O PROFESSOR PDE E OS DESAFIOSDA ESCOLA PÚBLICA PARANAENSE

2009

Produção Didático-Pedagógica

Versão Online ISBN 978-85-8015-053-7Cadernos PDE

VOLU

ME I

I

GOVERNO DO ESTADO DO PARANÁ SECRETARIA DE ESTADO DA EDUCAÇÃO

PROGRAMA DE DESENVOLVIMENTO EDUCACIONAL

UNICENTRO – UNIVERSIDADE ESTADUAL DO CENTRO-OESTE

NÚCLEO REGIONAL DE EDUCAÇÃO DE GUARAPUAVA

UNIDADE DIDÁTICA

“A Matemática Entra em Campo”

GUARAPUAVA 2010

Joelson Francisco Novacoski

UNIDADE DIDÁTICA

Produção Didática Pedagógica de acordo com as atividades previstas no Plano Integrado de Formação Continuada – 2009/10, em conformidade com as orientações da Coordenação do Programa de Desenvolvimento Educacional – PDE/SEED, sob a orientação do professor da IES – UNICENTRO – Universidade do Centro-Oeste, Guarapuava – Pr. Orientadora: Arilda Maria Passos.

GUARAPUAVA 2010

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UNIDADE DIDÁTICA

“A Matemática Entra em Campo”

Nas Diretrizes Curriculares da Rede Pública de Educação Básica do Estado do Paraná são contemplados números e álgebras, geometrias (geometria plana) e medidas, como parte dos conteúdos estruturantes e a Modelagem Matemática como um dos encaminhamentos metodológicos. Propomos para esta Unidade Didática, a elaboração de material para que os professores utilizem ao trabalharem com os alunos esta metodologia da modelagem matemática e tenham neste material, um auxilio no transcorrer de todo o processo.

A modelagem matemática tem como objetivo fazer com que o aluno partindo de situações do cotidiano, procure levantar problemas e sugerem questionamentos sobre situações de vida, transformando situações concretas vivenciadas em seu dia a dia, através dessas situações reais levantando problemas que contém a matemática presente nos currículos escolares, que às vezes passam despercebidas tanto pelo professor quanto pelo aluno. Tornando a matemática escolar que em certos momentos é abstrata e cheia de fórmulas em uma forma prazerosa de se aprender e ainda utilizar no seu cotidiano essa matemática ensinada nas escolas. Com essa forma de conduzir o ensinamento de matemática as aulas se tornarão aulas mais prazerosas levando o aluno a se interessar por tópicos matemáticos que ainda desconhece tendo a oportunidade de criar situações-problemas por meio de pesquisa, desenvolvendo seu interesse e se tornando um aluno com um senso crítico elevado. As Diretrizes Curriculares do Estado do Paraná nos mostram que o trabalho pedagógico com a modelagem matemática possibilita a intervenção dos estudantes nos problemas reais do meio social e cultural em que vivem, por isso, contribui para sua formação crítica. Partindo de uma situação prática e seus questionamentos, o aluno poderá encontrar modelos matemáticos que respondam essas questões. É com essa metodologia, a Modelagem Matemática, que desenvolveremos este projeto, tentando levar os nossos alunos a um pensamento crítico em torno da matemática e contextualizar os conteúdos estudados com o seu cotidiano, em situações presentes no seu dia a dia, na sua casa, no trabalho de seus pais e até em situações do seu lazer, como a que estudaremos neste projeto, o campo de futebol.

Para o desenvolvimento deste trabalho utilizaremos a modelagem matemática, em que os alunos deparam-se apenas com o problema para investigar, não possuem muitas informações para desenvolver a tarefa, terão que buscar fora da sala de aula. Nesse caso, os alunos serão mais responsabilizados pela

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condução das tarefas. Ao professor, cabe apenas a tarefa de formular o problema inicial e auxiliar os alunos na resolução dos mesmos.

