computação quântica: complexidade e algoritmos · no modelo quântico, as equivalentes “portas...

Computação Quântica:Complexidade e Algoritmos

Carlos H. Cardonha

Marcel K. de Carli Silva

Cristina G. Fernandes (orientadora)

Departamento de Ciência da Computação

Instituto de Matemática e Estatística

Universidade de São Paulo

Apoio financeiro FAPESP (03/13236-0 e 03/13237-7)

QC – p.1/21

Tópicos

� Breve histórico e descrição do trabalho

� O modelo quântico de computação

� O algoritmo de fatoração de Shor

� Relações entre classes de complexidade

QC – p.2/21

Breve Histórico

Feynman (82): explorar efeitos quânticos

Deutsch (85, 89): formalização do modelo

Shor (94): fatoração eficiente de inteiros

Grover (96): busca em tempo proporcional a �

Bernstein e Vazirani (97): complexidade computacional

QC – p.3/21

Descrição do Trabalho

Estudo básico do modelo quântico de computação.

Parte do Marcel: Aspectos Algorítmicos. Algoritmos de

Deutsch, Deutsch-Jozsa e Simon

Shor

Grover

Parte do Carlos: Resultados de Complexidade.

Máquinas de Turing quânticas

Máquina de Turing quântica universal

Classes quânticas de complexidade e relação comclássicas

QC – p.4/21

Tópicos





QC – p.5/21

Bits Quânticos

��

espaço vetorial de dimensão

�

base ortonormal de

e : estados básicos

bit quântico é um vetor unitário em

e , pois tem norma 1

é superposição de estados básicos

QC – p.6/21

Bits Quânticos

��


�

��

base ortonormal de

� �

e : estados básicos




QC – p.6/21

Bits Quânticos

��


�

��

base ortonormal de

� �

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e

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: estados básicos




QC – p.6/21

Bits Quânticos

��


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��

base ortonormal de

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e

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: estados básicos

bit quântico

��

é um vetor unitário em� �

��

��

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� �� , pois

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tem norma 1


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Bits Quânticos

��


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��

base ortonormal de

� �

��

e

��

: estados básicos

bit quântico

��

é um vetor unitário em� �

��

��

e

� �� , pois

� � �

tem norma 1

��


QC – p.6/21

Principais Características: Superposição

Um bit quântico armazena uma superposição de�

e

�

Exemplo:

Um registrador com bits quânticos armazena umasuperposição de estados básicosExemplo:

QC – p.7/21



e

�

Exemplo: ��

Um registrador com bits quânticos armazena umasuperposição de estados básicosExemplo:

QC – p.7/21



e

�

Exemplo: ��

Um registrador com � bits quânticos armazena umasuperposição de

� �

estados básicos

Exemplo:

QC – p.7/21



e

�

Exemplo: ��

Um registrador com � bits quânticos armazena umasuperposição de

� �

estados básicosExemplo: � � �

��

QC – p.7/21

Principais Características

Ao tentarmos “enxergar” uma superposição, modificamos(perdemos) esta irreversivelmente(Princício da Incerteza)

No modelo clássico, portas lógicas sãofunções de bits em bits.No modelo quântico, as equivalentes “portas lógicas” sãofunções bijetoras de bits quânticos em bits quânticos.

Exemplo: função de negação — e

QC – p.8/21


Ao tentarmos “enxergar” uma superposição, modificamos(perdemos) esta irreversivelmente(Princício da Incerteza)

No modelo clássico, portas lógicas sãofunções de bits em bits.No modelo quântico, as equivalentes “portas lógicas” sãofunções bijetoras de bits quânticos em bits quânticos.

Exemplo: função de negação —

� ��

e

� ��

QC – p.8/21


Facilidade de extração de propriedades globais de umafunção. Exemplo: período.

Exemplo:função

período

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Facilidade de extração de propriedades globais de umafunção. Exemplo: período.

Exemplo:função

� � � � �� ! " # $%& � �� ' ' ' � � &� � �� (� � � � � �� (� � � � � �� (� � � ' ' ' �

período

(QC – p.9/21

Tópicos





QC – p.10/21

Algoritmo de Shor

Recebe:

um inteiro � composto, ímpar,que não uma potência de primo( � tem pelo menos 2 divisores primos).

Devolve:

um fator de , com alta probabilidade.

QC – p.11/21

Algoritmo de Shor

Recebe:

um inteiro � composto, ímpar,que não uma potência de primo( � tem pelo menos 2 divisores primos).

Devolve:

um fator de �, com alta probabilidade.

QC – p.11/21

Algoritmo de Shor

Idéia:

transforma problema da fatoração embusca do período de uma função.

Consumo de tempo:

polinomial em .

Observação:

um único passo quântico!

QC – p.12/21

Algoritmo de Shor

Idéia:

transforma problema da fatoração embusca do período de uma função.

