Eletricidade II

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Sumário

1.0 – Conceitos gerais sobre Magnetismo .................................................................................. 3

2.0 - Campo Magnético gerado por corrente elétrica ................................................................ 3

3.0 – A natureza dos materiais magnéticos ............................................................................... 6

5.0 – Indução Eletromagnética ................................................................................................ 10

6.0 – Geração de Corrente Alternada ...................................................................................... 12

7.0 – Indutância Magnética (L) ............................................................................................... 14

8.0 – Acoplamentos Magnéticos .............................................................................................. 19

9.0 – Impedância (Z) ................................................................................................................ 21

Eletricidade II

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1.0 – Conceitos gerais sobre Magnetismo

1.1 – Introdução O magnetismo é uma forma de energia apresentada apenas por alguns materiais, tais como,

ferro, níquel, aço, cobalto,... Dentre outras propriedades, os corpos com magnetismo apresentam a propriedade de atrair outros corpos. Os corpos que apresentam magnestismo são denominados de imãs. Um imã pode ser temporário ou permanente. Um imã temporário é aquele que apresenta suas propriedades magnéticas durante um determinado intervalo de tempo. Um imã permanente é formado por um composto de ferro encontrado com facilidade na natureza conhecido como magnetita.

Os imãs são cercados por linhas de força magnéticas que saem do pólo norte para o pólo sul do imã. No seu interior essas linhas não se cruzam, ou seja, são paralelas. Essas linhas formam um estado de força em torno do imã que chamamos de campo magnético.

Atração e repulsão entre imãs Pólos de nomes iguais – repulsão Pólos de nomes diferentes - atração

2.0 - Campo Magnético gerado por corrente elétrica

2.1 – A experiência de Oersted

Foi o físico dinamarquês Hans Christian Oersted que observou pela primeira vez, por volta do

ano de 1820, que a corrente elétrica gera campos magnéticos. Ele verificou que quando um circuito é alimentado, uma bússola colocada nas proximidades desse circuito sofre sua influência, desviando seu ponteiro para outra posição. Com o condutor disposto paralelamente ao ponteiro da bússola, que até então estará indicando a direção do campo magnético da Terra, fechamos a chave S e observamos que quanto maior for a corrente fornecida pela fonte, maior será o deslocamento do ponteiro da bússola em relação ao condutor.

2.2 – A Regra de Ampère

Depois da descoberta de Oersted, o cientista francês André Marie Ampère identificou a configuração do campo magnético em torno do condutor. Utilizando-se de uma folha de papel atravessada ao meio por um fio percorrido por corrente elétrica, Ampère jogou limalha de ferro sobre o anteparo de papel que, então, adquiriu a forma de círculos concêntricos, ocorrendo uma concentração maior próximo ao fio condutor.

Ampère também descobriu a relação entre o sentido da corrente e o sentido das linhas de

força, propondo uma regra para sua determinação. Em sua homenagem essa regra foi chamada de “regra de Ampère” também conhecida como regra da mão direita, expressando o sentido convencional da corrente. Segundo a regra, para se determinar o sentido das linhas de força em torno do condutor, basta envolvê-lo com os dedos da mão direita, estando o polegar a indicar o sentido da corrente. Com isso os dedos indicam o sentido das linhas de força.

Eletricidade II

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Se quisermos demonstrar um condutor segundo sua seção transversal, podemos utilizar a

seguinte convenção para indicar o sentido da corrente no mesmo:

círculo com um ponto – corrente saindo

círculo com um “X” – corrente entrando

2.3 – Intensidade de Campo Magnético (H)

Na experiência de Ampère a limalha de ferro se distribuiu sob a forma de círculos concêntricos,

ocorrendo uma concentração maior de limalha próximo ao fio condutor. Isso sugere que a intensidade de campo deve variar com a distância em relação ao fio. Podemos afirmar que:

“A intensidade de campo magnético num determinado ponto é diretamente proporcional à

intensidade de corrente no condutor e inversamente proporcional da distância do centro do condutor ao ponto considerado.”

H = __i___

2 π r

Onde: H => intensidade de campo (A / m) I => intensidade de corrente (A)

r => raio do campo até o centro do condutor (m)

2.4 – Intensidade de campo no centro de uma espira

H = __I___

2 r

Onde: H => intensidade de campo (A / m)

I => intensidade de corrente (A)

R => raio da espira (m)

Para se determinar o sentido do campo no interior de uma espira, utiliza-se também a regra da mão direita aplicada à qualquer parte da espira. Nesse caso seguimos a corrente contornando a espira com os quatro dedos tendo o polegar apontando o sentido do campo.

2.5 – Intensidade de campo no interior de um solenóide

Um solenóide ou bobina, é conseguido com a disposição de várias espiras em série lado à

lado. Por essa razão, o campo magnético de um solenóide é o resultado da contribuição de diversas espiras individualmente.

O sentido do campo magnético pode ser determinado pela regra da mão direita para espiras e bobinas resultando em um campo uniforme. A densidade das linhas de força diminui a partir das bordas da bobina; o que nos leva a concluir que o campo é mais intenso na parte interna.

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Para se determinar a intensidade de campo no interior do solenóide, calcula-se:

H = ___N i_____

√ 4R2 + l2

Onde: H => intensidade de campo magnético (A / m) N => nº de espiras do solenóide i => intensidade de corrente (A)

R => raio do solenóide (m)

l => comprimento do solenóide (m)

2.5.1 – Casos particulares:

a) Solenóide muito longo – comprimento maior que o raio (L > R)

H = _N i_

l

b) Solenóide muito curto – raio maior que o comprimento (R > L)

H = __N i__

2 r

c) Solenóide toroidal – espiras enroladas em anel magnético

H = __N i__

2 π R Exercícios propostos

01) Com um condutor de 2m de comprimento faz-se uma espira circular com 0,3m de raio. Qual a intensidade de campo magnético (H) em seu interior se aplicarmos uma corrente de 3A?

02) Em um solenóide de 300 espiras, com 2cm de raio e 15cm de comprimento é aplicada uma corrente de 2 A. Determine a intensidade de campo magnético (H) em seu interior:

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03) Um solenóide toroidal com 10cm de raio possui 600 espiras. Determine a corrente necessária para

que em seu interior o campo magnético (H) seja igual a 1000 A/m:

04) Determine a intensidade de campo magnético em um solenóide toroidal com raio de 5 cm que é

atravessado por uma corrente de 2 A.

