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CURSO AVANÇADO SOBRE ELEMENTOS FINITOS NO SAP2000 ®

Autor: Engº Braga

“Tudo deve ser feito o mais simples possível,

mais não de forma simplista.”

Revisão: 01

1-INTRODUÇÃO

A solução de problemas em Engenharia de Estruturas requer a utilização de esquemas ou modelos de cálculos, capazes de representar matematicamente o comportamento da estrutura quando submetida a ações externas. A simulação deste comportamento, que é um dos objetivos da Análise Estrutural, é feita pela determinação de deslocamentos, tensões e deformações.

2-OBJETIVO DA ANÁLISE ESTRUTURAL

Determinação de esforços, deslocamentos, tensões e deformações em uma estrutura em equilíbrio com as ações externas. 2.1-Principal passo da análise estrutural

Figura 1: Estrutura a ser analisada: sacada de uma edificação.

Figura 2: Representação 3D do elemento de largura unitária.

SIMPLIFICAÇÕES DO MODELO

Figura 3: Modelo simplificado.

Figura 4: Equações de equilíbrio

Figura 5: Solução exata para o Modelo Matemático em qualquer ponto do Modelo Geométrico unifilar.

Figura 6: Análise e interpretação dos resultados.

Para a obtenção do Modelo de Cálculo, o problema real é substituído por um Modelo Matemático (MM), a partir da aplicação de hipóteses simplificadoras.

O Modelo Matemático proposto pode em alguns casos em que a geometria e demais

considerações são simples, ser resolvido por expressões matemáticas (soluções analíticas), que determinam os valores das incógnitas procuradas para qualquer ponto do corpo. Este processo de cálculo requer a solução de equações diferenciais ordinárias ou parciais. No entanto, para a maioria das estruturas de importância prática, estas equações diferenciais podem não ser determináveis, devido aos seguintes fatores, entre outros:

• Complicadas condições de contorno (carregamentos e apoios); • Geometria complexa; • Propriedade não linear dos materiais, comportamento não linear do problema (não

linearidade física ou geométrica), etc.

Estes fatores requerem grandes simplificações, o que resultaria em resultados pouco precisos.

Figura 7: Tipos de estruturas e soluções.

Nas disciplinas Resistência dos Materiais e Teoria das Estruturas soluções exatas são obtidas através da resolução das equações diferenciais. Estas soluções podem ser encontradas prontas em tabelas de livros que tratam do assunto e abrangem estruturas hiperestáticas como, por exemplo, vigas biengastadas, sujeitas a carregamentos distribuídos ou concentrados.

A solução exata dos modelos matemáticos de problemas de análise estrutural resulta em solução para todos os pontos do corpo analisado (para os infinitos pontos do corpo) por meio de uma função matemática da resolução de equações diferenciais. Dessa forma, o objeto da análise é tratado como um sistema contínuo, pois a solução é obtida para todos os pontos que constituem o corpo contínuo. Como a solução analítica não é viável para a maioria das estruturas reais, é necessário que outros métodos de análise, mesmo que aproximados, sejam utilizados.

Uma estratégia é a divisão das estruturas, ou dos sistemas contínuos, em partes separadas distintas (elementos), conectadas entre si em pontos discretos (nós). Assim, a análise de cada parte permite conhecer o comportamento do todo. Esta divisão é chamada discretização e é a base para o estudo dos Sistemas Discretos.

Discretização: o processo de modelagem de um corpo dividindo-o em um sistema equivalente composto por partes (elementos finitos) interconectadas em pontos comuns a dois ou mais elementos ou interconectados a linhas ou superfícies é chamado de DISCRETIZAÇÃO. OBSERVAÇÕES:

• A solução obtida a partir dos Sistemas Discretos é uma solução aproximada obtida em apenas alguns pontos da estrutura (nós da estrutura) a partir dos quais pode ser interpolada para o restante da estrutura;

• O número de nós escolhido deve ser suficiente para representar o comportamento do conjunto inteiro de forma satisfatória;

• O modo pelo qual a estrutura discretizada se comporta entre os nós do modelo dependerá das propriedades físicas e geométricas (área, módulo de elasticidade, coeficiente de Poisson) atribuídas ao elemento escolhido.

Quanto melhor especificado for o comportamento interno, mais a resposta do modelo irá se aproximar do comportamento real da estrutura. MODELO CONTÍNUO E MODELO DISCRETO:

Figura 8: Problema real x simplificações

Figura 9: Modelo matemático-MM

DIFERENÇA ENTRE SISTEMAS CONTÍNUOS E DISCRETOS:

Figura 10: Problema Real

Figura 11: Modelo Geométrico Unifilar Simplificado.

Figura 12: Aplicação de Equação de Equilíbrio aos Modelos.

Figura 13: Aplicação de Equação de Equilíbrio aos Modelos.

Para fazer a análise de uma estrutura através de sistemas discretos, o passo mais importante é a formulação do modelo matemático discreto, através da identificação dos componentes do sistema. Para facilitar esta identificação, são definidos alguns tipos de elementos discretos: TIPOS DE ELEMENTOS DISCRETOS:

Figura 14: Tipos de elementos discretos.

2.2-Elementos reticulados ou unidimensionais

Representam geometrias em que uma dimensão é bem maior que as demais.

A integração entre estes elementos ocorre somente nos nós. Os elementos trocam

esforços entre si somente nesses pontos. A aplicação das equações de equilíbrio nesses pontos nodais acrescida da condição de que os elementos continuam interconectados nos nós após a deformação da estrutura (condições de compatibilidade de deslocamentos), serão suficientes para conhecer matematicamente o modelo de cálculo. Exemplo: Vigas contínuas, pórticos planos, pórticos espaciais, grelhas, treliças planas, treliças espaciais. Os elementos reticulados são representados por barras unidimensionais representando os seus eixos.

Figura 15: Elemento Unidimensional ou reticulado. Nesse material são abordados os elementos reticulados: treliças planas. ELEMENTOS BIDIMENSIONAIS

Representam geometria em que uma dimensão é bem menor que as demais.

Nos elementos bidimensionais, a interação ocorre através dos nós. Porém, a interface entre dois elementos se dá através de linhas. Os elementos bidimensionais são subdivididos em:

• Elementos de estado plano: estado plano de tensões (EPT) e estado plano de deformações (EPD);

• Placas;

• Cascas.

Os elementos mais utilizados para discretização de estruturas bidimensionais são elementos triangulares (com 3 ou 6 nós) e elementos retangulares (4,6,8, ou mais nós). ELEMENTO BIDIMENSIONAL

Figura 16: Elemento Bidimensional.

Figura 17: Estado Plano de Tensão. ELEMENTOS TRIDIMENSIONAIS

A interface entre dois elementos das estruturas tridimensionais é feita através de superfícies. Estes elementos são geralmente paralelepípedos.

Figura 18: Elemento tridimensional

Figura 19: Elemento tetraédrico de 4 nós.

ELEMENTOS MISTOS

Elementos mistos são elementos formados por dois ou mais tipos de elementos (unidimensional, bidimensional ou tridimensionais). Nota: O grau de confiabilidade da análise de uma estrutura depende muito da escolha, feita pelo analista, do tipo de elemento a ser utilizado para análise. Esta escolha depende do conhecimento do analista do comportamento dos vários elementos finitos existentes e, a partir daí, é feita a escolha do elemento mais adequado para aquela análise. O comportamento dos elementos é imposto a partir da especificação das propriedades dos elementos e estas propriedades são definidas para cada elemento por intermédio de relações matemáticas adequadas.

O MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS: é um método de aproximação numérica para

cálculo de PROBLEMA DE VALOR DE CONTORNO. Resumo, sistemas contínuos são discretizado, ou seja, são subdivididos em subdomínios denominados elementos finitos, conectados entre si.

PROBLEMA DE VALOR DE CONTORNO: problema de valor de contorno refere-se, tipicamente, a um problema governado por uma equação diferencial ordinária ou parcial, definido sobre um domínio, em cujo contorno determinadas condições relacionadas às variáveis associadas ao problema é assumido.

CURIOSIDADE

Para resolução de problemas utilizando o Método do Elementos Finitos são montadas equações para cada elemento com um número finito de parâmetros, que são as incógnitas do problema, também chamados de variáveis de estado, pois governam e descrevem o estado de equilíbrio da estrutura. PARÂMETROS: na área de engenharia de estruturas, são realizadas análises de corpos submetidos a cargas ou outras influências como deformações iniciais, variações de temperatura. Cargas e as influências citadas causam deformações no corpo, acompanhadas de tensões internas e reações nos pontos de apoio. O objetivo principal do Método dos Elementos Finitos é calcular deslocamentos e tensões em componentes estruturais. As tensões são calculadas a partir dos deslocamentos. Assim, os deslocamentos são os parâmetros geralmente utilizados.

TEORIA BÁSICA PARA RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS ATRAVÉS DO MEF EM ENGENHARIA DE ESTRUTURAS: (utilizando a formulação da rigidez) escreve-se o campo de deslocamento de cada elemento em função dos deslocamentos nodais, obtendo-se um sistema de equações algébrica que, quando resolvido, soluciona o problema.

O Método do Elemento Finito foi inicialmente desenvolvido para aplicações na área de engenharia de estruturas. Atualmente, encontram-se aplicações do método nas áreas de transferência de calor, escoamento de fluído, transporte de massa, potenciais eletromagnéticos, etc. Nesses casos, as variáveis serão: temperatura, velocidade, etc.

Em resumo, um elementos finito é uma sub-região resultante da discretização de um meio contínuo. Este elemento apresenta tamanho finito (não é infinitesimal) e, usualmente apresenta um geometria mais simples que a do meio contínuo. O MEF permite que um problema com graus de liberdade infinitos seja convertido em um problema com Graus de Liberdade Finito, para simplificar o processo de solução.

O MEF próxima um quantidade contínua como o deslocamento no interior de um corpo através de um modelo discreto composto por um conjunto de funções contínuas definidas para cada elemento finito. O MEF é um método orientado para o uso do computado e deve ser implementado em programas apropriados e me linguagens de programação. Para a aplicação do Método dos Elementos Finitos assume-se:

• Pequenos elementos interconectados, denominados elementos finitos;

• Uma função de aproximação de deslocamento para cada elemento de acordo com o seu

tipo;

• Cada elemento interconectado aos demais através de interfaces (nós, linhas, superfície);

• Conhecidas as relações deslocamentos x deformação e tensão x deformação dos materiais utilizados.

NA ÁREA DE ENGENHARIA DE ESTRUTURAS

• Análise de tensões (incluindo problemas de concentração de tensões associados com buracos ou mudanças na geometria de um corpo);

• Análise de vibração;

• Engenharia biomecânica (inclui análise de tensões em órgãos humanos como ossos, dentes, implantes dentários, coração, olho).

Exemplo de estrutura UNIFILAR:

Figura 20: Estruturas que podem ser analisada através do MEF. Exemplo de estrutura BIDIMENSIONAL:

Figura 21: Estruturas que podem ser analisada através do MEF. Em áreas que não envolvem engenharia de estruturas:

• Transferência de calor;

• Distribuição dos campos potenciais elétricos e magnéticos.

Como já mencionado anteriormente, a aproximação clássica para a análise de um sólido requer a determinação de funções de tensão e deslocamentos que satisfazem as equações diferenciais do equilíbrio, as relações tensão-deformação e as condições de compatibilidade de cada ponto do meio, incluindo as condições de contorno.

Estas equações e condições são difíceis de serem plenamente atendidas devido às

condições irregulares (carregamentos, não linearidade do material, geometria, etc.) dessa forma, apenas algumas soluções são possíveis de serem determinadas pela formulação clássica. Alem disso, estas equações recaem na resolução de séries infinitas que, para serem resolvidas são truncadas, resultando em aproximação não satisfatória. Dessa forma, as vantagens apresentadas pelo MEF são:

• Facilidade de modelagem de formas irregulares;

• Facilidade de manipulação dos carregamentos;

• Capacidade de modelagem de estruturas compostas por vários materiais, já que as equações dos elementos são obtidas individualmente;

• Permite modelar vários números e tipos de condições de contorno;

• Permite variar o tamanho e o tipos dos elementos, sendo possível o uso de elementos menores ou de elementos em uma mesma estrutura onde for necessário;

• Permite que sejam feitas alterações ao modelo de elemento finito com facilidade;

• Permite a análise de efeitos dinâmicos;

• Permite a análise de comportamento não lineares devido a grandes deformações e não linearidade dos materiais.

