#ConquistaNoEstudo n #Dia3Semana15 Ensino Médio n 3º. ano

Matemática

Para se mexer:A circunferência está presente em nossa vida emquase tudo. No cotidiano, identificamos objetos e construções que lembram uma circunferência, um contorno ou regiões circulares. Veja alguns exemplos:

Olá, pessoal! Chegamos na nossa última semana deste semestre, dia 3 da semana 15. Hoje estudaremos a circunferência e suas posições. O conteúdo encontra-se no capítulo 4 do livro 10, nas páginas 82 a 87.

O que é?Circunferência de círculo é uma linha curva, plana e fechada, cujos pontos mantêm uma mesma distância de um ponto fixo chamado centro.

ÁREA DA CIRCUNFERÊNCIA:

é dada pela fórmula: A = π · r ²

PRINCÍPIOS BÁSICOS DA

CIRCUNFERÊNCIA

RAIO: é a distância do centro a qualquer ponto da circunferência

CORDA: todo segmento

que liga dois pontos da

circunferência.

DIÂMETRO: é uma corda que

passa pelo centro, logo o dobro do

raio.

COMPRIMENTO DA CIRCUNFERÊNCIA: é dada por C = 2 · π · r

Equação reduzida da circunferênciaA equação reduzida da circunferência é dada pela expressão

(x – a)² + (y – b)² = R²

Para definir essa expressão, vamos analisar a situação da ilustração a seguir.

Temos uma circunferência de centro C com coordenadas (a, b) e um ponto genérico P possui as coordenadas (x, y).

Vamos calcular a distância entre os pontos C(a, b) e P(x, y) utilizando a expressão:

Logo, a equação reduzida da circunferência é:r² = (a − x)² + (b − y)²

A distância do ponto C até o ponto P é a medida do raio! Daí temos: r² = (a − x)² + (b − y)²

Equação geral ou normal da circunferênciaDesenvolvendo a equação reduzida, obtemos a equação geral da circunferência:r² = (a − x)² + (b − y)²r² = a² − 2 · a · x + x² + b² − 2 · b · y + y², reorganizando temos:

x² + y² − 2 · a · x − 2 · b · y + a² + b² − r²=0

Portanto, temos a equação geral da circunferênciax2 + y2 − 2 · a · x − 2 · b · y + a2 + b2 − r2 =0

EXEMPLODada a equação da circunferência: (x − a)² + (y − b)² = r², sendo (a, b) as coordenadas do centro C(2, 3) e r a medida do raio igual a 5, escreva a equação geral da circunferência que passa por esses pontos.(x – a)² + (y – b)² = r² (x – 2)² + (y – 3)² = 5² (x – 2)² + (y – 3)² = 25 ⇒ equação reduzida da circunferência x² – 4x + 4 + y² – 6y + 9 = 25 x² – 4x + 4 + y² – 6y + 9 – 25 = 0 x² + y² – 4x – 6y – 12 = 0 ⇒ equação geral da circunferência

Para praticar

1. Determine a equação da circunferência que possui centro em C(3, 6) e raio 4.

2. O centro de uma circunferência é determinado pelo ponto médio do segmento PQ, sendo P(4, 6) e Q(2, 10). Considerando que o raio dessa circunferência é 7, determine sua equação.

3. O ponto P(3, b) pertence à circunferência de centro no ponto C(0, 3) e raio 5. Calcule valor da coordenada b.

4. Determine a equação da circunferência com centro no ponto C(2, 1) e que passa pelo ponto A(1, 1).

Posição de um ponto em relação a uma circunferência

Em relação à circunferência de equação (x – a)² + (y – b)² = r², o ponto P(m, n) pode ocupar três posições diferentes:

1o) O ponto P é exterior à circunferência: A distância de CP é maior que o raio

2o) O ponto P pertence à circunferência: A distância de CP é igual ao raio

3o) O ponto P é interior à circunferência: A distância de CP é menor que o raio

EXEMPLOSeja a circunferência de equação (x – 5)2 + (y – 4)2 = 25, vamos verificar a posição relativa do ponto P(9, 7) em relação à circunferência dada.Primeiro devemos calcular a distância entre o ponto P e o centro O e verificar se é maior, menor ou igual à medida do raio da circunferência.Da equação reduzida da circunferência, temos:x0 = 5 e y0 = 4 → O(5, 4)r2 = 25 → r = 5Vamos determinar a distância entre P e O utilizando a fórmula da distância entre dois pontos.

Como a distância entre o centro O da circunferência e o ponto P é igual à medida do raio, podemos afirmar que P(9, 7) pertence à circunferência.

EXEMPLO 2Dado o ponto P(2, -5) e a circunferência de equação (x – 2)2 + (y – 3)2 = 49, verifique a sua posição relativa.Primeiro devemos calcular a distância entre o ponto P e o centro O e verificar se é maior, menor ou igual à medida do raio da circunferência.Da equação reduzida da circunferência, temos:x0 = 2 e y0 = 3 → O(2, 3)r2 = 49 → r = 7Vamos determinar a distância entre P e O utilizando a fórmula da distância entre dois pontos.

Como a distância entre o centro O da circunferência e o ponto P é maior que a medida do raio, podemos afirmar que P(2, -5) é exterior à circunferência.

EXEMPLO 3Dado o ponto P(0, -7) e a circunferência de equação: x2 + y2 = 144, verifique a sua posição relativa.Primeiro devemos calcular a distância entre o ponto P e o centro O e verificar se é maior, menor ou igual à medida do raio da circunferência.Da equação reduzida da circunferência, temos:x0 = 0 e y0 = 0 → O(0, 0)r2 = 144 → r = 12Vamos determinar a distância entre P e O utilizando a fórmula da distância entre dois pontos.

Como a distância entre o centro O da circunferência e o ponto P é menor que a medida do raio, podemos afirmar que P(0, -7) é interior à circunferência.

HORA DE PRATICAR

5. Verifique quais dos pontos dados a seguir pertencem à circunferência de raio igual a 3 e centro C(-1, 4).a) (-2, 4)b) (-4, 1)c) (0, 0)d) (1, 5)e) (-3, 2)

6. Qual é a posição relativa entre a circunferência dada pela equação: x² - 4x + y² = 0 e os pontos:a) (-1, 0) b) (0, 2) c) (2, -2)

5. Qual é a posição relativa entre a circunferência de equação (x – 1)² + (y + 2)² = 10 e o ponto P (-1, -4)?

8. Qual é a posição relativa entre o ponto P (2, -6) e circunferência: (x + 7)² + (y – 5)² = 18?

Posições relativas entre uma reta e uma circunferência

Dada uma circunferência no plano de cento O(xo, yo) e raio r. Uma reta s de equação ax + by + c = 0, também do mesmo plano pode ser tangente, secante ou externa à circunferência.

• Se s for tangente, ela toca a circunferência em um só ponto. • Se s for secante, intercepta a circunferência em dois pontos

distintos. • Se for externa à circunferência, a reta s não possui nem um ponto

em comum com a circunferência.

1o caso: A reta s é externa à circunferência.Não tem nenhum ponto em comum com a circunferência. A distância entre o centro e a reta é maior que o raio: dc,t > raio

2o caso: A reta s é tangente à circunferência.Tem um único ponto em comum com a circunferência.A distância entre o centro e a reta é igual ao raio: dc,t = raio

3o caso: A reta s é secante à circunferência.Tem dois pontos em comum com a circunferência.A distância entre o centro e a reta é menor que o raio: dc,t < raio

1o caso: exterior

2o caso: tangente

3o caso: secante

EXEMPLO 1Qual é a posição relativa entre a reta r: 2x + y + 12 = 0 e a circunferência C de equação x² + y² - 4x + 2y – 15 = 0.Devemos calcular a distância entre o centro da circunferência e a reta s e comparar com a medida do raio. Para se determinar o centro e o raio de uma circunferência a partir da equação geral x²+ y² + mx + nx + p = 0 utilizam-se as equações (I), deduzindo-se que:

No nosso exemplo: x² + y² - 4x + 2y – 15 = 0

Calculando a distância:

Portanto, a distância é maior que o raio (3 5 > 2 5 ), logo a reta é exterior à circunferência.

