classificaÇÃo das Álgebras de lie tridimensionais

Encontro Nacional de Ensino, Pesquisa e Extensão, Presidente Prudente, 19 a 22 de outubro, 2015 7

Colloquium Exactarum, vol. 7, n. Especial, Jul–Dez, 2015, p. 07-16. ISSN: 2178-8332. DOI: 10.5747/ce.2015.v7.nesp.000088

CLASSIFICAÇÃO DAS ÁLGEBRAS DE LIE TRIDIMENSIONAIS José Paulo Rodrigues da Silveira, Fernando Pereira de Sousa Universidade Federal de Mato Grosso do Sul – UFMS, Campus de Três Lagoas. Bolsista do Grupo PET Conexões de Saberes – Matemática/CPTL/UFMS. E-mail: [email protected]

RESUMO O trabalho apresenta resultados de um estudo sobre “Estruturas Algébricas com ênfase em elementos da Teoria De Lie” que foi desenvolvido como parte das atividades de pesquisa e apresentações de seminários, vinculado às disciplinas de Álgebra e Álgebra Linear, com o objetivo de um futuro aprofundamento na teoria de álgebras não comutativas. Durante o desenvolvimento do presente trabalho, foram estudados alguns conceitos de Álgebra Linear, relacionados com Espaços Vetoriais, além de alguns conceitos de álgebra, no que diz respeito a Grupos, Aneis, Corpos e Ideais. Em seguida, foram estudados as definições, proposições e teoremas necessários para a abordagem das Álgebras de Lie Solúveis e Nilpotentes, bem como a classificação de álgebras de Lie Tridimensionais. Palavras - chave: Lie, Álgebras, Solúvel, Nilpotente, Tridimensional. CLASSIFICATION OF Lie ALGEBRA DIMENSIONAL ABSTRACT The paper presents results of a study on " Algebraic Structures with an emphasis on elements of Lie Theory " that was developed as part of research activities and seminar presentations , linked to the disciplines of Algebra and Linear Algebra , with a view to a future deepening in algebra theory does not commutative . During the development of this work , we studied some concepts of linear algebra , vector spaces related , and some algebra concepts , with regard to groups, rings , Bodies and ideals . Then , the settings were studied , and theorems propositions required for the approach of Lie algebras soluble and nilpotent as well as the classification of Lie algebras dimensional Keywords: Lie, Álgebra, Soluble, Nilpotent, Three-dimensional.



INTRODUÇÃO

Para uma melhor compreensão quanto á classificação das álgebras de Lie tridimensionais é

necessário um conhecimento básico sobre:

Definição 1: Uma álgebra de Lie é um espaço vetorial 𝔞 munido da operação colchete de

Lie:

𝔞 × 𝔞 ⟼ 𝔞 (X, Y) ⟼ [X, Y]

O colchete de Lie satisfaz às condições:

1. O colchete de Lie é bilinear, isto é,

[aX + bY, Z] = a[X, Z] + b[Y, Z][Z, aX + bY] = a[Z, X] + b[Z, Y]

, ∀ a, b ∈ ℝ e ∀ X, Y, Z ∈ 𝔞.

2. O colchete de Lie é antissimétrico, isto é, [X, X] = 0, ∀ X ∈ 𝔞.

3. A identidade de Jacobi é satisfeita ∀ X, Y, Z ∈ 𝔞:

[X, [Y, Z]] + [Y, [Z, X]] + [Z, [X, Y]] = 0

Definição 2: Seja B um subconjunto de 𝔞, chamamos de centralizador de B em 𝔞, ao

conjunto z(B) = {X ∈ 𝔞/[X, Y] = 0, ∀ Y ∈ B}.

Definição 3: Se 𝔞 é uma álgebra de Lie, então o centro de 𝔞 será denotado por:

c(𝔞) = {X ∈ 𝔞/[X, Y] = 0, ∀ Y ∈ 𝔞}.

