Radiação Térmica: Aspectos Clássicos e QuânticosJovanio Silva dos Santos Júnior

Fundação Universidade Federal de Rondônia, Núcleo de Ciência e Tecnologia, Departamento de Engenharia e Física - DENFICurso de Bacharelado em Engenharia Elétrica - 5o Período - Matrícula: 200711760 - Disciplina de Fenômenos de Transporte.

Resumo—Este artigo visa a comentar sobre o fenômeno datransferência de calor por radiação térmica, além de definiros conceitos de radiação térmica, irradiação, absortividade,refletividade, transmissividade e emissividade, as propriedadesdo corpo negro, do corpo cinzento e do corpo real. Temas comoradiosidade e radição solar também pertencem ao foco desteartigo.

Além de todos esses tópicos será apresentada uma brevenoção sobre Física Quântica e Mecânica Quântica, para que sepossa compreender perfeitamente a natureza da propagação daradiação e como ela interage com a matéria.

Index Terms—Radiação térmica, irradiação, absortividade,refletividade, transmissividade, emissividade, corpo negro, corpocinzento, corpo real, radiosidade, dualidade onda-partícula,equação de Scrhöedinger, efeito Compton, produção e aniquilaçãode pares, efeito fotoelétrico, fótons de breamsstrahlung, ângulo deBragg.

I. INTRODUÇÃO

OEstudo da transferência de calor é de extrema importân-cia na atualidade. Dele depende a compreensão de como

funcionam alguns dos dispositivos usados para a melhoria daqualidade de vida (como a garrafa térmica), além de trazerà luz os mecanismos de alguns fenômenos naturais (como atransferência de calor do Sol para a Terra e a inversão térmica,onde a convecção natural é dificultada pela inversão do gra-diente de temperatura em função da altitude necessária para alivre dispersão dos solutos do ar que formam a poluição).

Existem três maneiras de ocorrer transferência de calor. Aprimeira ocorre a nível molecular, em que a energia cinéticadas moléculas da matéria é transferida de molécula a molécula.Este fenômeno é denominado condução. A segunda maneiraestá associada ao movimento de um fluido, sendo denominadaconvecção. A terceira e última forma, objetivo deste artigo,se dá por meio de ondas eletromagnéticas, e é denominadaradiação.

Diversos fatores devem ser considerados quando se estácalculando a taxa de transferência de energia, já que a ra-diação térmica é um fenômeno ondulatório. A distribuição deenergia que deixa uma superfície na forma de radiação térmicadepende do comprimento de onda. A distribuição espectral daradiação vai depender da temperatura absoluta da superfície edo acabamento superficial. Quando a radiação térmica atingeuma dada superfície, a quantidade de energia absorvida vaidepender da distribuição espectral da radiação incidente, bemcomo do acabamento da superfície.

A característica ondulatória da transferência de energia re-quer que se considere a orientação geométrica das superfíciesenvolvidas no processo de transferência de calor. Transferência

de energia direta é a apenas possível entre superfícies que se“veêm” mutuamente.

Quando se calcula a taxa de transferência de calor de umasuperfície envolvida por ar, é necessário que se considere tantoconvecção como radiação. Contudo, se a região que envolveas superfícies estiver no vácuo, então apenas transferência decalor por radiação vai ocorrer. A radiação será o modo do-minante de transferência de calor quando existir um gradienteelevado de temperatura entre a vizinhaça e a superfície. Sea diferença de temperatura for pequena, a convecção seráo mecanismo principal de transferência de calor. No casode existir um gradiente de temperatura moderado entre avizinhaça e a superfície, tanto radiação quanto convecçãodevem ser consideradas.

II. ONDAS ELETROMAGNÉTICAS

A Fig. 1 mostra os vetores campo elétrico e campo mag-nético de uma onda eletromagnética. Os campos elétrico emagnético são perpendiculares um ao outro e perpendicularesà direção da propagação da onda. As ondas eletromagnéticassão, portanto, ondas transversais. Os campos elétrico e mag-nético estão em fase, e em cada ponto do espaço e em cadainstante de tempo seus módulos estão relacionados por,

E = cB, (1)

em que, c = 1/√µ0ε0 é a velocidade da onda (as constantes

µ0 e ε0 representam a permeabilidade e a permissividade dovácuo, respectivamente). A direção de propagação de umaonda eletromagnética é a direção do produto vetorial entreo campo elétrico e o campo magnético.

Figura 1. Os vetores campo elétrico e magnético em uma onda eletromag-nética. Os campos estão em fase, perpendiculares um ao outro e perpendicu-lares à direção de propagação da onda.

III. INTENSIDADE DE RADIAÇÃO

A radiação que deixa uma superfície pode se propagar emtodas as direções possíveis (Fig. 7), freqüentemente está-se

interessado em conhecer a sua distribuição direcional. Tam-bém, a radiação que incide sobre uma superfície pode vir dediferentes direções e a maneira pela qual a superfície respondea essa radiação depende da direção. Tais efeitos direcionaispodem ser de principal importância na determinação da taxade transferência de calor radiante líquida e podem ser tratadoscom a introdução do conceito de intensidade de radiação.

A. Definições Matemáticas

Devido à sua natureza, o tratamento matemático da trans-ferência de calor por radiação envolve o uso extensivo dosistema de coordenadas esféricas. A partir da Fig. 2(a), podeser relembrado que o ângulo plano diferencial dα é definidopor uma região entre os raios de um círculo e é medido comoa razão entre o comprimento de arco dl sobre o círculo e oraio r do círculo. Analogamente, a partir da Fig. 2(b), o ângulosólido diferencial dω é definido por uma região entre os raiosde uma esfera e é medido como a razão entre a área dAn sobrea esfera e o quadrado do raio da esfera. Conseqüentemente,tem-se,

dω =dAnr2

. (2)

Figura 2. Definições matemáticas. (a) Ângulo plano. (b) Ângulo sólido. (c)Emissão da radiação a partir de uma área diferencial dA1 para um ângulosólido dω subentendido por dAn em um ponto sobre dA1. (d) O sistema decoordenadas esféricas.

Consideremos a emissão em uma direção particular a partirde um elemento com área superficial dA1, como mostrado naFig. 2(c). A direção pode ser especificada em termos dos ângu-los de zênite e azimutal, θ e φ, respectivamente, de um sistemade coordenadas esféricas (Fig. 2(d)). A área dAn, através

da qual a radiação passa, corresponde a um ângulo sólidodiferencial dω quando vista de um ponto sobre dA1. Comomostrado na Fig. 3, a área dAn é um retângulo de dimen-sões rdθ x rsen(θ)dφ; desta forma, dAn = r2sen(θ)dθdφ.Conseqüentemente, tem-se,

dω = senθdθdφ. (3)

Figura 3. O ângulo sólido, correspondente a dAn, em um ponto sobre dA1

no sitema de coordenadas esféricas.

Quando vista a partir de um ponto sobre um elemento deárea superficial opaco dA1, a radiação pode ser emitida emqualquer direção definida por um hemisfério hipotético sobre asuperfície. O ângulo sólido associado ao hemisfério completopode ser obtido pela integração da Eq. 3 entre os limites φ = 0até φ = 2π e θ = 0 até θ = π/2. Dessa forma,

∫h

dω =∫ 2π

0

∫ π/2

0

senθdθdφ = 2π∫ π/2

0

senθdθ = 2πsr,

(4)

em que, h se refere à integração no hemisfério. Devemos notarque a unidade do ângulo sólido é o esterorradiano (sr), análogoaos radianos para ângulos planos.

IV. RADIAÇÃO TÉRMICA

Vamos considerar um sólido que está inicialmente a umatemperatura T , mais alta do que a de sua vizinhança Tviz ,mas em torno do qual há vácuo, como mostrado na Fig. 4. Apresença do vácuo exclui a perda de energia da superfície dosólido por condução ou convecção. Entretanto, pela intuiçãojá se pode imaginar que o sólido irá se resfriar e entrar emequilíbrio térmico com a sua vizinhança. Esse resfriamento éassociado a uma redução na energia interna armazenada pelosólido e é uma conseqüência direta da emissão da radiaçãotérmica da superfície. Por sua vez, a superfície interceptaráe absorverá a radiação oriunda da vizinhança. Entretanto, seTs > Tviz a taxa de transferência de calor por radiação líquida,qrad,liq, está saindo da superfície e a superfície resfriará atéque Ts atinja Tviz .

Todos os tipos de matéria emitem radiação. Para gases esólidos semitransparentes, tais como vidros e cristais de sais a

Figura 4. Resfriamento por radiação de um sólido aquecido.

temperaturas elevadas, a emissão é um fenômeno volumétrico,conforme ilustrado na Fig. 5. Isto é, a radiação provenientede um volume finito de matéria é o efeito integrado daemissão local através do volume. Contudo, nesse artigo, focou-se situações para as quais a radiação é um fenômeno desuperfície. Na maioria dos sólidos e líquidos, a radiaçãoemitida das moléculas internas é fortemente absorvida pelasmoléculas adjacentes. Assim sendo, a radiação que é emitidade um sólido ou um líquido se origina das moléculas que seencontram a uma distância na superior a 1 µm da superfícieexposta. É por esta razão que a emissão de um sólido ou umlíquido no interior de um gás adjacente ou do vácuo é vistacomo um fenômeno de superfície.

A radiação térmica pode ser associada com a taxa na quala energia é emitida pelo meio como um resultado de suatemperatura finita. O mecanismo da emissão da radiação érelacionado à energia liberada como resultado das oscilaçõesou transições de vários elétrons que constituem o meio. Essasoscilações são, por sua vez, mantidas pela energia internae, portanto, pela temperatura, do meio. Logo, a emissão deradiação térmica foi associada com as condições termicamenteexcitadas no interior da matéria.

Toda matéria que esteja a uma temperatura absoluta finitavai emitir radiação, devido à sua atividade atômica e molecu-lar. A radiação é emitida na forma de ondas eletromagnéticase, para a matéria em estado de equilíbrio, ela está associadacom a energia interna da matéria. A temperatura absoluta ésempre utilizada nos cálculos de radiação.

A teoria da radiação térmica pode ser estudada tanto doponto de vista ondulatório quanto do ponto de vista quântico.Do ponto de vista ondulatório, a radiação propaga-se por meiode ondas eletromagnéticas. Do ponto de vista quântico, aradiação consegue se propagar como um conjunto de partículasdenominadas fótons ou quanta. A partir de agora, estas duasformas de estudo serão abordadas detalhadamente.

V. RADIAÇÃO TÉRMICA: TRATAMENTO CLÁSSICO

Em referência à radiação emitida por um corpo, os termosfreqüência, v, e comprimento de onda, λ, serão utilizados,

Figura 5. O Processo de emissão: (a) Como um fenômeno volumétrico. (b)Como um fenômeno de superfície.

pois, por enquanto, a radiação terá uma abordagem ondu-latória. Eles estão relacionados por,

λ =c

v, (5)

em que, c é a velocidade da luz no meio material. A velocidadeda luz no vácuo vale c0 = 2, 998.108 m/s. O índice de refraçãode um meio material é a razão entre a velocidade da luz novácuo e a velocidade da luz no meio, dada por,

η =c0c. (6)

A distribuição espectral da radiação eletromagnética estáapresentada na Fig. 6. Os tipos de radiação estão classificadosde acordo com os seus comprimentos de onda. O pequeno

comprimento de onda dos raios gama, raios-X e radiaçãoultravioleta (UV) são principalmente de interesse para osfísicos de alta energia e engenheiros nucleares, enquanto asmicroondas de comprimento de onda elevado e as ondas derádio dizem respeito aos engenheiros eletricistas. As unidadesde comprimento de onda usuais são o micro ou micrômetro,µm, 10−6m, e o ângstron, Å, 10−10m. A região de luz visíveldo espectro se localiza entre 0,4 e 0,7 µm, e a região espectralentre 0,1 e 100 µm é chamada de radiação térmica.

Figura 6. O espectro eletromagnético

A radiação térmica emitida por uma superfície engloba umafaixa de comprimentos de onda. Conforme mostrado na Fig.7(a), a intensidade da radiação varia como o comprimentode onda, e o termo espectral é utilizado para que se possareferir à natureza dessa dependência. A radiação emitidaconsiste em uma distribuição contínua e não-uniforme decomponentes monocromáticos (comprimento de onda único).Tanto a intensidade da radiação em qualquer comprimento deonda quanto a distribuição espectral variam com a natureza ea temperatura da superfície emissora.

A natureza espectral da radiação térmica é uma das carac-terísticas que complicam a sua descrição. A segunda carac-terística é relativa à sua direcionalidade. Conforme mostradona Fig. 7(b), uma superfície pode emitir preferencialmente emcertas direções, criando uma distribuição direcional da radi-ação emitida. Para que se possa quantificar apropriadamentea transferência de calor por radiação, deve-se estar apto atratar dos efeitos espectrais e direcionais, que serão abordadosposteriormente.

A radiação térmica emitida por um material pode ser se-parada nos seus componentes monocromáticos. A distribuição

Figura 7. Radiações emitidas por uma superfície. (a) Distribuição espectral.(b) Distribuição direcional.

espectral da radiação de uma superfície de um corpo irra-diante ideal, chamado de corpo negro, foi obtida por MaxPlank. O poder emissivo monocromático, Eλ,n é a taxa deenergia monocromática emitida por um irradiador ideal parauma superfície hemisférica envolvente e é uma função docomprimento de onda e da temperatura da superfície irradiante.A taxa de energia é,

Eλ,n =C1

λ5eC2/λT − 1, (7)

que possui como unidade W/m2µm e onde C1 = 3, 742.108

Wµm4/m2 e C2 = 1, 439.104 µmK.A Eq. 7 é válida para uma superfície no vácuo e deve ser

modificada se o índice de refração difere significativamente daunidade. A distribuição espectral monocromática de energiapara a superfície de um corpo irradiante ideal é mostrada naFig. 8 para sete valores diferentes de temperatura. O com-primento de onda em que a emissão monocromática máximaocorre, λmax, diminui na medida que a temperatura do corpoirradiante ideal aumenta. A relação entre λmax e a temperaturaé dada pela lei do deslocamento de Wien, dada por,

λmaxT = 2, 90.103, (8)

que tem como unidade µmK.A taxa total de energia emitida por um corpo irradi-

ante ideal, ou corpo negro, para uma superfície hemisféricaque o envolve, é obtida pela integração do poder emissivomonocromático sobre toda a faixa de comprimentos de onda.Portanto,

En =∫ ∞

0

Eλ,ndλ.

