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A P O S T I L A

D E

M A T E M Á T I C A -

Á L G E B R A

COLÉGIO ADVENTISTA PORTÃO Curitiba - PR

Hermes Jardim 2012

TEORIA E PRÁTICA

8º ANO

Nome:

Nº: Turma: Professor(a):

Curso de Matemática Básica Álgebra

2

Apresentação Nesta apostila abordaremos um assunto nada agradável para a maioria dos estudantes, mas que é de grande importância para a Matemática. O conhecimento de Álgebra é uma ferramenta que ajuda a compreender a forma como o algoritmo de resolução de muitos exercícios é efetuado. A Álgebra tem por finalidade simplificar muitos cálculos que de outra forma necessitariam de muito tempo e espaço para serem resolvidos. A palavra ÁLGEBRA tem origem árabe e conforme o Dicionário Luft (2000), Álgebra é a parte da Matemática que generaliza as questões aritméticas, representando quantidades através de símbolos. Sua origem é estranha e intrigante. Ela não se sujeita a uma etimologia nítida como, por exemplo, a palavra "aritmética", que deriva do grego arithmos (número). Álgebra é uma variante latina da palavra árabe al-jabr (às vezes transliterada al-jebr). Um advogado francês e apaixonado por álgebra, François Viète, que viveu de 1540 até 1603 passou para a história como o principal responsável pela introdução dos símbolos no mundo da matemática, por isso, ficou conhecido como o Pai da Álgebra. Além de Viète, outros matemáticos da mesma época deram suas contribuições para o aperfeiçoamento da álgebra. Entre eles, Robert Record, inglês que criou o símbolo (=) para a expressão (igual a). Esse sinal foi usado por Thomas Harriot, outro matemático inglês, responsável pela eliminação das poucas palavras que ainda restavam na álgebra de Viète. A passagem para uma álgebra completamente simbólica foi obra de René Descartes, grande matemático e filósofo francês, que introduziu as seguintes inovações para aperfeiçoar a álgebra de Viète: 1) criou o símbolo (.) para a operação de multiplicação; 2) criou a notação que usamos hoje para os expoentes de uma potenciação; 3) passou a usar as primeiras letras do alfabeto para os coeficientes da incógnita e os termos independentes ( literais) e as últimas letras para representar as incógnitas.

Por que devemos aprender Álgebra? O ensino de Álgebra geralmente é iniciado, mais sistematicamente, no 8º ano (antiga 7ª série) do Ensino Fundamental e visa apresentar regras de transformações de expressões e a resolução de equações e sistemas de equações e inequações. Para muitos profissionais, o ensino da Álgebra é uma fonte de dificuldade para os alunos o que demanda muito tempo de estudo, com resultados pequenos e desânimo. A maior dificuldade do aluno é aceitar uma letra representando número desconhecido e não percebe o sentido de uma expressão algébrica. Outra dificuldade é a tradução da linguagem comum para a linguagem simbólica da Matemática. A álgebra ajuda a estruturar o raciocínio e permite equacionar e resolver numerosos problemas de situações do cotidiano. A Álgebra ajuda a melhorar a compreensão e a desenvolver o raciocínio lógico matemático, contribuindo para um pensamento autônomo. A Álgebra capacita o aluno a representar simbolicamente uma quantidade desconhecida relacionando-a com as informações de uma situação ou problema. O autor1 _________________________ 1 Professor de Matemática do Ensino Fundamental e Médio no Colégio Adventista Portão Licenciado em Matemática pela PUC-PR

Hermes Jardim 2012

TEORIA E PRÁTICA

COLÉGIO ADVENTISTA PORTÃO Curitiba - PR

8º ANO

A P O S T I L A

D E

M A T E M Á T I C A -

Á L G E B R A


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CAPÍTULO 14 - ÁLGEBRA ...................................................................... 5

14.1 Valor Numérico de uma Expressão Algébrica .................... 5 14.2 Termo Algébrico .................................................................... 8 14.3 Monômios .............................................................................. 9

14.3.1 Adição e Subtração de Monômios ....................... 10 14.3.2 Multiplicação de Monômios ................................. 12 14.3.3 Divisão de Monômios ............................................ 14 14.3.4 Potenciação de Monômios .................................... 16 14.3.5 Radiciação de Monômios ...................................... 17

14.4 Polinômios ............................................................................. 19 14.4.1 Adição e Subtração de Polinômios ....................... 19 14.4.2 Multiplicação de Polinômios ................................ 22

CAPÍTULO 15 - PRODUTOS NOTÁVEIS ........................................... 29

15.1 Quadrado da Soma ................................................................ 29 15.2 Quadrado da Diferença ......................................................... 31 15.3 Produto da Soma pela Diferença .......................................... 33

CAPÍTULO 16 - FATORAÇÃO ............................................................... 35

16.1 Fator Comum ......................................................................... 35 16.2 Agrupamento .......................................................................... 37 16.3 Diferença de Dois Quadrados ............................................... 39 16.4 Trinômio Quadrado Perfeito ................................................ 40 16.5 Trinômio do 2º Grau ............................................................. 41 16.6 Casos Combinados de Fatoração ......................................... 45 16.7 Simplificação de Expressões ................................................. 48

CAPÍTULO 17 - FRAÇÕES ALGÉBRICAS ........................................... 50

17.1 Simplificação de Frações Algébricas .................................... 50 17.2 Operações com Frações Algébricas ...................................... 53 17.2.1 Multiplicação de Frações Algébricas ................... 53 17.2.2 Divisão de Frações Algébricas .............................. 57 17.2.3 Adição e Subtração de Frações Algébricas ......... 60

CAPÍTULO 18 - EQUAÇÕES ALGÉBRICAS FRACIONÁRIAS .... 62


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Apresentação Nesta apostila abordaremos um assunto nada agradável para a maioria dos estudantes, mas que é de grande importância para a Matemática. O conhecimento de Álgebra é uma ferramenta que ajuda a compreender a forma como o algoritmo de resolução de muitos exercícios é efetuado. A Álgebra tem por finalidade simplificar muitos cálculos que de outra forma necessitariam de muito tempo e espaço para serem resolvidos. A palavra ÁLGEBRA tem origem árabe e conforme o Dicionário Luft (2000), Álgebra é a parte da Matemática que generaliza as questões aritméticas, representando quantidades através de símbolos. Sua origem é estranha e intrigante. Ela não se sujeita a uma etimologia nítida como, por exemplo, a palavra "aritmética", que deriva do grego arithmos (número). Álgebra é uma variante latina da palavra árabe al-jabr (às vezes transliterada al-jebr). Um advogado francês e apaixonado por álgebra, François Viète, que viveu de 1540 até 1603 passou para a história como o principal responsável pela introdução dos símbolos no mundo da matemática, por isso, ficou conhecido como o Pai da Álgebra. Além de Viète, outros matemáticos da mesma época deram suas contribuições para o aperfeiçoamento da álgebra. Entre eles, Robert Record, inglês que criou o símbolo (=) para a expressão (igual a). Esse sinal foi usado por Thomas Harriot, outro matemático inglês, responsável pela eliminação das poucas palavras que ainda restavam na álgebra de Viète. A passagem para uma álgebra completamente simbólica foi obra de René Descartes, grande matemático e filósofo francês, que introduziu as seguintes inovações para aperfeiçoar a álgebra de Viète: 1) criou o símbolo (.) para a operação de multiplicação; 2) criou a notação que usamos hoje para os expoentes de uma potenciação; 3) passou a usar as primeiras letras do alfabeto para os coeficientes da incógnita e os termos independentes ( literais) e as últimas letras para representar as incógnitas.

Por que devemos aprender Álgebra? O ensino de Álgebra geralmente é iniciado, mais sistematicamente, no 8º ano (antiga 7ª série) do Ensino Fundamental e visa apresentar regras de transformações de expressões e a resolução de equações e sistemas de equações e inequações. Para muitos profissionais, o ensino da Álgebra é uma fonte de dificuldade para os alunos o que demanda muito tempo de estudo, com resultados pequenos e desânimo. A maior dificuldade do aluno é aceitar uma letra representando número desconhecido e não percebe o sentido de uma expressão algébrica. Outra dificuldade é a tradução da linguagem comum para a linguagem simbólica da Matemática. A álgebra ajuda a estruturar o raciocínio e permite equacionar e resolver numerosos problemas de situações do cotidiano. A Álgebra ajuda a melhorar a compreensão e a desenvolver o raciocínio lógico matemático, contribuindo para um pensamento autônomo. A Álgebra capacita o aluno a representar simbolicamente uma quantidade desconhecida relacionando-a com as informações de uma situação ou problema. O autor1 _________________________ 1 Professor de Matemática do Ensino Fundamental e Médio no Colégio Adventista Portão Licenciado em Matemática pela PUC-PR


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Depois do século XVI, os matemáticos começaram a representar números desconhecidos por meio de letras para indicar operações matemáticas de uma forma mais simples.

O valor numérico de uma expressão algébrica é o número real que obtemos quando substituímos as letras por números reais dados e efetuamos as operações indicadas, obedecendo à seguinte ordem de resolução:

Radiciação Potenciação Multiplicação ou divisão (na ordem que aparecerem) Adição ou subtração não esqueça de respeitar a sequência de eliminação dos ( 1º ) – parêntesis [ 2º ] – colchetes { 3º } – chaves

1) Calcule o valor numérico da expressão: 3x2 - 4xy, para x = 5 e y = 3.

V. N. = 3 . 52 - 4 . 5 . 3

V. N. = 3 . 25 - 4 . 5 . 3

V. N. = 75 - 60

.V. N. = 15.

2) Calcule o valor numérico da expressão: 2

2

x 3yy 5x

−+

, para x = - 2 e y = 3.

V. N. = 2

2

( 2) 3.33 5.( 2)− −+ −

V. N. = 4 99 10−−

V. N. = 51

−−

.V. N. = 5.

3) Calcule o valor numérico da expressão: 3 22x 3x 1x 1− +−

, para x = 4.

V. N. = 3 22.4 3.4 14 1− +−

V. N. = 2.64 3.16 1

3− +

V. N. = 128 48 1

3− +

V. N. = 813

⇔ V. N. = 93

⇔ .V. N. = 3.


6

4) Calcule o valor numérico da expressão: 23x 5xx 1−−

, para x = 23

.

V. N. =

22 23. 5.3 3

2 13

⎛ ⎞ ⎛ ⎞−⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

− =

13 4.9 3

25.3

2 13

−

− =

4 103 32 3

3

−

− =

63

−1

13

−1

=

1 Calcule o valor numérico da expressão: a) 2x + 3y, para x = 5 e y = - 2. b) x2 - 2x, para x = - 3.

c) x2 - ab, para 1x2

= , 1a3

= e 1b4

= .

d) 2p2 - 4pq - 3q2, para 1p6

= − e 2q3

= .

e) 3x2 - 5x + 12, para x = - 4. f) a3 + 3ab + 5b2 + 1, para a = - 3 e b = - 4. g) 2x3 + 4x2 - 5x + 4, para x = - 4.

h) m3 - 2mn + 2n2, para 1m2

= − e 1n4

= .

i) x2 + 3x - 6xy + xy2, para x = - 2 e y = 3.

j) 3.(x2 - y2) - 5.(x + y) + 3.(x2 + y2) - 4y, para 1x2

= e 2y3

= − .

2 Calcule o valor numérico da expressão:

a) 2

2

x 3yy 3x 4

−+ −

, para x = - 2 e y = 3.

b) 2 2

2 2

3a 2ab 2ba b+ +

−, para a = 6 e b = 3.

c) 3 2

2

m 3m 4m 1m 3m 5+ + −

+ −, para m = 3.

d) 2 2x 4 x 3x 2

x 2 x 1− − +

++ −

, para x = 4.

e) 3 2

4

a a b a ba 1

+ + +−

, para a = 2 e b = 4.

f) 2 2x 3xy yx 2y 4− +− −

, para 1x4

= e 1y2

= − .

g) 2 2

2 2

a 3ab ba a b− −+ −

, para 3a4

= e 1b3

= − .

h) 2

2

2ax bx 5a ax 3

− +− −

, para a = 2, b = - 3 e x = - 2.

i) 2 2

(a b).(a b)a 2ab b+ −+ +

, para a = 4, b = - 2.

j) 2 2

2 2

3a x 6ax 41 2ax a x

+ −+ +

, para 1a3

= a = 2 e x = - 6.

V. N. = 6.


7

3 Calcule o valor numérico da expressão:

a) 2 2 2

2

(a b) (a b) 2a(a b) (a b).(a b)− + + −+ − − +

, para a = 2 e b = 8.

b) 2

2 2

x xy ax ay 2a 8ab 4b a x

+ + + −×

− −, para x = 1, y = - 3, a = 5 e b = - 2.

c) 2b b 4ac

2a− + −

, para a = 2, b = - 5 e c = - 3.

d) 2b b 4ac

2a− + −

, para a = 5, b = - 9 e c = - 2.

e) 3 22x 3x 2 3x

x 1− −

−−

, para x = - 2.

f) 3 3x y

2xy+

, para 1x8

= e y = 1.

g) 9x 4 3x 1+ − + , para x = 5.

h) 31x 2y 12 x 4y2

− + + − , para x = 5 e 1y2

= .

i) 2 2 2a a b a c

13 55

− ++ + , para a = 3, b = 2 e c = 4.

j) 2

2a 4axx 2 x 4

−+ −

, para 1a3

= − e 1b2

= .

4 Calcule o valor numérico da expressão algébrica: 4x - [2x2 + 3y - (5x3 + y3 - x) - 2xy], para x = 3 e y = - 4.

5 Calcule o valor numérico das expressões algébricas: a) 2a3 + 5a2b - ab2 - 5b3, para a = 5 e b = - 2.

b) 2

2

x 4 3 xx 4 x 2 x 2

++ −

− − + , para x = - 8.

c) 2 2

2 2

x 6xy 9yx 9y+ +

− , para x = 3 e y = 2.

d) 4 - [2x2 + 3y - (5x3 + y3 - x) - xy], para x = 2 e y = - 4.

e) 4x

4x4xx2

23

−+−− , para x = 3.

6 Simplifique a expressão algébrica 2ax + {5ax - [ax - (3ax - 12ax) + 8ax] + 15ax}, e calcule seu valor numérico para a = 3 e x = - 2.

7 Simplifique a expressão algébrica 10x2y3 - {8x2y3 + [x2y3 - (3x2y3 + 7x2y3) - (10x2y3 -

9x2y3) + 5x2y3] - 5x2y3} - 8x2y3 e calcule o seu valor numérico para 32x = e

23y = .


8

8 Simplifique a expressão algébrica 2x2y2 - [- 5x2y2 - (x2y2 + 4x2y2 - 2x2y2) - 8x2y2] - 10x2y2 e

calcule seu valor numérico para 1x4

= e y = - 6.