De um modo geral, os programas para MEF são executados para análise de uma estrutura completa, através de resolução de equações de equilíbrio utilizando as matrizes de rigidez dos elementos e determinando os deslocamentos nodais. A partir dos deslocamentos nodais são determinados as tensões nos elementos e as reações de apoio.

Os passos gerais para análise estática de uma estrutura, utilizados nos programas são: 1-Entrada dos dados estruturais:

• Identificação do problema; • Parâmetros estruturais (módulo de elasticidade, coeficiente de Poisson); • Coordenadas nodais; • Informações dos elementos (área, momento de inércia, momento polar); • Restrições nodais; • Cálculo dos índices dos deslocamentos.

2-Entrada de dados dos carregamentos:

• Parâmetros dos carregamentos; • Carregamentos nodais; • Carregamentos lineares; • Carregamento de superfície; • Carregamento de volume; • Deformações devido à variação de temperatura; • Deformações iniciais; • Deslocamento dos apoios.

3-Montagem da Matriz de Rigidez da estrutura:

• Montagem da matriz de rigidez de cada elemento; • Montagem da matriz de rigidez global; • Imposição das condições de contorno; • Cálculo do vetor de forças.

4-Resolução das equações de equilíbrio nodal.

5-Cálculo e Resultados:

• Resultados do deslocamentos nodais; • Resultado das tensões nos elementos; • Resultado das reações de apoio.

2.3-Discretização e seleção dos tipos de elementos

Nesta etapa, é feita a divisão dos sistema/ estrutura em elementos finitos, escolhendo o tipo de elemento finito mais apropriado para o comportamento físico esperado do corpo. O número de nós e elementos e o tamanho dos elementos devem ser adequados para reproduzirem uma boa aproximação do sistema sem onerar a resolução do problema.

Elementos menores são utilizados quando os resultados modificam rapidamente com a posição, por exemplo, em regiões do corpo onde há mudanças bruscas na geometria. Elementos maiores são usados quando a variação dos resultados é mais suave.

Figura 22: Discretização dos elementos finitos

Pré-processadores gráficos são muito utilizados nos programas computacionais para

auxilio na entrada dos dados. 2.4-Definição e desenvolvimento da função de aproximação de deslocamentos

Nesta etapa uma função de aproximação ou de interpolação dos deslocamentos para cada elemento é definida e desenvolvida. Esta função é definida associada aos valores nodais dos deslocamentos e é empregada para descrever o campo de deslocamento no ínterim do elemento a partir de valores associados aos nós. São freqüentemente utilizados funções polinomiais lineares, quadráticas, cúbicas, dependendo do número de nós e quantidade de deslocamentos é utilizada para cada elemento do sistema, dentro do seu domínio, e é expressa em termos das variáveis nodais.

Figura 23: Definição da função de aproximação de deslocamento.

DEFINIÇÃO DAS RELAÇÕES DEFORMÇÃO X DESLOCAMENTO E TENSÃO X DFORMAÇÃO Para definição dessas relações serão consideradas, neste curso, as seguinte hipóteses para cada elemento finito:

• Regime de pequenos deslocamentos e pequenas deformações;

• Materiais em regime Elástico linear (Lei de Hooke).

2.5-Obtenção da matriz de rigidez, das equações de equilíbrio e dos carregamentos nodais

Para a obtenção da matriz de rigidez de um elemento, podem ser usados vários métodos. Estes métodos resultam em equações que podem ser escritas na forma matricial.

Matriz de rigidez, equações de equilíbrio e carregamentos nodais:

Figura 24: Matriz

Figura 25: Definições. Método de Equilíbrio Direto: A matriz de rigidez e as equações de equilíbrio que relacionam forças e deslocamentos são obtidas impondo condições de equilíbrio em um elemento. Este método é mais utilizado em elementos unidimensionais. Método Envolvendo os Princípios de Energia: São dois os métodos mais utilizados:

• Princípio do Trabalho Virtual (PTV): utilizando para qualquer tipo de comportamento do material, ainda que não exista uma função potencial;

• Princípio da Energia Potencial Mínima: aplicado apenas em materiais para o quais existe uma função potencial (materiais elásticos, por exemplo) – Método de Rety.

Estes métodos são utilizados para a obtenção da matriz de rigidez de elementos, assim

como para a obtenção de carregamentos nodais equivalentes. Método dos resíduos ponderados:

O método dos resíduos ponderados mais conhecido é o método de Galerkin. Este método é utilizado até quando a energia potencial não está presente.

O método de obtenção da matriz de rigidez abordados nesse curso serão o Método do Equilíbrio Direto e o Princípio dos Trabalhos Virtuais. 2.5.1-Montagem da matriz de rigidez global (matriz de rigidez do modelo) e imposição das condições de contorno

As várias equações dos elementos são unidas para formar a matriz de rigidez global do modelo. O método utilizado para a união das equações é o Método da Rigidez Direta, cujas bases são as condições de equilíbrio nodais e o princípio da continuidade ou compatibilidade que garante que a estrutura permanecerá unida após as deformações.

O sistema final global é: F = K U, semelhante ao sistema de equações para um elemento. Ao montar este sistema, nota-se que a matriz K é uma matriz singular, seu determinante é zero, ou seja, este sistema é indeterminado. Fisicamente, isto significa que a estrutura se deslocará como um todo, ou seja, acontecerá um deslocamento de corpo rígido. Para remover a singularidade dessa matriz é necessário impor condições de contorno do sistema. Assim, a estrutura permanecerá em seu lugar (em equilíbrio), sofrendo apenas deformações. 2.5.2-Solução do sistema para graus de liberdade desconhecidos (deslocamentos generalizados)

Com a imposição das condições de contorno, o sistema de equações global pode ser resolvido. Método diverso para solução de sistemas de equações pode ser utilizados, como por exemplo o Método de Gauss ou Gauss-Seidel. 2.5.3-Solução das tensões e deformações no interior do elemento

Grandezas internas dos elementos como tensão e deformação podem ser determinadas através das relações tensão x deformação e deslocamento x deformação atribuídas na etapa 3. 2.5.4-Interpretação dos resultados

A interpretação dos resultados fica a cargo do analista. Pós-processadores podem ser utilizados para facilitar a análise e interpretação dos resultados.

O uso da notação matricial auxilia na resolução de problemas através do Método dos

Elementos Finitos (soluções longas, compostas de várias equações), além de ser uma excelente ferramenta para programação computacional, apresenta uma notação fácil e simples para representar e resolver sistemas de equações.

A notação utilizada fará distinção quando o sistema de coordenadas utilizadas (sistema global ou sistema local para cada elemento).

Para introdução da notação adotada o curso será utilizado como exemplo a treliça a baixo:

Figura 26: Modelo de treliça.

• FORÇA:

Para um problema representado no plano, as componentes das forças (F) nos nós da

estrutura são representadas em um sistema global de coordenadas:

Figura 27: Vetor de forças em uma estrutura.

As forças podem ser representadas para cada elemento no sistema global de coordenadas ou em um sistema local de coordenadas de cada elemento.

Figura 28: Vetor de forças em um elemento.

Figura 29: Vetor de forças globais em um elemento.

Figura 30: Notação generalizada para força.

• DESLOCAMENTO:

Para um problema representado no plano, as componentes dos deslocamentos (u) nos “n” nós da estrutura são representados em um sistema global de coordenadas:

Figura 31: Vetor de deslocamentos de uma estrutura.

Os deslocamentos podem ser representados no sistema local de cada elemento.

Figura 32: Vetor de deslocamentos locais de um elemento.

Em relação a deslocamentos, não faz sentido distinguir entre deslocamentos dos nós da

estrutura e os deslocamentos internos dos nós dos elementos (como é feito no caso das forças), porque o deslocamento é o mesmo.

Figura 33: Notação generalizada para deslocamentos.

• MATRIZ DE REGIDEZ:

Para um problema representado no plano, a matriz de rigidez da estrutura apresentará a seguinte notação:

Figura 34: Matriz de rigidez da estrutura.

A notação utilizada para representar a Matriz de Rigidez de um elemento em seu sistema local de coordenadas é:

Figura 35: Matriz de rigidez de um elemento no sistema local.

A notação utilizada para representar a Matriz de Rigidez de um elemento em seu sistema global de coordenadas é:

Figura 35: Matriz de rigidez de um elemento no sistema global.

A matriz de rigidez de uma estrutura com “n” graus de liberdade será uma matriz quadrada nxn.

A matriz de rigidez de um elemento com “n” graus de liberdade será uma matriz quadrada nxn.

Será demonstrado que as matrizes coluna F e d se relacionam da seguinte forma:

F = K d

2.5.5-Definição da matriz de rigidez

Neste curso será apresentada a formulação da Rigidez ou dos Deslocamentos para o Método dos Elementos finitos. A matriz associada a esta formulação é a Matriz de Rigidez que relaciona as incógnitas do problema (os deslocamentos) com as forças nodais.

• Matriz de rigidez de um elemento

A base do MEF é a divisão de uma estrutura em sistemas discretos ou elementos, que serão analisados a partir do relacionamento entre forças e deslocamentos nodais. A relação entre força e deslocamento está ligada ao conceito de RIGIDEZ.

O conceito de rigidez é facilmente entendido pela análise de um elemento de mola.

Figura 36: Elemento mola.

No método dos elementos finitos, o conceito de Matriz de Rigidez assemelha-se ao conceito da constante elástica da mola (K) ou rigidez da mola. Porém, no caso da mola, o único deslocamento produzido pela força axial é o deslocamento axial, sendo necessária apenas uma constante para que possa ser estabelecida a relação entre a força aplicada em uma direção e o único deslocamento resultante na mesma direção, ou seja, a Rigidez axial.

No método dos Elementos finitos, os deslocamentos existentes não são apenas axiais e, forças aplicadas não resultam em apenas um tipo de deslocamento. Assim, no MEF haverá a necessidade de vários tipos de rigidez, como a rigidez ao cisalhamento, rigidez à flexão, rigidez à torção, para relacionar as diversas forças com os respectivos deslocamentos. Veja o exemplo de um modelo simplificado de uma viga no plano:

Figura 37: Deslocamentos possíveis no MEF.

A maneira mais fácil de representar todas estas relações é através de sistemas de equações escritos na forma de matrizes. As componentes de forças que agem nos diversos nós da estrutura e os deslocamentos nodais correspondentes são representados em matrizes colunas e os diversos coeficientes de rigidez são agrupados na Matriz de Rigidez do elemento.

A matriz de Rigidez do elemento relaciona as forças que agem nos nós dos elementos com os respectivos deslocamentos nodais através de um sistema de equações.

Figura 38: Sistema de Equações.

Os diversos coeficientes da matriz de rigidez representam a força necessária para produzir em um nó, um deslocamento unitário enquanto todos os outros deslocamentos são nulos. Por exemplo, em um elemento de mola que apresenta k=50 kgf/mm, o seu significado físico é que se deve aplicar uma força de 50 kgf para obter um deslocamento axial de 1 mm. Assim, se é conhecida a força para provocar um deslocamento unitário, conhece-se a força para qualquer valor de deslocamento, já que estes apresentam uma relação linear entre si. Além disso, se houver deslocamento atuando simultaneamente, os efeitos de cada um dos deslocamentos aplicados isoladamente podem ser superpostos para se obter a força em cada nó, decorrente da ação conjunta de todos os deslocamentos no elemento.

Figura 40: Sistema de equação para uma estrutura genérica no plano.

É importante conhecer a Lei do Material (neste curso serão abordados materiais que obedecem à lei de Hooke) antes da montagem da matriz de rigidez, pois, esta lei determinará como a ação imposta a um nó é transferida pelo elemento em seu interior até o outro nó.

2.5.6-Matriz de rigidez da estrutura

No MEF, a partir da análise de cada elemento, é possível a análise de toda a estrutura. A rigidez da estrutura inteira depende da rigidez de cada um de seus elementos.

Para análise de toda a estrutura e montagem da Matriz de Rigidez da estrutura, é importante que alguns aspectos comuns a todas as estruturas reticulares, bi e tridimensionais seja observados:

1) Equilíbrio de Forças Em uma estrutura em equilíbrio, cada um de seus componentes também está em

equilíbrio, assim como para a estrutura discretizada, cada elemento tem que estar em equilíbrio.

Figura 46: Equilíbrio de forças.

2) Compatibilidade de Deslocamentos

Os nós dos elementos permanecem conectados após a deformação da estrutura.

Figura 47: Compatibilidade de deslocamentos.

3) Comportamento do material

Neste curso serão estudados materiais com pequenas deformações, que apresentam comportamento elástico-linear, ou seja: obedecem a Lei de Hooke.

