ELIANA DA SILVA CRUZ

A NOO DE VARIVEL EM LIVROS DIDTICOS DE ENSINO FUNDAMENTAL: UM ESTUDO SOB A TICA DA

ORGANIZAO PRAXEOLGICA

MESTRADO EM EDUCAO MATEMTICA

PUC/SP So Paulo

2005

ELIANA DA SILVA CRUZ

A NOO DE VARIVEL EM LIVROS DIDTICOS DE ENSINO FUNDAMENTAL: UM ESTUDO SOB A TICA DA

ORGANIZAO PRAXEOLGICA

Dissertao apresentada Banca Examinadora da

Pontifcia Universidade Catlica de So Paulo, como

exigncia parcial para obteno do ttulo de MESTRE

EM EDUCAO MATEMTICA, sob a orientao do

Prof. Dr. Saddo Ag Almouloud.

PUC/SP So Paulo

2005

ii

Banca Examinadora

________________________________________

________________________________________

________________________________________

iii

A MINHA FAMLIA

AO JUCA,

MEU BEM QUERER

iv

AGRADECIMENTOS

s pessoas que direta ou indiretamente auxiliaram na elaborao e

desenvolvimento deste trabalho.

Ao Prof Dr Saddo Ag Almouloud, pela orientao, pacincia e incentivo.

Prof Dr Silvia Dias de Alcntara Machado, pela ateno, comentrios e

sugestes.

Ao Prof Dr Antonio Carlos Brolezzi, pelos comentrios que tanto

contriburam com esse trabalho.

CAPES, pela bolsa que possibilitou o trmino desta pesquisa.

A todos os professores e funcionrios do Programa de Estudos Ps-

Graduados em Educao matemtica da PUC-SP.

Em especial a Prof Dr Ana Lcia Manrique por ter colaborado diretamente

na realizao desse trabalho.

Aos funcionrios da biblioteca, pela ateno e ajuda.

Aos colegas de graduao que sempre me incentivaram, Rosangela e

Pitgoras.

Aos colegas de mestrado, cuja unio sempre nos motivaram, em especial

as amigas Leila e Marisa.

Ao Rodrigo pela ajuda com os textos em ingls, Alda (abstract) e Edna pela

ajuda com os textos em francs.

A minha me (Nrcia), meu pai (Leonel), minha irm (Silvania) e meu irmo

(Leo), pela compreenso, dedicao, auxlio, e suporte.

Ao Jnior pela pacincia, apoio e compreenso pela falta de tempo.

Deus...

v

RESUMO

A presente dissertao teve por objetivo investigar como a noo de

varivel tem sido abordada pelos livros didticos brasileiros referentes aos 3 e 4

ciclos do Ensino Fundamental. O estudo se props a responder a seguinte

questo de pesquisa: Como os livros didticos abordam a noo de varivel sob

a tica da organizao praxeolgica de Chevallard?.

Para tanto, desenvolvemos uma anlise qualitativa e documental de quatro

colees de livros didticos de 5 8 srie do Ensino Fundamental.

Essa anlise foi desenvolvida tendo por base quatro aspectos que

consideramos de grande relevncia para o estudo exposto: primeiramente

analisamos de que modo os livros didticos vm incorporando as orientaes

dadas pelos PCNs visto que eles relatam estarem de acordo com essas

propostas; em seguida verificamos quais so as abordagem que os autores

utilizam para introduzir e desenvolver a lgebra e por ltimo analisar quais os

diferentes usos dados idia de varivel.

A pesquisa fundamentando-se na Teoria antropolgica do didtico de

Chevallard (1991), fazendo uso de uma adaptao da Organizao Praxeolgica

proposta pelo autor.

Procuramos identificar nos exerccios que atendem cada aspecto qual o

tipo de tarefa proposta, qual a maneira de cumprir essa tarefa, que a tcnica

envolvida, e qual o discurso terico-tecnolgico que esta por traz dessa tcnica.

Percebemos que embora os livros didticos tragam vrias concepes da

lgebra e venha trabalhando as variveis sob diferentes enfoques, ainda h a

predominncia de exerccios para aplicao de tcnicas.

Palavras-chave: lgebra varivel livros didticos organizao praxeolgia.

vi

ABSTRACT

The aim of this paper is to investigate how the notion of variable has been

considered in Brazilian schoolbooks directed to students from the 1st. to the 8th

educational degrees (usually from 7 to 15 years). The study intends to answer the

following research question: How schoolbooks bring up the notion of variable

having in view Chevallards praxis organization?

For this purpose, we developed a qualitative and documental analysis of

four schoolbooks collections from the 5th to the 8th educational degrees.

This analysis has been based on four aspects that we consider significant

for the exposed study: first, we analyzed the way the schoolbooks are

incorporating the orientation given by the National Curricular Parameters (PCNs),

since they reported that they are in accordance to these proposals; next, we

verified the authors approaches to introduce and develop Algebra and, finally, we

studied the different applications given to the idea of variable.

The research has been based on Chevallards Anthropological Theory

(1991), making use of an adaptation of the Praxis Organization proposed by the

author.

We have tried to identify, in the exercises that regard each aspect, which is

the type of the task proposed, which is the way to accomplish this task, which is

the technique involved and which is the theoretical-technologic argument behind

this technique.

We noticed that, though the schoolbooks present several Algebra

conceptions and have been considering variables under different approaches, the

predominance of the exercises for the application of the techniques still subsists.

Keywords: algebra variable schoolbooks praxis organization

vii

SUMRIO

APRESENTAO...................................................................................................1

CAPTULO I: Consideraes Preliminares.........................................................3

1.1 Desenvolvimento histrico da lgebra..........................................3

1.2 Anlise dos PCNs.........................................................................8

1.3 Reviso bibliogrfica...................................................................11

1.3.1 Nobre (1996).................................................................11

1.3.2 Oliveira (2004)...............................................................13

1.3.3 Modanez (2003)............................................................14

1.3.4 Berdnarz, Kieran e Lee (1996)......................................16

1.3.5 Wheeler (1996)..............................................................19

1.3.6 Usiskin (1994)............................................................20

CAPTULO II: Problemtica, Tericos e Procedimentos Metodolgicos..........23

2.1 Problemtica...............................................................................23

2.1.1 Definio de pesquisa...................................................27

2.2 Fundamentos Tericos...............................................................28

viii

2.2.1 A noo de Organizao Praxeolgica.........................28

2.3 Procedimentos Metodolgicos....................................................30

2.3.1 Anlise Documental......................................................30

2.3.2 A escolha dos Livros Didticos................................... .31

2.3.3 Aspectos para anlise dos Livros Didticos..................32

CAPTULO III: Anlise das colees de livros didticos..................................39

3.1 Coleo: A Conquista de Matemtica: a + nova.........................39

3.2 Coleo: Tudo Matemtica......................................................49

3.3 Coleo: Matemtica para Todos...............................................62

3.4 Coleo: Matemtica e Realidade..............................................72

CAPTULO IV: Concluso....................................................................................82

4.1 Introduo...................................................................................82

4.2 Sntese dos resultados...............................................................84

4.2.1 Aspecto 1......................................................................84

4.2.2 Aspecto 2......................................................................85

4.2.3 Aspecto 3......................................................................86

4.3 Respondendo nossa questo de pesquisa.................................86

4.4 Sugestes para futuras pesquisas..............................................90

ix

REFERNCIAS BIBLIOGRFICAS...............................................91

x

LISTA DE QUADROS

QUADRO 1: Livros Didticos de Matemtica para o Ensino Fundamental...........32

QUADRO 2: Comparao entre as concepes de lgebra, segundo Usiskin, e as

abordagens para o ensino de lgebra, de acordo com Berdnarz..........................36

QUADRO 3: Concepo de lgebra e com os diferentes usos das variveis.......37

xi

LISTA DE FIGURAS

FIGURA 1: Mquinas Programadas extrada do livro de DANTE. Tudo

Matemtica, v. 3, p. 112, 2002...............................................................................53

FIGURA 2: Tabela extrada do livro de DANTE. Tudo Matemtica, v. 2, p. 21,

2002.......................................................................................................................55

FIGURA 3: Tabela extrada do livro de DANTE. Tudo Matemtica, v. 4, p. 157,

2002.......................................................................................................................56

FIGURA 4: Tabela extrada do livro de DANTE. Tudo Matemtica, v. 4, p. 156,

2002.......................................................................................................................61

FIGURA 5: Seqncia de figuras extrada do livro de IMENES e LELLIS.

Matemtica para Todos, v. 2, p. 195, 2002............................................................66

FIGURA 6: Esquema para resolver problemas, figura extrada do livro de

GIOVANNI, CASTRUCCI e GIOVANNI JR. Matemtica e Realidade, v. 2, p. 178,

2000.......................................................................................................................74

1

APRESENTAO

O motivo inicial que nos levou a refletir e a levantar questionamentos sobre

a introduo noo de varivel provm de nossa prtica docente.

Aps alguns anos como professora de matemtica do Ensino Fundamental,

pudemos constatar que os alunos tm grandes dificuldades em trabalhar com a

lgebra, principalmente no que se refere a equaes e compreenso do

significado de variveis. Eles aprendem e manipulam equaes mecanicamente,

consistindo, em geral, no procedimento Muda de lado Muda de sinal, sem

qualquer entendimento.

Os alunos apresentam muitas dificuldades no que diz respeito aos

conceitos enfocados nas vrias formas de introduzir a lgebra: soluo de

equaes, manipulao de expresses algbricas, resoluo de problemas e

tratamento de conceitos fundamentais, como os de varivel.

A dificuldade encontrada pelos alunos na compreenso dos assuntos

estudados em lgebra pode estar relacionada, entre outros, ao modo como so

abordadas suas noes. Da por que, quando iniciamos o mestrado, nos

propusemos a estudar a noo de varivel.

Esta pesquisa est inserida no projeto O pensamento matemtico:

formao de ncleo de ensino-aprendizagem,1 e nosso objetivo realizar uma

anlise de livros didticos desenvolvida a partir de uma adaptao da

Organizao Praxeolgica proposta por Chevallard (1991).