9 Calcule o valor numérico da expressão algébrica: 5x - [2x2 + 5y - (5x3 + y3 - 3x2) - 6xy] - 1, para x = 5 e y = - 4.

Calcule o valor da expressão A p.(p a).(p b).(p c)= − − − , sabendo que a b cp2

+ += ,

a = 5, b = 4 e c = 3.

Quando uma expressão algébrica for um produto de números reais, expressa ou não por variáveis, isto é, letras, é chamada de termo algébrico. Essa expressão não pode ter somas ou subtrações. Exemplos: a) 5ab → é uma expressão algébrica de um termo.

b) 2x - 5y → é uma expressão algébrica de dois termos.

c) 3a - b + 2c → é uma expressão algébrica de três termos. Um termo algébrico é composto de duas partes: • a parte numérica, que será chamada de coeficiente. • a parte literal, inclusive com seus expoentes.

a) 3xy : 3 coeficientexy parte literal→⎧

⎨ →⎩.

b) - 8x2y3: 2 3

8 coeficientex y parte literal− →⎧⎨

→⎩.

c) - km: 1 coeficiente

km parte literal− →⎧⎨ →⎩

.

Observações: • Quando o coeficiente é 1, não devemos escrevê-lo. Nunca escreva 1xy, escreva apenas xy.

• Quando o coeficiente for - 1, escreva somente o sinal de -. Se tiver - 1a2b, escreva apenas - a2b.

• Se um termo algébrico tem “zero” como coeficiente, vai representar sempre um número real. 0m2n3 = 0 0x = 0

• Todo número real é considerado um termo algébrico sem parte literal. 3, - 5 ou 2 são termos sem parte literal.


9

1 Nos termos algébricos abaixo, identifique seu coeficiente e sua parte literal:

Termo Algébrico Coeficiente Numérico

Parte Literal

a) - 5x2 b) abc c) 2a2b3

d) 22 xy5

e) 2 f) - xy3z

g) 1 am2

−

h) 3 23a b4

i) 53x y

j) 2 4 3x y z

5

Monômio é toda expressão algébrica inteira na qual temos somente uma multiplicação de números ou de variáveis. Exemplos:

a) 10x2y → é um monômio.

b) 2a → é um monômio.

c) 8 → é um monômio.

d) 3x2 + y → não é um monômio. Monômios Semelhantes Dois ou mais monômios são semelhantes quando apresentarem a mesma parte literal. Exemplos: a) 2xy e 5xy → são monômios semelhantes, pois têm a mesma parte literal xy.

b) - 4a2b2 e 2 22 a b3

→ são monômios semelhantes.

c) 6a2y e 3ay2 → não são monômios semelhantes, pois apresentam partes literais diferentes.

Curso de Matemática Básica Polinômios

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Operações com Monômios

Somente podemos somar ou subtrair monômios semelhantes. Se numa expressão algébrica

todos os monômios forem semelhantes, para torná-la mais simples, somamos algebricamente

os coeficientes e repetimos a parte literal.

1) Calcule: a) 3xy + 2xy = 5xy, pois 3 + 2 = 5.

b) 4a2b2 - 7a2b2 + 5a2b2 = 2a2b2, pois 4 - 7 + 5 = 2.

c) 2 22 1ax ax3 2

− = 2 24ax 3ax

6− = 21 ax

6.

d) 5,7x + 1,9x - 6,1x = 1,5x, pois 5,7 + 1,9 - 6,1 = 1,5. 2) Simplifique as expressões algébricas: a) 3x2 - [11x2 - (- 7x2 + 9x2) - 12x2] - [4x2 + (3x2 - 6x2)] =

3x2 - [11x2 - (+ 2x2) - 12x2] - [4x2 + (- 3x2)] =

3x2 - [11x2 - 2x2 - 12x2] - [4x2 - 3x2] =

3x2 - [- 3x2] - [+ x2] =

3x2 + 3x2 - x2 =

.5x2. b) - 11ay + {- [12ay + (5ay - 20ay) - (2ay + 3ay + 5ay)]} =

- 11ay + {- [12ay + (- 15ay) - (10ay)]} =

- 11ay + {- [12ay - 15ay - 10ay]} =

- 11ay + {- [- 13ay]} =

- 11ay + {+ 13ay} =

- 11ay + 13ay =

.2ay.

1 Calcule:

a) 8x - 12x = f) a2 - 2a2 + 6a2 =

b) y + 2y = g) xy2 + xy2 + xy2 =

c) 9x2 - 6x2 = h) 5x2 + 8x2 - x2 - 2x2 =

d) 6ay + 2ay = i) 3abc - 2abc + 5abc =

e) 5x2y - 8x2y = j) 8a2b2 - 5a2b2 + a2b2 - 3a2b2 =


11

2 Calcule:

a) 1 1x x2 3

− =

b) xy - 3 xy5

=

c) 4 3ab ab3 2

− =

d) 1 2 3xy xy xy6 3 4

2 2 2− + =

e) 2 2 21 1 1a b a b a b2 3 6

− + =

f) 2ax ax ax3 6

− − =

g) 7 3 1xy xy xy

10 5 15− + =

h) 2 2 21 1ab ab ab2 4

− − =

i) 1 1 5 3y y y y2 3 6 4

+ − + =

j) 3 2 3 2 3 2 3 21 3 3a b a b a b a b2 5 10

− + + + =

3 Calcule:

a) 1,6ax + 3,75ax = b) 5,43x2 - 0,48x2 - 0,5x2 = c) 3,4y - 1,78y = d) 6xy - 0,7xy - 1,5xy - 2,4xy = e) 2,8x2y - 0,5x2y - 1,6x2y - 0,3x2y = f) - 1,75a4 - 0,6a4 - 1,2a4 - 1,05a4 = g) 0,5ab - 0,3ab + ab + 0,8ab = h) 0,25x3y2 - 1,5x3y2 + 0,125x3y2 = i) - x3 - 0,8x3 + 3x3 - 0,25x3 = j) 2mn + 2,2mn - 3,4mn + 1,75mn =

4 Simplifique as expressões algébricas: (Esse exercício deve ser feito no seu caderno)

a) 30ab + (- 25ab) - (+ 2ab) - (+ 10ab) = b) 10x + (+ 3x) - (- 12x) + (- 11x) + (- 2x) = c) 10ax - (- 7ax) - (+ 8ax) + (+ 3ax) - (+ 9ax) = d) 8y - (- 4y + 7y) - (3y - 5y) - 9y = e) 10x2y - [5x2y + (3x2y - 6x2y) - (9x2y - 13x2y)] = f) 4x2 - [2x2 - (6x2 - 7x2) - 3x2] - (5x2 - 9x2 + 3x2) = g) ay + [8ay - (- 2ay + 10ay) + 6ay] - (- 2ay + 4ay) = h) 5xy2 - {2xy2 - [7xy2 - (2xy2 + 5xy2 + 7xy2) - xy2] - 3xy2} = i) 12x2y2 - {2x2y2 - [5x2y2 + (4x2y2- 7x2y2) - 3x2y2] + 6x2y2} = j) 2a2 - {- a2 - (4a2 - 3a2) + [10a2 - (31a2 - 27a2)] + 3a2} =


12


a) 1,1x3y - 0,48x3y - 1,05x3y + x3y - 0,07x3y =

b) - 3,1ap + (2,4ap - 3,8ap) - (1,6ap - 2ap) =

c) 0,7a2x - [0,2a2x + (5a2x - 3,7a2x) - 1,4a2x] - 0,4a2x =

d) - 1,5p2q5 + 1,75p2q5 - 0,125p2q5 + 0,2p2q5 - 0,075p2q5 =

e) 2 2 2 27 1ab 2ab ab ab3 3

⎡ ⎤⎛ ⎞− − −⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦ =

f) 1 1x 1,1x x 0, 4x6 2

⎡ ⎤⎛ ⎞− − −⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦ =

g) 1 2 1 1by by 1,2by by by4 3 2 30

⎡ ⎤⎛ ⎞− − − − + −⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦ =

h) 2 3 2 3 2 3 2 35 3 5 2x y x y x y x y12 4 6 9

⎡ ⎤⎛ ⎞− − + −⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦ =

i) 1 2 1 1mn mn mn mn mn

10 5 2 4⎧ ⎫⎡ ⎤⎛ ⎞− − + + −⎨ ⎬⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦⎩ ⎭

=

j) 1 2 3 1 2m m m m m m 3m m

12 3 4 10 5⎧ ⎫⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞− − + − − + − − −⎨ ⎬⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦⎩ ⎭

=

6 Simplifique as expressões e calcule o seu valor numérico. (fazer no seu caderno)

a) 15x + [- 5x + (5x - 7x + 3x - 4x) - 3x], para x = 5.

b) (- 10x2y2 + 15x2y2 - x2y2) - [7x2y2 + (- 4x2y2 + 2x2y2) - 3x2y2], para x = 1 e y = 2.

c) 5x2y - [- x2y - (3x2y - 5x2y) - (8x2y - x2y) - 4x2y] - 10x2y, para x = 6 e 151y = .

d) 15ab - {(ab + 6ab + ab) - [(2ab - ab) - (10ab + 2ab)]}, para a = 2 e b = 3.

e) 12xy2 - {- xy2 + [- xy2 - (- 18xy2 - 4xy2) - 3xy2] - 8xy2 - 5xy2}, para 61x = e

23y = .

Para se entender bem a multiplicação de monômios, é muito importante recordarmos a propriedade da potenciação:

.am . an = am + n, com a ≠ 0. Para multiplicar dois ou mais monômios, devemos:

♦ multiplicar os sinais;

♦ multiplicar os coeficientes;

♦ multiplicar as partes literais entre si, usando a propriedade acima.


13

a) (+5a3).(- 3ab) = - 15a4b

b) (- 8x2y3).(- 2a2y) = + 16a2x2y4

c) (- 1,35xy2).(+ 0,4x2y) = - 0,54x3y3

d) 4 5ab . ax5 3

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

= 24- a bx3

e) 3 212 5m n . - mn15 18

⎛ ⎞ ⎛ ⎞−⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

= 4 32 m n9

+

1 Calcule os produtos: 2 Calcule os produtos:

a) x2 . x3 = a) (+ 2x).(+ 3x2y) =

b) 2x5 . 3x2 . x = b) (- 3xy3).(+ 4xy) =

c) (+ 4x).(- 3x2) = c) (- 5axy).(- 3a2y2) =

d) (- 7x2).(- 5x4) = d) (+ 6a).(- a).(- 4a2) =

e) (- 6m4).(- 2mx2) = e) (- 5x).(- 3xy).(- 2xy2) =

f) (+ 8am2).(+ 2a2m3) = f) (- 2x).(+ 5xy).(- x4) =

g) 5a3x . ax . 3a2y = g) (- a2c).(+ ac3).(+ a2c2) =

h) (- 6x4y2).(- 3xy2) = h) (- 4x2).(+ 2x3).(- 3x) =

i) (+ 2a2b3).(+ 5ab2) = i) (+ 7x2y4).(- 2xy2).(- xy) =

j) (+ 8x2).(- 7x4) = j) (- 5ab2).(+ 4b).(- a3x5) = 3 Calcule os produtos:

a) 21 4a . a2 5

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

= f) 5 2 33 15a m . am5 9

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

=

b) 3 2 23 2x y . x y4 3

⎛ ⎞ ⎛ ⎞− +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

= g) 21 2( a). a2 3

⎛ ⎞− +⎜ ⎟⎝ ⎠

=

c) 21 3a x . y3 4

⎛ ⎞ ⎛ ⎞− −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

= h) 2 2 33 4xy .( 4xy ). x y2 3

⎛ ⎞ ⎛ ⎞− + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

=

d) 310 2a . a3 5

⎛ ⎞ ⎛ ⎞− −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

= i) 22 5am . an .( 7mn)5 7

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

=

e) 3 21( 7xy ). x y14

⎛ ⎞− −⎜ ⎟⎝ ⎠

= j) 2 32( 12mnp). m n .( 5np)3

⎛ ⎞− − +⎜ ⎟⎝ ⎠

=


14

4 Calcule os produtos:

a) (- 1,4xy2).(- 0,3x2y2) = f) (+ 2,5a6x5).(- 5a) = b) (+ 1,5a).(- 0,5a2x) = g) (- 1,5x3).(- 0,3ax2) = c) (- 2xy).(- 1,5x2y3) = h) (+ 1,6m2n).(- 0,5am) = d) (- 4,5y2).(+ 0,3x2y2).(- y3) = i) (- 0,75x).(- 0,2ax).(+ 1,6a2x2) = e) (0,1xy).(100xy2).(0,01x3) = j) (- 1,2pq2).(+ 6p3).(+ 0,5pq) =

5 Escreva o monômio que representa a área da figura:

6 Qual é o monômio que representa o volume da figura?

7 Calcule: Observe a figura abaixo e calcule o que se pede:

a) o monômio que representa o volume do sólido.

b) o valor numérico do volume quando a = 12

e b = 4.