O valor desta integral é dado pela Eq. 9, conhecida comolei de Stefan-Boltzmann, dada por,

En = σT 4, (9)

em que σ é a constante de Stefan-Boltzmann, σ = 5, 670.10−8

W/m2K4.A Eq.9 pode ser demonstrada se considerarmos a expressão

de Plank para a radiação do corpo negro (Eq. 10).

IBB(λ, T )dλ =2πhc2dλλ5ebc/λ − 1

, (10)

em que:• IBB - potência emitida por unidade de área em um

intervalo de comprimento de onda dλ em torno de λ;• b = 1/kbT , onde kb é a constante de Boltzmann, que

vale 1, 3806503.10−23 m2Kg/s2K;• h é a constante de Planck, que vale 6, 626068.10−34

m2kg/s.Portanto, em vista disso podemos verificar que a lei de

Stefan-Boltzmann e a lei do deslocamento de Wien sãoconseqüências imediatas da lei de Planck para a radiação decorpo negro e da aproximação de Wien.

Freqüentemente deseja-se conhecer a energia irradiante deuma superfície em um certo intervalo de comprimento de onda.O poder emissivo de um corpo negro a uma certa temperaturaT no intervalo 0− λ1 pode ser determinado por,

E0−λ1,n =∫ λ1

0

C1

λ5eC2/λT − 1dλ (11)

Figura 8. Distribuição espectral da radiação de um corpo negro.

Uma expressão mais conveniente é obtida escrevendo aradiação emitida em um intervalo de comprimento de ondacomo a fração do poder emissivo total de uma superfície deum corpo irradiante ideal a mesma temperatura. A fração daradiação no intervalo de comprimento de onda de 0 − λ1 éobtida pela divisão da Eq. 11 pela Eq. 9, dada por,

F[0−λ1] =E0−λ1,n

En=∫ λ1T

0

C1

σλ5T 5eC2/λT − 1d(λT ) (12)

Os valores de F[0−λ1] como função de λT , são mostradosna Tab. I, que pode ser encontrada como anexo a este artigo.

A fração da radiação emitida pelas superfícies de um corpoirradiante ideal no intervalo de comprimento de onda λ1−λ2

pode ser obtida por meio da Tab. I e por,

F[λ1−λ2] = F[0−λ2] − F[0−λ1] (13)

VI. RADIAÇÃO TÉRMICA: TRATAMENTO QUÂNTICO

Como dito anteriormente, sabe-se que a forma pela qual aradiação se propaga é por meio de fótons, também conhecidoscomo quanta. A partir de agora serão mostrados os aspectoscorpusculares da radiação, e como tais aspectos levaram àteoria quântica, com os resultados obtidos por De Broglie.

A. Fótons: Propriedades Corpusculares da Radiação

Basicamente, três processos (o efeito fotoelétrico, o efeitoCompton e a produção de pares) envolvem o espalhamentoou absorção de radiação pela matéria. Dois processos (o debremsstrahlung, que denota a radiação emitida por uma cargaelétrica em desaceleração, e a aniquilação de pares) envolvema produção da radiação. Em cada caso, iremos obter evidênciasexperiamentais de que a radiação se comporta como umapartícula em sua interação com a matéria, diferentemente docomportamento ondulatório que apresenta quando se propaga.

1) O Efeito Fotoelétrico: Foi em 1886 e 1887 que HeinrichHertz realizou as experiências que pela primeira vez con-firmaram a existência de ondas eletromagnéticas e a teoriade Maxwell sobre a propagação da luz. É um desses fatosparadoxais e fascinantes na história da ciência que Hertz tenhanotado, no decorrer de suas experiências, o efeito que Einsteinmais tarde usou para contradizer outros aspectos da teoriaeletromagnética clássica. Hertz descobriu que uma descargaelétrica entre dois eletrodos ocorre mais facilmente quando sefaz incidir sobre um deles luz ultravioletra. Lenard, seguindoalguns experimentos de Hallwachs, mostrou, logo em seguida,que a luz ultravioletra facilita a descarga ao fazer com queelétrons sejam emitidos da superfície do catodo. A emissão deelétrons de uma superfície, devida a incidência de luz sobreessa superfície, é chamada de efeito fotoelétrico.

A Fig. 9 mostra um aparelho usado para estudar o efeitofotoelétrico. Um invólucro de vidro encerra o aparelho em umambiente no qual se faz vácuo. Luz monocromática, incidenteatravés de uma janela de quartzo, cai sobre a placa de metal Ae libera elétrons, chamados fotoelétrons. Os elétrons podem serdetectados sob a forma de uma corrente se forem atraídos parao coletor metálico B através de uma diferença de potencial Vestabelecida entre A e B. O amperímetro G mede essa correntefotoelétrica.

A curva a na Fig. 10 é um gráfico da corrente fotoelétrica,em um aparelho como o da Fig. 9, em função da diferençade potencial V . Se V é muito grande, a corrente fotoelétricaatinge um certo valor limite (ou de saturação) no qual todosos fotoelétrons emitidos por A são coletados por B.

Se o sinal de V é invertido, a corrente fotoelétrica nãocai imediatamente a zero, o que sugere que os elétrons sãoemitidos de A com alguma energia cinética. Alguns alcançarão

Figura 9. Aparelho usado para estudar o efeito fotoelétrico. A magnitude datensão V pode ser variada continuamente, e seu sinal pode ser trocado pelachave inversora.

Figura 10. Gráficos da corrente i em função da tensão V , de dados obtidoscom o aparelho da Fig. 9. A diferença de potencial aplicada V é dita positivaquando o coletor B na Fig. 9 está a um potencial maior que a superfíciefotoelétrica A. Na curva b a intensidade da luz incidente foi reduzida à metadedaquela da curva a. O potencial limite V0 é independente da intensidade daluz, mas as correntes de saturação Ia e Ib são diretamente proporcionais aela.

o coletor B apesar do campo elétrico opor-se ao seu movi-mento. Entretanto, se essa diferença de potencial torna-sesuficientemente grande. um valor V0, chamado potencial limiteou de corte é atingido, e a corrente fotoelétrica cai a zero. Essadiferença de potencial V0, multiplicada pela carga do elétron,mede a energia cinética Kmax do mais rápido fotoelétronemitido, dada por,

Kmax = eV0 (14)

Experimentalmente nota-se que a quantidade Kmax é inde-pendente da intensidade da luz incidente, como é mostrado nacurva b da Fig. 10, na qual a intensidade da luz foi reduzidaà metade do valor usado para obter a curva a.

A Fig. 11 mostra o potencial V0 para o sódio em função da

freqüência da luz incidente. Devemos notar que há um limiarde freqüência ou freqüência de corte v0 (também chamado li-miar fotoelétrico), abaixo do qual o efeito fotoelétrico deixa deocorrer. Devido ao fato do efeito fotoelétrico ser basicamenteum fenômeno de superfície para a luz na região visível, énecessário nas experiências evitar-se filmes de óxidos, gordurase outros contaminantes de superfícies.

Figura 11. Um gráfico das medidas realizadas por Millikan do potenciallimite no sódio em várias freqüências. O limiar de freqüências v0 é 4, 39.1014

Hz.

Há três aspectos principais do efeito fotoelétrico que nãopodem ser explicados em termos da teoria ondulatória clássicada luz:• A teoria ondulatória requer que a amplitude do campo

elétrico oscilante E da onda luminosa cresça se a in-tensidade da luz for aumentada. Já que a força aplicadaao elétron é e.E, isto sugere que a enegia cinética dosfotoelétrons deveria também crescer ao se aumentar aintensidade do feixe luminoso. Entretanto, a Fig. 10mostra que Kmax, que é igual a e.V0, independe daintensidade da luz. Isto foi testado para variações deintensidade da ordem de 107.

• De acordo com a teoria ondulatória, o efeitro fotoelétricodeveria ocorrer para qualquer freqüência da luz, desdeque esta fosse intensa o bastante para dar a energianecessária à ejeção dos elétrons. Entretanto, a Fig. 11mostra que existe, para cada superfície, um limiar defreqüências v0 característico. Para freqüências menoresque v0 o efeito fotoelétrico não ocorre, qualquer que sejaa intensidade da iluminação.

• Se a energia adquirida por um fotoelétron é absorvidada onda incidente sobre a placa metálica, a “área dealvo efetiva” para um elétron no metal é limitada, eprovavelmente não é muito maior que a de um círculode raio aproximadamente igual ao raio atômico. Nateoria clássica, a energia luminosa está uniformementedistribuída sobre a frente da onda. Portanto, se a luzé suficientemente fraca, deveria haver um intervalo detempo mensurável, que é de aproximadamente 2 minutos,entre o instante em que a luz começa a incidir sobre asuperfície e o instante da ejeção do fotoelétron. Duranteesse intervalo, o elétron deveria estar absorvendo ener-

gia do feixe, até que tivesse acumulado bastante paraescapar. No entanto, nenhum retardamento detectávelfoi jamais medido. Essa dissonância é particularmentemarcante quando a substância fotoelétrica for um gás;nestas circunstâncias, mecanismos de absorção coletivapodem ser ignorados e a energia do fotoelétron emitidofoi certamente extraídado de um feixe luminoso por umúnico átomo ou molécula.

B. O Efeito Compton

O chamado efeito Compton é a experiência que forneceua evidência mais direta da natureza corpuscular da radiação.Compon descobriu que a radiação de um dado comprimentode onda (na região de raios-X), enviada através de uma folhade metal, era espalhada de modo inconsistente com a teoriaclássica da radiação. De acordo com a teoria clássica, omecanismo do efeito é a re-radiação da luz por elétrons postosem oscilações forçadas pela radiação incidente e isso levaà previsão da intensidade observada em um ângulo θ, quevaria com (1 + cos2θ), e não depende do comprimento deonda da radiação incidente. Compton descobriu que a radiaçãoespalhada através de um certo ângulo consiste, na realidade,de duas componentes: uma cujo comprimento de onda éigual ao da radiação incidente, e outra, com comprimento deonda deslocado em relação ao comprimento de onda incidentede uma quantidade que depende do ângulo, como mostradona Fig. 12. Compton foi capaz de explicar a componente“modificada”, tratando a radiação incidente como um feixe defótons de energia hv, cada fóton espalhado elasticamente porum único elétron. Em uma colisão elástica, tanto o momentocomo a energia devem-se conservar e, primeiramente, devemosatribuir um momento ao fóton. Por analogia com a cinemáticarelativística de partículas, pode-se argumentar a Eq. 15.

O experimento de Compton consiste, basicamente, em fazercom que um feixe de raios-X de comprimento de onda λ incidasobre um alvo de grafite, como mostrado na Fig. 16 e dadapor,

p =hv

c. (15)

O argumento é que, da relação relativística entre energia emomento

E = [(m0c2)2 + (pc)2]1/2, (16)

em que m0 é a massa de repouso da partícula, decorre que avelocidade correspondente a esse momento é dada por:

v =dE

dp=pc2

E=

pc2

(m20c

4 + p2c2)1/2, (17)

Para um fóton, isto é sempre igual a c e, portanto, a massade repouso do fóton tem que ser nula. Logo, a Eq. 17 podeser escrita como,

Figura 12. O esquema da experiência de Compton. Raios-X monocromáticosde comprimento de onda λ incidem sobre um alvo de grafite. A distribuiçãoda intensidade em função do comprimento de onda é medida para os raios-Xespalhados em qualquer ângulo theta. Os comprimentos de onda espalhadossão medidos observando-se a reflexão de Bragg em um cristal. Suas intensi-dades são medidas por um detector, como uma câmera de ionização.

Figura 13. O espectro da radiação espalhada por carbono, mostrando a linhainalterada em 0,7078 Åà esquerda, e a linha deslocada em 0,7314 Åà direita.A primeira é o comprimento de onda da radiação primária.

E = pc, (18)

a qual fornece a Eq. 15, quando substituimos E = 1/hv.Pode-se também derivar a Eq. 16, considerando-se a energiae o momento de uma onda eletromagnética, mas o argumentode analogia é mais simples.

Vamos considerar, agora, um fóton de momento inicial p,incidindo sobre um elétron em repouso. Após a colisão, omomento do fóton é p

′e o elétron recua com momento

P , como mostra a Fig. 14. A conservação de momento nosfornece

p = p′+ P (19)

Figura 14. Cinemática do efeito Compton.

da qual decorre

P 2 = (p− p′)2 = p2 − 2pp

′+ (p

′)2 (20)

A conservação da energia nos fornece a Eq. 21.

hv +mc2 = hv′+ (m2c4 + P 2c2)1/2 (21)

em que m é a massa de repouso do elétron. Portanto, temos

m2c4 + P 2c2 = (hv − hv′+mc2)2 =

(hv − hv′)2 + 2mc2(hv − hv

′) +m2c4 (22)

Por outro lado, a Eq. 20 pode ser reescrita sob a forma

P 2 =(hv

c

)2

+

(hv

′

c

)2

− 2hv

c

hv′

ccosθ (23)

ou seja:

P 2c2 = (hv − hv′)2 + 2(hv)(hv

′)(1− cosθ) (24)

em que θ é o ângulo de espalhamento do fóton. Assim, temosa Eq. 25.

hvv′(1− cosθ) = mc2(v − v

′) (25)

ou, equivalentemente, a Eq. 26.

λ′− λ =

h

mc(1− cosθ) (26)

As medidas da componente modificada concordam muitobem com a previsão acima. A linha inalterada é presumivel-mente devida ao espalhamento pelo átomo como um todo;se substituirmos m pela massa do átomo, o deslocamento docomprimento de onda será muito pequeno, já que a massa do

Figura 15. Os resultados experimentais de Compton. A linha sólida verticalà esquerda corresponde ao comprimento de onda λ, e a que está à direita aocomprimento de onda λ

′. Os resultados são mostrados para quatro ângulos de

espalhamento θ diferentes. Devemos observar que o deslocamento Compton∆ = λ

′ −λ para θ = 90◦, está de acordo com a previsão teórica h/m0c =0, 0243 Å.

átomo é vários milhares de vezes maior do que a massa de umelétron. A quantidade h/mc tem dimensão de comprimento,sendo chamada de comprimento de onda de Compton doelétron, e seu valor é

h

mc∼= 2, 4.10−10cm (27)

A Fig. 15 mostra os resultados da experiência na qual semediu a intensidade dos raios-X espalhados como função deseu comprimento de onda, para vários ângulos de espalha-mento.

