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UNIVERSIDADE ESTADUAL DE MARINGA

CENTRO DE CIENCIAS EXATAS

DEPARTAMENTO DE MATEMATICA

PROGRAMA DE POS-GRADUACAO EM MATEMATICA

(Mestrado)

HUGO MURILO RODRIGUES

Curvaturas em Grupos de Lie com Metricas Invariantes a

Esquerda

Maringa-PR

2016

UNIVERSIDADE ESTADUAL DE MARINGA

CENTRO DE CIENCIAS EXATAS

DEPARTAMENTO DE MATEMATICA

PROGRAMA DE POS-GRADUACAO EM MATEMATICA

Curvaturas em Grupos de Lie

com Metricas Invariantes a

Esquerda

Hugo Murilo Rodrigues

Dissertacao apresentada ao Programa de Pos-

Graduacao em Matematica do Departamento de Ma-

tematica, Centro de Ciencias Exatas da Universidade

Estadual de Maringa, como requisito para obtencao

do tıtulo de Mestre em Matematica.

Area de concentracao: Geometria e Topologia.

Orientador: Prof. Dr. Ryuichi Fukuoka.

Maringa-PR, 9 de marco de 2016

Agradecimentos

Agradeco ao meu orientador e amigos pela paciencia e compreensao, aos meus

pais e familiares pelo grande alicerce emocional que me ajudaram a construir, a

CAPES pelo apoio financeiro e em especial a minha noiva por todos os momentos

que esteve ao meu lado.

Resumo

O presente trabalho tem como objetivo estudar as relacoes entre as curvaturas

de metricas invariantes a esquerda, as algebras de Lie e a topologia dos grupos de

Lie em questao, fornecendo assim exemplos de curvaturas de diversas caracterısticas

em variedades Riemannianas completas.

Palavras-chave: Grupos de Lie, algebras de Lie, metricas invariantes a es-

querda, metricas bi-invariantes, curvatura seccional, curvatura de Ricci, curvatura

escalar.

Abstract

Let G a Lie group with a left invariant metric.

The aim of this work is to study relationship between curvature, topology and

Lie algebra of G. Furthermore this study will provide examples of curvatures with

different characteristics in complete Riemannian manifolds.

Key-words: Lie groups, Lie algebras, left invariant metric, bi-invariant metrics,

sectional curvature, Ricci curvature, scalar curvature.

SUMARIO

Introducao 7

1 Geometria Riemanniana 9

1.1 Variedades diferenciaveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.2 Variedades Riemannianas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2 Grupos de Lie 19

2.1 Grupos topologicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.2 Grupos e algebras de Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.3 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3 Curvaturas em Grupos de Lie com Metricas Invariantes a Esquerda 35

3.1 Curvatura seccional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

3.2 Curvatura de Ricci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

3.3 Curvatura escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

3.4 O caso tridimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3.5 Calculos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

3.6 Grupos de Lie unimodulares e nao-unimodulares . . . . . . . . . . . . 59

3.7 Metricas bi-invariantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

Bibliografia 79

INTRODUCAO

Ao se estudar uma classe de objetos matematicas, e natural e essencial que se

tenha em maos exemplos capazes de intuir as direcoes a serem seguidas durante o

estudo. Desta forma, o presente trabalho tem como objetivo principal a construcao

de exemplos onde se estuda as relacoes entre a curvatura de variedades Riemannianas

completas e suas propriedades geometricas e topologicas.

As variedades Riemannianas abordadas neste estudo serao em especial os grupos

de Lie com metricas invariantes a esquerda. Neste caso, se G e um grupo de Lie com

uma metrica invariante a esquerda e Γ e um subgrupo discreto, a variedade quociente

G/Γ com metrica induzida possui mesmas caracterısticas acerca de suas curvaturas

e tal processo fornece facilmente novos exemplos de propriedades conhecidas.

Os dois primeiros capıtulos sao destinados aos estudos preliminares de variedades

Riemmanianas, grupos de Lie e algebras de Lie. O terceiro capıtulo estara disposto

em sete secoes. Destas as tres primeiras tratarao das caracterısticas das curvaturas

seccionais, de Ricci e escalar de metricas invariantes a esquerda em grupos de Lie

respectivamente. A quarta secao e destinada ao estudo de curvaturas de metricas

invariantes a esquerda em grupos de Lie tri-dimensionais e nesta se faz uso da tri-

dimensionalidade de suas algebras de Lie separando os grupos de Lie em duas classes,

os unimodulares e os nao-unimodulares. A quinta secao e destinada aos calculos e

demonstracoes de resultados anteriormente utilizados. A sexta secao tratara das

propriedades de curvaturas de metricas invariantes a esquerda em grupos de Lie

unimodulares e nao-unimodulares de dimensoes arbitrarias. Por fim, a ultima secao

8

sera destinada ao estudo de curvaturas de metricas bi-invariantes.

CAPITULO 1

GEOMETRIA RIEMANNIANA

1.1 Variedades diferenciaveis

As demonstracoes desta secao podem ser encontradas em [2].

Definicao 1.1.1. Uma variedade diferenciavel de dimensao n e um conjunto M e

uma famılia de aplicacoes bi-unıvocas xα : Uα ⊂ Rn −→M de abertos Uα de Rn em

M tais que:

1.⋃α xα(Uα) = M .

2. Para todo par α, β com xα(Uα) ∩ xβ(Uβ) = W 6= ∅, os conjuntos x−1α (W ) e

x−1β (W ) sao abertos em Rn e as aplicacoes x−1

β ◦ x−1α sao diferenciaveis.

3. A famılia {(Uα, xα)} e maxima relativamente as condicoes (1) e (2).

O par (Uα, xα) com p ∈ xα(Uα) e chamado uma parametrizacao ou sistema de

coordenadas em p ∈ M e xα(Uα) e entao chamado uma vizinhanca coordenada em

p. A famılia {(Uα, xα)} satisfazendo (1) e (2) sera chamada estrutura diferenciavel

em M . Note que uma estrutura diferenciavel induz de forma natural uma topologia

em M .

Definicao 1.1.2. Sejam Mn1 e Mm

2 variedades diferenciaveis. Uma aplicacao φ :

Mn1 −→ Mm

2 e diferenciavel em p ∈ Mn1 se dada uma parametrizacao y : V ⊂

Rm −→ Mm2 em φ(p), existe uma parametrizacao x : U ⊂ Rn −→ Mn

1 de p com

1.1 Variedades diferenciaveis 10

φ(x(U)) ⊂ y(V ) e a aplicacao y−1 ◦ φ ◦ x : U ⊂ Rn −→ Rm e diferenciavel em

x−1(p).

Devido a exigencia (2) em 1.1.1 a diferenciabilidade de uma aplicacao em um

ponto nao depende da parametrizacao adotada.

Analogo a superfıcies regulares, no estudo de variedades diferenciaveis um con-

ceito indispensavel e o de espaco tangente. Contudo nas superfıcies o conceito de

espaco tangente nao e definido de forma intrınseca, dependendo assim do espaco ao

qual a superfıcie pertence. Porem variedades como vimos pela sua definicao nao sao

necessariamente subconjuntos de um espaco Euclidiano e desta forma necessitam de

uma definicao independente como segue.

Definicao 1.1.3. Seja M uma variedade diferenciavel. Uma aplicacao diferenciavel

α : (−ε, ε) −→M e chamada uma curva diferenciavel em M . Suponha que α(0) = p

e seja D o conjunto das funcoes definidas em M diferenciaveis em p. O vetor

tangente a curva α em t = 0 e a funcao α′(0) : D −→ R dada por

α′(0)f =d(f ◦ α)

dt

onde f ∈ D.

Um vetor tangente em p e o vetor tangente em t = 0 de alguma curva α : (−ε, ε) −→

M com α(0) = p. O conjunto dos vetores tangentes a M em p sera indicado por

TpM .

Para cada p ∈M , TpM com as operacoes usuais de soma e produto por escalar e

um espaco vetorial de dimensao n que chamamos espaco tangente em p. Dada uma

parametrizacao x obtem-se uma base associada{

( ∂∂x1

)0, ..., (∂∂xn

)0

}para TpM , onde

( ∂∂xi

)0 e o vetor tangente em p a curva coordenada xi 7−→ x(0, ..., 0, xi, 0, ..., 0).

Proposicao 1.1.4. Sejam M1 e M2 variedades diferenciaveis e seja φ : M1 −→M2

uma aplicacao diferenciavel. Para cada p ∈M1 e cada v ∈ TpM1, escolha uma curva

diferenciavel α : (−ε, ε) −→ M1 com α(0) = p e α′(0) = v. Pondo β = φ ◦ α a

aplicacao dφp : TpM1 :−→ Tφ(p)M2 dada por dφp(v) = β′(0) e uma aplicacao linear

que nao depende da escolha de α.

Definicao 1.1.5. A aplicacao dφp como acima e chamada a diferencial de φ em p.


Sem muito esforco se mostra que a composicao de aplicacoes diferenciaveis e

ainda diferenciavel e alem disso vale nessas condicoes a regra da cadeia.

Definicao 1.1.6. Sejam M1 e M2 variedades diferenciaveis. Uma aplicacao φ :

M1 −→ M2 e um difeomorfismo se e uma bijecao com inversa φ−1 diferenciavel.

Nos mesmos moldes, φ e um difeomorfismo local em p ∈M1 se existirem vizinhancas

U de p e V de φ(p), tais que φ : U −→ V seja um difeomorfismo.

Definicao 1.1.7. Sejam Mn e Nm variedades diferenciaveis. Uma aplicacao dife-

renciavel φ : M −→ N e uma imersao se dφp : TpM −→ Tφ(p)N e injetora para

todo p ∈ M . Se, alem disso, φ e um homeomorfismo sobre φ(M) ⊂ N , onde φ(M)

possui a topologia induzida por N , diz-se que φ e um mergulho. Caso M ⊂ N e a

inclusao seja um mergulho dizemos entao que M e uma subvariedade de N .

Para uma boa definicao de certos objetos em uma variedade diferenciavel e ne-

cessario que nesta esteja definida uma orientacao. A definicao de variedade dife-

renciavel orientada pode ser dada como segue.

Definicao 1.1.8. Seja M uma variedade diferenciavel. Diz-se que M e orientavel,

se M admite uma estrutura diferenciavel {(Uα, xα)} tal que para todo par α, β com

xα(Uα) ∩ xβ(Uβ) = W 6= ∅ a diferencial (Jacobiana) da mudanca de coordenadas

xβ◦x−1α possui determinante positivo. Caso contrario, diz-se que M e nao orientavel.

Nas linhas seguintes sera mencionado uma maneira de construir variedades di-

ferenciaveis localmente difeomorfas a uma variedade dada a partir da acao de um

grupo. Tal procedimento fornece uma ferramente poderosa para o estudo de questoes

locais, uma vez que localmente, a nova variedade e a variedade dada sao indis-

tinguıveis do nosso ponto de vista.

Diz-se que um grupo G age em uma variedade diferenciavel M se existe uma

aplicacao φ : G×M −→M tal que:

1. Para cada g ∈ G, a aplicacao φg : M −→ M dada por φg(p) = φ(g, p) onde

p ∈M e um difeomorfismo e se e e o elemento neutro de G, entao φe = Id.

2. Se g1, g2 ∈ G, entao φg1g2 = φg1 ◦ φg2 .

A notacao frequentemente utilizada e φ(g, p) = gp.


Diz-se que uma acao e propriamente descontinua se todo p ∈ M possui uma

vizinhanca U ⊂ M tal que U ∩ g(U) = ∅ para todo g 6= e. Se G age sobre M ,

entao p1 ≡ p2 se, e so se, p2 = gp1 para algum g ∈ G determina uma relacao de

equivalencia em M e M/G sera o espaco quociente de M por tal relacao. Agora

considere π : M −→M/G a projecao dada por π(p) = Gp.

Teorema 1.1.9. Seja M e uma variedade diferenciavel e G ×M 7−→ M e uma

acao propriamente descontinua. Entao M/G possui uma estrutura diferenciavel de

modo que π : M −→M/G e um difeomorfismo local.

Dada uma variedade diferenciavel M , a colecao dos espacos vetoriais que a cada

ponto da variedade associa seu espaco tangente possui uma estrutura de variedade

diferenciavel construıda de forma natural a partir da estrutura de M , a esta nova

variedade se da o nome de fibrado tangente de M e denotaremos TM .

Definicao 1.1.10. Um campo de vetores X em uma variedade diferenciavel M e

uma correspondencia que a acada ponto p ∈M associa um vetor X(p) ∈ TpM . Em

termos de aplicacao, X e uma aplicacao de M em TM . O campo e diferenciavel se

a aplicacao X : M −→ TM e diferenciavel.

Dados dois campos diferenciaveis de vetores X e Y em uma variedade, existe

um e so um campo diferenciavel de vetores Z tal que Z = XY − Y X. Note que

apesar de frequentemente XY e Y X nao conduzirem a campos diferenciaveis de

vetores pois envolvem derivadas de orden maior, o operador [X, Y ] = XY − Y X

e um campo diferenciavel de vetores e determina uma operacao entre campos de

vetores [·, ·] chamada o colchete.

Proposicao 1.1.11. Se X, Y e Z sao campos diferenciaveis de vetores em M ,

a, b ∈ R e f, g funcoes diferenciaveis, entao:

1. (Anti-comutatividade)

[X, Y ] = −[Y,X].

2. (Linearidade)

[aX + bY, Z] = a[X,Z] + b[X,Z].

1.2 Variedades Riemannianas 13

3. (Identidade de Jacobi)

[[X, Y ], Z] + [[Y, Z], X] + [[Z,X], Y ] = 0.

4. [fX, gX] = fg[X, Y ] + fX(g)Y − gY (f)X.

Relacionado a problemas de valores iniciais em equacoes diferenciais teremos o

proximo resultado. O conceito de fluxo em uma variedade e muito importante e

ganha ainda mais importancia a partir da escolha dos campo de vetores e das pro-

priedades da variedade. Exemplos desses sao os fluxos geodesicos de uma variedade

Riemanniana e o fluxo dos campos invariantes em um grupo de Lie, como veremos

nas proximas secoes.

Teorema 1.1.12. Seja X um campo diferenciavel de vetores em uma variedade M e

p ∈M . Entao existem uma vizinhanca U ⊂M de p, um intervalo (−δ, δ) com δ > 0

e uma aplicacao diferenciavel ϕ : (−δ, δ)×U −→M , tais que a curva α(t) = ϕ(t, q)

onde t ∈ (−δ, δ) e q ∈ U e a unica curva que satisfaz ∂ϕ∂t

= X(ϕ(t, q)) e ϕ(0, q) = q.

Uma curva α : (−δ, δ) −→ M que satisfaz as condicoes α′(t) = X(α(t)) e

α(0) = q e chamada a trajetoria do campo X que passa por q para t = 0. A

aplicacao ϕ : (−δ, δ) × U −→ M depende diferenciavelmente de t, da condicao

inicial q e ϕt : U −→M e chamado o fluxo local de X.

1.2 Variedades Riemannianas

Definicao 1.2.1. Uma metrica Riemanniana em uma variedade diferenciavel M e

uma correspondencia que associa a cada ponto p de M um produto interno 〈·, ·〉p em

TpM que varia diferenciavelmente em M .

Variar diferenciavelmente como na definicao acima pode ser melhor compreen-

dido com auxilio de um sistema de coordenadas locais x : U ⊂ Rn −→ M em

torno de p. Neste sistema de coordenadas, defina gij(p) =⟨

∂∂xi

(p), ∂∂xj

(p)⟩p. Exigir

que o produto interno varie diferenciavelmente em M significa pedir que as funcoes

gij dependam diferenciavelmente de p. As funcoes gij sao chamadas expressoes da

metrica Riemanniana no sistema de coordenadas.

Definicao 1.2.2. Uma variedade Riemanniana e uma variedade diferenciavel mu-

nida de uma metrica Riemanniana.


Definicao 1.2.3. Sejam M e N variedades Riemannianas. Um difeomorfismo f :

M −→ N e chamado uma isometria se

〈u, v〉p = 〈dfp(u), dfp(v)〉f(p)

para todo p ∈M e u, v ∈ TpM .

Definicao 1.2.4. Nos moldes da definicao anterior, f e uma isometria local em

p ∈ M se existe uma vizinhanca U ⊂ M de p tal que f : U −→ f(U) e uma

isometria.

Duas variedades Riemannianas M e N sao ditas localmente isometricas se para

cada p ∈M existir uma isometria local em p.

Dada uma variedade Riemanniana orientada existe uma maneira de atribuir

volume a certas regioes de M . Para isso seja p ∈ M e x : U ⊂ Rn −→ M uma

parametrizacao compatıvel com a orientacao de M . Considere uma base ortonormal

positiva B = {e1, ..., en} em TpM e escreva Xi(p) = ∂∂xi

(p) na base B como Xi(p) =∑ij aijej, entao det(aij) =

√det(gij)(p). Agora se R ⊂ M e um conjunto aberto

e conexo cujo fecho e compacto e suponha que R ⊂ x(U) possuindo fronteira de

medida nula em Rn, definimos

V ol(R) =

∫x−1(R)

√det(gij)(x1, ..., xn)dx1...dxn.

Se y : V ⊂ Rn −→M e outra parametrizacao positiva em torno de p, entao o Ja-

cobiano da mudanca de coordenadas possui determinante positivo e utilizando troca

de variaveis nas integrais em Rn se mostra sem dificuldades que nessas condicoes a

definicao do volume de R nao depende do sistema de coordenadas. Para uma regiao

compacta R nao necessariamente contida em uma vizinhanca coordenada, tome uma

particao da unidade {ϕα} subordinada a cobertura finita de R determinada pelas

vizinhancas coordenadas xα(Uα) e defina

V ol(R) =∑α

∫x−1(R)

ϕα

√det(gαij)(x1, ..., xn)dx1...dxn.

Indicaremos χ(M) o conjunto dos campos de vetores de classe C∞ em M e por

D(M) o anel das funcoes f : M −→ R de classe C∞.


Definicao 1.2.5. Uma conexao afim ∇ em uma variedade diferenciavel M e uma

aplicacao,

∇ : χ(M)× χ(M) −→ χ(M)

que se indica por (X, Y )∇→ ∇XY e que satisfaz as seguintes propriedades:

1. ∇fX+gYZ = f∇XZ + g∇YZ,

2. ∇X(Y + Z) = ∇XY +∇XZ,

3. ∇X(fY ) = f∇XY +X(f)Y ,

onde X, Y, Z ∈ χ(M) e f, g ∈ D(M).

Proposicao 1.2.6. Seja M uma variedade diferenciavel com uma conexao afim ∇.

Entao existe uma unica correspondencia que associa a um campo vetorial V ao longo

de uma curva diferenciavel c : I −→M um outro campo vetorial DVdt

ao longo de c,

denominado derivada covariante de V ao longo de c, tal que:

1. D(V+W )dt

= DVdt

+ DWdt

.

2. D(fV )dt

= dfdtV + f DV

dt.

3. Se V e induzido por um campo de vetores Y ∈ χ(M), isto e, V (t) = Y (c(t)),

entao DVdt

= ∇ dcdtY .

Definicao 1.2.7. Seja M uma variedade diferenciavel com uma conexao afim ∇.

Um campo V ao longo de uma curva c : I −→ M e chamado de paralelo quando

DVdt

= 0 para todo t ∈ I.

Proposicao 1.2.8. Seja M uma variedade diferenciavel com uma conexao afim ∇.

Seja c : I −→ M uma curva diferenciavel em M e V0 um vetor tangente a M em

c(t0), t0 ∈ I. Entao existe um unico campo de vetores paralelos V ao longo de c, tal

que V (t0) = V0 (V (t) e chamado o transporte paralelo de V (t0) ao longo de c).

Abaixo definimos a conexao Riemanniana, objeto importantıssimo no estudo de

Geometria Riemanniana, pois pode ser considerada o elo de ligacao para as definicoes

abstratas de curvaturas, sendo esses ultimos os de maior interesse neste estudo.