Nos ltimos anos, surgiram muitas pesquisas visando diagnosticar as

causas das dificuldades apresentadas no processo de ensino e aprendizagem da

lgebra. Seqncias de ensino tm sido criadas e testadas na Educao

Matemtica, na tentativa de encontrar solues. Na regio que atuamos, assim

como em muitas outras, o livro didtico continua sendo amplamente utilizado por

alunos e professores, por isso desenvolvemos nossa pesquisa com um olhar

1 Referimo-nos ao projeto do grupo G4 da PUC/SP sob responsabilidade do professor doutor Saddo Ag Almouloud.

2

voltado para a anlise desses livros, buscando identificar os tipos de tarefas, as

tcnicas, as tecnologias e as teorias neles contidas.

Este trabalho est dividido em quatro captulos, descritos da seguinte

forma:

No captulo 1, realizamos um breve estudo histrico do desenvolvimento da

lgebra dando nfase noo de varivel, uma anlise dos PCNs apresentando

as propostas para o terceiro e quarto ciclos do Ensino Fundamental e a reviso

bibliogrfica composta por pesquisas que dissertam sobre o tema.

O captulo 2 apresenta a problemtica, delimitando nossa questo de

pesquisa e as consideraes tericas de acordo a Teoria Antropolgica do

Didtico proposta por Chevallard (1991). Nesse captulo tambm so expostos os

procedimentos metodolgicos baseados em anlise qualitativa e documental e os

aspectos considerados para escolha e anlise dos livros didticos.

No captulo 3, iniciamos a anlise dos livros de Matemtica do terceiro e

quarto ciclos do Ensino Fundamental.

No captulo 4, so apresentadas as concluses e consideraes finais,

mediante a confrontao dos pontos positivos e negativos que foram observados

na anlise efetuada no captulo anterior.

3

CAPTULO I

CONSIDERAES PRELIMINARES

Este primeiro captulo tem como objetivos:

realizar um breve estudo histrico do desenvolvimento da lgebra, focalizando o desenvolvimento da noo de varivel, visto que uma

Matemtica viva em progresso, ou seja, em construo, surge aos

olhos dos alunos quando se recorre histria da Matemtica

(BROLEZZI, 2000, p. 36);

analisar os PCNs2 do terceiro e quarto ciclos do Ensino Fundamental, por apresentarem, nas sries correspondentes a estes ciclos, propostas

de introduo noo de varivel, que pertence ao bloco Nmeros e

Operaes;

apresentar algumas leituras que dissertam sobre o tema, com suas reflexes, argumentaes e indagaes.

1.1 Breve histrico do desenvolvimento da lgebra

No pretendemos neste trabalho realizar uma anlise detalhada da noo

de varivel. O objetivo principal desta investigao apresentar alguns aspectos

da histria da lgebra, que julgamos serem pertinentes para alcanar a

compreenso da noo de varivel preconizadas nos PCNs.

Nestas notas histricas baseamo-nos principalmente na histria da

Matemtica de Boyer (1974) escrita em 1968, assim como a de Eves (1995)

escrita em 1964, que relatam a lgebra presente em diferentes culturas e em

diferentes perodos da histria da Matemtica.

2 Trata-se dos Parmetros Curriculares Nacionais para o Ensino Fundamental, do CNE/MEC, texto legal aprovado e homologado em 1998.

4

De acordo com o dicionrio Houaiss (2001), lgebra parte da

Matemtica elementar que generaliza a aritmtica, introduzindo variveis que

representam os nmeros (...).

Originalmente, a palavra lgebra uma variante latina da palavra rabe al-jabr usada no ttulo do livro Al-jabr wal muqabalah, escrito em Bagd por volta do

ano 825 pelo matemtico rabe Mohammed ibn-Musa al Khowarizmi. O livro

tratava de equaes, e o ttulo referia-se idia de imaginar uma equao como

balana em equilbrio. Considerada um sistema para resolver problemas

matemticos que envolvam nmeros desconhecidos, a lgebra remonta

Antiguidade.

O mais famoso papiro egpcio sobre Matemtica o Papiro Rhind (ou

Ahmes) produzido por volta de 1650 a.C., um texto matemtico contendo 85

problemas da vida cotidiana e suas resolues.

Nele muitos desses problemas so do tipo aritmtico, mas pode-se

perceber que os egpcios resolviam problemas que hoje so designados como

problemas de pensamento algbrico.

De acordo com Boyer (1974), esses problemas no se referiam a objetos

concretos, especficos, nem exigiam operaes entre nmeros conhecidos.

Pediam o que equivale a solues de equaes lineares, da forma x + ax = b ou x

+ ax + b = c, em que a, b e c so conhecidos e x desconhecido.

Neste caso, x assume o papel de incgnita que era chamada por eles de

aha. Notamos aqui a presena de um certo simbolismo para incgnita.

O mtodo de resoluo utilizado pelos egpcios caracterstico de um

processo conhecido como mtodo da falsa posio. Um valor especfico

atribudo para aha, e as operaes indicadas esquerda do sinal de igualdade

so efetuadas sobre esse nmero suposto. O resultado comparado com o

resultado pretendido, usam-se propores at se chegar resposta correta.

Os babilnios empregavam, ainda, uma linguagem geomtrica, chamando

de lado a incgnita x. Percebemos uma preocupao com os nmeros e suas

aplicaes, tanto por parte dos babilnios quanto dos egpcios, havendo, assim,

uma tentativa de algebrizao, o que permite falar em uma lgebra de ambas as

civilizaes. No se sabe, ao certo, se essas civilizaes percebiam os princpios

unificadores da atividade que mais tarde viria a se chamar Matemtica, ou se a

generalizao passou despercebida.

5

Conforme Eves (1995), o desenvolvimento da notao algbrica evoluiu ao

longo de trs estgios. Primeiro a lgebra retrica (ou verbal) em que os

argumentos da resoluo de um problema so escritos sem abreviaes ou

smbolos especficos. A seguir, a lgebra sincopada, em que se adotam

abreviaes de palavras e, finalmente, a lgebra simblica, em que as resolues

se expressam numa espcie de taquigrafia matemtica formada de smbolos.

Tanto a lgebra do Egito como a da Babilnia eram retricas.

Uma tal diviso arbitrria do desenvolvimento da lgebra em trs estgios

naturalmente uma simplificao excessiva; mas serve como primeira

aproximao ao que aconteceu (BOYER, 1974, p. 132).

Na obra de Diofante de Alexandria,3 por volta de 250 d.C., foi encontrada

pela primeira vez a utilizao de smbolos algbricos, sinais especiais para a

incgnita, potncias da incgnita at expoente seis, subtrao, igualdade,

inversos, abreviaes e substituies.

Uma das principais contribuies de Diofante Matemtica foi a

sincopao da lgebra grega. A lgebra retrica continuou de maneira bastante

generalizada no resto do mundo, exceto na ndia, por muitas centenas de anos.

Na Europa Ocidental, a maior parte da lgebra permaneceu retrica at o

sculo XV e, embora a apario da lgebra simblica se desse na Europa

Ocidental no sculo XVI, somente pela metade do sculo XVII esse estilo acabou

se impondo.

China e ndia tambm contriburam para o desenvolvimento da lgebra,

trabalhando em procedimentos de resolues para equaes algbricas.

Os hindus foram hbeis aritmticos, sincoparam sua lgebra e deram

contribuies significativas a ela. Denotavam a incgnita por ya (de yavattaval, de

tanto quanto), as incgnitas adicionais eram indicadas pelas slabas iniciais de

palavras que expressavam diferentes cores, por exemplo, ka (de Kalaka para

preto).

Encontraram solues gerais de equaes quadrticas, inclusive duas

razes, mesmo quando uma delas era negativa, e deram todas as solues

inteiras da equao linear diofantina.

3 Diofante de Alexandria foi o maior algebrista grego, conhecido como pai da lgebra.

6

No entanto, a lgebra s comea a se constituir como um ramo especfico

da Matemtica no Renascimento, desenvolvendo-se plenamente na Europa

moderna e contempornea.

No incio da era moderna, os matemticos realizaram mudanas nas

notaes algbricas, passaram a usar letras para representar as incgnitas,

adotaram os smbolos + para adio, - para subtrao e o sinal = para igualar os termos de uma equao.

Franois Vite (1540-1603) foi um dos que mais se destacaram no perodo.

Adotou o uso de vogais para representar uma quantidade supostamente

desconhecida, ou indeterminada, e consoantes representando uma grandeza ou

nmero suposto conhecido ou dado. Pela primeira vez na histria, tem-se a

distino entre o importante conceito de parmetro e a idia de uma quantidade

desconhecida.

As anotaes atualmente utilizadas nas equaes algbricas, as letras do comeo do alfabeto para parmetros e as do fim como incgnitas, foram

estabelecidas por Ren Descartes, na primeira metade do sculo XVII. No

entanto, pensava-se em parmetro e incgnita como segmentos e no como nmeros.

Durante esse perodo originou-se o conceito de funo ou uma relao

entre variveis, ao longo da histria do desenvolvimento do estudo dos

movimentos.

Segundo Eves, Galileu Galilei (1564-1642) contribuiu para a evoluo do

conceito de funo ao utilizar instrumentos de medidas aprimorados em suas

experincias, expressando relaes funcionais em palavras e em linguagem de

proporo. Galileu estabeleceu a lei segundo a qual a distncia percorrida por

um corpo em queda livre proporcional ao quadrado do tempo de queda (EVES,

1995, p. 354).

A linguagem mostra que ele se refere a variveis e funes, e, com o

desenvolvimento do simbolismo algbrico nesta poca, Galileu estabelece este

relacionamento sob forma simblica: s = gt2/2.

Descartes instituiu uma relao de dependncia entre quantidades

variveis usando uma equao em x e y, possibilitando o clculo de valores de

uma varivel a partir dos valores da outra.

7

Para os gregos, uma varivel correspondia ao comprimento de um segmento, o produto de duas variveis rea de algum retngulo e o produto de trs variveis ao volume de algum paraleleppedo retngulo. Os gregos no iam alm disso. Para Descartes, por outro lado, x2 no sugeria uma rea, antes porm o quarto termo da proporo 1 : x = x : x2, suscetvel de ser representado por um segmento de reta fcil de construir quando se conhece x. Usando-se um segmento unitrio possvel, dessa maneira, representar qualquer potncia de uma varivel, ou um produto de variveis, por meio de um segmento de reta e ento, quando se atribuem valores a essas variveis, construir efetivamente o segmento de reta com os instrumentos euclidianos (EVES, 1995, p. 384).