Vamos recordar a propriedade da potenciação:

.am : an = am - n, com a ≠ 0. Para dividir dois monômios, devemos:

♦ dividir os sinais; ♦ dividir os coeficientes; ♦ dividir as partes literais entre si, usando a propriedade acima.

a) (-6x5y2):(+3x3y) = - 2x2y b) (- 5m4n):(- 3m2n) = 25 m3

c) 4 3 25 10x y : xy6 9

⎛ ⎞ ⎛ ⎞− +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

= 35 9. .x y6 10

⎛ ⎞ ⎛ ⎞− +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

= 33- x y4


15

1 Calcule: 2 Calcule:

a) x8 : x5 = a) (- 5x2y2):(+ 5x2y2) =

b) 12y6 : 4y2 = b) (+ 8a3):(- 4a) =

c) 20a5y2 : (- 5a2y) = c) (- 12x3y2):(- 2xy) =

d) (- 32m4y2):(- 8m2) = d) (27x5y4):(9x3y2) =

e) (+ 9xy6):(- 3xy4) = e) (- 6p10q8):(+ 3p9q5) =

f) (- 2a2b3):(- ab3) = f) (- 14xy3):(- 7xy2) =

g) (- 20x2y3):(- 5xy2) = g) (- 24a3b8):(+ 4a2b7) =

h) (+ 15x8):(+ 3x6) = h) (+ 2x3y):(- 4x2)

i) (- 12m7n2):(+ 3m2n2) = i) (- 15a7b5):(+ 20a5b5) =

j) (+ 36ab3):(- 12ab2) = j) (- 21x4y2):(- 14x2) =

3 Calcule:

a) 5 31 2p : p3 5

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

=

b) 25 10a c : ac6 9

⎛ ⎞ ⎛ ⎞− −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

=

c) 8 2 6 22 4x y : x y5 5

⎛ ⎞ ⎛ ⎞− −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

=

d) 4 21x : x3

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

=

e) 15 121 a : ( 3a )2

⎛ ⎞+ −⎜ ⎟⎝ ⎠

=

f) 7 3 43 1a b : a b4 8

⎛ ⎞ ⎛ ⎞− −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

=

g) 6 51 1an : an8 2

⎛ ⎞ ⎛ ⎞− −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

=

h) 2 2 23( 0,4xy z ) : xyz5

⎛ ⎞− −⎜ ⎟⎝ ⎠

=

i) 4 3 22 4a x : ax7 7

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

=

j) 5 35 5by : by3 3

⎛ ⎞ ⎛ ⎞− −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

=

4 Calcule:

a) (- 2xy4):(- 0,5y2) = f) (+ 1,5x3y3):(- 5x3y3) =

b) (- 0,4a2b4):(+ 0,25ab2) = g) (- 0,25mx2):(- 2x) =

c) (+ 0,1a6x2):(- 0,01a3) = h) (4,096p5q2):(1,6p3q) =


16

Precisamos recordar a propriedade da potenciação:

.(am)n = am . n, com a ≠ 0. Para elevarmos um monômios a um potência dada, devemos:

♦ elevar o sinal ao expoente dado;

♦ elevar o coeficiente ao expoente dado;

♦ elevar a parte literal ao expoente dado, usando a propriedade acima.

a) (+ 2x2y)2 = 4x4y2

b) (- 5a3b2)2 = 25a6b4

c) (- 0,5m5n)3 = - 0,125m10n3

d) 2

3 22 a b3

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

= 6 44 a b9

e) (- 2p3q2)5 = - 32p15q10


a) (a4)2 = a) (- 2m3n2)6 =

b) (2x2)3 = b) (- 5x2y3z)2 =

c) (a2m)5 = c) (+ 8a2bc3)2 =

d) (3x3y2)2 = d) (- 3x2y)3 =

e) (4a3m2z)3 = e) (- am6x3)4 =

f) (5x2y2)2 = f) (- 2a2c3)3 =

g) (- 4a2y)2 = g) (- 5x4y3)2 =

h) (- 2p2q)3 = g) (+ 4p2q5)3 =

i) (- 2a3)6 = i) (- 2a5b2c4)5 =

j) (+ 3ax5)2 = j) (+ 5a3m4n2)3 =

3 Calcule:

a) (- 0,2x2)2 = f) (+ 2,5ab5)2 =

b) (+ 1,5b2y3)2 = g) (0,1x2y)5 =

c) (0,4a5b3)3 = g) (- 1,5a2y3)3 =

d) (- 0,3a3b2z)2 = i) (0,8m5n3)2 =

e) (- 1,2p4q2)2 = j) (- 0,4a2b3c4)3 =


17

4 Calcule:

a) 2

23 p5

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

= f) 2

3 22 x y3

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

=

b) 3

2 32 x y3

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

= g) 3

4 34 x yz5

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

=

c) 4

23 ac5

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

= h) 2

21 x y4

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

=

d) 3

2 52 m n5

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

= i) 4

21 ab c3

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

=

e) 2

5 43 b c4

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

= j) 4

3 42 am n5

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

=

Vamos recordar a propriedade radiciação:

≥ ≥nm n ma = a , co m a 0 e m 2

O estudo da radiciação de monômios é semelhante ao que foi visto com números racionais positivos. Acompanhe os exemplos:

a) 36 = 26 = 6 b) 3 27 = 33 = 3

c) 2581

= 2

2

59

= 25

9⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

= 59

d) 364

125− =

33

3

4-5

= 3

345

⎛ ⎞− ⎜ ⎟⎝ ⎠

= 4-5

Vamos considerar, para o estudo da raiz quadrada de monômios, que todas as variáveis utilizadas assumam valores reais positivos, isto é, não podem ser valores negativos.

a) . 216b = 4b a raiz quadra de 16 é 4 e o expoente de b foi dividido pelo índice da raiz

b) 6 93 64a b = 4a2b3 a raiz cúbica de 64 é 4 e os expoentes de a e b foram divididos pelo índice da raiz.

c) 6 425 x y49

= 3 25 x y7

foi extraída a raiz da fração e divididos os expoentes do radicando.

d) 8 20, 25m n = 8 225 m n100

= 45 m n10

= 41 m n2

o decimal foi passado para fração e extraída sua raiz, os expoentes foram divididos pelo índice da raiz e a fração foi simplificada.


18


a) 6x = a) 2 464a m =

b) 2 4a b = b) 4625x =

c) 225x = c) 12 8324m n =

d) 64a = d) 16400x =

e) 4 849a b = e) 6 8 10289a m n =

f) 69m = f) 8 122,25p q =

g) 8 216x y = g) 6 101,96x y =

h) 2 6 881a b c = h) 6 40,25a p =

i) 2 10169x y = i) 2 80,01x y =

j) 4 6144a m = j) 80,49x =

3 Calcule:

a) 21 x4

= f) 6 938 a m27

=

b) 10 64 x y25

= g) 8 12416 x y81

=

c) 6 1081 a m100

= h) 5 1551 a c32

=

d) 2 625 a c64

= i) 3 6 931 a b c8

=

e) 8 41 a x9

= j) 12 15364 a m

125 =


19

Polinômio é uma sentença algébrica formada por monômios associados pelas operações da adição e subtração. Exemplos:

a) 5a2b3 → monômio b) x2 - 3x → binômio c) x + 2y - 5 → trinômio d) x3 - 3x2 + 5x - 10 → polinômio

Observações: • Toda adição algébrica de monômios é chamada de polinômio.

• Qualquer monômio é um polinômio.

• Os monômios que formam um polinômio são chamados de termos do polinômio.

• O grau de um polinômio é dado pelo seu termo de maior grau.

Para se somar algebricamente dois ou mais polinômios, devemos reduzir os termos semelhantes. Acompanhe com atenção os exemplos abaixo:

a) (5x - 3) + (x + 7) = polinômio dado

5x - 3 + x + 7 = eliminando os parênteses

5x + x - 3 + 7 reduzindo os termos semelhantes

.6x + 4. polinômio reduzido

b) (5x4 - 3x3 + 12x2 -7) - (3x4 + 10x2 - 3x - 5) = polinômio dado

5x4 - 3x3 + 12x2 - 7 - 3x4 - 10x2 + 3x + 5 = eliminando os parênteses

5x4 - 3x4 - 3x3 + 12x2 - 10x2 + 3x - 7 + 5 = reduzindo os termos semelhantes

.2x4 - 3x3 + 2x2 + 3x - 2. polinômio reduzido

c) 2 2 2 2 2 22 1 1 1 1 1 1x y y x x y3 2 3 3 2 2 4

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + − − + + − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

polinômio dado

2 2 2 2 2 22 1 1 1 1 1 1x y y x x y3 2 3 3 2 2 4

+ + − + − + − − eliminando os parênteses

2 2 2 2 2 22 1 1 1 1 1 1x x x y y y3 2 3 4 2 3 2

+ − + − − + − + reduzindo os termos semelhantes

2 2 2 2 2 24x 6x 3x 12y 4y 3y 3 2 3

6 12 6+ − − − − +

+ + mmc de polinômios semelhantes

2 27 5 2x + y +6 12 3

polinômio reduzido


20 d) Sejam os polinômios A = x2 - 3x + 2, B = 3x3 + 5x2 - 4x - 5 e C = 3x2 - 10x - 7, determine A + B - C.

(x2 - 3x + 2) + (3x3 + 5x2 - 4x - 5) - (3x2 - 10x - 7) =

x2 - 3x + 2 + 3x3 + 5x2 - 4x - 5 - 3x2 + 10x + 7 =

3x3 + x2 + 5x2- 3x2 - 3x - 4x + 10x + 2 - 5 + 7 =

.3x3 +3x2 + 3x + 4.

1 Calcule: a) (9x - 7y) + (- 6x + 3y) =

b) (6x2 + 8x - 3) + (x3 - 2x2 - 5x + 7) =

c) (4x2 - 4x + 5) - (2x2 + 7x - 1) =

d) (x4 - 2x2 - 5x - 6) - (2x3 - 5x2 - 2) =

e) (7x + 2y - 6) + (- 3x - 4y + 5) =

f) (x3 - 3x2 - 2x - 2) - (x2 + 3x - 4) =

g) (5x3 + 4x2 - 2x + 1) + (- 2x3 - 4x2 + 7x - 3) =

h) (2x3 - 10x2 + x) - (- 8x2 - 2x + 3) =

i) (a4 + 5a3 + a2) - (- a2 + 3a + 6) =

j) (x3 - 5x2 - 4x + 3) + (2x2 + 8x - 5) = 2 Calcule:

a) (4x2 - 7x + 2) + (x3 + 3x2 + 2x + 3) - (x2 - x - 1) =

b) (x3 - 4x2 + 6x - 4) - (2x3 - 3x - 5) + (4x3 + 9x2 - 11x - 3) =

c) (7a2 - 3ab +2b2) - (3a2 - 5ab - c2 - 3b2) + (- 6ab - c2) =

d) (9x3 - 8x + 10) + (- 3x2 + 6x - 2) - (7x3 - 5x2 + 4x + 5) =

e) (ab + a2b2 - 7a - b) - (4a2b2 - 7a + 3b - ab) + (4b + 5a2b2) =

f) (7m3 - 2m2 + 3m - 5) + (m3 - 4m + 9) - (5m3 + 4m2 - m + 1) =

g) (3a4 - a2 + 7a - 1) - (2a4 + 3a3 + 5a - 6) + (5a3 - 3a2 + a - 2) =

h) (x3 + 5x2 - 3x + 11) - (3x2 - 9x + 7) - (4x2 - 3x) =

i) (x2 - 3x + 5) + (x3 - 4x2 + x + 2) - (- 2x2 - x - 4) =

j) (5y3 - 6y2 - 5y + 10) - (y3 - y2 - 2y - 1) + (y3 + 3y2 - 15) = 3 Calcule:

a) 2 2 2 22 1 1 1x xy y xy y x3 2 3 3

⎛ ⎞ ⎛ ⎞− + − + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

=

b) 2 23 2 1 3x x 2 x2 5 6 4

⎛ ⎞ ⎛ ⎞− + + − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

=

c) 2 3 1 1 1ax xy ay ax xy ay3 4 2 2 2

⎛ ⎞ ⎛ ⎞− + − − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

=


21

4 Simplifique as expressões: a) (4x2 - 2x + 3) - 3.(x2 + 6x - 8) + 2.(3x2 + 7x - 15).

b) 2.(x3 - 3x2 + 2x - 5) + 3.(x2 - 5x + 3) - 5.(x2 - 4x - 1).

c) (x3 + 7x2 - 4x + 15)+ 3.(x2 - 2x + 6) – 5.(x2 - 2x + 9) - 4(x + 2).

d) (x3 + 6x2+ 5x + 2) - 3.(3x2 - 6x - 5) + 5.(x2 - 4x - 3).

e) 2.(x2 + 5x - 6) - 3.(x2 - 5x - 8) + 4.(x2 - 5x - 5).

f) (x3 - 5x2 + 2x + 8) - 2.(x2 + 6x + 5) - 3.(- x2 - 5x + 2).

g) 6.(a + ax + x) - 2.(a - ax - x) + 3.(- a - ax + x).

h) 3.(x2 + 2x + 1) - 2.(x2 - 3x + 1) - 5.(2x - 1).

i) 2.(3x3 - 5x2 - 9x + 1) - 3.(4x2 - x - 2) + 4.(- x3 + 4x2 + 6x).

j) 3.(2x3 - x2 + 4x - 3) - 5.(4x2 - 2x + 1) + 6.(3x2 - 5x + 4). 5 Sejam os polinômios A = 2x3 - x2 + 5x + 3, B = 4x2 - 2x + 1 e C = 3x2 - 5x + 4, determine:

a) A + B + C. d) 3A - 4B - 5C.

b) 2A - 3B - C. e) A + 4B - 5C.

c) A + 2B - 3C. 6 Dados A = 2x3 + 3x2 + 5x - 4, B = 4x2 - 5x + 2 e C = - 4x + 3, calcule:

a) 2A - 3B + 5C.

b) A - 3B + 4C.

c) 3A - 2B + 5C.

7 Dados os polinômios A = x2 - 3x + 6, B = x3 - 4x2 - 3x + 5 e C = 3x - 4. Calcule: a) - A + B - C. c) 3A + 2B + 4C.

b) 2A + 3B + 7C. d) - A + 2B + 5C. 8 Simplifique a expressão: 2.(a3 - 5a + 3) + 5.(a4 - 2a3 + 3a + 1) - 3.(2a2 + 3a - 7) e calcule o seu valor numérico para a = 2.

9 Dada a figura abaixo, determine:

a) o polinômio que representa o perímetro do retângulo.

b) o valor numérico do perímetro para x = 8 e y = 3.

Dados A = 2x3 + 3x2 - 5x - 4, B = 4x2 - 5x + 2 e C = 2x + 3, calcule: a) A + B + C. d) A - 3B + 4C.

b) 2A - 3B + 5C. e) A + 2B - 5C.

c) A - 2B + 3C.


22

Vamos estudar dois casos de multiplicação de polinômios:

1º caso - Monômio por polinômio:

1) Calcule os produtos: a) 2x.(x2 - 3x + 1) = .2x3 - 6x2 + 2x.

b) 5x2y.(x2 - 3xy + 2y2) = .5x4y - 15x3y2 + 10x2y3.

c) 3a.(a3 - 2a2 + 3a - 5) = .2a4 - 6a3 + 9a2 - 15a.

2º caso - Polinômio por polinômio:

2) Calcule os produtos: a) (x - 3).(x + 2) = b) (x2 - x).(2x - 3) =

x2 + 2x - 3x - 6 = 2x3 - 3x2 - 2x2 + 3x =

.x2 - x - 6. .2x3 - 5x2 + 3x. c) (3x + 5).(4x - 2) =

12x2 - 6x + 20x - 10 =

.12x2 + 14x - 10.

d) (x + 3).(x - 2).(x - 4) =

(x2 - 2x + 3x - 6).(x - 4) =

(x2 + x - 6).(x - 4) =

x3 - 4x2 + x2 - 4x - 6x + 24 =

.x3 - 3x2 - 10x + 24.

e) (a + 2).(a - 3).(2a - 1) =

(a2 - 3a + 2a - 6).(2a - 1) =

(a2 - a - 6).(2a - 1) =

2a3 - a2 - 2a2 + a - 12a + 6 =

.2a3 - 3a2 - 11a + 6. 3) Simplifique a expressão: 3.(x - 1).(x - 2) + (x - 3).(x + 4) - 3.(x + 3).(x - 2) + 5.(x - 2) =

3.(x2 - 2x - x + 2) + (x2 + 4x - 3x - 12) - 3.(x2 - 2x + 3x - 6) + 5x - 10 =

3x2 - 6x - 3x + 6 + x2 + 4x - 3x - 12 - 3x2 + 6x - 9x + 18 + 5x - 10 =

23x + x2 - 23x - 6x - 3x + 4x - 3x + 6x - 9x + 5x - 12 + 18 - 10 =

.x2 - 6x + 2.


