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UFABC – Prof. Dr. Claudio F. André - Disciplina: Práticas de Ensino de Matemática – 1º. Quadrimestre/2016 1

CMCC

Centro de Matemática, Computação e Cognição

DISCIPLINA

Práticas de Ensino de Matemática

Ensino Fundamental II

9º ano

O Mágico Equilíbrio do Mundo

ALUNO Beatriz Cristine Gomes de Lima

Bacharelado em Ciência e Tecnologia

Matrícula 11112312

ORIENTAÇÃO Prof. Dr. Claudio F. André

Santo André – SP

1º. Quadrimestre de 2016


SUMÁRIO

DADOS GERAIS ..................................................................................................................................... 3

1. PERGUNTAS PROBLEMATIZADORAS ................................................................................................ 5

2. PROPÓSITOS ..................................................................................................................................... 7

2.1. Conceituais ................................................................................................................................. 7

2.2. Procedimentais .......................................................................................................................... 7

2.3. Atitudinais .................................................................................................................................. 7

3. PLANEJAMENTO ............................................................................................................................... 8

3.1. Prazo ........................................................................................................................................... 8

3.2. Produtos ..................................................................................................................................... 8

3.2.1. Critérios de avaliação dos produtos .................................................................................... 8

3.3. Exercícios de fixação .................................................................................................................. 8

3.4. Responsabilidades e Funções dos Alunos .................................................................................. 9

3.5. Fundamentação Teórica .......................................................................................................... 10

3.6. Biografias dos principais nomes relacionados ao tema ........................................................... 23

4. PESQUISA ....................................................................................................................................... 29

5. PRODUÇÃO ..................................................................................................................................... 30

5.1. Professores – Procedimentos em Sala ..................................................................................... 30

5.2. Alunos – Procedimentos para Atividades ................................................................................ 32

6. PUBLICAÇÃO ................................................................................................................................... 34

6.1. Produtos ................................................................................................................................... 34

7. AVALIAÇÃO ..................................................................................................................................... 35

7.1. Auto-avaliação dos Alunos - Registro das Lições Aprendidas .................................................. 35

7.2. Avaliação - Exercícios de Fixação ............................................................................................. 36

7.3. Avaliação - Exercícios de Fixação – Digital ............................................................................... 40

7.4. Avaliação - Rubricas ................................................................................................................. 48

8. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ...................................................................................................... 51


DADOS GERAIS

Disciplina

Matemática

Nível de Ensino

Ensino Fundamental

Ano

9º ano

Eixo

Espaço e Forma

Título

O Mágico Equilíbrio do Mundo

Sinopse

Na natureza, a simetria é um fenômeno que remete ao equilíbrio e proporção, ao padrão e regularidade,

harmonia e beleza, ordem e perfeição. Podemos encontrar simetrias sob as mais variadas, diferentes e fascinantes

formas e locais, tais como no corpo humano, na arte, no espelho, na geometria, na arquitetura, dentre outros.

Este conteúdo tem o intuito de definir simetria, abordando temas relacionados a diversos conteúdos de

matemática, à geometria e aos números, mas também à arte, à natureza, à arquitetura, dentre outros temas.

Haverá diversos exercícios/problemas e atividades utilizando softwares como o Geogebra, sólidos geométricos, etc.

Recursos e Materiais de apoio

1. Softwares / Aplicativos

Processador de texto: MS Word

Software de apresentação: Microsoft PowerPoint

Planilha Eletrônica: Excel

Ferramenta de pesquisa na internet: Google

Software de matemática dinâmica: Geogebra

2. Materiais de Apoio

Folha sulfite branca e colorida

Cartolina

Papel quadriculado

Régua

Tesoura

Compasso

Lápis

Borracha

Fita adesiva

Calculadora

Sólidos Geométricos

Glossário (05 palavras / termos)

1. Simetria: Fenômeno que remete ao equilíbrio e proporção, ao padrão e regularidade, harmonia e beleza, ordem

e perfeição. Podemos encontrar simetrias sob as mais variadas, diferentes e fascinantes formas e locais. Na


geometria plana, uma figura é dita simétrica se for possível dividi-la por uma reta, de forma que as duas partes

obtidas possam ser sobrepostas ao dobrar a imagem ao meio.

Fonte: http://sempreamathematicarcommusica.blogspot.com.br/2013/12/simetria-na-natureza.html

2. Formas Geométricas: São ângulos, triângulos, círculos, cubos e cilindros. Considera-se que todas as figuras

geométricas são conjuntos de pontos.

Fonte: http://eproinfo.mec.gov.br/webfolio/Mod88773/PA_FigurasGeometricas_Matematica_Port.pdf

3. Transformações no Plano: Uma transformação T no plano é uma função que associa a cada ponto P do plano,

outro ponto P1, tal que T(P) = P1 . O ponto P1 é dito a imagem de P pela transformação T.

Fonte: http://www.im.ufrj.br/dmm/projeto/projetoc/precalculo/sala/conteudo/capitulos/cap54.html

4. Arquitetura: Trata destacadamente da organização do espaço e de seus elementos. A arquitetura enquanto

atividade é um campo multidisciplinar, incluindo em sua base a matemática, as ciências, as artes, a tecnologia,

as ciências sociais, a política, a história, a filosofia, entre outros. Fonte: Wikipédia.

5. Beleza: Beleza é uma característica de uma pessoa, animal, lugar, objeto ou ideia que oferece uma experiência

perceptual de prazer ou satisfação. A experiência de "beleza" muitas vezes envolve uma interpretação de

alguma entidade como estando em equilíbrio e harmonia com a natureza, o que pode levar a sentimentos de

atração e bem-estar emocional. Fonte: Wikipédia.

http://sempreamathematicarcommusica.blogspot.com.br/2013/12/simetria-na-natureza.html

http://eproinfo.mec.gov.br/webfolio/Mod88773/PA_FigurasGeometricas_Matematica_Port.pdf

http://www.im.ufrj.br/dmm/projeto/projetoc/precalculo/sala/conteudo/capitulos/cap54.html

http://pt.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1tica

http://pt.wikipedia.org/wiki/Ci%C3%AAncia

http://pt.wikipedia.org/wiki/Tecnologia

http://pt.wikipedia.org/wiki/Ci%C3%AAncias_sociais

http://pt.wikipedia.org/wiki/Pol%C3%ADtica

http://pt.wikipedia.org/wiki/Hist%C3%B3ria

http://pt.wikipedia.org/wiki/Filosofia


1. PERGUNTAS PROBLEMATIZADORAS

Você gosta de se olhar no espelho? Sabe qual a relação do espelho com a matemática?

O que é simetria?


Onde mais podemos observar a simetria em nosso cotidiano?

Como podemos relacionar a simetria com a arte e a arquitetura?


2. PROPÓSITOS

2.1. Conceituais

D1-EF2-MAT - Identificar a localização/movimentação de objetos, em mapas, croquis e outras

representações gráficas.

D2-EF2-MAT- Identificar propriedades comuns e diferenças entre figuras bidimensionais e tridimensionais,

relacionando-as com as suas planificações.

D4-EF2-MAT - Identificar relação entre quadriláteros, por meio de suas propriedades.

D5-EF2-MAT - Reconhecer a conservação ou modificação de medidas dos lados, do perímetro, da área em

ampliação e/ou redução de figuras poligonais usando malhas quadriculadas.

D6-EF2-MAT - Reconhecer ângulos como mudança de direção ou giros, identificando ângulos retos e não-

retos.

D7-EF2-MAT - Reconhecer que as imagens de uma figura construída por uma transformação homotética

são semelhantes, identificando propriedades e/ou medidas que se modificam ou não se alteram.

2.2. Procedimentais

P_01 - Usar aplicativos/softwares e demais materiais de produtividade (processadores de texto, planilhas

de cálculo, programas de apresentação, mapas conceituais, aplicativo de construção de formas

geométricas, entre outros), para criar e editar conteúdos.

P_02 - Utilizar dispositivos digitais e móveis, tais como: computador, notebook, impresso, scanner,

pendrive, smartphones e tablets.

P_03 - Encontrar e utilizar tecnologias, soluções e ferramentas gratuitas na internet.

2.3. Atitudinais

AT_01 - Produzir conteúdo de acordo com as orientações, escopo e regras estabelecidas para cada tipo de

gênero.

AT_02 - Ser capaz de construir conhecimento, demonstrando interesse e refletindo criticamente sobre os

temas abordados.

AT_03 - Exercitar a atenção, memória, criatividade e pensamento crítico, e utilizar essas competências para

apresentar soluções por meio da argumentação e demonstração.

AT_04 - Ser capaz de trabalhar colaborativamente e conviver de forma interativa a fim de promover um

ambiente harmonioso.

AT_05 - Ter organização e responsabilidade para atender aos pré-requisitos dentro do prazo estipulado.


3. PLANEJAMENTO

3.1. Prazo

6 aulas de 50 minutos

3.2. Produtos

Deverá ser entregue um projeto (em dupla): primeiramente construção de sólidos geométricos em 3D, em seguida

um trabalho escrito sobre simetria, que dará origem a um cartaz. Além disso, também deverão ser entregues

exercícios resolvidos, um modelo da fita de Mobius e vídeo-aula com as etapas de produção do trabalho.

3.2.1. Critérios de avaliação dos produtos

(x) Entrega no prazo

Formas Geométricas

(x) Quantidade (no mínimo 3)

(x) Beleza

(x) Formulário com fórmulas de área, volume, etc.