O tema proposto para os alunos é a matemática presente em um campo de futebol, sendo assim, para desenvolver essas atividades irão percebendo situações problemas nas medidas do campo em estudo e assim buscando soluções para a resolução nestas situações. Neste caso específico estudaremos o campo do Morumbi, que tem 108 metros de comprimento por 72 metros de largura. As demais medidas presentes em um campo de futebol são padrão para todos os campos sendo:

– Distância entre os postes deve ser de 7,32m, e a altura da trave em relação ao solo, definida em 2,44m;

– Comprimento da Grande Área em relação às marcas externas das linhas 40,32 m (partindo de cada trave para os lados a uma distância de 16,5 m);

– Largura da Grande Área - em relação às marcas externas das linhas 16,5 m;

– Comprimento da Pequena Área em relação às marcas externas das linhas 18,32 m (partindo de cada trave para os lados, a uma distancia de 5,5 m);

– Largura da Pequena Área - em relação às marcas externas das linhas 5,5 m;

– Raio da Meia Lua - valor em relação ao centro da marca penal e a marca externa da linha da meia lua 9,15 metros;

– A marca do pênalti fica a uma distância de 11 metros da linha do gol.

Para utilizarmos da modelagem matemática devemos motivar nossos alunos a se depararem com situações problemas para serem então resolvidas.

Algumas sugestões de problemas que podem ser proposto aos nossos alunos:

1. Como representar um retângulo de 108 metros de comprimento por 72

metros de largura, tamanho do campo do Morumbi, por um equivalente, mas muitas vezes menor, em uma maquete? Como desejamos representar em tamanho menor, mas guardando as mesmas proporcionalidades entre as medidas, basta utilizarmos uma escala em que uma medida da maquete equivale a certa medida no campo de futebol, podemos dizer que um centímetro das medidas utilizadas na maquete equivale a 120 centímetro no campo real de jogo. O momento é oportuno para se destacar para os alunos que essa razão entre a medida do desenho e da maquete e a medida real, dá-se o nome de escala. Utilizando regra de três simples podemos determinar o tamanho da maquete que devemos construir. Como a escala

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está prevista para as medidas em centímetro devemos transformar as unidades de medidas do campo que estão em metros para centímetros:

1 m � 100 cm 108 m � x cm x = 108.100 x = 10 800 cm

1 m � 100 cm

72 m � x cm x = 72.100 x = 7200 cm

Comprimento da maquete:

1 cm � 120 cm x cm � 10800 cm 120.x = 10800 x =

x = 90 cm

Largura da maquete:

1 cm � 120 cm x cm �7200 cm 120.x = 7200 x =

x = 60 cm.

2. Qual a distância percorrida para dar uma volta completa pelas linhas das

extremidades da maquete do campo do Morumbi?

Essa distância a ser percorrida é a soma das medidas dos quatro lados, que chamamos de perímetro.

P = 90 + 90 + 60 + 60 P = 300 cm

Se multiplicarmos esse perímetro pela escala utilizada teremos o Perímetro do campo do Morumbi;

1 cm � 120 cm 300 cm � x x = 300.120 x = 36000 cm

Transformados em metros teremos; 1 m � 100 cm x � 36000 cm 100.x = 36000

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x =

x = 360 m P = 108 m + 108 m + 72 m + 72 m P = 360 m

3. Qual a quantidade de material verde que deverá ser adquirida para revestir a maquete em estudo?

Encontramos a área da maquete que será a quantidade de material necessária para cobrir essa maquete.

A = lado x lado A = 90.60 A = 5400 cm²

4. O campo do Morumbi é utilizado para shows musicais. Se nesta maquete

fossem colocados bonequinhos que representem o público de um espetáculo, quantos bonequinhos sentados no chão caberiam neste campo?