Definicao 1.2.9. Seja M uma variedade Riemanniana com uma conexao afim ∇. A

conexao e dita compatıvel com a metrica 〈·, ·〉, quando para toda curva diferenciavel

c e quaisquer pares de campos de vetores paralelos P e P ′ ao longo de c tivermos

〈P, P ′〉 = cte.

Apresentamos agora seguidamente duas caracterizacoes de conexoes compatıveis

com a metrica, a segunda segue imediatamente da primeira e sera frequentemente

utilizada ao longo dos estudos.

Proposicao 1.2.10. Seja M uma variedade Riemanniana. Uma conexao ∇ em M

e compatıvel com a metrica se, e so se, para todo par V e W de campos de vetores

ao longo da curva diferenciavel c : I −→M tem-se

d

dt〈V,W 〉 =

⟨DV

dt,W

⟩+

⟨V,DW

dt

⟩.

Corolario 1.2.11. Uma conexao ∇ em uma variedade Riemanniana M e compatıvel

com a metrica se, e so se

X 〈Y, Z〉 = 〈∇XY, Z〉+ 〈Y,∇XZ〉 .

Definicao 1.2.12. Uma conexao afim ∇ em uma variedade diferenciavel M e dita

simetrica quando

∇XY −∇YX = [X, Y ]

para todo X, Y ∈ χ(M).

Teorema 1.2.13. Dado uma variedade Riemanniana M , existe uma unica conexao

afim ∇ em M satisfazendo as condicoes

1. ∇ e simetrica.

2. ∇ e compatıvel com a metrica Riemanniana.

A conexao do teorema acima e chamada conexao Riemanniana de M .

Definicao 1.2.14. Uma curva parametrizada γ : I −→ M e uma geodesica em

t0 ∈ I se Ddt

(dγdt

) = 0 para t0. Caso γ seja geodesica para todo t ∈ I, dizemos que γ

e uma geodesica.

Lema 1.2.15. Existe um unico campo G em TM cujas trajetorias sao da forma

t 7−→ (γ(t), γ′(t)), onde γ e uma geodesica em M .


Definicao 1.2.16. O campo G acima e chamado campo geodesico em TM e seu

fluxo, fluxo geodesico de TM .

Aplicando o Teorema 1.1.12 ao campo geodesico G no ponto (p, 0) ∈ TM , ob-

temos para cada p ∈ M um aberto U ⊂ TM , onde (p, 0) ∈ U , um numero δ > 0 e

uma aplicacao C∞, ϕ : (−δ, δ)×U −→ TM tais que ϕ(q,v)(t) e a unica trajetoria de

G que satisfaz a condicao inicial ϕ(q,v)(0) = (q, v) para cada (q, v) ∈ U . Escolhendo

U como U = {(q, v) ∈ TM ; q ∈ V, v ∈ TqM com |v| < ε}, onde V ⊂ π(U) e uma

vizinhanca de p ∈M com π a projecao de TM sobre M e pondo γ = π ◦ϕ obtemos

a seguinte proposicao.

Proposicao 1.2.17. Dado p ∈M , existem uma vizinhanca V de p, numeros δ > 0,

ε > 0 e uma aplicacao C∞ γ : (−δ, δ)× U −→M (U como acima) tais que a curva

γ(q,v)(t), t ∈ (−δ, δ), e a unica geodesica de M que no instante t = 0 passa por q

com velocidade v, para cada q ∈ V e cada v ∈ TqM com |v| < ε.

Devido a homogeneidade (veja [2] pg.72) podemos supor que as geodesicas este-

jam definidas no intervalo aberto (−2, 2). A escolha deste aberto e justificada pelas

consideracoes que se seguem.

Seja U ⊂ TM um aberto como na proposicao acima com δ = 2. Desta forma a

aplicacao exp : U −→M dada por

exp(q, v) = γ(1, q, v) = γ(|v| , q, v|v|

)

onde (q, v) ∈ U , e chamada a aplicacao exponencial em U . A aplicacao exponencial

e diferenciavel e expq : Bε(0) ⊂ TqM −→ M dada por expq(v) = exp(q, v) e a

restricao de exp a um aberto de TqM . Geometricamente, expq(v) e o ponto obtido

ao percorrer |v| a partir de q sobre a geodesica que passa por q com velocidade v|v| .

Proposicao 1.2.18. Dado q ∈M , existe um ε > 0 tal que expq : Bε(0) ⊂ TqM −→

M e um difeomorfismo de Bε(0) sobre um aberto de M .

Implıcito na proposicao acima esta contido uma relacao importantıssima que

nos da a expressao da diferencial da aplicacao expq em 0 ∈ TqM . Na realidade para

todo v ∈ Bε(0), d(expq)0(v) = v e isso e o bastante para a veracidade da proposicao

acima.


Definicao 1.2.19. A curvatura R de uma variedade Riemanniana M e uma corres-

pondencia que associa a cada par X, Y ∈ χ(M) uma aplicacao R(X, Y ) : χ(M) −→

χ(M) dada por

R(X, Y )Z = ∇Y∇XZ −∇X∇YZ +∇[X,Y ]Z

onde Z ∈ χ(M) e ∇ e a conexao Riemanniana de M .

Proposicao 1.2.20. Seja R a curvatura de uma variedade riemanniana, entao:

1. R e bilinear em χ(M)× χ(M), isto e,

R(fX1 + gX2, Y1) = fR(X1, Y1) + gR(X2, Y1),

R(X1, fY1 + gY2) = fR(X1, Y1) + gR(X1, Y2),

onde f, g ∈ D(M) e X1, X2, Y1, Y2 ∈ χ(M).

2. Para todo par X, Y ∈ χ(M), o operador curvatura R(X, Y ) : χ(M) −→ χ(M)

e linear, isto e,

R(X, Y )(Z +W ) = R(X, Y )Z +R(X, Y )W,

R(X, Y )fZ = fR(X, Y )Z,

onde f ∈ D(M) e Z,W ∈ χ(M).

Proposicao 1.2.21. A curvatura R satisfaz a identidade de Bianchi, isto e,

R(X, Y )Z +R(Y, Z)X +R(Z,X)Y = 0.

De agora em diante utilizaremos por conveniencia a notacao RXY (Z) para sig-

nificar R(X, Y )(Z).

CAPITULO 2

GRUPOS DE LIE

Este capıtulo tem como objetivo fornecer conceitos basicos e essenciais a cons-

trucao do capıtulo 3. Neste, assim como fez Sophus Lie inicialmente em 1870,

utilizaremos tambem as algebras de Lie associada aos grupos de Lie para explorar

suas propriedades.

O emprego das algebras de Lie no estudo dos grupos de Lie se tornou o caminho

mais frequente, muito por essas serem estruturas mais simples uma vez que o espaco

estudado e linear.

As demonstracoes deste capıtulo podem ser encontradas em [9].

2.1 Grupos topologicos

Definicao 2.1.1. Um grupo topologico G e um grupo (algebrico) cujo conjunto

subjacente esta munido de uma topologia e que,

1. O produto p : G × G −→ G, p(g, h) = gh, e uma aplicacao contınua, quando

se considera em G×G a topologia produto.

2. A aplicacao i : G −→ G, i(g) = g−1, e contınua.

Cada elemento g ∈ G define, de forma natural as seguintes aplicacoes:

Translacao a esquerda: Lg : G −→ G, Lg(h) = gh.

Translacao a direita: Rg : G −→ G, Rg(h) = hg.

2.1 Grupos topologicos 20

Conjugacao: Cg : G −→ G, Cg(h) = ghg−1. Decorre imediatamente da continui-

dade de p que tais aplicacoes sao continuas. Na verdade uma observacao mais atenta

e suficiente para notarmos que se tratam de homeomorfismos de G. A proposicao

abaixo e uma consequencia da continuidade das translacoes.

Proposicao 2.1.2. Sejam G e H grupos topologicos e φ : G −→ H um homomor-

fismo (de grupos). Entao, φ e contınuo se, e so se, φ e contınuo no elemento neutro

e ∈ G.

Definicao 2.1.3. Um subgrupo H ⊂ G com a topologia do subespaco e denominado

de subgrupo topologico de G.

Obviamente para que tal definicao tenha sentido e preciso notar que se p : G×

G −→ G e o produto em G, entao pH = p|H : H × H −→ H e o produto em H e

e continuo com a topologia do subespaco em H ×H que coincide com a topologia

produto em H ×H. Consideracoes analogas devem ser feitas para iH .

Proposicao 2.1.4. Seja H ⊂ G um subgrupo e suponha que H◦ 6= ∅. Entao, H e

aberto.

Proposicao 2.1.5. Suponha que H seja um subgrupo aberto de G. Entao, H e

fechado.

Este ultimo fato garante que subgrupos abertos de G sao na realidade unioes de

componentes conexas de G e em particular, se G e conexo, deve portanto ser o unico

de seus subgrupos abertos. Os resultados que se seguem terao aplicacoes no estudo

de grupos de Lie, principalmente pelo fato destes serem localmente conexos.

Proposicao 2.1.6. A componente conexa do elemento neutro em G, G0, e um sub-

grupo fechado e normal de G. Qualquer outra componente conexa e uma classe

lateral gG0 = G0g. Reciprocamente, toda classe lateral gG0 = G0g e uma compo-

nente conexa de G.

Proposicao 2.1.7. Suponha que G seja localmente conexo. Entao, G0 e um sub-

grupo aberto.

Proposicao 2.1.8. Suponha que G seja conexo. Entao para qualquer vizinhanca do

elemento neutro U , temos G =⋃n≥1 U

n.

2.2 Grupos e algebras de Lie 21

Quando estamos em posse de um grupo localmente compacto e possıvel definir

sobre tal uma medida de Haar µ, ou seja, uma medida sobre a σ-algebra dos con-

juntos de Borel de G, que e invariante por translacoes a esquerda ou a direita no

grupo. Para a construcao de tal medida fica referenciado [9] capıtulo 3.

2.2 Grupos e algebras de Lie

Definicao 2.2.1. Um grupo de Lie e um grupo cujo conjunto subjacente possui uma

estrutura de variedade diferenciavel, de tal forma que a aplicacao produto

p : (g, h) ∈ G×G 7−→ gh ∈ G

seja diferenciavel.

Decorre imediatamente da definicao acima e da natureza das translacoes, que es-

tas sao difeomorfismo de G em G. Aqui, bem como em todo trabalho, consideramos

diferenciavel como de classe C∞. Decorre da definicao acima e do uso do Teorema

da funcao implıcita o seguinte resultado.

Proposicao 2.2.2. Em um grupo de Lie G a aplicacao i : g ∈ G 7→ g−1 ∈ G e um

difeomorfismo. A diferencial de i e dada por

dig = −(dLg−1)e ◦ (dRg−1)g

em particular, (di)e = −id.

Associado a um grupo de Lie existe uma estrutura algebrica vetorial que desem-

penha um papel importantıssimo em seu estudo. Tal estrutura e chamada algebra

de Lie.

Definicao 2.2.3. Uma algebra de Lie e um espaco vetorial g munido de uma

operacao binaria [·, ·] : g× g −→ g denominada colchete de Lie satisfazendo:

1. O colchete [·, ·] e bilinear.

2. Anti-simetrico, isto e, [X, Y ] = − [Y,X].

3. Satisfaz a identidade de Jacobi, ou seja, para X, Y, Z ∈ g, [X, [Y, Z]] =

[[X, Y ] , Z] + [Y, [X,Z]].


Enunciaremos agora algumas definicoes acerca de algebras de Lie que serao fre-

quentemente utilizadas em nosso estudo.

Definicao 2.2.4. Uma alegra de Lie g e dita comutativa se [X, Y ] = 0 para todo

X, Y ∈ g

Definicao 2.2.5. Uma subalgebra de Lie h ⊂ g e um subespaco vetorial de g fechado

para o colchete.

Definicao 2.2.6. Um subespaco u de uma algebra de Lie g e um ideal, se para todo

X ∈ u e todo Y ∈ g, [X, Y ] ∈ u.

Definicao 2.2.7. A serie central descendente de uma algebra de Lie g e dada por

g = g1 ⊃ g2 = [g, g] ⊃ · · · = gk+1 =[g, gk

]· ··

.

Definicao 2.2.8. A algebra de Lie g e nilpotente se sua serie central descendente

se estabiliza, isto e, se gk = {0} para algum k ≥ 0.

Definicao 2.2.9. Seja g uma algebra de Lie, sua serie derivada e a sequencia de

ideais

g(0) = g ⊃ g(1) = [g, g] ⊃ g(2) =[g(1), g(1)

]⊃ · · · ⊃ g(k) =

[g(k−1), g(k−1)

]⊃ · · ·

.

Definicao 2.2.10. Uma algebra de Lie g e dita soluvel se g(k) = {0} para algum

k ≥ 0.

Definicao 2.2.11. Uma algebra de Lie g e dita simples se nao admite ideais que

nao os triviais ({0} e g).

Definicao 2.2.12. Uma algebra de Lie g e dita semi-simples se pode ser escrita

como soma direta (de espacos vetoriais) de algebras de Lie simples.

Uma outra caracterizacao de algebras de Lie semi-simples pode ser dado em

funcao de sua forma de Cartan-Killing (usualmente chamada somente de forma

de Killing), onde g e semi-simples se, e so se, sua forma de Cartan-Killing e nao-

degenerada. Para uma referencia veja [8] capıtulo 3.


Definicao 2.2.13. Seja G um grupo de Lie. Um campo de vetores X em G e dito

Invariante a esquerda: se para todo g, h ∈ G, d(Lg)h(X(h)) = X(gh).

Invariante a direita: se para todo g, h ∈ G, d(Rg)h(X(h)) = X(hg).

Decorre diretamente da definicao acima que o campo definido a partir da condicao

X(g) = d(Lg)e(X(e)) para cada g ∈ G e invariante a esquerda. Os campos inva-

riantes a direita sao obtidos analogamente. Essa propriedade mostra que o espaco

tangente TeG determina todos os campos invariantes em G, portanto podemos a par-

tir daqui nos referirmos a um campo invariante, previamente estabelecido a esquerda

ou a direita, como um elemento de TeG. Dado X ∈ TeG, a notacao Xd indicara

o campo invariante a direita tal que Xd(e) = X, ou seja, Xd(g) = d(Rg)e(X) e

analogamente para Xe.

Lema 2.2.14. Sejam Xe e Y e campos invariantes em um grupo de Lie G. Entao, o

colchete de campos diferenciaveis de vetores [Xe, Y e] = XeY e − Y eXe e invariante

a esquerda. A mesma afirmacao vale para campos invariantes a direita.

O Lema acima permite definir a algebra de Lie de G. Existe mais de uma maneira

de definir a algebra de Lie g de um grupo de Lie G, contudo todas conduzem a

algebras de Lie isomorfas. Utilizaremos aqui a definicao mais conveniente.

Definicao 2.2.15. A algebra de Lie g de um grupo de Lie G e o espaco vetorial

TeG munido da operacao colchete dada por

[X, Y ] = [Xe, Y e] (e)

onde X, Y ∈ TeG.

Em outras palavras, o colchete em TeG conduz um par de vetores X, Y ∈ TeG

(ou campos invariantes a esquerda Xe e Y e em G) ao representante em TeG do

campo invariante a esquerda dado por [Xe, Y e] = XeY e −XeY e.

Em grupos de Lie, a grande importancia no estudo de suas algebras de Lie esta re-

lacionado a um elo fortıssimo criado pela aplicacao exponencial de Lie. Diferente

da exponencial definida no primeiro capıtulo, esta nova e colocada a partir do fluxo

de campos invariantes e nao tem a priori ligacao alguma com o fluxo geodesico.

Quando nao causar enganos mencionaremos somente exponencial e denotaremos


exp. Para entender sua existencia, seja X um campo invariante a esquerda, denote

Xt seu fluxo local. A invariancia de X, promove a seguinte propriedade:

Sejam g, h ∈ G com h ∈ domXt e α(t) = gXt(h). Note que o domınio de α e

um intervalo de R contendo o zero, tal que α(0) = gh. Agora, pela regra da cadeia,

α′(t) = d(Eg)Xt(h)(X(Xt(h))) e pela invariancia de X segue que α′(t) = X(α(t)).

Portanto α e uma curva que para t = 0 passa em gh com velocidade X(gh). Logo α

e solucao para o problema de valor inicial ∂g∂t

= X(g) com g(0) = gh, ou seja, α(t) =

Xt(gh) e Xt(gh) = gXt(h). Em particular se h = e temos Xt(g) = gXt(e), isto e,

as solucoes para o P.V.I anterior sao na realidade translacoes a esquerda da solucao

com valor inicial α(0, e) = 0. Para campos invariantes a direita, analogamente se

mostra que Yt(h)g = Yt(hg).

O fato de as trajetorias serem obtidas umas das outras via translacoes acarreta

que devem possuir todas o mesmo intervalo de domınio. Estas consideracoes nos

levam ao seguinte resultado.

Proposicao 2.2.16. Um campo invariante a direita ou a esquerda e completo.

Outro resultado que segue imediatamente do feito acima e que se X e invariante

a esquerda entao:

Xt+s(e) = Xt(Xs(e)) = Xs(e)Xt(e) = Xt(e)Xs(e),

enquanto se Y e invariante a direita,

Yt+s(e) = Yt(Ys(e)) = Yt(e)Ys(e) = Ys(e)Yt(e)

e assim obtemos que

Xt+s(e)Xt(e)−1 = Xs(e) = Xt+s−t(e) = Xt+s(e)X−t(e),

ou seja, X−t(e) = Xt(e)−1 e analogamente se mostra que Y−t(e) = Yt(e)

−1. O

que nos leva a concluir que se X e invariante a esquerda e Y invariante a direita,

entao {Xt(e); t ∈ R} e {Yt(e); t ∈ R} sao subgrupos de G denominados subgrupos a

1-parametro de G.

O proximo resultado conecta as trajetorias de campos invariantes a esquerda e

a direita e permite a definicao da aplicacao exponencial de Lie.


Proposicao 2.2.17. Sejam X e Y campos invariantes a esquerda e a direita res-

pectivamente, tais que X(e) = Y (e). Entao suas trajetorias Xt(e) e Yt(e) coincidem

para t ∈ R.

Definicao 2.2.18. Seja X ∈ TeG. Entao expX = Xd1 (e) = Xe

1(e) e a aplicacao

exponencial de g em G.

No caso particular (contudo muito frequente) de um grupo de Lie G de matrizes,

verifica-se que se X ∈ g, entao exp(X) =∑

n≥0Xn

n!, ou seja, a aplicacao exponencial

coincide com a ja conhecida exponencial de matrizes (veja [9] pg.98).

Observacao 2.2.19. Se a ∈ R e X e um campo diferenciavel de vetores, entao as

trajetorias X e aX possuem a mesma imagem e seus fluxos satisfazem (aX)t = Xat.

Portanto as trajetorias de campos Xd e Xe que passam pelo elemento neutro sao

dadas por

Xdt (e) = Xe

t (e) = exptX.

Assim exp(t+s)X = Xt+s(e) = Xt(e)Xs(e) = exptXexpsX e um homomorfismo

de R em G.

Proposicao 2.2.20. A aplicacao exp : g −→ G e diferenciavel e alem disso d(exp)0(X) =

X para todo X ∈ g.

A proposicao acima prepara o uso do Teorema da aplicacao inversa, nos garan-

tindo a existencia de vizinhancas U ⊂ g e V ⊂ G de 0 ∈ g e e ∈ G respectivamente,

de forma que exp : U −→ V seja um difeomorfismo. Perceba que este fato, devido

a proposicao 2.1.8, possui imediata influencia sobre grupos de Lie conexos.

Lema 2.2.21. Sejam G e H grupos de Lie com algebras de Lie g e h respectivamente.

Seja φ : G −→ H um homomorfismo diferenciavel e tome X ∈ g. Entao para todo

g ∈ G vale

dφg(Xd(g)) = Y d(φ(g)),

dφg(Xe(g)) = Y e(φ(g)),

onde Y = dφe(X).

O Lema mostra que X ∈ g e Y ∈ h sao φ-relacionados e portanto as trajetorias

de Y sao dadas pelas imagens de φ das trajetorias de X. Como as trajetorias de

campos invariantes sao dadas pelas exponencias obtemos o seguinte resultado.


