curso de estabilidade de tensao~ - labspot.ufsc.braguinald/ensino/eel6303/vstab.pdf · isto pode...

UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINADEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ELETRICA

CURSO DE ESTABILIDADE DE TENSAO

Ministrantes:

Roberto Salgado, Ph.D. Aguinaldo Silveira e Silva, Ph.D.

Vera Lucia de Castro Soares, M.Eng.

FLORIANOPOLIS - SC2004

Prefacio

Este texto foi elaborado para servir de material de apoio ao curso de Estabilidade deTensao, ministrado por professores do Laboratorio de Sistemas de Potencia Labspot,vinculado ao Programa de Pos-graduacao em Engenharia Eletrica da UniversidadeFederal de Santa Catarina (UFSC). O curso aborda os mecanismos de instabilidadede tensao, modelagem de componentes do sistema eletrico de potencia, as abordagensbaseadas em modelagem estatica e dinamica do problema de estabilidade de tensao,acoes de controle e o controle secundario de tensao. Maior enfase foi dada aos metodosbaseados em modelagem estatica do sistema, dado que tais metodos tendem a fornecermais facilmente ındices de proximidade da instabilidade de tensao e quantificacao deacoes de controle e vem sendo mais usados pela industria atualmente. O objetivo naelaboracao do texto foi apresentar uma visao abrangente do problema, mas que naoesgota o estudo. As referencias listadas no trabalho constituem uma complementacaoimportante para o estudo do tema.

Sumario

1 Introducao 1

2 Definicoes e conceitos de estabilidade de tensao 32.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32.2 Conceitos Basicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.3 Definicoes de estabilidade de tensao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.4 Casos de Instabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.5 Estudo do Colapso de Tensao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.6 Mecanismos de instabilidade de tensao . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

3 Modelagem dos Componentes 133.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133.2 Modelagem estatica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

3.2.1 Maquina sıncrona . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133.2.2 Modelagem das cargas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143.2.3 Modelagem do sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

3.3 Maquina sıncrona . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143.4 Sistema de excitacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153.5 Limitador de sobre-excitacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153.6 Modelagem das cargas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3.6.1 Modelagem estatica das cargas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163.6.2 Modelagem dinamica das cargas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3.7 Modelagem de taps de transformadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273.7.1 Caracterısticas de taps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273.7.2 Modelagem do tap . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283.7.3 Modelagem da rede . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3.8 Modelagem geral do sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293.8.1 Dinamica rapida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293.8.2 Dinamica lenta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3.9 Exemplo de modelagem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

iv SUMARIO

3.9.1 Modelagem estatica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303.9.2 Modelagem dinamica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3.10 Comentarios e Referencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

4 Analise por Modelagem Estatica 334.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334.2 Aspectos Gerais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

4.2.1 Abordagem Estatica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374.3 Analise em Regime Permanente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

4.3.1 Equacoes Estaticas do Sistema de Potencia . . . . . . . . . . . . 404.3.2 Solucao via Metodo de Newton Raphson . . . . . . . . . . . . . 434.3.3 Relacoes de Sensibilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

4.4 O Fluxo de Potencia sem Solucao Real . . . . . . . . . . . . . . . . . . 454.4.1 O Metodo de Newton-Raphson com Amortecimento . . . . . . . 48

4.5 Determinacao do Maximo Carregamento . . . . . . . . . . . . . . . . . 524.5.1 O Metodo da Continuacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 524.5.2 O Uso de Tecnicas de Otimizacao . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

4.6 Indices de proximidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 644.6.1 O Vetor Tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 644.6.2 Decomposicao em Valores Singulares . . . . . . . . . . . . . . . 66

4.7 Solucoes Corretivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 694.7.1 Metodo do Autovetor a Esquerda . . . . . . . . . . . . . . . . . 714.7.2 Aplicacao de Metodos de Otimizacao . . . . . . . . . . . . . . . 74

4.8 Medidas Corretivas Opcionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 764.8.1 Mınimo Corte de Carga com Direcao Especificada . . . . . . . . 764.8.2 Mınimo Resıduo por Pontos Interiores . . . . . . . . . . . . . . 77

4.9 Conclusoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

5 Analise por modelagem dinamica 815.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 815.2 O problema de estabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 815.3 Estabilidade para pequenas perturbacoes . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

5.3.1 Bifurcacoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 825.3.2 Bifurcacoes do ponto de equilıbrio . . . . . . . . . . . . . . . . . 835.3.3 Bifurcacoes de orbitas periodicas . . . . . . . . . . . . . . . . . 865.3.4 Bifurcacoes globais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

5.4 Estabilidade para grandes perturbacoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 905.4.1 Simulacao no tempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

6 Acoes de Controle para a Estabilidade de Tensao 936.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 936.2 Estabilidade a curto prazo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

6.2.1 Chaveamento rapido de capacitores/reatores . . . . . . . . . . . 946.2.2 Compensadores estaticos de reativo . . . . . . . . . . . . . . . . 946.2.3 Modulacao de linhas de corrente contınua . . . . . . . . . . . . 946.2.4 Corte de carga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 946.2.5 Eliminacao rapida de falta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

6.3 Estabilidade a longo prazo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

SUMARIO v

6.3.1 Controle de LTCs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 956.3.2 Controle na Barra de Alta Tensao de Usinas . . . . . . . . . . . 95

7 Controle Secundario de tensao 997.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 997.2 Controle de Tensao em Sistemas Eletricos de Potencia . . . . . . . . . . 997.3 Caracterısticas e funcoes de um Controle Secundario de Tensao . . . . . 101

A Fluxo de Potencia em Coordenadas Retangulares 107A.1 Resumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

B Elementos de Algebra Linear 111B.1 Inversao de Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

B.1.1 Determinacao da Matriz Inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111B.2 Posto, Rank ou Classe de uma Matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112B.3 Autovalores e autovetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

B.3.1 Autovalores e equacoes diferenciais . . . . . . . . . . . . . . . . 112

C Revisao de Calculo 115C.1 Serie de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115C.2 Funcoes vetoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

C.2.1 Curvas de Nıvel e Interpretacao do vetor Gradiente . . . . . . . 116C.2.2 Derivadas de Ordem Superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117C.2.3 Expansao em Serie de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

CAPITULO 1

Introducao

O registro da ocorrencia do fenomeno de instabilidade de tensao e mais recente quandocomparado com as formas usuais de instabilidade de sistemas de potencia, associadasao comportamento do angulo dos geradores e conhecidas como estabilidade angular.

O problema da estabilidade transitoria, associada a capacidade dos geradores sın-cronos de permanecerem em sincronismo apos grandes perturbacoes, tem sido analisadadesde o inıcio da operacao dos sistemas de energia eletrica. A chamada estabilidadeem regime permanente, associada a existencia de torque sincronizante em regime per-manente, e portanto a existencia de um ponto de equilıbrio, tambem foi uma questaoimportante na operacao desde os primeiros sistemas de potencia. No final da decadade 50, com a interligacao de sistemas eletricos e a entrada em operacao de sistemasde excitacao rapidos e de alto ganho, uma nova forma de instabilidade emergiu, achamada instabilidade dinamica, associada a condicoes de operacao em que o sistemaapresenta pouco amortecimento ou mesmo instabilidade oscilatoria. O IEEE [17]recomenda que a nomenclatura estabilidade em regime permanente seja usada comrelacao a questao da existencia do ponto de equilıbrio e da natureza estavel ou instaveldeste, englobando as denominacoes anteriores de estabilidade em regime permanentee estabilidade dinamica. No entanto, a denominacao de estabilidade para pequenasperturbacoes e mais usada atualmente. Tanto o problema de estabilidade transitoriaquanto o problema de estabilidade para pequenas perturbacoes sao estreitamente re-lacionados a dinamica dos geradores e especialmente ao comportamento dos angulosdos rotores, explicando o uso da denominacao de estabilidade angular, aplicada a estesproblemas.

O problema da estabilidade de tensao surgiu mais recentemente, como consequenciadas caracterısticas dos modernos sistemas de potencia, que devido a falta de investi-mentos na transmissao como resultado de restricoes economicas e ambientais, tendema ser operados muito carregados. A instabilidade de tensao se caracteriza pelo afunda-mento das tensoes em parte ou todo o sistema, em periodos de tempo que variam desegundos ate intervalos prolongados da ordem de dezenas de minutos. Em situacoesonde as acoes de controle nao forem suficientes para conter este afundamento, pode

2 Capıtulo 1: Introducao

ocorrer o colapso (black-out) parcial ou total do sistema. Incidentes de instabilidade detenao ocorreram em varios sistemas de energia eletrica nos Estados Unidos e Canada,Europa, Japao e Brasil.

A estabilidade de tensao esta estreitamente ligada a caracterıstica da rede de trans-missao e ao comportamento das cargas do sistema. Assim, a limitacao na capacidadede transmissao da rede eletrica limita o fornecimento de potencia reativa as cargas,reduzindo a tensao. A caracterıstica das cargas e a atuacao de taps de transformadorespode piorar mais a situacao levando a instabilidade de tensao. E importante ressal-tar, no entanto, que a instabilidade de tensao e um fenomeno dinamico, e portantoa dinamica de todos os elementos do sistema, incluindo geradores, deve ser conside-rada. Em alguns casos a instabilidade de tensao pode estar estreitamente associada ainstabilidade angular.

O objetivo deste trabalho e apresentar os conceitos fundamentais, os mecanismos,tecnicas de analise e acoes de controle relacionados ao fenomeno da instabilidade detensao.

No Capıtulo 2 sao apresentadas as definicoes basicas referentes a estabilidade detensao e alguns aspectos do mecanismo que leva a instabilidade de tensao.

No Capıtulo 3 sao apresentados os modelos usados em estudos de estabilidade detensao. A modelagem de cargas, taps de transformadores e a acao de limites de gera-dores e apresentada.

No Capıtulo 4 e descrita a abordagem baseada na modelagem estatica, usada emestudos de estabilidade de tensao. Essencialmente tais metodos utilizam a matrizJacobiana do fluxo de potencia para indicacao da proximidade da instabilidade.

No Capıtulo 5 e introduzida a abordagem dinamica atraves da analise modal euso da simulacao no tempo do sistema. Uma introducao a teoria das bifurcacoese sua utilizacao em estudos de estabilidade de tensao e apresentada. Embora esteconstitua um topico mais avancado, a teoria das bifurcacoes e importante para aclararos mecanismos de instabilidade, tipos de comportamento esperados e alguns ındices deseguranca.

No Capıtulo 6 sao apresentadas as acoes de controle e medidas corretivas para evitara instabilidade de tensao ou aumentar as margens de seguranca do sistema.

No Capıtulo 7, uma introducao ao controle secundario de tensao e apresentada.

CAPITULO 2

Definicoes e conceitos deestabilidade de tensao

2.1 Introducao

A operacao dos sistemas de energia eletrica sob condicoes-limite da sua capacidade decarregamento faz com que esses sistemas fiquem sujeitos a um progressivo declınio namagnitude da tensao. Isto pode ocorrer apos a rede ser submetida a um crescimentosubito de carga e/ou a uma contingencia, situacoes que acontecem principalmente nosperıodos de demanda elevada (pico de carga).

Este problema, ao qual convencionou-se associar a estabilidade da tensao, envolvetres aspectos basicos:

• o disturbio ao qual a rede de energia eletrica e submetida;

• as caracterısticas da carga;

• os controles disponıveis para a manutencao de um nıvel aceitavel para a magni-tude de tensao.

Estes aspectos interagem fortemente entre si, afetando a capacidade da rede detransferir potencia reativa dos centros de geracao aos centros consumidores.

A analise do problema da estabilidade de tensao revela que o mesmo deveria ser tra-tado atraves de tecnicas analıticas que considerassem a natureza dinamica da operacaoda rede eletrica. Entretanto, sob certas circunstancias a instabilidade de tensao se pro-cessa de forma dinamica lenta, o que possibilita que uma analise baseada nas equacoesestaticas seja aplicada.

Os metodos baseados em modelos estaticos fornecem, com relativa facilidade, indi-cadores da condicao de seguranca do sistema e a area deste que sofre o maior impacto

4 Capıtulo 2: Definicoes e conceitos de estabilidade de tensao

da instabilidade. Estes metodos sao baseados em solucoes de fluxo de potencia con-vencional em situacoes de carregamento extremo, e fornecem subsıdios para se estudaro comportamento do sistema nestas condicoes.

Apresentam-se a seguir, os conceitos e definicoes basicas para o entendimento dofenomeno da instabilidade de tensao, ocorrencias de instabilidade de tensao observadasem varios paıses e suas caracterısticas e os mecanismos de instabilidade de tensao.

2.2 Conceitos Basicos

Durante as ultimas decadas, um grande numero de sistemas eletricos esteve sujeito asituacoes de reducao progressiva da magnitude da tensao. Nestas ocorrencias, foi obser-vado que o decrescimo na magnitude da tensao ocorreu em geral apos certas condicoesespecıficas (saıda dos principais geradores e linhas, excessivo carregamento, etc) asquais foi submetida a rede. Percebeu-se tambem a existencia de uma relacao entre aocorrencia do fenomeno e a condicao de pre-distubio relacionada a um carregamentoextremo do sistema, caracterizando condicoes de operacao inseguras. Foi ainda obser-vado que este fenomeno ocorreu como resultado frequente de um inadequado suportede potencia reativa em barras especıficas do sistema.

O fenomeno da instabilidade de tensao apresenta como uma das suas caracterısticasmais relevantes a progressiva depreciacao da tensao (processo iniciado por um carre-gamento excessivo ou contingencia). Isto pode fazer com que o sistema atinja emcertos casos uma condicao de equilıbrio cujos valores de magnitude de tensao sao com-pletamente inaceitaveis, o que caracteriza o colapso de tensao. Este fenomeno podeenvolver um conjunto especıfico de barras do sistema, sendo neste caso chamado decolapso parcial, ou entao atingir a quase totalidade do mesmo, sendo denominado decolapso global.

A instabilidade de tensao envolve os seguintes tres aspectos basicos:

• as caracterısticas da carga, sob o ponto de vista da rede de potencia principalnos seus nıveis mais alto de tensao;

• os recursos disponıveis para o controle de tensao na rede, os quais influem nahabilidade da rede em transferir potencia, particularmente potencia reativa, doponto de producao ao ponto de consumo;

• o disturbio ao qual a rede pode ser eventualmente submetida.

Estes aspectos podem interagir entre si, de forma a fazer com que a instabilidade detensao apresente dois comportamentos distintos: um dinamico rapido e outro dinamicolento.

Os sistemas de potencia apresentam geralmente diferentes tipos de cargas e equi-pamentos, com as mais diversas caracterısticas de funcionamento. Um disturbio podeinfluenciar mais significativamente equipamentos e cargas que tenham respostas rapidasou lentas, contribuindo mais decisivamente para a ocorrencia de um ou de outro tipode instabilidade (dinamica rapida ou dinamica lenta). Por exemplo, a caracterısticado motor de inducao e determinante para uma forma mais rapida de instabilidade, aopasso que um fenomeno de incremento de carga/transferencia de potencia influenciaramais fortemente a instabilidade que se apresenta de uma forma lenta.

EEL-UFSC 5

Existem portanto dois fenomenos distintos, em funcao de atuacoes dos diferen-tes componentes do sistema submetidos a um disturbio. Com base na duracao dofenomeno, duas definicoes adicionais de instabilidade sao apresentadas: a instabilidadetransitoria e a de longo-termo. Apresentam-se a seguir as caracterısticas de cada umdos fenomenos de instabilidade de tensao.

Na instabilidade transitoria o decrescimo da magnitude da tensao e mais rapida doque o da frequencia. Isto diferencia a instabilidade transitoria da tensao da instabi-lidade transitoria do angulo do rotor, embora ambos os fenomenos possam coexistirinfluenciando-se mutuamente. A sua escala de tempo vai de zero a dez segundos, aqual e a mesma da instabilidade transitoria do angulo do rotor.

O colapso de tensao e causado por componentes da carga que tem acao rapida,tais como motores de inducao e conversores cc (elos cc), principalmente se estes elosde corrente contınua de alta tensao sao integrados a sistemas de potencia frageis. Ascaracterısticas dos bancos de capacitores shunt (potencia reativa proporcional ao qua-drado da tensao) tambem contribuem para a ocorrencia deste problema. Neste caso aacao do operador nao e possıvel, sendo o comportamento transitorio do sistema pelosseus controles automaticos e pelas caracterısticas da carga.

A instabilidade de longo prazo pode durar minutos ou fracoes de horas. O seucenario envolve cargas pesadas, alta importacao de potencia de geradores remotos edisturbios consideraveis. O sistema e transitoriamente estavel por causa da sensibili-dade das cargas. O disturbio (perda de grandes geradores na area em questao e perdadas principais linhas de transmissao) causa alta perda de potencia reativa diminuindoa tensao na area considerada. Nesta situacao, os tapes e os reguladores de tensao nosistema de distribuicao sao acionados e agem para restabelecer os nıveis de tensao dedistribuicao, na tentativa de restaurar os nıveis de potencia da carga.

A restauracao da carga causa uma diminuicao adicional nas tensoes de transmissao.Os geradores proximos sao sobreexcitados e sobrecarregados, mas este tempo geral-mente expira em dois ou tres minutos. Os geradores localizados mas distantes devementao prover a potencia reativa, sendo este comportamento ineficiente, pois requer di-ferencas substanciais entre os nıveis de tensao nas barras, os quais causam altas perdasnas linhas de transmissao. Nesta condicao, o sistema de geracao e transmissao nao ecapaz de suprir as cargas e as perdas reativas, o que resulta num rapido decaimentoda tensao. Dependendo do tipo de carga (incluindo recursos de desconexao a baixatensao) o colapso pode ser parcial ou total.

Na proxima secao serao discutidas com mais detalhes e formalizadas as definicoesde estabilidade de tensao.

2.3 Definicoes de estabilidade de tensao

De maneira geral o problema de estabilidade de sistemas eletricos de potencia pode sertratado dentro contexto mais geral do problema de estabilidade de sistemas dinamicos.

Um sistema dinamico pode ter um, varios pontos de equilıbrio ou infinitos pontosde equilıbrio ou nao ter nenhum ponto de equilıbrio. Quando pontos de equilıbrioexistem, eles podem ser estaveis ou instaveis. Um ponto de equilıbrio e estavel, se parapequenas perturbacoes a trajetoria do sistema nao se afasta do ponto de equilıbrio.Caso contrario o ponto de equiıbrio e instavel.


Mesmo que um ponto de equilıbrio seja estavel, grandes perturbacoes podem fazercom que a trajetoria se afaste do ponto de equilıbrio. E importante entao determinar-seo conjunto de condicoes iniciais criadas por perturbacoes para as quais o sistema voltaao ponto de equilıbrio. Este conjunto determina o domınio de atracao do ponto deequilıbrio.

No caso de sistemas eletricos, a estabilidade eletromecanica ilustra os pontos acima.Quando o sistema nao tem torque sincronizante o ponto de equilıbrio desaparece. Istoe ilustrado pela curva P × δ, quando a potencia mecanica for maior do que a potenciamaxima transmitida.

Quando o ponto de equilıbrio existe, o sistema pode ter torque de amortecimentonegativo, e portanto o ponto de equilıbrio e instavel.

Mesmo quando o ponto de equilıbrio e estavel, uma grande perturbacao, um curtocircuito, por exemplo, pode provocar a instabilidade, atraves da perda de sincronismode uma ou mais maquinas. Neste caso, a perturbacao tirou o sistema do domınio deatracao e a trajetoria do sistema nao retorna mais ao ponto de equilıbrio.

Aos problemas de existencia e estabilidade do ponto de equilıbrio e associado oconceito de estabilidade para pequenas oscilacoes. Ao problema do efeito de grandesperturbacoes e associado o conceito de estabilidade transitoria.

Se o sistema eletrico de potencia for encarado apenas como um sistema dinamico,e indiferente se o problema de estabilidade e de natureza eletromecanica ou de tensao.Do ponto de vista do engenheiro de sistemas de potencia, esta separacao e importanteja que as origens de uma ou outra forma de instabilidade podem ser diferentes exigindodiferentes medidas para afastar o sistema da possibilidade de instabilidade. No entanto,os mesmos conceitos discutidos acima se aplicam ao caso de estabilidade de tensao.

No caso de estabilidade de tensao e ainda util fazer uma separacao do fenomeno naescala de tempo, em estabilidade a curto prazo ou estabilidade transitoria de tensaoe estabilidade a longo prazo. A razao disto e que no caso de estabilidade de tensao aatuacao de dispositivos lentos, como taps de transformadores e limitadores de correntede sobreexcitacao tem uma influencia grande no sistema. Algumas vezes, equipamentoschaveados tambem atuam. Com isto, alem da dinamica lenta, o sistema e variante notempo. Um exemplo ilustra este ponto. Supondo a abertura de uma linha que causauma depressao de tensoes. O sistema e estavel para esta perturbacao, com um novoponto de operacao com tensoes mais baixas e portanto e estavel a curto prazo. Massupondo que apos algum tempo os taps atuem para elevar as tensoes no lado da carga.Isto aumenta a transferencia e as perdas reativas, causando novas quedas de tensoese outras atuacoes de taps. Eventualmente limites de maxima corrente de campo deum ou mais geradores podem ser atingidos, agravando mais o problema. Assim, aposum tempo de varios minutos, o sistema pode caminhar para uma instabilidade, semedidas nao forem tomadas. Em geral a estabilidade de curto prazo esta relacionadaao problema do domınio de atracao e a estabilidade a longo prazo ao problema deestabilidade de pequenas perturbacoes, mas isto nao necessariamente e verdade. Nocaso da estabilidade a longo prazo, a evolucao do sistema pode levar ao desparecimentodo ponto de equilıbrio ou a um ponto de equilıbrio instavel.

A discussao acima justifica as definicoes dadas a seguir, que formalizam a discussaoacima. As definicoes apresentadas seguem a referencia [37].

Definicao 2.3.1 Estabilidade de tensao para pequenas perturbacoes

Um sistema de potencia em um dado ponto de operacao e estavel em tensao para

EEL-UFSC 7

pequenas perturbacoes se, apos qualquer pequena perturbacao, as tensoes proximas ascargas sao identicas ou retornam a seus valores pre-disturbio.

O ponto de operacao e estavel e as tensoes retornam ao valor inicial ou a valoresproximos se o ponto de equilıbrio foi modificado devido a perturbacao.

Definicao 2.3.2 Estabilidade de tensao

Um sistema de potencia em um dado ponto de operacao e estavel em tensao se, su-jeito a uma perturbacao, suas tensoes proximas as cargas atingem valores de equilıbriopos-disturbio.

Este conceito esta relacionado a questao se o estado perturbado esta no domınio deatracao pos-defeito.

Definicao 2.3.3 Instabilidade de tensao

A instabilidade de tensao e o oposto da estabilidade de tensao e resulta em progres-sivos decrescimos (ou acrescimos) de tensao.

Neste caso o ponto de equilıbrio desapareceu ou e instavel ou uma grande per-turbacao levou a uma condicao fora do domınio de atracao.

Definicao 2.3.4 Colapso de tensao

Apos uma instabilidade de tensao, um sistema de potencia sofre um colapso detensao se as tensoes de equilıbrio pos-disturbio proximas as cargas atingem valoresfora dos limites aceitaveis.

Isto significa que um novo ponto de equilıbrio estavel e encontrado, mas os valoresde tensao neste ponto de operacao sao inaceitaveis. Em um incidente real se observouque o sistema atingiu um novo ponto de operacao com tensoes da ordem de 0.5 pu.

2.4 Casos de Instabilidade

Os casos resumidos a seguir, relatados na literatura, servem para exemplificar os variostipos de ocorrencia de instabilidade de tensao, com ou sem o agravante do subsequentecolapso de tensao.

• Sul da Florida, em 17 de maio de 1985

Apos a saıda de um circuito de 500 kV , as tensoes decaıram, estabilizando-seem valores inaceitaveis dentro de alguns segundos, caracterizando o colapso detensao. A perda de carga foi de 4292 MW .

• Ocidente da Franca, em 12 de janeiro de 1987

O incidente foi causado pela saıda de algumas unidades geradoras de uma usinatermeletrica. A deficiencia total de potencia foi em torno de 9000 MW . Astensoes estabilizaram em nıveis muito baixos (de 0.5 a 0.8 pu). Um corte decarga de 1500 MW recuperou o perfil de tensoes.


• Tokyo, Japao, em 23 de julho de 1987

Durante o perıodo de verao as cargas se apresentaram anormalmente altas. Nestedia especıfico, de muito calor, depois das 12 horas as cargas comecaram a aumen-tar a uma taxa de 400MW/minuto. Mesmo com a atuacao de todos os bancos decapacitores disponıveis as tensoes continuaram decaindo, estabilizando-se em va-lores inaceitaveis apos 20 minutos, sendo necessario o corte de 8168MW de carga.Uma das principais razoes para a ocorrencia do problema foram as caracterısticasdesfavoraveis dos aparelhos de ar condicionado.

• Rio de Janeiro/Espırito Santo, Brasil

Ocorrencias frequentes de colapso de tensao na area Rio de Janeiro/EspıritoSanto nos perıodos de verao para dias de forte calor. Nesta situacao, verifica-sea importacao de uma elevada quantidade de potencia ativa para a area menci-onada, alem de uma grande demanda de cargas reativas, tem apresentado umacaracterıstica de queda de tensao lenta, podendo durar dezenas de minutos. Esteincidente tem se apresentado sem que ocorra qualquer contingencia no sistemapre-colapso, caracterizando o disturbio do carregamento excessivo. Esta carac-terıstica e que leva os operadores do sistema a considerarem que em dias de fortecalor e com a rede operando alterada de sua configuracao normal (com equipa-mentos fora de servico) existe a alta probabilidade de se apresentar a instabilidadede tensao com colapso.

Como o fenomeno se apresenta com caracterısticas lentas, ha tempo habil para osoperadores do sistema tomarem medidas corretivas que minimizem as quedas detensao e seus efeitos, tornando-o, aparentemente, apenas um fenomeno de quedaexcessiva de tensao.

• Mississipi, em julho de 1987

Neste caso as cargas de ar condicionado abrangiam uma grande parte da cargade pico do verao. As saıdas de bancos de capacitores foram responsaveis pelorapido decaimento da tensao, mas o corte de carga por subtensao agindo dentrode dois segundos, cortando 400 MW, recuperou o sistema, evitando o colapso detensao.

• Inglaterra, em 20 de maio de 1986

A perda de seis circuitos de 400kV causou a depreciacao da tensao. Os operadoresentao trouxeram para o sistema, 1000 MW de turbina a gas para estabilizar astensoes. Com o refechamento dos circuitos os nıveis de tensao foram restabeleci-dos. O colapso nao ocorreu por causa dos diferentes tempos de atuacao dos tapesdos transformadores, que tornaram mais lenta a queda de tensao, permitindo quehouvesse tempo para a atuacao dos operadores.

• CEEE (Companhia Estadual de Energia Eletrica do Rio Grande do Sul) em 13de dezembro de 1994

Apos alguns problemas ocorridos no sistema de transmissao associado a usinade Itaipu, houve comprometimento no controle da tensao na rede de 525 kVque atende ao Estado do Rio Grande do Sul (RS). A partir de 13 horas, com o

EEL-UFSC 9

aumento da carga, houve uma reducao gradativa na tensao da barra de Gravataı-525kV, requerendo um corte de carga as 13 horas e 48 minutos. Tomada estamedida houve recuperacao da tensao, porem alguns minutos depois, a tensaovoltou a decrescer, repetindo-se um novo corte de carga as 14 horas e 15 minutos,conseguindo-se entao o restabelecimento definitivo dos nıveis de tensao.

• Perturbacoes dos dias 24 e 25 de 1997 no Sistema Interligado Sul/Sudeste/CentroOeste [16]

Talvez tenham sido as primeiras ocorrencias de grande alcance envolvendo o Su-deste todo, principalmente Sao Paulo, e onde o afundamento de tensao foi consi-derado como caracterizando o colapso parcial de tensao. Os estudos conduzidoscom o programa FLUPOT mostraram que o ponto de operacao mais os recursosdisponıveis indicavam o sistema com reduzida margem de estabilidade de tensaoem horario de ponta.

Deste incidente resultaram uma serie de medidas operativas e esquemas especiaisno sistema brasileiro.

2.5 Estudo do Colapso de Tensao

Os incidentes relatados na secao anterior ilustram os varios tipos de instabilidade quepodem ocorrer nos sistemas de potencia: instabilidade transitoria, com ou sem co-lapso; e instabilidade de longo-termo, com ou sem colapso. Estas ocorrencias mostramtambem a relacao entre os varios aspectos - carga, controles e disturbios - que deter-minam o tipo de instabilidade.

Diversas ocorrencias podem afetar em geral a distribuicao dos fluxos de reativo darede, a resposta da carga em relacao a variacoes na tensao assim como a acao dosequipamentos importantes para a manutencao do equilıbrio de potencia reativa.

Observa-se que durante o processo de reducao da tensao, as cargas apresentamsensibilidades diversas em relacao a variacao da magnitude da tensao. Cada tipo decarga tem sua resposta especıfica para o disturbio considerado.

As duas questoes basicas que se colocam no estudo da instabilidade de tensaoconsistem em determinar se o sistema e seguro em relacao as variacoes da magnitudeda tensao e determinar quais ajustes devem ser realizados para que o mesmo encontreum ponto de operacao satisfatorio. Isto pode ser abordado de duas maneiras: atravesde simulacoes de ocorrencias de instabilidades ou calculando uma margem de segurancaentre o ponto de operacao corrente e a regiao de instabilidade. Essas medidas podemser implementandas computacionalmente atraves de ferramentas computacionais querepresentem analiticamente os aspectos dinamicos e/ou estaticos do colapso de tensao,particularizando os aspectos referentes as instabilidades transitoria e de longo-termo.

2.6 Mecanismos de instabilidade de tensao

As definicoes e exemplos dados anteriormente sao uteis para caracterizar a estabilidadede tensao, mas nao esclarecem os mecanismos que levam a uma instabilidade. Paraestudar a natureza e mecanismos da instabilidade de tensao vamos considerar o sis-tema mostrado na Figura 2.1. Neste sistema, a resistencia da linha de transmissao foi


P + jQ

V ∠θE∠O jX

?

Figura 2.1: Sistema com duas barras

tanφ = 0.00.67

2.415.03

VE

PXE2

-

6

6

desprezada.A tensao na barra de carga e dada por

V = E − jXI

A potencia na barra de carga e dada por

S = P + jQ =

ou

P = −EV

Xsen θ

Q = −V 2

X+

EV

Xcos θ

A Equacao da tensao versus potencia e obtida eliminando-se θ:

V =

√

E2

2− QX ±

√

E4

4− X2 − X2P 2 − XE2Q

Para cada valor de fator de potencia curvas P × V ou Q× V podem ser tracadas.Esta curvas representam a tensao para cada potencia ativa ou reativa trasmitida

a carga, para um determinado fator de potencia. A Figura mostra as curvas PV ea Figura mostra as curvas QV . Estas curvas podem ser usadas para ilustrar algunsmecanismos basicos de instabilidade de tensao.

A seguir examinaremos varios possıveis cenarios de instabilidade de instabilidade.No primeiro cenario tem-se uma carga do tipo potencia constante. Esta carga e re-presentada juntamente com a curva PV do sistema na Figura. Os pontos A e B,correspondentes a intercessao entre a reta que representa a potencia constante e acurva PV , representam possıveis pontos de operacao do sistema. O ponto A e estavel,

EEL-UFSC 11

Aumento de carga-

VE

PXE2

-

6

6

Carga

Pos-falta

Pre-falta

VE

PXE2

-

6

6

pois um pequeno aumento de carga, resulta em uma tensao menor. Uma reducao dacarga produz um aumento de tensao. Ja no ponto B, um aumento de carga produzum aumento da tensao e uma reducao da carga produz uma tensao menor.

Vamos supor agora um aumento de carga correspondente a reta mostrada na Figura.Observa-se que nao e possıvel encontrar uma intercessao com a curva PV e portantonao existe um ponto de operacao para este caso.

Outro possıvel cenario e a ocorrencia de uma contingencia que leve a uma novacurva PV , sem que a carga se altere, como mostrado na Figura . Neste caso, naoexiste intercessao entre a curva PV e a caracterıstica de carga, e nao existe um novoponto de operacao apos a contingencia.

Embora a analise tenha sido feita para uma caracterıstica de carga do tipo potenciaconstante, uma analise semelhante pode ser feita para o caso de cargas com outrascaracterısticas.

CAPITULO 3

Modelagem dos componentes

3.1 Introducao

Neste capıtulo os modelos dos diversos componentes do sistema de potencia, usadospara estudos de estabilidade de tensao, serao apresentados. Modelos detalhados saonecessarios para estudos usando a abordagem baseada na modelagem dinamica dosistema. Denominaremos aqui de modelagem estatica a modelagem para estudos ba-seados nas equacoes do fluxo de potencia, e de modelagem dinamica a modelagem queconsidera aspectos dinamcos do comportamento do sistema. A abordagem baseada namodelagem usada no fluxo de potencia e mais simples, e usaremos uma secao para dis-cutir as principais hipoteses deste modelo, deixando os detalhes para o Capıtulo 4.. Osmodelos usados na abordagem dinamica serao apresentados com mais detalhes nestecapıtulo.

