curso de simulink_voltado a controle.pdf

Modelagem, Simulao e Anlise de Sistemas DinmicosModelagem, Simulao e Anlise de Sistemas DinmicosModelagem, Simulao e Anlise de Sistemas Dinmicos

Faculdade deEngenharia

Laboratrio deEngenharia Eltrica

Programa Prodenge / Sub-Programa ReengeUniversidade do Estado do Rio de Janeiro

Curso deSIMULINK 2.0Curso deSIMULINK 2.0

1a EDIO1a EDIO

Curso de Introduo ao SIMULINK

I

AGRADECIMENTOS

Estas breves notas sobre o SIMULINK verso 2.0 baseadas nas obras The Student Edition ofSIMULINK e Mastering SIMULINK dos autores James B. Dabney e Thomas L. Harman resultamdo trabalho dedicado de alunos da Faculdade de Engenharia da UERJ, tanto de forma direta comoindireta. De forma direta envolveu-se no trabalho o aluno e bolsista de Iniciao Tecnolgica doProjeto REENGE Csar Cunha de Souza. Um extenso grupo de pessoas se envolveu tambmativamente dando suporte de hardware, software e ainda o valioso apoio pessoal nas tarefas diriasdo laboratrio. Neste grupo incluem-se no s alunos como os tambm bolsistas Hlio JustinoMattos Filho e Karla Karraz Valder, os estagirios Fbio da Silva Porto, Flvia Delduque Lima,Hellen Nathalia Trevisan, Marcos Paulo dos Santos, Valdeir Gomes de Arajo Filho, como tambmos funcionrios do Laboratrio de Engenharia Eltrica, cujos membros contriburam valorosamentedando suporte e infra-estrutura para que este trabalho fosse bem sucedido. Um muito obrigado equipe do LEE formada por Alberto Avelar Santiago, Andr Vallim Stachlewski, Antnio MarcosMedeiros Corra, Jos Emlio Gomes, Jair Medeiros Jnior, Joo Elias Souza da Costa, LuizRoberto Franco Fagundes Filho, Marcos Augusto Mafra, Paulo Bulkool Batalheiro, Sueli Ferreira dosSantos e a Srta. Carla Aparecida Caldas de Almeida. Um reconhecimento especial deve ser feito aodiretor da Faculdade de Engenharia Dr. Nival Nunes de Almeida, coordenador geral do REENGEpor ter possibilitado inmeras atividades no s no LEE em particular mas em toda a Faculdade deEngenharia. Prof.a Maria Eugnia Mosconi de Gouveia, vice-diretora da Faculdade deEngenharia, que em trabalho conjunto com o diretor vem se empenhando em viabilizar assolicitaes de estgio interno no LEE. Um muito obrigado tambm aqueles colaboradoressilenciosos que de forma direta ou indireta contriburam para o xito deste trabalho. O nossoagradecimento ao CNPq que mediante os recursos alocados pela FINEP, patrocinou as bolsas quepermitiram este trabalho.

Bernardo Severo da Silva Filho

Orientador e Chefe do Lab. de Engenharia Eltrica


ndiceI

NDICE

Apresentao..................................................................................................... 1

Captulo 1 Introduo Terica....................................................................... 2

1.1 Diagrama em Blocos................................................................................................ 2

1.1.1 Smbolos........................................................................................................ 3

1.2 Transformada de Laplace........................................................................................ 31.2.1 Definio da Transformada de Laplace......................................................... 41.2.2 Transformao Inversa.................................................................................. 41.2.3 Propriedades da Transformada de Laplace.................................................. 5

1.3 Transformada Z........................................................................................................ 61.3.1 Definio da Transformada Z........................................................................ 71.3.2 Transformada de Funes Comuns.............................................................. 81.3.3 Inverso da Transformada Z......................................................................... 81.3.4 Propriedades da Transformada Z.................................................................. 91.3.5 A Funo de Transformada Discreta no Tempo............................................ 10

Captulo 2 Conhecendo o SIMULINK............................................................ 11

2.1 Acessando o SIMULINK........................................................................................... 11

2.2 Construindo um Modelo Simples............................................................................. 11

2.3 Outro Modelo............................................................................................................ 14

2.4 Usando o HELP do SIMULINK................................................................................. 21

Captulo 3 Construindo Modelos SIMULINK................................................ 23

3.1 Elementos de Modelos............................................................................................. 23

3.2 Manipulando Blocos................................................................................................. 24

3.3 Fontes...................................................................................................................... 263.3.1 Fontes Comuns............................................................................................. 263.3.2 Importando do MATLAB................................................................................ 283.3.3 Importando Arquivos Gerados no MATLAB.................................................. 29

3.4 Dispositivos de Sada............................................................................................... 293.4.1 Osciloscpio.................................................................................................. 29

3.4.1.1 Dando ZOOM na Tela do Osciloscpio............................................ 303.4.1.2 Propriedades do Osciloscpio.......................................................... 31

3.4.2 Grfico XY..................................................................................................... 33

3.5 Configurando a Simulao....................................................................................... 333.5.1 Solver Page................................................................................................... 34

3.5.1.1 Solver Type...................................................................................... 353.5.1.2 Opes de Sada.............................................................................. 37

3.5.2 Pgina Workspace I/O................................................................................... 383.5.2.1 Vetores de Estado Internos do SIMULINK....................................... 383.5.2.2 Salvar para a rea de Trabalho....................................................... 393.5.2.3 Estados............................................................................................. 393.5.2.4 Save Options.................................................................................... 39


ndiceII

3.5.3 Pgina de Diagnsticos................................................................................. 40

3.6 Executando uma Simulao..................................................................................... 41

3.7 Imprimindo um Modelo............................................................................................. 423.7.1 Imprimindo um Modelo Utilizando os Menus................................................. 423.7.2 Enviando o Modelo para um Documento...................................................... 423.7.3 Utilizando o Comando Print do MATLAB....................................................... 42

Captulo 4 Sistemas Contnuos no Tempo................................................... 45

4.1 Sistemas Escalares Lineares................................................................................... 454.1.1 Bloco Integrador............................................................................................ 454.1.2 Bloco Funo de Transferncia..................................................................... 50

4.2 Vetores em Sistemas Lineares................................................................................ 524.2.1 Linhas de Sinais Vetoriais............................................................................. 524.2.2 Espao de Estados........................................................................................ 544.2.3 Bloco de Espao de Estados......................................................................... 56

4.3 Modelando Sistemas No Lineares......................................................................... 584.3.1 Blocos de Funo.......................................................................................... 61

4.3.1.1 Bloco Fcn.......................................................................................... 624.3.1.2 Bloco MATLAB Fcn.......................................................................... 62

Captulo 5 Sistemas Discretos no Tempo.................................................... 67

5.1 Viso Geral............................................................................................................... 67

5.2 Sistemas Discretos no Tempo Lineares Escalares.................................................. 685.2.1 Atraso Unitrio............................................................................................... 685.2.2 Integrador Discreto no Tempo....................................................................... 69

5.2.2.1 Integrao Trapezoidal..................................................................... 705.2.3 Bloco de Funo de Transferncia Discreta.................................................. 71

5.3 Blocos Lgicos......................................................................................................... 73

5.4 Sistemas Discretos no Tempo Vetoriais.................................................................. 75

5.5 Sistemas Discretos com Diferentes Taxas de Amostragem Simultneas............... 77

5.6 Sistemas Hbridos.................................................................................................... 79

Captulo 6 Subsistemas e Mscaras............................................................. 82

6.1 Subsistemas SIMULINK........................................................................................... 826.1.1 Encapsulando um Subsistema...................................................................... 846.1.2 Bloco de Subsistema..................................................................................... 85

6.2 Blocos de Mscaras................................................................................................. 886.2.1 Convertendo um Subsistema em um Sistema com Mscara........................ 896.2.2 Pgina de Documentao do Editor de Mscaras........................................ 91

6.2.2.1 Campo Tipo de Mscara.................................................................. 916.2.2.2 Campo Descrio do Bloco.............................................................. 916.2.2.3 Bloco de Auxlio................................................................................ 91

6.2.3 Pgina de Inicializao do Editor de Mscara............................................... 926.2.3.1 Campo Tipo de Mscara.................................................................. 926.2.3.2 Seo de Prompt da Caixa de Dilogo do Bloco............................. 926.2.3.3 Comandos de Inicializao............................................................... 97


ndiceIII

6.2.3.4 Configurando os Blocos do Subsistema........................................... 976.2.3.5 Variveis Locais............................................................................... 98

6.2.4 Pgina de cone do Editor de Mscara.......................................................... 1006.2.4.1 Campo Moldura do cone................................................................. 1016.2.4.2 Campo Transparncia do cone....................................................... 1016.2.4.3 Campo Rotao do cone................................................................. 1026.2.4.4 Campo Coordenadas de Desenho................................................... 1026.2.4.5 Comandos de Desenho.................................................................... 103

6.2.5 Olhando sob a Mscara e Removendo Mscaras......................................... 1066.2.6 Criando uma Biblioteca de Blocos................................................................. 107

6.3 Subsistemas com Execuo Condicionada............................................................. 1076.3.1 Subsistemas com Habilitao........................................................................ 1076.3.2 Subsistemas com Gatilho.............................................................................. 1126.3.3 Subsistemas com Habilitao e Gatilho........................................................ 1136.3.4 Subsistemas Discretos com Execuo Condicionada................................... 113

Captulo 7 Animao no SIMULINK............................................................... 114

7.1 Toolbox de Animao.............................................................................................. 114

7.2 Usando a Toolbox de Animao.............................................................................. 1147.2.1 Propriedades dos Objetos de Animao....................................................... 1167.2.2 Configurando uma Animao........................................................................ 1177.2.3 Propriedades da Figura................................................................................. 117

7.2.3.1 Escala da Figura............................................................................... 1177.2.4 Modificando uma Animao.......................................................................... 1177.2.5 Configurando Entradas Iniciais...................................................................... 117

7.3 Salvando e Carregando Arquivos de Animao...................................................... 118

Bibliografia........................................................................................................ 119


1

Apresentao

SIMULINK um programa utilizado para modelagem, simulao e anlise desistemas dinmicos. O programa se aplica a sistemas lineares e no lineares,contnuos e/ou discretos no tempo.

