O PROFESSOR PDE E OS DESAFIOSDA ESCOLA PÚBLICA PARANAENSE

2009

Produção Didático-Pedagógica

Versão Online ISBN 978-85-8015-053-7Cadernos PDE

VOLU

ME I

I

SECRETARIA DE ESTADO DA EDUCAÇÃOSUPERINTENDÊNCIA DA EDUCAÇÃO

DEPARTAMENTO DE POLÍTICAS E PROGRAMAS EDUCACIONAISCOORDENAÇÃO ESTADUAL DO PDE

DENIZE ALVES DO PRADO

CADERNO PEDAGÓGICO:

ORIGAMI E GEOMETRIA:DOBRAS, ARTE E APRENDIZAGEM

IES: UNIVERSIDADE ESTADUAL DO OESTE DO PARANÁ- UNIOESTE

ORIENTADORA: Profª Ms. RENATA CAMACHO BEZERRA

ÁREA CURRICULAR: MATEMÁTICA

TOLEDO2010

UNIVERSIDADE ESTADUAL DO OESTE DO PARANÁ- UNIOESTE

Denize Alves do Prado

ORIGAMI E GEOMETRIA:DOBRAS, ARTE E APRENDIZAGEM

TOLEDO2010

2

Caderno pedagógico apresentado ao PDE - Programa de Desenvolvimento Educacional. Orientadora: Professora Ms. Renata Camacho Bezerra

IDENTIFICAÇÃO

Área: Matemática

Professor PDE : Denize Alves do Prado

NRE: Toledo

Professora Orientadora: Profª Ms. Renata Camacho Bezerra

IES: UNIOESTE – Foz do Iguaçu

Escola para intervenção: Colégio Estadual Jardim Maracanã

Título: Origami e Geometria: dobras, arte e aprendizagem

OBJETIVOS

Objetivo Geral:

O objetivo geral do presente trabalho é ensinar geometria através do

origami.

Objetivos Específicos:

• Possibilitar o desenvolvimento do raciocínio lógico;

• Incentivar a criatividade através do uso do origami/dobraduras como

ferramenta didática para o ensino-aprendizagem de conceitos

geométricos;

• Ler e interpretar situações vivenciadas no dia a dia, estimulando a

curiosidade e a busca de descobertas;

• Desenvolver a compreensão dos conceitos matemáticos, através da

construção dos mesmos conceitos.

Conteúdos: (Reta, ponto e plano; Segmento reta e semi-retas; Ângulos e

classificação; Simetria e eixos; Explorar formas: quadrado, triangulo e retângulo).

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FIGURAS

Figura 01 - Diagrama Catavento ............................................................................. 10

Figura 02 - Diagrama Coração ................................................................................ 12

Figura 03 - Diagrama Baleia ................................................................................... 13

Figura 04 - Diagrama Bombonier ............................................................................ 14

Figura 05 - Diagrama Porquinho ............................................................................. 15

Figura 06 - Diagrama Porta-lápis ............................................................................ 19

Figura 07 - Diagrama Tulipa ................................................................................... 20

Figura 08 - Diagrama Caixa .................................................................................... 22

Figura 09 - Diagrama Tsuru .................................................................................... 25

Figura 10 - Diagrama Lápis .................................................................................... 27

Figura 11 - Diagrama Kusudama ........................................................................... 29

4

SUMÁRIO

1 - INTRODUÇÃO .........................................................................................06

2 - ORIGEM E HISTÓRIA DO ORIGAMI .......................................................07

3 – ATIVIDADES ............................................................................................08

Atividade 1 - RELAÇÃO ORIGAMI E GEOMETRIA .......................................08

Atividade 2 – GEOMETRIA PLANA ...............................................................09

Atividade 2.1 – Reta .......................................................................................09

Atividade 2.2 – Retas paralelas ......................................................................10

Atividade 2.3 – Retas concorrentes ................................................................11

Atividade 2.4 – Semi-reta e segmento de reta ...............................................12

Atividade 2.5 – Ponto ......................................................................................14