3.2 Modelagem estatica

Nesta modelagem usam-se modelos simplificados da maquina sıncrona e das cargas.As hipoteses subjacentes a estes modelos sao discutidos a seguir, mas a formulacaomatematica sera apresentada no Capıtulo 4.

3.2.1 Maquina sıncrona

A maquina sıncrina e representada por uma barra PV , ou seja, uma tensao constante,com uma potencia ativa fornecida fixada. Como a tensao terminal e mantida constante,isto equivale a se ter um regulador de tensao do tipo proporcional integral ou com ganhotendendo para o infinito. Isto em geral nao ocorre, e o que e mantido constante e atensao de referencia do regulador de tensao, sendo que a tensao terminal varia comperturbacoes no sistema.

14 Capıtulo 3: Modelagem dos componentes

Este modelo e valido desde que a potencia fornecida esteja dentro dos limites dogerador. Se o limite de maxima potencia for atingido, a barra e chaveada para PQ,ou seja, as potencias ativas e reativas sao fixadas e a tensao da barra e calculada.A modelagem da capacidade de fornecimento de potencia reativa por uma potenciamaxima e uma aproximacao, desde que a corrente de campo e que e limitada.

Um dos geradores e modelado como uma barra de folga, onde a tensao e o angulosao fixados e as potencias ativa e reativa sao calculadas.

3.2.2 Modelagem das cargas

Em estudos de fluxo de potencia as cargas sao representadas por potencias ativa ereativa constantes.

3.2.3 Modelagem do sistema

As equacoes que descrevem o sistema eletrico para estudos de fluxo de potencia saoapresentadas no Capıtulo 4, onde o modelo sera usado na apresentacao de variosmetodos de estudo da estabilidade de tensao.

3.3 Maquina sıncrona

A maquina sıncrona e a principal fonte de potencia ativa e reativa do sistema. Alimitacao da capacidade de fornecimento de potencia reativa esta diretamente relacio-nada a diminuicao das margens de estabilidade de tensao do sistema.

Para estudos de estabilidade de tensao, a maquina sıncrona e modelada pelos mes-mos modelos usados em estudos de estabilidade eletromecanica. Estes modelos depen-dem do tipo de maquina, polos salientes ou rotor liso, e se o enrolamentos amortecedo-res sao ou nao representados. As equacoes para estes varios modelos sao apresentadasem varias referencias [24, 3]. Para exemplificar a natureza das equacoes do modelo,consideraremos aqui um modelo de terceira ordem. Este modelo e adequado para re-presentar maquinas sıncronos de polos salientes, sem a representacao dos enrolamentosamortecedores.

O modelo compreende as equacoes diferenciais que representam a dinamica eletro-mecanica do gerador e a equacao que representa a dinamica eletrica do rotor:

.

δ = ω.ω = (1/M)(−D ω + Pm − Pe).

E′

q = −(E ′q − (Xd − X ′

d) Id − Efd)/T′do

(3.3.1)

onde a potencia eletrica e dada por

Pe = E ′q − (Xq − X ′

d) Id Iq

A estas equacoes devem-se adicionar as equacoes algebricas que representam a co-nexao do gerador a rede:

−V1d= XqIq

E ′q − V1q

= −X ′dId

EEL-UFSC 15

K

1 + sT

Vref − V Efd

Figura 3.1: Modelo do regulador de tensao

Pode-se observar que a tensao terminal e a corrente aparecem na referencia d, qda maquina. Por outro estas grandezas devem ser referidas a referencia re, im paraa inclusao nas equacoes da rede. As equacoes que relacionam estes dois sistemas dereferencia sao dadas por

Vd = −Vre senδ + Vim cos δ

Vq = Vre cos δ + Vimsenδ (3.3.2)

Id = −Iresenδ + Iim cos δ

Iq = Ire cos δ + Iimsenδ

e sao as mesmas, qualquer que seja o modelo da maquina sıncrona.

3.4 Sistema de excitacao

A modelagem do sistema de excitacao depende do tipo de excitatriz usado. Sistemasmais antigos eram baseados em excitatrizes rotativas, de corrente contınua ou correntealternada. Sistemas modernos usam excitatrizes estaticas, constituıdas de pontes detiristores alimentadas pela tensao terminal da maquina.

Um modelo simplificado, adequado para representar sistemas estaticos e apresen-tada na Figura 3.1

A equacao que descreve este modelo e

.

Efd= −(Efd + K(Vref − V ))/T (3.4.1)

3.5 Limitador de sobre-excitacao

Um aspecto importante da modelagem para estudos de estabilidade de tensao e amodelagem dos limites de maxima corrente de campo da maquina sıncrona. A maximacorrente de campo limita a potencia reativa fornecida pela maquina, o que contribuipara a ocorrencia de instabilidade de tensao.

A corrente de campo deve ser limitada para evitar danos aos enrolamentos, con-forme mostrado pela curva de capabilidade da maquina. Esta limitacao e imposta pelolimitador de sobre-excitacao (ou OXL, OvereXcitation Limiter, em ingles).

O limitador detecta a condicao de sobre-corrente, e apos um retardo de tempo,age no sentido de reduzir a excitacao reduzindo a corrente de campo para um valorde 100% a 110% do valor nominal. Se esta operacao nao tiver sucesso, o controlepassa para o controle dc, o qual reajusta o valor de referencia para o correspondenteao valor nominal. Se ainda esta operacao nao tiver sucesso, e iniciado um processo dedesligamento da unidade [24].

O retardo de tempo mencionado acima, pode ser de tempo fixo ou tempo in-verso [24].

Um esquema do limitador de sobre-excitacao [24] e apresentado na Figura 3.2.


Figura 3.2: Modelo de limitador de sobre-excitacao [24]

3.6 Modelagem das cargas

O fenomeno da instabilidade de tensao e estreitamente associado ao comportamentodas cargas. A modelagem das cargas e entao importante para a correta deteccao eanalise do fenomeno. A modelagem da carga e uma questao difıcil em sistemas eletricosde potencia, dado que as cargas sao agregados de componentes com diferentes carac-terısticas. Mesmo quando a natureza dos elementos e conhecida, tem-se dificuldadesem determinar o valor dos parametros dos modelos. Prefe-se entao usar modelos sim-plificados, cujos parametros sejam mais faceis de determinar e que alem disso podemser incorporados mais facilmente em estudos.

Nesta secao estudaremos inicialmente alguns modelos genericos de carga, que em-bora nao representando o comportamento dinamico das mesmas, sao usados em estudosde estabilidade de tensao. Estudaremos entao o motor de inducao, cujo amplo uso ecaracterısticas, torna-o um elemento importante no estudo da estabilidade de tensao.Finalmente estudaremos os chamados modelos agregados, que representam as carac-terısticas dinamicas e estaticas de um agregado de carga.

3.6.1 Modelagem estatica das cargas

Nesta secao as cargas sao modeladas estaticamente, ou seja, embora elas possam de-pender da tensao, nenhuma dinamica e representada. No entanto, estes modelos saousados em estudos onde a analise baseada em modelos dinamicos, e empregada, pararepresentar parte ou toda a carga do sistema. O mecanismo de restauracao de cargas,a ser discutido mais adiante, nao e representado. Estes modelos tem sido usados emestudos de estabilidade de tensao, mas deve-se reconhecer a sua limitacao. Deve-seainda observar que o modelo de carga usado em estudos de fluxo de potencia e um casoparticular dos modelos aqui apresentados.

3.6.1.1 Representacao Polinomial

Neste caso a representacao das cargas para estudos de estabilidade e feita usando-semodelos que refletem o comportamento de impedancia constante, corrente constante epotencia constante, ou uma combinacao de parcelas deste tipo.

Estas parcelas estao baseados nas hipoteses seguintes:

• Potencia constante - a potencia da carga e constante independentemente datensao nodal;

EEL-UFSC 17

• Corrente constante - o modulo da corrente solicitada pela carga nao varia duranteo transitorio, podendo ser calculado a partir da potencia complexa S, que variacom o modulo da tensao (S = S0V/V0), e da tensao complexa;

• Impedancia constante - a carga e representada por uma impedancia constantepara a terra, calculada em funcao das condicoes nominais de operacao.

Matematicamente, as tres parcelas do modelo de carga sao dadas por:

• Parcela de potencia constante

Ps + Qs = a1P0 + a2Q0 (3.6.1)

• Parcela de corrente constante

PI + QI =[b1P0 + b2Q0].V

V0(3.6.2)

• Parcela de impedancia constante

Pz + Qz =

[

c1P0

|V 20 |

− c2Q0

|V 20 |

]

|V |2 (3.6.3)

onde:

P0 - potencia ativa de regime permanente pre-perturbacao (em pu.);

Q0 - potencia reativa no regime permanente pre-perturbacao (em pu.);

V0 - tensao na barra de carga no regime permanente pre-perturbacao (em pu.);

V - tensao na barra de carga ao longo da simulacao (em pu.);

a1,b1,c1 - constantes que especificam a percentagem de potencia constante, correnteconstante e impedancia constante, respectivamente, para a carga ativa;

a2,b2,c2 - constantes que especificam a percentagem de potencia constante, correnteconstante e impedancia constante, respectivamente, para a carga reativa;

Ps, PI , Pz - potencias ativas associadas, respectivamente as parcelas de carga do tipopotencia constante, corrente constante e impedancia constante;

Qs, QI , Qz - potencias reativas associadas, respectivamente as parcelas de carga do tipopotencia constante, corrente constante e impedancia constante.


Neste caso, as parcelas ativa e reativa de cada carga sao representadas por po-linomios da forma :

P = P0

[

a1 + b1VV0

+ c1(VV0

)2]

Q = Q0

[

a2 + b2VV0

+ c2(VV0

)2]

(3.6.4)

Uma desvantagem desta representacao relaciona-se com a parcela representada porpotencia constante. Para baixas tensoes, que aparecem no caso de defeitos do tipocurto-circuito ou perda de sincronismo de alguma maquina, a corrente do modelo tendea um valor elevado, fato que nao ocorre no sistema real. Por isso e comum se colocarum limite de tensao, abaixo do qual as cargas passam a ser representadas pelo modelode impedancia constante.

3.6.1.2 Representacao Exponencial

Neste caso as cargas sao representadas pelas equacoes :

PP0

= ( VV0

)kp

Q

Q0= ( V

V0)kq

(3.6.5)

onde kp e kq variam, normalmente, de 0 a 3 e P0 , Q0 e V0, sao os valores de regimepermanente inicial, respectivamente, para a potencia ativa, potencia reativa e tensaona barra em que a carga esta conectada.

Esta representacao tem a vantagem de que a potencia e nula para tensao nula nabarra em que a carga esta conectada. Para kp = kq = 0, kp = kq = 1 e kp =kq = 2, tem-se, respectivamente, a carga representada por potencia constante, correnteconstante e impedancia constante.

Uma caracterıstica geral para a carga pode ser estabelecida considerando tambema variacao da carga com a frequencia. Assim :

P = Kp(V )pv(f)pf

Q = Kq(V )qv(f)qf

(3.6.6)

onde Kp e Kq sao constantes que dependem dos valores nominais das variaveis P e Q.

Cargas estaticas sao pouco afetadas por variacoes na frequencia, ou seja pf = qf =0, e para cargas que se comportam como impedancias constantes tem-se pv = qv = 2.

3.6.2 Modelagem dinamica das cargas

Neste caso, a dinamica das cargas e representada, ou seja, o modelo representa comoa carga varia com o tempo em funcao da tensao. A dinamica das cargas esta ligada aoconceito de restauracao da carga. Examinaremos inicialmente este conceito antes deestudarmos a modelagem de diversas cargas.

EEL-UFSC 19

3.6.2.1 Dinamica da restauracao de cargas

Na secao anterior estudamos modelos estaticos, ou seja, dada uma variacao subitada tensao, a potencia ativa e reativa atingiam instantaneamente um valor final. Noentanto, cargas em geral tem uma dinamica, ou seja, dada uma variacao da tensao, aspotencias ativa e reativa variam com o tempo ate atingir um valor final que tende aovalor inicial. Este mecanismo e chamado de restauracao da carga.

Para representar a dinamica da carga, pode-se considerar que a potencia da cargae funcao de uma variavel de estado x [35]:

P = Pt(z, V, x) (3.6.7)

Q = Qt(z, V, x) (3.6.8)

onde z representa a demanda da carga, V e a tensao e Pt e Qt sao funcoes chamadasde caracterısticas transitorias da carga.

A dinamica da carga pode ser descrita pela equacao diferencial

x = f(z, V, x) (3.6.9)

No regime permanente a carga e descrita por

f(z, V, x) = 0 (3.6.10)

Usando-se (3.6.10), pode-se expressar x como uma funcao de z and V :

x = h(z, V ) (3.6.11)

Substituindo-se (3.6.11) em (3.6.7 e (3.6.8) tem-se

P = Pt(z, V, h(x, V )) = Pr(z, V ) (3.6.12)

Q = Qt(z, V, h(x, V )) = Qr(z, V ) (3.6.13)

onde Pr e Qr sao as caracterısticas em regime permanente da carga.A caracterıstica transitoria da carga e em geral mais sensıvel a tensao do que a

caracterıstica em regime permanente. Com isto, a carga em regime permanente tendea voltar a valores proximos dos valores pre-perturbacao.

3.6.2.2 Modelagem do motor de inducao

A importancia dos motores de inducao em estudos de estabilidade de tensao se deveas suas caracterısticas [35]:

1. um rapido tempo de restauracao, da ordem de um segundo.

2. baixo fator de potencia, requerendo uma alta demanda de potencia reativa

3. tendencia a estolar, quando a tensao e reduzida ou a carga mecanica do motoraumenta.

Em sistemas eletricos, cargas constituıdas por motores de inducao sao representadaspor um motor equivalente.

Os motores de inducao podem ser trifasicos ou monofasicos, com resistencia de rotorconstante ou de gaiola. Nesta secao veremos os motores de inducao com resistencia dorotor constante, tanto trifasicos como monofasicos. Adotaremos modelos simplificados,mas que serao suficientes para descrever o efeito de motores de inducao em estudos deestabilidade de tensao.


Hipoteses simplificadoras Os transitorios presentes no motor de inducao sao:

1. transitorios no estator, semelhantes ao caso da maquina sıncrona e que seraodesprezados na derivacao do modelo.

2. transitorios no estator, na mesma escala de tempo dos enrolamentos amortecedo-res da maquina sıncrona (subtransitorio). Esta dinamica tambem sera desprezadaaqui.

3. a dinamica mecanica do rotor, que corresponde a equacao de oscilacao da maquinasıncrona.

Com as hipotese discutidas acima, a parte eletrica do motor de inducao e descritaapenas pelo circuito equivalente mostrado na Figura 3.3(a).

Rs Xe

Xm

Xr

Rr

s

I Ir

V

(a) Circuito equivalente do motor deinducao

R1 X1 + Xr

Rr

s

Ir

V1

(b) Equivalente Thevenin do motor deinducao

Nesta figura, Re e Xe, sao a resistencia e a reatancia do estator, respectivamente,Rr e Xr sao a resistencia e a reatancia do rotor, respectivamente, s e o escorregamento,definido por

s =ω0 − ωr

ω0

ω0 e a frequencia angular nominal e ωr e a velocidade do rotor em radeletpor segundo.O diagrama mostrado na Figura 3.3(a), pode ser representado alternativamente

pelo equivalente Thevenin com relacao a resistenciaRr

s. O diagrama e mostrado na

Figura 3.3(b).Desta figura segue que

V1 =Xm V

√

R2e + (Xe + Xm)2

(3.6.14)

R1 + jX1 =jXm (Re + Xe)

Re + j (Xe + Xm)(3.6.15)

Torque e potencia A potencia de entreferro do motor e dada por

Pef = I2r

Rr

s(3.6.16)

EEL-UFSC 21

As perdas resistivas sao dadas por RrI2r , que descontadas da potencia de entreferro

produzem a potencia correspondente ao torque do motor

Pe = I2r

Rr

s(1 − s) (3.6.17)

Por outro lado, a relacao entre potencia e torque e dada por

Pe = Te

wr

w0= Te(1 − s) (3.6.18)

Comparando-se as equacoes anteriores segue que:

Te = I2r

Rr

s= Pef (3.6.19)

A partir do circuito equivalente do motor de inducao pode-se calcular a corrente dorotor, que substituıda na Equacao 3.3 leva a:

Te(V, s) =V 2X2

m

Rr

s[

(

R1 +Rr

s

)2]

[

R2e + (Xe + Xm)2]

(3.6.20)

Alternativamente, do equivalente Thevenin pode-se calcular a corrente do rotor,que substituindo-se na equacao anterior leva a:

Te (V1, s) =V 2

1

Rr

s(

R1 + Rr

s

)2+ (X1 + Xr)

2(3.6.21)

A partir da Equacao 3.6.21 pode-se tracar a caracterıstica torque-escorregamentodo motor, mostrada na Figura 3.3.

A convencao usada e torque positivo para operacao como motor. Para o caso deoperacao como gerador, o escorregamento e negativo (a velocidade do motor e superiora velocidade sıncrona) e o torque tambem e negativo, ou seja, e um torque resistente.

Dinamica mecanica do motor de inducao O modelo simplificado consiste deapenas uma equacao diferencial, alem das equacoes algebricas derivadas do circuitoequivalente do motor. Esta equacao descreve a dinamica do rotor e e dada por

2Hs = Tm(s) − Te(V, s) (3.6.22)

onde H e a constante de inercia do motor, em segundos, Tm e o torque mecanico empu, que inclue perdas mecanicas e Te e o torque eletrico, como calculado anteriormente.

Esta equacao sera usada para estudar o comportamento do motor de inducao aposuma falta. Mas antes estudaremos a modelagem do torque mecanico do motor.


0.0

−1.7

−1.3

−0.9

−0.5

−0.1

0.3

0.7

1.1

1.5

1.9

1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 −0.2 −0.4 −0.6 −0.8 −1.0

Te

s

GeradorMotor

Figura 3.3: Caracterıstica torque × velocidade do motor de inducao

0.0 −1.01.0

Te

s

T0

I E

GeradorMotor

Motor travado

Tmax

Figura 3.4: Torque mecanico constante

Modelo do torque mecanico do motor O torque mecanico do motor pode sermodelado por um torque constante, um modelo quadratico ou um modelo composto.Os dois primeiros modelos sao analisados na sequencia.

Modelo de torque constanteNeste caso o torque mecanico e descrito por

Tm(s) = T0 (3.6.23)

A caracterıstica Torque × s e paralela ao eixo s, como mostrado na Figura 3.4.

EEL-UFSC 23

Para o caso onde T0 < Tmax, tem-se dois pontos de operacao, dados pelos pontosE e I, correspondentes a intercessao entre a caracterıstica da carga e a caracterısticado motor. Se, no entanto, T0 > Tmax, nao existem pontos de intercessao, e neste casoo motor estola, ou seja, a velocidade diminui ate o motor parar (e o escorregamentoaumenta ate s = 1).

Pode-se analisar a estabilidade dos pontos de equilıbrio E e I, atraves das seguin-tes consideracoes. No caso do ponto de equilıbrio E, para um pequeno aumento doescorregamento (ou seja, a velocidade do motor diminui), o torque do motor aumenta,tendendo a restabelecer a velocidade. Por outro lado, se o o escorregamento diminui(ou seja, a velocidade do motor aumenta), o torque diminui, tendendo novamente arestabelecer a velocidade. Portanto, este e um ponto de equilıbrio estavel. Para o casodo ponto I, um aumento de escorregamento causa uma diminuicao do torque, causandoa desaceleracao do motor ate a parada. Por outro lado, uma diminuicao do escorre-gamento fara com que o torque aumente, fazendo com que a velocidade aumente ateque o motor alcance o ponto de operacao estavel E. Portanto, o ponto de operacao Ie instavel.

Para o modelo de torque constante, o motor de inducao em regime permanentepode ser visto como uma carga tipo potencia constante atras da reatancia de dispersaodo rotor. Isto segue do fato de que no equilıbrio o torque mecanico da carga e igual aotorque eletrico. Por outro lado, este tem o mesmo valor em pu da potencia de entreferro.Pode-se entao representar o motor de inducao por um dos diagramas da Figura 3.6.2.2.Portanto, no regime permanente, a potencia do motor e sempre restaurada para o valorPef , na barra terminal i, independente da tensao aplicada no motor. Por outro lado,no regime transitorio, o motor, para um dado valor de escorregamento, comporta-secomo uma impedancia constante.

Modelo de torque quadraticoNeste caso a carga e representada por

Tm(s) = T2(1 − s)2 (3.6.24)

Este e um modelo mais realıstico do que o modelo com torque constante.Neste caso, devido a caracterıstica torque × s da carga, o numero de pontos de

operacao, pode ser um ou tres, como mostrado na Figura 3.5.Para baixos valores de T2, existe apenas um ponto de equilıbrio estavel (ponto

E1), que corresponde a um escorregamento proximo de zero, ou seja, uma velocidadeproxima da sıncrona. Quando T2 aumenta, tem-se tres pontos de equilıbrio, sendo queo ponto intermediario e instavel (ponto I1) e os demais sao estaveis (pontos E2 e E3).Para Tm com maior valor volta-se a ter um unico ponto de equilıbrio estavel (pontoE4). As conclusoes sobre a estabilidade de cada ponto de equilıbrio podem ser tiradascom as mesmas consideracoes usadas para o caso do torque constante.

3.6.2.3 Cargas termostaticas

Cargas controladas por termostatos ocorrem em varios tipos de processos de aqueci-mento e controle de temperatura e se caracterizam pelo restauracao da potencia dacarga com a queda da tensao.

Vamos considerar um condutancia de valor G, conectada ao sistema por uma umachave acionada por um termostato, como mostrado na Figura 3.6(a). Esta chave sera


0.50.0

0.4

0.8

1.2

1.6

2.0

2.4

2.8

0.00.10.20.30.40.60.70.80.91.0

Te, Tm

s

E1

I1

E2

E3

E4

Figura 3.5: Modelo com torque quadratico

G

V

(a) Condutanciacontrolada portermostato

tdestlig

-�-�

Pdem

GV 2

t

P

-

6

(b) Ciclo termico do termostato

EEL-UFSC 25

ligada ou desligada em funcao da demanda da carga de aquecimento. Assim, a chavedevera permanecer um certo tempo ligada para fornecer a potencia necessaria paramanter uma certa temperatura. Seja tlig o tempo em que a chave fica ligada e tdes otempo em que a chave fica desligada. A sequencia chave fica ligada, chave desligada echave novamente ligada, determina um ciclo termico, como mostrado na Figura 3.6(b).

Se a demanda de potencia da carga for Pdem, ou seja, a energia em um ciclo ePdem(tlig + tdes), deve-se ter

Pdem(tlig + tdes) = G V 2 tlig

ou

Pdem = G V 2 tligtlig + tdes

Definindo-se o parametro do ciclo termico por

f =tlig

tlig + tdes

ou seja, a relacao entre o tempo em que a chave fica ligada e o tempo total do ciclo,obtem-se

Pdem = f G V 2

Observa-se que a maxima energia fornecida pelo elemento ocorre para f = 1. Se ademanda da carga for tal que

Pdem > G V 2

entao a chave ficara pemanentemente fechada.

Cargas termostaticas comportam-se como cargas a energia constante. Isto repre-senta um mecanismo de restauracao da carga, que influencia a estabilidade de tensao.

Vamos considerar que para uma tensao inicial V0, a demanda da carga e atendidapara um valor f < 1. Suponhamos que a tensao cai para um valor V1 < V0. Nestecaso f aumenta, para atender a demanda. Com varias cargas termostaticas, a potenciaaumenta a medida que novas cargas sao conectadas.

Um modelo simples para levar em conta a resposta de cargas termostaticas e dadopela equacao [35]:

TL G =P0

V 2− G

onde G e a condutancia do elemento, V e a tensao e TL e a constante de tempo derestauracao da carga termostatica.

3.6.2.4 Modelos agregados de carga

Cargas sao uma composicao de diferentes tipos como iluminacao, aquecimento, cargasindustriais e outros. A identificao e modelagem de cada tipo de carga e sua composicaonao e simples, especialmente quando as caracterısticas dinamicas devem ser considera-das. Por isto, modelos agregados, para o conjunto da carga, tem sido propostos. Doisdestes modelos sao apresentados aqui: o modelo multiplicativo e o modelo aditivo.


Modelo multiplicativo Este modelo e dado por

P = zP P0

(

V

V0

)αt

(3.6.25)

Q = zQQ0

(

V

V0

)βt

(3.6.26)

onde P e Q sao respectivamente as potencias ativa e reativa consumidas pela carga, ezP e zQ sao variaveis de estado associadas a dinamica da carga.

A caracterıstica no regime permanente da carga e dada por

Pe = P0

(

V

V0

)αe

(3.6.27)

Qe = Q0

(

V

V0

)βe

(3.6.28)

e observa-se que para o valor de operacao V = V0 tem-se

Pe = P0 (3.6.29)

Qe = Q0 (3.6.30)

As equacoes diferenciais que descrevem a dinamica da carga sao:

TP zP =

(

V

V0

)αe

− zP

(

V

V0

)αt

(3.6.31)

TQ ˙zQ =

(

V

V0

)βe

− zQ

(

V

V0

)βt

(3.6.32)

No regime permanente, zP = ˙zQ = 0 e segue que

P = Pe (3.6.33)

Q = Qe (3.6.34)

ou seja, a demanda ativa e reativa da carga tende para os valores em regime permanente,com constantes de tempo TP e TQ, respectivamente.

Modelo aditivo Neste modelo a demanda da carga e representada por

P = P0

[(

V

V0

)αt

+ zP

]

(3.6.35)

Q = Q0

[

(

V

V0

)βt

+ zQ

]

(3.6.36)

onde zP e zQ sao variaveis de estado. Na condicao inicial, com V = V0, as variaveis deestado tem valor zP = zQ = 0, e as potencias iniciais sao dadas por

P = P0 (3.6.37)

Q = Q0 (3.6.38)

EEL-UFSC 27

A caracterıstica em regime permanente sao descritas pelas mesmas equacoes domodelo multiplicativo.

As equacoes diferenciais que descrevem a dinamica da carga sao dadas por:

TP ˙zP = −zP +

(

V

V0

)αe

−

(

V

V0

)αt

(3.6.39)

TQ ˙zQ = −zQ +

(

V

V0

)βe

−

(

V

V0

)βt

(3.6.40)

3.7 Modelagem de taps de transformadores

O ajuste de taps de transformadores permite manter a tensao junto as cargas elevada,mesmo quando a tensao ao longo do sistema sofre uma depressao. Com isto os tapsdos transformadores contribuem para o processo de restauracao de cargas, o que drenamais potencia reativa de um sistema ja sobrecarregado, aumentando as perdas reativase fazendo com que as tensoes caiam ainda mais, o que leva a novas atuacoes de taps,ate um eventual colapso.

3.7.1 Caracterısticas de taps

Taps de transformadores controlam a tensao no lado de baixa tensao atraves do controleda relacao de transformacao r. Os taps se situam usualmente no lado de alta tensaodevido ao fato de que a corrente neste lado e menor, facilitando a comutacao e aindaao maior numero de espiras que torna o ajuste mais preciso. Algumas vezes usa-se umajuste de queda de tensao (line drop compensation). Isto equivale a ajustar a tensaomais adiante, a jusante do secundario do transformador.

O mecanismo de ajuste de taps sob carga e chamado neste texto de LTC. O ajuste detaps pode ser manual ou automatico. O interesse maior aqui e pelo ajuste automaticode taps.

O ajuste da tensao atraves de taps e realizado a partir do erro entre uma tensao dereferencia a tensao controlada. Quando este erro permanece fora de uma zona mortapor um tempo superior a um tempo de retardo, a relacao de transformacao e ajustadaem passos discretos. Este controle e lento, sendo que cerca de 5 segundos sao requeridospara a mudanca de um passo. A este retardo inerente ao equipamento sao adicionadosretardos suplementares para evitar que o equipamento responda desnecessariamente avariacoes temporarias, causando desgaste. O retardo adicional pode ser constante ouuma caracterıstica de tempo inverso, onde o retardo e tanto menor quanto maior for oerro de tensao, pode ser usado.

Os valores da relacao de taps r estao limitadas a uma faixa que varia tipicamenteentre o limite inferior 0.85 − 0.90 pu e o limite superior 1.10 − 1.15 pu. Os valores devariacao do passo do tap estao entre 0.5% a 1.5%. A zona morta e tipicamente o dobrodo passo.

Uma caracterıstica apresentada por muitos sistemas de ajuste de tap sob carga e apossibilidade do bloqueio do controle automatico para ajuste da tensao no secundario.Este bloqueio e uma das acoes de controle possıveis de serem usadas para a melhoriada estabilidade de tensao, como sera visto no Capıtulo 7.


3.7.2 Modelagem do tap

Vamos considerar um modelo ideal de transformador com relacao de transformacaor, onde a resistencia e a reatancia de magnetizacao sao desprezadas, em serie com areatancia de dispersao Xt. O modelo e apresentado na Figura 3.6. Dois modelos serao

V1

r : 1

V1/r V2jXt P2, Q2

Figura 3.6: Circuito equivalente do transformador com tap diferente do nominal

considerados para o tap; um modelo discreto e um modelo aproximado contınuo.

3.7.2.1 Modelo discreto

Neste caso o tap do transformador e alterado por um passo discreto dado por ∆r, eminstantes de tempo discretos tk, k = 0, 1, . . . . Os instantes de amostragem nao saouniformes, mas dependem do dispositivo e do erro de tensao. Assim, pode-se expressaresta variacao como

tk+1 = tk + ∆Tk (3.7.1)

com ∆Tk variavel. Uma expressao bastante usada para representar a caracterıstica detempo inverso e [35]:

∆Tk = Td

d

|V − Vref |+ Tf + Tm (3.7.2)

onde V e a tensao controlada, Vref e a referencia de tensao, d e a metade do valor dazona morta, Td e o maximo retardo da caracterıstica de tempo inverso, Tf e um retardointencional fixado e Tm e o retardo mecanico inerente ao dispositivo. Observa-se quequanto maior o erro, menor e o fator de multiplicacao de Td e menor o retardo devidoa caracterıstica de tempo inverso.

A logica de atuacao do tap em um instante tk e dada por

rk+1 =

rk + ∆r se V > Vref + d e rk < rmax

rk − ∆r se V < Vref − d e rk > rmax

rk para outros casos(3.7.3)

onde rmax e rmin sao os limites maximo e mınimo do tap, respectivamente.

3.7.2.2 Modelo contınuo

Neste caso a relacao de transformacao e contınua com o tempo e e dada por r(t),limitada por rmin e rmax. A equacao que descreve a variacao do tap e:

Tc r = V − Vref com rmin < r < rmax (3.7.4)

EEL-UFSC 29

O efeito da zona morta e usualmente desprezada neste modelo. O ponto de equilıbrioe dado por V = Vref , ou seja, para um degrau de variacao de tensao, a tensao volta aovalor de referencia, com uma constante de tempo Tc e erro zero (controle integral), seo valor de r nao atingir os valores limites.

3.7.3 Modelagem da rede

A rede e modelada do mesmo modo que em estudos de estabilidade eletromecanica. Ostransitorios rapidos sao desconsiderados sendo a rede modelada por equacoes algebricas.A consideracao subjacente a este modelo e de que os transitorios na rede sao muitomais rapidos do que os transitorios de interesse. A rede pode portanto ser modeladapor equacoes fasoriais, sendo que os fasores variam lentamente.

Existem basicamente duas formulacoes para este modelo, a formulacao em termosde corrente e a formulacao em termos de potencia.

Na primeira formulacao a rede e representada pela equacao:

I = Y V (3.7.5)

onde I representa o vetor de injecao de correntes nas barras do sistema, V representa ovetor de tensoes nas barras e Y representa a matriz de admitancia da rede. O vetor decorrentes e calculado em funcao das variaveis de estado do sistema e do proprio vetorde tensoes V .

A segunda formulacao e em termos do balanco das potencias ativas e reativas dosistema.

3.8 Modelagem geral do sistema

Nesta secao os modelos dos diversos equipamentos sao agrupados para fornecer asequacoes gerais do modelo. O interesse maior e mostrar a natureza das equacoesque descrevem o comportamento do sistema. Dividiremos as equacoes entre as quedescrevem a dinamica rapida do sistema e aquelas que descrevem a dinamica lenta.

3.8.1 Dinamica rapida

A dinamica rapida esta associada a geradores e seus controladores, dispositivos FACTS,elos de CC e cargas dinamicas como motores de inducao, e envolve uma escala de tempode poucos segundos apos uma perturbacao.

As equacoes sao dadas por [35]

x = f(x,y, zc, zd) (3.8.1)

onde f e um campo vetorial, x e o vetor de variaveis de estado dos equipamentosassociados a dinamica rapida, y e o vetor de variaveis algebricas que compreendetensoes nas barras e as componentes de eixo direto e em quadratura das correntes dosgeradores, zc e zd sao associadas a dinamica lenta e definidas posteriormente.