Utiliza uma interface grfica com o usurio para construo dos modelos a partir dediagramas em blocos, atravs de operaes de clique-e-arraste do mouse. Comesta interface podem-se criar modelos da mesma forma que se faz com papel ecaneta. SIMULINK o resultado de uma longa evoluo de pacotes de simulaoanteriores que necessitavam a formulao de equaes diferenciais ou deequaes de diferenas em linguagens de programao. Inclui bibliotecas de blocoscontendo fontes, visualizadores, componentes lineares, no lineares e conectores,com a opo de criao ou personalizao de blocos.

Aps a definio do modelo, a simulao pode ser feita com diferentes algoritmosde resoluo, escolhidos a partir dos menus do SIMULINK ou da linha de comandodo MATLAB. Os menus so particularmente convenientes para o trabalho interativo,enquanto a linha de comando tem sua utilidade na simulao repetitiva a qual sedeseja somente mudar parmetros. Usando osciloscpios (Scopes) ou outrosvisualizadores, tm-se o resultado grfico da simulao enquanto esta est sendoexecutada. Os resultados da simulao podem ser exportados para o MATLABpara futuro processamento ou visualizao.

As ferramentas de anlise de modelos incluem ferramentas de linearizao e ajuste(Trimming) que podem ser acessadas a partir da linha de comando do MATLAB,assim como vrias ferramentas do MATLAB e suas TOOLBOXES especficas.Sendo o MATLAB e o SIMULINK integrados, pode-se simular, analisar e revisar osmodelos em qualquer dos dois ambientes.


Cap.1 - Introduo Terica2

Captulo 1 Introduo Terica

1.1 - Diagrama de Blocos

A representao dos sistemas fsicos por meio de equaes nem sempre deixaclara a relao entre as funes de entrada e de sada desses sistemas. portantoconveniente e desejvel sistematizar a descrio matemtica de um sistema, de talforma que aquela relao seja expressa claramente.

Uma forma de apresentao das equaes diferenciais de um sistema consiste noemprego de Diagramas de Bloco, em que cada bloco representa uma operaomatemtica, associando pares entrada-sada.

Quando o sistema linear, ou puder ser linearizado, possvel tomar astransformadas de Laplace das equaes do sistema, considerando condiesiniciais nulas.

A relao entre cada grandeza de sada e a correspondente grandeza de entrada sechama funo de transferncia.

Usando as transformadas de Laplace, essas funes so em geral, funes de s.Quando essas funes so colocadas em vrios blocos, o diagrama chamadoDiagrama de Bloco.

Em geral, os diagramas de bloco so teis na visualizao das funes dosdiversos componentes do sistema, bem como permitem estudos de signal-flow.

Os diagramas e bloco so mais fceis de desenhar do que os circuitos que elesrepresentam. Partindo-se de um diagrama de bloco, possvel, mediante autilizao de regras especiais, denominadas lgebra dos diagramas de Blocoreduzir o diagrama a um nico bloco e, assim, achar a funo global detransferncia do problema, sem necessidade de resolver o sistema inicial deequaes diferenciais que, algumas vezes, exige muito tempo devido ao elevadonmero de equaes envolvidas.


3

1.1.1 - Smbolos

Os smbolos utilizados na tcnica de diagramas de bloco so muito simples, e seencontram representados a seguir:

Varivel X(s)

Operador

Varivel de entrada X(s)Varivel de sada Y(s)Funo de transferncia G(s)Relao representada Y(s)=G(s) X(s)

Somador

Relao representada

F(s) = X(s) Y(s)

Tomada de Varivel

Observar que a tomada de uma varivelno altera seu valor. A varivel X(s)chega ao n e as variveis transmitidasso iguais a X(s).

1.2 - Transformada de Laplace

A soluo de equaes diferenciais com excitaes descontnuas ou de ordemsuperior a dois muito trabalhosa atravs do mtodo clssico. Alm disso, aintroduo de condies para a determinao das constantes de integrao requera soluo de um sistema de equaes algbricas em nmero igual ordem daequao diferencial. Com o objetivo de facilitar e sistematizar a soluo deequaes diferenciais ordinrias lineares, a coeficientes constantes, utiliza-seexaustivamente o mtodo da transformada de Laplace. Podem ser enumeradas asseguintes vantagens deste mtodo moderno, que utiliza as transformadas:

1. Ele inclui as condies iniciais ou de contorno.

2. O trabalho envolvido na soluo simplesmente algbrico.

3. O trabalho sistematizado.

4. A utilizao de tabelas de transformadas reduz o volume de trabalhorequerido.

5. Pode-se tratar excitaes apresentando descontinuidades.

6. Os componentes transitrio e de regime permanente da soluo so obtidossimultaneamente.

X(s)

G(s)

X(s) Y(s)

SX(s)

Y(s)

+

F(s)

X(s) X(s)

X(s)



A desvantagem dos mtodos com transformadas que se forem utilizadosmecanicamente, sem conhecimento da teoria realmente envolvida, conduzemalgumas vezes a resultados errneos. Alm disso, algumas equaes particularespodem ser resolvidas mais simplesmente e com menos trabalho atravs do mtodoclssico.

1.2.1 - Definio da Transformada de Laplace

A transformada direta de Laplace de uma funo f(t), seccionalmente contnua nointervalo (0,), com valor f(t) dada por:

[ ]

- ==0

)()()( sFdtetftf stL

O valor da integral resulta numa funo F(s), tendo s como varivel. Este parmetros uma grandeza complexa da forma ws j+ . Deve-se ressaltar que os limites deintegrao so zero e infinito e que, portanto, no interessam os valores de f(t) parainstantes negativos ou nulos.

1.2.2 - Transformao Inversa

A aplicao da transformada de Laplace transforma uma equao diferencial emequao algbrica. A partir da equao algbrica, obtm-se prontamente atransformada da funo resposta. Para completar a soluo deve-se encontrar atransformada inversa. Em alguns casos, a operao de transformao inversa

[ ])()( 1 sFLtf -=pode ser efetuada por referncia direta a tabelas de transformadas ou por meio deprogramas de computador. Quando no possvel encontrar em tabelas atransformada da resposta, a tcnica geral consiste em exprimir F(s) sob a forma deuma soma de fraes parciais com coeficientes constantes. As fraes parciaisapresentam no denominador monmios ou binmios e suas transformadas soencontradas diretamente em tabelas. A transformada inversa completa a somadas transformadas inversas das fraes.

A transformada da resposta F(s) pode ser expressa em geral atravs da relaoentre dois polinmios P(s) e Q(s). Considere-se que estes polinmios sejam degraus w e n, respectivamente, e que so ordenados segundo as potnciasdecrescentes da varivel s; assim,

011

1

011

1

...

...

)(

)()(

bsbsbs

asasasa

sQ

sPsF

nn

n

ww

ww

++++

++++==

--

--

Os elementos a e b so constantes reais e o coeficiente da maior potncia em s nodenominador reduzido unidade. Sero consideradas somente as funes F(s)que so fraes prprias para as quais n maior que w. O primeiro passo fatorarQ(s) em fatores do primeiro grau e em binmios com coeficientes reais:

))...()...()((

)(

)(

)()(

21 nk ssssssss

sP

sQ

sPsF

----==


5

Os valores s1, s2 ... sn, finitos que anulam o denominador, so chamados zeros dodenominador. Estes valores de s, que podem ser reais ou complexos, tambmtornam |F(s)| infinito e, e decorrncia so chamados plos de F(s). Emconseqncia, os valores s1, s2 ... sn so referidos como zeros do denominador ouplos finitos da funo completa, isto , h n plos de F(s).

A transformada F(s) pode ser expressa como uma soma de fraes. Se os plosso simples (no repetidos), o nmero de fraes igual a n (nmero de plos deF(s)). Em tais casos a funo F(s) pode ser expressa sob a forma

n

n

k

k

ss

A

ss

A

ss

A

ss

A

sQ

sPsF

-++

-++

-+

-== ......

)(

)()(

2

2

1

1

O problema agora a determinao das constantes A1, A2, ..., An correspondentesaos plos s1, s2 ... sn. Os coeficientes A1, A2, ..., An so chamados resduos de F(s)nos plos correspondentes.

1.2.3 - Propriedades das Transformadas de Laplace

Funo Transformada

Af(t) AF(s)

f1(t)+f2(t) F1(s)+F2(s)

)(tfdtd sF(s)-f(0)

)(2

2

tfdt

d s2F(s)-sf(0)-f(0)

)(tfdt

dn

n

SnF(s)-=

- -n

k

kn fsk

1

)0()1(

dttf )( [ ]0

)(1)(

=+ tdttfsssF

t

dttf0

)( ssF )(

)(tfe at- F(s+a)

f(t-a)1(t-a),

1(t-a)=

>

at

at

,0

,1

)(sFe as-



tf(t)

dssdF )(

-

t2f(t))(

2

2

sFds

d

)(1

tft

s

dssF )(

)(at

faF(as)

f1(t)*f2(t)=

-=

=-

t

t

dtftf

dftf

021

021

)()(

)()(

ll

lll

F1(s).F2(s)

f(t).g(t))(*)(

2

1sGsF

jp

* indica o produto de convoluo.

1.3 - Transformada Z

Os problemas de engenharia que utilizam a transformada Z surgiram da anlise desistemas de controle a dados amostrados, durante a Segunda Guerra Mundial,quando tais sistemas adquiriram proeminncia. Sistemas a dados amostradosoperam com funes discretas no tempo (ou amostrados), pou uma ou duas razes.Pode ser que os dados sejam disponveis somente em instantes discretos (comonum radar de explorao). possvel, por outro lado, que o uso dos dadosamostrados permita projetar um sistema desempenho dinmico melhor que opossvel com dados contnuos no tempo. Como a transformada de Laplace era aprincipal ferramenta para estudar sistemas de controle contnuos no tempo, suaextenso a sistemas de dados amostrados era inteiramente natural.

A introduo da transformada Z motivada pelas mesmas consideraes quefazem a transformada de Laplace til: as equaes de diferenas que governam ocomportamento do sistema discreto so transformadas em equaes algbricas,freqentemente mais simples de resolver que as equaes originais, e capazes dedar melhor viso daquele comportamento.