Cartaz

(x) Disposição das informações

(x) Clareza

(x) Conteúdo

(x) Imagens

Vídeo-aula

(x) Procedimento para criação das formas geométricas

(x) Procedimento para criação da fita de Mobius

(x) Imagens relacionadas à simetria

(x) Clareza

(x) Duração de 5 minutos, no mínimo

Fita de Mobius

(x) Capricho

(x) Se está correta

(x) Utilizar no mínimo duas fitas unidas

(x) Complexidade

3.3. Exercícios de fixação

De 8 até 10 de acertos – Ótimo

De 6 até 8 de acertos – Bom

De 5 até 6 de acertos – Regular

De 1 até 5 de acertos – Precisa melhorar

0 acertos – Ruim


3.4. Responsabilidades e Funções dos Alunos

Funções Atribuições

Equipe de

Engenharia e

Arquitetura

Responsáveis pela elaboração das formas geométricas em 3D. E

descrição do material que será utilizado na construção.

Equipe de

Produção

Deverão criar um trabalho completo sobre simetria e criar a fita de

Mobius. E serão responsáveis pela criação e editoração do cartaz

de divulgação.

Revisor

Responsável por coordenar a equipe de produção. Deverá aprovar

a edição final do cartaz de divulgação do trabalho.

Coordenador

Tecnológico

É o responsável por aprender todos os recursos existentes nos

softwares que serão utilizados no projeto, bem como fazer a

edição final do cartaz juntamente com o revisor.


3.5. Fundamentação Teórica

Simetria

1) Simetria na Natureza

A civilização tem se esforçado por milhares de anos para entender a geometria perfeita que existe nas formas

da Natureza. Nessa busca, o homem passou a procurar padrões até mesmo onde antes imaginava só existir o caos.

Os "Fractais", por exemplo, são figuras que repetem sua estrutura infinitamente em escalas cada vez menores. Ou

seja, cada pedacinho é igual ao todo.

Na natureza, a simetria é um fenômeno que remete ao equilíbrio e proporção, ao padrão e regularidade,

harmonia e beleza, ordem e perfeição. Podemos encontrar simetrias sob as mais variadas, diferentes e fascinantes

formas e locais.

Podemos encontrar simetrias sob as mais diversas formas em diferentes locais, olhe para o seu corpo, olhe

para as imagens em um espelho, olhe as asas de uma borboleta, as pétalas de uma flor ou uma concha do mar, os

flocos de neve, as estruturas de muitas plantas, etc.

O primeiro filósofo a se ocupar do assunto foi Platão (427 a.C / 347 a.C). Para ele, belo é tudo aquilo em que as

partes se agrupam de modo coerente para compor a harmonia do conjunto. Aristóteles, (384 a.C / 322 a.C),

introduziu a ideia chave da simetria. Ela tanto podia ser entendida de uma forma estrita, em que os lados opostos

de uma figura dividida por um eixo central são exatamente iguais, quanto num sentido amplo, de proporções e

equilíbrio entre as partes. Galileu Galilei em seu "Segundo Saggiatore" escreveu: "O Universo está escrito na

linguagem da Matemática e seus personagens são triângulos, círculos e outras figuras geométricas". Há uma ordem

na Natureza e artistas que querem reproduzi-la fielmente passam horas estudando as formas geométricas da

Natureza.

Na geometria plana, uma figura é dita simétrica se for possível dividi-la por uma reta, de forma que as duas

partes obtidas possam ser sobrepostas ao dobrar a imagem ao meio. As retas que levam a esse tipo de divisão

chamam-se eixos de simetria da figura. Um exemplo disso, na natureza, está na borboleta, que apresenta um único

eixo de simetria.


Assim como na borboleta, podemos visualizar a simetria na cabeça de uma coruja e também o padrão

simétrico, regular, nos favos das colmeias de abelhas, onde os ângulos e os lados dos hexágonos são iguais.

Além disso, muitos animais escolhem os seus parceiros baseando sua escolha na presença de simetrias ou na

falta de características assimétricas. Os biólogos acreditam que a falta de assimetrias é um indicador de bom estado

ou de bons genes, pois somente organismos saudáveis podem manter um desenvolvimento simétrico frente às

pressões do ambiente, tais como, doenças ou falta de alimento. Um animal simétrico é, em geral, um animal

saudável. O mesmo vale para seres humanos.

2) Os Quase Cristais

Os quase cristais são elementos que possuem uma estrutura ordenada, porém não periódica como os cristais

convencionais, que foram descobertos em 1982 na Rússia, por Daniel Shechtman, vencedor do Prêmio Nobel de

Química em 2011 graças a eles.

Até dois anos atrás, os quase-cristais eram encontrados apenas em laboratórios quando, em 2009, foram

encontrados pela primeira vez na natureza, nas montanhas Koryak, na Rússia, local com condições nada favoráveis à

formação das pedras. A análise do material, feita pela Universidade de Princenton, mostra que os quase-cristais

encontrados possuem em sua composição elementos que apontam uma origem extraterrestre. Segundo o estudo,

publicado no “Reports on Progress in Physics”, por Paul Steinhardt e Luca Bindi, as pedras podem ter vindo por meio

de meteoritos que atingiram a Terra há cerca de 15 mil anos.

Fonte: http://www.quimica.com.br/pquimica/15925/o-curioso-caso-dos-quase-cristais/

3) Simetria na Arte

Nossas ideias de beleza estão intimamente relacionadas a princípios de simetria e simetrias são encontradas

por toda a parte no mundo que nos rodeia. A simetria é encontrada com frequência no corpo humano, na arte, no

espelho.

http://www.quimica.com.br/pquimica/15925/o-curioso-caso-dos-quase-cristais/


A isometria tem sido usada pelo homem nas suas criações desde os tempos mais primitivos. Povos antigos

utilizaram figuras geométricas como elementos decorativos e, com o desenvolvimento das civilizações, as figuras

adquiriram disposições mais complexas. Surgiram assim os ornamentos com repetições de uma mesma figura

geométrica, tais como rosáceas, frisos ou pavimentações. Os azulejos do palácio de Alhambra (Espanha) são uma

referência mundial, bem como os trabalhos do artista gráfico holandês Maurits Cornelis Escher (1898-1972) –

trataremos dele mais para a frente.

4) Simetria na Arquitetura

No que diz respeito aos sólidos geométricos, um dos mais famosos exemplos é a Calçada dos Gigantes,

localizada no Planalto de Antrim, na Irlanda do Norte. Neste local, um vasto aglomerado de colunas de rocha

basáltica vulcânica, em forma de prismas de diferentes alturas, na sua maioria hexagonais, mas também

pentagonais que se erguem junto à costa setentrional.


Fonte: http://sempreamathematicarcommusica.blogspot.com.br/2013/12/simetria-na-natureza.html

5) Fractais Geométricos

Benoit Mandelbrot introduziu o termo Fractal em 1975 para denominar uma classe especial de curvas

definidas recursivamente que produziam imagens reais e surreais. Uma estrutura geométrica ou física tendo uma

forma irregular ou fragmentada em todas as escalas de medição. O objeto é composto por partes reduzidas dele

próprio.

São figuras geométricas produzidas por meio de equações matemáticas que podem ser interpretadas como

formas e cores por programas de computador. Sua principal característica é a autossimilaridade. Os fractais estão

ligados a áreas da física e da matemática chamadas Sistemas Dinâmicos e Teoria do Caos, porque suas equações são

usadas para descrever fenômenos que, apesar de parecerem aleatórios, obedecem a certas regras - como o fluxo

dos rios. Outra característica é que possuem complexidade infinita: um zoom em um detalhe da imagem revela

novos detalhes.

É possível encontra-los na medicina, a estrutura do pulmão e as ramificações dos neurônios remetem a essas

figuras. Entre outros benefícios, a compreensão do desenvolvimento dos fractais pode ajudar a prever a evolução de

doenças como o câncer, facilitando diagnósticos precoces; na computação gráfica, alguns tipos têm sido utilizados

como base de animações digitais. Eles ajudam a criar texturas, simular vegetação ou construir paisagens complexas;

na geografia, os dobramentos das camadas de rocha que formam o solo são criados por dobramentos ainda

menores, como um fractal. Ao se definir, por computador, esses padrões, pode-se estudar a instabilidade dos solos e

prevenir catástrofes; na economia, o conceito de fractal é usado no entendimento do comportamento da Bolsa de

Valores. A variação do valor da ação em um dia de pregão é similar à variação de uma semana, um mês, um ano ou

uma década. Com isso, é possível fazer estatísticas mais precisas.

Curva de Peano, também chamada de "curva de Hilbert".

http://sempreamathematicarcommusica.blogspot.com.br/2013/12/simetria-na-natureza.html


Fractal Floco de Neve, proposta por Von Koch em 1904.

Primeiros 4 passos da curva de Koch.

Triângulo de Sierpinski.

Os passos para realizar as iterações podem ser verificados analisando a tabela abaixo.

Passos Área Perímetro

0 A P

1 A1 = A X 3/4 P1 = P X 3/2

2 A2 = A X (3/4)^2 P2 = P X (3/2)^2

3 A3 = A X (3/4)^3 P3 = P X (3/2)^3

Os fractais são formados por um processo recursivo aplicado indefinidamente. Quanto maior for o número de

iterações deste processo, mais detalhes serão apresentados e assim, nunca obteremos uma “imagem final”. Daí a

expressão complexidade infinita. Na figura abaixo temos exemplos de fractais gerados por computador, usando o

programa Fractree.