As primeiras contribuies efetivas para a construo do conceito de

funo surgiram com os trabalhos de Newton (1642-1727) e Leibniz (1646-1716).

Introduziram as palavras: constantes, variveis e funo. Newton estabeleceu pela primeira vez um termo especfico para funo, ao

utilizar o nome de fluentes para representar algum relacionamento entre variveis.

Ele descreve suas idias de funo ligadas noo de curva e a taxas de

variao de quantidades que variam continuamente.

A uma quantidade varivel ele dava o nome de fluente (uma quantidade

que flui) e sua taxa de variao dava o nome de fluxo do fluente (EVES, 1995,

p. 439).

Leibniz introduziu a palavra funo ao se referir a qualquer quantidade

variando ponto a ponto de uma curva: as coordenadas de um ponto, a inclinao

e o raio de curvatura de uma curva.

Leibniz no responsvel pela moderna notao para funo, mas a ele

que se deve a palavra funo, praticamente no mesmo sentido em que usada

hoje (BOYER, 1974, p. 297).

A histria constitui um terreno fecundo para a anlise de alguns fatos que

possam colaborar para uma melhor compreenso desse conceito, porm, ao

realizarmos esse breve estudo histrico sobre o desenvolvimento da lgebra

buscando dar nfase ao desenvolvimento da noo de varivel, percebemos a

dificuldade em encontrar a origem de variveis na histria com preciso.

Constatamos que os babilnios e os gregos na Antiguidade j possuam

instintivamente uma noo de varivel por meio do uso de tabelas babilnicas

8

antigas. Mas mediante conceito de funo que percebemos a varivel como

uma quantidade cujo valor pode mudar.

Verificamos, assim como Berdnarz, Kieran e Lee (1996), que a histria da

lgebra rica em vrios aspectos, permitindo-nos apreciar melhor a

complexidade de conceitos algbricos e as rupturas que ocorrem durante sua

construo; por isso acreditamos que o estudo histrico pode contribuir para

motivar os alunos a observar o modo como se deu a evoluo das idias

matemticas, podendo ser utilizada como ponto de partida do aprendizado.

1.2 Anlise dos PCNs

No Brasil, assim como em outros pases, o ensino de Matemtica nas

dcadas de 1960/1970 sofreu uma grande influncia do Movimento da

Matemtica Moderna, veiculado principalmente pelos livros didticos. A proposta

era aproximar a Matemtica desenvolvida na escola da Matemtica dos

estudiosos e pesquisadores, enfatizando, entre outros, as estruturas algbricas.

No entanto, o que se propunha estava fora do alcance dos estudantes,

principalmente daqueles das sries iniciais do Ensino Fundamental.

Com o Movimento da Matemtica Moderna, as escolas foram foradas a

seguir rumo ao formalismo; os alunos deveriam ser fluentes em tcnicas

algbricas e rigorosos no uso delas. Durante esse longo perodo, houve

preocupaes excessivas com formalizaes, distanciando o ensino das questes

prticas.

Na dcada de 1980, o foco foi a resoluo de problemas, passando a

Matemtica a ser explorada a partir de problemas do cotidiano e encontrados nas

vrias disciplinas. Esse fato ocasiona, ainda hoje, um mal-entendido, na medida

em que, ao se trabalhar apenas com o que supostamente faz parte do dia-a-dia

do aluno, muitos contedos importantes so descartados por no estarem

presentes na realidade do aluno, ou por no terem uma aplicao imediata em

sua vida.

Atualmente, a proposta do currculo de Matemtica para o Ensino

Fundamental, segundo os PCNs, de contemplar o estudo dos Nmeros e das

Operaes no campo da Aritmtica e da lgebra, o estudo do Espao e das

9

Formas no campo da Geometria, e o estudo das Grandezas e das Medidas,

permitindo interligaes entre os campos da Aritmtica, da lgebra e da

Geometria, e de outros campos do conhecimento.

O bloco de Nmeros e Operaes prope que:

Pela explorao de situaes-problema, o aluno reconhecer diferentes funes da lgebra (generalizar padres aritmticos, estabelecer relao entre duas grandezas, modelizar, resolver problemas aritmeticamente difceis), representar problemas por meio de equaes e inequaes (diferenciando parmetros, variveis, incgnitas, tomando contato com frmulas), compreender a sintaxe (regras para resoluo) de uma equao (PCNs, 1998, p. 50).

Um dos objetivos da Matemtica para o terceiro ciclo desenvolver o

pensamento algbrico por meio da explorao de situaes de aprendizagem que

levem o aluno a:

- reconhecer que representaes algbricas permitem

expressar generalizaes sobre propriedades das operaes aritmticas, traduzir situaes-problema e favorecer as possveis solues;

- traduzir informaes contidas em tabelas e grficos em linguagem algbrica e vice-versa, generalizando regularidades e identificar os significados das letras;

- utilizar os conhecimentos sobre as operaes numricas e suas propriedades para construir estratgias de clculo algbrico (PCNs, 1998, p. 64).

No necessrio desenvolver, neste terceiro ciclo, um trabalho

aprofundado das operaes com as expresses algbricas e as equaes;

suficiente que os alunos compreendam a noo de varivel e reconheam a

expresso algbrica como uma forma de traduzir a relao existente entre a

variao de duas grandezas. As noes algbricas podem, ainda, ser exploradas

por meio de jogos, generalizaes matemticas, e no por procedimentos

puramente mecnicos.

De acordo com os PCNs:

provvel que ao explorar situaes-problema que envolvam variao de grandezas o aluno depare com equaes, o que possibilita interpretar a letra como incgnita. Neste caso, o que se recomenda que os alunos sejam estimulados a construir

10

procedimentos diversos para resolv-las, deixando as tcnicas convencionais para um estudo mais detalhado no quarto ciclo (1998, p. 68).

Sendo assim, no quarto ciclo, um dos propsitos do ensino da Matemtica

desenvolver o pensamento algbrico por meio da explorao de situaes de

aprendizagem que levem o aluno a:

- produzir e interpretar diferentes escritas algbricas

expresses, igualdades e desigualdades , identificando as equaes, inequaes e sistemas;

- resolver situaes-problema por meio de equaes e inequaes do primeiro grau, compreendendo os procedimentos envolvidos;

- observar regularidades e estabelecer leis matemticas que expressem a relao de dependncia entre variveis (1998, p. 81).

Como j foi feito, no terceiro ciclo, um estudo preliminar abordando

determinadas situaes que envolvem noes de lgebra, este ser o ponto de

partida para o quarto ciclo, trabalhando com problemas que permitam ao aluno

dar significado linguagem e s idias matemticas.

Ainda de acordo com os PCNs, no quarto ciclo, ento, o aluno poder

reconhecer diferentes funes da lgebra, trabalhando com situaes-problema

bastante diversificadas.

[...] no trabalho com a lgebra fundamental a compreenso de conceitos como o de varivel e de funo; a representao de fenmenos na forma algbrica e na forma grfica; a formulao e a resoluo de problemas por meio de equaes (ao identificar parmetros, incgnitas, variveis) e o conhecimento da sintaxe (regra para resoluo de uma equao) [...] (1998, p. 84).

Segundo os PCNs, os resultados do SAEB apontam que os itens

referentes lgebra raramente atingem o ndice de 40% de acerto em muitas

regies do pas (1998, p. 116).

Tendo em vista que o ensino e a aprendizagem da lgebra apresentam

dificuldades na vida escolar dos alunos, a proposta dos PCNs para o quarto ciclo

desenvolver o pensamento algbrico por meio da explorao de situaes de

aprendizagem que levem o aluno a compreender os procedimentos envolvidos, e

no o exerccio mecnico do clculo.

11

importante destacar que as situaes de aprendizagem precisam estar centradas na construo de significados, na elaborao de estratgias e na resoluo de problemas em que o aluno desenvolve processos importantes como intuio, analogia, induo e deduo, e no atividades voltadas para a memorizao, desprovidas de compreenso ou de um trabalho que privilegie uma formalizao precoce dos conceitos (PCNs, 1998, p. 63).

Para isso, necessrio que o aluno esteja envolvido em atividades que

inter-relacionem as diferentes concepes da lgebra, como Aritmtica

Generalizada, Funcional, Equaes e Estrutural, e de diferentes funes das

letras, como generalizao de modelo aritmtico, variveis para expressar

relaes e funes, incgnitas e como smbolo abstrato.

O fato que os professores acabam por no desenvolverem todos esses

aspectos da lgebra no Ensino Fundamental, privilegiando o estudo do clculo

algbrico e das equaes que, embora necessrios, no so suficientes para a

aprendizagem desses contedos.

1.3 Reviso bibliogrfica

Nossa inteno, nesse momento, descrever alguns estudos que possuem

a interligao com nossa pesquisa. Contemplamos algumas das pesquisas

existentes nesta rea como NOBRE (1996), OLIVEIRA (2004) e MODANEZ

(2003); e trs trabalhos internacionais referentes s concepes de lgebra,

BERDNARZ, KIERAN e LEE (1996), WHEELER (1996) e USISKIN (1994).

1.3.1 NOBRE (1996) Nobre realizou sua pesquisa com quatro alunos estudo de caso de uma

sexta srie, de uma escola pblica do Estado de So Paulo. Os alunos escolhidos

ainda no haviam iniciado o seu estudo da lgebra e o trabalho foi desenvolvido

em duplas.

A autora parte da hiptese de que o aluno, ao ter a oportunidade de criar

seu prprio cdigo e aprimor-lo, no sentido de aproxim-lo da linguagem

12

algbrica formal, dar mais sentido ao uso das letras e isso facilitar sua

aprendizagem inicial da lgebra. O objetivo desse trabalho estudar se o aluno,

em uma situao de comunicao, capaz de criar um cdigo e adapt-lo

paulatinamente notao algbrica usual (NOBRE, 1996, p. 38).

Assim a autora optou por uma pesquisa qualitativa, que permite observar e

registrar como o aluno, ao descrever a resoluo de um problema aritmtico, cria

e desenvolve um cdigo para generalizar a resoluo de problemas anlogos.

Nesse tipo de atividade, o aluno tem a oportunidade de dar sentido s

letras mediante a soluo geral de um problema que ser formulada e

comunicada aos demais elementos do grupo, os quais estaro resolvendo

problemas com o mesmo enunciado, mas com dados numricos diferentes.