05) Que corrente será necessária para que se tenha um campo magnético de 1000 A/m em um solenóide

toroidal de 2 cm de raio e 125 espiras?

3.0 – A natureza dos materiais magnéticos 3.1 – Indução magnética (β)

Suponha um campo magnético H, uniforme, no vácuo. Se jogarmos uma barra de ferro

desmagnetizada em seu interior, ocorrerá uma orientação dos domínios magnéticos no material. A barra, agora magnetizada, assume comportamento de um ímã, apresentando portanto seu próprio campo magnético, que chamaremos de campo M ou magnetização.

Como conseqüência, haverá uma resultante entre o campo H inicial e o campo magnético induzido na barra de ferro (campo M). Observamos que internamente à barra as linhas de força têm sentidos coincidentes; enquanto que fora dela, os sentidos são exatamente opostos ou formam ângulo entre si.

Resumindo, ao colocarmos uma barra de ferro em um campo H a orientação magnética

produz um campo M. A esse novo valor de campo produzido pela soma do campo H com o campo M, dá-se o nome de indução magnética ou campo β. Logo:

“indução magnética é o campo magnético efetivo em um determinado meio.”

Observa-se que o campo β é a grandeza mais importante, pois é obtido pela soma das

outras duas, H e M. Poderíamos dizer, então que β = H + M. Nesse caso, em um meio sem a presença de material magnetizável o campo M seria nulo e, portanto, β e H teriam o mesmo valor. Infelizmente essa relação não é em todo verdadeira; isto porque foi atribuído ao campo β uma unidade diferente da unidade de H e M, ou seja, enquanto H e M são medidos em A / m, β possui como unidade o Tesla (T) no sistema internacional de unidades.

3.2 – Fluxo Magnético (Φ)

O fluxo magnético representa a quantidade total de linhas de força que

atravessam uma determinada superfície perpendicular ao campo magnético. As unidades para medição do fluxo magnético são o Maxwell e o Weber. Um Maxwell corresponde a uma linha de

força e um Weber a 1 x 108

Maxwell, ou linhas de força.

Como a indução magnética é diretamente proporcional à concentração de linhas de força

por m2, existe uma relação entre fluxo magnético e indução magnética (β):

β = _Φ_

S

Onde: β => indução magnética em Tesla (T)

Φ => fluxo magnético em Weber (Wb)

S => área perpendicular ao fluxo (m2

)

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Uma outra maneira de expressar a grandeza do fluxo magnético é em Maxwell por cm2,

também chamado de Gauss. Considerando que 1 Weber equivale 1 x 108

Maxwell e que 1 m2

corresponde a 1 x 104

cm2

, podemos dizer que:

1 Weber = 1 x 108

Maxwell e que 1 Weber = 1 x 104

Maxwell

m2

1 x 104

cm2

m2

cm2

Conclui-se então que 1 Tesla = 1 x 104

Gauss.

3.3 – Permeabilidade Magnética (µ)

Quando se fala em permeável, logo associamos à algo que permite a passagem. Por

exemplo: um solo permeável é aquele que absorve rapidamente a água, ou seja, deixa o fluxo de água passar através dele. A permeabilidade magnética expressa a facilidade que um material magnético oferece à passagem das linhas de força.

Sob a ótica da permeabilidade, podemos dizer que o ferro possui maior

permeabilidade que o vácuo. Por essa razão as linhas de força se concentram facilmente em torno do ferro e não fora dele. Matematicamente a permeabilidade magnética, representada por µ, é definida como a relação entre o campo β e o campo H.

µ = _β_

H

A unidade de medida da permeabilidade magnética é o Henry por metro (H / m)

3.3.1 – Permeabilidade do Vácuo (µ0)

Para o vácuo β e H tem o mesmo valor, apesar de expressos em unidades

diferentes. Por essa razão, para relacionar β e H em suas respectivas unidades a permeabilidade do vácuo é dada por:

µ0 = 4 π x 10 – 7 H / m

Para efeitos práticos a permeabilidade do ar é considerada igual a do vácuo.

3.3.2 – Permeabilidade Relativa (µR)

A permeabilidade relativa é a razão entre a permeabilidade do material e a permeabilidade

do vácuo, sendo portanto adimensional.

µR = _µ_

µ0

A permeabilidade relativa de material ferromagnético não é constante. Depende do valor de campo aplicado. Normalmente se utilizam os valores de permeabilidade relativa máxima e inicial para caracterizar um material ferromagnético. Veja a tabela com alguns valores abaixo:

Material µR inicial µR máxima

Aço - silício 7.500 55.000

78 permalloy 8.000 100.000

Supermalloy 100.000 1.000.000

Ferrite Ni 2.500 5.000

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Exercícios propostos

01) Qual a indução magnética em um circuito que tem um fluxo de 10µWb em uma área

perpendicular ao fluxo de 0,25m2?

02) Em um cilindro de aço com 20 cm de comprimento e 3 cm de raio, são enroladas duas

espiras de fio de cobre. Sendo a permeabilidade relativa do cobre igual a 3000, calcule a indução magnética (B) no cilindro quando for aplicada uma corrente de 5 A:

03) Um solenóide toroidal com 20 cm de raio interno, 25 cm de raio externo e 5 cm de

espessura, possui 1000 espiras por onde circula uma corrente de 6 A. Sabendo-se que sua indução magnética (B) é de 0,9 T, determine:

a) o fluxo magnético produzido

Material Didático

b) a permeabilidade relativa do material

4.0 – Cálculo de circuitos magnéticos

4.1 – Circuito Magnético

Uma bobina com núcleo de ar alimentada por corrente elétrica, gera um campo magnético H

cujas linhas de força se distribuem simetricamente em relação ao seu eixo por todo o espaço ao seu redor. Essa distribuição de linhas ocorre devido à sobreposição do campo produzido em cada partícula do condutor que constitui a bobina e, portanto, sua

configuração só se altera através de uma mudança na geometria da bobina. Se essa bobina for enrolada sobre um núcleo fechado, seu campo H será capaz de induzir um campo M através do percurso ferromagnético. Esse campo gera um fluxo magnético através do núcleo, que se sobrepõe ao fluxo gerado pelo campo H.