6) Mas afinal o que é simetria?

Isometria é uma palavra de origem grega que significa mesma medida (Isos = igual e metria = medida) e é

definida como sendo uma transformação geométrica que, aplicada a uma figura geométrica, mantém as distâncias

entre pontos. Ou seja, os segmentos da figura transformada são geometricamente iguais aos da figura original,

podendo variar a direção e o sentido, mantendo também a amplitude do ângulo.

Uma das primeiras coisas que notamos a respeito de simetrias é que elas podem ser de diferentes tipos. Os

dois tipos principais são as simetrias axiais e as simetrias centrais.

Simetrias axiais ou em relação a retas são aquelas onde pontos, objetos ou partes de objetos são a imagem

espelhada um do outro em relação à reta dada, chamada eixo de simetria. O eixo de simetria é a mediatriz do

segmento que une os pontos correspondentes.

Simetrias centrais ou rotacionais são aquelas em que um ponto, objeto ou parte de um objeto pode ser girado

em relação a um ponto fixo, central, chamado centro da simetria, de tal maneira que essas partes ou objetos

coincidam um com o outro um determinado número de vezes.

Repare que qualquer reta que passe pelo centro de simetria divide o objeto em duas imagens espelhadas e

que o centro de simetria é o ponto médio dos segmentos une os pontos correspondentes.


6.1) Simetria no Plano

Existem quatro tipos de isometrias no plano: rotações, translações, reflexões e reflexões deslizantes.

Translação

Uma translação é uma transformação geométrica associada a um vetor que desloca a figura original, segundo uma

direção, um sentido e um comprimento. A translação transforma uma figura noutra figura. As figuras são

geometricamente iguais. As translações conservam a direção e o comprimento de segmentos de reta, e as

amplitudes dos ângulos.

Rotação

Numa rotação a figura inicial vai rodando em diferentes ângulos segundo um ponto central, o centro de rotação, ou

seja, a figura final é obtida através de uma figura inicial, onde é mantido fixo um ponto (o centro da rotação) e todos

os outros sofrem deslocações ao longo de ângulos de uma certa amplitude e em torno do ponto fixo. Pode ser

positiva, quando se move ao contrário do sentido dos ponteiros do relógio, ou negativa, quando se move no mesmo

sentido dos ponteiros dos relógios.

Reflexão

Numa reflexão, cada ponto da figura original e o correspondente da figura refletida estão sobre uma reta

perpendicular ao eixo de reflexão e a igual distância desse eixo.

Reflexão Deslizante

As reflexões deslizantes são a composição de uma reflexão com uma translação por meio de um vetor com a mesma

direção da reta de reflexão, ou seja, uma reflexão segundo um eixo, seguida de um deslocamento com a direção

desse eixo.


Na matemática, a ideia da simetria dá-nos uma maneira precisa de pensar sobre este assunto. Nós

trabalharemos aqui só com simetrias planas, aquelas que ocorrem em um plano liso, mas as ideias generalizam às

simetrias espaciais.

A simetria plana consiste em mover todos os pontos sobre o plano de modo que suas posições relativas

permaneçam as mesmas, embora suas posições absolutas possam mudar. Distâncias, ângulos, tamanhos, e forma

são preservadas por simetrias.

7) Escher

O arquiteto Maurits Cornelis Escher (1898 — 1972), artista gráfico holandês nascido numa família de alta

burguesia, conhecido pela execução de transformações geométricas (isometrias) nas suas obras.

A partir de uma malha de polígonos, regulares ou não, Escher fazia mudanças, mas sem alterar a área do

polígono original. Assim surgiam figuras de homens, peixes, aves, lagartos, todos envolvidos de tal forma que

nenhum poderia mais se mexer. Tudo representado num plano bidimensional.

Bastante intrigante é tentar entender como um pássaro pode se transformar em peixe, em uma única obra,

como esta apresentada abaixo.

“Céu e água”, de Escher.

Mas Escher também explorou o espaço em seus trabalhos, brincando com o fato de ter que representar o

espaço, que é tridimensional, num plano bidimensional, como a folha de papel. Com isto ele criava figuras

impossíveis, representações distorcidas e paradoxais. Tudo o que nelas está representado nunca é o que parece ser.

“Relatividade”, de Escher.

Escher era um gênio da imaginação lúdica e um artesão habilidoso nas artes gráficas, mas a chave para muitos

dos seus efeitos surpreendentes é a matemática. Não a matemática dos números e das fórmulas, mas a geometria

em todos os seus aspectos. Escher podia imaginar os efeitos fantásticos, mas a geometria era uma ferramenta


necessária para capturar esses efeitos. Também tratava da relatividade de forma agradável, obrigando-nos a

perguntar: “O que eu percebo é realmente o que parece ser?”

As imagens de Escher não aparentam usar quaisquer polígonos. Aqui está o erro! Se repararmos com mais

atenção, verificamos que este desenhador decidiu usar a Arte para ludibriar a Matemática. Pegou num quadrado e,

recortando aqui e ali, conseguiu transformá-lo num peixe com a mesma área. Deste modo, as figuras encaixam

perfeitamente nas pavimentações do plano e são bastante mais atraentes do que um simples quadrado.

Do mesmo modo, Escher pegou num triângulo equilátero e transformou-o noutra imagem mais apelativa.

Como um hexágono regular é constituído por seis triângulos equiláteros, depois de modificado o triângulo,

facilmente se constata que o hexágono também se altera. Aqui vemos a função apelativa da comunicação visual.

Escher criou imagens sempre a pensar nesta ideia de atuar sobre os destinatários, de os cativar, daí o uso da cor e

de figuras mais agradáveis.

O mundo de M. C. Escher é descompromissado, combina objetos incompatíveis. O artista sempre nos propõe

a mesma questão: “Por que o mundo – ao menos o mundo retratado na arte – não pode ser uma combinação de

diferentes realidades? ”

Escher põe em evidência os vínculos entre tempo e espaço, entre eternidade e infinitude, na superfície plana

do desenho. Durante toda a vida ele se mostrou maravilhado e encantado por essas possibilidades. Suas

xilogravuras e litografias são a visão desse encanto.

Foi a proximidade com a ciência que deixou os críticos de arte da época de cabelo em pé. Afinal, como

classificar o trabalho de Escher? Era "artístico" o que ele fazia ou puramente "racional"? Na dúvida, preferiram

silenciar sobre sua obra durante vários anos. Enquanto isso, o artista foi ganhando a admiração de matemáticos,

físicos, cristalógrafos e eruditos em geral. Mas essa é outra faceta surpreendente de Escher, o que mais intriga na

sua obra é que ele não tinha quase nenhum conhecimento de matemática, de geometria, de isometria. No entanto,


criou obras fantásticas, que servem de análise e discussão para pesquisadores de várias áreas, seja no campo

artístico ou no de arquitetura. E ele, como algumas pessoas que ficam bailando nas fronteiras das chamadas “áreas

do conhecimento”, sentia dificuldade em se auto classificar.

São palavras de Escher: “Apesar de não possuir qualquer conhecimento ou treino nas ciências exatas, sinto

muitas vezes que tenho mais em comum com os matemáticos do que com os meus colegas artistas”. E ele estava

certo, até aqui conseguimos observar e verificar que a arte, em especial as obras de Escher, tem muito a ver com a

matemática, até mais do que com a arte, por usar conceitos implícitos de isometria.

Fonte: http://galileu.globo.com/edic/88/conhecimento2.htm e http://www.bb.com.br/docs/pub/inst/img/EscherCatalogo.pdf

7.1) Escher e a Tira de Mobius

O matemático alemão Moebius criou uma superfície não orientável, isto é, sem frente nem costas. O fato foi

considerado um feito no mundo científico e constituiu uma fonte de inspiração para o artista holandês Mauritius

Escher.

Em 1960, um matemático inglês sugeriu que Escher fizesse uma gravura de uma tira de Moebius. O resultado

foram duas gravuras que se tornaram famosas, a “Tira de Moebius I” e a “Tira de Moebius II”, que aqui

reproduzimos. Na primeira dessas gravuras, que parece retratar três serpentes mordendo as caudas umas das

outras, Escher desafia-nos a seguir o percurso das serpentes e a verificar, naturalmente com surpresa, que os três

répteis estão alinhados num percurso único, apesar de parecerem seguir duas órbitas distintas. Na segunda dessas

gravuras, em que nove formigas se passeiam, caminhando sempre no mesmo sentido, Escher desafia-nos a seguir o

seu percurso e a verificar que é um percurso sem fim, pois de onde quer que se parta volta-se sempre ao mesmo

lugar. As formigas passeiam-se, ao que parece, em dois lados diferentes de uma superfície, mas cada uma delas

percorre, afinal, toda a superfície em que se passeia. Tanto numa como noutra gravura, o caminho não tem fim.

August Ferdinand Moebius nasceu em 7 de novembro de 1790 em Schulpforta, na Saxónia, perto de Leipzig e

de Iena. Quando nasceu, era difícil encontrar um único matemático alemão de estatura internacional. Quando

morreu, a Alemanha era um dos principais centros de investigação e de ensino da matemática, de onde partia uma

influência decisiva para a ciência de todo o mundo. Moebius participou nesse extraordinário desenvolvimento, que

não é estranho à transformação política e social então operada nesse país.

