obter aproximaes de

dimenso finita para problemas de valores de fronteira. Um problema de valores de fronteira

consiste na determinao de uma ou mais funes incgnitas, chamadas variveis

dependentes, que satisfazem um dado conjunto de equaes diferenciais no interior dum dado

domnio ou regio e que tomam elas prprias, e possivelmente as suas derivadas, valores

conhecidos na fronteira desse domnio [1,2].

O m.e.f. teve um grande desenvolvimento nas ltimas dcadas e hoje uma ferramenta muito

til na anlise de muitos problemas lineares ou no lineares em mecnica dos meios contnuos

[1,2].

1.2 Objectivos

A presente dissertao tem como objectivo fundamental o desenvolvimento de um programa

de elementos finitos, em linguagem Fortran [3,4], que permita analisar problemas planos

dinmicos com deformao infinitesimal, envolvendo slidos elsticos lineares, e em que a

integrao das equaes da dinmica possa ser efectuada por mtodos explcitos ou

implcitos.

Desenvolveram-se assim dois programas de clculo distintos, um em que as equaes da

dinmica so integradas explicitamente e outro em que so integradas implicitamente. Ambos

so aplicados neste trabalho anlise de problemas em Engenharia Civil.

Os programas desenvolvidos destinam-se a ser utilizados pelos investigadores do ncleo 2

Mecnica, Modelao e Anlise de Estruturas do Instituto de Engenharia de Estruturas,

2

Territrio e Construo (ICIST), que umas das unidades de investigao do Instituto Superior

Tcnico, quer em anlises dinmicas lineares quer como ponto de partida para o

desenvolvimento de outros programas de clculo destinados a resolver problemas dinmicos

que envolvam, por exemplo, materiais com leis de comportamento mais complexos.

1.3 Estrutura da Dissertao

Este trabalho encontra-se dividido em 4 captulos principais.

O 2 captulo descreve os conceitos tericos fundamentais que esto na base do m.e.f..

Apresentam-se todos os passos necessrios para se chegar s equaes de equilbrio

dinmico global de um corpo elstico e descrevem-se os dois esquemas de integrao no

tempo das equaes da dinmica: a integrao explcita e a integrao implcita.

No 3 captulo faz-se referncia ao conceito de elementos finitos isoparamtricos e descrevem-

se os clculos relativos a elementos bidimensionais.

No 4 captulo aplicam-se os programas de elementos finitos na anlise dinmica de trs

estruturas, com carregamentos e condies de fronteira diferentes. O primeiro desses

exemplos utilizado para validar os programas de elementos finitos desenvolvidos. Os

resultados obtidos nesse exemplo so comparados com os resultados obtidos com o programa

comercial Abaqus.

Nos restantes dois exemplos comparam-se as solues obtidas com os dois diferentes tipos de

integrao numrica no tempo e com malhas de 4 ns e de 8 ns e discutem-se os resultados.

No 5 captulo apresentam-se as concluses finais resultantes da realizao do presente

trabalho. Destaca-se tambm a importncia que os programas desenvolvidos podero ter em

trabalhos futuros.

3

2. O Problema da elasticidade plana linear

2.1 Introduo

O mtodo dos elementos finitos aplica-se mais popularmente na anlise de tenses e

deformaes em estruturas elsticas lineares na hiptese dos pequenos deslocamentos

(elasticidade infinitesimal).

O problema de valores iniciais e na fronteira que se pretende considerar consiste na

determinao dos deslocamentos, deformaes e tenses no domnio ocupado por um corpo elstico linear na sua configurao indeformada ao longo do tempo ? @0, AB. O corpo tem massa volmica e est sujeito a um campo de foras de massa distribudas no seu interior (), impondo-se deslocamentos nulos na parte da superfcie do corpo C, e conhecendo-se as foras por unidade de superfcie () aplicadas na parte restante D (Figura 1) [5].

