(Professor: Sidclei) (unidade 10)

Composição de movimentos 

Você está olhando de cima a carroceria de um caminhão que está em repouso. Sobre a carroceria uma

bola está se movendo com velocidade , em relação à mesma, na direção e sentido indicados na figura. Essa velocidade é chamada de velocidade relativa.

Em seguida, o caminhão adquire movimento retilíneo e uniforme de direção horizontal e sentido para a

direita, com velocidade   em relação à Terra.Essa velocidade é chamada de velocidade de arrastamento.

                                

Segundo o princípio da independência de movimentos (Galileu Galilei) a bola apresentará dois

movimentos parciais: O primeiro em relação à carroceria ( ) e o segundo, provocado pelo deslocamento

do caminhão ( ),e cada movimento acontece como se o outro não existissee os dois acontecem ao mesmo tempo.

A velocidade da bola em relação à Terra (vista por uma pessoa na Terra), que é chamada de velocidade resultante, será  , tal que:

Exemplo de composição de movimentos:

1. Um vagão que se movimenta em relação á terra e dois garotos que se movimentam em relação ao vagão. Baseando- se na figura abaixo, considere:

VV ,T = 4 m/s módulo da velocidade do vagão em relação à Terra (velocidade de arrastamento).

VB, V = 1m/s   módulo da velocidade de B em relação ao vagão (velocidade relativa).

VC,V =1m/s    módulo da velocidade de C em relação ao vagão (velocidade relativa).

D  ---  uma pessoa em repouso em relação ao vagão.

P  ---  uma árvore em repouso em relação á Terra.

Velocidade resultante do garoto B em relação á arvore ( Terra )

VB,T = VV ,T + VB, V = 4m/s + 1m/s = 5m/s  

Velocidade resultante do garoto C em relação á arvore ( Terra )

VC, T = VV ,T - VC, V = 4m/s - 1m/s = 3 m/s  

Velocidade relativa do garoto B em relação ao garoto C.

VB,C = VB ,V + VC, V = 1m/s + 1m/s = 2m/s  

2. Uma esteira que se movimenta em relação á Terra e uma pessoa (mulher) que se movimenta em relação á esteira . E Baseando- se na figura abaixo, considere:

 

Ve,T = 5 km/h módulo da velocidade da esteira em relação à Terra (velocidade de arrastamento).

Vm, e = 1m/s   módulo da velocidade da mulher em relação á esteira (velocidade relativa).

H ---  um homem em repouso em relação á Terra.

Velocidade resultante da mulher em relação ao homem ( Terra )

Vm, T = Vm ,e - Ve, T = 5 km/h - 5 km/h = 0  

3. Exemplos clássicos:

Barco em movimento num rio que possui correnteza( velocidade da água em relação á margem).

 Um barco desenvolve velocidade própria (em relação à água) vB=4m/s num rio em que a correnteza tem velocidade Vc=3m/s (velocidade da água em relação à margem). . Pede-se:

a) A velocidade ( ) do barco em relação à margem, quando ele sobe o rio.

Em módulo  ---  V=4 – 3  ---  V=1m/s (velocidade com que uma pessoa parada na margem do rio veria o barco passar por ela, subindo o rio).

 

b) A velocidade ( ) do barco (em relação à margem), quando ele desce o rio.

Em módulo  ---  V=4 + 3  ---  V=7ms (velocidade com que uma pessoa parada na margem do rio veria o barco passar por ela, descendo o rio)

Para travessia de barcos no rio

c) A velocidade ( ) do barco( vb = 8m/s) em relação à água sabendo que durante a travessia seu eixo se mantém perpendicular à mesma,e a velocidade da água em relação a margem é vc= 6m/s e largura do rio é de 80m

Determine:

A velocidade do barco em ralação á margem (Terra)

Em módulo  ---  V2=Vb2 + Vc

2  ---  V=√82 + 62 V=10m/s (velocidade do barco visto por uma pessoa parada na margem do rio).

Qual é o tempo mínimo de travessia?

V=ΔS/Δt  ---  8=80/ Δt  ---  Δt=10s  ---  lembre-se de que esse tempo não depende da velocidade da correnteza, mas apenas da velocidade do barco e da largura do rio.

Deslocamento do barco rio abaixo.

ΔS = vc. Δt  ---  ΔS = 6.10 = 60m

d) Para que a distância percorrida seja mínima o barco deve atravessar o rio perpendicularmente, ou seja, pelo caminho PY (menor distância entre as margens) e, para que isso ocorra o barco deve estar posicionado conforme a figura abaixo. Assim, a velocidade resultante ( ) deve ser perpendicular à margem de modo que   forme um ângulo β com  .