Entre os matemáticos, Moebius é sobretudo conhecido pela transformação que tem o seu nome, e que

desempenha um papel relevante em análise complexa. É também conhecido por vários trabalhos de geometria e

topologia, um ramo das matemáticas que é, em muitos aspectos, uma generalização da geometria.

Nos seus estudos de topologia, Moebius estava interessado numa propriedade das superfícies, que é a da

possibilidade ou impossibilidade de orientação e construiu a superfície não orientável que se veio a chamar tira de

Moebius. Para o fazer, teve literalmente de trocar as voltas a uma superfície.

Uma folha de papel tem dois lados e uma única borda, constituída pelas arestas. Será que uma folha de papel

pode ter um único lado e uma única borda, de tal maneira que uma formiga possa passar de um lado para o outro,

sem nunca cruzar a borda? Sabe-se hoje que sim, que basta dar meia volta numa das extremidades da folha e colar

essa aresta à aresta oposta, tal como se mostra na caixa abaixo. Na superfície resultante, a tira de Moebius, as

formigas podem passear-se continuamente, parecendo que percorrem as duas faces da tira, passando da frente para

as costas, quando, afinal, apenas percorrem a face única deste estranho objeto. A tira de Moebius não tem frente

nem costas.

Fonte: http://nautilus.fis.uc.pt/cec/arquivo/Nuno%20Crato/1999/19990220%20Escher%20e%20a%20tira%20de%20Moebius.pdf

http://galileu.globo.com/edic/88/conhecimento2.htm

http://www.bb.com.br/docs/pub/inst/img/EscherCatalogo.pdf

http://nautilus.fis.uc.pt/cec/arquivo/Nuno%20Crato/1999/19990220%20Escher%20e%20a%20tira%20de%20Moebius.pdf


8) Visagismo

Os homens são naturalmente atraídos por simetrias. Muito frequentemente, consideramos um rosto bonito

quando as suas características são simetricamente combinadas. Somos atraídos por proporções equilibradas e nós,

humanos, não somos os únicos, na natureza, a obedecer a este princípio. Muitos animais escolhem os seus parceiros

baseando sua escolha na presença de simetrias ou na falta de características assimétricas.

Os biólogos acreditam que a falta de assimetrias é um indicador de bom estado ou de bons genes, pois

somente organismos saudáveis podem manter um desenvolvimento simétrico frente às pressões do ambiente, tais

como, doenças ou falta de alimento. Um animal simétrico é, em geral, um animal saudável. O mesmo vale para seres

humanos.

Formas simétricas podem ser achadas no mundo inanimado, também. Os planetas com pequenas variações de

forma, exibem simetria radial, isto é, são simétricos em relação às retas que passam pelo seu centro. Flocos de neve

também apresentam simetria radial. Todos os flocos de neve apresentam uma simetria hexagonal em relação a

qualquer reta que passe pelo seu centro. Cada revolução de 60 graus ao redor deste eixo produz um desenho

idêntico ao original. Este fato é explicado fisicamente, pelo modo como as moléculas de água se combinam ao

congelar.

Estes e outros exemplos servem para nos lembrar que simetria é parte integrante da estrutura do mundo

matemático e do mundo que nos rodeia.

O conjunto de técnicas usadas para valorizar a beleza de um rosto pela concepção harmônica entre a

maquiagem e o penteado, denominado visagismo é utilizado em diversas áreas da estética, como por exemplo

ortodontia e salões de beleza. O mesmo engloba diversos aspectos faciais e identifica, por exemplo, qual o formato

de rosto de cada pessoa, qual corte de cabelo seria ideal para a mesma, quais as maneiras de utilizar maquiagens e

iluminação para manter um rosto mais harmônico e inclusive o formato de um dente para um formato de boca

específico podendo ser modificado em tratamentos estéticos ortodônticos.


Visagismo para sobrancelhas.

Fonte: Adaptado de (HALLAWELL, 2008; VALENÇA; LIMA; ZUNETTI, 2000)

Tratando especificamente do visagismo dental, podemos conceituá-lo como uma análise individual de todas as

proporções do rosto de uma pessoa e assim como toda a simetria de sua face e dentes. Aspectos como forma,

posição são observados e estes parâmetros devem ser analisados juntamente com o formato do rosto, idade e sexo

do indivíduo. Depois de toda a análise é possível então mensurar proporções ideais para cada paciente e reconstruir

um sorriso harmônico.

Visagismo dental.

Podemos apresentar, por fim, uma máscara de proporções, de autor desconhecido, mas que é extremamente

citada quando os tópicos são proporções faciais, visagismo e beleza. As pessoas que melhor “encaixam-se” nesta

máscara tendem a ser bonitas para um senso comum.

Máscara modelo para conceito de beleza.


8.1) O Homem Vitruviano

O “Homem Vitruviano” é uma obra de 1490 e que foi primeiramente baseada numa obra mais antiga sobre

arquitetura do famoso Vitrúvio e que faz menção às proporções divinas perfeitas, portanto este homem seria o ideal

humano; toda a obra tem proporções baseadas no número ‘phi’ (1,618) que os gregos difundiram.

A figura humana está totalmente integrada a estas figuras geométricas, demonstrando a relação do homem

com o universo, o macrocosmo aqui como o universo e o microcosmo como o homem totalmente integrados.

A imagem é curiosa em função de sua precisão matemática. A cabeça é calculada como sendo um oitavo da

altura total. O desenho tenta expressar a beleza humana. Ele apresenta as posições dos braços e das pernas como

quatro posturas diferenciadas inscritas num círculo, sendo que o umbigo é o centro da figura. Aqui, podemos citar

também algumas das proporções envolvidas na obra descrita:

1. O comprimento dos braços abertos de um homem (envergadura dos braços) é igual à sua altura;

2. A distância entre a linha de cabelo na testa e o fundo do queixo é um décimo da altura de um homem;

3. A distância entre o topo da cabeça e o fundo do queixo é um oitavo da altura de um homem;

4. A distância entre o fundo do pescoço e a linha de cabelo na testa é um sexto da altura de um homem.

Dentre outras demais proporções Vitrúvio já havia tentado encaixar as proporções do corpo humano dentro da

figura de um quadrado e um círculo, mas suas tentativas ficaram imperfeitas. Foi apenas com Leonardo que o

encaixe saiu corretamente perfeito dentro dos padrões matemáticos esperados.

O Homem Vitruviano.

Fonte: http://www.im.ufrj.br/dmm/projeto/projetoc/precalculo/sala/conteudo/capitulos/cap21s3.html

http://www.art.net/Studios/Visual/Coffin/WRITINGS/BEAUTY/beauty.html#Subject1

http://www.im.ufrj.br/dmm/projeto/projetoc/precalculo/sala/conteudo/capitulos/cap21s3.html

http://www.art.net/Studios/Visual/Coffin/WRITINGS/BEAUTY/beauty.html#Subject1


3.6. Biografias dos principais nomes relacionados ao tema


4. PESQUISA

1. Acesse o link https://www.geogebra.org/b/75828#material/4025 para exibir pelo software Geogebra os fractais geométricos.

2. Acesse o link https://www.geogebra.org/b/137477# para exibir pelo software Geogebra alguns dos trabalhos de Maurits Escher sendo construídos utilizando conceitos de simetria, rotação, reflexão, etc.

3.Acesse o link https://www.youtube.com/watch?v=IKi_ZU7NuOw&noredirect=1 para ilustração de uma aula pelo Geogebra para criação de mosaicos.

4. Acesse o link https://pt.khanacademy.org/math/math-for-fun-and-glory/vi-hart/singing/v/doodle-music para vídeo sobre a simetria relacionada à música.

5. Acesse o link https://pt.khanacademy.org/math/math-for-fun-and-glory/vi-hart/hexaflexagons/v/hexaflexagons para vídeo sobre hexaflexágonos e como construí-los.

6. Acesse o link https://pt.khanacademy.org/science/organic-chemistry/stereochemistry-topic/chirality-r-s-system/v/introduction-to-chirality para vídeo sobre quiralidade, relacionando a simetria com a Química.

7. Acesse o link https://pt.khanacademy.org/math/math-for-fun-and-glory/vi-hart/mobius-strips/v/math-improv-fruit-by-the-foot para vídeo sobre a fita de Mobius e como construí-la.

8. Acesse o link https://pt.khanacademy.org/math/enem/conhecimentos-geometricos/simetrias-figuras-planas-espaciais para vídeos sobre simetrias no plano.

9. Acesse o link https://pt.khanacademy.org/math/math-for-fun-and-glory/vi-hart/vi-cool-stuff/v/snowflakes-starflakes-and-swirlflakes para vídeo sobre como construir flocos de neve utilizando conceitos de simetria. E também https://pt.khanacademy.org/math/math-for-fun-and-glory/vi-hart/vi-cool-stuff/v/snowflakes-starflakes-and-swirlflakes para vídeos de flocos de neve redondos.

10. Acesse o link https://pt.khanacademy.org/math/geometry/transformations/transformations-symmetry/v/axis-of-symmetry para vídeos sobre simetria reflexiva e rotacional e outros.

11. Acesse o link https://pt.khanacademy.org/math/math-for-fun-and-glory/vi-hart/vi-cool-stuff/v/fractal-fractions para vídeo sobre a utilização dos conceitos de fractais em frações.