Proposicao 2.2.22. Sejam G e H grupos de Lie com algebras de Lie g e h respec-

tivamente. Se φ : G −→ H e um homomorfismo diferenciavel e X ∈ g, entao

φ(expX) = exp(dφe(X)).

O automorfismo conjugacao Cg(h) = ghg−1 induz naturalmente um homomor-

fismo de G no grupo linear geral Gl(g) dado por Ad(g) = d(Lg)g−1 ◦ d(Rg−1)e. Tal

homomorfismo e diferenciavel e alem disse vale o proximo resultado.

Proposicao 2.2.23. Seja G um grupo de Lie com algebra de Lie ∈ g. Entao

d(Ad)e(X) = [X, ·] para todo X ∈ g.

Definicao 2.2.24. Sejam g e h algebras de Lie. Um homomorfismo (de algebras de

Lie) de g em h e uma transformacao linear T : g −→ h, tal que

T ([X, Y ]) = [T (X), T (y)] ,

ou seja, T preserva o colchete.

Definicao 2.2.25. Seja g uma algebra de Lie. Sua representacao adjunta e a

aplicacao ad : g :−→ gl(g) definida por

ad(X)(Y ) = [X, Y ] .

Acima gl(g) e a algebra linear geral dadas pelas transformacoes lineares de g

em g e o comutador de matrizes.

Devido a bilinaridade do colchete e a identidade de Jacobi, ad e um homomor-

fismo de algebras de Lie (na verdade e uma representacao de g, (veja [9] pg.110). Com

a notacao da definicao acima o resultado da proposicao 2.2.23 se torna d(Ad)e(X) =

ad(X). Aplicando este ultimo fato a proposicao 2.2.22 obtemos.

Corolario 2.2.26. Seja G um grupo de Lie, com algebra de Lie g. Entao

Ad(expX) = exp(ad(X))

O resultado abaixo e conhecido como terceiro teorema de Lie .

Teorema 2.2.27. Se g e uma algebra de Lie real e de dimensao finita, entao existe

um grupo de Lie G com algebra de Lie g.


Teorema 2.2.28. Se G e um grupo de Lie conexo com algebra de Lie g, entao o

seu recobrimento universal G admite uma estrutura de grupo de Lie cuja algebra de

Lie e g.

Teorema 2.2.29. Seja g uma algebra de Lie real de dimensao finita. Entao,

1. Existe um unico (a menos de isomorfismo) grupo de Lie conexo e simplesmente

conexo G(g) com algebra de Lie g.

2. Se G e um grupo de Lie conexo com algebra de Lie g, entao G e isomorfo a

G(g)/Γ, onde Γ ⊂ G(g) e um subgrupo discreto contido no centro de G(g).

Alem disso, Γ e isomorfo ao grupo fundamental π1(G).

A unicidade do item 1 e garantida pelo principio da monodromia (veja [9] pg.155).

Dado um grupo de Lie G com algebra de Lie g e um ideal u ⊂ g, existe um unico

subgrupo de Lie conexo U ⊂ G com algebra de Lie u. Alem disso se G e conexo

e g se decompoe como a soma direta g = a1 ⊕ · · · ⊕ an de ideais de g, entao G se

decompoe como o produto cartesiano G = A1 × · · · ×An de subgrupos normais Ai,

tais subgrupos sao gerados pelas subalgebras ai (veja [9] secao 6.2). Ainda, se G e

simplesmente conexo, cada Ai deve ser simplesmente conexo.

Um grupo de Lie pode obviamente ser considerado uma variedade Riemanniana,

bastando para isso que possua uma metrica Riemanniana. Desta forma, podemos

nos perguntar quais destas deixam invariantes os automorfismos translacoes, neste

contexto temos a definicao abaixo.

Definicao 2.2.30. Uma metrica Riemanniana em um grupo de Lie G e dita inva-

riante a esquerda se

〈X, Y 〉g = 〈d(Lh)gX, d(Lh)gY 〉Lh(g)

para todo h, g ∈ G e X, Y ∈ TgG.

Analogamente se define metricas invariantes a direita, trocando obviamente na

definicao acima as translacoes a esquerda por translacoes a direita.

2.3 Exemplos 28

2.3 Exemplos

Nesta ultima secao preliminar daremos alguns exemplos de grupos de Lie, bem

como suas algebras de Lie e bases apropriadas para tais algebras, preparando-os

para aplicacoes no proximo capıtulo.

Exemplo 2.3.1. O grupo de Lie SL(2,R) e chamado de grupo linear especial e

consiste no grupo das matrizes reais bi-dimensionais com determinante 1. Note que

tal grupo nao e limitado em M2(R), portanto nao e compacto.

Quanto a sua algebra de Lie, se X ∈ sl(2,R), entao det(exp(tX)) = 1 para

todo t ∈ R, ou seja, det(exp(X)) = etr(X) = 1 e portanto tr(X) = 0 sendo desta

forma uma condicao necessaria e suficiente para X ∈ sl(2,R). Assim sl(2,R) =

{X ∈M2(R); tr(X) = 0}.

Mostremos agora que sl(2,R) e simples. De fato, tomemos inicialmente para tal

algebra a base,

e1 =

−1 0

0 1

, e2 =

0 −1

−1 0

, e3 =

0 −1

1 0

Nesta base temos [e1, e2] = −2e3, [e2, e3] = 2e1 e [e3, e1] = 2e2. Entao perceba

que tal estrutura garante que todo ideal que admitir um elemento da base {e1, e2, e3}

e na realidade sl(2,R).

Seja u um ideal de sl(2,R), v = ae1+be2+ce3 ∈ u e suponha sem perda de genera-

lidade que a 6= 0. Entao [v, e1] = 2be3+2ce2. Caso b,c ou ambos sejam zero, obtemos

um elemento basico em u. Caso ambos difiram de zero, entao [2be3 + 2ce2, e3] = 4ce1

e e1 ∈ u. Logo sl(2,R) nao admite ideais nao triviais.

Exemplo 2.3.2. O grupo de Lie SU(2) e chamado grupo especial unitario e consiste

no grupo das matrizes complexas unitarias de determinante 1. As matrizes de SU(2)

podem ser escritas na forma, a b

−b a

,onde b denota o conjugado complexo de b.

2.3 Exemplos 29

Se a = x1 + x2i e b = x3 + x4i teremos,

A =

a b

−b a

=

x1 + x2i x3 + x4i

−x3 + x4i x1 − x2i

com x1, x2, x3, x4 ∈ R. A condicao sobre o determinante garante que det(A) =

x21 + x2

2 + x23 + x2

4 = 1, ou seja, o grupo de Lie SU(2) e homeomorfo a S3, portanto

e compacto, conexo e simplesmente conexo.

Quanto a sua algebra de Lie, note que se X ∈ su(2), entao exp(tX) e unitaria

para todo t ∈ R, ou seja, exp(tX)∗ = exp(tX)−1 = exp(−tX). Como exp(tX)∗ =

exp(tX∗) obtemos exp(tX∗) = exp(−tX). numa direcao vemos que se X∗ =

−X, entao a igualdade exp(tX∗) = exp(−tX) esta satisfeita. Noutra direcao, se

exp(tX∗) = exp(−tX) para todo t ∈ R, derivando em t = 0 temos X∗ = −X, ou

seja, as matrizes em su(2) satisfazem necessariamente X∗ = −X. Alem disso, a

restricao sobre o determinante exige tambem que det(exp(tX) = 1 para todo t ∈ R.

Desta forma det(exp(tx)) = etr(tX) = 1. Em especial para t = 1 obtemos tr(X) = 0.

Logo su(2) = {X ∈M2(C);X∗ = −X e tr(X) = 0}.

Uma base para su(2) sobre R e

e1 =

0 −i

−i 1

, e2 =

0 1

−1 0

, e3 =

i 0

0 −i

onde [e1, e2] = 2e3, [e2, e3] = 2e1 e [e3, e1] = 2e2. Analogamente ao exemplo 2.3.1 se

mostra que tal algebra de Lie e simples.

Exemplo 2.3.3. O grupo SO(3) e chamado de grupo ortogonal especial tridimen-

sional e consiste no grupo das matrizes ortogonais cujo determinante e 1. Como

SO(3) ⊂ S2 × S2 × S2, concluımos que tal grupo e limitado no espaco das matrizes

tridimensionais. Note tambem que toda sequencia de matrizes ortogonais conver-

gente, converge a uma matriz ortogonal. Alem disso, decorre da continuidade da

aplicacao determinante que se tais matrizes possuem determinante 1, entao conver-

gem a uma matriz de determinante 1, ou seja, tal grupo e tambem fechado, logo

compacto.

Quanto a algebra de Lie so(3) de SO(3), se X ∈ SO(3), entao exp(tX)T =

exp(tX)−1 = exp(−tX), como exp(tX)T = exp(tXT ) para todo t ∈ R, derivando e

t = 0 temos XT = −X e X e anti-simetrica. Obviamente se XT = −X, entao X

2.3 Exemplos 30

satisfaz a igualdade exp(tX)T = exp(−tX) para todo t ∈ R. Como det(expA)) =

etr(A) vale sempre, devemos neste caso ter det(expX) = 1 e podemos concluir que

X ∈ so(3) se, e so se, XT = −X.

Mostraremos agora que a algebra de Lie so(3) e simples. De fato, note que uma

base para o espaco das matrizes tridimensionais anti-simetricas e dada por

e1 =

0 0 1

0 0 0

−1 0 0

, e2 =

0 −1 0

1 0 0

0 0 0

, e3 =

0 0 0

0 0 −1

0 1 0

,onde [e1, e2] = e3, [e2, e3] = e1 e [e3, e1] = e2. Portanto a simplicidade de so(3)

decorre do mesmo argumento utilizado em 2.3.1.

Exemplo 2.3.4. O grupo de Heisenberg que denotaremos H, consiste no grupo de

matrizes da forma 1 a b

0 1 c

0 0 1

,onde a, b, c ∈ R. Perceba que H e homeomorfo a R3, portanto e conexo, mas nao

compacto.

Quanto a sua algebra de Lie, note que se α(t) e uma curva diferenciavel em H,

tal que α(0) = id, deve necessariamente possuir α′(0) da forma,0 a′ b′

0 0 c′

0 0 0

,onde a′, b′, c′ ∈ R. Reciprocamente, para ver que toda matriz X desta forma pertence

a algebra de Lie h de H, basta notar que exp(tX) possui sempre a forma das matrizes

de H. Logo

h =

0 a′ b′

0 0 c′

0 0 0

; a, b, c ∈ R

.

O grupo de Heisenberg assim como sua algebra (H e conexo) sao nilpotentes,

2.3 Exemplos 31

portanto soluveis. De fato, perceba que

[h, h] =

0 0 a

0 0 0

0 0 0

; a ∈ R

e [h, [h, h]] = {0}. Logo a serie central descendente de h e

h ⊃ [h, h] ⊃ {0} .

Por fim, uma base para tal algebra de Lie e

e1 =

0 0 1

0 0 0

0 0 0

, e2 =

0 1 0

0 0 0

0 0 0

, e3 =

0 0 0

0 0 1

0 0 0

.Com essa base temos, [e1, e2] = 0, [e2, e3] = e1 e [e3, e1] = 0.

Exemplo 2.3.5. E(2) e chamado o grupo Euclidiano e consiste no grupo das iso-

metrias de R2, tal grupo e isomorfo ao grupo das matrizes tridimensionais da forma

W

x1

x2

0 0 1

,onde W e uma matriz ortogonal e x1, x2 ∈ R.

Quanto a sua algebra de Lie e(2), uma condicao necessaria para X pertencer

a e(2) e possuir a ultima linha nula, uma vez que se exp(tX) e um subgrupo a

1-parametro, entao

d

dtexp(tX)|t=0 =

Y

x′1

x′2

0 0 0

.Perceberemos mais adiante que Y ∈ so(2). Reciprocamente, um calculo breve

nos mostra queY

x′1

x′2

0 0 0

n

=

Y n Y n−1

x′1

x′2

0 0 0

,

2.3 Exemplos 32

portanto se X e da forma acima, devemos ter

exptX =

exptY

y1

y2

0 0 1

,

onde [y1, y2]T =∑∞

n=1tnY n−1

n!([x′1, x

′2]T ).

Agora exp(tY ) e uma matriz ortogonal se, e so se, Y e da forma Y T = −Y .

Logo e(2) =

Y

y1

y2

0 0 0

;Y T = −Y , y1, y2 ∈ R

.

Mostraremos agora que e(2) e soluvel. Para isso inicialmente detalharemos um

pouco mais as matrizes dessa algebra de Lie. Primeiramente note que as matrizes

bidimensionais e ortogonais em uma vizinhanca de e podem ser escritas como ma-

trizes de rotacao, portanto uma curva passando pela identidade de E(2) em t = 0

possui a forma cos(α(t)) sen(α(t)) β(t)

−sen(α(t)) cos(α(t)) γ(t)

0 0 1

,onde α, β e γ sao curvas diferenciaveis em R contendo a origem com α(0) = β(0) =

γ(0) = 0. Derivando em t = 0 vemos que uma matriz arbitraria de e(2) pode ser

escrita da forma 0 a b

−a 0 c

0 0 0

,portanto

[e(2), e(2)] =

0 0 x

0 0 y

0 0 0

;x, y ∈ R

e [[e(2), e(2)] , [e(2), e(2)]] = {0}, ou seja, e(2) e soluvel.

Por fim uma base para tal algebra de Lie e

2.3 Exemplos 33

e1 =

0 0 0

0 0 1

0 0 0

, e2 =

0 0 1

0 0 0

0 0 0

, e3 =

0 1 0

−1 0 0

0 0 0

e nesta base temos, [e1, e2] = 0, [e2, e3] = e1 e [e3, e1] = e2.

Exemplo 2.3.6. O grupo de Lie E(1, 1) consiste no grupo dos movimentos rıgidos

do espaco bidimensional de Minkowski. Em tal espaco as metricas possuem assina-

tura (+,−). Desta forma uma transformacao linear T preserva tal metrica se, e so

se, TBT T = B onde B denota a matriz da forma bilinear associada a metrica. Se

denotarmos a matriz de T por

x1 x2

x3 x4

, isso se traduz na seguinte equacao,

x1 x2

x3 x4

−1 0

0 1

x1 x2

x3 x4

=

−1 0

0 1

e se obtem, x2

1 − x22 = 1, −x2

3 + x24 = 1, −x1x3 + x2x4 = 0. Encontrando t ∈ R, tal

que x1 = cosh(t), x2 = senh(t) e s ∈ R, tal que x3 = senh(s), x4 = cosh(s) (aqui

se descarta as solucoes x1 = −cosh(t) e x4 = −cosh(s), pois e possıvel mostrar que

E(1, 1) e conexo e tais solucoes nao conduzem a componente conexa da identidade

que coincide com E(1, 1)), teremos x2x4−x1x3 = senh(t)cosh(s)−cosh(t)senh(s) =

senh(t− s) = 0, ou seja, t = s e T possui matriz da forma, cosh(t) senh(t)

senh(t) cosh(t)

.Translacoes evidentemente preservam metricas de Minkowski, assim movimentos

rıgidos neste espaco se identificam com matrizes da forma,

cosh(t) senh(t) x

senh(t) cosh(t) y

0 0 1

,onde x, y ∈ R. Novamente uma curva passando pela identidade em t = 0 e da

forma, cosh(α(t)) senh(α(t) β(t)

senh(α(t) cosh(α(t) γ(t)

0 0 1

2.3 Exemplos 34

com α, β e γ curvas diferenciaveis em R contendo a origem, de forma que α(0) =

β(0) = γ(0) = 0. Logo vetores na algebra de Lie e(1, 1) possuem a forma,0 a b

a 0 c

0 0 0

com a, b, c ∈ R. Reciprocamente, se X e desta forma, entao potencias para um

ındice n impar possuem a forma,0 an an−1b

an 0 an−1c

0 0 0

e para n par a forma,

an 0 an−1b

0 an an−1c

0 0 0

portanto a matriz exp(X) possui nas entradas a11, a12, a21, a22 as series a11 = a22 =∑∞

n=0x2n

2n!e a12 = a21 =

∑∞n=0

x2n+1

(2n+1)!que correspondem as series de potencias das

funcoes cosh e senh respectivamente. Logo

e(1, 1) =

T ∈M3(R);T =

0 a b

a 0 c

0 0 0

e da mesma forma realizada no exemplo 2.3.5 , se mostra que e(1, 1) e soluvel.

CAPITULO 3

CURVATURAS EM GRUPOS DE LIE COM METRICAS

INVARIANTES A ESQUERDA

Neste capıtulo faremos o emprego da teoria previamente estabelecida afim de

estudar propriedades das curvaturas em grupos de Lie quando neste fixamos uma

metrica invariante a esquerda. As curvaturas seccionais, de Ricci e escalar serao os

objetos principais das tres primeiras secoes, um complemento deste estudo pode ser

encontrado nos trabalhos de Wallach [11], Azencott e Wilson [1] e Heintze [3].

Os grupos de Lie tridimensionais, devido a sua relativa simplicidade, ganharao

uma secao propria onde os estudaremos dividindo-os em duas classes, os unimodu-

lares e os nao-unimodulares. A unimodularidade desempenha um papel importante

na compreensao das propriedades geometricas de um grupo de Lie e por esse motivo

dedicamos tambem uma secao ao estudo de grupos de lie unimodulares de dimensao

arbitraria.

A ultima secao tratara de metricas bi-invariantes. Como poderemos ver, neste

caso o estudo das curvaturas se tornara mais simples.

Devida a divisao das secoes em assuntos devidamente estabelecidos, alguns resul-

tados serao enunciados, contudo demonstrados somente em secoes cujo entendimento

da estrutura envolvendo a demostracao ja esteja completo.

3.1 Curvatura seccional 36

3.1 Curvatura seccional

Seja G um grupo de Lie n-dimensional e g a algebra de Lie associada, consistindo

de todos os campos diferenciaveis de vetores invariantes a esquerda em G. Escolha

uma base e1, ..., en para o espaco vetorial g e defina uma metrica exigindo que tal

base seja ortonormal, ou seja, de maneira que 〈ei, ej〉 = δij. Tal metrica pode ser

estendida a uma metrica Riemanniana invariante a esquerda em G pondo,

〈u, v〉x = 〈(dLx−1)x(u), (dLx−1)x(v)〉 ∀x ∈ G e u, v ∈ TxG,

onde Lx denota a translacao a esquerda por x em G. Reciprocamente, toda metrica

invariante a esquerda em G pode ser deduzida de uma metrica (produto interno)

em g. Esta relacao garante que as metricas Riemannianas invariantes a esquerda

em G estao identificadas com os produtos internos de g e como os produtos internos

de um espaco vetorial real n-dimensional estao bem representados pelas matrizes

simetricas, definidas positivas com entradas reais, concluımos que dado um grupo de

Lie G n-dimensional, existe uma famılia n2+n2

-dimensional de metricas Riemannianas

invariantes a esquerda em G. Escolhendo uma metrica invariante a esquerda em G,

as translacoes a esquerda sao isometrias que ligam quaisquer dois pontos dados,

bastando para isso notar que se x, y ∈ G, entao Lyx−1 e um difeomorfismo que pelo

exposto acima preserva a metrica invariante a esquerda com Lyx−1(x) = y. Portanto

G e uma variedade Riemanniana homogenea. Segue deste fato que todo grupo de

Lie com uma metrica invariante a esquerda e completo. Com efeito, escolha um

ε > 0 de maneira que expe : Bε(0) ⊂ TeG → G aplique a bola fechada Bε(0) na

bola fechada Bε(e) ⊂ G difeomorficamente. Como TeG e homeomorfo a Rn, Bε(0) e

compacta e Bε(e) e compacta. Agora sendo G homogeneo, toda Bε(x) onde x ∈ G,

e compacta. Nestas condicoes toda sequencia de Cauchy admite uma subsequencia

convergente e portanto converge.