C E D C F D G

Figura 1 - Corpo elstico linear na sua configurao indeformada

Xj

n

u

t j

tj

y

x

4

2.2 Formulao Forte

Para determinar as incgnitas referidas anteriormente utilizam-se as seguintes equaes:

- Equilbrio Dinmico em H I @0, AB: , J K L J (2.1)

- Relao cinemtica linear em H I @0, AB: ! 12 , J , (2.2)

- Relaes constitutivas elsticas lineares (tenso - deformao) em H I @0, AB: $ NO !NO . (2.3)

As condies de fronteira a considerar so:

0 20 HC I @0, AB (condies essenciais) (2.4)

( 20 HD I @0, AB (condies naturais). (2.5)

Relativamente s condies iniciais de deslocamento e velocidade temos:

P, 0 QP P ? H (2.6)

P, 0 QP P ? H . (2.7)

Nas equaes (2.1) (2.5), so as componentes do tensor das tenses de Cauchy, ! as componentes do tensor das deformaes, as componentes do vector deslocamento, a fora de massa por unidade de volume, as componentes da fora aplicada na superfcie HD por unidade de rea e ( as componentes do versor normal exterior a H. A equao (2.2)

5

representa a Lei de Hooke generalizada e $ NO so os coeficientes elsticos do material, que se admitiram constantes, isto , o corpo homogneo.

Os coeficientes elsticos satisfazem as seguintes propriedades:

- Simetria:

$ NO $NO $ NO $ ON (2.8)

- Forma positiva-definida:

S $TUVW XTU XVW Y 0$TUVW XTU XVW 0 Z XTU 0 [ , \ XTU XUT . (2.9)

Neste trabalho admitiu-se que os corpos so isotrpicos pelo que as componentes do tensor

constitutivo so dadas por

$ NO 7 = =NO J 8= N =O J = O =N (2.10)

em que 7 e 8 so as constantes de Lam que satisfazem as restries 8 ] 0 e 7 J _^ 8 ] 0 (2.11)

e a partir das quais se definem o mdulo de elasticidade $ e o coeficiente de Poisson % atravs de

8 `^ abc e 7 c `abcad^c . (2.12)

Introduzindo a equao (2.2) em (2.3) e utilizando (2.8) obtm-se

, e$ NO N,Of, . (2.13)

Substituindo depois a equao (2.13) em (2.1) obtm-se a formulao forte do problema (em

termos dos deslocamentos):

6

ghihj$ NO N,O, J 20 H I @0, AB 20 HC I @0, AB $ NO N,O ( 20 HD I @0, ABP, 0 QP 20 HP, 0 QP 20 H

[ . (2.14)

2.3 Formulao fraca ou variacional

Numa anlise por elementos finitos o primeiro passo a ser dado a obteno da forma fraca do

problema (2.14). Para tal, multiplica-se a primeira equao em (2.14) por um deslocamento

virtual & (funo teste) e integra-se em todo o seu domnio. Tem-se ento: k B$ NO N,O, J @ l mH k l mHnn . (2.15)

Como $ NO N,O, l $ NO N,O l, $ NO N,O l, , substituindo em (2.15) obtm-se: k $ NO N,O l, mHn k $ NO N,O l, n mH J k l n mH k l n mH . (2.16)

Atravs do teorema da divergncia (ou teorema de Gauss) tem-se

k $ NO N,O l, mH k $ NO N,O l ( mopnn . (2.17)

A funo teste l tem de satisfazer as condies de fronteira essenciais e como os deslocamentos esto prescritos em HC, ento l 0 em HC. Por outro lado $ NO N,O ( , logo

k $ NO N,O l ( mo k $ NO N,O l ( pnqpn mo k l mo pnq .

(2.18)

Substituindo (2.18) em (2.16) e atendendo simetria (2.8) obtm-se finalmente a formulao

fraca do problema:

7

k $ NO N,O l , mH k l pnqn mo J k l n mH k l n mH . \ & cinematicamente admissvel

(2.19)

A equao (2.19) corresponde ao princpio dos trabalhos virtuais (P.T.V.) aplicado a um corpo

elstico. O P.T.V. uma condio necessria e suficiente de equilbrio (esttico ou dinmico).

O 1 membro representa o trabalho realizado pelas foras internas (tenses) nas deformaes

virtuais. O 2 membro representa o trabalho virtual das foras externas, foras de massa (r) e foras por unidade de superfcie (s), e o trabalho da fora de inrcia.

2.4 Elasticidade Plana (2D)

Existem duas categorias diferentes de problemas planos em elasticidade: o estado plano de

deformao (E.P.D.) e o estado plano de tenso (E.P.T.). Apesar de serem matematicamente

idnticos, fisicamente so bastante diferentes.