Figura 48: Comportamento elástico-linear.

A montagem da Matriz de Rigidez da Estrutura é feita considerando a Matriz de Rigidez de cada elemento e o modo como estes elementos estão arranjados.

A Matriz de Rigidez K de uma estrutura em um sistema global de coordenadas (x, y),

para estruturas no plano, relaciona deslocamentos nodais u ás forças nodais F de toda a estrutura.

Quando a estrutura é formada por apenas um elemento, a matriz de rigidez do elemento é

igual a matriz de rigidez da estrutura. A obtenção da matriz de rigidez de um elemento de mola será realizada para introduzir

um procedimento padrão que poderá ser utilizado para todos os outros elementos. A diferença do elemento de mola se deve a sua simplicidade uma vez que transmite apenas forças axiais e sofre apenas deslocamentos axiais (graus de liberdade do elemento). Assim, o número de

componentes de deslocamento envolvido na montagem da matriz de rigidez será bem menor que em outros elementos finitos.

A obtenção da Matriz de Rigidez de um elemento de mola será realizada seguindo as 8 etapas de análise enumeradas anteriormente no Módulo 1.

Figura 49: Etapa 1: Discretização e seleção dos tipos de elemento.

Figura 49: Etapa 2: Obtenção da função deslocamentos.

Figura 50: Etapa 2: Obtenção da função deslocamentos.

Figura 51: Etapa 3 : Definição das relações deformação x deslocamento e tensão x

deformação

Figura 52: Etapa 4 : Obtenção da matriz de rigidez.

Figura 53: Etapa 5 : Obtenção da equações globais do sistema e imposição das condições de contorno.

Figura 54: Etapa 6 : Solução do sistema para os Graus de Liberdade desconhecidos (deslocamentos generalizados).

Figura 55: Etapa 7 : Solução das Tensões e Deformações no interior de cada elemento.

Figura 56: Etapa 8 : Interpretação dos resultados.

A maioria dos sistemas práticos analisados pelo MEF é composto por vários elementos finitos. Assim, para possibilitar a análise global da estrutura é necessário que a matriz de rigidez do sistema global seja montada. A Rigidez da Estrutura inteira é obtida a partir da Matriz de cada um dos elementos.

O Método da Rigidez direta é um método prático para a montagem da matriz de rigidez

da estrutura decorrente das leis de equilíbrio e compatibilidade. A seguir está apresentada, através de animações, a montagem da matriz de rigidez de um

conjunto de molas a partir da aplicação das leis de equilíbrio e compatibilidade e através do Método da Rigidez Direta.

Figura 57: Sistema formado por um conjunto de molas.



Os elementos reticulares ou unidimensionais apresentam um procedimento mais simples de montagem das equações que regem o comportamento do sistema do que elementos para estruturas bi ou tridimensionais.

Sistemas (estruturas) constituídos por elementos reticulares já apresentam conexões

discretas, ou seja, o sistema já está naturalmente discretizado. Para efeito da montagem do sistema de equações de equilíbrio, utilizando a linguagem

matricial, as forças externas são aplicadas somente nos nós. Para que isso aconteça, é necessário utilizar o conceito de Carga Nodal Equivalente.

Carga Nodal Equivalente são cargas que atuando somente nos nós do modelo,

produziriam efeitos equivalentes de cargas distribuídas atuando nos vãos dos elementos. PROBLEMA DE MEIO CONTÍNUO Uma treliça é formada por uma série de barras, elementos estruturais retos que apresentam o comprimento muito maior que as outras duas dimensões. Para formar uma treliça, estas barras são conectadas por meio de articulações, formando assim, uma estrutura reticulada. Forças externas atuantes em uma treliça são aplicadas apenas nós da estrutura. Por este motivo e pelo fato dos elementos estarem conectados através de rótulas, as barras de treliça transmitem apenas forças axiais (tração ou compressão). Pelo fato das barras transmitirem apenas forças axiais, qualquer deslocamento transversal da varra é desprezado (este deslocamento está associado a um deslocamento de corpo rígido da barra, que não provoca

esforço interno). Assim, uma barra de treliça contabiliza apenas a Rigidez axial do Membro estrutural.

Figura 61: Desenho esquemático de uma barra de treliça. MODELO MATEMÁTICO Pode se tratar de um elemento simples, a equação diferencial que determina a solução exata do modelo matemático para uma barra de treliça pode ser facilmente determinada. Para efeito de comparação com o Método dos Elementos Finitos, este processo será relembrado, utilizando-se uma barra simples.

Figura 62: Barra de treliça.

Um dos conceitos necessário para a determinação da solução exata é a deformação específica, que está conceituada na animação seguinte:

Figura 63: Estrutura deformada

Figura 64: Variação do comprimento.


Outras hipóteses simplificadoras são estabelecidas para a determinação da equação diferencial que resulta na solução exata do modelo matemático apresentado acima:

• O material apresenta comportamento elástico linear e o efeito Poisson desprezível, sendo possível a utilização da lei de Hooke para o cálculo das tensões na barra.

• A barra apresenta apenas a tensão axial, definida como a Força axial por unidade de área (A) da seção transversal.

Figura 68: Resolução da equação diferencial da barra.


Figura 76: Equação diferencial que rege o problema de barra esbelta de seção reta e material

homogêneo.

Conhecendo as relações entre Tensão E Deslocamento e Deformação E Deslocamento, as equações para tensões e deformação ao longo do elemento são: Tensão E Deslocamento:

Deformação E Deslocamento:

Deformação:

Tensão:

Para efeito de comparações e análises, definimos: UF = unidade de força. UC = Unidade de comprimento. E fazendo: f = 1uf/uc; E=1uf/uc2; A = 1uc2 e L = 1uc, são traçados os seguintes gráficos:

Figura 77: Gráfico dos deslocamentos.

Observações:

• Em x=0 a tangente da curva, ou du(x)/dx tem seu maior valor: a deformação específica tem seu valor máximo.

• Em x=1 a tangente da curva é nula, ou du(x)/dx é zero: a deformação específica na

extremidade livre da barra é nula.

Figura 77: Gráfico das tensões

Observações:

• Em x=0 a tensão tem seu valor máximo;

• Em x=1 (ou x=L) tem a tensão nula. MODELO DISCRETO Para análise através do Método dos Elementos Finitos, é necessário a discretização do sistema e para isso, foi desenvolvido um modelo discreto para os elementos de treliça. O elemento de treliça é muito parecido com o elemento de mola, pois, apresenta apenas rigidez axial.

Figura 78: Exemplo de estrutura.

Para se efetuar o estudo desta estrutura através do MER, cada barra dessa treliça pode ser tratada como um elemento discreto, ou seja, como um elemento finito de treliça. Após algumas considerações preliminares, as etapas de análise discutidas anteriormente serão utilizadas para descrever o elemento finito de treliça.

Conforme exposto anteriormente, o material das barras será considerado elástico linear (módulo de elasticidade E) de acordo com a Lei de Hooke. As barras serão consideradas de seção transversal constante de área A e comprimento inicial L. As considerações expostas na definição de treliça serão mantidas:

• Presença de forças axiais apenas; • Deslocamentos transversais nulos.

MODELO DISCRETO – ETAPAS DE ANÁLISE 1) Discretização e seleção do tipo de elemento

Figura 79: Exemplo de treliça discretizada. Cada barra da estrutura será representada por um elemento discreto uniaxial. Um elemento genérico (e) será construído com dois nós (nós n e n+1), ou seja, o elemento terá dois graus de liberdade (já que o elemento da treliça apresenta apenas deformações axiais): Um e Un+1. Para construção do elemento finito, foram introduzidos dois sistemas de coordenadas, um sistema global (X,Y) e um sistema local (x, y). 2) Definição e desenvolvimento da função de aproximação de deslocamentos

Um tipo de função matemática simples e que pode ser utilizada e manuseada facilmente, é a função polinomial. Analogamente ao elemento de mola, conhecendo-se os dois deslocamentos nodais, uma função polinomial linear pode ser determinada. Na forma matricial reduzida:

Impondo as condições de contorno:

Substituir estas condições na equação polinomial dos deslocamentos é formado um sistema de equações, que pode ser escrito na forma matricial.

As incógnitas do vetor coluna α podem ser calculadas resolvendo o sistema através da inversão da matriz G.

Substituindo (2) em (1), a equação de deslocamento fica:

A matriz G é uma matriz que guarda as propriedades geométricas do elemento, enquanto a matriz J guarda as coordenadas locais do elemento. Assim, J G-1 forma a matriz das funções de forma do elemento. A matriz das funções de forma será denominada N e a função de aproximação de deslocamentos podem ser escritas utilizando a matriz das funções de forma N.

CÁLCULO DA MATRIZ DA FUNÇÃO DE FORMA

Figura 80: Cálculo da matriz da função de forma.




Assim, a função de deslocamentos fica:

3) Definição das relações Deformação x Deslocamento e Tensão x Deformação As relações deformação x deslocamento e tensão x deformação obtidas no modelo matemático para treliça são, respectivamente:

Derivando a equação (3) substituindo nas equações acima teremos: Deformação no elemento:

Tensão no elemento:

4) Obtenção da Matriz de Rigidez, das Equações de Equilíbrio e dos Carregamentos Nodais Para obtenção da Matriz de Rigidez do Elemento de treliça, será repetido no mesmo processo do elemento de mola. Ou seja, a matriz de rigidez do elemento de treliça será obtida através das equações de equilíbrio do elemento. Esta é a matriz de rigidez de um elemento de treliça no sistema local de coordenadas:

As demais etapas de análise serão apresentadas após a introdução de outros conceitos.

MÉTODO DA RIGIDEZ DIRETA O método da rigidez direta pode ser aplicado para a montagem da matriz de rigidez da estrutura em qualquer tipo de elemento finito. Este método foi apresentado para o elemento de mola e repete para o elemento de treliça.

Figura 83: Método da Rigidez Direta.




Para a aplicação do Método da Rigidez Direta e montagem da matriz de rigidez global

do sistema, as matrizes de rigidez de cada elemento no sistema local de coordenadas (k) devem ser transformadas para um sistema global (K), se os sistemas de coordenadas locais forem diferentes em cada elemento.

Para a montagem da Matriz de Rigidez Global, ou Matriz de Rigidez da Estrutura, deve-se representar a matriz de rigidez de cada elemento no sistema global.

Um obstáculo encontrado é que o elemento representado no sistema global de

coordenadas apresenta deslocamentos e forças nas direções X e Y, tendo quatro componentes de força e quatro componentes de deslocamento. A matriz de rigidez será então uma matriz 4x4. Já o elemento no sistema local de coordenadas apresenta apenas deslocamento e forças axiais, apresentando 2 graus de liberdade, sendo sua matriz de rigidez local uma matriz 2x2.

Figura 93: Componentes de forma e deslocamento em elemento de barra.

Figura 94: Componentes de forma e deslocamento em elemento de barra.

O artifício utilizado para que as matrizes de rigidez no sistema local e global tenham a mesma dimensão é representar a barra no sistema local com dois componentes de força e deslocamento em cada nó, mas sabendo que as forças em Y e os deslocamentos em Y no sistema local são nulos.

ARTIFÍCIO Outro obstáculo existente é a transformação da matriz de rigidez para o sistema global de coordenadas, que será resolvido no item seguinte.

Figura 95: Artifício



TRANSFORMAÇÃO DE VETORES EM DUAS DIMENSÕES.

Para a montagem da matriz de rigidez global do sistema, as matrizes de rigidez de cada

elemento devem estar representadas em um mesmo sistema de coordenadas. Assim, é necessária a transformação dos vetores de força e deslocamento e da matriz rigidez do

elemento (que inicialmente é sempre definida no sistema local de coordenadas) para um sistema de coordenadas global, comum a todos os elementos da estrutura.

Figura 98: Sistema local de eixos.

Figura 99: Sistema global de eixos

Figura 100: Transformação de vetores em duas dimensões.

A relação de transformação pode ser usada para os deslocamentos e forças nodais de um elemento:

Onde C é o coseno do ângulo formado entre os eixos local e global e S é o seno do ângulo formado entre os eixos local e global.

Para determinar as forças no sistema de coordenadas global a partir das forças no sistema de coordenadas local, a relação anterior pode ser invertida.

A matriz formada pelos senos e cosenos será chamada de matriz transformação (T).

A matriz inversa da Matriz de transformação é igual a sua transposta.

O mesmo procedimento pode se aplicado para determinação dos deslocamentos no sistema global de coordenadas.

