CAPTULO 02IRRACIONAIS i

;

CONJUNTOS UMERICOS

CONJUNTOS NUMRICOSINTRODUOO estudo dos Conjuntos Numricos desenvolvido atravs dos seguintes tpicos:

O MISTICISMO NUMRICOOs egpcios relatam como a morte de Osris ocorreu no dia dezessete (do ms) quando a lua cheia est mais claramente minguando. Portanto, os pitagricos chamam este dia ,o dia das "barricadas" e abominam extremamente este nmero. Pois o nmero dezessete, colocado entre o nmero quadrado dezesseis e o nmero retangular dezoito, os dois nicos nmeros planos que tm seus permetros iguais s reas limitadas pelos mesmos, isola e separa um do outro, sendo dividido em partes desiguais na razo de nove para oito. O nmero de vinte e oito anos aceito por alguns como tendo sido a durao da vida de Osris, por outros do seu reino; pois tal o nmero das iluminaes da lua, e em tantos dias percorre ela seu prprio ciclo. Quando eles cortam a madeira nos chamados funerais de Osris, preparam uma arca em forma de crescente, pois a lua, sempre que se aproxima do sol, se torna crescente e sofre uma eclipse. O desmembramento de Osris em quatorze partes interpretado como estando relacionado com os dias em que o planeta mngua, aps uma lua cheia, at que ocorra uma novalua.(DAVID, Philip J.; HER5H, Reuben. A Experincia Matemtica)

Explicao: Quadrado rea: 16 Permetro: 16

' Nmeros Naturais Adio de Naturais Subtrao de Naturais Multiplicao de Naturais Diviso de Naturais Potenciao de Naturais Radiciao de Naturais Mltiplos de um Nmero Diviso Aproximada Critrios de Divisibilidade Nmeros Primos Decomposio em Fatores Primos Divisores de um Nmero Quantidade de Divisores Nmeros Primos Entre Si Mximo Divisor Comum Mnimo Mltiplo Comum Nmeros Inteiros Nmeros Racionais Nmero Misto Expresses Numricas Nmeros Decimais Nmeros Irracionais Nmeros Reais Intervalos Mdulo de um Nmero Testes & Questes

a noo de quantidade possvel achar uma explicao aceitvel e lgica para o surgimento dos nmeros naturais. fcil observar que o conjunto A, a seguir, difere no somente pela quantidade, mas tambm pela natureza do conjunto B.

A no ser o fato de serem conjuntos, no existe nada em comum entre o conjuntos A e B. Desprezando-se a natureza dos elementos nos conjuntos a seguir, dois a dois, eles possuem uma caracterstica em comum: a mesma quantidade. Esta pode ser representada por smbolos:

NMEROS NATURAISOs nmeros naturais surgiram da necessidade do ser humano em fiscalizar os seus bens. A noo de quantidade da natureza de qualquer Os smbolos tambm chamados de algaser racional e, h quem diga que, at em alguns rismos, so utilizados para a representao de irracionais esta noo manifestada. Todos os seres humanos possuem carac- quantidade de elementos. A cada uma destas tersticas de comparar objetos, pessoas ou ou- quantidades associado um smbolo que repretros seres. Associando estas caractersticas com senta um nmero natural. Desta forma, o con-

rea: 18 Permetro: 18

CONIUNTOS NuMfmccv,

21

|iinli> di i', nu

. t i i u i M i il.nlci |IIH:

Adio a operao por meio da qual se obtm a soma. 3) Propriedade comutativa da adio dos naturais:

N = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,...}

4) ( ) conjunto dos nmeros inteiros surgiu pelo lato tios nmeros naturais no serem fechados em relao operao subtrao.

! EXEMPLO:

'v, OBSERVAES:

7+2=2+7a ordem das parcelas no altera a soma. 4) Propriedade associativa da adio dos naturais: 5+3 + l=5 + (3 + l) = (5+3) + l a soma na adio de vrias parcelas pode ser obtida reunindo-se duas a duas em qualquer ordem. 5) Elemento neutro: o nmero zero considerado elemento neutro da adio, pois qualquer nmero adicionado com zero resulta para soma o prprio nmero: 13+0=0+13 = 13

2 . (3 + 5) = 2 . 3 + 2 . 5 2.8 = 6 + 10 16 = 16

1) (tilnenuidenuiTwnBo decimal utiliza dez llguiiniM pui lepreschtar qualquer nIIICIII.