Também foram efetuadas medidas de recuo do elétron eestas estão de acordo com a teoria. Além disso, por meiode experiências de coincidência com boa resolução temporal,determinou-se que o fóton emergente e o elétron em recuo

aparecem simultaneamente. Está fora de dúvida a justeza dainterpretação da colisão como sendo do tipo “bola de bilhar”,ou seja, do comportamento corpuscular do fóton.

C. A Natureza Dual da Radiação Eletromagnética

Em seu artigo “Uma Teoria Quântica para o Espalhamentode Raios-X por Elementos Leves”, Compton escreveu: “Apresente teoria depende essencialmente da suposição de quecada elétron que participa do processo espalha um quantumcompleto (fóton). Isto envolve também a hipótese de que osquanta de radiação vêm de direções definidas e são espalhadosem direções definidas. O apoio experimental da teoria indicade forma bastante convincente que um quantum de radiaçãocarrega consigo tanto momento quanto energia”.

A necessidade da hipótese do fóton, ou partícula locali-zada, para interpretar processos que envolvem a interaçãoda radiação com a matéria é clara, mas ao mesmo tempo énecessária uma teoria ondulatória da radiação para explicaros fenômenos de interferência e difração. A idéia de quea radiação não é um fenômeno puramente ondulatório nemmeramente um feixe de partículas deve, portanto, ser levada asério. O que quer que seja a radiação, ela se comporta comouma onda em certas circunstâncias e como uma partícula emoutras. Sem dúvida, essa situação é colocada em evidência notrabalho experimental de Compton, onde (a) um espectrômetrode cristal é usado para medir o comprimento de onda dos raios-X, sendo as medidas analisadas por meio da teoria ondulatóriada difração e (b) o espalhamento afeta o comprimento de ondade uma forma que só pode ser compreendida tratando-se osraios-X como partículas. É nas próprias expressões E = hve p = h/λ que as características ondulatórias (v e λ) secombinam com as características de partículas (E e p).

D. Fótons e a Produção de Raios-X

Os raios-X, assim chamados por seu descobridor Roentgenporque sua natureza era então desconhecida, são radiaçõeseletromagnéticas com comprimento de onda menor que apro-ximadamente 1,0 Å. Eles apresentam propriedades típicas deondas como polarização, interferência e difração, da mesmaforma que a luz e todas as outras radiações eletromagnéticas.Os raios-X são produzidos no alvo de um tubo de raios-X,mostrado na Fig. 16, quando um feixe de elétrons de altaenergia, acelerados por uma diferença de potencial de algunsmilhares de volts, é freado ao atingir o alvo. Segundo a físicaclássica, a desaceleração dos elétrons, freados pelo materialdo alvo, causa a emissão de um espectro contínuo de radiaçãoeletromagnética.

A Fig. 17 mostra, para quatro valores diferentes da energiados elétrons incidentes, como a energia dos raios-X emiti-dos por um alvo de tungstênio se distribui em função docomprimento de onda. (Além do espectro contínuo de raios-X, também são emitidas linhas de raios-X características domaterial do alvo.) A característica mais notável dessas curvasé que, para uma dada energia dos elétrons, há um mínimo bemdefinido λmin para os comprimentos de onda; por exemplo,para elétrons de 40 keV, λmin é 0,311 Å. Embora a forma

Figura 16. Um tubo de raios-X. Elétrons são emitidos termicamente docatodo aquecido C e acelerados em direção ao anodo (alvo) A pela diferençade potencial V . Raios-X são emitidos do alvo quando elétrons são freados aoatingi-lo.

do espectro contínuo de raios-X dependa do potencial V eum pouco do material do alvo, o valor de λmin dependeapenas de V sendo o mesmo para todos os materiais. Ateoria eletromagnética clássica não pode explicar esse fato, nãohavendo nehuma razão pela qual ondas com comprimento deonda menor que um certo valor crítico não devam ser emitidaspelo alvo.

Figura 17. O espectro contínuo de raios-X que é emitido de um alvode tungstênio, para quatro diferentes valores de eV , a energia dos elétronsincidentes.

Uma explicação surge imediatamente, entretanto, se enca-rarmos os raios-X como fótons. A Fig. 18 mostra o processoelementar que, segundo esse ponto de vista, é responsável peloespectro contínuo da Fig. 17. Um elétron de enegia cinéticainicial K é desacelerado pela interação com um núcleo pesadodo alvo, e a energia que ele perde aparece na forma deradiação como um fóton de raios-X. O elétron interage como núcleo carregado por meio do campo coulombiano, trans-ferindo momento para o núcleo. A desaceleração resultante

causa a emissão do fóton. A massa do núcleo é tão grandeque a energia que ele adquire durante a colisão pode sercompletamente desprezada. Se K

′é a energia cinética do

elétron após a colisão, então a energia do fóton é dada pelaEq. 28,

hv = K −K′, (28)

e o comprimento de onda do fóton é dado pela Eq. 29.

hc

λ= K −K

′(29)

Figura 18. O processo de bremsstrahlung responsável pela produção doespectro contínuo de raios-X.

Os elétrons no feixe incidente podem perder diferentesquantidades de energia nessas colisões, e em geral um elétronchegará ao repouso apenas depois de várias colisões. Osraios-X assim produzidos pelos elétrons constituem o espectrocontínuo da Fig. 17, e há fótons com comprimentos de ondaque vão desde λmin até λ→∞, correspondentes às diferentesperdas em cada colisão. O fóton de menor comprimento deonda seria emitido quando um elétron perdesse toda toda asua energia cinética em um processo de colisão; neste caso,K

′= 0, de forma que K = hc/λmin. Como K é igual a eV , a

energia adquirida pelo elétron ao ser acelerado pela diferençade potencial V aplicada ao tudo de raios-X, temos a Eq. 30,

eV =hc

λmin, (30)

ou, a Eq. 31, equivalente.

λmin =hc

eV. (31)

Portanto o limite mínimo dos comprimentos de onda re-presenta a conversão completa da energia dos elétrons emradiação X. A Eq. 30 mostra claramente que se h→ 0, entãoλmin → 0, que é a previsão da teoria clássica. Isto mostraque a própria existência de um comprimento de onda mínimoé um fenômeno quântico.

A radiação X contínua da Fig. 17 é freqüentemente chamadabremsstrahlung, do alemão brems (=frenagem, isto é, desace-leração) + strahlung (=radiação). O processo de bremsstrah-lung ocorre não apenas em tubos de raios-X, mas sempre

que elétrons rápidos colidem com a matéria, como os raioscósmicos, nos anéis de radiação de Van Allen que envolvem aTerra, ou na frenagem de elétrons emergentes de aceleradoresou núcleos radioativos. O processo de bremsstrahlung pode serconsiderado como um efeito fotoelétrico às avessas: no efeitofotoelétrico, um fóton é absorvido, sua energia e momentoindo para um elétron e um núcleo; no processo de bremss-trahlung, um fóton é criado, sua energia e momento vindode uma colisão entre um elétron e um núcleo. Lida-se com acriação de fótons no processo de bremsstrahlung, em vez sesua absorção ou espalhamento pela matéria.

E. Produção e Aniquilação de Pares

Além dos efeitos fotoelétrico e Compton há um outroprocesso no qual fótons perdem energia na interação com amatéria, que é o processo de produção de pares. A produçãode pares é também um ótimo exemplo da conversão deenergia radiante em massa de repouso e energia cinética. Nesteprocesso, ilustrado esquematicamente na Fig. 19, um fótonde alta energia perde toda a sua energia hv em uma colisãocom um núcleo, criando um par de elétron-pósitron, com umacerta energia cinética. Um pósitron é uma partícula que temtodas as propriedades de um elétron, exceto o sinal de suacarga (e o de seu momento magnético) que é oposto ao doelétron; o pósitron é um elétron positivamente carregado. Naprodução de pares a energia de recuo absorvida pelo núcleo édesprezível por causa de sua grande massa, e assim a equaçãoda conservação da energia total relativística no processo ésimplesmente dada por,

hv = E− + E+ = (m0c2 +K−) + (m0c

2 +K+) =

K− +K+ + 2m0c2. (32)

Nesta expressão, E− e E+ são energias relativísticas totais,e K− e K+ são as energias cinéticas do elétron e do pósitron,respectivamente. As duas partículas têm a mesma energia derepouso, m0c

2. O pósitron é produzido com uma energiacinética um pouco maior que a do elétron porque a interaçãocoulombiana do par com o núcleo positivamente carregadocausa uma aceleração no pósitron e uma desaceleração noelétron.

Figura 19. O processo de produção de pares.

Ao se analisar este processo, ignora-se os detalhes dainteração, considerando apenas a situação antes e depois da in-teração. Os princípios que me orientaram foram a conservaçãoda energia total relativística, a conservação do momento e aconservação da carga. Destas leis da conservação, não é difícilmostrar que um fóton não pode simplesmente desaparecer noespaço vazio, criando um par. A presença do núcleo pesado(que pode absorver momento sem alterar apreciavelmente obalanço de energia) é necessária para permitir que tanto aenergia quanto o momento sejam conservados no processo.A carga é automaticamente conservada, pois o fóton não temcarga e o par criado tem carga total nula. Da Eq. 32, vemosque a energia mínima necessária para que um fóton crie umpar é 2m0c

2, ou 1,02 MeV, que equivale a um comprimentode onda de 0,012 Å. Se o comprimento de onda for menor queisto, correspondendo a uma energia maior que o limite, o fótonproduz o par com uma certa energia cinética, além da energiade repouso. O fenômeno de produção de pares é um fenômenode altas energias, devendo os fótons estar na região dos raios-Xde grande energia ou na região dos raios-γ. Resultados obtidosexperimentalmente demonstraram que a absorção de fótons eminteração com a matéria ocorre principalmente pelo processofotoelétrico a baixas energias, pelo efeito Compton a energiasintermediárias e pela produção de pares a altas energias.

Pares elétron-pósitron são produzidos na natureza por fó-tons de raios cósmicos e em laboratórios por fótons debremsstrahlung obtidos em aceleradores de partículas. Outrospares de partículas, tais como próton e antipróton, podem serproduzidos se o fóton tiver energia suficiente. Pelo fato doelétron e do pósitron terem a menor massa de repouso daspartículas conhecidas, a energia mínima para sua produçãoé a menor. A experiência confirma a teoria quântica para oprocesso de formação de pares. Não há qualquer explicaçãosatisfatória para esse fenômeno na física clássica.

VII. O POSTULADO DE DE BROGLIE: PROPRIEDADESONDULATÓRIAS DAS PARTÍCULAS

A. Ondas de Matéria

Maurice De Broglie foi um físico experimental francês que,desde o princípio, apoiou o ponto de vista de Compton emrelação à natureza corpuscular da radiação.

A hipótese de De Broglie era de que o comportamentodual, isto é, onda-partícula, da radiação também se aplicava àmatéria. Assim como um fóton tem associada a ele uma ondaluminosa que governa seu movimento, também uma partículamaterial (por exemplo, um elétron) tem associada a ela umaonda de matéria que governa seu movimento. Como o universoé inteiramente composto por matéria e radiação, a sugestãode De Broglie é essencialmente uma afirmação a respeitode uma grande simetria na natureza. De fato, ele propôsque os aspectos ondulatórios da matéria fossem relacionadoscom seus aspectos corpusculares exatamente da mesma formaquantitativa com que esses aspectos são relacionados para aradiação. De acordo com De Broglie, tanto para a matériaquanto para a radiação a energia total E está relacionada àfreqüência v da onda associada ao seu movimento, dada por,

E = hv, (33)

e o momento p é relacionado com o comprimento de onda λda onda associada, por,

p =h

λ, (34)

Aqui conceitos relativos a partículas, energia E e momentop, estão ligados por meio da constante de Planck h aosconceitos relativos a ondas, freqüência v e comprimento deonda λ. A Eq. 34, na forma a seguir, é chamada relação deDe Broglie,

λ =h

p. (35)

Ela prevê o comprimento de onda de De Broglie λ de umaonda de matéria associada ao movimento de uma partículamaterial que tem um momento p.

A natureza ondulatória da propagação da luz não é reveladapor experiências em ótica geométrica, porque as dimensõesimportantes dos equipamentos utilizados são muito grandes secomparadas ao comprimento de onda da luz. Se a representauma dimensão característica de um equipamento ótico (porexemplo, a abertura de uma lente, espelho ou fenda) e λ éo comprimento de onda da luz que atravessa o equipamento,estamos no limite da ótica geométrica quando λ/a→ 0. Deve-se observar que a ótica geométrica envolve a propagação deraios, o que é análogo à trajetoria das partículas clássicas.

No entanto, quando a dimensão característica a de umequipamento ótico torna-se comparável ou menor do que ocomprimento de onda λ da luz que o atravessa, entramosno domínio da ótica física. Nesse caso, quando λ/a ≥ 1,o ângulo de difração θ = λ/a é suficientemente grandepara que efeitos de difração sejam facilmente observados, ea natureza ondulatória da propagação da luz se evidencia.Para observar aspectos ondulatórios no movimento da matéria,portanto, precisa-se de sistemas com aberturas ou obstáculosde dimensões convenientemente pequenas. Os sistemas maisapropriados para este fim aos quais os experimentadorestinham acesso na época de De Broglie utilizavam o espaça-mento entre planos adjacentes de átomos em um sólido, ondea = 1Å. (Atualmente tem-se acesso a sistemas que envolvemdimensões nucleares de aproximadamente 10−4Å.)

Foi Elsasser quem mostrou, em 1926, que a naturezaondulatória da matéria poderia ser testada da mesma formaque a natureza ondulatória dos raios-X havia sido, ou seja,fazendo-se com que um feixe de elétrons de energia apropriadaincidisse sobre um sólido cristalino. Os átomos do cristalagem como um arranjo tridimensional de centros de difraçãopara a onda eletrônica, espalhando fortemente os elétrons emcertas direções características, exatamente como na difraçãode raios-X. Esta idéia foi confirmada por experiências feitas

por Davisson e Gerner nos Estados Unidos e por Thomson naEscócia.