Como o fluxo magnético gerado pela magnetização M é infinitamente maior que o fluxo gerado pelo campo H da bobina, para efeito de aplicações práticas, este último é desprezado.

Assim, considera-se um fluxo homogêneo através do percurso constituído pelo material ferromagnético. Dessa forma podemos dizer que:

“Um circuito magnético é um percurso definido para o fluxo magnético, normalmente constituído de material ferromagnético.”

4.2 – Força magnetomotriz (fmm)

Em um circuito elétrico série contendo apenas uma fonte e um fio condutor comprido

interligando os terminais dessa fonte, a corrente que atravessa o fio é dada pela Lei de Ohm:

i = _V_ R = _ρ l_

R S

Se ao invés da resistividade (ρ) usarmos a condutividade (g) na equação da resistência do fio teremos:

R = _l__ pois ρ = _ 1_

g s g

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Essa breve análise do que ocorre em um circuito elétrico serve de base para o estudo

do circuito magnético. Os circuitos magnéticos são constituídos de material ferromagnético que oferecem um caminho de fácil transposição ao fluxo magnético.

Podemos comparar os circuitos magnéticos com os circuitos elétricos por analogia. Por exemplo, no circuito elétrico circula corrente elétrica, que na verdade é um fluxo de cargas elétricas. No circuito magnético é o fluxo magnético que circula. Portanto a corrente elétrica e o fluxo magnético são grandezas análogas.

No circuito elétrico quem gera a corrente é a força eletromotriz (fem). No circuito magnético a grandeza análoga é chamada de força magnetomotriz (fmm).

Sabemos que o fluxo magnético de uma bobina é gerado através de uma corrente elétrica e que quanto maior o seu valor e maior o número de espiras, maior será o fluxo magnético. Logo a força magnetomotriz será proporcional ao número de espiras e a intensidade de corrente que passa por elas. Podemos dizer que:

“A força magnetomotriz é a grandeza responsável pela criação do fluxo magnético em um circuito magnético.”

fmm = N i

Onde: fmm => força magnetomotriz (A)

N => número de espiras

i => intensidade de corrente (A)

4.3 – Relutância magnética (R)

Os circuitos magnéticos apresentam uma facilidade muito grande à passagem do fluxo

magnético. Mesmo assim eles não são perfeitos. Assim como o cobre, por exemplo, conduz muito bem a corrente elétrica e, no entanto, apresenta uma resistência, os circuitos magnéticos também apresentam uma oposição à passagem do fluxo. Essa oposição é chamada Relutância magnética.

R = L_

µ S

Onde: R => relutância magnética (A / Wb)

l => comprimento médio do circuito magnético (m)

µ => permeabilidade do material que constitui o núcleo da bobina (H / m), sendo calculada por µ= µ0 x µR

S => área de seção transversal do núcleo (m2)

4.4 – Lei de Ohm para circuitos magnéticos

Podemos ainda, por analogia, chegar à uma relação entre o fluxo, a fmm e a relutância

magnética. No circuito elétrico a Lei de Ohm estabelece a seguinte relação:

i = fem

R

Então, usando as grandezas análogas do circuito magnético, temos:

Φ = fmm

R

Onde: Φ => fluxo magnético (Wb)

fmm => força magnetomotriz (A)

R => relutância magnética (A / Wb)

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Podemos obter mais uma equação para a força magnetomotriz a partir da equação de

campo H para um solenóide toroidal:

H = _N I _ => H L = N I => N I = fmm

L

Logo: fmm = H I Exercícios propostos

01) Quantas espiras são necessárias para que em uma bobina seja estabelecido um fluxo de 0,5Wb

quando ela é atravessada por uma corrente de 5A? A relutância desse circuito é de 500 A/Wb. 02) Que corrente será necessária para que um solenóide de 800 espiras produza um fluxo de 0,5

Wb em um circuito magnético com relutância de 500 A/Wb?

5.0 – Indução Eletromagnética

5.1 – Lei de Faraday

Depois que Oersted demonstrou em 1820 que correntes elétricas geram campos magnéticos,

Michael Faraday, um cientista inglês, manifestou sua convicção de que poderia através de campos magnéticos produzir correntes elétricas.

Faraday só obteve sucesso em 1831, após dez anos de trabalho. Ele utilizou um circuito magnético com dois enrolamentos, uma bateria e um galvanômetro, que é um dispositivo que acusa pequenas correntes. Ele percebeu que ao alimentar o circuito elétrico o ponteiro do galvanômetro deflexionava para um lado, indicando que uma corrente elétrica passava por ele.

No entanto esta deflexão era momentânea e, mesmo estando o circuito elétrico fechado, o galvanômetro nada indicava.

Como a bobina onde está ligado o galvanômetro é um circuito elétrico completamente

independente do circuito que contém a fonte CC, Faraday concluiu que finalmente havia gerado corrente elétrica através do magnetismo, mesmo que momentaneamente.

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Faltava descobrir porque essa corrente só aparecia nos momentos em que se acionava e desacionava o circuito elétrico. Analisando o que ocorria com seu circuito magnético, Faraday descobriu o mistério: no instante em que o interruptor é acionado, a corrente elétrica que circula pelo enrolamento conectado à fonte, que chamaremos de enrolamento primário, produz um fluxo que fica confinado no circuito magnético. O sentido desse fluxo é determinado pela regra da mão direita para bobinas.

Esse fluxo magnético acaba passando por dentro do enrolamento ao qual está conectado o galvanômetro, que chamaremos de enrolamento secundário. Poderíamos então concluir que o fluxo magnético é a causa da geração de corrente no enrolamento secundário. Entretanto isto não pode ser verdade, uma vez que passado o instante inicial durante o qual a chave está sendo fechada, deixa de existir corrente, muito embora o fluxo magnético continue existindo. O galvanômetro só volta a acusar passagem de corrente no instante em que a chave é desligada.

Como a corrente no galvanômetro só surge nos instantes nos quais o circuito elétrico do

primário é acionado e desacionado e, nesses instantes o fluxo magnético está variando, concluímos que é essa variação de fluxo a causa do surgimento de corrente na bobina secundária. Portanto não é o fluxo magnético o responsável pela corrente induzida, mas sim a sua variação.