7

Em anlise de sistemas discretos no tempo por meio da transformada Z, osmesmos passos so empregados: os sinais discretos no tempo so substitudos porsuas respectivas transformadas; o sistema representado por uma funo detransferncia discreta no tempoque, como no caso contnuo, pode ser obtida pelacombinao algbrica das funes de transferncia discretas de seus componentes.A transformada Z da resposta discreta no tempo ser igual ao produto da funo detransferncia do sistema psla transformada Z do sinal de entrada. Como ltimopasso, a resposta real no domnio do tempo (discreta) ser obtida por inverso datransformada Z da sada.

As principais diferenas entre a transformada de Laplace e a transformada Z so: afuno elementar na qual os sinais so decompostos para obter a transformada Z zn (z uma varivel complexa), em vez de est; a transformada Z definida como umasoma em vez de integral.

1.3.1 - Definio da transformada Z

A transformada Z de um sinal discreto no tempo, f(n), definida como uma srie depotncias em z-1 cujos coeficientes so amplitudes do sinal. Como no caso datransformada de Laplace, podemos definir uma transformada Z unilateral e umabilateral. Estas definies so, respectivamente,

LI[f(n)]=FII(z)=

=

-

0

)(n

nznf

LII[f(n)]=FII(z)=

=

-

0

)(n

nznf

Para ser til em anlise de sistemas, desejvel que estas sries sejam exprimveisem forma fechada. Como o coeficiente de z-n no desenvolvimento em srie f(n),segue-se que o desenvolvimento da forma fechada em uma srie de potncias emz-n gerar o sinal. Portanto, a transformada Z pode ser descrita como a funogeratriz do sinal discreto no tempo ao qual ela corresponde. As potncias negativaz-n so mais usadas que as positivas zn porque isso est de acordo com o uso maisfreqente em engenharia. Na literatura matemtica sobre funes geratrizes e emalguma literatura sobre sistemas de controle a dados amostrados, os coeficientesdas potncias positivas de z, geralmente correspondem aos valores de f(n) paran>0.

Se f(n) = 0 para n < 0, as transformadas unilateral e bilateral so idnticas; porm,se f(n) 0 para algum n < 0 as duas definies produziro expresses diferentes. Atransformada Z bilateral obviamente incorpora informaes sobre os valores f(n) emtodos os instantes discretos em que definida. A unilateral, s nos instantes nonegativos.



1.3.2 - Transformadas de Funes Comuns

Funof(n)

Transformada ZF(z)

Raio deConvergncia

ar

)( kn -d 1-z 0

)(1 nm11

1-- z 1

na11

1-- az a

n21

1

)1( -

-

- zz

1

1.3.3 - Inverso da Transformada Z

Para determinar o sinal f(n) correspondente a uma dada F(z), isto , para gerar f(n), necessrio desenvolver F(z) em srie de potncias de z-1. Como, em qualquerregio de convergncia, o desenvolvimento em srie de potncias nica. Omtodo a empregar uma questo de convenincia.

Obviamente, o mtodo mais simples procurar numa tabela adequada a funodiscreta no tempo no tempo correspondente transformada que se quer inverter. possvel inverter a maioria das transformadas Z que aparecem em problemas deengenharia, por meio de uma pequena tabela e a tcnica de decomposio emfraes parciais.

Uma tcnica mais elegante e geral de usar a frmula de inverso:

-= Cn dzzzF

jnf 1)(

2

1)(

p

onde C um crculo de raio r > ar , isto , um crculo envolvendo todas assingularidades de F(z)zn-1.

O clculo real da equao anterior muito eficientemente executado por meio doclculo de resduos. Especificamente, a equao pode ser escrita como:

f(n) = soma de resduos do produto F(z) zn-1,

em seus plos internos ao crculo de convergncia de F(z).

Observe que, quando n = 0, F(z) zn-1 pode ter um plo na origem mesmo quandoF(z) no tem o resduo de F(z) z-1 deve ser a calculado.


9

Um terceiro mtodo, que pode ser aplicado quando F(z) racional, exprimirnumerador e denominador de F(z) em polinmios em z-1; ento, usando a divisocontnua da lgebra, dividir o numerador pelo denominador, e assim obter umasrie em potncias z-1. Este mtodo que no tem similar na transformada deLaplace muito eficiente quando falta conhecimento dos plos de F(z) e as tabelasde transformada Z ou a frmula de inverso no podem ser usadas. Somente osvalores de f(n), e no sua expresso geral, podem ser assim obtidos.

1.3.4 - Propriedades da transformada Z

Propriedade Funo do tempo Transformada ZLinearidade )()( nbgnaf + )()( zbFzaF +Diferenasa. Avanadas

b. atrasadas

)(nfkD

)(nfk

-

=

-- D--

--1

0

1 )0()1(

)()1(k

j

jjk

k

fzz

zFz

-

=

---

-

---

--1

0

11

1

)1()1(

)()1(k

j

jjk

k

fz

zFz

Somas

-=

n

k

kf )(

-

-=-

-

-+

+-

1

1

1

)(1

1

)(1

1

k

kfz

zFz

Translao )( knF + 0>k jk

j

kk zjfzzFz --

=- )()(

1

0

Multiplicao por an )(nfa n )( 1zaf -

Multiplicao por nk )(nfn k)(

11 zF

dz

dz

--

Convoluo

=

-=n

k

kxknhny0

)()()()()()( zXzHzY =

Produto de duasfunes

)()( ngnf

-

Cdw

wzwGwF

j)()(

2

1 1

pMudana de escala )(anf =a inteiros )( azF -

Valor inicial )(lim)0( zFfz

=

Valor final )()1(lim)( 11

zFzfz

-

-=

se )()1( 1 zFz -- analtico para 1z



1.3.5 - A Funo de Transferncia Discreta no Tempo

Como a funo de transferncia de sistema contnuo, a funo de transfernciadiscreta no tempo definida para um sistema fixo e discreto como a trasnformada Zda resposta unitria h(n). Assim,

H(z) = Z[h(n)]

Para um sistema de entradas e sadas mltiplas, podemos definir a matriz detransferncia discreta no tempo H(z) cujo elemento Hij(z) a transformada Z dacorrespondente resposta unitria hij(n).

Como conseqncia da propriedade de convoluo, a relao de entrada e sada nodomnio do tempo:

=

-=n

k

kxknhny0

)()()(

convertida na relao algbrica no domnio z:

Y(z)=H(z)Z(z)

Esta propriedade simplifica consideravelmente a anlise dos sistemas fixosdiscretos no tempo; ela permite que tais elementos sejam analisados calculando asfunes de transferncia de cada um dos componentes e os combinando de acordocom as regras algbricas conhecidas. A resposta do sistema a uma dada entrada ento obtida invertendo o produto da funo de transferncia pela transformada daentrada. A tcnica acompanha a de sistemas contnuos.

Em muitos casos, no necessrio executar esta ltima etapa; muitas propriedadesteis da resposta podem ser obtidas diretamente da funo de transfernciadiscreta no tempo. Dentre tais propriedades est a estabilidade do sistema e osvalores final e inicial da resposta.

A funo de transferncia de um sistema contnuo no tempo pode ser interpretadacomo o quociente da resposta uma exponencial complexa est por esta entradafictcia est. Uma interpretao similar possvel para a transformada Z. Considereum sistema H ao qual a seqncia de entrada {..., z-2, z-1, 1, z, z2, ...} aplicadacomeando em -=n . A resposta :

-=

-=n

k

kzknhny .)()(

Com a mudana de ndice m = n k, fica

=

- ==0

).()()(m

nmn zHzzmhny

Portanto segue-se que

n

n

z

zrespostazH =)( .


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Captulo 2 Conhecendo o SIMULINK

2.1 - Acessando o SIMULINK

Para acessar o SIMULINK deve-se primeiro abrir o MATLAB, pois apesar de seruma aplicao especfica, este no trabalha independente e utiliza suas ferramentasde clculo.

A partir do Windows 95/98, deve-se clicar duas vezes no cone do MATLAB. Abertoo programa deve-se ento clicar no cone Start Simulink na barra de ferramentasdo MATLAB ou digitar simulink na linha de comando e pressionar enter logo emseguida, como mostrado a seguir:

>> simulink

2.2 - Construindo um Modelo Simples

Exemplificando a utilizao do SIMULINK, temos um modelo a criar. Este deveresolver a equao diferencial:

)sen(tx =& ,

onde 0)0( =x .

Sendo o SIMULINK uma extenso do MATLAB, este deve ento ser carregado apartir do MATLAB. Inicie o SIMULINK clicando no seu cone na barra deferramentas do MATLAB, como mostrado na figura :

Duas janelas se abriro na tela. A primeira janela a biblioteca de blocos doSIMULINK mostrado na figura. A segunda uma janela em branco para construodo modelo, nomeada untitled at que seja salvo com outro nome.

(1) Todos os comandos doMATLAB so em letrasminsculas.

(2) O MATLAB sensvelao tipo de fonte(maisculo ouminsculo). Porexemplo: a varivel x diferente varivel X.


Cap.2 Conhecendo o SIMULINK12

D um click duplo no cone Sources na janela de bibliotecas do SIMULINK.

Arraste o bloco de onda senoidal (Sine Wave) para a janela do modelo. Uma cpiadeste bloco deve ser criada nesta janela.


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Abra a biblioteca de blocos lineares e arraste um bloco integrador (Integrator) para ajanela do modelo.

Abra a biblioteca dispositivos de sada (Sinks) e arraste um SCOPE para a janelado modelo em construo.

A seguir, conecte os blocos para completar o modelo como na figura a seguir:



D um duplo click no bloco SCOPE e na barra de menu do SIMULINK cliqueSIMULATION:START. A simulao ser executada, resultando no grfico geradono bloco SCOPE, mostrado a seguir:

Para verificar se o grfico gerado representa a soluo da equao diferencialdesejada, deve-se resolver a mesma analiticamente, cujo resultado :

)cos(1)( ttx -= ,

que corresponde ao grfico apresentado.

2.3 - Outro Modelo

O modelo anterior serviu como exemplo de implementao no SIMULINK, mas estlonge de representar um caso usual de utilizao do software devido pequenaquantidade de blocos e ligaes. Agora ser usado um modelo de um processobiolgico para ilustrar vrios nveis adicionais de dificuldade na implementao.