Se utilizarmos um espaço de dois por dois centímetros para cada bonequinho, cada boneco ocuparia um espaço de:

Eb = lado x lado Eb= 2 x 2 Eb = 4 cm²

A área total da maquete é de 5400 cm², a quantidade de bonequinhos(Qb) será a divisão da área total pelo tamanho(Eb) de cada boneco.

Qb =

Qb =

Qb = 1350 bonequinhos.

5. Se esses 1350 bonequinhos fossem pessoas assistindo a um show no Morumbi, sentados no campo, qual o espaço ocupado por cada pessoa?

Área do campo do Morumbi, sendo 108 metros de comprimento por 72 metros de largura.

A = 108.72 A = 7776 m²

Ep =

Ep =

Ep = 5,76 m² (daria para colocar mais pessoas que o previsto).

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6. Se adotarmos que cada pessoa ocuparia um metro quadrado do campo para assistir a um show, quantas pessoas caberiam no campo do Morumbi?

1 pessoa � 1 m² x � 7.776 m² x = 7776 pessoas.

7. Como encontrar as medidas dos segmentos que representarão as dimensões da linha de metas (distância entre os postes do gol) e a sua altura?

Segundo pesquisas realizadas as medidas da linha de metas (gol), deve ter 7,32 m de largura por 2,44 m de altura, situadas nas extremidades do campo, formadas por duas traves eqüidistantes das linhas laterais que se ligam por um travessão. Para solução desse problema, aplicamos a escala 1/120 para estas medidas: A linha de metas:

1 cm � 120 cm x � 732 cm 120.x = 1.732 x =

x = 6,1 cm

Logo a linha de metas (gol) na maquete terá 6,1 cm.

Calcular a altura da trave cujo valor real é 2,44m;

1 cm � 120 cm X � 244 cm 120.x = 1. 244 x =

x = 2,03 cm

8. Como encontrar as medidas dos segmentos que representarão as

dimensões da pequena e grande área na maquete?

Em frente às metas há duas áreas: a pequena ou área do goleiro, partindo de cada trave para os lados e para frente a distância de 5,5 m, serve para cobrança dos tiros de meta, que ocorrem quando a bola ultrapassa a linha de fundo em favor do quadro atacado; e a grande área, distante 16,5 m das traves e da linha de fundo, onde as faltas cometidas dentro dela pelos jogadores que defendem são punidos com penalidades máximas (pênalti), que são cobrados por tiro livre a 11 metros da meta.

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Já que dispomos da medida da linha de metas e sabemos que a pequena área, partindo de cada trave para os lados e para frente, a uma distância de 5,5 m, aplicando a escala utilizada, determinaremos as duas dimensões:

1 cm � 120 cm x � 550 cm 120.x = 1. 550 x =

x = 4,6 cm

Logo a pequena área terá as seguintes medidas:

(Foto da maquete - do autor)

Para o calculo das medidas da grande área, seguimos as regras que dizem: “ a grande área, distante 16,5 m das traves e da linha de fundo”.

1 cm � 120 cm X � 1650 cm 120.x = 1. 1650 x =

x = 13,75 cm

Assim a grande área terá as seguintes dimensões:

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(Foto da maquete – do autor)

9. Como identificar a localização da marca do pênalti; Calculando os 11 metros na escala 1/120:

1 cm � 120 cm x � 1100 cm 120.x = 1.1100 x =

x = 9,2 cm

Logo na maquete a marca do pênalti ficará a 9,2 cm do gol, sobre a linha imaginária central.

10. Como tornar a maquete um retângulo, sendo que cada canto tenha um

ângulo de 90°? Utilizando o Teorema de Pitágoras podemos encontrar o ângulo reto que tornará a maquete um retângulo. Com o auxilio de um barbante com medidas de 20 cm, 25 cm e 15 cm, colocamos o barbante de 20 cm na linha lateral e o barbante de 15 cm na linha que será a linha de fundo e com o barbante de 25 cm ligando as extremidades desses barbantes construiremos um triângulo retângulo.