Podemos então enunciar o princípio que ficou conhecido como “Lei de Faraday”: “Toda vez que um condutor fica sujeito a uma variação de fluxo magnético, nele se

estabelecerá uma força eletromotriz, enquanto durar essa variação”.

fem = - N ΔΦ

Δ t

Onde: fem => força eletromotriz induzida (V) ΔΦ => variação do fluxo magnético (Wb) Δ t => variação de tempo do fluxo (s)

N => número de condutores ou espiras

Obs.: O sinal negativo da equação demonstra a oposição do induzido ao indutor.

5.2 – Força eletromotriz de movimento

No dispositivo utilizado por Faraday, a variação do fluxo ocorria devido ao surgimento ou

extinção de corrente na bobina primária. No entanto, existem outras formas de se variar o fluxo sobre um condutor. Uma dessas formas se dá quando o condutor se move no interior de um campo magnético constante, atravessando suas linhas de força. Um terceiro tipo de variação de fluxo seria uma combinação dos dois primeiros, ou seja, um condutor em movimento dentro de um campo magnético variável.

Seja, então, um condutor de comprimento L, perpendicularmente às linhas de um campo β se

deslocando a uma velocidade v. Aplicando-se a Lei de Faraday, teremos:

fem = - N ΔΦ => ΔΦ = β ΔS => N = l

Δ t

fem = - l β ΔS => ΔS = l Δx

Δ t

fem = - β l Δx => Δx_ = v

Δ t Δt

Logo: fem = B l v

Onde: fem => força eletromotriz induzida (V)

Β => indução magnética (T)

l => comprimento do condutor que corta as linhas (m)

v => velocidade do condutor (m / s)

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6.0 – Geração de Corrente Alternada

6.1 – O Gerador elementar

Uma aplicação bastante interessante da Lei de Faraday é o “Gerador elementar”. Esse é o

nome dado ao mecanismo básico com o qual se consegue gerar corrente alternada senoidal. Trata-se de uma espira que gira no interior de um campo magnético.

Ao efetuar o movimento de rotação, os lados da espira cortam as linhas de força e, conseqüentemente, neles surgem tensões induzidas. O valor dessas tensões depende da posição em que se encontra a espira. Vamos identificar a posição da espira através de um ângulo que chamamos de alfa (α). Esse ângulo é formado entre a velocidade tangencial da espira (v) e o vetor campo (β).

A velocidade tangencial depende do número de rotações por minuto (rpm) com que a espira

está girando e do seu raio. Portanto, para um determinado gerador, a velocidade tangencial é uma constante. Entretanto a componente da velocidade perpendicular ao campo β não permanece constante, mas varia em função do ângulo α.

Uma análise quanto a polaridade da força eletromotriz gerada em cada lado da espira nos

mostra que a força eletromotriz total gerada na espira, corresponde à soma das forças eletromotrizes geradas em cada lado da espira em diferentes ângulos. Portanto a força eletromotriz total gerada na espira é dada por:

fem = B l v sen α

Onde: fem => força eletromotriz induzida (V) β => indução magnética (T)

l => comprimento ativo da espira (m)

v => velocidade tangencial da espira (m / s)

α => ângulo entre o campo e a velocidade tangencial

Obs.: Entende-se por comprimento ativo da espira, a soma dos comprimentos de cada lado da espira que fica sujeito ao campo, não contando portanto os comprimentos que não são cortados por linhas de força.

Assim, da fórmula obtida para o gerador elementar, observamos que a força eletromotriz

depende não só de fatores intrínsecos ao gerador (β, L, v), como também da posição relativa da espira no instante considerado, que é determinado pelo ângulo α.

Vamos, então, analisar a força eletromotriz produzida em diferentes posições da espira e evidenciar, através de cálculos, a natureza senoidal da tensão obtida.

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Usando a fórmula e = B l v sen α, obtemos os seguintes valores de tensão induzida:

α = 0º => e = 0V.

α = 90º => e = tensão máxima.

α = 180º => e = 0V.

α = 270º => e = tensão máxima.

α = 360º => e = 0V.

Com os valores acima, podemos traçar o gráfico da tensão “e” em função do ângulo α:

6.2 – Lei de Lenz

A causa do aparecimento de uma corrente induzida em um circuito condutor fechado é a

variação do fluxo magnético, conforme a Lei de Faraday. O fluxo magnético pode variar em um circuito fechado devido ao movimento relativo entre

esse circuito e um campo magnético constante. O fluxo pode também mudar devido as variações que a corrente que lhe dá origem sofre. Nesse caso dizemos que o fluxo é variável no tempo. Dessa forma a Lei de Lenz estabelece que:

“Os efeitos da corrente induzida se opõem às causas que a originam”. 6.3 – Defasagem entre tensão e corrente induzidas

Quando o fluxo varia senoidalmente, a força eletromotriz induzida também é senoidal. Como

o fluxo é produzido diretamente pela corrente elétrica, tanto a corrente como a tensão deveriam se apresentar em fase. No entanto não é o que acontece, na prática.

Analisando o gráfico acima, concluímos que há uma defasagem de 90º entre a tensão (linha cheia – que se encontra adiantada) e a corrente (linha tracejada – que se encontra atrasada). Isso acontece porque uma bobina atrasa a corrente alternada em 90º em relação à tensão.

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Vamos analisar esse fenômeno aplicando em uma bobina uma tensão senoidal.

Admitindo-se que se trata de uma bobina ideal, ou seja, resistência interna nula, a corrente deveria

assumir um valor tendendo ao infinito, pois I = V / R (Lei de Ohm). Observa-se experimentalmente que não é isso que ocorre. A corrente assume valores razoavelmente baixos, o que nos leva a concluir que existe algo mais que limita a corrente e que não é a resistência elétrica.

Ocorre pois que, a corrente alternada ao circular pela bobina produz nela um fluxo também

alternado que, pela Lei de Faraday, induz uma força eletromotriz na bobina. Essa força eletromotriz, pela Lei de Lenz, tem polaridade tal que a corrente que ela tende a produzir se opõe a corrente que deu origem a ela. Supondo que a polaridade instantânea da tensão aplicada seja positiva no terminal superior da gente, a força eletromotriz na bobina também terá polaridade instantânea positiva em seu terminal superior.