Scheinerman descreveu um modelo simples do crescimento de bactrias isoladasdo ambiente externo num pote. Admite-se que as bactrias nascem numa taxaproporcional ao nmero de bactrias presentes e que elas morrem a uma taxaproporcional ao quadrado do nmero de bactrias presentes. Se x representa onmero de bactrias presentes, a taxa em que as bactrias nascem definida por

Taxa de Natalidade bx=

E a taxa em que elas morrem

Taxa de Mortalidade 2px=

A taxa total de mudana na populao de bactrias a diferena entre a natalidadee a mortalidade de bactrias. O sistema pode ser ento descrito pela equaodiferencial a seguir:

2pxbxx -=&

Obs.: A integral definida entreto e tF. Para to = 0, cos(t)=1.


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Partindo disto ser ento construdo o modelo do sistema dinmico supondo queb=1 bactria/hora e p=0,5 bactria/hora. Ser determinado o nmeros de bactriascontidas no pote aps 1 hora, admitindo que inicialmente existiam 100 bactriaspresentes.

Crie uma nova janela de modelo na barra de menu escolhendo FILE:NEW.

Este um sistema de 1a ordem, o que quer dizer que requer somente um integradorpara resolver a equao diferencial. A entrada do integrador x& e a sada x. Abrao biblioteca linear e arraste o integrador para a janela do modelo, seguindo aposio mostrada na figura:

Ainda na biblioteca Linear arraste dois blocos de ganhos (Gain) para a janela domodelo e posicione-os como na figura. O SIMULINK exige que cada bloco tenhaseu nome nico. Devido a isto, o segundo bloco de ganho ser nomeado GAIN1.Arraste ainda um bloco de soma (Sum) e a seguir feche a janela da biblioteca linear.

Abra agora a biblioteca de blocos no lineares (Nonlinear) e arraste um bloco deproduto (product) para a posio mostrada. Este bloco ser utilizado para calcular o

valor de 2x .

boa tcnica fechar todas as janelas queno esto sendo utilizadas. Isto favoreceuma melhor utilizao da memriadisponvel no microcomputador.



Abra a seguir a biblioteca dispositivos de sada (Sinks) e arraste um bloco SCOPEpara a janela do modelo seguindo a posio mostrada.

A orientao padro do SIMULINK de todos os blocos posicionar entradas esquerda e sadas direita. Porm este modelo ser muito mais legvel seinvertermos os blocos de ganho e produto. Iniciando com o Produto, deve-seprimeiro clicar sobre ele de modo a selecion-lo. Pequenos quadros pretosaparecero nas quinas do bloco indicando seleo. No menu do SIMULINK, escolhaFORMAT:FLIP BLOCK. Agora as entradas esto direita e as sadas esquerda.Repita a operao de inverso para cada bloco de Ganho. O modelo agora deveestar semelhante figura:


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Trace agora uma linha de sinal da sada do bloco de soma para a entrada dointegrador e outra da sada do integrador para a entrada do SCOPE.

A seguir necessrio conectar a linha que liga o integrador ao SCOPE ao bloco deganho situado na parte inferior da janela, pois esta linha contm o valor de x. Parafaz-lo, pressione a tecla CTRL do teclado e clique na linha de sinal. O cursor domouse ir mudar para uma cruz. Conserve a tecla do mouse pressionada enquantofaz a ligao e solte agora a tecla CTRL. Leve a linha at a entrada do bloco deganho. O SIMULINK automaticamente ajusta a linha com um ngulo de 90o.

Se o mouse possuir trs botes as operaes de clicar e arrastar podem ser feitasutilizando o boto direito.

Repita a operao ligando a linha de sinal Integrador-SCOPE at a entrada superiordo bloco de produto. Da linha de sinal que liga a entrada superior do bloco deproduto repita a operao de ligao para a entrada inferior do mesmo bloco, de

modo que o bloco execute a operao 2xxx = . Conecte agora a sada do bloco



de produto entrada do ganho na parte superior da janela de modelo. Sua janelaagora deve estar da seguinte forma:

Conecte agora a sada do ganho superior entrada superior do bloco de soma e asada do ganho inferior entrada inferior do mesmo bloco de soma.

O modelo agora est completo, mas os blocos devem ser configurados(parametrizados) para que este represente o sistema desejado. O SIMULINK temcomo default para os blocos de ganho o valor de 1.0, para o bloco de soma duasentradas positivas e para o integrador o valor inicial 0.0. O valor inicial do integradorrepresenta o nmero inicial de bactrias presentes no pote.

Ser iniciada agora a parametrizao com os blocos de ganho. D um duplo cliqueno ganho da parte superior e mude o valor de 1.0 para 0.5 na caixa de dilogo queir aparecer, a seguir clique em Close. Note que o valor do ganho do bloco mudapara 0.5 no diagrama em blocos.


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Agora d um duplo clique no bloco de soma e no campo List of signs mude de ++para -+ na caixa de dilogo que abrir. Os sinais representam os prprios sinais deentrada no bloco. A seguir clique em Close. Note agora que no bloco de soma osinal superior negativo e o inferior positivo, sendo ento a sada a diferena dasentradas que representa x& de acordo com a equao diferencial aps substituir osvalores de p e b.

No SIMULINK, o sentido no diagrama representado pelo sentido das caixas dedilogos.



Para finalizar a configurao, deve-se definir o nmero inicial de bactrias. Paraisto, d um duplo clique no integrador e no campo Initial condition mude para 100,e aps clique Close.

A durao da simulao definida no tempo default de 0 a 10. Neste caso, deseja-se saber o resultado aps 1 hora. Para mudar este tempo, seleciona-se na barra demenu a opo Simulation:Parameters e no campo Stop Time digita-se 1,fechando em Close logo a seguir.

sempre aconselhvelsalvar o modelo antes deexecutar a simulao.


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O modelo agora est completo e pronto para ser executado. Para salvar na barra demenu clique em File:Save e entre com o nome desejado. O modelo ser salvo como nome digitado e a extenso .mdl, e seu nome aparecer na barra de ttulo dajanela de edio.

Abra agora o SCOPE com um duplo clique e a seguir na barra de menu, clique emSimulation:Start para iniciar a execuo.

O SCOPE nem sempre mostra a figura numa boa escala para visualizao. O boto

Autoscale na barra de ferramentas do SCOPE redimensiona a escala paraacomodar todos os valores.

2.4 - Usando o Help do SIMULINK

O SIMULINK possui um extensivo sistema de help on-line. Os arquivos de helpforam desenvolvidos para serem visualizados por navegadores internet comoNetscape ou Internet Explorer. Uma detalhada documentao on-line para todos osblocos do SIMULINK est disponvel no Block-Browser. Um detalhado help tambmest disponvel clicando no boto de help na caixa de dilogo que se abre quandose seleciona Simulantion:Parameters na barra de menu.



Para se consultar o help sobre um bloco qualquer deve-se inicialmente dar umclique duplo sobre o bloco desejado. A seguir clica-se no boto de help que aparecena caixa de dilogo que se abre. O seu Navegador Internet ir abrir o Block Browsercorrespondente.

Na janela do Block Browser existem 3 quadros. O superior contm um cone paracada biblioteca do SIMULINK. O cone selecionado destacado com uma sombra.

O quadro inferior esquerdo contm cones para todos os blocos contidos nabiblioteca selecionada no quadro superior. Clicando num bloco nesta janela o helpcorrespondente aparece no quadro inferior direito.

No quadro superior existe ainda um campo de pesquisa denominado Search, noqual pode se localizar rapidamente um bloco, mesmo quando no se sabe a quebiblioteca este pertence.

O help do SIMULINK contm informaes valiosas. boa prtica utiliz-lo comfreqncia.

Outra boa prtica o uso do notebook em anotaes durante a aula. Isto facilita aexecuo de certas rotinas, por muitas vezes modificando somente parmetros deconfigurao.


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Captulo 3 Construindo Modelos SIMULINK

3.1 - Elementos de Modelos

Um modelo SIMULINK consiste de 3 tipos de componentes: Fontes, o sistema a sermodelado e dispositivo de sada.

O elemento central, o sistema, a representao de um diagrama em blocos de umsistema dinmico a ser modelado no SIMULINK.

As fontes so as entradas aplicadas ao sistema dinmico. Podem incluir constantes,geradores de funes como senides ou degrau, ou ainda sinais personalizadospelo usurio criados no MATLAB. So encontrados na biblioteca de fontes(sources).

A sada do sistema entregue aos dispositivos de sada. Alguns exemplos de sogrficos, osciloscpios e arquivos de sada. Tais blocos so encontrados nabiblioteca de Dispositivos de Sada.

Freqentemente, em modelos SIMULINK um ou mais desses 3 elementos podefaltar. Por exemplo, pode-se desejar modelar o comportamento na ausncia deforas de um sistema inicialmente fora de sua condio de equilbrio. Tal modelono deve ter entradas mas deve conter blocos de sistema, tais como ganho,integradores etc, e provavelmente dispositivos de sada. Tambm possvelconstruir modelos que possuem fontes e dispositivos de sada, mas nenhum blocosde sistema. suponha por exemplo que se necessita de um sinal que seja compostoda soma de vrios outros sinais. Tais sinais podem facilmente gerados usando asfontes do SIMULINK e enviados ao MATLAB ou a um arquivo no disco rgido.

Fontes Diagramaem Blocosdo Sistema

Dispositivosde Sada

Elementos de um Modelo SIMULINK


Cap.3 Construindo Modelos SIMULINK24

3.2 - Manipulando Blocos

A tabela a seguir contm as operaes bsicas de manipulao de blocos comoredimensionar, rotacionar, copiar e renomear blocos.

Selecionar objeto (blocos oulinhas de sinais

Clique no objeto com o boto esquerdo domouse.

Selecionar outro objeto Pressione a tecla SHIFT e clique no outroobjeto.

Selecionar com uma caixa deseleo

Clique com o boto esquerdo do mouseno local onde se deseja que seja uma dasquinas da caixa de seleo. Continue coma tecla do mouse pressionada e arraste acaixa para encobrir a rea desejada.

Copiar um bloco de umabiblioteca ou de outro modelo

Selecione o bloco e arraste para a janelado modelo para o qual se quer copiar.

Inverter blocos Selecione o bloco e no menu Format:FlipBlock. Tecla de atalho: CTRL-f.

Rotacionar blocos Selecione o bloco e no menuFormat:Rotate Block. Tecla de atalho:CTRL-r.

Redimensionar blocos Selecione o bloco e arraste o canto.

Adicionar sombra Selecione o bloco e no menuFormat:Show Drop Shadow.