As duplas trabalharam na elaborao/leitura de mensagens, e a mensagem

elaborada por uma dupla de alunos sobre a resoluo de um problema aritmtico

enviada a outra dupla, que ir decodific-la, a fim de resolver um problema

semelhante quele solucionado pela dupla emissora.

Este processo consta de trs partes: na primeira, enquanto uma das duplas

resolve um problema, a outra dupla aguarda em outro local. Este problema,

escolhido dentre os habituais de 4 e 5 sries, apresenta dificuldade moderada,

para que seja resolvido e, ao mesmo tempo, possa trazer oportunidade de

discusso.

Aps a resoluo, a dupla instruda para que, por meio de uma

mensagem, ajude a outra dupla a resolver um problema semelhante, mas com

outros dados numricos. Este procedimento pressupe que as instrues na

mensagem sejam precisas e formuladas de um modo geral.

Na segunda parte, a dupla que elaborou a mensagem sai da sala, cedendo

o espao outra, que entra para resolver um problema anlogo ao anterior, mas

com outros dados numricos, utilizando a mensagem deixada pela primeira dupla.

O objetivo da terceira parte a reelaborao da mensagem enviada por

uma das duplas que , ento, feita pela outra dupla ou pelas duas duplas em

conjunto, para que haja uma reflexo do grupo a respeito das mensagens

elaboradas, ou seja, um compartilhar dos avanos obtidos, levando, assim,

melhoria desta mensagem.

13

A autora conclui que os resultados com o trabalho de elaborao/leitura de

cdigos foram significativos, assim constituindo um instrumento facilitador ao

desenvolvimento do ensino inicial da lgebra.

Sustenta a pretenso de utilizar esse processo de codificao e

decodificao de mensagens em salas de aula comuns para reafirmar sua

utilidade. Est idia foi concretizada na pesquisa de Oliveira (2004), que

descreveremos a seguir.

1.3.2 OLIVEIRA (2004) A pesquisa de Oliveira tem como ponto de partida os resultados da

pesquisa de Nobre, a qual acabamos de comentar, e objetiva estudar a aquisio

e o desenvolvimento inicial de significados para a linguagem algbrica em alunos

da 6 srie do Ensino Fundamental II (OLIVEIRA, 2004, p. 6).

A autora assume a hiptese que o jogo codificao-decodificao de

situaes-problema auxilia na constituio de significados para a linguagem

algbrica.

A pesquisa realizada em uma sala de aula comum, como sugere Nobre,

com aproximadamente 35 alunos trabalhando em duplas.

Uma dupla recebe a tarefa de codificar um problema aritmtico elaborando

uma mensagem para que outra dupla a decodifique e utilize na resoluo de um

problema semelhante, mas com dados numricos diferentes.

Portanto, a pesquisa consta de duas fases: na primeira, o trabalho com o

jogo codificao-decodificao; na segunda, o desenvolvimento de atividades que

estabelecessem relaes entre os cdigos elaborados durante o jogo e as

equaes do 1 grau com uma incgnita.

O trabalho foi realizado com duas 6 sries do Ensino Fundamental de uma

escola pblica de So Paulo. A primeira, constituindo o grupo experimental (GE)

em que se desenvolveu a interveno de ensino; a segunda, o grupo de controle

(GC) que recebeu instrues sobre o contedo com a professora da classe, sem

a presena dos pesquisadores. Essas turmas passaram por um pr-teste, um

teste intermedirio e um ps-teste.

Passados por essas fases, a autora analisa os resultados verificando que

ambos os grupos obtiveram baixo desempenho tanto no pr-teste como no teste

14

intermedirio, porm no ps-teste o grupo experimental, o qual vinha tendo

interveno dos pesquisadores, mostrou melhor desempenho.

Oliveira conclui que o jogo por si s no d conta da construo de

significados para a linguagem algbrica, por outro lado o ensino formal, como

apresentado na maioria das escolas, est muito mais distante desse propsito.

Entretanto, o trabalho no qual o aluno tinha de codificar objetos com letras

fez com que essa letra passasse a ter significado como incgnita para uma

determinada situao, entendendo a lgebra como uma ferramenta para

modelagem e resoluo de problemas. Assim, observando a lgebra sob esse

ponto de vista, de que uma ferramenta para resolver situaes-problema e

modelar situaes, os alunos do GE trabalharam com isso efetivamente ao

criarem seus prprios cdigos, ento os Xs e os Ys ganharam significados

(OLIVEIRA, 2004, p. 139).

1.3.3 MODANEZ (2003) A pesquisa foi realizada com 30 alunos de uma 6 srie do Ensino

Fundamental de uma escola municipal da Grande So Paulo. Objetivando

verificar se a introduo ao pensamento algbrico, por meio de seqncias de

padres geomtricos, favorece a superao das principais dificuldades

apresentadas pelos alunos que iniciam o estudo em lgebra (MODANEZ, 2003,

p. 30).

A proposta da autora que a letra surja primeiro como varivel, a fim de

fazer desenvolver o raciocnio do aluno para resolver cada problema apresentado;

assim, quando a letra j estiver bem trabalhada e entendida, poder ento, num

outro contexto, ser empregada como incgnita.

A autora baseou-se nas seguintes hipteses:

- engajar o aluno em atividades que inter-relacionem diferentes

aspectos da lgebra como resoluo de problemas, e no s para encontrar o valor numrico de uma expresso algbrica ou atividades meramente mecnicas;

- propor situaes em que o aluno possa investigar padres, tanto em sucesses numricas como em representaes geomtricas, identificando suas estruturas para que possa descrev-los simbolicamente;

15

- propor situaes que levem o aluno a construir noes algbricas pela observao de regularidades, e no somente manipulaes mecnicas de expresses algbricas (MODANEZ, 2003, p. 32).

Para isso elaborou uma seqncia didtica com oito atividades

experimentais em que os alunos trabalharam em duplas, em situaes que

deveriam discutir, elaborar conjecturas e justificar as respostas encontradas.

Essas atividades tiveram como objetivo provocar a mudana de quadros,

do geomtrico para o algbrico, com a inteno de permitir ao aluno a construo

de conceito de varivel.

Durante a aplicao da seqncia didtica, a professora interrogou cada

dupla sobre as respostas dadas a fim de perceber se os alunos estavam

entendendo o significado destas.

Aps a aplicao de cada atividade a professora fazia a correo da

mesma considerando as diferentes respostas dadas pelos alunos.

Nas atividades 1 e 2 os alunos tiveram apenas um primeiro contato com as

seqncias geomtricas, no tendo havido ainda a necessidade do uso de letras

representando as variveis.

Nas atividades 3, 4 e 5 houve a necessidade do uso de letras como um

smbolo para representar uma posio qualquer na seqncia.

Na atividade 8 o aluno ficou livre para criar uma seqncia qualquer de

figuras, testando assim seus conhecimentos e habilidades.

Mediante a anlise dos resultados a autora pde constatar a validade das

hipteses aqui mencionadas e concluir que nessas condies uma seqncia de

ensino por meio de padres geomtricos pode proporcionar ao aluno a introduo

do pensamento algbrico.

Considerando ainda que os alunos avanaram em seus conhecimentos em

relao ao desenvolvimento do pensamento algbrico, bem como em suas

atitudes e autonomia no sentido de observar, levantar hipteses, tirar concluses

e justificar suas respostas.

Consideramos as pesquisas de Nobre (1996), Oliveira (2004) e Modanez

(2003) importantes para auxiliar na construo de significados para a linguagem

16

simblica algbrica que por muitas vezes se mostra sem sentido algum para os

alunos que apenas a utilizam mecanicamente.

As autoras levantam em seus estudos algumas das dificuldades das

crianas que iniciam em lgebra, entre elas, a atribuio de significados

concretos s letras e a dificuldade de interpretao da varivel. Dada essas

dificuldades, refora nossa idia de analisar como vem sendo trabalhada a noo

de variveis aos alunos do Ensino Fundamental via livros didticos.

1.3.4 BERDNARZ, KIERAN e LEE (1996) Berdnarz, Kieran e Lee afirmam que a introduo da lgebra pode tomar

diferentes direes como:

1 das regras para transformar e resolver equaes (no qual o ensino atual reduz muitas vezes a lgebra); 2 da soluo de problemas especficos ou classes de problemas (que teve historicamente um papel importante no desenvolvimento da lgebra e seu ensino); 3 da generalizao de leis que regem os nmeros (um foco muito importante em certos currculos); 4 da introduo de conceitos de varivel e de funo (que apareceu historicamente bem mais tarde e que tem ocupado uma posio de importncia crescente em alguns programas) e 5 do estudo das estruturas algbricas (que marcou os currculos escolares nos anos 60 sob a influncia da matemtica moderna) (BERDNARZ, KIERAN, LEE, 1996, p. 3).4

Dentre as dificuldades dos alunos em trabalhar os conceitos focados nas

vrias formas de introduzir a lgebra, as autoras destacam a soluo de

equaes, manipulao de expresses algbricas, resoluo de problemas e o

tratamento de conceitos fundamentais como o de varivel.

Assim, Berdnarz, Kieran e Lee (1996) apresentam uma seleo de estudos

que examinam a emergncia e o desenvolvimento da lgebra sob diferentes

perspectivas.

4 The rules for transforming and solving equations (to which current teaching often reduces algebra), the solving of specific problems or classes of problems (which has played an important role historically in the development of algebra and its teaching), the generalization of laws governing numbers (a very strong focus in certain curricula), the more recent introduction of the concepts of variable and function (which appeared much later historically and which occupy a position of growing importance in some programs), and the study of algebraic structures (which marked the school curriculum in the 1960s under the influence of modem mathematics).

17

Perspectivas histricas no desenvolvimento da lgebra A anlise histrica nos permite entender melhor os avanos, oposies e

retrocessos na evoluo de um sistema de conhecimento. A histria da lgebra

rica em vrios aspectos, por exemplo, permitindo melhor apreciar a complexidade

de conceitos algbricos e as rupturas que ocorrem durante sua construo.

Os autores lanam um olhar sobre a evoluo histrica da lgebra,

tornando explcitas algumas das idias-chave no desenvolvimento da lgebra, e

fornecendo indicaes de mudanas que marcaram a transio de um modo de

pensamento algbrico.

Perspectiva da generalizao na introduo da lgebra Atualmente, vm ocorrendo diversas tentativas de introduzir a lgebra por

meio de atividades de generalizao, porm os alunos em contato com essa

abordagem se deparam com algumas dificuldades.