MULTIPLICAO DE NATURAISA multiplicao de naturais a operao associada adio de parcelas iguais. O conjunto dos nmeros naturais fechado em relao operao multiplicao, pois a multiplicao de dois ou mais nmeros naturais sempre resulta num natural. 6) Importante: Numa expresso envolvendo multiplicao, adio (ou subtrao) deve-se primeiro multiplicar.

2) ('.iii Li algarismo tem um "peso" que depende de sua |x>sio no respectivo nmero.

{EXEMPLO: 2 + ^.5 = OBSERVAES: 1} O smbolo "." utilizado para representar a multiplicao de nmeros. 2 ) 3 . 6 = 18 produto fatores

75 =

j EXEMPLOS: a) 425 l

-5.70 = 5 -^ 2.101 =20 - 4.102 = 400

7) Multiplicaes Particulares: l .a = a. l = a(elemento neutro da multiplicao)

O.a = a.0 = 0

4 centenas; 2 dezenas; 5 unidades simples.b) 3217

-7.70" = 7 -+1.101 = 10 -*2.1V = 200 -*3.10< = 3000 3 unidades de milhar; 2 centcinis; l dezena; 7 unidades simples.

SUBTRAO DE NATURAISA subtrao de nmeros naturais a operao inversa da adio de nmeros naturais, porm, o conjunto dos naturais no fechado em relao operao subtrao, pois a subtrao de dois nmeros naturais nem sempre resulta num nmero natural.

Multiplicao a operao por meio da qual se obtm o produto. 3) Multiplicao como adio de parcelas iguais:

DIVISO DE NATURAISA diviso de nmeros naturais a operao inversa da multiplicao de nmeros, naturais. O conjunto dos nmeros naturais,] porm, no fechado em relao operaol diviso, pois esta nem sempre resulta um n-1 mero natural.

3 . 6 = 6 + 6 + 6= 18 2 . 5 = 5 + 5= 104) Propriedade comutativa da multiplicao de naturais:a .b = b. a

ADIO DE NATURAISA adio de dois ou mais nmeros naturais sempre resulta num nmero natural. I )csta forma, o conjunto dos nmeros n . i i i n . i i s considerado fechado cm relao adio.

OBSERVAES: 1) O smbolo "-" utilizado para representar a subtrao de nmeros.

OBSERVAES: 1) O smbolo":" utilizado para representar a diviso de nmeros. 2) 18:3 = 6, pois 6. 3 = 18

2) 5 - 2 = 3-* diferena -* subtracndo - minucndo Subtrao a operao por meio da qual se obtm a diferena. 3) A subtrao de dois nmeros naturais no comutativa:

EXEMPLOS: 3.6 = 6.3 - quociente -* divisor -* dividendo 3) A diviso de dois nmeros naturais no comutativa: 18:3 = 6 e 3 : 18 = ? logo 18: 3*3: 18

OBSERVAES: 1) O smbolo " + " utili/.ado para representar a operao adio de nmeros.

A ordem dos fatores numa multiplicao no altera o produto. 5) Distributividade em relao operao adio: (ou subtrao): c) = a . b + a . c

2) 1 + ? = 7

soma parcelas

7_2 = 5e2-7=?, logo

7-2^2-7

22

CONJUNTOS NUMRICOS

CONJUNTOS Munimos

23

4)

l hvisiirs l '.u I n u l . M I .i:l .1 pois . i . l .1 : .1 l puis l . .1 0 :a I) pois II . .1 .1 : II n.iii CMS|C.

'. .1 .1 ( .1 / O) II ( .1 / O)

RADICIAO DE NATURAISRadiciao de nmeros naturais a operao inversa cia potenciao. Em outras palavras, dados a potncia e o expoente, a operao radiciao determina a base. O conjunto dos nmeros naturais, porm, no fechado em relao operao radiciao, ou seja, a radiciao de um nmero natural nem sempre resulta num nmero natural.

V25=5,

pois 52 = 25 pois 62 = 36 pois 7 2 =49 pois 82 = 64 pois9 2 = 81 pois IO 2 = 100 pois I I 2 = 121 pois 122 = 144

V36 =6,V49=7, Vf>4=8,

5) [ndetermintlo:o : u r indeterminado, puis qualquer nmero n a t u r a l k verifica a igualdade 0 : 0 = k, pois k. O = O

V8 = 9,

4)2 desde que as operaes sejam definidas nos naturais.5) Algumas razes quadradas: V = l, Vi = 2, V9 = 3, V6=4, pois 1 2 = l pois 2 2 = 4 pois 32 = 9 pois4 2 = 16

OBSERVAO: Se as operaes multiplicao e diviso, potenciao e radiciao aparecerem numa mesma expresso, resolve-se primeiro a que estiver mais esquerda: 3 ) 2 . 4 : 2= = 8:2 = =4

(:!.)' .,":!,". ilrsilc ijtic .is opn.ics sejam definidas uns n,Hm,ns

-S

4

24

hi-, NlIMIIIIHr.