3.8.2 Dinamica lenta

A dinamica lenta esta associada a dispositivos com atuacao em uma escala de tempoda ordem de minutos. Estes dispositivos compreendem cargas, como o caso de cargastermostaticas, controladores como o controle secundario de tensao, controle de cargae frequencia, transformadores com TAC e o chaveamento de dispositivos em derivacaocomo capacitores e reatores, e dispositivos de protecao, como limitadores de sobre-excitacao e limitadores de corrente de armadura.

Alguns dos dispositivos associados a dinamica lenta sao discretos, como os dispo-sitivos em derivacao chaveados (capacitores e reatores) e transformadores com TAC.Neste caso equacoes a diferenca (ou recursivas) sao usadas.

As equacoes que descrevem esta dinamica sao dadas por:

zc = hc(x,y, zc, zd) (3.8.2)

xd(k + 1) = = hd(x,y, zc, zd(k)) (3.8.3)

onde zc e o vetor de variaveis de estado contınuas e zd e o vetor de variaveis de estadodiscretas.

3.9 Exemplo de modelagem

Para ilustrar a natureza das equacoes e modelos usados em estudos de estabilidadede tensao, vamos considerar a modelagem de um pequeno sistema, que sera usado emoutros capıtulos para ilustrar os mecanismos da instabilidade de tensao.

O sistema e apresentado na Figura 3.7, e compreende um gerador, uma barra infi-nita, duas barras de transferencia e uma barra de carga. A seguir a modelagem estaticae entao a modelagem dinamica, sao discutidas.

1

2

3

4 5

MI

Figura 3.7: Sistema exemplo

3.9.1 Modelagem estatica

Esta modelagem e a modelagem pelas equacoes do fluxo de potencia, como discutidoanteriormente.

3.9.2 Modelagem dinamica

Vamos considerar a modelagem de cada componente do sistema.

EEL-UFSC 31

3.9.2.1 Gerador sincrono

O gerador sıncrono sera representado pelo modelo de terceira ordem descrito anterior-mente. As equacoes sao repetidas aqui por conveniencia.

Equacoes diferenciais que representam a dinamica eletromecanica e a dinamicaeletrica do rotor:

.

δ = ω.ω = (1/M)(−Dω + Pm − Pe).

E′

q = −(E ′q − (Xd − X ′

d)Id − Efd)/T′do.

Efd = −(Efd + K(Vref − Em)/T

(3.9.1)

onde a potencia eletrica e dada por

Pe = E ′q − (Xq − X ′

d)IdIq

Equacoes algebricas que representam a conexao do gerador a rede:

−V1d= XqIq

E ′q − V1q

= −X ′dId

Equacoes para mudanca de referencia:

V1d= −V1re

senδ + V1imcos δ

V1q= V1re

cos δ + V1imsenδ (3.9.2)

Id = −Iresenδ + Iim cos δ

Iq = Ire cos δ + Iimsenδ

3.9.2.2 Sistema de excitacao

O sistema de excitacao e representado por uma funcao de primeira ordem. A equacaoque descreve este modelo e

.

Efd= −(Efd + K(Vref − V1))/T (3.9.3)

3.9.2.3 Limitador de sobre-excitacao

Adotamos um modelo simples para o limitador de sobre-excitacao, apresentado em [27]e representado na Figura 3.8.

0

vOXL

Efd

Vref−V

Ifd

Imaxfd

−

+

+

−-

?

6

- -- 1

T0

Figura 3.8: Modelo do limitador de sobre-excitacao

As equacoes que descrevem este modelo sao

.vOXL =

Ifd − Imaxfd

T0

se Ifd > Imaxfd (3.9.4)

.vOXL = 0 se Ifd ≤ Imax

fd (3.9.5)


3.9.2.4 Cargas

O exemplo apresentado possui duas cargas, na barra 5; uma carga estatica, aqui repre-sentada por um modelo exponencial e um motor de inducao.

O modelo exponencial e dado por

{

PP0

= ( V5

V50)kp

Q

Q0= ( V5

V50)kq (3.9.6)

O motor de inducao sera representado pelo modelo descrito anteriormente. Aequacao diferencial associada a dinamica mecanica do motor, Equacao 3.6.22, e re-petida aqui por conveniencia:

2Hs = Tm(s) − Te(V, s) (3.9.7)

A parte eletrica e representada pelo circuito equivalente do motor mostrado naFigura 3.9.

Rs Xe

Xm

Xr

Rr

s

I Ir

V5

Figura 3.9: Circuito equivalente do motor de inducao

3.9.2.5 Rede eletrica

3.10 Comentarios e Referencias

A modelagem de sistemas de potencia para estudos de estabilidade em geral, e apresen-tada em varios livros [24, 2, 31, 3, 37]. As referencias [35, 37] apresentam a modelagemvoltada para estudos de estabilidade de tensao. A modelagem de cargas tambem eapresentada em varios artigos. Os modelos de limitadores como o limitador de sobre-excitacao sao apresentados em [24, 35] e tambem em varios artigos.

CAPITULO 4

Analise por modelagem estatica

4.1 Introducao

1 Este capıtulo apresenta os fundamentos para o estudo da estabilidade de tensao apartir de uma modelagem estatica do sistema. Inicialmente sao mostrados os conceitosbasicos da analise da estabilidade de tensao atraves de modelos estaticos. Posterior-mente, o processo de solucao do problema de fluxo de potencia atraves do metodo deNewton-Raphson e revisado, com enfase na interpretacao dos termos da matriz Jaco-biana. Em seguida, sao mostradas algumas estrategias de solucao do fluxo de potenciabaseadas no uso de um fator de amortecimento, o qual tem por objetivo evitar a di-vergencia do processo iterativo de solucao. Apos isto, sao sumarizados os metodospara a determinacao do maximo carregamento do sistema. Apresenta-se a base teoricado metodo da continuacao, juntamente com os fundamentos do uso de algoritmos deotimizacao. Sao descritos ainda ındices que indicam proximidade do ponto crıtico ea margem de seguranca sob o ponto de vista de carregamento a partir da condicaode operacao corrente do sistema. Finalmente, sao mostradas as acoes de controle quepodem ser determinadas sob condicoes de carregamento elevado.

4.2 Aspectos Gerais

Durante as ultimas decadas, os aspectos de seguranca e economia do sistema de energiaeletrica tem se tornado um fator de grande importancia na operacao e/ou planejamentodo mesmo. Apesar do contınuo aumento de demanda, o aumento das restricoes naconstrucao de novos sistemas de potencia tornou cada vez necessario mais obter omelhor desempenho dos sistemas em operacao. Por esta razao, a confiabilidade daoperacao de um sistema de energia eletrica tornou-se um dos fatores primordiais nogerenciamento do mesmo.

1O texto a seguir e baseado nas referencias [34, 4, 30, 5].

34 Capıtulo 4: Analise por modelagem estatica

Por outro lado, no que diz respeito a capacidade dos equipamentos, nota-se que ossistemas eletricos tendem cada vez mais, a operar proximos de seus limites maximos.Algumas das possıveis causas para essa condicao de operacao sao:

• o aumento desordenado da demanda no sistema (ativa e reativa);

• a falta de investimento, por parte das concessionarias de energia eletrica, naampliacao e manutencao eficientes das malhas de transmissao;

• os problemas ambientais advindos da construcao de novas unidades geradoras;

• o tempo exigido para que as melhorias no sistema eletrico sejam planejadas eexecutadas;

• a busca de lucros cada vez maiores por parte das companhias que gerenciam osetor eletrico.

Observa-se que as dificuldades para um planejamento de operacao economico, se-guro e de boa qualidade nos sistemas de energia eletrica sao incontaveis, e crescemmais ainda conforme as dimensoes e peculiaridades desses sistemas se acentuam. Den-tre essas, duas das mais crıticas sao:

• o aumento aleatorio e rapido das demandas de potencias ativa e reativa nasbarras do sistema. Desde que o perfil de tensoes nodais esta fortemente associadoa essa demanda, variacoes do tipo mencionado resultam em modificacoes nesseperfil, levando, em casos extremos, a rede eletrica a situacoes nas quais nao epossıvel a determinacao de um ponto de operacao viavel. E fato conhecido queessas condicoes crıticas sao, em geral, atingidas por causa da falta de suporte depotencia reativa durante o crescimento subito da carga;

• a ocorrencia de contingencias nao previstas durante a operacao do sistema deenergia eletrica. Por contingencia, entende-se a saıda de equipamentos tais comogeradores, linhas de transmissao, transformadores, etc ..., algumas vezes vitais aobom funcionamento do sistema. Frequentes sao os casos em que a saıda inespe-rada de uma linha de transmissao causa sobrecarga em outro(s) circuito(s). Naoraros sao tambem os casos em que ha violacoes dos limites de tensao nas barraspor efeito da saıda de transformadores e/ou outros equipamentos de controle detensao.

Portanto, no planejamento da operacao e na propria operacao do sistema e impor-tante dispor de aplicativos computacionais que fornecam solucoes em que pelo menoso balanco de potencia em cada barra e satisfeito tanto sob contingencias severas comona condicao de carregamento extremo. Alem disso, esses aplicativos devem ser capazesde indicar as medidas corretivas possıveis para que o sistema opere numa condicao naqual nao ha violacao de limites nas variaveis e/ou na capacidade dos equipamentos dosistema.

A figura 4.1 mostra as regioes de solucao do problema de fluxo de potencia, seleci-onadas com base em dois tipos de restricao:

• restricao de carga, a qual requer que o balanco de potencia em cada barra sejasatisfeito;

EEL-UFSC 35

• restricao de operacao, a qual requer que os limites de capacidade dos equipamen-tos e de pratica de operacao sejam satisfeitos.

Regiao sem solucao real

Regiao deRegiao deoperacao

emergencia

Superfıcielimite Σ

Figura 4.1: Regioes das solucoes do fluxo de potencia

Essas regioes sao definidas da seguinte forma:

• regiao sem solucao, na qual as equacoes do fluxo de potencia nao possuem ne-nhuma solucao real. Tentativas de operacao do sistema nessa regiao podem con-duzir o mesmo a instabilidade ou ate memso o colapso de tensao [36]. Carrega-mento excessivo e/ou contingencias podem ocasionar a nao existencia de solucoes.Neste caso, e importante determinar que modificacoes podem ser realizadas nosistema de modo a restaurar a solucao para as equacoes da rede eletrica. Estaregiao tambem e chamada de regiao infactıvel do fluxo de potencia.

• regiao operativa, caracterizada por pontos de operacao nos quais as equacoes darede eletrica possuem solucao real e nao ha violacao dos limites operacionaise/ou de capacidade dos equipamentos. Esses limites podem se referir a fluxosde potencia em circuitos, magnitudes das tensoes nas barras do sistema, geracaode potencias ativa e reativa etc. E desejavel que os sistemas de energia eletricaoperem sempre nessa regiao.

• regiao de emergencia, na qual as equacoes estaticas do fluxo de potencia apresen-tam solucao real, porem com violacao de limites operacionais e/ou de capacidade.Em geral, o sistema pode operar nessa regiao por um intervalo de tempo limitado.A partir de uma solucao pertencente a essa regiao, e recomendavel utilizar meca-nismos que possibilitem a migracao da referida solucao para a regiao operativa.

Observe que as regioes de emergencia e de operacao possuem solucao para asequacoes da rede eletrica. O espaco formado pela uniao destas duas regioes e cha-mado de regiao das solucoes viaveis ou factıveis. Nessa regiao, as equacoes do fluxode potencia possuem duas solucoes, uma das quais e utilizada para fins operativos darede eletrica [21].


Na superfıcie limite que separa as regioes com e sem solucao do fluxo de potencia(denotada por Σ na figura 4.1) as equacoes estaticas do fluxo de carga apresentam umaunica solucao e a matriz Jacobiana do fluxo de potencia convencional torna-se singular[15]. Observa-se que, a medida em que as solucoes do fluxo de carga se aproximam dasuperfıcie Σ, estas solucoes se aproximam uma da outra ate que ambas sao coincidentese se localizam em uma bifurcacao sela-no [21]. Neste ponto, o sistema, em geral, ficasujeito a problemas de instabilidade de tensao [1, 9].

A obtencao de solucoes reaia para as equacoes da rede eletrica sob condicoes decarregamento crıtico e dificultada pela singularidade da matriz Jacobiana do fluxo depotencia convencional na fronteira da regiao das solucoes viaveis. Para determinareste tipo de solucao, diversas metodologias sao propostas na literatura, entre as quaispode-se citar:

• aquelas baseadas no fluxo de carga com controle de passo [11, 23];

• aquelas que utilizam a tecnica do autovetor a esquerda da matriz Jacobianasingular [29];

• aquelas baseadas em metodos de otimizacao [19].

Essas metodologias fornecem uma solucao para o fluxo de potencia de acordo comas caracterısticas de busca dessa solucao. As tecnicas baseadas na solucao do fluxode potencia com amortecimento, nao levam em consideracao quao longe o ponto deoperacao obtido esta daquele correspondente a especificacao inicial da demanda. Essasabordagens sao extensoes do metodo de Newton-Raphson convencional e a principalmodificacao consiste no uso de um fator de passo para atualizar as variaveis do fluxode potencia. Nos casos, onde a solucao real nao existe, a divergencia e evitada com ofator de passo tendendo a zero.

A utilizacao do autovetor a esquerda associado ao autovalor nulo da matriz Jaco-biana singular [29] permite determinar uma solucao de mınima norma euclidiana, nosentido do ponto de operacao ser o mais proximo possıvel da especificacao da demanda.Nesse caso, a solucao obtida tambem e apenas viavel. Esta tecnica alia a simplicidadedas abordagens baseadas no metodo de Newton-Raphson com controle de passo [23]com as informacoes fornecidas pelo autovetor a esquerda. Isto resulta em desbalancosde potencia mınimos interpretados como o alıvio de carga que deve ser feito para quea solucao real das equacoes da rede eletrica seja restaurada.

Por outro lado, as tecnicas de otimizacao permitem a incorporacao de restricoes dedesigualdade na sua modelagem, de modo a fornecerem solucoes do fluxo de potenciano interior da regiao operativa do sistema. A tecnica proposta em [19], baseada noalgoritmo nao-linear Primal-Dual de Pontos Interiores, caracteriza-se por um aumentoda dimensao e da complexidade do problema devido a modelagem das restricoes adici-onais, o que pode, em alguns casos, dificultar o processo de busca da solucao.

A figura 4.2 ilustra as solucoes situadas nos limites das regioes de solucoes operaci-onal e de emergencia. Nesta figura, o ponto A representa uma carga para a qual naoha solucao das equacoes do fluxo de potencia convencional, o ponto B corresponde auma solucao na superfıcie limite da regiao das solucoes de emergencia e o ponto C serefere a uma solucao operacional.

Observe que diferentes modelagens fornecem solucoes distintas. O ponto B pertencea uma regiao, na qual as solucoes do fluxo de potencia possuem uma ou mais restricoes

EEL-UFSC 37

Regiao sem solucao real

Regiao deoperacao

Superfıcielimite Σ

Sesp

Carregamentoespecificado

Regiao deemergencia

A

B

C

Figura 4.2: Regiao das solucoes do fluxo de potencia convencional

operacionais violadas enquanto que o ponto C representa uma solucao na qual todos oslimites operacionais incluıdos na formulacao do problema de determinacao da medidacorretiva sao satisfeitos.

4.2.1 Abordagem Estatica

As redes de energia eletrica em geral operam em regime dinamico lento, o que possibilitaque uma serie de modelos estaticos sejam utilizados na analise de uma variedade deproblemas relativos a operacao dessas redes.

As metodologias que usam modelos estaticos baseiam-se em geral nos metodosconvencionais de solucao das equacoes da rede eletrica em regime permanente. Osaplicativos computacionais resultantes da aplicacao destas metodologias nao necessitamde uma formulacao analıtica tao detalhada dos componentes do sistema. Isto favoreceo estudo porque resulta em moderados requisitos computacionais, tanto em termos detempo de processamento como de memoria utilizada. No caso da analise da estabilidadede tensao, os metodos baseados em modelos estaticos sao tambem capazes de fornecercom relativa facilidade, ındices de proximidade ao ponto crıtico de carregamento dosistema, margens de carregamento e subsıdios para a identificacao das areas instaveissob ponto de vista de tensao.

Para introduzir os conceitos basicos do estudo da estabilidade de tensao atravesde modelagem estatica, considere a curva que mostra o comportamento da tensao emcada barra do sistema ilustrada na figura 4.3. Esta curva, denominada curva PV, eobtida atraves de sucessivas solucoes de fluxo de carga, aumentando-se gradativamentea demanda do sistema.

Nesta curva, observa-se que para cada nıvel de damanda (P0) existem duas solucoesem termos de magnitude da tensao (V01 e V02), o que torna possıvel uma analogia entrea curva PV (da estabilidade de tensao)e a curva Pδ (da estabilidade transitoria doangulo do rotor em regime permanente). Ambas as curvas apresentam uma regiao deoperacao estavel e uma regiao de operacao instavel. Na regiao superior da curva PVda figura 4.3, um aumento na demanda resulta num desbalanco de potencia reativa,


V

V02

V01

Regiao estavel

Regiao instavel

Ponto de bifurcacaosela-no

P0 P

Figura 4.3: Curva PV - regioes de operacao

tal que a magnitude da tensao do sistema tende a diminuir. Para corrigir esta reducao,medidas corretivas recomendariam um ajuste na magnitude da tensao gerada ou nostaps, ou alternativamente uma reducao na carga. Este procedimento seria tomadoate que fosse atingido um ponto de equilıbrio (regiao estavel). Por outro lado, naparte inferior da curva, um aumento na demanda causa uma elevacao na magnitude datensao do sistema. Isto faz com que o sistema nao atinja um ponto de equilıbrio, poisa reducao da carga recomendada pela estrategia corretiva tambem causa decrescimona magnitude da tensao (regiao instavel).

O extremo da curva e o chamado ponto crıtico ou ponto de bifurcacao estatica sela-no. Este ponto pode ser interpretado da seguinte maneira: para uma determinadacondicao de carga, em adicao a solucao normal do fluxo de carga, que e tipicamente oponto de operacao corrente, outras solucoes podem ser encontradas para as equacoesda rede eletrica em regime permanente. A solucao mais proxima ao ponto de equilıbrioestavel (operacao corrente) e o ponto de equilıbrio instavel. Estes pontos de equilıbriose aproximam um do outro quando o sistema e carregado, ate o ponto onde somenteuma unica solucao existe. Neste ponto de bifurcacao, um autovalor da matriz Jacobianada solucao do fluxo de potencia via Newton-Raphson se torna zero; isto e, esta matrizse torna singular. Logo, para pontos de operacao proximos ao ponto crıtico, a matrizJacobiana se torna numericamente mal-condicionada.

O limite de carregamento estatico da rede (ponto critico da curva PV) nao e neces-sariamente o limite de instabilidade de tensao. A instabilidade e o colapso de tensaopodem ocorrer antes do ponto crıtico, o qual representa um limite de capacidade darede estabelecido com base num padrao especıfico de carregamento-geracao.

O colapso de tensao ocorre apos a operacao do sistema em pontos da parte su-perior da curva PV, em situacoes de extremo carregamento, causado por disturbiosque provocam desbalanco entre a producao e o consumo de potencia reativa. Nestasituacao crıtica, a magnitude de tensao em certas barras do sistema tornam-se muitosensıveis as variacoes de demanda, as quais possuem caracterısticas proprias e de difıcildeterminacao.

Nesta abordagem particular do problema, o ponto crıtico pode ser estimado atraves

EEL-UFSC 39

de uma analise baseada em modelos estaticos (frequentemente util para analise deestabilidade de tensao de longo-termo), ainda que a consequencia final seja a perda daestabilidade dinamica caracterizada por um colapso de tensao do sistema.

A maior parte das metodologias estaticas citadas na literatura pode ser enquadradana classificacao mostrada a seguir.

• Analise de Sensibilidade

Neste tipo de abordagem, a proximidade entre as condicoes de operacao correntee de carregamento crıtico e medida verificando-se o ponto onde a derivada dainjecao de potencia ativa em relacao a magnitude da tensao se anula. Isto pode serfeito de forma aproximada atraves das relacoes de sensibilidade entre a magnitudedas tensoes e a variacao no carregamento do sistema.

• Multiplas Solucoes

Esta abordagem utiliza pares de solucao do fluxo de potencia para se aproximar dolimite de carregamento. O par de solucoes e constituıdo de um ponto de operacaoe de uma solucao de baixa tensao, os quais tendem a se coalescer no limite decarregamento. Geralmente utiliza-se neste tipo de analise o metodo de Newtonem coordenadas retangulares. Os autovetores esquerdo e direito correspondentesao autovalor zero do Jacobiano sao tambem aproximados em termos do par desolucoes.

• Decomposicao em Valores Singulares

E possıvel mostrar que no ponto crıtico de carregamento a matriz Jacobiana dasequacoes algebricas do fluxo de potencia e singular, o que implica em que seumınimo valor singular seja igual a zero. Por esta razao, o mınimo valor singularpode ser usado como uma medida da distancia do ponto de operacao ao pontocrıtico, fornecendo informacoes sobre a proximidade da mesma a singularidade.

• Autovalores

Nestas abordagens, e aplicada uma decomposicao em autovalores de uma subma-triz de sensibilidade que relaciona os incrementos na injecao de potencia reativae magnitude da tensao. O objetivo e obter uma medida relativa da proximi-dade da instabilidade de tensao, sendo a analise efetuada geralmente em areassujeitas a esta instabilidade. Em virtude da submatriz de sensibilidade ser quasesimetrica, e esperado obter-se somente um conjunto de autovalores e autovetoresreais, muito similares aqueles da abordagem descrita anteriormente.

• Otimizacao Estatica

Neste tipo de abordagem, visa-se identificar a maxima carga que pode ser aten-dida pelo sistema atraves da busca de um ajuste otimo para os controles, obtendo-se uma solucao das equacoes da rede eletrica que satisfaca as restricoes de cargae operacionais. Esta formulacao permite a inclusao dos limites de geracao depotencia ativa e reativa, tapes e a representacao da relacao carga-tensao. Oponto de operacao de maxima carga obtido via otimizacao nao possui a matrizJacobiana do fluxo de potencia singular; ou seja, este ponto de operacao nao e omesmo ponto crıtico de curva PV.


4.3 Analise em Regime Permanente

4.3.1 Equacoes Estaticas do Sistema de Potencia

Um sistema de potencia operando em regime permanente pode ser representado por umconjunto de equacoes de balanco de potencia ativa e reativa em cada barra do sistema.Para uma rede eletrica contendo n barras, este conjunto consiste de 2n equacoes reaisexpressas como,

Pk(V, δ) − Pk = 0 k = 1, n

Qk(V, δ) − Qk = 0 k = 1, n(4.3.1)

onde, V e δ sao a magnitude e o angulo da tensao nas barras, respectivamente; Pk(V, δ)e Qk(V, δ) sao as injecoes de potencia ativa e reativa da k-esima barra, respectivamente,calculadas como funcoes de V e δ;

Pk = Pgk− Pdk

Qk = Qgk− Qdk

(4.3.2)

sao as injecoes lıquidas de potencia ativa e reativa entrando na k-esima barra; Pgke

Qgksao as potencias ativa e reativa gerada e Pdk

e Qdksao as demandas na k-esima

barra.As injecoes de potencia ativa e reativa para a k-esima barra, calculadas em funcao

do angulo e da magnitude das tensoes nodais, sao expressas como [28],

Pk(V, δ) = Vk

∑

mε{K}

Vm(Gkmcosδkm + Bkmsenδkm)

Qk(V, δ) = Vk

∑

mε{K}

Vm(Gkmsenδkm − Bkmcosδkm)(4.3.3)

onde, {K} e o conjunto de barras adjacentes a barra k; Gkm e Bkm sao termos damatriz admitancia de barra; δkm = δk − δm e a diferenca angular entre os nos k e m;δk e δm sao os angulos da tensao das barras k e m, respectivamente; Vk e Vm sao asmagnitudes da tensao nas barras k e m, respectivamente.

As variaveis envolvidas nas equacoes (4.3.1) podem ser particionadas em dois gru-pos:

• Variaveis de Controle: sao aquelas que podem ser monitoradas diretamente pelooperador do sistema; tipicamente,

– geracao de potencia ativa;

– taps de transformadores defasadores;

– geracao de potencia reativa;

– magnitude das tensoes nas barras de geracao;

– magnitude das tensoes nos compensadores sıncronos;

– taps de transformadores com comutacao sob carga;

– potencia gerada por capacitores e reatores;

EEL-UFSC 41

– fluxos de potencia em elos de corrente contınua;

– corte de carga (load shedding)

• Variaveis Dependentes: sao aquelas cujo valor e funcao das variaveis de contro-le. A sua selecao entre as variaveis do sistema de potencia esta interrelacionadacom a escolha das variaveis independentes. Em geral as variaveis dependentescompreendem

– o angulo da tensao em todas as barras com excecao do angulo da barra defolga;

– a geracao de potencia reativa;

– fluxos de potencia ativa e reativa nas linhas de transmissao.

Alem dessas variaveis, ha ainda um conjunto de parametros fixos que deve serpre-especificado nos estudos em regime permanente. Este grupo e constituıdo pelosseguintes elementos:

• demanda de potencia ativa;

• demanda de potencia reativa;

• topologia e parametros do sistema de transmissao;

• coeficientes das funcoes de custo de geracao das unidades termicas etc.

A expansao das equacoes (4.3.3) em serie de Taylor, em torno do ponto (V 0, δ0),na direcao (∆V ,∆δ), ate o termo de primeira ordem fornece

Pk(V0 + ∆V , δ0 + ∆δ) = Pk(V

0, δ0) +

[

∂Pk(V, δ)t

∂δ

∣

∣

∣

∣

∂Pk(V, δ)t

∂V

]

(V 0,δ0)

[

∆δ∆V

]

Qk(V0 + ∆V, δ0 + ∆δ) = Qk(V

0, δ0) +

[

∂Qk(V, δ)t

∂δ

∣

∣

∣

∣

∂Qk(V, δ)t

∂V

]

(V 0,δ0)

[

∆δ∆V

]

(4.3.4)

onde ∆δ e ∆V sao vetores de ordem (n×1) dos incrementos nos angulo e na magnitudeda tensao nas barras, respectivamente.

Para o conjunto de n barras, as equacoes (4.3.4) podem ser expressas na formamatricial como

[

∆P∆Q

]

=

[

H NJ L

] [

∆δ∆V

]

(4.3.5)

onde, ∆P e ∆Q sao os vetores de ordem (n × 1) dos desbalancos de potencia ativae reativa, respectivamente; H = ∂P/∂δ, N = ∂P/∂V , J = ∂Q/∂δ e L = ∂Q/∂Vsao submatrizes de ordem (n × n) representando a primeira derivada das injecoes depotencia ativa e reativa em relacao aos angulos e magnitudes da tensao nas barras, res-pectivamente. Os termos correspondentes sao calculados utilizando-se adequadamenteas equacoes (4.3.7)-(4.3.10).

Particoes alternativas das equacoes (4.3.5) podem ser feitas observando-se a natu-reza de cada barra no sistema de potencia. Com base na definicao das barras para aformulacao do problema de fluxo de potencia, o conjunto de n barras pode ser subdi-vidido em


• npq barras de carga ou PQ (onde Pk, Qk sao especificados e Vk, δk sao calculados);

• npv barras PV (onde Pk, Vk sao especificados e δk, Qk sao calculados);

• uma barra de f olga ou de referencia angular (onde Vk, δk sao especificados ePk, Vk sao calculados);

tal que o numero total de barras e is n = npq + npv + 1.

O angulo da tensao da barra de folga e geralmente tomado como referencia e por-tanto, todas as derivadas envolvendo este angulo sao nulas. Usando os subscritos f, PVe PQ para denotar a barra de folga, as barras PV e as barras PQ, respectivamente, aequacao (4.3.5) pode ser expandida e re-escrita como

∆Pf

∆PPV

∆PPQ

∆Qf

∆QPV

∆QPQ

=

Hf,PV Hf,PQ Nf,f Nf,PV Nf,PQ

HPV,PV HPV,PQ NPV,f NPV,PV NPV,PQ

HPQ,PV HPQ,PQ NPQ,f NPQ,PV NPQ,PQ

Mf,PV Mf,PQ Lf,f Lf,PV Lf,PQ

MPV,PV MPV,PQ LPV,f LPV,PV LPV,PQ

MPQ,PV MPQ,PQ LPQ,f LPQ,PV LPQ,PQ

∆δPV

∆δPQ

∆Vs

∆V PV

∆V PQ

(4.3.6)onde, ∆P PV ,∆QPV ,∆δPV e ∆V PV sao vetores de ordem (npv×1); ∆P PQ,∆QPQ,∆δPQ

e ∆V PQ sao vetores de ordem (npq × 1). A dimensao das submatrizes envolvidas podeser observada atraves dos ındices e das definicoes previas de f , npv e npq.

As derivadas que aparecem nas equacoes (4.3.6), das injecoes de potencia em relacaoaos angulos e magnitudes das tensoes sao dadas por,

Hkm = ∂Pk/∂δm = VkVm(Gkmsenδkm − Bkmcosδkm)

Hkk = ∂Pk/∂δk = −Qk − V 2k Bkk (4.3.7)

Nkm = ∂Pk/∂Vm = Vk(Gkmcosδkm + Bkmsenδkm)

Nkk = ∂Pk/∂Vk = V −1k (Pk + V 2

k Gkk) (4.3.8)

Mkm = ∂Qk/∂δm = −VkVm(Gkmcosδkm + Bkmsenδkm)

Mkk = ∂Qk/∂δk = Pk − V 2k Gkk (4.3.9)

Lkm = ∂Qk/∂Vm = Vk(Gkmsenδkm − Bkmcosδkm)

Lkk = ∂Qk/∂Vk = V −1k (Qk − V 2

k Bkk) (4.3.10)

A equacao (4.3.6) representa o conjunto total das equacoes do balanco de potencialinearizado. Essas equacoes sao geralmente utilizadas num grande numero de for-mulacoes de problemas envolvendo apenas os aspectos relacionados a operacao emregime permanente.

EEL-UFSC 43

4.3.2 Solucao via Metodo de Newton Raphson

O objetivo da solucao do problema de Fluxo de Potencia atraves do metodo de Newton-Raphson e determinar o valor das variaveis dependentes x (grandezas calculadas noprocesso iterativo), correspondente a um especificado conjunto de variaveis de controleu (grandezas especificadas) e a um conjunto de parametros fixos p. As equacoes debalanco de potencia a serem satisfeitas sao expressas como

g(u,x,p) = 0 (4.3.11)

O processo iterativo e basedao num conjunto selecionado de equacoes linearizadasa cada iteracao. O sistema linear a ser resolvido no k-esimo ciclo do processo iterativopode ser expresso como

[

∂g(u,x(k),p)

∂x

]

∆x(k) = −g(u,x(k),p) (4.3.12)

onde,

[

∂g(u,x(k),p)

∂x

]

= J e a matriz Jacobiana, calculada no ponto (u,x(k)); ∆x(k)

e o vetor de incrementos nas variaveis dependentes; g(u,x(k),p) e o vetor de equacoesnao-lineares representando o balanco de potencia de cada barra, calculado no ponto(u,x(k)).

As equacoes (4.3.11) sao selecionadas a partir do conjunto completo de equacoes dobalanco de potencia da rede eletrica, levando-se em consideracao a natureza de cadabarra do sistema. O sistema linear basico resolvido a cada iteracao da solucao do Fluxode Potencia via metodo de Newton-Raphson e, portanto

∆P PV

∆P PQ

∆QPQ

=

HPV,PV HPV,PQ NPV,PQ

HPQ,PV HPQ,PQ NPQ,PQ

MPQ,PV JPQ,PQ LPQ,PQ

∆δPV

∆δPQ

∆V PQ

(4.3.13)

onde o significado dos termos envolvidos e o mesmo mencionado anteriormente.O algoritmo de solucao do Fluxo de Potencia via metodo de Newton-Raphson pode

ser sumarizado na seguinte sequencia de passos [28]:

1. Faca l = 0 e selecione os valores iniciais do angulo das tensoes nas barras PV ePQ, (δ

(l)PV e δ

(l)PQ) e da magnitude da tensao nas barras PQ (V

(l)PQ);

2. Calcule os resıduos de potencia ativa (barras PV e PQ) e reativa (barras PQ)

(∆P(l)PV , ∆P l

PQ e ∆Q(l)PQ);

3. Verifique a convergencia do processo iterativo: Se max{|∆P lk|} ≤ ξ e max{|∆Ql

k|} ≤ξ (onde em geral ξ = 10−3 pu), a convergencia foi alcancada. Caso contrario,prossiga ao proximo passo;

4. Determine a matriz Jacobiana J(l) e resolva o sistema linear

∆P(l)PV

∆P(l)PQ

∆Q(l)PQ

=



MPQ,PV MPQ,PQ LPQ,PQ

∆δ(l)PV

∆δ(l)PQ

∆V(l)PQ

para determinar ∆δ(l)PV ,∆δ

(l)PQ e ∆V

(l)PQ;


5. Atualize o angulo e a magnitude da tensao nas barras

δ(l+1)PV = δ

(l)PV + ∆δ

(l)PV

δ(l+1)PQ = δ

(l)PQ + ∆δ

(l)PQ

V(l+1)PQ = V

(l)PQ + ∆V

(l)PQ

faca l = l + 1 e retorne ao passo (2).