Neste caso, segundo as autoras, a idia encontrar uma abordagem

pedaggica que estruture esse processo, como o caso do trabalho com

manipulao de figuras contendo o processo de generalizao, guiando o aluno

ao encontro de um padro que leve diretamente a uma frmula.

Para citar como exemplo, um dos maiores problemas num experimento

envolvendo adultos no era enxergar um padro, mas encontrar um padro

algebricamente til. A fixao num padro irrelevante ou intil pode vir a ser um

obstculo para os alunos na elaborao de frmulas relevantes, para um

procedimento geral ou uma relao entre quantidades. Com isso, o papel do

professor aumenta, pois ele chamado a administrar esta situao pedaggica;

neste caso, ter uma certa flexibilidade parece ser o ponto de partida para esse

processo de generalizao.

O processo de generalizao tambm depende dos elementos que sero

objetos dessa generalizao, ou seja, depende do conhecimento e das intenes

do observador.

Perspectiva da resoluo de problemas na introduo da lgebra Ainda segundo Berdnarz, Kieran e Lee, no se pode negar o importante

papel da resoluo de problemas no desenvolvimento da lgebra. A diversidade

das palavras usadas para denotar um problema e seus usos na teoria indica uma

18

variedade de concepes subjacentes. Essas concepes atingem desde uma

simples soluo especfica, exigindo uma certa habilidade, a uma soluo mais

geral, para a qual o conjunto de regras usadas e problemas a serem resolvidos

so expandidos.

Tambm importante observar os diversos tipos de raciocnio e estratgias

dos alunos e incorpor-los como ponto de partida necessrio para a

aprendizagem de mtodos sistemticos e gerais da resoluo de problemas.

Associam-se ainda as abordagens de resoluo de problemas com as

interaes entre a formulao de equaes e suas manipulaes no processo de

resoluo.

Perspectiva de modelagem na introduo da lgebra O processo de modelagem sobre uma certa verbalizao que d

significado ao simbolismo que est centrado sobre o real ou aes imaginrias. O

ponto principal no processo de modelagem a fase da formulao que resulta em

criar modelos com base nas hipteses.

A modelagem est baseada no significado que os estudantes do para

representaes simblicas, nas vrias notaes e nos caminhos que eles criam

para usar um modelo matemtico.

Perspectiva funcional na introduo da lgebra Com a chegada dos computadores e o desenvolvimento tecnolgico, o

conceito de varivel e funo est cada vez mais presente em certas abordagens

usadas para introduzir lgebra.

A abordagem funcional semelhante abordagem de modelagem que

est focada sobre uma elaborao e interpretao de certos modelos

matemticos, aqueles que relacionam as situaes reais particulares; entretanto,

difere, em seu foco, na introduo de famlias particulares das funes, ao

contrrio da abordagem de modelagem que mais aberta em sua escolha de

problemas e de modelos.

Essa abordagem sugere um estudo da lgebra centrado em desenvolver

experincias com funes e famlias de funes, por meio de contatos com

situao do mundo real.

19

1.3.5 WHEELER (1996) Wheeler (1996) contribui com algumas reflexes sobre as diferentes

abordagens da lgebra, defendendo lgebra para todos, o que significa que

cada um deve ter uma verdadeira chance de ser introduzido no que ele chama de

cultura da lgebra. Preocupa-se por no saber como fazer para alcanar essa

oportunidade, afirmando ser um trabalho extremamente difcil a se desenvolver.

Questiona o que seria a lgebra, sustentando haver uma certa dificuldade

em encontrar uma definio que mantenha sua essncia. A lgebra um sistema

simblico, lgebra so os clculos, lgebra um sistema representacional;

porm, ela mais que tudo isso. O principal problema pedaggico no ensino da

lgebra encontrar uma razo convincente para a importncia do seu estudo.

O autor observa cada uma das cinco perspectivas, evidenciadas

anteriormente por Berdnarz, Kieran e Lee, para iniciar a lgebra, tentando

perceber como o principiante ser motivado usando estas abordagens. Assevera

que, na verdade, o que temos diante de ns so cinco escolhas, alternativas no

independentes, e o que queremos so estudantes de lgebra que venham a

conhec-la e us-la para solucionar problemas, para modelar situaes, tratar de

funes e fazer generalizaes.

Ao escolher uma nica abordagem como ponto de partida, estaremos

interferindo na forma como as outras abordagens podero ser alcanadas. Cada

abordagem representa, ainda, um leque de possibilidades, sendo ainda possvel

que outras abordagens tenham sido omitidas.

Berdnarz, Kieran e Lee (1996) realizam um estudo que trata da lgebra

sendo introduzida por diferentes abordagens e, dependendo de cada abordagem,

teremos um uso para variveis. Wheeler (1996) acredita que ao escolher uma

abordagem para introduzir a lgebra estaremos interferindo na maneira de

trabalhar com as outras abordagens.

Assim, ser importante ao analisarmos os livros didticos observar sob

qual abordagem est se dando a introduo do pensamento algbrico.

20

1.3.6 USISKIN (1994) Usiskin, em seu trabalho, defende que as finalidades do ensino de lgebra,

as concepes que se possam ter dessa matria e a utilizao de variveis esto

intrinsecamente relacionadas. As finalidades da lgebra so determinadas por,

ou relacionam-se com, concepes diferentes da lgebra que correspondem

diferente importncia relativa dada aos diversos usos das variveis (USISKIN,

1994, p. 13).

Ela faz uma exposio da sua considerao sobre as quatro concepes

da lgebra:

- A lgebra como aritmtica generalizada.

As variveis so generalizadoras de modelos e as instrues-chave para o

aluno so: traduzir e generalizar. Essa concepo trata de tcnicas importantes

no s para a lgebra, mas tambm para a Aritmtica. impossvel estudar

Aritmtica, adequadamente, sem lidar implcita ou explicitamente com variveis.

Segundo o autor, muitas vezes encontramos relaes entre nmeros que

desejamos descrever matematicamente, e as variveis so instrumentos muito

teis nessa descrio. A descrio algbrica assemelha-se descrio numrica.

- A lgebra como um estudo de procedimentos para resolver certos tipos

de problemas.

Nessa concepo, as variveis so incgnitas ou constantes, isto ,

valores numricos desconhecidos que so descobertos pela resoluo de uma

equao ou de um sistema de equaes. As instrues-chaves, nesse caso, so

simplificar e resolver. Usiskin (1994) utiliza um problema para exemplificar:

Adicionando 3 ao quntuplo de um certo nmero, a soma 40. Achar o nmero.

O autor diz que facilmente se traduz o problema para a linguagem da lgebra: 5x

+ 3 = 40, encontrando um modelo geral que utiliza a lgebra como generalizadora

de modelos. Para resolver essa equao, usamos o procedimento de somar -3 a

ambos os membros. Ao solucionar problemas desse tipo, muitos alunos tm

dificuldades na passagem da Aritmtica para a lgebra. Enquanto a resoluo

aritmtica (de cabea) consiste em subtrair 3 e dividir por 5, a forma algbrica 5x

+ 3 envolve a multiplicao por 5 e a adio de 3, ou seja, as operaes inversas

das citadas na resoluo de cabea. Isto , para armar a equao, devemos

21

raciocinar exatamente da maneira contrria que empregaramos para resolver o

problema aritmeticamente (USISKIN, 1994, p. 15).

- A lgebra como estudo de relaes entre grandezas.

Uma varivel um argumento, isto , representa um dos valores do

domnio de uma funo, ou um parmetro, representando um nmero do qual

dependem outros nmeros. Somente no contexto dessa concepo existem as

noes de varivel independente e varivel dependente. As funes surgem

quase imediatamente, pois necessitamos de um nome para os valores que

dependem do argumento ou parmetro x. Trata-se, aqui, de um modelo

fundamentalmente algbrico e a diferena crucial entre a lgebra como estudo de

relaes entre grandezas e a lgebra como um estudo de procedimentos para

resolver certos tipos de problemas est em que, no primeiro caso, as variveis

variam.

Por exemplo, quando se pergunta ao aluno: O que ocorre com o valor de

1/x quando x se torna cada vez maior? A questo confunde o aluno, pois no

pedimos o valor de x, portanto x no uma incgnita, e tambm no pedimos ao

aluno que traduza. H um modelo a ser generalizado, mas no se trata de um

modelo aritmtico (USISKIN, 1994).

- A lgebra como estudo das estruturas

A concepo de varivel, nesse caso, no coincide com nenhuma daquelas

discutidas anteriormente e, quando se faz uso dessa concepo, o aluno tende a

tratar as variveis como sinais no papel, sem nenhuma referncia numrica

(USISKIN, 1994, p. 18).

A lgebra pode ser vista como o estudo das estruturas pelas propriedades

que atribumos s operaes com nmeros reais e polinmios. Nessa concepo,

a varivel um pouco mais que um smbolo arbitrrio.

Segundo Usiskin (1994), o conceito de varivel central no

desenvolvimento do pensamento algbrico. Na ltima dcada, as ferramentas

computacionais forneceram s escolas o acesso nunca antes conseguido de

representar esse conceito como quantidades variveis; no entanto, no s esta

caracterstica que importante, mas observar tambm os efeitos sobre outras

variveis, ou seja, estudar as suas funes.

22

O autor conclui que as diferentes concepes da lgebra relacionam-se

com os usos distintos das variveis e que a lgebra a chave para a

caracterizao e compreenso das estruturas matemticas.

Neste trabalho, Usiskin nos apresenta a lgebra a partir de diferentes concepes que se relacionam com maneiras outras de utilizar as variveis,

chamando, assim, nossa ateno para verificar em nossa anlise se os livros

didticos trazem os vrios usos da varivel.

23

CAPTULO II

PROBLEMTICA, FUNDAMENTOS TERICOS E PROCEDIMENTOS METODOLGICOS

Neste segundo captulo, apresentaremos a motivao e a relevncia da

pesquisa. Para auxiliar o estudo, buscamos apoio na Teoria Antropolgica do

Didtico proposta por Chevallard (1991).

Em seguida, destacamos os procedimentos metodolgicos envolvidos

nessa pesquisa, em que utilizamos como referncia a metodologia qualitativa e

documental. Apresentamos, ainda, a escolha dos livros didticos e os aspectos

considerados para sua anlise.