A Fig. 20 mostra esquematicamente o equipamento deDavisson e Gerner. Elétrons emitidos por um filamento aque-cido são acelerados através de uma diferença de potencial Ve emergem do “canhão de elétrons” G com energia cinéticaeV . O feixe incide segundo a normal sobre um monocristalde níquel em C. O detector D é colocado num ânguloparticular θ e para vários valores do potencial acelerador Vsão feitas leituras da intensidade do feixe espalhado. A Fig.21, por exemplo, mostra que um feixe de elétrons fortementeespalhado é detectado em θ = 50◦ para V = 54 volts. Aexistência desse pico demonstra qualitativamente a validadedo postulado de De Broglie, porque ele só pode ser explicadocomo uma interferência construtiva de ondas espalhadaspelo arranjo periódico dos átomos nos planos do cristal.O fenômeno é exatamente análogo à conhecida “reflexão deBragg” que ocorre no espalhamento de raios-X pelos planosatômicos de um cristal. Não pode ser entendido com base nomovimento clássico de partículas, mas apenas com base nomovimento ondulatório. Partículas clássicas não podem exibirinterferência, mas podem exibir ondas. A interferência queocorre neste caso não é entre ondas associadas a elétronsdistintos. Trata-se de interferência entre partes diferentes daonda associada a um único elétron que foi espalhada porvárias regiões do cristal. Isto pode ser demonstrado usando-se um feixe de elétrons com uma intensidade tão baixa queos elétrons atravessam o aparelho um a um; verifica-se que afigura do espalhamento dos elétrons permanece a mesma.

Figura 20. O equipamento de Davisson e Germer. Elétrons do filamentoF são acelerados por uma dirença de potencial variável V . Depois doespalhamento pelo cristal C eles são coletados pelo detector D.

A Fig. 22 mostra a origem de uma reflexão de Bragg,obedecendo à relação de Bragg, deduzida a partir da figura,como mostra a Eq. 36,

nλ = 2dsenϕ. (36)

Figura 21. À esquerda: a corrente do coletor no detector D da Fig. 20 emfunção da energia cinética dos elétrons incidentes, mostrando um máximo dedifração. A Fig. 20 mostra uma série de medidas para as quais θ = 50◦. Seum valor apreciavelmente menor ou maior for usado, o máximo de difraçãodesaparece. À direita: a corrente como função do ângulo no detector para ovalor fixado da energia cinética dos elétrons de 54 eV.

Para as condições da Fig. 22, pode-se mostrar que oespaçamento interplanar efetivo d, obtido por espalhamento deraios-X sobre o mesmo cristal, é de 0,91 Å. Como θ = 50◦,segue-se que ϕ = 90◦ − 50◦/2 = 65◦. O comprimento deonda calculado a partir da Eq. 36, supondo n = 1, é:

λ = 2dsenϕ = 2.0, 91.sen65◦ = 1, 65,

que tem como unidade Å.O comprimento de onda de De Broglie para elétrons de 54

eV, calculado a partir da Eq. 35 é,

λ = h/p = 6, 6.10−34/4, 0.10−24 = 1, 65,

que também tem como unidade o Å.A largura do pico observado na Fig. 21 também é facilmente

explicável, uma vez que elétrons de baixa energia não podempenetrar profundamente no interior do cristal, de modo queapenas um pequeno número de planos atômicos contribuipara a onda difratada. Portanto, o máximo da difração não épronunciado. Todos os resultados experimentais concordavammuito bem, tanto qualitativa quanto quantitativamente, com asprevisões de De Broglie, e forneciam indícios convincentes deque as partículas materiais se movem de acordo com as leisdo movimento ondulatório.

Não apenas elétrons, mas todos os objetos materiais, car-regados ou não, apresentam características ondulatórias em seumovimento, quando estão sob as condições da ótica física.

B. A Dualidade Onda-Partícula

Na física clássica, a energia é transportada ou por ondasou por partículas. Os físicos clássicos observaram ondas deágua transportando energia sobre a superfície da água, oubalas transferindo energia do revólver para o alvo. A partirdessas experiências, eles construíram um modelo ondulatóriopara certos fenômenos macroscópicos e um modelo corpus-cular para outros, e de forma bem natural estenderam essesmodelos para regiões virtualmente menos acessíveis. Assim,

Figura 22. No alto: O feixe difratado em θ = 50◦ e V = 54 volts surgedo espalhamento ondulatório pela família de planos mostrados, separados poruma distância d = 0, 91Å. O ângulo de Bragg é ϕ = 65◦. Para simplificar, arefração da onda espalhada quando ela deixa o cristal não é indicada. Embaixo:Derivação da relação de Bragg, mostrando apenas dois planos atômicos e doisraios dos feixes incidente e espalhado. Se um número inteiro de comprimentosde onda nλ se ajusta exatamente na distância 2l entre as frentes de ondaincidente e espalhada medidas sobre o raio inferior, então a contribuição dosdois raios para a frente de onda espalhada estará em fase, e um máximo dedifração será obtido para o ângulo ϕ. Como l/d = cos(90◦ − ϕ) = senϕ,tem-se que 2l = 2dsenϕ, e, então, pode-se obter a relação de Bragg, nλ =2dsenϕ. O máximo de difração de “primeira ordem” (n=1) é normalmentemais intenso.

eles explicaram a propagação do som em termos de um modeloondulatório e pressões de gases em termos de um modelocorpuscular (teoria cinética). O fato de terem obtido sucessoos condicionou a esperar que todos os entes fossem partículasou ondas. Continuaram sendo bem sucedidos até o início doséculo XX com as aplicações da teoria ondulatória de Maxwellà radiação e a descoberta de partículas elementares de matéria,tais como o nêutron e o pósitron.

Os físicos clássicos estavam, portanto, bastante desprepara-dos para achar que para entender a radiação precisassemrecorrer a um modelo corpuscular em algumas situações, comono efeito Compton, e a um modelo ondulatório em outras,como na difração de raios-X. Talvez mais notável seja o fatode que essa mesma dualidade onda-partícula se aplica tanto àmatéria quanto à radiação. A razão entre a carga e a massa

do elétron e o rastro de ionização que ele deixa na matéria(uma seqüência de colisões localizadas) sugerem um modelocorpuscular, mas a difração de elétrons sugere um modeloondulatório. Os físicos sabem agora que são compelidos a usarambos os modelos para o mesmo ente. É muito importantenotar, no entanto, que em qualquer medida feita apenas seaplica um modelo - os dois modelos não são usados sob asmesmas circunstâncias. Quando o ente é detectado por algumtipo de interação, ele atua como uma partícula no sentido queé localizado; quando está se movendo, age como uma onda,no sentido que se observam fenômenos de interferência, e,obviamente, uma onda tem extensão, e não é localizada.

Niels Bohr resumiu a situação em seu princípio da com-plementaridade. Os modelos corpuscular e ondulatório sãocomplementares; se uma medida prova o caráter ondulatórioda radiação ou da matéria, então é impossível provar o carátercorpuscular na mesma medida, e vice-versa. A escolha deque modelo usar é determinada pela natureza da medida.Além disso, nossa compreensão da radiação ou da matériaestá incompleta a menos que levemos em consideração tantoas medidas que revelem os aspectos ondulatórios quanto asque revelem os aspectos corpusculares. Portanto, radiaçãoe matéria não são apenas ondas ou apenas partículas. Ummodelo mais geral e, para a mentalidade clássica, maiscomplicado, é necessário para descrever seu comportamento,embora em situações extremas possa ser aplicado um modeloondulatório simples, ou um modelo corpuscular simples.

A ligação entre os modelos corpuscular e ondulatório éfeita por meio de uma interpretação probabilística da duali-dade onda-partícula. No caso da radiação, foi Einstein quemunificou as teorias ondulatória e corpuscular; a seguir, MaxBorn aplicou um argumento semelhante para unificar as teoriasondulatória e corpuscular da matéria.

No modelo ondulatório, a intensidade da radiação, I , éproporcional a ε̄2, onde ε̄2 é o valor médio, sobre um período,do quadrado do campo elétrico da onda. (I é o valor médio dochamado vetor de Poynting, e foi utilizado o símbolo ε em vezde E para o campo elétrico para evitar confusões com a ener-gia total E.) No modelo do fóton, ou corpuscular, a intensidadeda radiação é escrita I = Nhv, onde N é o número médiode fótons por unidade de tempo que cruzam uma unidade deárea perpendicular à direção de propagação. Foi Einstein quemsugeriu que ε̄2, que na teoria eletromagnética é proporcional àenergia radiante contida em uma unidade de volume, poderiaser interpretado como uma medida do número de fótons porunidade de volume.

Devo lembrar que Einstein introduziu uma granulosidadepara a radiação, abandonando a interpretação contínua deMaxwell. Isto leva a uma interpretação estatística da inten-sidade. Nessa interpretação, uma fonte pontual de radiaçãoemite fótons ao acaso em todas as direções. O número médiode fótons que cruza uma unidade de área vai diminuir com oaumento da distância da fonte à área. Isto se deve ao fato deque os fótons se espalham sobre uma esfera de área tanto maiorquanto mais longe eles estiverem da fonte. Como a área deuma esfera é proporcional ao quadrado de seu raio, obtem-se,

em média, uma lei de inverso do quadrado para a intensidade,assim como no modelo ondulatório. No modelo ondulatório,imagina-se que ondas esféricas se espalham a partir da fonte,e que a intensidade cai de forma inversamente proporcionalao quadrado da distância à fonte. Aqui, essas ondas, cujaintensidade pode ser medida por ε̄2, podem ser vistas comoondas condutoras de fótons; as ondas em si mesmas não têmenergia - há apenas fótons - mas são uma grandeza cujaintensidade mede o número médio de fótons por unidade devolume.

De forma análoga à interpretação de Einstein da radiação,Max Born propôs uma unificação semelhante para a dualidadeonda-partícula da matéria. Ela surgiu muitos anos depois deSchröedinger ter desenvolvido sua generalização do postuladode De Broglie, a chamada mecância quântica.

Para que isso fosse feito, deve-se associar mais do queapenas comprimento de onda e freqüência às ondas de matéria.Isto é feito introduzindo uma função que representa a onda deDe Broglie, chamada função de onda Ψ. Para partículas quese movem na direção x com um valor preciso do momentoe da energia, por exemplo, a função de onda pode se escritacomo uma função senoidal simples de amplitude A,

Ψ(x, t) = Asen2π(xλ− vt

). (37)

Isto é o análogo de,

ε(x, t) = Asen2π(xλ− vt

), (38)

para o campo elétrico de uma onda eletromagnética senoidalde comprimento de onda λ, e freqüência v, se movendo nosentido positivo do eixo x. A grandeza Ψ̄2 vai, para as ondasde matéria, desempenhar um papel análogo ao desempenhadopor ε̄2 para as ondas de radiação. Essa grandeza, a média doquadrado da função de uma onda para ondas de matéria, éuma medida da probabilidade de se encontrar uma partículaem uma unidade de volume em um dado ponto e instante detempo. Assim como ε é uma função de espaço e do tempo,também o é Ψ; e, assim como ε satisfaz à equação de onda,também a satisfaz Ψ (à equação de Schröedinger). A grandezaε é uma onda (de radiação) associada a um fóton, e Ψ é umaonda (de matéria) associada a uma partícula material.

Segundo Born: “De acordo com essa interpretação, toda aevolução dos eventos é determinada pelas leis da probabili-dade; a um estado no espaço corresponde uma probabilidadedefinida, que é dada pela onda de De Broglie associadaao estado. Um processo mecânico é portanto acompanhadopor um processo ondulatório, a onda “condutora”, descritapela equação de Schröedinger, cujo significado é o de dar aprobabilidade de um curso definido do processo mecânico. Se,por exemplo, a amplitude da onda condutora for zero em umcerto ponto do espaço, isto significa que a probabilidade deencontrarmos o elétron nesse ponto é praticamente nula”.

Assim como na interpretação de Einstein da radiação, nãofoi especificada a localização exata de um fóton em um

dado instante, mas em vez disso foi especificado, por meiode ε̄2, a probabilidade de encontrar um fóton em uma certaregião num dado instante. Na interpretação de Born tambémnão foi especificada a localização exata de uma partícula emum certo instante, mas, em vez disso, foi especificada, pormeio de Ψ2, a probabilidade de encontrar uma partícula emum dado ponto em um certo instante. Assim como estamoshabituados a somar funções de onda (ε1 + ε2 = ε) para duasondas eletromagnéticas superpostas cuja intensidade resultanteé dada por ε2, também vamos somar funções de onda paraduas ondas de matéria superpostas (Ψ1 + Ψ2 = Ψ) cujaintensidade resultante é dada por Ψ2. Isto é, um princípioda superposição se aplica tanto à matéria quanto à radiação.Isto está de acordo com o fato experimental notável de que amatéria exibe propriedades de interferência e difração, um fatoque não pode ser entendido com base nas idéias da mecânicaclássica. Devido ao fato de que ondas podem se superpor tantoconstrutivamente (em fase) quanto destrutivamente (fora defase), duas ondas podem se combinar ou para darem uma ondaresultante de grande intensidade ou para se cancelarem, masduas partículas clássicas de matéria não podem se combinarde forma a se cancelarem.

VIII. A EQUAÇÃO DE ONDA DE SCHRÖEDINGER

Uma generalização não muito difícil de se entender daequação de onda de uma partícula livre ao caso de movimentode uma partícula de massa m no campo de força representadopor uma função de energia potencial V (x, y, z, t), o qualdepende da posição r e possivelmente também do tempo t,é dada por,

ih∂Ψ(r, t)∂t

= − h2

2m∇2Ψr, t+ V (x, y, z, t)Ψ(r, t), (39)

Schröedinger conseguiu a Eq. 39 propondo que Ψ = eiS/h,o que implica em,

∂S

∂t+

[∇S]2

2m− ih

2m∇2S + V (x, y, z, t) = 0 (40)

A Eq. 40 parece a Equação de Hamilton-Jacobi da mecânicana presença de forças, completada por um termo de mecânicaquântica proporcional a h. A existência do fator i nessaequação é de crucial importância e geralmente requer que afunção S seja complexa.

Irei adotar a Eq. 39 como sendo a equação fundamental damecânica quântica não relativística para partículas sem spine chamá-la de equação de onda ou equação de Schröedingercom dependância temporal.