Deve ser ressaltado que alem do modulo e angulo da tensao em todas as barras dosistema, apos a convergencia do processo iterativo a matriz Jacobiana e disponıvel naforma fatorada. A analise da natureza desta matriz revela que os seus termos expressama sensibilidade entre os incrementos nos angulos e nas magnitudes da tensao nodas comrelacao aos desbalancos de potencia. O procedimento generalizado para a obtencao dasrelacoes de sensibilidade de primeira ordem entre as variaveis do sistema de potenciae descrito na secao seguinte.

4.3.3 Relacoes de Sensibilidade

Considere que o sistema de potencia opera numa condicao inicial definida por (u0,x0,p).A relacao entre as variaveis de controle e dependentes pode ser determinada expan-

dindo-se as equacoes nao lineares da rede eletrica g(u,x,p) = 0 em serie de Taylor, navizinhanca da solucao inicial (u0,x0) e na direcao (∆u,∆x), ate o termo de primeiraordem. Isto fornece

g(u0+∆u,x0+∆x,p) ∼= g(u0,x0,p)+∂g(u,x,p)

∂x

∣

∣

∣

∣

u0,x0,p

∆x+∂g(u,x,p)

∂u

∣

∣

∣

∣

u0,x0,p

∆u

(4.3.14)Desde que ambos os pontos (u0,x0,p) e (u0 +∆u,x0 +∆x,p) devem satisfazer as

equacoes da rede eletrica,

∂g(u,x,p)

∂x

∣

∣

∣

∣

u0,x0,p

∆x +∂g(u,x,p)

∂u

∣

∣

∣

∣

u0,x0,p

∆u ∼= 0

e, portanto,

∆x = −

(

∂g(u0,x0,p)

∂x

)−1 (

∂g(u0,x0,p)

∂u

)

∆u (4.3.15)

ou, alternativamente,

∆x = Sxu∆u (4.3.16)

onde

Sxu =

(

∂g(u0,x0,p)

∂x

)−1 (

∂g(u0,x0,p)

∂u

)

e a matriz de sensibilidade que relaciona os incrementos nas variaveis de controle edependentes.

Note que conjuntos distintos de variaveis de controle e dependentes e de equacoesg(u,x,p) = 0 podem ser tomados. Por exemplo, se as equacoes e variaveis envolvidasno processo iterativo da solucao do fluxo de potencia via Newton-Raphson (angulos da

EEL-UFSC 45

tensao das barras PV e PQ e magnitude da tensao nas barras PQ) forem selecionadas,a equacao

∆δPV

∆δPQ

∆V PQ

=



MPQ,PV MPQ,PQ LPQ,PQ

−1

∆P PV

∆P PQ

∆QPQ

fornece a relacao de sensibilidade entre as variaveis do fluxo de potencia e as injecoesde potencia, representada na forma matricial pela matriz Jacobiana inversa.

Apesar de que esta relacao de sensibilidade pode ser usada para calcular as variacoesna magnitude da tensao resultantes de pequenos incrementos nas injecoes de potencia,proximo ao ponto de carregamento crıtico a matriz Jacobiana torna-se numericamentemal condicionada, o que inviabiliza o seu uso para determinar a solucao das equacoesda rede eletrica e como indicador de sensibilidade no ponto de carregamento extremo.

4.4 O Fluxo de Potencia sem Solucao Real

O problema da ausencia de solucoes reais para as equacoes do fluxo de potencia ocorre,dentre outras situacoes, quando a especificacao da demanda de potencias ativa e reativanao e compatıvel com o modelo da rede eletrica em regime permanente. Durante aoperacao do sistema, isto pode ocorrer nas seguintes situacoes:

• quando um sistema operando sob condicoes crıticas e submetido a uma con-tingencia severa como, por exemplo, a perda de uma linha de transmissao impor-tante, a perda de uma fonte de reativos ou a perda de uma geracao;

• quando um rapido e desordenado crescimento faz com que a demanda de potenciasativa e reativa atinja nıveis nao suportados pela estrutura da rede.

Nestas condicoes, tentativas de operar o sistema de energia eletrica, em geral con-duzem o mesmo a problemas de instabilidade ou mesmo colapso de tensao [36]. Istoocorre porque, nestes casos, as equacoes do fluxo de potencia nao possuem solucao real.

Por outro lado, situacoes identicas podem ocorrer nos estudos de planejamento,quando se deseja verificar se determinados nıveis de demanda podem ser satisfeitospela rede eletrica. Nesses estudos, em geral, costuma-se observar o comportamentodo sistema para novas topologias e/ou novos padroes de carga. Sob determinadascircunstancias, isto pode resultar na ausencia de solucoes reais para as equacoes darede eletrica.

Um grande numero de metodologias tem sido propostas na literatura para determi-nar procedimentos corretivos nos casos onde o problema de fluxo de potencia nao temsolucao real. A maior parte desses metodos visa a obtencao de um ponto de operacaoaceitavel baseado no corte de carga. Por outro lado, alguns metodos foram inicialmenteapresentados com a finalidade de aumentar a robustez do processo iterativo do metodode Newton-Raphson para a solucao do fluxo de potencia convencional. Esses metodosse baseiam no uso de um fator de amortecimento [11, 23]. Este fator tambem e conhe-cido como controle de passo para o metodo de Newton-Raphson. Essas metodologiasutilizam estrategias de correcao nos incrementos, as quais proporcionam um controlena magnitude do passo durante o processo iterativo. O que essas metodologias possuem


em comum e que, se o problema em questao nao apresenta viabilidade, o fator de con-trole de passo tende a zero. Devido a esta caracterıstica, esta classe de metodos podeser utilizada para a obtencao de uma solucao viavel mesmo que o problema originalnao a possua.

Exemplo 4.4.1Considere o sistema da figura 4.4, o qual e constituıdo por duas barras interligadas por

21j0,1 pu

V1 = 1, 0∠00 pu V2

Pd2 + jQd2 pu(MV A)

Figura 4.4: Diagrama unifilar do sistema de duas barras

uma linha de transmissao com caracterıstica puramente indutiva. A barra 1 e a barrade folga, com magnitude da tensao igual a 1, 0∠00 pu. A barra 2 e uma barra de carga,com uma demanda especificada Pd2 e Qd2 . A linha de transmissao tem uma reatanciaserie de 0,1 pu (base de 100 MVA). Para este sistema, as equacoes estaticas do fluxode potencia sao

∆P2 = 10V2 sin δ2 + Pd2

∆Q2 = 10V 22 − 10V2 cos δ2 + Qd2

(4.4.1)

O ponto de operacao desta rede, (V2, δ2), e aquele que satisfaz o sistema de equacoesnao-lineares (4.4.1) para ∆P2 = 0 e ∆Q2 = 0.

Dependendo dos valores especificados para as demandas Pd2 e Qd2 , o sistema deequacoes (4.4.1) pode possuir duas, uma ou nenhuma solucao real [21]. O limite daoperacao do sistema; isto e, a fronteira da regiao onde as equacoes da rede eletricapossuem solucao real, caracteriza-se por pontos nos quais a matriz Jacobiana dessasequacoes e singular. Neste caso, isto corresponde aos pontos onde o determinante damatriz Jacobiana e nulo. Uma vez que a matriz Jacobiana e dada por

J =

[

10V2 cos δ2 10 sin δ2

10V2 sin δ2 20V2 − 10 cos δ2

]

entaodet(J) = 0 : V2 cos δ2 = 0, 5

Da equacao (4.4.1) re-escrita como

V2 sin δ2 = −0, 1Pd2

e da condicao do determinante nulo, pode-se concluir que

V 22 = 0, 01P 2

d2+ 0, 25

tal queP 2

d2

10+ Qd2 − 2, 5 = 0

EEL-UFSC 47

a qual e a expressao analıtica que define a superfıcie limite Σ da regiao onde existemsolucoes reais para o conjunto de equacoes (4.4.1).

A figura 4.5 mostra a regiao onde as equacoes da rede tem solucao real, a superfıcielimite e a regiao onde nao existe solucao real para as equacoes do fluxo de potencia.Observa-se que os pontos a, b e c representam condicoes nas quais o fluxo de potenciapossui solucao real. Nos pontos a e b, as equacoes da rede eletrica possuem duassolucoes, e no ponto c, apenas uma. Por outro lado, o ponto d representa uma condicaona qual as demandas especificadas inviabilizam a existencia de uma solucao real para osistema de equacoes nao-lineares. Portanto, o conjunto de pontos abaixo da superfıcieΣ caracteriza a regiao onde solucoes reais existem para a demanda especificada. Oconjunto de pontos situados acima de Σ representa a regiao onde a especificacao dademanda inviabiliza a determinacao de solucoes reais para o problema de fluxo depotencia.

Q(pu)

P (pu)

a

b

c

d

Regiao comduas solucoes reais

Regiao sem

solucoes reais

2,5

5,0

Superfıcie limite Σ

Figura 4.5: Regiao das solucoes do fluxo de potencia convencional

Para ilustrar o efeito das especificacoes da demanda na barra 2 sobre as solucoescorrespondentes aos pontos a, b, c e d, defina-se uma funcao F como

F (V2, δ2) = ∆P 22 + ∆Q2

2

Se o fluxo de potencia possui solucao real, o valor de F deve ser nulo, ou seja,as equacoes dos balancos de potencias sao satisfeitas. Caso as equacoes do fluxo depotencia nao tenham solucao real,

∆P2 6= 0 e/ou ∆Q2 6= 0

e portanto F (V2, δ2) 6= 0.A tabela 4.1 mostra as solucoes obtidas especificando-se diferentes valores de potencia

demandada.A analise da tabela 4.1 mostra que, conforme a demanda na barra 2 vai aumentando,

as solucoes do fluxo de potencia vao se aproximando, ate o ponto em que as duassolucoes se unem numa unica solucao, no ponto de bifurcacao sela-no. A partir desse


Solucao Pd2 Qd2 V2 δ2 V2 δ2

(MW) (Mvar) pu graus pu graus

1 100 80 0,1414 -45 0,9055 -6,342 180 144 0,2910 -38,20 0,7920 -13,143 240 192 0,5546 -25,64 - -4 340 272 - - - -

Tabela 4.1: Resultados do fluxo de potencia - sistema de 2 barras

ponto, nao ha solucao real para as equacoes do fluxo de potencia. Isto caracteriza olimite entre as regioes com e sem solucoes reais para o fluxo de potencia. Utilizando-se um metodo de fluxo de potencia convencional (Newton-Raphson, por exemplo), adeterminacao deste ponto de operacao e inviavel. No caso do ponto d, a funcao Fpossui um unico ponto de mınimo, igual a 1,3671, correspondente a uma demanda de239,98 MW e 192,41 Mvar na tensao de 0,5546 ∠ − 25, 640 pu.

4.4.1 O Metodo de Newton-Raphson com Amortecimento

As abordagens baseadas no metodo de Newton-Raphson com a utilizacao de um con-trole sobre o passo da iteracao sao identicos em sua estrutura. O que as distingue ea forma de determinar o fator de passo. As diferentes versoes se baseiam nas carac-terısticas particulares de cada formulacao do fluxo de potencia; isto e, em coordenadascartesianas ou polares. Essas abordagens procuram explorar tambem outras carac-terısticas da funcao desbalanco inerente ao metodo de Newton-Raphson. Os metodosbaseados nestas abordagens se caracterizam por uma convergencia mais robusta do quea do metodo de Newton-Raphson convencional; ou seja, o uso do fator de passo utili-zado na correcao dos incrementos garante que nao haja uma divergencia do processo.

A utilizacao do metodo de Newton tem mostrado que a solucao para o fluxo depotencia e obtida rapidamente para uma ampla variedade de problemas. A aplicacaodeste metodo requer que a cada iteracao um sistema linear da forma da equacao (4.3.13)seja resolvido. Na forma compacta isto pode ser expresso por

J(x0)∆x = −f(x0) (4.4.2)

onde, x e o vetor das variaveis do fluxo de potencia, J(x0) e a matriz de primeirasderivadas parciais (matriz Jacobiana) do sistema calculada no ponto que representaa estimativa inicial x0 e f(x0) e o vetor dos desbalancos de potencias ativa e reativacalculado em x0.

A solucao do problema expresso pela equacao (4.4.2) e dada por

∆x = −J(x)−1f(x)

fornece uma correcao a estima inicial x0 para obter-se um novo ponto

x1 = x0 + ∆x

EEL-UFSC 49

o qual e utilizado como um novo ponto de partida para o processo iterativo formadopelas equacoes (4.4.2). O processo termina quando o maior desbalanco de potencia emmagnitude satisfaz uma tolerancia pre-especificada.

O metodo de Newton-Raphson com amortecimento utiliza um fator de correcao, oqual tem por finalidade controlar a magnitude do incremento calculada a cada iteracaodo processo. O objetivo e fazer com que a cada iteracao uma melhor aproximacaodo problema linear ao problema nao-linear seja obtida. Ao final de cada iteracao, asvariaveis sao atualizadas usando-se a expressao

x1 = x0 + ε∆x

onde ε e um escalar positivo geralmente menor do que a unidade, denominado multi-plicador otimo, fator de passo ou fator de amortecimento.

O criterio utilizado para a obtencao do valor do multiplicador (ou fator de passo)e baseado no quadrado da funcao norma Euclideana dos desbalancos de potencia; ouseja,

F (x) =‖ f(x) ‖2=[

f(x)tf(x)]

= f1(x)2 + f2(x)2 + . . . + fm(x)2

A cada iteracao, o mınimo de F (x) na direcao ∆x e encontrado minimizando-se afuncao

F (x0 + ε∆x)

A forma como este problema de minimizacao unidimensional e tratado constituia principal diferenca entre as abordagens apresentadas a seguir. Essas abordagensapresentam duas etapas distintas, as quais podem ser resumidas como:

• calcular o vetor de incrementos ∆x atraves do da solucao do sistema linear dometodo de Newton-Raphson convencional;

• atualizar a estimativa corrente utilizando o fator de passo.

As secoes seguintes apresentam algumas metodologias propostas na literatura parao controle eficiente do fator de passo na direcao de Newton.

4.4.1.1 Metodo de Iwamoto e Tamura

Sejam as equacoes de balanco de potencia da rede eletrica em regime permanenteexpressas como

ys − g(x) = 0 (4.4.3)

onde, ys e o vetor (m×1) das injecoes de potencia especificadas e g(x) e o vetor (m×1)das injecoes de potencia expressas em funcao das tensoes nodais x.

Expressando as tensoes nodais na forma retangular, as injecoes de potencia nasbarras podem ser escritas como uma funcao quadratica da forma [23]

g(x) =1

2xtQ0x (4.4.4)

onde Q0 e um arranjo de dimensao (m × m × m) e x e um vetor (m × 1), cujascomponentes sao as partes real e imaginaria da tensao complexa nas barras.


A expansao da ultima equacao em serie de Taylor, em torno do ponto x e na direcaodo vetor ∆x, ate o termo de segunda ordem fornece

g(x + ∆x) = g(x) + (Q0x)t ∆x +1

2∆xtQ0∆x

Se xe e o ponto em torno do qual e feita a expansao,

ys = g(xe) + J∆x + g(∆x) (4.4.5)

onde J = (Qx)t.Sendo β um escalar, a substituicao do vetor ∆x por β∆x na equacao (4.4.5) fornece

ys − g(xe) − βJ∆x − β2g(∆x) = 0 (4.4.6)

ou, na forma compacta,a + βb + β2c = 0 (4.4.7)

onde, a = ys − g(xe), b = −J∆x e c = −g(∆x).Na equacao (4.4.7), deve ser observado que: 1) a = ys − g(xe) corresponde aos

desbalancos de potencia ativa e reativa; 2) b = −J∆x corresponde a linearizacao dasequacoes do fluxo de potencia; 3) c = −g(∆x) representa as injecoes de potenciacalculadas em funcao dos incrementos nas variaveis.

O parametro β pode ser interpretado como um fator de amortecimento nos incre-mentos ∆x, sendo o seu valor otimo obtido atraves da minimizacao da soma quadraticados desbalancos de potencia, expressa pela seguinte funcao:

Ψ(β) =1

2

(

a + βb + β2c)t (

a + βb + β2c)

(4.4.8)

O valor otimo de β e obtido derivando-se esta funcao com relacao a β e igualando-seo resultado a zero. Isto fornece a equacao cubica

atb + β(

btb + 2atc)

+ β2(

ctb + 2btc)

+ β3(

2ctc)

= 0

representada na forma compacta por

d0 + d1β + d2β2 + d3β

3 = 0

A solucao desta equacao cubica pode fornecer: 1) tres raızes reais, o que indica queha solucoes multiplas ou 2) uma raiz real e um par de raızes complexas conjugadas, oque indica que apenas uma solucao real pode ser encontrada [21].

A solucao da equacao (4.4.3) e determinada atualizando-se o vetor x durante oprocesso iterativo; isto e,

xk+1 = xk + βk∆xk

com os incrementos ajustados pela aplicacao do fator de amortecimento.Quanto a obtencao de solucoes para o sistema de equacoes (4.4.3) sob a aplicacao

do fator de amortecimento, dois casos basicos sao observados. Se a solucao existe, ofator β tende a unidade, com um leve retardo na convergencia do processo iterativo.Por outro lado, o fator de amortecimento tende a zero quando solucao das equacoes naolineares nao existe. Neste caso, um ponto correspondente ao valor mınimo da funcaoque representa a soma quadratica dos desbalancos de potencia e obtido.

O algoritmo para o metodo de Iwamoto e Tamura pode ser sumarizado nos seguintespassos:

EEL-UFSC 51

1. Calcular o vetor de incrementos ∆x(k) do processo iterativo do fluxo de potenciaconvencional;

2. Calcular os vetores a(k), b(k) e c(k);

3. Calcular os coeficientes d0, d1, d2 e d3.

4. Calcular o valor otimo de β(k);

5. Atualizar as variaveis: x(k+1) = x(k) + ∆x(k)

Note que a aplicacao do algoritmo de Iwamoto e Tamura demanda um mınimo deesforco computacional. Ela consiste apenas na extensao do processo convencional dasolucao do fluxo de potencia em coordenadas retangulares para incluir: a formacao deuma equacao cubica baseada nos resultados intermediarios do processo iterativo e asolucao desta equacao cubica.

4.4.1.2 Metodo de Dehnel e Dommel

O estudo realizado em [11] apresenta outra metodologia para a determinacao do com-primento de passo otimo a ser aplicado na correcao das variaveis do fluxo de potencia.Neste caso, o problema pode ser formulado tanto em coordenadas cartesianas como empolares.

Para se computar o valor do fator de passo otimo, a funcao norma euclidiana dosdesbalancos de potencias

F (x) =‖ f(x) ‖2=√

f1(x)2 + f2(x)2 + . . . + fm(x)2

e aproximada no ponto x(k), ao longo da direcao de Newton ∆x(k), por uma funcaoquadratica Φ(ε), onde ε e um escalar que indica o comprimento do passo na direcao∆x(k). Com a utilizacao de tres pontos Φ1, Φ2 e Φ3, respectivamente, em ε1 = −∆ε,ε2 = 0 e ε3 = ∆ε, a funcao de aproximacao e

Φ(ε) = Φ2 −Φ1 − Φ3

2∆εε +

Φ1 − 2Φ2 + Φ3

2∆ε2ε2 (4.4.9)

onde Φi = F[

x(k) + εi∆x(k)]

.O valor do passo ε e determinado de forma que Φ(ε) tenha valor mınimo. Isto pode

ser obtido derivando-se esta funcao e igualando o resultado a zero; isto e,

dΦ(ε)

dε= 0 : ε =

∆ε(Φ1 − Φ3)

2Φ1 − 4Φ2 + 2Φ3

Precaucoes devem ser tomadas no calculo do valor de ±∆ε. Se ∆ε for muitopequeno, erros de arredondamento podem tornar-se excessivos nos calculos de Φ1 e Φ3,comprometendo a construcao da parabola. Por outro lado, se ∆ε for muito grande, aparabola pode nao pertencer a vizinhanca de x(k). Para garantir que ∆ε possua umamagnitude adequada, Φ1 e Φ3 da equacao (4.4.9) sao calculados em duas direcoes apartir do ponto x(k), a uma distancia

d(k) = ε ‖ ∆x(k) ‖= ∆ε ‖ ∆x(k) ‖


ao longo da direcao ∆x(k), onde d e uma fracao da atualizacao de Newton obtida naiteracao anterior; isto e,

d(k) = ξε(k−1) ‖ ∆x(k−1) ‖

Comparando as duas ultimas equacoes, pode-se deduzir que

∆ε = ξε(k−1)‖ ∆x(k−1) ‖

‖ ∆x(k) ‖

Esta formulacao assegura que Φ1 e Φ3 sao calculados em distancias que sao fracoes dacorrecao da iteracao anterior, um de cada lado de x(k). Segundo os autores, o valor deξ igual a 0,25 mostrou-se adequado nos testes realizados.

Os principais passos para a aplicacao do algoritmo de Dehnel e Dommel estaoapresentados a seguir.

1. Calcular o vetor de incrementos ∆x(k);

2. Calcular a norma euclidiana do vetor de incrementos ∆x(k)0 ;

3. Calcular o valor de ∆ε(k);

4. Calcular os valores das funcoes resıduos Φ1, Φ2 e Φ3;

5. Calcular o valor otimo de ε(k);

6. Atualizar as variaveis: x(k+1) = x(k) + ε(k)∆x(k)

Durante as iteracoes do fluxo de potencia, deve ser atribuıdo a ε o valor unitarioa cada vez que |ε| > 1, 0. Isso tem por objetivo evitar problemas nos casos em que ofluxo de potencia e normalmente convergente.

4.5 Determinacao do Maximo Carregamento

Em geral, o problema de instabilidade de tensao esta fortemente relacionado a umacondicao de operacao extrema em termos de carga. E portanto necessario estudaro comportamento do sistema em pontos de alto carregamento pois isto possibilitadeterminar tanto ındices de proximidade como margens de seguranca para a analise daestabilidade de tensao. Para determinar o ponto crıtico em termos de demanda, duasabordagens sao geralmente utilizadas. A primeira baseia-se na parametrizacao dasequacoes da refe eletrica em regime permanente. A segunda estende esta abordagempara considerar as restricoes operativas. Duas metodologias para a determinacao docarregamento maximo do sistema em termos de demanda sao descritas a seguir.

4.5.1 O Metodo da Continuacao

Este metodo tem por objetivo determinar o ponto crıtico de um sistema de equacoesnao lineares parametrizadas. Para esta finalidade um esquema de predicao-correcao eempregado, determinando-se uma sequencia de solucoes do conjunto de equacoes naolineares (no caso as equacoes do fluxo de potencia reformuladas para incluir o chamadoparametro de carga) desde uma carga base ate a solucao de carregamento extremo.

EEL-UFSC 53

A parametrizacao das equacoes convencionais da rede eletrica e a principal es-trategia para facilitar a aproximacao do ponto crıtico via Metodo de Newton-Raphsonmodificado. Varias versoes do Metodo da Continuacao tem sido relatadas na literatura,com enfase nas estrategias de uso das relacoes de sensibilidade entre as variaveis do sis-tema de potencia, disponıveis como subproduto do processo iterativo. Essas estrategiaspermitem determinar ındices de proximidade do ponto de carregamento crıtico, barrascrıticas e geradores e linhas importantes para a manutencao da estabilidade de tensao.

Para estabelecer o procedimento utilizado no Metodo da Continuacao as equacoesconvencionais do fluxo de potencia sao parametrizadas pelo fator ρ, sendo expressaspor

(P 0gi

+ ρ∆Pgi) − (P 0

di+ ρ∆Pdi

) − Pi(V, δ) = 0 (barras PV e PQ)

Q0gi− (Q0

di+ ρ∆Qdi

) − Qi(V, δ) = 0 (barras PQ)(4.5.1)

Nestas equacoes P 0gi

e Q0gi

sao as geracoes especificadas de potencias ativa e reativada barra i, respectivamente, para um caso base; P 0

die Q0

disao as demandas especificadas

de potencias ativa e reativa da barra i, respectivamente para um caso base; ∆Pdie ∆Qdi

sao os incrementos de carga de potencias ativa e reativa, com ∆Pgisendo o incremento

de geracao ativa, todos em relacao a barra i; e (V, δ) sao os angulos das tensoes dasbarras PV e PQ e a magnitude das tensoes das barras PQ.

Essas equacoes sao algebricas e nao-lineares, e representam o sistema de potenciaoperando em regime permanente. Na forma compacta elas podem ser expressas como

g(x, ρ) = 0 (4.5.2)

onde g(·, ·) e o vetor das equacoes nao lineares do fluxo de potencia, expressas em funcaodo angulo e da magnitude da tensao (representados pelo vetor x) e pelo parametro dacarga ρ.

Observa-se que a variavel adicional ρ foi incluıda no conjunto de equacoes da redeeletrica, enquanto que o numero destas equacoes permaneceu o mesmo.

Baseando-se na forma parametrizada das equacoes nao-lineares que representama rede eletrica, expressa na equacao (4.5.2), o Metodo da Continuacao emprega umesquema de predicao-correcao para a busca da solucao de maximo carregamento. Esteesquema automatiza a obtencao do ponto crıtico, determinando uma sequencia desolucoes do fluxo de potencia, conforme mostrado na figura 4.6. Denotando por x0

a solucao de um caso base, a aplicacao desta tecnica e fundamentada no seguinteprocedimento:

• determinar uma predicao linear da nova solucao para um especificado valor doparametro da carga. Esta predicao e baseada na linearizacao das equacoes dofluxo de potencia parametrizadas, tal que essas equacoes nao sao satisfeitas noponto predito;

• corrigir a solucao predita atraves da resolucao de um fluxo de potencia Newton-Raphson modificado.

Estas duas etapas sao descritas nas subsecoes seguintes.


f(x)

f((x0)Vetor tangente a f(x) em x0

Solucao predita (xp)

Solucao corrigida

Solucao critica (x∗)

x

(xc = x0 + ∆x)

x0

Figura 4.6: Esquema Predicao-Correcao

4.5.1.1 Etapa de Predicao

A solucao predita durante o processo iterativo tem como funcao servir de ponto de par-tida para o metodo de Newton-Raphson, aplicado na etapa de correcao para a obtencaoda solucao das equacoes da rede para o nıvel de carregamento especificado. A predicaoe baseada nas relacoes de sensibilidade entre as variaveis do sistema de potencia. Estasfornecem uma estimativa de como certas variaveis da rede se comportam devido a umavariacao da carga/geracao.

As variacoes incrementais nas variaveis de estado ∆x, expressas em funcao de umavariacao incremental no parametro ρ, sao obtidas da expansao em serie de Taylor doconjunto de equacoes g(x, ρ) = 0 no ponto (x, ρ), ao longo da direcao (∆x, ∆ρ), ate otermo de primeira ordem, isto e

[

∂g(x, ρ)

∂x

]

∆x +∂g(x, ρ)

∂ρ∆ρ = 0

onde,

[

∂g(x, ρ)

∂x

]

e a matriz Jacobiana do fluxo de potencia convencional;∂g(x, ρ)

∂ρe

o vetor das derivadas parciais das equacoes g(x, ρ) em relacao ao parametro ρ.Desde que nessa ultima equacao o numero de incognitas e maior do que o numero

de equacoes, o valor de uma variavel deve ser especificado para que o de todas as outraspossa ser calculado. Isto equivale a resolver o seguinte sistema de equacoes

∂g(x, ρ)

∂x

∂g(x, ρ)

∂ρ0t 1, 0

[

∆x∆ρ

]

=

[

0±β

]

(4.5.3)

onde

[

∆x∆ρ

]

, denominado vetor tangente de predicao, fornece uma estimativa dos

incrementos preditos para as variaveis x. O parametro β e selecionado, de acordo como incremento na demanda desejado. O vetor 0t e composto de zeros e tem a mesmadimensao do vetor ∆x.

EEL-UFSC 55

Conforme sera visto subsequentemente, atraves do calculo do vetor tangente depredicao para as variaveis de estado e ainda possıvel identificar as areas crıticas, calcularum ındice de proximidade do ponto crıtico em termos de magnitude da tensao e observara importancia de geradores e linhas de transmissao em relacao a estabilidade de tensao.

Deve ser notado que a ultima equacao do sistema linear, expressa por

[

0t 1, 0]

[

∆x∆ρ

]

= ±β

especifica o valor de uma variavel, conforme requerido para a solucao do sistema linear.Estabelecer que o ultimo elemento do vetor b e igual a + 1, significa estimar um estadode operacao correspondente ao incremento de carga especificado. Isto pode ser feitocom qualquer uma das variaveis do vetor tangente de predicao.

O valor predito para as variaveis nesta etapa e dado por

xpred =xbase + ∆xpred

ρpred =ρbase + ∆ρpred(4.5.4)

Observe-se ainda que xpred e ρpred sao estimativas baseadas no modelo linearizadodas equacoes da rede parametrizadas. Estes valores nao necessariamente satisfazemo conjunto de equacoes algebricas nao-lineares do sistema eletrico. A solucao exatadestas e obtida na etapa de correcao, descrita a seguir, com as estimativas da etapa depredicao usadas como valores iniciais das variaveis consideradas.

4.5.1.2 Etapa de Correcao

Esta etapa consiste em resolver as equacoes nao-lineares da rede eletrica parametri-zadas pelo fator ρ. A inclusao desta variavel adicional no conjunto de equacoes da redeeletrica requer a inclusao de uma equacao extra no conjunto de equacoes nao-lineares.Da mesma maneira que anteriormente, uma variavel qualquer pode ser especificada deforma a representar a equacao a ser adicionada. Esta variavel e comumente denominadavariavel da continuacao e sua equacao correspondente e expressa como

ui − upredi = 0 (4.5.5)

onde ui e a variavel cujo valor e especificado.

O novo conjunto de equacoes nao-lineares a ser resolvido na etapa de correcao e,portanto

[

g(x, ρ)

ui − upredi

]

=

[

00

]

Apesar da possibilidade de se utilizar outras abordagens para resolver este sistemade equacoes, o metodo de Newton-Raphson e em geral aplicado. Neste caso, estesistema de equacoes nao-lineares apresenta a matriz Jacobiana aumentada da mesmaforma que a equacao (4.5.3). Este Jacobiano acrescido de uma linha e uma colunagarante que o conjunto reformulado de equacoes permanece numericamente bem con-dicionado, mesmo para pontos extremos de carregamento, o que facilita a convergenciado processo iterativo.


4.5.1.3 Escolha do Parametro da Continuacao

A selecao da variavel ui, o parametro da continuacao da etapa de correcao, e feita combase na observacao dos componentes do vetor tangente, calculado na etapa de predicao.

A variavel ui, correspondente a componente do vetor tangente de predicao com amaior variacao percentual no calculo da equacao (4.5.3) e escolhida como parametroda continuacao. Em termos analıticos, isto e expresso como

ui = max

{∣

∣

∣

∣

∆xl

xl

∣

∣

∣

∣

,

∣

∣

∣

∣

∆x2

x2

∣

∣

∣

∣

, . . . ,

∣

∣

∣

∣

∆xn

xn

∣

∣

∣

∣

,

∣

∣

∣

∣

∆ρ

ρ

∣

∣

∣

∣

}

(4.5.6)

Entao, para o calculo do vetor tangente ∆u na etapa de predicao, a equacao (4.5.3)pode ser utilizada, com o valor ±β atribuıdo ao componente do vetor do lado direitoda equacao (4.5.3) na posicao adequada, de acordo com a escolha do parametro dacontinuacao. A escolha do sinal depende da variavel escolhida na iteracao anteriorcomo o parametro da continuacao.

Por exemplo, supondo que durante o j-esimo passo da etapa de predicao, e obser-vado que a variavel de maior variacao percentual absoluta e aquela correspondente amagnitude da tensao da barra k e que esta variacao e negativa. Entao, o valor β eestabelecido como componente nao nula no vetor do lado direito da equacao (4.5.3) eposicionado adequadamente neste vetor.

Conforme mencionado anteriormente, o valor da componente nao nula do vetor dolado direito da equacao (4.5.3) e arbitrario. Este valor pode ainda ser monitoradoutilizando-se um fator de passo α, tal que de uma forma generica, o calculo do vetorpredito e feito com base na seguinte equacao

[

xpred

ρpred

]

=

[

xbase

ρbase

]

+ α

[

∆xpred

∆ρpred

]

(4.5.7)

onde α e um fator de passo, selecionado para controlar os incrementos nas variaveis xe ρ.

A questao da determinacao da magnitude dos incrementos (ou do fator de passo a serespecificado) esta relacionada ao tempo de computacao e ao risco de nao convergenciado processo iterativo na fase de correcao. Fatores de passo muito pequenos nao saointeressantes, devido ao tempo gasto no calculo da trajetoria das solucoes de fluxo depotencia. Valores muito grandes podem levar o processo iterativo a uma situacao denao convergencia, devido a uma predicao exagerada, que geraria um ponto de operacaopredito irreal.