Editar o nome de um bloco Clique no nome.

Ocultar o nome de um bloco Selecione o nome, no menu Format:HideName

Inverter o nome de um bloco Selecione o nome, no menu Format:FlipName

Apagar objetos Selecione o objeto, no menu Edit:Clear.Tecla de atalho: Del.

Copiar objetos para a rea detransferncia

Selecione o objeto, no menu Edit:Copy.Tecla de atalho: CTRL-c.

Recortar objetos para a reade transferncia

Selecione o objeto, no menu Edit:Cut.Tecla de atalho: CTRL-x.


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Colar objetos a partir da reade transferncia

No menu Edit:Copy. Tecla de atalho:CTRL-v.

Traar uma linha de sinal Arrastar com o mouse da sada do blocopara a entrada do outro.

Traar uma linha de sinal emsegmentos

Arraste com o mouse da sada do blocoat o primeiro ponto. Repetir deste pontoat o seguinte e assim por diante.

Traar uma linha ligada aoutra

Mantenha a tecla CTRL pressionada eclique sobre a linha de origem. Tecla deatalho: Clicar com o boto direito domouse a partir da linha de origem.

Separar uma linha Selecione a linha. Mantendo a tecla SHIFTpressionada, clique e arraste o novovertex para a posio desejada.

Mover um segmento de linha Clique e arraste o segmento desejado.

Mover um vertex de umsegmento.

Clique e arraste o vertex desejado.

Nomear uma linha de sinal Duplo clique na linha e digite o nome.

Mover o nome de uma linhade sinal

Clique e arraste o nome para a posiodesejada.

Copiar o nome de uma linhade sinal

Mantendo a tecla CTRL pressionada,arraste o nome para a posio desejada.Tecla de atalho: clique e arraste com oboto direito do mouse para a posiodesejada.

Sinais de propagao numalinha de sinal

D um nome aos sinais conhecidos(entrada) com um nico caracter e naslinhas em que se deseja saber seucontedo, deve-se digitar somente ocaracter



3.3 - Fontes

As entradas de um modelo so chamadas fontes (Sources) e podem serencontradas na biblioteca de fontes. Um bloco de fonte no possui entrada e devepossuir pelo menos uma sada. A documentao detalhada de cada fonte pode serencontrada no help do SIMULINK. No texto que segue sero mencionadas somenteos tipos mais comuns e utilizados de fontes. Sero ainda discutidas as operaesde importao do MATLAB e de arquivos que contenham dados os quais se desejainserir no modelo. Tal facilidade permite que se tenha qualquer tipo de sinal deentrada, exista ele no SIMULINK ou no.

3.3.1 - Fontes Comuns

Muitos tipos de sinais de entrada utilizados em modelos de sistemas dinmicosesto disponveis na biblioteca de fontes.

O bloco Constante (Constant) produz um sinal fixo que possui a magnitudeescolhida com um duplo clique sobre o bloco.

O bloco Degrau (Step) produz uma funo degrau. Pode-se configurar o instante emque se aplica o degrau, assim como sua magnitude antes e depois da transio.

O bloco de Onda Senoidal (Sine Wave) permite que se configure a amplitude, a fasee a freqncia da onda senoidal.

O Gerador de Sinais (Signal Generator) pode produzir ondas senoidais, quadradas,dente de serra ou sinais aleatrios.

Sinais mais complexos podem ser gerados a partir da combinao destesapresentados.

Exemplo: Impulso Unitrio

Um sinal muito utilizado para determinar o comportamento dinmico de sistemas oImpulso Unitrio, tambm conhecido como Funo Delta ou Funo Delta de Dirac.

O Impulso Unitrio ( )( )at -d definido como um sinal de durao igual a zero,tendo as seguintes propriedades:

( )

( )

=

=-

-

1

,0

dtt

atat

d

d

Embora o impulso unitrio seja um sinal que teoricamente no existe, existem boasaproximaes do caso ideal que so muito comuns. Exemplos fsicos so colises,como uma roda se chocando com o meio-fio ou um basto rebatendo uma bola ouainda mudanas instantneas de velocidade como a de uma bala sendo disparadade um rifle. Outra utilidade da funo impulso a determinao da dinmica dosistema. O movimento causado em um sistema que sofre uma fora impulsionalunitria a prpria dinmica inerente ao sistema. Partindo disto, pode-se utilizar a


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resposta um impulso unitrio de um sistema complexo para se determinar suafreqncia natural e suas caractersticas de vibrao.

Pode-se criar uma aproximao de um impulso unitrio utilizando duas fonte defuno degrau e um bloco de soma. A idia produzir num tempo definido a umpulso de durao muito curta d e de magnitude M, tal que M.d=1. A dificuldadeconsiste em se definir um valor apropriado para d. Deve ser um valor pequenoquando comparado mais rpida dinmica do sistema. Porm, se for muito curto,pode ocorrer problemas numricos como erros de aproximao. Se for muito longoa simulao no ser adequada um impulso verdadeiro. Usualmente, valoresadequados podem ser determinados experimentalmente.

O modelo na figura acima deve ser ajustado para simular um impulso unitrioocorrido aos 0.5 segundos de simulao com uma durao de 0.01 segundos e amagnitude de 100. A fonte degrau na parte superior deve ter a seguinteconfigurao: Step time: 0.5, Initial value: 0, Final value: 100. J a fonte situadana parte inferior deve ser configurada da seguinte forma: Step time: 0.51, Initialvalue: 0, Final value: 100. A simulao deve ser configurada para terminar em 1segundo. O grfico gerado no SCOPE mostrado na figura abaixo. A sada dointegrador contm o valor da integral do impulso no decorrer do tempo e mostradano bloco Display. Se a simulao foi correta tal valor deve ser 1, o que condiz com ovalor terico.



3.3.2 - Importando do MATLAB (From Workspace Block)

Este bloco permite ao usurio criar seu prprio sinal de entrada. O bloco e sua caixade dilogo so mostrados em sua figura a seguir.

Na configurao deste bloco deve-se definir quais sero as matrizes tabelautilizadas como fonte de sinal. O valor default do SIMULINK so as matrizes [T,U],que devem ser previamente definidas no MATLAB antes da execuo da simulao.A primeira coluna da matriz deve ser a varivel independente que corresponde aotempo na simulao estritamente crescente. As colunas seguintes so os valoresdas variveis independentes correspondente valores das variveis dependentesda primeira coluna. As sadas sero produzidas por interpolao linear ouextrapolao utilizando as matrizes definidas.

Exemplo

Para ilustrar o uso do bloco vamos supor que se deseja gerar um sinal definido por:

( ) 2ttu =

Inicialmente deve-se gerar a tabela que contenha os valores da funo no MATLAB.A seguir temos os comandos necessrios que devem ser executados na rea detrabalho do MATLAB:

>> t=0:0.1:100; % Varivel independente

>> u=t.^2; % Varivel dependente

>> A=[t,u]; % Formato da tabela

importante notar que os sinais devem ser carregados em colunas, o que exigeque se tenha a matriz A composta das matrizes transpostas de u e t.

Criada a tabela, deve-se agora configurar o bloco para que este receba os valoresdesejados. Com um duplo clique sobre o bloco, deve-se digitar o nome da matrizdefinida no MATLAB, neste caso A, e a seguir clicar no boto Close. O nome damatriz aparecer sobre o bloco e este est pronto para ser usado como uma fonteno SIMULINK.


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3.3.3 - Importando Arquivos Gerados no MATLAB (From File Input Block)

Este bloco muito similar ao anterior. A diferena bsica que a matriz agoracarregada a partir de um arquivo gerado no MATLAB, podendo agora o sinal deentrada ser salvo para diversos usos posteriores. Outra diferena importante queos sinais devem agora ser carregados em linhas ao invs do caso anterior, em queeram carregados em colunas.

Aproveitando o resultado anterior, podemos executar no MATLAB os seguintescomandos:

>> B=A % Varivel independente

>> save exemp B % Varivel dependente

Agora pode-se configurar o bloco para receber os valores digitando no campo FileName o nome completo do bloco, inclusive sua extenso (.mat), no nosso casoexemp.mat.

3.4 - Dispositivos de Sada

So as maneiras de se ver ou armazenar os resultados de um modelo. Oosciloscpio e o grfico XY produzem grficos a partir de dados do modelo. O blocoDisplay produz uma amostragem digital do valor contido em sua entrada. Pode-seainda enviar os dados para a rea de trabalho do MATLAB utilizando o bloco ToWorkspace Block ou ainda armazenar os dados em arquivos do MATLAB para usosposteriores. O bloco de parada (Stop block) causa a parada da simulao quandosua entrada for diferente de zero. Uma refrencia detalhada de cada bloco pode serencontrada no help do SIMULINK. No texto que segue sero discutidasparticularidades do bloco SCOPE e do grfico XY.

3.4.1 - Osciloscpio (Scope)

Este bloco emula um osciloscpio. Plota um grfico do sinal de entrada, podendoeste ser um escalar ou um vetor. Ambas as escalas, vertical e horizontal podem serajustadas para uma melhor visualizao. A escala vertical mostra o valor atualcorrespondente ao sinal de entrada. A escala horizontal sempre inicia em zero e



termina no valor especificado em Time Range. Se por exemplo a faixa de escalahorizontal 10 e o tempo corrente 100, o sinal de entrada correspondente aoperodo de 90 a 100 que ser mostrado, muito embora a escala horizontal estejacontinue mostrando de 0 a 10. O osciloscpio simplesmente mostra o sinal durantea simulao, e desprovido de mtodos de salvar a imagem gerada para impressoou incluso em outro documento. Mas tem a possibilidade de enviar os dados paraa rea de trabalho do MATLAB para possvel anlise ou plotagem, usando porexemplo o comando plot do MATLAB.

Pode-se inserir o SCOPE no modelo sem qualquer conexo em sua entrada e deveser configurado como Bloco SCOPE Flutuante (Floating Scope Block). Este SCOPEflutuante ser ento usado para se visualizar qualquer sinal do modelo durante aexecuo da simulao com um simples clique sobre a linha em que se desejaconhecer o sinal.

A figura abaixo ilustra o bloco SCOPE. Nota-se que h uma barra de ferramentasque contm seis cones ao longo do topo da janela. Esses botes permite dar umzoom numa poro da figura, autodimensionar a figura, salvar a configurao parafuturo uso e abrir a caixa de dilogo com as propriedades do bloco SCOPE.