Atividade 2.6 – Plano ......................................................................................16

Atividade 2.7 – Ângulos e sua classificação ...................................................17

Atividade 2.8 - Simetria e eixos de simetria ....................................................19

Atividade 3 - EXPLORANDO O QUADRADO .................................................21

Atividade 4 - EXPLORANDO O TRIÂNGULO .................................................23

Atividade 5 - EXPLORANDO O RETÂNGULO ...............................................26

Atividade 6 – ORIGAMI, ARTE E MATEMÁTICA ..........................................28

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ..............................................................30

APÊNDICES ..................................................................................................32

5

1- INTRODUÇÃO

A matemática está presente em nossa vida, seja em situações simples ou

complexas. A todo instante estamos praticando a matemática, muitas vezes de

maneira informal, como contar, comparar, classificar e na resolução de problemas.

Ensinar é um grande desafio e o ensino da matemática nas escolas também tem-se constituído como um grande desafio, pois um ensino centrado em procedimentos mecânicos, desprovidos de significados, causa desinteresse do educando, fazendo-se necessário desenvolver atividades motivadoras que despertem a atenção dos alunos, com vistas à facilitação do processo de ensino-aprendizagem, (ALMEIDA et al, 2000).

A geometria pertence a uma das mais antigas ciências e não há como negar

a sua importância no desenvolvimento cultural da humanidade, pois ao nosso redor

há uma infinidade de desenhos, de cores, de sons e de formas. Ocorre, porém, que,

no currículo escolar, a geometria está perdendo seu espaço e sua posição, portanto

a sua valorização e transmissão acaba se reduzindo a fórmulas e a nomenclaturas.

Segundo IMENES (2002), a origem do origami é tão remota quanto a

história do papel. O assunto do origami, uma arte milenar japonesa, sempre atraiu,

pela ludicidade e por um efetivo envolvimento dos alunos. Procurei conhecer essa

técnica pela possibilidade e pelos recursos que auxiliam o desenvolvimento cognitivo

e motor de todo aquele que dela se utiliza.

O ensino da geometria melhora a formação intelectual e matemática do

indivíduo, o que a torna um componente importante no desenvolvimento da Álgebra

e da Aritmética, favorecendo a ligação entre a linguagem habitual e a linguagem

formalizada da matemática, onde o pensamento geométrico faz parte do

desenvolvimento normal das atividades do homem, (PIRES, 1992).

Fazer o comum de maneira incomum instiga a buscar formas que facilitem a

compreensão dos conteúdos matemáticos, especialmente a geometria. Assim, o

origami vem auxiliar ressaltando os conceitos geométricos e as propriedades

matemáticas presentes em suas dobras.

6

2 - ORIGEM E HISTÓRIA DO ORIGAMI

"Origami é a arte de dobradura de papel”. É uma arte milenar japonesa cujo

nome de origem orikami, significa dobrar papel: ori – dobrar e kami – papel.

Transmitida de geração em geração entre os japoneses, desenvolveu-se de

forma cativante. Mas, hoje está muito longe de ser uma arte exclusiva ou

principalmente japonesa. Há adeptos em todo o mundo e inclusive dobraduras

tradicionais do ocidente. SIEGLOCH (2007), expressa que:

De acordo com a presença do origami em nossas vidas é tão comum que nem percebemos, uma vez que está presente em automóveis, onde por meio de dobras conseguiu-se uma total eficiência nos equipamentos de segurança conhecidos como “air-bag” evitando explosões quando inflados. Esta arte não se limita ao chão, pois aviões são construídos atualmente com grandes números de envergaduras nas asas e com dispositivos que se dobram e desdobram tornando-os menores e aumentando a eficiência das aeronaves. Tornou-se possível simular como serão abertos os gigantescos painéis solares e discos de satélites que circulam a Terra. O origami também está presente em embalagens de hambúrgers, caixas de comida chinesa, sacolas de compras e até mesmo em roupas onde é fácil perceber tendências seguidas por estilistas no desenho de roupas que se dobram de maneiras diferentes, criando peças novas com novos estilos.