A especificacao de um valor otimo para o fator de passo α e um problema inerente aoMetodo da Continuacao. Geralmente este valor e dependente da dimensao do sistemaem estudo, da localizacao das barras escolhidas para adicao da carga e da magnitudeda variacao destas cargas.

4.5.1.4 Criterio de Parada

Uma importante questao relacionada ao calculo da trajetoria das solucoes do fluxo depotencia diz respeito ao criterio de parada adotado. Desde que o objetivo do metodoe determinar a parte superior da curva P-V ate o ponto crıtico, o incremento ∆ρ serapositivo ate o ponto crıtico e negativo na parte inferior da curva. Ou seja, se no k-esimo

EEL-UFSC 57

passo do proceso iterativo o componente ∆ρ, do vetor tangente de predicao, for menordo que zero, isto significa que a convergencia da etapa de correcao ocorrera num pontoda parte inferior da curva, indicando que o ponto crıtico foi ultrapassado. Neste caso,poder-se-ia optar pelo prosseguimento do processo iterativo, e com os valores de ∆ρnegativos obter a parte inferior da curva P-V.

4.5.1.5 Algoritmo

O procedimento adotado na aplicacao do metodo da continuacao pode ser sumariadona seguinte sequencia de passos:

1. obter a solucao do fluxo de potencia convencional para o caso base (ρ = 0). Oparametro da carga ρ e selecionado inicialmente como variavel da continuacao eo seu incremento e especificado arbitrariamente. Observe que a matriz Jacobianana forma fatorada e obtida como um subproduto deste passo;

2. resolver o sistema linear da equacao (4.5.3) para determinar o vetor tangente depredicao;

3. verificar o criterio de parada, o qual consiste em observar o sinal do incremento∆ρ. Se nao houve variacao no sinal de ∆ρ (de positivo para negativo), prosseguirao proximo passo;

4. com base na magnitude relativa do vetor tangente, criterio expresso pela equacao(4.5.6), selecionar o parametro da continuacao para a proxima iteracao;

5. determinar a solucao predita, equacao (4.5.7);

6. determinar, via metodo de Newton-Raphson, a solucao corrigida. Observe que asolucao predita deve ser utilizada como estimativa inicial do processo iterativo.Retornar ao passo 2;

Exemplo 4.5.1Para ilustrar a teoria descrita nas secoes anteriores, apresenta-se a seguir um exem-plo no qual a reformulacao do conjunto de equacoes do fluxo de potencia para a fasede correcao consiste em adicionar ao mesmo uma equacao semelhante a (4.5.5). Ademanda do sistema foi aumentada uniformemente, mantendo-se o fator de potenciaconstante.

O sistema exemplo da figura 4.7, cujos os dados das linhas de transmissao dadosnas tabelas 4.2 e 4.3, foi utilizado para mostrar a aplicacao do metodo da continuacao.

A solucao do fluxo de potencia via Newton-Raphson e apresentada na tabela 4.3.As equacoes do fluxo de potencia parametrizadas por ρ, sao:

(Pg2 + ρ∆Pg2) − (Pd2 + ρ∆Pd2) − P2(V, δ) = 0

(Pg3 + ρ∆Pg3) − (Pd3 + ρ∆Pd3) − P3(V, δ) = 0 (4.5.8)

Qg2 − (Qd2 + ρ∆Qd2) − Q2(V, δ) = 0


G1

1 2

Pd2 + jQd2

3

Pd3 + jQd3G3

Figura 4.7: Sistema de 3 barras

Linha Barras R XBsh

2(%) (%) (%)

1 1 - 2 10,00 100,0 1,02 1 - 3 20,0 200,0 2,03 2 - 3 10,0 100,0 1,00

Tabela 4.2: Dados do sistema de transmissao - sistema de 3 barras

onde

P2(V, δ) = V2 [V1(G21 cos δ21 + B21 sin δ21) + V3(G23 cos δ23 + B23 sin δ23)]

P3(V, δ) = V3 [V1(G31 cos δ31 + B31 sin δ31) + V2(G32 cos δ32 + B32 sin δ32)]

Q2(V, δ) = V2 [V1(G21 sin δ21 − B21 cos δ21) + V3(G23 sin δ23 − B23 cos δ23)]

e Gij e Bij sao termos da matriz admitancia de barra.Os incrementos ∆Pd2 , ∆Pd3 , ∆Qd2 , ∆Pg2 , ∆Pg2 sao calculados atraves das ex-

pressoes

∆Pdi= 0, 025P 0

di

∆Qdi= 0, 025Q0

di

∆Pgi= 0, 025P 0

gi

onde P 0di, Q0

die P 0

gisao as demandas de potencia ativa e reativa, respectivamente, e a

geracao de potencia ativa correspondentes ao caso base. Portanto, a taxa de variacaoda carga e da geracao de potencia ativa e de 2,5 %.

Barra Tipo V δ Pg Qg Pd Qd

(V) graus MW Mvar MW Mvar

1 folga 1,0000 0,0000 20,33 -0,86 - -2 PQ 0,9828 -6,600 - - 5,00 2,003 PV 0,9800 -10,36 50,00 -1,63 65,0 -

Tabela 4.3: Solucao do fluxo de potencia para o caso base - sistema de 3 barras

EEL-UFSC 59

O sistema de equacoes lineares para a determinacao do vetor tangente e expressoanaliticamente por

−

∂P2

∂δ2

∂P2

∂δ3

∂P2

∂V2−∆Pd2

∂P3

∂δ2

∂P3

∂δ3

∂P3

∂V2∆Pg3 − ∆Pd3

∂Q2

∂δ2

∂Q2

∂δ3

∂Q2

∂V2−∆Qd2

∆δ2

∆δ3

∆V2

∆ρ

=

000

(4.5.9)

Para os resultados do caso base, este sistema linear e numericamente dado por

1, 9131 −0, 9578 0, 1437 0, 00125−0, 9453 1, 4138 −0, 1604 0, 00375−0, 2412 0, 0327 1, 9061 0, 0005

0 0 0 1

∆δ2

∆δ3

∆V2

∆ρ

=

000

1, 0

(4.5.10)

Na predicao do primeiro ponto, a ultima linha da matriz de coeficientes do sistemalinear possui o componente nao nulo com valor unitario, posicionado na ultima coluna,pois na estimativa da primeira solucao predita ρ e o parametro da continuacao. Nasiteracoes seguintes, a selecao do parametro da continuacao e feita com base no elementode maior magnitude do vetor tangente. O elemento nao nulo do vetor do lado direitoda equacao (4.5.9) e fixado no valor unitario quando ρ for o parametro da continuacaoe em 0, 05 quando o referido parametro for qualquer outra variavel do sistema (observeque esta escolha e arbitraria). A solucao do sistema linear da equacao (4.5.9) e

∆δ2

∆δ3

∆V2

∆ρ

=

−0, 0030−0, 0047−0, 00061, 0000

A analise das componentes do vetor tangente revela que o elemento de maior mag-nitude do vetor tangente e ∆ρ e portanto este e o parametro da continuacao selecionadopara a proxima iteracao.

Os valores preditos para a primeira iteracao do metodo da continuacao sao

δ2

δ3

V2

ρ

=

−0, 1182−0, 18550, 98221, 0000

Desde que ρ foi selecionado como o parametro da continuacao, na fase de correcaoa equacao a ser adicionada ao sistema nao linear da equacao (4.5.8) e

ρ − 1, 0 = 0, 0

A solucao das equacoes nao lineares parametrizadas via metodo de Newton-Raphsone dada por

δ2

δ3

V2

ρ

=

−0, 1182−0, 18550, 98221, 0000


A igualdade entre os valores predito e corrigido e devida a magnitude reduzida doscomponentes do vetor tangente.

As novas potencias geradas e demandas atualizadas sao

Pg1(MW )Pg3(MW )Pd2(MW )Pd3(MW )Qd2(Mvar)

=

20, 8551, 255, 1266, 622, 05

O processo iterativo prossegue de acordo com este procedimento, ate que o incre-mento ∆ρ se torne negativo.



1 folga 1,100 0,0000 132,71 96,94 - -2 PQ 0,798 -46,41 - - 12,27 5,893 PV 1,100 -82,42 60,00 109,82 159,51 -

Tabela 4.4: Solucao de maximo carregamento via Metodo da Continuacao

A solucao obtida no ponto de maxima demanda do sistema e apresentada na tabela4.4. O valor do parametro de carga, de 1,454, e atingido por efeito do limite superiorde geracao de potencia ativa na barra 3 (60 MW) e dos limites maximos na magnitudede tensao (1,1 pu).

4.5.1.6 Comentarios

Alem das duas tecnicas descritas nas secoes anteriores para as etapas de predicaoe correcao, outras formas de predicao (denominada Metodo da Secante) e correcao(chamada Correcao Perpendicular) sao encontradas na literatura.

O metodo da secante consiste em determinar a solucao predita em funcao de duassolucoes da curva de solucoes das equacoes nao-lineares calculadas previamente. nestecaso, o ponto predito e dado por

[

xpred

ρpred

]

=

[

xbase

ρbase

]

+ α

[

x(k−1) − x(k)

ρ(k−1) − ρ(k)

]

onde

[

x(k−1)

ρ(k−1)

]

e

[

x(k)

ρ(k)

]

sao as duas ultimas solucoes corrigidas disponıveis.

A vantagem do uso desta estrategia para o calculo do ponto predito e que naoha necessidade de resolver o sistema linear expresso pela equacao (4.5.3) para outrospontos alem da primeira solucao do processo iterativo do metodo da continuacao.

Uma boa predicao do metodo da secante e funcao: da proximidade dos pontos;da magnitude dos incrementos determinada na fase da predicao e da parte da curvade solucao das equacoes nao-lineares onde esta se realizando a predicao (plana ouinclinada, proxima ao extremo da curva).

EEL-UFSC 61

Uma tecnica alternativa de correcao pode ser estabelecida com base no vetor per-pendicular ao vetor tangente de predicao da equacao (4.5.3); ou seja, ao inves daequacao ui − upred

i = 0, a equacao a ser incluıda no sistema nao-linear 4.5.2 e expressacomo

[

∆xt ∆ρ]

[

(x − xpred)(ρ − ρpred)

]

= 0 (4.5.11)

onde xpred) e ρpred) e o ponto predito, assim como o vetor tangente[

∆xt ∆ρ]

etambem obtido na fase de predicao e

A correcao perpendicular prescinde a escolha de um parametro da continuacao.A aplicacao do metodo da secante e da correcao perpendicular requer um criterio deparada diferente daquele citado anteriormente (baseado na mudanca de sinal de ∆ρ).

4.5.1.7 Aspectos complementares

Nas secoes anteriores, apresentou-se o metodo da continuacao como uma ferramentacomputacional para a determinacao da solucao de um conjunto de equacoes algebricasnao-lineares. No caso das equacoes da rede eletrica em regime permanente, estaaplicacao especıfica possibilita a convergencia do processo iterativo para obtencao desolucao em situacoes de extremo carregamento. Entretanto, a consideracao das res-tricoes operativas, incluıdas no problema para representar mais fielmente o compor-tamento fısico do sistema, e de fundamental importancia para a qualidade da solucaodas equacoes da rede eletrica. A estrategia de manipulacao destas restricoes e descritaa seguir.

4.5.1.8 Tratamento das Restricoes de Desigualdade

Um caso tıpico onde os limites devem ser considerados e o das restricoes na geracaode potencia reativa. Neste caso, o problema a ser resolvido consiste na determinacao

do vetor

[

xρ

]

, tal que o sistema de equacoes algebricas nao-lineares g(x, ρ) = 0

seja satisfeito, juntamente com as inequacoes h(x, ρ) ≥ 0, que representam os limitesoperativos.

O tratamento nao adequado das restricoes de geracao de potencia reativa pode levara uma solucao corrigida bastante diversa daquela prevista. Diversas situacoes podemocorrer, por exemplo:

• a convergencia para um ponto em que ρ e menor do que o ρ correspondente asolucao previa, mesmo que isto nao tenha sido indicado na etapa de predicao;

• a convergencia para uma solucao em que ρ seja maior que o ρ da solucao anterior,mas com magnitude das tensoes maior do que a correspondente a solucao anterior.

Estes problemas sao causados pelo nao atendimento das restricoes de desigualdadeno ponto predito e a imposicao desta restricao na etapa de correcao; ou seja, se naetapa de predicao as desigualdade nao forem verificadas, na etapa de correcao, queconsiste na solucao das equacoes do fluxo de potencia, corre-se o risco de uma eventualconversao de barra tipo PV em PQ, ocasionando uma correcao bastante diversa daquelaestimada.


4.5.2 O Uso de Tecnicas de Otimizacao

A determinacao da demanda maxima que pode ser suprida, mantendo o fator depotencia constante e satisfazendo as restricoes operacionais pode ser formulada anali-ticamente como um problema de otimizacao da forma [22]:

Maximizar ρ

sujeito a g(x, ρ) = 0

xm ≤ x ≤ xM

hm ≤ h(x) ≤ xM

(4.5.12)

onde, ρ e um fator que parametriza as demandas de potencias ativa e reativa; g(x, ρ)e o vetor das equacoes de balanco de potencia parametrizadas pelo fator ρ; x e o vetordas variaveis de otimizacao com seus limites mınimos e maximos, respectivamente, xm

e xM ; h(x) e o vetor das restricoes operacionais com seus limites mınimos e maximos,respectivamente, hm e hM .

O vetor g(x, ρ) e formado pelas equacoes de balanco de potencias ativa e reativa emtodas as barras de carga do sistema, de forma semelhante a do Metodo da Continuacao.Estas equacoes parametrizadas pelo fator ρ assumem a forma

∆Pi(x, ρ) = Pi(x) − Pgi− (Pdi0

− ρ∆Pdi)

∆Qi(x, ρ) = Qi(x) − Qgi− (Qdi0

− ρ∆Qdi)

(4.5.13)

onde ∆Pi(x, ρ) e ∆Qi(x, ρ) sao os vetores dos desbalancos de potencias ativa e reativaparametrizados; Pgi

e Qgisao as potencia ativa e reativa geradas, respectivamente;

Pdi0e Qdi0

sao os vetores com os valores iniciais das demandas de potencias ativa ereativa, respectivamente; e ∆Pdi

e ∆Qdisao os vetores com as direcoes de variacao das

demandas de potencias ativa e reativa, respectivamente.Os componentes ∆Pdi

e ∆Qdi, os quais sao especificados pelo usuario, definem a

direcao de crescimento de carga na qual o processo de otimizacao ira buscar um pontode operacao que satisfaca as restricOes de capacidade e operacionais correspondente aum carregamwento extremo.

Para as barras de geracao, a direcao de variacao das demandas de potencias ativa ereativa pode ser feita igual a zero. Isto implica em que, nestas barras, toda a demandae suposta ser atendida localmente. Para as barras de injecao nula, o mesmo artifıcio eutilizado de modo que, ao final do processo iterativo, a restricao de injecao de potencianula nestas barras seja satisfeita. As barras PQ consideradas no presente contexto saoaquelas que efetivamente possuem demanda de energia eletrica ou barras de injecaonula. No caso dessas barras, uma direcao de decrescimo (∆Pdi

e ∆Qdie especificada a

priori.O vetor h(x) e composto pelas restricoes operacionais do sistema de energia eletrica.

Entre outras restricoes, este vetor podera conter:

• limites de geracao de potencia ativa;

• limites de geracao de potencia reativa;

• limites de fluxo de potencia nos circuitos.

EEL-UFSC 63

As restricoes de geracao de potencias ativa e reativa nas barras de geracao saoindependentes do fator ρ visto que nestas barras toda a demanda e suposta atendidae, portanto, a direcao de decrescimo da carga e feita igual a zero. Daı, estas restricoesoperacionais podem ser modeladas como

Pgi= Pi(x) + Pdi0

Qgi= Qi(x) + Qdi0

(4.5.14)

O vetor das variaveis de otimizacao x e composto pelas variaveis do sistema deenergia eletrica acrescidas do parametro de variacao da demanda; ou seja,

[x , ρ]

onde o vetor x inclui as magnitudes das tensoes em todas as barras do sistema deenergia, os tapes dos transformadores com comutacao sob carga (LTC); e os angulosde fase das tensoes em todas as barras do sistema com excecao da barra de referenciaangular.

O problema expresso pela equacao (4.5.12) pode ser expresso em termos das variaveisdo sistema de potencia como,

Maximizar ρ

sujeito a Pgj− (P 0

dj+ ρ∆Pdj

) − Pj(V, δ) = 0

Qgj− (Q0

dj+ ρ∆Qdj

) − Qj(V, δ) = 0

P mgj

≤ Pgj= (P 0

dj+ ρ∆Pdj

) + Pj(V, δ) ≤ P Mgj

Qmgj≤ Qgj

= (Q0dj

+ ρ∆Qdj) + Qj(V, δ) ≤ QM

gj

V mj ≤ Vj ≤ V M

j

(4.5.15)

onde todas as variaveis foram definidas previamente e por simplificacao nao foramincluıdos os taps dos transformadores.

A solucao do problema representado pela equacao (4.5.15) fornece:

• a solucao das equacoes da rede eletrica correspondente ao suprimento da maximademanda (angulo e magnitude da tensao em todas as barras, tap dos transfor-madores e parametro da carga).

• os multiplicadores de Lagrange correspondentes aos balancos de potencias ativae reativa nas barras de carga. Essas grandezas sao interpretadas como sensibi-lidades instantaneas do parametro da carga com relacao as injecoes de potenciaativa e reativa nas barras de carga;

• os multiplicadores duais correspondentes as restricoes de desigualdade ativas (nolimite). Neste caso, os multiplicadores representam a sensibilidade instantaneado parametro da carga com relacao ao limite atingido.

Observe que a inclusao das restricoes de desigualdade faz com que a solucao doproblema 4.5.15 seja diferente daquela obtida atraves do Metodo da Continuacao.




1 folga 1,100 0,0000 119,13 59,71 - -2 PQ 0,900 -36,06 - - 11,82 5,673 PV 1,100 -64,32 60,00 73,81 153,64 -

Tabela 4.5: Solucao de maximo carregamento via tecnicas de otimizacao

Exemplo 4.5.2No caso do sistema de tres barras da figura 4.7, a solucao das equacoes da rede eletricasob a condicao de maximo carregamento operativo e mostrada na tabela 4.5. Verifica-se que, devido a imposicao do limite de magnitude de tensao na barra de carga, umademanda menor do que aquela mostrada na tabela 4.4 e suprida.

4.6 Indices de proximidade

4.6.1 O Vetor Tangente

Conforme visto anteriormente, os elementos do vetor tangente de predicao podem serinterpretados como coeficientes de sensibilidade entre as variaveis do sistema eletrico,para um especıfico carregamento correspondente ao incremento ∆ρ.

Uma analise mais profunda da variacao da magnitude das tensoes das barras emfuncao do seu carregamento revela que algumas delas tem uma variacao absoluta ∆Vmaior que as outras. As barras que apresentam os valores mais elevados sao as cha-madas barras crıticas. Um conjunto destas barras constitui uma area crıtica especıficado sistema, a qual sofre o maior impacto da instabilidade de tensao. Esta area crıticapode mudar de local enquanto o sistema esta em fase de carregamento e e dependentetambem do cenario de carregamento especificado.

A literatura mostra que o vetor tangente de predicao da equacao (4.5.3) convergepara o autovetor a direita no ponto crıtico. Tambem proximo ao ponto crıtico, o vetorsingular direito associado ao mınimo valor singular e o autovetor direito associadoao menor autovalor sao iguais (se uma normalizacao apropriada e utilizada). Parapontos de operacao longe do ponto crıtico, esta monitoracao do autovetor ou do vetorsingular nao sao satisfatorias, pois estes apresentam uma grande sensibilidade devidoa perturbacoes na matriz; ou seja, a magnitude dos elementos destes vetores mudamsignificativamente enquanto o sistema esta sendo carregado.

Outra importante informacao advinda do metodo da continuacao e a possibilidadede determinacao de uma margem de carregamento que indique quao distante esta acondicao de operacao corrente, do ponto crıtico, servindo como um criterio de perfor-mance para a analise de seguranca. Um candidato natural a ındice, representativo damargem de carregamento possıvel, e o parametro ρ, determinado durante a construcaoda curva P-V via metodo da continuacao. Indices deste tipo sao comumente denomina-dos ındices tipo margem, por indicarem a margem entre o ponto de operacao correntee o ponto crıtico da curva P-V em termos de carregamento em potencia ativa (MW)e/ou reativa (Mvar).

EEL-UFSC 65

Outra maneira de medir a distancia do ponto de operacao corrente ao ponto crıtico,e obtida observando-se o comportamento da tensao da barra crıtica, quando a solucaodas equacoes da rede eletrica se aproxima do extremo da curva P-V. A tensao da barracrıtica passa a ter uma grande variacao em magnitude, em funcao de uma pequenavariacao de carga. Como consequencia, e natural estabelecer um ındice dado por

∆Pj

∆Vj

onde ∆Vj e a variacao da magnitude da tensao da barra crıtica, obtida do vetor tangentede predicao. O incremento ∆Pj e a variacao de carga imposta a barra crıtica j, expressacomo

∆Pj = ∆ρ∆Pdj

onde ∆Pdjcorresponde a direcao de variacao da demanda na j-esima barra.

Este ındice se aproxima de zero quanto mais proximo o sistema esta do ponto crıticoda curva P-V.

O criterio de calculo do ındice de proximidade do ponto crıtico deve ser estendidopara que seja utilizada nao apenas a variacao de carga da propria barra crıtica, mastambem a variacao de carga global do sistema. A razao disto e que a variacao globale responsavel pela queda de tensao da barra crıtica. Isto fornece os dois ındices decolapso de tensao dados abaixo

IPCTativo = −∆Ptotal

∆Vj

e

IPCTreativo = −∆Qtotal

∆Vj

onde,

∆Ptotal = ∆ρ

n∑

i=1

∆Pdi

e

∆Qtotal = ∆ρ

n∑

i=1

∆Qdi

sao os incrementos de carga de potencias ativa e reativa, respectivamente, da barra i;e ∆Vj e a variacao da magnitude da tensao na barra que apresenta a mais elevada

relacao∆Vk

Vk

.

Para serem eficientemente utilizados, estes ındices de proximidade devem ter umcusto computacional baixo e um nıvel de confiabilidade satisfatorio.

4.6.1.1 Sensibilidade dos Elementos do Sistema

A identificacao de quais linhas de transmissao e geradores sao mais importantes, nosentido de contribuir mais significativamente para a manutencao da estabilidade detensao, pode ser realizada com base em uma analise do ponto de operacao predito.Esta determinacao e importante porque estabelece parametros de comparacao parauma analise de contingencia em relacao a estabilidade de tensao.


A questao da geracao de potencia reativa esta intimamente ligada a estabilidade detensao. Quanto menos potencia reativa o sistema tiver condicoes de transferir a carga,menor a possibilidade de gerenciamento de fluxo de reativo devido a uma condicaoanormal de operacao. e importante entao determinar a sensibilidade da geracao depotencia reativa em funcao do padrao de carregamento estudado, assim como, gerenciara distribuicao de potencia reativa nas linhas de transmissao, o que pode ser feito combase na perda de reativo nestes elementos.

4.6.2 Decomposicao em Valores Singulares

A Decomposicao em Valores Singulares (SVD) tem sido aplicada na analise da estabi-lidade de tensao dos sistemas de potencia por causa da robustez numerica da fatoracaoortogonal da matriz Jacobiana das equacoes do fluxo de potencia convencional. Estadecomposicao e numericamente bem condicionada, o que significa que o valor singulare insensıvel as perturbacoes nos elementos da matriz Jacobiana. Portanto, e razoavelutilizar a informacao sobre o ponto de operacao corrente contido na matriz Jacobianapara identificar as barras mais sensıveis sob o ponto de vista de instabilidade de tensao.

Considere o sistema linear da equacao (4.3.5), correspondente as equacoes do fluxode potencia linearizadas numa determinada condicao de operacao, o qual e re-escritoa seguir.

[

∆P∆Q

]

=

[

H NJ L

] [

∆δ∆V

]

A decomposicao em valores singulares de uma dada matriz J, de ordem n × n,consiste em expressar esta como

J = UΣVt

onde U e V sao matrizes ortonormais (isto e, U−1 = Ut e V−1 = Vt), de mesma ordemda matriz Jacobiana e diagonais unitarias, cujas colunas correspondem aos autovetoresesquerdo e direito, respectivamente, e Σ e uma matriz diagonal, cujos elementos reaisnao nulos σi sao os valores singulares da matriz

J =

[

H NJ L

]

tal que σ1 ≥ σ2 ≥ σ3 ≥ . . . ≥ σm.Supondo que a matriz Jacobiana e de ordem m × m, a equacao anterior pode ser

re-escrita como

J =m

∑

i=1

uiσivti

Se a matriz J e nao singular, o efeito de variacoes pequenas nas injecoes de potenciaativa e reativa sobre o angulo e a magnitude das tensoes pode ser expresso por

[

∆δ∆V

]

=

[

H NJ L

]−1 [

∆P∆Q

]

Em termos da decomposicao em valores singulares,[

∆δ∆V

]

= UΣVt

[

∆P∆Q

]

EEL-UFSC 67

ou, alternativamente,[

∆δ∆V

]

=

m∑

i=1

σ−1i viu

ti

[

∆P∆Q

]

Proximo ao ponto de colapso, quando um valor singular tende a zero, a respostado sistema e inteiramente determinada pelo mınimo valor singular σm e pelos vetoressingulares vm e um. Portanto,

[

∆δ∆V

]

= σ−1m vmut

m

[

∆P∆Q

]

com

vm =[

v1 . . . vm

]t

e

um =[

u1 . . . um

]t

onde os vetores um e vm sao normalizados; isto e,

m∑

i=1

v2i = 1

m∑

i=1

u2i = 1

(4.6.1)

Tomando-se[

∆P∆Q

]

= um (4.6.2)

entao[

∆δ∆V

]

= σ−1m vm (4.6.3)

Assim, os vetores singulares direito e esquerdo vm e um podem ser interpretadosda seguinte forma:

• o elemento de maior magnitude em vm indica as tensoes das barras mais sensıveis(barras crıticas);

• a componente maxima do vetor um corresponde a direcao mais sensıvel em termosde variacao nas injecoes de potencia ativa e reativa;

Portanto, as barras denominadas fracas sob o ponto de vista do colapso de tensaopodem ser identificadas pelo vetor singular a direita vm.

Por outro lado, o vetor singular a esquerda pode fornecer informacoes a respeito doefeito da transferencia de potencia atraves das diferentes areas, em termos de estabi-lidade de tensao. Assim, linhas de transmissao fracas podem ser identificadas atravesda analise do vetor singular a esquerda.

A decomposicao em valores singulares pode ser tambem utilizada para selecionaras barras de interesse sob o ponto de vista de sensibilidade, o que pode melhorar aeficiencia dos algoritmos destinados a esta finalidade.


4.6.2.1 Indice de Instabilidade de Tensao

O mınimo valor singular σm pode ser utilizado como indicador de instabilidade detensao. Quanto mais proximo o ponto de operacao corrente estiver da instabilidade detensao, mais preciso sera o mınimo valor singular como indicador de instabilidade detensao. Observe-se entretanto que este indicador e nao linear por natureza e portantoe recomendavel que o mesmo seja utilizado com uma metodologia de determinacao demargem de colapso de tensao (o Metodo da Continuacao, por exemplo).

4.6.2.2 Classificacao das Barras pelo seu Efeito na Instabilidade de Tensao

A classificacao das barras com maior efeito sobre a estabilidade de tensao e feita combase no vetor singular a direita vm, cujas componentes de maiores valores em magnitudecorrespondem as barras mais sensıveis (crıticas).

4.6.2.3 Indicacao de Nıveis de Carregamento Crıticos

Os nıveis de carregamento crıticos podem ser identificados com base no vetor singulara esquerda um, o qual fornece um prototipo das variacoes na injecao de potencia dasbarras. Isto permite identificar a direcao de modificacao mais crıtica na demanda depotencia. Os fatores de distribuicao e de potencia, denotados Df e Pf , respectivamente,podem ser calculados nesta direcao atraves das expressoes

Dfi=

ui∑

j uj

onde os ındices i e j se refere as componentes do vetor um correspondentes as injecoesde potencia ativa, o ultimo dos quais relativo as barras de carga; e

Pfi= cos(arctan

upi

uqi

)

onde os termos upie uqi

se referem aos componentes de um correspondentes as injecoesde potencia ativa e reativa, respectivamente.

4.6.2.4 Classificacao das Linhas de Transmissao

E fato conhecido que a insuficiencia de suporte de potencia reativa e um dos fatoresque mais influenciam a estabilidade da tensao. Assim, as perdas de potencia reativa nalinha de transmissao podem fornecer uma informacao mensuravel sobre a condicao deoperacao do sistema com relacao a instabilidade de tensao. A linha de transmissao coma maior taxa de variacao instantanea de perda de potencia reativa e considerada a maissensıvel a instabilidade de tensao. Desde que as variacoes no angulo e na magnitudeda tensao podem ser estimadas atraves da equacao (4.6.3), os incrementos na perda depotencia reativa de cada linha de transmissao, denotadas ∆Qli , podem ser computadas,tal que o fator de participacao da linha e definido como

Flt =∆Qli

∑

j ∆Qlj

onde o ındice j se refere aos elementos de transmissao de potencia no sistema.

EEL-UFSC 69

4.6.2.5 Classificacao dos Geradores e Compensadores Estaticos de Var

Os geradores e os compensadores estaticos sao as fontes mais importantes de potenciareativa do sistema de potencia. Sob uma determinada condicao de operacao, o gera-dor (ou compensador) mais sensıvel a instabilidade de tensao supre a maior parte dapotencia reativa requerida pela variacao incremental da carga do sistema. Sob o pontode vista estatico, os compensadpres estaticos podem ser tratados da mesma forma queos geradores sıncronos. A disponibilidade das variacoes no angulo e na magnitudeda tensao (atraves da equacao (4.6.3)), permite estimar os incrementos na potenciade saıda dos geradores e compensadores estaticos atraves das equacoes de balanco depotencia. O fator de participacao de um gerador ou compensador estatico e definidocomo

Fgi=

∆Qgi∑

j ∆Qgj

onde o ındice j se refere as barras que possuem geradores ou compensadores estaticosinstalados.

4.7 Solucoes Corretivas

O texto a seguir mostra como a restauracao da solucao das equacoes da rede eletricapode ser realizada atraves dos metodos de solucao do fluxo de potencia com fator deamortecimento.

Partindo da premissa de que se deseja restaurar a solvabilidade do sistema com ummınimo impacto no corte de carga, serao usados alguns ındices para medir o corte aser efetuado no sistema, de modo a proporcionar solucao para as equacoes do fluxo decarga.

Na referencia [29] e apresentado o ındice d, o qual mede o grau de dificuldade deobtencao de solucao para o problema. Este ındice e calculado como

d =√

f(x)tf(x)

onde f(x) e o vetor dos desbalancos de potencia do fluxo de potencia.Neste estudo, sugere-se tambem a definicao de outros dois ındices, relacionados es-

pecificamente ao corte de carga de potencias ativa e reativa. Estes ındices sao definidoscomo

icca=

Pdtot− P sup

dtot

Pdtot

iccr=

Qdtot− Qsup

dtot

Qdtot

(4.7.1)

onde iccae iccr

sao os ındices de corte de carga nas demandas de potencias ativa ereativa, respectivamente; Pdtot

e Qdtotsao os valores totais de demanda de potencias

ativa e reativa, respectivamente; e P supdtot

e Qsupdtot

sao os valores totais de demanda depotencias ativa e reativa que podem ser supridos pelo sistema de energia eletrica demodo a que as equacoes do fluxo de carga ainda apresentem uma solucao real.


Exemplo 4.7.1Considere o sistema de duas barras, apresentado na figura reffigsis2, com um nıvel dedemanda de 340 MW e 272 MVAr. Conforme mostrado anteriormente, o sistema naoapresenta ponto de operacao viavel neste nıvel de carregamento. Em outras palavras,nao existe solucao real para as equacoes do fluxo de potencia.

Na tabela 4.6 sao apresentados os resultados obtidos da aplicacao das abordagens ba-seadas no metodo de Newton-Raphson com fator de amortecimento ao sistema-exemplo.As solucoes A e B correspondem respectivamente as aplicacoes dos metodos de Iwamotoe Tamura e Dehnel e Dommel.