234) Observe a figura abaixo:

a) Escreva o polinômio que representa o perímetro da figura. P = 2.(3x + y) + 2.(3x - 2y)

P = 6x + 2y + 6x - 4y

.P = 12x - 2y.

b) Determine o valor numérico do perímetro quando x = 6 e y = 4. V. N. = 12 . 6 - 2 . 4

V. N. = 72 - 8

.V. N. = 64.

c) Escreva o polinômio que representa a área da figura. A = (3x + y).(3x - 2y)

A = 9x2 - 6xy + 3xy - 2y2

.A = 9x2 - 3xy - 2y2.

d) Determine o valor numérico da área quando x = 6 e y = 4. V. N. = 9x2 - 3xy - 2y2

V. N. = 9 . 62 - 3 . 6 . 4 - 2 . 42

V. N. = 9 . 36 - 18 . 4 - 2 . 16

V. N. = 324 - 72 - 32

V. N. = 324 - 104

.V. N. = 220.

5) Dado o sólido geométrico abaixo, determine:

a) o polinômio que representa o volume do sólido. V = (2x + 5).(x + 2).(x - 3)

V = (2x2 + 4x + 5x + 10).(x - 3)

V = (2x2 + 9x + 10).(x - 3)

V = 2x3 - 6x2 + 9x2 - 27x + 10x - 30

.V = 2x3 + 3x2 - 17x - 30.


24 b) o valor numérico do volume para x = 5.

V. N. = 2x3 + 3x2 - 17x - 30

V. N. = 2.53 + 3.52 - 17.5 - 30

V. N. = 2.125 + 3.25 - 17.5 - 30

V. N. = 250 + 75 - 85 - 30

V. N. = 325 - 115 .V. N = 210.

1 - Calcule os produtos: 2 - Calcule os produtos:

a) 5x.(2x2 - x) = a) am3.(3a2m - 2m5) = b) 4ab.(a2 - 2ab + b2) = b) 3x.(2x - 5) = c) x2y2.(x2 + xy - y2) = c) (x2 + y).x = d) 4a2b.(2a3 - 3ab2 + b) = d) (y2 - 4y).2ay4 = e) 3a.(2a2 - 5b2) = e) (x2 - 3).(- 2x3) = f) b.(2a + b) = f) (a + m).(- am2) = g) 2x.(4p - 5q2) = g) (- p2 - 2p + 1).(- p3) = h) 8.(x2 - 3x + 2) = h) xy2.(xy + x2y - 4xy2) = i) 5x2.(x - 3) = i) 5y3.(2y4 + 5y5 - 8y3) = j) - x.(- ax + xy) = j) x.(x + y - xy + 5x2) =


a) (x + 7).(x - 4) = a) (x + 2).(3x - 4) = b) (y - 6).(y - 5) = b) (x2 - x + 1).(x3 - 2x) = c) (2a + b).(a - 2b) = c) (a2 + ab + b2).(a - b) = d) (a - y).(a - 2x) = d) (x + 2).(x3 - 2x2 +3x - 5) = e) (ab - 2x).(ab + x) = e) (a + 2x).(3a + 5x) = f) (x2 + 5y).(2 - 3x) = f) (x2 - x - 2).(x - 3) = g) (3mx + y).(mx - 2y) = g) (x2 + 2x - 3).(x2 - 2x + 3) = h) (2a + 5).(2a - 3) = h) (x + y - 2).(x - 2y) = i) (x2y + 2).(5 - y2) = i) (x3 - x2 - 2x - 5).(x2 + x - 2) = j) (y4 - y3).(y2 - 2) = j) (a3 + a2 - 3a).(a2 - 4a - 2) =

5 - Calcule os produtos:

a) (x + 9).(x - 6) = f) (x + 3).(x2 + 2x - 2) = b) (a + 2y).(a - 3y) = g) (2a - b2).(a2 - 3ab - 4b2) =3 c) (y - 4).(y - 12) = h) (a2 - ay + y2).(2a + y) = d) (b + 2a).(a - b) = i) (x3 - 2x2 - 5x).(x2 - 2x) = e) (x + a).(3x - 4a) = j) (2a + b).(a + 3b) =


256 - Calcule os produtos:

a) x.(x - 2).(x - 4) = f) (y2 - 1).(y + 2).(y2 - 3) = b) (a - b).(a - 3b).(2a - b) = g) (a + 2x).(a - 3x).(a + x) = c) (a + b).(a + b).(a + b) = h) (x + 3).(x + 2).(x - 1) = d) (x - 4).(x - 5).(x + 2) = i) (x - 1).(x + 2).(x - 4) = e) (x + 3).(x - 2).(x - 1) = j) (x - 3).(x + 2).(x - 2) =


a) (x - y).(x - 2y).(x + 3y) = a) (x + 8).(x - 1) = b) (a - b).(3a - 2b).(a + b) = b) (5x + y).(x + 3y) = c) (x - 2).(2x + 7).(x + 3) = c) (xy + 6).(x - y2) = d) (a + 2x).(a - 3x).(a + x) = d) (x2 + 3x - 4).(x - 2) = e) (x + 3).(x + 2).(x - 1) = e) (y2 + y - 3).(y + 5) = f) (x - 1).(x + 2).(x - 4) = f) (2x + 3).(2x - 1).(x - 2) = g) (p - 1).(p + 1).(p + 2) = g) (x - 3).(x - 4).(x + 2) = h) (x - 3).(2x + 3).(x + 1) = h) (x - 2).(x + 5).(x + 4) = i) (x + 2).(x - 3).(x + 4) = i) (x - y).(x - 2y).(x + 3y) = j) (x + 1).(x - 2).(x - 3) = j) (a - 3).(a + 2).(a - 5) =

9 - Simplifique as expressões algébricas:

a) (x2 + 2x + 4).(x - 2) - (x2 - 2x + 4).(x + 2) = b) (x + 1).(x - 2) + (x - 5).(x + 6) - 2.(x + 3).(x - 4) = c) (x2 - xy + y2).(x + y) - (x2 + xy + y2).(x - y) = d) (x - 5).(x2 - 3x - 2) + 2.(x + 1) - 5.(x + 3) = e) 2.(x + 6) - 3.(x + 5) + 3.(x + 3) - (x + 5) = f) x.(x + y - 1) + y.(- x + y + 1) + (x - y + 1) = g) (x - 1).(x2 + x - 1) - (x - 1).(x2 + 1) = h) 3.(a2 + a + 1) + 2.(a2 + 2a - 2) - (a2 - 3a - 3) - a.(2a + 5) = i) 2.(3x - 2).(x + 3) - 3.(x + 2).(1 - x) - 3x.(2x + 3) = j) 2.(5x2 - 3x) + (3x - 1).(x2 - x + 1) + 3.(x2 - 1) =

10 - Resolva os problemas:

a) Se A = x - 2, B = x - 1 e C = x2 + 1, determine o polinômio A.B - 2.C e seu valor numérico, para x = - 5.

b) Sendo A = 3 - 2x, B = 2x + 4, C = 5 - x e D = x - 3, determine o polinômio que representa a expressão 3AC - 2BD - 20A.

c) Dados A = 3 - 2x, B = x - 8, C = 5 - 2x e D = 3 - x, calcule 2AC + 3BD. d) Dados A = a2 + a + 1, B = a2 + 2a - 2 e C = a2 - 3a - 3, calcule: 3A + 2B - C. e) Sendo A = 4x2 - 3x, B = 3x - 1, C = x2 - x + 1 e D = 3x2 - 1, calcule 2A + BC,

(A - D).(B + C) e - A + CD + B. f) Simplifique a expressão: (x + 2a)3 - ax.(5x + 7a) - a.(x + 2a)2 e determine o seu valor

numérico quando a = x = - 1. g) Simplificando a expressão (m + n)2 - (2m + n)(n - m) - m.(2m + n) e seu valor

numérico para m = - 3.


26

h) Considere os polinômios: A = x - 2, B = x - 3, C = x + 2 e D = 4x - 5. Calcule o valor da expressão: A2 - 2B2 - 3D + AC + 8x.

i) Se P = x + 1 e Q = x - 1, determine o polinômio que representa a expressão PQ + 3Q2 + 3Q + 1 e seu valor numérico para x = 2.

j) Dados os polinômios A = x2 + 5x - 6, B = x2 - 5x - 8 e C = x2 - 5x - 5, calcule 2A - 3B + 4C e o seu valor numérico para x = 4.

11 - Dada a figura abaixo, determine:


b) o valor numérico do perímetro para x = 3.

c) o polinômio que representa a área do retângulo.

d) o valor numérico da área para x = 3. 12 - Observe a figura abaixo:

a) Escreva o polinômio que representa o perímetro da figura.

b) Determine o valor numérico do perímetro quando a = 8 e b = 4.

c) Escreva o polinômio que representa a área da figura.

d) Determine o valor numérico da área quando a = 8 e b = 4. 13 - Observe a figura abaixo:

a) Escreva o polinômio que representa o perímetro da figura.

b) Determine o valor numérico do polinômio acima quando x = 4.

c) Escreva o polinômio que representa a área da figura.

d) Determine o valor numérico do polinômio acima quando x = 4.


27

14 - Observe a figura abaixo, determine:

a) o polinômio que representa o perímetro da figura.

b) o valor numérico do polinômio acima quando x = 3 e y = 5.

c) o polinômio que representa a área da figura.

d) o valor numérico do polinômio acima quando x = 3 e y = 5.





d) o valor numérico da área para x = 3.





d) o valor numérico da área para x = 4. 17 - Dado o sólido geométrico abaixo, determine:

a) o polinômio que representa o volume do sólido.

b) o valor numérico do volume para x = 6.


28

18 - Dado o sólido geométrico abaixo, determine:


b) o valor numérico do volume para x = 6. 19 - Dado o sólido geométrico abaixo, determine:


b) o valor numérico do volume para x = 5. 20 - Considere o sólido da figura abaixo:

a) Escreva o polinômio que representa o volume do sólido.

b) Calcule o valor numérico para x = 6.

21 - Os polinômios x + 1, x + 2 e x + 3 são as medidas de um paralelepípedo retângulo. Determine o polinômio que representa o volume do sólido e o seu valor numérico para x = 2.

22 - As arestas de um paralelepípedo retângulo são expressas x - 3, x + 2 e x - 4. Calcule: a) o polinômio que representa o volume do paralelepípedo.

b) o seu valor numérico para x = 8.

23 - Considere o sólido da figura abaixo:

a) Escreva o polinômio que representa o volume do sólido.

b) Calcule o valor numérico para x = 4.


29

O quadrado da soma de dois termos, a e b, é indicado por (a + b)2. Como (a + b)2 = (a + b).(a + b), temos:

(a + b)2 = a2 + ab + ab + b2

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2. Podemos enunciar uma regra prática:

“O quadrado da soma de dois termos é igual ao quadrado do primeiro termo, mais duas vezes o primeiro vezes o segundo, mais o quadrado do segundo termo”.

a) (x + 2)2 = x2 + 2.x.2 + 22 = x2 + 4x + 4.

b) (3x + 2y)2 = (3x)2 + 2.3x.2y + (2y)2 = 9x2 + 12xy + 4y2.

c) (x + 3y)2 = x2 + 2.x.3y + (3y)2 = x2 + 6xy + 9y2.

1 Desenvolva os quadrados da soma:

a) (x + 5)2 = b) (a + 7)2 = c) (x + 8)2 = d) (h + 4)2 = e) (x + 6)2 = f) (3x + 1)2 = g) (4a + 5b)2 = h) (m3 + 2n)2 = i) (2 + xy)2 = j) (x2 + x3)2 =


a) (5x2 + 4y)2 = b) (x + 2y)2 = c) (2x + 5)2 = d) (3x + 2)2 = e) (a + 3x)2 = f) (5x2 + 1)2 = g) (x3 + 6)2 = h) (xy + 5)2 = i) (3m2 + 4n)2 = j) (x5 + x2)2 =

Curso de Matemática Básica Produtos Notáveis

30


a) (2x + 5)2 =

b) (a3 + x2)2 =

c) (3x + 1)2 =

d) (x3 + y2)2 =

e) (3x + y3)2 =

f) (a3 + 2)2 =

g) (3x + y2)2 =

h) (a2 + 4a)2 =

i) (5x3 + 2x2)2 =

j) (a2x3 + a3x2)2 = 4 Desenvolva os quadrados da soma:

a) (3x + y)2 =

b) (2x + 3y)2 =

c) (3a + 2)2 =

d) (5a2 + 1)2 =

e) (4a + y3)2 =

f) (2 + 5x)2 =

g) (4x3 + 3y2)2 =

h) (x + 2y)2 =

i) (4x2 + y2)2 =

j) (3a + 2a3)2 = 5 Desenvolva os quadrados da soma:

a) 21 1x y

2 3⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠

=

b) 2

32 1a a3 4

⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠

=

c) 2

2 22 3x y5 2

⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠

=

d) 2

3 1x m4

⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠

=

e) 223x y

3⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠

=


31

O quadrado da diferença de dois termos, a e b, é indicado por (a - b)2.

Como (a - b)2 = (a - b).(a - b), temos:

(a - b)2 = a2 - ab - ab + b2

(a - b)2 = a2 - 2ab + b2.

Podemos enunciar uma regra prática:

“O quadrado da diferença de dois termos é igual ao quadrado do primeiro termo, menos duas vezes o primeiro vezes o segundo, mais o quadrado do segundo termo”.

a) (x - 2)2 = x2 - 2.x.2 + 22 = x2 - 4x + 4.

b) (3x - 2y)2 = (3x)2 - 2.3x.2y + (2y)2 = 9x2 - 12xy + 4y2.

c) (x - 3y)2 = x2 - 2.x.3y + (3y)2 = x2 - 6xy + 9y2.