Em resumo:

TRANFORMAÇÃO DA MATRIZ DE RIGIDEZ EM DUAS DIMENSÕES

Para a transformação da Matriz de Rigidez de um elemento para o sistema global de coordenadas é necessário que algumas operações matriciais sejam feitas.

Onde C é o coseno do ângulo formado entre os eixos local e global e S é o seno do ângulo formado entre os eixos local e global

A transformação do vetor força e deslocamento podem ser escritos, utilizando 4 graus de

liberdade em plano X, Y.

Efetuando as multiplicações acima, tem-se a matriz de rigidez de um elemento de treliça no sistema global de coordenadas.

CONDIÇÕES DE CONTORNO

A matriz de rigidez da estrutura é uma Matriz Simétrica e singular, ou seja, o seu determinante é nulo, e sua inversa não pode ser obtida. Em termos físicos, isso significa que o sistema completo formado pelo equilíbrio de forças, representa a estrutura sem nenhum vínculo, resultando em movimento de corpo rígido.

Sistema formado pelo equilíbrio das forças em um elemento de treliça:

É necessário que sejam estabelecidas condições de contorno para que o sistema possa ser resolvido, fazendo com que a estrutura fique em uma condição de equilíbrio estável. As condições de contorno serão os deslocamentos nodais prescritos, condições de restrição impostas através dos apoios e as forças externas aplicadas.

Em um nó, quando o deslocamento é prescrito, a força é uma incógnita do sistema e vice-versa. Assim, para resolver o sistema, particiona-se a equação matricial de equilíbrio da estrutura, separando os deslocamentos prescritos dos deslocamentos incógnitas. O objetivo da partição do sistema é resolvê-lo por partes. Primeiro é resolvido o conjunto de equações das forças prescritas, encontrando os deslocamentos incógnitas. Posteriormente, o conjunto de equações composto pelas forças incógnitas é resolvido. Seja a estrutura:

Figura 101: Condições de contorno



1 – INTRUDUÇÃO AO SAP2000®

Este material se presta para auxiliar iniciantes na utilização do SAP2000®, versão 15. Foi escrito indicando todos os comandos necessários para modelar um painel de laje quadrado 600x600 cm, apoiado nas bordas em quatro vigas 20x60cm. A laje tem 15 cm de espessura, e o concreto 25 MPa.

O SAP permite que o usuário selecione o sistema de unidades a ser utilizado em uma

lista de unidades. Neste texto, designaremos esse sistema de dominante.

O sistema de unidades pode ser alterado a qualquer instante, mas em muitas situações o sistema dominante é automaticamente ativado, podendo induzir o usuário a erros. Por isto, sugerimos que uma vez selecionado o sistema dominante, todo o fornecimento de dados e análise de resultados seja feita nesse sistema. Para facilitar a modelagem, sugerimos a seguinte ordem de definição de dados:

1) Seleção das unidades a serem utilizadas; 2) Definição da rede de linhas; 3) Definição dos materiais (materials); 4) Definição das seções transversais das vigas (frame sections); 5) Definição das seções dos elementos de área (area section); 6) Definição dos casos de carregamentos (load cases); 7) Definição dos casos de análise (analysis cases); 8) Definição das combinações (combinations); 9) Modelagem de toda a estrutura;

Alternativamente, a modelagem da estrutura pode ser feita após o passo 5). As teclas de atalho têm as seguintes funções: F1 – exibe ajuda (Help) F2 – ativa a lupa (Rubber Band Zoom) F3 – restaura vista completa (Restore Full View) F4 – remove atribuições de elementos exibidos na tela. Mostra a estrutura indeformada (Show Undeformed Shape) F5 – Processa (Run Analysis) F6 – Exibe a estrutura deformada (Show Deformed Shape) F7 – F8 – Permite mover a vista dentro da janela (Pan) F9 – F10 – F11 – Atualiza vista dentro da janela (Refresh View) F12 – Salva o arquivo com nome a ser fornecido pelo usuário (Save as...)

O eixo global Z sempre tem sentido positivo de baixo para cima, e as forcas gravitacionais atuam sempre paralelamente a esse eixo, no sentido negativo. Quando o SAP2000® é ativado, é exibida uma janela de ajuda, que contém alguma informação sobre o SAP2000®. No canto inferior direito é indicado o sistema de unidades, conforme figura abaixo.

Figura 1: Tela de exibição do SAP2000

A boa prática recomenda sempre ler o tópico de ajuda. Pressione a tecla OK para finalizar a ajuda e em seguida selecione as unidades de medida de sua preferência. O Sistema Internacional de Unidades (SI) é o sistema oficial do Brasil, e deve ser adotado. Como não pretendemos alterar as unidades durante análise, adotaremos KN para unidade de força, cm para unidade de comprimento e °C para temperatura. A unidade de tempo é sempre o segundo. Observe que as unidades de medida dominantes são definidas antes no início da modelagem. Selecione estas unidades de medida.

Observe que na parte superior e lateral esquerda da tela estão as barras de ferramentas, que permitem acesso rápido a diversas funções. As funções que se apresentam em negrito são as que estão disponíveis em dado instante, no caso, File e Help. Para iniciar uma nova modelagem execute a função File e em seguida New Model... A seguinte tela será exibida.

Figura 2: Modelo de inicialização do SAP2000 (Template) Selecione a opção Grid Only. Será exibida então a tela indicada abaixo.

Figura 3: Configuração das linhas do GRID.

A rede de linhas definida será utilizada na geração do modelo. Devem fazer parte desta rede os eixos dos pilares nos diversos níveis da estrutura.

Será então exibida a tela abaixo, onde o modelo é exibido em duas janelas verticais.

Figura 4: Exibição do GRID.

Sempre, apenas uma janela está ativa. A janela ativa possui borda realçada. Para alterar a janela ativa pressione com o mouse dentro da janela que se quer ativar. Existem diversas funções que se aplicam apenas à janela ativa.

Observe o nome de cada janela no canto superior esquerdo, no caso X-Y Plane Z=0 e 3-D View. Pode-se alterar a vista exibida na janela ativa selecionando-se na barra de ferramentas, a vista desejada (3-D, xy ou yz).

Na figura acima a rede de linhas está exibida em ambas as janelas. Pode-se ativar/desativar a rede de linhas na janela ativa pressionando-se a tecla F7. Salve o modelo, executando as funções File, Save as. Dê para o arquivo o nome aula01 e execute a função salvar. Salve o modelo freqüentemente.

Figura 5: Tela de exibição para salvar o projeto e extensão do SAP2000.

2 – Definição de materiais, seções transversais,... As funções que permitem a definição de materiais, seções transversais de barras, espessura de lajes, carregamentos, etc. são acessadas através da função Define. 2.1 – Materials Execute a função Define, e em seguida a função Materials. A seguinte tela será exibida.

Figura 6: Definição de material. Execute a função Add New Material, para adicionar um novo material.

Figura 7: Propriedade do material.

A massa por unidade de volume (Mass per Unit Volume) e o módulo de elasticidade transversal (Shear Modulus, G), são calculados pelo SAP. A resistência à Compressão (Specified Concret Compressive Strength, f´c) somente é utilizada no dimensionamento da armadura. Pressione a tecla OK. A cor a ser utilizada para exibição dos elementos estruturais pode ser definida pelo usuário. Para definir a cor de sua preferência basta clicar com o botão direito do mouse dentro da caixa

que exibe a cor do material e selecionar com o botão esquerdo do mouse, na janela de cores, aquela desejada.

Figura 8: Definição da cor de exibição.

A definição da cor de exibição em qualquer função do programa, sempre poderá ser feita através da seqüência acima. Pressione a tecla OK duas vezes.

Observe que existem dois materiais pré-definidos. Como não serão utilizados no nosso modelo, devemos apagá-los. Selecione o material a ser apagado pressionando o mouse sobre ele e em seguida executando a função Delete Material. Pelo menos um material sempre deve estar definido.

Figura 9: Definição de material.

2.2 – Frame Section Execute a função Define, e em seguida a função Frame Section. A seguinte tela será exibida.

Figura 10: Propriedade do elemento Frame.

Para adicionar uma nova seção execute a função Add New Property. Selecione o tipo de material. Após a exibição do material concreto, a seguinte tela será exibida.

Figura 11: Tipo de seção do elemento Frame.

Selecione o tipo de seção a ser definido, no caso, seção retangular.

Figura 12: Propriedade da seção do elemento Frame.

Altere o nome (Section Name), e as dimensões altura (Depth (t3)) e largura (Width (t2)) e também o material (Material) da seção. A altura é a dimensão perpendicular ao eixo local 3, e a largura perpendicular ao eixo local 2. O eixo local 1 é o eixo da barra. Para barras horizontais, a posição default para o eixo local dois é a vertical. As propriedades geométricas da seção podem ser visualizadas executando-se a função Section Properties.

Figura 13: Propriedade da seção retangular.

Estas propriedades podem ser alteradas através de multiplicadores. Pressione a tecla OK e execute a função Set Modifiers. A janela abaixo será exibida, onde foi fornecido o multiplicador 0,001 para ser aplicada à inércia a torção.

Figura 14: Modificada da Propriedade da seção retangular.

Pressione a tecla OK três vezes para sair da função de definição de seções. 2.3 – Area Section Execute a função Define, e em seguida a função Area Section. A seguinte tela será exibida.

Figura 15: Configuração de novas seções. Execute a função Add New Section. A seguinte tela será exibida.

Figura 16: Configuração de novas seções do elemento Shell.

Defina o nome da seção (L15), o tipo (Shel – Thin), o Material Name (C25) e a espessura para resistir a esforços de membrana (Membrane) e flexão (Bending). Elementos tipo Shell – Thick levam em conta as deformações devido à força cortante. A propriedade geométrica da laje pode ser alterada através da função Set Modifiers.

Figura 17: Fator de modificação de rigidez.

Geralmente nenhuma alteração é feita na rigidez de lajes.

2.4 – Load Cases

Execute a função Define, e em seguida a função Load Cases. A seguinte tela será exibida.

Figura 18: Definição de Load Pattern

O carregamento DEAD gerado automaticamente pelo SAP2000® se refere ao peso próprio da estrutura.

Após o fornecimento das informações sobre determinado carregamento, o usuário pode acrescentar esse carregamento (Add New Load), modificar o carregamento que está selecionado na lista de carregamentos (Modify Load), e também apagar o carregamento selecionado (Delete Load).

Após alterar o nome do carregamento DEAD para PP e acrescentar o carregamento SC, a janela de carregamentos deverá estar como a indicada abaixo.

Note que o multiplicador de peso próprio (Self Weight Multiplier) é igual a 1 no carregamento PP e zero no carregamento SC, ou seja, o peso próprio da estrutura não participa do carregamento PP.

Figura 19: Definição de Load Pattern

2.5 – Analysis Cases

Execute a função Define, e em seguida a função Analysis Cases. A seguinte tela será exibida.

Figura 20: Definição de Load Cases

Para cada Load Case, o SAP2000® gera um Analysis Case de mesmo nome, que pode ser alterado pelo usuário. Para facilidade de entendimento definiremos os Analysis Cases com o mesmo nome dos Load Cases, e compostos apenas por esse Load case. Para alterar o nome do Analysis Cases DEAD para PP, execute a função Modify/Show Case. A janela abaixo será exibida.

Figura 21: Definição de Load Cases Data.

Altere o Analysis Case Name para PP. Observe que este Analysis Case está composto

apenas pelo carregamento PP multiplicado por 1.

Depois de alterar o Analysis Case DEAD para PP, e apagar o MODAL (utilizado para determinar as freqüências naturais da estrutura), a lista de Analysis Cases ficará como indicado abaixo.

Figura 22: Definição de Load Cases Data.

2.6 – Combinations

Execute a função Define, e em seguida a função Combinations. A seguinte tela será exibida.

Figura 23: Definição de Combinação de Carga.

Execute a Função Add New Combo para definir combinações de carregamentos.

Figura 24: Definição de Combinação de Carga.

Na janela acima está definida a combinação COMB1, do tipo Linear Add, composta pela 1*PP+1*SC, pois o Scale Factor de ambos os carregamentos é 1. 3 – Modelagem

As funções para desenhar podem ser acessadas através da função Draw, ou mais rapidamente através da caixa de ferramentas que está à esquerda da tela.

Iniciaremos definindo as vigas do contorno da laje. Pressione com o botão esquerdo do mouse a caixa que ativa a função para o desenho de barras, Draw Frame/Cable/Tendon. Veja a figura abaixo.

Figura 25: Desenho de barras no GRID.

A função para modelar vigas será ativada. Isto é indicado através da mudança de cor da caixa Draw Frame/Cable/Tendon.