Definição 4: Seja 𝔞 uma álgebra de Lie. Dizemos que 𝔞′ é uma álgebra derivada de 𝔞 se:

𝔞′ = < {[𝑋, 𝑌]/𝑋, 𝑌 ∈ 𝔞} >.

ÁLGEBRAS DE LIE TRIDIMENSIONAIS

Seja 𝔞 uma álgebra de Lie tridimensional e seja 𝔞′ sua álgebra derivada. Classificaremos esta

álgebra através das dimensões da álgebra derivada 𝔞′.

Teorema. Seja 𝔞 uma álgebra de Lie tridimensional e tal que sua álgebra derivada 𝔞′ é nula.

Então, 𝔞 é abeliana.



Demonstração: Suponhamos que dim (𝔞′) = 0, isto é, 𝔞′ = {0}. Neste caso, tem-se que 𝔞 é

uma álgebra abeliana.

Agora, analisaremos o caso em que dim (𝔞′) = 1. Este caso se dividirá em duas etapas, a

primeira considerando 𝔞′ ⊂ 𝑐(𝔞) e outra considerando que 𝔞′ não está contido em 𝑐(𝔞). Para

𝔞′ ⊂ 𝑐(𝔞) temos o seguinte resultado sobre classificação de álgebras de Lie tridimensionais:

Teorema. Seja 𝔞 uma álgebra de Lie tridimensional cuja álgebra derivada 𝔞′ é unidimensional.

Suponha que 𝔞′ ⊂ 𝑐(𝔞). Então, existe uma base {X, Y, Z} de 𝔞 tal que [𝑌, 𝑍] = 𝑋, [𝑋, 𝑌] = 0

e[X, Z] = 0.

Demonstração: Sejam {𝑋} e {𝑋, 𝑌1, 𝑍} bases de 𝔞′ e 𝔞, respectivamente. Como 𝔞′ ⊂ 𝑐(𝔞),

temos que para qualquer 𝑈 ∈ 𝔞′ tem-se que [U, W] = 0, ∀ 𝑊 ∈ 𝔞. Como {𝑋} é base de 𝔞′ temos

[X, W] = 0, ∀ 𝑊 ∈ 𝔞, e, em [𝑋, 𝑌1] = 0 e [𝑋, 𝑍] = 0, pois 𝑌1, 𝑍 ∈ 𝔞. Já que [𝑌1, 𝑍] ∈ 𝔞′, segue que

[𝑌1, 𝑍] = 𝑎𝑋, 𝑎 ≠ 0. Verifiquemos que 𝑎 é realmente não nulo. Caso contrário, [𝑌1, 𝑍] = 0. Como

[𝑋, 𝑌1] = 0 = [𝑋, 𝑍] temos que ∀ 𝑈, 𝑉 ∈ 𝔞, vale

[𝑈, 𝑉] = [𝑎𝑋 + 𝑏𝑌1 + 𝑐𝑍, 𝛼𝑋 + 𝛽𝑌1 + 𝛾𝑍] = 0.

Concluímos então que dim(𝔞′) = 0, contradizendo a hipótese. Definamos Y =1

𝑎𝑌1. Então,

{𝑋, 𝑌, 𝑍} também é uma base de 𝔞 e

[𝑋, 𝑌] = 0 = [𝑋, 𝑍] e [𝑌, 𝑍] =1

𝑎[𝑌1, 𝑍] =

1

𝑎𝑎𝑋 = 𝑋.

Agora, para analisar o caso em que 𝔞′ não está contido em 𝑐(𝔞) precisamos dos dois lemas a

seguir.

Lema: Seja 𝔞 uma álgebra de Lie tridimensional tal que 𝔞′ é unidimensional. Suponha que 𝔞

possua uma subálgebra bidimensional 𝔟 que não é abeliana. Então, 𝔟 é um ideal de 𝔞.