São inúmeras as aplicações do origami na matemática e o nosso foco neste

caderno será a geometria, iremos construir formas e a partir delas conceitos.

“Origami é um jogo tradicional de dobrar papel que une aspectos de estética

escultural e funcional com princípios matemático-geométricos”, (KASAHARA, 2008).

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3 - ATIVIDADES

ATIVIDADE 1 - RELAÇÃO ORIGAMI E GEOMETRIA

O origami pode ser utilizado como um importante auxiliar no ensino básico

da geometria, além de desenvolver a capacidade motora e criativa do indivíduo.

A confecção de origamis possibilita trabalhar de forma articulada o ensino da

geometria e o aspecto lúdico, contribuindo para a concentração, para a coordenação

motora, para a visão espacial e para a criatividade, possibilitando um aprendizado de

conteúdos geométricos.

De acordo com REGO, REGO E GAUDÊNCIO (2003):

O Origami pode representar, para o processo de ensino/aprendizagem de Matemática, um importante recurso metodológico, através do qual os alunos ampliarão os seus conhecimentos geométricos formais, adquiridos inicialmente de maneira informal por meio da observação do mundo, de objetos e formas que o cercam. Com uma atividade manual que integra, dentre outros campos do conhecimento, Geometria e Arte. (REGO, REGO E GAUDÊNCIO (2003)

Entendemos que o trabalho com o origami propicia alternativas para o

ensino da matemática de forma diferenciada, observando de um outro ângulo,

fugindo do tradicional quadro e giz e tornando as aulas mais atrativas.

a) Defina o que é origami.

____________________________________________________________________

____________________________________________________________________

____________________________________________________________________

b) O origami é um recurso que pode facilitar a compreensão no desenvolvimento

das atividades de geometria? Comente.

____________________________________________________________________

____________________________________________________________________

____________________________________________________________________

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ATIVIDADE 2 – GEOMETRIA PLANA

Ao desenvolver atividades associadas com a arte do origami, será possível

fazer a distinção dos conceitos de ponto, reta e plano e uso adequado de suas

representações, bem como conhecer e utilizar as representações matemáticas para

ponto e reta. Segundo RABELLO (2005):

São considerados elementos geométricos fundamentais: o ponto, a reta e o plano. O ponto o mais simples dos elementos como se pode intuir, não tem forma e nem dimensão. Entretanto, qualquer forma geométrica pode ser obtida a partir do ponto. A reta, por exemplo, pode ser definida como uma sucessão contínua de pontos. Se a distância entre dois pontos não sucessivos quaisquer dessa linha for a menor possível, então essa linha é uma reta.

2.1 - RETA

Dado o quadrado

Fonte: Arquivo Pessoal

a) Unindo o ponto A ao ponto B, podemos afirmar que dividimos esse quadrado ao

meio e que dobra obtida representa uma reta?

____________________________________________________________________

____________________________________________________________________

b) Ao desdobrar a folha, descreva o que observou após unir o ponto A até o ponto D.

____________________________________________________________________

____________________________________________________________________

c) Como podemos definir o que reta?

____________________________________________________________________

____________________________________________________________________

9

BA

DC

2.2 - RETAS PARALELAS

Segundo LEONARDI e CANTELE (2001), retas paralelas, são retas que não

possuem ponto em comum, não se cruzam e mantêm sempre a mesma distancia

uma da outra.

Dobrando um quadrado ao meio, unindo as margens, dobre novamente para que as

margens se coincidam. Abra a folha e analise:

Fonte: Arquivo Pessoal

a) Trace retas nos vincos formados. Essas retas se cruzaram?

____________________________________________________________________

b) Baseado no item a responda o que são retas paralelas?

____________________________________________________________________

____________________________________________________________________

c) Usando esta base, faça o catavento do diagrama a seguir. Observe e registre as

formas que encontrou ao executar a seqüência do mesmo.