Sejam X e Y espacos vetoriais, Uma aplicacao f : X × X −→ Y e chamada

bi-quadratica se satisfaz as equacoes,

f(x+ y, z) + f(x− y, z) = 2f(x, z) + 2f(y, z),

f(x, y + z) + f(x, y − z) = 2f(x, y) + 2f(x, z).


A curvatura de uma variedade Riemanniana em um ponto pode ser mais facil-

mente descrita pela funcao bi-quadratica,

k(x, y) = 〈Rxy(x), y〉

com x e y tomados no espaco tangente de um ponto dado. Uma funcao k(x, y) e

uma funcao curvatura para alguma metrica Riemanniana se, e so se, ela e simetrica,

bi-quadratica como funcao de x e y e se anula quando x = y. A colecao de todas

as funcoes bi-quadraticas, simetricas com k(x, x) ≡ 0 forma um espaco vetorial real

de dimensao n2(n2−1)12

. Se u e v sao vetores unitarios e ortogonais ( ou mais em

geral, se o determinante 〈u, u〉〈v, v〉 − 〈u, v〉2 = 1), entao o numero real k(u, v) e

chamado curvatura seccional do plano gerado por u e v. Geometricamente, k(u, v)

e a curvatura Gaussiana em p da superfıcie varrida pelas geodesicas tendo como

vetores tangentes as combinacoes lineares de u e v.

Seja e1, ..., en um referencial ortonormal invariante a esquerda de G. A estrutura

da algebra de Lie pode ser descrita por n×n×n constantes de estrutura αijk onde,

[ei, ej] =∑k

αijkek,

ou equivalentemente,

αijk = 〈[ei, ej], ek〉.

Note que αijk = 〈[ei, ej], ek〉 = −〈[ej, ei], ek〉 = −αjik e as constantes de estrutura

sao anti-simetricas com relacao aos dois primeiros ındices.

Lema 3.1.1. Com as constantes de estrutura αijk acima, a curvatura seccional

k(e1, e2) e dada pela formula,

k(e1, e2) =∑k

(1

2α12k(−α12k+α2k1 +αk12)− 1

4(α12k−α2k1 +αk12)(α12k+α2k1−αk12)

−αk11αk22).

Demonstracao: A demonstracao requer algumas definicoes que serao apresen-

tadas na secao 5 e sera deixada para tal secao.


A expressao do lemma 3.1.1, mostra que a curvatura pode ser completamente

calculada a partir de informacoes da algebra de Lie e sua metrica. Alem disso a

curvatura depende continuamente das constantes de estrutura αijk e zera sempre

que elas zeram.

Lembremos que a adjunta L∗ de uma transformacao linear L e definida pela

formula,

〈Lx, y〉 = −〈x, L∗y〉 .

A transformacao L e anti-adjunta se L∗=−L. Para qualquer elemento x na

algebra de Lie g, a transformacao linear

y 7→ [x, y]

de g em g e chamada ad(x).

Considere agora G com uma metrica invariante a esquerda e u ∈ g.

Lema 3.1.2. Se a transformacao ad(u) e anti-adjunta, entao

k(u, v) ≥ 0

para todo v, onde a igualdade vale se, e so se, u e ortogonal a [v, g].

Demonstracao. Como 〈Ruv(u),v〉〈u,u〉〈v,v〉−〈u,v〉2 e invariante por mudanca de bases do plano

gerado por u e v, ( veja [2] pg.104) podemos assumir sem perda de generalidade que u

e v sao ortonormais. Escolha uma base ortonormal e1, ..., en de g com e1 = u e e2 = v.

Como por hipotese ad(e1) e anti-adjunta, entao 〈ad(e1)ej, ek〉 = −〈ej, ad(e1)ek〉, ou

seja, 〈[e1, ej], ek〉 = −〈[e1, ek], ej〉 e α1jk = −α1kj. Utilizando este fato na formula

do Lema 3.1.1, obtemos que

k(e1, e2) =∑k

1

4α2k21 ≥ 0.

Mostremos agora o caso da igualdade. Suponha que k(e1, e2) =∑

k14α2k21 = 0.

Entao αk21 = 0 para k = 1, ..., n, 〈e1, [e2, ek]〉 = 0 e segue da bi-linearidade do

colchete e da metrica que e1⊥[e2, g]. Reciprocamente, se 〈e1, [e2, g]〉 = 0, entao

〈e1, [e2, ek]〉 = 0 para k = 1, ..., n. Daı α2k1 = αk21 = 0 e k(e1, e2) = 0.


Relembremos que o centro da algebra de Lie e o ideal Z(g) = {u ∈ g; ad(u) ≡ 0}

de g.

Corolario 3.1.3. Se u ∈ Z(g), entao para qualquer metrica invariante a esquerda

temos que k(u, v) ≥ 0 para todo v ∈ g.

Demonstracao. Segue do Lema 3.1.2 e de observar que ad(u) ≡ 0, portanto ad(u) e

anti-adjunta seja qual for a metrica invariante a esquerda escolhida.

Um grupo de Lie pode possuir uma metrica invariante nao somente a esquerda,

mas tambem a direita, ou seja, invariante por translacoes a esquerda e a direita.

Um fato basico sobre metricas bi-invariantes pode ser resumido como segue.

Lema 3.1.4. Uma metrica invariante a esquerda em um grupo de Lie conexo e

tambem invariante a direita se, e so se, ad(x) e anti-adjunta ∀x ∈ g. Um grupo

de Lie conexo admite uma metrica bi-invariante se, e so se, e isomorfo ao produto

cartesiano de um grupo compacto e um grupo comutativo.

Este fato sera provado na secao 7.

Corolario 3.1.5. Todo grupo de Lie compacto admite uma metrica invariante a

esquerda (na verdade bi-invariante) de maneira que todas as curvaturas seccionais

satisfacam K ≥ 0.

Demonstracao. Se G e compacto, entao e isomorfo a G × {e} onde G e compacto

e {e} e comutativo. Pelo Lema anterior a componente conexa da identidade de G

possui uma metrica bi-invariante e ad(x) e anti-adjunta ∀x ∈ g. Logo pelo Lema

3.1.2 temos que K ≥ 0.

Veremos na secao 7 que a curvatura seccional associada a uma metrica bi-

invariante pode ser calculada pela formula explicita

k(u, v) = 14〈[u, v], [u, v]〉 .

Isto fornece uma prova alternativa para k(u, v) ≥ 0.

O Teorema de Wallach abaixo mostra que para um grupo de Lie simplesmente

conexo so teremos uma opcao de exemplo para o qual K > 0.


Teorema de Wallach. O grupo SU(2), consistindo das matrizes unitarias 2 × 2

de determinante 1, e o unico grupo de Lie simplesmente conexo que admite uma

metrica invariante a esquerda de curvatura seccional estritamente positiva.

Para uma prova veja [11].

Uma variedade Riemanniana e dita flat se K ≡ 0. Segue do Lema 3.1.1 que se a

algebra de Lie e comutativa entao o grupo de Lie e flat.

Teorema 3.1.6. Um grupo de Lie com uma metrica invariante a esquerda e flat se,

e so se, a algebra de Lie associada se expressa como a soma direta ortogonal b⊕ u,

onde b e uma sub-algebra comutativa, u e um ideal comutativo e a transformacao

linear ad(x) e anti-adjunta ∀x ∈ b.

Demonstracao: Sera apresentada na secao 7.

Dizemos que um grupo de Lie e unimodular se a medida de Haar invariante a

esquerda e tambem invariante a direita. Mais detalhes desta definicao serao dados

na secao 6.

Teorema 3.1.7. Se um grupo de Lie G conexo possui uma metrica invariante a

esquerda cujas curvaturas seccionais satisfazem K ≤ 0, entao G e soluvel. Se G e

unimodular, entao qualquer tal metrica com K ≤ 0 e na realidade flat.

Demonstracao. A demonstracao segue de [1], secoes 3.4.5, 5.2, 3.6.5 e 3.6.6.

Exemplo Especial. Suponha que a algebra de Lie g possui a propriedade de que

o colchete de Lie [x, y] e sempre igual a combinacao linear de x e y. Assuma que

dim(g) ≥ 2, entao

[x, y] = l(x)y − l(y)x,

onde l e uma aplicacao linear bem definida de g em R.

Escolhendo qualquer metrica Riemanniana invariante a esquerda, as curvaturas

seccionais sao constantes

K = −‖l‖2.

3.2 Curvatura de Ricci 41

Assim no caso nao-comutativo l 6= 0, toda possıvel metrica em g possui curvatura

seccional constante negativa.

Demonstracao: A prova sera dada na secao 5.

O exemplo acima tem realmente um carater especial, uma vez que atendidas as

exigencias acerca da algebra de Lie ([x, y] = l(x)y − l(y)x para todo x, y ∈ g), o

grupo de Lie conexo e simplesmente conexo com algebra g e isometrico ao espaco

hiperbolico n-dimensional.

3.2 Curvatura de Ricci

Importantes informacoes a cerca da curvatura Riemanniana em um ponto podem

ser descritas pela forma quadratica de Ricci, r(x). A forma quadratica de Ricci e

uma funcao quadratica definida no fibrado tangente da variedade em valores reais

pela formula

r(x) =∑i

k(x, ei) =∑i

〈Rxei(x), ei〉

, onde e1, ..., en e qualquer base ortonormal para o espaco tangente. Se u e um

vetor unitario, entao r(u) e chamado a curvatura de Ricci na direcao de u. Note

que a curvatura de Ricci consiste em n− 1 vezes a media das curvaturas seccionais

determinadas pelos planos formados pela direcao escolhida e os vetores da base.

Para calculos pode ser mais conveniente utilizar a transformacao,

r(x) =∑i

Reix(ei)

que esta relacionada com a forma quadratica r pela identidade

r(x) = 〈r(x), x〉.

Os autovalores de r sao chamados de curvaturas de Ricci principais. A escolha

de uma base ortonormal de autovetores e1, ..., en de r (tal base existe, pois r e

auto-adjunta) diagonaliza r,

r(ξ1e1 + ...+ ξnen) =∑ij

〈ξir(ei), ξjej〉 =∑i

ξ2i 〈r(ei), ei〉 =

∑i

r(ei)ξ2i .


Em particular os numeros r(ei) podem ser identificados com as curvaturas de

Ricci principais e a colecao dos sinais {sgn(r(e1)), ..., sgn(r(en))} pode ser identifi-

cado com a assinatura da forma quadratica r.

Lema 3.2.1. Se a transformacao ad(u) e anti-adjunta, entao r(u) ≥ 0, onde a

igualdade vale se, e so se, u e ortogonal ao ideal [g, g].

Demonstracao. O Lema 3.1.2 diz que nessas condicoes k(u, ei) ≥ 0 para i = 1, ..., n,

portanto∑

i k(u, ei) ≥ 0. Agora se∑

i k(u, ei) = 0, entao k(u, ei) = 0 e u⊥[ei, g] para

i = 1, ..., n.Daı u⊥[g, g]. Reciprocamente se u⊥[g, g], entao u⊥[ei, g] para i = 1, ..., n

e a igualdade vale novamente por 3.1.2.

Uma consequencia imediata e que se u ∈ Z(g) entao r(u) ≥ 0.

Teorema 3.2.2. Um grupo de Lie conexo admite uma metrica invariante a esquerda

cujas curvaturas de Ricci sao estritamente positivas se, e so se, e compacto com

grupo fundamental finito.

Demonstracao. Inicialmente note que todo grupo de Lie com uma metrica Rieman-

niana invariante a esquerda e homogeneo, portanto completo. Se r > 0 entao a

aplicacao r : Sn−1 → R admite um minimo c > 0 e pelo Teorema de Bonnet-Myers

(veja [2] pg. 221-223) G e compacto. Passando ao recobrimento universal G de

G, tal grupo de Lie com a metrica induzida pelo recobrimento e completo e sua

curvatura de Ricci r satisfaz r ≡ r, portanto r > c e novamente por Bonnet-Myers

G e compacto. Desta forma a projecao π : G −→ G possui numero de folhas de

recobrimento finito e como tal numero coincide com a cardinalidade de π1(G), segue

que π1(G) e finito. Reciprocamente, se G e compacto, entao ele admite uma metrica

bi-invariante, referente a qual ad(x) e anti-adjunta ∀x ∈ g. Se π1(G) e finito entao

G e compacto. Analisando g note que se [g, g] 6= g, entao existe um homomorfismo

de g em R nao trivial. Para isso tome uma base {e1, ..., em} de [g, g] e estenda a uma

base {e1, ..., em, em+1, ..., en} de g. Escolha um vetor ej com j = m+ 1, ..., n e defina

a transformacao linear f : g→ R pondo f(ej) = 1 e f(ei) = 0 se i 6= j. Assim para

todo x, y ∈ g, [x, y] ∈ [g, g] e f e mesmo um homomorfismo nao trivial. Por fim,

a existencia de um tal homomorfismo pelo principio da monodromia determinaria

a existencia de um homomorfismo F : G → R nao trivial, um absurdo pois G e

compacto. Entao devemos ter que [g, g] = g e pelo Lema 3.2.1 r > 0.


Observacao 3.2.3. Na secao 7 veremos que se G e compacto com π1(G) finito,

entao G admite uma metrica bi-invariante com curvatura de Ricci constante e po-

sitiva.

Lema 3.2.4. Se u e ortogonal ao ideal [g, g], entao r(u) ≤ 0, e a igualdade e

satisfeita se e somente se ad(u) e anti-adjunta.

Demonstracao: Sera apresentada na secao 5.

Teorema 3.2.5. Suponha que a algebra de Lie g de G seja nilpotente, mas nao-

comutativa. Entao para qualquer metrica invariante a esquerda existe uma direcao

de curvatura de Ricci estritamente negativa e uma direcao de curvatura de Ricci

estritamente positiva.

Demonstracao. Se g e nilpotente e nao comutativa, a serie central descendente

g ⊃ [g, g] ⊃ [g, [g, g]]...

possui algum termo nulo. Escolhendo um vetor unitario u no ultimo termo nao nulo

da serie segue que u ∈ Z(g) e esta contido em [g, g], ou seja, u ∈ Z(g) e u nao e

ortogonal a [g, g]. Portanto pelo Lema 3.2.1 r(u) > 0. Agora note que o espaco

vetorial g nao pode ser gerado por [g, g] e Z(g), pois se g = [g, g] +Z(g), entao [g, g] =

[g, [g, g] + Z(g)] = [g, [g, g]] e a serie se estabiliza precocemente. Portanto existe um

vetor unitario v⊥[g, g] tal que v /∈ Z(g), a ad(v) sendo diferente de zero e nilpotente,

nao pode ser anti-adjunta. Com efeito, se ad e anti-adjunta com ad(v) 6= 0, assu-

mindo indutivamente que adk(v) 6= 0, teremos⟨ad2k(v), v

⟩= ±

⟨adk(v), adk(v)

⟩6= 0

e ad2k 6= 0, ou seja, ad(v) nao seria nilpotente. Portanto do Lema 3.2.4 segue que

r(v) < 0.

Teorema 3.2.6. Se a algebra de Lie de G contem vetores x, y e [x, y] linearmente

independentes, entao existe uma metrica invariante a esquerda tal que r(x) < 0 e

r([x, y]) > 0.

Demonstracao. Escolha uma base fixa b1, ..., bn com b1 = x, b2 = y e b3 = [x, y].

Para qualquer ε > 0, considere a base auxiliar e1, ..., en definida por

e1 = εb1, e2 = εb2, e3 = ε2b3, ..., en = ε2bn

3.3 Curvatura escalar 44

e defina uma metrica 〈., .〉ε , invariante a esquerda exigindo que e1, ..., en seja orto-

normal. Seja gε a algebra de Lie com tal base e metrica fixa. As novas constantes

de estrutura em termos das iniciais satisfazem

[ei, ej] = [εbi, εbj] = (αij1ε)εb1 + (αij2ε)εb2 +n∑k=3

(αijk)ε2bk

se i, j = 1 ou 2,

[ei, ej] = [εbi, ε2bj] = (αij1ε

2)εb1 + (αij2ε2)εb2 +

n∑k=3

(αijkε)ε2bk

se i = 1 ou 2 e j = 3, ..., n e

[ei, ej] = [ε2bi, ε2bj] = (αij1ε

3)εb1 + (αij2ε3)εb2 +

n∑k=3

(αijkε2)ε2bk

se i, j = 3, ..., n.

Uma analise breve nos mostra que tomando ε→ 0 as novas constantes vao a um

limite bem definido e a algebra limite g0 satisfaz [e1, e2] = −[e2, e1] = e3 e [ei, ej] = 0

caso contrario. Nessas condicoes, pelos Lemas 3.2.1 e 3.2.4, r(e1) < 0 < r(e3) em g0.

Por continuidade r(e1) < 0 < r(e3) para ε0 suficientemente pequeno. Desta forma

a base e1 = ε0b1, e2 = ε0b2, e3 = ε20b3, ..., en = ε20bn, metrica 〈., .〉ε0 e constantes de

estruturas em ε0 definem a algebra inicial com metrica satisfazendo r(e1) < 0 <

r(e3).

3.3 Curvatura escalar

Seja e1, ..., en uma base ortonormal para o espaco tangente de um dado ponto de

uma variedade Riemanniana. O numero real

ρ = r(e1) + ...+ r(en) = 2∑i<j

k(ei, ej)

e chamado a curvatura escalar no ponto.

Teorema 3.3.1. Se o grupo de Lie G e soluvel, entao toda metrica invariante a

esquerda em G e flat ou deve possuir curvatura escalar estritamente negativa.

Demonstracao: A demonstracao sera dada na secao 6.

3.4 O caso tridimensional 45

Corolario 3.3.2. Se G e soluvel e unimodular, entao toda metrica invariante a

esquerda em G e flat ou possui curvaturas seccionais positivas e negativas.

Demonstracao. O Teorema 3.1.7 aplicado a componente conexaG0 deG com metrica

nao flat nos garante a existencia de curvaturas seccionais positivas, enquanto que se

G e soluvel com metrica nao flat, deve existir curvaturas seccionais negativas pelo

Teorema 3.3.1.

Teorema 3.3.3. Se a algebra de Lie de G e nao-comutativa, entao G possui uma

metrica invariante a esquerda de curvatura escalar estritamente negativa.

Demonstracao. Suponha inicialmente que exista vetores linearmente independentes

x, y e [x, y] na algebra de Lie. Escolha uma base b1, ..., bn com x = b1, y = b2 e [x, y] =

b3, para qualquer ε > 0 escolha uma metrica para qual a base εb1, εb2, ε2b3, ..., ε

2bn

seja ortonormal. A algebra de Lie gε fazendo ε → 0 como no Teorema 3.2.6 tende

a algebra limite g0. Note que a serie central descendente de g0 e g0 ⊃ {e3} ⊃ 0,

portanto g0 e nilpotente contudo nao e comutativa. Desta forma a componente

conexa G0 de G e soluvel e segue de 3.3.1 que ρ(g0) < 0 e por continuidade existe

ε0 > 0 tal que ρ(gε0) < 0.

Caso x, y e [x, y] sejam linearmente dependentes sempre, estamos nas condicoes

do exemplo especial e G com algebra de Lie g possui curvaturas seccionais constantes

e estritamente negativas (g e nao comutativa) e portanto possui curvatura escalar

estritamente negativa.

Teorema 3.3.4. Se o recobrimento universal de G nao e homeomorfo ao espaco eu-

clidiano ( ou equivalentemente se G possui um subgrupo compacto e nao-comutativo),

entao G admite uma metrica invariante a esquerda de curvatura escalar estritamente

positiva.

Demonstracao: Secao 7.

3.4 O caso tridimensional

Note que algebras de Lie bidimensionais necessariamente satisfazem o exemplo

especial e portanto estao bem compreendidas.


Seja G um grupo de Lie tridimensional com metrica invariante a esquerda. Es-

colha uma orientacao para g e defina o produto vetorial como a aplicacao bilinear

× : g× g −→ g que para cada par de vetores unitarios e linearmente independentes

u, v ∈ g faca corresponder o vetor u×v que e simultaneamente ortogonal a u e v com

norma dada pela area do paralelogramo gerado por u e v e de forma que u, v, u× v

seja uma base positiva de g.