Lema. Seja 𝔞 uma álgebra de Lie tridimensional tal que 𝔞′ é unidimensional. Se 𝔞′ não está

contido em 𝑐(𝔞), então existe uma subálgebra bidimensional de 𝔞 que não é abeliana.



Veremos a seguir, uma classificação das álgebras de Lie de dimensão três, cuja álgebra

derivada 𝔞′ é unidimensional e não está contida em 𝑐(𝔞).

Teorema. Seja 𝔞 uma álgebra de Lie tridimensional tal que 𝔞′ é unidimensional. Se 𝔞′ não está

contido em 𝑐(𝔞), então existe uma base {𝑋, 𝑌, 𝑍} de 𝔞 tal que [𝑋, 𝑌] = 𝑋, [𝑋, 𝑍] = 0 e [𝑌, 𝑍] = 0.

Demonstração: Pelo lema anterior, temos que 𝔞 possui uma subálgebra bidimensional não

abeliana 𝔟. Seja {𝑋, 𝑌} a base canônica de 𝔟 com [𝑋, 𝑌] = 𝑋. Pelos lemas anteriores, temos que 𝔟 é

um ideal de 𝔞. Logo, 𝔞 = 𝔟 ⊕ z(𝔟), onde z(𝔟) é o centralizador de 𝔟 em 𝔞. Completemos a base

{𝑋, 𝑌} de 𝔟 para obtermos a base {𝑋, 𝑌, 𝑍} de 𝔞. Como 𝔞 = 𝔟 ⊕ z(𝔟) e {𝑋, 𝑌} gera 𝔟, temos que

Z ∈ z(𝔟). Decorre daí que [𝑍, 𝑋] = 0 e [𝑍, 𝑌] = 0.

À seguir, apresentaremos o caso em que a álgebra derivada 𝔞′ é bidimensional:

Lema: Seja 𝔞 uma álgebra de Lie tridimensional tal que 𝔞′ é bidimensional. Suponha que 𝔞

possui uma subálgebra não abeliana bidimensional 𝔟. Então, o ideal 𝔞′ é diferente de 𝔟.

Demonstração: Suponhamos por absurdo que 𝔞′ = 𝔟. Tomemos uma base {X, Y} de 𝔟 com

[𝑋, 𝑌] = 𝑌. Como 𝔟 é ideal, temos que 𝔞 = 𝔟 ⊕ z(𝔟) e, daí,

𝔞′ =[ 𝔟 ⊕ z(𝔟), 𝔟 ⊕ z(𝔟)],

∴ 𝔞′ = [𝔟, 𝔟] + [𝔟, z(𝔟)] + [z(𝔟), 𝔟] + [z(𝔟), z(𝔟)]

∴ 𝔞′ = [𝔟, 𝔟] + [z(𝔟), z(𝔟)].

Como dim(𝔟) = 2 e 𝔞 = 𝔟 ⊕ z(𝔟), temos que dim(z(𝔟)) = 1. Daí, concluímos que z(𝔟) é

abeliano e, portanto, [z(𝔟), z(𝔟)] = 0. Assim, da igualdade 𝔞′ = [𝔟, 𝔟] + [z(𝔟), z(𝔟)], temos que

𝔞′ = 𝔟′. Como 𝔟′ = [ 𝔟, 𝔟] é gerado por 𝑌, temos que 𝔞′ é unidimensional, o que contradiz a

hipótese.

Definição: A aplicação ad abaixo é chamada de representação adjunta da álgebra de Lie 𝔞

𝑎𝑑(𝑋): 𝔞 → 𝔞

X ↦ 𝑎d(X)

Lema. Seja 𝔞 uma álgebra de Lie tridimensional tal que sua álgebra derivada 𝔞′ é

bidimensional. Então, ad(Z): 𝔞′ → 𝔞′ é um isomorfismo ∀ 𝑍 ∈ 𝔞, Z ≠ 𝔞′.



O resultado a seguir classifica as álgebras de Lie Tridimensionais, cuja álgebra derivada é

bidimensional.