_________________________________________________________________

Figura 01 – Diagrama adaptado cataventoFonte: http://www.origami-club.com/en/fun/windmill/windmill/windmill.gif

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2.3 - RETAS CONCORRENTES

De acordo com LEONARDI e CANTELE (2001), retas concorrentes são as retas que

possuem apenas um ponto em comum, chamamos esse ponto de ponto de

intersecção.

Segundo as autoras, as retas poder ser concorrentes oblíquas ou concorrentes

perpendiculares. As concorrentes oblíquas são aquelas que se quando interceptam

formam ângulos diferentes de 90° e as concorrentes perpendiculares são aquela que

quando se interceptam formam ângulos de 90º.

a) Siga os passos abaixo e responda o são retas perpendiculares?

____________________________________________________________________

____________________________________________________________________

Fonte: Arquivo Pessoal

b) Dobre uma folha retangular, unindo A com D e C com B, desdobre e descreva o

que se formou nesta folha.

Fonte: Arquivo Pessoal

____________________________________________________________________

____________________________________________________________________

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Dados o quadrado

(A,B,C e D)

Passe um traço nos vincos formados

Una A com C e desdobre

Una A com B e desdobre

A

D

B

C

d) Numa folha retangular siga a seqüência indicada no diagrama coração.

Figura 02 – Diagrama adaptado coraçãoFonte: http://www.comofazerorigami.com.br/wp-ontent/uploads/2008/05/heart1.jpg

2.4 - SEMI-RETA E SEGMENTO DE RETA

As atividades desenvolvidas proporcionará a compreensão dos conceitos de reta,

semi-reta, segmento de reta e uso adequado de suas representações matemáticas.

2.4.1 - SEMI-RETA

De acordo com CERNE, (2008): O ponto que divide a reta é a origem da semi-reta.

Na linguagem comum, diz-se que a semi-reta é a parte da reta que tem início em um

ponto, mas não tem final.

a) Represente uma semi-reta num quadrado de papel.

b) Qual a definição matemática de uma semi-reta?

____________________________________________________________________

____________________________________________________________________

12

c) Usando a base do exercício (a), siga os passos do diagrama a seguir e observe

no passo 1 o conceito de uma semi-reta.

Figura 03 - Diagrama adaptado baleiaFonte: http://superorigami.com/baleia.jpg

2.4.2 - SEGMENTO DE RETA

O autor CAVALCANTE et al., (2006), afirma que: um segmento de reta é um pedaço

ou parte da reta compreendida entre dois de seus pontos (indicados com letras

maiúsculas), ou seja é uma parte da reta que tem começo e fim e pode ser medida.

a) Defina o que é um segmento de reta.

____________________________________________________________________

____________________________________________________________________

13

b) No 3º passo do diagrama, observe o segmento de reta destacado em amarelo,

trace os demais segmentos conforme a seqüência indicada no 3º e 4º passo, depois

de marcar todos os segmentos faça os cortes.

Figura 04 - Diagrama adaptado bombonier Fonte: Livro o mundo do artesanato – Série ouro

2.5 - PONTO

Agora que entendemos o que são retas perpendiculares, observe a figura a seguir:

Fonte: Arquivo Pessoal

a) É possível definir um ponto geométrico?

____________________________________________________________________

____________________________________________________________________

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b) Quais as retas que são usadas para encontrarmos um ponto?

____________________________________________________________________

____________________________________________________________________

c) O que é um ponto de intersecção?

____________________________________________________________________

____________________________________________________________________

d) Dobre o diagrama abaixo e responda: Neste diagrama é possível observar a

representação do plano, da reta e do ponto?

____________________________________________________________________

____________________________________________________________________

Figura 05 - Diagrama adaptado Porquinho Fonte: http://superorigami.com/porquinho.gif

15

2.6 – PLANO

Um plano é uma entidade geométrica formada por infinitas retas e infinitos pontos. O

plano tem duas dimensões, ou seja tem altura e largura ou altura e comprimento ou

largura e comprimento, por isso, é chamado de bidimensional, (WIKIPÉDIA, 2010).