A velocidade ( ) do barco( vb = 8m/s) em relação à água sabendo que durante a travessia seu eixo se mantém perpendicular à mesma,e a velocidade da água em relação a margem é vc= 6m/s e largura do rio é de 80m

Determine:

A velocidade do barco em ralação á agua (Terra)

Vb2=V2 + Vc

2  ---  82=V2 + 62  ---  V= 5,2m/s  (velocidade do barco visto por uma pessoa parada na margem do rio).

Qual é o tempo de travessia?

V=ΔS/Δt  ---  5,2=80/ Δt  ---  Δt=15,4s  ---  lembre-se de que esse tempo não depende da velocidade da correnteza, mas apenas da velocidade do barco e da largura do rio.

4. Chuva no pára-brisas de um automóvel em movimento em relação a Terra.

Mesmo que a chuva caia na vertical para o observador fixo na Terra, o motorista - um observador dentro

do automóvel em movimento que esteja vendo o pára-brisas - vê a chuva bater obliquamente.

Considere um carro movendo-se com velocidade constante de 60 km/h. Começa a chover e o motorista observa que as gotas de água da chuva caem formando um ângulo de 30° com a vertical.

 Considerando que, em relação à Terra, as gotas caem verticalmente, qual a velocidade em que as gotas de água caem em relação ao carro?

Sen30o=Vc/Va  ---  1/2 =60/Va  ---  Va=120km/h 

Veja um outro exemplo:

Um trem viaja a uma velocidade constante de 50km/h. Ao mesmo tempo, cai uma chuva, com ausência de vento. O trajeto das gotas de água nos vidros laterais do trem são segmentos de retas que formam ângulos de 60º com a vertical. Qual deve ser o valor aproximado da velocidade das gotas, em relação ao solo ?

Rolamento puro de um pneu numa superfície fixa horizontal.

 Considere um carro se movendo numa estrada plana e horizontal com velocidade de intensidade V. As rodas desse carro rolam sem escorregar. O ponto 0 corresponde ao eixo da roda, que tem a mesma velocidade que o carro em relação ao solo, e velocidade nula em relação ao carro.

Observe que:

- O único ponto da roda que está em repouso em relação ao carro é o ponto 0 e que possui a mesma velocidade V que o carro.

- No movimento de translação, com o carro se movendo para a esquerda com velocidade de intensidade V, todos os pontos da roda nesse deslocamento também possuem velocidade V.

Devido à rotação em torno de 0, todos os pontos da periferia (parte externa) da roda devem ter a mesma velocidade de intensidade V, que é sempre tangente em cada ponto e orientadas no sentido de rotação da roda (no caso, anti-horário, pois o carro de desloca para a esquerda).

 

Efetuando a composição dos dois movimentos, de rotação e de translação:

Velocidade resultante nos pontos

PONTO 0 ---  VR0=V    PONTO A  ---  VRA=2V  ---  PONTO B e D  ---  VRB=√2V 

PONTO C  ---  VRC=0 (informação importante) 

VEJA O CASO INTERESSANTE DO TRATOR DE ESTEIRA

ico probl trator de esteira

Imagine um trator de esteira, com o da foto acima, e que se mova da esquerda para a direita com velocidade escalar V em relação ao solo (referencial R fixo no chão).

Quando  o trator se move com velocidade escalar V em relação ao chão, os eixos dos motores que movem a esteira giram tal que cada ponto da esteira também desliza com velocidade V, só que com relação ao trator. Certo?

Assim, enquanto o trator avança (para direita) com velocidade V em relação ao chão, pontos da parte superior da esteira avançam com velocidade V também para a direita, mas em relação ao trator. E pontos da parte inferior da esteira retrocedem (andam para trás), para a esquerda, com velocidade Vtambém relativa ao trator. Para entender melhor o que estou dizendo, veja a ilustração a seguir.

Note que representamos:

Um ponto fixo no chão chamado de R (referencial). Outro ponto fixo T no trator e que avança para a direita em relação a Rcom velocidade VT de

módulo V. Um terceiro ponto fixo, na parte superior da esteira, que chamamos deS e que avança para a

direita em relação ao trator T com velocidade VSde módulo V. E um quarto ponto fixo na parte inferior da esteira representado por I que se move para a

esquerda em relação ao trator T com velocidade VI de módulo V.

Agora pense, calcule e responda: quais os valores das velocidades escalares de cada um dos pontos do trator (T, S e I) indicados na figura acima em relação ao chão, ou seja, em relação ao ponto R?