Sendo assim, a tensão aplicada v produz uma corrente I no sentido horário, enquanto a

força eletromotriz da bobina e produz uma corrente I no sentido anti-horário. A corrente resultante na bobina

é a subtração das duas correntes e tem sentido horário, nesse exemplo. Caso a corrente induzida assumisse o mesmo valor da corrente aplicada, a corrente resultante seria nula.

Logo: a corrente está atrasada em 90º em relação à tensão aplicada.

Exercícios propostos

01) Determine a fem média induzida em uma bobina de 800 espiras que tem seu fluxo variado de 10mWb em 0,1s.

02) Uma gerador elementar tem uma bobina de 10 cm de comprimento que gira em torno de um

campo de 0,2 T com velocidade de 100m/s. Determine a máxima tensão gerada.

7.0 – Indutância Magnética (L)

7.1 – Definição

A indutância, também chamada de coeficiente de auto-indução ou auto- indutância, é

uma grandeza que caracteriza uma bobina ou solenóide, definida como:

“A razão entre o número de enlaces de fluxo por unidade de corrente”.

L = N Φ

I

Onde: L => indutância em Henry (H)

N => número de vezes que o fluxo enlaça a corrente

Φ => fluxo magnético (Wb)

I => corrente (A)

Eletricidade II

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Obs.: Entende-se por enlace de fluxo a quantidade de espiras percorridas pela corrente em uma

bobina ou solenóide. Quando se trata de uma única espira, o fluxo total gerado enlaça uma única vez a corrente.

Ao considerar na fórmula que é o fluxo total (Φ) que atravessa o interior da bobina, devemos estar cientes de que isto é apenas uma aproximação da realidade, pois na maioria das situações práticas o total de fluxo dependerá da geometria da bobina.

Considerando que a corrente que percorre a bobina seja variável, o fluxo produzido será

também variável. Dessa forma, mantendo-se constante o número de espiras da bobina, podemos determinar a indutância como:

L = N ΔΦ_

ΔI

Onde: ΔΦ => variação do fluxo magnético (Wb)

Δ I => variação de corrente (A)

N => número de espiras constante

Valores típicos de indutância podem variar desde alguns micro-henry (µH) até algumas dezenas de Henries. Por exemplo, as bobinas de um pequeno transformador podem apresentar uma indutância alta, enquanto as bobinas retas com número de espiras em torno de 1000 e com núcleo de ar podem apresentar apenas alguns milihenry (mH).

7.2 – Fatores que influenciam na indutância de uma bobina

Considerando que o fluxo magnético é devido ao campo β e este último, salvo os ímãs

permanentes, é criado pela corrente elétrica, podemos dizer que há uma dependência explícita do fluxo com a corrente. Mais precisamente, o fluxo magnético é diretamente proporcional à corrente. Em meios como o vácuo ou o ar, essa dependência é linear, ou seja, se a corrente aumenta em uma bobina o fluxo magnético aumenta na mesma proporção. Entretanto, em material ferromagnético essa dependência não é linear. Por exemplo, em uma bobina de 10 espiras com núcleo de ar, o fluxo gerado por uma corrente de 1 Ampère é 1 µWb. Logo a indutância será 10 µH. Se a corrente dobrar de valor, sabemos que o fluxo também dobrará, mas a indutância permanecerá a mesma.

Por outro lado, se essa mesma bobina estiver enrolada em um núcleo ferromagnético,

quando a corrente assumir determinado valor, teremos a indutância calculada por: L = NΦ / I. Se a corrente dobrar de valor o fluxo aumentará mas não na mesma proporção, ou seja, não dobrará de valor, pois não se trata de uma relação linear. Dessa forma podemos dizer que a indutância varia conforme a corrente aplicada em meios ferromagnéticos.

Considera-se que a indutância de uma bobina com N espiras em material ferromagnético

pode ser dezenas de vezes superior a uma outra bobina com N espiras em núcleo de ar e mesma indutância. Em situações práticas, onde se deseja indutância elevada, mas com valor constante, usa-se núcleo ferromagnético com um pequeno entreferro. Isto torna a dependência do fluxo com a corrente elétrica praticamente linear.

Eletricidade II

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Pela definição de indutância, ou seja, número de enlaces de fluxo por unidade de corrente,

podemos esperar que o número de enlaces de fluxo seja diferente para bobinas com geometrias diferentes, mesmo com igual número de espiras. Obviamente, o número de espiras também modifica o número de enlaces de fluxo. Quanto à corrente, se a bobina for feita em núcleo de ar, seu valor não interfere no número de enlaces de fluxo por unidade de corrente, visto que uma variação no valor da corrente se reflete diretamente em uma mesma variação de fluxo magnético. Entretanto, em se tratando de núcleos ferromagnéticos, essa proporcionalidade não se verifica; inclusive bobinas com núcleos ferromagnéticos de natureza diferente apresentarão diferença na relação entre fluxo e corrente.

Podemos concluir que para bobinas com núcleo de ar, a indutância depende apenas da sua forma geométrica e de seu número de espiras. Para bobinas com núcleo ferromagnético, além da forma geométrica e do número de espiras, a indutância depende também do material empregado; mais especificamente da curva magnetizante do material constituinte do núcleo.

Podemos, então, enumerar os fatores que influenciam na indutância em:

Número de espiras da bobina

Formato no qual as espiras são enroladas

Área de secção transversal da espira

Comprimento da bobina

Diâmetro da bobina

Tipo de núcleo (ar ou ferromagnético)

Espessura do fio empregado

Permeabilidade do núcleo, etc.

Assim, o comportamento do fluxo frente a corrente passa a ser um misto entre a bobina com núcleo ferromagnético fechado e bobina com núcleo de ar.