2.1 Problemtica Dada a nossa experincia em sala de aula, percebemos as dificuldades

dos alunos em relao aos conceitos abordados nas diferentes formas de

introduzir a lgebra.

Assim, uma outra maneira de estudar o processo de ensino e

aprendizagem da lgebra identificar os tipos de erros que os alunos comumente

cometem nessa matria e investigar as razes desses erros.

Booth (1994) realizou um estudo com alunos de 13 a 16 anos e verificou

erros semelhantes em todos eles, mostrando que muitos destes podiam ter

origem nas idias dos alunos sobre aspectos como, entre outros, o significado

das letras e das variveis.

Observou que uma das diferenas mais marcantes entre a Aritmtica e a

lgebra a utilizao, nessa ltima, de letras para indicar valores. Em Aritmtica,

as letras tambm aparecem, mas de forma diferente. Por exemplo, a letra m, em

24

Aritmtica, pode ser utilizada para representar metros, mas no para representar

o nmero de metros, como em lgebra.

Um dos aspectos inerentes da lgebra talvez seja a prpria idia de

varivel. Mesmo quando as crianas interpretam as letras distintas, devem

necessariamente representar valores numricos diferentes.

De uma maneira geral, as pesquisas apontam problemas no ensino da

lgebra, trazendo tona as dificuldades de certas noes ou interpretaes que

os estudantes desenvolvem em relao ao uso das letras, notao, escrita, s

convenes associadas com certos conceitos e ao carter da Matemtica, que

fazem parte do incio da aprendizagem da lgebra.

A noo de varivel, de modo geral, no tem sido explorada no ensino fundamental e por isso muitos estudantes que concluem esse grau de ensino (e tambm o mdio) pensam que a letra em uma sentena algbrica serve sempre para indicar (ou encobrir) um valor desconhecido, ou seja, para eles a letra sempre significa uma incgnita (PCNs, 1998, p. 118).

De acordo com Kieran (1989), a lgebra na escola secundria

normalmente comea com instrues do conceito de varivel. As crianas j

viram as letras sendo empregadas em frmulas, como a rea de um retngulo;

porm, em suas experincias passadas, elas no se relacionaram com os

diversos usos da varivel.

Usiskin (1994) descreve alguns desses muitos usos da varivel afirmando

que, se considerarmos a lgebra como aritmtica generalizada, ento podemos

ter as variveis como generalizadoras de padro; por exemplo, generalizando 3 +

5 = 5 + 3 ao padro a + b = b + a, as habilidades algbricas esto centradas em

traduzir e generalizar relaes conhecidas entre nmeros. Se considerarmos a

lgebra como o estudo de procedimentos para resolver certos tipos de

problemas, ento teremos as variveis como valores desconhecidos; por

exemplo, traduzindo um problema em uma equao, as habilidades algbricas

esto centradas em simplificar e resolver. Se considerarmos a lgebra como o

estudo entre relaes ou entre quantidades, as variveis sero argumentos ou

parmetros. Nesta concepo da lgebra, variveis variam verdadeiramente.

Finalmente, se considerarmos a lgebra como o estudo de estruturas como

grupos, anis, domnios de integridades, corpos, e espao vetorial, ento,

25

variveis so objetos arbitrrios numa estrutura relacionada por certas

propriedades.

, ainda, Usiskin que tenta descrever o que a lgebra na escola mdia, e

a princpio poderia dizer que tem relao com a compreenso do significado das

letras e das operaes com elas, mas logo percebe que a reduo da lgebra

ao estudo das variveis no d conta dessa descrio.

O problema surge em identificar quando uma letra representa uma varivel,

ou no. Comea por considerar algumas equaes, todas com a mesma forma

o produto de dois nmeros igual a um terceiro e observa que cada uma delas

tem um carter diferente.

Segundo o autor, esses caracteres refletem os diferentes usos dados

idia de varivel. No primeiro caso, A = b. h, com carter de frmula, em que A

representa a rea, b a base e h a altura, e tm carter de coisa conhecida. No

segundo caso, 40 = 50x, com carter de equao (ou sentena aberta), em que

pensamos em x como uma incgnita. No terceiro caso, senx = cosx. tgx, com

carter de identidade, sendo x o argumento de uma funo. No quarto caso, 1 =

n.(1/n), com carter de propriedade, generaliza um modelo aritmtico e n

identifica um exemplo do modelo. No quinto caso, y = kx, com carter de equao

de uma funo que traduz uma proporcionalidade direta, x tambm o argumento

de uma funo, y o valor e k uma constante; somente aqui h o carter de

variabilidade, do que resulta o termo varivel.

Na dcada de 1950, a palavra varivel era descrita por Hart como um

nmero mutvel, e que, em cada frmula, as letras representam nmeros. O uso

de letras para representar nmeros a principal caracterstica da lgebra (HART

apud USISKIN, 1994, p. 10).

As concepes de varivel foram mudando com o tempo, e o prprio Hart,

mais tarde, faz uma afirmao mais formal de varivel: Uma varivel um

nmero literal que pode assumir dois ou mais valores durante uma determinada

discusso (apud USISKIN, 1994, p. 10).

Ainda na dcada de 1950, Caraa define o conceito de varivel.

Seja (E) um conjunto qualquer de nmeros, conjunto finito ou infinito, e convencionemos representar qualquer dos seus elementos por um smbolo, por ex: x. A este smbolo,

26

representativo de qualquer dos elementos do conjunto E, chamamos varivel (1951, p. 127).

Para ele, portanto, uma varivel o que for determinado pelo conjunto

numrico que ela representa.

No final da dcada, surgiram novas e diferentes concepes como a de

May e Van Engen (apud USISKIN, 1994, p. 10):

Uma varivel, grosso modo, um smbolo pelo qual se substituem os nomes de alguns objetos, comumente nmeros, em lgebra. Uma varivel est sempre associada a um conjunto de objetos cujos nomes podem ser substitudos por ela. Esses objetos chamam-se valores da varivel.

Segundo Usiskin (1994), na dcada de 1990, a tendncia era evitar a

distino nome-objeto e pensar numa varivel como um smbolo pelo qual se

podem substituir coisas, mais precisamente coisas de um determinado conjunto,

enquanto consideradas indistintas.

Ainda de acordo com o autor, muitos alunos acham que todas as variveis

so letras que representam nmeros. Nem sempre isso verdade, pois muitas

vezes as variveis podem representar proposies, outras vezes uma funo,

podendo ser a representao de uma matriz ou um vetor e, ainda, no

necessariamente serem representadas por letras.

As concepes de varivel mudam com o tempo, tornando-se difcil

encontrar uma nica definio que seja a mais correta ou a nica possvel, e

dificultando, talvez, a aprendizagem destas. Portanto, tentar definir a idia de

varivel poder acarretar uma tal simplificao, no atendendo s muitas

definies, conotaes e smbolos que cabem a ela.

Percebemos que h muitas opes de introduzir a lgebra, mas que

tambm surgem muitas dificuldades, por parte de professores e alunos, ao entrar

em contato com ela. Diante desses obstculos, temos uma questo geral:

Como se d o ensino dos contedos algbricos hoje? Sob quais perspectivas?

Associado a esta questo vem o fato de que, hoje, em todas as escolas

pblicas do estado de So Paulo os alunos recebem o livro didtico distribudo

gratuitamente pelo governo estadual. Os livros didticos so recomendados pelo

27

Programa Nacional do Livro Didtico PNLD e escolhidos pelos prprios

professores. O livro didtico , atualmente, um dos recursos mais eficazes nossa

disposio, fornecendo-nos informaes, propondo atividades, ajudando a

organizar o trabalho em classe, apresentando textos interessantes para leitura,

entre outras funes. Alm disso, em muitos deles, o manual do professor ,

realmente, um auxiliar precioso.

O livro didtico exerce grande influncia sobre a atuao do professor em

sala de aula, pois ele se torna freqentemente a nica ferramenta disponvel para

o seu trabalho (PNLD, 2005, p. 196).

Percebendo sua importncia como instrumento de acesso ao ensino,

surge-nos outras questes:

Como est ocorrendo o desenvolvimento do pensamento algbrico por meio do livro didtico?

Como se trabalham, hoje, os contedos algbricos em sala de aula? Como o livro didtico, presente hoje em todas as escolas, utilizado pelos professores?

Sob quais perspectivas os livros didticos introduzem o pensamento algbrico?

Ser que os livros conseguem dar conta do pensamento algbrico?

2.1.1 Definio da questo de pesquisa Muitas so as questes acerca da introduo da lgebra via livros

didticos, porm h a necessidade de delimitarmos nossa questo de pesquisa.

Nosso objetivo investigar como a noo de varivel tem sido abordada

pelos livros didticos brasileiros referentes aos 3 e 4 ciclos do Ensino

Fundamental.

Com fundamento nesta perspectiva, levantamos a questo: Como os livros

didticos do Ensino Fundamental abordam a noo de varivel sob a tica da

organizao praxeolgica de Chevallard?

28

2.2 Fundamentos Tericos

2.2.1 A noo de organizao praxeolgica A anlise do livro didtico ser desenvolvida a partir de uma adaptao da

Organizao Praxeolgica proposta por Chevallard (1991), na qual buscamos

identificar, no conjunto dos livros escolhidos para nossa anlise, os tipos de

tarefas, as tcnicas, as tecnologias e as teorias.

De acordo com Chevallard, a Teoria Antropolgica do Didtico (TAD)

envolve a atividade matemtica e ento a atividade de estudo em Matemtica, no

conjunto das atividades humanas e instituies sociais.

A Organizao Praxeolgica formada por um conjunto de tcnicas, de

tecnologias e de teorias organizadas para um tipo de tarefas (ALMOULOUD,

2000, p. 162).

Geralmente, uma tarefa e/ou tipos de tarefas se expressam por um verbo,

por exemplo: desenvolver a expresso literal dada.

Alguns pontos devem ser salientados: a noo de tarefa, ou de tipo de

tarefas, supe um objetivo relativamente preciso, por exemplo: calcular o valor de

uma funo em um ponto um tipo de tarefa, mas Calcular, apenas, o que

chamaremos um gnero de tarefas; tarefas, tipos de tarefas e gneros de tarefas

no so dados da natureza, mas artefatos, obras, nas quais a reconstruo em

tal instituio um problema em parte completo, que o prprio objeto da

didtica.