EXEMPLO 2Verifique se a reta s: 2x + y + 2 = 0 é tangente à circunferência de equação (x – 1)2 + (y – 1)2 = 5.x0 = 1  e y0 = 1 → O(1, 1)r2 = 5 → r = 5E da equação da reta, obtemos: a = 2, b = 1 e c = 2Vamos aplicar a fórmula da distância entre ponto e reta.

Como a distância entre o centro O e a reta s é exatamente igual à medida do raio, podemos afirmar que a reta s é tangente à circunferência.

HORA DE PRATICAR

9. Verifique a posição relativa entre a reta s: 3x + y – 13 = 0 e a circunferência de equação (x – 3)² + (y – 3)² = 25.

10. Qual a posição relativa entre a circunferência (x - 3)² + (y – 4)² = 25 e a reta 3x – y = 0?

Posições relativas entre duas circunferências

1o caso: Circunferências tangentes.a) Tangentes externas Duas circunferências são tangentes internas quando possuem somente um ponto em comum e uma exterior à outra. A condição para que isso ocorra é que a distância entre os centros das duas circunferências seja equivalente à soma das medidas de seus raios.

As circunferências C1(O1, r1) e C2(O2, r2) serão tangentes externas quando a distância entre seus centros for igual a soma dos raios, ou seja: C1 e C2 são externas ⇔ d(O1, O2) = r1 + r2

b) Tangentes internas Duas circunferências são tangentes internas quando possuem apenas um ponto em comum e uma esteja no interior da outra. A condição para que isso ocorra é que a distância entre os dois centros seja igual à diferença entre os dois raios.

As circunferências C1(O1, r1) e C2(O2, r2) serão tangentes internas quando a distância entre seus centros for menor que a diferença entre os raios, ou seja:C1 e C2 são tangentes externas ⇔ d(O1, O2) = r1 - r2

2o caso: Circunferências secantes.Duas circunferências são consideradas secantes quando possuem dois pontos em comum. A condição para que isso aconteça é que a distância entre os centros das circunferências deve ser menor que a soma das medidas de seus raios.

As circunferências C1(O1, r1) e C2(O2, r2) serão secantes quando a distância entre seus centros for menor que a soma dos raios e maior que a diferença entre os raios, ou seja: C1 e C2 são secantes ⇔ r1 - r2 < d(O1, O2) < r1 + r2

Esse caso está entre os casos de “tangente externa” e “tangente interna”, por isso a distância entre os centros estão entre essas duas condições.

3o caso: Circunferências internas.Duas circunferências são consideradas internas quando não possuem pontos em comum e uma está localizada no interior da outra. A condição para que isso ocorra é que a distância entre os centros das circunferências deve ser equivalente à diferença entre as medidas de seus raios.

A circunferência C1(O1, r1) será interna a  C2(O2, r2) quando a distância entre seus centros for menor que a diferença entre os raios de C1 e C2:

C1 é interna a C2 ⇔ d(O1, O2) < r1 – r2

4o caso: Circunferências concêntricas.Duas circunferências são consideradas concêntricas quando possuem o centro em comum. Nesse caso, a distância entre os centro é nula.

A circunferência C1(O1, r1) e C2(O2, r2) serão concêntricas quando a distância entre seus centros for zero.