A equação de Schröedinger exprime que a energia totalde uma partícula, em termos de operadores atuando sobre afunção de onda, é a soma da energia cinética com a energiapotencial. Ela pode ser escrita como,

(Top + Vop)Ψ = EopΨ (41)

Definindo o operador da energia por,

Eop = ih∂

∂t, (42)

e

Top =1

2m~pop ~pop = − h2

2m∇∇ = − h2

2m∇2. (43)

Aplicando as Eqs. 42 e 43 na Eq. 41 obetem-se,

− h2

2m∇2Ψ(~r, t) + VopΨ(~r, t) = ih

∂Ψ(~r, t)∂t

, (44)

em que o operador Vop representa o potencial de interaçãoa que a partícula está sujeita numa dada situação física,variando, evidentemente, de um problema para outro. Se omovimento da partícula está restrito à coordenada x, a equaçãode Schröedinger se reduz à,

− h2

2m∂2Ψ∂x2

+ VΨ = ih∂Ψ∂t. (45)

IX. PROPRIEDADES BÁSICAS DA RADIAÇÃO

Neste tópico serão apresentadas as propriedades básicas daradiação, bem como o tratamento matemático para cada uma.

A. Corpo Negro

Um corpo negro é um corpo ideal cuja superfície é umabsorvedor ideal de radiação incidente independentementedo comprimento de onda ou da direção da radiação. Desdeque não existe nenhuma superfície com tal característica,o conceito de corpo negro é uma idealização. Entretanto,este conceito é útili porque é o padrão de comparação daspropriedades de radiação das superfícies reais.

Pode se mostrar que um corpo negro é também um emis-sor perfeito de radiação em todas as direções e em todosos comprimentos de onda. Para uma dada temperatura, ne-nhuma superfície pode emitir mais energia radiativa, total oumonocromática, do que um corpo negro. As características deradiação de um corpo negro serão identificadas pelo uso doíndice n.

A distribuição espectral da radiação de corpo negro éespecificada pela quantidade RT (v), denomida de radiânciaespectral, que é definida de forma que RT (v)dv seja igualà energia emitida por unidade de tempo em radiação defreqüência compreendida no intervalo v a v+ dv por unidadede área de uma superfície à temperatura absoluta T .

A melhor aproximação prática de um corpo negro idealcorresponde a um pequeno orifício em uma cavidade, tal comoo buraco da fechadura de uma porta de armário, apresentadona Fig. 23. A radiação incidente no orifício tem pouca chancede ser refletida para fora do orifício antes de ser absorvidapelas paredes da cavidade. Assim, a radiação emitida atravésdo orifício é característica da temperatura das paredes dacavidade.

Figura 23. Uma cavidade com um orifício apresenta comportamento próximoao de um corpo negro. A radiação que entra na cavidade tem pouca chacede sair antes de ser completamente absorvida. A radiação emitida através doorfício (não está representada na figura) é característica da temperatura dasparedes da cavidade.

A emissão de um corpo negro é difusa, portanto a inten-sidade espectral Iλ,cn da radiação que deixa a cavidade éindependente da direção. Além disso, uma vez que o camporadiante no interior da cavidade, que é o efeito cumulativo daemissão e da reflexão a partir da superfície da cavidade, devepossuir a mesma forma da radiação que emerge da abertura,tem-se também que existe um campo de radiação de corponegro no interior da cavidade. Conseqüentemente, qualquersuperfície pequena no interior da cavidade experimenta umairradiação Gλ = Eλ,cn(λ, T ). Essa superfície é irradiadade maneira intensa, independentemente da sua orientação.Radiação de corpo negro existe no interior da cavidadeindependente do fato da superfície da cavidade ser altamentereflexiva ou absorvedora.

1) A Distribuição de Planck: A intensidade espectral deum corpo negro é bem conhecida, tendo sido determinadaprimeiramente por Plank. Dada por,

Iλ,cn(λ, T ) =2hc20

λ5(ehc0/λkT )− 1, (46)

em que, h = 6, 626.10−34 J.s e k = 1, 381.10−23 J/Ksão as constantes de Planck e Boltzmann, respectivamente,c0 = 2, 998.108 m/s é a velocidade da luz no vácuo, e T éa temperatura absoluta do corpo negro (K). Como o corponegro é um emissor difuso, o seu poder emissivo espectral édado pela Eq. 7.

2) Lei do Deslocamento de Wien: Na Fig. 24 pode servisto que a distribuição espectral do corpo negro possui ummáximo e que o comprimento de onda correspondente a essemáximo λmax depende da temperatura. A natureza dessadependência pode ser obtida derivando-se a Eq. 7 em relaçãoa λ e igualando o resultado a zero. Ao fazer isso, obtem-se,

λmaxT = C3, (47)

em que, a terceira constante da radiação é C3 = 2898 µm.K.

A Eq. 47 é conhecida por lei do deslocamento de Wien,e o lugar geométrico dos pontos descritos por essa lei estárepresentado na forma de uma linha tracejada na Fig. 24. Deacordo com esse resultado, o poder emissivo espectral máximoé deslocado para o comprimentos de onda menores com oaumento da temperatura. Esse poder emissivo encontra-se nomeio da região do vísivel no espectro (λ ≈ 0, 5µm) para aradiação solar, uma vez que o Sol emite aproximadamentecomo um corpo negro a 5800 K. Para um corpo negro a1000 K, o pico da emissão ocorre em 2,90 µm, com parteda radiação emitida sendo visível como luz vermelha. Com oaumento da temperatura, os menores comprimentos de ondase tornam mais expressivos, até que finalmente tem-se umaemissão significativa ao longo de todo o espectro visível. Porexemplo, uma lâmpada com filamento de tungstênio, operandoa 2900 K (λmax = 1µm), emite luz branca, embora a maiorparte da sua emissão permaneça na região do infravermelho.

Figura 24. Poder emissivo espectral de corpos negros.

B. Irradiação

A taxa na qual a radiação atinge uma superfície é chamadade irradiação. As características direcionais da radiação sãoimportantes. A irradiação por unidade de área é identificadapor G, em watt por metro quadrado. O índice λ será utilizadopara denotar a taxa monocromática de energia de irradiaçãoque atinge a superfície. A radiação total incidente na superfícieé obtida pela integração em toda a faixa de comprimento deonda, de acordo com,

G =∫ ∞

0

Gλdλ. (48)

A radiação incidente pode ter sua origem na emissão e re-flexão que ocorrem em outras superfícies e terá distribuiçõeesespectral e direcional determinadas pela intensidade espectralIλ,i(λ, θ, φ). Essa grandeza é definida como a taxa na qualenergia radiante de comprimento de onda λ incide a partirda direção (θ, φ), por unidade de área da superfície receptoranormal a essa direção, por unidade de ângulo sólido no entornodessa direção e por unidade de intervalo de comprimento deonda dλ no entorno de λ.

A intensidade da radiação incidente pode ser relacionadacom a irradiação, que engloba a radiação incidente a partirde todas as direções. A radiação espectral Gλ(W/(m2.µm)é definida como a taxa na qual a radiação de comprimento deonda λ incide sobre uma superfície, por unidade de área dasuperfície e por unidade de intervalo de comprimento de ondadλ no entorno de λ. Conseqüentemente,

Gλ =∫ 2π

0

∫ π/2

0

Iλ,i(λ, θ, φ)cosθsenθdθdφ, (49)

em que sen(θ)dθdφ é o ângulo sólido unitário. O fator cos(θ)aparece porque Gλ é um fluxo baseado na área superficial real,enquanto Iλ,i é definido em termos da área projetada. Se airradiação total G(W/m2) representa a taxa na qual radiaçãoincide por unidade de área a partir de todas as direções e emtodos os comprimentos de onda, temos,

G =∫ ∞

0

Gλ(λ)dλ, (50)

ou,

G =∫ ∞

0

∫ 2π

0

∫ π/2

0

Iλ,i(λ, θ, φ)cosθsenθdθdφdλ. (51)

Se a radiação incidente for difusa, Iλ,i é independente de θe φ, e tem-se que

Gλ(λ) = πIλ,i(λ), (52)

e

G = πIi. (53)

C. Absortividade, Refletividade e Transmissividade

Quando radiação incide numa superfície real, parte dessaradiação é absorvida, parte é refletida e a parcela restanteé transmitida através do corpo, como mostrado na Fig. 25.A soma dessas quantidades deve ser igual à radiação totalincidente na superfície.

Figura 25. Radiação incidente em uma superfície.

1) Absortividade: Define-se absortividade como a fraçãoda radiação total incidente que é absorvida pela superfície.Para um corpo real, a absortividade, α, varia, em geral, como comprimento de onda, e por isso define-se a absortividademonocromática, αλ. A absortividade é expressa em termos daabsortividade monocromática por,

α =1G

∫ ∞0

αλGλdλ. (54)

A determinação da propriedade absortividade é complicadapelo fato de que, como a emissão, ela pode ser caracteri-zada tanto por uma dependência direcional como por umadependência espectral. A absortividade direcional espectral,αλ,θ(λ, θ, φ), de uma superfície é definida matematicamentepor,

αλ,θ(λ, θ, φ) =Iλ,i,abs(λ, θ, φ)Iλ,i(λ, θ, φ)

. (55)

Nessa expressão, despreza-se qualquer dependência da ab-sortividade em relação à temperatura superficial. Tal dependên-cia é pequena para a maioria das propriedades radiantesespectrais.

Está implícito no resultado anterior que as superfícies po-dem exibir uma absorção seletiva em relação ao comprimentode onda e à direção da radiação incidente. Para a maio-ria dos cálculos de engenharia, no entanto, trabalha-se compropriedades superficiais que representam médias direcionais.Conseqüentemente, define-se uma absortividade hemisféricaespectral αλ(λ) por,

αλ(λ) ≡ Gλ,abs(λ)Gλ(λ)

. (56)

Das Eqs. 49 e 55 tem-se,

αλ(λ) =

∫ 2π

0

∫ π/20

αλ,θ(λ, θ, φ)Iλ,i(λ, θ, φ)cosθsenθdθdφ∫ 2π

0

∫ π/20

Iλ,i(λ, θ, φ)cosθsenθdθdφ.

(57)

Dessa forma, αλ depende da distribuição direcional daradiação incidente, bem como do seu comprimento de onda eda natureza da superfície absorvedora. Deve-se notar que, se aradiação inicidente estiver distribuída de forma difusa e αλ,θfor independente de φ, a Eq. 57 se reduz à,

αλ(λ) = 2∫ π/2

0

αλ,θ(λ, θ)cosθsenθdθ. (58)

A absortividade hemisférica total, α, representa uma médiaintegrada em relação à direção e ao comprimento de onda. Elaé definida como a fração da irradiação que é aborvida por umasuperfície, dada por,

α ≡ GabsG

. (59)

Das Eqs. 50 e 56, tem-se,

α =

∫∞0αλ(λ)G(λ)dλ∫∞0Gλ(λ)dλ

. (60)

Conseqüentemente, α depende da distribuição espectral daradiação incidente, assim como da sua distribuição direcional eda natureza da superfície absorvedora. Deve-se notar, também,que embora α seja aproximadamente independente da tem-peratura superficial, o mesmo não pode ser dito a respeito daemissividade hesmisférica total, ε. Na Eq. 90 fica evidente queessa propriedade apresenta uma forte dependência em relaçãoà temperatura.

Como α depende da distribuição espectral da irradiação,seu valor para uma superfície exposta à radiação solar podediferir apreciavelmente do seu valor para a mesma superfíciequando exposta a uma radiação com maiores comprimentos deonda originada em uma fonte a uma temperatura mais baixa.Como a distribuição espectral da radiação solar é praticamenteproporcional à da emissão de uma corpo negro a 5800 K, tem-se pela Eq. 60 que a absortividade total para a radiação solarαs pode ser aproximada por,

α =

∫∞0αλ(α)Eλ,b(λ, 5800K)dλ∫∞0Eλ,b(λ, 5800K)dλ

. (61)

As integrais que aparecem nessa equação podem ser cal-culadas utilizando-se a função de radiação de corpo negro ,F(0→∞), da Tab. I, que pode ser encontrada no Apêndice.

2) Refletividade: A refletividade é definida como a fraçãoda radiação total incidente que é refletida pela superfície.Contudo, sua definição específica pode assumir diversas for-mas diferentes, uma vez que essa propriedade é inerentementebidirecional. Ou seja, além de depender da direção da radiaçãoincidente, ela também depende da direção da radiação re-fletida. Evitarei essa complicação trabalhando exclusivamentecom uma refletividade que representa uma média integradano hemisfério associado à radiação refletida e, portanto, nãofornecendo informação a respeito da distribuição direcionaldessa radiação. Como a absortividade, a refletividade, ρ, é

uma função do comprimento de onda de forma que ρλ éutilizado para representar a refletividade monocromática deuma superfície, dada por,

ρ =1G

∫ ∞0

ρλGλdλ. (62)

A refletividade direcional espectral, ρλ,θ(λ, θ, φ), de umasuperfície é definida como a fração da intensidade espectralincidente na direção θ e φ que é refletida pela superfície. Dessaforma, temos,

ρλ,θ(λ, θ, φ) ≡ Iλ,i,ref (λ, θ, φ)Iλ,i(λ, θ, φ)

. (63)

A refletividade hemisférica espectral φλ(λ) é, então,definida como a fração da irradiação espectral que é refletidapela superfície. Conseqüentemente,

ρλ(λ) ≡ Gλ,ref (λ)Gλ(λ)

, (64)

que pode ser escrita por,

ρλ(λ) =

∫ 2π

0

∫ π/20

ρλ,θ(λ, θ, φ)cosθsenθdθdφ∫ 2π

0

∫ π/20

Iλ,i(λ, θ, φ)cosθsenθdθdφ. (65)

A refletividade hemisférica total ρ é, então, definida como,

ρ ≡ GrelG

. (66)

e, neste caso, tem-se,

ρ =

∫∞0pλ(λ)Gλ(λ)dλ∫∞0Gλ(λ)dλ

. (67)

Há dois tipos de reflexão de ondas eletromagnéticas, que sãoa especular e a difusa, como mostrado na Fig. 26. Reflexãoespecular está presente quando o ângulo de incidência é igualao ângulo de reflexão. Radiação difusa está presente quandoa reflexão é uniformemente distribuída em todas as direções.Um corpo real não exibe nem reflexão especular nem reflexãodifusa pura. Uma superfície altamente polida vai produziruma reflexão especular enquanto que uma superfície áspera ourugosa tem uma característica difusa. A hipótese de reflexãodifusa é razoável para a maioria das aplicações de engenharia.

3) Transmissividade: A transmissividade é definida comosendo a fração da radiação total incidente que é transmitidaatravés de um corpo, e que nesse artigo vai ser representadapela letra grega τ . Também depende do comprimento de onda,assim como a absortividade e a refletividade. A transmissivi-dade monocromática é designada por τλ e a transmissividadetotal é dada por,

τ =1G

∫ ∞0

τλGλdλ. (68)

Figura 26. Reflexão especular e difusa.