1 Desenvolva os quadrados da diferença:

a) (x - 6)2 = b) (3x - y)2 = c) (x4 - 2b3)2 = d) (7m - 2n2)2 = e) (x - 4)2 = f) (x - 5y)2 = g) (2x - 3)2 = h) (1 - ab)2 = i) (x3 - 3x2)2 = j) (x2 - y3)2 =


a) (x2 - 3ax)2 = b) (4x - 2)2 = c) (3x - 5)2 = d) (2 - x3)2 = e) (x - 3)2 = f) (2a - 5)2 = g) (1 - 4y)2 = h) (x2 - 2)2 = i) (x3 - 2x)2 = j) (3x2 - y3)2 =


32


a) (3a - 5)2 = b) (5 - 4a)2 = c) (3x - 2y)2 = d) (a - 2y)2 = e) (4x3 - 3x2)2 = f) (a4 - b2)2 = g) (2a2 - 1)2 = h) (m - 5n)2 = i) (5x - y)2 = j) (2x2 - x3)2 =


a) (2x - 3)2 = b) (a3 - 3a2)2 = c) (x - 5y)2 = d) (x3 - y2)2 = e) (x - 2y4)2 = f) (5x - 2y)2 = g) (x2 - 3y)2 = h) (2a3 - 3b2)2 = i) (y - a2)2 = j) (3a2 - 2)2 =


a) (3x - 1)2 = b) (a3 - 2)2 = c) (x - 5)2 = d) (x - 9)2 = e) (5x2 - 6)2 = f) (a - 2)2 = g) (3x - 2y)2 = h) (y6 - 4)2 = i) (2a - 5b)2 = j) (3m - 5n)2 =

6 Simplifique as expressões: (este exercício deve ser feito no seu caderno)

a) x2 - (x - 3)2 = f) (x + 1)2 - (x + 2)2 + (x + 3)2 = b) (x + 1)2 + (x + 2)2 = g) (x + 5)2 - x.(x + 3) + x2 = c) (2x + 1)2 + (x - 1)2 = h) (3x - 2)2 - (2x - 4)2 = d) (3 - x)2 - 2x.(4 - x) - 2.(x - 2)2 = i) (4x + 3)2 - 2.(3x + 2)2 + 3x2 = e) 2.(2x + 1) + (3x - 4)2 - 2.(2x - 3)2 = j) (2x + 4)2 - (x + 5)2 =


33

O produto da soma de dois termos, a e b, pela sua diferença é indicado por (a + b).(a - b). Como (a + b).(a - b) = a.(a + b) + b.(a - b), temos:

(a + b).(a - b) = a2 - ab + ab - b2

(a + b).(a - b) = a2 - b2. Podemos enunciar uma regra prática:

“O produto da soma de dois termos pela sua diferença é igual ao quadrado do primeiro termo, menos o quadrado do segundo termo”.

a) (x + 2).(x - 2) = x2 - 22 = x2 - 4.

b) (3x + 2y).(3x - 2y) = (3x)2 - (2y)2 = 9x2 - 4y2.

c) (x + 3y).(x - 3y) = x2 - (3y)2 = x2 - 9y2.

1 Desenvolva os produtos da soma 2 Desenvolva os produtos da soma pela diferença: pela diferença:

a) (x + 8).(x - 8) = a) (x2 + 2).(x2 - 2) = b) (x + 4).(x - 4) = b) (3 - 2a).(3 + 2a) = c) (x + 2y).(x - 2y) = c) (4x + 3).(4x - 3) = d) (ab - c).(ab + c) = d) (5 + 3y).(5 - 3y) = e) (5x + 2y).(5x - 2y) = e) (x2 - 3y).(x2 + 3y) = f) (3a + 10).(3a - 10) = f) (a3 + b2).(a3 - b2) = g) (m + 2n).(m - 2n) = g) (2x2 + y3).(2x2 - y3) = h) (x2 + y2).(x2 - y2) = h) (3x + 5).(3x - 5) = i) (1 + xy).(1 - xy) = i) (2 - 3x).(2 + 3x) = j) (2x - 5).(2x + 5) = j) (m2 + 5).(m2 - 5) =

3 Desenvolva os produtos da soma 4 Desenvolva os produtos da soma pela diferença: pela diferença:

a) (a + 7).(a - 7) = a) (3a + 2b).(3a - 2b) = b) (x3 + 3).(x3 - 3) = b) (3a + 10).(3a - 10) = c) (1 + 2a).(1 - 2a) = c) (m + 2n).(m - 2n) = d) (t3 + 5).(t3 - 5) = d) (p + 1).(p - 1) = e) (x2 + x5).(x2 - x5) = e) (2a + 3).(2a - 3) = f) (ab + 3).(ab - 3) = f) (x3 + 2y).(x3 - 2y) = g) (1 + a2x3).(1 - a2x3) = g) (x2 + xy).(x2 - xy) = h) (a3x + 10).(a3x - 10) = h) (2x + 3y).(2x - 3y) = i) (a - 2b).(a + 2b) = i) (m + 2p).(m - 2p) = j) (2x + y3).(2x - y3) = j) (4x + 5y).(4x - 5y) =


34

5 Desenvolva os produtos da soma pela diferença:

a) 2 21 12a b . 2a b3 3

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

= d) 3 3

4 42 2

a ac cb b

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ ⋅ −⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ =

b) 1 13 am . 3 am2 2

⎛ ⎞ ⎛ ⎞− +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

= e) a x a x3 5 3 5

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ ⋅ −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

=

c) 3 3x . x4 4

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

= f) 1 1 1 1m n . m 23 2 3 2

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

=


a) 2a. (a - 5)2 = b) 5.(x - 1) - (x - 4)2 + (x - 5)2 = c) (x - 8)2 + 8.(5x - 6) = d) (x - y)2 - x.(x - 2y) = e) (x - 2)2 + (x + 2).(x - 2) = f) (x + 4)2 + (x + 2)2 - x.(x + 7) - 15 = g) (x + 4).(x - 8) + (x + 4).(x - 4) - (x + 6).(x - 6) = h) (m + 1).(m - 1) + (m + 1)2 - 2m = i) (a + x)2 + (a - x).(a + x) - 2ax = j) (xy - 1)2 - (1 - xy).(1 + xy) + 2xy =

7 Simplifique as expressões: (Esse exercício deve ser feito no seu caderno)

a) x2 + (x - 1)2 - (x + 1).(x - 1) = b) (x - 3)2 + (x + 3).(x - 3) = c) 2.(x + 2)2 - (x + 1).(x - 1) - (x + 1)2 = d) 2.(x + 3).(x - 3) - (x - 4)2 + 2.(x + 9) = e) 3.(x - 2).(x + 2) - (x + 2)2 + (x - 2)2 = f) (x + 1).(x - 1) + (x + 2).(x - 2) - (x + 3).(x - 3) = g) 2.(2x + 3y)2 - (2x + 3y).(2x - 3y) - (2x - 3y)2 = h) (a - x)2 + a.(a - x) - (a - x).(a + x) = i) (2x - y)2 + (x + y).(x - y) + 2xy = j) (2a - 1)2 - (a + 3).(a - 3) - (a + 2)2 =

8 Simplifique as expressões: (Esse exercício deve ser feito no seu caderno)

a) (2x + y).(2x - y) + (x + y)2 = b) (x - 3)2 - (x - 5)2 = c) (a + 1)(a - 1) + 5.(a - 1)2 + 5.(a - 1) + 1 = d) (a - x)2 + (a - x).(a + x) - (a + x)2 + x2 = e) (x2 + 2y)2 + (x2 - y).(x2 + y) - 3x2y = f) (3a2 - b)2 + (b - 3a2).(b + 3a2) + 2.(a2 + b)2 = g) 2.(x - 1)2 + 3.(x - 2)2 - 4.(x + 1).(x - 1) + 5. (3x - 4) = h) 4.(a - 8) - (a + 5).(a - 5) + 5.(a + 4)2 - 5.(3a + 7) = i) (a - x)2 + (a - x).(a + x) - (a + x)2 + 4ax = j) 4.(x + 2)2 - (x + 3)2 - (x + 3).(x - 3) - x.(x + 6) - 8 =

Curso de Matemática Básica Fatoração

35

Fatorar significa transformar em produto, isto é, em multiplicação. Estudaremos seis casos de fatoração: Fator Comum

Agrupamento

Diferença de Dois Quadrados

Trinômio Quadrado Perfeito

Trinômio do 2º Grau

Casos Combinados de Fatoração

Quando uma expressão algébrica (polinômio) apresenta um fator comum a todos os seus termos, podemos transformar num produto indicado onde um dos fatores é o fator comum e o outro é o quociente de cada termo pelo fator comum colocado em evidencia.

Fatore as expressões:

a) 2x + 2y = 2.(x + y)

b) 12ab - 18a = 6a.(2b - 3)

c) 20a4b2 + 50a3b4 - 30a2b7 = 10a2b2.(2a2 + 5ab2 - 3b5)

Obs.: O fator comum literal é sempre a letra que aparece em todos os termos com o menor expoente.

1 Fatore as expressões, colocando os fatores comuns em evidência:

a) 9a + 9b = b) x2 + 3x = c) a3b - ab3 = d) x3 - x2 = e) 2x + 4 = f) y2 - y = g) 4x2y - 6xy = h) 18mn2 - 27mn3 = i) 5a2 - 5a = j) 5x2 + 3x =


36

2 Fatore as expressões, colocando os fatores comuns em evidência:

a) ax4 - 3x3 + 5ax2 =

b) 15x2y + 20xy2 - 10x2y2 =

c) a2y + b2y - c2y =

d) 9ax + 12ay - 15az =

e) 9x2 - 6x + 3 =

f) 10x - 15y + 20z =

g) 2x3 + 4x2 - 6x =

h) 6x4 - 12x3 + 15x2 =

i) 15p2q + 9p2q2 - 18pq2 =

j) 4x5 - 8x4 + 12x3 = 3 Fatore as expressões, colocando os 4 Fatore as expressões, colocando os fatores comuns em evidência: fatores comuns em evidência:

a) x2 - 5x = a) ax + ay =

b) 4x + 2 = b) 3x - 3y =

c) ax - mx = c) 2a + 2b =

d) x2 + x = d) bx + by =

e) x3 - x2 + x = e) 7a - 7b =

f) a3 + 3a2b = f) ab + ac =

g) 4x2 - 6x3 = g) x2 + 3x =

h) x9 + x6 - x4 = h) a2 - a =

i) x2y + y3 = i) x2 + xy =

j) x.(y + 4) - 2.(y + 4) = j) 3ax4 - 9ax3 + 15ax2 = 5 Fatore as expressões, colocando os fatores comuns em evidência:

a) 5x - 20 =

b) 15x3 - 10x2 =

c) m5 - m2 =

d) 4a3 - 6a =

e) 12ax - 16ay =

f) 2ab + 3abc =

g) ab2 + a2bc =

h) 9ax - 6a =

i) 25b2 - 5b =

j) ab2 - a2b =


37

Para fatorar por agrupamento, aplicamos duas vezes o processo do fator comum. Separamos em grupos de dois termos, de modo que haja pelo menos um fator comum em cada grupo.

Fatore as expressões: a) bx + 2x + by + 2y = c) x2 + 5x - ax - 5a =

x.(b + 2) + y.(b + 2) = x.(x + 5) - a.(x + 5) =

(b + 2).(x + y) (x + 5).(x - a)

b) mx - 2mc + 4x - 8c = d) x3 + x2 + x + 1 =

m.(x - 2c) + 4.(x - 2c) = x2.(x + 1) + 1.(x + 1) =

(x - 2c).(m + 4) (x + 1).(x2 + 1)

1 Fatore, por agrupamento, as expressões:

a) x6 + x4 + x2 + 1 = b) 2ab + bc - 10a - 5c = c) ab - ac + 3b - 3c = d) 2x + 2y + bx + by = e) ay + a + xy + x = f) a2 + ab - ax - bx = g) cy - y + cx - x = h) 2x2 - x + 4xy - 2y = i) 2ax + 5x + 6a + 15 = j) ax2 + ay2 + x3 + xy2 =


a) a2b + b - 3a2 - 3 = b) ax + x + a + 1 = c) kb2 + k - 2b2 - 2 = d) mx2 - 2my + 5x2 - 10y = e) ax + bx + ay + by = f) 5m3 - 4m2 + 10m - 8 = g) 2xy + 15 + 6x + 5y = h) bx - x - b + 1 = i) x3 + x - x2 - 1 = j) p2 - pm + pm - m2 =


38


a) ax + ay + 5x + 5y =

b) am - mb + 7a - 7b =

c) ax + 2bx + ay + 2by =

d) ax + 6x - ay - 6y =

e) ax + bx + ay + by =

f) am - bm + an - bn =

g) ay + 3a + y2 + 3y =

h) m2 + mx + mb + bx =

i) bx + by + 2x + 2y =

j) ay + a + xy + x =

4 Fatore, por agrupamento, as expressões: a) a2 - 3a + 2ab - 6b =

b) am + bm - an - bn =

c) ap + px + 3a + 3x =

d) 2ax + bx - 2ay - by =

e) a2 + ab - ax - bx =

f) 2ab + bc - 10a - 5c =

g) 6p2 - 4pq - 9rp + 6rq =

h) mx - nx + 2m - 2n =

i) 5ax - 5a + bx - b =

j) p3 - 5p2 + 4p - 20 = 5 Fatore, por agrupamento, as expressões:

a) m3 + m - m2 - 1 =

b) x2 - xy + xy2 - y3 =

c) mx - nx + 2m - 2n =

d) a3 + a2 + a + 1 =

e) ax + a + 3mx + 3m =

f) ax + x2 + 2a + 2x =

g) ab - y2 + ay - by =

h) ac - ad - bc + bd =

i) mp + mq + np + nq =

j) kx + ky + 2x + 2y =


39

Observe o produto:

termosdoisdediferençapela

somadaproduto

)ba).(ba( −+ = quadradosdois

dediferença

22 ba − .

Pelo que vimos (a + b).(a - b) é a forma fatorada de a2 - b2.

Para fatorar uma diferença de dois quadrados, podemos usar a regra: 1 Achar a raiz quadrada do primeiro termo.