O ponto T que representa o trator se move em relação ao chão (ponto R) com velocidade VS,R = VS= V. Isso é tranquilo!

Já o ponto S tem movimento em relação a T com velocidade V para a direita. Mas T, por sua vez, já está se movendo também com velocidadeV para a direita com relação a R. Assim, a velocidade de S em relação aR será VS,R = V + V = 2V.

E o ponto I anda para a esquerda em relação a T com velocidade V. MasT, como já dissemos, está se movendo com velocidade V para a direita com relação a R. Logo, a velocidade de I em relação a R será VI,R = V - V = 0.

A imagem abaixo mostra o resultado dos cálculos acima.

Parece muito estranho que partes diferentes do mesmo trator possam ter velocidades tão diferentes de valores 0 (nula), V e 2V, não? Mais estranho ainda que uma dessas partes (I) está em repouso no referecial R! Mas o raciocínio acima nos convence de que é verdade!

Para visualisar melhor o que está acontecendo com o trator, pense no motorista que está parado em relação ao ponto T mas se move em relação ao chão (R) com velocidade V. Sempre que ele olhar para a esteira verá um ponto S na sua parte superioravançando em relação ao próprio trator já que S tem o dobro da velocidade do próprio trator em relação ao chão. Isso é equivalente a dizer que os pontos S da parte superior da esteira ultrapassam o próprio trator o tempo todo! Enquanto isso, cada ponto I da parte inferior da esteira "gruda" no chão enquanto o trator avança, ou seja, fica parado em relação ao ponto R, até que "descole" do piso e comece a mover-se para a parte superior da esteira. Mas o motorista do trator vê o tempo todo o ponto S indo para trás, assim como R vai ficando para trás na medida em que o trator avança.

Tudo isso confirma que, classicamente, qualquer movimento é relativo!

 

Se você fixar uma câmera num tripé e fotografar um carro que passa em movimento, perceberá que a parte de baixo do pneu sempre sai mais nítida, ou menos borrada. De fato, no momento da foto, o ponto inferior do pneu está parado! E por isso não sai borrado na foto. É como se estivesse posando para a foto! Ao contrário, o ponto superior do pneu tem o dobro da velocidade do automóvel. por isso é bem provável que na foto ele saia mais borrado. Você já notou isso em fotos de carros de corrida?

Exercícios de composição de movimentos (unidade 10)

1. (UFU-MG) Um menino está sobre um vagão-prancha de 10 m de comprimento, que se desloca sobre trilhos retilíneos com velocidade constante de módulo 36 km/h em relação ao solo. Em certo momento, o menino começa a se deslocar da parte de trás do vagão e alcança a sua frente após 5,0 s, com passadas regulares.

Um aluno faz as seguintes afirmações, para o intervalo de tempo considerado:I. a velocidade do menino, em relação ao vagão, tem módulo igual a 8,0 m/s.II. a velocidade do menino, em relação ao solo, tem módulo igual a 12 m/s.III. o deslocamento do menino, em relação ao solo, tem módulo igual a 50 m.IV. o deslocamento do menino, em relação ao vagão, tem módulo igual a 10 m.São corretas:a) I, II, III e IV.b) apenas I II e III.c) apenas II e IV.d) apenas I e III.e) apenas III e IV.

2. Se um barco, deslocando-se a favor da correnteza, percorre um rio durante 5 minutos, qual a distância que percorre? DADOS - velocidade do barco: 10 m/s; velocidade da correnteza: 3 m/s.

3. Qual a distância percorrida por um barco que, movimentando-se contrariamente ao sentido da correnteza, desloca-se durante 2 muinutos? Dar a resposta em quilômetros. Considere - velocidade do barco = 8 m/s; velocidade da correnteza = 3 m/s.

4. Um barco, a vela com toda potência, sobe um rio a 16 km/h e desce a 30 km/h, velocidades essas medidas em relação às margens do rio. Sabe-se que, tanto subindo como descendo, o barco tinha velocidade relativa de mesmo módulo, e as águas do rio tinham velocidade constante V. Nesse caso, determine o valor de V.