Toda vez que uma função para desenhar estiver ativada, a seta do mouse mudará para ↑. Observe também que a caixa correspondente à função selecionada muda de cor.

Após ativar a função, será exibida uma caixa contendo as propriedades da viga a ser modelada. Estas propriedades podem ser alteradas pressionando-se botão esquerdo do mouse dentro da linha correspondente a propriedade a ser alterada. Será então exibida uma lista com todas as propriedades disponíveis, para que o usuário faça a seleção.

Figura 26: Quadro de propriedades do objeto (elemento Frame)

Ative também a função Points and Grid Intersections (veja a figura acima). Quando esta função está ativada o SAP2000® procura nas proximidades da região onde se encontra o mouse um ponto já definido, que pode pertencer à interseção das linhas da rede (GRID) ou a elementos estruturais já definidos. Este ponto é exibido na cor vermelha, caso seja encontrado. Pressionando-se o botão esquerdo do mouse este ponto é capturado.

Os objetos podem ser exibidos utilizando a cor atribuída a eles, ou a cor atribuída a sua seção transversal ou a cor atribuída ao material de que são constituídos. A cor do material e seção é definida nas mesmas janelas em que são definidas suas propriedades. Para definir a cor dos objetos execute a função Options, Colors, Display. Selecione então o tipo de objeto cuja cor será alterada.

Na figura abaixo foi selecionada a cor verde para os objetos Frame.

Figura 27: Configuração do elemento frame.

Pressione a tecla OK duas vezes para finalizar o comando. As cores dos objetos, seções, áreas e materiais podem ser alteradas a quaisquer instante.

Estando a função de modelagem de barras ativa, as vigas podem ser definidas simplesmente pressionando-se o botão esquerdo do mouse sobre os pontos que as definem. O primeiro ponto define o nó inicial da barra (i), e o segundo o nó final (j). O eixo local 1 é definido do nó i para o nó j. O nó i da próxima barra será o nó j da barra anterior, a não ser que você pressione rapidamente o mouse duas vezes sobre o nó. A figura abaixo indica duas vigas já modeladas.

Figura 28: Desenho de elemento frame.

Para desativar o comando Draw Frame/... pressione a tecla ESC ou execute a função Set Select Mode, indicada na figura abaixo na barra de ferramentas que se encontra à esquerda da tela.

Também se podem modelar barras utilizando-se do comando Quick Draw Frame/Cable Element. Ative o comando e pressione com o botão esquerdo do mouse sobre uma linha da rede ou aresta de um elemento existente. Uma barra será definida pelo segmento de reta contido na linha/aresta e definido pelos dois pontos mais próximos da região onde se encontra o mouse.

Após a definição de todas as vigas salve o modelo. Para visualizar os eixos locais das barras, execute a função Set Display

Options...(Ctrl+E), que está na barra de ferramentas superior, conforme indicado na figura abaixo.

Figura 29: Display de configuração.

Será então exibida a janela abaixo, onde diversas opções para exibição do modelo podem ser selecionadas. Estas opções se aplicam apenas à janela ativa, a não ser que a opção Apply to All Windows, que se encontra no canto inferior da janela indicada na figura abaixo ativa seja ativada.

Figura 30: Exibição de configuração.

Existem opções relativas aos nós (Joints), barras (Frames/Cables/Tendons), área (Areas), sólidos (Solids) e elementos de ligação (Links), de caráter geral (General), relativa às cores a serem utilizadas para exibir o modelo (View by Colors of), além de outras opções (Micellaneous). Ative a que indica para exibir os eixos locais das barras pressionando o botão esquerdo do mouse dentro da caixa correspondente (Local Axes), conforme figura acima, e em seguida pressione a tecla OK. Os eixos locais das barras serão exibidos na janela ativa, conforme figura abaixo.

Figura 31: Exibição dos eixos locais.

Ative a janela da direita pressionando qualquer botão do mouse sobre ela e então ative os eixos locais das barras.

Selecione a barra vertical esquerda e a horizontal superior pressionando o botão

esquerdo do mouse sobre elas. As barras selecionadas se apresentam tracejadas. Execute a função Assign, Frame, Reverse Connectivity para inverter o eixo local 1 das barras selecionadas. Os eixos locais 1 e 3 das barras horizontais e verticais se encontram agora na mesma direção.

Pressione com o botão esquerdo do mouse a caixa que ativa a função para desenho de áreas, Draw Poly Area. Veja figura abaixo.

Figura 32: Draw Poly Area.

Ative também a função Points and Grid Intersections (veja figura acima). Quando esta função está ativada o SAP procura nas proximidades da região onde se encontra o mouse um ponto já definido, que pode pertencer à interseção das linhas da rede (grid) ou a elementos estruturais já definidos. Este ponto é exibido na cor vermelha, caso seja encontrado. Pressionando-se o botão esquerdo do mouse este ponto é capturado.

Os objetos podem ser exibidos utilizando a cor atribuída a eles, ou a cor atribuída a sua

seção transversal ou a cor atribuída ao material de que são constituídos. A cor do material e seção é definida nas mesmas janelas em que são definidas suas propriedades. Para definir a cor dos objetos execute a função Options, Colors, Display. Selecione então o tipo de objeto cuja cor será alterada. Na figura abaixo foi selecionada a cor vermelha para os lados dos objetos de área.(Area Edge). Observe que podemos também definir as cores de preenchimentos das faces dos elementos de área (Área Fill Face 5 e Área Fill Face 6).

Figura 33: Configuração da Exibição

Pressione a tecla OK duas vezes para finalizar o comando. As cores dos objetos, seções, áreas e materiais podem ser alteradas a quaisquer instante.

Estando a função de modelagem de áreas ativa, a laje pode ser definida simplesmente pressionando-se o botão esquerdo do mouse sobre os pontos que a definem.

Figura 34: Definição das dimensões da laje.

Para finalizar o polígono que define o elemento Poly Área pressione o mouse duas vezes sobre o último nó, que será interligado ao primeiro nó, definindo o elemento. Pressione então o botão esquerdo do mouse sobre o elemento para selecioná-lo. Elementos de área selecionados são indicados por uma linha tracejada exibida internamente ao elemento, próxima às suas faces. Para discretizar o elemento execute a função Edit, que se encontra na barra de ferramentas superior, seguida a função Edit Áreas, Divide Areas. A seguinte janela será exibida.

Figura 35: Discretização do elemento shell.

Selecione a primeira opção (Divide Áreas Into This Number of Objects) e forneça os valores 12 e 12 para divisão ao longo dos lados definidos pelos pontos 1,2 e 1,3. Pressione a tecla OK. A laje será então discretizada em elementos de 50x50cm.

Para desativar o comando Draw Poly pressione a tecla ESC ou execute a função Set Select Mode, indicada na figura abaixo na barra de ferramentas que se encontra à esquerda da tela.

Figura 36: Elemento Shell discretizado.

Cada elemento tipo área tem o seu sistema local de coordenadas utilizado para definir propriedades dos materiais, carregamentos e resultados. Os eixos do sistema local são denotados por 1, 2 e 3. Os dois primeiros eixos jazem no plano do elemento com uma orientação definida pelo usuário, o terceiro eixo é normal à superfície. É importante entender a definição do sistema de coordenadas local 1-2-3 e sua relação com o sistema global de coordenadas X-Y-Z. Ambos são sistemas em que vale a regra da mão direita. O usuário deve adotar um sistema local que simplifique a entrada de dados e a interpretação de resultados. Em muitas estruturas a definição do sistema de coordenadas local é extremamente simples. Por default, o eixo local 2 está sempre no plano 3-Z ( e jaz no plano do elemento), exceto se o objeto é horizontal, caso em que é paralelo ao eixo X. Para visualizar os eixos locais das áreas, execute a função Set Display Options...(Ctrl+E), que está na barra de ferramentas superior, conforme indicado na figura abaixo.


Será então exibida a janela abaixo, onde diversas opções para exibição do modelo podem ser selecionadas. Estas opções se aplicam apenas à janela ativa, a não ser que a opção Apply to

All Windows, que se encontra no canto inferior da janela indicada na figura abaixo ativa seja ativada.


Existem opções relativas aos nós (Joints), barras (Frames/Cables/Tendons), área (Áreas), sólidos (Solids) e elementos de ligação (Links), de caráter geral (General), relativa às cores a serem utilizadas para exibir o modelo (View by Colors of), além de outras opções (Micellaneous). Ative a que indica para exibir os eixos locais das áreas pressionando o botão esquerdo do mouse dentro da caixa correspondente (Local Axes), conforme figura acima, e em seguida pressione a tecla OK. Os eixos locais das áreas serão exibidos na janela ativa, conforme figura abaixo.

Figura 39: Exibição de eixo local do elemento Shell.

Ative a janela da direita pressionando qualquer botão do mouse sobre ela e então ative os eixos das áreas. O modelo será então exibido conforme indicado abaixo.

Remova os eixos locais dos elementos nas duas janelas utilizando a função Set Display Options.

Também se podem modelar áreas utilizando-se dos comandos Draw Rectangular Área

Element ou Quick Draw Área Element. Após ativar o comando basta, no primeiro caso, pressionar o botão esquerdo do mouse sobre os nós que definirão os vértices opostos do elemento, e no segundo caso, sobre área retangular definida por linhas de rede ou elementos já definidos. Veja figura abaixo.

Figura 40: Draw rectangular area.

Figura 40: Quick Draw Area.

No exemplo em questão seria bem mais fácil modelar a laje através da função Quick Draw Área Element.

Após a modelagem da laje, salve o modelo.

Embora as vigas não tenham sido discretizadas (continuam com seis metros de comprimento) durante o processo elas serão consideradas interligadas aos nós das lajes. Os diagramas de esforços solicitantes são traçados por elemento. Se as vigas forem discretizadas em elementos de 50 cm (tamanho dos elementos em que foi discretizada a laje), estes diagramas somente poderiam ser ampliados em trechos de 50 cm de comprimento.

As funções de edição (Edit) e atribuição (Assign) somente se aplicam a elementos do modelo que estão selecionados. Nós selecionados são marcados com um X tracejado, barras selecionadas em linha tracejada e elementos de área com um contorno interno tracejado próximo ao perímetro do elemento. Na figura abaixo estão indicados 9 nós, duas barras e quatro elementos de placa selecionados (veja canto inferior esquerdo da janela da direita).

Figura 41: Seleção de área.

A seleção pode ser feita pressionando-se o botão esquerdo do mouse sobre o objeto a ser selecionado. Esta seleção pode ser apagada se esta operação for repetida sobre o objeto selecionado.

Pode-se também fazer a seleção através de janelas. Janelas são definidas sobre o modelo mantendo-se pressionado o botão esquerdo do mouse sobre um ponto qualquer do modelo e em seguida arrastando-se o mouse. O fim da janela é definido quando o botão do mouse for liberado. Janelas da esquerda para a direita somente selecionam objetos inteiramente dentro da janela. Janelas da direita para a esquerda selecionam objetos que estão contidos ou são interceptados por ela. Em vistas espaciais. Todos os objetos que estão na projeção espacial da janela são selecionados.

Observe que no canto inferior esquerdo fica indicado o número de objetos selecionados.

Os objetos foram selecionados através da janela indicada, definida da direita para a esquerda. Ver figura abaixo.

Figura 42: Seleção de área.

Pressionando-se a tecla Clr (clear selection) que se encontra na barra de ferramentas à esquerda da janela, toda a seleção existente é apagada. A tecla PS (previous selection) restaura a última seleção. A tecla all (sellect all), seleciona todos os elementos do modelo.

Apague a seleção existente e então selecione o nó do canto inferior esquerdo. Execute a função Assing, Joints, Restarints..., para atribuir as restrições indicadas na figura abaixo ao nó.

Figura 43: Restrição

As restrições podem ser alteradas pressionando-se na caixa correspondente. Pressione as teclas no campo Fast Restraints para visualizar como as restrições podem ser rapidamente alteradas. Após selecionar as restrições desejadas pressione a tecla OK.

Atribua aos nós no canto superior esquerdo as restrições Translation 1 e Translation 3, e

aos dois outros nós a restrição Translation 3.

Observe que após cada atribuição a seleção existente é apagada. Pressione a tecla F4 para limpar o modelo. Salve o modelo.

4 – Atribuições de Carregamentos

O peso próprio é gerado automaticamente pelo SAP2000®, utilizando-se do peso específico dos materiais e das dimensões dos elementos.

Selecione todos os elementos do modelo e em seguida execute a função Assign, Área Loads, Uniform (Shell)... Será exibida a janela indicada na figura abaixo.