3.4.1.1 - Dando Zoom na tela do Osciloscpio

Considere o modelo mostrado na figura. O bloco gerador de onda senoidal situadona parte superior est configurado para produzir o sinal sen(t) e o outro bloco paragerar o sinal 0.4sen(10t).

Abre-se a tela do Osciloscpio com um duplo clique sobre ele. Executa-se ento asimulao e o resultado obtido deve ser semelhante ao mostrado na figura. Pode-se


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redimensionar a figura clicando no boto Autoescale. Suponha que se desejaanalisar o intervalo de tempo entre 2 e 4 segundos. Para isto, clica-se no botoZoom. Aps isto deve-se com o mouse ento envolver a rea desejada comomostrado na figura.

A tela agora s mostrar o intervalo envolvido.

3.4.1.2 - Propriedades do Osciloscpio

O boto Open properties window abre a caixa de dilogo com as propriedades doosciloscpio, caixa esta que contm duas pginas.

A primeira pgina (Axes) contm campos para se definir os valores mximos(Ymax) e mnimos (Ymin) da varivel dependente.

A escala de tempo (Time Range) pode ser configurada para um valor particular oupara seu modo automtico. Se o modo automtico for escolhido, a escala de tempoter o mesmo tamanho da durao da simulao especificada na caixa de dilogoSimulation:Parameters.



A segunda pgina (Settings) contm campos para se controlar o nmero de pontosmostrados e salvar os dados para a rea de trabalho do MATLAB.

A seo General da pgina consiste numa caixa contendo duas opes:Decimation e Sample time.

Se a opo escolhida for Decimation o campo que contm o fator deve ser umnmero inteiro. Escolhendo-se Decimation e definindo-se 1 no campo ao lado dacaixa, todo os pontos na entrada do bloco sero plotados. Se define-se 2 para ocampo, a plotagem feita com pontos alternados e assim por diante.

Se for escolhida a opo Sample time, o espaamento absoluto entre os pontos aserem plotados deve ser digitado no campo.

O osciloscpio armazena os pontos num buffer. Assinala-se a opo Limits rowsto last e digita-se o valor especfico para se definir o tamanho do buffer(o default 5000). As operaes de Autoescala, zoom e salvar os dados para a rea detrabalho so feitas com este buffer. Se por exemplo ajusta-se o tamanho do bufferpara 1000 pontos e a simulao gera 2000 pontos, somente os ltimos 1000estaro disponveis para estas operaes quando a simulao terminar.


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Como dito anteriormente, o osciloscpio no possui ferramentas para se imprimir ouenviar sua tela para outros programas diretamente, como um processador de textospor exemplo. Porm, os dados enviados ao osciloscpio podem ser armazenadosnuma varivel do MATLAB e enviados rea de trabalho, podendo ento serutilizadas as muitas capacidades de tratamento destes dados pelo MATLAB. Paraisto deve-se primeiro assinalar a opo Save data to workspace e digitar o nomeda varivel do MATLAB. Depois da simulao terminada, os dados mostrados natela do osciloscpio sero armazenados na varivel definida. A varivel sercomposta de uma coluna contendo os valores de tempo e outra coluna para cadasinal de entrada. Se por exemplo o sinal de entrada for um vetor de sinal com duascomponentes, a varivel ter 3 colunas e o nmero de linhas igual ao nmero depontos mostrados na tela do osciloscpio.

3.4.2 - Grfico XY

O bloco de grfico XY produz um grfico idntico ao grfico produzido pelocomando plot do MATLAB. O grfico XY aceita dois escalares como entrada. Deve-se configurar ao faixas horizontais e verticais utilizando a caixa de dilogo do bloco.A caixa de dilogo do bloco grfico XY mostrada na figura que se segue.

3.5 - Configurando a Simulao

Um modelo SIMULINK essencialmente um programa de computador que defineum grupo de equaes diferenciais e de diferenas. Quando se escolheSimulation:Start na barra de menu da janela de modelo, o SIMULINK resolve ogrupo de equaes diferenciais e de diferena numericamente, utilizando um dosseus algoritmos de resoluo.

Antes de se executar uma simulao, deve-se configurar vrios parmetros, comotempo inicial e final, Step size da simulao e vrias tolerncias. Pode-se escolher



vrios algoritmos de integrao de alta qualidade. Pode-se tambm configurar oSIMULINK para obter e enviar dados da rea de trabalho do MATLAB.

Considere-se o modelo mostrado na figura

Este modelo representa a seguinte equao diferencial:

2=x&

Defini-se para condio inicial do integrador valor 1 no campo Initial condition. Aseguir, escolhe-se no menu da janela do modelo Simulation:Parameters econfigura-se o tempo inicial para 0 e o tempo final para 5. A seguir se executa asimulao. O SIMULINK determinar numericamente os valores da integral pararesolver

( ) +=t

t0

21 dtx

e plota os valores de ( )tx no intervalo de 0 a 5. Um algoritmo de integraonumrica que resolve este tipo de problema (frequentemente chamado de problemade valor inicial) chamado de algoritmo de resoluo de equaes diferenciaisordinrias (Ordinary differential equation solver).

Para se configurar os parmetros da simulao escolhe-se Simulation:Parametersna barra de menu da janela do modelo. A caixa de dilogo que se abrir contm trspginas: Solver, workspace I/O e Diagnostics.

Na primeira pgina (Solver) seleciona-se e configura-se o algoritmo de resoluo daequao diferencial. A seguna pgina (Workspace I/O) contm parmetrosopcionais que permitem obter dados de inicializao da rea de trabalho doMATLAB e enviar certos dados da simulao para variveis previamente definidasda rea de trabalho do MATLAB. A terceira pgina (Diagnostics) usada paraselecionar alguns mtodos de diagnsticos muito utilizados para se determinarproblemas na simulao. Cada pgina ser discutida mais detalhadamente.

3.5.1 - Solver Page

Esta pgina consiste em trs sees. A primeira, Simulation time, contm campospara se definir o tempo inicial e final da simulao. Os valores default so 0 e 10.

As opes Solver contm campos para se selecionar os algoritmos numricos deintegrao para se resolver as equaes diferenciais e configurar parmetros quecontrolam o Step Size de integrao. Os mtodos de soluo so agrupados emduas categorias: Passo varivel e passo fixo. Diferentes algoritmos estodisponveis para cada categoria.


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Se a opo escolhida for a de Passo varivel, esto disponveis campos para seconfigurar o tamanho do mximo passo de integrao, o passo inicial e astolerncias absolutas e relativas.

Se a opo escolhida for a de Passo fixo, h um nico campo no qual se define otamanho do passo de integrao.

A seo Output options controla o espaamento de tempo nos pontos na trajetriade sada.

3.5.1.1 - Solver Type

O SIMULINK fornece diferentes tipos de algoritmos de soluo para equaesdiferenciais. A maioria destes algoritmos so resultados de recentes pesquisas emintegrao numrica e esto entre os mais rpidos e precisos mtodos disponveis.

Geralmente se usam mtodos de passo variveis, pois eles ajustam continuamenteo passo de integrao maximizando a eficincia enquanto mantm uma precisoespecificada.



Os mtodos disponveis so listados e sucintamente discutidos:

MTODO DESOLUO

CARACTERSTICAS

ODE45 Excelente mtodo de propsito geral de passosimples. baseado nos mtodos de Dormand-Prince e de Runge-Kutta para Quarta/Quinta ordem.ODE45 o mtodo default e geralmente uma boaprimeira opo.

ODE23 Usa os mtodos Bogacki-Shampine e Runge-Kuttade Segunda/Terceira ordem. s vezes funcionamelhor do que ODE45 na presena de poucaflexibilidade. Geralmente requer um passo menor doque ODE45 para atingir a mesma preciso.

ODE113 Utiliza o mtodo de ordem varivel de Adams-Bashforth-Moulton. J que ODE113 utiliza assolues de pontos em tempos anteriores para sedeterminar a soluo do tempo corrente, deve entoproduzir a mesma preciso dos mtodos ODE45 ouODE23 com menor nmero de clculos e com istotendo uma melhor performance. No apropriadopara sistemas com descontinuidades.

ODE15S Sistema de ordem varivel de multi passos parasistemas inflexveis. baseado em pesquisasrecentes que utilizam frmulas numricas dediferena. Se a simulao executar lentamenteutilizando ODE45, tente ODE15S.

ODE23S Ordem fixa de passo simples para sistemainflexveis. Devido ao fato de ser um mtodo depasso simples, em muitas das vezes mais rpidodo que ODE15S. Se um sistema parecer inflexvel uma boa idia tentar ambos os mtodos para estetipo de sistema para se determinar qual dos doistem melhor performance.

Fixed-and-Variable-StepDiscrete

Mtodo especial para sistemas que contm estadosdescontnuos.

ODE5 Verso de passo fixo de ODE45.

ODE4 Frmulas clssicas de Quarta ordem de Runge-Kutta utilizando passo de tamanho fixo.

ODE3 Verso de passo fixo de ODE23.

ODE2 Mtodo de Runge-Kutta de passo fixo de Segundaordem, tambm conhecido por Mtodo de Heun.

ODE1 Mtodo de Euler utilizando passo de tamanho fixo.


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3.1.5.2 - Opes de Sada (Output Options)

As opes de sada da pgina s esto disponveis para mtodos de passovariveis e controlam o espaamento entre pontos na trajetria de sada. Estasopes no se aplicam mtodos de passo fixo. Os campos de opes de sadacontm uma caixa com trs opes: refinar a sada (Refine output), produzir umasada adicional (Produce additional output), e produzir somente uma sadaespecificada (Produce specified output only).

A opo Refinar a sada fora o algoritmo a adcionar pontos intermedirios entre ospontos da soluo fazendo sucessivos passos. O SIMULINK computa os pontosintermedirios utilizando interpolao, o que muito mais rpido do que reduzir otamanho do passo de integrao. uma boa opo quando se deseja que atrajetria de sada parea mais homognea e no se necessita que o espao entreos pontos seja fixo. Se esta opo for selecionada deve-se ainda definir o fator derefinamento (Refine factor). Este fator deve ser inteiro. O SIMULINK divide cadaintervalo de integrao pelo fator na sada. Por exemplo, se o fator for 2, o pontomdio de cada intervalo de integrao ser adicionado na trajetria de sada porinterpolao.