12. Acesse o link https://www.youtube.com/watch?v=CZAQ_b2rzAA para vídeo sobre como desenhar um cubo de Escher e os links https://www.youtube.com/watch?v=MBBmv1Vsjjs e https://www.youtube.com/watch?v=PvNOHcih_L0 e para buraco 3D.

13. Acesse os links https://www.youtube.com/watch?v=hkCakDslpXM e https://www.youtube.com/watch?v=vkgGgflSwHE para vídeos com construções usando compasso.

14. Acesse o link http://mdmat.mat.ufrgs.br/anos_iniciais/ para algumas atividades em laboratório de informática para prática de conceitos de simetria.

15. Acesse o link https://www.youtube.com/watch?v=BTiZD7p_oTc&ebc=ANyPxKqEzjtBX641b-hjHP6TxjtGgJfIyYMW3hLi44zVzSMs64b7udcSjbgeH6OLR_JLUP4JZxFLEr-zxAwkTJjE82IFbCHMkQ&spfreload=10 para vídeo de fractais geométricos.

https://www.geogebra.org/b/75828#material/4025

https://www.geogebra.org/b/137477

https://www.youtube.com/watch?v=IKi_ZU7NuOw&noredirect=1

https://pt.khanacademy.org/math/math-for-fun-and-glory/vi-hart/singing/v/doodle-music


https://pt.khanacademy.org/math/math-for-fun-and-glory/vi-hart/hexaflexagons/v/hexaflexagons


https://pt.khanacademy.org/science/organic-chemistry/stereochemistry-topic/chirality-r-s-system/v/introduction-to-chirality

https://pt.khanacademy.org/science/organic-chemistry/stereochemistry-topic/chirality-r-s-system/v/introduction-to-chirality

https://pt.khanacademy.org/math/math-for-fun-and-glory/vi-hart/mobius-strips/v/math-improv-fruit-by-the-foot


https://pt.khanacademy.org/math/enem/conhecimentos-geometricos/simetrias-figuras-planas-espaciais


https://pt.khanacademy.org/math/math-for-fun-and-glory/vi-hart/vi-cool-stuff/v/snowflakes-starflakes-and-swirlflakes




https://pt.khanacademy.org/math/geometry/transformations/transformations-symmetry/v/axis-of-symmetry

https://pt.khanacademy.org/math/geometry/transformations/transformations-symmetry/v/axis-of-symmetry

https://pt.khanacademy.org/math/math-for-fun-and-glory/vi-hart/vi-cool-stuff/v/fractal-fractions


https://www.youtube.com/watch?v=CZAQ_b2rzAA

https://www.youtube.com/watch?v=MBBmv1Vsjjs

https://www.youtube.com/watch?v=PvNOHcih_L0

https://www.youtube.com/watch?v=hkCakDslpXM

https://www.youtube.com/watch?v=vkgGgflSwHE

http://mdmat.mat.ufrgs.br/anos_iniciais/

https://www.youtube.com/watch?v=BTiZD7p_oTc&ebc=ANyPxKqEzjtBX641b-hjHP6TxjtGgJfIyYMW3hLi44zVzSMs64b7udcSjbgeH6OLR_JLUP4JZxFLEr-zxAwkTJjE82IFbCHMkQ&spfreload=10




5. PRODUÇÃO

5.1. Professores – Procedimentos em Sala

Caro professor, abaixo segue algumas sugestões de atividades que podem ser realizadas nas aulas de simetria:

1ª AULA

Professor, inicie a primeira aula com as questões-problema, perguntando se os alunos reconhecem a relação

entre um espelho e a matemática, se enxergam elementos de simetria no cotidiano, se eles sabem o que é simetria,

quais as relações da simetria com a arte, arquitetura, corpo humano, etc.

Após as discussões iniciais, explicar aos alunos as propostas das aulas, dos exercícios que serão propostos e

devem ser entregues, dos critérios de avaliação e dos objetivos que se pretende alcançar quanto ao aprendizado e

desenvolvimento individual e coletivo, e também o projeto que irão realizar e orientar os alunos a se dividirem em

duplas.

Ler junto com os alunos o roteiro de atividades proposto para o projeto, esclarecendo possíveis dúvidas sobre

as funções que deverão ser desempenhadas e divulgue os critérios de avaliação para orientá-los na realização das

suas tarefas. Devem ser definidas as funções que serão desempenhadas por cada um, avaliando as dificuldades na

realização das atribuições de cada uma das funções.

Ao final da aula, em um momento de descontração, promover uma brincadeira entre os alunos com a atividade

Espelho Humano, seguindo os passos:

1) Forme equipes de quatro alunos. Essas equipes devem escolher dois representantes. Um será a imagem e o

outro deverá fazer movimentos para serem acompanhados pela imagem.

2) As equipes devem disputar entre si, tendo o professor como juiz.

3) O intuito é que as equipes procurem conseguir representar melhor a imagem em relação ao espelho (eixo

de simetria, cuja posição é perpendicular ao chão e simbolizada por uma marca de giz no chão).

Obs: Além de imitar bem, os alunos que farão os movimentos devem ser criativos para dificultar o

movimento dos outros.

2ª AULA

Professor, inicie a aula relembrando o que foi discutido sobre simetria na aula anterior e as respostas dadas

pelos alunos para as questões-problema. Em seguida, dê uma breve introdução sobre onde podemos encontrar a

simetria no cotidiano, tais como na natureza, na arte, no corpo humano. Fale sobre os fractais geométricos, sobre as

obras de Escher, para então introduzir o conteúdo de simetria no plano.

Para isso, use basicamente o power point, utilizando-se de uma aula mais expositiva, porém procurando fazer

com que os alunos participem da aula dando mais exemplos e debatendo sobre o conteúdo.

Os conteúdos teóricos podem ser encontrados no capítulo 3.5 – Fundamentação Teórica deste plano de aula.

E, ao final, peça que os alunos tentem resolver alguns exercícios do capítulo 7.2 – Exercícios de Fixação para a

próxima aula. Relembre que os exercícios deverão ser entregues ao final das 6 aulas e que serão considerados na

nota final.

3ª AULA

Professor, esta aula será utilizada para que os alunos realizem a atividade de construção dos sólidos

geométricos. Peça que os alunos se dividam nas duplas determinadas para o projeto e distribua os materiais

necessários (papel sulfite branco e colorido, lápis, borracha, régua, compasso, tesoura, fita adesiva, papel

quadriculado, e demais que se façam necessários). Antes que eles comecem a trabalhar, mostre exemplos de sólidos

geométricos e instrua-os sobre o que deverá ser feito.

Os alunos terão o espaço da aula para montar os sólidos, usando conceitos de geometria e simetria. Os sólidos


poderão ser finalizados em casa e deverão ser entregues na semana seguinte (2 aulas depois). Deverão ser montados

no mínimo 3 sólidos diferentes, e características como criatividade, limpeza, capricho, serão considerados na

avaliação.

4ª AULA

Professor, tendo finalizado a fundamentação teórica, é hora de aprofundarmos os assuntos e passarmos a

relacionar as aulas com as atividades e o projeto a serem entregues.

Comece mostrando como as obras de Escher estão relacionadas com os conceitos de simetria no plano

(translação, rotação, reflexão, etc), é possível fundamentar-se no Catálogo O Mundo Mágico de Escher do Banco do

Brasil, uma exposição da vida e obras do autor que contém explicações de algumas de suas obras. Nesse momento, é

importante incentivar os alunos a identificarem as figuras padrões em cada imagem e quais os tipos de simetrias

presentes.

Em seguida, em laboratório, mostrar aos alunos alguns vídeos sobre construções das obras de Escher, por

exemplo do cubo de Escher (vídeo disponível em https://www.youtube.com/watch?v=CZAQ_b2rzAA) e discutir

brevemente a ilusão óptica presente nele. Mostrar as construções no Geogebra de algumas das obras e discutir

como a simetria está presente nelas. Para isso, utilizar as construções presentes no link

https://www.geogebra.org/b/137477#. Caso sobre tempo, também, no link

http://portaldoprofessor.mec.gov.br/fichaTecnicaAula.html?aula=23463 há um exemplo de atividade que pode ser

aplicada.

E, ao final, peça que os alunos tentem resolver alguns exercícios do capítulo 7.2 – Exercícios de Fixação para a

próxima aula. Relembre que os exercícios deverão ser entregues ao final das 6 aulas e que serão considerados na

nota final.

Para os alunos mais interessados, indicar o documentário Metamorfose disponível em

https://www.youtube.com/watch?v=pVwrUUwzBRo que retrata com mais profundidade o tema.

5ª AULA

Professor, no início da aula, recolher os sólidos geométricos dos alunos e aproveitar para lembra-los da entrega

dos exercícios de fixação e do projeto na próxima aula.

A ideia é fazer uma aula mais descontraída, com atividades diversas relacionadas a diversas áreas do

conhecimento para mostrar a interdisciplinaridade existente entre a matemática e as outras áreas do saber e

mostrar aos alunos como os conceitos aprendidos nas aulas podem ser aplicados no cotidiano.

Diversas são as atividades que podem ser aplicadas aqui, dentre atividades em sala de aula, em campo, em

laboratório de informática, individuais ou em grupo. É importante que incentive o interesse e participação dos

alunos, mantenha a sala em ordem e procure perceber quais atividades estão dando mais resultado para guiar a

continuidade da aula.