Lema 3.4.1. O colchete nesta algebra de Lie g esta relacionado com o produto

vetorial pela formula

[u, v] = L(u× v),

onde L : g→ g e a unica aplicacao linear definida pela equacao acima. O grupo de

Lie G e unimodular se, e so se, a transformacao linear L e auto-adjunta.


Considere G unimodular. Pelo Lema anterior L e auto-adjunta e admite uma

base ortonormal e1, e2, e3 de autovetores, L(ei) = λiei. Trocando se necessario e1

por −e1, podemos assumir que e1, e2, e3 possui orientacao positiva. Neste caso os

colchetes ficam da forma,

[e1, e2] = L(e1× e2) = λ3e3, [e2, e3] = L(e2× e3) = λ1e1, [e3, e1] = L(e3× e1) = λ2e2.

A mudanca da orientacao de g altera o sinal do produto escalar e portanto de L

e seus autovalores.

Defina,

µi = 12(λ1 + λ2 + λ3)− λi para i = 1, 2 e 3

de forma que, por exemplo µ1 + µ2 = λ3.

Teorema 3.4.2. A base ortonormal e1, e2, e3 escolhida anteriormente diagonaliza a

forma quadratica de Ricci. As curvaturas principais sao dadas por

r(e1) = 2µ2µ3, r(e2) = 2µ1µ3, r(e3) = 2µ1µ2

e a curvatura escalar e dada por

ρ = 2(µ2µ3 + µ1µ3 + µ1µ2).



Provaremos agora um resultado muito util em variedades Riemannianas 3-dimen-

sionais.

Lema 3.4.3. Dada uma variedade Riemanniana tridimensional temos em cada

ponto a seguinte formula

k(u, v) = ‖u× v‖2 ρ2− r(u× v).

Demonstracao. Tome um vetor w unitario, ortogonal a u e pertencente ao plano

gerado por u e v. Desta forma span {u, v} = span{

u‖u‖ , w

}e{

u‖u‖ , w,

u×v‖u×v‖

}e uma

base ortonormal do espaco tangente. Agora

‖u× v‖2 ρ

2− r(u× v) = ‖u× v‖2 ρ

2− ‖u× v‖2 r(

u× v‖u× v‖

)

= ‖u× v‖2 [ρ

2− r( u× v‖u× v‖

)]

= ‖u× v‖2 [r( u‖u‖) + r(w) + r( u×v

‖u×v‖)

2− r( u× v‖u× v‖

)]

= ‖u× v‖2 [r( u‖u‖) + r(w)− r( u×v

‖u×v‖)

2]

= ‖u× v‖2 k(u

‖u‖, w)

como queriamos.

Observacao 3.4.4. Em geral nao existe uma formula semelhante a dada no Lema

3.4.3 para variedades Riemannianas de dimensao maior que 3. Com efeito, associ-

ada a forma quadratica de Ricci, existe uma matriz [r] de forma que [x]t[r][x] = r(x)

para todo vetor x. A determinacao de [r] depende da forma bi-linear a qual a forma

quadratica de Ricci esta associada. Note que se r(x) = 〈r(x), x〉 e a forma quadratica

de Ricci e a forma bi-linear a qual esta associada e r(u, v) = 〈Reiuei, v〉 = 〈Reivei, u〉

e [r] e simetrica, ou seja, a determinacao da forma quadratica de Ricci depende

da determinacao dos 12n(n + 1) termos de [r]. Isto e diferente dos 1

12n2(n2 − 1)

parametros necessarios a determinacao da curvatura seccional em um ponto, salvo

os casos bi e tridimensionais. Portanto nao existe em geral uma formula semelhante

a do Lema anterior para variedades Riemannianas com dimensao maior que 3.


Corolario 3.4.5. No caso unimodular tridimensional, o determinante r(e1)r(e2)r(e3)

da forma quadratica e sempre nao-negativo. Se o determinante e zero, entao ao me-

nos duas das curvaturas principais de Ricci deve ser zero.

Demonstracao. Basta notar que nas condicoes do teorema, o determinante e igual a

2µ2µ32µ1µ32µ1µ2 = 23µ21µ

22µ

23.

Logo e sempre maior que zero. Se ela se anula, entao ao menos duas curvaturas

principais de Ricci se anulam.

Se o determinante r(e1)r(e2)r(e3) e diferente de zero e facil colocar as constantes

de estruturas em funcao das curvaturas de Ricci principais. Suponha que se tenha o

colchete fixo. Escolhendo uma metrica tal que a base ηζe1, ξζe2, ξηe3 seja ortonormal

obtemos,

[ηζe1, ξζe2] = ηζ2ξ[e1, e2] = ηζ2ξλ3e3,

[ξζe2, ξηe3] = ξ2ζη[e2, e3] = ξ2ζηλ1e1,

[ξηe3, ηζe1 = η2ξζ[e3, e1] = η2ξζλ2e2,

e as novas constantes de estrutura sao: ζ2λ3, ξ2λ1 e η2λ2 . Desta forma e possıvel

multiplicar as constantes de estrutura por uma constante positiva sem que se altere a

algebra de Lie. Obviamente a metrica e alterada para que com a algebra de Lie fixa,

forneca as novas contantes de estrutura. Mudando o sinal se necessario, podemos

supor que no maximo uma das constantes λ1, λ2 ou λ3 e negativa. Assim obtemos

a menos da metrica, como feito acima, os seis casos da tabela 3.1.


Tabela 3.1: Grupos de Lie unimodulares e 3-dimensionais

Sinais de λ1, λ2, λ3 Grupo de Lie associado Descricao

+, +, + SU(2) ou SO(3) compacto, simples

+, +, - SL(2,R) ou O(1, 2) nao-compacto, simples

+, +, 0 E(2) soluvel

+, -, 0 E(1, 1) soluvel

+, 0, 0 Grupo de Heisenberg nilpotente

0, 0, 0 R⊕ R⊕ R comutativo

Corolario 3.4.6. Dependendo da escolha da metrica invariante a esquerda, a forma

quadratica de Ricci para o grupo SU(2) pode ter assinatura (+, +, +), (+, 0, 0) ou

(+, -, -) e a curvatura escalar pode ser positiva, negativa ou zero.

Demonstracao. Considere, sem perda de generalidade, λ1 ≥ λ2 ≥ λ3. Entao µ2,

µ3 > 0. Se λ1 > λ2 + λ3 temos µ1 < 0. Se λ1 = λ2 + λ3, entao µ1 = 0. Finalmente,

se λ1 < λ2 + λ3 devemos ter µ1 > 0, o que nos da os tres casos citados.

Corolario 3.4.7. Para qualquer metrica invariante a esquerda no grupo de Heisen-

berg a forma quadratica de Ricci possui assinatura (+, -, -) e a curvatura escalar ρ

e estritamente negativa. Alem do mais a curvatura principal de Ricci satisfaz

|r(e1)| = |r(e2)| = |r(e3)| = ρ.

Demonstracao. Para o grupo de Heisenberg temos λ1 > 0, λ2 = λ3 = 0. Portanto

µ1 = −λ12

, µ2 = λ12

= µ3 e µ2µ3 = −µ1µ3 = −µ1µ2, ou seja, r(e1) = −r(e2) =

−r(e3) =λ212

. Alem disso,

ρ = 2(µ2µ3 + µ1µ2 + µ1µ3) = −λ212

e estritamente negativa.

Corolario 3.4.8. Seja G = SL(2, R) ou E(1, 1), entao dependendo da escolha da

metrica invariante a esquerda a assinatura da forma de Ricci pode ser (+, -, -) ou

(0, 0, -). Contudo, a curvatura escalar ρ deve sempre ser estritamente negativa.

Demonstracao. Tome inicialmente λ1 = 0 e λ2, λ3 com sinais opostos. Entao

2µ2µ3 = − (λ2−λ3)2

2, 2µ1µ2 =

−λ22+λ232

, 2µ1µ3 =λ22−λ23

2


e disso ρ = − (λ2−λ3)2

2< 0.

Se λi sao todos diferentes de zero, com digamos λ1 < 0 < λ2 ≤ λ3 e observando

que ρ = λ3(λ1 + λ2− λ3) + (λ1− λ2 + λ3) (−λ1+λ2+λ3)2

, entao ∂ρ∂λ1

= −λ1 + λ2 + λ3 e ρ

e estritamente monotona como funcao de λ1. Portanto ρ(λ1, λ2, λ3) < ρ(0, λ2, λ3) =

−12(λ2 − λ3)2 ≤ 0.

Note que no primeiro caso onde λ1 = 0 e λ2, λ3 possuem sinais opostos obtemos

assinatura (+, -, -) ou (0, 0, +) no caso de |λ2| = |λ3|. No segundo caso obtemos

µ1 > 0 e µ3 < 0. Se µ2 = 0, entao (0, 0, -). Se µ2 6= 0, entao (+, -, -).

Corolario 3.4.9. O grupo euclidiano E(2) e nao-comutativo, mas admite uma

metrica invariante a esquerda flat. Toda metrica invariante a esquerda nao flat

possui forma de Ricci de assinatura (+, -, -), com curvatura escalar ρ < 0.

Demonstracao. Como λ1, λ2 > 0 a algebra de Lie de E(2) e nao-comutativa. Para

uma metrica invariante a esquerda flat, escolha λ1 = λ2. De fato,

µ1 = 0, µ2 = 0 e µ3 = 2λ1 = 2λ2

e disso r(e1) = r(e2) = r(e3) = 0 e ρ = 0. Note que se w ∈ g, entao w = ε1e1 +ε2e2 +

ε3e3 e como e1, e2, e3 diagonaliza a forma de Ricci, devemos ter r(w) =∑r(ei)εi = 0.

Agora a formula em 3.1.1 mostra que k(u, v) = 0 ∀u, v ∈ g. Neste caso a assinatura

da forma de Ricci e (0, 0, 0). Perceba que λ1 = λ2 e uma condicao necessaria e

suficiente para metrica ser flat.

Se λ1 6= λ2, entao µ1 = −λ1+λ22

, µ2 = λ1−λ22

e µ3 = λ1+λ22

. Assim se λ1 < λ2,

teremos µ1, µ3 > 0 e µ2 < 0 e se λ1 > λ2, entao µ2, µ3 > 0 e µ1 < 0 obtendo desta

forma assinatura (+, -, -) para a forma de Ricci. Com isso ρ = − (λ1−λ2)2

2< 0.

Lema 3.4.10. Se o grupo de Lie G e conexo, tridimensional e nao-unimodular,

entao sua algebra de Lie possui uma base e1, e2, e3 tal que

[e1, e2] = αe2 + βe3,

[e1, e3] = γe2 + δe3,

[e2, e3] = 0

e tal que a matriz

A =

α β

γ δ

3.5 Calculos 51

possui traco α + δ = 2. Se excluirmos o caso onde A e a identidade, entao o

terminante D = αδ − βγ e um invariante completo desta algebra de Lie.


Note que se A = Id, entao [e1, e2] = e2, [e1, e3] = e3 e [e2, e3] = 0. Portanto

se x, y ∈ g com x = a1e1 + a2e2 + a3e3 e y = b1e1 + b2e2 + b3e3 teremos [x, y] =

(a1b2 − a2b1)e2 + (a1b3 − a3b1)e3 recaindo no exemplo especial.

Considere um grupo de Lie como em 3.4.10 com A 6= Id.

Teorema 3.4.11. Se o determinante D e negativo entao toda metrica invariante a

esquerda possui a forma quadratica de Ricci de assinatura (+, -, -), mas se D ≥ 0

a assinatura (0, -, -) e tambem possıvel, assim como a assinatura (-, -, -) no caso

D > 0. Na verdade, para D > 0, existe uma metrica invariante a esquerda de cur-

vatura seccional estritamente negativa e para D > 1 existe uma metrica invariante

a esquerda de curvatura negativa constante. Em todos os casos a curvatura escalar

e estritamente negativa.


Em todos os casos nao-unimodulares, ao menos duas das curvaturas principais

de Ricci sao negativas e podemos concluir que no caso tridimensional nao existe

grupos de Lie que admite uma metrica invariante a esquerda com forma de Ricci de

assinaturas (+, +, -) ou (+, ±, 0).

3.5 Calculos

Se ∇ e a conexao Riemanniana, para cada par x, y de campos de vetores dife-

renciaveis, ∇xy e um campo de vetores diferenciaveis chamada a derivada covariante

de y na direcao de x, ∇ e unicamente definida, bi-linear como funcao de x e y e

satisfaz a condicao de simetria

∇xy −∇yx = [x, y]. (5.1)

Agora se 〈y, z〉 = c (constante) entao

x 〈y, z〉 = 〈∇xy, z〉+ 〈y,∇xz〉 = 0 (5.2)

3.5 Calculos 52

caso que ocorre, por exemplo, quando y e z sao campos invariantes a esquerda.

Se x tambem e invariante a esquerda entao ∇xy e invariante a esquerda. Desta

forma pela equacao (5.2) segue que se x ∈ g, entao ∇x : g→ g e anti-adjunta.

Se x, y, z ∈ g, entao pela formula de Kozul temos que

〈∇xy, z〉 =1

2(〈[x, y], z〉 − 〈[y, z], x〉+ 〈[z, x], y〉 . (5.3)

Com uma base ortonormal e1, ..., en de g e αijk = 〈[ei, ej], ek〉 podemos escrever

〈∇eiej, ek〉 =1

2(αijk − αjki + αkij).

Em outras palavras,

∇eiej =∑k

1

2(αijk − αjki + αkij)ek. (5.4)

O tensor de curvatura de Riemann R associa a cada par de campos de vetores

diferenciaveis x e y a transformacao linear

Rxy = ∇[x,y] −∇x∇y +∇y∇x

que e sempre anti-adjunta. Se u e v sao ortonormais, entao k(u, v) = 〈Ruvu, v〉 e a

curvatura seccional associada a u e v. As curvaturas seccionais determinam unica-

mente R.

Demonstracao do Lema 3.1.1: Seja e1, ...en uma base ortonormal para a algebra

de Lie. Utilizando a formula (5.4) na definicao

k(e1, e2) =⟨∇[e1,e2]e1 −∇e1∇e2e1 +∇e2∇e1e1, e2

⟩obtemos em cada parcela do produto interno,

1.

⟨∇[e1,e2]e1, e2

⟩=

⟨∇∑

k α12keke1, e2

⟩=

∑k

α12k 〈∇eke1, e2〉

=1

2

∑k,i

α12k 〈(αk1i − α1ik + αik1)ei, e2〉

=1

2

∑k

α12k(αk12 − α12k + α2k1),

3.5 Calculos 53

2.

〈∇e1∇e2e1, e2〉 =

⟨∇e1

∑k

1

2(α21k − α1k2 + αk21)ek, e2

⟩=

1

2

∑k

(α21k − α1k2 + αk21) 〈∇e1ek, e2〉

=1

2

∑k

(α21k − α1k2 + αk21)

⟨1

2

∑j

(α1kj − αkj1 + αj1k)ej, e2

⟩

=1

4

∑k

(α21k − α1k2 + αk21)(α1k2 − αk21 + α21k),

3.

〈∇e2∇e1e1, e2〉 =

⟨∇e2

∑k

1

2(α11k − α1k1 + αk11)ek, e2

⟩=

1

4

∑k,j

〈(α11k − α1k1 + αk11)(α2kj − αkj2 + αj2k)ej, e2〉

=1

4

∑k

(α11k − α1k1 + αk11)(α2k2 − αk22 + α22k)

= −1

4

∑k

αk11αk22

e por (1), (2) e (3) se obtem 3.1.1.

Suponha que a algebra de Lie g contenha um ideal u de codimensao 1. Escolha

um vetor b ortogonal a u e seja L : u→ u a transformacao linear ad(b) restrita a u, ou

seja, L(u) = [b, u]. Considere L∗ a adjunta de L, S = 12(L+L∗) a parte auto-adjunta

de L, o ideal u como uma algebra de Lie com a metrica induzida de g e ∇ a conexao

Riemanniana de u.

Lema 3.5.1. Com a notacao acima o operador derivada covariante ∇b satisfaz

∇bb = 0 e ∇bu = 12(L− L∗)u ∀u ∈ u.

Similarmente o operador ∇u satisfaz

∇ub = −Su e ∇uv = ∇uv + 〈Su, v〉b ∀u, v ∈ u.

Demonstracao. Como,

〈∇bb, z〉 = 12(〈[b, b], z〉 − 〈[b, z], b〉+ 〈[z, b], b〉) = 0 ∀z ∈ g

3.5 Calculos 54

devemos ter ∇bb = 0. Ainda para ∀z ∈ g

〈∇bu, z〉 =1

2(〈[b, u], z〉 − 〈[u, z], b〉+ 〈[z, b], u〉)

=1

2(〈[b, u], z〉+ 〈[z, b], u〉)

=1

2(〈[b, u], z〉 − 〈u, [b, z]〉)

obtendo ∇bu = 12(L− L∗)u ∀u ∈ u. Alem disso,

〈∇ub, z〉 =1

2(〈[u, b], z〉 − 〈[b, z], u〉+ 〈[z, u], b〉)

=1

2(〈[u, b], z〉+ 〈u, [z, b]〉)

= −1

2(〈[b, u], z〉+ 〈u, [b, z]〉)

assim, ∇ub = −Su ∀u ∈ u.

Quanto a ∇uv, calculemos em duas partes, uma nos dara a componente de ∇uv

na direcao de b e a outra a expressao das componentes que estao na direcao de u.

1.

〈∇uv, b〉 =1

2(〈[u, v], b〉 − 〈[v, b], u〉+ 〈[b, u], v〉)

=1

2(〈Lv, u〉+ 〈Lu, v〉)

= 〈Su, v〉 . (5.5)

2. Sejam u, v, w ∈ u, entao

〈∇uv, w〉 =⟨∇uv, w

⟩u.

Logo as componentes de∇uv que nao na direcao de b coincidem com as componentes

de ∇uv, ou seja, ∇uv e igual a ∇uv mais a componente na direcao de b

∇uv = ∇uv + 〈Su, v〉b.

Demonstracao do Exemplo Especial: Para quaisquer elementos x e y na algebra

de Lie g suponha que [x, y] seja uma combinacao linear de x e y ([x, y] = ax + by).

Fixando x considere a aplicacao ad(x) e induzimos uma aplicacao Tx : g/Rx→ g/Rx

pondo Tx(y) = [x, y] = ax+ by = by. A aplicacao Tx e evidentemente linear e

3.5 Calculos 55

mapeia todo vetor y de g/Rx em um multiplo by. Mostremos agora que o fator b so

depende de x. De fato, sejam x, y, z ∈ g, por um lado [x, y + z] = a1x+ b1(y + z) e

por outro lado [x, y+z] = [x, y]+[x, z] = a2x+b2y+a3x+b3z = (a2 +a3)x+b2y+b3z

e a1x+ b1y+ b1z = a2x+ b2y+ a3x+ b3z. Se x, y e z sao linearmente independentes

obtemos b1 = b2 = b3. Portanto tomando o processo acima atraves de uma base de

g obtemos o requerido. Denotaremos a constante b por l(x), ou seja, Tx(y) = l(x)y

e [x, y] ≡ l(x)y(modRx).

Tomemos uma base ortonormal {e1 = x, e2, ..., en} de g, entao {e2, ..., en} e uma

base de g/Rx. Tomando os operadores ad(x) e Tx, nas bases anteriores pode-se

checar facilmente a relacao tr(ad(x)) = (n − 1)l(x) onde tr designa a aplicacao

traco. Com isso se ku + v ∈ g, (n− 1)l(ku + v) = (n− 1)(kl(u) + l(v)) verificando

que l(x) depende linearmente de x. Note que [x, y] ≡ l(x)y(modRx) recupera a

parte que depende linearmente de y enquanto [x, y] = −[y, x] ≡ −l(y)x(modRy)

recupera a parte que depende linearmente de x. Desta forma podemos escrever

[x, y] = l(x)y − l(y)x mesmo quando x e y sao linearmente dependentes.