Teorema. Seja 𝔞 uma álgebra de Lie tridimensional tal que sua álgebra derivada 𝔞′ é

bidimensional. Então, existe uma base {X, Y, Z} de 𝔞 e escalares 𝛼, 𝛽, 𝛾, 𝛿 tais que [𝑋, 𝑌] =

0, [𝑍, 𝑋] = 𝛼𝑋 + 𝛽𝑌, [𝑍, 𝑌] = 𝛾𝑋 + 𝛿𝑌, e 𝑊 = (𝛼 𝛽𝛾 𝛿

) é uma matriz invertível.

Demonstração: Por intermédio do lema anterior, como 𝔞′ é abeliana, tomemos uma base

{X, Y} de 𝔞′ com [X, Y] = 0 e estendamos esta base a uma base {X, Y, Z} de 𝔞. Ainda pelo lema

anterior, {[X, Z], [Y, Z]} também é uma base de 𝔞′, assim [𝑋, 𝑍] = 𝛼𝑋 + 𝛽𝑌 e, do mesmo modo,

[Y, Z] = 𝛾𝑋 + 𝛿𝑌, uma vez que {𝑋, 𝑌} também é base de 𝔞′. Como ad(Z) é um isomorfismo,

temos que U = (𝛼 𝛾𝛽 𝛿) é invertível, pois é a matriz do isomorfismo ad(Z).

Assim, como a transposta de uma matriz invertível também é invertível,

𝑈𝑇 = 𝑊 = (𝛼 𝛽𝛾 𝛿

) é invertível.

Definição. Duas matrizes 𝐴 e 𝐵 são chamadas cogradientes se existe uma matriz invertível

N e um número real p ≠ 0 tal que B = pNTAN.

Usaremos a notação 𝐴~𝐵 para denotar que 𝐴 é cogradientes a 𝐵.

Proposição. A relação 𝐴 é cogradientes a 𝐵 (𝐴~𝐵) é uma relação de equivalência.

A proposição a seguir nos mostra que no conjunto das matrizes simétricas e invertíveis só

existem duas classes de equivalência de matrizes cogradientes.

Proposição. Se 𝐴 é uma matriz 3 × 3 real, simétrica e invertível, então 𝐴 é cogradientes a

(1 0 00 1 00 0 1

) ou a (−1 0 00 1 00 0 1

).

Demonstração: Seja A uma matriz real, simétrica e invertível. Pelo teorema espectral,

temos que existe uma matriz ortogonal N tal que N𝑇NA é uma matriz diagonal, ou seja,



N𝑇AN = (𝛼 0 00 𝛽 00 0 𝛾

), com 𝛼, 𝛽, 𝛾 ∈ ℝ.

Como 𝐴 é invertível e det (𝐴) ≠ 0, temos que det(N𝑇AN) = 𝛼𝛽𝛾 ≠ 0. Multiplicando

N𝑇NA por 𝛾−1, obtemos: (

𝛼

𝛾0 0

0𝛽

𝛾0

0 0 1

). Tomando 𝛼

𝛾= 𝛼′, e

𝛽

𝛾= 𝛽′, temos que 𝐴 é cogradientes a

B= (𝛼′ 0 00 𝛽′ 00 0 1

).

Mostraremos que a matriz 𝐵 é cogradiente a:

𝐶 = (1 0 00 1 00 0 1

) ou a 𝐷 = (−1 0 00 1 00 0 1

).

De fato, para mostrar isto, seja 𝑁 = (𝑥 0 00 𝑦 00 0 𝑧

).

Para simplificarmos a notação, troquemos 𝛼′ por 𝛼 e 𝛽′ por 𝛽. Dessa forma, N𝑇BN =

(𝑥2𝛼 0 0

0 𝑦2𝛽 0

0 0 𝑧²

).

Para concluir a demonstração, consideraremos todas as possibilidades para os sinais de

𝛼 e 𝛽.