Uma praxeologia relativa a um tipo de tarefa dada determina uma maneira

de cumprir, de realizar tarefas; a essa tal maneira de fazer d-se o nome de

tcnica. Ento, uma praxeologia relativa a um tipo de tarefa contm, a princpio,

uma tcnica relativa a ela, formando-se, assim, um bloco denominado bloco

prtico-tcnico e que se identificar ao que se diz, geralmente, um saber-fazer:

um certo tipo de tarefas e uma maneira de cumprir as tarefas desse tipo.

Neste ponto cabem trs observaes importantes: uma tcnica s tem

sucesso sobre uma parte de tarefas de um tipo ao qual ela relativa, parte que se

nomeia alcance da tcnica; ento, uma tcnica pode ser superior a uma outra,

seno sobre todo tipo de tarefa, pelo menos sobre uma certa parte dela; uma

tcnica no necessariamente de natureza algortmica ou quase algortmica, mas

ela s assim em casos muito raros; tendo uma instituio a respeito de um tipo

29

de tarefa dada, existe geralmente s uma tcnica, ou ao menos um pequeno

nmero de tcnicas institucionalmente reconhecidas, na excluso de tcnicas

alternativas possveis, que podem existir efetivamente, mas em outras

instituies.

Entende-se por tecnologia um discurso racional sobre a tcnica, um

discurso tendo por objeto primeiro justificar racionalmente a tcnica,

assegurando-nos que ela permita cumprir bem as tarefas do tipo de tarefas, ou

seja, realizar o que pretendido. O estilo de racionalidade utilizado varia no

espao institucional, de modo que uma certa racionalidade institucional poder

parecer pouco racional em outro espao institucional.

necessrio, ainda, que apresentemos trs observaes: em uma

instituio, qualquer que seja o tipo de tarefa, a tcnica relativa a ela sempre

acompanhada de ao menos um embrio, ou, mais freqentemente ainda, de um

vestgio de tecnologia; uma segunda funo de tecnologia explicar, tornar

inteligvel, esclarecer a tcnica, ou seja, se a primeira funo que justificar a

tcnica consiste em assegurar o xito da tcnica em relao ao pretendido, esta

segunda funo consiste em expor por que a tcnica tem xito desta forma; uma

terceira funo corresponde a um emprego mais atual do termo tecnologia, ou

seja, a funo de produo de tcnicas, notando, assim, que existem tecnologias

potenciais, esperando tcnicas que sublinharo o fenmeno de sub-exploraes

das tecnologias disponveis, tanto do ponto de vista da justificao como da

explicao da produo.

Esse discurso tecnolgico contm afirmaes, mais ou menos explcitas,

podendo solicitar a razo. Passa-se, ento, a um nvel superior de justificao

explicao produo, o da teoria, a qual retoma, em relao tecnologia, o

papel que esta ltima tem relativamente tcnica.

De fato, a descrio apresentada em trs nveis (tcnica/tecnologia/teoria)

basta, em geral, para dar conta da atividade analtica. Assim, em torno de um tipo

de tarefas encontra-se um trip formado de uma tcnica (ao menos), de uma

tecnologia e de uma teoria, o que constitui uma praxeologia pontual relativa a um

nico tipo de tarefas.

Uma praxeologia, ou organizao praxeolgica, constituda de um bloco

tecnolgico-terico e de um bloco prtico-tcnico. O primeiro bloco identificado

como um saber, enquanto o segundo bloco constitui um saber-fazer.

30

A organizao praxeolgica articula-se em tipos de tarefas, tcnicas,

tecnologias e teorias e, ao identific-los numa situao, estamos organizando o

estudo de um conceito ou tema. 2.3 Procedimentos metodolgicos Nossa proposta analisar os livros didticos de Matemtica do Ensino Fundamental, investigando como abordada a noo de varivel e explicitando

os tipos de tarefas, tcnicas, tecnologias e teorias envolvidas.

Questionando-nos sobre a forma de realizar tal anlise, esta parte deste

captulo tem como objetivo relatar o procedimento metodolgico de nossa

pesquisa, partindo de uma abordagem qualitativa e documental, inclusive o

procedimento quanto escolha dos livros envolvidos.

2.3.1 Anlise documental A anlise documental uma tcnica de abordagem de dados qualitativos.

Os livros didticos esto includos nos tipos de documentos que fazem parte

dessa anlise.

A anlise documental busca investigar informaes factuais nos

documentos a partir de questes ou hipteses de interesse.

Quanto s vantagens de trabalhar com essa abordagem, Cuba e Lincoln

(apud LUDKE e ANDR, 1986) destacam algumas delas: os documentos

constituem uma fonte estvel e rica, podendo servir de base a diferentes estudos

e de onde se podem retirar evidncias para fundamentar afirmaes e

declaraes do pesquisador; sendo uma fonte natural de informaes, tem um

custo muito baixo, e uma fonte no-reativa, permitindo a obteno de dados

quando o acesso ao sujeito impraticvel e, ainda, indicando problemas que

devem ser mais explorados por meio de outros mtodos; acima de tudo, ou por

tudo isto, uma fonte de informao que no deve ser ignorada.

Segundo Bogdan e Biklen (1994), uma das caractersticas bsicas da investigao qualitativa a investigao qualitativa descritiva, em que a palavra

escrita tem grande importncia, primeiro para obter os dados e depois para suas

anlises.

31

[...] esse modo de pesquisar dado pela inteno de atingir aspectos do humano sem passar pelos crivos da mensurao, sem partir de mtodo previamente definido e, portanto, sem ficar preso a quantificadores e aos clculos decorrentes (BICUDO, 2004, p. 105).

2.3.2 A escolha dos livros didticos

Devido diversidade de publicaes foi preciso selecionarmos os livros

didticos que seriam analisados, o que nos fez estabelecer um critrio:

Devido ao fato de tentarmos perceber como o tema tem sido abordado atualmente, consideramos os livros didticos que esto direta ou

indiretamente relacionados com a sala de aula, por isso faremos uso das

obras aprovadas do PNLD.

O que o PNLD?

Em 1995 foi criado o PNLD (Programa Nacional do Livro Didtico) com o

intuito de estabelecer critrios para a avaliao dos livros didticos. A primeira

avaliao dos livros didticos aconteceu em 1996 e no ano seguinte por meio do

Guia do Livro Didtico foi realizada a publicao dos livros aprovados pelo MEC.

Desde ento, de trs em trs anos o MEC divulga a lista dos livros avaliados e

aprovados.

O PNLD uma iniciativa do Ministrio da Educao e Cultura que tem por

objetivo a aquisio e distribuio universal e gratuita de livros didticos para os

alunos das escolas pblicas.

Ao verificarmos quais eram as colees de Matemtica de 5 a 8 sries

indicadas no PNLD, deparamo-nos com 23 colees, o que novamente nos fez

estabelecer um critrio:

Para tal seleo, baseamo-nos nos livros escolhidos pela maioria dos professores do Estado de So Paulo, recorremos Secretaria da

Educao e s quatro maiores editoras de So Paulo, tica, Scipione, FTD

e Saraiva, para sabermos quais os livros mais vendidos nos ltimos anos.

O departamento editorial de Matemtica de cada editora forneceu-nos o

nome de suas colees mais vendidas.

32

A partir dessa ltima seleo, passamos anlise propriamente dita das

quatro colees com maior vendagem:

Quadro 1: Livros didticos de Matemtica para o Ensino Fundamental

Livros Didticos Autores

Coleo A Conquista da Matemtica: a + nova

Jos Ruy Giovanni Benedito Castrucci Jos Ruy Giovanni Jnior

Coleo Tudo Matemtica Luiz Roberto Dante Coleo Matemtica para Todos Luiz Mrcio Imenes

Marcelo Lellis Coleo Matemtica e Realidade Gelson Iezzi

Osvaldo Dolce Antnio Machado

2.3.3 - Aspectos para anlise dos livros didticos Em nossa reviso bibliogrfica, esto os estudos realizados sobre o ensino e aprendizagem da lgebra, os quais nos possibilitaram estabelecer aspectos a

serem utilizados em nossa anlise de livros didticos.

Aspecto 1 Os PCNs e os Livros Didticos Os PCNs visam construo de um referencial que oriente a prtica

escolar de forma a contribuir para que toda criana e jovem brasileiros tenham

acesso a um conhecimento matemtico que lhes possibilite de fato sua insero,

como cidados, no mundo do trabalho, das relaes sociais e da cultura (p. 15).

Para que essa insero do cidado, nosso aluno, ocorra de fato, os PCNs

sugerem que a Matemtica desempenhe seu papel na formao de capacidades

intelectuais, na estruturao do pensamento, na agilizao do raciocnio do aluno,

na sua aplicao a problemas, situaes da vida cotidiana e atividades do mundo

33

do trabalho e no apoio construo de conhecimentos em outras reas

curriculares.

Indicam ainda objetivos gerais quanto ao ensino de Matemtica no Ensino

Fundamental tendo em vista essa construo da cidadania. A proposta levar o

aluno a:

Identificar os conhecimentos matemticos como meios para compreender e transformar o mundo sua volta e perceber o carter de jogo intelectual,

caracterstico da Matemtica, como aspecto que estimula o interesse, a

curiosidade, o esprito de investigao e o desenvolvimento da capacidade

para resolver problemas;

Fazer observaes sistemticas de aspectos quantitativos e qualitativos da realidade, estabelecendo inter-relaes entre eles, utilizando o

conhecimento matemtico (aritmtico, geomtrico, mtrico, algbrico,

estatstico, combinatrio, probabilstico);

Selecionar, organizar e produzir informaes relevantes, para interpret-las e avali-las criticamente;

Resolver situaes-problema, sabendo validar estratgias e resultados, desenvolvendo formas de raciocnio e processos, como intuio, deduo,

analogia, estimativa, e utilizando conceitos e procedimentos matemticos,

bem como instrumentos tecnolgicos disponveis;

Comunicar-se matematicamente, ou seja, descrever, representar e apresentar resultados com preciso e argumentar sobre suas conjecturas,

fazendo uso da linguagem oral e estabelecendo relaes entre ela e

diferentes representaes matemticas;

Estabelecer conexes entre temas matemticos de diferentes campos e entre esses temas e conhecimentos de outras reas curriculares;

Sentir-se seguro da prpria capacidade de construir conhecimentos matemticos, desenvolvendo a auto-estima e a perseverana na busca de

solues;

Interagir com seus pares de forma cooperativa, trabalhando coletivamente na busca de solues para problemas propostos, identificando aspectos

consensuais ou no na discusso de um assunto, respeitando o modo de

pensar dos colegas e aprendendo com eles.

