Systèmes de racines

Base de Cartan-Weyl

[Hi ,Hj ] = 0[Hi ,E~α] = (~α)iE~α

[E~α,E−~α] =2|~α|2

~α · ~H

[E~α,E~β] = N

~α,~βE~α+~β

, ~α+ ~β 6= 0

Systèmes de racines des algèbres simples de Lie

ThéorèmeSi ~α est une racine, c ~α l’est également ssi c = 0,±1Si ~α, ~β sont des racines, alors

2~α·~β|~α|2 ∈ Z

ω~α(~β) := ~β − 2~α·~β|~α|2 ~α est une racine.

Systèmes de racines des algèbres simples de Lie

Réflexion de Weyl

ω~α(~β) est la réflexion de ~β par rapport à l’hyperplanorthogonal à ~α (appelé l’hyperplan de Weyl)Les réflexions de Weyl associées à l’ensemble des racinesforment un groupe fini, appelé le groupe de WeylLe système de racines est invariant sous le groupe deWeyl

Systèmes de racines des algèbres simples de Lie

Il est possible d’obtenir tous les diagrammes des racines des

algèbres simples de Lie par induction. De ce point de vu

celles-ci sont toutes construites à partir de l’algèbre de su(2).Pour passer d’un diagramme des racines Σl de rang l aux

diagrammes de rang l + 1 on applique l’algorithme suivant:

on ajoute à chaque diagramme des racines Σl un vecteur

tel qu’il ne soit pas une combinaison linéaire des vecteurs

de Σl , et que la condition 2~α·~β|~α|2

∈ N soit satisfaite.

on complète l’ensemble obtenu par toutes les réflexions de

Weyl.

si tous les vecteurs ainsi complétés satisfont encore à la

condition 2~α·~β|~α|2

∈ N, alors on a obtenu un nouveau

diagramme de racines Σl+1; si ce n’est pas le cas, le

diagramme ainsi obtenu n’est pas un diagramme de

racines.

α

β

2π/3

A2

α

β

3π/4

B2

α

β

5π/6

G2

Représentations de Groupes

DéfinitionSoit V un espace vectoriel.

un endomorphisme est un homomorphisme de V dans V .un automorphisme est un endomorphisme bijectif, i.e. unisomorphisme de V dans V .

DéfinitionUne représentation d’un groupe G sur un espace vectoriel Vest une application

ρ : G→ Aut(V )

(g → ρ(g)) telle que:

ρ(g1) ◦ ρ(g2) = ρ(g1 ∗ g2)

Représentations de Groupes

Matrices inversiblesAut(V ) est l’ensemble des opérateurs linéaires inversiblesV → V , également dénoté par GL(V ).

Si dim(V ) = n <∞, alors une représentation est uneapplication

ρ : G→ GL(n,K)

où K = R ou C

Représentations de Groupes

DéfinitionUne représentation définit une action linéaire du groupe surl’espace vectoriel:

(g, v)→ g · v := ρ(g)v ,

∀ v ∈ V , g ∈ G. Alors on dit que la représentation est fidèle sil’application ρ est injective:

ρ(g1) 6= ρ(g2) si g1 6= g2

Représentations de Groupes

DéfinitionPour un groupe matriciel, la représentation fondamentale estdéfinie par

ρ(g) = g

∀ g ∈ G

CorollaireLa représentation fondamentale est fidèle

Représentations d’une algèbre de Lie

DéfinitionUne représentation d’une algèbre de Lie g sur un espacevectoriel V est une application

ρ : g→ End(V )

(X → ρ(X )) telle que:

ρ([X ,Y ]) = ρ(X )ρ(Y )− ρ(Y )ρ(X )

Représentations d’une algèbre de Lie

MatricesSi dim(V ) = n <∞, alors une représentation est uneapplication

ρ : g→ Matn×n(K)

où K = R ou C

ThéorèmeChaque algèbre de Lie de dimension finie possède unereprésentation fidèle de matrices.

Représentations d’une algèbre de Lie

DéfinitionPour une algèbre matricielle, la représentation fondamentaleest définie par

ρ(X ) = X

∀ X ∈ g

CorollaireLa représentation fondamentale est fidèle

Représentations d’une algèbre de Lie

ThéorèmeUne représentation d’un groupe de Lie définit unereprésentation de son algèbre de Lie:

ρ(Ti) =∂

∂αiρ(g(α))|α=0