Figura 44: Atribuição de carregamento

Selecione o carregamento ao qual a carga será atribuída (Load Case Name), o valor da carga (Uniform Load, Load), o sistema de coordenadas a ser utilizado para aplicação das cargas (Coord System) e a direção de aplicação das cargas (Direction). Defina a opção a ser utilizada (Options). Para adicionar, ao carregamento selecionado, nos elementos selecionados, ative a função Add Existing Load, para substituir todas as cargas correspondentes a esse carregamento, nos elementos selecionados ative Replace Existing Load, para apagar todas as cargas relativas a esse carregamento nos elementos selecionados ative Delete Existing Loads.

Altere os dados e opções conforme indicado na figura abaixo.

Figura 45: Atribuição de carregamento

Os carregamentos estarão todos definidos. Pressione o botão direito do mouse sobre o nó

do canto inferior esquerdo. A seguinte janela será exibida, contendo informações sobre a localização (Location), atribuições (Assignments), e cargas (Loads), aplicadas no nó. O nó cujas informações estão sendo exibidas será realçado de maneira intermitente no modelo.

Figura 46: Informação do ponto.

Pressione o botão direito do mouse sobre a barra inferior. A seguinte janela será exibida, contendo informações sobre a localização (Location), atribuições (Assignments), cargas (Loads) e dados para projeto (Design). A barra cujas informações estão sendo exibidas será realçada de maneira intermitente no modelo.

Figura 47: Informação do ponto.

Pressione o botão direito do mouse sobre o elemento Shell no canto inferior esquerdo. A seguinte janela será exibida, contendo informações sobre a localização (Location), atribuições (Assignments), e cargas (Loads). O elemento cujas informações estão sendo exibidas será realçado de maneira intermitente no modelo.

Figura 47: Informação do carregamento.

5 – PROCESSAMENTO

Para processar o modelo execute a função Analyze, Run Analysis. A seguinte janela será exibida.

Figura 48: Informação do processamento.

Pressione a tecla Run Now para processar o modelo. Diversas informações são emitidas

durante a análise. Ao final do processamento é emitida uma mensagem indicando se a análise foi terminada.

Figura 49: Informação da análise.

Role as informações dentro da janela procurando encontrar alguma mensagem de advertência ou erro. Caso seja encontrada alguma mensagem deste tipo, avalie o que deve ser feito. Feche esta janela pressionando a tecla OK. Pode-se ter acesso a estas informações editando o arquivo de mesmo nome do modelo com a extensão log.

5.1 – EXIBIÇÕES DE RESULTADOS

Uma boa maneira de visualizar qualitativamente o efeito dos carregamentos é através da exibição das deformações por eles provocadas. Exiba a forma deformada da estrutura para cada carregamento que a compõe e analise os resultados.

Execute a função Display, Show Deformed Shape. A seguinte janela será exibida.

Figura 50: Exibição do resultado.

Selecione o caso de carregamento ou combinação a ser exibido (Case/Combo Name) e o fator de escala a ser utilizado (Scaling). O fator de escala pode e deve ser calculado pelo SAP2000 (Auto) quando é a primeira vez que a estrutura deformada está sendo exibida. Exiba então novamente a estrutura deformada ativando Scale Factor e alterando o fator de escala como desejar. Pressione a tecla OK. A estrutura deformada será exibida na janela ativa.

Figura 51: Exibição do resultado.

Os valores das deformações são exibidos em uma janela quando percorremos o modelo com o mouse. Observe que o título da janela contém o nome do carregamento (Deformed Shape (SC)). Para o ponto central da laje a deformação vertical é de 0,2508cm.

Pressione a tecla F4 para exibir a estrutura indeformada. Selecione todos os elementos de barra executando as funções Select, Properties, Frame Sections. Será exibida a janela indicada na figura a seguir.

Figura 52: Seleção do elemento frame.

Pressione a tecla OK. Todas as barras de seção V20x60 serão selecionadas. Pressione o botão direito do mouse sobre uma área da janela da direita em que não existe nenhum elemento do modelo. A janela indicada na figura a seguir será exibida.

Figura 53: Seleção do elemento frame.

Execute a função Show Selection Only para que somente os elementos selecionados sejam exibidos. Em seguida, execute a função de exibição de resultados em vigas que se encontram na barra de ferramentas superior (Show Forces/Stress). Veja figura abaixo.

Figura 54: Exibição do elemento frame.

Dentro desta função selecione a função Frames/Cables. A janela indicada na figura a seguir será exibida.

Figura 55: Exibição do diagrama do elemento frame.

Selecione o carregamento (Case/Combo Name) COMB1, a componente (Component) Momente 3-3, o fator de escala (Scaling) Auto, a opção (Options) Show Values on Diagram. A janela ficará como exibida na figura abaixo.

Figura 56: Exibição do diagrama do elemento frame.

Pressione a tecla OK. Os diagramas de momento fletor segundo o eixo 3 serão traçados na estrutura, na janela ativa. Ver figura abaixo.

Figura 57: Diagrama do momento fletor.

Pressione o botão direito do mouse sobre a viga posterior, para visualizar os diagramas de esforços solicitantes ampliados. Veja figura a seguir.


O primeiro diagrama (Dist Load (2-dir)) se refere ao carregamento da viga. Observe a carga uniformemente distribuída de 0,03 kN/cm referente ao peso próprio da viga. Os momentos nas extremidades são os momentos de engastamento nas vigas perpendiculares a esta viga.

Nos outros diagramas, a linha transversal indica a seção onde atua o valor do esforço solicitante exibido logo abaixo do título do gráfico ou a deformação que ocorre na seção.

O segundo diagrama é de esforços cortantes (Shear V2). O valor de -35,551 kN atua na seção extrema esquerda da barra (at 0,000cm). O terceiro diagrama é de momentos fletores (Moment M3). O valor de 47,80 kN-cm atua na seção extrema esquerda da barra (at 0,000cm). O quarto é a deformada da viga (Deflection (2-dir)). O valor de 0,000000cm é a deformação na seção extrema esquerda da barra (at 0,000cm). As deformações exibidas podem ser absolutas, relativas à deformação mínima da viga ou relativa às extremidades da viga.

Para exibir os valores máximos selecione a função Show Max que se encontra no canto superior direito das janelas. A janela indicada na figura a seguir será exibida.


O valor do máximo momento fletor é de 6378,98 kN-cm e a máxima deformação de 0,281539cm. Ambos os valores ocorrem na ordenada de 300 cm. Para fechar a janela pressione a tecla Done.

Restaure todos os elementos na vista do modelo que está na janela da direita. Para isto, pressione o botão direito do mouse sobre qualquer região desta janela, fora do modelo. Será então exibida a janela indicada na figura abaixo.

Figura 60: Restauração do todos os elementos do modelo.

Execute a função Show All e pressione a tecla F4. Pressione qualquer botão do mouse sobre a janela da esquerda. Execute a função Show Forces/Stress, Shells.... A janela indicada na figura a seguir será exibida.

Figura 61: Exibição de diagramas.

Selecione os valores indicados na tabela acima. As forças internas nos elementos Shell são por unidade de comprimento agindo ao longo da superfície média. As tensões internas nos elementos Shell atuam ao longo dos lados, podendo variar ao longo da espessura.

• Case/Combo Name. Escolha o Analysis Case ou Combination, cujas forças ou tensões devam ser exibidas.

• Component Type: Especifique se serão exibidas forças internas ou tensões internas.

• Component: Especifique qual componente de força ou tensão será exibida.

• F11: força por unidade de comprimento atuando na superfície média na direção do eixo

1. • F22: idem na direção 2;

• F12: força cortante por unidade de comprimento atuando na superfície média do

elemento, na face 1 na direção do eixo 2 e atuando na face 2 na direção do eixo 1;

• FMAX: força principal máxima por unidade de comprimento, atuando na superfície média do elemento. Note que, por definição, a força principal atua em um plano em que a força cortante é zero.

• FMIN: idem força principal mínima;

• FVM: tensão Von Mises;

• M11: momento fletor por unidade de comprimento atuando na superfície média do

elemento, na face 1, sobre o eixo2;

• M22: idem na face 2, sobre o eixo 1;

• M12: momento de torção por unidade de comprimento atuando na superfície média do elemento na face 1, sobre o eixo 1 e agindo na face 2, sobre o eixo 2;

• MMAX: momento principal máximo por unidade de comprimento atuando na superfície média do elemento. Note que, por definição, momentos principais atuam em planos onde o momento de torção é nulo.

• MMIN: idem momento principal mínimo;

• V13: força cortante por unidade de comprimento atuando na superfície média na face 1 e direção 3;

• V23: idem atuando na face 2 e direção 3;

• VMAX: força cortante principal máxima por unidade de comprimento atuando na superfície média do elemento. Note que, por definição, a força cortante máxima atua em faces onde a tensão de cisalhamento é máxima;

• S11: tensão normal atuando na face 1 na direção 1;

• S22: idem na face 2;

• S12: tensão de cisalhamento atuando na face 1 na direção 2, e na face 2 na direção 1;

• SMAX: tensão principal máxima. Note que, por definição, a tensão normal principal atua em um plano onde a tensão de cisalhamento é nula;

• SMIN: tensão principal mínima;

• SVM: tensão de Von Mises;

• S13: tensão de cisalhamento atuando na face 1, na direção 3;

• S23: idem atuando na face 2;

• SMAXV: tensão de cisalhamento principal máxima por unidade de comprimento atuando na superfície média do elemento. Note que, por definição, a tensão de cisalhamento máxima atua em faces onde a tensão de cisalhamento é máxima;

• Contour Range: as forças e tensões internas nos elementos Shell são exibidas com contorno de cores. Especifique dois valores.

• Min: qualquer elemento com a força ou tensão menor que o valor mostrado aqui é exibida com a cor associada com Min na área de contorno do formulário Assign Output Colors. Note que a cor associada com Min é a cor no topo do formulário;

• Max: idem para força ou tensão máxima;

• O programa determina espaços iguais entre os valores máximos e mínimos. Se os

valores Min e Max são zero, SAP 2000® automaticamente criará um contorno que inclui todos os valores. Este é o default.

• Stress Averaging: especifique se tensões médias serão utilizadas quando forças ou tensões são exibidas. Considere quatro elementos que tem um nó em comum, digamos, ponto 1. Cada um desses elementos tem uma força ou tensão associada no ponto 1. Tipicamente, as forças ou tensões em pontos comuns são diferentes em elementos diferentes. Quanto mais fina a malha mais próximo são estes valores.

• A opção disponível para Stress Averaging é None para não exibir as tensões médias, At All Joints para tensões médias em todos os pontos ou over Objects & Groups para tensões em pontos selecionados antes de plotar as forças ou tensões nos elementos Shell, ou para tensões médias de grupos selecionados utilizando o botão Set Groups.

• Se a opção None é utilizada de maneira que forças e tensões são plotadas em Stress Averaging nos pontos comuns, a mudança nas forças e tensões de um elemento para outro serão abruptas. Grande variação de tensões entre elementos indica que o modelo não está apropriadamente discretizado e pode necessitar se refinar para captar apropriadamente as variações nas tensões. Logo, utilize esta opção para determinar se o modelo esta discretizado apropriadamente.

• As opções At All Joints ou Over Objects & Groups tendem a eliminar mudanças bruscas e tornar os contornos mais suaves. Então, depois que a malha adotada se tornar aceitável utilizando a opção None, a opção At All Joints fornecerá resultados melhores para as tensões nos elementos e reduzirá o erro causado pela tensão em elementos individuais. A opção over Objects & Groups deverá ser utilizada se uma descontinuidade, tal como dois planos interceptando-se em ângulos é incluída no modelo. Nesse caso, as tensões médias em cada plano devem ser calculadas independentemente, utilizando a opção over Objects & Groups. Isto evitará o problema de calcular média entre os dois planos, o que fornecerá resultados incorretos. Os resultados serão incorretos porque as tensões na interface dos dois planos não são contínuas em relação aos eixos locais. O mesmo cuidado deve ser tomado em relação às seções onde são aplicados esforços concentrados, que provocarão variações bruscas nas tensões por eles causados, como é o caso das tensões de cisalhamento provocadas por forças concentradas e tensões normais provocadas por momentos concentrados.

• Show Deformed Shape – quando esta opção é ativada, SAP2000® exibirá o modelo com as deformações provocadas pelo carregamento em questão.

• Show as Arrows – quando esta opção é ativada, as reações nos nós serão exibidas com setas.