Abaixo estão alguns links de atividades:

Tira de Mobius: explicação breve do que é e como construí-la. Essa atividade vai auxiliar os alunos na

atividade do projeto que precisa ser entregue. Disponível em: https://pt.khanacademy.org/math/math-for-fun-and-

glory/vi-hart/mobius-strips/v/math-improv-fruit-by-the-foot

Hexaflexágonos: o que são e como podem ser construídos. Disponível em:


Vídeos e exercícios de simetria no plano. Disponível em:


Flocos de neve: como construir com papel flocos de neve e como construí flocos de neve redondos.

Disponíveis em: https://pt.khanacademy.org/math/math-for-fun-and-glory/vi-hart/vi-cool-stuff/v/snowflakes-

starflakes-and-swirlflakes e https://pt.khanacademy.org/math/math-for-fun-and-glory/vi-hart/vi-cool-

stuff/v/sphereflakes

Cantar e barulhos: uma expressão musical e visual de grupos matemáticos de simetria. Disponível em:


https://www.youtube.com/watch?v=CZAQ_b2rzAA


http://portaldoprofessor.mec.gov.br/fichaTecnicaAula.html?aula=23463

https://www.youtube.com/watch?v=pVwrUUwzBRo







https://pt.khanacademy.org/math/math-for-fun-and-glory/vi-hart/vi-cool-stuff/v/sphereflakes

https://pt.khanacademy.org/math/math-for-fun-and-glory/vi-hart/vi-cool-stuff/v/sphereflakes



Geogebra: atividades envolvendo simetria no plano para construção de figuras no software. Disponível em:


Desenhos em perspectiva: simetria e perspectiva do livro “Alice no país das maravilhas”. Disponível em:


Estudo da geometria com casas enxaimel. Disponível em: http://rede.novaescolaclube.org.br/planos-de-

aula/estudo-da-geometria-com-casas-enxaimel

Atividades diversas – MD Mat. Disponível em: http://mdmat.mat.ufrgs.br/anos_iniciais/

6ª AULA

Professor, esta é a última aula dedicada ao conteúdo de simetria. Portanto, será uma aula de fechamento e,

para tal, algumas coisas são necessárias. Primeiramente, ao início da aula, recolher os exercícios de fixação

(individual) e os projetos (cartaz, trabalho escrito, vídeo e fita de Mobius). Em seguida, relembrar o que foi visto nas

aulas anteriores e verificar o que os alunos acharam dos conteúdos.

Em seguida, para finalizar o tema, mostrar alguns vídeos e imagens de fractais geométricos. Segue abaixo:

Vídeo com zoom em diversos tipos de fractais. Disponível em:

https://www.youtube.com/watch?v=BTiZD7p_oTc&ebc=ANyPxKqEzjtBX641b-

hjHP6TxjtGgJfIyYMW3hLi44zVzSMs64b7udcSjbgeH6OLR_JLUP4JZxFLEr-zxAwkTJjE82IFbCHMkQ&spfreload=10

Vídeo explicando frações fractais. Disponível em: https://pt.khanacademy.org/math/math-for-fun-and-

glory/vi-hart/vi-cool-stuff/v/fractal-fractions

Geogebra: construções de fractais geométricos. Disponível em: https://www.geogebra.org/b/75828#

Ao final da aula, distribuir as folhas de auto-avaliações.

5.2. Alunos – Procedimentos para Atividades

Início da Conversa

Conhecer um pouco da simetria presente no cotidiano e como ela pode ser aplicada e buscar alternativas de

aplicação da simetria de forma a otimizar tempo e trabalho.

Portanto, através de nossos recursos tecnológicos, exploremos nossa criatividade e aproveitemos esse projeto

para desenvolver nossa noção geométrica, na elaboração e representação de modelos já existentes, além de

desenvolver a comunicação por meio do diálogo e apresentação.

Missão

Neste projeto a sua missão e de sua equipe será preparar um cartaz de divulgação da simetria no mundo, que

deve conter todas as suas descrições, imagens das obras de Escher, como elas estão relacionadas a simetria, além da

tira de Mobius, de algumas atividades diversas e de vídeos sobre o processo de elaboração do projeto.

Com esse objetivo, vocês terão que fazer pesquisas sobre simetria na natureza, na arte, sobre as obras do

artista Escher e Mobius, bem como elaborar um trabalho escrito e um cartaz sobre os conteúdos pesquisados, e um

vídeo ilustrando as etapas dos processos de construção. Além disso, produzir sólidos geométricos de papel, tira de

Mobius e exercícios.

Etapas

1) 1) Inicie o projeto com as divisões de tarefas. Com esse planejamento formado, é preciso definir os recursos

tecnológicos que serão utilizados para a sua realização: softwares, hardwares, etc. Depois de tudo definido, os

membros do grupo já saberão quais serão suas tarefas, pois já sabem quais são as suas funções e atribuições no

projeto.



http://rede.novaescolaclube.org.br/planos-de-aula/estudo-da-geometria-com-casas-enxaimel

http://rede.novaescolaclube.org.br/planos-de-aula/estudo-da-geometria-com-casas-enxaimel

http://mdmat.mat.ufrgs.br/anos_iniciais/







2) Utilizando ferramentas de busca Google (www.google.com.br), pesquise na Internet informações sobre a simetria,

qual a sua influência e aplicações, selecione exemplos de onde podemos encontrar a simetria na natureza, na arte,

na química, na biologia, etc.

3) O coordenador tecnológico juntamente com a equipe de engenharia deverá confeccionar as formas geométricas,

a tira de Mobius e o vídeo, que deverão ser enviados por e-mail para todos os membros da equipe de orçamento.

4) Após um levantamento com o conteúdo teórico do trabalho, é hora de elaborar o trabalho escrito. Este não

precisa ser muito longo, faça algo sucinto, com poucas páginas, mas que tenha uma fundamentação adequada.

5) Prepare-se para fazer, junto com seu grupo, uma apresentação do cartaz para seu professor e colegas de classe,

destacando os principais conceitos de simetria e as principais aplicações no cotidiano desse conteúdo, e também

reserve um espaço para falar sobre a simetria na arte e os trabalhos de Escher. Neste momento, tanto o professor

quanto os colegas, podem sugerir melhorias nos cartazes.

6) Depois de prontos, os produtos precisam ser divulgados e compartilhados. Sugerimos que a divulgação desse

material seja feita em uma exposição, em espaço público da escola, ou no Blog do professor ou da própria escola.

Não deixe de fazer o acompanhamento dos comentários, reflexões e observações que serão publicados.


6. PUBLICAÇÃO

6.1. Produtos

Formas Geométricas em 3D disponibilizadas em exposição.

Trabalho escrito de consolidação do conteúdo.

Um cartaz de divulgação do conteúdo.

Videoaula com o registro do processo de desenvolvimento do projeto.

Fita de Mobius disponibilizada em exposição.


7. AVALIAÇÃO

7.1. Auto-avaliação dos Alunos - Registro das Lições Aprendidas

Critérios Desempenho

Mínimo

Desempenho

Médio

Desempenho

Alto

Consegui confeccionar as formas geométricas.

Consegui encontrar a relação entre área e volume das

formas geométricas.

Consegui pesquisar na internet, utilizando termos de

refinamento de busca em bancos de informações, sites e

bibliotecas virtuais.

Consegui usar os principais recursos dispositivos digitais e

móveis, tais como: computador, notebook, filmadora digital,

câmera fotográfica, pendrive, smartphones e tablets.

Consegui produzir conteúdos de acordo com as orientações,

escopo e regras estabelecidas para cada tipo de gênero.

Consegui trabalhar colaborativamente e cooperativamente,

de acordo com regras de convivência que contribuíram para

favorecer ambientes harmoniosos.


7.2. Avaliação - Exercícios de Fixação

Exercícios – Um dia no museu

1) Quantos eixos de simetria existem na figura abaixo?

a) 5

b) 4

c) 6

d) 7

2) Quantos eixos de simetria existem nessa flor do Gerânio (Geronium robertianum)?

(Geranium robertianum)

a) 3

b) 4

c) 5

d) 6


a) 4

b) 5

c) 6

d) 7



a) 4

b) 5

c) 6

d) 8

Exercícios OBMEP 2011

1) O Tio Mané é torcedor doente do Coco da Selva Futebol Clube e resolveu fazer uma bandeira para apoiar seu time

no jogo contra o Desportivo Quixajuba. Para isso, comprou um tecido branco retangular com 100 cm de largura e 60

cm de altura. Dividiu dois de seus lados em 5 partes iguais e os outros dois em 3 partes iguais, marcou o centro do

retângulo e pintou o tecido da forma indicada na figura abaixo. Qual é a área do tecido que Tio Mané pintou?

Sugestão: Trace as diagonais do retângulo e calcule a área das quatro partes determinadas.

2) O jardineiro Jacinto decidiu ajardinar um canteiro retangular com 10 m2 de área. Dividiu o canteiro traçando uma

diagonal e unindo cada um dos pontos médios dos lados maiores com um vértice do lado oposto, como indicado na

figura. Na região sombreada plantou jasmins. Qual a área dessa região?

Sugestão: Trace um segmento de reta ligando os pontos médios relatados no problema.