7.3 – Tipos de bobinas ou indutores

7.3.1 – Indutor toroidal _ podemos deduzir a equação da indutância de um toroide

utilizando algumas equações já conhecidas. Considere um toroide com raio médio R, número de espiras N uniformemente distribuídas ao longo de seu comprimento e

secção transversal circular S. Conforme já visto anteriormente, o campo H de um toroide é calculado por H = N I / 2 R. Sendo o núcleo de material ferromagnético onde possa ser considerada uma permeabilidade magnética teremos um campo B dado por: B = I / 2 R. O fluxo magnético que atravessa a secção S, conforme a equação Ö = B S, será dado por: Ö = ì N I S / 2 R. A indutância para o toroide, dada pela equação L = N Ö / I, pode finalmente ser obtida como:

L = µ N2

S_

2 π r

7.3.2 – Indutor reto _ para um solenóide reto de comprimento l e secção circular de raio R, com

uma única camada de espiras, podemos obter a indutância através da seguinte equação:

L = 1,26 N2

π r2

_

l x 106

Eletricidade II

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A equação acima só é válida para bobinas com núcleo de ar. Caso um núcleo de material ferromagnético seja introduzido no interior da bobina, teremos um aumento significativo no valor da indutância. Entretanto, não podemos prever o valor exato da indutância pela simples substituição da permeabilidade do ar, que é aproximadamente igual µ0, pela permeabilidade do material do núcleo µ na

fórmula. Isso porque apenas parte do caminho do fluxo magnético seria feito pelo material ferromagnético (apenas no interior da bobina). O restante do caminho seria feito pelo ar, o que o torna um caminho mosto.

Mesmo para o núcleo de ar, a equação acima não fornece o valor exato da indutância, por ser uma fórmula aproximada baseada em experimentos de laboratório. Pode haver variações no valor da indutância dependendo do diâmetro do fio utilizado e das proporções entre o comprimento e o raio da bobina.

7.4 – Indutância Mútua (M)

O número que exprime a possibilidade que um condutor tem de induzir em outro uma força

eletromotriz é chamado de coeficiente de indutância mútua (M) do par de condutores. Existe uma

indutância mútua de 1 Henry entre dois condutores, sempre uma força eletromotriz de 1V for induzida em um deles na razão de 1 Ampère por segundo. Suponhamos que uma corrente I esteja produzindo um fluxo Φ na bobina L1 e que essa corrente seja variada de seu valor máximo até zero. Isso fará com que o

fluxo magnético também varie de seu valor máximo até zero, produzindo uma força eletromotriz também variável na bobina L2.

A indutância mútua entre duas bobinas depende da auto-indutância de cada uma delas e da fração do fluxo magnético, produzido por uma delas, que é aproveitado pela outra. Chamamos de coeficiente de acoplamento (K), à percentagem do fluxo produzido por uma das bobinas que é

aproveitada pela outra, ou seja, que vai influenciar na produção de uma força eletromotriz induzida na outra bobina. Por definição, podemos dizer que:

“Coeficiente de acoplamento é a razão entre o fluxo mútuo e o fluxo total produzido em um circuito magnético”.

O acoplamento magnético (ligação entre dois circuitos por meio de um campo magnético)

depende da distância entre as duas bobinas e da posição de uma em relação à outra. O coeficiente de acoplamento é sempre menor que 1 e pode ser nulo (se uma bobina não estiver submetida ao campo magnético da outra, ou se o enrolamento estiver colocado em ângulo reto com o campo indutor).

Eletricidade II

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Podemos calcular a indutância mútua entre duas bobinas pela seguinte equação:

_____

M = K √L1 L2

Onde: M => coeficiente de mútua indutância (H)

K => coeficiente de acoplamento L1 => indutância da bobina 1 (H)

L2 => indutância da bobina 2 (H)

7.5 – Associação de indutância

A associação de indutores deve ser considerada sob dois aspectos: sem indutância

mútua e com indutância mútua.

7.5.1 – Associação em série

Na associação em série sem indutância mútua, as bobinas estão dispostas de tal modo que o

campo magnético de uma não induz força eletromotriz na(s) outra(s). Como estão em série, a mesma corrente fluirá em todas e elas estarão sujeitas a mesma variação de corrente. Logo, o valor da indutância total equivalente será:

LT = L1 + L2 + L3 + ... Ln

Na associação em série com indutância mútua, os campos magnéticos das bobinas estão

interagindo entre si, influenciando nas forças eletromotrizes produzidas em cada bobina. Logo, o valor da indutância total equivalente será:

LT = L1 + L2 +/- 2M (onde M é o valor de indutância mútua entre duas bobinas).

7.5.2 – Associação em paralelo

Na associação em paralelo sem indutância mútua não há acoplamento

magnético entre as bobinas e a força contra-eletromotriz induzida será a mesma em todas elas. Cada bobina do circuito apresentará uma razão da variação de corrente diferente

(exceto se todas possuírem o mesmo valor de indutância). Logo, o valor da indutância

total equivalente será:

_1_ _ = _1 _ + _1_ _ + _1_ _ ..._1_

LT L1 L2 L3 Ln

Eletricidade II

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Na associação em paralelo com indutância mútua, os campos magnéticos estão acoplados e,

portanto deve se levar em consideração o coeficiente de mútua indutância. Logo, a indutância total equivalente será:

LT = L1 L2 – M2

__

L1 L2 +/- 2M

Exercícios propostos

01) Duas bobinas de 3mH e 6mH são colocadas em paralelo. Calcule a indutância total sem indutância

mútua.

02) Cite 3 fatores que influenciam na indutância de uma bobina.

03) Qual a indutância mútua entre duas bobinas de 2mH e 8mH com coeficiente de acoplamento de

0,95.

8.0 – Acoplamentos Magnéticos

8.1 – O Transformador

O transformador é um dispositivo elétrico constituído, basicamente, por um núcleo de

ferro laminado no qual são enroladas duas bobinas, que originam os enrolamentos primário (entrada) e secundário (saída).

Sob o ponto de vista elétrico, os enrolamentos são circuitos independentes. No entanto,

magneticamente, estão acoplados pelo núcleo de ferro.

Aplicando-se uma corrente alternada no primário, forma-se ao redor do mesmo um campo magnético variável, que se expande e se contrai de acordo com a variação da componente aplicada, produzindo uma tensão neste enrolamento, denominada força eletromotriz de auto indução. O

campo magnético, quando em expansão, enlaça a segunda bobina e produz na mesma uma tensão denominada força eletromotriz de indução mútua (condição em que dois circuitos compartilham a

energia aplicada em um deles).