Solucao P supd2

Qd2 V2 δ2 d iccaiccr

(MW) (Mvar) pu graus % %

A 325,46 144,08 0,5978 -32,99 1,2875 4,28 47,03B 261,27 181,74 0,5647 -27,56 1,1977 23,16 33,18

Tabela 4.6: Resultados do fluxo de potencia com amortecimento- sistema de 2 barras

Na tabela 4.6, V2 e δ2 representam o ponto de operacao e P supd2

e Qsupd2

sao os valoresmaximos de demanda de potencias ativa e reativa supridos pelo sistema. As ultimas trescolunas referem-se aos ındices anteriormente discutidos. Observa-se, na Tabela 3.2,que todos os algoritmos fornecem uma solucao para o problema. Entretanto, saliente-se que os pontos de operacao determinados sao bastante distintos entre si. Note que seo criterio de analise for o ındice d, erroneamente poder-se-ia concluir que os pontos deoperacao sao praticamente os mesmos. Neste aspecto, os ındices icca

e iccrse mostram

mais significativos para a analise. Baseado neles, pode-se verificar que o metodo deIwamoto e Tamura e o que apresenta o menor corte de carga na demanda de potenciaativa e o metodo de Dehnel e Dommel o que apresenta o menor corte na demandareativa. Por outro lado, os metodos que apresentam os maiores cortes nas demandasativa e reativa, respectivamente, sao os de Dehnel e Dommel e Iwamoto e Tamura.Observe que este fato justifica-se pois para compensar um menor corte de carga emuma demanda, o algoritmo aumenta o corte na outra. Os metodos que apresentamuma uniformidade maior no corte de carga sao os de Scudder, Castro e Braz e Duarteet al., este fato tambem reforcado pela analise do ındice d.

Outra conclusao que se pode deduzir da analise da tabela 4.6 e a de que, emborase tenha obtido solucoes reais para as equacoes da rede eletrica considerada, estas naosao solucoes operacionais, pois o nıvel bastante baixo das tensoes na barra de cargainviabiliza este ponto de operacao.

Observa-se na tabela 4.6, que as solucoes fornecidas pelas abordagens baseadas nometodo de Newton-Raphson com fator de amortecimento estao situadas sobre a su-perfıcie limite Σ. Nestes pontos de operacao, a matriz Jacobiana do fluxo de potenciae praticamente singular, ou seja, as solucoes do fluxo de potencia coexistem em umabifurcacao de no-sela. Neste ponto, qualquer variacao na demanda pode levar o sistemaa instabilidade, ou mesmo ao colapso de tensao.

EEL-UFSC 71

4.7.1 Metodo do Autovetor a Esquerda

A abordagem proposta na referencia [29] visa fornecer uma medida da ausencia desolucoes reais do fluxo de potencia em sistemas de energia eletrica e apresentar acoescorretivas para a solucao deste problema. Esta metodologia e baseada na formulacaodo problema de fluxo de potencia convencional em coordenadas cartesianas. O objetivoe obter uma primeira solucao para as equacoes da rede eletrica e a partir desta removeras violacoes em limites atraves de metodos tradicionais de analise de seguranca.

Para ilustrar esta metodologia, considere a figura 4.5, a qual representa no espacoparametrico as regioes definidas pelas equacoes do fluxo de potencia. Observa-se queexistem duas regioes: uma na qual existem solucoes para o fluxo de potencia (pontosa e b) e outra na qual nenhuma solucao pode ser encontrada (ponto d). Estas duasregioes sao limitadas por uma superfıcie Σ, na qual existe somente uma solucao parao fluxo de potencia (ponto c).

A metodologia proposta em [29] visa quantificar o grau de dificuldade de se obtersolucao no espaco parametrico, utilizando para este fim a distancia entre o pontoespecificado e o ponto mais proximo pertencente a superfıcie Σ. Para isso, defina-se afuncao custo

F (x) =1

2[S(x) − Sesp]t [S(x) − Sesp]

a qual e sempre maior que zero para todo x, e e igual a zero somente quando existesolucao para o fluxo de potencia.

No caso onde nenhuma solucao para o fluxo de potencia existe, seja xm o vetorque corresponde ao mınimo da funcao custo F (x). Assim, xm pode ser interpretadocomo a melhor solucao possıvel para as equacoes do fluxo de potencia. Seja tambemSm = S(xm) o ponto no espaco parametrico que corresponde ao vetor xm. Com asinformacoes relativas a xm e Sm pode-se ter uma nocao do grau de nao solvabilidadedo problema. Isto fornece uma ideia sobre as modificacoes a serem efetuadas de formaa se obter uma solucao convergente para as equacoes do fluxo de potencia. Esta medidapode ser desenvolvida a partir das seguintes observacoes sobre o vetor xm:

• A matriz Jacobiana das equacoes do fluxo de potencia em xm, denotada J(xm),e singular. Isto pode ser deduzido analisando as condicoes necessarias de otima-lidade para que xm seja um mınimo de F (x), ou seja,

∂F (x)

∂x= 0 : [S(x) − Sesp]t J(xm) = 0

Como [S(x) − Sesp] e diferente de zero, isto implica em que J(xm) e singular.

• O ponto mais proximo de Sesp (com base na norma euclidiana) na superfıcieΣ e Sm = S(xm). Da primeira observacao, deduz-se que Sm e um ponto quepertence a superfıcie Σ. Este ponto e o mais proximo de Sesp, pela definicao dexm como ponto de mınimo da funcao F (x), o que e equivalente a minimizar anorma euclidiana.

• A direcao otima de movimento no espaco parametrico para restaurar a solvabi-lidade e dada por [Sesp − Sm]. Isto pode ser percebido observando que no pontoxm, as diferencas [Sesp − Sm] sao os desbalancos de potencias ativa e reativa em


cada barra do sistema. Portanto, o sistema pode ser levado a fronteira da regiaode solvabilidade se as injecoes forem modificadas de forma a que todos os des-balancos de potencias sejam zerados. De um modo mais formal, isto pode serconcluıdo observando que [Sesp − Sm] e o autovetor a esquerda, wm, correspon-dente ao autovalor nulo da matriz Jacobiana J(xm). Em [12] e [13], mostra-seque wm e paralelo ao vetor normal a Σ em Sm. Como Sesp e um elemento queemana normalmente de Sm, a direcao otima para se retornar a Σ e a direcaooposta a normal; isto e, [Sesp − Sm].

A distancia entre esta solucao para as equacoes do fluxo de potencia e Sesp eentao dada por

d(Sesp) =

√

[Sesp − Sm]t [Sesp − Sm]

a qual pode ser utilizada como uma medida do grau de dificuldade de solucaopara o fluxo de potencia, tendo como direcao otima de retorno a solvabilidade ovetor [Sesp − Sm].

Alem de indicar o grau de dificuldade de solucao do fluxo de potencia, a normaeuclideana tambem pode ser utilizada para quantificar o grau de seguranca da solucaocorretiva. Isto pode ser feito adotando-se a referida norma como uma medida de pro-ximidade da superfıcie Σ. Em [14], esta medida e sugerida para indicar quao longeo sistema esta do ponto de colapso de tensao via bifurcacao do tipo no-sela. Nestecaso, um valor elevado desta medida significa que o ponto de operacao especificado emais seguro. Por outro lado, a medida proposta em [29] indica quao longe o carrega-mento programado esta da regiao onde as solucoes reais existem, com um valor elevadosignificando que o sistema esta mais distante da superfıcie Σ.

A metodologia apresentada a seguir visa a determinacao de um ponto sobre a su-perfıcie Σ para um problema de fluxo de potencia sem solucao real. Para esta finalidade,propoe a referencia [29] a formulacao do fluxo de potencia em coordenadas cartesia-nas, com controle de passo [23], associado a direcao otima de retorno mencionadaanteriormente. Este metodo e desenvolvido observando-se algumas caracterısticas deconvergencia do algoritmo de Newton-Raphson quando o controle de passo e utilizado;isto e,

• Se S(x) − Sesp = 0 nao possui solucao real, entao o fluxo de potencia convergepara um ponto x∗ onde a matriz Jacobiana de S(x∗) e singular. Isto pode serverificado observando que a direcao ∆x(k) em cada iteracao e dada por

∆x(k) = −J[

x(k)]−1 {

S(x(k)) − Sesp}

e que o multiplicador otimo e, entao escolhido de forma a minimizar a funcaocusto

F (x) =1

2[S(x) − Sesp]t [S(x) − Sesp]

na direcao ∆x(k). A unica forma da funcao custo nao ser reduzida e se ∆x(k) esti-ver perpendicular ao plano tangente F (x) = constante. Ou de forma equivalente,se o gradiente de F

[

x(k)]

.

∇F (x(k)) =∂F (x)

∂x=

[

S(x(k)) − Sesp]t

J(x(k)) = 0

EEL-UFSC 73

for perpendicular a direcao ∆x(k); o que implica em que o seu produto internotem que ser nulo. Entretanto, durante o processo iterativo J(x(k)) nao e singular,tornando-se singular apenas na solucao, daı

∇F (x(k)) • ∆x(k)

‖ ∆x(k) ‖= −

{

S(x(k)) − Sesp}t {

S(x(k)) − Sesp}

‖ ∆x(k) ‖6= 0

visto que S(x(k)) − Sesp 6= 0. Por outro lado, pode-se observar que conformeJ(x(k)) se aproxima da singularidade, a equacao (2.68) se aproxima de zero, vistoque ‖ ∆x(k) ‖→ ∞.

• Da observacao anterior pode ser inferido que S(x∗) pertence ao limite Σ no espacoparametrico. Desde que os desbalancos de potencias sao

{

S(x(k)) − Sesp}

, em x∗

o valor de S(x∗) e apenas Sesp adicionado ao desbalanco final. No entanto, istonao significa que x∗ = xm; em geral S(x∗) 6= Sm. Observe que o multiplicador εe determinado de forma a minimizar F (x) somente na direcao ∆x.

• O autovetor a esquerda w, correspondente ao autovalor nulo de J(x∗), e perpen-dicular a superfıcie Σ em S(x∗) [12].

S

SmRegiao com duas

solucoes viaveis

w

S(x)

(uma solucao viavel)

Superfıcie Σ

Regiao sem

solucao viavel

Q

P

Figura 4.8: Relacoes entre as variaveis no espaco parametrico

A figura 4.8 mostra a relacao entre as variaveis no espaco parametrico. Se a su-perfıcie Σ fosse plana, o vetor das injecoes Sm poderia ser determinado diretamente apartir dos vetores conhecidos Sesp e S(x∗), observando que a direcao do autovetor aesquerda normalizado de J(x∗), w, e paralela ao vetor wm. O valor de Sesp − Sm eportanto o vetor projecao de S(x∗) − Sesp sobre a direcao normalizada do autovetor aesquerda; isto e,

Sm = Sesp + {[S(x∗) − Sesp] • w}w

Para sistemas reais, onde a superfıcie Σ nao e plana, a ultima equacao e apenasuma aproximacao. Isto sugere o algoritmo apresentado a seguir, o qual e derivado daproposta apresentada em [14]. As duas primeiras etapas do algoritmo sao a solucao dofluxo de potencia utilizando um controle de passo. Se o sistema possui uma solucao


para o fluxo de potencia, a tolerancia para a convergencia sera satisfeita e o algoritmotermina com um esforco computacional praticamente igual ao de um fluxo de potenciaconvencional. Para o caso sem solucao, o algoritmo trabalha iterativamente resolvendoo problema do fluxo de potencia, com aproximacoes sequenciais para o ponto maisproximo na superfıcie Σ. A cada iteracao, um ponto S(k) proximo o suficiente de Σe determinado, de forma que o criterio de convergencia seja satisfeito. A rapidez deconvergencia do algoritmo depende basicamente da estrutura de Σ e, em particular, dequanto esta pode ser aproximada por um hiperplano. Assim, a convergencia dependeda distancia de Sesp a Σ e da curvatura de Σ na vizinhanca de Sm. Uma discussao arespeito da influencia da curvatura de Σ e mostrada em [14].

1. Fazer S 0 = S esp.

2. Resolver o problema do fluxo de potencia S(x)−S(k) usando o metodo do multi-

plicador otimo em coordenadas cartesianas para obter a solucao x∗(k). Se a maior

componente em modulo dos resıduos ‖ S(x∗(k)) − S(k) ‖∞ for menor do que a

tolerancia do fluxo de carga, entao o processo esta terminado.

3. Caso contrario, em x∗(k)calcular o autovetor a esquerda normalizado w∗(k)

cor-respondente ao autovalor nulo de J[x∗(k)

].

4. Fazer S(k+1) = Sesp +{[

S(x∗(k)) − S(k)

]

• w∗(k)}

w∗(k).

5. Retornar ao passo 2.

A aplicacao deste metodo a sistemas realısticos requer modelar corretamente asbarras de geracao; isto e, trata-las como barras PV. Para isto, deve ser utilizado um es-quema de ponderacao dos desbalancos de modo a equilibrar as diferentes discordanciasde potencia e de magnitude de tensoes. Por exemplo, um desvio de 0,1 pu no quadradoda magnitude da tensao poderia ser considerado muito mais significativo do que umdesvio de 0,1 pu no balanco de potencia ativa ou reativa. Dessa forma, a funcao a serminimizada durante a determinacao do fator de passo e modificada para incluir umamatriz diagonal de ponderacao, onde cada elemento diagonal Wii = w2

i e o quadradodo peso da equacao Si(x) − Sesp

i , ou seja,

F (x) =1

2[S(x) − Sesp]t W [S(x) − Sesp]

Com esta funcao objetivo, o problema pode ser resolvido atraves do mesmo algo-ritmo apresentado na [29]. Entretanto, a componente do autovetor a esquerda associadaa restricao de magnitude de tensao correspondera a uma mudanca em V 2

s escalonadopelo peso da equacao correspondente as barras PV.

4.7.2 Aplicacao de Metodos de Otimizacao

A abordagem proposta em [19] consiste numa aplicacao do metodo de Pontos InterioresPrimal-Dual para determinar medidas corretivas de forma a obter solucoes operativaspara as equacoes da rede eletrica. Nesta metodologia, o problema e formulado comoa determinacao do mınimo corte de carga (mantendo o fator de potencia das cargas

EEL-UFSC 75

constante) para que essas equacoes sejam satisfeitas. Neste caso, o grau de dificuldadede obtencao de solucao real e expresso em termos da quantidade de carga a ser cortada.No calculo desta quantidade, e prevista a otimizacao de alguns controles, tais comotapes de transformadores com comutacao sob carga, tensoes em barras de geracaoe/ou despachos de potencia ativa, de forma a permitir a observacao do impacto destescontroles na solucao do problema.

Em termos analıticos, o problema de mınimo corte de carga [19] e expresso como

Minimizar Ptdθ

sujeito a (1 − θ)Pdi− Pi(x) = 0

(1 − θ)Qdi− Qi(x) = 0

a ≤ (θ,x ≤ b

(4.7.2)

onde Pdie Qdi

sao as demandas de potencias ativa e reativa, respectivamente, na barrai; Pi(x) e Qi(x) sao as equacoes de potencias ativa e reativa, respectivamente, na barrai; θ e um vetor contendo a fracao da carga a ser cortada em cada barra; Pd e o vetordas demandas de potencia ativa nas cargas; x e o vetor das variaveis de otimizacao.

No problema expresso pela equacao (4.7.2), as duas primeiras restricoes representamas equacoes do balanco de potencias ativa e reativa, respectivamente, na barra i; e aterceira restricao, representa os limites nas variaveis. Por exemplo, cada componentedo vetor θ pode ser maior ou igual a zero e menor ou igual a um. Observe-se que, seum conjunto de potencias ativa e reativa nas cargas for especificado de modo que asolucao real do fluxo de potencia exista, na solucao otima do problema 4.7.2, θi = 0para i = 1, 2, ..., n.

O problema representado pela equacao (4.7.2) pode ser resolvido atraves do metodode Pontos Interiores Primal-Dual, fornecendo a solucao das equacoes da rede eletricae os componentes do vetor θ.

Exemplo 4.7.2A tabela 4.7 apresenta os resultados da aplicacao dos metodos baseados no autovetora esquerda e no algoritmo de otimizacao no sistema-exemplo de duas barras da figura4.4. Neste caso, a solucao C corresponde ao metodo baseado no uso do autovalor aesquerda [29] enquanto que G se refere a solucao obtida via metodo de otimizacao [19].

Solucao P supd2



C 288,34 169,71 0,5774 -29,38 1,1694 16,66 37,61D 139,80 111,84 0,9167 -8,35 2,5638 58,88 58,88

Tabela 4.7: Solucoes corretivas via: autovalor a esquerda e metodo de otimizacao -sistema de 2 barras

Do ponto de vista do ındice d, a metodologia proposta em [29] fornece a menordistancia entre a demanda especificada e o ponto de operacao do sistema entre todosos algoritmos considerados. Entretanto, note que este ponto de operacao continua nao


sendo operacional devido a magnitude da tensao na barra 2. Por outro lado, estadistancia aumenta consideravelmente com a utilizacao do metodo de otimizacao. Nestecaso, alem da obtencao da solucao para as equacoes da rede eletrica, a modelagem doproblema inclui restricoes operativas. Portanto, a solucao obtida nao somente satisfazas equacoes estaticas do fluxo de potencia, como tambem as restricoes operacionais.Neste exemplo, a geracao de potencia ativa foi limitada a um maximo de 250 MW, ageracao de potencia reativa foi especificada na faixa entre -95 e 150 MVAr, e os limitesde 0,90 e 1,05 pu foram considerados para a magnitude da tensao nas barras.

A observacao da tabela 4.7, confirma que a solucao fornecida pela abordagem base-ada no autovetor a esquerda proposta em [29], embora fornecendo a menor distancia,tambem nao e uma solucao operacional. Por outro lado, a solucao obtida via tecnicasde otimizacao esta situada no interior da regiao das solucoes reais do fluxo de potencia,sendo portanto a que apresenta a maior distancia entre a demanda especificada e a de-manda maxima que pode ser suprida pelo sistema. Neste caso, os limites do sistemasao respeitados, constituindo-se esta solucao em um ponto operacional.

Este exemplo simples mostra a influencia das diferentes abordagens que determinamsolucoes corretivas sobre o ponto de operacao do sistema de energia eletrica. As meto-dologias baseadas no metodo de Newton-Raphson com fator de amortecimento fornecemsolucoes que se localizam na superfıcie limite Σ, sendo portanto potencialmente sujei-tas a problemas de instabilidade ou mesmo colapso de tensao. Estes pontos constituembifurcacoes do tipo “no-sela” nos quais as solucoes do fluxo de potencia convergem parauma unica solucao [21]. A abordagem proposta em [29], embora fornecendo a menordistancia, nao resulta numa solucao operacional, pois esta tambem se localiza sobrea superfıcie limite Σ. Por outro lado, a utilizacao de tecnicas de otimizacao, mesmorequerendo maior corte de carga, fornece solucoes operacionais para o problema. Doponto de vista tecnico, esta e a abordagem que apresenta solucoes de melhor qualidade,visto que os limites operacionais sao respeitados.

4.8 Medidas Corretivas Opcionais

A despeito das diversas abordagens existentes na literatura para a determinacao desolucoes corretivas, varios aspectos desse problema requerem estudos adicionais. Assecoes subsequentes apresentam estrategias alternativas para a obtencao de medidascorretivas. Duas metodologias sao apresentadas, nas quais o metodo de otimizacaode Pontos Interiores e aplicado e portanto sao modeladas as restricoes de balanco depotencia e operacionais:

• Mınimo Corte de Carga com Direcao Especificada;

• Mınimo Resıduo por Pontos Interiores.

4.8.1 Mınimo Corte de Carga com Direcao Especificada

Esta abordagem, proposta em [6], e baseada no algoritmo de Pontos Interiores segundoa metodologia apresentada em [7]. O texto a seguir apresenta a modelagem do problemade minimizacao em termos das variaveis do sistema de energia eletrica.

EEL-UFSC 77

Para a determinacao do de Mınimo Corte de Carga com Direcao Especificada, oproblema de otimizacao a ser resolvido e o seguinte

Minimizar ρ

sujeito a Pgj− (P 0

dj+ ρ∆Pdj

) − Pj(V, δ) = 0

Qgj− (Q0

dj+ ρ∆Qdj

) − Qj(V, δ) = 0

P mgj

≤ Pgj= (P 0

dj+ ρ∆Pdj

) + Pj(V, δ) ≤ P Mgj

Qmgj≤ Qgj

= (Q0dj

+ ρ∆Qdj) + Qj(V, δ) ≤ QM

gj

V mj ≤ Vj ≤ V M

j

(4.8.1)

onde todas as variaveis foram definidas anteriormente.Note que este problema e semelhante ao da determinacao do carregamento maximo

sob restricoes operativas, exceto pela direcao de variacao de carga.Outra caracterıstica importante desta metodologia e a possibilidade de se especifi-

car determinadas barras de carga do sistema de energia eletrica para que tenham assuas demandas de potencia atendidas integralmente. Para isto, basta que as taxasde decrescimo da demanda nestas barras ∆Pdi

e ∆Qdisejam feitas iguais a zero. O

artifıcio e semelhante aquele utilizado nas barras de geracao onde toda a demanda esuposta ser atendida.

4.8.2 Mınimo Resıduo por Pontos Interiores

Esta modelagem consiste em formular o problema de solucoes corretivas a partir doseguinte problema de otimizacao

Minimizar1

2f(x)tf(x)

sujeito a g(x) = 0

xm ≤ x ≤ xM

hm ≤ hx ≤ xM

(4.8.2)

onde f(x) e o vetor dos desbalancos de potencias ativa e reativa nas barras potenci-almente sujeitas ao corte de carga; g(x) e o vetor dos desbalancos de potencias ativae reativa nas barras de injecao nula e naquelas barras que devem ter as suas deman-das atendidas integralmente; h(x) o vetor das restricoes funcionais; e x e o vetor dasvariaveis do sistema de potencia com seus limites mınimos e maximos, respectivamente,xm e xM .

Quando esta estrategia e aplicada, limites para o corte na demanda em cada barrade carga podem ser utilizados. Em geral o limite inferior e zero e o valor do limitesuperior e atribuıdo inicialmente um valor pequeno, o qual vai sendo gradativamenteaumentado. A solucao deste problema fornece o mınimo corte de carga que pode serfeito no sistema, atendendo-se todas as restricoes impostas e fornecendo a mınimanorma euclidiana dos quadrados dos balancos de potencias nas barras de carga. Emoutras palavras, isto representa o mınimo corte de carga requerido para se atingir umponto de operacao aceitavel. Com o limite maximo para o corte de carga e possıvel,entao, testar-se outras possibilidades operacionais para o sistema de potencia.


Exemplo 4.8.1As metodologias sugeridas na secao anterior aplicadas ao sistema de duas barras apre-sentado enteriormente resultam nos valores numericos mostrados na tabela 4.8. Assolucoes E e F referem-se respectivamente ao corte de carga numa direcao pre-especificadae de mınimo resıduo.

Solucao P supd2



E 139,82 111,86 0,9169 -8,35 2,5635 58,88 58,88F 249,44 73,15 0,9377 -14,68 2,1850 26,64 73,11

Tabela 4.8: Solucoes corretivas via metodos de otimizacao - sistema de 2 barras

Nesta tabela, observa-se nas abordagens baseadas na tecnica de otimizacao de Pon-tos Interiores um consideravel aumento no corte de carga. Isto era esperado na me-dida em que restricoes de magnitudes de tensoes, potencias ativas e reativas geradastambem devem ser atendidas. O atendimento dessas restricoes operacionais do sis-tema de energia requer um corte de carga maior, fazendo com que a distancia entre assolucoes inviavel e operacional seja maior. E importante notar a diferenca na magni-tude da tensao na barra 2 nos resultados obtidos atraves das abordagens que modelamas restricoes de desigualdade (nao inferior a 0,90). Isto ressalta o fato de que as abor-dagens baseadas na solucao de um problema de otimizacao, mais do que simplesmentefornecerem uma solucao para as equacoes da rede eletrica, sao capazes de fornecer umasolucao operacional. As solucoes obtidas via metodologias baseadas no algoritmo dePontos Interiores se localizam no interior da regiao viavel. Essas constituem solucoesoperacionais para o problema do fluxo de potencia, isto e, sao pontos de operacao emque nao ha violacao de nenhuma restricao operativa.

4.9 Conclusoes

O estudo da estabilidade de tensao via modelos estaticos fornece uma primeira in-dicacao quantitativa e qualitativa do problema e das suas solucoes. Esses modelos saoem geral baseados nas equacoes do sistema de potencia em regime permanente, maisespecificamente as equacoes do fluxo de potencia convencional.

Um sistema de duas barras ilustra as principais caracterısticas da analise do pro-blema de estabilidade de tensao atraves da modelagem estatica. Abordagens encontra-das na literatura e metodologias opcionais baseadas no uso de tecnicas de otimizacaopodem ser utilizadas para:

• evitar a divergencia do processo iterativo de solucao do fluxo de potencia;

• determinar pontos de maximo carregamento operacionais e nao operacionais;

• calcular ındices de proximidade do ponto crıtico de carregamento e margens dedemanda;

• identificar areas sensıveis ao problema de estabilidade de tensao;

EEL-UFSC 79

• determinar medidas corretivas para a restauracao da solvabilidade das equacoesda rede eletrica em regime permanente.

Os resultados numericos obtidos da aplicacao dessas tecnicas ao sistema-exemplo,ilustram o fato de que os metodos que nao modelam as restricoes operacionais conduzema pontos de operacao onde apenas as equacoes da rede eletrica sao satisfeitas. Essespontos de operacao se situam sobre a superfıcie limite da regiao de viabilidade dassolucoes do fluxo de potencia. Por outro lado, as metodologias que possibilitam incluirestes limites conduzem a solucoes operacionais, isto e, aquelas onde nao ha violacoesnos limites operacionais e/ou de equipamentos.

Abordagens que utilizam uma direcao de retorno a regiao das solucoes reais, demodo a conduzir o sistema ao ponto de operacao mais proximo possıvel do programado,fazem uso do autovetor a esquerda associado ao autovalor nulo da matriz Jacobiana.Este tipo de metodologia resulta em dois processos iterativos:

• um que conduz o sistema para um ponto de operacao sobre a superfıcie limite desolucao real;

• outro que leva o sistema ao ponto de operacao mais proximo do programado.

Finalmente, a abordagem baseada no uso de tecnicas de otimizacao, formula oproblema de modo a computar o mınimo corte de carga para proporcionar uma solucaoreal para as equacoes que representam o sistema de potencia. Esta abordagem possui avantagem de nao somente fornecer uma solucao real, como tambem de possibilitar queeste ponto de operacao seja operacional. Caso sejam incluıdas restricoes operativas,na solucao otima nao havera violacoes de limites de equipamentos e nem de limitesoperacionais do sistema.

CAPITULO 5

Analise por modelagem dinamica

5.1 Introducao

No capıtulo precedente a estabilidade de tensao foi analisada com os elementos dosistema de potencia descritos por suas equacoes estaticas. Embora aquela abordagempermita a deteccao da proximidade da instabilidade de tensao e forneca ındices deproximidade da instabilidade, o fato de a modelagem ser simplificada pode causarimprecisao na indicacao da instabilidade ou mesmo restringir os tipos de fenomenos quepodem ser detectados por aquela abordagem. A abordagem por modelagem dinamica,ao considerar a dinamica dos elementos do sistema de potencia, e especialmente dascargas, permite maior precisao na deteccao da instabilidade de tensao, alem da deteccaode um espectro maior de fenomenos associados a instabilidade de tensao. Como ofenomeno de instabilidade e essencialmente dinamico, esta abordagem parece maisadequada. No entanto, ela tambem e mais complexa tanto em termos de modelagemcomo de metodos para a deteccao da instabilidade e da determinacao de ındices deproximidade.

Neste capıtulo estudaremos a abordagem por modelagem dinamica da estabili-dade de tensao. Comecaremos este estudo revendo alguns conceitos ja discutidos noCapıtulo 2, sobre a natureza do problema de estabilidade em sistemas dinamicos demaneira geral e de sistemas de potencia de maneira particular.

5.2 O problema de estabilidade

Seguindo o exposto no Capıtulo 2, um sistema dinamico pode nao ter nenhum ponto deequilıbrio ou ter um, varios ou infinitos pontos de equilıbrio. Se um ponto de equiıbrioexistir, surge a questao se este ponto e estavel, ou seja, se para perturbacoes muitopequenas, que afastem o sistema do ponto de equiıbrio, o sistema volta a operar nesteponto. Mesmo que o ponto de equilıbrio exista e seja estavel, e ainda importantesaber para que magnitude de grandes perturbacoes o sistema ainda retorna ao ponto

82 Capıtulo 5: Analise por modelagem dinamica

de equilıbrio. Neste caso estamos interessados em saber qual o domınio de atracao doponto de equilıbrio.

A instabilidade de tensao ocorre ou devido a uma mudanca lenta da carga ou sesegue a uma grande perturbacao, como uma saıda de linha, por exemplo. No primeirocaso tem-se uma evolucao do ponto de equilıbrio ate o ponto onde o ponto de equilıbriomuda suas condicoes de estabilidade passando, por exemplo de estavel para instavel, ousimplesmente desaparece. Isto denota uma condicao na qual o sistema nao pode operar.O problema aqui e o da estabilidade de tensao para pequenas perturbacoes. Mesmo queo ponto de equilıbrio exista e seja estavel, pode-se ainda ter uma instabilidade de tensaoapos uma grande perturbacao perda de uma linha ou de um bloco de geracao. Nestecaso a determinacao do domınio de atracao e essencial para determinar a estabilidadedo sistema. O problema e entao de estabilidade para grandes perturbacoes. A seguirvamos analisar estes dois casos

5.3 Estabilidade para pequenas perturbacoes

Duas abordagens tem sido usadas para este estudo. A primeira e baseada na teoria desistemas dinamicos, especialmente na teoria de bifurcacoes. A segunda usa a simulacaono tempo das equacoes do sistema. Nesta secao estudaremos apenas a abordagembaseada na teoria das bifurcacoes. Deixaremos o estudo baseado na simulacao no tempopara uma secao posterior. Faremos uma breve revisao de alguns conceitos da teoriade sistema dinamicos, antes de comentar a sua aplicacao ao estudo de estabilidade detensao.

5.3.1 Bifurcacoes

Seja um sistema nao-linear, descrito por

.x= f(x, λ) (5.3.1)

onde x ∈ Rn, e o vetor de estados, λ ∈ R, e um parametro e f ∈ Rn, e um campovetorial.

Os pontos de equilıbrio do sistema sao dados por

0 = f(x0, λ) (5.3.2)

A teoria de bifurcacoes esta associada ao estudo da natureza dos pontos de equilıbriodo sistema, com a variacao do parametro λ. Pontos de bifurcacao correspondem apontos (x0, λ0), nos quais ocorre uma mudanca no comportamento das trajetorias dosistema em torno do ponto de equilıbrio. Assim um ponto de equilıbrio estavel passa aser instavel, uma solucao periodica emerge ou desaparece, uma solucao periodica dobraa sua frequencia, etc

O aparecimento de bifurcacoes com a mudanca do parametro λ pode ser represen-tado graficamente atraves de um diagrama de bifurcacoes ou diagrama de ramificacao.

Definicao 5.3.1 Diagrama de bifurcacaoUm diagrama de bifurcacao ou diagrama de ramificacao e um diagrama [x] versus

λ.

EEL-UFSC 83

Nesta definicao, [x] e uma medida escalar de x. Possıveis medidas sao [x] = xk, com1 ≤ k ≤ n, [x] = ||x||2 ou [x] = ||x||∞.

O diagrama de bifurcacao permite visualizar o aparecimento e desaparecimentode solucoes com a variacao de λ, o que se traduz no diagrama pelo aparecimento denovos ramos, termino de ramos e intercessao de ramos. Os pontos correspondentes saochamados de pontos de bifurcacao ou ramificacao.

Definicao 5.3.2 Ponto de bifurcacaoUm ponto de bifurcacao ou ponto de ramificacao e uma solucao (x0, λ0) onde o

numero de solucoes muda quando λ passa por λ0.

As bifurcacoes podem ser classificadas em bifurcacoes do ponto de equilıbrio e bi-furcacoes de solucoes periodicas. Nas secoes seguintes algumas das bifurcacoes mais im-portantes sao descritas. O criterio para esta escolha e a possibilidade do aparecimentodestas bifurcacoes em modelos de sistemas de potencia. Algumas desta bifurcacoesconstituem uma rota para o aparecimento de atratores estranhos e comportamentocaotico, cuja existencia pode ser detectada em modelos de sistemas de potencia.

Bifurcacoes podem ser supercrıticas ou subcrıticas. Os termos supercrıtico e subcrıticotem sido usados com diferentes significados na literatura. Algumas vezes este termoe usado apenas no sentido dos valores de λ serem menores ou maiores do que λ0,nao sendo levada em conta a estabilidade das solucoes.. Assim, uma bifurcacao e su-percrıtica se existe uma unica solucao para λ > λ0, ou seja, a bifurcacao ocorre paraa direita, e subcrıtica se existe uma unica solucao para λ > λ0, ou seja, a bifurcacaoocorre para a esquerda. Aqui, seguindo a referencia ?? usaremos o termo supercrıticopara bifurcacoes para as quais existem solucoes estaveis localmente em ambos os la-dos da bifurcacao, e subcrıtica quando em um lado da bifurcacao so existem solucoesinstaveis. Se todos os ramos que partem de um bifurcacao sao instaveis, entao ostermos supercrıtico e subcrıtico nao sao definidos.

5.3.2 Bifurcacoes do ponto de equilıbrio

Nesta secao sao apresentadas quatro bifurcacoes do ponto de equilıbrio: sela-no, Hopf,transcrıtica e pitchfork. A bifurcacao sela-no tem sido associada a maioria dos inci-dentes de instabilidade de tensao. Pelo menos um incidente real pode estar associadoa ocorrencia de bifurcacao de Hopf. Embora improvavel, a ocorrencia de bifurcacoestranscrıtica e pitchfork e teoricamente possıvel em sistemas eletricos.