Apesar de o tratamento da resposta de um material semi-transparente à radiação incidente ser um problema complicado,resultados razoáveis podem ser obtidos com freqüência pormeio do uso de transmissividades hemisféricas definidas por,

τλ =Gλ,tr(λ)Gλ(λ)

, (69)

e

τ =GtrG. (70)

A transmissividade total τ está relacionada com o compo-nente espectral τλ através da expressão,

τ =

∫∞0Gλ,tr(λ)dλ∫∞

0Gλ(λ)dλ

=

∫∞0τλ(λ)Gλ(λ)dλ∫∞0Gλ(λ)dλ

. (71)

Para a maioria das superfícies sólidas a transmissividadeé igual a zero, já que os corpos são normalmente opacos àradiação incidente. A soma da absortividade, refletividade etransmissividade vale 1,

α+ ρ+ τ = 1. (72)

Para corpos opacos,

τ = 0.

Portanto, temos

α+ ρ = 1. (73)

Na Fig. 27 estão representadas as distribuições espectraisda refletividade e da absortividade normais de superfícies

opacas selecionadas. Um material como o vidro ou a água,que é semitransparente em pequenos comprimentos de onda,torna-se opaco em maiores comprimentos de onda. Esse com-portamento é mostrado na Fig. 28, que representa a trans-missividade espectral de diversos materiais semitransparentescomuns. Deve-se notar que a transmissividade do vidro éafetada pelo seu teor de ferro e que a transmissividade deplásticos, tais como o Tedlar, é maior do que aquela do vidrona região IV. Esses fatores possuem um peso importante naseleção de materiais para placas de cobertura em aplicaçõesque envolvem coletores solares, no projeto e seleção de janelaspara conservação de energia e na especificação de materiaispara a fabricação de componentes óticos em sistemas deimagem infravermelhos.

Figura 27. Dependência espectral da absortividade αλ,n e da refletividadeρλ,n normais espectrais de materiais opacos selecionados.

Figura 28. Dependência espectral de transmissividades espectrais τλ demateriais semitransparentes selecionados.

D. Emissividade

A quantidade total de energia irradiada pela superfície deum corpo negro é dada pela Eq. 9 e a radiação monocromáticaemitida pela superfície é dada pela Eq. 7. Um corpo realemite menos radiação do que um corpo negro. A razão entrea energia real emitida por um corpo qualquer para a radiaçãoemitida por um corpo negro à mesma temperatura é chamadade emissividade, ε. A emissividade monocromática recebe osímbolo de ελ e a emissividade total é obtida pela integraçãodaquela grandeza sobre todo o espectro de comprimento deonda, dada por,

ε =1En

∫ ∞0

ελEλ,ndλ. (74)

A distribuição espectral da radiação, como já mencionado,está associada com a temperatura do corpo irradiante. Ascaracterísticas de radiação de uma superfície, absortividade etransmissibilidade, são fortemente dependentes da distribuiçãoespectral da radiação. Se a radiação incidente na superfície queestá a T1 se origina de uma outra superfície que também estáa mesma temperatura, então a distribuição espectral da energiaserá idêntica e a absortividade das superfícies será igual. Estasituação está ilustrada esquematicamente na Fig. 29.

Figura 29. Equivalência entre a emissividade e a absortividade.

1) Intensidade de Radiação e Sua Relação com a Emissão:Retornando à Fig. 2(c), agora está-se interessado na taxa naqual a emissão a partir de dA1 passa através de dAn. Essagrandeza pode ser expressa em termos da intensidade espectralIλ,e da radiação emitida. Define-se formalmente Iλ,e como aa taxa na qual energia radiante é emitida no comprimento deonda λ na direção (θ, φ), por unidade de área da superfícieemissora normal a essa direção, por unidade de ângulo sólidono entorno dessa direção e por unidade de intervalo decomprimento de onda dλ no entorno de λ. Devemos observarque a área utilizada para definir a intensidade é o componentede dA1 perpendicular à direção da radiação. Na Fig. 30,podemos ver que essa área projetada é igual a dA1cos(θ).De fato, esta é a forma como dA1 iria ser vista por umobservador situado sobre dAn. A intensidade espectral, quepossui unidades de W/(m2.sr.µm), é dada por,

Iλ,θ,φ ≡dq

dA1cosθdωdλ, (75)

em que (dq/dλ) ≡ dqλ é a taxa na qual radiação decomprimento de onda λ deixa dA1 e passa através de dAn.Rearranjando a Eq. 75, tem-se,

dqλ = Iλ,e(λ, θ, φ)dA1cosθdω, (76)

em que dqλ tem unidades W/µm. Essa importante expressãonos permite calcular a taxa na qual a radiação emitida poruma superfície se propaga para a região do espação definidapelo ângulo sólido dω no entorno da direção (θ, φ). Entretanto,para calcular essa taxa, a intensidade espectral Iλ,e da radiaçãoemitida deve ser conhecida. Expressando a Eq. 76 por unidadede área da superfície emissora e substituindo a Eq. 3, o fluxode radiação espectral associado à dA1 é dado por,

dq′′

λ = Iλ,e(λ, θ, φ)cosθsenθdθdφ. (77)

Figura 30. A projeção de dA1 normal à direção da radiação.

Se as distribuições espectral e direcional de Iλ,e foremconhecidas, ou seja, se Iλ,e(λ, θ, φ) é conhecida, o fluxotérmico associado à emissão em qualquer ângulo sólido finitoou ao longo de qualquer intervalo de comprimentos de ondafinito pode ser determinado pela integração da Eq. 77. Porexemplo, define-se o poder emissivo hemisférico espectralEλ(W/(m2.µm)) como a taxa na qual radiação de compri-mento de onda λ é emitida em todas as direções a partir deuma superfície por unidade de intervalo de comprimentos deonda dλ no entorno de λ e por unidade de área superficial.Assim, Eλ é o fluxo térmico espectral associado à emissãopara um hemisfério hipotético sobre dA1, dado por,

Eλ(λ) = q′′

λ(λ) =∫ 2π

0

∫ π/2

0

Iλ,e(λ, θ, φ)cosθsenθdθdφ.

(78)

Devemos notar que Eλ é um fluxo baseado na área superfi-cial real, enquanto Iλ,e é baseada na área projetada. O termo

Figura 31. Emissão a partir de um elemento de área diferencial dA1 paraum hemisfério hipotético centrado em um ponto sobre dA1.

cos(θ) que aparece no integrando é uma conseqüência dessadiferença.

O poder emissivo hemisférico total, E(W/m2), é a taxana qual a radiação é emitida por unidade de área em todosos comprimentos de onda possíveis e em todas as direçõespossíveis. Conseqüentemente, temos,

E =∫ ∞

0

Eλ(λ)dλ, (79)

ou,

E =∫ ∞

0

∫ 2π

0

∫ π/2

0

Iλ,e(λ, θ, φ)cosθsenθdθdφdλ. (80)

Como o termo “poder emissivo” implica em emissão emtodas as direções, o adjetivo “hemisférico” é redundante eé freqüentemente omitido. Fala-se, então, de poder emissivoespectral Eλ ou de poder emissivo total E.

Embora a distribuição direcional da emissão de uma su-perfície varie de acordo com a natureza da superfície, existeuma caso especial que fornece uma aproximação razoávelpara muitas superfícies. Fala-se de emissor difuso como umasuperfície para a qual a intensidade da radiação emitida éindependente da direção, ou seja, Iλ,e(λ, θ, φ) = Iλ,e(λ). Re-tirando Iλ,e do integrando da Eq. 78 e efetuando a integração,chega-se a,

Eλ(λ) = πIλ,e(λ). (81)

De maneira análoga, a partir da Eq. 80, temos,

E = πIe (82)

em que Ie é a intensidade total da radiação emitida. Deve-senotar que a constante que aparece nas expressões anteriores éπ e não 2π, e tem a unidade de esterorradiano.

2) Emissão de Superfícies Reais: Tendo desenvolvido anoção de um corpo negro para descrever o comportamento deuma superfície ideal, pode-se agora analisar o comportamentode superfícies reais. Deve-se lembrar de que o corpo negro éum emissor ideal no sentido de que nenhuma superfície podeemitir mais radiação do que um um corpo negro à mesmatemperatura. É, portanto, conveniente escolher um corpo negrocomo referência ao se descrever a emissão de uma superfíciereal.

É importante reconhecer que, em geral, a radiação espectralemitida por uma superfície real difere da distribuição dePlanck (Fig. 32(a)). Além disso, a distribuição direcional (Fig.32(b)) pode ser diferente da difusa. Dessa forma, a emissivi-dade pode assumir diferentes valores de acordo com o fato dese estar interessado na emissão em um dado comprimento deonda ou em uma dada direção, ou então em médias integradasao longo de comprimentos de onda e direções.

Figura 32. Comparação de emissões de um corpo negro e de uma superfíciereal. (a) Distribuição espectral. (b) Distribuição direcional.

Define-se a emissividade direcional espectralελ,θ(λ, θ, φ, T ) de uma superfície a uma temperatura Tcomo a razão entre a intensidade da radiação emitida nocomprimento de onda λ e na direção θ e φ, e a emissividadeda radição emitida por um corpo negro nos mesmos valoresde T e λ. Portanto, temos

ελ,θ(λ, θ, φ, T ) ≡ Iλ,e(λ, θ, φ, T )Iλ,cn(λ, T )

. (83)

Deve-se notar como os índices subscritos λ e θ designamo interesse em relação à emissividade em um comprimentode onda e em uma direção específicos. Ao contrário, ostermos que aparecem entre parênteses designam a dependênciafuncional em relação ao comprimento de onda, à direçãoe/ou à temperatura. A ausência de variáveis direcionais nosparênteses do denominador da Eq. 83 implica que a intensi-dade é independente da direção, o que é, naturalmente, umacaracterística da emissão de um corpo negro. De maneirasemelhante, uma emissividade direcional total εθ, que repre-senta uma média espectral de ελ,θ, pode ser definida como,

εθ(θ, φ, T ) ≡ Ie(θ, φ, T )Icn(T )

. (84)

Na maioria dos cálculos em engenharia, trabalha-se compropriedades superficiais que representam médias direcionais.Uma emissividade hemisférica espectral é dada por,

ελ(λ, T ) ≡ Eλ(λ, T )Eλ,cn(λ, T )

. (85)

Ela pode ser relacionada com a emissividade direcional ελ,θpela substituição da expressão para o poder emissivo espectral,Eq. 78, obtendo-se,

ελ(λ, T ) =

∫ 2π

0

∫ π/20

Iλ,e(λ, θ, φ, T )cosθsenθdθdφ∫ 2π

0

∫ π/20

Iλ,cn(λ, T )cosθsenθdθdφ. (86)

Ao contrário do que acontece na Eq. 78, agora a dependên-cia em relação à temperatura é reconhecida. Pela Eq. 83 ecomo Iλ,cn é independente de θ e φ, tem-se,

ελ(λ, T ) =

∫ 2π

0

∫ π/20

ελ,θ(λ, θ, φ, T )cosθsenθdθdφ∫ 2π

0

∫ π/20

cosθsenθdθdφ. (87)

Considerando ελ,θ independente de φ, o que é uma hipóteserazoável para a maioria das superfícies, e calculando o deno-minador, obtém-se,

ελ(λ, T ) = 2∫ π/2

0

ελ,θ(λ, θ, T )cosθsenθdθ. (88)

A emissividade hemisférica total, que representa uma médiaem todas as direções e comprimentos de onda possíveis, é dadapor,

ε(T ) ≡ E(T )Ecn(T )

. (89)

Substituindo as Eqs. (79) e (85), tem-se,

ε(T ) =

∫∞0ελ(λ, T )Eλ,b(λ, T )dλ

Eb(T ). (90)

Se as emissividades de uma superfície forem conhecidas,torna-se uma questão simples calcular as características dasua emissão. Por exemplo, se ελ(λ, T ) for conhecido, elepode ser usado para determinar o poder emissivo espectral dasuperfície em quaisquer comprimento de onda e temperatura.De maneira semelhante, se ε(T ) for conhecido, ele pode serusado para calcular o poder emissivo total da superfície emqualquer temperatura.

A emissividade direcional de um emissor difuso é umaconstante, independente da direção. Entretanto, embora essacondição seja freqüentemente uma aproximação razoável, to-das as superfícies exibem algum desvio do comportamentodifuso. Variações representativas do valor de εθ em função deθ são mostradas esquematicamente na Fig. 33 para materiaiscondutores e materiais não-condutores. Para condutores, εθ éaproximadamente constante na faixa de θ ≤ 40◦, acima daqual ela aumenta com o aumento de θ, mas finalmente decaipara zero. Ao contrário, para materiais não-condutores, εθ éaproximadamente constante para θ ≤ 70◦, além do que eladiminui rapidamente com o aumento de θ. Uma implicaçãodessas variações é que, embora existam direções preferenciaispara a emissão, a emissividade hemisférica ε não irá diferiracentuadamente do valor da emissividade normal à superfícieεn, que corresponde a θ = 0. Na realidade , a razão raramentese situa fora do intervalo 1, 0 ≤ (ε/εn) ≤ 1, 3 para materiaiscondutores e do intervalo 0, 95 ≤ (ε/εn) ≤ 1, 0 para materiaisnão-condutores. Dessa forma, com uma aproximação razoável,tem-se

ε ≈ εn. (91)

Figura 33. Distribuição direcional representativa da emissividade direcionaltotal.

Deve-se notar que, embora as considerações anteriorestenham sido feitas para a emissividade total, elas também seaplicam às componentes espectrais.

Como a distribuição espectral da emissão de superfíciesreais se afasta da distribuição de Planck (Fig. 32), não se

espera que a emissividade espectral ελ seja independentedo comprimento de onda. Algumas distribuições espectraisrepresentativas de ελ são mostradas na Fig. 34. A forma emque ελ varia com λ depende de se o sólido é um condutorou não-condutor, assim como da natureza do revestimento dasuperfície.

Figura 34. Dependência espectral da emissividade normal espectral ελ,n demateriais selecionados.

Valores representativos da emissividade normal total εn sãoapresentados nas Figs. 35 e 36. Várias generalizações podemser feitas.

Figura 35. Dependência com a temperatura da emissividade normal total εnde materiais selecionados.