2 Achar a raiz quadrada do segundo termo. 3 O resultado será o produto da soma pela diferença dessas raízes.

Fatore as expressões. a) x2 - 25 = (x + 5).(x - 5) b) a2 - 9 = (a + 3).(a - 3) c) 4x2 - 16b6 = (2x + 4b3).(2x - 4b3)

d) x2y2 - 91 = (xy +

31 ).(xy -

31 )

1 Fatore as diferenças de dois quadrados: 2 Fatore as diferenças de dois quadrados:

a) x2 - 36 = a) a2x4 - 1 = b) x2 - y2 = b) x2 - 100 = c) 9x2 - 16 = c) x4 - 1 = d) 1 - b2 = d) a2 - m2n4 = e) 4m2 - x2 = e) x2 - y2 = f) 49a2 - x2y2 = f) x4y8 - y6 = g) a4 - 9 = g) 25a2 - 4b4 = h) x2 - 81 = h) a2x2 - y2 = i) 36x4 - y6 = i) x6 - 64 = j) 16x6 - 25y4 = j) 4a2 - 9b4 =

3 Fatore as diferenças de dois quadrados: 4 Fatore as diferenças de dois quadrados:

a) a4 - 4 = a) p6 - m4 = b) 9 - a4b6 = b) 36x2 - 49y2 = c) x2m4 - n6 = c) 25x2 - 16p6 = d) 16p2 - 25q2 = d) a2 - 1 = e) 4x2 - 1 = e) x2 - 49 = f) a2 - 25 = f) 4a2 - 9b2 = g) x2 - 4y2 = g) 100 - x2y4 = h) 4x2 - x6y2 = h) 4p2m2 - 121 = i) x6 - 9a4b8 = i) a4x2 - y2 = j) 9 - x2 = j) x2 - 16 =


40

5 Fatore as diferenças de dois quadrados:

a) 4x2 - 49 = f) x2 - y4 = b) a2 - 36 = g) 9x2 - 16 = c) 9a2 - 25b2 = h) 1 - 25a2 = d) a2 - 4b4 = i) x2 - 1 =

e) 2x41 - 2y

361 = j) 36x2 - 4a

251 =

Vimos que: • (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 ou • (a - b)2 = a2 - 2ab + b2

Então: a2 + 2ab + b2 tem para forma fatorada (a + b)2

a2 - 2ab + b2 tem para forma fatorada (a - b)2 Para fatorarmos um trinômio quadrado perfeito, temos que: 1 Achar a raiz quadrada do primeiro termo.

2 Achar a raiz quadrada do último termo. 3 O termo do meio deve ter o dobro do produto das raízes. 4 O resultado terá o sinal do termo do meio.

Fatore as expressões. a) x2 + 10x + 25 = b) a2 - 6a + 9 =

↓ ↓ ↓ ↓ 2x = x 25 = 5 2a = a 9 = 3

2 . x . 5 = 10x 2 . a . 3 = 6a x2 + 10x + 25 = a2 + 6x + 9 = .(x + 5)2. .(a + 3)2.

1 Fatore os trinômios quadrados perfeitos: 2 Fatore os trinômios quadrados perfeitos:

a) a2 + 2ab + b2 = a) 9m2 - 12mn + 4n2 = b) x2 + 6x + 9 = b) a2 - 8ab + 16b2 = c) a2 + 8a + 16 = c) a4 + 20a2 + 100 = d) 1 - 6m + 9m2 = d) m2 + 4m + 4 = e) x2 - 4xy + 4y2 = e) x2 + 2x + 1 = f) 4 + 12x + 9x2 = f) x2 + 10xy + 25y2 = g) 36a2 - 12ac + c2 = g) 1 - 6m3 + 9m6 = h) 49p2 - 28pq + 4q2 = h) 4x2y2 + 20xy + 25 = i) x2 + 10xy + 25y2 = i) n2 - 10n + 25 = j) a2 - 4ab + 4b2 = j) x2 + 64 + 16x =


41


a) x2 - 14x + 49 = a) a2x4 - 5ax2 + 6,25 = b) 25p2 + 30px + 9x2 = b) x2 - 10x + 25 = c) 16a2m2 + 8am + 1 = c) a2 + 4ax + 4x2 = d) 9b2 - 6bc + c2 = d) x2 - 8xy + 16y2 = e) 16a4 + 56a2b3 + 49b6 = e) a2 - 2ax + x2 = f) a2 - 2ax2 + x4 = f) y4 - 12y2 + 36 = g) 16b2 - 40b + 25 = g) 9x2 + 12x + 4 = h) 25x2 + 10x + 1 = h) 25a2 + 10ax2 + x4 = i) 4a2 + 4a + 1 = i) 81 + 90a + 25a2 = j) x2y2 + 3axy + 2,25a2 = j) 9x2 + 24xy + 16y2 =


a) y2 + 2y + 1 = a) 49 + 4p2 - 28p = b) 4a2 - 12ab + 9b2 = b) x2 + 8xy + 16y2 = c) x2 + 6x + 9 = c) 16x2 - 24x + 25 = d) x2 - 8x + 16 = d) x2 + 12x + 36 = e) 4y2 + 4y + 1 = e) m2 - 10mn + 25n2 = f) 121a2 + 88a + 16 = f) p2 + 4pq + 4q2 = g) x4 - 4x2 + 4 = g) 49a2 + 28a + 4 = h) 4a2x2 - 4abx + b2 = h) 36m2 - 60m + 25 = i) m8 + 2m4n2 + n4 = i) 16 - 40x + 25x2 =

j) 25x2 + 3

10 x + 91 = j) b2 +

34 bc +

94 c2 =

Quando um trinômio não tiver as características de um quadrado perfeito, devemos verificar se ele pode ser fatorado com as condições de um trinômio do 2º grau. Para efetuarmos essa fatoração, precisamos saber as regras de sinais da adição e multiplicação. Veja os exemplos:

1) Fatore: x2 + 8x + 12.

Vamos imaginar a expressão acima da seguinte forma: x2 + Sx + P, onde S significa SOMA e P, PRODUTO. Isto quer dizer que precisamos descobrir dois números que ao mesmo tempo em que multiplicados seja 12 e somados, seja 8. Fica mais fácil estabelecermos primeiro a multiplicação, pois existem poucos valores que satisfazem o que precisamos: São eles: 1 e 12 2 e 6 3 e 4 Agora os outros serão repetidos, só que ao inverso.


42 Desses pares de números, vamos verificar aquele que ao somarmos ou subtraímos,

encontraremos como resultado 8. Facilmente podemos descobrir que os números procurados são 2 e 6. Vamos definir os sinais desses números. Como o produto é positivo, isso quer dizer que os números terão sinais iguais e como a soma é positiva, isso quer dizer que os dois serão positivos. Então podemos escrever que x2 + 8x + 12 = (x + 2).(x + 6).

2) Fatore: x2 + 5x - 24.

Vamos encontrar dois números que multiplicados sejam iguais a 24 e somados, iguais a 5. Estabelecendo primeiro a multiplicação, temos: 1 e 24 2 e 12 3 e 8 4 e 6 Dentre os números acima, vamos escolher o par em que somados ou subtraídos esses números, encontremos 5. Facilmente escolheremos 3 e 8. Como o produto é negativo, isso quer dizer que os números têm sinais diferentes. Já a soma é positiva, isso quer dizer que o maior será positivo. Então podemos escrever: x2 + 5x - 24 = (x - 3).(x + 8). 3) Fatore: x2 - 4x - 21. Vamos encontrar dois números que multiplicados sejam iguais a 21 e somados, iguais a 4. Encontrando primeiro a multiplicação, temos as opções: 1 e 21 3 e 7 Agora está bem simples a escolha. Os números são: 3 e 7. Como o produto é negativo, os sinais são diferentes e a soma negativa, quer dizer que o maior tem que ser negativo. Então: x2 - 4x - 21 = (x + 3).(x - 7).

Obs.: O processo da fatoração de um trinômio do 2º grau só é válido, quando o primeiro termo do trinômio, o que tem x2, tiver coeficiente 1.

1 Fatore os trinômios do 2º grau: 2 Fatore os trinômios do 2º grau:

a) x2 + 3x + 2 = a) x2 + 4x - 5 =

b) y2 + 4x + 3 = b) y2 + 5y - 6 =

c) x2 + 5x + 4 = c) x2 + 3x + 2 =

d) x2 + 6x + 5 = d) x2 + 3x - 10 =

e) m2 + 7m + 6 = e) m2 + 3m - 18 =

f) a2 + 6a + 8 = f) m2 - m - 2 =

g) x2 + 8x + 15 = g) x2 - 2x - 3 =

h) x2 + x - 2 = h) x2 - 11x + 30 =

i) x2 + 2x - 2 = i) x2 + 7x + 12 =

j) m2 + 3m - 4 = j) x2 + 7x + 10 =


43

3 Fatore os trinômios do 2º grau: 4 Fatore os trinômios do 2º grau:

a) x2 - 7x + 6 = a) x2 + x - 6 =

b) x2 - 6x + 8 = b) x2 - 5x + 4 =

c) x2 - 9x + 14 = c) x2 - 11x - 12 =

d) x2 + x - 12 = d) m2 - 13m + 12 =

e) x2 - 9x + 18 = e) x2 + 8x + 12 =

f) x2 - 9x + 8 = f) a2 - 2a - 8 =

g) x2 - x - 12 = g) y2 + 13y + 40 =

h) x2 + 4x - 12 = h) x2 - 7x - 8 =

i) x2 + 7x - 8 = i) x2 + 3x - 28 =

j) x2 - 2x - 15 = j) x2 + 2x - 15 = 5 Fatore os trinômios do 2º grau:

a) x2 - 8x + 12 = f) x2 - 3x + 2 =

b) x2 - 10x + 9 = g) x2 - 4x - 5 =

c) x2 + 8x + 16 = h) x2 - 10x + 24 =

d) x2 - 6x + 9 = i) x2 - x - 12 =

e) x2 - x - 6 = j) x2 - 2x - 24 =

Para se fatorar uma expressão é importante saber qual caso de fatoração aplicar. Segue

abaixo orientações que o ajudarão na decisão do caso a ser usado. Se uma expressão algébrica

tiver:

Dois termos:

Fator Comum

Diferença de Dois Quadrados

Três termos:

Fator Comum

Trinômio Quadrado Perfeito

Trinômio do 2º Grau

Quatro termos:

Fator Comum

Agrupamento


44

6 Fatore as expressões:

a) a2 + 4a =

b) x2 - 1 =

c) x2 - 18x + 81 =

d) a2 - 2ab + b2 =

e) 5y3 + 3y2 + 7y =

f) 36y2 - m2 =

g) x2 + 4xy + 4y2 =

h) a2 - 14a + 24 =

i) 3a2 + 3ab + 2a + 2b =

j) 4x2 - 6x = 7 Fatore as expressões:

a) y2 - 4ay + 4a2 =

b) m2 - 9n2 =

c) a2 - 4a + 4 =

d) a4 - 2a2b2 + b4 =

e) ab + 3b + 7a + 21 =

f) 3a2b + 6ab2 - 9ab =

g) a4 - 9 =

h) x2 + 8x + 16 =

i) a2 - 25 =

j) p3 - 5p2 + 4p - 20 = 8 Fatore as expressões:

a) 4x3 - 6x2 =

b) 6x2 + 8x =

c) 9 + 24a + 16a2 =

d) xy - 2y + 4x - 8 =

e) 64x2 - 25y8 =

f) x2 + 10x + 16 =

g) 2ab + bc - 10a - 5c =

h) 4x2 - 25 =

i) a2 + ax + 2a + 2x =

j) 49x2 - 56x + 16 =


45

Muitas vezes a fatoração de um polinômio exige a aplicação de mais de um caso. Vamos fatorar expressões que exigem mais de um caso de fatoração.

Fatore completamente as expressões:

a) 4x2 - 16 → fator comum

4.(x2 - 4) → diferença de dois quadrados

4.(x + 2).(x - 2) → polinômio fatorado

b) a3 + 10a2x + 25ax2 → fator comum

a.(a2 + 10ax + 25x2) → trinômio quadrado perfeito

a.(a + 5x)2 → polinômio fatorado

c) 2x4 + 6x3 + 4x2 + 12x → fator comum

2x.(x3 + 3x2 + 2x + 6) → agrupamento

2x.[x2.(x + 3) + 2.(x + 3)] → continuando o agrupamento

2x.(x + 3).(x2 + 2) → polinômio fatorado

d) a2 - 6a + 9 - b2 → trinômio quadrado perfeito

(a - 3)2 - b2 → diferença de dois quadrados

[(a - 3) + b].[(a - 3) - b]

(a + b - 3).(a - b - 3) → polinômio fatorado

1 Fatore as expressões:

a) 5x2 - 5 = b) ax2 - ay2 = c) x3 - 6x2 + 9x = d) m4 - 1 = e) a2x - b2x + a2y - b2y = f) 3x2 - 6xy + 3y2 = g) a2x + 2ax + x = h) 2x2 - 8x + 8 = i) x3 + 8x2 + 16x = j) 5x2 - 20x + 20 =


46

2 Fatore completamente as expressões:

a) y2 - 14y + 49 = b) 16 - x2y8 = c) a2b + b - 3a2 - 3 = d) a3 + 3a2b = e) 15ab + 10bc - 5 = f) 5a3 + 30a2b + 45ab2 = g) 16a4 + 56a2b3 + 49b6 = h) ax - 2x + 5a - 10 = i) 5a2 - 20a + 15 = j) 3a2 - 27b4 =


a) 2x2 - 2 =

b) 7x4 - 7 =

c) m3 - m =

d) 2y3 - 2y =

e) m4 - m3 + mn3 - n3 =

f) ax3 - ax + bx3 - bx =

g) x3 - 4x2 + 4x =

h) a4b + ab4 =

i) 2a2 + 12a + 18 =

j) 3a2 - 6ab + 3b2 =


a) x3 + ax2 - bx2 - abx =

b) ax2 - 2axy + ay2 =

c) ab2 - ac2 + b3 - bc2 =

d) 2x2 - 12xy + 18y2 =

e) x3 - 4x2 + 4x =

f) a3 - ax2 =

g) 5x3 + 30x2y + 45xy2 =

h) 5x2y2 - 20 =

i) 2x2 - 4x + 6ax - 12a =

j) 12x2 - 60x + 75 =


47


a) 12x2y - 36xy2 + 27y3 =

b) 4m2 - 100n2 =

c) 6ax + 4b2 + 2b2x + 12a =

d) 6x2 - 3x + 12xy - 6y =

e) a4 + 10a3 + 2a2 + 20a =

f) 8x2 - 24x + 18 =

g) 12a4x2 + 18a3x3 =

h) 3x3 - 48x =

i) x3 - xy2 + x2y - y3 =

j) ax2 - a + bx2 - b = 6 Fatore as expressões:

a) 2x2 - 4xy =

b) am - bm + 5a - 5b =

c) 9a2 - x4 =

d) ax + 6x - 4a - 24 =

e) 4x6 - 9y4 =

f) x2y - y3 =

g) 2a2 - 20a + 50 =

h) ax - 6x + ay - 6y =

i) 12x2 + 84x + 27 =

j) 3xy + 9xz + 6x = 7 Fatore as expressões:

a) 25m2 + 20m3 =

b) 2ax - 6a + 5x - 15 =

c) 4a6 + 12a4 + 9a2 =

d) x6 - 2x4y + x2y2 =

e) bx - 2b + x - 2 =

f) x4 - 12x2 + 36 =

g) 4x2 - 48x + 144 =

h) x4 - 25p2 =

i) 4x2 - 4 =

j) 2xy - 6y - x + 3 =


48

Resolver todas as operações indicadas.

Dada a expressão: (x - 6)2 - 4.(3x - 4) + (x - 2).(x + 6) + 5.(x - 3) + (x + 3)2 - 9.(x + 1) + 2.

a) Simplifique a expressão.