A opo de produzir uma sada adicional (Produce additional output) permite foraro SIMULINK a incluir certos pontos de tempo na trajetria de sada, em adio aospontos da soluo no fim de cada intervalo de integrao. Se esta opo forselecionada, deve-se ento preencher o campo entitulado Tempos De Sada(Output times). Este campo deve conter um vetor que lista os tempos adicionaispara os quais se deseja conhecer a sada. Se se deseja, por exemplo, incluir asada a cada 10 segundos de intervalo e o tempo inicial 0 e o final 100, o vetordeve ser [0:10:100].

A opo de produzir somente uma sada especificada (Produce specified outputonly) utilizada quando se deseja produzir uma trajetria de sada contendosomente valores especficos de tempo; por exemplo quando se deseja comparar asdiferenas de trajetrias e avaliar os efeitos de mudanas de alguns parmetros. Seesta opo for selecionada, deve-se preencher o campo chamado tempos de sada(Output times), o qual deve conter um vetor com os instantes de tempo para osquais se deseja conhecer a sada.



3.5.2 - Pgina Workspace I/O

A segunda pgina permite obter e enviar dados para rea de trabalho do MATLAB.

Na seo Carregar da rea de trabalho (Load from workspace), a caixa Entrada(Input) faz com que o SIMULINK importe do MATLAB o tempo e valorespreviamente armazenados nas variveis definidas no campo logo ao lado da caixa.Esta opo trabalha em conjunto com o bloco Inport encontrado na biblioteca deconexes (Conections Library). Este bloco deve ser configurado para aceitar dadosescalares ou vetores. Define-se ento o nome das matrizes tempo (default t) esinais de entrada (default i) no campo entrada (Input). A primeira matriz (t) umvetor coluna de valores de tempo e a segunda (u)consiste em uma coluna paracada varivel de entrada, com cada linha correspondente matriz de tempo. Sehouver mais de um bloco Inport, as colunas da matriz sero ordenadas com onmero correspondente ao assinalado no bloco. A primeira coluna corresponderao bloco com menor nmero e a ltima coluna ao bloco com maior nmero. Paraum vetor no bloco Inport, deve haver uma coluna na matriz u para cada elemento dovetor de entrada.

3.5.2.1 - Vetores de estado internos do SIMULINK

Antes de se discutir as sees Salvar para a rea de trabalho (Save to Workspace)e Estados (States) deve-se discutir brevemente falar das variveis de estadointernas do SIMULINK.

Um modelo SIMULINK pode ser entendido como um grupo de equaes diferenciaisou de diferena de primeira ordem, possivelmente no lineares simultneas. Almdas variveis de estado associadas a cada integrador, h tambm variveis deestado implcitas especificadas associadas com os blocos de funo detransferncia (Transfer function block), os blocos de Espao de Estados (State Space block), certos blocos no lineares, alguns blocos discretos e muitos blocosexistentes na biblioteca de Extras.

Freqentemente necessrio ter acesso s variveis de estado do modelo e oSIMULINK fornece mecanismos que facilitam estas tarefas. Utilizar a pginaWorkspace I/O provavelmente a maneira mais fcil de acessar estas variveis.


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3.5.2.2 - Salvar para a rea de trabalho

Esta seo contm trs campos, cada um ativado com a caixa correspondente.

A opo Tempo (Time) envia a varivel indenpendente para a rea de trabalho comum nome definido (o default tout).

A opo Estados (States) envia todas as variveis de estado dos modelos para area de trabalho do MATLAB numa matriz especificada (o default xout).

J a opo Sada (Output) trabalha em conjunto com o bloco Outport de maneiraanloga ao bloco Inport, j discutido previamente.

3.5.2.3 - Estados (States)

A seo Estados (States) pode forar o SIMULINK a carregar valores iniciais detodas as variveis de estados internas a partir do MATLAB e tambm enviar osvalores finais da variveis de estado internas para a rea de trabalho. Todas asvariveis de estado do SIMULINK possuem valores iniciais default, na maioria doscasos 0. Os estados associados blocos integradores devem ser configurados pelaprpria caixa de dilogo do bloco.

Ao se especificar valores de estados iniciais nesta pgina, o SIMULINKdesconsidera qualquer valor default de inicializao, incluindo valores iniciaisconfigurados nos blocos integradores. A caixa Load initial configura o valor inicial deum vetor de estado do modelo para os valores especificados no vetor de entrada(default xInitial), predefinido na rea de trabalho do MATLAB. O vetor deinicializao deve ter o tamanho do vetor de estado do modelo.

Na caixa Save Final possvel fazer com que o SIMULINK salve os valores finaisdas variveis de estado num vetor especificado (default xFinal) para a rea detrabalho do MATLAB. A sada desta opo um vetor que pode ser utilizado nofuturo como condies iniciais numa outra simulao, o que corresponde acontinuar de onde a anterior foi interrompida.

3.5.2.4 - Save Options

Esta seo da pgina contm dois campos e trabalham em conjunto com a seoSave to workspace.

O primeiro campo (Limit rows to last) define-se o nmero de pontos que serenviado para o MATLAB. Por exemplo, se no campo for definido 1000, os ltimos1000 pontos sero enviados para a rea de trabalho do MATLAB. O campoDecimation configura o intervalo entre os pontos que sero enviados. Este campos deve conter nmeros inteiros. Se, por exemplo, for definido o valor 1 nestecampo, todos os pontos sero enviados para o MATLAB.



3.5.3 - Pgina de Diagnsticos

Esta pgina permite selecionar a ao tomada para cinco condies e tambminclui opes para o controle automtico de sada de blocos (Consistency Checking)e desabilitar a deteco da transio de zero.

H trs escolhas para a resposta de cada um das cinco condies excepcionais. Aprimeira None instrui ao SIMULINK a ignorar o evento correspondente. A segundaescolha, Warning (default) faz com que o SIMULINK emita uma mensagem de errocada vez que o evento ocorrer. A opo final Error faz com que o SIMULINK abortea simulao toda vez que o evento correspondente ocorrer. Os eventos sodetectados quando a simulao executada. Cada um dos eventos serobrevemente discutidos.

Um Loop Algbrico (Algebraic loop) um evento no qual a entrada de um bloconum dado instante de tempo dependente da sada do mesmo bloco no mesmoinstante de tempo. Este tipo de problema causa perdas de velocidade na execuoda simulao e em alguns casos pode causar erros na execuo da simulao. comumente aconselhvel configurar Warning como resposta para loops algbricos,mas se um loop algbrico for detectado e a performance for aceitvel, pode-seconfigurar None como resposta.

Uma violao de tamanho do passo mnimo (Min step size violation) ocorre quandoa soluo tende a usar um passo de integrao menor do que o passo mnimo.Como nem sempre possvel modificar o tamanho do passo mnimo em muitosmtodos de passo varivel deve-se ento trocar para um mtodo de ordemsuperior ao utilizado, que em geral utiliza um maior passo de integrao. Uma outraopo aumentar o valor da tolerncia absoluta e relativa na primeira pgina deconfigurao. Este tipo de erro deve ser sempre configurada para Warning ou Errorporque este tipo de erro indica que a simulao no est produzindo a precisodesejada.

Um erro Entrada de Bloco Desconectada (Unconnected block input) ocorre quandoum bloco tem uma entrada no utilizada. Geralmente resultado de um erro naconstruo do modelo. Deve ser sempre cofigurada para Warning ou Error. Se aomisso da entrada de um bloco for intencional uma boa prtica conectar estaentrada a um bloco Terra (Ground).


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Um erro Sada de Bloco Desconectada (Unconnected block output) acontecequando uma sada de um bloco no est conectada entrada de outro. Este tipo deerro frequentemente no causa erro simulao, mas muito simples de seresolver. Para evitar este tipo de erro deve-se conectar todas as sadas noutilizadas a um bloco Terminator encontrado na biblioteca de conexes(Connections). Este evento deve ser configurado para Warning ou Error.

O ltimo evento Linha desconectada (unconnected line) pode tambm sercausado num erro na construo do modelo. Este evento ocorre quando o final deuma linha de sinal no est conectada a um bloco. Deve ser configurado paraError.

A Checagem de consistncia (Consistency checking) uma caracterstica dedepurao que detecta certos erros de programao em alguns blocospersonalizados. No necessrio se utilizar esta funo quando se tem somenteblocos do prprio SIMULINK, o que faz com que a simulao seja executada maislentamente. Em geral, esta opo deve ser configurada em Off.

Um grande nmero de blocos do SIMULINK possuem comportamento discontnuo.Como exemplo temos o bloco Sign localizado na biblioteca Nonlinear. Sua sada 1se a entrada for positiva, 0 se a entrada for nula e 1 se a entrada for negativa. Obloco ento possui uma descontinuidade em zero. Se for utilizado um mtodo depasso varivel, o SIMULINK ir ajustar o passo de integrao quando a entrada dobloco se aproximar de zero para que a mudana ocorra no tempo certo. Esteprocesso chamado Zero crossing detection. Pode-se determinar se um bloconecessita desta deteco na tabela de Caractersticas do bloco em suasconfiguraes.

Esta deteco melhora a preciso da simulao, mas pode ocasionar uma lentidoda mesma. Ocasionalmente um sistema pode flutuar rapidamente peladescontinuidade, um fenmeno conhecido por reticncia (chatter). Quando istoocorre, o progresso da simulao pode efetivamente parar, j que o passo deintegrao reduzido a valores muito pequenos. O modelo ento ser executadolentamente quando o mesmo incluir um ou mais blocos com este tipo de detecointrnseca. Ao selecionar a opo Disable zero crossing detection na pgina dediagnsticos pode aumentar significativamente a velocidade de execuo, maspode tambm reduzir drasticamente a preciso da simulao. Tal ao deve entoser utilizada somente como uma ferramenta para se verificar se est ocorrendo areticncia. Se a opo for selecionada e a velocidade de execuo aumentarconsideravelmente, deve-se ento localizar a causa da reticncia e corrigir oproblema.

3.6 - Executando uma Simulao

Pode-se controlar a execuo de um modelo no menu Simulation na barra demenus da janela do modelo.

Para se iniciar uma execuo, clica-se em Simulation:Start. Pode-se parar asimulao permanentemente selecionando-se Simulation:Stop. Para parar aexecuo temporariamente clica-se em Simulation:Pause, e para continuar aexecuo do ponto de parada seleciona-se Simulation:Continue.