34

Tendo em vista que hoje a maioria dos livros didticos salienta estar de

acordo com os PCNs, recorremos aos objetivos gerais aqui apresentados, assim

como ao estudo j realizado dos objetivos especficos para terceiro e quarto ciclos

do Ensino Fundamental, para compor nosso primeiro aspecto.

Buscaremos observar dois pontos:

9 A Histria da Matemtica 9 Resoluo de Problemas.

Os PCNs destacam algumas possibilidades de trabalho em sala de aula,

dentre elas a de trabalhar com a Histria da Matemtica, levantando alguns

pontos para justificar esse trabalho.

A Histria da Matemtica pode oferecer uma importante contribuio ao processo de ensino e aprendizagem dessa rea de conhecimento.

Ao revelar a Matemtica como uma criao humana, ao mostrar necessidades e preocupaes de diferentes culturas, em diferentes

momentos histricos, ao estabelecer comparaes entre os conceitos e

processos matemticos do passado e do presente, o professor cria

condies para que o aluno desenvolva atitudes e valores mais favorveis

diante desse conhecimento.

Conceitos abordados em conexo com sua histria constituem veculos de informao cultural, sociolgica e antropolgica de grande valor formativo.

A Histria da Matemtica , nesse sentido, um instrumento de resgate da prpria identidade cultural.

O recurso Histria da Matemtica pode esclarecer idias matemticas que esto sendo construdas pelo aluno, especialmente para dar respostas

a alguns porqus e, desse modo, contribuir para a constituio de um

olhar mais crtico sobre os objetos de conhecimento.

Os PCNs apontam a resoluo de problemas como ponto de partida do

aprendizado indo em contrapartida reproduo de procedimentos.

A resoluo de problemas, na perspectiva indicada pelos educadores matemticos, possibilita aos alunos mobilizar conhecimentos e desenvolver a capacidade para gerenciar as informaes que esto a seu alcance. Assim, os alunos tero

35

oportunidade de ampliar seus conhecimentos acerca dos conceitos e procedimentos matemticos bem como de ampliar a viso que tm dos problemas, da Matemtica, do mundo em geral e desenvolver sua autoconfiana (PCNs, 1998, p. 40).

Resolver um problema matemtico significa realizar uma seqncia de

aes ou operaes para se obter um resultado; assim, os PCNs pressupem

que o aluno elabore um ou vrios procedimentos de resoluo, compare seus

resultados com os de outros alunos e valide seus procedimentos.

Os PCNs destacam alguns princpios ao se trabalhar com a resoluo de

problemas:

A situao-problema o ponto de partida da atividade matemtica e no a definio. So necessrias situaes em que os alunos precisem

desenvolver algum tipo de estratgia para resolv-las.

O problema no um exerccio em que o aluno aplica, de forma mecnica, uma frmula ou um processo operatrio. S h problema se o aluno for

levado a interpretar o enunciado da questo que lhe posta e a estruturar

a situao que lhe apresentada.

Um conceito matemtico se constri articulado com outros conceitos, por meio de uma srie de retificaes e generalizaes. O aluno constri um

campo de conceitos que toma sentido num campo de problemas, e no um

conceito isolado em resposta a um problema particular.

A resoluo de problemas no uma atividade para ser desenvolvida em paralelo ou como aplicao da aprendizagem, mas uma orientao para a

aprendizagem.

Os PCNs afirmam que muitos professores consideram que possvel

trabalhar com situaes do cotidiano ou de outras reas do currculo somente

depois de os conhecimentos matemticos envolvidos nessas situaes terem sido

amplamente estudados pelos alunos. Destacam que geralmente os contedos

so abordados de forma linear e os alunos acabam tendo poucas oportunidades

de explor-los em contextos mais amplos.

36

Objetivamos essencialmente buscar respostas ao seguinte

questionamento:

De que maneira os livros didticos vm incorporando os objetivos

sugeridos pelos PCNs?

Aspecto 2 As abordagens para introduzir e desenvolver a lgebra Berdnarz, Kieran, e Lee (1996) apresentam as diferentes abordagens para

introduzir o ensino de lgebra e, de acordo com cada uma delas, teremos um uso

para variveis, ao contrrio de Usiskin (1994), que apresenta as diferentes

concepes de lgebra intrinsecamente relacionadas utilizao das variveis. O

que percebemos que as concepes e o ensino de lgebra se inter-relacionam.

Quadro 2: Comparao entre as concepes de lgebra, segundo Usiskin, e as

abordagens para o ensino de lgebra, de acordo com Berdnarz, Kieran e Lee

Concepes de lgebra

(Usiskin)

Abordagens para o ensino de lgebra

(Berdnarz, Kieran e Lee)

lgebra como Aritmtica generalizada

Generalizao das leis que regem os nmeros

lgebra como um estudo de procedimentos para resolver

certos tipos de problemas

Regras de transformaes e solues de equaes

Soluo de problemas especficos ou classes de

problemas

Como estudo de relaes entre as grandezas

Introduo de conceitos de varivel e funo

lgebra como estudo das estruturas matemticas

Estudo de estruturas algbricas

Como a lgebra pode ser introduzida a partir de uma dessas abordagens,

as quais, na verdade, determinam de alguma forma as concepes algbricas

que os alunos continuaro a manter com a lgebra depois dessa introduo,

estabelecemos nosso segundo aspecto.

37

Procuramos na anlise dos livros alguma resposta seguinte questo:

Nos livros didticos, que tipo de abordagem utilizada para introduzir e

desenvolver a lgebra? Apenas uma abordagem trabalhada ou h vrias se

inter-relacionando?

Aspecto 3 Os diferentes usos dados idia de varivel Para Usiskin (1994) as diferentes concepes de lgebra se relacionam

com os usos distintos das variveis, como veremos na tabela a seguir:

Quadro 3: Concepes de lgebra relacionando-se com os usos das variveis

Concepo da lgebra Usos das variveis

Aritmtica generalizada Generalizadoras de modelos (traduzir, generalizar)

Meio de resolver certos problemas

Incgnitas, constantes (resolver, simplificar)

Estudo de relaes Argumentos, parmetros (relacionar, grficos)

Estrutura Sinais arbitrrios no papel (manipular, justificar)

Os PCNs tambm trazem as diferentes interpretaes da lgebra e as

diferentes funes das letras, deixando claro que para garantir o desenvolvimento

do pensamento algbrico o aluno deve estar engajado em atividades que inter-

relacionem as concepes variadas da lgebra e os diferentes usos das

variveis.

Tendo em vista esses aspectos, buscamos na anlise de livros respostas

seguinte indagao:

Nos livros didticos quais so os diferentes usos dados idia de varivel

que eles apresentam? Varivel como coisa conhecida? Incgnita? Argumento?

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Generalizao de modelo aritmtico? Smbolo abstrato? Varivel para expressar

relaes e funes?

Iremos analisar cada coleo, verificar quais critrios ela atende, relacionando cada critrio atendido ao tipo de tarefa a ser desenvolvida.

39

CAPTULO III

ANLISE DAS COLEES DE LIVROS DIDTICOS DOS 3 E

4 CICLOS DO ENSINO FUNDAMENTAL

3.1 Coleo A CONQUISTA DA MATEMTICA: a + nova Jos Ruy Giovanni, Benedito Castrucci, Jos Ruy Giovanni Jnior

A conquista da Matemtica uma coleo composta de quatro volumes,

uma para cada srie, de 5 a 8 srie do Ensino Fundamental. Os volumes so

organizados em captulos, subdivididos em tpicos. Cada captulo iniciado com

um texto, em geral na forma de histrias em quadrinhos, seguido da explanao

da teoria contendo exemplos e exerccios.

Os captulos comportam as sees: Troque idias com o colega, em que o

aluno ter oportunidade de trabalhar em grupo; Tratando a informao, um

espao que organiza o trabalho com grficos e tabelas; Explorando, que trata da

Geometria, clculo mental, grandezas e medidas; Calculadora, manuseio das

calculadoras com atividades nos campos dos nmeros e da lgebra; Informaes

matemticas interessantes, mostra a matemtica presente em todos os lugares;

Retomando, com atividades de aplicao e de fixao da aprendizagem.

Ao final de cada volume encontram-se as sees Indicao de leitura,

Bibliografia, Respostas dos exerccios, Glossrio e Projeto.

Cada livro traz ainda o manual do professor contendo orientaes,

sugestes, objetivos especficos e orientao metodolgica.

Aspecto 1 Os PCNs e os Livros Didticos Esta coleo apresenta uma maior concentrao dos contedos do campo numrico no primeiro e segundo volumes (5 e 6 sries) e dos campos algbricos

e geomtricos no terceiro e quarto volumes (7 e 8 sries).

40

Entretanto, no segundo volume (6 srie) nos deparamos com as primeiras

noes da lgebra. O volume traz o captulo Estudando as equaes e nesse

momento que se introduz a substituio de nmeros por letras.

A coleo traz a histria da Matemtica em todos os captulos, histria

esta, segundo os autores, fundamental para embasar a construo do

pensamento matemtico. Os textos referentes ao contedo abordado vo sendo

apresentados ao longo dos livros, como no terceiro volume (6 srie) com o

captulo que trata as equaes apresentando o texto As equaes e o papiro

Rhind, relatando o trabalho dos egpcios, gregos e rabes, falando ainda das

equaes nos dias de hoje.

No terceiro volume (7 srie), o captulo Introduo ao clculo algbrico

apresenta um texto relatando o uso de letras para representar nmeros.

No quarto volume (8 srie), junto do captulo Equaes de 2 grau,

apresenta uma leitura relatando que os textos babilnios traziam referncia a

problemas que hoje so resolvidos utilizando equaes de 2 grau.

Percebemos a histria da Matemtica sendo utilizada como recurso

didtico, assim como propem os PCNs. Alguns desses textos assumem um

carter informativo trazendo relatos da vida e obra de matemticos famosos, mas

a outros que se integram com o desenvolvimento do contedo, contribuindo para

a aprendizagem.

A resoluo de problemas destacada nas reflexes apresentadas no

manual do professor, porm esta no a abordagem utilizada para introduzir os

contedos.

H a utiliza