Se 𝛼 > 0 e 𝛽 > 0, tomamos a matriz 𝑁 tal que 𝑥 =1

√𝛼, 𝑦 =

1

√𝛽 e 𝑧 = 1. Daí,

N𝑇BN = (1 0 00 1 00 0 1

) = 𝐶, ou seja, B~C.

Se 𝛼 < 0 e 𝛽 > 0, tomamos a matriz 𝑁 tal que 𝑥 =1

√−𝛼, 𝑦 =

1

√𝛽 e 𝑧 = 1. Daí,

N𝑇BN = (−1 0 00 1 00 0 1

) = 𝐷, ou seja, B~D.

Se 𝛼 > 0 e 𝛽 < 0, tomamos a matriz 𝑁 tal que 𝑥 =1

√𝛼, 𝑦 =

1

√−𝛽 e 𝑧 = 1. Daí,

N𝑇BN = (1 0 00 −1 00 0 1

), ou seja, B é cogradientes a E = (1 0 00 −1 00 0 1

).

Agora, observe que se tomarmos 𝑁 = (0 1 01 0 00 0 1

), teremos que



(−1) (0 1 01 0 00 0 1

) (1 0 00 −1 00 0 1

) (0 1 01 0 00 0 1

) = (−1 0 00 1 00 0 1

).

Dessa forma, E~D.

Se 𝛼 < 0 e 𝛽 < 0, tomamos a matriz 𝑁 tal que 𝑥 =1

√−𝛼, 𝑦 =

1

√−𝛽 e 𝑧 = 1. Daí,

N𝑇BN = (−1 0 00 −1 00 0 −1

), ou seja, B~F = (−1 0 00 −1 00 0 −1

). Agora, tomemos 𝑁 =

(0 0 10 1 01 0 0

)

Notemos que:

(−1) (0 0 10 1 01 0 0

) (−1 0 00 −1 00 0 −1

) (0 0 10 1 01 0 0

) = (−1 0 00 1 00 0 1

).

Daí, temos que F~D.

Com o teorema a seguir, encerraremos as classificações das álgebras de Lie

tridimensionais:

Teorema: Seja 𝔞 uma álgebra de Lie tridimensional tal que sua álgebra derivada 𝔞′ também

é tridimensional, ou seja, 𝔞 = 𝔞′. Então, existem exatamente duas classes de álgebras de Lie

tridimensionais distintas. Uma com colchetes entre os elementos da base dados por [Y, Z] =

X; [Z, X] = Y e [X, Y] = Z e a outra com colchetes dados por [Y, Z] = −X; [Z, X] = Y e [X, Y] = Z.

Demonstração: Seja {X1, 𝑋2, 𝑋3} uma base de 𝔞. Não é difícil demonstrar que [𝑋2, 𝑋3] = 𝑌1;

[𝑋3, 𝑋1] = 𝑌2 e [𝑋1, 𝑋2] = 𝑌3 geram 𝔞′ e, portanto, constituem uma base de 𝔞′. Como 𝔞 = 𝔞′,

temos que {𝑌1, 𝑌2, 𝑌3} também é uma base de 𝔞. Denotaremos por

𝐴 = (

𝛼11 𝛼21 𝛼31

𝛼12 𝛼22 𝛼32

𝛼13 𝛼23 𝛼33

)

A matriz mudança de base de {X1, 𝑋2, 𝑋3} para a base {𝑌1, 𝑌2, 𝑌3}. Sabemos que 𝐴 é

invertível e mostremos, através da identidade de Jacobi, que a matriz A é simétrica. Com efeito,

pela identidade de Jacobi, temos que

[X1,[𝑋2, 𝑋3]] + [𝑋3[𝑋1, 𝑋2]] + [𝑋2, [𝑋3, 𝑋1]] = 0, mas

[X1,[𝑋2, 𝑋3]] + [𝑋3[𝑋1, 𝑋2]] + [𝑋2, [𝑋3, 𝑋1]] = [𝑋1, 𝑌1] + [𝑋3, 𝑌3] + [𝑋2, 𝑌2]