Enquanto a simulao est sendo executada, pode-se modificar diversosparmetros. Por exemplo o ganho de um bloco de ganho, modificar o algoritmo



utilizado na soluo, modificar os parmetros de integrao como o tamanho dopasso mnimo. Pode-se ainda selecionar uma linha de sinal que passar ento a sera entrada de um Osciloscpio que esteja sendo configurado como flutuante(Floating Scope Block). Isto permite que se cheque vrios sinais durante oprogresso da simulao.

3.7 - Imprimindo um Modelo

H uma variedade de mtodos para se imprimir modelos SIMULINK. O maissimples enviar o modelo diretamente para a impressora. H ainda a possibilidadede se enviar o modelo para um processador de textos ou outro tipo de arquivo, ouainda copiar para a rea de transferncia ou salvar como um arquivo EPS(Encapsulated PostScript File), utilizado pela maioria dos programas processadoresde textos ou imagens.

3.7.1 - Imprimindo um modelo utilizando os menus

A maneira mais rpida de se obter uma cpia impressa do modelo enviando omesmo diretamente para a impressora utilizando os menus. Clicando-se emFile:Printer Setup na barra de menu da janela do modelo pode-se configurar aimpressora como se deseja. A seguir, clicando-se em File:Print o modelo serenviado diretamente para a impressora. O SIMULINK ajusta o modelo para que omesmo caiba na folha. O usurio no tem controle sobre o tamanho do modelo naimpresso.

3.7.2 - Enviando o Modelo para um Documento

O SIMULINK permite que se insira seus modelos em vrios tipos de programasmodernos como processadores de texto, programas de apresentao, editores deimagem etc.

Os modelos podem ainda ser salvos como arquivos bitmaps, Windows metafiles ouEPS.

Para se obter uma figura como arquivo bmp ou wmf, primeiro se deve clicarEdit:Copy Model na barra de menu da janela do modelo. A seguir deve-se inserir afigura no documento desejado de acordo com o programa utilizado.

Arquivos Metafile so preferveis porque neste formato a imagem no perderesoluo quando se amplia, mas nem todos os programas trabalham bem comeste tipo de imagem. Salvar como arquivo Bitmap uma opo mais confivel.

Para se utilizar a opo de arquivo EPS deve-se primeiro salvar a imagem como umarquivo EPS utilizando o comando print brevemente discutido a seguir. A seguirinser-lo no documento desejado utilizando procedimentos padres de cadaprograma utilizado.

3.7.3 - Utilizando o Comando PRINT do MATLAB

Este comando permite enviar a imagem de modelos para uma impressora, para area de transferncia ou para um arquivo numa variedade de formatos. A sintaxe docomando

print smodel ddevice filename


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Model uma string do MATLAB que contm o nome do modelo SIMULINK quedeve estar aberto. O modelo mostrado no ttulo da janela do modelo. Se o nomedo modelo contiver espaos, deve ento estar entre apstrofos ( ):

print sSpring Mass System ddevice filename

Se o nome do modelo tiver um Enter deve ento estar entre colchetes ([ ]) com oEnter separado por apstrofos ( ) e representado pelo seu cdigo ASCII (13):

print s[Damped 13 Spring Mass System] ddevice filename

device uma string MATLAB que especifica o tipo de dispositivo de sada. Podeincluir impressoras, arquivos e a rea de transferncia do Windows. A tabela aseguir inclui os dispositivos e seus cdigos.

Device Descrio do dispositivo

ps PostScript

psc PostScript Colorido

ps2 PostScrip Nvel 2

psc2 PostScrip Nvel 2 Colorido

eps Encapsulated PostScript (arquivo)

epsc Encapsulated PostScript colorido (arquivo)

eps2 Encapsulated PostScript Nvel 2 (arquivo)

epsc2 Encapsulated PostScript Nvel 2 Colorido (arquivo)

win Impressora Padro

winc Impressora Padro Colorida

meta rea de transferncia Formato Metafile

bitmap rea de transferncia Formato Bitmap

setup O mesmo que selecionar File:Printer Setup nabarra de menu.

Filename uma string do MATLAB que deve conter o nome do arquivo que sersalvo. opcional, j que nem sempre se salva como arquivo no disco.



Exemplo

O objetivo deste exemplo primeiro imprimir na impressora padro um modeloentitulado xydemo.mdl e a seguir salvar a imagem do modelo como um arquivo EPScolorido.

Primeiro deve-se abrir o modelo no SIMULINK. A seguir, na rea de trabalho doMATLAB digita-se:

print sxydemo

O modelo ser impresso na impressora padro do Windows.

A seguir digita-se:

print sxydemo depsc xydemo.eps

O modelo ento ser salvo como um arquivo EPS e poder ser importado porqualquer programa que aceite este tipo de arquivo.


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Captulo 4 Sistemas Contnuos no Tempo

Aps estudar os captulos anteriores, o usurio j deve se sentir bem maisconfortvel com os mecanismos de construo e execuo de modelos noSIMULINK. Este captulo explora o uso do SIMULINK na modelagem de sistemascontnuos.

Um sistema contnuo um sistema dinmico que pode ser descrito por equaesdiferenciais. A maioria dos sistemas e processos so contnuos.

Os sistemas mais simples so escalares e pode-se admitir que so lineares einvariantes no tempo. Inicialmente o texto tratar destes tipos de sistemas utilizandoblocos da biblioteca linear. A seguir ser mostrado modelos mais complicadosutilizando vetores de sinais e ainda blocos da biblioteca Nonlinear para se modelarsistemas contnuos no lineares.

4.1 - Sistemas Escalares Lineares

Podem ser modelados utilizando blocos na biblioteca linear. Estes blocos so fceisde usar, mas o Integrador tem vital importncia na elaborao de diversos sistemas.Primeiro ser feita uma explicao detalhada do bloco integrador e a seguir serilustrada a modelagem de sistemas contnuos escalares com dois exemplos

4.1.1 - Bloco Integrador (Integrator)

Este bloco pode ser configurado como um integrador simples ou um integrador comreset. Um integrador com reset leva a sada condio inicial toda vez que seusinal de reset dispara. Pode-se tambm configurar o integrador de tal forma que suasada fique sempre dentro de certos limites pr-definidos. Pode-se ainda configuraro integrador para que sua sada inicial seja um valor configurado na sua caixa dedilogo ou que ele receba o valor inicial atravs de uma entrada adicional.

Com um duplo clique no integrador abre-se sua caixa de dilogo. Para se utilizar umintegrador padro a nica entrada requerida nesta caixa a condio inicial (InitialCondition), que tem como default 0.


Cap.4 Sistemas Contnuos no Tempo46

As opes de reset externo (External reset) esto na caixa de dilogo do blocointegrador. So elas: None, Rising, falling e either.

Se a opo escolhida for None (default) o reset externo desabilitado. Se qualqueruma das outras for escolhida o bloco integrador agora um integrador com reset.Se a opo escolhida for rising, a sada do integrador levada condio inicialquando o sinal de reset passa pelo zero no sentido crescente. Se a opo forfalling, a situao se repete, s que agora quando o sinal de reset cruza o zero nosentido descendente. A opo either no leva em conta o sentido do sinal de reset.A figura a seguir ilustra um modelo simples de um integrador com sinal de resetconfigurado para falling.


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Quando o sinal de reset cruza o zero, a sada do integrador retorna ao seu valorinicial e a simulao continua.

Configurando a Fonte de condio inicial para externa, surgir uma entradaadicional no integrador. O valor contido neste entrada ser utilizado pelo integradorcomo condio inicial quando a simulao for iniciada ou quando o integrador forresetado.

A opo de limitar a sada (Limit output) faz com que o bloco funcione como umintegrador limitado. Nos campos Limite superior de saturao (Upper saturationlimit) e Limite inferior de saturao (Lower saturation limit) definem o intervalo noqual o integrador ir funcionar. Os valores default so inf e inf.

A opo Mostrar porta de saturao (Show saturation port) habilita uma sadaadicional no bloco que indica o estado da saturao. Se este sinal for 1 a sada dointegrador esta abaixo do limite inferior de saturao, se for 1 est acima do limitesuperior e se for 0 est dentro do intervalo de trabalho definido pelos limites.

A opo Mostrar porta de estado (Show state port) cria uma sada adicional nobloco. Esta sada contm o estado do integrador que o mesmo sinal de sada dointegrador. Esta sada necessria em duas ocasies: se a sada de um blocointegrador realimenta (feedback) o mesmo bloco como reset ou condio inicial, aporta de estado usada ao invs da sada comum do bloco; e se deseja utilizar asada do integrador como acionador de um subsistema com execuo condicionadaa este bloco, deve-se ento usar a sada de estado para este acionamento.


Cap.4 Sistemas Contnuos no Tempo48

O campo Tolerncia absoluta permite ao usurio desprezar a configurao detolerncia absoluta definida no menu Simulation:Parameters, discutidaanteriormente.

Exemplo

Considere o sistema amortecido de segunda ordem

Admite-se que o coeficiente de amortecimento c=1.0, a constante da mola k=2 N/me a massa do carro m=5 Kg. No h entradas no sistema. Considerando-se adeflexo inicial igual 1m da posio de equilbrio.

Para modelar o sistema deve-se primeiro escrever a equao do movimento.Utilizando uma aproximao Newtoniana, nota-se que h somente duas forasagindo no carro: a fora da mola e a fora de amortecimento. A fora da mola kx e a fora de amortecimento xc& . A fora responsvel pela acelerao do carro xm && . Desde que no h foras externas, a soma destas trs foras deve ser zero.Pode-se ento escrever a equao:

0=++ kxxcxm &&&

Sendo um sistema de segunda ordem, necessita-se ento de dois integradores paramodelar seu comportamento. Abre-se ento uma nova janela de modelo parainiciar a construo.


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Acrescenta-se dois integradores como na figura, nomeando-os velocidade eposio.

A sada do integrador Velocidade x& , j que sua entrada x&& . Reescrevendo aequao, tem-se:

xmk

xmc

x --= &&&

Substituindo os valores:

xxx 4.02.0 --= &&&

Com .0)0(,1)0( == xx &

Acrescenta-se agora um bloco de soma para calcular o valor de x&&

curso de simulink_voltado a controle.pdf

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