5.3.2.1 Bifurcacao sela-no

A bifurcacao sela-no (saddle-node, turning point ou fold) caracteriza-se pela presencade dois pontos de equilıbrio que se aproximam com a variacao do parametro de bi-furcacao λ, coalescendo para o ponto de bifurcacao λ0, sendo que o ponto de equlıbriodesaparece apos a passagem pelo ponto de bifurcacao. Esta bifurcacao caracteriza-sepela existencia de um autovalor nulo da matriz jacobiana no ponto de bifurcacao, ouseja

det(fx(x0, λ0) = 0 (5.3.3)

A Figura 5.1 ilustra a bifurcacao sela-no.


λ

x

Figura 5.1: Bifurcacao sela-no

Observa-se que a direita do ponto de bifurcacao existem dois pontos de equlıbrio,um estavel e outro instavel. A esquerda do ponto de bifurcacao nao existem maispontos de equilıbrio.

O ponto de bifurcacao sela-no pode ser interpretado em termos geometricos oualgebricos, que levam as condicoes que caracterizam a ocorrencia deste ponto. Estacondicoes definem o ponto de bifurcacao sela-no.

Definicao 5.3.3 Bifurcacao sela-no(x0, λ0) e um ponto de bifurcacao sela-no, se as seguintes condicoes valem:

1. f(x0, λ0) = 0

2. posto fx(x0, λ0) = n − 1

3. fλ(x0, λ0) /∈ espaco gerado por fx(x0, λ0), ou seja posto [fx(x0, λ0) fλ(x0, λ0)] =

n

4. exite uma parametrizacao x(σ), λ(σ), com x(σ0) = x0, λ(σ0) = λ0 e d2λ(σ0)dσ2 6= 0

5.3.2.2 Bifurcacoes transcrıtica e pitchfork

Tanto a bifurcacao transcrıtica quanto a bifurcacao pitchfork caracterizam-se por se-rem a intercessao de dois ramos com diferentes tangentes. Estas bifurcacoes tambemcorrespondem a um autovalor nulo da matriz jacobiana, mas as equacoes que descre-vem o sistema possuem algumas condicoes de simetria [20]. No caso da bifurcacaotranscrıtica, para λ < λ0 e λ > λ0, existem dois pontos de equilıbrio, havendo uma”troca” de estabilidade entre os dois ramos. Esta bifurcacao esta representada na Fi-gura 5.2(c). No caso da bifurcacao pitchfork, para λ > λ0 ou λ < λ0 existe apenas umponto de equilıbrio (Figura 5.2(d).

5.3.2.3 Bifurcacao de Hopf

A bifurcacao de Hopf, tambem conhecida como bifurcacao de Poincare-Andronov-Hopf,caracteriza-se pela existencia, no ponto de bifurcacao (x0, λ0), de um par de autovaloresda matriz jacobiana fx(x0, λ0) sobre o eixo imaginario. Portanto, a medida que oparametro de bifurcacao varia, um par de autovalores complexos conjugados da matriz

EEL-UFSC 85

λ

x

(a) Bifurcacao transcrıtica

λ

x

(b) Bifurcacao pitchfork

jacobiana cruza o eixo imaginario, sendo que um ciclo limite aparece ou desaparece apartir do ponto de bifurcacao.

Definicao 5.3.4 Bifurcacao de HopfUma bifurcacao de um ramo de pontos de equilıbrio para um ramo de oscilacoes

periodicas e chamada uma bifurcacao de Hopf.

O seguinte teorema, devido a Hopf, fornece as condicoes de ocorrencia desta bi-furcacao

Teorema 5.3.1 Supondo que para f ∈ C2

1. f(x0, λ0) = 0

2. fx(x0, λ0) tem um unico par de autovalores puramente imaginarios µ(λ0) = ±jβ

e nenhum outro autovalor com parte real zero

3. d(Reµ(λ0))dλ

6= 0

entao existe o surgimento de um ciclo limite em (x0, λ0). O perıodo inicial (da oscilacaode amplitude zero) e T0 = 2π

β.

A bifurcacao de Hopf pode ser supercrıtica ou subcrıtica. No caso supercrıtico,o ponto de equlıbrio e inicialmente estavel para λ < λ0 e instavel para λ > λ0. Osciclos limite que emergem, sao estaveis. No caso subcrıtico, tanto o ponto de equilıbrioquanto os ciclos limite, sao instaveis para λ < λ0. A Figura ?? ilustra estes conceitos.

Bifurcacoes de Hopf em sistemas de potencia podem ocorrer nao somente rela-cionadas a instabilidade de tensao, mas tambem a estabilidade eletromecanica parapequenas perturbacoes ou associada a instabilidade dos modos da excitatriz. Existediscordancia quanto a instabilidade de tensao estar realmente associada a bifurcacao deHopf. Alguns autores afirmam que a bifurcacao de Hopf e causada por reguladores comajuste inadequado. O fato de que os incidentes relatados na literatura apresentam umafundamento monotonico da tensao, parecem reforcar este argumento. Por outro lado,comportamento oscilatorio eu um incidente real de instabilidade de tensao foi citado nareferencia [10]. Varios artigos, por sua vez, mostram a possibilidade de aparecimentode bifurcacoes de Hopf em modelos de sistemas de potencia [25, 26]. Embora a maiorparte destes modelos sejam reduzidos e simplificados, nao ha razao para descartar oaparecimento de tais bifurcacoes em sistemas reais.


λ = λ0

λ

x1

x2

Lugar dos ciclos

Focos

Centro limite estaveis

estaveis

Focos instaveis

(c) Bifurcacao de Hopf su-percrıtica

λ

x1

x2

Centro

Focos instaveis

λ = λ0

Lugar dos cicloslimite estaveis

Focos estaveis

(d) Bifurcacao de Hopf subcrıtica

5.3.3 Bifurcacoes de orbitas periodicas

Orbitas periodicas tambem podem sofrer bifurcacoes. Ou seja, solucoes periodicas po-dem mudar seu comportamento com relacao a um parametro variavel. Assim solucoesperiodicas perdem ou ganham estabilidade, dobram o seu perıodo ou desaparecem.Nesta secao, tres tipos de bifurcacoes de solucoes periodicas sao abordadas: bifurcacaocyclic fold, bifurcacao period doubling e bifurcacao no toroide. Alem disso, bifurcacoesglobais sao discutidas.

A existencia de diversas bifurcacoes de solucoes periodicas esta associada a esta-bilidade destas solucoes. Na sequencia, conceitos basicos de estabilidade de orbitasperiodicas e algumas ferramentas de analise sao apresentadas.

5.3.3.1 Estabilidade de solucoes periodicas

Seja o sistema autonomo dado pela equacao (5.3.1) e seja γ uma solucao periodica deum fluxo φt, que corresponde a uma orbita fechada no espaco de dimensao n. Seja Σ ⊂Rn, de dimensao n − 1, uma secao transversa ao fluxo φt. A transversalidade garanteque as orbitas atravessam a superfıcie e nao sao tangentes a ela. A orbita γ interceptaΣ em um unico ponto p. Supondo agora um outro ponto q ∈ U ⊆ Σ. O mapeamentode Poincare, ou primeiro retorno P : U → Σ e definido por P(q) = φτ (q). Ou seja,parte-se de um ponto q, e segue-se a orbita ate ela novamente interceptar Σ. Esteponto e P(q). Pode-se continuar o procedimento, partindo-se de P(q) e chegando-sea P2(q), e assim por diante. Define-se entao um mapeamento, com ponto fixo p, ouseja P(p) = p. Pode-se relacionar a estabilidade de p para o mapeamento P com aestabilidade de γ para o fluxo φt.

Definicao 5.3.5 Estabilidade de solucoes periodicasDados um mapeamento de Poincare P, um ponto fixo p e uma secao transversa Σ,

a solucao γ da equacao (5.3.1) e estavel, se para cada ε > 0, pode-se determinar δ(ε)tal que ||q − p|| ≤ δ, q ∈ U :||Pn(q) − p|| ≤ ε para n = 1, 2, 3, ...

A solucao γ e assintoticamente estavel se ela e estavel e se existe δ > 0 tal que||q− p|| ≤ δ, q ∈ U : lim Pn(q) = p

Seja x∗(t) = x∗(t + T ) uma solucao periodica sobre uma orbita fechada γ, comx∗(0) = p em Σ. Seja φ(0; z) uma trajetoria que resolve a equacao, com condicaoinicial x(0) = z. Supondo uma perturbacao na condicao inicial, tal que z = p + d0,

EEL-UFSC 87

tem-se a trajetoria φ(t; p + d0). A distancia entre as duas trajetorias,

d(t) = φ(t;p + d0) − φ(t;p)

mede o afastamento da trajetoria perturbada com relacao a γ.Apos um perıodo T , tem-se:

d(T ) = φ(T ;p + d0) − φ(T ;p)

Expandindo-se em serie de Taylor

d(T ) =∂φ(T ;p)

∂zd0 + termos de ordem superior

A matriz∂φ(T ; p)

∂z, denominada de matriz de monodromia, da as condicoes para

que a distancia entre as trajetorias, para uma perturbacao d0 nas condicoes inicias,cresca ou decresca.

Desde que φ(t; z) resolve a equacao (5.3.1) tem-se

dφ(t; z)

dt= f(φ(t; z), λ)

Diferenciando-se com relacao a z, tem-se

d

dt

∂φ(t; z)

∂z=

∂f(φ, λ)

∂φ

∂φ(t; z)

∂z(5.3.4)

Como φ(o; z) = z, tem-se∂φ(0; z)

∂z= I.

Da equacao (5.3.4) conclui-se que a matriz de monodromia e dada por Φ(T ), ondeΦ(t) resolve a equacao

.

Φ= fx(x∗, λ)Φ, Φ(0) = I

Φ e a matriz de solucao fundamental desta equacao, de dimensao n × n.Os autovalores da matriz de monodromia, chamados multiplicadores de Floquet, e

denotados por µj, com j = 1...n, determinam a estabilidade das solucoes na vizinhancade γ [32]. Um destes autovalores, associado com perturbacoes na dire cao de γ, e sempreunitario. Os demais n− 1 autovalores determinam a estabilidade da solucao periodica.A solucao e estavel se |µj| < 1 para j = 1...n − 1, e instavel se existe j tal que|µj| > 1. Portanto o interior do cırculo unitario constitui a regiao de estabilidade paraos multiplicadores de Floquet.

Deve-se observar ainda que os autovalores da matriz de monodromia sao os auto-

valores de∂P(p)

∂q, onde p e o ponto fixo do mapeamento de Poincare.

5.3.3.2 Tipos de bifurcacoes das solucoes periodicas

O modo como o sistema perde estabilidade com a variacao de um parametro, ou seja, omodo como os multiplicadores deixam o interior do cırculo unitario, determina o tipode bifurcacao da solucao periodica que pode ocorrer no sistema. Tres casos devem serconsiderados (Figura 5.2), cada um levando a uma bifurcacao diferente.


Im(µ) Im(µ) Im(µ)

Re(µ) Re(µ) Re(µ)

Figura 5.2: Multiplicadores de Floquet

Bifurcacao Cyclic fold Neste caso um multiplicador de Floquet deixa o cırculounitario tal que µi(λ0) = 1, para algum i. E conveniente estudar o comportamento dassolucoes periodicas, estudando o mapeamento de Poincare correspondente. O estudodas solucoes periodicas corresponde ao estudo dos pontos fixos de P, ou seja

P(q, λ) = q

com q ∈ Σ.

Para o caso onde µ(λ0) = 1, tem-se que um autovalor de∂P

∂qe 1 para λ = λ0.

A equacao para determinar os pontos fixos do mapeamento pode ser escrita como:

−

f (q, λ) = P(q, λ) − q = 0

com a matriz Jacobiana correspondente dada por:

∂−

f

∂q=

∂P

∂q− I

e facil concluir–se que, se∂P

∂qtem um autovalor unitario para λ = λ0, entao

∂−

f

∂qtem

um autovalor zero para λ = λ0.Como descrito anteriormente, um autovalor zero na matriz Jacobiana que deter-

mina os pontos de equilıbrio de um sistema, esta associada as bifurcacoes do pontode equilıbrio (sela-no, transcrıtica e pitchfork). Portanto estas bifurcacoes ocorrem nomapeamento de Poincare, e deve-se apenas relaciona-las as solucoes periodicas cor-respondentes. Assim, uma bifurcacao sela-no no mapeamento de Poincare, onde doispontos de equilıbrio, um estavel e outro instavel, para λ < λ0, coalescem para λ = λ0,corresponde a coexistencia de dois ciclos limite, que se chocam para λ = λ0 e desapare-cem para λ > λ0. Esta bifurcacao e chamada cyclic fold, por analogia com a bifurcacaosela-no (fold).

Bifurcacao period doubling Um multiplicador de Floquet deixa o cırculo unitariotal que µi(λ0) = −1 para algum i. Neste caso o mapeamento de Poincare apre-senta uma mudanca na condicao de equilıbrio, mas que nao esta associada a umaramificacao. E facil de verificar que o mapeamento P2, tem uma matriz jacobiana∂P2(q)

∂q= (

∂P (q)

∂q)2, e portanto apresenta um autovalor em +1. Apos o ponto de

EEL-UFSC 89

bifurcacao λ = λ0, a oscilacao periodica desaparece, mas aparece uma bifurcacao comperıodo 2, no mapeamento de Poincare, que e estavel. Deve-se observar que um pontoq de um mapeamento f tem um perıodo n, se fn(q) = q. Assim existem dois pontosp1(λ) e p2(λ) tal que P(p1(λ)) = p2(λ) e P(p2(λ)) = p1(λ). Em termos de solucaoperiodica, o perıodo T da oscilacao depende de λ, e embora se tenha um perıodo 2para o mapeamento de Poincare, o perıodo da solucao periodica, apos a bifurcacao naomantem uma relacao de 2 com relacao a solucao anterior a bifurcacao. No entanto,quando λ → λ0, esta relacao tem 2 como limite. Esta bifurcacao e chamada perioddoubling ou bifurcacao flip, e constitui uma das rotas para o caos.

Bifurcacao no toroide Neste caso multiplicadores complexos abandonam o cırculounitario, tal que |µi(λ0)| = |µj(λ0)| = 1, com Im(µi(λ0)) = −Im(µj(λ0)). O mape-amento de Poincare apresenta uma curva invariante C. As trajetorias espiralam aoredor de um toroide, e a curva C e a intercessao do toroide com a secao de Poincare.Para a solucao periodica estavel γ, antes da bifurcacao, tem-se, apos a bifurcacao, aemergencia de trajetorias que formam um estreito toroide. Como existem dois multi-plicadores complexos, e sempre existe um multiplicador +1, segue que esta bifurcacaoso existe para n ≥ 3. Para n = 3, a curva C e um cırculo.

De maneira semelhante a bifurcacao de Hopf, uma bifurcac ao no toroide pode sersupercrıtica ou subcrıtica. A projecao das trajetorias em Σ e semelhante ao comporta-mento de uma bifurcacao de Hopf, com solucoes periodicas circundando um ponto deequlıbrio. Por esta razao esta bifurcacao tambem e chamada de Hopf secundaria, ouainda, bifurcacao de Naimark-Hopf.

5.3.4 Bifurcacoes globais

Uma bifurcacao global, em contraste com bifurcacoes locais, nao pode ser analisadausando informacoes locais, como a matriz jacobiana calculada no ponto de equilıbrio.Neste trabalho apenas a bifurcacao homoclınica e crises sao sumariamente descritas

5.3.4.1 Bifurcacao homoclınica

Um ramo de orbitas periodicas sofre uma bifurcacao homoclınica em λ0 se as orbitaspara λ → λ0 se aproximam de uma orbita homoclınica, onde o termo orbita homoclınicadesigna uma orbita que conecta um ponto de sela a ele mesmo. Portanto uma bifurcacaohomoclınica corresponde ao choque de uma solucao periodica com um ponto de sela.Esta bifurcacao tambem e conhecida como bifurcacao blue-sky.

5.3.4.2 Crises

O conceito de crise esta associada ao conceito de atratores caoticos.

Definicao 5.3.6 Atrator caoticoUm conjunto Λ e um atrator caotico (ou conjunto invariante caotico ou atrator

estranho) se ele tem as seguintes propriedades:

1. Alta sensibilidade as condicoes iniciais: trajetorias partindo de pontos arbitra-riamente proximos irao eventualmente divergir, tornando qualquer predicao im-possıvel.


2. orbitas periodicas: Λ contem orbitas periodicas com todos os perıodos. Ele tambemcontem infinitas orbitas nao-periodicas.

3. orbita densa: existe uma orbita que e densa em Λ.

4. Conjunto de Cantor: Λ e um conjunto de Cantor, ou seja, tem dimensao fractal.

Neste trabalho nao sera apresentada uma descricao detalhada da teoria de caos. Ointeresse se concentra no fenomeno de crise.

Definicao 5.3.7 CriseUma crise e a colisao entre um atrator caotico e um ponto fixo instavel ou orbita

periodica, coexistentes.

Uma crise pode ser classificada como crise de limite (¨boundary crisis¨) ou criseinterior.

A crise de limite se caracteriza pela subita destruicao do atrator caotico e sua basede atracao. O atrator caotico deixa de existir assim que os valores de parametrospassam o ponto de crise. Trajetorias que partem da regiao ocupada anteriormentepelo atrator caotico parecem continuar a ter um comportamento caotico, mas deixama regiao, apos um intervalo de tempo finito..

Na crise interior, a colisao se da com a base de atracao. A crise interior resulta emuma ampliacao do domınio de atracao.

5.4 Estabilidade para grandes perturbacoes

Neste caso deve-se estudar o domınio de atracao do ponto de equilıbrio, ou seja, dadauma perturbacao, a questao e determinar se o sistema retorna ou nao ao ponto deequilıbrio. Duas abordagens podem ser usadas para responder a esta questao: o uso defuncoes do tipo energia para determinar o domınio de atracao do ponto de equilıbrioou a simulacao no tempo para determinar o comportamento do sistema. A primeiraabordagem e bastante restrita devido a necessidade de modelos muito simplificados.Devido a isto, estudaremos apenas a simulacao no tempo.

5.4.1 Simulacao no tempo

Este metodo de estudo de estabilidade consiste em escrever o conjunto de equacoes quedescrevem o sistema e resolve-las no tempo usando metodos numericos.

Com este metodo e possıvel modelar o sistema em detalhe, incluindo nao-linearidades.Com isto a simulacao no tempo fornece resultados mais precisos e serve como padraopara comparacao com outros metodos. Fenomenos que podem ser difıceis de detec-tar mesmo com outros metodos que consideram a dinamica do sistema, podem serdetectados usando simulacao no tempo. Por exemplo, nao-linearidades do tipo sa-turacao presentes em limitadores sao difıceis de serem incorporadas em estudos usandoanalisde modal, mas podem ser incluıdas facilmente na simulacao no tempo. Este tipode nao-linearidade pode induzir certos fenomenos de instabilidade de tensao.

Por outro lado, a simulacao no tempo demanda um grande esforco computacional,especialmente para grandes sistemas, ja que a escala de tempo da instabilidade detensao requerer tempos de simulacao elevados.

EEL-UFSC 91

Programas usados para a analise de estabilidade eletromecanica tambem podem serusados para estudos de estabilidade de tensao. No Brasil o programa ANATEM podeser usado para este fim. O estudo da estabilidade de tensao, no entanto, envolve algunsproblemas especıficos, como discutido a seguir.

5.4.1.1 Solucao das equacoes completas do sistema

As equacoes gerais que descrevem o sistema foram apresentadas no Capıtulo 3 e saorepetidas aqui por conveniencia.

x = f(x,y, zc, zd) (5.4.1)

zc = hc(x,y, zc, zd) (5.4.2)

xd(k + 1) = = hd(x,y, zc, zd(k)) (5.4.3)

Esta equacoes descrevem o comportamento de dispositivos rapidos, como regula-dores de tensao de geradores e outros controladores e elementos lentos, como taps detransformadores. Isto significa que o sistema de equacoes apresenta rigidez, ou seja,a presenca de constantes de tempo muito rapidas, exige passos de integracao muitopequenos, embora a dinamica mais lenta seja a de interesse. Isto aumenta o esforcocomputacional e exige metodos adequados para evitar instabilidade numerica.

Para reduzir o tempo de simulacao, uma abordagem baseada no uso de simulacaoquase-estatica, foi proposta. Esta abordagem despreza, ate certo ponto, a dinamicarapida, e e apresentada a seguir.

5.4.1.2 Simulacao quase-estatica

Nesta abordagem a Equacao 5.4.1 e substituıda pela equacao de equilıbrio

f(x,y, zc, zd) = 0

Como as equacoes diferenciais associadas a dinamica rapida nao sao resolvidas pelometodo numerico, passos de integracao de valor mais elevado podem ser usados.

CAPITULO 6

Acoes de controle para aestabilidade de tensao

6.1 Introducao

Neste capıtulo consideraremos as acoes de controle que podem ser efetuadas para man-ter a estabilidade de tensao ou aumentar as margens de seguranca, afastando o sistemade uma possıvel instabilidade.

As acoes de controle dependem da natureza da instabilidade. Separaremos estasacoes para o caso de instabilidade de tensao para curto prazo e estabilidade de tensaoa longo prazo.

6.2 Estabilidade a curto prazo

A instabilidade de tensao de curto prazo esta associada a presenca de grandes motoresde inducao na carga. A acao de controle deve ser rapida, restaurando a tensao, antesque a desaceleracao dos motores cause estol e perda de estabilidade. Varias medidassao possıveis para a manutencao da estabilidade. O suporte de potencia reativa juntoa carga e uma delas atraves da atuacao de diferentes fontes de potencia reativa. Estasfontes devem ser rapidas e ter suficiente reservas de potencia reativa anteriormentea perturbacao. Entre as fontes de potencia reativa mais comuns pode-se citar, osgeradores sıncronos, condensadores sıncronos, compensadores estaticos de reativo ecapacitores chaveados. Alem disso, outras acoes sao possıveis, como a reducao dacarga ou a modulacao de linhas de corrente contınua, reduzindo a absorcao de potenciareativa. No caso em que a instabilidade de tensao e disparada por uma falta, a rapidaeliminacao da falta pode evitar a instabilidade. Na sequencia analisaremos varias destasmedidas.

94 Capıtulo 6: Acoes de controle para a estabilidade de tensao

6.2.1 Chaveamento rapido de capacitores/reatores

Capacitores podem ser chaveados para prover suporte de potencia reativa. Capacitoreschaveados por tiristores sao rapidos mas mesmo no caso de chaves eletromecanicas, avelocidade pode ser suficiente para que o capacitor atue na estabilidade de tensao.Durante problemas de estabilidade de tensao, reatores tambem podem ser desligados.

6.2.2 Compensadores estaticos de reativo

Os compensadores tem uma resposta muito rapida e portanto sao extremamente ade-quados como contramedida para manutencao de estabilidade a curto prazo. Paraesta acao ser efetiva e necessario que o compensador tenha disponıvel uma reservade potencia reativa. E usual a adocao de uma estrategia onde a compensacao reativaem regime permanente e deixada para dispositivos mais lentos, como o chaveamentode capacitores e reatores, o que assegura que o compensador tera reserva reativa paraatuar durante transitorios rapidos.

6.2.3 Modulacao de linhas de corrente contınua

Os conversores usados na transmissao por corrente contınua absorvem potencia rea-tiva, sendo que o valor desta potencia depende da potencia ativa transmitida. Comoos controles dos conversores sao muito rapidos, pode-se usa-los para reduzir o valor dapotencia ativa transmitida e com isto reduzir a potencia reativa absorvida pelos conver-sores. Isto tem um efeito benefico no controle de tensao no caso de instabilidade. Estaacao deve, no entanto, ser conciliada com a necessidade de manutencao da frequencia,o que limita o valor de reducao da potencia ativa.

6.2.4 Corte de carga

O corte de carga tem sido amplamente usada em esquemas de protecao contra sub-frequencia e atualmente sao tambem uma das formas mais empregadas para conteruma iminente instabilidade de tensao.

Esquemas locais de corte de carga ou esquemas mais globais, a partir de centros decontrole, podem ser usados. No caso da instabilidade de tensao, o esquema deve serrapido o suficiente para atuar antes que motores de inducao comecem a estolar, o quetorna os esquemas locais mais adequados.

Um esquema tambem usado e o corte seletivo de carga. Neste caso apenas motoresde inducao com tendencia a estolar sao desconectados, impedindo a propagacao doproblema de estabilidade para areas maiores. Em geral reles de subtensao sao usadospara este fim.

Uma questao importante no uso do corte se carga como acao de controle e a deter-minacao da quantidade de carga a ser desconectada. No Capıtulo 4 foram apresentadasvarias tecnicas, usando metodos baseados na modelagem estatica, que permitem a de-terminacao da carga desconectada visando atender um ındice de seguranca estabelecido.

EEL-UFSC 95

6.2.5 Eliminacao rapida de falta

Faltas podem desencadear problemas de instabilidade de tensao devido a baixas tensoesque provocam estol de motores de inducao. Se, no entanto, a falta for rapidamenteeliminada, pode-se evitar estol de grandes motores de inducao industriais e mesmode pequenos motores distantes da falta. No entanto, pequenos motores de inducaocorrespondentes a unidades de ar condicionado residenciais, em geral estolam durantesubtensoes, mesmo quando a falta e eliminada rapidamente.

6.3 Estabilidade a longo prazo

Neste caso o problema e o estabelecimento de um equiıbrio a longo prazo, evitandoinclusive a ocorrencia de instabilidade a curto prazo devido a dinamica de longo prazo.As acoes de controle neste caso sao principalmente bloqueio ou reducao da referenciade tensao de LTCs e corte de carga. Na sequencia cada um destas acoes sao abordadas.

6.3.1 Controle de LTCs

Como menciondao anteriormente, um dos mecanismos basicos da instabilidade detensao e a restauracao de cargas. Varias estrategias podem ser usadas com relacaoaos LTCs. A mais comum e o bloqueio dos taps, o que evita o processo de restauracaodas cargas e portanto age no sentido de evitar a degradacao de tensao. No entanto,outros transformadores a jusante do transformador onde o tap e bloqueado podem con-tinuar o processo de restauracao das cargas. Algumas vezes entao e preferıvel reduzir osetpoint do transformador, o que reduz as tensoes mas evita que o problema se estenda.

Para a coordenacao de LTCs em varios nıveis de tensao, alguns princıpios geraispodem ser seguidos:

1. No nıvel de distribuicao as tensoes devem ser mantidas baixas

2. No nıvel de sub-transmissao as tensoes devem ser mantidas no valor normal ouate em valor mais elevado, para reduzir as perdas reativas e aproveitar ao maimoas fontes de potencia reativa em paralelo. No caso de capacitores, por exemplo,a potencia reativa fornecida e Q = V 2 Bc.

6.3.2 Controle na Barra de Alta Tensao de Usinas

O controle de tensao na barra de alta tensao de uma usina e uma forma de estenderos limites de estabilidade de um sistema. Duas modalidades de controle de tensao emum ponto qualquer da rede [33], via regulador automatico de tensao do gerador, saoapresentadas. Tanto um sinal para compensar a queda de tensao numa reatancia, comoum sinal para controle conjunto das unidades. Nos dois casos o sinal se soma ao sinalde erro de tensao, no regulador de tensao, conforme a Figura 6.1. As duas modalidadesapresentadas aqui sao discutidas a seguir.

6.3.2.1 Compensacao de Corrente Reativa ou de Queda no Transformador

A compensacao de Corrente Reativa (Current Droop Compensation) ou Compensacaode Queda no Transformador (Line ou Voltage Drop Compensation) permite que se faca


o controle de tensao em ponto aquem ou alem do terminal, em vez de no terminal dogerador (que corresponde a VBT , na Figura 6.1).

Figura 6.1: Compensacao (tensao compensada e reatancia de compensacao Xc) e oControle Conjunto (CC, representado em tracejado)

Para a tensao Vc compensada alem da barra terminal verifica-se pela Figura 6.1:

Vc = VBT − XcIx (6.3.1)

onde:Ix e a componente reativa da corrente terminal do gerador;Xc e a compensacao de queda de corrente reativa.

Usualmente de1

2a

2

3de Xt, a reatancia do transformador elevador, e compensada.

Da condicao de regime permanente tem-se:

Vc = Vgref(6.3.2)

De (6.3.1) e (6.3.2) segue que:

VBT = Vgref+ Xc Ix (6.3.3)

A Equacao (6.3.3) mostra que para se obter a tensao terminal (ou VBT ) e tomado ovalor de corrente reativa, multiplicado pelo ganho proporcional a reatancia compensadae somado a referencia do regulador de tensao.

A equacao da tensao no lado de alta e obtida da rede eletrica:

VAT = VBT − Xt Ix (6.3.4)

De (6.3.3) e (6.3.4) tem-se a relacao entre Ix e VAT :

VAT = Vgref + Ix (Xc − Xt) (6.3.5)

A Equacao (6.3.5) representa um ”estatismo”de tensao, como ilustrado na Fi-gura 6.2.

A reta no plano Ix × VAT mostra que se Xc e reajustada em valor proximo deXt, entao VAT = Vgref para todo Ix. A reta fica paralela ao eixo Ix, o que significaestatismo nulo ou operacao instavel, isto e, com oscilacoes da potencia reativa injetadaQg provocadas por qualquer variacao na tensao do sistema. Por exemplo, se Xc =2/3Xt e Xt = 15% (na propria base), entao quando a corrente de carga na unidadeisolada alcanca 100% a queda de tensao no lado de alta vale 5% (estes sao valores maisou menos usuais).

EEL-UFSC 97

Figura 6.2: ¨Estatismo de Tensao¨ - caracterıstica de regime permanente da unidadegeradora sincronizada ao sistema

A inclinacao da reta representa a reatancia externa, Xe, do ponto compensado ateo sistema. No caso de ser analisada uma unidade individual, o sistema interligadopode ser considerado barra infinita. Entao para pequenas variacoes e valida a seguinterelacao em pu:

∆Vc∼= Xe ∆Ix

∼= Xe∆Qg (6.3.6)

Se o operador ou o controle conjunto (CC) muda Vgref, a reta se desloca paralela-

mente.

A reta da Figura 6.2 pode ser deslocada paralelamente a si propria, por um sinalde comando externo (por exemplo, o operador ou o controle conjunto muda Vgref

). Asretas 1 e 2 mostram que se Vgref

muda de 1.0 pu para 1.01 pu nesta unidade geradoraoperando no sistema, a corrente (ou a potencia reativa injetada) passa a ser 20% maior(na propria base).

Outra informacao obtida pela caracterıstica da Figura 6.2 e que se a tensao dosistema (VAT ) cai 1%, a injecao de reativo pela unidade cresce 20%.

Se for adotada a mesma inclinacao percentual para todas as maquinas, entao aparcela de carga reativa assumida sera proporcional a capacidade de cada maquina dausina. A compensacao tambem pode fazer usinas contribuırem a mais em disturbios.Na operacao com estatismo de tensao identico (em pu/pu) em varias usinas (cadausina sendo referida a seu valor nominal), entao no pos-disturbio as parcelas da cargareativa tenderao a ser distribuıdas mais equilibradamente (mantendo proporcionalidadea capacidade nominal de cada usina).

Para estudo de regime permanente a compensacao de corrente reativa pode sermodelada no fluxo de potencia considerando-se a barra PV conectada a rede pelareatancia Xt−Xc. Para verificar se a tensao terminal VBT esta dentro da faixa aceitavelpode-se usar a barra PV com opcao de controle remoto de tensao e incluir Xc, (Xt−Xc)e a representacao da rede.

6.3.2.2 Controle Conjunto de Tensao ou de Potencia Reativa

Este nao e um controle rapido, sendo as amostras tomadas em intervalos de segundos.Nesta modalidade o sinal do controle conjunto permite controlar a tensao proxima da


barra de alta tensao, conforme a Figura 6.1, ou adiante e mais afastada do terminal dogerador ou ainda a potencia reativa nas maquinas.

A tensao pode ser realimentada ainda de uma barra de alta tensao de outra su-bestacao. O controle conjunto pode tambem compensar uma reatancia de linha semrealimentar a tensao de barra.

No caso do Sistema Sul do Brasil, ha algum tempo o Controle Conjunto de Volt-Amperes Reativos (Joint VAR Control) foi usado em algumas usinas. No caso desolicitacao pela rede eletrica este controle permite uma injecao momentanea de potenciareativa, mas logo a referencia de potencia reativa reajusta automaticamente a excitacaopara manter os VARs e nao a tensao, o que nao e desejavel para a estabilidade de tensao.

CAPITULO 7

Controle secundario de tensao

7.1 Introducao

O objetivo deste capıtulo e o estudo do controle secundario de tensao, cujo objetivo ea melhoria dos nıveis de tensao do sistema e aumentar as margens de estabilidade detensao.

Faremos uma breve revisao do controle de tensao em sistemas eletricos, antes deestudar especificamente o controle secundario de tensao.