CONJUNTOS NuMiRKii1,

25

AV-i/ii ilii

Divisibilidade por 5 Um nmero divisvel por "S se o algarismo das unidades for O ou 5. Divisibilidade por 6 Um nmero divisvel por 6 se for divisvel simultaneamente por 2 e por 3.

*-

Ml EXEMPLO:t-V

i

S) EXEMPLO:^s. ^

a) 42 42 2 21 3 7 7

1

b) 90 90 2 45 3 ' 15 3 5 5

c) 72 72 2 36 2 18 2 9 1

_^ .

, .

(-^ OBSERVAO: Um nmero dito divisvel por outro se o resto da diviso for zero.

Divisibilidade por 10 Um nmero divisvel por 10 se o algarismo das unidades for zero.

1

42=2.3.7

90=2.32.5

3 ' 1 72=2'.32

Determinar 72 2 36 2 18 2 ,. 9 3 3 3i 1

o nmero de divisores de 72.. , , , ; ,

^ : . ' 'T-*

'"!:;' ,-.: : .. ;i ;'

-> -yl _ 2 . 32

NMEROS PRIMOS CRITRIOS DE DIVISIBILIDADE possvel estabelecer algumas regras que permitam verificar se um nmero natural qualquer divisvel por outro. Estas regras so chamadas de critrios de divisibilidade. Divisibilidade por 2 Um nmero divisvel por 2 quando o algarismo das unidades (o mais direita) for O, 2,4,6 ou 8. Os nmeros que so divisveis por 2, chamam-se nmeros pares. Os nmeros que no so divisveis por 2 chamam-se mpares. Divisibilidade por 3 (ou por 9) Um nmero divisvel por 3 (ou por 9) quando a soma dos valores absolutos de seus algarismos for divisvel por 3 (ou por 9).OBSERVAO: Um nmero que no primo, excludos o zero e o um, denominado composto.

Qualquer nmero natural no-nulo divisvel pelo nmero l (unidade) e por si prprio. Quando um nmero natural admitir apenas dois divisores distintos (ele prprio e a unidade), ser ento denominado nmero primo. Os seguintes nmeros so primos:2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97

DIVISORES DE UM NMEROAtravs da decomposio de um nmero natural em fatores primos, possvel determinar todos os seus divisores.

4 possibilidades

2" 2'

3").:~^^ 2 i i^o 8T

rj .-',..!- -.;..) r? li' - - Jl- - I!

72 = r. 32 :N=(3+l) . N= 12,onde N o nmero de divisores de 72.

60

-

-

;

EXEMPLO: 246 divisvel por 3, pois 2+4+6 = 12 r 11 c dirisrel for i.

30 15 5 1

'

}-

i ':- -J1- i1 j .J.

NMEROS PRIMOS ENTRE SIDois nmeros so denominados primos entre si, se o nico divisor comum for a unidade (nmero 1).

3 5

3,6,12,24 l ' 5, 10, 20, 40, 15, 30, 60, 120

{l, 2, 3, 4, 5, 6, 8,10,12, 15, 20, 24, 30, 40, 60,120}

Divisibilidade por 4 t I I M nmero divisvel por quatro se o nI I K M I Inimailo pelos dois algarismos da dii i n.i Ini divisvel |iiii ).

DECOMPOSIO EM FATORES PRIMOSUm nmero composto qualquer pode ser decomposto em fatores primos, utilizando-se, para tanto, as divises sucessivas atravs dos critrios de divisibilidade.

EXEMPLO:

QUANTIDADE DE DIVISORES possvel, atravs da decomposio em fatores primos, obter o nmero total de divisores de um nmero natural. Isto c feito a partir dos expoentes dos fatores primos de um nmero.