• A emissividade de superfícies metálicas é geralmentepequena, atingindo valores da ordem de 0,02 para su-perfícies altamente polidas de ouro e de prata.

• A presença de camadas de óxidos pode aumentar signi-ficativamente a emissividade de superfícies metálicas.

• A emissividade de materiais não-condutores é compara-tivamente maior, sendo em geral superior a 0,6.

• A emissividade de condutores aumenta com o aumentoda temperatura; entretanto, dependendo do material, aemissividade de não-condutores pode tanto aumentarcomo diminuir com o aumento da temperatura. Deve-se notar que as variações de εn com T apresentadasna Fig. 35 são consistentes com as distribuições espec-trais de ελ,n mostradas na Fig. 34. Essas tendênciasseguem a Eq. 90. Embora a distribuição espectral deελ,n seja aproximadamente independente da temperatura,há proporcionalmente uma maior emissão em menores

Figura 36. Valores representativos da emissividade normal total εn.

comprimentos de onda com o aumento da temperatura.Dessa forma, se para um material em particular ελ,naumenta com a diminuição do comprimento de onda, εnirá aumentar com o aumento da temperatura para essematerial.

Deve ser reconhecido que a emissividade depende forte-mente da natureza da superfície, que pode ser influenciada pelométodo de fabricação, seu ciclo térmico e reações químicascom o ambiente.

E. Lei de Kirchhoff

Vamos considerar um grande recinto isotérmico com tem-peratura superficial Ts no interior do qual estão confinadosvários corpos pequenos, como mostrado na Fig. 37. Comoesses corpos são pequenos quando comparados ao recinto, asua influência é desprezível no campo de radiação, que é dev-ido ao efeito cumulativo da emissão e da reflexão na superfíciedo recinto. Deve-se lembrar que, independentemente de suaspropriedades radiantes, tal superfície forma uma cavidade quese comporta como um corpo negro. Em conseqüência, inde-pendentemente da sua orientação, a irradiação experimentadapor qualquer corpo no interior da cavidade é difusa e igual àemissão de um corpo negro a Ts. Portanto, temos,

G = Ecn(Ts). (92)

Sob condições de regime estacionário, deve existir equi-líbrio térmico entre os corpos e o recinto. Dessa forma,T1 = T2 = ... = Ts e a taxa líquida de transferência deenergia para cada superfície deve ser igual a zero. Aplicandoum balanço de energia em uma superfície de controle ao redordo corpo 1, tem-se,

α1GA1 − E1(Ts)A1 = 0,

ou, da Eq. 92,

Figura 37. Troca radiante em uma cavidade isotérmica.

E1Tsα1

= Ecn(Ts).

Como esse resultado deve ser aplicável a cada um doscorpos confinados, obtemos,

E1Tsα1

=E2Tsα2

= ... = EcnTs. (93)

Essa relação é conhecida como lei de Kirchhoff. Uma con-seqüência importante é que, como α ≤ 1, E(Ts) ≤ Ecn(Ts).Dessa forma, nenhuma superfície real pode ter um poderemissivo superior àquele de uma superfície negra à mesmatemperatura e o conceito do corpo negro como um emissorideal está confirmado.

A partir da definição da emissividade hemisférica total, Eq.89, uma forma alternativa da lei de Kirchhoff

ε1α1

=ε2α2

= ...1. (94)

Assim, para qualquer superfície no interior do recinto, tem-se,

ε = α, (95)

ou seja, a emissividade hemisférica total da superfície é igualà sua absortividade hemisférica total.

A dedução anterior pode ser repetida em condições espec-trais. Para qualquer superfície no interior do recinto, tem-se,como mostrado na Eq. 96, que

ελ = αλ. (96)

Condições associadas ao uso da Eq. 96 são menos restri-tivas do que aquelas associadas à Eq. 95. Uma forma dalei de Kirchhoff para a qual não há restrições envolve aspropriedades direcionais espectrais:

ελ,θ = αλ,θ. (97)

Essa igualdade é sempre aplicável, porque ελ,θ e αλ,θ sãopropriedades inerentes da superfície. Isto é, respectivamente,elas são independentes das distribuições espectral e direcionaldas radiações emitida e incidente.

F. Corpo Cinzento

Um corpo cuja emissividade e absortividade da sua super-fície são independentes do comprimento de onda e da direçãoé chamado de corpo cinzento, ou seja,

ε = ελ = cte,

e

α = αλ = cte.

Aceitando o fato de que a emissividade direcional espectrale absotividade direcional espectral são iguais sob quaisquercondições, começarei considerando as condições associadas aouso da Eq. 96. De acordo com as definições das propriedadeshemisféricas espectrais, está-se na realidade perguntando sobquais condições, se é que de fato existe alguma, a seguinteigualdade será válida,

ελ =

∫ 2π

0

∫ π/20

ελ,θcosθsenθdθdφ∫ 2π

0

∫ π/20

cosθsenθdθdφ

?= (98)

∫ 2π

0

∫ π/20

αλ,θIλ,icosθsenθdθdφ∫ 2π

o

∫ π/20

Iλ,icosθsenθdθdφ(99)

Como eλ,θ = αλ,θ, tem-se por inspeção que a Eq. 96 podeser aplicada se uma das seguintes condições for satisfeita:• A irradiação é difusa (Iλ,i é independente de θ e φ);• A superfície é difusa (ελ,θ e αλ,θ são independentes deθ e φ)

A primeira condição é uma aproximação razoável paramuitos cálculos em engenharia; a segunda condição é razoávelpara muitas superfícies, particularmente de materiais que nãoconduzem eletricidade.

Admitindo a existência de uma irradiação difusa ou deuma superfície difusa, agora vou considerar quais condiçõesadicionais devem ser satisfeitas para que a Eq. 95 seja válida.Das Eqs. 90 e 60, a igualdade se aplica caso,

ε =

∫∞0ελEλ,cn(λ, T )dλEcn(T )

?=

∫∞0αλGλ(λ)dλG

= α. (100)

Como ελ = αλ, tem-se que, por inspeção, a Eq. 95 podeser utilizada se uma das seguintes condições for satisfeita:• A irradiação corresponde à emissão de um corpo negro

com temperatura superficial T , em cujo caso Gλ(λ) =Eλ,cn(λ, T ) e G = Ecn(T );

• A superfície é cinza (αλ e ελ são independentes de λ)Devemos notar que a primeira condição corresponde à prin-

cipal hipótese necessária para a dedução da lei de Kirchhoff.Como a absortividade total de uma superfície depende

da distribuição espectral da irradiação, não se pode afirmarinequivocadamente que α = ε. Por exemplo, uma superfícieparticular pode ser altamente absorvedora da radiação emuma região espectral e virtualmente não-absorvedora em outraregião, como mostra a Fig. 38(a). Conseqüentemente, paraos dois possíveis campos de irradiação, Gλ,1(λ) e Gλ,2(λ)mostrados na Fig. 38(b), os valores de α irão diferir drastica-mente. Em contraste, o valor de ε é independente da irradiação.Assim, não há qualquer base para se estabelecer que α sejasempre igual a ε.

Para admitir comportamento de superfície cinza e portantoa validade da Eq. 95, não é necessário que αλ e ελ sejamindependentes de λ em todo o espectro. Falando pragmati-camente, uma superficie cinza pode ser definida como sendouma superfície para a qual αλ e ελ são independentes de λnas regiões espectrais da irradiação e da emissão superficial.Da Eq. 100, mostra-se facilmente que o comportamento de su-perfície cinza pode ser admitido para as condições da Fig. 39.Isto é, a irradiação e a emissão superficial estão concentradasem uma região na qual as propriedades espectrais da superfíciesão aproximadamente constantes. Conseqüentemente,

ε = ελ,o

∫ λ2

λ1Eλ,cn(λ, T )dλ

Ecn(T )= ελ,o,

e

α = αλ,o

∫ λ4

λ3Gλdλ

G,

cujo caso α = ε = ελ,o. Entretanto, se a irradiação seencontrasse em uma região espectral que correspondesse aλ < λ1 ou λ > λ4, o comportamento de superfície cinzanão poderia ser admitido.

Figura 38. Distribuição espectral. (a) da absortividade espectral de umasuperfície e (b) da irradiação espectral em uma superfície.

Uma superfície para a qual αλ,θ e ελ,θ são independentes deθ e λ é conhecida por superfície cinza difusa (difusa devido àindependência direcional e cinza devido à independência em

Figura 39. Um conjunto de condições nas quais o comportamento desuperfície cinza pode ser suposto.

relação ao comprimento de onda). Ela é uma superfície naqual as Eqs. 95 e 96 são satisfeitas. Admite-se tais condiçõessuperficiais em muitas considerações subseqüentes. Contudo,embora a hipótese de superfície cinza seja razoável paramuitas aplicações, alguma cautela deve ser tomada ao utilizá-la, particularmente se as regiões espectrais da irradiação e daemissão forem significativamente afastadas.

G. Corpo Real

As propriedades de radiação da superfície de um corporeal são diferentes daquelas dos corpos negro e cinzento.A emissividade monocromática das várias superfícies reais éapresentada nas Figs. 40 e 41. A radiação emitida por umcorpo real não é inteiramente difusa. Portanto, a emissividadedo corpo depende do ângulo de observação. A variaçãodirecional da emissividade para vários materiais é mostradanas Figs.42 e 43.

Tendo em vista que cálculos de engenharia são o interesseprincipal deste artigo, é importante que se reconheça quandoas características de radiação das superfícies de um corpo realpodem ser aproximadas pelas de um corpo cinzento. Parase decidir se tais aproximações são possíveis, a distribuiçãoespectral da radiação emitida pelo corpo e a radiação incidenteno corpo devem ser consideradas. Referindo-se às Figs.40e 41, se a maior parcela da radiação incidente que atingeo alumínio de superfície anodizada se localizar na faixa decomprimento de onda de 8 a 10 µm, então o comporta-mento desta superfície pode ser considerado como sendo ode um corpo negro com absortividade de 0,93. Nenhum errosignificativo seria introduzido, uma vez que a absortividadeé aproximadamente constante nessa faixa de comprimentode onda. Se, contudo, a radiação incidente na superfície forextendida para a faixa de 2 a 10 µm, então a aproximação docorpo cinzento pode ainda ser utilizada, mas com prejuízo

Figura 40. Dependência espectral da emissividade e absortividade. Condu-tores elétricos.

Figura 41. Dependência espectral da emissividade e absortividade. Metais.

Figura 42. Emissividade direcional total. Isolante elétrico.

Figura 43. Emissividade direcional total. Metais.

de exatidão. A absortividade média da superfície é obtidautilizando-se a Eq. 54.

A característica direcional da radiação das superfícies doscorpos reais está ilustrada nas Figs. 42 e 43, como jámencionado. Para considerar essa variação, emissividadesmonocromática direcional e total são utilizadas.

Os valores tabulados da emissividade para a superfície deum corpo real são geralmente aqueles normais à superfície docorpo, θ = 0◦. As emissividades são distinguidas pelo índicen, ελ−n e εn. Para isolantes elétricos, a variação de ελ−n eεn é menos do que +

−3%. Para condutores, a variação podeser maior, às vezes atingindo +

−15%. Valores da emissividadetotal normal para várias substâncias podem ser encontradas naTab. II, que pode ser encontrada no Apêndice.

H. Radiosidade

A quantidade de radiação térmica que deixa um corpo échamada de radiosidade. Ela é a soma da radiação incidenteque é refletida e a radiação que é emitida pelo corpo. A radiosi-dade de corpos cinzentos está esquematicamente mostrada naFig. 44. Radiosidade, denotada por J , pode ser expressa emtermos da emissividade e da refletividade da superfície dadapor,

J = εEn + ρG (101)

A radiosidade é a taxa de energia transferida por unidadede área em W/m2.

Como a radiosidade leva em consideração a radiação quedeixa a superfície em todas as direções, está relacionada coma intensidade associada à emissão e à reflexão, Iλ,e+r(λ, θ, φ),por,

Jλ(λ) =∫ 2π

0

∫ π/2

0

Iλ,e+r(λ, θ, φ)cosθsenθdθdφ. (102)

Assim, a radiosidade total J(W/m2) associada ao espectrocompleto por,

Figura 44. Balanço de energia para um corpo cinzento.

J =∫ ∞

0

Jλ(λ)dλ, (103)

ou, pela Eq. 104,

J =∫ ∞

0

∫ 2π

0

∫ π/2

0

Iλ,e+r(λ, θ, φ)cosθsenθdθdφdλ. (104)

Se a superfície for tanto um refletor difuso quanto umemissor difuso, Iλ,e+r é independente de θ e φ, e tem-se,

Jlambda(λ) = πIλ,e+r, (105)

e

J = πIe+r. (106)

Mais uma vez, deve-se notar que o fluxo radiante, nesse casoa radiosidade, está baseado na área superficial real, enquantoa intensidade está baseada na área projetada.

I. Radiação Solar

O Sol, localizado a cerca de 1, 5.106 Km da Terra, é a fontede energia da qual depende toda a vida terrestre. A energiaé transmitida pelas ondas eletromagnéticas que atravessam oespaço até encontrarem o planeta. Quando esses raios solaresatingem a atmosfera, são absorvidos e espalhados pela poeira egases atmosféricos. Uma porção da radiação espalhada atingea superfície terrestre e a restante é refletida de volta para oespaço. A radiação solar que é irradiada, ou que atinge, asupefície do planeta é, portanto, composta tanto de radiaçãodireta como de radiação difusa. Até 90% da radiação queatinge a superfície em um dia claro é formada por radiaçãodireta, enquanto que praticamente toda a radiação que chega aonível do solo num dia nublado é composta por radiação difusa.A quantia real de energia solar que chega à superfície da Terradepende do ângulo no qual a radiação atinge a superfície, dacomposição da atmosfera e das condições atmosféricas locais.

