COQ 790 – ANÁLISE DE SISTEMAS DA ENGENHARIA QUÍMICA

AULA 9:

Dinâmica de Ordem Superior; Efeito de múltiploszeros; Sistemas com Atraso.

Universidade Federal do Rio de JaneiroCOPPE – Programa de Engenharia Química

2014/1

Dinâmica de Sistemas de Ordem Superior

Consideremos o caso de N sistemas de primeira ordem em série:

1

1

Ks 1

22

Ks 1

ii

Ks 1

iN

Ks 1

... ...u y1 y2 yi-1 yi yN-1 yN

A função de transferência global, para esse processo, é dada por:

N

iii 1

KG(s)s 1

De modo que:

N

iii 1

Ky(s) u(s)s 1

Parâmetros característicos:

N

ii 1

K K• Ganhos estáticos combinados:

• N constantes de tempo i, i 1,2, ,N

Na forma expandida, o denominador da função de transferência fica:

N N 1 2

N N 1 2 1

KG(s)a s a s a s a s 1

De modo que podemos interpretar o conjunto de N sistemas de primeira ordem em série como um sistema de ordem N, com N pólos dados por:

ii

1p , i 1,2, ,N

Consideremos, agora, a resposta desse sistema ao degrau:

N N

0i ii ii 1i 1

cK c1y(s) Ks 1 s s s 1

No domínio temporal, a resposta fica:

iN t/i

ii 1

cy(t) K 1 e

s 1/ i

i0 i

s 1 G(s)c 1, c lim

Ks

0 5 10 15 200

0.2

0.4

0.6

0.8

1

y1 t( )

y2 t( )

y3 t( )

y4 t( )

1

t

N=1N=2

N=3N=4

No Mathcad:

i iK 1, 2, i 1,2, ,N

Consideremos, agora, um caso especial:

• Todos os N ganhos estáticos envolvidos iguais a 1;• Todas as constantes de tempo idênticas;• Cada constante de tempo igual a /N.

A função de transferência para esse sistema fica:

N1G(s)

s 1N

O que acontece quando ? (detalhes mais tarde) N

Área =

t

y(t)

1

0

• Zeros Positivos x Zeros Negativos

Consideremos a seguinte função de transferência:

1 2

K s 1G(s)

s 1 s 1

1 2K 1, 2, , 5

Resposta ao degrau unitário:

0 10 20 30 400.5

0

0.5

1

y t 3( )

y t 1( )

y t 2( )

y t 3( )

t

Consideremos, agora, a seguinte função de transferência:

1 2 m1 2 n

i j

K s 1 s 1 s 1 s 1G(s)

s 1 s 1 s 1

com 0, 0 (i 1,2, ,m), 0 ( j 1,2, ,n)

De modo compacto:

mi

i 1n

jj 1

K s 1 s 1G(s)

s 1

0 5 10 15 20 25 30-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2Step Response

Time (sec)

Ampl

itude

Sistema ASistema B

• Sistema A:

3s 1

G(s)2s 1 5s 1

• Sistema B:

3s 1

G(s)2s 1 5s 1 4s 1

• Sistema C:

3s 1 s 1

G(s)2s 1 5s 1 4s 1

>> num = [-3 1];>> den = [10 7 1];>> G = tf(num,den)

Transfer function:-3 s + 1

----------------10 s^2 + 7 s + 1

>> step(G)

No Matlab:

• Sistema A:

3s 1

G(s)2s 1 5s 1

• Sistema B:

3s 1

G(s)2s 1 5s 1 4s 1

• Sistema C:

3s 1 s 1

G(s)2s 1 5s 1 4s 1

0 5 10 15 20 25 30-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2Step Response

Time (sec)

Ampl

itude

Sistema BSistema C

• Sistema A:

3s 1

G(s)2s 1 5s 1

• Sistema B:

3s 1

G(s)2s 1 5s 1 4s 1

• Sistema C:

3s 1 s 1

G(s)2s 1 5s 1 4s 1

0 5 10 15 20 25 30-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2Step Response

Time (sec)

Ampl

itude

Sistema CSistema A

• Sistema D:

3s 1 s 1

G(s)2s 1 5s 1 4s 1

Consideremos, agora, o caso de múltiplos zeros positivos

0 5 10 15 20 25 30-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2Step Response