5. (UFAC 09) Um barco atravessa o Rio Negro de 5.000 m de largura, movendo-se perpendicularmente à margem, com uma velocidade de aproximadamente 20 m/s. A correnteza arrasta o barco de 1.500 m rio abaixo. Qual a velocidade média da correnteza?a) 8 m/s b) 7,5 m/s c) 60 m/s d) 6,0 m/s e) 20 m/s

6. Um barco atravessa um rio de margens paralelas de largura d = 4 km. Devido à correnteza, a componente da velocidade do barco ao longo das margens é VA = 0,5 km/h em relação às margens. Na direção perpendicular às margens a componente da velocidade é Vb = 2 km/h. Pergunta-se:a) Quanto tempo leva o barco para atravessar o rio?b) Ao completar a travessia, qual é o deslocamento do barco na direção das margens?

7. (Efei-MG) Um barco atravessa um rio seguindo a menor distância entre as margens que são paralelas. Sabendo que a largura do rio é de 2,0 km, que a travessia é feita em 15 min e que a velocidade da correnteza é 6,0 km/h, podemos afirmar que a velocidade do barco em relação à água é: a) 2,0 km/h. b) 6,0 km/h. C) 8,0 km/h. d) 10 km/h. e) 14 km/h. R. d

8. Um barco atravessa um rio percorrendo a menor distância entre as margens, que são paralelas. Para isso, o barco deve se manter alinhado de modo a anular o efeito da correnteza, inclinando um pouco a proa rio acima. A largura do rio é de um quilômetro e a velocidade da correnteza é 6 km/h. O intervalo de tempo de travessia corresponde a 1/8 h.a) Determine o módulo da velocidade resultante de travessia, vres.b) Determine o módulo da velocidade relativa, vrel.R. a) 8 km/h b) 10 km/h9. Um barco é provido de um motor que permite obter velocidade própria de 40 km/h em relação às águas, devido à potência de seu motor. A velocidade da correnteza é de 20 km/h.a) O tempo de travessia do rio depende da velocidade da correnteza? Explique.b) Como se deve posicionar o barco para que ele atravesse o rio no mínimo tempo possível?c) Qual o tempo mínimo de travessia de um rio de margens paralelas e distanciadas de 4 km.d) Considerando a travessia do item anterior, qual foi a distância (medida ao longo da margem) de arrastamento rio abaixo durante a travessia.

Respostas:a) Não, depende apenas componente da velocidade do barco na direção perpendicular às margens do rio.b) O barco deve ser posicionado com a velocidade relativa (barco em relação às águas) perpendicular em relação ás margens paralela do rio.c) 0,1 h d) 2 km

10. (OBF 08) Um automóvel move-se para a direita com uma velocidade igual a +70 km/h relativamente ao piso da estrada. Um ponto da borda superior e outro da borda inferior de um pneu deste veículo apresentam, respectivamente, velocidades instantâneas, em km/h, iguais aa) +140 e 0 relativamente ao piso.b) +140 e +70 relativamente ao piso.c) +70 e −70 relativamente ao piso.d) 0 e −70 relativamente ao veículo.e) +70 e +70 relativamente ao veículo.

 11. (UFSCAR) Um trem viaja a uma velocidade constante de 50 km/h. Ao mesmo tempo, cai uma chuva, com ausência de vento. O trajeto das gotas de água nos vidros laterais do trem são segmentos de retas que formam ângulos de 60º com a vertical. Qual deve ser o valor aproximado da velocidade das gotas, em relação ao solo?

12. (Fatec) Um teco-teco (avião) dirige-se de Leste para Oeste com velocidade de 200 km/h em relação ao ar. O vento sopra de Leste para Oeste com velocidade de 80 km/h. Determine a velocidade do avião em relação ao solo.

13.(AFA - 06) Um avião voa na direção leste a 120 km/h para ir da cidade A à cidade B. Havendo vento para o sul com velocidade de 50 km/h, para que o tempo de viagem seja o mesmo, a velocidade do avião deverá ser:a) 130 km/h b) 145 km/h c ) 170 km/h d) 185 km/h e) 190km/h

14. Um homem tem velocidade, relativa a uma esteira, de módulo 1,5 m/s e direção perpendicular à da velocidade de arrastamento da esteira. A largura da esteira é de 30 m e sua velocidade de arrastamento, em relação ao solo, tem módulo igual a 2,0 m/s. Calcule:a) o módulo da velocidade da pessoa em relação ao solo.b) a distância percorrida pela pessoa, em relação ao solo, ao atravessar a esteira.

15. (UFPE) A escada rolante de uma galeria comercial liga os pontos A e B em pavimentos consecutivos, com uma velocidade ascendente de módulo 0,50 m/s, conforme mostrado na figura.

Se uma pessoa consegue descer contra o sentido de movimento da escada e leva 10 segundos para ir de B até A, pode-se afirmar que sua velocidade, em relação à escada, tem módulo, em m/s, igual a:a) 0. b) 0,5. c) 1,0. d) 1,5. e) 2.