Para evitar a utilizao de um elevado nmero de ndices adopta-se uma notao livre de

ndices. Sendo assim, no caso plano tem-se:

# t !aa!^^2!a^u ta,a^,^a,^ J ^,au ) (2.20)

em que ) a matriz de operadores diferenciais

) vwwwwwwwwx L 0

0 yy Lz{{

{{{{{{| (2.21)

e o vector deslocamento

8

}a^~ . (2.22)

A lei de Hooke generalizada pode ser escrita na seguinte forma:

" * # * ) (2.23)

em que,

" taa^âû (2.24)

* aa a^ a_^^ ^_T0. __ $aaaa $aa^^ $aaa^$^^^^ $^â^T0. $aâ^ . (2.25)

O 1 membro da equao (2.19) pode ainda escrever-se na forma:

k $ NO N,O l , mH k ) & * ) nn m H . (2.26)

No caso isotrpico, situao que ser considerada nesta dissertao, o nmero de coeficientes

elsticos independentes presentes na matriz * (matriz dos coeficientes elsticos) reduz-se a dois: $ e %. Sendo assim tem-se para o estado plano de deformao [6]

* $1 J % vwwwwwwwwx 1 %1 2% %1 2% 01 %1 2% 0

T0. 12 z{{{{{{{{|

$1 J % 1 2% 1 % % 01 % 0T0. 1 2%2 (2.27)

9

e para o estado plano de tenso

* $1 %^ 1 % 01 0T0. 1 %2 . (2.28)

2.5 Aproximao por elementos finitos

Considere-se o domnio plano , representado na Figura 2, constitudo por uma malha de elementos finitos 2 1, , 12.

Figura 2 - Malha de elementos finitos

O ponto crucial da anlise precisamente o clculo de aproximaes locais do problema em

cada elemento, isto , a obteno de uma soluo aproximada para o problema variacional

(2.19). este aspecto do mtodo que permite dizer que o problema formulado para cada

elemento e que a aproximao final do problema obtida por reunio das equaes

elementares espalhamento [6].

Sendo assim para cada elemento 2 1, , 12 a componente T T 1,2 do campo de deslocamentos planos P, aproximada por

P (2.29)

(e)

y

x

10

em que o deslocamento do n do elemento 2 segundo a direco T no instante e P a funo de forma associada ao n . O campo de deslocamentos ento dado por

' (2.30)

em que ' a matriz das funes de forma ' a 0 ^ 0 _ 0 0 a 0 ^ 0 _ 2 I 2( (2.31)

o vector dos deslocamentos nodais a ^ a ^ a ^ 2( I 1 (2.32)

e ( o nmero de ns do elemento 2. Para um elemento da malha de elementos finitos da Figura 2 tem-se

) &n * e) f mL my & s mopnq J & r mL my n n & mL my . (2.33)

As funes de teste (deslocamentos virtuais) so tambm aproximadas por & ' , em que o vector dos deslocamentos virtuais nodais cinematicamente admissveis. Dada a arbitrariedade de somos conduzidos ao sistema

) 'n * e) ' f mL my ' s mopnq J ' r mL my n n ' ' mL my . (2.34)

Como a matriz de deformao + uma matriz dada por

11

+ ) ' vwwwwwwwwx L 0

0 yy Lz{{

{{{{{{| a 0 ^ 0 _ 0 0 a 0 ^ 0 _ (2.35)

e o vector das foras exteriores dado por

, k ' s mopnq J k ' r mL myn (2.36)

tem-se ento

k +n * + mL my , k n ' ' mL my . (2.37)

A matriz de rigidez . de um elemento e a respectiva matriz de massas / so dadas por . k + * + mL myn (2.38)

/ k ' ' n mL my . (2.39)

Substituindo (2.38) e (2.39) em (2.37) obtm-se a equao de equilbrio dinmico elementar

. J / , . (2.40)

O passo seguinte consiste no espalhamento das matrizes elementares nas matrizes globais

somando, nas posies adequadas, as contribuies elementares. Obtm-se assim as

matrizes e vector de foras globais

12

. .a (2.41)

/ /a (2.42)

, ,a .

(2.43)

Em (2.41) (2.43) o operador , que representa a adio dos vectores e matrizes elementares, respeita a correspondncia entre os graus de liberdade do elemento e os graus

de liberdade globais e 12 o nmero total de elementos finitos utilizados na discretizao do slido.