(x - 6)2 - 4.(3x - 4) + (x - 2).(x + 6) + 5.(x - 3) + (x + 3)2 - 9.(x + 1) + 2.

x2 - 12x + 36 - 12x + 16 + x2 + 6x - 2x - 12 + 5x - 15 + x2 + 6x + 9 - 9x - 9 + 2

x2 + x2 + x2 - 12x - 12x + 6x - 2x + 5x + 6x - 9x + 36 + 16 - 12 - 15 + 2

.3x2 - 18x + 27.

b) Fatore completamente. 3x2 - 18x + 27

3.(x2 - 6x + 9)

.3.(x - 3)2.

c) Calcule o seu valor numérico para x = 8. 3.(x - 3)2

3.(8 - 3)2 =

3.52 =

3.25 =

.75.

1) Dada a expressão: (x - 2)2 - 3.(2x - 5) + 2.(x + 3)2 + 5.(2x - 5). a) Simplifique a expressão. b) Fatore completamente. c) Calcule o seu valor numérico para x = 3.

2) Dada a expressão: 2.(x - 3).(x + 2) - 3.(x - 5) + (x - 1)2 - 2.(x + 2)2 + 5.(x + 4). a) Simplifique a expressão. b) Fatore completamente. c) Calcule o seu valor numérico para x = 12.

3) Dada a expressão: 6.(x - 4)2 - 2.(x + 3).(x - 2) + 2.(x + 10) + x.(x - 2) - 3. a) Simplifique a expressão. b) Fatore completamente. c) Calcule o seu valor numérico para x = 3.


494) Dada a expressão: x.(4x - 5) - 7.(x + 2) - (x - 3)2 - 2.(x - 3).(x + 4) + 15x. a) Simplifique a expressão. b) Fatore completamente. c) Calcule o seu valor numérico para x = 10.

5) Dada a expressão: 2.(5x + 3) - (x - 2).(x + 7) + 2.(x + 5)2 + (x + 2).(x - 3)- 8.(x + 4). a) Simplifique a expressão. b) Fatore completamente. c) Calcule o seu valor numérico para x = - 9.

6) Dada a expressão: 2.(x + 7) - 2.(x - 3)2 + (x - 2).(x + 3) + (x + 2).(x - 5) + x.(x - 4). a) Simplifique a expressão. b) Fatore completamente. c) Calcule o seu valor numérico para x = 5.

7) Dada a expressão: (x + 5)2 - 8.(x + 2) - 3.(x - 3)2 + 3x.(x - 7) + 6. a) Simplifique a expressão. b) Fatore completamente. c) Calcule o seu valor numérico para x = 7.

8) Dada a expressão: 2.(x - 5) - (x - 3).(x + 4) + 3.(x - 2)2 - 5.(x - 6) - 4.(x - 1). a) Simplifique a expressão. b) Fatore completamente. c) Calcule o seu valor numérico para x = 9.

9) Dada a expressão: 2.(x - 4).(x - 6) - 3.(x - 2)2 + 5.(x - 2) + 4.(x + 3)2 + 3.(x - 5) + 1. a) Simplifique a expressão. b) Fatore completamente. c) Calcule o seu valor numérico para x = - 6.

10) Dada a expressão: (x - 1)2 + (x + 2).(x - 2) + 3.(2x + 3) - 2.(x + 5) + (x + 4)2 + 2x. a) Simplifique a expressão. b) Fatore completamente. c) Calcule o seu valor numérico para x = 3.

11) Dada a expressão: 5.(6x + 19) + 2.(x - 3).(x + 8) + (x - 5)2 + 3. a) Simplifique a expressão. b) Fatore completamente. c) Calcule o seu valor numérico para x = 5.

12) Dada a expressão: 2.(x - 3)2 + 6.(3x + 5) - 2.(3 - 7x) + 8. a) Simplifique a expressão. b) Fatore completamente. c) Calcule o seu valor numérico para x = - 10.


50

Frações algébricas são expressões que tem variáveis no denominador

O processo de simplificação de uma fração algébrica é semelhante ao de uma fração numérica. Acompanhe o exemplo:

3018 = 2 3 3

2 3 5⋅ ⋅⋅ ⋅

= 53

Para simplificar uma fração numérica, devemos dividir o numerador e o denominador pelos seus divisores comuns.

Simplificar as frações algébricas:

a) cba21

bca1422

3

= 2 7⋅ 2a⋅ a b⋅ ⋅ c⋅3 7⋅ 2a⋅ b b⋅ ⋅ c⋅

= 2a3b

b)

comumfator

aaxa2+

= 2 aa .(x 1)+

= 2

x 1+

c)

perfeitoquadradotrinômio

2

quadradosdoisdediferença

2

1x2x1x++

− = (x 1)+

2

(x 1)

(x 1)

⋅ −

+ =

x 1x 1−+

d)

comumfator

oagrupament

2a21axax

++++ = x.(a 1) 1 (a 1)

2 (a 1)+ + ⋅ +⋅ +

= (a 1) (x 1)2.(a 1)+ ⋅ +

+ =

a 12+

1 Simplifique as frações algébricas:

a) a15

a3 2

= f) 24

33

nm8nm4 =

b) 5x

15x = g) 32

23

xa10xa8 =

c) ab4

ab = h) 42

43

yzx33yzx22 =

d) 2xyxy3 = i)

xy48yx18 2

=

e) cb8

abc22

2

= j) 34

53

ba27ba18 =

Curso de Matemática Básica Frações Algébricas

51


a) 6

y3x3 + =

b) x3x9x

2

2

+− =

c) 3x3

1x2x2

+++ =

d) 2

2x 6x 9

+−

=

e) 9x6x

21x72 +−

− =

f) 4x4x

y2xy2 +−

− =

g) 20x205x5 2

+− =

h) 4m4m

10m52 +−

− =

i) 9x6x

6x22 +−

− =

j) 2a4a2

a2a22

2

+++ =


a) 12x3

4x4xx2

23

−+−− =

b) 22 bab2abcac++

+ =

c) 10x2

25x10x2

+++ =

d) x25xx10x2

3

2

−− =

e) 6x3

4x4x2

−+− =

f) yxx

yx23

22

−− =

g) ayax

yyxxy 2

++++ =

h) yxy1x2

+− =

i) a12x12

a4ax8x4 22

+++ =

j) 3a3xax

aa2

++++ =


52


a) 2x 4x 43x 6+ ++

=

b) 2 2 2

x abx 2abx a b

−− +

=

c) 2x 2x 12x 2+ ++

=

d) 2 2

2 2

x 2xy yx y− +

− =

e) 2 22x 4bx 2b

4x 4b+ +

+ =

f) 2ax a

2ax 2a−+

=

g) 4 4

2 2

a b4a 4b

−−

=

h) 2 2

2 2

3x 3y3x 6xy 3y

−− +

=

i) 2

2

a 6a 9a 3a+ ++

=

j) 2x 25

7x 35−+

=


a) 3 3

4 3

8x y4x 4x+

=

b) 2

3 2

5xx x y+

=

c) 2

2 2 2

xyzx z xz+

=

d) 2

2

2x 2xy2x y− =

e) 2 2

2 2

a ba 2ab b

−+ +

=

f) 2 2a 2ab b

2a 2b− +

− =

g) 2x 4x 4xy 2y− +−

=

h) 2

2

xy 2xyy 4−−

=

i) 2

2

3x 18x 273x 9x− +

− =

j) 2

2

x 1x 2x 1

−− +

=


53


a) 2

2

a bb a−−

=

b) 2

2

x xy x yx 1

+ + +−

=

c) 2a 8a 15

2a 6− +

− =

d) 2

axa x ax−

=

e) 2x xy3x+ =

f) 2

2

2x 2xy2x y− =

g) 2

2

a 6a 9a 3a+ ++

=

h) 2 2

3 2

x yx x y

−−

=

i) 3 2 2 2

2

x x xy yx xy x y+ − −+ + +

=

j) 3 2 2 3

5 4 4 5

p p q pq qp p q pq q− + −− − +

=

Estudaremos as quatro operações fundamentais com as frações algébricas. Por motivos convenientes, começaremos pela multiplicação.

Para multiplicarmos frações algébricas, procedemos da mesma maneira que multiplicamos números fracionários. Nos casos em que o numerador e o denominador têm fatores comuns, podemos simplificar antes de efetuar a multiplicação.

Acompanhe os exemplos:

a) 5 36 4⋅ =

85 b) 8 14 9 25

21 20 5 36⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞− ⋅ + ⋅ − ⋅ −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

= 31

−

Agora, em termos algébricos, antes de efetuar a multiplicação, é necessário que fatoremos todas as expressões nos numeradores e denominadores. Veja os exemplos:


54

Calcule os produtos:

a) 5x 1−

x 1−⋅

x 1+ =

5x 1+

b) 2 2

6x a c3xa c+

⋅−

= 6 x(a c)+

a c.(a c)

+⋅

− 3 x =

2a c−

c) 3 2 2

2

6x 6x a 2a 14ax 4x 3x 3x

+ + +⋅

+ + =

26x . (x 1)+2 4x . (a 1)+

2(a 1)+⋅3 x . (x 1)+

= a 1

2+

d) 2 2

3 2

4x 9 2x 3x4x 64x 12x 9x

− +⋅

−+ + = 2

(2x 3).(2x 3) x.(2x 3)2.(2x 3)x.(4x 12x 9)

+ − +⋅

−+ + =

= (2x 3)− . (2x 3)−

x 2. (2x 3)+

x⋅

. (2x 3)+

2.(2x 3)− =

12


a) 2 2 3

3

5x a yay 10x

⋅ =

b) 2

1 3m 2aa 9mx

⋅ ⋅ =

c) 4 3

5

5x y 8a8y 10 x

⋅ ⋅ =

d) 2 3

2

3x y6x2y⋅ =

e) 2

2

2x y 10y 5a x⋅ ⋅ =

f) 2

15a xy 2y5ayx 4+

⋅−

=

g) 2 2 21 a 2ab b a ab

ab a b a b− + +

⋅ ⋅+ −

=

h) 2 2 2

2 2

x 2x x yxy y x xy

− −⋅

− + =

i) 2 2 2

2 2

x 4x 4 4x 16 x4x 82x 4x x 2x

+ + −⋅ ⋅

+− + =

j) 3 4 2

3 5

a a a aa 1a a

+ −⋅

−− =


55


a) 2 2 3

2 2 3

a a a a b bb b b b a a

+ − −⋅ ⋅

+ − − =

b) 2

2

a a 3a 63a 3 a 4

+ +⋅

+ − =

c) 2 2

3

3m m 5m 7m5 7m m 9m+ −

⋅− −

=

d) 2

10m 3p 1510mp 25+

⋅−

=

e) 2 2x y byby 2x 2y−

⋅−

=

f) 2

2 2

x 8x 16 ax bxa ab x 4x+ + −

⋅− +

=

g) 2 2

ay y 3a 3ba 1a b

+ +⋅

+− =

h) 2

2 2

x xy ax ay 2ab 8bab 4b 2a 2x

+ + + −⋅

− − =

i) 2 2

2 2 3

2a 2b a b aba ab a b b

+ −⋅

− − =

j) 3 2 4 3 2

2 3 3 2 2 3

a b ab a aba b b a b a b

− −⋅

− − =


a) 2

2

x x 3x 6x 1 x 4+ +

⋅+ −

=

b) 2

2

x 4 x 2x 2x 2x

− +⋅

−+ =

c) am a 6ab 2a 2m 2

−⋅

+ − =

d) 3 2

3

y 4y 2y2y 43y

−⋅

+ =

e) 2

2 2

a b 2x 82x 4 a b− −

⋅− −

=

f) 2

2 2 2

x xy 12x 86x 4x x y

− +⋅

+ − =

g) 2

2

a 3 2a a 3a2x 6 aa 9+ −

⋅ ⋅− −

=

h) 3 4am 4a m 1

2m 2 a ab 3m 3+ −

⋅ ⋅− + +

=

i) 2 2 2

2 2

x 4x 4 4x 16 x8x 16x 2x x 2x

+ + −⋅ ⋅

+− + =

j) 2

2

x 6x x 6 2x x 6x 12x 36+ −

⋅ ⋅−+ +

=


56


a) 2 3

2

x x 1 xx 1 x x+ −

⋅+ −

=

b) 2 2 21 a 2ab b a ab

ab a b a b− + +

⋅ ⋅+ −

=

c) 2 2

2

a 6a 5 a 43a 3 a 7a 10+ + −

⋅+ + +

=

d) 2 2 2

2 2

x 4x 4 4x 16 x8x 16x 2x x 2x

+ + −⋅ ⋅

+− + =

e) 2

2 2 2

6x 6xy 3x 26x 4x x y

− +⋅

+ − =

f) 2 2

9x 6y 15x 10y5 9x 4y− −

⋅−

=

g) 3 2

3

3y 12y 12y 2y3y 66y

− +⋅

− =

h) 2 2

ax x 3x 3na 1m n

+ +⋅

+− =

i) 2 2 2

2 2 2

a a a a b 1b b b b a 1

+ − −⋅ ⋅

+ − − =

j) 2 2 2

2

3x 6x x 2 x y3x 3y x yx 4

− + −⋅ ⋅

+ −− =


a) 2 2

ax x x ya 1x y

+ +⋅

+− =

b) 2

2

a 3 2a a 3a2a 6 aa 9+ −

⋅ ⋅− −

=

c) 3 2

2 2

x x x 1 6x 69x 9 x 1+ + + −

⋅− +

=

d) 2 2

2

a 2a 1 a2a 23a

+ +⋅

+ =

e) 2 2

2

a 4a 4 a 93a 9 a a 6+ + −

⋅+ − −

=

f) 2

2

a 2ab x 3x2b 1x 9

+ +⋅

+− =

g) 2 22x 4x 9 m

5mx 15x 2x 4− −

⋅+ −

=

h) 4 2

2 2 2

x x 2 5x 5x 2x 1 5x x 1

+ +⋅ ⋅

+ + + =

i) 3

3 2 2

2x 16 3xx 2x 8x 3x 6x 12

−⋅

+ − + + =

j) 2 2 3

2 3 2

x 8x 16 x 4 2x 8x:4x 8 x 2x 8 4x 16x 16x+ + − −

⋅− + − − +

=


57

Vamos acompanhar uma divisão de números fracionários.

a) 58:

53 = 3 5

5 8⋅ =

83 b) ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−

32:

94 = 4 3

9 2⎛ ⎞ ⎛ ⎞− ⋅ +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

= 32

−

A divisão entre duas frações algébricas é obtida multiplicando-se a primeira fração pelo inverso da segunda. Veja os exemplos:

a) x5

a:x3a2 2

= 2

2a 5x3x a

⋅ = 103a

b) a6

1b2:a3

ab2a2

++ = 2

a.(1 2b) 6a2b 13a

+⋅

+ = .2.

c) 2

2 2

ab b 4a 4 a 2a 1:b 8b 16 b 16+ − − + +− + −

= 2 2

b.(a 1) 4.(a 1) (b 4).(b 4)(b 4) (a 1)+ − + + −

⋅− +

=

= 2 2

(a 1).(b 4) (b 4).(b 4)(b 4) (a 1)+ − + −

⋅− +

= b 4a 1++

d) 4x4x

4x:2x16x

2

2

++−

+− =

2(x 4).(x 4) (x 2)x 2 x 4

+ − +⋅

+ − = (x + 4).(x + 2) = .x2 + 6x + 8.