8.2 – Relações fundamentais no transformador ideal

Matematicamente, podemos demonstrar as relações que existem entre tensão,

corrente e o número de espiras entre primário e secundário, pela expressão a seguir:

_Np_ = _Vp_ = _Is_

Ns Vs Ip

Onde: Np => número de espiras do enrolamento primário

Ns => número de espiras do enrolamento secundário

Vp => tensão em volts no enrolamento primário

Vs => tensão em volts no enrolamento secundário

Ip => corrente em Ampere no enrolamento primário

Is => corrente em Ampere no enrolamento secundário

Eletricidade II

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Obs.: As correntes estão entre si inversas em relação ao número de espiras e sofrem

transformações opostas em relação às tensões, sendo este efeito justificado pelo princípio chamado “Conservação da Energia”, onde a potência elétrica aplicada ao primário (Vp x Ip) é igual a potência elétrica gerada no secundário (Vs x Is).

8.3 – Tipos de transformador

A classificação dos transformadores é feita a partir da relação existente entre o número

de espiras do enrolamento primário e o número de espiras do enrolamento secundário, como se segue:

1º) Se Np > Ns => Vp > Vs => Ip < Is => abaixador de tensão e elevador de corrente

2º) Se Np < Ns => Vp < Vs => Ip > Is => elevador de tensão e abaixador de corrente

3º) Se Np = Ns => Vp = Vs => Ip = Is => transformador isolador.

Exemplo:

Seja um transformador com 500 espiras no primário e 1000 espiras no

secundário. Ao se aplicar uma tensão de 100V no primário, qual será a tensão obtida no secundário?

_Np_ = _Vp_ => 500_ = 100 Vs = 200V

NS Vs 1000 Vs

8.4 – Perdas no transformador

No transformador “Real” as perdas são bastante reduzidas, proporcionando um

rendimento superior a 90%, condicionando somente que o material empregado no núcleo seja de boa qualidade.

No entanto algumas perdas são consideráveis, como:

a) Perdas no cobre – ocorre devido ao aquecimento nos enrolamentos pelo efeito térmico da corrente (efeito joule), acarretando perda de energia elétrica transformada em calor.

b) Perda por histerese – o campo magnético muda de sentido de acordo com a variação

da componente AC aplicada ao primário; logo o núcleo deverá ser repolarizado nesta situação. A redução do consumo de energia na repolarização do núcleo torna-se viável, caso o ferro empregado permita essa modificação rapidamente, do contrário ocorrerá perda na transferência de energia pelo efeito histerese.

c) Perda por corrente parasita (corrente de Foucault) – o campo magnético

transferido ao secundário age no núcleo, induzindo no mesmo uma corrente elétrica (corrente parasita). Essa corrente não pode ser eliminada, no entanto, é possível

minimizar o seu valor através da laminação do núcleo. Esta técnica proporciona uma área de secção transversal menor, reduzindo a tensão induzida efetiva através do aumento da indutância da bobina e diminuindo a intensidade de corrente parasita no núcleo.

Eletricidade II

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Exercícios propostos

1) Um transformador ideal tem um primário com 100 espiras e é atravessado por uma corrente

de 100mA quando aplicado uma tensão de 120 V. Qual a tensão, corrente e impedância do secundário?

Considere o número de espiras do secundário igual a 20.

2) Um transformador ideal tem uma relação de espiras 1:10 e é aplicado uma tensão no

primário de 12 V com uma corrente de 0,5 A. Determine a tensão, corrente e impedância do secundário.

9.0 – Impedância (Z)

9.1 – Reatância Indutiva (XL)

Define-se como reatância indutiva a oposição à variação de corrente alternada provocada pela

indutância de uma bobina. A reatância indutiva é expressa em Ohms e, além de limitar o valor de corrente em um circuito, faz com que a corrente se atrase em relação à tensão. O cálculo do valor de reatância indutiva de uma bobina em um circuito C A é dado pela equação:

XL = 2 π f L

Onde: XL => reatância indutiva (Ω)

f => freqüência alternada (Hz)

L => indutância da bobina (H)

Examinando a equação dada, verificamos que a freqüência da corrente alternada e a reatância indutiva são grandezas diretamente proporcionais, ou seja, quando a freqüência aumenta, a reatância também aumenta. Por essa razão as bobinas são comumente usadas para impedir a entrada de corrente alternada em determinados circuitos, enquanto deixam livre a corrente contínua.

Eletricidade II

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9.2 – Reatância Capacitiva (XC)

Define-se como reatância capacitiva a oposição à variação de tensão alternada provocada pela capacitância de um capacitor. A reatância capacitiva é expressa em Ohms e, além de limitar o valor da tensão alternada em um circuito, faz com que ela se atrase em relação à corrente. O valor de reatância capacitiva que um capacitor apresenta em um circuito, é dado pela equação:

XC = ___1___

2 π f C

Onde: XC => reatância capacitiva (Ω)

f => freqüência alternada (Hz)

C => capacitância (F)

9.3 – Impedância em série

9.3.1 – Circuito RL série

Em todo circuito RL em série, a impedância total é o efeito combinado da resistência do

circuito (R) com a reatância indutiva da bobina (XL). Como a bobina atrasa a corrente em 90º, o vetor que representa a tensão sobre a bobina (VL) e o vetor que representa a tensão sobre o resistor (VR), tendem a ficarem defasados em 90º. Dessa forma a tensão total no circuito será a soma algébrica das tensões VR e VL.

Z2

= R2

+ XL2

Onde: Z => impedância (Ω)

_________ R => resistência (Ω)

Z = √ R2

+ XL2

XL => reatância indutiva (Ω)

VG2

= VR2

+ VL2

=> VG = √ VR2

+ VL2

Eletricidade II

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9.3.2 – Circuito RC série

Em todo circuito RC em série, a impedância total é o efeito combinado da resistência do

circuito (R) com a reatância capacitiva do capacitor (XC). Como o capacitor atrasa a tensão em 90º, o vetor que representa a tensão sobre o capacitor (VC) e o vetor que representa a tensão sobre o resistor (VR), tendem a ficarem defasados em – 90º. Dessa forma a tensão total do circuito será a soma algébrica das tensões VR e VC.