(Foto da maquete – do autor)

Utilizando o teorema de Pitágoras podemos conferir se existe igualdade entre essas medidas:

a² = b² + c²

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25² = 20² + 15² 625 = 400 + 225 625 = 625

Fazendo esse processo nos quatro cantos da maquete podemos formar um retângulo, e com o auxilio de uma escala métrica podemos medir as diagonais dessa maquete e verificar se são iguais. Utilizando o Teorema de Pitágoras podemos encontrar a medida da diagonal desse retângulo (a maquete): a² = b² + c², sendo “a” a diagonal, “b” a linha lateral e “c” a linha de fundo, temos:

a² = 90² + 60² a² = 8100 + 3600 a² = 11700 a = a = 108,16 cm

11. Como obter o ponto central do campo?

Obtendo o ponto médio do comprimento em ambas as laterais e traçando um segmento ligando esses dois pontos, dividindo o campo exatamente ao meio, encontramos o ponto médio desse segmento, esse ponto será o centro do campo. Podemos também mostrar aos alunos, que sendo o campo um retângulo, podemos obter seu ponto central, através do encontro de suas diagonais, que são da mesma medida e se cruzam exatamente em seus pontos médios, que corresponde ao centro do retângulo. Momento oportuno também para falar do segmento transversal que divide o campo ao meio, como eixo de simetria. Ponto médio do comprimento do campo, Pm = comprimento dividido por dois;

Pm =

Pm = 45 cm Se considerarmos a linha Lateral do campo como sendo o eixo das abscissas e a linha de fundo sendo o eixo das ordenadas, o ponto central do campo será Pm(45, 30), que são as coordenadas do ponto no plano cartesiano.

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12. Que quantidade de material verde será necessária para fazer o circulo

central da maquete?

Segundo pesquisa realizada, independente da variação que possa ocorrer nas medidas máximas permitidas de 120 m de comprimento por 90 m de largura, e as mínimas de 90 m de comprimento e 45 m de largura, o círculo central deverá ter 9,15 m de raio que aplicado a uma escala de 1/120, nos leva aos seguintes cálculos;

120 cm � 1 cm 915 cm � x x =

x = 7,6 cm

x = 7,6 cm que corresponde à medida do raio(r) na maquete. Para o cálculo do perímetro e da área do círculo central necessitamos do PI ( ), que é o valor da razão entre a circunferência de qualquer círculo e seu diâmetro. Com o auxilio de um barbante, podemos medir a extremidade do círculo que é chamado de perímetro. C = 47,7 cm Devemos destacar também que o diâmetro é o dobro do raio.

D = 2.r D = 2.7,6 D = 15,2 cm

=

=

= 3,14

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Com a medida do raio do círculo central podemos calcular a área deste círculo utilizando a fórmula: A = .r²

A= 3,14 . (7,6)² A = 3,14.57,76 A= 181,4 cm²

Podemos também encontrar o comprimento desta circunferência utilizando a fórmula:

C = 2. .r C = 2.3,14.7,6 C = 47,7 cm

13. Qual a quantidade de material que será necessária para se fazer a Meia

Lua situada na extremidade frontal da grande área? (valor em relação ao centro da marca penal e a marca externa da linha da meia lua 9,15 metros, que na maquete será de 7,6 cm).

A distância da marca penal até a grande área na maquete é de 4,55 cm (tamanho da grande área 13,75 cm menos a distância da marca do pênalti que é 9,2 cm). Sendo o raio da circunferência partindo da marca penal 7,6 cm podemos montar um triângulo retângulo e encontrar o ângulo desse setor.