1 Calcule as divisões:

a) ab4:

y5x2 =

b) bca4:

bc5a8 2

=

c) ab10:

ba5

22 =

d) 5 4 5 5

4 5

x y 15 x y:a a b

=

e) 23

22

22

22

cbyx:

cabyx2 =

f) 1p

x:1p

x2

54

−+ =

g) ba

1aa:ba

aaa 2

22

23

+++

−++ =

h) bcbb2ab:

cbb4ab4a

2

2

22

22

+−

−+− =

i) ax7

ama:y7x7

ma 2 +−+ =

j) 2

2222

yxyayax:

ayaxyx

−+

−+ =


58


a) 423

3223

32

23

abbababa:

bbaaba

+−

+− =

b) 22

2

2

2

yxxyx:

yxyx

−+

− =

c) 2 2

x 1 x 1:3x 6x 3 x 2x 1

+ +− + − +

=

d) 3 2 2

2

x 6x 9x x:x 3x 9

− ++−

=

e) 2

2 2

ax ay x y a 2a 1:3x 3yx y

− + − + ++−

=

f) 1m

5m10m5:1m

1m2m2

22

−+−

++− =

g) 2

2 2

a 3a ax 3x:x 1 x x+ +− +

=

h) 1x1x:

2x21x2x2

−+

−++ =

i) xk

k:xk

kx22 −−

=

j) 2

2 2 2

x 2x 1 x 1 1:a ba ab a b

+ + +⋅

−+ − =


a) 2 2

2

a 4a 4 a a 6:3a 9 a 9+ + − −+ −

=

b) 2

2 2

ab b 4a 4 a 2a 1:b 8b 16 b 16+ − − + +− + −

=

c) 2a 2a 1 3a 3:

a 1 a 1+ + +− −

=

d) 2x 1 x 1:

6x 6 3x 3− −+ +

=

e) 4 2

2

x 1 x 1:x 1 x 1

− −+ +

=

f) 2

6x 12 4x 8:4x 20x 10x 25

+ +−− +

=

g) 2 3

2

3m m m 9m:5 7m 5m 7m+ −− −

=

h) 2

2 2

a 3a a 3:x 1 x x+ +− +

=

i) 2 2x 3x x x 9: :

2x 4 x 2 2x 4− −+ + −

=

j) 2

2 2 2

a 25 2a 10 18ab: . 6a b a 3a 15a− +

− =


59


a) 2

2 2

m m m:3m 6m 4 m 1

−− + −

=

b) 2 2

2

x 2x x 4:3x 6x 3x

− −++

=

c) 2

2 2

a 3a ax 3x:x 1 x x+ +− +

=

d) 2 2

2 2 2

x 2x x xy:xy y x y

− +− −

=

e) 2 2

2

2x 4x 4x 8x:x 3 x 9− −+ −

=

f) 3 2 2

2

x 6x 9x x:x 3x 9

− ++−

=

g) 2 2y 6y y 36:x 2 3x 6− −+ +

=

h) 3 2

2 3 2

a 64a a a 56:a 16a 64 a 7a

− − −− + +

=

i) 2

2 2

5x 10 x 6x 8:x 5x 6 x 7x 12

+ + ++ + + +

=

j) 2 2 2

2 2

3x 6x 3x 3y x y:x 4 x 4x 4 2x 2xy

− + −⋅

− + + − =


a) b2a2)ba(:

babab2a 222

−+

−++ =

b) 3a9a:

39a6a 22

−−++ =

c) 2x2x16x:

1xx4x

2

3

2

2

+−

+− =

d) 2 2x 3x x 2 x 9:

2x 4 x 2x 4− + −

⋅+ −

=

e) 2 2 2

2 2 2

a 2a a a a 1:a a a 2a a 4− − −

⋅+ − −

=

f) 2 2

x 4 x 2 1:x 4x 4 x 16

− +⋅

+− − =

g) 2 2

x 4 x 2 1:x 1x 4 x 16

− +⋅

+− − =

h) y

18y3:21y672y2:

7y272y24y2 22 +

−−

−++ =

i) 6 am a 3m 3:

2m 2 a ab m 1+ +

⋅− + −

=

j) 3 2 2 2

2 3 3 2

8b 16a 9b 4a 3ab:4a 3b a b a b

− −⋅

+ =


60

Para somarmos ou subtrairmos frações algébricas, vamos utilizar o mesmo raciocínio das frações numéricas. Procederemos da seguinte forma:

Reduzir as frações ao mesmo denominador (m.m.c.) Dividir pelo denominador e multiplicar pelo numerador. Quando for possível, simplificar o resultado.

Veja os exemplos:

a) 161

23

32

−+− = 6

6194 −+− = 6155 − =

610

− = 35

−

b) ax5

ax3+ =

ax5x3 + =

ax8

c) x3

x32

x21

2 −+ =

m.m.c. = 6x2

2x6x184x3 −+ = 2x6

x154 −

d) 1x2x

1x5x

1xx2

2 −+

−−+

++

=

m.m.c. = (x + 1).(x - 1)

)1x).(1x()1x).(2x(5x)1x.(x2

−+++−++− =

)1x).(1x(2x2xx5xx2x2 22

−+−−−−++− =

)1x).(1x(3x4x2

−++− =

(x 1)− .(x 3)(x 1). (x 1)

−

+ − =

e) x2x

84x

16x4

2x5

22 −−

−+−

+ =

Fatorando os denominadores, temos:

)2x.(x8

)2x).(2x(16

x4

2x5

−−

−++−

+

m.m.c. = x.(x + 2).(x - 2)

)2x).(2x.(x)2x.(8x16)2x).(2x.(4)2x.(x5

−++−+−+−− =

)2x).(2x.(x16x8x16)4x.(410x5 22

−+−−+−−− =

)2x).(2x.(x16x8x1616x410x5 22

−+−−++−− =

)2x).(2x.(xx2x2

−+− =

x . (x 2)−

x .(x 2). (x 2)+ − =

2x1+

1x3x

+−


61


a) 4a a6 12+ = a)

1x2x

xx2

x2x 2

2

2

+−

−+

+− =

b) by

ax− = b)

2xx

2x3

4x4x

2

2

+−

−+

−+ =

c) 2 3

1 5 2a a a− + = c)

x3xax2

xa

3xa2

2 −−+

− =

d) 2

2

2 a 1aa 2a+

+−

= d) 2x

24x

12x2x

x2

2

++

−−

−−

=

e) 2

2

2x y y 3xyx y xy y− +

+− −

= e) y2x22

yx1

yx3

−−

−+

+ =

f) 2

3a 4 a 5a 4a 16

− −−

−− = f)

aba2a2

ab

ba22

2 −−−

− =

g) 9x6x

xx63x1x

2

2

++−−

++− = g)

1xx2

1xx

1xx

2

2

−+

+−

− =

h) 4x2

22x

3+

−+

= h) 1p2p

1p6

1p2p

2 +−

+−

−−+ =

i) 9x

63x

12 −

−−

= i) 2

5 3 6xx 3 x 3 x 9

+ −− + −

=

j) 2x

a6x3

a6+

−+

= j) 9x

x63x

33x

52 −

−+

+−

=


a) 4a

116a4a3

2 −−

−− = a)

2x2

4x12x

2xx

2

2

++

−−

−−

=

b) 2

2

3 x 3x 2x 2 x 4

− ++

+ − = b)

2

2

x 3x x 1 x 1x 1 x 1x 1

− + −+ −

− +− =

c) 2

p 2 pp 1 p 1 p 1

− +− − +

= c) 2x 2 2 4x 8x 2 x 2 x 4− −

+ ++ − −

=

d) 1x

11x

x21x

22 −

+−

−+

= d) x2x

84x

16x4

2x5

22 −−

−+−

+ =

e) 2 2

x y x 1x y x y x y

−+ +

− − + = e) 2

2 2x 1x 1 x 1x 1

+ −+ −−

=

f) 2

2 2

2x 4y 4yx y x y x y

+ −+ − −

= f) 4a

116a4a3

2 −−

−− =

g) 2

2 30 3y 5 y 25 y 5

− ++ − −

= g) 2

x 7 x 2 x 1x 1 x 1x 1

− + −+ −

− +− =

h) 2

3 1 6x 3 x 3 x 9

+ −+ − −

= h) 1x2x

1x5x

1xx2

2 −+

−−+

++

=

i) x3x

ax2xa

3xx2

2 −−+

− = i)

2

2

x 5 2 x 2x 1 x 1x 1

− −+ −

− +− =

j) aba2

a2ab

ba22

2 −−−

− = j)

2x2

4x12x

2xx

2

2

++

−−

−−

=

Curso de Matemática Básica Equações Algébricas Fracionárias

62

Quando uma equação tiver variável no denominador, essa equação será fracionária.

Exemplos: a) 1 2 3x x 1− =

− b) 4 1 1

x 2 2+ =

+ c) x 1 2

x 1 x+

=−

É bom lembrarmos que equações do tipo:

a) x 5 1 22 3+

− = b) 1 y y 22

− = c) x 1 x 13 2 4−

+ =

são equações de coeficientes fracionários e não equações fracionárias, pois essas equações não apresentam variável no denominador.

Resolução: Para a resolução de uma equação fracionária vamos utilizar as mesmas técnicas estudadas na resolução de equações inteiras. Como toda equação fracionária possui pelo menos uma variável no denominador, é necessário que se determine a condição de existência nas frações algébricas.

a) Resolva a equação: 5 1 2x 3− = − .

Condição de Existência (CE): x ≠ 0

m.m.c.: 3x

15 - x = - 6x → dividir pelo denominador e multiplicar pelo numerador - x + 6x = - 15 → separar termos com variável do sem variável 5x = - 15 → juntar os termos semelhantes

15x5−

= → isolar a variável

.x = - 3. → satisfaz a condição de existência, logo: S = {- 3}

b) Resolva a equação: 5x 205x 4 x

= −−

.

Condição de Existência (CE): x ≠ 4 e x ≠ 0

m.m.c.: x.(x - 4)

5x2 = 5x.(x - 4) - 20.(x - 4)

5x2 = 5x2 - 20x - 20x + 80 25x - 25x + 20x + 20x = 80 40x = 80

80x40

=

.x = 2. → satisfaz a condição de existência, logo:

S = {2}


63

c) Resolva a equação: 2

5 6 2x 3 x 9 x 3

+ =+ − −

.

Condição de Existência (CE): x ≠ 3 e x ≠ - 3

m.m.c.: (x + 3).(x - 3)

5.(x - 3) + 6 = 2.(x + 3)

5x - 15 + 6 = 2x + 6 5x - 2x = 6 + 15 - 6 3x = 15

15x3

=

.x = 5. → satisfaz a condição de existência, logo:

S = {5}

d) Resolva a equação: 2

2 1 1x 4 x 2 x

+ =− +

.

Condição de Existência (CE): x ≠ 2, x ≠ - 2 e x ≠ 0

m.m.c.: x.(x + 2).(x - 2) 2x + x.(x - 2) = (x + 2).(x - 2)

2x + x2 - 2x = x2 - 4 2x + 2x - 2x = - 4 2x = - 4

.x = - 2. → - 2 não satisfaz a condição de existência.

S = ∅

e) Resolva a equação: 2

x 4 10 x 2x 3 x 3x 9+ +

+ =+ −−

.

Condição de Existência (CE): x ≠ 3, x ≠ - 3

m.m.c.: (x + 3).(x - 3) (x + 4).(x - 3) + 10 = (x + 2).(x + 3)

2x - 3x + 4x - 12 + 10 = 2x + 3x + 2x + 6 - 3x + 4x - 3x - 2x = 6 + 12 - 10 - 4x = 8

8x4

=−

.x = - 2. → satisfaz a condição de existência, logo: S = {- 2}


64

1 Resolva as equações:

a) 1 2 1

4x 3x 12− = − f)

2 32x 1 4x 1

=+ +

b) x 5 7 52x 3x 12+

− = g) 4 12

x 2 x=

−

c) 7 2

x 3 x 2=

− + h)

2x 122x 3 x

− =+

d) 4 3

x 1 x 2=

− − i)

5 4x 5 x 3

=− −

e) 3x 5 1

x 4 2 2+ = −

− j)

3 5 5 1x 3 4 x 3

− = −− −


a) 2

5x 2 1x 1 x 1 x 1

+ =− − +

f) 2

2

3x x 1 2x 9x 4 x 4 x 16

+ +− =

− + −

b) 2

14 x 4 x 6x 9 x 3 x 3

+ ++ =

− + − g)

2

2 3

x 2 3 2x 6x 3x x 3 x 9x

− ++ =

+ − −

c) 3 1 4

x 1 x 3 x 2+ =

− − − h)

2

2

x 1 x 1 2x 2xx 3 x 3 x 9− + −

+ =− + −

d) 2

13 x 1 xx 4 x 2 x 2

++ =

− − + i) 2

x 3 x 2 x 4x 2 x 4 x 2− − −

− =+ − −

e) 2

x 3 13 x 2x 1 x 1x 1+ −

+ =− +−

j) 2

2x x 5 x 2x 1 x 1 x 1

+ ++ =

+ − −


a) 2

1 1 3x 2x 5 x 5 x 25

−− =

− + − f) 2

x 1 x 2 3x 1x 3 x 3 x 9− − −

− =− + −

b) 2

2

3.(2x 1) 6x 1 6x 1 x 1 x 1

+ +− =

− + − g) 2

x 2 x 2 xx x x x 1+ −

− =+ +

c) 2

2

x 1 2x 1 3x 4x 3 x 3 x 9+ + +

+ =− + −

h) 2

2 8x 1 7x 2 x 5x 6 x 3

−+ =

+ + + +

d) 2

x x (x 1).(2x 3)x 2 x 2 x 4

+ −+ =

+ − − i)

2

2

x 2x 3x x 2x 1 x 2 x x 2

− ++ =

− + + −

e) 3 4 1

x 1 x 2 x 3= −

− − − j) 2

x 7 x 6 xx 5 x 4 x 9x 20+ +

− =+ + + +

colÉgio adventista portÃo a o - blog dos...

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