A equao de equilbrio dinmico global do problema de dimenso finita finalmente dada

por

. J / , K - J / , (2.44)

em que - . so as foras interiores. Esta equao tem de ser satisfeita em cada instante do intervalo de tempo em que a anlise efectuada. Em (2.44) o vector global das aceleraes nodais em cada instante; na definio do correspondente vector global dos

deslocamentos nodais j esto tomadas em considerao as condies de fronteira cinemticas (essenciais) (2.4).

A matriz de massas elementar definida em (2.39) designa-se por matriz de massas consistente.

No entanto tambm se pode calcular uma matriz de massas diagonal, obtida atravs da tcnica

de Hinton [7]. Esta tcnica consiste no seguinte: para as componentes diagonais da matriz de

massas diagonal tomam-se valores proporcionais s correspondentes componentes da matriz

de massas consistente, sendo a constante de proporcionalidade (0) escolhida de forma a que a massa total do elemento seja preservada. A matriz de massas diagonalizada associada ao

par de graus de liberdade (deslocamento do n na direco T, deslocamento do n na direco U) do elemento 2 dada por

13

, 0 = k mH , o2 n 0 , o2 [ (2.45)

em que

0 k mHn k na mH . (2.46)

massa total do elemento

soma das componentes diagonais da matriz

consistente

A matriz de massas diagonalizada particularmente til quando a integrao das equaes da

dinmica no tempo feita explicitamente.

O sistema de equaes de equilbrio dinmico (2.44) complementado pelas condies iniciais

0 Q e 0 Q (2.47)

em que Q e Q so os vectores globais de deslocamentos e velocidades nodais iniciais. As integraes indicadas neste captulo so efectuadas numericamente. O esquema numrico

de integrao utilizado a regra de quadratura de Gauss, que ser explicado posteriormente

na seco 3.4.

2.6 Integrao no tempo das equaes da dinmica

A discretizao temporal das equaes da dinmica (2.44) efectuada aproximando as

velocidades e as aceleraes atravs de diferenas finitas. Foram implementados neste

trabalho dois esquemas diferentes de integrao no tempo: uma integrao explcita, utilizando

diferenas finitas centrais, e uma integrao implcita utilizando o mtodo de Hilber [8].

2.6.1 Integrao explcita

Neste esquema de integrao as aceleraes e as velocidades so aproximadas por

diferenas finitas centrais [5]. As aceleraes so dadas por

14

1^ ba 2 J da (2.48)

e as velocidades por

12 ba da (2.49)

em que o incremento de tempo. Substituindo (2.48) em (2.44) obtm-se explicitamente os deslocamentos no instante ba em termos dos deslocamentos nos instantes e da:

ba ^ /da , - J 2 da . (2.50)

Utilizando uma matriz de massas diagonal, as equaes (2.50) podem ser facilmente

separadas, permitindo obter os deslocamentos no instante ba sem efectuar qualquer factorizao matricial:

ba 1 ^ B @ J 2 da (no somar em T). (2.51)

Dado que o mtodo das diferenas centrais exige o conhecimento dos deslocamentos nos

instantes e da para calcular os deslocamentos no instante ba, necessrio, para iniciar o algoritmo, obter os deslocamentos 0 ) a partir das condies iniciais 0 e 0. Sendo assim, atravs de (2.49) obtm-se

Q 0 J 0 2 (2.52)

pelo que

0 2 Q J 0 J . (2.53)

Substituindo (2.53) em (2.50) obtm-se

a ^2 /da ,Q -Q J Q J Q . (2.54)

15

Para que o presente algoritmo explcito seja estvel necessrio que o incremento de tempo

seja pequeno. Em problemas lineares mostra-se que este algoritmo estvel se os

incrementos de tempo forem limitados por

24 (2.55)

em que 4 a maior frequncia do problema correspondente malha de elementos finitos utilizada [9].