Segundo MORI E ONAGA, (2006), área é uma medida relacionada a uma superficie

e o perímetro é a medida do comprimento que contorna a área.

No exemplo, podemos observar que a área é resultante da multiplicação do

comprimento pela largura, e o perímetro é a soma de todos os lados do plano.

Exemplo:

Baseado no exemplo calcule a área e o perímetro da figuras abaixo:

a)

b)

16

12 cm

8 cmPerímetro = 12cm + 12cm + 8cm + 8cm = 40 cm

Área = lado . lado = 12 cm . 8cm = cm²

9 cm

9 cmPerímetro = ______________________________

Área = __________________________________

15 cm

6 cmPerímetro = _______________________________

Área = ___________________________________

2.7- ÂNGULOS E CLASSIFICAÇÃO

Segundo LEONARDI e CANTELE (2001), ângulo é a abertura formada por duas

semi-retas de mesma origem.

Os elementos do ângulo são:

• Vértice – encontro das duas semi-retas é chamado de vértice;

• Lado – as semi-retas que formam o ângulo;

• Abertura – espaço que as duas semi-retas formam uma em relação à outra.

Os ângulos são classificados de acordo com sua abertura em ângulos: agudos,

retos, obtusos e raso.

2.7.1 ÂNGULO RETO

Ângulo que mede 90º (graus).

Fonte: Arquivo Pessoal

2.7.2 - ÂNGULO AGUDO

Ângulo que mede menos do que 90º graus e mais do que 0º graus

Fonte: Arquivo Pessoal

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2.7.3 - ÂNGULO OBTUSO

Um ângulo que mede mais do que 90 graus e menos do que 180 graus.

Fonte: Arquivo Pessoal

2.7.4 - ÂNGULO RASO

Um ângulo que mede exatamente 180 graus.

Fonte: Arquivo Pessoal

Usando quadrados de papel, faça um exemplo para cada definição dada e depois

cole na seqüência.

a) Ângulo reto

____________________________________________________________________

b) Ângulo agudo

____________________________________________________________________

c) Ângulo obtuso

____________________________________________________________________

d) Ângulo raso

____________________________________________________________________

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e) Nas dobras do diagrama apareceram ângulos? Cite pelo menos um.

____________________________________________________________________

Figura 06 - Diagrama adaptado porta lápisFonte: http://superorigami.com/portalapis.gif

2.8 - SIMETRIA E EIXOS DE SIMETRIA

Em termos geométricos, considera-se simetria como a semelhança exata da forma

em torno de uma determinada linha reta (eixo), ponto ou plano. A simetria ocorre ou

é aplicada em várias das vertentes da acção humana: na geometria, matemática,

física, biologia, arte e até na literatura (nos palíndromos), etc. O eixo de simetria é

uma linha que divide uma figura em duas partes simétricas, isto é, como se fossem o

objeto e a sua imagem num espelho, (WIKIPÉDIA, 2010).

Veja os exemplos a seguir:

19

Fonte: Arquivo Pessoal

a) Conceitue simetria e eixo de simetria.

____________________________________________________________________

____________________________________________________________________

b) Usando dois quadrados dobre o diagrama a seguir:

Figura 07 - Diagrama adaptado tulipa Fonte: http://www.amorigami.com.br/diagramas/27.gif

c) Concluído o diagrama, descreva onde apareceu o eixo de simetria.

____________________________________________________________________

____________________________________________________________________

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ATIVIDADE 3 – EXPLORANDO O QUADRADO

LEONARDI e CANTELE (2001), define que quadrado é um quadrilátero que

apresenta, além dos lados paralelos dois a dois, quatro ângulos de 90º e os quatro

lados com a mesma medida.

Vamos seguir os exemplos:

• Formar quatro quadrados usando somente duas dobras.

Fonte: Arquivo Pessoal

• Com quatro dobras formar dezesseis quadrados

Fonte: Arquivo Pessoal

Baseado nas suas dobras, analise e responda:

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a) O que é quadrado.

____________________________________________________________________

____________________________________________________________________

b) A seqüência de dobras resultou em quadrados iguais?