Desconsiderando o caso l = 0 (comutativo), seja u = nucleo(l). Note que se

u ∈ u e y ∈ g, entao [u, y] = −l(y)u e [u, y] ∈ u, portanto nucleo(l) e um ideal e

evidentemente comutativo.

Escolha um vetor unitario b⊥u e seja l(b) = ‖l‖ = λ. Utilizando a notacao em

3.5.1 a aplicacao L(u) = [b, u] e dada por L(u) = l(b)u = λu. Se z ∈ g, podemos

escrever z = kb+ v onde k ∈ R, v ∈ u. Observe que⟨·,∇uv

⟩= 1

2(〈[u, v], .〉 − 〈[v, .], u〉+ 〈[., u], v〉) ∀u, v ∈ u

o que implica que ∇uv = 0.

Com isso obtemos,

∇uz = ∇ukb+∇uv = −‖k‖Su+∇uv + 〈Su, v〉 b

= λ(b 〈u, z〉 − u 〈b, z〉). (5.6)

Agora afirmamos que Rxy e dado por

Rxy(z) = λ2(x 〈y, z〉 − y 〈x, z〉) (5.7)

3.5 Calculos 56

para todo x, y, z ∈ g.

Inicialmente se x = b e y = u ∈ u, aplicando 3.5.1 obtemos

Rbu = ∇[b,u] −∇b∇u +∇u∇b = ∇λu = λ∇u − 0 + 0

e por (5.6) temos (5.7). Suponha entao que x, y ∈ u,

Rxyz = ∇[x,y]z −∇x∇yz +∇y∇xz

= −∇x∇yz +∇y∇xz

= −λ∇x(b 〈y, z〉 − y 〈b, z〉) + λ∇y(b 〈x, z〉 − x 〈b, z〉)

= −λ 〈y, z〉∇xb+ λ 〈b, z〉∇xy + λ 〈x, z〉∇yb− λ 〈b, z〉∇yx

= λ2 〈v, z〉u+ λ2 〈b, z〉 b 〈u, v〉 − λ2 〈u, z〉 v − λ2 〈b, z〉 b 〈v, u〉

= λ2(u 〈v, z〉 − v 〈u, z〉).

O restante dos casos seguem destes e da bi-linearidade de R. Por fim,

k(x, y) = 〈Rxy(x), y〉

= λ2 〈x 〈y, x〉 − y 〈x, x〉 , y〉

= λ2(〈x, y〉2 − 〈x, x〉〈y, y〉).

Portanto se x e y sao ortonormais a curvatura seccional determinada por x e y e

k(x, y) = −λ2. Em outras palavras o grupo de Lie possui curvatura seccional cons-

tante K ≡ −‖l‖2.

Demonstracao do Lema 3.2.4: Por hipotese existe um vetor unitario b⊥[g, g],

desta forma [g, g] esta contido no complemento ortogonal de b, que denotaremos u,

fazendo de u um ideal e nos deixando nas condicoes de 3.5.1.

Por definicao r(b) = k(b, u1) + ...+ k(b, un−1) onde u1, ..., un−1 e uma base orto-

normal de u. Vamos trabalhar com uma base ortonormal de autovetores da aplicacao

auto-adjunta S, onde Sui = λiui.

Para qualquer vetor unitario em u temos,

K(b, u) = 〈Rbu(b), u〉

= 〈−S[b, u], u〉+ 〈∇bSu, u〉

= 〈−SLu, u〉+

⟨1

2(L− L∗)Su, u

⟩.

Tomando u autovetor como anteriormente e observando que 〈Sui, ui〉 = λi, ou seja,

3.5 Calculos 57

〈Lui, ui〉 = 〈ui, L∗ui〉 = λi,

k(b, ui) se reduz a

k(b, ui) = 〈−SLui, ui〉

= −〈Lui, λiui〉

= −λ2i

Portanto,

r(b) =n−1∑i=1

−λ2i = −tr(S2)

e desta forma r(b) ≤ 0, obtendo r(b) = 0 se, e so se, S = 0, ou seja, se L e

anti-adjunta.

Observacao 3.5.2. Isso nao mostra que k(b, u) ≤ 0 para qualquer u ∈ u e sim

se u for autovetor de S. Para um exemplo, considere o grupo de Heisenberg onde

[g, g] = span {e1}, se tomarmos b = e3 e span {e1, e2} = u obtemos

k(e3, e1) = ‖e3 × e1‖2 ρ2− r(e3 × e1) = ρ

2− ρ = −ρ

2> 0.

Note que Se1 = 12L∗e1 = −1

2λ1e2 e e1 nao e autovetor de S.

Seja g uma algebra de Lie, u um ideal de codimensao 1 com metrica induzida,

ρ(g) a curvatura escalar referente a g e ρ(u) a curvatura escalar restrita a u. Ainda

com a notacao de 3.5.1 temos o seguinte.

Lema 3.5.3. A curvatura escalar ρ(g) associada a algebra de Lie g e igual a

ρ(u)− tr(S2)− (tr(S))2.

Demonstracao: Dados vetores ortonormais u, v ∈ u, comparemos a curvatura

seccional

k(u, v) =⟨∇[u,v]u, v

⟩− 〈∇u∇vu, v〉+ 〈∇v∇uu, v〉

calculada em g, com a curvatura seccional

k(u, v) =⟨∇[u,v]u, v

⟩−⟨∇u∇vu, v

⟩+⟨∇v∇uu, v

⟩

3.5 Calculos 58

calculada em u. Utilizando do Lema 3.5.1 que ∇uv = ∇uv + 〈Su, v〉 b temos

k(u, v) =⟨∇[u,v]u, v

⟩−⟨∇u∇vu, v

⟩+⟨∇v∇uu, v

⟩+ 〈Sv, u〉2 − 〈Su, u〉〈Sv, v〉

= k(u, v) + 〈Sv, u〉2 − 〈Su, u〉〈Sv, v〉 .

Escolhendo uma base ortonormal de autovetores, de Sui = λiui segue que

k(ui, uj) = k(ui, uj)− λiλj

para i 6= j. Combinando com a formula k(b, ui) = −λ2i obtemos

r(ui) = k(b, ui) +n−1∑j=1

k(ui, uj)

= −λ2i +

n−1∑j=1

k(ui, uj)− λiλj

= r(ui)− λitr(S)

enquanto r(b) =∑n−1

i=1 −λ2i = −tr(S2), juntando teremos

ρ(g) =n−1∑i=1

r(ei)− tr(S2)

= ρ(u)−n−1∑i=1

λitr(S))− tr(S2)

= ρ(u)− (tr(S))2 − tr(S2).

Demonstracao do Teorema 3.3.1: Note que se g e soluvel entao [g, g] = g(1) 6= g,

desta forma todo subespaco de g de dimensao n − 1 que contenha g(1) e um ideal

de codimensao 1. Agora seja n a dimensao de g e mostremos por inducao em n que

ρ(g) ≤ 0.

Se g e soluvel e u e um ideal de codimensao 1, u e tambem soluvel e por inducao

ρ(u) ≤ 0. Portanto,

ρ(g) ≤ −(tr(S))2 − tr(S2) ≤ 0

enquanto a igualdade vale se S = 0 e ρ(u) = 0. Note que se dim(u) = 2, entao u e

comutativo ou esta nas condicoes do exemplo especial e teremos ρ(u) ≤ 0.

Agora suponha que S = 0 e ρ(u) = 0 e mostremos que g e flat. Como S = 0, de

3.5.1 obtemos

∇uv = ∇uv ∈ u

3.6 Grupos de Lie unimodulares e nao-unimodulares 59

para quaisquer u, v ∈ u e

Ruv(w) = ∇[u,v]w −∇u∇vw +∇v∇uw

= Ruv(w) (5.8)

para quaisquer u, v, w ∈ u. Assumindo que ρ(u) = 0, por hipotese de inducao u e flat,

assim Ruv(w) = 0. Novamente por 3.5.1, ∇xb = ∇kbb +∇ub onde x = kb + u com

k ∈ R e u ∈ u e disso ∇xb = −Su = 0 se S = 0. Portanto Rxy(b) = 0 ∀x, y ∈ g.

Por fim, pela simetria de R temos

〈Rxy(b), z〉 = 〈Rbz(x), y〉

e segue que Rbz = 0 ∀z ∈ g.

Em resumo Rbz = 0, Rxy(b) = 0 ∀x, y, z ∈ g e Ruv(w) = 0 ∀u, v, w ∈ u. Portanto

pela tri-linearidade de R segue que R ≡ 0.

3.6 Grupos de Lie unimodulares e nao-unimodulares

Relembremos que um grupo de Lie G e chamado unimodular se a medida de

Haar invariante a esquerda e tambem invariante a direita. A seguir apresentaremos

um criterio simples e classico para unimodularidade de um grupo de Lie.

Cada elemento g determina um automorfismo

h 7→ ghg−1

no grupo G. O automorfismo induzido via diferencial na algebra de Lie e chamado

Ad(g).

Lema 3.6.1. O grupo G e unimodular se, e so se, a transformacao linear Ad(g)

possui determinante ±1 ∀g ∈ G.

Demonstracao. Em um grupo de Lie a medida de Haar pode ser construıda a partir

das formas diferenciais, de maneira que se υe e uma forma diferencial invariante a

esquerda e υd e a forma diferencial invariante a direita obtida de υe(e) por translacoes


a direita, µυe , µυd sao as medidas de Haar induzidas respectivamente, entao estas se

relacionam por

µυe = |det(Ad(g))|µυd

e segue o resultado.

Corolario 3.6.2. Se G e um grupo de Lie para o qual Ad(g) e compacto (por

exemplo se G e compacto), entao G e unimodular.

Demonstracao. De fato, o homomorfismo continuo g 7−→ |det(Ad(g))| no grupo mul-

tiplicativo dos reais positivos possui imagem compacta. Contudo o unico subgrupo

compacto neste caso e 1, mostrando o resultado.

Corolario 3.6.3. Se G e um grupo de Lie conexo e semi-simples, entao G e uni-

modular.

Demonstracao. Se G e semi-simples entao a forma de Killig K e nao-degenerada.

ComoAd(g) ∈ Aut(g) segue queAd(g) ∈ O(K) (grupo dos operadores que preservam

K) e det(Ad(g)) = ±1. Logo G e unimodular.

Definicao 3.6.4. Seja Γ um grupo discreto agindo em G. Um domınio fundamental

para a acao de Γ e uma regiao fechada D ⊂ G tal que

1. A projecao π : D −→ G/Γ e sobrejetora.

2. A restricao da projecao ao interior de D e injetora.

Lema 3.6.5. Se G admite um subgrupo discreto Γ com quociente compacto, entao

G e unimodular.

Demonstracao. Seja e a identidade deG e definaA = {x ∈ G; d(x, e) < d(x, γ), ∀γ ∈ Γ}

onde d e invariante a esquerda. Mostremos que D = A e um domınio fundamental

compacto. Abaixo π se entende como a projecao natural π : G −→ G/Γ.

1. π|A e injetora.

Suponha que x1, x2 ∈ x onde x e a classe de equivalencia de x e x1 ∈ A,

mostremos que x1 = x2 ou x2 /∈ A. Se x1, x2 ∈ x, entao x1 = γx2 para algum

γ ∈ Γ. Agora

d(x2, e) = d(γ−1x1, e) = d(x1, γ) (6.9)


e

d(x1, e) = d(γx2, e) = d(x2, γ−1). (6.10)

Se x2 6= x1 e x2 ∈ A, devemos ter por 6.10 d(x2, e) < d(x1, e) e entao por 6.9

d(x2, e) = d(x1, γ) > d(x1, e), uma contradicao. Logo x1 = x2 ou x2 /∈ A.

2. π|D e sobrejetora.

Tome x ∈ Γ\G e x um representante de x. Afirmamos que existe um elemento

γ1 ∈ Γ tal que d(x, γ1) ≤ d(x, γ) ∀γ ∈ Γ. De fato, negar isso e afirmar que

dado um γ1 ∈ Γ existe um γ2 ∈ Γ mais proximo de x. Isso constroi uma

sequencia que sendo limitada admite uma subsequencia convergente. Como Γ

e fechado tal subsequencia converge em Γ provando o afirmado.

Agora se γ1 e o elemento mais proximo de x em Γ, teremos

d(γ−11 x, e) ≤ d(x, γ1) ≤ d(x, γ1γ) ≤ d(γ−1

1 x, γ)

para todo γ ∈ Γ. Portanto γ−11 x ∈ D e π|D e sobrejetora.

3. D e compacto.

Como G e completo e D e fechado resta mostrarmos que D e limitado (veja

[2] pg.162). Considere em Γ\G a metrica d induzida por π. Como Γ\G e

compacto podemos tomar o diametro de Γ\G que denotaremos diam(Γ\G).

Se mostrarmos que d(x,Γ) ≤ diam(Γ\G) para todo x ∈ G, entao pela definicao

de D, o teremos limitado. Com efeito, dado x ∈ G considere x ∈ Γ\G, entao

d(x, e) ≤ diam(Γ\G). Tome uma geodesica minimizante α em Γ\G ligando x

a e. Como π e aplicacao de recobrimento, α e levantada em uma geodesica α

ligando x a γx ∈ Γ. Agora

d(x,Γ) ≤ d(x, γx) = d(x, e) ≤ diam(Γ\G)

como querıamos.

4. D = {x ∈ G; d(x, e) ≤ d(x, γ), ∀γ ∈ Γ}

E suficiente mostrarmos que {x ∈ G; d(x, e) ≤ d(x, γ), ∀γ ∈ Γ} ⊂ D. Seja

x ∈ {x ∈ G; d(x, e) ≤ d(x, γ), ∀γ ∈ Γ} tal que x /∈ A, ou seja, x admite um

ponto γ ∈ Γ de forma que d(x, e) = d(x, γ). Tome V uma vizinhanca ar-

bitraria de x e mostremos que V contem pontos de A. De fato, seja α(t) a


geodesica minimizante normalizada ligando x a e. Para um intervalo [o, ε)

suficientemente pequeno α([o, ε)) ⊂ V . Se x1 ∈ α([o, ε)) e β(t) e a geodesica

minimizante normalizada ligando x1 a um ponto arbitrario γ1 ∈ Γ devemos

ter

d(x1, x) + d(e, x1) = d(x, e) ≤ d(x, γ1) ≤ d(x, x1) + d(x1, γ1)

e portanto

d(e, x1) ≤ d(x1, γ1).

Agora note que a igualdade somente ocorre se d(x, γ1) = d(x, x1) + d(x1, γ1),

ou seja, as geodesicas β e α coincidem em [0, d(x, x1)], o que e absurdo, pois

teriamos α = β. Logo a igualdade nao ocorre e temos na verdade

d(e, x1) < d(x1, γ1).

Como γ1 e arbitrario segue que x1 ∈ A.

Fixando x ∈ G segue da invariancia de d que d(x, e) < d(x, γ) ∀γ ∈ Γ− {e}

se, e so se, d(γx, γ) < d(γx, γ‘) ∀γ‘ 6= γ em Γ. Desta forma as vizinhancas de cada

γ ∈ Γ construıdas como A sao na realidade imagens por translacoes de A e disjuntas.

Portanto se γ1 6= γ2 pertencem a Γ, entao γ1D∩γ2D ⊂ ∂γ1D ∩ ∂γ2D, onde ∂ denota

a fronteira. Mostremos agora que µ(∂D) = 0 onde µ e a medida de Haar invariante

a esquerda e seguira por translacoes que µ(∂γD) = 0 ∀γ ∈ Γ. Para isso, considere

o cut locus ( veja [2] pg.295) C(e) do elemento neutro e ∈ G. Tal conjunto possui

medida nula. Fora de C(e) e de e, a funcao he := d(e, ·) : G −→ R e diferenciavel.

Mais que isso, |∇he| ≡ 1 nesses pontos e ∇he(x) aponta na direcao da geodesica

que liga e a x. Alem disso, G e completa e se x /∈ C(e), entao existe uma unica

geodesica ligando e a x.

Seja γ ∈ Γ−{e} e considere o conjunto Nγ = {x ∈ G; d(x, e) = d(x, γ)}. Perceba

que ∂D ⊂⋃γ∈ΓNγ. Tal uniao e enumeravel, fato que segue de G possuir base

enumeravel e Γ ser discreto. Desta forma, somente nos resta mostrar que Nγ possui

medida nula. De fato, tome a funcao f : G − {C(e) ∪ C(γ) ∪ {e, γ}} −→ R, dada

por f(x) = d(x, e) − d(x, γ). Se y ∈ Nγ, entao ∇f(y) = ∇he(y) − ∇hγ(y) 6= 0

e f(y) = 0. Assim df e sobrejetora nesses pontos y, e pelo Teorema da funcao

implıcita existe uma vizinhanca U de y ∈ G tal que Nγ ∩ U e uma hipersuperfıcie


em U . Portanto Nγ ∩ U tem medida nula em G. Agora Nγ pode ser escrito como

uniao enumeravel desses Nγ ∩ U (novamente por G possuir base enumeravel) mais

eventuais pontos de C(e) ∪ C(γ). Logo Nγ tem medida nula. Segue imediatamente

tambem que µ(⋃γ∈Γ ∂γD) = 0.

Note que µ(D) > 0, pois D contem o aberto A e µ(D) <∞, pois D e compacto.

Alem disso µ(D) nao depende do domınio fundamental escolhido. Com efeito, se E

e outro domınio fundamental, entao

µ(E) =∑γ∈Γ

µ(γD ∩ E) =∑γ∈Γ

µ(D ∩ γ−1E) = µ(D).

Como para qualquer g ∈ G, Dg e um domınio fundamental para a acao a es-

querda de Γ em G, entao µ(D) = µ(Dg) para todo g ∈ G, ou seja, todo domınio

fundamental e invariante por translacoes a direita. Para concluirmos o mesmo de

um boreliano B qualquer, suponha que µ(B) 6= µ(Bg) para algum g ∈ G. Sem

perda de generalidade suponha que µ(B) < µ(Bg). Entao existe um domınio fun-

damental D para o qual µ(D ∩ B) < µ(Dg ∩ Bg), ou seja, a parte de B em D

aumenta com a translacao por g a direita. Perceba que isso deve ocorrer para algum

D, pois caso contrario nao terıamos µ(B) < µ(Bg). Como µ(D) = µ(Dg) segue

que µ(D\B) > µ(D\Bg), assim existe uma regiao mensuravel em D (B ∩ D) tal

que sua medida aumenta via translacao a direita por g e outra regiao mensuravel

de D (D\B) que diminui via translacao a direita por g. Portanto existem pontos,

p1 ∈ B ∩D e p2 ∈ D\B onde a forma volume υ que induz a da medida de Haar

aumenta via d(Rg)p1 e diminui via d(Rg)p2 , onde d(Rg)p1 designa a diferencial em

p1 da translacao a direita por g. Portanto temos o diagrama:

p1

d(Rg)p1 //

d(Lp2p−11

)p1

��

p1g

d(Lp2p−11

)p1g

��p2

d(Rg)p2

// p2g

.

Como Rg ◦ Lp2p−11

= Lp2p−11◦ Rg segue que d(Rg)p2 ◦ d(Lp2p−1

1)p1 = d(Lp2p−1

1)p1g ◦

d(Rg)p1 e o diagrama comuta, uma contradicao, pois d(Rg)p1 aumenta e d(Rg)p2

diminui υ. Logo µ(B) = µ(Bg) para todo B boreliano em G.


Lema 3.6.6. Um grupo de Lie conexo e unimodular se, e so se, a transformacao

ad(x) possui traco zero para todo x na algebra de Lie associada.

Demonstracao. Aqui utilizaremos fortemente o fato de que Ad(exp(x)) = ead(x)

onde exp : g 7−→ G e a aplicacao exponencial obtida a partir do fluxo de campos

invariantes em G e e e exponencial de matrizes. Se |det(Ad(g))| = 1 para todo

g ∈ G, entao

det(Ad(exp(x))) = det(ead(x)) = etr(ad(x)) = 1

para todo x na algebra de Lie, onde a penultima igualdade segue facilmente da

forma canonica de Jordan. Logo tr(ad(x)) ≡ 0.