Como já comentado, o Sol emite aproximadamente comoum corpo negro a 5800 K. Na medida em que a radiaçãoatravessa o espaço, o fluxo radiante diminui, pois ele atrav-essa áreas esféricas cada vez maiores. No limite externo daatmosfera terrestre, o fluxo da energia solar diminui por umfator de (rs/rd)2, em que rs é o raio do Sol e rd é a distânciaentre o Sol e a Terra. A constante solar, Sc, é definida comoo fluxo de energia solar que incide sobre uma superfíciecom orientação normal aos raios solares no limite externo daatmosfera terrestre, quando a Terra encontra-se à sua distânciamédia do Sol, como mostrado na Fig. 45. Ela tem um valor deSc = 1353 W/m2. Para uma superfície horizontal (ou seja,paralela à superfície terrestre), a radiação solar comporta-secomo um feixe de raios praticamente paralelos que formamum ângulo θ, o ângulo de zênite, em relação à normal asuperfície. A irradiação solar extraterrestre, GS,e, definidapara uma superfície horizontal, depende da latitude geográfica,assim como da hora do dia e do dia do ano. Ela pode serdeterminada por,

GS.e = Scfcosθ. (107)

Figura 45. Natureza direcional da radiação solar fora da atmosfera terrestre.

A grandeza f é um pequeno fator de correção para levarem consideração a excentricidade da órbita da Terra ao redordo Sol (0, 97 ≤ f ≤ 1, 03).

A distribuição espectral da radiação solar é significativa-mente diferente daquela associada à emissão das superfíciesenvolvidas nos problemas de engenharia. Como ilustrado naFig. 48, a distribuição extraterrestre se aproxima daquela deum corpo negro a 5800 K. A radiação está concentrada naregião de pequenos comprimentos de onda (0, 2 ≤ λ ≤ 0, 3µm) do espectro térmico, com o pico de emissão ocorrendoem aproximadamente 0, 5 µm. É justamente essa concentraçãona região de pequenos comprimentos de onda que impede,com freqüência, a hipótese de comportamento de corpo cinza

para superfícies irradiadas pelo Sol, uma vez que a emissãoencontra-se geralmente na região espectral além dos 4 µme é improvável que as propriedades espectrais da superfíciepermaneçam constantes ao longo de uma faixa espectral tãoampla.

À medida que a radiação solar atravessa a atmosfera ter-restre, sua magnitude e suas distribuições espectral e direcionalexperimentam uma mudança significativa. A mudança se deveà absorção e ao espalhamento da radiação pelos constituintesda atmosfera. O efeito da absorção pelos gases atmosféricosO3 (ozônio), H2O, O2 e CO2 está ilustrado na curva inferiorda Fig. 48. A absorção pelo ozônio é mais forte na região UV,proporcionando uma atenuação considerável em comprimentosde onda abaixo de 0, 3 µm. Na região visível há algumaabsorção pelo O3 e o O2, enquanto nas regiões do IV próximoe distante à absorção é dominada pelo vapor d’água. Ao longode todo o espectro solar, há também absorção contínua deradição pela poeira e pelos aerossóis presentes na atmosfera.

O espalhamento na atmosfera proporciona um redireciona-mento dos raios solares e ocorre de duas formas (Fig. 46).O espalhamento de Rayleigh (ou molecular) provocado pormoléculas muito pequenas de gases ocorre quando a razãoentre o diâmetro efetivo das moléculas e o comprimento deonda da radiação, πD/λ, é muito menor do que a unidadee proporciona um espalhamento praticamente uniforme daradiação em todas as direções. Assim, cerca de metade daradiação que sofre esse processo é redirecionada para o espaço,enquanto a porção restante colide com a superfície da Terra.Em qualquer ponto sobre essa superfície, a radiação espalhadaincide a partir de todas as direções. Por outro lado, o espalha-mento de Mie, provocado pela poeira e partículas maiores deaerossóis, ocorre quando πD/λ é aproximadamente unitária eestá concentrada em direções próximas às dos raios incidentes.Assim, praticamente toda essa radiação atinge a superfície daTerra em direções que estão próximas às dos raios solares.

Figura 46. Espalhamento da radiação solar na atmosfera terrestre.

O efeito cumulativo dos processos de espalhamento sobrea distribuição direcional da radiação solar que atinge a su-

perfície da Terra está ilustrado na Fig. 47(a). Aquela porçãoda radiação que atravessou a atmosfera sem ser espalhada(ou absorvida) está na direção do ângulo de zênite e éconhecida por radiação direta. A radiação espalhada incidea partir de todas as direções, embora sua intensidade sejamaior nas direções próximas à da radiação direta. Entretanto,como a intensidade da radiação é freqüentemente consideradaindependente da direção (Fig. 47(b)), a radiação é dita difusa.A contribuição difusa pode variar de aproximadamente 10%da radiação solar total em um dia claro até perto de 100% emum dia completamente encoberto.

Figura 47. Distribuição direcional da radiação solar na superfície da Terra.(a) Distribuição real. (b) Aproximação difusa.

Formas de radiação ambiental com grandes comprimentosde onda incluem a emissão da superfície terrestre, assimcomo a emissão de certos constituintes da atmosfera. O poderemissivo associado à superfíce terrestre pode ser calculado daforma convencional por,

E = εσT 4, (108)

em que ε e T são a emissividade e a temperatura absolutada superfície, respectivamente. As emissividades estão, emgeral, próximas à unidade. A da água, por exemplo, é deaproximadamente 0,97. Como as temperaturas tipicamenteencontram-se de 250 a 320 K, a emissão está concentradana região espectral de aproximadamente 4 até 40 µm, compico ocorrendo em aproximadamente 10 µm.

A emissão atmosférica é em grande parte oriunda dasmoléculas de CO2 e H2O, e está concentrada nas regiõesespectrais entre 5 e 8 µm, e acima de 13 µm. Embora adistribuição espectral da emissão atmosférica não correspondaà de um corpo negro, sua contribuição para a irradiação dasuperfície terrestre pode ser emitida utilizando-se a Eq. 9.

A radiação solar evidentemente só tem efeito durante ashoras do dia, enquanto que a radiação da atmosfera estásempre presente. O cálculo da taxa de transferência de calorda atmosfera terrestre para a superfície terrestre é realizadoconsiderando que o céu se comporta como um corpo negro auma temperatura efetiva celeste Tceu. Essa temperatura pode

ser tão baixa quanto 230 K em um dia frio e claro de noitede inverno ou tão alta quanto 280 K em um dia de verão. Airradiação da atmosfera terrestre é dada por,

Gceu = σT 4ceu. (109)

Figura 48. Distribuição espectral da radiação solar.

X. TRANSFERÊNCIA DE CALOR POR RADIAÇÃO ENTREDUAS SUPERFÍCIES PARALELAS INFINITAS

As características da radiação emitida, absorvida, refletidaou transmitida por uma superfície já foram apresentadas. Elasagora serão utilizadas para determinar a taxa líquida do calortransferido por radiação entre duas superfícies que estão adiferentes temperaturas. Para simplificar os cálculos, os doiscorpos serão assumidos paralelos e infinitos, de forma que todaa radiação que deixa um corpo vai atingir o outro.

Vamos considerar as duas superfícies ilustradas na Fig. 49,as quais estão a T1 e T2. Desde que ambas as superfíciesestão a temperaturas acima do zero absoluto, cada uma delasvai emitir radiação. A energia total que deixa a superfície 1 ésua radiosidade vezes sua área superficial, J1A1, e a que deixaa superfície 2 é J2A2. A taxa líquida do calor transferido entreas duas superfícies é dada,

dQ

dt= J1A1 − J2A2 =

J1 − J2

1/A, (110)

uma vez que A1 = A2.Se as superfícies forem corpos negros, então ε1 = ε2 = 1 e

α1 = α2 = 1. A refletividade e a transmissividade valem zeroe as radiosidades para os corpos 1 e 2 são,

J1 = σT 41 ,

Figura 49. Duas superfícies paralelas infinitas.

e

J2 = σT 42 .

A taxa líquida de calor transferida por unidade de área édada por,

dQ/dt

A= σ(T 4

1 − T 42 ), (111)

Quando a superfície é um corpo cinzento opaco, comtransmissividade igual a zero, a radiosidade é dada por,

J = εEn + ρG = εEn + (1 + ε)G. (112)

Essa equação pode ser reescrita para obtermos a expressãopara a irradiação, dada por

G =J − εEn

1− ε. (113)

A taxa líquida de calor transferido de uma superfície deum corpo cinzento opaco pode ser expressa como a diferençada radiosidade, ou seja, a radiação que deixa a superfície, e airradiação, ou seja, a radiação que chega, pode ser representadapor,

dQ

dt=

En − J[(1− ε)/εA]

. (114)

se J for maior do que En, dQ/dt terá um sinal negativo, oque indica que a taxa líquida de calor é transferida para asuperfície em questão.

Da Fig. 49, é óbvio que se ambas as superfícies foremcorpos cinzentos opacos, a taxa de perda de calor perdidopelo corpo 1 será igual a que é ganha pelo corpo 2. Isto podeser escrito matematicamente,

dQ

dt=

En1 − J1

[(1− ε1)/ε1A]= − En2 − J2

[(1− ε2)/ε2A]. (115)

A Eq. 115 contém duas incógnitas, J1 e J2. Estas radiosi-dades podem ser determinadas resolvendo as Eqs. 109 e 115simultaneamente.

Nesse ponto é importante chamar a atenção para a analogiaentre transferência de calor e corrente elétrica. As Eqs. 109 e112 podem ser representadas por resitências elétricas equiva-lentes e diferenças de potencial, como mostrado na Fig. 50. Atransferência de calor por radiação entre os corpos 1 e 2 naFig. 49 pode ser obtida pela solução do circuito formado pelacombinação das resistências mostradas na Fig. 50. O circuitoequivalente de radiação para a transferência de calor entre duassuperfícies cinzentas paralelas e infinitas está representado naFig. 51.

Figura 50. Resistências equivalentes para o circuito de radiação.

Figura 51. Circuito de radiação para duas superfícies paralelas infinitas.

REFERÊNCIAS

[1] SCHMIDT, Frank W; HENDERSON, Robert E; WOLGEMUTH, Carl H.Introdução às Ciências Térmicas: Termodinâmica, Mecânica dos Fluidose Transferência de Calor. Editora Edgard Blücher LTDA. Segunda Edição.2004. São Paulo-SP.

[2] INCROPERA, Frank P; DeWITT, David P. Fundamentos de Transferênciade Calor e de Massa. Livros Técnicos e Científicos. Quinta Edição. 2003.Rio de Janeiro-RJ.

[3] MERZBACHER, Eugen. Quantum Mechanics. John Wiley & Sons, INC.Terceira Edição. 1998. Danvers, Massachussetts.

[4] INCROPERA, Frank P; DeWITT, David P. Fundamentos de Transferênciade Calor e de Massa. Livros Técnicos e Científicos. Sexta Edição. 2007.Rio de Janeiro-RJ.

[5] EISBERG, Robert; RESNICK, Robert. Física Quântica. Editora Campus.Décima Primeira Edição. 1979. Rio de Janeiro-RJ.

[6] BEJAN, Adrian. Transferência de Calor. Editora Edgard Blücher LTDA.Primeira Edição. 2004. São Paulo-SP.

[7] GASIOROWICZ, Stephen. Física Quântica. Editora Guanabara Dois S.A.Primeira Edição. 1979. Rio de Janeiro-RJ.

[8] TIPLER, Paul A; MOSCA, Gene. Física para Cientistas e Engenheiros.Livros Técnicos e Científicos. Quinta Edição. Volume 1. 2006. Rio deJaneiro-RJ.

[9] TIPLER, Paul A; MOSCA, Gene. Física para Cientistas e Engenheiros.Livros Técnicos e Científicos. Quinta Edição. Volume 3. 2006. Rio deJaneiro-RJ.

[10] FEYNMAN, Richard. The Feynman Lectures on Physics: The DefinitiveEdition. Editora Pearson Addison Wesley. Volume 1. 1963. CaliforniaInstitute of Technology.

[11] SAKURAI, J.J. Modern Quantum Mechanics. Editora Addison WesleyLongman. Revised Edition. 1994. Illinois, Chicago.

APÊNDICE

λT (µm.K) F[0−λ] λT (µm.K) F[0−λ]

200 0,000000 6200 0,754140400 0,000000 6400 0,769234600 0,000000 6600 0,783199800 0,000016 6800 0,7961291000 0,000321 7000 0,8081091200 0,002134 7200 0,8192171400 0,007790 7400 0,8295271600 0,019718 7600 0,8391021800 0,039341 7800 0,8480052000 0,066728 8000 0,8562882200 0,100888 8500 0,8746082400 0,140256 9000 0,8900292600 0,183120 9500 0,9030852800 0,227897 10000 0,9141992898 0,250108 10500 0,9237103000 0,273232 11000 0,9318903200 0,318102 11500 0,9399593400 0,361735 12000 0,9450983600 0,403607 13000 0,9551393800 0,443382 14000 0,9628984000 0,480877 15000 0,9699814200 0,516014 16000 0,9738144400 0,548796 18000 0,9808604600 0,579280 20000 0,9856024800 0,607559 25000 0,9922155000 0,633747 30000 0,9953405200 0,658970 40000 0,9979675400 0,680360 50000 0,9989535600 0,701046 75000 0,9997135800 0,720158 100000 0,9999056000 0,737818

Tabela IFUNÇÕES DE CORPO NEGRO

Substância Metais (Temp. da Superfície, K) Emissividade normal, εnAlumínioAltamente polido 480-870 0,038-0,06Altamente oxidado 370-810 0,20-0,33LatãoAltamente polido 530-640 0,028-0,031Oxidado 480-810 0,60CromoPolido 310-1370 0,08-0,40CobreAltamente polido 310 0,02Enegrecido 310 0,78OuroPolido 400 0,018FerroAltamente polido 310-530 0,05-0,07Ferro doce, polido 310-530 0,28Ferro fundido, recém usinado 310 0,44Ferro em chapa, enferrujado 293 0,61Ferro fundido, rugoso e altamente oxidado 310-510 0,95PlatinaPolida 500-900 0,054-0,104PrataPolida 310-810 0,01-0,03Aço inoxidávelTipo 310, liso 1090 0,39Tipo 316, polido 480-1310 0,24-0,31EstanhoPolido 310 0,05TungstênioFilamento 3590 0,39

Não-metaisAsbetosEm folha 310 0,93Em placa 310 0,96TijoloRefratário branco 1370 0,29Vermelho, rugoso 310 0,93FuligemFina 310 0,95ConcretoRugoso 310 0,94GeloLiso 273 0,966MármoreBranco 310 0,95TintaÓleo, todas as cores 373 0,92-0,96A base de chumbo, vermelha 370 0,93Gesso 310 0,91BorrachaDura 293 0,92Neve 270 0,82ÁguaProfunda 273-373 0,96MadeiraCarvalho 295 0,90Faia 340 0,94

Tabela IIEMISSIVIDADE TOTAL NORMAL