Consumo de tempo:

polinomial em

) # * �.

Observação:

um único passo quântico!

QC – p.12/21

Algoritmo de Shor

Shor

� � �

1. + , rand

�� - - - � �/. � �

2.

0 , mdc

� +� � �

3. se

021 � 3 único passo quântico

4. então devolva

0

5. 4 , ordem

� +� � � 3 menor 5 6 7

tal que 8 92: ; <>= ? @BA C

6. se 4 é ímpar ou + D E � F . � � " # $ � �

7. então FALHOU!

8. senão devolva mdc

� + D E � . � � � �

QC – p.13/21

Algoritmo de Shor

Teorema:

4 �� menor � 1 �

com + ! F� � " # $ � �se 4 par e + D E � G F . � � " # $ � �

então mdc

� + D E � . � � � � é fator de �

Prova:

é múltiplo de

não é múltiplo de

não é múltiplo de

Fatores de separados entre e .

QC – p.14/21

Algoritmo de Shor

Teorema:

4 �� menor � 1 �

com + ! F� � " # $ � �se 4 par e + D E � G F . � � " # $ � �

então mdc

� + D E � . � � � � é fator de �Prova:� + D E � �� + D E � . � � � + D . �

é múltiplo de �

+ D E � �� não é múltiplo de �

+ D E � . �

não é múltiplo de �

Fatores de � separados entre + D E � �� e + D E � . �

.

QC – p.14/21

Algoritmo de Shor

Teorema:

Se � tem H divisores primos,então probabilidade de falha

I � J � KML �

Prova:

Teorema Chinês do Resto eFato: é cíclico se primo ímpar.

QC – p.15/21

Algoritmo de Shor

Teorema:

Se � tem H divisores primos,então probabilidade de falha

I � J � KML �Prova:

Teorema Chinês do Resto eFato:

NPO Q é cíclico se R primo ímpar.

QC – p.15/21

Algoritmo de Shor

Álgebra (Teoria dos Grupos):

4 �� ordem de +, módulo �.

4 é o período da seqüência

& + � " # $ �� + � " # $ �� + � " # $ �� + S " # $ ��' ' ' �

.

4 é o período da função

� � � � �� + ! " # $ �.

QC – p.16/21

Busca do Período

Algoritmo quântico

encontra o período da função

� � � � �� + ! " # $ � emtempo polinomial em

) # * � e com alta probabilidade.

Utiliza “versão” quântica (trabalhando com superposições)da Transformada Discreta de Fourier

onde

é -ésima raiz complexa da unidade.

QC – p.17/21

Busca do Período

Algoritmo quântico

encontra o período da função

� � � � �� + ! " # $ � emtempo polinomial em

) # * � e com alta probabilidade.

Utiliza “versão” quântica (trabalhando com superposições)da Transformada Discreta de Fourier

� �UT � � � �' ' ' � � � L � �WV X �Y � �' ' ' � Y � L � � � � �

ondeY[Z ��

� L �\^]�

� \ _ \Z �

_ � � � `a b �dc e J �� é �-ésima raiz complexa da unidade.

QC – p.17/21

Tópicos





QC – p.18/21

Classes de Complexidade

Classe dos problemas resolvidos em

f

: tempo polinomial no modelo clássico

: tempo polinomial no modelo clássicoe probabilidade de falha limitada por constante

: espaço polinomial no modelo clássico

: tempo polinomial no modelo quântico

: tempo polinomial no modelo quânticoe probabilidade de falha limitada por constante

Pode-se provar:

QC – p.19/21



f

: tempo polinomial no modelo clássicog f f

: tempo polinomial no modelo clássicoe probabilidade de falha limitada por constante




Pode-se provar:

QC – p.19/21



f


: tempo polinomial no modelo clássicoe probabilidade de falha limitada por constantef h f ij k




Pode-se provar:

QC – p.19/21



f



: espaço polinomial no modelo clássicok f



Pode-se provar:

QC – p.19/21



f




: tempo polinomial no modelo quânticog f


Pode-se provar:

QC – p.19/21



f




: tempo polinomial no modelo quânticog f


Pode-se provar:

fl k fl g f fl g f l f h f i j k

QC – p.19/21

Direções futuras

Estudo de mais algoritmos quânticos

Generalização dos algoritmos exponencialmente maisrápidos (Hidden Subgroup Problem)

Uso de idéias quânticas no modelo clássico

Códigos resistentes a falha

Mais resultados de complexidade

QC – p.20/21

Fim

Sítio:http://www.linux.ime.usp.br/~magal/quantum/

Carlos: [email protected]

Marcel: [email protected]

Cristina (orientadora): [email protected]

QC – p.21/21

computação quântica: complexidade e algoritmos · no modelo quântico, as equivalentes “portas...

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