3) Considere um tabuleiro com 11 linhas e 11 colunas.


a) Quantas casas formam este tabuleiro?

b) A diagonal cujas casas estão sombreadas separa o tabuleiro em duas regiões: uma acima e outra abaixo. Quantas

casas formam cada região? É possível calcular esse número sem contar casa por casa?

c) Com a ajuda do tabuleiro, é possível calcular a soma 1 + 2 + ... + 10. Explique como.

d) Com a ajuda de outro tabuleiro, com o raciocínio semelhante ao do item anterior, é possível calcular a soma 1 + 2 +

... + 100. Qual deve ser a quantidade de linhas e colunas do tabuleiro? Qual o valor da soma?

Sugestão: Observe que as duas regiões formadas são iguais. No item (c), conte as casas de cada peça por linha.

4) Doze pontos são marcados sobre uma grade de pontos, como mostrado na figura abaixo.

Quantos quadrados podem ser formados ligando quatro desses pontos?

Sugestão: Verifique que existem quadrados inclinados, de dois tamanhos diferentes.

Exercício Seduc – Prova Brasil 2009

1) Os desenhos a seguir representam o formato de um jardim que será construído em uma praça da cidade.

Inicialmente pensou-se num jardim pequeno, mas devido ao grande entusiasmo que causou na população da cidade,

o prefeito solicitou que fizessem um novo projeto, com desenho maior. O novo projeto terá área:

a) 2 vezes maior que o primeiro.

b) 3 vezes maior que o primeiro.

c) 4 vezes maior que o primeiro.

d) 6 vezes maior que o primeiro.

Exercícios PISA 2012

1) Um fazendeiro planta macieiras em uma área quadrada. Para protegê-las contra o vento, ele planta coníferas ao

redor do pomar. O diagrama abaixo mostra essa situação, na qual se pode ver as macieiras e as coníferas, para um

número (n) de filas de macieiras.


Complete a tabela abaixo:

n Número de macieiras Número de coníferas

1 1 8

2 4

3

4

5

Sugestão: Resposta usando desenho para n = 5, para encontrar os números na tabela OU Resposta usando

regularidades na tabela para preencher os números que faltavam

Resolução:

n Número de macieiras Número de coníferas

1 1 8

2 4 16

3 9 24

4 16 32

5 25 40

2) Suponha que o fazendeiro queira fazer um pomar muito maior com muitas fileiras de árvores. À medida que o

fazendeiro aumenta o pomar o que crescerá mais rápido: o número de macieiras ou o número de coníferas? Explique

como você encontrou a sua resposta.

Sugestão: Macieiras = n x n e coníferas = 8 x n. Em ambas as fórmulas temos o fator n, mas as macieiras têm outro

fator n que aumentará mais rápido enquanto o fator 8 permanece o mesmo. O número de macieiras aumentará mais

depressa. A resposta correta poderia conter a afirmação de que o número de macieiras cresce mais rápido para n

maior ou igual a 8 (ou maior ou igual a 4, o que é mais correto).

Exercícios Prova Brasil 9º ano

1) Observe a figura abaixo.


Considere o lado de cada quadradinho como unidade de medida de comprimento.

Para que o perímetro do retângulo seja reduzido à metade, a medida de cada lado deverá ser

a) dividida por 2.

b) multiplicada por 2.

c) aumentada em 2 unidades.

d) dividida por 3.

7.3. Avaliação - Exercícios no Geogebra

Antes da resolução de exercícios, vamos abordar a construção de polígonos com utilização do mouse e por meio da

digitação de comandos na Entrada. Acesse o Geogebra (online ou app no computador).

Vamos trabalhar a ferramenta Polígono:

A ferramenta Polígono possibilita construir polígonos a partir de pontos já construídos na Janela de Visualização ou

mesmo a partir de pontos criados no momento do uso da ferramenta. Assim, para construir um polígono basta clicar

na ferramenta Polígono e clicar em pontos a sua escolha na Janela de Visualização. A construção deve ser finalizada

clicando novamente no ponto em que a construção foi iniciada.

É possível ainda construir um polígono digitando comandos na Entrada. Para isso, utiliza-se uma das seguintes sintaxes:

Polígono[ <Ponto>, ..., <Ponto>]

Esse comando constrói um polígono a partir de um conjunto de pontos específicos, por exemplo,

Polígono[(0,0), (2,3), (1,5)] constrói um polígono de vértices (0,0), (2,3) e (1,5) que são os parâmetros do

comando. Supondo que os pontos A = (0,0), B=(2,3) e C=(1,5) estivessem construídos no GeoGebra. Nesse

caso, digitando Polígono[A, B, C] na Entrada obtemos o mesmo resultado descrito anteriormente.

Polígono[ <Lista de Pontos> ]


Com essa sintaxe é possível construir um polígono a partir de uma lista de pontos. Assim, dada uma lista de

pontos L = {(0,0), (2,3), (1,5)}, basta digitar Polígono [L] na Entrada para obter um polígono.

Polígono Regular

Com a ferramenta Polígono Regular obtemos polígonos a partir de dois pontos e de um número natural que indica a

quantidade de lados ou vértices. Para construir um polígono regular basta clicar em Polígono Regular, escolher dois

pontos e, em seguida, o GeoGebra carrega uma janela em que deve-se digitar um número ou o nome de uma variável

que representa a quantidade de vértices.

Após digitar o número de vértices, ou a variável, clicando-se em OK obtém-se um polígono regular.

O mesmo resultado pode ser obtido usando a seguinte sintaxe na Entrada:

Polígono[ <Ponto>, <Ponto>, <Número de Vértices>]

Polígonos Rígidos

O GeoGebra possui uma ferramenta com a qual é possível construir polígonos não deformáveis, ou seja, polígonos cuja

forma não é afetada ao movimentar um vértice ou um lado. Essa ferramenta é chamada Polígono Rígido. Clicando na

ferramenta Polígono Rígido podemos construir um polígono de cinco lados conforme exibido abaixo.


Como podemos observar o GeoGebra retornou apenas os dois primeiros pontos clicados, A e B, e um polígono rígido.

Nesse caso se movermos o ponto A todo o polígono é movido juntamente. Se movermos o ponto B, o polígono é

girado em torno do ponto A. Portanto, em nenhum dos casos o polígono é deformado.

1) Construa no Geogebra as figuras abaixo.

1) Polígono


2) Polígono Estrelado

3) Mosaico

Vamos fazer um experimento prático que visa auxiliar o estudante a desenvolver a noção de espaço, localização

espacial e direção. Trabalha com as noções de translação por um vetor. O que auxilia o aluno a se familiarizar com tais

conceitos de direção e sentido de um vetor.

Siga o passo a passo para construção de um mosaico no Geogebra.

1) Construção de um quadrado.

Precisamos construir um quadrado, para facilitar os procedimentos terá uma sequência de imagens.


Após escolhida a opção de construção de polígono regular, marque um ponto qualquer no plano, a sua escolha. E

como já estamos falando em um polígono regular, basta só definir a quantidade de lado da figura, que no nosso caso

será um quadrado, e com isso 4 vértices.

Para retirar o plano cartesiano, não só apenas para esta atividade, mas também para as outras, basta selecionar Exibir

Eixos, quando selecionada esta opção, os eixos desaparecem.

2) Construção do modelo

Partindo de um quadrado e utilizando a opção Polígono, vamos retirar uma figura ou parte de um lado, seleciona-se

um ponto de início e para o término da construção, o ponto de início e final é o mesmo. Por exemplo, se começarmos

a construção do nosso novo polígono no ponto A, para completar esta figura, devemos terminar no mesmo.


A parte foi construída, devemos deslocar para o seu lado oposto, por exemplo, se retiramos a figura do lado direito,

ela deverá ir par ao lado esquerdo. Aqui é uma parte em que podemos abordar a questão de como fazer com que a

figura construída passe para o outro lado? Basta simplesmente “colar” do outro lado? Se você tivesse que “ensinar”

este caminho, como faria?

Depois destas explorações cabe ao professor informar que esse deslocamento se deve a um vetor, do qual tem

direção, sentido e tamanho, no nosso caso, deslocaremos a figura do ponto A para o ponto B, criando um vetor que

vai auxiliar nesse movimento.

3) Construindo vetor

Seja a figura construída, para seguirmos a construção do mosaico, devemos estipular um agente que execute esta

movimentação para o lado oposto, de tal maneira que a figura se desloque do ponto A até o ponto B, e um vetor

serve exatamente para o que queremos.

Criando um vetor:

Na mesma figura construída, clique na opção de reta, em seguida vá em vetor definido entre Dois Pontos, como

queremos deslocar a figura de A para B, aconselhamos a criar o vetor.

Pronto, temos o vetor construído e com isso podemos continuar nossa atividade para a construção do mosaico.

4) Construção do mosaico

Depois de construída a figura, o vetor, agora é hora de iniciarmos a construção do mosaico. Clicando na opção de

simetria, em seguida em translação por um vetor, vemos no canto direito do software as indicações para utilizar este

recurso, da seguinte maneira, selecione o objeto e em seguida o vetor. Segue indicações abaixo:


Selecione, primeiramente, a figura formada e em seguida o vetor. Em seguida, selecione a nova figura formada.

Utilize a opção translação por um vetor novamente, mas agora com o polígono novo formado e o vetor.

Repete-se este procedimento de translação o polígono novo formado e o vetor. Quando utilizamos esta ferramenta,

só vamos completando os polígonos lada a lado, mas e se quiséssemos completar embaixo ou em cima? Espera-se

que com esta pergunta, os alunos consigam relacionar com o que foi trabalho até este ponto, e respondam que deve-

se criar vetores indicando qual sentido devem seguir, que se quiser ir para baixo, devem criar um vetor que os leve

para baixo.