= [𝑋1, 𝛼11𝑋1 + 𝛼12𝑋2 + 𝛼13𝑋3] + [𝑋3, 𝛼31𝑋1 + 𝛼32𝑋2 + 𝛼33𝑋3] + [𝑋2, 𝛼21𝑋1 + 𝛼21𝑋2 + 𝛼23𝑋3]

= 𝛼12[𝑋1, 𝑋2] + 𝛼13[𝑋1, 𝑋3] + 𝛼31[𝑋3, 𝑋1] + 𝛼32[𝑋3, 𝑋2] + 𝛼21[𝑋2, 𝑋1] + 𝛼23[𝑋2, 𝑋3]

=(𝛼12 − 𝛼21) [𝑋1, 𝑋2]+(𝛼31 − 𝛼13) [𝑋3, 𝑋1] + (𝛼23 − 𝛼32) [𝑋2, 𝑋3]

Como {𝑌1, 𝑌2, 𝑌3} é linearmente independente, a identidade de Jacobi nos diz que

𝛼12 − 𝛼21 = 𝛼31 − 𝛼13 = 𝛼23 − 𝛼32 = 0, e assim, 𝛼12 = 𝛼21, 𝛼31 = 𝛼13 e 𝛼23 = 𝛼32, mostrando

que a matriz 𝐴 é simétrica.

Consideremos agora uma outra base de 𝔞 que denotaremos por {X1 , 𝑋2

, 𝑋3 }. Temos que

X1 = 𝛽11𝑋1 + 𝛽12𝑋2 + 𝛽13𝑋3

X2 = 𝛽21𝑋1 + 𝛽22𝑋2 + 𝛽23𝑋3

X3 = 𝛽31𝑋1 + 𝛽32𝑋2 + 𝛽33𝑋3

e a matriz

𝐵 = (

𝛽11 𝛽12 𝛽13

𝛽21 𝛽22 𝛽23

𝛽31 𝛽32 𝛽33

) é invertível.

Definamos Y1 = [X2 , X3

], Y2 = [X3

, X1 ], Y3

= [X1 , X2

].

Para qualquer permutação cíclica (i, j, k) de (1,2,3) temos que

Y�� = [X��, X𝑘 ] = [𝛽𝑗1𝑋1 + 𝛽𝑗2𝑋2 + 𝛽𝑗3𝑋3, 𝛽𝑘1𝑋1 + 𝛽𝑘2𝑋2 + 𝛽𝑘3𝑋3]

= (𝛽𝑗2𝛽𝑘3 − 𝛽𝑗3𝛽𝑘2)Y1 + (𝛽𝑗3𝛽𝑘1 − 𝛽𝑗1𝛽𝑘3)Y2 + (𝛽𝑗1𝛽𝑘2 − 𝛽𝑗2𝛽𝑘1)Y3

= 𝛾𝑖1Y1 + 𝛾𝑖2Y2 + 𝛾𝑖3Y3.

Assim,

(

𝛾11 𝛾12 𝛾13

𝛾21 𝛾22 𝛾23

𝛾31 𝛾32 𝛾33

) = (𝐵𝑇)−1 det(𝐵𝑇) que é a matriz adjunta de 𝐵𝑇 .

A matriz mudança de base de {X1, 𝑋2, 𝑋3} para a base {𝑌1, 𝑌2, 𝑌3} é 𝐴 e a matriz mudança de

base de {X1 , 𝑋2

, 𝑋3 } para {X1, 𝑋2, 𝑋3} é (𝐵𝑇)−1. Portanto, se A é a matriz (𝛼𝑖𝑗 ) tal que Y�� =

��𝑖1X1 + ��𝑖2X2 + ��𝑖3X3 tem-se que

A = det(𝐵𝑇) (𝐵𝑇)−1𝐴𝐵−1

Logo 𝐴 e A são matrizes simétricas e cogradientes. Daí, 𝐴 (ou A) é cogradientes a 𝐶 ou a 𝐷

onde

𝐶 = (1 0 00 1 00 0 1

) e 𝐷 = (−1 0 00 1 00 0 1

).