7.2 Controle de Tensao em Sistemas Eletricos de

Potencia

As tensoes em um sistema eletrico de potencia sao reguladas com os seguintes objetivos:

• proteger de danos os equipamentos;

• prevenir o colapso de tensao

No sistema eletrico geralmente tem sido dada preferencia a acao local de controlepara regular a tensao. O controle secundario de tensao segue este princıpio. Sua acao serestringe a uma area, mas pode compensar deficiencias na area, redistribuindo reservas,e garantindo mais seguranca a rede, ao aumentar margens de operacao.

O controle hierarquico em sistemas de potencia inclui os tres nıveis a seguir apre-sentados para o caso da tensao.

Nıvel primario No nıvel primario esta o regulador automatico de tensao, no controlede excitacao individual da unidade geradora. Com o sistema de excitacao nomodo de controle automatico de tensao o objetivo e a regulacao de tensao terminaldo gerador e o fornecimento de potencia reativa. A resposta do regulador damaquina sıncrona as variacoes de tensao terminal e rapida. Entao, para prover

100 Capıtulo 7: Controle secundario de tensao

Figura 7.1: Os tres nıveis de controle de tensao

controle de tensao no sistema e reduzir os riscos de sub/sobreexcitacao na unidadegeradora, e de maior importancia que o regulador de tensao esteja em servico coma maquina em operacao. Reguladores de tensao de compensadores sıncronos, decompensadores estaticos e tambem de comutadores sob carga de transformadores(LTCs) sao classificados como nıvel primario.

Nıvel secundario Mesmo contando com os reguladores automaticos de tensao dosgeradores, algumas situacoes tendem a ocorrer num sistema de transmissao queexigem outras acoes de controle como, por exemplo: em locais distantes das barrasreguladas ha variacoes lentas e grandes de tensao quando as cargas variam, e querequerem alteracao nos valores de referencia dos reguladores. Da mesma forma,uma correcao e necessaria se um disturbio levar tambem a uma distribuicaodesigual de reservas reativas entre usinas. Em situacoes deste tipo entra emcena o nıvel secundario, cuja finalidade e assegurar a continuidade das condicoesestabelecidas no nıvel terciario e, sob disturbio, manter desempenho coerente,prontamente restaurando o perfil de tensao. O controle automatico de tensao natransmissao e entao obtido por:

1. controle da excitacao de geradores, compensadores sıncronos e estaticos;

2. controle de compensacao reativa chaveavel;

3. controle na comutacao de taps de transformadores;

com o objetivo de regular a tensao em uma barra representativa de uma area detransmissao, chamada barra piloto ou em uma barra de alta tensao de usina.

Nıvel terciario A selecao das condicoes operativas otimizadas de tensao e feita emnıvel terciario, que pode nao ser automatizado, mas que se baseia em dados detempo real.

Na Figura 7.1 esta um diagrama com os tres nıveis de controle automatico de tensaoaplicados a uma area de um sistema.

Os tres nıveis hierarquicos de controle de tensao tem tempos de resposta bem dife-rentes para evitar interacoes, como mostrado na Tabela 7.1.

Na Figura 7.2 estao mostradas as duas malhas do controle secundario, junto aocontrole primario.

EEL-UFSC 101

Tabela 7.1: Caracterısticas dos Nıveis de Controle Automatico de Tensao

Controlede Tensao

Primario Secundario Terciario

Escalade Tempo

Segundo(resposta em miliseg.)

Minuto(por exemplo, uma

atualizacao cada 10 s)

Hora(por exemplo, uma

atualizacao cada 15 min)ElementoAbrangido

Gerador Area de Transmissao Sistema Eletrico

FuncaoMantem a tensao

terminal do gerador

Ajusta a tensao dogerador para

controlar a tensaoda barra piloto

Determina o valorde tensao dasbarras piloto

Figura 7.2: Malhas de controle primario e secundario de tensao

7.3 Caracterısticas e funcoes de um Controle Se-

cundario de Tensao

As caracterısticas do controle secundario de tensao num sistema podem ser descritasa partir das experiencias nos ultimos anos nos sistemas frances e italiano, alem deoutros. Inicialmente deve-se identificar zonas ou areas de controle na rede de EAT.Cada area deve ser homogenea do ponto de vista de tensao. O controle secundariode tensao determina a potencia reativa que precisa ser produzida pelos geradores ecompensadores sıncronos da area para manter num valor de referencia a tensao deuma barra representativa da area, chamada de barra piloto. Escolhem-se como barraspiloto barras que sofrem variacoes de tensao que sao representativas das variacoes detensao em suas barras vizinhas. Assim barras piloto precisam ter potencia de curto-circuito elevada, e todas as barras que seguem a barra piloto formam a area ou zona.A princıpio, as barras piloto seriam barras de EAT, podendo ate ser a barra de altatensao de usinas. A distancia eletrica entre duas barras piloto deve ser tal que evitetransferir potencia reativa inutil pelas linhas. Os geradores proximos as barras pilotoe com capacidade expressiva de geracao satisfazem o criterio eletrico de escolha dosgeradores de controle.

O controle secundario de tensao regula o perfil de tensao em cada area contro-lando a potencia reativa dos geradores de controle da area. O controle secundario detensao compreende duas malhas distintas de regulacao, envolvendo o centro regional e

102 Capıtulo 7: Controle secundario de tensao

Figura 7.3: Diagrama de blocos basico do controle secundario de tensao

a usina [8]. A Figura 7.3 ilustra o esquema de controle.A tensao Vp da barra piloto e comparada com Vpref

, a tensao de referencia destabarra, resultando um sinal de atuacao que, aplicado no controlador PI, determina agrandeza Qref para os geradores da area, grandeza tambem chamada nıvel da area. Estenıvel indica o requisito de potencia reativa da area. No diagrama de blocos mostradona Figura 7.3, para ter-se erro zero em regime permanente, deve-se ter Qg = Qref , ouseja, o controlador PI garante erro zero em regime, pelo integrador, o que significa quea referencia de potencia reativa vai ser exatamente copiada.

O erro reativo ∆Qref , do controlador regional, e transmitido para cada geradorde controle e e o setpoint para uma segunda malha de controle, regulando a geracaode potencia reativa na usina. O sinal ∆Qref − ∆Qg passa pelo bloco integrador com

funcao de transferencia1

sTr

, que e outro controlador, na usina, para obter a referencia

de tensao de geracao Vg. Mais dois blocos, tipo ganho, proporcionais as reatancias,sao empregados para indicar a relacao entre Vg, Qg e Vp: um ganho aplicado em Vg

determina ∆Qg, e um outro ganho da Vp, fechando as malhas.No caso da Figura 7.3 todas as maquinas sao de uma so usina da area. No caso real

deve-se ter um mecanismo de reparticao de reativo entre as unidades. O sinal ∆Qref

e mandado para cada um dos n geradores da area ∆Qgref1, . . . , ∆Qgrefn

.

Referencias Bibliograficas

[1] V. Ajjarapu and C. Christy. The continuation power flow: A tool for steady statevoltage stability analysis. volume 10, pages 304–310, Maio 1991.

[2] P. M. Anderson and A. A Fouad. Power System Control and Stability. The IowaState University Press, 1977.

[3] J. Arrillaga, C. P. Arnold, and B. J. Harker. Computer Modelling of ElectricalPower Systems. John Wiley and Sons, 1983.

[4] L. V. Barboza. Analise do maximo carregamento em sistemas de potencia viametodo de pontos interiores. Dissertacao de Mestrado - Engenharia Eletrica /UFSC, Maio 1997.

[5] L. V. Barboza. Analise e desenvolvimento de metodologias corretivas para a res-tauracao da solucao das equacoes da rede eletrica. Tese de Doutorado - EngenhariaEletrica / UFSC, Marco 2001.

[6] L. V. Barboza and R. S. Salgado. Restoring power flow solutions via minimumload shedding. In Proceedings of the Industry Applications Conference, volume 1,pages 802–806, Nov 2000.

[7] L. V. Barboza, R. S. Salgado, and K. C. Almeida. Estudo do maximo carre-gamento de sistemas de potencia via algoritmos de pontos interiores. In Anais doXII Congresso Brasileiro de Automatica, volume 6, pages 2005–2010, Set 1998.

[8] A. Berizzi, A. Silvestri, D. Volpi, D. Zaninelli, and R. Marconato. Dynamic in-teractions among areas in secondary voltage regulation. In 12th Power SystemsComputation Conference, pages 303–308, August 1996.

[9] C. A. Canizares and F. L. Alvarado. Point of collapse and continuation methodsfor large ac/dc systems. IEEE Transactions on Power Systems, 8(1):1–7, Fevereiro1993.

104 REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS

[10] M. L. Crow. Dynamics of voltage instability and collapse. Electrical Power andEnergy Systems, 16(4):235–241, 1994.

[11] M. Dehnel and H. W. Dommel. A method for identifying weak nodes in non-convergent load flows. IEEE Transactions on Power Systems, 4(2):801–807, May1989.

[12] I. Dobson. Observations on the geometry of saddle node bifurcation and volt-agecollapse in electrical power systems. IEEE Transactions on Circuits and Systems- I Fundamental Theory and Applications, 39(3):240–243, March 1992.

[13] I. Dobson and L. Lu. Computing an optimum direction in control space to avoidsaddle node bifurcation and voltage collapse in electric power systems. IEEETransactions on Automatic Control, 37(10):1616–1620, October 1992.

[14] I. Dobson and L. Lu. New methods for computing a closest saddle node bifurca-tion and worst case load power margin for voltage collapse. IEEE Transactionson Power Systems, 8(3):905–913, August 1993.

[15] I. Dobson, L. Lu, and Y. Hu. A direct method for computing a closest saddlenode bifurcation in the load power parameter space of an electric power system.IEEE International Symposium on Circuits and Systems - I Fundamental Theoryand Applications, 5(1):3019–3022, Singapore-June 1991.

[16] Eletrobras. Perturbacao dos dias 24 e 25 de abril de 1997 no sistema interligado,julho 1197. Relatorio Eletrobras SCO/SCEL/01/97.

[17] IEEE Task Force. Proposed terms and definitions for power system stability. IEEETrans. on Power Apparatus and Systems, 101:1894–1898, 1982.

[18] P.E. Gill, W. Murray, and M. Wright. Practical Optimisatio. Academic Press,1981.

[19] S. Granville, J. C. O. Melo, and A. C. G. Melo. Application of interior pointmethods to power flow unsolvability. IEEE Transactions on Power Systems,11(2):1096–1103, May 1996.

[20] J. Guckenheimer and P. Holmes. Nonlinear Oscillations, Dynamical Systems andBifurcations of Vector Fields. Springer-Verlag, New York, 1983.

[21] K. Iba, H. Suzuki, M. Egawa, and T. Watanabe. A method for finding a pair ofmultiple load flow solutions in bulk power systems . IEEE Transactions on PowerApparatus and Systems, 5(2):582–591, abril 1981.

[22] G. D. Irisarri, X. Wang, J. Tong, and S. Mokhtari. Maximum loadability of powersystems using non linear interior point method. IEEE Transactions on PowerSystems, 12(1):162–172, Fev 1997.

[23] S. Iwamoto and Y. Tamura. A load flow calculation method for ill-conditionedpower systems . IEEE Transactions on Power Apparatus and Systems,100(4):1736–1743, abril 1981.

REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS 105

[24] P. Kundur. Power System Stability and Control. McGraw-Hill, 1994.

[25] A.A.P. Lerm and A.S. e Silva. Multiparameter bifurcation analysis of the SouthBrazilian power system. IEEE Transactions on Power Systems, 18(2), May 2003.

[26] A.A.P. Lerm and A.S. e Silva. Avoiding Hopf bifurcations in power systems viaset-points tuning. IEEE Transactions on Power Systems, 19(2):1076–1084, 2004.

[27] Federico Milano. PSAT - Power System Analysis Toolbox.

[28] Alcir Monticelli. Fluxo de Carga em Redes de Energia Eletrica. Editora EdgardBlucher Ltda, 1983.

[29] T. J. Overbye. A power flow measure for unsolvable cases. IEEE Transactions onPower Systems, 9(3):1359–1365, Agosto 1994.

[30] C. C. Pereira. Um estudo do metodo da continuacao aplicado a analise do maximocarregamento dos sistemas de potencia. Dissertacao de Mestrado - EngenhariaEletrica / UFSC, Agosto 1998.

[31] W.P. Sauer and M.A. Pai. Power System Dynamics and Stability. Prentice Hall,1998.

[32] R. Seydel. Practical Bifurcation and Stability Analysis. Springer-Verlag, 1994.

[33] V.L. de C. Soares. Metodo para especificacao e ajuste do controle secundario detensao, 2004. Exame de Qualificacao.

[34] E. A. Sodre. Avaliacao estatica da estabilidade de tensao usando o metodo dacontinuacao. Dissertacao de Mestrado - Engenharia Eletrica / UFSC, Agosto1996.

[35] Van Cutsem T. and C Vournas. Voltage Stability of Electric Power Systems.Kluwer Academic Publishers, 1998.

[36] C. W. Taylor. Power System Voltage Stability. New York: McGraw-Hill Ltd, 1994.

[37] C.W. Taylor. Power System Voltage Stability. McGraw-Hill, 1994.

APENDICE A

Fluxo de potencia em coordenadasretangulares

A.1 Resumo

• Discordancias de Potencia

Barras PV e PQ:

∆Pi = P espi − P calc

i (e, f) = P espi −

n∑

k=1

[ei (Gikek − fkBik) + fi (fkGik + ekBik)]

Barras PQ:

∆Qi = Qespi − Qcalc

i (e, f) = Qespi −

n∑

k=1

[fi (Gikek − fkBik) − ei (fkGik + ekBik)]

lembrando que:

Yik = Gik + jBik

Vk = ek + jfk = |Vk|∠δk

Si = Pi + jQi = ViI∗i

Si = Vi

n∑

k=1

Y ∗ikV

∗k = (ei + jfi)

n∑

k=1

(Gik − jBik) (ek − fk)

(A.1.1)

• Discordancias de tensao (para as barras PV apenas):

∆|Vi|2 = (|Vi|

esp)2 −(

|Vi|calc

)2

onde(

|Vi|calc

)2= e2

i + f 2i

108 Capıtulo A: Fluxo de potencia em coordenadas retangulares

• Equacao Matricial Jacobiana

∆P∆Q

∆|V |2

=

−∂∆P

∂e−

∂∆P

∂f

−∂∆Q

∂e−

∂∆Q

∂f

−∂∆|V |2

∂e−

∂∆|V |2

∂f

[

∆e∆f

]

• Atualizacao das incognitas na iteracao (v)

e(v)k = e

(v−1)k + ∆ek

f(v)k = f

(v−1)k + ∆fk

(A.1.2)

EEL-UFSC 109

• Elementos da matriz Jacobiana

−∂∆Pi

∂ek

=∂Pi

∂ek

= eiGik + fiBik i 6= k

−∂∆Pi

∂fk

=∂Pi

∂fk

= −eiBik + fiGik i 6= k

−∂∆Pi

∂ei

=∂Pi

∂ei

= 2eiGii +

n∑

k=1, k 6=i

(Gikek − fkBik)

−∂∆Pi

∂fi

=∂Pi

∂ei

= 2fiGii +n

∑

k=1, k 6=i

(fkGik + ekBik)

−∂∆Qi

∂ek

=∂Qi

∂ek

= fiGik − eiBik i 6= k

−∂∆Qi

∂fk

=∂Qi

∂fk

= −fiBik − eiGik i 6= k

−∂∆Qi

∂ei

=∂Qi

∂ei

= −2eiBii −n

∑

k=1, k 6=i

(ekBik − fkGik)

−∂∆Qi

∂fi

=∂Qi

∂fi

= −2fiBii +n

∑

k=1, k 6=i

(Gikek − Bikfk)

−∂∆|V |2i

∂ek

=∂|V |2i∂ek

= {0, se i 6= k ou 2ei, se i = k}

−∂∆|V |2i

∂fk

=∂|V |2i∂fk

= {0, se i 6= k ou 2fi, se i = k}

(A.1.3)

110 Capıtulo A: Fluxo de potencia em coordenadas retangulares

APENDICE B

Elementos de algebra linear

B.1 Inversao de Matrizes

Definicao B.1.1 Matriz inversa de uma matriz quadrada A e a matriz denotadapor A−1, cuja pre-multiplicacao ou pos-multiplicacao pela matriz A resulta na matrizidentidade. Isto e A−1

n An = AnA−1n = In.

B.1.1 Determinacao da Matriz Inversa

Teorema B.1.1 Se A uma matriz quadrada, A× adj(A) = adj(A)×A = det(A)× I.

Portanto, A×adj(A)det(A)

= I, e entao

A−1 =adj(A)

det(A)

Se o determinante da matriz for nulo, a matriz nao possui inversa e e denominadamatriz singular.

Observacao B.1.1det[adj(A)] = [det(A)]n−1

Definicao B.1.2 Matriz Unitaria

Uma matriz P e unitaria se a sua inversa e igual a sua conjugada transposta, istoe P−1 = P ∗t.

Definicao B.1.3 Matriz Ortogonal ou Ortonormal e uma matriz unitaria comapenas elementos reais, isto e, se a matriz P e ortogonal, entao P −1 = P t. Por exemplo,a matriz identidade.

112 Capıtulo B: Elementos de algebra linear

B.2 Posto, Rank ou Classe de uma Matriz

O posto, rank ou classe de uma matriz A nao necessariamente quadrada, denotadoρ(A), e o numero correspondente a ordem da maior submatriz que pode ser obtida damatriz A e que possui determinante nao nulo.

Observacao B.2.1O posto de uma matriz Am×n e no maximo igual ao menor entre o numero de linhas ede colunas da matriz, isto e ρ(A) ≤ min{m, n}.

Observacao B.2.2O posto de uma matriz A, tambem pode ser definida como o maximo numero de linhas(ou colunas) linearmente independentes da matriz.

Observacao B.2.3Uma matriz A e dita de posto completo se o seu posto for igual ao mınimo entre m en.

B.3 Autovalores e autovetores

Associados a uma matriz quadrada A de ordem n×n, um escalar λ e um vetor nao nulox satisfazendo a equacao Ax = λx sao denominados, respectivamente um autovalor eum autovetor de A. Para que λ seja um autovalor e portanto necessario e suficienteque A − λI seja singular, portanto det(A − λI) = 0. Dessa forma, um escalar λ e umautovalor de A se e somente se for solucao de ∆(λ) , det(λI − A) = 0. Esta ultimaequacao, e chamada de polinomio caracterıstico de A. e quando expandida, forneceum polinomio de ordem n que pode ser resolvido para n (possivelmente nao distintos)raızes complexas λ que sao os autovalores de A. A cada valor de λ corresponde umautovetor.

B.3.1 Autovalores e equacoes diferenciais

Nesta secao e examinada a relacao entre autovalores e equacoes diferenciais lineares.Inicialmente e mostrado, atraves de um exemplo, como converter uma equacao linearde ordem n em n equacoes diferenciais de primeira ordem, que podem entao ser repre-sentadas na forma x = Ax. Apresenta-se entao a solucao da equacao linear em termosdos autovalores da matriz A.

Seja a equacao diferencial de terceira ordem

..y −5

..y +10y − y = 0 (B.3.1)

Se seguintes variaveis forem definidas:

x1 = y

x2 = y

x3 =..y

EEL-UFSC 113

pode-se reescrever a equacao B.3.1 como

x1 = x2 (B.3.2)

x2 = x3 (B.3.3)

x3 = x1 − 10x2 + 5x3 (B.3.4)

ou ainda, como x = Ax, onde

x =

x1

x2

x3

(B.3.5)

e

A =

0 1 00 0 11 −10 5

(B.3.6)

Para um sistema de equacoes diferenciais do tipo x = Ax, os autovalores da matrizA fornecem a solucao do sistema. Sejam λi, , i = 1 . . . n os autovalores da matriz,suposta de dimensao n. Entao as solucoes da equacao sao dadas por

xi =

n∑

i=1

cieλit, i = 1, · · · , n (B.3.7)

onde ci sao constantes que dependem das condicoes iniciais.Se os autovalores sao complexos conjugados, entao os termos correspondentes na

equacao B.3.7 podem ser combinados. Por exemplo, se λ2 = σ+ iω e λ3 = λ∗2 = σ− iω,

entao:c2e

λ2t + c3eλ3t = Meσcos(ωt + φ) (B.3.8)

onde M e φ sao constantes determinadas a partir de c2 e c3.Conclui-se entao que os autovalores indicam a estabilidade do sistema. Autovalores

com parte real positiva indicam solucoes crescentes com o tempo. Para o exemploanterior, os autovalores sao dados aproximadamente por

λ1 = −0.1

λ2 = 2.55 + i2

λ3 = 2.55 − i2

Portanto, a solucao apresenta uma resposta oscilatoria crescente com o tempo.

114 Capıtulo B: Elementos de algebra linear

APENDICE C

Revisao de calculo

C.1 Serie de Taylor

Se f(x) e uma funcao < → <, contınua e C∞, entao existe um escalar β (0 ≤ β ≤ 1.0)tal que

f(x0 + h) = f(x0) + hdf(x0)

dx+

1

2h2d2f(x0)

dx2· · · +

1

n!hn dnf(x0)

dxn

+1

(n + 1)!h(n+1) d

(n+1)f(x0 + βh)

dx(n+1)

onde dnf(x)dxn denota a n-esima derivada de f em relacao a x, calculada no ponto x.

O ultimo termo no lado direito desta equacao representa o resto o qual nao tendenecessariamente para zero quando n → ∞. Mas se ele tende para zero, entao a serieconvergente

∞∑

n=0

hn

n!

dnf(x0)

dxn(C.1.1)

e chamada de serie de Taylor para x em x0 e representa o valor exato de f(x0 + h).Em muitos casos apenas os primeiros dois ou tres termos da serie sao usados. A serie

de Taylor encontra muitas aplicacoes para a obtencao de modelos lineares a partir desistemas nao-lineares. Neste caso apenas os primeiros dois termos da serie sao usados.

C.2 Funcoes vetoriais

Considera-se os vetores de n componentes x = (x1, x2, . . . , xn) como elementos de umEspaco Vetorial denominado Espaco Euclideano n-dimensional, En.

Uma funcao de valores reais f definida num subconjunto do espaco En e ditacontınua em x se xk → x implica que f(xk) → f(x).

116 Capıtulo C: Revisao de calculo

Um conjunto de funcoes de valores reais f1, f2, ..., fm em En pode ser interpretadacomo uma unica funcao vetorial f = (f1, f2, ..., fm). Esta funcao associa um vetorf(x) = (f1(x), f2(x), ..., fm(x)) em Em a todos os vetores x em En. Esta funcao e ditacontınua se cada uma de suas componentes for contınua.

Se cada componente de f = (f1, f2, ..., fm) e contınua num conjunto aberto de En,entao diz-se que f ∈ C. Se, alem disso, cada funcao fi tem derivadas parciais deprimeira ordem contınuas no mesmo conjunto, diz-se que f ∈ C1. Generalizando, se asfuncoes componentes tem derivadas parciais de ordem p contınuas, diz-se que f ∈ Cp

O espaco vetorial composto por vetores n-dimensionais reais e denominado Rn.

Uma funcao f(x) toma um componente x de Rn e associa a ele um vetor de dimensao1 representando o valor da funcao no ponto x. Diz-se entao que f : Rn → R1. Deforma semelhante, uma funcao vetorial f = (f1, f2, ..., fm) pode ser expressa comof : Rn → Rm.

Definicao C.2.1 Seja uma funcao f : Rn → R1, duas vezes diferenciavel e contınua(isto e, f ∈ C2). O vetor coluna (n × 1) de derivadas parciais de f em relacao ax, x ∈ Rn, e uma funcao de x denominada vetor gradiente de f e denotada por∇f(x) (ou ∇xf(x)) [18].

Em termos matriciais,

∇f(x) = ∇xf(x) =

∂f/∂x1

∂f/∂x2...

∂f/∂xn

Observacao C.2.1E comum representar o gradiente por um vetor linha.

C.2.1 Curvas de Nıvel e Interpretacao do vetor Gradiente

Para qualquer funcao multivariavel, a equacao f(x) = k define uma superfıcie no espacoRn chamada Curva de Nıvel ou de Contorno. Esta curva consiste num conjunto depontos x ∈ Rn onde a funcao f : Rn → R1 tem contorno constante. Analiticamente,isto pode ser expresso como,

Cn = {x | f(x) = k, k = escalar}

Exemplo C.2.1Para f(x, y) = 8 + (x1 − 4)2 + 2(x2 − 2)2 (figura C.1) o grafico de f e a superfıciez = 8 + (x1 − 4)2 + 2(x2 − 2)2. A curva no plano x1x2,obtida para z = 24 e a elipse(x1 − 4)2 + 2(x2 − 2)2 = 16. Para z = k, as curvas de nıvel de f sao as elipses(x1 − 4)2 + 2(x2 − 2)2 = k − 8.

EEL-UFSC 117

−10 −6 −2 2 6 10 14 18

−10

−6

−2

2

6

10

14

18

−10 −6 −2 2 6 10 14 18

−10

−6

−2

2

6

10

14

18

−10 −6 −2 2 6 10 14 18

−10

−6

−2

2

6

10

14

18

−10 −6 −2 2 6 10 14 18

−10

−6

−2

2

6

10

14

18

−10 −6 −2 2 6 10 14 18

−10

−6

−2

2

6

10

14

18

−10 −6 −2 2 6 10 14 18

−10

−6

−2

2

6

10

14

18

−10 −6 −2 2 6 10 14 18

−10

−6

−2

2

6

10

14

18

−10 −6 −2 2 6 10 14 18

−10

−6

−2

2

6

10

14

18

−10 −6 −2 2 6 10 14 18

−10

−6

−2

2

6

10

14

18

−10 −6 −2 2 6 10 14 18

−10

−6

−2

2

6

10

14

18

−10 −6 −2 2 6 10 14 18

−10

−6

−2

2

6

10

14

18

−10 −6 −2 2 6 10 14 18

−10

−6

−2

2

6

10

14

18

−10 −6 −2 2 6 10 14 18

−10

−6

−2

2

6

10

14

18

−10 −6 −2 2 6 10 14 18

−10

−6

−2

2

6

10

14

18

−10 −6 −2 2 6 10 14 18

−10

−6

−2

2

6

10

14

18

−10 −6 −2 2 6 10 14 18

−10

−6

−2

2

6

10

14

18

−10 −6 −2 2 6 10 14 18

−10

−6

−2

2

6

10

14

18

−10 −6 −2 2 6 10 14 18

−10

−6

−2

2

6

10

14

18

−10 −6 −2 2 6 10 14 18

−10

−6

−2

2

6

10

14

18

−10 −6 −2 2 6 10 14 18

−10

−6

−2

2

6

10

14

18

gradf

Figura C.1: Curvas de nıvel e vetor gradiente

Definicao C.2.2 A derivada direcional de uma funcao de duas variaveis f(x, y)na direcao de um vetor unitario u = (cosθ, senθ) e definida como

Duf(x, y) = limh→0

f(x + hcosθ, y + hsenθ) − f(x, y)

h

se este limite existir.

A derivada direcional da a taxa de variacao do valor da funcao f em relacao adistancia no plano xy medida na direcao e sentido do vetor u.

A derivada direcional pode ser obtida pelo produto escalar do gradiente da funcaopelo vetor unitario da direcao:

Duf(x, y) = ut.∇f(x, y)

Se α e a medida em radianos do angulo entre u e ∇f(x, y), entao

Duf(x, y) = |u|.|∇f(x, y)| cosα

A expressao anterior mostra que para α = 0 (isto e, u colinear com ∇f(x, y)) afuncao tem a maxima taxa de variacao. Portanto, a direcao da maxima taxade variacao de uma funcao e dada pelo seu vetor gradiente. Representandoo gradiente no plano f(x, y) = k tem-se que ele e perpendicular as curvas de nıvel dafuncao f .

C.2.2 Derivadas de Ordem Superior

Derivadas de ordem mais elevada para uma funcao multivariavel sao definidas damesma forma que no caso unidimensional, e o numero de quantidades associadas au-menta de um fator n a cada nıvel de diferenciacao. Portanto, a primeira derivada deuma funcao f = Rn → R1 e um vetor n-dimensional; a segunda derivada da mesmafuncao e definida por n2 derivadas parciais das n primeiras derivadas parciais com


relacao as n variaveis, ou seja,

∂

∂xi

(∂f

∂xj

) i = 1 . . . n, j = 1 . . . n

ou, de uma forma mais geral,

∂2f

∂xi∂xj

, para i 6= j e∂2f

∂x2i

para i = j

Se f e uma funcao contınua e duas vezes diferenciavel, estas n2 segundas derivadasparciais podem ser representadas por uma matriz quadrada, simetica, denominadamatriz Hessiana de f(x), e denotada por

∇2f(x) = ∇2xxf(x) =

∂2f/∂x21 ∂2f/∂x1∂x2 . . . ∂2f/∂x1∂xn

∂2f/∂x2∂x1 ∂2f/∂x22 . . . ∂2f/∂x2∂xn

.... . .

...∂2f/∂xn∂x1 ∂2f/∂xn∂x2 . . . ∂2f/∂x2

n

Uma vez que∂2f

∂xi∂xj

=∂2f

∂xj∂xi

pode ser visto facilmente que a Hessiana e uma matriz simetrica.Se a matriz Hessiana de f e constante, f e dita funcao quadratica, e neste caso

e expressa como,

f(x) =1

2xTGx + cTx + α

onde, G e uma matriz constante; c e um vetor, e α e um escalar.Note que, o vetor gradiente da funcao quadratica e

∇f(x) = Gx + c

e a sua matriz Hessiana e dada por

∇2f(x) = G

Para um vetor constituıdo de funcoes contınuas e diferenciaveis, as derivadas saodefinidas diferenciando-se cada funcao separadamente.

Definicao C.2.3 A matriz Jacobiana de um conjunto de funcoes f(x), de dimensao(m×1), e definida como uma matriz (m×n), cujo elemento i− j e a derivada de fi(x)com relacao a xj; ou seja, a i-esima linha e o vetor gradiente transposto da funcao∇fi(x).

Portanto, se

f(x) =

f1(x)f2(x)

...fm(x)

EEL-UFSC 119

entao

∂f(x)

∂x=

∂f1/∂x1 ∂f1/∂x2 . . . ∂f1/∂xn

∂f2/∂x1 ∂f2/∂x2 . . . ∂f2/∂xn

...∂fm/∂x1 ∂fm/∂x2 . . . ∂fm/∂xn

Se f ∈ C2 e possıvel definir m Hessianas ∇2f1(x),∇2f2(x), ...∇2fm(x) correspon-dentes as m funcoes que compoem f . A segunda derivada de f e um tensor de 3aordem,porem seu uso explıcito usualmente nao e necessario. Dado um vetor λt = [λ1, λ2, ...λm],a funcao λtf tem gradiente igual a λt∇f(x), representado neste caso por um vetor linhae onde ∇f e uma notacao alternativa para o jacobiano, e Hessiana

λt∇2f(x) =m

∑

i=1

λi∇2fi(x)

Observacao C.2.2A matriz Hessiana da funcao escalar f(x) : Rn → R1 e a matriz Jacobiana da funcaovetorial ∇f(x).

C.2.3 Expansao em Serie de Taylor

Para o caso multivariavel, a extensao da serie de Taylor, como vista na secao anterior,e imediata. Sejam x um ponto, p um vetor de comprimento unitario e α um escalar.A funcao f(x + αp) pode ser considerada como uma funcao unidimensional de α, e aexpansao acima pode ser aplicada diretamente. Na maioria dos casos praticos, apenasa expressao ate os tres primeiros termos e importante. Assim,

f(x + αp) = f(x) + α∇f(x)Tp +1

2α2pT∇2f(x)p

Observacao C.2.3A taxa de variacao de f no ponto x ao longo da direcao p e dada pela quantidade∇f(x)Tp, a qual e denominada derivada direcional.

Observacao C.2.4O escalar pT∇2f(x)p pode ser interpretado como 2a derivada de f ao longo de p, e ecomumente conhecido como curvatura de f ao longo de p;

Observacao C.2.5A direcao p tal que pT∇2f(x)p > 0(< 0)) e chamada direcao de curvatura positiva(negativa);

Observacao C.2.6A expansao em serie de Taylor de uma funcao geral f em torno de um ponto x permitedeterminar aproximacoes simples da funcao na vizinhanca de x. Assim,

f(x + p) ∼= f(x) + ∇f(x)Tp

define uma funcao linear do vetor n-dimensional p (distante ||p|| de x) e e uma apro-ximacao de f com erro da ordem ||p||2;


Observacao C.2.7De maneira analoga a observacao anterior

f(x + p) ∼= f(x) + ∇f(x)Tp +1

2pT∇2f(x)p

define uma aproximacao quadratica de f com erro da ordem ||p||3.

Anotacoes

2 Anotacoes

Anotacoes 3

4 Anotacoes

Anotacoes 5

6 Anotacoes

Anotacoes 7

8 Anotacoes

Anotacoes 9

10 Anotacoes

Anotacoes 11

curso de estabilidade de tensao~ - labspot.ufsc.braguinald/ensino/eel6303/vstab.pdf · isto pode...

Documents