(Foto da maquete – do autor)

=

Cos.α =

Cos.α = 0,6 Ângulo = 53°

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β = 2.α

= 106° Área do setor circular de ângulo :

As =

A =

A =

As= 53,4 cm² a² = b² + c² (7,6)² =b² + (4,55)² b² = 57,76 - 20,7 b = b = 6,1 d = 2.b d = 12,2 cm Área do triângulo; Atr =

Atr =

Atr = 27,8 cm²

(Área da meia lua) Ar = As – At

Ar = 53,4 – 27,8 Ar = 25,6 cm²

14. Qual a área do espaço para bater o escanteio situado no canto do campo?

O espaço referido é um quarto do círculo de um metro de raio. 1 cm � 120 cm

r cm � 100 cm

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120.r = 100

r =

r = 0,84 cm

A =

A =

A = 0,55 cm²

15. Segundo o Teorema de Tales: “se três ou mais retas são paralelas e

concorrem com duas retas transversais, então a razão entre dois segmentos de uma mesma transversal é igual a razão entre os segmentos correspondentes da outra transversal”.

Duas retas, m e n cortam três paralelas r, s, t. Nessas condições, os segmentos de medidas a, b, c, d são proporcionais. Isto é: a/c=b/d.

Teorema de Tales:

=

Traçando uma reta do pé da trave até o canto da área grande do lado oposto do campo e traçando outra reta do outro pé da trave até o canto da pequena área do lado oposto do campo, essas retas cortarão as duas linhas de fundo e a linha do meio de campo, que são paralelas dessa forma podemos testar o Teorema de Tales;

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(Foto da maquete – do autor)

b = 45,52 cm

d = 45,52 cm

a = 45,06 cm

c = 45,06 cm

= � = 1 = 1

16. Traçando uma reta do pé da trave até o canto da área pequena do lado oposto do campo e traçando outra reta do outro pé da trave até o canto do escanteio no lado oposto do campo, essas retas cortarão as duas linhas de fundo e a linha do meio de campo que são paralelas assim podemos testar o Teorema de Tales, a/c = b/d;

Para encontrar os valores de a e c utilizaremos do teorema de Pitágoras;

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hip² = x² + y² hip² = 90² + (26,95)² hip² = 8100 + 726,3 hip² = 8826,3 hip =

hip = 93,95 � hip 94 cm

hip = a + c e, a =

a =

a = 47 cm

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(Foto da maquete – do autor)

Teorema de Tales:

=

=

47.45,06 = 47.45,06

2117,82 = 2117,82

1 = 1

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS:

BIEMBENGUT, Maria Salett; HEIN, Nelson. Modelagem Matemática no Ensino. 3. Ed. - São Paulo: Contexto, 2003. http://www.inmetro.gov.br/consumidor/produtos/futebol.asp. Acesso em: 03/11/09

Diretrizes Curriculares da Educação fundamental da rede de Educação Básica do Estado do Paraná 2008 Matemática – Produzido pela Secretaria do Estado do Pr. BASSANEZI, R. C. Ensino-aprendizagem com modelagem matemática: uma nova estratégia. São Paulo: Contexto, 2006.

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BARBOSA, Jonei Cerqueira. Modelagem na Educação Matemática: Contribuições para o debate teórico. (UNESP), 2001. (Artigo Científico). D’ AMBRÓSIO, B. Como Ensinar matemática hoje? Temas e debates. Rio Claro, n. 2, ano II, p. 15 – 19, mar. 1989. D’AMBRÓSIO, U. Desafios da Educação Matemática no Novo Milênio. Revista da Sociedade Brasileira de Educação Matemática. n.11, p. 14, dez. São Paulo, 2001. Diretrizes Curriculares da Educação fundamental da rede de Educação Básica do Estado do Paraná 2008 Matemática – Produzido pela Secretaria do Estado do Pr. RAMOS, M. N. Os Contextos no Ensino Médio e os Desafios na Construção de Conceitos. 1 ed. Rio de Janeiro: Fundação Oswaldo Cruz, 2003. v.1, p.65-76., 2004. Projeto Araribá: matemática/obra coletiva, concebida, desenvolvida e produzida pela Editora Moderna – 1.ed. – São Paulo: Moderna, 2006.