Reciprocamente se tr(ad(x)) ≡ 0, entao det(Ad(g)) = 1 para todo g na imagem

da aplicacao exponencial. Pelo Teorema da aplicacao inversa existem vizinhancas

U de 0 ∈ g e V de e ∈ G tais que exp : U 7−→ V e um difeomorfismo, assim

det(Ad(g)) = 1 para todo g ∈ V . Como G e conexo, toda vizinhanca de e gera G.

Logo det(Ad(g)) = 1 para todo g ∈ G e segue que G e unimodular.

Uma algebra de Lie que satisfaz a condicao tr(ad(x)) ≡ 0 sera chamada de

unimodular.

Seja g uma algebra de Lie arbitraria. Pela identidade de Jacobi

ad[x, y] = ad(x)ad(y)− ad(y)ad(x)

e segue que tr(ad[x, y]) ≡ 0. Portanto a aplicacao x 7−→ tr(x) de g na algebra

de Lie comutativa R e um homomorfismo das algebras de Lie cujo nucleo u =

{x ∈ g; tr(ad(x)) = 0} e um que contem [g, g]. Eevidentemente u e por si proprio

uma algebra unimodular. Chamaremos u de nucleo unimodular de g.

Lema 3.6.7. Se o grupo de Lie conexo G possui uma metrica invariante a esquerda

cujas curvaturas de Ricci satisfazem ≥ 0, entao G e unimodular.

Demonstracao. Suponha que G nao seja unimodular. Entao g 6= u e existe um vetor

b⊥u unitario e por escolha b e tal que tr(ad(b)) 6= 0. Segue desta afirmacao que

ad(b) nao pode ser anti-adjunta. Logo pelo Lema 3.2.4 teremos r(b) < 0, uma

contradicao.

Demonstracao do Lema 3.4.1: Seja g a algebra de Lie tridimensional com

metrica definida positiva e orientacao fixada. Escolha uma base ortonormal B =


{e1, e2, e3} e defina a transformacao linear L : g −→ g pondo L(e1) = [e2, e3],

L(e2) = [e3, e1] e L(e3) = [e1, e2]. Desta forma a identidade L(ei × ej) = [ei, ej] e

verdade para todo elemento basico e segue da bi-linearidade do produto vetorial e

de [·, ·] que L(x× y) = [x, y]. Escrevendo L(ej) =∑

i αijei obtemos facilmente que

as matrizes dos operadores ad(e1), ad(e2) e ad(e3) na base B sao respectivamente

0 α13 −α12

0 α23 −α22

0 α33 −α32

,−α13 0 α11

−α23 0 α21

−α33 0 α31

,α12 −α11 0

α22 −α21 0

α32 −α31 0

.

Portanto,

tr(ad(e1)) = α23 − α32

tr(ad(e2)) = α31 − α13

tr(ad(e3)) = α12 − α21

e desta forma tr(ad(x)) ≡ 0, ou seja, g e unimodular se, e so se, (αij) e simetrica,

ou equivalentemente se, e so se, a transformacao L e auto-adjunta.

Demonstracao do Teorema 3.4.2: Um calculo simples nos fornece as cons-

tantes de estrutura

α121 = 0 α231 = λ1 α311 = 0

α122 = 0 α232 = 0 α312 = λ2

α123 = λ3 α233 = 0 α313 = 0.

Considerando que ∇eiej =∑

k12(αijk − αjki + αkij)ek, obtemos facilmente que

∇e1e1 = 0, ∇e1e2 = µ1e1 × e2 = µ1e3 e ∇e1e3 = µ1e1 × e3 = −µ1e3. Analogamente

∇eiej = µiei × ej, ou seja, ∇ei = µiei×, e por linearidade ∇eiv = µiei × v ∀v ∈ g.

Aplicando a identidade de Jacobi no produto vetorial obtemos

e1 × (e2 × v)− e2 × (e1 × v) = (e1 × e2)× v,

enquanto

Re1e2 = ∇λ3e3 −∇e1∇e2 +∇e2∇e1 .


Juntando teremos

Re1e2 = (λ3µ3e3 − µ1e1 × µ2e2 + µ2e2 × µ1e1)×

= (λ3µ3e3 − µ1µ2e1 × e2)×

= (λ3µ3 − µ1µ2)e3×

e por exemplo Re1e2e1 = (λ3µ3 − µ1µ2)e2. Por calculos analogos se consegue

Re1e2e1 = (λ3µ3 − µ1µ2)e2 Re2e1e2 = (λ3µ3 − µ1µ2)e1

Re3e2e1 = (λ2µ2 − µ3µ1)e1 Re1e3e1 = (λ2µ2 − µ3µ1)e3

Re2e3e1 = (λ1µ1 − µ2µ3)e3 Re3e2e3 = (λ1µ1 − µ2µ3)e2.

Utilizando a anti-simetria do tensor de curvatura, Reiej = −Rejei e relembrando que

r(x) =∑

iReixei obtemos

r(e1) = Re2e1e2 +Re3e1e3 = 2µ2µ3

r(e2) = Re1e2e1 +Re3e2e3 = 2µ1µ3

r(e3) = Re1e3e1 +Re2e3e2 = 2µ1µ2.

Demonstracao do Lema 3.4.10: Considere uma algebra de Lie g tridimen-

sional e nao-unimodular. Como x 7−→ tr(ad(x)) de g em R e um homomorfismo e

u = {x ∈ g; tr(ad(x)) = 0} e diferente de g, segue do Teorema do nucleo e da imagem

que u e bi-dimensional. Agora escolha um base {e2, e3} de u e e1 de forma que B =

{e1, e2, e3} seja uma base de g. Como u e unimodular, tr(ad(e2)) = tr(ad(e3)) = 0,

portanto as constantes de estrutura α232 e α233 satisfazem α232 = α233 = 0 e u e co-

mutativo. Note agora que a linearidade de ad e da aplicacao tr nos permite escolher

v ∈ g tal que tr(ad(v)) = 2, obviamente v /∈ u. Agora se v = xe1 + ye2 + ze3 teremos

ad(v)e1 = [v, e1] = y[e2, e1] + z[e3, e1] = (yα212 + zα312)e2 + (yα213 + zα313)e3

ad(v)e2 = x[e1, e2] = −xα212e2 − xα213e3

ad(v)e3 = x[e1, e3] = −xα312e2 − xα313e3

e a matriz de ad(v) na base B fica0 0 0

yα212 + zα312 −xα212 −xα312

yα213 + zα313 −xα213 −xα313


.

Portanto se tr(ad(v)) = 2, a aplicacao L : u −→ u dada por L(u) = [v, u] tambem

satisfaz tr(L) = 2 e e facil perceber que L nao depende da escolha de v satisfazendo

tr(ad(v)) = 2.

Suponha que u e L(u) sejam linearmente dependentes para todo u ∈ u, ou seja,

L(u) = kuu onde ku ∈ R, Entao L e multiplo de Id , a condicao tr(L) = 2 implica que

L = Id. Desta forma se L nao satisfaz tal restricao podemos escolher e2 de forma que

L(e2) = [v, e2] e e2 sejam linearmente independentes e chamar [v, e2] = e3. Nessas

condicoes a matriz de L se torna 0 −xα312

1 2

e temos

L(e2) = e3

L(e3) = −De2 + 2e3,

onde D = det(L). Desta forma D apos uma cuidadosa escolha de bases, determina

completamente a algebra de Lie.

Escolha uma base ortonormal e1, e2, e3, onde e1⊥u e [e1, e2]⊥[e1, e3]. Uma esco-

lha adequada por ser feita selecionando uma base arbitraria e1, e2, e3 onde e1⊥u e

rotacionando os vetores e2, e3 para se obter [e1, e2]⊥[e1, e3]. Desta forma o colchete

e dado por

[e1, e2] = αe2 + βe3

[e1, e3] = γe2 + δe3

e [e2, e3] = 0; com α + δ 6= 0 e αγ + βδ = 0.

Lema 3.6.8. A base acima diagonaliza a forma de quadratica de Ricci e as curva-

turas principais de Ricci sao dadas por

r(e1) = α2 − δ2 − 1

2(β + γ)2,

r(e2) = −α(α + δ) +1

2(γ2 − β2),

r(e3) = −δ(α + δ) +1

2(β2 − γ2).


Demonstracao. Com a notacao de 3.5.1 temos, b = e1

L ≡

α γ

β δ

, L∗ ≡ α β

γ δ

, S ≡ 1

2

2α β + γ

β + γ 2δ

, 1

2(L−L∗) ≡ 1

2

0 γ − β

β − γ 0

assim, Se2 = αe2+ (β+γ)

2e3, Se3 = (β+γ)

2e2+δe3, 1

2(L−L∗)e2 = (β−γ)

2e3 e 1

2(L−L∗)e3 =

(γ−β)2e2. Calculando obtemos

Re2e1e2 = ∇[e2,e1]e2 −∇e2∇e1e2 +∇e1∇e2e2

= −∇(−αe2−βe3)e2 −∇e2(1

2(L− L∗)e2)

= −α∇e2e2 − β∇e3e2 −∇e2((β − γ)

2e3)

= −α(∇e2e2 + 〈Se2, e2〉 e1)− β(∇e3e2 + 〈Se3, e2〉 e1)− (β − γ)

2(∇e2e3 + 〈Se2, e3〉 e1)

= −α 〈αe2, e2〉 e1 − β⟨

(β + γ)

2e2, e2

⟩e1 −

(β − γ)

2〈αe2, e2〉 e1

= −α2e1 − β(β + γ)

2e1 −

(β2 − γ2)

4e1 (6.11)

e

Re3e1e3 = ∇[e3,e1]e3 −∇e3∇e1e3 +∇e1∇e3e3

= ∇(−γe2−δe3)e3 −∇e3(1

2(L− L∗)e3) +∇e1(∇e3e3 + 〈Se3, e3〉 e1)

= −γ 〈Se2, e3〉 e1 − δ 〈Se3, e3〉 e1 −(γ − β)

2〈Se3, e2〉 e1

= −γ⟨

(β + γ)

2e3, e3

⟩e1 − δ 〈δe3, e3〉 e1 −

(γ − β)

2

⟨(β + γ)

2e2, e2

⟩e1

= −γ (β + γ)

2e1 − δ2e1 −

(γ2 − β)

4e1,

assim

r(e1) = Re2e1e2 +Re3e1e3 = (−α2 − δ2 − (γ + β)2

2)e1,

ou seja, e1 e autovetor de r e portanto a curvatura principal de Ricci na direcao de

e1 e −α2 − δ2 − (γ+β)2

2. Calculos analogos mostram que

Re1e2e1 =

(−α2 − β (β + γ)

2+

(γ2 − β2)

4

)e2,

Re3e2e3 =

((β + γ)2

4− δα

)e2

e r(e2) = Re1e2e1 +Re3e2e3 =(−α(α + δ) + (γ2−β2)

2

)e2.


Por fim,

Re1e3e1 =

(−γ (β + γ)

2− δ2 +

(β2 − γ2)

4

)e3,

Re2e3e2 =

((β + γ)2

4− αδ

)e3

e segue que r(e3) = Re1e3e1 +Re2e3e2 = (−δ(α+ δ) + (β2−γ2)2

)e3 como querıamos.

Demonstracao do Lema 3.4.11: Realizando um ajuste na metrica (via homote-

tias) se necessario, podemos exigir no Lema 3.6.8 que α + δ = 2. Entao escrevendo

α = 1 + ξ devemos ter δ = 1− ξ e escrevendo β = (1 + ξ)η teremos de αγ + βδ = 0

que γ = −(1− ξ)η. Assim,

α = 1 + ξ, β = (1 + ξ)η,

γ = −(1− ξ)η, δ = 1− ξ.

Podemos assumir que ξ ≥ 0, η ≥ 0 e excluir o caso especial ξ = η = 0 (identi-

dade). Desta forma, as curvaturas principais de Ricci sao

r(e1) = −2(1 + ξ2(1 + η2)) ≤ −2,

r(e2) = −2(1 + ξ(1 + η2)) ≤ −2,

r(e3) = −2(1− ξ(1 + η2))

e D = (1− ξ)(1 + ξ)(1 + η2). Portanto se D < 0, temos ξ > 1 e r(e3) > 0, ou seja,

assinatura da forma (+, -, -). Se D = 0, entao ξ = 1 e r(e3) = 2η2 e dessa forma se

η = 0 teremos assinatura (0, -, -), enquanto se η > 0 teremos novamente assinatura

(+, -, -). Caso D > 0, entao ξ < 1 e teremos:

1. (1 + η2) > 1ξ

Entao ξ(1 + η2) > 1 e r(e3) > 0, portanto teremos assinatura. (+, -, -).

2. (1 + η2) = 1ξ

Entao ξ(1 + η2) > 1 e r(e3) = 0, e a assinatura e. (0, -, -).

3. (1 + η2) < 1ξ

Entao ξ(1 + η2) < 1 e r(e3) < 0, com assinatura. (-, -, -).

Agora se D > 1 e ξ = 0, entao η > 0 e r(e1) = r(e2) = r(e3) = −2, ρ = −6 e pelo

Lema 3.4.3 k(u, v) = −1 para todo u, v ∈ g ortonormais, assim obtemos metricas

3.7 Metricas bi-invariantes 70

invariantes a esquerda de curvaturas constantes negativas. Por fim se 0 < D < 1 e

η = 0, entao 0 < ξ < 1 e com isso r(e1) = −2−2ξ2, r(e2) = −2−2ξ, r(e3) = −2+2ξ

e ρ = −6 − 2ξ2, se u, v ∈ g sao ortonormais com u × v = ε1e1 + ε2e2 + ε3e3, entao

novamente pelo Lema 3.4.3

k(u, v) = −3− ξ2 + (2 + 2ξ2)ε21 + (2 + 2ξ)ε22 + (2− 2ξ)ε23

≤ −3− ξ2 + 2 + 2ξ

= −1 + ξ(2− ξ)

= −(ξ + 2)2

< 0

e as curvaturas seccionais sao estritamente menores que zero.

3.7 Metricas bi-invariantes

Relembremos que uma metrica em G e chamada bi-invariante se e invariante por

translacoes a esquerda e a direita.

Lema 3.7.1. Uma metrica invariante a esquerda em G e tambem invariante a

direita se, e so se, para cada elemento g ∈ G a transformacao linear

Ad : g −→ g

e um isometria com respeito a metrica induzida em g.

Demonstracao. Sejam Lg : G −→ G e Rg : G −→ G as translacoes a esquerda e a

direita respectivamente, a aplicacao Ad(g) : g −→ g e desta forma a diferencial em

e de Lg ◦ Rg−1 . Portanto se a metrica d invariante a esquerda e tambem invariante

a direita temos (Lg ◦ Rg−1)∗d = L∗gd = d onde * denota o pull-back da metrica

d e Ad(g) e uma isometria de g com a metrica d restrita a g. Reciprocamente se

Ad(g) : g −→ g e uma isometria de g com respeito a metrica d restrita a g, teremos

R∗gd = (Rg−1)∗e(Lg)∗g−1d = (Lg ◦Rg−1)∗ed = d.

Observacao 3.7.2. Do Lema 3.7.1 se conclui que o homomorfismo g 7−→ Ad(g)

deve mapear G no grupo ortogonal n-dimensional.


Lema 3.7.3. No caso de um grupo G conexo, a metrica invariante a esquerda e

bi-invariante se, e so se, a transformacao linear ad(x) e anti-adjunta para todo

g ∈ g.

Demonstracao. Inicialmente tome g ∈ G na imagem de exp : g −→ G. Assim g =

exp(x) para algum x ∈ g. Como Ad(g) = Ad(exp(x)) = ead(x) e pelo Lema 3.7.1 µ e

bi-invariante se, e so se, Ad(g) e ortogonal para todo g ∈ G. Supondo µ bi-invariante

temos que Ad(g)−1 = Ad(g)∗ e portanto e−ad(x) = Ad(g)−1 = Ad(g)∗ = ead(x)∗ e

−ad(x) = ad(x)∗ para todo x na imagem de exp. Para um g arbitrario, note que pela

conexidade de G, g = exp(x1) · · · exp(xn), entao Ad(g) = Ad(exp(x1) · · · exp(xn)) =

Ad(exp(x1)) · · ·Ad(exp(xn)) e o resultado segue do fato que produto de operadores

ortogonais e ortogonal.

Definicao 3.7.4. Diremos que uma metrica em g e bi-invariante se ad(x) e anti-

adjunta ∀x ∈ g.

Note que o definido acima se transfere naturalmente a qualquer subalgebra de g.

Agora se g e bi-invariante temos,

〈∇xy, z〉 =1

2(〈[x, y], z〉 − 〈[y, z], x〉+ 〈[z, x], y〉

=1

2(〈[x, y], z〉+ 〈[z, y], x〉+ 〈[z, x], y〉

=1

2(〈[x, y], z〉 − 〈y, [z, x]〉+ 〈[z, x], y〉

=1

2〈[x, y], z〉 ,

ou seja,

∇x =1

2ad(x)

entao a curvatura obtem a forma Rxy = ∇[x,y] − ∇x∇y + ∇y∇x = 12ad([x, y]) −

14ad(x)ad(y) + 1

4ad(y)ad(x) e pela identidade de Jacobi ad([x, y]) = ad(x)ad(y) −

ad(y)ad(x) obtemos,

Rxy =1

4ad([x, y]).

Novamente por Jacobi se obtem

k(x, y) = 〈Rxyx, y〉

=1

4〈[[x, y], x], y〉

=1

4〈[x, y], [x, y]〉 (7.12)


e podemos concluir que k(x, y) ≥ 0, com igualdade se, e so se, [x, y] = 0. Ainda

r(x) =∑

i k(x, y) ≥ 0 sendo zero se, e so se, [x, ei] = 0 com i = 1, ..., n, ou seja, se,

e so se, x pertence ao centro de g.

Para uma formula explicita da forma quadratica de Ricci sejaK(x, y) = tr(ad(x)ad(y))

a forma de Killing. Como r(x) pode ser definida como o traco da transformacao

linear

y 7−→ Rxyx = −1

4[x, [x, y]] = −1

4ad(x)ad(x)y = −1

4ad(x)2y

(veja [2] pg. 108) segue que r(x) = −14K(x, x). Desta forma a curvatura de Ricci e

um invariante com relacao a metricas bi-invariantes.

Observacao 3.7.5. Do afirmado acima segue que no caso tridimensional todas as

curvaturas independem da escolha da metrica bi-invariante.

Lema 3.7.6. Se a metrica em g e bi-invariante, entao o complemento ortogonal

de qualquer ideal e um ideal. Portanto g pode ser expressa como uma soma direta

ortogonal de ideais simples.

Demonstracao. Seja a um ideal de g e considere y arbitrario e ortogonal a a. Entao

devemos mostrar que [x, y] e ortogonal a a, ou seja, que esta no complemento orto-

gonal de a. De fato,

〈[x, y], a〉 = −〈y, [x, a]〉

para todo a ∈ a. Assim g = a⊕ a⊥ e o resultado segue por inducao.

Se g e igual a soma direta ortogonal a1⊕· · ·⊕ an de ideais simples, entao o grupo

de Lie simplesmente conexo G com algebra g pode ser expresso pelo cartesiano dos

subgrupos normais e simplesmente conexos Ai gerados pelos ideais ai. Para cada

fator Ai existem duas opcoes:

Caso 1: Se ai e comutativa, entao ai deve ser 1-dimensional. Com efeito, se por

exemplo span {u, v} = ai, entao span {u} e span {v} sao ideais de ai, um absurdo.

Portanto ai e 1-dimensional e devemos ter ai isomorfa a R. Como Ai e simplesmente

conexo se conclui que Ai ∼= R.

Caso 2: Se ai e nao-comutativa, entao o centro de ai e um ideal trivial, pois ai

e simples. Agora note que [ai, ai] deve ser todo ai, portanto nao existe u ∈ ai com


u 6= 0 tal que u⊥[ai, ai]. Isso junto ao fato de ad(x) ser anti-adjunta para todo x ∈ ai

(ai e bi-invariante) aplicado ao Lema 3.2.1, nos garante que Ai possui curvatura de

Ricci estritamente positiva. Por fim, devido ao Lema 3.2.2, temos que Ai e compacto.