Z2

= R2

+ XC2

Onde: Z => impedância (Ω)

_________ R => resistência (Ω)

Z = √ R2

+ XC2

XC => reatância capacitiva (Ω)

VG2

= VR2

+ VC2

=> VG = √ VR2

+ VC2

O ângulo de defasagem entre tensão e corrente, em ambos os casos, pode ser expresso pela Lei dos Co-senos:

Arccos α = _R_

Z

9.3.3 – Circuito LC série

Em todo circuito LC em série, a impedância total do circuito é o efeito combinado da reatância

indutiva (XL) com a reatância capacitiva (XC). Como a bobina atrasa a corrente em 90º e o capacitor atrasa a tensão em 90º, a tensão total nos terminais do circuito é a diferença de tensões nos terminais de cada componente.

Z = XL – XC (se XL > XC => impedância indutiva)

Ou

Z = XC – XL (se XC > XL => impedância capacitiva)

VG = VL – VC => VG = VC – VL

9.3.4 – Circuito RLC série

Em todo circuito RLC série, a impedância total é o efeito combinado da impedância RL

com a impedância RC. Dessa forma, a tensão total nos terminais do circuito é a soma algébrica da tensão nos terminais do resistor, mais a diferença da tensão nos terminais do circuito LC.

_____________

Z2

= R2

+ (XL – XC)2

ou Z = √ R2

+ (XL – XC)2

(se XL > XC)

_______________

Z2

= R2

+ (XC – XL)2

ou Z = √ R2

+ (XC – XL)2

(se XC > XL)

Eletricidade II

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VG = √ VR2

+ (VL – VC)2

=> VG = √ VR2

+ (VC – VL)2

Obs.: Em todos os casos de impedância em série, o valor do módulo da corrente é o mesmo para toda malha do circuito, mas os valores de tensão poderão ser diferentes para cada ponto considerado no circuito. Portanto, são válidas todas as regras da 1ª Lei de Ohm.

9.4 – Impedância em paralelo

9.4.1 – Circuito RL paralelo

Em todo circuito RL em paralelo, a tensão é a mesma para cada componente do circuito, mas as

correntes podem ser diferentes. Como a bobina atrasa a corrente em 90º em relação à tensão, a impedância total do circuito será a resultante vetorial entre a corrente no resistor (0º) e a corrente na bobina (- 90º).

Z = __R x XL _

√ R2

+ XL2

9.4.2 – Circuito RC paralelo

Em todo circuito RC em paralelo, a tensão é a mesma para cada componente do circuito, mas as

correntes podem ser diferentes. Como o capacitor atrasa a tensão em 90º em relação à corrente, a impedância total do circuito será a resultante vetorial da corrente no resistor (0º) e a corrente no capacitor adiantada em 90º.

Z = R x XC _

√ R2

+ XC2

Eletricidade II

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9.4.3 – Circuito LC paralelo

Em todo circuito LC em paralelo, a intensidade de corrente total é a diferença entre as

correntes na bobina (IL) e no capacitor (IC). Como estas correntes se encontram defasadas em +90º e – 90º, a impedância será a resultante vetorial entre a maior e a menor.

Z = XL x XC _ ou Z = XC x XL _

XL – XC XC – XL

9.4.4 – Circuito RLC paralelo

Em todo circuito RLC em paralelo, a impedância total é dada pelo inverso da admitância.

Para este caso, especificamente, fica mais fácil se trabalhar com os cálculos de admitância (inverso da impedância), condutância (inverso da resistência) e suscetância

(inverso da reatância). ______________

Z = 1 / Y => Y2

= G2

+ (Sl – Sc)2

ou Y = √ G2

+ (Sl – Sc)2

Onde: Z => impedância do circuito em ohm (Ω)

Y => admitância do circuito em siemens (S) G => condutância do circuito em siemens (S) Sl => suscetância indutiva em siemens (S) Sc => suscetância capacitiva em siemens (S)

Exemplo:

Calcular a impedância de um circuito RLC em paralelo formado por um resistor

de 200Ω, um capacitor com reatância capacitiva de 20Ω e um indutor cuja reatância é de

50Ω. G = 1 / R = 1 / 200 = 0,005 S Sc = 1 / XC = 1 / 20 = 0,05 S Sl = 1 / XL = 1 / 50 = 0,02 S

___________________

Y = √ 0,0052

+ (0,05 – 0,02)2

= 0,03 S

Z = 1 / Y = 1 / 0,03 = 33,33 Ω.

Eletricidade II

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Exercícios propostos

01) Uma bobina é ligada em série com um chuveiro elétrico de 3600 Watts para reduzir a potência

aplicada em seus terminais. A tensão aplicada ao conjunto é de 120 volts e a tensão somente

no chuveiro é de 96 volts. Determine a d.d.p. nos terminais da bobina:

02) Qual a reatância indutiva de um indutor de 5mH ligado a uma fonte de 120V, 50Hz?

03) Qual a reatância capacitiva de um capacitor de 100µF que está ligado a uma fonte de 220V, 50Hz?

04) No circuito abaixo, determine a corrente consumida. R = 40Ω e XL = 30Ω Vg = 120 V

05) Em um circuito LC série qual a impedância vista pela fonte considerando XL = 50Ω e XC = 40Ω.

06) Um circuito RLC série contem uma resistência de 10 Ω, uma reatância indutiva de 30Ω e uma

reatância capacitiva de 70 Ω. Qual a impedância deste circuito?

07) Na questão anterior qual a corrente que circulará pelo circuito quando alimentado por 220V?

Eletricidade II

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08) Em um circuito RL paralelo com uma resistência de 20Ω e uma reatância indutiva de 30Ω, qual a

sua impedância?

09) Em um circuito RC paralelo com uma resistência de 20Ω e uma reatância indutiva de 40Ω, qual a

sua impedância?

10) Na questão anterior qual a corrente que circulará quando for aplicada uma tensão de 120V?

11) Sobre o circuito abaixo, responda as próximas questões.

a. qual a admitância de um circuito RLC em paralelo formado por um resistor de 200Ω, um

capacitor com reatância capacitiva de 20Ω e um indutor cuja reatância é de 50Ω.

b. Calcule a impedância desse circuito.

c. Calcule a corrente total quando o circuito é alimentado por 120V.