16. Uma pessoa percorre uma escada rolante com 15 m de comprimento em 90 s quando a escada está parada. Quando a pessoa está parada na mesma escada, que agora se encontra em movimento, a pessoa é transportada em 60 s. a) Quanto tempo a pessoa levaria para fazer o mesmo percurso se caminhasse sobre a escada rolante em movimento?b) A resposta anterior depende do comprimento da escada?

17. (UFJF) Um homem parado numa escada rolante leva 10 s para descê-la em sua totalidade. O mesmo homem leva 15 s para subir toda a escada rolante de volta, caminhando contra o movimento dela. Quanto tempo o homem levará para descer a mesma escada rolante, caminhando com a mesma velocidade com que subiu?a) 5,00 s b) 3,75 s c) 10,00 s d) 15,00 s e) 7,50 s

18. Dois barcos – I e II – movem-se, em um lago, com velocidade constante, de mesmo módulo, como representado nesta figura:

Em relação à água, a direção do movimento do barco I é perpendicular à do barco II e as linhas tracejadas indicam o sentido do deslocamento dos barcos. Considerando-se essas informações, é CORRETO afirmar que a velocidade do barco II, medida por uma pessoa que está no barco I, é mais bem representada pelo vetor:A) P .B) Q .C) R .D) S .

19. (FUVEST 10) Pedro atravessa a nado, com velocidade constante, um rio de 60 m de largura e margens paralelas, em 2 minutos. Ana, que bóia no rio e está parada em relação à água, observa Pedro, nadando no sentido sul-norte, em uma trajetória retilínea, perpendicular às margens. Marta, sentada na

margem do rio, vê que Pedro se move no sentido sudoeste-nordeste, em uma trajetória que forma um ângulo θ com a linha perpendicular às margens. As trajetórias, como observadas por Ana e por Marta, estão indicadas nas figuras abaixo, respectivamente por PA e PM. Se o ângulo θ for tal que cos θ = 3/5 (sen θ = 4/5), qual o valor do módulo da velocidade

a) de Pedro em relação à água?b) de Pedro em relação à margem?c) da água em relação à margem?

20. (ITA 09) Um barco leva 10 horas para subir e 4 horas para descer um mesmo trecho do rio Amazonas, mantendo constante o módulo de sua velocidade em relação a água. Quanto tempo o barco leva para descer esse trecho com os motores desligados?(a ) 14 horas e 30 minutos (b ) 13 horas e 20 minutos ( c) 7 horas e 20 minutos (d ) 10 horas(e ) Não é possível resolver porque não foi dada a distância percorrida pelo barco.

21. (FUVEST 10) Um transportador havia entregado uma encomenda na cidade A, localizada a 85 km a noroeste da cidade B, e voltaria com seu veículo vazio pela rota AB em linha reta. No entanto, recebeu uma solicitação de entrega na cidade C, situada no cruzamento das rodovias que ligam A a C (sentido sul) e C a B (sentido leste), trechos de mesma extensão. Com base em sua experiência, o transportador percebeu que esse desvio de rota, antes de voltar à cidade B, só valeria a pena se ele cobrasse o combustível gasto a mais e também R$ 200,00 por hora adicional de viagem.a) Indique a localização das cidades A, B e C no esquema apresentado na folha de respostas.b) Calcule a distância em cada um dos trechos perpendiculares do caminho. (Considere a aproximação

____ ____)c) Calcule a diferença de percurso do novo trajeto relativamente ao retorno em linha reta.d) Considerando o preço do óleo diesel a R$ 2,00 o litro, a velocidade média do veículo de 70 km/h e seu rendimento médio de 7 km por litro, estabeleça o preço mínimo para o transportador aceitar o trabalho.

Respostas:1- C 2- 3900m 3- 600m 4- 7m/s 5- d 6- a)2h b)1km

7- d 8- a)8km/h b)10 km/h 9- a) Não, depende apenas componente da velocidade do barco na direção perpendicular às margens do rio. b) O barco deve ser posicionado com a velocidade relativa (barco em relação às águas) perpendicular em relação ás margens paralela do rio.c) 0,1 h d) 2 km

10- a 11- 28,33 m/s 12. 280 m/s 13.a 14. a)2,5 m/s b)50m 15. d

16. a) 36s b) sim 17. b 18- c 19- a)0,5 m/s b)0,83 m/s c) 0,66 m/s 20- b

21- a) b) 59,5 km c) 34 km d) R$ 106,86