____________________________________________________________________

____________________________________________________________________

c) Existe uma relação entre o numero de dobras e a formação dos quadrados

menores?

____________________________________________________________________

____________________________________________________________________

d) Podemos traçar eixos simétricos no quadrado ?

____________________________________________________________________

____________________________________________________________________

e) Execute a seqüência da figura 08.

Figura 08 - Diagrama adaptado caixa Fonte: http://www.amorigami.com.br/diagramas/49.gif

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ATIVIDADE 4 - EXPLORANDO O TRIÂNGULO

CAVALCANTE et al. (2006), define que triângulo é um polígono de três lados, três

vértices e três ângulos internos. São classificados em:

• Eqüilátero – triângulo que tem todos os lados com medidas iguais;

• Isósceles – triângulo que tem, pelo menos, dois lados com medidas iguais;

• Escaleno – triângulo que tem todos os lados com medidas diferentes.

Faça os exemplos a seguir:

• Com um quadrado de papel formar dois triângulos iguais.

Fonte: Arquivo Pessoal

• Formar quatro triângulos, usando somente duas dobras.

Fonte: Arquivo Pessoal

• Usando três dobras forme oito triângulos

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Fonte: Arquivo Pessoal

a) Defina o que é triângulo.

____________________________________________________________________

____________________________________________________________________

b) Dobrando qualquer quadrado ao meio é possível obter dois triângulos iguais?

____________________________________________________________________

____________________________________________________________________

c) Existe relação entre o numero de dobras e a formação dos triângulos menores?

____________________________________________________________________

____________________________________________________________________

d) Os triângulos formados são iguais?

____________________________________________________________________

____________________________________________________________________

e) É possível dizer que há relação entre o quadrado e o triangulo? Comente.

____________________________________________________________________

____________________________________________________________________

f) Usando a seqüência de dobras que já executou continue o passo a passo do

diagrama a seguir:

____________________________________________________________________

____________________________________________________________________

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Figura 9 - Diagrama adaptado Tsuru Fonte: http://sites.mpc.com.br/ricardo.namur.claro/ori_tsur.gif

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ATIVIDADE 5 - EXPLORANDO O RETÃNGULO

De acordo LEONARDI e CANTELE (2001), o retângulo é o quadrilátero que

apresenta os lados paralelos dois a dois, quatro ângulos retos e seus lados opostos

iguais. As diagonais do retângulo são concorrentes obliquas, e tem a mesma medida

e se cruzam no ponto médio.

Fonte: Arquivo Pessoal

Com duas dobras divida o quadrado em quatro retângulos iguais.

a) Como podemos definir o que é retângulo?

____________________________________________________________________

____________________________________________________________________

b) Num retângulo de papel, efetue uma dobra para obter um quadrado.

c) Como você efetuou as dobras para formar os retângulos iguais?

____________________________________________________________________

____________________________________________________________________

d) Qual a diferença nas dobras para os retângulos ficarem diferentes?

____________________________________________________________________

____________________________________________________________________

e) Siga os passo a passo do diagrama a seguir e faça suas considerações.

____________________________________________________________________

____________________________________________________________________

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Figura 10 - Diagrama adaptado lápis

Fonte: http://superorigami.com/portalapis.gif

ATIVIDADE 6 - ORIGAMI, ARTE E MATEMÁTICA

MILAN, et al (2010), Arte e Matemática são duas manifestações do comportamento e

conhecimento humanos. Uma obra de arte ou uma fórmula matemática podem ser

portas para um novo conhecimento. A Matemática é uma ciência bela, que mostra a

estética do raciocínio e dos padrões numéricos e geométricos. São inúmeras as

relações que se podem estabelecer entre Arte e Matemática.

Ao realizar a atividade a seguir, vamos relembrar os nomes e as características das

figuras geométricas e os conceitos geométricos estudados.

a) Na sua opinião qual a relação da arte do origami e o estudo da geometria?