2.6.2 Integrao implcita

O esquema de integrao implcita implementado designado por mtodo ou mtodo de

Hilber-Hughes-Taylor [8] e uma modificao do mtodo de Newmark. De acordo com este

mtodo, a discretizao no tempo da equao (2.44) dada por

/ ba J 1 J -ba - ,b (2.56)

em que b 1 J ba ba J , e a evoluo no tempo das solues aproximadas dada pelas seguintes expresses em termos de diferenas finitas:

ba ba J ^ 5 ba (2.57)

ba ba J 6 ba (2.58)

em que

ba J J ^2 1 25 (2.59)

ba J 1 6 . (2.60)

Os valores ba e ba tratam-se de previses para os deslocamentos e velocidades enquanto que ba e ba se tratam dos respectivos valores corrigidos. Os parmetros e

16

5 controlam a preciso e a estabilidade do mtodo. O parmetro permite amortecer o efeito das frequncias mais altas do sistema sem, no entanto, afectar a taxa de convergncia do

mtodo. O mtodo de Newmark corresponde situao 0, sendo tambm designado por Regra do Trapzio, onde 5 a e 6 a^. Em problemas lineares e simtricos, se os parmetros , 6 e 5 forem seleccionados de forma a que ? B 1 3 , 0@, 6 1 2 2 e 5 1 ^ 4 , o mtodo de integrao estvel independentemente do tamanho do incremento de tempo [9].

Para se iniciar o algoritmo, as aceleraes Q so obtidas a partir das condies iniciais Q e Q por resoluo de / Q ,Q -Q . (2.61)

Na Tabela 1 apresentam-se resumidamente os passos deste algoritmo.

Num esquema de integrao implcita o incremento de tempo no est limitado por razes de

estabilidade. A necessidade de utilizar incrementos de tempo pequenos justifica-se apenas por

razes de maior preciso dos resultados.

A considerao de valores de menores que 0 permite reduzir a influncia dos modos de energia mais elevada nos resultados.

17

1. Fase de previso:

ba ba J J ^ 1 25 2 ba ba J 1 6 ba ba 0 2. Calcular a fora residual utilizando a equao (2.56):

9 ,b / ba 1 J -ba J - 3. Obter a matriz de rigidez efectiva utilizando a expresso:

. / ^ 5 J 1 J . 4. Resolver o sistema:

. 9 5. Fase de correco:

ba ba J ba Bba ba @ ^5 ba ba J 6 ba

Tabela 1 - Algoritmo do mtodo

18

3. Elementos finitos isoparamtricos

3.1 Introduo

Elementos finitos isoparamtricos (iso = igual) so elementos que utilizam as mesmas funes

forma para aproximar o campo de deslocamentos e tambm a prpria geometria do

elemento finito.

O conceito de isoparamtrico muito til porque torna possvel a considerao de elementos

quadrilteros no rectangulares, permitindo assim representar domnios com fronteiras

irregulares. Assim sendo, os elementos finitos isoparamtricos so apropriados para modelar

estruturas que apresentem fronteiras curvas.

Falar-se- neste captulo, a ttulo de exemplo, dos elementos quadrilteros bilinear (4 ns) e

quadrtico (8 ns), utilizados neste trabalho, e far-se- referncia aos clculos relativos a estes

elementos bidimensionais e integrao numrica (Quadratura de Gauss).

3.2 Os elementos quadrilteros bilinear (4 ns) e quadrtico (8 ns)

O elemento quadriltero de 4 ns 2, representado na Figura 3, obtido a partir do elemento mestre definido no sistema de coordenadas ;,

19

1 2

3

4

(-1,-1) (1,-1)

(1,1) (-1,1)

(x4,y4)

(x3,y3)

(x2,y2) (x1,y1)

y

x x = x(,) y = y(,)

= (x,y) = (x,y)

1 2

3 4

Figura 3 - Elemento Quadriltero de 4 ns esquerda e elemento mestre direita

As funes de forma do elemento de 4 ns so obtidas considerando expanses bilineares da forma

L;,

20

As condies (3.3) tm como consequncia

e;,

21

3.3 Clculos relativos aos elementos bidimensionais

Para a execuo dos clculos relativos a elementos bidimensionais necessrio transformar

as funes de L e y em funes de ; e 0 em qualquer ponto ;, L; y< L< y; 0 . (3.10)

Se a condio (3.10) for verdadeira tem-se

22

m;mda mLmy 1|>| vwwwxy< L| L ;

a

[ (3.12)

e

|>| L; y< L< y; L ;

a y

análise dinâmica de sólidos elásticos pelo método dos elementos finitos

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