C1 e C2 são concêntricas ⇔ d(O1, O2) = 0

5o caso: Circunferências externas.Duas circunferências são consideradas externas quando não possuem pontos em comum. A condição para que isso ocorra é que a distância entre os centros das circunferências deve ser maior que a soma das medidas de seus raios.

A circunferência C1(O1, r1) e C2(O2, r2) serão externas quando a distância entre seus centros for maior que a soma dos raios, ou seja:

C1 e C2 são externas ⇔ d(O1, O2) > r1 – r2

EXEMPLO 2Dadas as circunferências C1: x

2 + y2 = 9 e C2: (x – 7)2 + y2 = 16, verifique a posição relativa entre elas.Primeiramente devemos saber as coordenadas do centro e a medida do raio de cada uma das circunferências. Como a equação de toda circunferência é da forma: (x – x0)

2 + (y – y0)2 = r2, teremos:

C1 : x2 + y2 = 9 C2: (x - 7)2 + y2 = 16

x0 = 0 e y0 = 0 → C1 (0, 0 ) x0 =7 e y0 = 0 → C2 (7, 0 )r1

2 = 9 → r1 = 3 r22 = 16 → r2 = 4

Conhecidos os elementos de cada uma das circunferências, vamos calcular a distância entre os centros utilizando a fórmula da distância entre dois pontos.

7 = r1 + r2 Tangentes internas

HORA DE PRATICAR

11. Quais são as posições relativas das duas circunferências em cada caso?

12. Verifique a posição relativa entre as circunferências C1: (x − 5)2 + y2 = 9, C2: (x − 2)2 + y2 = 30 e C3: x² + y2 = 4, duas a duas, e determine os pontos comuns a elas, caso estes existam.

13. Encontre a circunferência C1, de centro (2, 2), tangente externa à circunferência C2: (x − 5)2 + (y + 2)2 = 9.

14. Determine a posição relativa entre a circunferência: (x – 3)² + (y + 5)² = 36 e a circunferência de equação:a) x² + y² + 4y = 0b) x² - 4x + y² + 10y + 4 = 0

Hora de conferir as respostas

1. (x – 3)² + (x – 6)² = 162. (x – 3)² + (y – 8)² = 493. A coordenada b pode assumir os valores 7 ou –1. 4. (x – 2)² + (y – 1)² = 15. a, d, e.6. a) Externo b) Externo c) Pertence7. Interno8. Externo

9. Como a distância entre o centro O e a reta s é menor que o raio, a reta s é secante à circunferência.

10. Como a distância entre o centro e a reta é menor que o raio, a reta é secante à circunferência.

11.

secantes

internas e concêntricas

tangentes externas

tangentes internas

externas

internas e não concêntricas

12. C1 e C2 são secantes; C1 e C3 são tangentes externas; C2 e C3 são internas.

13. C1: (x − 2)2 + (y − 2)2 = 4.

14. a) x² + y² + 4y = 0 → secantes b) x² - 4x + y² + 10y + 4 = 0 → tangentes internas

#Para ir além

Círculo de GuangzhouGUANGZHOU, CHinaArquitetos: Joseph di Pasquale Área: 85 000 m²Ano: 2013

#Para ir além

Inaugurado no ano de 2013 na cidade de Guangzhou, na China, o prédio tem formato de círculo. O local é a nova sede do Grupo Guangdong Hongda Xingye e do GDPE Guangdong Exchange e foi projetado pelo arquiteto Joseph di Pasquale, do escritório A.M. Progetti.O edifício, que vem sendo chamado de prédio “rosquinha”, foi inspirado na tradição do Feng Shui e, quando refletido no rio, que fica ao seu lado, forma o símbolo do infinito. O prédio tem 33 andares e 138 metros de altura. No centro do círculo, há um buraco com 50 metros de diâmetro.

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Fonte: https://www.archdaily.com.br/br/01-180030/circulo-de-guangzhou-slash-joseph-di-pasquale-architect