Lema 3.7.7. O grupo de Lie conexo G admite uma metrica bi-invariante se, e so

se, ele e o produto cartesiano de um grupo compacto e de um grupo vetorial aditivo.

Demonstracao. Suponha que G admita uma metrica bi-invariante. Entao aplicando

os casos 1 e 2 acima, seu recobrimento universal G pode ser escrito G = H × Rm

onde H e compacto. Agora G = G/Γ onde Γ e um subgrupo discreto e central.

Projetando Γ em Rm, considere V o espaco vetorial gerado por essa projecao e V ⊥

seu complemento ortogonal. Entao G ∼= H × V × V ⊥ e G ∼= (H × V × V ⊥)/Γ ∼=

(H × V )/Γ× V ⊥ onde (H × V )/Γ e compacto. De fato, escreva Γ = ΓH × ΓV onde

ΓH ⊂ H e ΓV ⊂ V . Desta forma e suficiente, uma vez que H e compacto, mostrar

que V/ΓV e compacto. Para isso escolha uma base {v1, ..., vn} ⊂ ΓV de V e perceba

que pela estrutura de grupo de ΓV se vγ ∈ ΓV , entao kvγ ∈ ΓV para todo k ∈ Z. Se

v ∈ V e dado por v = a1v1 + · · ·+anvn, escrevemos os coeficientes como ai = a′i+a”

i ,

onde a′i ∈ [0, 1) e a”

i ∈ Z. Entao

v = a′

1v1 + · · ·a′nvn + a”1v1 + · · ·a”

nvn = a′

1v1 + · · ·a′nvn + vγ

para algum vγ ∈ ΓV e v pertence a classe de equivalencia de a′1v1 + · · ·a′nvn.

Agora note que isso mostra que V/ΓV e imagem do poliedro formado pelos vetores

da base {v1, ..., vn}, que e compacto.

Reciprocamente, suponha que G = H × Rm. Atribuımos metricas a H e a

Rm, este segundo sendo comutativo, toda metrica invariante a esquerda e tambem

invariante a direita. Quanto a H, sendo compacto, e unimodular, considere a medida

de Haar bi-invariante µ e um produto interno 〈·, ·〉 qualquer em g. Defina a aplicacao

(·, ·) : g× g −→ R pondo,

(u, v) =

∫H

〈Ad(g)u,Ad(g)v〉 dµ.

Facilmente se mostra que Ad(g) e isometria com respeito a (·, ·) para todo g ∈ H.

Logo o Lema 3.7.1 garante que a metrica induzida via translacoes a esquerda de (·, ·)

e tambem invariante a direita. Por fim, para uma metrica bi-invariante em H×Rm,

defina a metrica produto.


Lema 3.7.8. Se a algebra de Lie g de um grupo de Lie compacto e simples, entao a

metrica bi-invariante e unica a menos de multiplicacao por uma constante positiva.

Tal metrica necessariamente possui curvatura de Ricci constante.

Demonstracao. Seja 〈·, ·〉 uma metrica bi-invariante em g. E possıvel se obter todas

as metricas em g a partir da metrica inicial e um operador auto-adjunto S devida-

mente escolhido (este fato nao depende da bi-invariancia da metrica), pondo 〈S·, ·〉.

Se esta nova metrica obtida for bi-invariante, entao ad(x) e anti-adjunta em ambas,

ou seja,

〈v, Sad(u)y〉 = 〈−ad(u)v, Sy〉 = 〈v, ad(u)Sy〉

e ad(u)S = Sad(u) para todo u ∈ g. Agora se v e um autoespaco associado ao

autovalor λ de S temos que, S([u, v]) = [u, Sv] = [u, λv] = λ[u, v] e ad(u)v pertence

ao autoespaco v, ∀u ∈ g e v ∈ v, ou seja, e um ideal. Como g e simples, v=g e

Su = λu para todo u ∈ g. Desta forma, 〈Sx, y〉 = λ 〈x, y〉 e 〈S·, ·〉 = λ 〈·, ·〉.

Tambem pelo Lema 3.2.1, r(u) > 0 para todo u ∈ g e as curvaturas principais de

Ricci sao maiores que zero. Em outras palavras a forma quadratica de Ricci possui

diagonal com elementos estritamente maiores que zero (quando escrita na sua forma

diagonal), portanto r e definida positiva e define um produto interno em g. Para

ver que 〈r·, ·〉 e bi-invariante note que em tal metrica a norma de qualquer vetor

permanece invariante por translacoes. Por fim, pelo feito acima r(x) = λx para

todo x ∈ g e

r(x) = 〈r(x), x〉 = λ

para todo x ∈ g com ‖x‖ = 1.

Se tomarmos a metrica 〈r(u), v〉, ou equivalentemente, multiplicarmos a metrica

〈·, ·〉 por λ, como a forma de Ricci permanece inalterada, todo vetor unitario nesta

metrica devera satisfazer r(x) = 1.

Corolario 3.7.9. Qualquer grupo de Lie G cujo recobrimento universal G e com-

pacto admite uma metrica bi-invariante com curvatura de Ricci constante +1.

Demonstracao. Se G e compacto, entao admite uma metrica bi-invariante, g pode

ser escrita como soma direta de ideais g = a1 ⊕ · · · ⊕ an e consequentemente G =

A1×·· ·×An. Note que Ai 6= R, pois caso contrario G nao seria compacto. Portanto


pelo observado nos casos 1 e 2 anteriormente, Ai e compacto e ai e simples para

i = 1, ..., n. Aplicando o Lema 3.7.8, cada Ai admite uma metrica 〈·, ·〉i tal que

ri ≡ +1. Definindo a metrica produto em G teremos que com relacao a tal metrica

a curvatura de Ricci e identicamente +1. Por fim, G e localmente isometrico a G

e possui portanto uma metrica bi-invariante com curvatura de Ricci identicamente

+1.

Observacao 3.7.10. Existe nas condicoes do corolario anterior exatamente uma

metrica bi-invariante tal que a curvatura de Ricci e identicamente +1. De fato

nestas condicoes a forma de Killing e nao degenerada. Sendo bi-linear, simetrica

e negativa definida, −B(x, y) define uma metrica bi-invariante e como ja vimos,

r(x) = −14B(x, x). Quanto a unicidade, note que qualquer metrica satisfazendo tais

condicoes em G induz uma metrica de mesmas condicoes em G e consequentemente

em Ai onde G = A1 × · · · ×An. A unicidade de tais metricas nos Ai’s nos garante

que a metrica inicial e −14B(x, y).

Lema 3.7.11. Seja G um grupo de Lie e suponha que G seja isometrico a Rn.

Entao G nao admite subgrupos compactos que nao o trivial.

Demonstracao. Suponha por absurdo que G admita um subgrupo compacto K.

Considere 〈·, ·〉 uma metrica invariante a esquerda de forma que o elemento de volume

Riemanniano νk =√det(gij)dx esteja normalizado e f : G −→ Rn uma isometria.

Nestas condicoes, o grupo de isometrias que age a esquerda em K dado por EK =

{Eg : G −→ G; g ∈ K} induz naturalmente um grupo de isometrias que age em f(K)

dado por FK = {fg = f ◦ Eg ◦ f−1;Eg ∈ EK}. Mostremos que FK admite um ponto

fixo em Rn. Tal conclusao implica na existencia de um ponto fixo em G para EK

o que nos conduz a um absurdo, pois translacoes nao triviais nao admitem pontos

fixos.

A isometria f induz em f(K) translacoes dadas por fg ∈ FK . Como grupos de

Lie sao orientaveis, se considerarmos (uα, φα) um sistema de coordenadas positivo

em K, (uα, f ◦ φα) e um sistema de coordenadas em f(K) e fica bem definido o

elemento de volume νk(f(x)) = νk(x) em f(K). Como νk e invariante a esquerda

em K teremos,

νk(fg(f(x))) = νk(f ◦Eg ◦f−1 ◦f(x)) = νk(f ◦Eg(f(x))) = νk(Eg(f(x))) = νk(f(x))


e νk e invariante pelas translacoes fg em f(K). Considere p : f(K) −→ f(K) o

vetor posicao de f(K) em Rn. Mostraremos agora que y =∫f(K)

p(x)νk(x) e um

ponto fixo de FK . Seja (uα, ψα) = (uα, f ◦ φα) o sistema de coordenadas em f(K),

{ηα} uma particao da unidade subordinada a esta cobertura, uα = X1α ∪ · · · ∪Xrα

onde Dα = {X1α, ..., Xrα} e uma particao de uα em J-mensuraveis e D∗α = (Dα, xjα)

um pontilhamento de Dα. A primeira afirmacao a verificar sera a igualdade fg(y) =∫f(K)

fg ◦ p(x)νk(x). Com efeito, escreva fg = L + b, onde L e uma transformacao

linear ortogonal e b um vetor de Rn. Entao teremos

fg(y) = fg(

∫f(K)

p(x)νk(x))

= fg(∑α

∫uα

p(ψα(x))ηα(x)√det(gαij)(x)dx)

= fg(∑α

lim|Dα|→0

∑j

p(ψα(xjα))ηα(xjα)V ol(Xjα))

= lim|Dα|→0

fg(∑α

∑j

p(ψα(xjα))ηα(xjα)V ol(Xjα))

= lim|Dα|→0

L(∑α

∑j

p(ψα(xjα))ηα(xjα)V ol(Xjα)) + b

= lim|Dα|→0

L(∑α

∑j

p(ψα(xjα))ηα(xjα)V ol(Xjα)) + bV ol(f(K))

= lim|Dα|→0

L(∑α

∑j

p(ψα(xjα))ηα(xjα)V ol(Xjα)) +∑α

∑j

bηα(xjα)V ol(Xjα)

= lim|Dα|→0

∑α

∑j

(L(p(ψα(xjα)) + b)ηα(xjα)V ol(Xjα)

=∑α

∫uα

fg ◦ p(ψα(x))ηα(x)√det(gαij)(x)dx

=

∫f(K)

fg ◦ p(x)νk(x).

Logo podemos concluir que

fg(y) =

∫f(K)

fg◦p(x)νk(x) =

∫f(K)

p◦fg(x)νk(x) =

∫f(K)

p◦fg(x)νk(fg(x)) =

∫f(K)

p(z)νk(z),

onde a penultima e a ultima igualdade segue da invariancia e mudanca de coorde-

nadas respectivamente.

Demonstracao do Teorema 3.1.6: Seja G um grupo de Lie simplesmente co-

nexo que admita uma metrica invariante a esquerda flat. Como variedade Rieman-

niana, G e isometrico a Rn (veja [2] pg.181). Segue imediatamente do Lema 3.7.11


que G nao possui subgrupos compactos que nao {e}. Para qualquer g com metrica

invariante a esquerda, x, y e z ∈ g, a conexao Riemanniana satisfaz x 〈y, z〉 = 0 =

〈∇xy, z〉 + 〈y,∇xz〉. Portanto 〈∇xy, z〉 = 〈y,−∇xz〉 e a aplicacao linear x 7−→ ∇x

aplica g na algebra de Lie o(n) das aplicacoes anti-adjuntas de g em g. Se K ≡ 0,

entao R ≡ 0 e temos ∇[x,y] = ∇x∇y −∇y∇x, o que mostra que x 7−→ ∇x e um ho-

momorfismo de algebras de Lie. Seu nucleo u e um ideal. Como [x, y] 7→ ∇xy−∇yx,

u e comutativo. Tome b o complemento ortogonal de u. Entao para cada b ∈ b e

x ∈ u vale [b, x] = ∇bx e a aplicacao anti-adjunta ∇b mapeia u em si mesmo. Se

b′ ∈ b, entao 〈∇bb′, u〉 = −〈b′,∇bu〉 = 〈b′, u′〉 = 0 e ∇b aplica b em si mesmo.

Assim [b, b′] = ∇bb′ − ∇b′b ∈ b e b e uma subalgebra de Lie de g. Como b nao

possui elementos de u diferentes do vetor nulo, x 7−→ ∇x aplica isomorficamente b

na sua imagem, uma subalgebra de Lie de o(n), que por sua vez e algebra do grupo

compacto O(n) e possui uma metrica bi-invariante. Portanto b possui uma metrica

bi-invariante e pelo Lema 3.7.6, b = b1 ⊕ · · · ⊕ bk, com bi ideal simples para cada

i = 1, ..., k. Cada bi e comutativo, pois caso contrario o respectivo grupo de Lie

Bi seria compacto e a inclusao bi ⊂ b ⊂ g induziria um homomorfismo Bi −→ G

nao trivial e G conteria um subgrupo compacto nao trivial, absurdo. Desta forma,

b e comutativo, para cada b ∈ b e gu + gb = g ∈ g onde gu ∈ u e gb ∈ b obtemos

ad(b)g = [b, g] = ∇bg = ∇bgu + ∇bgb = ∇bgu + [b, gb] = ∇bgu, ou seja, ad(b) e

anti-adjunta, restrita a b e nula e restrita a u coincide com ∇b. Logo g = u ⊕ b, u e

ideal comutativo, b e subalgebra comutativa e ad(b) e anti-adjunta.

Reciprocamente. se as hipoteses estao satisfeitas se obtem facilmente que∇u ≡ 0,

∇b ≡ ad(b) e consequentemente Rxy ≡ 0.

Como aplicacao deste resultado construiremos metricas de curvatura escalar es-

tritamente positiva. Para isso utilizaremos o Teorema de Iwasawa abaixo.

Teorema de Iwasawa. Se G e um grupo de Lie conexo, entao:

1. Todo subgrupo compacto esta contido em um subgrupo compacto maximal

H, qual e necessariamente um grupo de Lie conexo.

2. O subgrupo compacto maximal e unico a menos de conjugacao.


3. Como espaco topologico, G e homeomorfo ao produto de H e algum espaco

Euclidiano Rm.

Para uma demonstracao veja [5].

Corolario 3.7.12. O recobrimento universal de G e homeomorfo ao espaco Eucli-

diano se, e so se, todo subgrupo compacto de G e comutativo.

Demonstracao. No que se segue o sımbolos ∼=t sera utilizado para homeomorfismo.

Suponha que G ∼=t Rn. Pelo Teorema de Iwasawa podemos escrever G ∼=t H ×

Rm, onde H e compacto e maximal. Desta forma, H admite metrica bi-invariante

e podemos decompor sua algebra de Lie h em soma direta de ideais simples h1 ⊕

· · · ⊕ hl. Caso H admita subgrupos compactos nao-comutativos, existiriam ideais

que denotaremos sem perda de generalidade h1, ..., hs com s ≤ l nao-comutativas

e pelo caso 2 acima os grupos de Lie simplesmente conexos respectivos H1, ..., Hs

seriam compactos. Portanto G ∼=t H1 × · · · × Hs × Rk, onde H1 × · · · × Hs e

compacto o que nos fornece um absurdo, uma vez que os grupos de homologia de

Rn e H1× · · · × Hs×Rk sao distintos. Logo todo subgrupo compacto de G deve ser

comutativo. Reciprocamente, se cada subgrupo compacto de G e comutativo, entao

h1, ..., hl sao ideais comutativos e pelo caso 1 acima H ∼=t Rl como querıamos.

Demonstracao do Teorema 3.3.4: Seja G um grupo de Lie conexo nao ho-

meomorfo a Rn, entao pelo corolario anterior G admite um subgrupo H compacto

e nao-comutativo. Pelo Teorema de Iwasawa podemos assumir que H e conexo. A

compacidade de H permite definir uma metrica em g de forma que Ad(h) : g −→ g

seja isometria sempre que h ∈ H. Basta proceder como na prova do Lema 3.7.7.

Com esta metrica seja e1, ..., em uma base ortonormal para algebra de Lie h de H

e estenda a uma base ortonormal e1, ..., en de g. Observando as igualdades ma de-

monstracao do Lema 3.7.3 se nota que ad(e1), ..., ad(em) e anti-adjunta. Fixe ε > 0 e

defina uma nova base e′1 = e1, ..., e′m = em, e

′m+1 = εem+1, ..., e

′n = εen e uma metrica

〈·, ·〉ε exigindo que tal base seja ortonormal. Analisando as novas constantes de es-

truturas em termos das iniciais temos,

[e′i, e′j] =

∑mk=1 αijk = [ei, ej] caso i, j = 1, ...,m,


[e′i, e′j] = [ei, εej] =

∑mk=1 (αijkε)ek +

∑nk=m+1 (αijk)εek caso i = 1, ...,m e j =

m+ 1, ..., n e

[e′i, e′j] = [εei, εej] =

∑mk=1 (αijkε

2)ek +∑n

k=m+1 (αijkε)εek caso i, j = m+ 1, ..., n.

Fazendo ε −→ 0, as constantes de estrutura no primeiro caso permanecem inal-

teradas. No segundo caso αijk = 0 se k = 1, ...,m mostrando que [e′i, e′j] ∈ h⊥ se

i = 1, ...,m e j = m + 1, ..., n. No terceiro caso αijk = 0 para todo k mostrando

que h⊥ e um ideal comutativo. Escrevendo g0 a algebra de Lie limite vemos que

g0 = h⊕ h⊥. Assim temos uma nova algebra de Lie com base e metrica inicial fixada.

Perceba agora que ad(b) e anti-adjunta ∀b ∈ h. Com efeito, note que

⟨[e′l, e

′i], e

′j

⟩= 0

se l, i = 1, ...,m e j = m + 1, ..., n. Nos casos onde i e j pertencem ao mesmo

conjunto {1, ...,m} ou {m+ 1, ..., n} teremos constantes de estruturas proporcionais

as iniciais, logo ad(b) e anti-adjunta para todo b ∈ h. Pelo mesmo argumento da

prova do Teorema 3.1.6, ∇u = 0 para todo u ∈ h⊥ e segue que Rxu = 0. Assim

k(x, u) = 〈Rxux, u〉ε = 0. Em particular r(u) = 0 para todo u ∈ h⊥. Por outro

lado, se b ∈ h, entao r(b) ≥ 0 pelo Lema 3.2.1 onde a igualdade nao pode ocorrer

sempre, pois h e nao-comutativo. Portanto na algebra limite g0 com metrica 〈·, ·〉εa curvatura escalar ρ = r(e′1) + ... + r(e′n) > 0. Por continuidade ρ(gε0) > 0 para

ε0 suficientemente pequeno. Por fim a algebra de Lie gε0 base e′1 = e1, ..., e′m =

em, e′m+1 = ε0em+1, ..., e

′n = ε0en e metrica 〈·, ·〉ε0 e a algebra inicial com metrica tal

que ρ > 0.

Observacao 3.7.13. Note que acima k(u, x) = 0 se u ∈ h⊥. Como ad(b) e anti-

adjunta para todo b ∈ h. podemos concluir por 3.1.2 que a algebra limite nos fornece

um exemplo cujas curvaturas seccionais satisfazem K ≥ 0.

REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS

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INDICE REMISSIVO

algebra de Lie, 21

centro de, 39

comutativa, 22

ideal de, 22

nilpotente, 22

semi-simples, 22

simples, 22

soluvel, 22

subalgebra de, 22

campo de vetores

diferenciavel, 12

invariante a direita, 23

invariante a esquerda, 23

paralelo, 15

conexao

afim, 14

Riemanniana, 16

constantes de estrutura, 37

curvatura

de Ricci, 41

escalar, 44

Riemanniana, 18

seccional, 37

derivada covariante, 15

exponencial, 17

de Lie, 25

grupo

de Lie, 21

de Lie unimodular, 40

topologico, 19

grupos de Lie

E(1, 1), 33

E(2), 31

SL(2,R), 28

SO(3), 29

SU(2), 28

grupo de Heinsenberg, 30

identidade

de Bianchi, 18

de Jacobi, 12

isometria, 14

local, 14

metrica

bi-invariante, 70

invariante a direita, 27


invariante a esquerda, 27

Riemanniana, 13

translacao

a direita, 20

a esquerda, 20

variedade

diferenciavel, 9

orientavel, 11

Riemanniana, 13

Riemanniana flat, 40

curvaturas em grupos de lie com m etricas invariantes a ... · lie em quest~ao, fornecendo assim...

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