Os nmeros 16 e 15 so primos entre si: I)(l6)= {1,2,4,8,16} f)(l5)={l,3,5,15}

/D

( u l i i i i n t . r . N l I MII Illl 1 1 ., I mm CONIUNTOS NuMtRKOS 27

l

MXIMO DIVISOR COMUM< > IM.IXI IIMMII i muniu < nlM dois nunu U r . n.Um.lis c ODtido - i IMIIII da n i t r i sn .10

2-7OBSERVAO 2: Existe tambm o processo de Euclidcs para obter-se o mximo divisor comum entre nmeros naturais (divises sucessivas).EXEMPLO:

=?

ilns divisorci < l < i s i

EXEMPLO: EXEMPLO:

(>/>trn/iii ii niiiximo divisor comum (m.d.c.)entre os nmeros 24 e 36.

Obter o m.m.c. entre os nmeros 12 e 18 2 12 , 18 9 2 6 , 9 3 3 , 1 , 3 3 1 , 1 Logo, m.m.c. (12, 18)=22.32=36

H,18

9 3 1 D(36) = {1,2,4,3,6,9,12,18,36} 1 2 4 8 3, 6, 12, 24

2 2 3 3

1 2 4 3, 6, 12 9, 18, 36

Obter o mximo divisor comum entre os naturais 24 e 36. 36\24 36\24 1 ^Quociente 12 l

16 24 12

> Resto

24 12 6 3 1

2 2 2 3

36 24 12 12

OBSERVAO 2: O m.m.c. pode ainda ser obtido a partir da decomposio em fatores primos separadamente dos nmeros. O m.m.c. ser o produto de todos os fatores primos, considerados uma nica vez e de maior expoente. 12=2 2 . 3 18=2. 32 m.m.c. {12, 18}=22.32=36

O conjunto dos nmeros inteiros foi criado para dar resposta a estas perguntas ou similares. Matematicamente, porm, o conjunto dos nmeros inteiros surgiu porque o conjunto dos nmeros naturais no fechado em relao operao subtrao. Para representar o oposto de possuir uma certa quantidade, vamos usar o smbolo "-" antes do nmero natural, criando, desta forma, o conjunto dos opostos dos nmeros naturais. - l = oposto de l 2 = oposto de 2 3 = oposto de 3 4 = oposto de 4 - 5 = oposto de 5 - 6= oposto de 6

1 2 36 24 ~_ > m.d.c. {36,24} =12 12 O - ' Resto nulo

24\12 O 2

) = {1,2,4,3,6,8,12,24} m.d.c. = mximo {d(24)nd(36)} m.d.c. = mximo {1,2,3,4,6,12} m.d.c. = 12

OBSERVAO 3: O mnimo mltiplo comum entre dois nmeros naturais igual ao quociente entre seu produto e o mximo divisor comum.

Podendo ainda ser representado atravs de um eixo:1 1- 3 - 2 - 1 0 1 2 3 4 5... 1 1 (- H 1 1l h H

MNIMO MLTIPLO COMUMObter o mnimo mltiplo comum entre dois ou mais nmeros naturais consiste em determinar, a partir da interseo entre os conjuntos dos mltiplos, o menor elemento, desconsiderando o zero.EXEMPLO:

EXEMPLO:

lnli,mn dr nmeros inteiros positivos ou negativos a medio de lempei.ilm.i. ( ) termmetro pode acusar lrmper.inn.is positivas, nulas ou negativas, dependendo de estar mais quen(e ou mais frio."tolslus A Temperaturas positivas

OBSERVAES: A soma de dois nmeros inteiros positivos um nmero inteiro positivo.

J + < ' (i/tu* nilnrtn

01.(CESGRANRIO)-Sejam A =]- ;2/eB=l O, o\ de nmeros reais.-Ento A o // :

12. (OSEC-SP) - Sejam .1 c /.' 01 ItgUtnlti subconjuntos de R, A = {v e RI 2 -~ .v 1 J B= { xeR/4 - a < x < a (a >0)* |x|> a x > a ou x < - a (a >0)

EXEMPLOS: Resolva as seguintes equaes modulares:

02. (FGV-SP) - Assinalando V ou F, se as sentenas so verdadeiras ou falsas, N=> Q; QnR=Q; NuZ=N; Qu R=R obtemos: a) FVFV d) FVW b) VVW e) VWF c)FWF 03. (UFAL) - O valor da expresso (0,012+l,5):16,8: a) 0,06 d) 0,14 b) 0,15 e) nda c) 0,09 04. (PUC-SP) - O valor da expresso numrica l 5 2

OX. (UEL-PR) - Efetuando-se as operaes indicadas na expresso

-+-4-"