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Computação Gráfica: Aula4: Câmeras

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[email protected]

Transformação em Perspectiva

Z

X

Z

Xx

Z

Y

Z

Yy

Transformação em Perspectiva

Z

Yy

Z

Xx

e

Z

Yy

Z

Xx

e

Transformação em Perspectiva: Coordenadas Homogêneas

k

kZ

kY

kX

w

Z

Y

X

w h e


k

kz

ky

kx

c

z

y

x

c h e


k

kz

ky

kx

ch

z

y

x

c e

k

Z

Zk

Z

Yk

Z

Xk


k

kz

ky

kx

ch

kkZkZ

kY

kX

k

Z

Zk

Z

Yk

Z

Xk


k

kZ

kY

kX

wh

kkZkZ

kY

kX

ch


k

kZ

kY

kX

kkZkZ

kY

kX

(4 x 1)(4 x 1)

P(4 x 4)


k

kZ

kY

kX0001

kkZkZ

kY

kX

(4 x 1)(4 x 1)(4 x 4)


k

kZ

kY

kX

0010

0001

kkZkZ

kY

kX

(4 x 1)(4 x 1)(4 x 4)


k

kZ

kY

kX

0100

0010

0001

kkZkZ

kY

kX

(4 x 1)(4 x 1)(4 x 4)


k

kZ

kY

kX

11

00

0100

0010

0001

kkZkZ

kY

kX

(4 x 1)(4 x 1)(4 x 4)

Transformação em Perspectiva: Matriz de Transformação em Perspectiva

11

00

0100

0010

0001

P


kkZkZ

kY

kX

k

kZ

kY

kX

c

Pwc

h

hh

1

100

0100

0010

0001


11

00

0100

0010

0001

P

Pwc hh

11

00

0100

0010

0001

1

1

P

cPw hh

Transformação em Perspectiva: Matriz de Transformação em Perspectiva: Resumo

kkZkZ

kY

kX

c

Z

ZZ

YZ

X

z

y

x

c

k

kZ

kY

kX

w

Z

Y

X

w hh

11

00

0100

0010

0001

P

Pwc hh

11

00

0100

0010

0001

1

1

P

cPw hh

Transformação em Perspectiva: ambigüidade colinear

k

ky

kx

cyx h 0 0,, 0

0

00

hh cPw 1 com acorco de

0

0 0

00

0

y

x

Z

Y

X

w

k

ky

kx

wh


0

0

0

0,, 0

00

0

0

0

00 y

x

Z

Y

X

w

k

ky

kx

w

k

ky

kx

cyx hh

Resultado Inesperado!!!


k

kz

ky

kx

czyx h0

0

00 ,,

hh cPw 1 com acorco de

z

zz

yz

x

Z

Y

X

w

kkz

kz

ky

kx

wh

0

0

0

0


z

zz

yz

x

Z

Y

X

w

kkz

kz

ky

kx

wh

0

0

0

0

z

zZ

z

yY

z

xX

0

0

0

Zy

Y

Zx

X

0

0

Transformação em Perspectiva: Modelo de Câmera


• Para alinhar o plano da imagem (x,y) com o plano em coordenadas do mundo (X,Y), pode-se fazer a seguinte seqüência de passos:

1. Translação do suporte para origem, G2. Rotação no eixo x, 3. Rotação no eixo z, 4. Translação do plano da imagem com relação

ao suporte, C


1000

100

010

001

0

0

0

Z

Y

X

G

Translação para origem:

hGw


1000

0100

00cossin

00sincos

1

R

Rotação no eixo x

1000

0cossin0

0sincos0

0001

1

R

Rotação no eixo z


Rotação nos eixos x e z

1000

0cossincossinsin

0sincoscoscossin

00sincos

RRR


Translação do plano da imagem com relação ao suporte

1000

100

010

001

3

2

1

r

r

r

C


1000

100

010

001

0

0

0

Z

Y

X

G

1000

0cossincossinsin

0sincoscoscossin

00sincos

R

Translação para origem:

Rotação:

Translação:

1000

100

010

001

3

2

1

r

r

r

C


hh GwRRPCc )(

Combinando as duas translações e as duas rotações:

hh PCRGwc


3000

2000

3000

100

cossincossinsin

sincoscoscossin

cossincossinsin

sin)(cos

:será quarto, pelo scomponente

segundo e primeiro o dividindo e , equeção a doconsideran

imagem, da plano no sCarteziana scoordenada em entecorrespond

seu o mundo, do scoordenada em ,, ponto um Dado

rZZYYXX

rZZYYXXy

rZZYYXX

rYYXXx

PCRGwc

ZYXw

hh


o321000 0 e 0 rrrZYX

Como fica a expressão anterior se tivermos:

?


o321000 0 e 0 rrrZYX

Como fica a expressão anterior se tivermos:

Z

Yy

Z

Xx

e

Transformação em Perspectiva: Visão Stereo


11

1 Zx

X

22

2 Zx

X

BXX 12

ZZZ 12


11

1 Zx

X

22

2 Zx

X

BXX 12

ZZZ 12

Zx

X

11

Zx

BX

21

12 xx

BZ

Zx

X

22


Zx

X

11

Zy

Y

11

12 xx

BZ

Transformação em Perspectiva: Calibração de Câmera

• Calibração de câmera é o processo de determinar quais os parâmetros da câmera, intrínsecos e extrínsecos, para um conjunto de coordenadas do mundo e da imagem.


• Um problema que ocorre com imagens 2D, vistas projetadas no plano de imagem da câmera, é a ambigüidade colinear.


hh Awc

hh PCRGwc

PCRGA


hh Awc

Se K = 1 na representação homogênea:

144434241

34333231

24232221

14131211

4

3

2

1

Z

Y

X

aaaa

aaaa

aaaa

aaaa

c

c

c

c

h

h

h

h


42

41

/

/

hh

hh

ccy

ccx

As coordenadas da projeção perspectiva do ponto(X,Y,Z) na forma Cartesiana são:

144434241

34333231

24232221

14131211

4

3

2

1

Z

Y

X

aaaa

aaaa

aaaa

aaaa

c

c

c

c

h

h

h

h


Substituindo ch1 = xch4 e ch2 = ych4 no sistema linear e expandindo, temos:

444342414

343232313

242322214

141312114

aZaYaXac

aZaYaXac

aZaYaXayc

aZaYaXaxc

h

h

h

h

Assumindo ch3 = 0 uma vez que z = 0, temos:


444342414

242322214

141312114

aZaYaXac

aZaYaXayc

aZaYaXaxc

h

h

h

0

0

2444434241232221

1444434241131211

ayayZayYayXaZaaXa

axaxZaxYaxXaZaYaXa

Y

Substituindo ch4 na primeira e segunda equações, obtemos duas equaçõescom 12 variáveis!


• O procedimento de calibração consiste então em:

(a) Obter pelo menos 6 pontos de coordenadas do mundo m ≥ 6 com valores conhecidos (Xi, Yi, Zi ) i = 1,2,..,m. Isso gera um Sistema Linear de 12 equações e 12 incógnitas!

0

0

0

0

0

0

24622621

14612611

24222221

14212211

24222121

14112111

aYaXa

aYaXa

aYaXa

aYaXa

aYaXa

aYaXa



(b) Resolver o Sistema Linear para obter os pontos correspondentes na imagem (xi, yi), i = 1, 2, ..., m.

66666

55555

44444

33333

22222

11111

,,,

,,,

,,,

,,,

,,,

,,,

yxZYX

yxZYX

yxZYX

yxZYX

yxZYX

yxZYX



(c) Tendo então a matriz de transformação A da câmera, pode-se mapear qualquer ponto w do mundo no plano da imagem:

p = (xi, yi) w = (X,Y,Z) A

P = Aw

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