Nota: A tensão realmente tem valores diferentes nas faces superior e inferior dos elementos Shell como resultado da flexão. Logo, dependendo do lado do objeto que está sendo exibido, diferentes tensões são mostradas. Vistas bi-dimensionais sempre olham para objetos

de área do mesmo lado. Para ver as tensões do outro lado do objeto tipo área, exiba uma vista 3-D, ou pressione com o botão direito do mouse sobre o objeto enquanto as tensões são exibidas para acessar o formulário Shell Diagram e pressione o botão Swintch Face Button.

Nota: Quando forças ou tensões são exibidas para combinações que produzem múltiplos valores (envoltórias por ex.), SAP2000® exibe opções para exibição dos valores máximos ou mínimos. Após selecionar as opções indicadas, será exibida a janela indicada na figura a seguir.

Figura 62: Exibição de diagramas.

Observe o valor máximo de M11, de 11,25052 kNcm/cm, exibido quando percorremos com o mouse o ponto central da laje 1 – DEFINIÇÕES SAP2000®

1.1 – ELEMENTO SHELL

O elemento Shell resulta da soma do elemento membrana e do elemento de placa, podendo ser utilizada no plano e em estrutura tridimensional. O material Shell pode ser homogêneo ou layered (camadas) através da espessura. O material não linear pode ser considerado quando estiver usando a opção layered.

O elemento Shell possui três ou quatro nós na formulação que combina membrana e o

comportamento de placa. Para elementos com quatro nós, não há necessidade de serem co-planares

Cada elemento Shell tem seu próprio sistema de coordenadas locais para definição de

propriedade de materiais, cargas e interpretação de resultados. Material dependente de temperatura e ortotrópico também são permitidos. Cada elemento pode ser carregado por gravidade e carga uniforme em qualquer direção. Pressão de superfície em cima, abaixo e nos lados. E carga devido à tensão e mudança de temperatura.

Estruturas que podem ser modeladas com estes elementos incluem:

• Piso; • Muro; • Tabuleiro de pontes; • Estruturas curva tridimensional: tanques, cúpula; • Modelos de vigas. Colunas, tubulação e outras estruturas.

Duas distintas formulações estão disponíveis: homogênea e layered.

• HOMOGÊNEO:

O elemento Shell homogêneo é o elemento membrana com comportamento do elemento

de placa.

Este comportamento torna-se acoplado se o elemento é distorcido (não plano). O comportamento de membrana usa uma formulação isoparamétrica que inclui componente de rigidez de translação no plano e a “perfuração” componente de rigidez de rotação na direção normal do elemento plano.

O comportamento de placas fletida inclui duas propostas:

Placa com componente de rigidez rotacional e componente de rigidez de translação na direção normal do elemento plano. Você pode escolher a thin-plate (Kirckhhoff) formulação que negligência deformação de cisalhamento ou a thick-plane (Mindlin/ Reissner) formulação que inclui o efeito de deformação de cisalhamento.

Para cada elemento Shell homogêneo em uma estrutura, você pode escolher o modelo pura membrana e pura placa ou comportamento Shell-full (membrana mais placa).

E é geralmente recomendável que você use o elemento Shell-full ao menos que toda a estrutura seja plana e adequadamente restringida.

• LAYERED:

A layered Shell permite qualquer número de (layered) camadas que será definido na direção da espessura, cada uma com locação independente, espessura, comportamento e material. O material pode ter um comportamento não linear.

Figura 1: Elemento Shell quadrilátero com quatro nós.

Figura 2: Elemento Shell triangular com três nós.

2.0 - CONECÇÃO DE NÓS:

Cada elemento Shell (ou outros tipos de objetos/ elementos) pode ter qualquer um dos seguintes formatos, como mostrado nas figuras 1 e 2.

• Quadrilátero: definido pelos quatros nós j1, j2, j3 e j4. • Triangular: definido pelos três nós j1, j2 e J3.

A formulação quadrilátera é mais precisa dos dois. O elemento triangular é somente

recomendável para locais onde a tensão não muda bruscamente.

O uso de grandes elementos triangular não é recomendável onde a flexão no plano é significativa.

O uso do elemento quadrangular em várias geometrias e transição é ilustrado na figura 4, que o elemento triangular pode ser evitado completamente.

Condicionais de bordo são também disponíveis para criar transição entre elementos mal encaixados para evitar elementos distorcidos.

O nós j1 e j4 define a quina de referência da superfície do elemento Shell.

Figura 3: Exemplo de uso de malha quadrilátera.

2.1 - DIRETRIZES DE MALHA:

Os locais dos nós serão escolhidos para atender a seguinte condição geométrica:

• O ângulo interno de cada quina deve ser menor que 180º. O melhor resultado para quadrilátero será obtido quando estes ângulos estão próximos de 90 ou entre 15º a 135º.

• A proporção do tamanho pela largura pelo comprimento não poderá ser muito grande.

Para triangulo, há uma proporção do lado mais longo para o lado mais curto. Para quadrilátero, há uma proporção entre a distância entre o ponto médio dos lados opostos para menor distância. – o melhor resultado é obtido à proporção próximo de um ou menor do que quatro. A proporção não pode exceder dez.

• Para o quadrilátero, os quatros nós não precisa ser coplanar. A pequena quantidade de

torção no elemento e representado pelo programa.

• O ângulo entre a normal e quina obtido uma medida no ângulo de torção. A normal a quina é perpendicular a dois lados que se encontra no canto. Os melhor resultados são obtidos se o grande anglo entre algum par de quinas é menor que 30º. Este ângulo não excederá 45º.

Estas condições podem geralmente ser melhoradas com um adequado refinamento da

malha. A precisão do thick-plate a layered é mais sensível para grandes proporções na distorção da malha que na thin-plate. 3.0 - EDGE CONSTRAINTS

Você pode atribuir automaticamente Edge Constraints para qualquer elemento Shell (ou qualquer objeto de área).

Quando Edge Constraints são atribuídos a um elemento, o programa SAP2000® automaticamente conecta todos os nós que estão no bordo do elemento adjacente. Nós são considerado no bordo do elemento se ele abrande (auto-merge) tolerância pode ser configurada na GUI (Graphical User Interface).

Edge Constraints pode ser usada par unir malha mal encaixada, mas também conecta qualquer elemento que tem o nó sobre o bordo de malha para malha. Isto inclui vigas, colunas, nós restringidos, Link Supports, etc.

Estes nós são conectado por condicional de interpolação de flexão. Isto significa que o deslocamento do nó intermediário sobre o bordo é interpolado para o deslocamento do nó do elemento malha.

Não muito geral a rigidez é adicionada ao modelo. O efeito é inteiramente local no bordo do elemento.

Na figura 4, mostra um exemplo de duas malhas mal encaixadas, uma conectada com Edge Constraints, e outra não. A conexão da malha do lado direita, o Edge Constraints foi atribuído a todos os elementos; entretanto, era realmente necessário para fazer nos elementos de transição.

A atribuição do Edge Constraints para os elementos que não precisava, eles ocasional somente um ligeiro efeito nos resultados.

A vantagem de se usar o Edge Constraints diretamente sobre a transição das malhas mal encaixadas, não requer você criar elementos distorcidos. Isto poderá aumentar a convergência dos resultados.

É importante entender que próximo a qualquer transição, onde é usado Edge Constraints ou não, a precisão do resultado de tensão é controlada pelo elemento de maior tamanho.

Entretanto, o efeito se propaga mais grosseiramente de malha para malha mais fina a

uma distância que é da ordem do tamanho dos elementos de maiores dimensões, como governado pelo efeito de St. Venat. Por essa razão, certifique-se de criar sua malha de transição suficientemente longe de área onde necessite detalhar resultado de tensão.

Figura 4: Conecção da malha com Edge Constraints: lado esquerdo – sem Edge Constraints; Lado Direito – Edge Constraints atribuído a todos os elementos.

4.0 - DEGREES OF FREEDOM

O elemento Shell é sempre ativado todos os seis graus de liberdade de cada um dos nós. Quando o elemento Shell é usado como pura membrana, você tem que assegurar que a restrição ou outro suporte são fornecidos como grau de liberdade da translação normal e flexão a rotação.

Quando o elemento é usado somente como placa, você deve garantir que a restrições ou outros suportes são fornecidos como graus de liberdade para a translação da placa e a rotação sobre a normal.

O uso do elemento full-shell comportamento (membrana e placa) é recomendado para todo estrutura tridimensional.

5.0 - LOCAL COORDINATE SYSTEM

Cada elemento Shell ( ou outro tipo de área ou objeto/ elemento) tem seu próprio sistema de coordenada local, propriedade de material, carga e saída de resultado. O sistema de coordenada de eixo local são denotado por 1, 2 e 3. Os dois primeiros eixos estão no plano do elemento com a orientação especificada pelo usuário. O terceiro eixo é normal.

O importante que se entenda claramente a definição do elemento o sistema de coordenada local 1, 2 e 3. A relação com o sistema coordenada GLOBAL X-Y-Z. Ambos o sistema de coordenada são a regra da mão-direita. Cabe ao usuário definir o sistema de coordenadas e interpretar os resultados.

Em muitas estruturas a definição do sistema de coordenadas local do elemento é extremamente simples. O método fornece, entretanto, condições suficientes e flexibilidade para a orientação do elemento Shell nos mais complicadas situações. 5.1 - NORMAL AXIS 3

O eixo local 3 é sempre perpendicular ao plano do elemento Shell. Este eixo é direcionado para cima quando se parte no sentido J1-J2-J3 aparece no sentido anti-horário. Para elementos com 4 lados, o elemento plano é definido por um vetor que conecta o ponto médio a dois pares de lados opostos. 5.2 - DEFAULT ORIENTATION

A orientação padrão do eixo local 1 e 2 é determinado pela relação entre o eixo local 3 e o eixo GLOBAL Z:

• O eixo local plano 3-2 é considerado como sentido vertical e paralelo ao eixo Z. • O eixo local 2 é tomado para ter um sentido para cima (+Z), ao menos que o elemento

seja horizontal.

Figura 5: Elemento de área – sistema de coordenada padrão

6.0 - SECTION PROPERTIES

Uma seção Shell é uma definição de material e propriedade de geometria que descreve a seção transversal de uma ou mais elemento Shell. A propriedade da seção do elemento Shell é tipo de propriedade de seção de área. 6.1 - ARE SECTION TYPE Quando se define uma área, o usuário tem que escolher três tipos básicos de elementos:

• SHELL – com grau de liberdade em translação e rotação, capaz de suportar força e momento;

• PLANE (Tensão ou deformação) – sólido bidimensional, com grau de liberdade na translação. Capaz de suportar força, mas não momento.

• ASOLID – sólido assimétrico, com grau de liberdade na translação. Capaz de suportar força, mas não momento.

6.2 - SHELL SECTION TYPE

Para seção SHELL, o usuário pode escolher um dos seguintes tipos de comportamento:

• MEMBRANA o Somente comportamento de membrana; o Suporta somente forma no plano;

o Material homogêneo, comportamento linear.

• PLANTE o Comente comportamento de placa; o Suporta somente momento fletor e força transversal; o Formulação para placas grossas ou semi-espessas; o Material homogêneo, comportamento linear.

• SHELL

o Comportamento de elemento SHELL: combinação de membrana e elemento placa;

o Suporta todo tipo de forma e momento; o Formulação para placas grossas ou semi-espessas; o Material homogêneo, comportamento linear.

• LAYERED

o Múltiplas Layers, cada um com diferente material, espessura, comportamento e localização;

o Fornece Full-Shell comportamento, ao menos que toda layers tenha comportamento de somente membrana ou somente placa.

o Thick-plate formulação, pode ser não linear; o Com Full-Shell comportamento, suporta todo tipo de força e momento, exceto

momento em “furo”.

Recomenda-se em geral usar Full-Shell comportamento ao menos que toda estrutura está plana e está adequadamente restringida.

7.0 - HOMOGENEOUS SECTION PROPERTIES

Propriedades de material homogêneo são definidas para não-layered membrana, placa e tipos de seção Shell.

Os seguintes dados precisam ser especificados:

7.1 - SECTION THICKNESS

Cada seção homogênea tem uma espessura de membrana constante e flexão constante. A espessura da membrana (membrane tchiness), th, é usada para calcular:

• A rigidez de membrana para Full-Shell e seção de membrana pura; • Volume e peso próprio do elemento e calculo de massa.

A (bending tchiness), thb, é usada para calcular:

• A flexão de placa e rigidez ao cisalhamento transversal para Full-Shell e seção de pura placa.