4) Polígonos Estrelados

Tente desenhar os polígonos abaixo no Geogebra.


7.4. Avaliação - Rubricas

Rubrica para avaliação da produção das atividades.

Insatisfatório Aceitável Avançado

Categoria e Peso

Abaixo dos padrões

esperados. Desempenho aceitável.

Demonstra desempenho

excelente.

1 Organização (30%)

A distribuição dos

elementos (texto e

imagens) está confusa.

A distribuição dos elemen-

tos (texto e imagens) é

satisfatória.

A distribuição dos elementos

(texto e imagens) é criativa e

colabora para o bom

entendimento da mensagem.

2

Mensagem /

Conteúdo (40%)

Mensagem pouco clara ou

divergente das principais

ideias do projeto.

Mensagem clara e

memorável.

Reflete com precisão as

principais ideias do projeto.

Mensagem clara e

memorável.

Reflete com precisão as

principais ideias do projeto.

Conteúdo criativo e

envolvente.

3

Técnicas de

propaganda de

distração (30%)

Não usa atrativos e técnicas

de distração.

Usa atrativos e técnicas de

distração.

Usa atrativos e técnicas de

distração que persuadem o

público.

Rubrica para avaliação da apresentação oral

Iniciante Regular Proficiente Exemplar

A apresentação está em

fase inicial.

A apresentação inclui

momentos de qualidade,

mas poderia ser

aperfeiçoada em vários

aspectos importantes.

A apresentação é

aceitável, mas poderia ser

aperfeiçoada em alguns

aspectos importantes.

A apresentação é

exemplar.

Conteúdo

1

A apresentação não

inclui informações sobre

pontos importantes.

Informações importantes

estão ausentes, ou

existem poucos detalhes

de apoio.

Informações completas

com detalhes básicos de

apoio, aumentando o

conhecimento do público

pelo menos em certa

medida.

Informações completas e

bem apoiadas em

detalhes aumentando

significante o

conhecimento do público

sobre o assunto.

Pensamento e comunicação

2

A apresentação não

expressa os principais

pontos de forma clara,

completa ou persuasiva.

A apresentação parece

comunicar apenas uma

compreensão limitada do

assunto.

Os principais pontos não

são apresentados com

clareza ou de modo

persuasivo.

A apresentação demonstra

boa compreensão do

assunto, com alguns

lapsos.

As principais ideias do

apresentador são claras,

mas não persuasivas.

A apresentação

demonstra compreensão

profunda e completa do

assunto.

As principais ideias do

apresentador são lógicas e

conclusivas.

Organização, mecânica e vocabulário


3

Não há introdução para

prender a atenção da

plateia.

O corpo da apresentação

precisa de organização e

detalhes de apoio.

Um fechamento

adequado está faltando.

O apresentador não

domina palavras e

expressões

fundamentais

relacionadas ao assunto.

A introdução não é clara

ou não prende a atenção

da plateia.

O corpo da apresentação

está confuso com dados

de apoio limitados.

O fechamento não é

claro ou não inclui muitos

dos principais pontos.

O vocabulário do

apresentador sobre o

assunto é limitado.

A introdução apresenta a

finalidade, mas não

prende a atenção da

plateia.

A principal parte da

apresentação é organizada

e sequencial com alguns

detalhes de apoio.

O fechamento fornece

uma síntese das principais

ideias.

O vocabulário é adequado

para o assunto, com

alguns lapsos.

A introdução prende a

atenção da plateia e

apresenta a finalidade

com clareza.

A principal parte da

apresentação é

organizada, sequencial e

bem embasada com

detalhes.

O fechamento fornece

uma síntese completa das

principais ideias.

O apresentador

demonstra vocabulário

rico e adequado ao

assunto.

Ilustrações / Imagens

4

Ausência de imagens

ilustrativas na

apresentação.

As ilustrações não

contribuem para a

compreensão da plateia

ou são confusas.

As ilustrações são

adequadas aos tópicos,

mas não estão bem

integradas à apresentação

como um todo.

As ilustrações têm clara

relação com os demais

conteúdos. São bem

informativas para o

público.

Apresentação

5

Não há evidência de

controle de tom, clareza

e volume de voz.

Não há evidência de

criatividade.

O apresentador está

visivelmente nervoso e

não demonstra interesse

pelo assunto.

O apresentador não faz

contato visual com a

plateia.

Gestos e expressão facial

estão ausentes.

A clareza da fala é

irregular. Momentos de

hesitação na

apresentação.

Evidências limitadas de

criatividade.

O apresentador não está

totalmente seguro sobre

o assunto.

Parece nervoso ou

alheio.

Contato limitado ou

esporádico com a plateia.

Uso limitado ou

inadequado de gestos

físicos ou expressões

faciais.

Bom tom de voz.

Recupera-se facilmente de

erros de linguagem.

Criatividade aparente, mas

pouco integrada à

apresentação.

O apresentador

demonstra domínio do

assunto, mas parece

ligeiramente nervoso na

apresentação.

Bom contato visual com a

plateia durante a maior

parte da apresentação.

O uso de gestos e

expressões faciais é bom,

mas às vezes parece

forçado ou artificial.

Os recursos de

apresentação têm clara

relação com o material,

são bem executados e

informativos para o

público.

Voz clara e facilmente

compreendida pela

plateia.

O uso da criatividade

mantem a atenção da

plateia.

O uso de gestos e

expressões faciais

demonstra energia e

entusiasmo.

Rubrica para avaliação da cooperação entre colegas e trabalho em equipe

Insatisfatório Proficiente Avançado

Critérios e

iniciativa

Abaixo dos padrões

esperados. Desempenho aceitável.

Demonstra desempenho

excelente.


1

Liderança e

iniciativa

(25%)

O membro do grupo

desempenhou papel

passivo, gerando poucas

ideias, gerando poucas

ideias novas.

Inclinava-se a fazer apenas

o que lhe diziam para

fazer ou não buscou ajuda

quando necessário.

O membro do grupo

desempenhou papel ativo

na geração de novas ideias.

Tomou a iniciativa para

organizar e concluir as

tarefas e buscou ajuda

quando necessário.

O membro do grupo

proporcionou liderança ao

grupo organizando e dividindo

criteriosamente as tarefas,

verificando o progresso ou

focando e direcionando o

projeto.

2

Facilitação e

apoio

(25%)

O membro do grupo

pareceu incapaz ou

indisposto a ajudar os

outros.

Fez críticas não

construtivas ao projeto ou

a outros membros do

grupo ou distraiu outros

membros.

O membro do grupo

mostrou-se disposto a

ajudar os outros membros

quando solicitado, ouviu

atentamente as ideias dos

outros e ajudou a criar um

ambiente de trabalho

favorável.

O membro do grupo verificou

diligentemente como cada

participante estava progredindo

e como poderia ajudar.

3

Contribuições

e ética de

trabalho

(50%)

O membro do grupo

muitas vezes não

participava do trabalho,

não cumpria tarefas ou

obrigações, ou tinha

problemas de frequência

que significativamente

prejudicavam o progresso

do projeto. Pode ter

trabalhado arduamente,

mas em partes

relativamente pouco

importante do projeto.

O membro do grupo estava

preparado para trabalhar

todos os dias, concluía

tarefas / obrigações dentro

do prazo e trabalhou

arduamente no projeto na

maior parte do tempo.

Se ausente, outros membros

do grupo sabiam o motivo e

o progresso não foi

significativamente

prejudicado.

O membro do grupo

compensou o trabalho que

outros deixaram de fazer e

mostrou-se disposto a dedicar

tempo significativo fora do

horário de aula / escola para

concluir o projeto.


8. PRINCIPAIS REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

Um tesouro a descobrir. Os 4 pilares da educação. UNESCO. Cap 4, p-31. 2010.

Disponível em: http://unesdoc.unesco.org/images/0010/001095/109590por.pdf. Acessado em: 09 de março de

2016.

Competências Socioemocionais. Porvir. Disponível em: http://porvir.org/especiais/socioemocionais/. Acessado em:

09 de março de 2016.

Exemplos de questões – INEP. Disponível em: http://portal.inep.gov.br/web/saeb/exemplos-de-questoes2

Exemplos de questões – OBMEP. Disponível em: http://www.obmep.org.br/banco.htm

Transformações do plano – Pré-cálculo UFRJ. Disponível em:


O Geogebra – divulgação do software. Disponível em: http://ogeogebra.com.br/site/

Geogebra Online. Disponível em: https://web.geogebra.org/

Matemática Multimídia – Unicamp. Disponível em: http://m3.ime.unicamp.br/

Planos de Aula – Portal do Professor. Disponível em: http://portaldoprofessor.mec.gov.br/index.html

Khan Academy – Passando tempo com a matemática e muito mais. Disponível em:

https://pt.khanacademy.org/math/math-for-fun-and-glory/vi-hart

http://unesdoc.unesco.org/images/0010/001095/109590por.pdf

http://porvir.org/especiais/socioemocionais/

http://portal.inep.gov.br/web/saeb/exemplos-de-questoes2

http://www.obmep.org.br/banco.htm


http://ogeogebra.com.br/site/

https://web.geogebra.org/

http://m3.ime.unicamp.br/

http://portaldoprofessor.mec.gov.br/index.html

https://pt.khanacademy.org/math/math-for-fun-and-glory/vi-hart

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