Observemos que no caso da matriz 𝐶 obtemos a primeira classe de álgebras do enunciado.

Analogamente, para a matriz 𝐷 obtemos a segunda classe de álgebras.

Exemplo. Um exemplo de álgebra de Lie tridimensional cuja álgebra derivada 𝔞′ = 𝔞 é a

álgebra 𝑠𝑙(2, ℝ) = {𝐴 ∈ 𝑀(𝑛 × 𝑛, ℝ)/ 𝑡𝑟(𝐴) = 0}.

De fato, os elementos de 𝑠𝑙(2, ℝ) são da forma (𝑎 𝑏𝑐 −𝑎

). Vamos analisar agora a sua

álgebra derivada.

𝑠𝑙(2, ℝ)′ = {[𝑋, 𝑌] / 𝑋, 𝑌 ∈ 𝑠𝑙(2, ℝ)}

Seja 𝑋 = (𝑎1 𝑏1

𝑐1 −𝑎1) e 𝑌 = (

𝑎2 𝑏2

𝑐2 −𝑎2), então

[𝑋, 𝑌] = (𝑎1 𝑏1

𝑐1 −𝑎1) (

𝑎2 𝑏2

𝑐2 −𝑎2) − (

𝑎2 𝑏2

𝑐2 −𝑎2) (

𝑎1 𝑏1

𝑐1 −𝑎1)

=(𝑏1𝑐2 − 𝑏2𝑐1 −2𝑎2𝑏1

2𝑐1𝑎2 − 2𝑎1𝑐2 −𝑏1𝑐2 + 𝑏2𝑐1).

Assim, concluímos que 𝑠𝑙(2, ℝ)′ possui dimensão 3, pois a primeira e a quarta entrada da

matriz acima são múltiplos. Portanto, 𝑠𝑙(2, ℝ) = 𝑠𝑙(2, ℝ)′.

O objetivo deste estudo é o aprofundamento na teoria de álgebras não comutativas.

METODOLOGIA

O trabalho é resultado de uma pesquisa teórica desenvolvida nos anos de 2014 e 2015,

embasada no livro “Estruturas Algébricas com ênfase em elementos da Teoria de Lie”,

desenvolvido através de discussões do tema com o orientador e apresentações de seminários

como parte das atividades do programa PET Conexões de Saberes Matemática – UFMS/CPTL no

estudo da Teoria De Lie. O trabalho incluiu uma etapa de leitura e resoluções de exercícios,

desenvolvimento das atividades propostas e a tabulação dos resultados obtidos. O estudo e as

atividades desenvolvidas foram avaliados através da apresentação de seminários de discussão.

RESULTADOS

Foram obtidos resultados importantes para a classificação de Álgebras de Lie

Tridimensionais, o que permitiu fazer aprofundamentos no tema que serão temas a serem

apresentados no TCC do curso de graduação do aluno e em apresentações de trabalhos de

pesquisas futuras.



CONCLUSÃO

Através do trabalho foram obtidos resultados que permitem um aprofundamento em

estudos sobre a ‘Teoria de Lie’, bem como uma iniciação em conteúdos aprofundados da Álgebra

não comutativa, possibilitando assim um maior conhecimento sobre áreas diversas de

matemática.

BIBLIOGRAFIA

BARROS, C.J.B; SANTANA A.J. Estruturas Algébricas Com Ênfase em Elementos da Teoria de Lie. Maringá: Eduem, 2011. COELHO, F. U.; LOURENÇO, M. L. Um Curso de Álgebra Linear. 2ª ed. São Paulo: Edusp, 2010. HEFEZ A.; VILLELA, M. L. T. Introdução à Álgebra Linear. 1a ed. Rio de Janeiro: SBM, 2012.

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