Normalmente estas duas espessuras são iguais e o usuário somente necessita especificar

o th. Entretanto, para mesma aplicação, pode-se querer mudar rigidez de membrana ou placa.

Para essa proposta, pode-se especificar o valor thb que é diferente de th. Para mais detalhes de controle, tais como representação corrugada ou construção ortotrópica. 7.2 - THICKNESS FORMULATION

Duas formulações de espessura são disponíveis, que determina se ou não deformação de cisalhamento transversal ou inclui comportamento de flexão de placa ou uma placa ou elemento Shell:

• O Thick-plate (Mindlin/ Reissner) formulação, inclui o efeito de deformação transversal;

• A Thin-plate (Kirchhoff) formulação, que negligencia deformação de cisalhamento transversal.

Deformação de cisalhamento tende a ser importante quando a espessura é grande sobre

um décimo a um quinto do vão. Pode também ser bastante significante nas vizinhanças próximo nas concentrações das deformações de tensões, tal qual uma mudança súbita na espessura ou condições de suporte.

Mesmo para thin-plate problemas de flexão onde deformações de cisalhamento são

verdadeiramente negligenciados. A Thick-plate formulação tende a ser mais precisa, embora um pouco rígido, que a thin-

plate formulação. Entretanto, a precisão da thick-plate formulação é mais sensível a grande proporção da malha que a formulação thin-plate.

Geralmente recomenda-se que o usuário use thick-plate formulação ao menos que se use

uma malha distorcida e você saiba que a deformação de cisalhamento será grande ou ao menos que você tente combinar com a teoria thin-plate.

A formulação espessura não tem um efeito sobre o comportamento da membrana, somente sobre o comportamento de flexão de placa. 8.0 - SECTION MATERIAL

A propriedade do material para cada área de seção especificada anteriormente definida por material.

O material pode ser isotrópico, uniaxial ou ortotrópico. Se o material escolhido é

anisotrópico, propriedades ortotrópica será usada. As propriedades para seção Shell são as seguintes:

• Módulo de elasticidade e1, e2 e e3 • Módulo de cisalhamento g12, g13 e g23 • Coeficiente de Poisson u12, u13 e u23 • Coeficiente de expansão térmica a1 e a2 • Densidade da massa, m • Densidade do penso, w

As propriedades e3, u13 e u23 são condensados a partir do material assumindo o estado plano de tensão no elemento. O resultado, modified values e1, e2 g12 e u12 são usados no calculo de membrana e rigidez de flexão de placa.

Figura 6: Seção Shell – ângulo do material

O módulo de cisalhamento g13 e g23 são usados para cálculo de rigidez de cisalhamento transversal se a thick-plate formulação é usada. O coeficiente de expansão térmica a1 e a2 é usado para expansão de membrana e flexão térmica de deformação.

Toda propriedade de material (exceto a densidade) são obtida da temperatura do material

de cada elemento individual. 8.1 - PROPERTY MODIFIERS

Você pode especificar o fator de escala calculado na propriedade da seção. Ele pode ser usado, por exemplo, para representar fissura no concreto, corrugação ou outros fatores dificilmente descritos pela geometria e propriedade do material. Modificadores individuais são disponíveis nos seguintes termos.

• Rigidez de membrana, correspondente a força F11 • Rigidez de membrana, correspondente a força F22 • Rigidez de membrana, correspondente a força F12 • Rigidez a flexão de placa, correspondente a momento M11 • Rigidez a flexão de placa, correspondente a momento M22 • Rigidez a flexão de placa, correspondente a momento M12 • Rigidez a cisalhamento de placa, correspondente a força V12 • Rigidez a cisalhamento de placa, correspondente a força V13 • Massa • Peso

Os modificadores de rigidez afetam somente elemento homogêneo, não elemento Layered.

Modificadores de massa e peso, afeta a todos os elementos. Você pode especificar fatores multiplicadores em dois lugares:

• Como parte da definição da propriedade da seção; • Como atribuição individual de cada elemento.

Se modificadores são atribuídos a um elemento e também a propriedade da seção usada

para aquele elemento, então ambos os fatores serão multiplicados. 9.0 - JOINT OFFSETS AND THICKNESS OVERWRITES

Pode-se opcionalmente atribuir Joint offset e thickeness overwrites para qualquer elemento. Eles são freqüentemente usados para alinhar o topo ou baixo do elemento Shell com uma superfície dada.

Figura 7: quatro layer Shell, mostrando a referência da superfície, no me da layers, distância e espessura por layer “c”.

10.0 - JOINT OFFSETS

Joint offsets são medidos do joint superfície de referência do elemento na direção normal do plano do joints.

Se o joint define uma superfície deformada, o plano é determinado por duas linhas

opostas conectadas metade do lado (meio j1-j2 para o meio j3-j4, meio j1-j3, meio j2-j4). Um offset positivo está geralmente na direção positiva do local-3 axis do elemento.

Entretanto, que o offset pode não ser exatamente paralelo ao local-3 axis se o offset são todos iguais.

Joint offset local refere-se ao plano do elemento. Para homogênea Shell, há a superfície

média do elemento. Para layers Shell, a superfície de referência está na superfície que você usou para locar o layers na seção. Para mudar a superfície de referência em uma layer, você pode realizar o mesmo efeito usando joint offset, exceto que a distância da layer é sempre paralelo ao local-3 axis.

Quando você atribui joint offset o elemento Shell, você pode explicitar específicos offset do elemento joint, ou você pode referenciar a joint pattern. Usando um Joint Pattern faz-se facilmente uma variação consistente sobre qualquer elemento.

Observe quando a superfície neutra do elemento, depois de aplicada joint offset, não é mais no plano do joint, membrana e comportamento de flexão de placa torna-se acoplado. Se você aplicar um diaphragm constraint o joint, ele será constraint flexão. Também uma placa constraint será constraint comportamento de membrana. 11.0 - THICKNESS OVERWRITES

Normalmente a espessura do elemento é definida na propriedade da seção, atribuição do elemento. Você tem a opção de sobrescrever está espessura, incluindo a capacidade de especificar uma espessura que varia sobre o elemento.

Correntemente está opção somente afeta Shell elemento homogêneo. A espessura do

layer Shell não é mudada. Quando thickness overwrites é atribuído ao um homogêneo Shell, ambas as espessura de membrana e espessura de flexão, toma o valor sobrescrito.

Quando você atribui thickness overwrites o elemento Shell, você pode especificar a

espessura no elemento joint, ou você pode referenciar um Joint Pattern. Usando um joint pattern facilmente especifica a variação de espessura sobre qualquer elemento.

Como exemplo, supondo que você tenha uma laje com espessura variável, e você quer o

topo da superfície em um único plano. Define um joint pattern para a espessura sobre a laje. Desenhe o elemento para juntar o topo de elemento. Atribuir thickness overwrites para todos os elementos usando o joint pattern com o fator de escala de um, atribuir o joint offsets usando o mesmo joint pattern, mas com o fator de escala pela metade (positivo ou negativo). 12.0 - MASS

Em análise dinâmica, a massa da estrutura é usada para calcular a força de inércia. A massa contribui para o elemento Shell é agrupado no joint do elemento. Não foi observado efeito de inércia dentro do próprio elemento.

A massa total do elemento é igual a integral sobre o elemento plano da densidade da

massa, m, multiplicado pela espessura da membrana, th, para seção homogênea, e a soma das massas da layers individual das seções.

Observe que para layered shell, a massa é calculada somente para membrana e layers

shell não para placa layers. A massa total pode ser multiplicada pela property modifier. 13.0 - SELF-WEIGHT LOAD

Self-weight load ativa o peso próprio de todo os elementos. Pata o elemento shell o self-weight é uma força que é uniformemente distribuída sobre o plano do elemento.

A magnitude do self-weight é igual a densidade, w, multiplicado pela espessura da membrana, th, para seção homogênea e a soma dos pesos das layers individuais seções. Observe que layered shell, o peso é calculado somente para membrana e shell layers, não para placa layers.

O peso total pode ser multiplicado por weight – Property Modifier.

13.1 - GRAVITY LOAD

Gravity Load pode ser aplicado em cada elemento Shell para ativar o self-weight do elemento. Usando Gravity Load o self-weight pode ser multiplicado e aplicado em qualquer direção. Diferentes fatores de escala e direção podem ser aplicados em cada elemento.

Se todos os elementos estão carregados igualmente e a direção de carregamento também igual, é mais conveniente usar o self-weight load. 13.2 - UNIFORM LOAD

Uniform Load é utilizado para aplicação de forças uniformemente distribuída para a superfície média do elemento Shell. A direção da carga pode ser especificada e fixar o sistema de coordenadas.

A intensidade da carga é obtida como força por unidade de área. A intensidade da carga pode ser especifica em diferentes sistemas de coordenadas. A força total agindo em cada elemento do sistema de coordenadas local é obtida a intensidade da carga local em qualquer direção multiplicado pela área da superfície média. Esta força é distribuída para o nó do elemento.

A força obtida no sistema de coordenadas fixa pode opcionalmente se especificada para agir na projeção da área da superfície média, a área pode ser ao longo da direção da carga. A intensidade da carga específica é automaticamente multiplicada pelo cosseno do ângulo entre a direção da carga e a normal do elemento (local-3 axis). Isto pode ser usado, por exemplo, para aplicar distribuição de carga de vento. 13.3 - SURFACE PRESSURE LOAD

A pressão de superfície é usada para aplicar pressão externa sobre qualquer dos seis lados do elemento Shell.

A definição dos lados do elemento Shell é mostrada na figura 2.

A pressão da superfície sempre age norma a face da superfície. Pressão positiva é direcionada para o interior do elemento.

A pressão pode ser constante sobre a face ou interpolada do valor obtido no joint. O valor dado no joint é obtido por joint pattern, e não precisa se o mesmo para faces diferentes. Joint pattern

Figura 8: Exemplo de carga uniforme sobre a projeção da área na superfície média.

13.4 - TEMPERATURE LOAD

Carga de temperatura cria tensão térmica no elemento Shell. Esta tensão é dada pelo produto do coeficiente de expansão térmica pela mudança de temperatura do elemento.

Toda especificação de temperatura representa uma mudança na temperatura de para um

estado não acentuado para uma análise linear, ou a partir da temperatura anterior em uma análise na linear.

Dois tipos de cargas podem ser especificados:

• Temperatura, t, que é constante através da espessura e produz tensões de membrana.

• Gradiente de temperatura, t3, que é linear na direção da espessura e produz tensão de flexão.

Mudança de gradiente de temperatura é especificada como uma mudança na temperatura por unidade de comprimento.

A temperatura é positiva se o gradiente aumenta (linearmente) na direção positiva na direção do eixo local 3 do elemento.

O gradiente de temperatura é zero no meio da superfície, portanto, nenhuma tensão de membrana é induzida. 13.5 - STRAIN LOAD

Oito tipos de strain Load são disponíveis, correspondente a cada força interna e momento no elemento Shell:

• Tensão de carregamento em membrana, Є11, Є22, Є12, representa mudança do tamanho do shape, do elemento que é uniforme através da espessura. Tensão positiva em membrana causa na restrição do elemento uma força negativa;

• Flexão strain loads k11, k22, k12, representa mudança no tamanho do shape do elemento que varia linearmente através da espessura. Flexão positiva causa momento negativo na restrição do elemento.

• Cisalhamento strain loads Ŵ13 e Ŵ23 representa a mudança do ângulo entre o centro da superfície e a superfície média. Tensão de cisalhamento positiva causa uma força de cisalhamento negativo na restrição do elemento. Tensão de cisalhamento não tem efeito sobre o thin Shell ou thin plate elemento quando a tensão de cisalhamento é assumida para ser zero.

Qualquer um dos campos de carga de tensão pode ser constante sobre o plano do elemento ou interpolado para valores obtidos dos nós.

Em qualquer elemento sem restrição, a tensão causa deformações, mas não induz força

interna. Esta deformação não restringida tem o mesmo sinal causado por correspondente forma

(conjugando) força e momento sobre o elemento. Por outro lado um elemento restringido causa uma correspondente força que tem um oposto sinal com tensão aplicado.

Muitos elementos em estrutural real são conectados como rigidez infinita, e então a

tensão causará ambas as deformação e força interna. Observe que o efeito de cisalhamento e flexão é acoplado. 14.0 - INTERNAL FORCE AND STRESS OUTPUT O Shell element internal forces (Também chamado stress resultants) são força e momento que resulta da integração da tensão sobre a espessura do elemento.

Figura 9: Tensão e força em membrana.

Figura 10: Flexão em placa e momento torsor.

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