____________________________________________________________________

____________________________________________________________________

b) A atividade a seguir pode ser feita em equipe ou individual, lembrando que se o

todas as partes devem ser dobradas com atenção e precisão, pois no final todas as

partes serão unidas formando uma única peça. Chama-se "Morning dew" e é

composto de apenas 60 peças (12 flores formadas por cinco partes, cada). Serão necessários 60 quadrados iguais. Sugestão de medida do quadrado de 8x8

cm. Depois de dobrar todos com a mesma seqüência do diagrama, uma as partes

formando o kusudama (significado: Kusu=bola, dama=remédio)

27

Figura 11 - Diagrama adaptado Kusudama (morning dew)Fonte: www.devilyn.blogger.com.br/morningdewcoloridao.jpg

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REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS

ALMEIDA, I. A.; LOPES, R. F.; SILVA, E. B. O origami como material exploratório para o ensino e a aprendizagem de geometria. In: GRAPHIC 2000, 13, 2000, Ouro Preto/MG. Anais... Ouro Preto.

CASTILHOS, M. B. M. A arte de fazer dobraduras. Disponível em: <www.pucrs.br/ famat/daniela/.../A_arte_de_fazer_dobraduras.pdf 06/2007>. Acesso em: 15 nov. 2009.

CAVALVANTE, LUIZ G. et al. Para saber matemática, São Paulo, editora Saraiva, 2006.

CRUZ, G. P.; GONSCHOSWSKI, J. S. O origami como ferramenta de apoio no ensino da geometria. Disponível em: <www.google.com.br 01/06/2007>. Acesso em: 16 nov. 2009

EDELBRA. O mundo do artesanato. Série ouro – Editora Edelbra. Rio Grande do Sul, 1981.

IMENES, Luiz Márcio. Geometria das Dobraduras (coleção Vivendo a Matemática). São Paulo, Scipione, 1996.

KASAHARA, Kunihiko. Origami omnibus. Tokyo, New York: Japan Publica-tions, 1988.

LEONARDI, A. C., CANTELLE, B. R. Linguagem visual: ARTE - Editora IBEP, volume1, 1ª edição, São Paulo, 2001.

MILAN, IVONILDES; GUERRA, ISABEL C.; PADOVAN, D. A arte da matemática. Disponível em: http://www.projetopresente.com.br/revista/rev6_matematica.pdf. Acesso em 28 de abril 2010.

MORI, Iracema; ONAGA, Dulce S. Matemática: idéias e desafios. Editora Saraiva, 14ª edição. São Paulo, 2006.

NARVAZ, Miriam Benedetti et. al (2005). A geometria das dobraduras: trabalhando o lúdico e ressignificando saberes. Disponível em: <http://ccet.ucs.br/eventos/outros/egem/cientificos/cc03.pdf>. Acesso em: 20 out. 2009.

PARANÁ. SEED. Diretrizes Curriculares de Matemática para a Educação Básica. Governo do Estado do Paraná. SEED. Curitiba-PR, 2008.

RABELLO, P. S. B. Geometria Descritiva Básica. Apostila disponível em: http://www.ebah.com.br/apostila-geometria-descritiva-basica-pdf-a2565.html. Acesso em 20/04/2010.

RÊGO, R. G. do; RÊGO, R. M.; GAUDÊNCIO, S. J. A. Geometria do origami. João Pessoa, PA: Editora Universitária/ UFPB, 2003.

29

SIEGLOCH, G. Origami: a arte que educa, constrói fráctais e ressignifica conceitos matemáticos. 2007. 107 fls. Trabalho de Conclusão de Curso – Unioeste, Foz do Iguaçu, 2007.

Wikipédia. Entes geométricos fundamentais. Disponível em: http://pt.wikipedia.org/wiki/Entes_geom%C3%A9tricos_fundamentais. Acesso em: 30 abril 2010.

APÊNDICE

30

Atividade 1

a) Origami é a arte de dobradura de papel. É uma arte milenar japonesa cujo nome

de origem orikami, significa dobrar papel: ori – dobrar e kami – papel.

b) A confecção de origamis possibilita trabalhar de forma articulada o ensino da

geometria, possibilitando um aprendizado de conteúdos geométricos.