Time (sec)

Ampl

itude

• Sistema E:

3s 1 s 1 2.5s 1

G(s)2s 1 5s 1 4s 1 3.5s 1

0 10 20 30 40 50 60-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2Step Response

Time (sec)

Ampl

itude

• Sistema F:

3s 1 s 1 2.5s 1 6s 1

G(s)2s 1 5s 1 4s 1 3.5s 1 7s 1

0 10 20 30 40 50 60-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2Step Response

Time (sec)

Ampl

itude

O sistema com um número ímpar de zeros RHP exibe resposta inversaverdadeira no senso que a direção inicial da resposta ao degrau irá sempreser oposta à direção do estado estacionário final, independente do númerode inversões envolvidas nesse processo.

Por outro lado, a porção inicial da resposta ao degrau de um sistema comum número par de zeros RHP exibirá o mesmo número de inversões antesde partir para a direção do estado estacionário final, mas a direção inicialserá sempre a mesma desse estado estacionário final (Ray & Ogunnaike,1994).

Sistemas com Atraso

• Sistemas com Atraso Temporal

Consideremos o seguinte exemplo:

Cf(t) v

Trata-se do escoamento puramente advectivo em um tubo de comprimento L, cujo fluido escoa com velocidade v. O modelo matemático para esse sistema é:

fC(t,z) C(t,z)v 0, 0 z L, C(t,0) C (t), C(0,z) 0

t z

No domínio de Laplace o modelo fica:

zsv fC(s,z) e C (s)

Na saída do tubo teremos:

Ls sv fC(s,L) e C (s) y(s) e u(s)

onde é o tempo de residência médio. A conversão direta para o domínio temporal resulta em:

y(t) u(t )

indicando que a resposta de saída é exatamente igual à perturbação de entrada, apenas atrasada unidades de tempo!

Sistemas com atraso puro são, portanto, aqueles com a seguinte função de transferência:

sg(s) e

onde indica a magnitude do atraso.

Respostas de sistema de atraso puro a perturbações típicas:

t

A

y(t)

t

A

y(t)

t

y(t)

t

inclinação = Ay(t)

Degrau: Pulso:

Impulso: Rampa:

Função de transferência de N sistemas de primeira ordem em série:

N N1G (s)

s 1N

de modo que: N NN N1lim G (s) lim

s 1N

Agora observe que:m

m1e lim 1m

m

m

mm

1e lim 1m

1 = lim11m

Fazendo N=m: NN1e lim

1N

sNN

1e lims 1

N

e 2.718

112

22.25

115

52.488

1110

102.594

11100

1002.705

Portanto: sN

Nlim G (s) e

O sistema com atraso puro, , é obtido no caso limite de uma sequência deN sistemas de primeira ordem idênticos (cada um com constante de tempo/N) conectados em série, quando N.

Interpretação de um atraso em termos de funções de transferência:

e-su(s)

G*(s) y(s)= e-sG*(s)u(s)=G(s)u(s)

s

2 2KeG s

s 2 s 1

ms

ii 1

ni

i 1

K s 1 eG s

s 1

Caso geral

Exemplo:

21G s

3s 1 5s 1 4s 1 3.5s 1 7s 1

5s

1 atrasoeG s

15s 1

0 20 40 60 800

0.2

0.4

0.6

0.8

1

y5 t( )

y1_atraso t( )

t

Aproximações racionais para e-s

As aproximações mais usadas são aquelas de Padé, com a forma geral:

p p 1p p 1 0s

q q 1q q 1 0

a ( s) a ( s) ae

b ( s) b ( s) b

onde p, q, ai (i=1,...,p) e bj (j=1,...,q) escolhidos de modo a melhor aproximar a exponencial.

A expansão em série de Taylor pode ser usada mas, para representar bem, necessita de muitos termos:

2 3s ( s) ( s)e 1 s

2! 3!

As aproximações de Padé mais usadas são as de primeira, segunda e terceira ordens:

s1 s

2e1 s

2

22

s2

2

1 s s2 12e

1 s s2 12

2 32 3

s2 3

2 3

1 s s s2 10 120e

1 s s s2 10 120