ATIVIDADE 2

2.1 - RETA

a) Sim.

b) Formou uma linha na diagonal.

c) pode ser definida como uma sucessão contínua de pontos.

2.3 - RETAS PARALELAS

a) , as retas não se cruzaram.

b) São retas que não possuem ponto em comum, não se cruzam e mantêm sempre

a mesma distancia uma da outra.

c) , neste diagrama encontramos as formas de quadrado, retângula,

triangulo, reta, retas paralelas.

2.4 - RETAS CONCORRENTES

31

a) Retas perpendiculares são aquela que quando se interceptam formam ângulos de

90º.

b) As dobras foram feitas na diagonal, formando retas concorrentes obliquas, pois os ângulos são diferentes de 90º.

2.5.1 - SEMI-RETA

a)

b) semi-reta é a parte da reta que tem início em um ponto mas não tem final.

2.5.2 - SEGMENTO DE RETA

a) Um segmento de reta é um pedaço ou parte da reta compreendida entre dois de

seus pontos

2.6 - PONTO

a) Um conceito bem primitivo, desenhando duas retas perpendiculares ou obliquas e

onde as duas se interceptam chamamos de ponto.

b) as retas poder ser concorrentes oblíquas ou concorrentes perpendiculares.

c) Ponto de intersecção é onde as retas se cruzam.

d) è possível representar neste diagrama o plano, a reta e o ponto.

2.7 – PLANO

32

a)

b)

2.8.4 - ÂNGULO RASO

a) Ângulo reto

Fonte: Arquivo Pessoal

b) Ângulo agudo

Fonte: Arquivo Pessoal

c) Ângulo obtuso

Fonte: Arquivo Pessoal

d) Ângulo raso

33

Perímetro = 9 + 9 + 9 + 9 = 36 cmÁrea = 9 . 9 = 91 cm²

Perímetro = 15 + 15 + 6 + 6 = 42 cmÁrea = 15 . 6 = 90 cm²

Fonte: Arquivo Pessoal

e) Ângulo reto, agudo, obtuso e raso.

2.9 - SIMETRIA E EIXOS DE SIMETRIA

a) Simetria é a semelhança exata da forma em torno de uma determinada linha reta

(eixo), ponto ou plano O eixo de simetria é uma linha que divide uma figura em duas

partes simétricas, isto é, como se fossem o objeto e a sua imagem num espelho.

c) Concluído o diagrama, descreva onde apareceu o eixo de simetria.

podemos observar o eixo simétrico como demonstra a figura.

ATIVIDADE 3 – EXPLORANDO O QUADRADO

a) quadrado é um quadrilátero que apresenta, além dos lados paralelos dois a dois,

quatro ângulos de 90º e os quatro lados com a mesma medida.

b) Formaram vários quadrados com proporções menores.

c) Quanto mais dobras executarmos menores serão os quadrados.

d) Sim, um exemplo é traçar na diagonal.

ATIVIDADE 4 – EXPLORANDO O TRIÂNGULO

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a) triângulo é um polígono de três lados, três vértices e três ângulos internos.

b) Se a dobra forma diagonal formará triângulos.

c) Sim mais dobras, resultará em triângulos menores.

d) Sim, só que em menor proporção.

e) Sim, pois com dois triângulos formamos um quadrado.

ATIVIDADE 5 - EXPLORANDO O RETANGULO

a) o retângulo é o quadrilátero que apresenta os lados paralelos dois a dois, quatro

ângulos retos e seus lados opostos iguais.

b)

c) Dobrando, formando uma reta perpendicular, teremos 4 retângulos.

d) dobrando, formando retas paralelas, teremos 4 retângulos.

ATIVIDADE 6 - ORIGAMI, ARTE E MATEMÁTICA

a) Nos diagramas, podemos observar a seqüência das dobras e conceituar o que

são: ponto, retas, ângulos, dentre outras representações matemáticas.

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